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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE INGENIERÍA ELECTRÓNICA E INSTRUMENTACIÓN PROCESAMIE PROCESAMIE NT NTO O DI GI TAL DE SEÑALES COVOLUCION CIRCULAR
Wellington Santiago Guanoluisa Guanoluisa
[email protected] Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE-L El resultado de g(x) depende únicamente del valor de Resumen — El El artículo presenta de forma escrita que f(x) en el punto x, pero no de la posición de x. Es la la convolución es un valor que se extiende a todos los propiedad que se denomina invariante respecto la sistemas que son invariantes en el tiempo. La idea de posición (position-invariante) (position-invariante) y es condición condición necesaria necesaria en convolución discreta es la misma que la de convolución la definición de las integrales de convolución. continua. La convolución es un instrumento que En el caso de una función continua, bidimensional, permite determina el resultado de un sistema después como es el caso de una imagen monocroma, la de saber la entrada. convolución de f(x,y) por g(x,y) será:
Abst Abstract ract — The article presents in written form that convolution is a value that extends to all systems that are invariant over time. The idea of discrete convolution is the same as that of continuous convolution. Convolution is an instrument that allows determining the result of a system after after knowing the input.
PALABRAS CLAVE:
g(x,y) debe cumplir el requisito de no variar según la posición x e y. Sistemas discretos (imágenes digitalizadas). En un sistema discreto, como el de las imágenes digitalizadas, la convolución de la función f(x,y) por g(x,y), en la que g(x,y) es una matriz de M filas por N columnas, es:
Convolución discreta, Convolución circular discreta.
KEY WORDS: Discrete Convolution, Circular Convolution. I. INTRODUCCIÓN SE DENOMINA CONVOLUCIÓN CONVOLUCIÓN A UNA FUNCIÓN, QUE, DE FORMA LINEAL Y CONTINUA, TRANSFORMA UNA SEÑAL DE ENTRADA EN UNA NUEVA SEÑAL DE SALIDA . LA FUNCIÓN DE CONVOLUCIÓN SE EXPRESA POR EL SÍMBOLO SÍMB OLO
*. EN UN SISTEMA UNIDIMENSIONAL, SE DICE QUE G(X) CONVOLUCIONA F(X) CUANDO
donde x’ es una variable de integración.
II. CONVOLUCIÓN CIRCULAR Dada la secuencia periódica f (n) de cardinalidad N a convolucionar con otra secuencia periódica g (n) también de cardinalidad N, el proceso de convolución exige N×N productos e igual cantidad de sumas. Empleando una operación conocida como FFT (Transformada Rápida de Fourier) para calcular la
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convolución, se logra reducir este número a un múltiplo de N log2 N. Dado que la FFT es una operación que se aplica a señales periódicas, es lógico pensar que los operados de la convolución por FFT también son periódicos. A consecuencia, a la convolución lograda por FFT se le conoce como convolución circular o cíclica. La convolución circular es un proceso parecido a la convolución que se ha revisado en secciones pasadas. Hay dos diferencias fundamentales a considerar: La convolución circular opera sobre secuencias periódicas. Ambas secuencias a convolucionar tienen la misma longitud. Secuencia periódica Sea la secuencia periódica f con cardinalidad N=3 tal como se ilustra a continuación (Note que en la ecuación hay un origen definido).
Puede notarse que algunos de los índices en las fórmulas de Convolución son negativos. Se puede aprovechar la periodicidad de las series de tal forma que:
Esta secuencia también puede escribirse con índices no periódicos de la forma siguiente
Ambas formas, la periódica y la no periódica son equivalentes y serán usadas en la convolución circular.
Convolución circular de dos secuencias f(n) y g(n). Dada la secuencia de duración finita f (n) de longitud N y dada la secuencia g(n) también de longitud N. La Convolución queda representada como f ∗g(n)=f(n)∗g(n) y matemáticamente, la Convolución circular se define como:
Para ejemplificar el comportamiento periódico de la fórmula, ésta se desarrolla para N=3, es decir, sean las secuencias periódicas siguientes
Entonces las ecuaciones de la convolución se escriben como:
Desarrollando la fórmula de la Convolución circular.
Propiedad de longitud de la convolución circular: Longitud de la secuencia de convolución circular. Dadas dos secuencias f y g de cardinalidad N, la convolución circular de ambas funciones f(n) ∗g(n) es otra función f ∗g(n) de cardinalidad N y cuyo origen es el primer
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elemento que aparece en la secuencia.
E jemplo Realice la convolución circular de la secuencias f =[2,5,0,4] g=[4,1,3,0] Planteando la matriz de convolución se tiene que:
Finalmente, la secuencia de convolución es:
E jemplo: Convolucione las secuencias periódicas f=[2,5,0,4] y g=[4,1,3,0] , su convolución circular es:
III. CONCLUSIONES
Convolución circular, método matricial
Sean las secuencias periódicas de cardinalidad N=3 siguientes: son las mismas ecuaciones
En una sección pasada se desarrolló la fórmula de la convolución circular para n ∈[0,1,2] resultando:
Albertí, E. B. (2003). Señales y sistemas de tiempo discreto. Edicions UPC. Egozcue, J. J., & Canet, J. M. (1984). Revisión de métodos de análisis espectral. Aplicación al estudio y simulación de un registro sísmico. Rev. Obras Públicas, June, 429-446. Romberg, J. (2005). Convolución Circular y el DFT.
La convolución en general es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función Mediante convolución hemos sido capaces de determinar la respuesta del sistema a una señal de entrada a partir de la respuesta del sistema a una entrada impulso. Los tipos de convolución nos facilita el análisis de las distintas características que nos permiten encontrar nuestra tercera función con rapidez y eficiencia. La respuesta en n0 depende de los valores actuales y pasados de la entrada y de la respuesta al impulso. Los valores más recientes de x(n9) son multiplicados por sus correspondientes más antiguos (y más grandes) valores de h(v). IV. BIBLIOGRAFIA
Ahora las fórmulas se expresan en forma matricial de la forma siguiente:
Albertí, E. B. (2003). Señales y sistemas de tiempo discreto. Edicions UPC. Egozcue, J. J., & Canet, J. M. (1984). Revisión de métodos de análisis espectral. Aplicación al estudio y simulación de un registro sísmico. Rev. Obras Públicas, June, 429-446. Romberg, J. (2005). Convolución Circular y el DFT.
