Convolucion Continua y Discreta

Convolución Continua y Discreta PST84-1 Lilian J. Certuche Alzate Investigadora - Docente

Análisis de Sistemas LTI en Tiempo Continuo Los sistemas LTI pueden analizarse en el dominio del tiempo usando cualquier de los siguientes modelos. 1. Ecuaciones diferenciales 2. Variables de estado 3. Respuesta al impulso

Respuesta al Impulso Es la salida de un sistema LTI debido a una entrada de impulso aplicada en el tiempo t=0 o n=0. La respuesta al impulso caracteriza por completo el comportamiento de cualquier sistema LTI

Sumatoria de Convolución (Tiempo Discreto) Consideramos el producto:

x[n] [n]  x[0] [n] Generalizando la relación de x[n] y la secuencias de impulsos recorridos en tiempo:

x[n] [n  k ]  x[k ] [n  k ]

n: Índice de Tiempo x[n]: Señal de entrada x[k]: Valor de la señal x[n] en el tiempo k. Podemos expresar x[n] como una suma ponderada de impulsos recorridos:

Reescribiendo , tenemos:

+ +

+

+

Sea el operador H el que denota el sistema; x[n]

Entonces:

y[n]

H

   y[n]  H   xk  n  k  k  

utilizando la propiedad de linealidad,  y[n]   x[k ]H  n  k  k  





 x[k ] h [n]

k  

k

Donde,

hk [n]  H  [n  k ] Es la respuesta del sistema debido a un impulso recorrido en el tiempo

Si el sistema es invariante en tiempo, (un corrimiento en tiempo de la entrada implica un corrimiento en tiempo en la salida) La respuesta al impulso del sistema LTI es, y[n] 



 x[k ]h[n  k ]

k  

y[n]  x[n]  h[n]

Ejemplo 1: suponga que un sistema LTI tiene respuesta al impulso 1, n  1  h[n]   2, n  0  3, cc 

Determine la salida del sistema en respuesta a la entrada  2, n  0  3, n  1  x[n]    2, n  2  0, cc

Tenemos entonces, 2

y[n]   x[k ]h[n  k ] k 0

Evaluando para diferentes valores de n y[2]  x[0]h[2  0]  x[1]h[2  1]  x[2]h[2  2]  0 y[1]  x[0]h[1  0]  x[1]h[1  1]  x[2]h[1  2]  2 y[0]  x[0]h[0  0]  x[1]h[0  1]  x[2]h[0  2]  7 y[1]  x[0]h[1  0]  x[1]h[1  1]  x[2]h[1  2]  6 y[2]  x[0]h[2  0]  x[1]h[2  1]  x[2]h[2  2]  1 y[3]  x[0]h[3  0]  x[1]h[3  1]  x[2]h[3  2]  2 y[4]  x[0]h[4  0]  x[1]h[4  1]  x[2]h[4  2]  0

y[n] 7 6

2 2 -2

-1

1

3

4

n

-1 -2

•Los limites de la sumatoria los da x[n] •Los valores de evaluación de n se toman observando los valor es de h[n] y x[n]

Integral de Convolución Siguiendo el principio de superposición Sea y1(t) y y2(t), las respuestas a los sistemas x1(t) y x2(t), las entradas del sistema

El sistema es lineal si la respuesta a la entrada x(t)=a1x1(t)+a2x2(t) es y(t)=a1y1(t)+a2y2(t)

De una manera mas general: x(t)→ Es la suma ponderada de cualquier conjunto de señales xi(t) con su correspondiente salida yi(t), entonces el sistema es lineal si N

x(t )  a1 x1 (t )  a2 x2 (t )    a N xN (t )   ai xi (t ) i 1

N

y (t )  a1 y1 (t )  a2 y2 (t )    a N y N (t )   ai yi (t ) i 1

• Utilizando la propiedad de desplazamiento de la función impulso unitario 

x(t ) 

 x( ) (t   )d



• Define que cualquier señal x(t) se puede expresar como un continuo de impulsos ponderados.

• Por lo tanto podemos expresar la salida como una combinación lineal de las respuestas del sistema a las señales impulso desplazadas 

y (t ) 

 x( )h(t , )d



h(t,τ)→ Respuesta del sistema lineal al impulso desplazado → Salida del sistema en el instante t a la entrada (t-τ) aplicado en el sistema τ

• Como el sistema es invariante en tiempo 

y (t ) 

 x( )h(t   )d



Integral de Convolución

y(t )  x(t )  h(t )

Ejemplo 1: Sea x(t) la entrada a un sistema LTI con respuesta al impulso unitario h(t), donde x(t )  e  atu (t ) , a  0 h(t )  u (t )

Ejemplo 2: Consideremos un sistema LTI con respuesta al impulso h(t )  e atu(t ) , a  0

si la entrada al sistema es bt

x(t )  e u(t ) , b  a

Propiedades 1. Propiedad Conmutativa x(t )  h(t )  h(t )  x(t )

2. Propiedad Asociativa x(t )  h1 (t )  h2 (t )  x(t )  h1 (t ) h2 (t )  x(t )  h1 (t )  h2 (t )

3. Propiedad Distributiva x(t )  h1 (t )  h2 (t )  x(t )  h1 (t )  x(t )  h2 (t )

Ejemplo 3: Considere la interconexión de los sistemas LTI. La respuesta al impulso de cada sistema esta dado por: h1[n]  u[n] h2 [n]  u[n  2]  u[n] h3[n]   [n  2] h4 [n]   nu[n]

Encontrar la respuesta al impulso del sistema completo, h[n]