Convex Hull Divide y Venceras

Tema 3

La envolvente convexa  G  e  o m 

 e  tr 

 a  C  o m   p

í                  

Curso: Profesora: Departamento: Curso acadé académico: Ubicació Ubicaci ón:

1º de Ingenierí Ingeniería Informá Informática, Plan 2004 Lidia Ortega Alvarado ática Informá Inform 2011/12 http://wwwdi.ujaen.es/asignaturas/gc/tema3.odp

 u  t a  c l 

i  o n   a

Índice ● ● ●

Definiciones de Envolvente Convexa Propiedades Algoritmos de cá cálculo Algoritmo elemental El “scan” de Graham La marcha de Jarvis Quickhull Incremental Divide y Vencerá Vencerás Diagrama Polar Bibliografíía Bibliograf ➔ ➔ ➔ ➔ ➔ ➔ ➔

●

L   a  e n  v   o l v   e

n   t e  c  o n  v   e x 

a 

Introducción Es uno de los cá c álculos má más importantes en Geometrí Geometr ía Computacional con aplicaciones en distintas áreas, dentro y fuera de la Geometrí Geometría Computacional

Envolvente Convexa de objetos

recubrimiento o cobertura que encierra a todos los elementos eleme ntos értices có sin v vé cóncavos de puntos, polí polígonos, cí círculos, objetos 3D, etc.

Estudiaremos el caso má más sencillo: la envolvente convexa de un conjunto de puntos en el plano

L   a  e n  v   o l v   e

n   t e  c  o n  v   e x 

a 

Definiciones ón   intuitiva:  Definici ó  Supongamos que cada punto del plano está est á representado como la cabeza de una puntilla hincada perpendicularmente sobre una superficie plana. Si tomamos una goma elá el ástica que envuelva a todas las puntillas, el resultado en la envolvente convexa.

goma elá el ástica tensa

goma al destensar

L   a  e n  v   o l v   e

n   t e  c  o n  v   e x 

a 

Definiciones   1:  Definici ón La envolvente convexa de un conjunto de puntos S es el polígono convexo P que contiene a todos los elementos de S  con menor área (o perímetro) posible

S existe otro polígono con menor área

menor polígono convexo que envuelve a todos no envuelve a todos

L   a  e n  v   o l v   e

n   t e  c  o n  v   e x 

a 

Definiciones   2:  Definici ón La envolvente convexa de un conjunto de puntos S es el polígono convexo P si para cada par de puntos x e y de S , el segmento xy siempre está contenido en P 

S no se cumple la propiedad todos los posibles segmentos quedan dentro del polígono P

L   a  e n  v   o l v   e

n   t e  c  o n  v   e x 

a 

Propiedades Propiedad 1:  El cálculo de la envolvente convexa consiste en encontrar todos los puntos extremos del conjunto S . Un punto x ∈S es no-extremo si existe un triángulo con vértices en S  (distintos de x ) de forma que x esté dentro del triángulo. S punto interior

imposible encontrar un triángulo que lo envuelva

L   a  e n  v   o l v   e

n   t e  c  o n  v   e x 

a 

Propiedades Propiedad 2:  Un punto x ∈S es extremo si existe una recta pasando por x  que deje al resto de puntos de S hacia un lado de dicha recta

S

L   a  e n  v   o l v   e

n   t e  c  o n  v   e x 

a 

Algoritmos elementales Dado un conjunto S, encontrar todos sus puntos extremos ordenados en sentido antihorario Propiedad 1:  Cada punto p ∈S puede estar en O(n3) triángulos distintos Existen O(n) puntos que cuestionar ●

S

●

O(n4)

O(n3)

Propiedad 2:  Existen O(n2) pares de puntos distintos Existen O(n) puntos que cuestionar ● ●

L   a  e n  v   o l v   e

n   t e  c  o n  v   e x 

a 

Algoritmo: Graham's scan Basado en la Propiedad 1 ALGORITMO GRAHAM (VAR S:NubePuntos, n:entero, VAR Env:Poligono) ENTRADA: La nube de puntos S de tamaño n SALIDA: La envolvente convexa de S, CH(S) S INICIO min