Conversion Electromecanica de La Energia UTFSM ( Muller 2001)

UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA Departamento de Electricidad

Conversión Electromecánica de Energía J.Müller

2001

ÍNDICE

1.

EL CIRCUITO MAGNÉTICO

1-5

1.1

Introducción

1-5

1.2

Prototipo y aproximaciones

1-6

1.3

Circuitos magnéticos

1-10

1.4

Imanes permanentes

1-14

2.

EL REACTOR

2-17

2.1

Introducción

2-17

2.2 Efectos físicos en el reactor 2.2.1 Dispersión magnética 2.2.2 Pérdidas en el fierro 2.2.3 Corriente magnetizante compleja 2.2.4 Pérdidas en el cobre

2-20 2-20 2-21 2-26 2-27

2.3 Circuito equivalente. 2.3.1 Circuitos electromagnéticos. 2.3.2 Circuito equivalente del reactor

2-29 2-29 2-33

2.4

2-35

3.

Tensión inducida

EL TRANSFORMADOR

3-38

3.1

Introducción

3-38

3.2

Dispersión inductiva y esquema de acoplamiento inductivo

3-39

3.3 El transformador de potencia. 3.3.1 Circuito equivalente 3.3.2 Diagrama fasorial 3.3.3 Funcionamiento en vacío 3.3.4 Funcionamiento en cortocircuito estacionario 3.3.5 Funcionamiento con carga

3-42 3-43 3-47 3-51 3-51 3-54

4.

DEVANADOS

4-59

4.1

Introducción

4-59

4.2 Corrientes y campo magnético en el entrehierro 4.2.1 Bobinas acortadas, el factor de cuerda 4.2.2 Bobinas distribuidas, factor de zona 4.2.3 Devanados de corriente alterna 4.2.4 Campo giratorio mediante devanado trifásico 4.2.5 La distribución de inducción en el entrehierro

4-60 4-66 4-68 4-70 4-73 4-76

4.3 Tensión inducida en un devanado 4.3.1 Tensión inducida en una bobina de paso completo 4.3.2 Tensión inducida en una bobina de paso acortado 4.3.3 Tensión inducida en un grupo de bobinas 4.3.4 Tensión inducida en un devanado de corriente continua

4-77 4-79 4-82 4-82 4-84

4.4

4-86

5.

Inductancias propias y mutuas de devanados

FUERZAS ELECTROMAGNÉTICAS

5-89

5.1

Introducción

5-89

5.2

Fuerza y energía, una visión sistémica

5-90

5.3 Transductores de movimiento limitado 5.3.1 Torque de reluctancia 5.3.2 Torque de excitación

5-93 5-95 5-98

5.4

Máquinas rotatorias, conversión continua de energía

5-101

5.5

Resumen

5-105

6.

MÁQUINA DE CORRIENTE CONTINUA

6-106

6.1

Introducción

6-106

6.2

Características constructivas

6-107

6.3

Principio de funcionamiento

6-109

6.4

Ecuaciones de equilibrio eléctricas

6-111

6.5

Ecuación de equilibrio mecánica

6-115

6.6 Funcionamiento estacionario 6.6.1 Distribución del campo en el entrehierro 6.6.2 Efecto desmagnetizante de la reacción de armadura 6.6.3 Autoexcitación 6.6.4 Conmutación 6.6.5 Características estacionarias como generador 6.6.6 Características estacionarias como motor

7.

MÁQUINA SINCRÓNICA

6-116 6-117 6-118 6-121 6-122 6-125 6-128

7-132

7.1

Introducción

7-132

7.2

Características constructivas

7-133

7.3

Principio de funcionamiento

7-134

7.4 Ecuaciones de equilibrio eléctricas 7.4.1 Circuito equivalente por fase 7.4.2 Efecto de la saturación 7.4.3 Diagrama fasorial

7-135 7-140 7-141 7-142

7.5

7-146

Potencia y momento

7.6 Condiciones de funcionamiento especiales 7.6.1 Cortocircuito estacionario 7.6.2 Carga reactiva inductiva pura

7-150 7-150 7-152

7.7

7-153

Determinación experimental de la reactancia sincrónica

7.8 Funcionamiento en red infinita 7.8.1 Variación de la excitación 7.8.2 Variación del momento 7.8.3 Lugar geométrico de la corriente

8.

MÁQUINA ASINCRÓNICA

7-155 7-157 7-157 7-158

8-161

8.1

Introducción

8-161

8.2

Características constructivas

8-162

8.3

Principio de funcionamiento

8-164

8.4

Ecuaciones de equilibrio eléctricas

8-166

8.5

Circuito equivalente y diagrama fasorial

8-171

8.6

Potencia y momento

8-175

9.

EJERCICIOS

9-180

1. El circuito magnético

1.1

Introducción

Desde los tiempos de Oersted (1820) se sabe que corrientes eléctricas producen campos magnéticos. Esta relación fundamental se expresa analíticamente en la ley de Ampere: r

r

∫ H • ds = I

(1.1.1)

que recoge la evidencia empírica que, a lo largo de una trayectoria cerrada rs cualquiera, la integral de la componente de la intensidad del campo magnético H paralela al camino de integración es igual a la totalidad de la corriente I abrazada por ese camino de integración. La relación (1.1.1) es completamente general e independiente de las características del medio que atraviesa el camino de integración cerrado. Mediante ella se rpuede calcular la corriente abrazada por éste si se conoce la distribución espacial de H . En la práctica es más común el problema inverso, res decir, normalmente existe la necesidad de determinar la distribución espacial de H creada por una distribución de corrientes conocida. La solución de este problema requiere de un despliegue matemático considerable y, aún así, sólo es posible encontrar soluciones analíticas rigurosas para medios isotrópicos de geometrías muy simples. Sin embargo, estos métodos forman la base para algorítmos que permiten lograr soluciones numéricas aún para las situaciones más complejas. Si bien los programas para el cálculo numérico de campos dan respuestas cuantitativas satisfactorias para situaciones específicas, estas, por su naturaleza, no permiten una visión global y subsiste la necesidad de contar con soluciones analíticas, aunque estas sean aproximadas, que permitan apreciar la influencia de los parámetros sobre la solución. Las formas geométricas y las características de los materiales usados en la mayor parte de los dispositivos electromagnéticos prácticos, como los transformadores y las máquinas eléctricas rotatorias, permiten simplificar el problema y formular soluciones analíticas aproximadas. Para concretar estas ideas y entender la naturaleza de las aproximaciones necesarias se analiza primeramente el caso de una bobina toroidal.

1-6

capítulo 1 : circuito magnético

1.2

Prototipo y aproximaciones

Considérese un solenoide de sección circular formado por N vueltas de alambre de cobre aislado, uniformemente distribuidas, doblado de manera que sus dos secciones extremas se toquen, dejando en el interior un espacio toroidal (figura 1.2.1). espiras

ri

r

re sección q

Figura 1.2.1 Electroimán toroidal Si por la bobina circula una corriente i, creará en el interior del toroide un campo magnético cuyas líneas de fuerza, por consideraciones de simetría, serán necesariamente circunferencias concéntricas. También es la simetría lar que permite concluir que a lo largo de una línea de fuerza de radio r el módulo de H debe permanecer constante, ya que todos los puntos sobre esa circunferencia son equivalentes en cuanto a su relación con la distribución de corrientes. Considerando estos hechos, que nacen de la geometría y de la distribución de r corrientes considerada, la evaluación de la integral en (1.1.1) es inmediata, ya que H es tangente a la circunferencia. Para el espacio interior del toroide rige entonces: H( r ) =

iN 2π r

.

(1.2.1)

Para el espacio exterior vale H( r ) = 0 , ya que la corriente total abrazada por un camino de integración concéntrico con el toroide es cero y cualquier punto sobre esa

1-7

capítulo 1 : circuito magnético

trayectoria está en la misma condición respecto a la distribución espacial de corrientes (simetría). El campo magnético está confinado al interior del toroide. En la figura 1.2.2, que corresponde a la H(r) representación gráfica de la relación (1.2.1), se puede apreciar que el campo en el interior Hi del toroide no es homogéneo. Sólo si las dimensiones del toroide son tales que (re-ri ) He > µ0 . De acuerdo con (1.2.1) el valor de H no es afectado por el cambio de núcleo. En cambio la inducción B y el flujo Φ sí se incrementan. La misma corriente i produce ahora un flujo µr = µ /µ0 veces mayor. La amplificación del flujo por el núcleo ferromagnético se puede explicar en términos del efecto orientador sobre los imanes moleculares, originalmente desordenados, ejercido por el campo producido por la corriente i . Supóngase que el toroide haya sido dividido en dos partes iguales, de sección semicircular, una ocupada por material ferromagnético de permeabilidad µ y la otra por material nomagnético de permeabilidad µ0 (figura 1.2.3). Como no se ha alterado ni la simetría, ni la corriente de excitación i, la modificación planteada no afecta a la intensidad del campo H(r) , que sigue descrita por la relación (1.2.1). La diferencia de permeabilidad sólo afecta a la división del flujo entre los dos semitoroides.

1-8

capítulo 1 : circuito magnético

i

fierro

Ni

aire

a) b) Figura 1.2.3 Semitoroide de material ferromagnético con a) Excitación magnética distribuida b) Excitación magnética concentrada De acuerdo con la relación (1.2.2) el flujo en el semitoroide de material ferromagnético vale: q Nq Φ fe = Bfe = µ i , (1.2.3) 2 4πr mientras que el flujo en el semitoroide de material nomagnético vale : Φa = Ba

q Nq = µ0 i . 2 4πr

(1.2.4)

Como µ >> µ0 , Φfe >> Φa , es decir, el flujo por el material nomagnético es sólo una pequeña fracción del flujo por el material magnético , por lo que en primera aproximación se puede suponer que el flujo por el material nomagnético es despreciablemente pequeño y que todo el flujo se encuentra en el volumen del semitoroide de material magnético. Este resultado permite relajar la exigencia inicial de un enrollado uniformemente distribuido sobre el núcleo, mediante la cual se garantizaba la circularidad de las líneas de fuerza y se limitaba el campo al interior del toroide. Al utilizar material de alta permeabilidad para el núcleo del toroide , la alta permeabilidad hace que el flujo siga esencialmente confinado al volumen del toroide, aunque las espiras del enrollado se concentren en un sector del núcleo, dejando al resto del núcleo descubierto. En esta circunstancia, el campo creado por el devanado uniformemente distribuido es aproximadamente igual al campo creado por el devanado concentrado en un sector del toroide, por lo que en este segundo caso también se puede usar la relación (1.2.2) para calcular el flujo. Este recurso es de gran utilidad para la obtención de soluciones analíticas aproximadas.

1-9

capítulo 1 : circuito magnético

Siempre con la intensión de introducir aproximaciones razonables que permitan la formulación de soluciones analíticas, considérese nuevamente al núcleo toroidal de material ferromagnético, para analizar las consecuencias de un pequeño corte radial de ancho la sobre la distribución del campo magnético (figura 1.2.4).

Φ

i

r

N

la

Por efecto del corte desapareció la simetría y, con ella, la línea argumentativa que anteriormente permitió obtener Figura 1.2.4 Relativo a la formulación de un modelo para un toroide importantes conclusiones sobre la con entrehierro. distribución espacial del campo. Sin embargo, la presencia de material ferromagnético de alta permeabilidad, eventualmente apoyado por un enrollado uniformemente distribuido a lo largo del núcleo, hace que el flujo quede confinado esencialmente al volumen del toroide, excepto en la región próxima al corte o entrehierro. Dada la dificultad de determinar el campo en el entrehierro y en su entorno inmediato, se hace una suposición simplificatoria, es decir, se formula un modelo, asumiendo que las líneas de fuerza siguen siendo circunferencias en la región problemática. Esto implica que la inducción en el núcleo ferromagnético y en el aire debe tener el mismo valor: Bi = Ba , de lo que sigue que µ Hi = µ 0 Ha ,

(1.2.5)

donde Hi es la intensidad del campo magnético homogéneo en el interior del material ferromagnético, mientras que Ha es su valor en el entrehierro. De acuerdo con el modelo, el campo es homogéneo tanto en el núcleo como en el entrehierro y HI y Ha son constantes. En consecuencia r

r

∫ H • ds = H

l i + Ha l a = N i con l i = 2 π r − la . i

(1.2.6)

A partir de las relaciones (1.2.5) y (1.2.6) se determina la intensidad del campo en el entrehierro como :

1-10

capítulo 1 : circuito magnético

Ha =

Ni

.

µ0 l +l µ i a

(1.2.7)

Si bien el valor numérico calculado mediante esta relación es algo superior al real, la expresión tiene el mérito de mostrar claramente la influencia de los parámetros sobre el resultado. Por las características del modelo, el flujo en el núcleo y en el entrehierro es necesariamente el mismo y vale Φ = µ 0 Ha q =

Ni li l + a µq µ0 q

,

(1.2.8)

donde q es la sección del toroide, igual a la del entrehierro. Si los parámetros en (1.2.8) fuesen conocidos, la relación permitiría determinar con un grado de aproximación razonable el flujo en el entrehierro producido por cierta excitación magnética, como también la excitación magnética necesaria para obtener un determinado flujo en el entrehierro. Lamentablemente la permeabilidad µ de los materiales ferromagnéticos no es constante, ni se conoce de antemano, por lo que el valor práctico de la expresión (1.2.8) es limitado. El toroide con entrehierro puede ser considerado como el prototipo de las máquinas eléctricas en lo que a la determinación del campo magnético se refiere y las aproximaciones y consideraciones practicadas en relación con él pueden ser aplicadas sin mayor dificultad a geometrías más generales si se respeta las restricciones que limitan su validez. Los conceptos y técnicas para ello necesarias son el motivo del párrafo siguiente. 1.3

Circuitos magnéticos

Para un circuito de corriente continua, formado por la conexión en serie de una fuente de tensión V y de dos conductores de longitudes l1 y l2, secciones q1 y q2 y conductividades σ1 y σ2 respectivamente, la corriente se calcula como : I=

V = R1 + R2

V l1 l + 2 σ1 q 1 σ2 q 2

(1.3.1)

1-11

capítulo 1 : circuito magnético

Al comparar (1.3.1) con (1.2.8) salta a la vista la correspondencia formal entre ambas relaciones. Esta correspondencia a llevado a introducir el concepto circuito magnético en analogía con el circuito eléctrico de corriente continua. Para ello se establece las siguientes analogías : Corriente Tensión Resistencia

I V R

⇔ ⇔ ⇔

Flujo Excitación magnética Reluctancia

Φ F ℜ

Extendiendo la analogía a las leyes de Ohm y de Kirchhoff, se tiene que en el circuito magnético rige: F ℜ

Φ=

(en cada elemento)

(1.3.2)

∑Φ

=0

(en cada nodo)

(1.3.3)

∑F

=0

(en cada malla)

(1.3.4)

i

i

i

i

Como consecuencia de lo anterior, los elementos del circuito magnético, es decir, las reluctancias, se combinan de la misma manera como se combinan las resistencias en el circuito eléctrico. Sin embargo, hay una característica fundamental del circuito eléctrico que, en general, no tiene su equivalente en el circuito magnético : la constancia de los parámetros. Efectivamente, la reluctancia, que para cada tramo con campo homogéneo -de longitud l, sección q y permeabilidad µ - se calcula como ℜ=

l , µq

(1.3.5)

en el caso de materiales ferromagnéticos, depende fuertemente del grado de saturación, determinado por el flujo. En consecuencia, los circuitos magnéticos, en general, serán nolineales y por lo tanto para ellos dejan de ser aplicables los métodos de análisis basados en el principio de superposición, que son justamente los que han hecho de la teoría de circuitos una herramienta tan poderosa . Frente a esta situación, y como la nolinealidad se expresa habitualmente a través de la característica de magnetización Bmax(Hef ), en la práctica se prefiere usar directamente las variables de campo B y H.

1-12

capítulo 1 : circuito magnético

0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.6

8.0

9.0

10

2.5

Wb  B 2  m 

A H  m  4 11 ⋅10

2.4

Chapa silicosa

2.3 2.2 2.1 2.0 1.9

 Wb  B 2  m 

1.8

Chapa silicosa

1.7

Acero fundido

1.6 1.5 1.4

1.0

1.3

0.9

1.2

0.8

1.1

0.7

Fierro fundido

1.0

0.6

0.9

0.5

0.8

0.4

0.7

⋅10

4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

 A H  m 

Figura 1.3.1. Curva de magnetización B( H) de algunos materiales ferrromagnéticos La característica de magnetización es suministrada por el fabricante del material. La figura 1.3.1 muestra esta característica, a modo de ejemplo, para algunos materiales comunes. Para ilustrar el tratamiento de los problemas asociados con la nolinealidad, considérese nuevamente el toroide con entrehierro de la figura 1.2.4., para el cual se desea determinar la excitación magnética necesaria para producir un determinado flujo en el núcleo. Como el flujo y las dimensiones del toroide son conocidas, se calcula B = Φ q , valor con el que se entra a la característica del material del núcleo para determinar Hi . Dado que el flujo supuestamente está limitado a la sección del núcleo, la inducción en el entrehierro es la misma que en el núcleo, por lo que Ha = B µ 0 . Finalmente se calcula la excitación magnética o fuerza magnetomotriz i N = Hi l i + Ha l a . Supóngase ahora que la excitación magnética sea conocida y que se desea determinar el flujo correspondiente.

1-13

capítulo 1 : circuito magnético

Como sólo se conoce

∑H

i

li

, pero no los sumandos, no se puede determinar el

i

valor de Hi en cada tramo del circuito magnético. Esto implica que el problema no tiene una solución directa y que es necesario recurrir a un procedimiento iterativo. Para ello se asume un flujo y se calcula la excitación magnética necesaria, que se compara con el dato inicial. Si los dos valores no coinciden dentro de un margen de error razonable, se modifica apropiadamente el valor supuesto para el flujo y se repite el procedimiento hasta lograr la convergencia. Otro problema que carece de una solución analítica directa corresponde a la distribución de un flujo conocido Φt entre dos ramas en paralelo. La figura 1.3.2 muestra esta situación y la relación entre flujos y fmms para cada una de las ramas en paralelo. Se aprecia que mediante el artificio de representar la relación entre flujo y fmm para una de las ramas en el cuarto cuadrante usando una abscisa común para las fmms, el flujo total Φt también queda representado por un trazo y es posible obtener una solución gráfica para el problema. Φ1 Φt Φt

Φ 1(F 1)

Φ2

Φ1 F1=F 2 0 Φ2

F Φ 2(F 2)

Figura 1.3.2 Relación entre flujos y fmm en un circuito magnético formado por dos elementos en paralelo

Pero también en este caso se puede recurrir al procedimiento iterativo y suponer un valor para el flujo Φ1 por una de las ramas. El flujo por la otra rama se determina como Φ2 = Φt − Φ1. Para cada flujo se determina la inducción correspondiente y con ella se entra a la respectiva característica de magnetización para obtener el valor de H en cada rama. El criterio de iteración, que verifica si la distribución de flujos es la correcta, es en este caso la igualdad de las fuerzas magnetomotrices en las dos ramas : H1 l1 = H2 l 2 .

1-14

capítulo 1 : circuito magnético

Para completar el análisis de los circuitos magnéticos es necesario incluir la posibilidad que el flujo tenga su origen en un imán permanente en vez de tenerlo en una corriente. Esto es materia del párrafo siguiente. 1.4

Imanes permanentes

El material ferromagnético incluido en los circuitos magnéticos hasta aquí considerados está caracterizado por un lazo de histéresis muy estrecho, cuyas ramas ascendente y descendente pueden ser consideradas en primera aproximación como coincidentes. La inducción B y la intensidad de campo H están relacionadas en forma unívoca. Bi curva de desmagnetización

característica del entrehierro

P

Br BP

curva virgen

Hc HP

Hi

Figura 1.4.1. Característica magnética de un material magnéticamente duro magnetizado hasta la saturación y luego desmagnetizado. Pero también existen materiales con un lazo de histéresis muy marcado. Una vez magnetizado el material, la inducción no vuelve a cero cuando se anula la corriente, sino a un valor conocido como inducción remanente Br. Para llevar la inducción a cero es necesario invertir la excitación magnética. El valor de la intensidad de campo (negativa) para el cual la inducción se hace cero se conoce como fuerza coercitiva Hc . Las curvas virgen y de desmagnetización de la figura 1.4.1 ilustran la relación entre B y H descrita. Los imanes permanentes (de creciente importancia tecnológica) están hechos de este tipo de material (aleaciones NiCo,SmCo,NdFe) y para su caracterización importa el segundo cuadrante de la característica B(H). Sea un núcleo toroidal magnetizado mediante la aplicación de una fuerza magnetomotriz, que, después de alcanzar cierto valor máximo, es reducida a cero. En

1-15

capítulo 1 : circuito magnético

esas condiciones la inducción en el interior del toroide toma el valor de remanencia , Bi = Br, y la intensidad de campo es cero (Hi = 0). Considérese ahora el corte radial de ancho la a través del núcleo representado en la figura 1.4.2

qi

De acuerdo con la ley de Ampere debe cumplirse que Hi ⋅ l i + Ha ⋅ l a = 0 ,

li

(1.4.1)

la

por lo que H a = −H i

li . la

(1.4.2)

Se puede apreciar que, como consecuencia del corte, Hi es ahora distinto de cero y que su sentido es inverso al de Ha en el corte.

Figura 1.4.2 Relativo a la aplicación de la Ley de Ampere a un imán permanente.

En el entrehierro formado por el corte rige: Ba = µ 0 H a

(1.4.3)

La condición de continuidad para el flujo implica que q i Bi = q a Ba .

(1.4.4)

En el caso del imán toroidal, suponiendo un entrehierro suficientemente estrecho, las secciones qi y qa pueden ser consideradas como iguales, lo que hace que en ese caso la inducción en el núcleo sea igual a la inducción en el entrehierro. Las restricciones (1.4.2) a (1.4.4) implican la siguiente relación entre Bi y Hi : Bi = −µ 0

l i qa H l a qi i

(1.4.5)

que en el plano B(H) corresponde a una recta por el origen en el segundo cuadrante. Como, por otra parte, los valores de Bi y Hi están relacionados por la característica de magnetización del material, los valores de Bi y Hi que satisfacen ambas condiciones se encuentran necesariamente sobre la intersección de las dos características: la recta del entrehierro y la curva de magnetización. Este punto P se conoce como punto de trabajo.

1-16

capítulo 1 : circuito magnético

La representación gráfica de estas relaciones en la figura 1.4.1 permite apreciar que, como consecuencia del corte, la inducción en el núcleo se reduce del valor de remanencia Br a BP. De la relación (1.4.5) se desprende que la reducción está directamente relacionada tanto con la geometría del imán como con la del entrehierro. Para aclarar el papel de las geometrías en el logro de un determinado valor de la inducción en el entrehierro amplifíquese (1.4.5) con Bi y luego reemplácese Bi por Ba de acuerdo con (1.4.4). De esa manera se logra Ba =

qi l i µ BH , q a la 0 i i

(1.4.6)

donde se aprecia que, para volúmenes dados, la inducción en el entrehierro sólo depende del producto Bi Hi , el que a su vez depende de la ubicación del punto de trabajo sobre la característica de magnetización. Para un punto determinado (que corresponde aproximadamente a la intersección de la característica con la diagonal del rectángulo Br Hc ) el producto alcanza su valor máximo. Este valor máximo es un parámetro básico para la caracterización de los imanes permanentes. Con los valores para Bi y Hi correspondientes al producto máximo se determina la sección más favorable para el imán a partir de (1.4.6) y (1.4.4).

Material magnético Tierras raras-Cobalto Neodimio-Fierro-Boro Alnico (Al-Ni-Co-Fe)

Br (T) 0,92 1,20 0,73

Hc (kA/m) 705 860 34

(BH) max ( kJ/m3) 167 240 10

Tabla 1.4.1 Valores característicos para imanes permanentes.

2. El reactor 2.1

Introducción

Fue Faraday quien se preguntó (1822) si a la observación fundamental de Oersted no le debía corresponder una relación causal inversa. Si una corriente estacionaria convierte en imán al fierro que rodea, ¿por qué un imán permanente no produce corrientes estacionarias en las espiras que lo rodean? Nueve años después encontró la respuesta a esa interrogante, la que hoy se conoce como la ley de Faraday y que en su formulación integral establece que:

∫

r r dΨ E • ds = − dt

(2.1.1)

es decir, que, a lo largo de un rcamino de integración cerrado, la integral de la componente del campo eléctrico E paralela al camino de integración es igual a la rapidez de variación del flujo Ψ enlazado por ese camino de integración. Esta ley constituye una de las piedras angulares de la Electrotecnia, pues establece la relación entre el campo eléctrico y el campo magnético que lo origina. Debido a la relación existente entre la intensidad del campo eléctrico y la densidad de corriente asociada a ese campo: r r j E= σ y a la relación entrerla intensidad del campo magnético H y la corriente abrazada por éste, planteada por la ley de Ampere, esta y la ley de Faraday constituyen también el nexo entre la teoría de campos y la teoría de circuitos.

(2.1.2)

1

i

r

v

2 Para ilustrar esta relación considérese nuevamente a un reactor toroidal con núcleo de aire en cuyo interior se desarrolle un campo que en primera Figura 2.1.1. Reactor en forma de toroide aproximación puede ser considerado como homogéneo (figura 2.1.1). El campo eléctrico en el interior del conductor enrollado sobre el núcleo también sea homogéneo.

2-18

capítulo 2 : reactor

Con esta aproximación y considerando la relación (2.1.2), la integral curvilínea cerrada del primer miembro de la ecuación (2.1.1) toma la forma:

∫

r r 1 E • ds = σ

2

∫1

1 r r r r j12 • ds + E12 • ds

∫2

(2.1.3)

donde el camino de integración cerrado se ha dividido en dos tramos, el primero de los cuales va de 1 a 2 por el conductor y corresponde al primer término del segundo miembro de (2.1.3) mientras que el segundo va de 2 a 1 a través de la fuente. Como los campos son paralelos al camino de integración, las integrales del segundo miembro de (2.1.3) se convierten en integrales simples cuya integración es trivial, obteniéndose que :

∫

r r l E • ds = cu ⋅i − v = Rcu i − v σq cu

(2.1.4)

donde lcu es la longitud del conductor entre 1 y 2, qcu es su sección transversal, σ la conductividad y j12 la densidad de corriente constante sobre la sección y a lo largo del conductor. La tensión v corresponde a la diferencia de potencial entre 1 y 2, impuesta por la fuente. Se aprecia que el campo asociado a la corriente en el conductor del toroide ha quedado representado circuitalmente por una resistencia equivalente, en la que se disipa la misma energía que en el conductor original. En cuanto al segundo miembro de (2.1.1), se había establecido anteriormente (párrafo 1.2) la siguiente relación entre el flujo en el interior del toroide y la corriente que lo produce: Φ= µ

Nq ⋅i 2π r

(2.1.5)

Considerando que este flujo es enlazado N veces por el conductor, el flujo total enlazado por el camino de integración 1-2 vale Ψ = NΦ = µ

q N2 ⋅ i , 2π r

(2.1.6)

apreciándose que para medios de permeabilidad constante el enlace de flujo Ψ es directamente proporcional a la corriente i. El factor de proporcionalidad lo constituye la inductancia

2-19

capítulo 2 : reactor

L=

µq 2 N = ΛN 2 2π r

,

(2.1.7)

cuyo valor depende de la geometría del circuito magnético a través de la permeancia Λ. Se aprecia que el campo magnético en el interior del toroide ha quedado representado por una inductancia equivalente en la que se acumula la misma energía que en el campo original. i

Reemplazando finalmente las relaciones (2.1.4) y (2.1.6) en (2.1.1) se logra, después de reagrupar los términos, la siguiente ecuación:

Rcu = v

di v = Ri + L , dt

(2.1.8)

Ψ &

L=

l cu

σ ⋅q

cu

µq 2 N 2π r

que corresponde a la ecuación de Kirchhoff para la malla RL Figura 2.1.2. Circuito galvánico equivalente representada en la figura 2.1.2. para el reactor toroidal.

Las leyes de Ampere y de Faraday, que son relaciones entre variables de campo que dependen del espacio y del tiempo, se han reducido a las leyes de Kirchhoff, que son relaciones entre variables de circuito que sólo dependen del tiempo. Desde el punto de vista energético las ecuaciones (2.1.1) y (2.1.8) son totalmente equivalentes y la malla de la figura 2.1.2 constituye el circuito equivalente del dispositivo de la figura 2.1.1. Cada elemento del circuito equivalente representa un efecto físico del dispositivo original, como la conversión de energía eléctrica en calor, la acumulación de energía magnética y la relación entre la corriente y el enlace de flujo. Las variables de terminales del circuito equivalente son idénticas con las del dispositivo original. Estas características, junto con la mayor simplicidad de la teoría de redes, hacen deseable disponer de un procedimiento para derivar en forma sistemática el circuito equivalente de dispositivos electromagnéticos más complejos, para poder caracterizar y analizar su comportamiento en términos de las variables de terminales. Para ello es necesario examinar previamente los efectos físicos más comunes en los dispositivos electromagnéticos.

capítulo 2 : reactor

2.2

2-20

Efectos físicos en el reactor

El objetivo fundamental de un reactor es la acumulación de energía magnética. Por razones económicas, en su construcción se trata de ocupar un mínimo de material activo (fierro, cobre), lo que implica el uso de densidades de flujo y de densidades de corriente lo más altas que sea posible, sin que las pérdidas en el fierro y las pérdidas en el cobre determinen un calentamiento superior al admisible para el material aislante utilizado. El uso de valores elevados para la inducción determina la saturación del núcleo, que se refleja en la disminución de la permeabilidad de éste. Como consecuencia de lo anterior, una cierta fracción del flujo se dispersa del camino magnético previsto (a través del núcleo) y se cierra a través del aire. Eso implica la aparición de un circuito magnético adicional, en paralelo con el correspondiente al núcleo (figura 2.1.1). Cuando se excita al reactor con corrientes de alta frecuencia se hace sentir el campo eléctrico entre las capas del devanado y entre estas y el núcleo. Las correspondientes corrientes de desplazamiento ahora se hacen significativas en comparación con la corriente por el devanado y alteran la distribución de tensión a lo largo del devanado y la relación entre las variables de terminales. Este efecto se puede incluir en el circuito equivalente mediante capacitancias, pero no será considerado en este capítulo. 2.2.1 Dispersión magnética Por flujo de dispersión se entiende aquella fracción del flujo total que no contribuye a un propósito determinado. El propósito del núcleo del reactor es servir de camino de baja reluctancia para el flujo creado por el devanado. Por lo tanto, el flujo que no sigue ese camino es considerado como flujo de dispersión. Del esquema de la figura 2.2.1 se desprende que el flujo de dispersión del reactor se cierra principalmente por el aire, a través de vías paralelas a las del flujo principal. Figura 2.2.1 Flujo de dispersión de un reactor. La introducción del concepto dispersión magnética implica la división del espacio en dos regiones, una asociada al flujo principal y otra asociada al flujo de dispersión. A cada una de estas regiones está adscrita una fracción de la energía magnética total.

2-21

capítulo 2 : reactor

Φσ

i

N

Φm Φt

Figura 2.2.2. Esquema de un circuito magnético equivalente para el reactor. Φ t = Φm + Φσ .

Este punto de vista es recogido por el modelo de la figura 2.2.2, formado por un circuito magnético ideal con dos ramas en paralelo. El entrehierro incluido en cada rama es tal que la energía magnética acumulada en él sea igual a la de la respectiva región del espacio que se está modelando. De acuerdo con el modelo (2.2.1)

Al introducir la fuerza magnetomotriz común y las permeancias correspondientes a cada rama se logra: Φt = Λ m F + Λ σ F = ( Λ m + Λ σ )Ni .

(2.2.2)

Para representar correctamente la energía Wm σ =

1 1 Φσ F = Λ σN 2 i 2 , 2 2

(2.2.3)

asociada al campo de dispersión, la permeancia de la rama de dispersión debe ser tal que Λσ =

2W m σ N 2i 2

. ,

(2.2.4)

donde el valor de W m σ se supone conocido. La distinción entre campo en el aire y campo en el fierro se hace necesaria porque el campo en el aire es conservativo, mientras que el campo en el fierro, cuando es alterno, es disipativo. Este último aspecto estaba explícitamente excluido en el toroide de la figura 2.1.1 y será el objetivo del próximo párrafo. 2.2.2 Pérdidas en el fierro La expresión para el flujo reproducida en (2.1.5) sólo es rigurosamente válida en el caso de una excitación continua o cuando el núcleo está formado por material no conductor. Cuando el núcleo es de material ferromagnético y es excitado por corrientes

2-22

capítulo 2 : reactor

alternas, el flujo alterno induce corrientes adicionales, que circulan en el interior del núcleo, abrazando el flujo que las induce. Estas corrientes parásitas modifican la distribución del flujo sobre la sección del núcleo, haciéndola inhomogénea, y también son la causa de la conversión irreversible de energía eléctrica en calor, conocida como pérdidas de Foucault o de corrientes parásitas. El efecto amplificador de flujo de los materiales ferromagnéticos puede interpretarse cualitativamente postulando la existencia de imanes moleculares. Cuando el material es sometido a un proceso de magnetización alterna estos imanes tienen que reorientarse dos veces por ciclo, lo que requiere de energía, cuya transformación en calor puede atribuirse al roce entre los imanes moleculares durante su reorientación. La cantidad de energía convertida en calor por cada ciclo es proporcional al área del lazo de histéresis, conociéndose esas pérdidas como pérdidas de histéresis. Para los fines de la modelación de estos efectos físicos mediante el circuito equivalente basta su análisis cualitativo sobre la base de aproximaciones relativamente groseras, que permiten evitar desarrollos matemáticos más complejos, pero mantienen la información relevante. 2.2.2.1

Pérdidas de Foucault.

Considérese una platina de material ferromagnético de resistencia específica ρ, de longitud l y sección rectangular tal, que el espesor d sea mucho menor que el ancho b (figura 2.2.3). En el interior de la platina exista un campo alterno sinusoidal de frecuencia angular ω que en primera aproximación puede ser considerado como homogéneo.

d Φm b

l Un circuito coincidente con los lados de la sección rectangular abrazaría un flujo cuyo valor máximo sería Φm = Bm b ⋅ d , al Figura 2.2.3. Platina de material suponer que el campo es homogéneo, y ferromagnético. en él se induciría la tensión vi =

d (Φ sen ωt ) = ωΦ m cos ωt = 2Vi cos ωt dt m

(2.2.5)

que haría circular una corriente limitada sólo por la resistencia de ese circuito. Dadas las proporciones de la platina, para la resistencia del circuito se puede plantear en primera aproximación

capítulo 2 : reactor

R≈ρ

2b . d ⋅l 2

2-23

(2.2.6)

Considerando las relaciones (2.2.5) y (2.2.6), las pérdidas por corrientes parásitas por unidad de volumen estarían dadas por PF 1 Vi 2 ω2 B m 2 d 2 = ( )≈ V V R 4ρ

(2.2.7)

donde V = bdl es el volumen de la platina. A pesar de las aproximaciones usadas en su obtención, la relación (2.2.7) refleja adecuadamente la influencia de los principales parámetros sobre las pérdidas por corrientes parásitas. Así se aprecia que éstas pueden ser reducidas notablemente a través de la disminución del espesor de la platina y mediante el aumento de la resistencia específica. Esta conclusión se refleja en la práctica en el uso de chapas silicosas de 0,35 mm de espesor, aisladas eléctricamente entre sí, para la construcción de núcleos y circuitos magnéticos sometidos a excitación alterna. Por otra parte, el uso de chapas aisladas no solamente atenúa la magnitud de las corrientes parásitas, sino que, al fijarles los circuitos por los cuales pueden circular, también limita su desarrollo espacial sobre la sección del núcleo, con lo que se recupera una distribución de inducción prácticamente homogénea. En consecuencia, para frecuencias industriales (50Hz) los núcleos laminados pueden ser modelados con el concepto de circuito magnético y el único fenómeno adicional que hay que considerar son las pérdidas debidas a las corrientes parásitas. Para fines prácticos las pérdidas en el fierro debidas a las corrientes parásitas o pérdidas de Foucault se expresan como PF = CF Bm

2

2 2  f   d      m W  50   0,5 

(2.2.8)

donde m es la masa en kg y CF es la cifra de pérdidas por corrientes parásitas, que corresponde a las pérdidas en W en 1kg de chapas de 0,5mm de espesor, medidas para una inducción máxima de 1T y una frecuencia de 50Hz. La cifra de pérdidas por corrientes parásitas CF varía entre valores del orden de 0,16 W/kg para chapas de grano orientado para uso en transformadores y valores del orden de 0,8 W/kg para el uso en motores de potencia fraccionaria.

capítulo 2 : reactor

2.2.2.2

2-24

Pérdidas por histéresis

En el análisis precedente se había supuesto tácitamente que la permeabilidad del material del núcleo era constante. Ahora se relajará esa restricción para examinar más detenidamente una característica nolineal propia de los materiales ferromagnéticos y sus consecuencias. Resulta que la característica de magnetización de los materiales ferromagnéticos no es unívoca, vale decir, a un determinado valor de la intensidad del campo H no le corresponde un valor de inducción B único, sino que ese valor depende de la historia magnética previa del material. En un material ferromagnético sometido a una magnetización alterna de amplitud y frecuencia constantes se establece finalmente un estado cíclico que en el plano B-H toma la forma del lazo de histéresis .Esta característica empírica refleja el efecto de la saturación y de la histéresis sobre el campo magnético y constituye el punto de partida para el análisis que sigue. Para fijar las ideas, considérese nuevamente un reactor de núcleo toroidal ferromagnético de radio r y sección q. El campo, confinado al volumen del toroide, puede ser considerado homogéneo. La resistencia del enrollado de N vueltas sea despreciable. La energía suministrada al campo a través de los terminales de la bobina en el lapso dt vale: dW = p dt = iv dt = iNdΦ = iNq dB pero como

iN = 2π r H

dW = 2πrq HdB = V HdB ,

(2.2.9)

donde V = 2πrq es el volumen del toroide. En consecuencia, la energía magnética suministrada al campo cuando la inducción B varía desde un valor inicial B1 hasta un valor final B2 vale B2

W = V ∫ HdB

(2.2.10)

B1

y como se trata de un campo homogéneo, la densidad de energía, o energía por unidad de volumen, queda expresada por la relación:

2-25

capítulo 2 : reactor

B2

w = ∫ HdB

.

(2.2.11)

B1

Esta última relación es válida para cualquier campo, ya que todo campo puede ser tomado por homogéneo si se considera regiones suficientemente pequeñas. Su interpretación geométrica corresponde a un elemento de área en el plano B-H. Esta interpretación permite visualizar las pérdidas de histéresis por ciclo y por unidad de volumen como el área encerrada por el lazo de histéresis. B

Para comprobarlo, basta recorrer el lazo de histéresis de la figura 2.2.4 +Bmax c durante un ciclo de la excitación. En el +Br primer cuarto de ciclo H varía entre 0 y d +Hmax y la inducción B lo hace entre Br y +Bmax . La energía absorbida corresponde al área entre la rama ascendente (abc) de la curva H(B) y el eje de ordenadas. En el segundo +Hc H -Hc cuarto de ciclo H varía entre +Hmax y 0 b +Hmax 0 -Hmax y la inducción B lo hace entre +Bmax y +Br. El área bajo la rama descendente (cd) de la curva H(B) y el eje de ordenadas es ahora negativa y corresponde a la energía devuelta a la a fuente. De manera que la energía por -Br unidad de volumen neta absorbida - Bmax desde la fuente durante el primer semiciclo de la función de excitación (corriente) corresponde al área abcd0a Figura 2.2.4.Lazo de Histéresis en la figura 2.2.4. La continuación del análisis durante el segundo semiciclo de la corriente permite comprobar la relación entre el área del lazo de histéresis y la energía disipada por unidad de volumen del núcleo en cada ciclo debido a la histéresis. A Steinmetz se debe la siguiente expresión empírica para las pérdidas específicas por histéresis x w H = ηBmax

(2.2.12)

cuyos parámetros η y x deben ser determinados experimentalmente para cada material específico. Para fines analíticos se supone que el exponente de Steinmetz toma el valor x=2. En consecuencia, las pérdidas por histéresis para un núcleo de volumen V excitado con corrientes de frecuencia f valen

capítulo 2 : reactor

2 PH ≈ ηfBmax V

2-26

(2.2.13)

Para fines prácticos se utiliza la fórmula  f  2  m W PH = CH Bmax  50 

(2.2.14)

donde m es la masa del núcleo en kg, CH es la cifra de pérdidas por histéresis que corresponde a las pérdidas en W en 1 kg de material, medidas para una inducción máxima de 1 T y frecuencia igual a 50 Hz. CH varía típicamente entre 0,4W/kg para chapas de transformadores y 1,6W/kg para chapas de motores de potencia fraccionaria. 2.2.3 Corriente magnetizante compleja La forma peculiar del lazo de histéresis implica una relación nolineal entre la inducción B y la intensidad de campo H y por lo tanto entre la tensión y la corriente magnetizante. Al aplicar al devanado de excitación una tensión sinusoidal se fuerza que el flujo, y por lo tanto la inducción, sea sinusoidal. La característica B(H) nolineal determina que H y por lo tanto la corriente magnetizante sean nosinusoidales, es decir, que junto a la componente fundamental aparezcan armónicas impares. La figura 2.2.5 ilustra la obtención gráfica de la forma de onda de la corriente a partir de la forma de onda de la inducción y del lazo de histéresis estático, trazado con línea llena (no incluye el efecto de las corrientes parásitas). Como el circuito equivalente está compuesto por elementos lineales y por esa razón no puede reproducir efectos nolineales, la corriente magnetizante compleja tiene que ser reemplazada por una corriente sinusoidal equivalente cuyos parámetros característicos: amplitud, frecuencia y fase están determinados por las siguientes exigencias: Amplitud: El valor efectivo de la corriente sinusoidal equivalente debe ser igual al valor efectivo de la corriente compleja que reemplaza I = I12 + I 32 + I 52 + .......

(2.2.15)

2-27

capítulo 2 : reactor

B,Φ Φ iH i H+iF

iF

wt

i, H Lazo estático Lazo dinámico

Figura 2.2.5. Determinacion gráfica de la corriente de excitación del reactor.

Frecuencia: La frecuencia de la corriente sinusoidal equivalente debe ser igual a la frecuencia fundamental de la corriente compleja que reemplaza f = f1

(2.2.16)

Fase: El ángulo de fase de la corriente sinusoidal equivalente respecto a la tensión inducida Vi debe ser tal que las pérdidas sean las mismas  P + PF  ϕ = arccos H  .  Vi I 

(2.2.17)

2.2.4 Pérdidas en el cobre Al integrar la expresión (2.1.3) se había supuesto que el campo eléctrico en el interior del conductor fuera homogéneo. Esto se cumple en el caso de corrientes continuas, por lo que la potencia disipada en el conductor al circular una corriente continua de intensidad I por él vale Pcu = V I = R I 2 l donde R = ρ es la resistencia de corriente continua. q

(2.2.18)

2-28

capítulo 2 : reactor

Esta relación se puede reescribir como Pcu = ρ

l 2 ( q j ) = ρ j 2 Vcu q

,

(2.2.19)

con Vcu=ql volumen del conductor, de la que se desprende que las pérdidas por unidad de volumen están dadas por p cu = ρ j 2 , (2.2.20) relación de validez general, ya que cualquier campo puede ser tomado como homogéneo si se considera regiones suficientemente pequeñas. En cambio con excitación alterna el volumen del conductor es ocupado por un campo magnético alterno que induce en el conductor corrientes parásitas que alteran la distribución de la densidad de corriente sobre la sección del conductor haciéndola nohomogénea, por lo que las pérdidas deben determinarse a partir de Pcu ,ca = ∫∫∫ ρ j 2dVcu = ρ l ∫∫ j 2 dq Vcu

.

(2.2.21)

q

Resulta que para distribuciones nohomogéneas I2 ∫∫ j dq > q q 2

(2.2.22)

donde I es el valor efectivo de la corriente en el conductor. En consecuencia, Pcu,ca > R I2 = Pcu,cc , es decir, las pérdidas con corriente alterna de igual valor efectivo que una corriente continua son mayores que las causadas por la corriente continua. En la práctica se considera este hecho definiendo una resistencia para corriente alterna Rca > R tal que Pcu ,ca = Rca I 2 ,

(2.2.23)

reduciendo de esta manera el problema a uno homogéneo equivalente. El valor de la resistencia equivalente para corriente alterna depende de la geometría de la bobina, de la sección de los conductores y de la frecuencia. Para frecuencias industriales (50Hz) el valor es del orden de un 10% superior al de la correspondiente resistencia para corriente continua.

2-29

capítulo 2 : reactor

2.3

Circuito equivalente.

Por circuito equivalente de una máquina o dispositivo electromagnético se entiende una red de elementos concentrados (resistencias, inductancias, capacitancias), donde cada elemento representa un efecto físico (acumulación o disipación de energía) asociado al dispositivo original. En forma más general el término también se aplica a la red que se obtiene de la anterior mediante transformaciones de esta que mantengan la identidad de los terminales de la red (y dispositivo) original. Para la derivación sistemática de estos circuitos equivalentes resulta conveniente introducir previamente algunos elementos de la teoría de los circuitos electromagnéticos. 2.3.1 Circuitos electromagnéticos. En general, la noción de circuito involucra la aproximación “campos homogéneos” (eventualmente equivalentes) limitados a una región del espacio. Con esta aproximación se hace posible la integración de las ecuaciones de Faraday y de Ampere y con ello, la descripción del problema en términos de parámetros, que dependen de las dimensiones geométricas y de las propiedades eléctricas o magnéticas de los medios, y de variables que sólo son funciones del tiempo. En el caso de los circuitos electromagnéticos, a esta característica fundamental de los circuitos se agrega el hecho que su forma topológica siempre puede ser obtenida por inspección del dispositivo físico que se pretende modelar. Para fijar las ideas, considérese nuevamente el reactor toroidal de la figura 2.1.1, pero ahora su núcleo sea de material ferromagnético de permeabilidad y resistividad finitas y constantes. En consecuencia, en él se acumulará energía magnética y, en caso de flujo alterno, también se producirán pérdidas. La energía acumulada en el campo, que se concentra en el núcleo, es igual a la densidad de energía (en el caso lineal igual a 12 BH ) por el volumen del toroide: Wm =

1 µH 2 ⋅ 2πrq 2

Reemplazando H = Wm =

(2.3.1) im N queda 2π r

1 q 1 µ N 2 ⋅ i m 2 = Li m 2 2 2π r 2

(2.3.2)

2-30

capítulo 2 : reactor

Se aprecia que la energía magnética queda expresada en términos del parámetro inductancia (L) y de la variable corriente (im). Si ahora también se consideran las pérdidas en el fierro, estas se determinan como Pfe = C( f )Bm2 ⋅ 2πrq = C(f )Φ 2m ⋅

2πr q

,

(2.3.3)

donde C( f ) es la cifra de pérdidas por unidad de volumen para cierta frecuencia f y una inducción máxima de 1T. Considerando que con excitación sinusoidal V = ωNΦm / 2 , se logra la expresión Pfe = C( f )

2πr 1 2 2 = V . 2 2 2 ⋅V qω N Rfe

(2.3.4)

donde las pérdidas quedan expresadas en términos del parámetro resistencia ( Rfe ) y de la variable tensión (V). De las relaciones (2.3.2) y (2.3.4) se desprende que desde el punto de vista energético el dispositivo original de la figura 2.1.1 es equivalente al modelo de la figura 2.3.1, donde el núcleo real ha sido reemplazado por un núcleo ideal provisto de dos bobinas ideales de N vueltas cada una, a cuyos terminales están conectadas respectivamente una inductancia, que acumula la energía magnética que estaba asociada al núcleo real (impedancia magnética conservativa), y una resistencia, en la que se disipa la energía equivalente a las pérdidas en el fierro del núcleo real (impedancia magnética disipativa). Φ A cada bobina ideal se puede asociar una fuerza magnetomotriz, relacionada con el µ ∞ flujo abrazado por esa bobina mediante una i1 RFe v σ 0 N impedancia magnética: v1

N

F = ZmΦ

im N

L

Figura 2.3.1. Circuito electromagnético de un electroimán con núcleo de fierro.

(2.3.5)

Al reemplazar la fuerza magnetomotriz en términos de la corriente, F = NI , y el flujo en términos de la tensión inducida por él en la bobina, V = jωNΦ , se logra una relación entre la impedancia magnética y la impedancia “eléctrica” , Z = V / I , conectada a los terminales de la bobina ideal:

2-31

capítulo 2 : reactor

Zm =

jωN 2 Z

(2.3.6)

En términos de las variables flujo y fuerza magnetomotriz y del parámetro impedancia electromagnética el dispositivo original puede ser reducido al circuito electromagnético de la figura 2.3.2. Φ En el caso más general, un circuito electromagnético está constituido por combinaciones en serie y en paralelo de impedancias electromagnéticas, que pueden Zm1 F1 ser reducidas a impedancias equivalentes. Φ Para encontrar la expresión correspondiente a F una combinación serie de dos impedancias electromagnéticas (figura 2.3.3) debe Zm2 F2 considerarse que el flujo es común a los dos elementos y que la fuerza magnetomotriz equivalente es igual a la suma de las fuerzas magnetomotrices correspondientes a cada elemento: Figura 2.3.2. Circuito electromagnético serie F= F +F (2.3.7) 1

2

Expresando las fuerzas magnetomotrices de los elementos en términos de las correspondientes impedancias electromagnéticas y del flujo común se obtiene:  1 1 F = jωN 2  + ⋅ Φ  Z1 Z2 

(2.3.8) Φ

F1

N

Z1

Φ

⇔ F2

N

F

N

Z1

Z2

Figura 2.3.3.Reducción de dos impedancias magnéticas en serie

Z2

2-32

capítulo 2 : reactor

Se aprecia que la impedancia magnética equivalente  Z + Z2  Z m = j ωN 2  1   Z1 ⋅ Z2 

(2.3.9)

está formada por una bobina ideal de N vueltas a cuyos terminales está conectada una impedancia que corresponde a la conexión en paralelo de las impedancias asociadas a cada elemento. Φ Φ1

F

N

Φ2

Z1

N

Φ Z2

⇔

F

Z1

N

Z2

Figura 2.3.4.Reducción de dos impedancias magnéticas en paralelo. Para encontrar la impedancia magnética equivalente de una combinación en paralelo de dos elementos (figura 2.3.4) debe considerarse que ahora la fuerza magnetomotriz es común a ambos elementos, mientras que el flujo resultante es igual a la suma de los flujos por cada elemento: Φ = Φ1 + Φ 2

(2.3.10)

Reemplazando el flujo a través de cada elemento en términos de la fuerza magnetomotriz común y de las correspondientes impedancias magnéticas se obtiene: Φ=

Z1 + Z 2 ⋅F jωN 2

(2.3.11)

de lo que se desprende que la impedancia magnética equivalente vale en este caso: Z m = j ωN 2

1 . Z1 + Z 2

(2.3.12)

Está formada por una bobina de N vueltas a cuyos terminales está conectada una impedancia equivalente a la conexión serie de las impedancias correspondientes a cada elemento.

2-33

capítulo 2 : reactor

Topológicamente las impedancias magnéticas y eléctricas se comportan como elementos duales. Los conceptos hasta aquí desarrollados son suficientes para la obtención sistemática de los circuitos equivalentes de aparatos electromagnéticos. 2.3.2 Circuito equivalente del reactor El procedimiento general para la obtención del circuito equivalente consiste en: •

La fijación de la topología del circuito magnético ideal que incluya a todos los flujos que se quiera representar.

•

Φ

Φm

I

La inclusión, en los lugares que corresponda, de las impedancias magnéticas correspondientes a los efectos físicos que se desee representar.

R

N

Φσ

• La reducción del circuito electromagnético resultante, mediante combinaciones en serie o en paralelo Figura 2.3.5. Circuito magnético ideal del de impedancias magnéticas, reactor con dispersión. manteniendo la identidad de los terminales externos. Φm

Φ Φσ

I R

N

N

N

RFe

N

Lm

Lσ

Figura 2.3.6 Circuito electromagnético del reactor

Para el caso específico del reactor se puede identificar un flujo común, abrazado por la bobina de excitación, que fuera de ella, debido a la permeabilidad finita del fierro del núcleo y a la eventual presencia de un entrehierro, se divide en un flujo por el núcleo y en un flujo por el aire. La correspondiente topología del circuito magnético ideal se muestra en la figura 2.3.5, donde la bobina de excitación real ha sido convenientemente reemplazada por una bobina ideal y una resistencia en serie que representa las pérdidas en el cobre de la bobina real.

2-34

capítulo 2 : reactor

Si ahora se supone en primera aproximación que las pérdidas en el fierro pueden ser asociadas solamente al flujo en el núcleo, se las puede representar mediante la correspondiente impedancia magnética (disipativa) ubicada en esa rama del circuito magnético. Las energías magnéticas asociadas respectivamente a los flujos en el núcleo y en el aire se representan mediante sendas impedancias magnéticas (conservativas) en las correspondientes ramas del circuito magnético. La figura 2.3.6 muestra el circuito electromagnético obtenido en la forma descrita. Φ m

I

R

Lσ

N

N

Lσ

Figura 2.3.7 Reducción del circuito electromagnético

R Fe

Los pasos siguientes son puramente rutinarios y consisten en la reducción de las dos impedancias en serie a una impedancia equivalente y de las dos impedancias en paralelo a otra impedancia equivalente (figura 2.3.7) y luego en la reducción de las dos impedancias en serie, resultantes de la operación anterior, a una sola impedancia equivalente (figura 2.3.8).

El resultado final de estas operaciones es una red eléctrica conectada en paralelo con un reactor ideal. Este último equivale a un circuito abierto, ya que no absorbe corriente (H=0), y por lo tanto puede ser ignorado. Toda la información relevante respecto al reactor está contenida en la red eléctrica. Ella constituye el circuito equivalente del reactor. Cada elemento representa un fenómeno físico de éste que ha sido considerado en el proceso de modelación. Su impedancia de entrada es igual a la del reactor original, si se asigna los valores adecuados a los cuatro parámetros. Si se intenta determinar los valores de los cuatro parámetros a partir de mediciones de tensión, corriente y potencia en los terminales del reactor se encuentra que estas mediciones sólo permiten determinar dos parámetros: una resistencia equivalente y una inductancia equivalente. No es posible determinar separadamente, por ejemplo, la inductancia de dispersión. Este hecho pone límites prácticos en el momento de formular el modelo de un dispositivo electromagnético, pues un modelo cuyos parámetros no pueden ser verificados empíricamente es de poca utilidad práctica.

2-35

capítulo 2 : reactor

Φm I

R

i=0

Lσ Lm

RFe

circuito equivalente

N

reactor ideal

Figura 2.3.8. Resultado final de la reducción del circuito electromagnético del reactor

2.4

Tensión inducida

En su formulación más general de la ecuación (2.1.1), la ley de Faraday no impone ninguna restricción sobre la forma en que varía el flujo con el tiempo. Sólo establece que cada vez que varíe el flujo enlazado por un circuito cerrado se inducirá una tensión en éste. Ψ T

Ψmax Ψmin

t

Figura 2.4.1 Función periódica de período T Considérese ahora el importante caso particular en el que el flujo es una función periódica del tiempo (figura 2.4.1): ψ (t ) = ψ (t + T )

(2.4.1)

2-36

capítulo 2 : reactor

El valor medio de la tensión inducida por la variación del flujo durante el período T está dado por la expresión Vmed

1 = T

t 1 +T

∫v dt

(2.4.2)

t1

que, al reemplazar v =

dψ y cambiar los límites correspondientemente, toma la forma dt

ψ2

Vmed

1 1 = ∫ dψ = ( ψ (t 1 + T ) − ψ (t 1 )) T ψ1 T

(2.4.3)

donde se puede apreciar que el valor medio de la tensión inducida sólo depende del valor inicial y del valor final del flujo enlazado, siendo independiente de los valores intermedios. Esto implica que sobre un período el valor medio de la tensión inducida es cero. Si ψ (t) es tal que el valor máximo Ψmax y el valor mínimo Ψmin están separados por un semiciclo, el valor medio vale Vmed =

2 ( Ψ − Ψmin ) T max

(2.4.4)

y si adicionalmente Ψmax = −Ψmin = Ψm , la expresión para el valor medio de la tensión inducida se reduce a Vmed =

4Ψm T

(2.4.5)

Si el circuito inducido corresponde a un devanado concentrado, cuyas N vueltas enlazan todas el mismo flujo Φm , entonces Ψm = NΦm y Vmed = 4 f N Φm .

(2.4.6)

La relación entre el valor efectivo V y el valor medio se conoce como factor de forma ξ=

V , Vmed

cuyo valor depende de la forma de onda. Para ondas sinusoidales el factor de forma vale

(2.4.7)

capítulo 2 : reactor

ξ=

π 2 2

= 111 ,

2-37

(2.4.8)

y por lo tanto el valor efectivo de la tensión inducida vale en este caso: V = 4,44 f N Φ m .

(2.4.9)

Esta forma más especializada de la ley de Faraday es el punto de partida para el dimensionamiento de máquinas y dispositivos de corriente alterna.

3. El transformador

3.1

Introducción

La ley de Faraday establece la relación entre la tensión inducida en un circuito y la rapidez de la variación del flujo enlazado por ese circuito, dejando abierto el origen del flujo y de la causa de la variación del flujo. Si el origen del flujo enlazado por un circuito (1) se encuentra en la corriente que circula por otro circuito (2), se dice que esos dos circuitos están acoplados inductivamente. Esta influencia inductiva recíproca se caracteriza mediante la inductancia mutua L12 = L21, parámetro que en conjunto con las inductancias propias de esos circuitos L1 y L2 permite describir el flujo enlazado por cada circuito en términos de las corrientes i1 y i2 en esos circuitos: ψ1 = L1 i1 + L12 i 2 ψ2 = L21 i1 + L2 i 2

(3.1.1)

Los valores de las inductancias mutuas y de las inductancias propias dependen de la geometría de los circuitos y de la permeabilidad del medio. En presencia de materiales ferromagnéticos el valor de la permeabilidad depende del grado de saturación, por lo que las inductancias dejan de ser constantes. Para evitar las dificultades implícitas en el hecho que todas las inductancias sean nolineales se ha buscado formas alternativas para describir el acoplamiento inductivo entre bobinas a través de la definición de esquemas de acoplamiento inductivo basados en flujos ficticios. Debido a la distribución espacial de los circuitos no todo el flujo enlazado por el circuito inductor es también enlazado por el circuito inducido. El acoplamiento magnético es imperfecto y se habla de dispersión inductiva. En la teoría clásica del transformador de dos devanados, cuyo estudio es el objetivo de este capítulo, el acoplamiento inductivo imperfecto se modela definiendo un flujo común a ambos devanados y sendos flujos de dispersión, cada uno acoplado sólo con uno de los devanados. Se supone los flujos de dispersión se cierran principalmente por el aire, por lo que las correspondientes inductancias serán constantes. El circuito magnético ideal así definido se completa para formar el circuito electromagnético a partir del cual se logra en forma rutinaria el circuito equivalente del transformador, de cuyos parámetros inductivos solamente uno depende de la saturación.

3-39

capítulo 3: transformador

Sobre la base de ese modelo se analiza las características de funcionamiento del transformador de dos devanados. 3.2

Dispersión inductiva y esquema de acoplamiento inductivo

Sean dos circuitos de geometría cualquiera, rodeados de un medio de permeabilidad constante µ0 . Los enlaces de flujo de esos circuitos están definidos por la relaciones (3.1.1) y los parámetros L 1 , L 2 y L12 pueden ser determinados mediante mediciones en los terminales de los dos circuitos. La resistencia de los circuitos sea despreciable. Para los circuitos rige respectivamente: v1 =

dψ1 dt

(3.2.1)

v2 =

dψ 2 dt

(3.2.2)

Supóngase ahora que el circuito 2 esté cortocircuitado , es decir, v2 = 0. De acuerdo con (3.2.2) esto implica que el flujo enlazado por el circuito 2 debe permanecer constante, lo que en ausencia de corriente continua significa que debe ser cero. Considerando esto en (3.1.1) se logra la siguiente expresión para el flujo enlazado por el circuito 1 estando el circuito 2 cortocircuitado:  L L  ψ1 = 1 − 12 21  L1 i1 L1 L2  

(3.2.3)

Como ψ2 = 0 , el flujo producido por la corriente i1 en esas condiciones no puede enlazar el devanado 2 y debe cerrarse a través de vías de dispersión. La expresión entre paréntesis se conoce como coeficiente de dispersión total σ = 1−

L12 L21 L1 L2

(3.2.4)

es una medida del grado de acoplamiento inductivo entre los dos circuitos y tiene una estrecha relación con el coeficiente de acoplamiento k de la teoría de redes: σ = 1− k 2

(3.2.5)

capítulo 3: transformador

3-40

σ varía entre 0 para circuitos perfectamente acoplados y 1 para circuitos totalmente desacoplados. El sistema de dos bobinas de geometría indefinida hasta aquí considerado no posee un circuito magnético en el sentido del concepto definido en el capítulo 1. Sin embargo, mediante una conveniente manipulación de las ecuaciones (3.1.1) es posible crear las ficciones flujo común y flujos de dispersión. Para ello las ecuaciones (3.1.1) se reescriben en forma amplificada como sigue: ψ1 = L1 i1 + L12 i 2 + λ1L21 I1 − λ1L2 1 i 1 ψ2 = L2 i 2 + L21 i 1 + λ2 L12 i 2 − λ 2 L12 i 2

(3.2.6)

donde λ1 y λ2 son constantes arbitrarias . Reagrupando los términos de (3.2.6) se logra ψ1 = ( L1 − λ1 L12 ) i 1 + L12 ( λ1 i1 + i 2 ) ψ2 = (L2 − λ2 L12 ) i 2 + L12 ( λ2 i 2 + i1 )

(3.2.7)

donde puede apreciarse que como resultado de la manipulación los enlaces de flujo ψ1 y ψ2 aparecen formados por dos componentes : una debida exclusivamente a la corriente del propio circuito y otra en que participan las corrientes de ambos circuitos. A las componentes ψσ1 = ( L1 − λ1L12 ) i1 = Lσ1 i1 ψσ2 = (L2 − λ 2 L12 ) i 2 = Lσ2 i 2

(3.2.9)

se las denomina enlaces de flujo de dispersión, mientras que a las componentes ψm 1 = L12 ( λ1 i1 + i 2 ) ψm 2 = L12 (λ 2 i 2 + i 1 )

(3.2.10)

se las denomina enlaces de flujo principal. Entre los coeficientes arbitrarios λ1 y λ2 se puede establecer una relación, si se exige que las inductancias de dispersión Lσ1 y Lσ2 definidas en (3.2.9) se anulen cuando el coeficiente de dispersión total σ se hace cero. Reemplazando

capítulo 3: transformador

L1 = λ1L12 + Lσ1

3-41

(3.2.11)

L2 = λ 2 L12 + Lσ 2 en la relación (3.2.4) queda: σ = 1−

λ1λ 2 L212 + Lσ1Lσ2

L212 + L12 ( λ1Lσ1 + λ 2 Lσ2 )

(3.2.12)

de donde se desprende que con Lσ1 = Lσ2 = 0 σ sólo se anula si λ1λ 2 = 1

.

(3.2.13)

El establecimiento de una relación, exigible desde el punto de vista de la física, entre el coeficiente de dispersión total σ , que es una medida del grado de acoplamiento de los circuitos reales, y las inductancias de dispersión ficticias Lσ1 y Lσ2 , que representan el acoplamiento imperfecto en el esquema de acoplamiento inductivo, reduce el número de parámetros arbitrarios a uno solo: λ1 =

1 λ2

(3.2.14)

del que se puede disponer de acuerdo con la ventaja analítica que se busque. Así, por ejemplo, si se hace λ1 = L1 L12 , resulta de (3.2.9) que Lσ1 = 0 , lo que puede ser muy conveniente en algunas ocasiones. En el caso del transformador de potencia, con sus dos devanados de N1 y N2 vueltas Φm respectivamente, estrechamente acoplados a través de un núcleo común de material ferromagnético, la teoría Φ σ1 clásica del transformador de dos devanados dispone del parámetro λ1 postulando el esquema de acoplamiento Φ σ2 inductivo de la figura 3.2.1 con un flujo ficticio Φm , que enlaza todas las N1 vueltas del devanado (1) y todas las N2 vueltas del devanado (2).Es decir, impone Figura 3.2.1 Esquema de coplamiento inductivo Ψm1 = N1 Φ m (3.2.15) Ψm 2 = N 2 Φ m que al reemplazar (3.2.10) y (3.2.14) toma la forma

capítulo 3: transformador

3-42

L12 ( λ1 i1 + i 2 ) = N1 Φ m L12 (

1 i + i ) = N2 Φm λ1 2 1

(3.2.16)

Al multiplicar la primera de estas ecuaciones por N2 y la segunda por N1 y formar la diferencia, queda finalmente N ( N2 λ1 − N1 ) i1 + (N2 − 1 ) i 2 = 0 , (3.2.17) λ1 relación que debe cumplirse para cualquier valor de i1 e i2 , por lo que los coeficientes de i1 y de i2 deben ser nulos, lo que se cumple si λ1 =

N1 N2

.

(3.2.18)

Como se verá, la introducción de un esquema de acoplamiento inductivo permite describir el comportamiento del transformador en forma simple y superar la dificultad asociada a la influencia de la saturación del núcleo sobre las inductancias, pero no autoriza a pensar que los flujos tan arbitrariamente definidos tienen existencia real. Deben ser considerados como ficciones y en cada caso particular hay que averiguar hasta qué punto son identificables con los flujos existentes en el dispositivo que se está modelando. La importancia práctica del esquema de acoplamiento inductivo reside en el hecho que en las principales máquinas eléctricas es efectivamente posible asociar razonablemente los flujos del esquema con flujos existentes en diferentes regiones de la máquina, siendo de ese modo posible determinar los correspondientes parámetros a partir de la geometría de la máquina. 3.3

El transformador de potencia.

La transmisión eficiente de energía eléctrica desde los lugares de generación a los de consumo requiere del uso de diferentes niveles de tensión que se logran mediante transformadores de potencia. El transformador de potencia monofásico consiste, en lo esencial, en un núcleo cerrado de chapas de alta permeabilidad, sobre el cual están dispuestas dos bobinas. La figura 3.3.1 muestra en forma esquemática un dibujo en corte. Para la construcción del núcleo se emplea casi exclusivamente chapas de grano orientado, laminadas en frío, de 0,3mm de espesor, con cifras de pérdidas del orden de 0,3W/kg, con las que se alcanza inducciones de 1,7 a 1,9T.

3-43

capítulo 3: transformador

Núcleo Bobina primaria

Bobina secundaria

Figura 3.3.1.Esquema del transformador técnico de dos devanados La alta permeabilidad del núcleo hace que éste se constituya en camino preferencial para el flujo, por lo que la mayor parte de éste se cierra a través del núcleo, enlazando así a ambos devanados. Pero como la permeabilidad del núcleo no es infinita, también habrá flujo por el aire. Debido a la extensión geométrica de las bobinas, una parte del flujo por el aire también está enlazado con ambas bobinas, pero su efecto es insignificante, comparado con el del flujo en el núcleo. Este hecho autoriza a identificar el flujo en el núcleo con el flujo común Φm definido en el esquema de acoplamiento inductivo. Si bien la parte del flujo por el aire que enlaza a ambos devanados es despreciable en comparación con el flujo por el núcleo, no lo es en absoluto en comparación con la totalidad del flujo por el aire. En consecuencia no es posible identificar el flujo por el aire con el flujo de dispersión del esquema de acoplamiento inductivo. Dispersión magnética y dispersión inductiva son conceptos diferentes. Sólo si se anula el flujo común, lo que de acuerdo con (3.2.10) ocurre si N1i1 + N2 i2 = 0 , el aire estaría ocupado exclusivamente por flujo de dispersión. Esta situación se da aproximadamente en cortocircuito.

3.3.1 Circuito equivalente La definición del esquema de acoplamiento inductivo y la posterior identificación del flujo común de ese esquema con el flujo por el núcleo del transformador de potencia ha convertido la obtención del circuito equivalente del transformador en un ejercicio casi rutinario, si se considera la metodología desarrollada en el capítulo 2.

3-44

capítulo 3: transformador

Φm

Φσ2

V2

V1 Φσ1

N1

N2

Figura 3.3.2.Esquema de acoplamiento inductivo del transformador. En la figura 3.3.2 se reproduce el dibujo en corte del transformador superponiéndole el esquema de acoplamiento inductivo definido en el párrafo anterior. De él se aprecia claramente la topología del circuito magnético ideal de la figura 3.3.3. Φm R1

R2 Φ σ2 N1

Φσ 2 N2

Figura 3.3.3. Circuito magnético ideal del transformador Tal como se hizo en el caso del reactor, las bobinas reales, de N1 y N2 vueltas respectivamente, se reemplazan por bobinas ideales, sin pérdidas, en serie con las cuales se conectan sendas resistencias, cuyo valor es tal que las pérdidas generadas en ellas sean iguales a las pérdidas que se producen en las bobinas reales. Si ahora se incluye la energía magnética asociada a cada campo de dispersión mediante una impedancia magnética conservativa por la cual circula el correspondiente flujo y la energía magnética y las pérdidas en el núcleo mediante sendas impedancias magnéticas, conservativa y disipativa respectivamente, en serie con el flujo común, se logra el circuito electromagnético de la figura 3.3.4

3-45

capítulo 3: transformador

R1

Rfe

Lm

N1

N1

Φm

Φσ1 N1

R2

Φσ2 N2

Lσ2 N2

N1 Lσ1

Figura 3.3.4. Circuito electromagnético del transformador con dispersión y pérdidas. Φm R1

V1

Lσ2

Lσ1 Lm

Rfe

N1

R2

N2

V2

Figura 3.3.5 Reducción del circuito electromagnético.

La reducción de este circuito electromagnético según las reglas vistas en el capítulo 2. lleva al circuito de la figura 3.3.5, donde el transformador real, con dispersión y pérdidas, aparece reemplazado por un transformador ideal, con núcleo de permeabilidad infinita, sin dispersión ni pérdidas, en cuyo primario y secundario están conectados elementos concentrados que representan los efectos ausentes en el transformador ideal. El conjunto formado por el transformador ideal y los circuitos eléctricos en el primario y en el secundario es equivalente al transformador real al que reemplaza. Es costumbre hacer aparecer todas las resistencias e inductancias en un solo circuito acoplado galvánicamente. Para ello basta reemplazar las dos impedancias magnéticas en serie de la figura 3.3.5 por una equivalente, con bobina ideal de N1 vueltas, cuya fuerza magnetomotriz es igual a la suma de las fuerzas magnetomotrices correspondientes a cada una de las impedancias.

3-46

capítulo 3: transformador

     N12 N22  1  2 1 F = F1 + F2 = Φ ( Z m 1 + Z m 2 ) = Φ j ω  +  = Φ j ω N1  + 2  Z 1 N1  Z1 Z 2  Z   2 N22  

(3.3.1)

Se aprecia que la impedancia magnética equivalente posee N1 vueltas, a cuyos terminales está conectada la impedancia Z1 en paralelo con la impedancia modificada N  Z ′2 = Z 2  1   N2 

2

(3.3.2)

conocida como la impedancia del secundario reducida al primario. En el caso específico de la figura 3.3.5, la impedancia vale: 2

 V  N  V′ Z ′2 =  R2 + j X σ 2 + 2   1  = R2′ + j X 2′ + 2 I2   N2  I 2′  donde V2′ =

N1 V N2 2

(3.3.3)

(3.3.4)

se conoce como la tensión secundaria referida al primario y es la tensión inducida por el flujo común en la bobina de N1 vueltas e I′2 =

N2 I N1 2

(3.3.5)

se conoce como la corriente secundaria referida al primario y es la corriente que en la bobina de N1 vueltas produce la misma fuerza magnetomotriz que la corriente I2 en la bobina de N2 vueltas.

El cuociente n=

N1 N2

se conoce como relación de transformación del transformador.

(3.3.6)

3-47

capítulo 3: transformador

Como resultado de la reducción descrita se obtiene el circuito equivalente del transformador referido al primario, representado en la figura 3.3.6, en la que se ha suprimido la bobina ideal, ya que la corriente por ella es nula. I ′2

I1 R1 V1

jωΨ1

Xσ1

X’σ2 jωΨm Xm

Rfe

R’2 jωΨ2′

V2′

Figura 3.3.6. Circuito equivalente galvánico del transformador.

Nótese que en el proceso de reducción de los parámetros del secundario al primario estos se transformaron de manera que la potencia disipada y la potencia reactiva permanezcan invariantes: I 22 R2 = I 2′ 2 R2′

e

I 22 X 2 = I 2′ 2 X 2′

(3.3.7)

El circuito equivalente aquí derivado es el punto de partida para el análisis de las características de funcionamiento del transformador en estado sinusoidal estacionario. 3.3.2 Diagrama fasorial Para el análisis del funcionamiento en estado sinusoidal estacionario se recurre convenientemente a la representación de las variables en el dominio de frecuencias a través de la transformación fasorial. Las variables transformadas admiten una representación gráfica en el plano complejo que se conoce como diagrama fasorial y que representa un modelo matemático equivalente a las ecuaciones de Kirchhoff. La fundamentación teórica del método fasorial fue desarrollada en el curso de redes, por lo que aquí sólo se insistirá en la importante cuestión de los sentidos y polaridades de referencia, sin las cuales un diagrama fasorial queda ambiguo. Tensión y corriente son magnitudes alternas periódicas cuyo sentido cambia con cada semiciclo. Se dice que la tensión o corriente es positiva cuando su sentido coincide con una dirección de referencia establecida arbitrariamente como positiva y que es negativa cuando su sentido es opuesto a la dirección de referencia. Antes de poder establecer una relación coherente entre las variables de un circuito es pues necesario fijar las referencias positivas para la tensión y la corriente en cada elemento, lo que se hace con las flechas de referencia usuales.

3-48

capítulo 3: transformador

Existen dos combinaciones de referencias posibles: • La corriente positiva entra al elemento por el terminal positivo, lo que implica considerar a la potencia absorbida por el elemento como positiva. Se habla de convención carga. • La corriente positiva sale del elemento por el terminal positivo, lo que implica considerar a la potencia entregada por el elemento como positiva. Se habla de convención fuente. Ambos sistemas de referencia son equivalentes y la elección de uno u otro es un asunto de conveniencia. Históricamente la convención carga ha tenido una difusión más amplia y suele ser preferida por ese motivo. Esta preferencia conduce a expresiones como “ en una inductancia la corriente está atrasada respecto a la tensión en 90º “, que sólo tienen sentido si se explicita el sistema de referencia usado y que sin esa información adicional son ambiguas. Para aclarar esto considérese una inductancia con referencias correspondientes a la convención fuente. Cuando la corriente pasa por cero, la energía acumulada en la inductancia también vale cero. Por lo tanto, durante el primer cuarto de ciclo que sigue al paso de la corriente por cero el elemento absorbe energía de la fuente, energía que es transferida al campo magnético. Debido al uso de la convención fuente, la potencia absorbida por el elemento es considerada negativa. Durante el segundo cuarto de ciclo, la energía acumulada en el campo es devuelta a la fuente, lo que implica que en el segundo cuarto de ciclo la potencia es positiva. Si durante el primer semiciclo la i

v

v

i

V ωt

L 0

Figura 3.3.7

π

2π

Relación de fase entre tensión y corriente en una inductancia con convención fuente algebraica.

corriente es positiva, el signo de la potencia exige que durante el primer cuarto de ciclo la tensión tiene que ser negativa y que durante el segundo cuarto de ciclo debe ser positiva. Esta relación es satisfecha por una tensión que corresponde a una cosinusoide negativa, lo que en términos fasoriales significa que la corriente está adelantada a la tensión en 90º. La figura 3.3.7 ilustra la relación descrita.

3-49

capítulo 3: transformador

Del análisis anterior se desprende que es imprescindible la fijación de la referencia positiva para tensión y corriente en cada elemento y si bien esto puede hacerse en forma arbitraria, resulta conveniente usar sistemáticamente el mismo sistema de referencia para todos los elementos del circuito. Con este preámbulo, considérese ahora la construcción del diagrama fasorial del transformador, para lo cual se fija convenientemente las referencias en la forma indicada en la figura 3.3.8. I1

R1

Xσ1 Im

V1

Xm

Xσ2

a

I0

I ′2

R2

Ic′

I fe

Vi RFe

V2′

Z’∠ϕ

Figura 3.3.8. Circuito equivalente con carga referido al primario.

Debido a la gran diferencia entre los módulos de los fasores por representar, sólo tiene sentido construir un diagrama cualitativo, cuya construcción comienza convenientemente en la impedancia de carga conocida, supuesta óhmico-inductiva, y que fija una determinada relación de fase entre tensión y corriente. Para las referencias consideradas, la corriente I′c está atrasada respecto a la tensión V2′ en un ángulo menor que 90º, por lo que la corriente I′2 , cuya referencia es opuesta a la de Ic′ , debe estar adelantada respecto a V2′ en un ángulo mayor que 90º. La caída de tensión en la resistencia R2′ está en fase con la corriente I′2 , mientras que la caída de tensión en la reactancia inductiva X 2′ está adelantada en 90º respecto a esa corriente. Restando estas caídas de tensión fasorialmente de la tensión V2′ se logra la tensión inducida por el flujo común Vi . La corriente magnetizante Im está atrasada en 90º respecto a Vi′ , mientras que la corriente de pérdidas Ife está en fase con Vi . La suma de Im y de Ife da lugar a la corriente de vacío I 0 . La corriente I1 se encuentra aplicando la ley de nodos de Kirchhoff al nodo a del circuito equivalente, es decir, restando fasorialmente I′2 de I 0 . Ahora se puede determinar las caídas de tensión en Xσ1 y en R1 , que sumadas a Vi′ , permiten determinar V1 . El diagrama fasorial del transformador está completo.

3-50

capítulo 3: transformador

V1

I1R1

jI1X σ1 Vi

jI′2 X σ′ 2

I ′2R2′ V2′ ϕ1

I1

ϕ2

I ′2

I0 Im

IFe

I′2 Figura 3.3.9. Diagrama fasorial del transformador con carga óhmica inductiva. La aplicación consecuente de un sistema de referencia a todos elementos y puertas del circuito equivalente hace que el diagrama fasorial sea más transparente . En el caso de aplicar la convención carga, en las puertas que absorben potencia el ángulo de fase entre la tensión y corriente correspondientes es menor que 90º , mientras que en las puertas que entregan potencia el ángulo de fase es mayor que 90º. En el diagrama fasorial de la figura 3.3.9 , dibujado con las referencias de la figura 3.3.8, se aprecia que el transformador, visto desde la red, es una carga, mientras que visto desde la carga es una fuente.

3-51

capítulo 3: transformador

3.3.3 Funcionamiento en vacío Se dice que el transformador funciona en vacío cuando sus terminales primarios están conectados a la red y sus terminales secundarios están abiertos. En esas condiciones la corriente en el devanado secundario es nula y el transformador se comporta como un reactor. El circuito equivalente se reduce al de la figura 3.3.10, para el que rige el diagrama fasorial de la figura 3.3.11. I1

I 2′ = 0

Lσ1

R1

I Fe

Im V1

Lm

RFe

V2′

Figura 3.3.10.Circuito equivalente galvánico en vacío. Para tensiones aplicadas iguales o menores que la tensión nominal el grado de saturación del núcleo es moderado y la corriente de vacío es muy pequeña (< 1% de la corriente nominal para núcleos con chapas de grano orientado ) y reactiva. En consecuencia, en vacío las pérdidas en el devanado primario son también muy pequeñas, por lo que predominan las pérdidas en el fierro. Pérdidas en vacío y pérdidas en el fierro pasan a ser sinónimos. Por lo pequeño de la corriente de vacío, las caídas de tensión en la resistencia y la reactancia de dispersión primaria son muy pequeñas en relación con la tensión aplicada, por lo que rige aproximadamente: V1 4,44 f N1 Φ m N = = 1 =n V20 4,44 f N2 Φ m N2

,

(3.3.8)

donde V20 es la tensión inducida en vacío en el devanado secundario. Esta proporcionalidad se usa para determinar experimentalmente la relación de transformación n.

3.3.4 Funcionamiento en cortocircuito estacionario Se dice que un transformador funciona en cortocircuito cuando los terminales del devanado primario están conectados a la red y los terminales del devanado secundario están cortocircuitados (Zc = 0).

3-52

capítulo 3: transformador

En esas condiciones la corriente absorbida suele ser tan alta, que, en comparación, la corriente en la rama de magnetización puede ser despreciada. El circuito equivalente se reduce al de la figura 3.3.12 para el cual rige el diagrama fasorial de la figura 3.3.13. En cortocircuito con tensión reducida las pérdidas en el fierro disminuyen cuadráticamente con la tensión inducida, por lo que pueden considerarse despreciables en comparación con las pérdidas en los devanados. Pérdidas en cortocircuito es sinónimo de pérdidas en los devanados.

Icc

Xσ

Re

Vcc

Figura 3.3.12. Circuito equivalente del transformador en cortocircuito.

Vcc

Icc ϕcc

Figura 3.3.13. Diagrama fasorial de un transformador en cortocircuito.

Al despreciar la corriente en la rama de magnetización queda: I1 = −I′2

,

(3.3.9)

lo que equivale a i 1 N1 + i 2 N2 = 0 , por lo que, de acuerdo con (3.2.10), el enlace de flujo común se hace cero y el flujo en el aire corresponde en buena aproximación al flujo de dispersión. Este hecho se aprovecha para calcular la reactancia de dispersión total, o de cortocircuito, Xσ , a partir de la geometría de las bobinas.

3-53

capítulo 3: transformador

Los parámetros del circuito equivalente de la figura 3.3.12 X σ = X σ 1 + X σ′ 2

Re = R1 + R2′

y

(3.3.10)

se pueden determinar a partir de mediciones de tensión, corriente y potencia en el transformador cortocircuitado, excitándolo con tensión reducida. Estos parámetros son constantes, por lo que en cortocircuito la relación entre tensión aplicada y corriente es lineal (figura 3.3.14).

Vn

Vcc

In

I cc

Figura 3.3.14 Relación entre tensión y corriente en cortocircuito Se define como corriente nominal a aquella corriente que en régimen estacionario determina un calentamiento del devanado igual al admisible para la clase de aislación usada en la construcción de las bobinas (60ºC). Se define como tensión de cortocircuito a la tensión que hay que aplicar a los terminales de entrada, con los terminales de salida cortocircuitados, para que la corriente de entrada sea igual a la corriente nominal. Vcc = I n Z e

(3.3.11)

con Z e = Re2 + X σ2

(3.3.12)

En la práctica se prefiere entregar la tensión de cortocircuito como fracción de la tensión nominal, o tensión base, del devanado en que fue medida: v cc =

Vcc (pu) Vn

(3.3.14)

capítulo 3: transformador

3-54

Expresada en esa forma, la tensión de cortocircuito relativa es numéricamente igual al valor relativo de la impedancia de cortocircuito: v cc =

I n Ze Z e = = z e (pu) Vn Zb

donde Z b =

Vn In

(3.3.15)

(3.3.16)

es la impedancia base del transformador. Se define como corriente de cortocircuito nominal a la que circula por los terminales de entrada, estando los terminales de salida cortocircuitados, cuando la tensión aplicada es igual a la tensión nominal. I cc =

Vn Ze

(3.3.17)

Expresada en por unidad, es decir, referida a la corriente nominal, o corriente base, la corriente de cortocircuito nominal es igual al valor recíproco de la tensión de cortocircuito en (pu). Icc V 1 1 = n = = (pu) In I n Z e z e v cc

(3.3.18)

Así, un transformador cuya tensión de cortocircuito es de 5%, o 0,05 pu, tiene una corriente de cortocircuito nominal de 20 pu, es decir, de veinte veces la corriente nominal. También existe una relación directa entre las pérdidas en los devanados, o pérdidas en el cobre, y la resistencia equivalente. Expresadas en por unidad, ambas magnitudes son numéricamente iguales: pcu n =

Pcu n Pn

I n2 Re Re = = = re (pu) I n Vn Z b

(3.3.19)

3.3.5 Funcionamiento con carga Transformadores de potencia se operan normalmente en redes de tensión y frecuencia aproximadamente constantes, lo que implica que el flujo en el núcleo

3-55

capítulo 3: transformador

Φ=

V1 4,44 f N1

y, por lo tanto la saturación, también es constante. Como se mencionó anteriormente, la corriente de vacío en esta condición es muy pequeña y puede ser despreciada frente a la corriente de carga, por lo que el circuito equivalente se reduce al de la figura 3.3.15. *

I

Re

*

Xσ

V1′

V2

Figura 3.3.15. Circuito equivalente simplificado para la determinación de la regulación Sobre la base de este circuito equivalente se puede determinar la variación de la tensión en el secundario a plena carga , o carga nominal, en relación con el correspondiente valor en vacío. Esta variación se conoce como la regulación del transformador: ε=

V20 − V2 V20

(3.3.20)

Para obtener una expresión explícita para la regulación en términos del ángulo de fase de la carga y de los parámetros del transformador, considérese el diagrama fasorial correspondiente al circuito equivalente de la figura 3.3.15, representado en la figura 3.3.16. Del diagrama fasorial se tiene que Vϕ = V20 − V2

(3.3.21)

y, de acuerdo con Pitágoras, que V2 = V202 − Vϕ′′ 2 − Vϕ′

.

Reemplazando esta última expresión en (3.3.21) queda:

(3.3.22)

3-56

capítulo 3: transformador

2   Vϕ′′    Vϕ = Vϕ′ + V20 1 − 1 −     V20    

.

(3.3.23)

Vϕ′′ V1′

Vϕ

Vσ

Vϕ′ Vr

V2 V1′ = V20

V2 ϕ

Figura 3.3.16 Diagrama fasorial para la determinación de la regulación. Considerando que normalmente 2

 Vϕ′′    sM) por T=

T = 2TM sM ⋅

1 s

(hipérbola)

(8.6.23)

(8.6.24)

Estas tres relaciones están representadas gráficamente en la figura 8.6.2 con sM =0,2 para el rango 0 ≤ s ≤ 1 en el que la máquina funciona como motor. Para motores normalizados el momento máximo es de 2 a 2,5 veces el momento nominal, por lo que en el rango de funcionamiento normal como motor (0 ≤ T ≤ Tn) la

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Capítulo 8 : máquina asincrónica

aproximación (8.6.23), que reemplaza la curva por una recta, es perfectamente lícita y origina la comparación con la correspondiente característica del motor de corriente continua en conexión shunt. Cuando el rotor de la máquina es impulsado a velocidades superiores a la sincrónica, aplicándole un momento externo (negativo) a su eje, el deslizamiento se hace negativo (8.3.2) y el momento electromagnético cambia de signo (8.6.22). Se invierte el sentido del flujo de potencia (PCG11) y la potencia mecánica se hace negativa (8.6.9), mientras que la potencia del campo giratorio del estator permanece positiva (8.6.6). La máquina pasa a ser un freno de contracorriente. Las potencias mecánica y eléctrica absorbidas por la máquina se convierten en calor en las resistencias del rotor.

Escucho y olvido Veo y recuerdo Hago y comprendo (Proverbio chino)

9. EJERCICIOS Problema 1.1 En el circuito magnético de la figura se emplea chapa silicosa y fierro fundido, cuyas características magnéticas están indicadas en la figura 1.3.3 de los apuntes. chapa silicosa q=4cm2 l=30cm

I

N=300

fierro fundido q=6cm2 l=6cm entrehierro 1mm

a) Determine la corriente continua necesaria para que en el entrehierro de 1mm se establezca un campo cuya inducción sea igual a 0,9T. Determine la inducción en el entrehierro si la corriente que excita el campo vale 10A. Resolución a) Análisis preliminar Se supone que el campo en el circuito magnético es homogéneo y que la dispersión magnética en el entrehierro es despreciable. De esa manera se conoce el flujo en el entrehierro y en las otras secciones del circuito magnético y se puede determinar el valor de la inducción B en cada sección. Entrando con estos valores a la característica de magnetización del material correspondiente, se determina el valor de la intensidad de campo H asociado. Con H conocido se aplica la ley de Ampere al circuito magnético, lo que permite determinar la corriente buscada. Desarrollo 0,9 ⋅ 6 La inducción en la chapa silicosa vale B1 = = 1,35T , valor al que corresponde 4 según la característica H1=0,14.104A/m. En el tramo de fierro fundido la inducción es la misma que en el entrehierro y de la característica se obtiene el valor de la intensidad de campo H2=0,85.104A/m. Para el entrehierro se logra H3=0,9/(4π.10-7)=71,6.104A/m. La fmm resultante vale IN = ∑ Hi li = 10 4 (0,14 ⋅ 0,3 + 0,85 ⋅ 0,06 + 71,6 ⋅ 0,001) = 420 + 510 + 716 = 1646 A i

En consecuencia I=1646/300=5,5A.

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Ejercicios y Problemas

b) Análisis preliminar Como sólo se conoce la fmm total disponible IN=3000A, pero no su distribución entre los diferentes tramos del circuito magnético, es necesario resolver el problema iterativamente: suponer un flujo inicial, calcular la fmm necesaria para el flujo supuesto y compararla con la fmm disponible. La iteración termina cuando la diferencia entre las fmms es menor que una toterancia dada (p.ej.1%). Escriba un programa de acuerdo con el siguiente esquema de iteración: Φ

Bi=Φ/qi Hi ΣHi li

Φ=Φ+∆Φ

Φ=Φ-∆Φ

ΣHi li : IN

Φ

Problema 1.2 Sea el circuito magnético de la figura adjunta, con las dimensiones en cm indicadas en la figura adjunta, sobre cuya columna central está dispuesto un devanado de 736 vueltas. La característica magnética de las 171 chapas de 0,35 mm de espesor que forman el núcleo está dada en la siguiente tabla: Bmax T 1,2 Hef A/cm 1,8

1,3 2,3

1,4 3,8

1,5 7,6

1,6 14,8

1,7 26,0 18

a) Si la rama derecha incluye un entrehierro de 0,1mm, determine los flujos en las diferentes partes del circuito magnético, si la inducción en la rama izquierda es de 1,6T. Determine la corriente magnetizante para las condiciones de saturación del punto anterior. ¿Qué fracción de la fmm se gasta en el entrehierro?

3 3

6

15

Problema 1.3 Sea el dispositivo cilíndrico de la figura adjunta. La bobina diametral montada en el cilindro interior puede pensarse de sección transversal despreciable. La longitud axial es de 6cm. a) Determine la corriente necesaria para establecer en el entrehierro una inducción media de 0,5T, considerando que la permeabilidad sea infinita.

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Ejercicios y Problemas

b) Repita el punto a) considerando que el material es chapa silicosa. Haga aproximaciones razonables. 3cm 0,5mm 10cm

200 vueltas

Problema 2.1 Para filtrar la corriente de salida de un rectificador monofásico de onda completa alimentado desde una red de 50Hz se desea utilizar un reactor procedente de un avión (110V, 400Hz). Se ha medido las pérdidas en el fierro con inducción constante e igual a la nominal, obteniendo: 60W a 400Hz y 4,5W a 50Hz. Determine el valor efectivo que podría alcanzar la componente fundamental de la tensión rectificada, sin que sean sobrepasadas las pérdidas de fierro admisibles. Problema 2.2 Sea un núcleo de permeabilidad infinita provisto de un entrehierro y de dos bobinas caracterizadas por los parámetros R1=R2