Convolucion y Ecuaciones en Diferencia

Procesamiento de Señales Ingeniería Electrónica M.C. Carlos Alejandro de Luna Ortega 20 de Mayo de 2008

Convolución y Sus Propiedades Como muchas otras operaciones básicas, la convolución goza de algunas propiedades: Conmutativa:

x[n]*h[n] = h[n]*x[n]

Asociativa:

x[n]*(h1[n] *h2[n]) = (x[n]*h 1[n] )*h2[n]

Distributiva respecto a la suma: x[n]*(h1[n] +h2[n]) = x[n]*h 1[n] +x[n]*h 2[n] Elemento neutro:

x[n]*δ[n] = x[n]

Respuesta de un sistema discreto a un Impulso unitario. Los sistemas que cumplen los requerimientos de linealidad e invarianza satisfacen una amplia gama de aplicaciones DSP. Tales sistemas se encuentran completamente caracterizados caracteriz ados por su respuesta al impulso, denotada por h[n]. h[n] = T{δ[n]} Una vez que se ha determinado dicha respuesta, la salida del sistema para cualquier entrada está dada por: ∞

y[n] = T{x[n]} =

∑ x(k )h(n − k ) k = −∞

que es la convolución entre la señal de entrada y la respuesta al impulso del sistema. Lo establecido anteriormente se basa en lo siguiente. Dado que cualquier secuencia se puede representar por una combinación lineal de deltas, tenemos:

∞

y[n] = T{

∑ x(k )δ  (n − k )} k = −∞

   s    o    t    e    r    c    s    i    D    s    a    m    e    t    s    i    S    y    s    e     l    a    ñ    e    S   :    I    I     d    a     d    i    n    U

1

debido a que el sistema se asume lineal, la respuesta del sistema a una suma de entradas es igual a la suma de las respuestas de cada entrada individual. Así, la respuesta total también puede calcularse como la suma del producto de los escalares x[k] con las respuestas al los impulso delta desplazado: ∞

y[n] =

∑ x[k ]T{δ[n-k]} k = −∞

definiendo T{δ[k]}=h(k) y dado que si el sistema es invariante la respuesta a una versión desplazada de la entrada T{δ[n-k]} es equivalente a la salida desplazada h[n-k], podemos sustituir en la ecuación anterior:

∞

∑ x(k )h(n − k )

y[n] =

k = −∞

y por la propiedad conmutativa de la convolución: ∞

∑ h(k ) x(n − k )

y[n] =

k = −∞

A continuación se encuentra la respuesta al impulso de algunos sistemas populares: Multiplicador: y[n] = a x[n]

h[n] = aδ[n]

Retardador:

h[n] = δ[n-m]

y[n] = x[n-m] n

Acumulador: y[n] =

n

∑ x[k ]h[n] =∑ δ  [k ] = k = −∞

k = −∞

Promediador: y[n] =

1

u[n]

L −1

 x[n − k ] ∑  L k =0

1

h[n] =

L −1

δ  [n − k  ∑ = ] 1/L p [n]  L L

k =0

La convolución y los sistemas. Los sistemas podemos ahora describirlos adicionalmente a T{x[n]}, por su respuesta al impulso y, en base a este concepto y sus propiedades, establecer una serie de relaciones de interconexión de sistemas.

   s    o    t    e    r    c    s    i    D    s    a    m    e    t    s    i    S    y    s    e     l    a    ñ    e    S   :    I    I     d    a     d    i    n    U

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Las figuras siguientes nos indican cómo podemos combinar sistemas basados en las respuestas impulsionales.

1) Por la propiedad asociativa:

h1[n]

h2[n]

h1[n]*h2[n]

2) Por la propiedad conmutativa:

h1[n]

h2[n]

h2[n]

h1[n]

3) Por la propiedad distributiva:

h1[n] h1[n]+h2[n]

h2[n]

Las propiedades de causalidad y estabilidad, que se refieren únicamente a la relación entre excitación y respuesta, son expresables para un sistema L.I. en términos de su respuesta impulsional. ∞

Estabilidad:

∑ h(n)