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ANFORA Vol. 1NIl2 Segl1J1do Semestre

de 1993

Aportes

COORDENADAS CURVILINEAS Luis Fernando Madrid Zapata * En el estudio de los distintos problemas matemáticos se emplea con mucha frecuencia el sistema de coordenadas cartesianas. El sistema coordenado cartesiano ofrece la ventaj a única de que los tres vectores unitarios 1, j Y k son constantes. En todo problema es necesario definir el vector posición de una partícula en el espacio. como aquel vector r cuya cola es el origen de coordenadas y cuya cabeza es el punto donde se encuentra la partícula. y cuya magnitud se puede expresar como r=(x2+y2+Z2) 1/2 Desafortunadamente. no todos los problemas se adaptan bien para su resolución en las coordenadas cartesianas. Por ejemplo, si se tiene un problema de fuerza central. F= rof'[rl. tal como una fuerza gravitacional o electrostática. las coordenadas cartesianas generalmente resultan inapropiadas. Tal problema sugiere el uso de un sistema de coordenadas en que la distancia radial se considere como una de las coordenadas. El hecho es que el sistema de coordenadas debe seleccionarse de modo que se

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•

adapte al problema, para aprovechar cualquier posible simetría presente en el mismo. De esta forma. resultará más sencilla la resolución que cuando se intenta trabajar en coordenadas cartesianas. 1. Transformación

de Coordenadas

Consideremos las coordenadas rectangulares (x.y.z) de un punto expresado en función de las variables (U1.U2.U3)en la forma X=X(Ul.U2.U3) y=y(Ul.U2.U3) z=z(Ul.U2.U3)

(1)

o despejando las variables Ul.U2 y u3 Ul=Ul(X.Y,z)U2=U2(X.Y,z) U3=U3(X.Y,z) (2) Las funciones que aparecen en (1) Y (2) se suponen uniformes y con derivadas continuas de manera que la correspondencia entre las temas (x.y.z)y (U1,U2,U3) es biunívoca. Es posible que esta suposición no se cumpla en algunos puntos determinados. denominados puntos singulares. entonces deberán hacerse

Ingeniero Químico. Profesor catedrático. Universidad Autónoma de Manizales

Universidad

Nacional.

Profesor instructor,

Universidad Autónoma

de Manizales

las consideraciones

adecuadas.

2. Vectores unitarios

De esta manera, a cada punto P de coordenadas rectangulares (x,y,z) se le puede asociar un conjunto único de números (Ul,U2,U3)que se denominan coordenadas curvilíneas de P. Las superficies coordenadas son familias de superficies que se obtienen igualando las coordenadas a una constante; por ejemplo, si el, e2 y e3 son constantes, entonces tres familias de superficies son ul(x,y,z)=el U2(X,y ,z)~2 U3(x,y,z)~3

(3)

La intersección de cada par de estas superficies definen las líneas coordenadas. Así si u 1 y u2 son constantes se representa la línea U3;de manera similar tenemos las líneas coordenadas u 1 y u2 . Dado que las tres líneas en general no son rectas, como en el sistema de coordenadas rectangulares, a tales sistemas se les llama coordenadas curvilíneas. . Las líneas coordenadas Ul,U2y U3 de un sistema curvilíneo son análogos a los ejes coordenados x, y, z de un sistema cartesiano.

En el sistema coordenado rectangular, un conjunto de vectores base mutuamente ortogonales es i,j y k. De manera similar, se puede introducir un con] unto de vectores base apropiado para sistemas coordenados curvilíneos. En el caso más general, en cada punto P del espacio hay dos conjuntos de vectores base. El primer conjunto es el de los vectores unitarios tangentes en P a las líneas coordenadas que pasan por P. El segundo con]unto es el de los vectores unitarios perpendiculares las superficies coordenadas que pasan por P.

a

Estos vectores unitarios generalmente varían de orientación de punto a punto.

z

k

E3

Si las superficies coordenadas se cortan en ángulo recto, se tiene un sistema

E1

y

curoiúneo ortogonal. z

x Línea ul

Línea u3

FIGURA 2 Vectores base para coorde-

nadas curvilíneas

y

Si r es el vector posición desde el origen de un sistema de coordenadas rectangulares hasta el punto Plx.y.z). enton-

x

FIGURA 1 Líneas coordenadas

y superficies coordenadas.

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ANFORA Vol. 1N9 2 Segundo Semestre de 1993

ces r=xi+yj+zk=r(x,y,z). Usando las Las magnitudes hl. h2 Y h3 se llaman ecuaciones (1), r se puede expresar factores de escala y son. en general, también como una función de u 1, U2y U3 funciones de u 1, U2y U3 y además son enlaformar=r(Ul,U2,U3) donde (U1,U2,U3) diferentes de cero; por consiguiente, e l. son las coordenadas curvilineas de P. e2 y e3 son también funciones de U1, U2 yU3

Si u2 y u3 son constantes, entonces las ecuaciones (1) son las ecu aciones paramétricas de la curva u¡ con parámetro Ul. Por consíguíente unvector

df tangente en P a la curva Ul es dUl . De

df

df

manera similar, dU2 y dU3 son tangentes en P a las líneas U2 y . u3 respectivamente. En general, estos vectores tangentes no son unitarios, pero se pueden obtener dívídíéridolos por sus respectivas magnitudes. Si definimos estas magnitudes como

I 1- dUl

El segundo conjunto de vectores unitarios se obtiene por los vectores normales a las superficies coordenadas descritas con las ecuaciones (3), que se obtienen con el gradiente de la función respectiva Así Vu 1 es normal a la superficie u 1(x,Y.Z)=C1 VU2 es normal a la superficie U2(X.Y.Z)=C2 VU3 es normal a la superficie U3(x.y.z)=C3 definiendo las magnitudes vectores como

de estos

los vectores unitarios normales superficies coordenadas son

h _'1 df

a las

(4)

entonces los vectores unitarios tangentes a las líneas coordenadas u 1, U2y U3 en P son respectivamente

(5)

De manera que cada vector tangente se puede expresar como

(8)

Ambas temas de vectores unitarios solo coincidirán en el caso de que el sistema de coordenadas curvilíneas sea ortogonal, en este caso, los tres vectores son mutuamente perpendiculares en cada punto y deben de cumplir los siguientes productos escalares (9)

Si la base ortogonal es derecha los productos vectoríales estarán dados por

y el producto triple será

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el.e2xe3=1

(11)

Universidad Autónoma. de Mantzales

Ademásse puede demostrar que la relación entre los factores de escala son h1=_1

H1

Alternativamente. los factores de escala h1. h2 y h3 pueden identificarse convenientemente mediante la relación

(12)

3. Elementos de Iínea, de área y de

volumen Enciertos problemas físicoses frecuente encontranos con la necesidad de resolverlos siguiendo una trayectoria lineal. a lo largo de una superficie o en un volumen determinado. además de un cálculoque involucra integrales de línea, comopor ejemplo. determinar el trabajo realizado por una fuerza. calcular el potencial eléctrico en una región donde existe un campo eléctrico. etc. y para lo cual necesitamos definir un elemento diferencial de longitud. el cual se encuentra perfectamente definido para un sistema de coordenadas rectangulares como

(16)

para cualquier u¡ conservando las otras u constantes. Obsérvese que las tres coordenadas Ul.U2.U3. no tienen que representar longitudes. Los factores de escala pueden depender de las u y pueden tener dimensiones. El producto h.du, debe tener dimensiones de longitud. Podemosdesarrollar inmediatamente los elementos de área y de volumen. valiéndonos de la figura

dA 1J..=ds.dsr=h.h.du.du, 1 J- 1 J 1

J

(17)

z

(13)

En general para cualquier sistema de coordenadas curvilíneas la longitud del arco ds estará dado por

h2du2

y

(14)

hD

Los coeficientes se puede considerar que especifican la naturaleza del sistema coordenado (U 1. U2. U3) . En conjunto. estos coeficientes se denominan métrica. Volviendo a los sistemas coordenados ortogonales podemos expresar el elemento de longitud como

x FIGURA 3 Elemento de volumen de

un sistema de coordenadas curvUíneas ortogonal

ANFORA

Podemos observar. entonces que el Jacobiano de la trasformacíón de las

i(

x,y,z ul,u2,U3

d(X,y,Z)

)

d(Ul,U2,U3)

dy

dZ

dUl

dUl

dUl

dX dU2 dX dU3

dy dU2 dy dU3

dZ dU2 dZ dU3

es porque los vectores tangentes a las líneas coordenadas son coplanarios y las variables (x,y,z) están ligadas por una relación del tipo Flx.y.zl=O.Por consiguiente, para aplicar una transformación de coordenadas es necesario que el Jacobiano correspondiente sea distinto de, cero. Además, Si se desea expresar un vector en coordenadas rectangulares, en términos de sus coordenadas curvilíneas f=fxi+fyj+fzk=fl el +f2e2+f3e3 se puede obtener por la siguiente notación matricial

••

dy

dZ

dU1

dUl'

dy

"dZ'

dU2 dy

dU3

dU2 .

dZ dU3

Segundo Semestre de 1993

coordenadascurvilíneas.según las ecuaciones (1) . deberá estar dado por

dX

Si el Jacobiano es ídéntícamente nulo.

dX dU1 dX dU2 dX dU3

Voz.' 1 N" 2

=hlh2h3

(19)

4. Operadores curvilineas

en

coordenadas

4.1. Gradiente

El gradiente de una función escalar 'Jf en las coordenadas rectangulares es . ~ ,

Por las ecuaciones (1), 'Jf se puede expresar en términos de U1,U2,U3 como 'Jf='Jf(U1,U2,U3) y además, aplicando la regla de la cadena. se obtiene

4.2. Divergencia y rotacional

[%]

La divergencia de una función vectorial (20)

f=fxi+fyj+fzk, gulares es

en coordenadas

rectan-

(23)

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Universidad Autónoma de Mantzales

i j k

a a a Vxf=rot f= ax ay az fx fy fz (24)

(25)

podemos obtener expresiones para la divergencia y el rotacíonal. de acuerdo con las consideraciones dadas para el gradlente: estas expresiones son

El Laplaciano de una función escalar 'JI en las coordenadas rectangulares es

(28) y

en coordenadas curvílíneas ortogonales es

(29)

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ANFORA

5. Sistemas

coordenados especiales

Hay que tener presente que la selección del sistema coordenado puede depender de las condiciones necesarias o de simetría del problema por resolver. En general, los sistemas curvilíneos se pueden clasificar de acuerdo con el hecho de que tengan o no un eje de traslación (perpendicular a la familia de superficies de plano paralelo) o un eje de simetría rotacional. De acuerdo con lo anterior se tienen los siguientes sistemas de coordenadas, todos ellos ortogonales. 5.2. Coordenadas cilíndricas ( p, ; Z)

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Se pueden obtener por las siguientes transformaciones x=p cos y=psen