Controlli_automatici-Appunti

U NIVERSIT A` DEGLI S TUDI DI F IRENZE Facolt`a di Ingegneria Corso di

C ONTROLLI AUTOMATICI

Appunti del corso di Controlli Automatici

Professore:

A. Tesi

Anno Accademico 2007/2008

Indice

A

Teoria dei Sistemi

1

1 Lezione del 26 Settembre 2006 1.1

1.2

3

Controlli di Sistemi Lineari Stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Segnali trasformabili secondo Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Funzione di Trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1

Sistema Espresso Attraverso funzioni Differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Modello delle equazioni di Stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Risposta impulsiva causale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4

Sistemi MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5

Stabilit`a del sistema LSTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.1

Perturbazioni persistenti (Di ampiezza limitata) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.2

Stabilit`a (LILO) Ingresso limitato-uscita limitata ( o ILUL)

1.5.3

Sistema lineare stazionario per segnali Armonici (teorema della risposta in frequenza) 16

2 Lezione del 3 Ottobre 2006 2.1

2.2

. . . . . . . . . . . . . 14

19

Stabilit`a nei Sistemi Interconnessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1

Serie / Cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.2

Parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.3

Sistemi in retroazione

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Stabilit`a dei Sistemi Interconnessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

ii

Capitolo 0

2.3

2.2.1

Sistemi Interconnessi in Parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.2

Propriet`a della stabilit`a interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.3

Blocchi interconnessi in Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.4

Retroazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Sistemi di controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.1

2.4

Criterio di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Problema dell’inseguimento (asintotico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.1

Problema di reiezione dei disturbi asintotici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.2

Reiezione del disturbo di ingresso e di uscita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.3

Reiezione del disturbo di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4.4

Funzioni di trasferimento di un sistema di retroazione unitaria . . . . . . . . . . . . 40

3 Lezione del 5 Ottobre 2006 3.1

3.2

Problema di inseguimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.1

Costruzione della Tabella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.2

Caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Principio del modello Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Lezione del 10 Ottobre 2006 4.1

4.3

49

Stabilit`a dei Sistemi in Retroazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.1.1

4.2

41

Studio di sistemi a tre ingressi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Definizione della classe dei segnali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2.1

Segnali a banda limitata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.2

Segnali a banda illimitata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Controllori Stabilizzanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

INDICE

5 Lezione del 12 Ottobre 5.1

iii

63

Stabilit`a nei sistemi di controllo con impianto internamente instabile . . . . . . . . . . . . . 63 5.1.1

Caso in cui P (s) ∈ / S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.2

Modo Sistematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.1.3

Eccesso poli-zeri della F.d.T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6 Lezione del 17 Ottobre 2006

71

6.1

Controllori Stabilizzanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2

Problema del pendolo inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 6.2.1

6.3

Equazioni del pendolo Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Pendolo Doppio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7 Lezione 19 Ottobre 2006 7.1

7.2

Sintesi dei Controlli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7.1.1

Il metodo di Sintesi Diretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.1.2

Funzione Canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Utilizzo della carta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8 Lezione del 26 Ottobre 2006 8.1

81

91

Sintesi diretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9 Lezione del 31 Ottobre 2006

97

9.1

Sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

9.2

Classe dell’impianto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9.3

Sintesi diretta a pi`u obbiettivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

10 Lezione del 2 Novembre 2006

107

10.1 Esercizzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

iv

Capitolo 0

10.1.1 Controllori Stabilizzanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 10.1.2 Sintesi diretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 10.2 Sintesi direta con impianto con polo a destra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

B Analisi delle Prestazioni

115

11 Lezione 7 Novembre 2006

117

11.1 Problema delle prestazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 11.1.1 Profilo nella Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 11.2 Funzione di Sensitivit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 11.2.1 Profilo ideale di |L(j ω)| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 11.2.2 Introduzione al teorema di Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 11.2.3 Teorema di Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 11.2.4 Valutazione del margine di fase della funzione

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

11.3 Valutazioni sul profilo della funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 11.3.1 Guadagno ad anello con zero a parte reale maggiore di zero . . . . . . . . . . . . . 126 11.4 Sommario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

12 Lezione 9 Novembre 2006 12.1 Prestazioni in presenza del disturbo

133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

12.1.1 Analizzo lo zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 12.1.2 Analizzo il polo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 12.2 Sistema stabile internamente + inseguimento perfetto al gradino . . . . . . . . . . . . . . . 137

13 Lezione del 14 Novembre 2006

143

13.1 Riassunto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

INDICE

v

13.2 Effetto di poli e zeri a destra sulla risposta in frequenza al disturbo di uscita . . . . . . . . . 148 13.3 Applicazione del Teorema di Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 13.4 Formulazione Generale del Th. di Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

14 Lezione del 16 Novembre 2006

157

14.1 Problema delle Prestazioni

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

15 Lezione 21 Novembre 2006

165

15.1 Problema delle prestazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 15.1.1 Determinazione di P (s) e Π2 (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 15.2 Teorema della stabilit`a robusta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 15.2.1 Applicazione: Problema del pendolo inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

16 Lezione del 23 Novembre 2006

177

16.1 Stabilit`a Robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 16.1.1 Problema delle prestazioni Robuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 16.2 Problema delle Prestazioni Robuste (PPR) + Stabilit`a Robusta (PSR) . . . . . . . . . . . . . 179

17 Lezione del 28 Novembre

185

17.1 Problema delle prestazioni robuste + stabilit`a robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

18 Lezione del 30 Novembre 2006

195

18.1 Sistemi a Dati Campionati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 18.1.1 Problema di interpolazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 18.1.2 Problema del Controllore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 18.2 Scelta del tempo di campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 18.2.1 Scelta del periodo di campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 18.3 Controllore Digitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

vi

Capitolo 0

19 Lezione del 5 Dicembre 2006

207

19.1 Sistemi a dati campionati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 19.1.1 Richiami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 19.2 Metodo di Integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 19.2.1 Tecniche di integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

A Formulario

215

A.1 Regole di tracciamento del luogo delle radici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 A.2 Reti correttive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 A.2.1 Ritardatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 A.2.2 Anticipatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 A.3 Problema dell’inseguimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

B Trasformata di Laplace B.0.1

221

Trasformata di Laplace e risposta impulsiva in sistemi lineari stazionari a dimensione finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

B.1 Carta di Controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Parte A

Teoria dei Sistemi

1 Lezione del 26 Settembre 2006

Introduzione Durante il corso verranno studiati i sistemi di controllo in retroazione ovvero: yo

+ -

C(s)

P (s)

y

H(s) Figura 1.0.1: Esempio di un sistema di controllo

dove P (s) e` la funzione di trasferimento cio`e l’impianto da controllare (es. un motore elettrico). Tale funzione e` tipicamente nota (o assegnata) mentre C(s) e` la FdT del controllore ovvero la parte da progettare in maniera tale che l’uscita del sistema sia piu` prossima possibile all’uscita desiderata [y o (t) ∼ = y (t)], H(s) e` la FdT del sensore cio`e del dispositivo che si trova lungo l’anello di reazione. La difficolt`a maggiore risiede nel fatto che l’impianto sia solo un modello matematico che per quanto complesso presenter`a un certo livello di incertezza. Pu`o perci`o essere necessario che uno stesso impianto presenti pi`u funzioni di trasferimento per descrivere meglio il funzionamento. E` necessario che il controllo funzioni per tutte le FdT dell’impianto

1.1 Controlli di Sistemi Lineari Stazionari Prevalentemente faremo uso di sistemi lineari e stazionari. Solitamente gli ingressi che interessano questi sistemi rimangono nulli fino ad un certo istante per poi assumere una andamento non nullo che pu`o mantenersi tale. Si assume quindi che questa classe di segnali sia trasformabile secondo Laplace.

4

Capitolo 1

sistema lineare stazionario, causale

u (t)

y (t)

Figura 1.1.1: Rappresentazione a Blocchi del Sistema u (t)



t ≥ 0 → u (t) (1.1.1) t 0: |y (t)| ≤ My per t ≥ 0 (2.2.15) |y1 (t)| ≤ My1 per t ≥ 0 tale condizione deve essere rispettata per tutti i segnali interni. Esempio 2.2.9. G1 (s) = Calcolola FdT:

1 s−1

1 + G1 (s)G2 (s) = 1 +

G2 (s) = k k s−1+k = s−1 s−1

1 s−1 = 1 + G1 (s)G2 (s) s−1+k

30

Capitolo 2

s−1 1 G1 · = 1 + G1 · G2 s−1 s−1+k s−1 G2 = k· 1 + G1 · G2 s−1+k G1 · G2 s−1 k · = 1 + G1 · G2 s−1 s−1+k

1 s−1+k k (s − 1) = s − (1 + k) k = s−1+k =

(2.2.16)

Si osserva che tutte le funzioni hanno lo stesso denominatore s − 1 + k , il polo e` −k + 1 quindi la stabilit`a interna e` verificata per k > 1. Invece di guardare tutte le FdT, possiamo ridurci a studiare solo il temine: 1 + G1 (s) · G2 (s) I poli di questa funzione sono gli zeri della FdT del sistema generale. Definizione 2.2.3 (Condizione necessaria ). Tutti gli zeri di 1 + G1 (s)G2 (s) sono tutti a parte ℜ < 0. Tale condizione in questo caso non e` sufficiente per stabilire la stabilit`a del sistema ma e` necessaria, a causa di problemi di cancellazione. Per la stabilit`a interna basta che i singoli sistemi interconnessi di per se siano stabili.

Esempio 2.2.10. G1 (s) =

1 s−a

1 + G1 (s)G2 (s) = 1 +

G2 (s) =

s−a s

1 s−a 1 s+1 · = 1+ = s−a s s s

1 s = 1 + G1 (s)G2 (s) s+1 La FdT Ottenuta ha poli a parte reale minore di zero e` quindi stabile. s 1 1 G1 (s) · G2 (s) = · = 1 + G1 (s)G2 (s) s+1 s s+1 G2 (s) s s−a s−a = · = 1 + G1 (s)G2 (s) s+1 s s+1 G1 s = 1 + G1 (s)G2 (s) s+1

1 − a} |s {z

Pu`o dare problemi

Per la stabilit`a interna devo aggiungere una seconda condizione: Non devono esistere delle cancellazioni polo zero tra G1 (s) e G2 (s) che interessino poli a parte reale maggiore o uguale a zero. La prima condizione deve essere verificata matematicamente. Ottengo la stabilit`a interna solo per valori di a < 0.

Lezione del 3 Ottobre 2006

Riepilogo sulla stabilita` Interna nei sistemi in retroazione • Gli zeri di 1 + G1 (s) · G2 (s) sono tutti a parte ℜ |pi | < 0. 1 + G(s) 6= 0

∀ s : ℜ [s] > 0

• Non ci devono essere cancellazioni fra poli e zeri di G1 (s) e G2 (s) a parte reale maggiore di zero. Eventuali cancellazioni con poli a parte reale minore di zero non interessano il problema della stabilit`a.

2.3 Sistemi di controllo d1 yo

+ -

ui

C(s)

y1 + + u2

y3

H(s)

d0 P (s)

y2 + +

y +

u3

+

dh

Figura 2.3.1: Schema a blocchi di un sistema in retroazione. Funzione di trasferimento • • • •

P (s) Sistema da controllare (impianto). C(s) Controllore. H(s) Sensore che fornisce la misura che vogliamo controllare. dh Disturbo di misura. Quello che misuro non e` mai esattamente l’uscita ma qualcosa di diverso.

Spesso le funzioni P (s) e H(s) sono note, e` quindi necessario progettare C(s). Tutto questo cercando di ottenere che: y (t) ∼ = y o (t) Il sistema deve essere quindi stabile internamente altrimenti risulta essere inutilizzabile. y y1

r di do

y2 Sistema Generale

dh

y3 u1 u2 u3

Il sistema sar`a quindi caratterizzato da 4 × 7 = 28 FdT .

31

32

Capitolo 2

Definizione 2.3.1 (Anello di reazione). Definisco anello di reazione N (s), il denominatore comune a tutte le 28 FdT N (s) = 1 + P (s) C(s) H(s) (2.3.1) La funzione di trasferimento generale risulta essere:   1 , G(s) , P (s) , H(s) , P (s)C(s) , C(s)H(s) , P (s)H(s) , P (s)C(s)H(s) 1 + P (s)C(s)H(s)

(2.3.2)

Per lo studio della stabilit`a la regola generale e` che i poli siano tutti a parte reale minore di zero.

Come semplificare le operazioni Dato che tutte le funzioni di trasferimento hanno lo stesso denominatore a comune e che le radici del denominatore 1 + P (s)C(s)H(s) non sono che i poli delle funzioni di trasferimento ne consegue che e` possibile enunciare una prima condizione equivalente per la definizione della stabilit`a interna. Si pu`o affermare che nel generico sistema in retroazione, si ha stabilit`a interna se e solo se : 1a

Gli zeri di 1 + P (s)C(s)H(s) devono essere a parte reale minore di zero.

Purtroppo questa e` una condizione non sufficiente da sola a garantire la stabilit`a interna del circuito infatti: Esempio 2.3.1.

 1   P (s) =   s−1 s−1 C(s) = k   s   H(s) = 1

Controllore con zero a destra

s−1 1 · = 0 s s−1

⇒

Impianto con polo a destra

k P (s)C(s)H(s) = s   k deve avere tutti gli zeri a parte reale minore la 1a condizione ci dice che 1 + P (s)C(s)H(s) = 1 + s di 0; calcoliamo quindi gli zeri di questa funzione. 1+k

s+k = 0 s

⇒

s = −k

quindi ∀ k ≥ 0 e` verificata la prima condizione. Andiamo ora a vedere cosa succede alle funzioni di trasferimento nel caso si verifichino delle cancellazioni: 1 s P (s) = s−1 = s+k 1 + P (s) C (s) H (s) (s + k) (s − 1) s (s − 1) k C (s) k (s − 1) s = = s+k 1 + P (s) C (s) H (s) (s + k) s

Lezione del 3 Ottobre 2006

33

Nella prima espressione calcolata P (s) presenta un polo in s = 1, tale polo si trova anche in una delle funzioni di trasferimento calcolate, essendo un polo a parte reale maggiore di 0, non si ha stabilit`a interna . Nelle successive espressioni C (s) presenta uno zero in s = 1 che non crea nessun problema. La prima funzione di trasferimento considerata, ci d`a informazioni su come un disturbo influenza l’uscita, infatti nel caso in cui venga fornito un ingresso limitato a causa del polo si ha una uscita divergente. E´ perci`o necessario aggiungere delle condizione per garantire la stabilit`a interna. In primis che non ci siano cancellazioni polo-zero tra poli e zeri a parte reale maggiore uguale di 0.

2a

La funzione P (s)C(s)H(s) e` data dalla moltiplicazione di tre FdT, devo quindi studiare eventuali fenomeni di cancellazione, di poli a parte reale maggiore di zero.

Questa condizioni risulta banale, poich´e solitamente l’impianto P (s) e` assegnato cos`ı come il trasduttore H (s) che dovr`a essere un sistema stabile e dato che il controllore C(s) viene progettato da noi e` opportuno evitare cancellazioni polo zero a parte reale maggiore uguale di 0. Il problema e` quello che nel prodotto di FdT non si verifichino cancellazioni al numeratore. Esempio 2.3.2.

   P (s) =

1 s−1 C(s) = 2   H(s) = 1

2 P (s)C(s)H(s) = s−1   2 s+1 a la 1 condizione ci dice che 1 + P (s)C(s)H(s) = 1 + deve avere tutti gli zeri a parte = s−1 s−1 reale minore di 0, tale funzione presenta uno zero in s = −1 quindi la 1a condizione e` verificata. Andiamo ora a verificare l’altra condizione ovvero quella sulle funzioni di trasferimento. 1 s−1 = ; 1 + P (s)C(s)H(s) s+1 2 (s − 1) C (s) = ; 1 + P (s)C(s)H(s) s+1 C (s) P (s) 2 = ; 1 + P (s)C(s)H(s) s+1 2 (s − 1) C (s) H (s) = ; 1 + P (s)C(s)H(s) s+1

P (s) 1 = ; 1 + P (s)C(s)H(s) s+1 H (s) s−1 = ; 1 + P (s)C(s)H(s) s+1 P (s) H (s) 1 = ; 1 + P (s)C(s)H(s) s+1 C (s) P (s) H (s) 2 = ; 1 + P (s)C(s)H(s) s+1

Si nota subito che tutte le funzioni trasferimento presentano un polo in s = −1. Non essendoci cancellazioni essi coincidono con gli zeri del denominatore di (1 + P (s) C (s) H (s))

34

Capitolo 2

Nota. (1 + P (s) C (s) H (s)) e` un polinomio in s per cui dobbiamo controllare che parte reale hanno i suoi zeri ( quindi si devono calcolare prima gli zeri e poi verificare che siano a parte reale minore di 0). Supponiamo che non siamo presenti cancellazioni ci rimana da verificare la 1a condizione, che risulta essere pari allo studio della stabilit`a di un sistema di controllo in retroazione unitaria. Esempio 2.3.3. P (s) =

1 s−1

s−1 s

C(s) =

P (s)C(s)H(s) = 1 + P (s)C(s)H(s) =

H(s) =

1 s+1

1 s(s + 1)

s2 + s + 1 (s − 1)(s + 1)s + (s − 1) = (s − 1)(s + 1)s s(s + 1)

C(s) 1 s2 + s + 1 = · 1 + P (s)C(s)H(s) s − 1 s(s − 1)

Se e` verificata la seconda condizione, si pu`o semplificare lo studio del sistema: Definizione 2.3.2 (Funzione di anello). Definisco la funzione di trasferimento ad anello come il prodotto dei singoli blocchi che si trovano lungo l’anello: L(s) = P (s)C(s)H(s) La condizione di stabilit`a viene ora descritta, con l’imporre che i poli di 1 + L(s), siano strettamente a parte reale minore di zero. Definizione 2.3.3 (Funzione di trasferimento in retroazione). Definisco funzione di trasferimento in retroazione, e la indico con W (s) la funzione: W (s) =

R

+ -

L(s) 1 + L(s)

L(s)

Y

La condizione di stabilit`a interna e` verificata se tutti i poli di W (s) hanno parte reale minore di 0 in senso stretto. Ma dalla definizione di W (s) si osserva immediatamente che i poli della funzione, W (s) sono gli zeri della funzione di anello L(s). Esistono alcuni strumenti che permetto di studiare la stabilit`a interna della funzione di trasferimento W (s), nel caso in cui rispettata la seconda condizione di stabilit`a e sono: Nyquist, Luogo delle Radici, ecc.. . Facciamo le seguenti Hp: • L(s) razionale fratta, strettamente propria. • ni (L): numero di poli L(s) e parte reale maggiore di zero. • L(D): diagramma di Nyquist esteso di L(s) ( con D percorso di Nyquist, rotazioni in senso orario.)

Lezione del 3 Ottobre 2006

35

2.3.1 Criterio di Nyquist Definizione 2.3.4. Il sistema in retroazione unitaria e` stabile (internamente) se e solo se:  1 + L(jω) 6= 0, ∀ω ≥ 0 ni (L) = NL(D) − 1

∆(s) +

Yo

+ +

L(s)

−

Y

Applicazione del criterio di Nyquist (stabilita` robusta) • Il sistema e` stabile internamente in condizioni nominali (∆(s) = 0). • La perturbazione ∆(s) appartiene alla classe ∆ǫ delle funzioni razionali fratte, proprie , con tutti i poli a parte reale minore di zero e con picco di risonanza Mr (∆) non superiore a ǫ.

Risultato (Teorema del piccolo guadagno) Il sistema perturbato e` stabile internamente ∀ L(s) e ∆ǫ Mr (W ) < 1 ǫ dove Mr (W ) e` il picco di risonanza di: W (s) =

L(s) 1 + L(s)

2.4 Problema dell’inseguimento (asintotico) Il problema dell’inseguimento, consiste nell’individuare delle tecniche di progetto del sistema, in maniera tale che l’uscita segua im maniera fedele l’ingresso. In un primo momento ci limiteremo a trattare lo studio dei sistemi stabili internamente. Analizziamo il caso di yo

H(s)

r

+ -

e

C(s)

+ +

H(s) ideali in cui i disturbi siano nulli di = do = dh = 0. r(t) = h(t) ⊗ y o (t)

d0 P (s)

+ +

y + +

dh

36

Capitolo 2

Nel problema di inseguimento asintotico, lim |y o (t) − y (t)| ≡ 0

(2.4.1)

t→∞

Lemma 2.4.1. Nel problema di inseguimento asintotico, dobbiamo rendere l’uscita vera del nostro sistema identicamente uguale, all’uscita desiderata. Devo quindi trovale la FdT di C(s) tale da ottenere tale condizione. Il progetto si basa sulla sola ricerca del blocco C(s), poich´e i blocchi P (s) e H(s), sono dati come specifica.

2.4.1 Problema di reiezione dei disturbi asintotici Lo studio della reiezione ai disturbi asintotici pu`o essere diviso, nello studio della soluzione di 3 problemi, in relazione al tipo di disturbo. Disturbo sull’ingresso r (t) = d0 (t) = dh (t) = 0 di 6= 0 Noi vogliamo che: di (t) r(t) = 0

+ -

+ +

C(s)

d0 = 0 P (s)

+ +

y (t) +

H(s)

+

dh = 0

Figura 2.4.1: Sistema con solo disturbo in ingresso lim |y o (t) − y (t)| = 0

t→∞

Disturbo sull’uscita r (t) = di (t) = dh (t) = 0 Noi vogliamo che: di (t) = 0 r (t) = 0

+ -

+ +

C(s)

P (s)

d0 6= 0 d0 (t) + +

H(s) Figura 2.4.2: Sistema con solo disturbo sull’uscita lim |y o (t) − y (t)| = 0

t→∞

y (t) + +

dh (t) = 0

Lezione del 3 Ottobre 2006

37

Disturbo di misura dh 6= 0

r (t) = di (t) = do (t) = 0 Noi vogliamo che: di (t) = 0 r (t) = 0

+ -

+ +

C(s)

d0 = 0 + +

P (s)

y (t) +

H(s)

dh (t)

+

Figura 2.4.3: Sistema con solo disturbo sulla misura lim |y o (t) − y (t)| = 0

t→∞

In tutti e tre i casi vogliamo che l’uscita non risenta in nessun modo dei disturbi. Analizziamo la reiezione ai disturbi nei tre casi: yo + -

E

H(s)

V

C(s)

P (s)

y

y Figura 2.4.4: Schema a blocchi equivalente per lo studio del problema di inseguimento. Si osserva che l’uscita y o (t) e` stata riportata sull’ingresso.

V = H · Yo − H · Y = H (Y o − Y ) Il segnale di errore E = Y o − Y , risulta essere: e (t) = y o (t) − y (t) possiamo modificare il sistema considerando il segnale errore E come uscita e Y o − Y come ingresso, ottenendo il seguente schema a blocchi: Y o (s) + -

E(s) P (s)

C(s)

H(s)

Figura 2.4.5: Schema di controllo per lo studio del problema dell’inseguimento. L’obbiettivo che devo ottenere e` quello di rendere lim |y o (t) − y (t)| = e (t). t→∞

Corollario 2.4.2. Tutti i problemi di inseguimento e reiezione dei disturbi, possono essere studiati allo stesso modo.

38

Capitolo 2

Il problema dell’inseguimento asintotico lo si pu`o riformulare come in figura 2.4.5, dove l’errore asintotico rappresenta l’uscita del sistema. lim |e (t)| = 0 (2.4.2) t→∞

Nota. Questo ragionamento pu`o essere applicato anche ai sistemi con disturbo in uscita o disturbo sulla misura.

2.4.2 Reiezione del disturbo di ingresso e di uscita Nel problema della reiezione del disturbo di ingresso, l’uscita deve andare a zero qualunque sia il tipo di disturbo in ingresso al sistema. di

+ -

y

P (s)

C(s)

H(s)

Figura 2.4.6: Rappresentazione equivalente del sistema di controllo per lo studio del disturbo di ingresso all’impianto. lim y (t) = 0

t→∞

P (s) Y (s) = Di (s) 1 + H(s)C(s)P (s) Analogamente per il disturbo sull’uscita potremo scrivere: + do P (s)

C(s)

(2.4.3)

y (t) H(s)

Figura 2.4.7: Rappresentazione equivalente del sistema di controllo per lo studio del disturbo sull’uscita all’impianto. 1 Y (s) = Do (s) 1 + H(s)C(s)P (s)

(2.4.4)

Lo schema in figura 2.4.7 e` identico al modello 2.4.5. Questo vuol dire che se il mio sistema e` in grado di inseguire un segnale y o , allora lo stesso sistema e` in grado di reiettare un disturbo con forma identica a quella di y o . Esempio 2.4.3. Problema dell’inseguimento di un gradino unitario y o (t). Se un sistema di controllo ha e (t) = 0 , vuol dire che l’uscita vera, dopo il transitorio, converger`a a y o (t). Se il disturbo sull’uscita e` un gradino, allora il sistema sar`a in grado di reiettare tale tipo di disturbo.

Lezione del 3 Ottobre 2006

39

2.4.3 Reiezione del disturbo di misura Lo schema coincide con quello del problema dell’inseguimento. Dato il disturbo di misura dh 6= 0 dobbiamo trovare il controllore che rende y (t) = 0 per t → ∞ r (t) = 0

+

dh (t)

-

H(s)

+

+

C(s)

P (s)

y (t)

Figura 2.4.8: Sistema di controllo per lo studio del disturbo in ingresso al sensore. Y (s) = − H(s)C(s)P (s) (Dh (s) + Y (s)) = Y (1 + H(s)C(s)P (s)) = − H(s)C(s)P (s)Dh (s) = Y (s) H(s)C(s)P (s) − =− Dh (s) 1 + H(s)C(s)P (s)

(2.4.5)

Se cambio il segno sul nodo di reazione ottengo il nuovo sistema dh

-

H(s)

-

C(s)

P (s)

y (t)

y Figura 2.4.9: Rappresentazione equivalente del sistema di controllo per lo studio del disturbo in ingresso al sensore. H(s)C(s)P (s) Y (s) = Dh (s) 1 + H(s)C(s)P (s)

(2.4.6)

Diversamente cambiando il segno del segnale in ingresso ottengo il nuovo sistema dove: dh

−1

+ −

H(s)

C(s)

P (s)

y (t)

Figura 2.4.10: Rappresentazione equivalente del sistema di controllo per lo studio del disturbo in ingresso al sensore. Y (s) H(s)C(s)P (s) = −Dh (s) 1 + H(s)C(s)P (s)

(2.4.7)

per l’equivalenza posso scrivere la FdT nel seguente modo: H(s)C(s)P (s) Y (s) = − Dh (s) 1 + H(s)C(s)P (s) Posso semplificare ulteriormente gli schemi.

(2.4.8)

40

Capitolo 2

2.4.4 Funzioni di trasferimento di un sistema di retroazione unitaria 1. Inseguimento y o (t)

1 1 + C(s)P (s)H(s)

e (t) (2.4.9)

2. Errore di misura dh (t)

−C(s)P (s)H(s) 1 + C(s)P (s)H(s)

y (t) (2.4.10)

3. Disturbo sull’uscita d0 (t)

1 1 + C(s)P (s)H(s)

y (t) (2.4.11)

4. Disturbo in ingresso di (t)

P (s) 1 + C(s)P (s)H(s)

y (t) (2.4.12)

Le caratteristiche comuni delle quattro funzioni di trasferimento sono: 1. Ingresso arbitrario. 2. FdT razionali fratte con poli a parte reale strettamente minore di zero. In generale: G(s) ha poli a parte ℜ < 0 purch´e siamo nell’ipotesi di sistema stabile internamente. Problema 2.4.4. Quale ulteriore condizione deve soddisfare G(s) affinch´e il sistema si comporti come desiderato? Ovviamente queste condizioni dipendono dallo specifico segnale r (t) che abbiamo in ingresso. Il fatto che G(s) abbia poli a parte reale minore di zero, ci assicura che r (t) e` una eccitazione di durata limitata e che dopo il transitorio, l’uscita andr`a a zero. Osservazioni. Non e` detto che r (t) sia di durata limitata nel tempo.

3 Lezione del 5 Ottobre 2006

3.1 Problema di inseguimento di yo

H(s)

r

+ -

e

C(s)

+ +

d0 P (s)

+ +

H(s) Iniziamo a definire la prima ipotesi di analisi, cio`e che il sistema e` internamente stabile: 1. Condizione di Inseguimento. di = do = dh = 0 lim |y o (t) − y (t)| = 0

t→∞

2. Condizione di reiezione del disturbo in ingresso. do = dh = 0 lim |y (t)| = 0

t→∞

3. Condizione di reiezione del disturbo sull’uscita. di = dh = 0 lim |y (t)| = 0

t→∞

4. Condizione di reiezione del disturbo sul trasduttore do = di = 0 lim |y (t)| = 0

t→∞

y + +

dh

42

Capitolo 3

I quattro segnali di ingresso al sistema (Y o , Di , Do , Dh ) influenzeranno quello che viene definito come errore di controllo, cio`e la differenza tra l’uscita desiderata (Y o ) e l’uscita reala (Y ). Si nota subito che le 4 funzioni di trasferimento, non sono altro che 4 delle possibili funzioni di trasferimento dell’anello con lo stesso denominatore. Posso quindi sintetizzare i 4 problemi imponendo: lim |e (t)| = 0

t→∞

Dove E (s) e` riferita ad una variabile di errore mentre il generico l’ingresso R (s) e` riferito alla presenza di uno solo dei quattro possibili r (t) segnali di ingresso.

Figura 3.1.1: trasferimento

3.1.1 Costruzione della Tabella Problema

G(s)

r (t)

e (t)

Inseguimento

1 1 + L(s)

y o (t)

y o (t) − y (t)

P (s) 1 + L(s)

di (t)

−y (t)

1 1 + L(s)

do (t)

y (t)

dh (t)

y (t)

e (t)

G(s)

funzione di

Reiezione del disturbo di (t) Reiezione del disturbo do (t) Reiezione −

del disturbo

L(s) 1 + L(s)

dh (t)

Tabella 3.1: Tabella riassuntiva delle funzioni di trasferimento di un sistema in retroazione unitaria Faccio la seguente osservazione: Osservazioni. Assegnato r (t), quando e` che G(s) rispetta le mie specifiche? Pongo delle ipotesi: 1. Parto sempre dall’ipotesi che G(s) abbia tutti i poli a parte reali minore di zero (hp di sistema stabile internamente). 2. r (t) ha Trasformata di Laplace razionale fratta del tipo: R(s) = • Q− (s) Poli a parte reale minore di zero

T (s) Q+ (s) Q− (s)

(3.1.1)

Lezione del 5 Ottobre 2006

43

• Q+ (s) Poli a parte reale maggiore di zero 3. Pongo E(s) = G(s) · R(s) da cui ricavo la condizione:

0 = lim |e (t)| = lim L −1 [E(s)] t→∞

t→∞

G(s) =

B(s) A(s)

da cui ricavo la funzione razionale fratta: E(s) =

T (s) B(s) · A(s) Q+ (s)Q− (s)

Da cui lim |e (t)| = 0 e` vera se e solo se E(s) ha poli a parte reale minore di zero. t→∞

Analizziamo adesso i tre gruppi di radici, ricavati della funzione razionale fratta E(s): A(s) I poli della funzione G(s) sono a parte reale minore di zero; per l’ipotesi iniziale di sistema internamente stabile. Q− (s) Sono poli a parte reale minore di zero per la loro definizione. Q+ (s) In questo caso devo verificare che i coefficienti dell’antitrasformata siano identicamente nulli, tale condizione si verifica quando B(s) ≡ Q+ (s)   Lemma 3.1.1. Ne ricaviamo il seguente risultato lim |e (t)| = 0 =⇒ I poli ℜ pR(s) ≥ 0 sono uguali ai t→∞

zeri della funzione di trasferimento G(s).

Esempio 3.1.2.

1 1 + L(s) 1 Y o (s) = s 1 1 E(s) = · 1 + L(s) s G(s) =

Ma il polo s = 0 mi da fastidio per la stabilit`a interna del sistema. (Vedi Prima Lezione) G(s) dovr`a avere uno zero perfettamente in questo polo. L(s) = C(s) P (s) H(s) Agisco quindi sul blocco controllore C(s) E(s) =

ma A(s) e` il numeratore di E(s)

A(s) 1 1 1 = · B(s) s A(s) + B(s) s 1+ A(s) lim |y o (t) − y (t)| = 0

t→∞ ′

Da cui A(s) = A (s) · s, devo cancellare il polo nell’origine. Corollario 3.1.3. Per avere inseguimento asintotico del gradino devo avere almeno un polo s = 0.

44

Capitolo 3

3.1.2 Caso generale Y o (s) =

 L −1 Y o (s) ·

P (s) Q+ (s) Q− (s)

 1 =0 1 + L (s)

lim |y o (t) − y (t)| = 0 ⇐⇒ L(s) = C(s) P (s) H(s)

t→∞

La funzione L(s) ha i poli a parte reale ≥ 0 di Y o (s), con almeno la stessa molteplicit`a. yo

+ -

C(s)

P (s)

y

H(s) Figura 3.1.2: Schema a blocchi del sistema per lo studio del problema di inseguimento. Schema generale per lo studio del problema di inseguimento asintotico lim |y o (t) − y (t)| = 0

t→∞

E(s) = Y o (s)

P (s) 1 1 = · 1 + L(s) Q− (s) Q+ (s) 1 + L(s)

Sostituendo alla L (s) la forma B (s) /A (s) ottengo: A(s) P (s) · A(s) + B(s) Q− (s) Q+ (s) L(s) =

P (s) Q− (s) Q+ (s)

+ -

L(s) =

1 ′ L (s) Q+ (s)

1 ′ L (s) Q+ (s)

y

Figura 3.1.3: Schema a blocchi del sistema per lo studio del problema di inseguimento. Rappresentazione del sistema attraverso la funzione di trasferimento ad anello aperto. • Il guadagno ad anello deve avere la stessa parte instabile del segnale che deve essere fedelmente inseguito (‘principio del modello interno’). • Se il segnale da inseguire ha delle dinamiche instabili esse devono essere generate internamente dal sistema di controllo. Nota. Il problema dell’inseguimento e` molto complesso perch´e per poter seguire fedelmente i segnali in ingresso, questi deve essere conosciuti perfettamente, poich´e la loro parte instabile, che diverge nel tempo, deve essere rigenerata internamente.

Lezione del 5 Ottobre 2006

45

3.2 Principio del modello Interno Se si deve inseguire fedelmente il segnale con dinamiche instabili, queste dinamiche devono essere generate internamente dal sistema di controllo. (Il sistema deve essere in grado di generare internamente la parte instabile). Se non conosco il segnale da seguire non riesco a cancellare le dinamiche dell’ingresso, non ho quindi l’annullamento degli effetti per t → ∞. ′

lim |e (t)| = 0 =⇒ G(s) = Q+ (s)G (s)

t→∞

di yo

H(s)

r

+ -

e

+ +

C(s)

d0 P (s)

+ +

H(s)

y + +

dh

Figura 3.2.1: Diagramma a blocchi del sistema di controllo. Se ho inseguimento asintotico perfetto lim |e (t)| = 0, allora e` soddisfatta anche la condizione di uscita t→∞ con disturbo costante. Analizzando la tabella si osserva che il problema di reiezione del disturbo di uscita e il problema di reiezione sull’errore di misura non possono essere soddisfatti entrambi per la stessa tipologia di segnale.

Esempio 3.2.1.

 o  y (t) = t Rampa do (t) = A cos ωt  dh (t) = B cos Ωt per Ω >> ω

(3.2.1)

lim |y o (t) − y (t)| = 0

t→∞

Devo risolvere tre problemi. Utilizzo l’ipotesi di sistema lineare. Risolvo singolarmente tre problemi e sommo le soluzioni. E(s) = Y o (s)

1 L(s) 1 + D0 (s) − Dh (s) 1 + L(s) 1 + L(s) 1 + L(s)

Risolvo il sistema imponendo le condizioni a L(s). Y o (s) = rampa

→

L(s) = 2 poli in s = 0

D0 (s) = A

s2

s + ω2

Imponiamo come condizione che D0 (s) deve avere poli complessi a parte reale nulla, mentre L(s) deve avere poli in s = ±jω s Dh (s) = B 2 s + Ω2

46

Capitolo 3

E(s) =

1 1 1 s L(s) s · + · A(s) 2 − · B(s) 2 2 2 s 1 + L(s) 1 + L(s) s +ω 1 + L(s) s + Ω2

L(s) deve avere zeri in s = ±jΩ. Risolvo il problema ponendo: L(s) =

1 s2 + Ω2 ′ · L (s) s2 s2 + ω 2

con L(s) = C(s)P (s)

di yo

H(s)

r

+ -

e

C(s)

+ +

d0 P (s)

+ +

H(s) Esempio 3.2.2.

      

y o (t) = 0 di (t) = 0 H(s) = 1    do (t) = A cos ωt    dh (t) = B cos Ωt

y + +

dh

(3.2.2)

lim y (t) → y d (t) + y h (t)

t→∞

Contributo del disturbo di uscita per s = jω.   1 1 d y (t) = A cos (ω t) + arg 1 + L(jω) 1 + L(jω)

Contributo del disturbo di misura per s = jΩ   L(jΩ) L(jΩ) h cos (Ω t) + arg y (t) = A − 1 + L(jΩ) 1 + L(jΩ) Per il principio di sovrapposizione degli effetti che regola i sistemi lineari, analizzando i L(j ω) 1 + = 1, quindi, il caso in cui disturbi osservo che y d + y h e` pari a 1 + L(j ω) 1 + L(j ω) ω = Ω, che farebbe tendere entrambe le funzioni di trasferimento a zero, non e` realistico. Teoricamente, quindi tanto pi`u ω ≈ Ω tanto pi`u e difficile annullare l’effetto dei disturbi sull’uscita del mio sistema. Nella pratica per`o, sappiano che le pulsazioni per cui si annulla l’effetto del disturbo sull’uscita s = jω sono localizzate nella banda del nostro sistema, mentre le pulsazione per la quale si ha la discontinuit`a polare dovuta al blocco di misura s = jΩ si trovano al di fuori della banda del nostro sistema, (altrimenti il sensore va sostituito) quindi il sistema pu`o reagire in maniera corretta.

Lezione del 5 Ottobre 2006

47

Nota. Questo e` un problema tecnico ma non pratico perch´e quando vado a fare la misura si assume che il trasduttore sia affidabile e restitusca il valore corretto, non affetto da errore, nella banda di lavoro del nostro sistema, ossia nella banda in cui la grandezza debba essere misurata. La grandezza che normalmente viene misurata e` l’errore sull’uscita che viene re introdotto nella banda.

48

4 Lezione del 10 Ottobre 2006

4.1 Stabilita` dei Sistemi in Retroazione r (t)

G(s)

e (t)

Ripartiamo dalla condizione di sistema internamente stabile: poli a parte reale minore di zero. L [r(t)] =

T (s) Q− (s)Q+ (s)

(4.1.1) ′

lim |e (t)| = 0 ⇔ G(s) = Q+ (s)G (s)

(4.1.2)

t→∞

Sotto le ipotesi di stabilit`a interna si e` visto sotto quali condizioni se assegnati y o (t),d (t) , h (t) si pu`o far do (t) = 0

di (t) y o (t)

+ -

v

C(s)

+ +

P (s)

+ +

y (t) + +

h (t)

si che l’errore e (t) = y o (t) − y (t) tenda a 0 per t → ∞. Si e` fatta un’analisi sulla variabile di controllo (e (t)) per meglio capire come questa sia influenzata da un segnale fisso in particolare si e` analizzato r (t) il caso schematizzato a fianco:

G(s)

e (t)

Ricorda. Quando r (t) e` assegnato ne consegue che r → 0 se i poli di R (s) a parte reale > 0 sono cancellati dagli zeri di G(s) (Principio del Modello Interno). Purtroppo quando si ha un sistema non e` affatto detto che si conosca esattamente i segnali che lo interessano, salvo forse l’uscita desiderata, per questo oggi proveremo ad estendere il ragionamento fatto la scorsa lezione nel caso si abbia non un segnale fisso ma bens`ı una classe di segnali. Andiamo quindi a considerare i tre segnali y o (t), d (t) , h (t) appartenenti alle rispettive classi di segnali Λo , Λd , Λh .

50

Capitolo 4

y o − y (inseguimento)

yo ∈ Λo d ∈ Λd

y (reiezione ai disturbi)

Sistema

.. . u

.. . h ∈ Λh

4.1.1 Studio di sistemi a tre ingressi Andremo quindi a studiare, nell’ipotesi di sistema stabile internamente, come vengono influenzate le uscite se gli ingressi vengono eccitati con opportune classi di segnali. Per studiare il comportamento del sistema ai segnali applico la sovrapposizione degli effetti.

Il nostro obbiettivo e` riuscire a garantire che qualunque sia la classe del segnale che entra nel mio sistema, una determinata variabile di nostro interesse si mantenga sufficientemente piccola. Prendo il segnale r(t), non lo considero pi`u come un segnale fisso determinato in maniera univoca, ma come appartenente ad una classe di segnali con determinate caratteristiche. Il nostro obbiettivo e` quello di studiare l’influenza (effetto) a regime di e (t) ∀ r (t) ∈ Λr

4.2 Definizione della classe dei segnali Classe di Segnali Sinusoidali Definiamo r ∈ Λr , come classe dei segnali di ingresso. Il sistema generale schematizzato alla pagina precedente prevede vari ingressi e molte uscite, ma operando su sistemi lineari e` sempre possibile ricondursi alla condizione pi`u semplice, cio`e un solo ingresso e una sola uscita, nel caso in cui il segnale di ingresso non sia fisso:

Λr = { r (t) = A cos [ωt] , A ∈ [0 ≤ A < 1] , ω ≥ 0 } graficamente questa classe di segnali sinusoidali presenta una ampiezza limitata e una frequenza arbitraria. Questa prima classe di segnali e` una classe molto rappresentativa.

1

Uno dei segnali che appartiene a questa tipologia di classe, e` il segnale a gradino (ω = 0). Supponiamo quindi che r (t) sia di questo tipo, allora: lim |e (t)| ≤ ǫ

t→∞

E(s) = G(s) · R(s);

-1

∀ r (t) ∈ Λr

R(s) = A

ωt

s ; s2 + ω 2

E(s) = G(s) A

s s2 + ω 2

Lezione del 10 Ottobre 2006

51

dove R(s) ha poli immaginari puri in ±jω.


′ lim |e (t)| = 0 ⇒ G (s) = s2 + ω 2 G (s)

t→∞

(4.2.1)

La condizione imposta dalla (4.2.1) deve valere qualunque sia il segnale appartenente alla classe di segnali sinusoidali, ma questa condizione perch´e sia verificata implica che G(s) presenti ∞ zeri al numeratore, cio`e un numero infinito di pulsazioni ωn , se ne deduce che per una classe di segnali sinusoidali non si pu`o chiedere che l’errore sia nullo dato che ∃ soluzione possibile. Ma e` comunque possibile che ∀ r ∈ Λr si imponga lim |e (t)| ≤ ǫ ovvero che l’errore commesso ( o meglio l’uscita ) sia limitata. t→∞

Cerchiamo ora di capire che cosa significa essendo un sistema stabile internamente G (s) ha tutti i poli a parte reale minore di 0, mentre in ingresso come abbiamo detto si hanno solo segnali sinusoidali. e (t) = etr (t) + ereg (t) per t → ∞ e (t) → ∞ E(s) = H(s) +

k+ k− + s − jω s + jω

Dove la funzione H(s), mantiene gli stessi poli della funzione G(s). Antitrasformando la funzione ottengo il seguente risultato.   k− k+ −1 −1 + e (t) = L [H(s)] +L {z } | s − jω s + jω Tende a 0 per t→∞

lim |e (t)| = = A |G(jω)| cos (ωt + arg { G(jω) }) ≤ A |G(jω)|

t→∞

poich´e lim |e (t)| ≤ ǫ devo imporre la condizione che: t→∞

A |G(jω)| ≤ ǫ

∀ A ∈ [0, 1] ∀ ω ≥ 0

essendo A < 1 ottengo la seguente condizione: |G(jω)| ≤

∀ r ∈ Λr

ǫ , A

∀ω ≥ 0

lim |e (t)| ≤ ǫ ⇔ |G(jω)| ≤ ǫ

t→∞

anche questa condizione trova una interpretazione grafica molto esplicativa. Ovvero questa specifica pone un limite superiore al valore massimo del |G(jω)|, anche noto come picco di risonanza: Mr(G) = max |G(jω)| ω>0

t→∞

(4.2.2)

|G(jω)| ǫ

(4.2.3) ω

Possiamo allora scrivere: ∀ r ∈ Λr lim |e (t)| ≤ ǫ ⇔ Mr(G) ≤ ǫ

∀ω≥0

(4.2.4)

Figura 4.2.1: Andamento del modulo di G(jω).

52

Capitolo 4

4.2.1 Segnali a banda limitata I segnali a banda limitata sono segnali sempre sinusoidali, la cui ampiezza dipende dalla pulsazione ω.     1 ,ω≥1 Λr = r (t) = A cos [ωt] , A ∈ 0 ≤ A ≤ 1 + ω2 il segnale smorzato e` pi`u significativo a bassa frequenza, per ω → 0, A(ω) → 1, che ad alta frequenza. Considero quindi segnali limitati in una certa banda. lim |e (t)| < ǫ

∀ r (t) ∈ Λr

t→∞

Le condizioni che devo imporre sono le seguenti:  ∀A 0,

A |G(jω)| < ǫ

1 1 + ω2



∀ω≥0

Considero il max (A) = 1

1

A(jω) 1 b

ωt ω

-1

(a) Andamento dell’ampiezza in funzione della frequenza

(b) Andamento della Funzione nel DT

Figura 4.2.2: Segnali a banda limitata Questo pu`o essere interpretato affermando che il disturbo r presenta una ampiezza molto elevata in bassa frequenza rispetto alle alte frequenze (mentre invece nel caso precedente era distribuito pi`u omogeneamente). Si tratta comunque di un generico segnale sinusoidale simile al caso precedente, infatti ad analizzare per t → ∞ ancora avremo: |e (t)| → |yreg (t)| = |A| |G(jω)| cos (ωt + arg [G(jω)])

(4.2.5)

per cui analogamente al caso precedente scriveremo: ∀ r ∈ Λr

lim |e (t)| ≤ ǫ,

t→∞

∀ω > 0

⇒


|G(jω)| ≤ ǫ 1 + ω 2 ∀ω > 0

(4.2.6)

se consideriamo solo il valore massimo che A pu`o assumere nell’intervallo avremo:
1 |G(jω)| ≤ ǫ → |G(jω)| < ǫ 1 + ω 2 2 1+ω

∀ω ≥ 0

(4.2.7)

Lezione del 10 Ottobre 2006

Graficamente si pu`o disegnale l’interpretazione del modulo dei G(jω), in funzione della pulsazione di ω, notando che tale valore aumenta con la pulsazione. Intuitivamente se abbiamo un disturbo che risulta pi`u ampio (forte) a frequenze basse ( la sua ampiezza massima decrescer`a con la frequenza), ne concerne che il il vincolo che si ha sulla funzione di trasferimento e` pi`u stringente la dove risulta pi`u forte il disturbo per poi andare a decrescere. Andiamo ora a studiare il caso duale a quello appena trattato cio`e la classe dei segnali in cui l’ampiezza e` direttamente proporzionale alla pulsazione ω.

53

|G(jω)|

Zona Proibita ǫ 1

ω

2

Figura 4.2.3: Vincolo sul modulo della G(jω) per cui sono soddisfatte le condizioni di inseguimento asintotico.

4.2.2 Segnali a banda illimitata Definiamo la classe di segnali sinusoidali cos`ı composta: Λr = { r (t) = A cos [ωt] , A [0 ≤ A ≤ A(ω)] , ω ≥ 0 } lim |e (t)| < ǫ,

∀ r (t) ∈ Λr

t→∞

come nei casi precedenti scriveremo: ∀ r ∈ Λr lim |e (t)| ≤ ǫ ∀ω > 0 t→∞

⇒

  ∀ A ∈ 0, 1 + ω 2 , ∀ ω > 0

|A| |G(jω)| ≤ ǫ

(4.2.8)

e (t) → A |G(jω)| cos (ωt + arg [G(jω)])
1 + ω 2 |G(jω)| ≤ ǫ

∀ω ≥ 0

Il modulo della risposta in frequenza della funzione G (s) deve essere basso ad alta frequenza (sistema passa basso). Perci`o questa volta il sistema e` limitato da una curva che decresce al crescere della pulsazione ω, come si osserva graficamente. In questo caso essendo pi`u elevato il contributo del segnale r a pulsazioni elevate diventa di conseguenza pi`u stringente il vincolo sulla G(jω) sempre a pulsazioni elevate.

⇒

|G(jω)| ≤

ǫ ; ∀ω>0 1 + ω2

(4.2.9)

|G(jω)| Zona Proibita ǫ

1

2

ω

Figura 4.2.4: Vincolo sul modulo della G(jω) nel inseguimento asintotico di segnali a banda illimitata.

In generale se la classe del segnale e` del tipo sinusoidale in cui l’ampiezza dipende della pulsazione, per poter garantire che l’uscita (e) risulter`a uniformemente minore di un certo ǫ da noi fissato e` necessario imporre un limite superiore al modulo della risposta in frequenza G (s).

54

Capitolo 4

Esempio Sistema di controllo. Problema di inseguimento pi`u reiezione del disturbo di misura. yoo ∈ Λo = { A cos (ωt)

A ∈ [0, 1] } ω ≥ 0

lim |y o − y (t)| ≤ ǫ

∀ y o (t) ∈ Λo

t→∞

Impongo inoltre la seguente specifica:     ω2 h ∈ Λh = h (t) = B sin (ω t + ψ) , 0 ≤ B ≤ B(ω) = δ 1 + 2 ; ω ≥ 0 ω ¯ Studio l’effetto del disturbo sull’uscita sia: lim |y (t)| ≤ δ

∀ h (t) ∈ Λh

t→∞

(4.2.10)

Porto le mie condizioni sul sistema di controllo: yo

+

yo − y

C(s)

di + u +

y

P (s) + +

h

Figura 4.2.5: Schema a blocchi per lo studio dell’inseguimento asintotico e reiezione del disturbo in ingresso. funzioni di trasferimento: G(s) =

1 1 = L(s) 1 + C(s)P (s)

la condizione e` equivalente a dire:

Trovo quindi la prima condizione:

|G(jω)| ≤ ǫ ∀ ω ≥ 0 1 1 + L(jω) ≤ ǫ ∀ ω ≥ 0 |1 + L(jω)| ≥

1 ǫ

B(ω) = 1 +

∀ω ≥ 0

(4.2.11)

ω2 ω ¯2

Si tratta di studiare la funzione di trasferimento nei due casi possibili: per prima cosa si tratta l’errore di inseguimento. Valutiamo il contributo dell’ingresso y o (t) sull’uscita (y o (t) − y (t)), in questo caso la funzione di trasferimento G(s) la funzione di trasferimento viene calcolata ponendo a 0 gli ingressi dovuti ai disturbi (principio di sovrapposizione degli effetti). Dalla teoria si e` ricavato il vincolo lim |e (t)| ≤ ǫ ∀ r ∈ Λr era verificata se: t→∞


|G(jω)| ≤ ǫ 1 + ω 2 ,

∀ω>0

Lezione del 10 Ottobre 2006

55

B(ω)

2δ b

δ ω

ω ¯

Figura 4.2.6: Andamento in frequenza della funzione B(ω).

G (s) =

1 1 = 1 + C(s)P (s) 1 + L(s)

Il caso in esame con la A(ω) che decresce con la frequenza. La funzione di trasferimento diventa quindi: |G(jω)| ≤

caso

2:

Nel

secondo

caso

andremo

a

δ 1+

ω2 ω ¯2

trattare

il

disturbo

sull’uscita r ≡ h

G(s) = −

L(s) , 1 + L(s)

La condizione ci dice che:

L (jω) 1 + L(jω) |L(jω| |G(jω)| = |1 + L(jω)|

G(jω) = −

L(jω) ≤ 1 + L(jω)

δ 1+

ω2 ω ¯2

che rappresenta la seconda condizione. Per trovare la funzione di trasferimento del mio sistema devo soddisfare le specifiche. Hp:

ω∼ ω → ∞, ǫ → 0, δ → 0] = 0 e [¯ In queste condizioni il sistema non e` risolvibile. 1 ≤ ǫ, ∀ω≥0 |1 + L(jω)| |L(jω)| ≤ δ, ∀ω≥0 Y (jω) = |1 + L(jω)| |X(jω)| ≤ ǫ |Y (jω)| ≤ δ

X(jω) =

del

sistema

G(s)

h.

e = yo − y

56

Capitolo 4

Ho il vincolo che mi impone : X(jω) + Y (jω) = 1

∀ω≥0

Quindi la condizione per ǫ → 0 e δ → 0 non possono essere rispettate, poich´e la somma delle due FdT deve dare 1. Posso quindi concludere che: ∄ δ e ǫ → 0 : X(jω) + Y (jω) = 1

∀ω ≥ 0

Allora il problema e` risolto se sono soddisfatte le due condizioni. Vediamo graficamente che tipo di condizioni abbiamo ottenuto alla fine. Il 1o vincolo definisce una parabola pari a ǫ nell’origine, il secondo vincolo risulta pi`u difficile da disegnare, dipendendo da due parametri (δ, ω): nel caso di un trasduttore ideale avremo δ = 0 e ω = ∞ ovvero non avremmo nessun vincolo. Nel caso δ = 1 avremo una nuova curva che per ω = 0 vale ǫ e che decresce aumentando ω, in questo caso conterebbe solo il secondo vincolo. Generalmente per`o δ e` un errore molto pi`u piccolo, (ad esempio il 10% al segnale misurato) se δ = 0.1 per ω = 0 si avr`a 10ǫ come valore nell’origine mentre per ω = ω ¯ |G (jω)| = 5ǫ, se ne deduce che all’aumentare del valore di ω ¯ si ha un incremento dei limiti. Perci`o in un caso abbastanza realistico, avremo che il vincolo imposto dal problema dell’inseguimento (1o vincolo) domina le basse frequenze ( dato che il sistema di controllo va a considerare un segnale significativo alle basse frequenze), mentre il vincolo del disturbo di misura (2o vincolo) e` forte a frequenze elevate, cio`e si sente ad alta frequenza. Dato che: |G(jω)| =

1 1 = |1 + L(jω)| |1 + C(jω)P (jω)|

il problema del progetto si riduce a scegliere C(jω) (essendo P (jω) assegnato) in modo che la curva si |G(jω)| sia come quella verde nel grafico in alto che rispetta i vincoli imposti . Nel caso in cui δ risulti troppo alta e ω ¯ troppo piccola il problema non e` risolvibile.

Osservazioni. La condizione di reiezione del disturbo di misura non e` vincolante ( posso trascurarla) ω2 poich´e viene attenuata di un fattore 1 + 2 . ω ¯

4.3 Controllori Stabilizzanti Nei sistemi di inseguimento la condizione di reiezione totale dei disturbi di misura non e` fisicamente risolvibile. Andiamo adesso a studiare la classe dei controllori che hanno il compito di stabilizzare il sisteDi D0 yo

+ -

C(s)

+ +

H(s)

P (s)

+ +

y + +

Dh

ma. Assegnato P (s) FdT dell’impianto, verificare se esiste controllore C(s), che stabilizza internamente il sistema.

Lezione del 10 Ottobre 2006

57

Hp: Stabilit`a dell’impianto: La FdT P (s) ∈ S (insieme delle funzioni di trasferimento con tutti i poli a parte reale strettamente minore di 0). Facciamo alcune ipotesi semplificative. • • • •

H (s) = 1 sistema in retroazione unitaria P (s) Razionale fratta strettamente propria. P (s) Con poli a parte reale minore di 0 (asintoticamente stabili). C (s) Razionale fratta strettamente propria.

Nota. Un impianto strettamente proprio avr`a pi`u poli che zeri. Presenter`a quindi un andamento passa basso per fare si che l’impianto non risponda a sollecitazioni con frequenze troppo elevate. Inoltre tale condizioni garantisce la fisica realizzabilit`a dell’impianto. Se sono soddisfatte tali condizioni per P (s) ∈ S, ho una classe di controllori che rendono stabile la P (s). L’insieme dei controllori stabilizzanti sar`a quindi:   Q(s) con , Q(s) ∈ S (4.3.1) C(P ) = C(s) = 1 − P (s)Q(s) Se P (s) e` stabile, la famiglia di controllori C(s) internamente stabile e` della forma: c (s) =

Q(s) 1 − P (s)Q(s)

Tali controllori sono parametrizzati attraverso una opportuna funzione Q(s). Ovviamente C(P ) e` l’insieme dei controllori stabilizzanti, si nota subito che esistono infiniti controllori stabilizzanti per ciascuna funzione di trasferimento di impianto P (s). Vediamo adesso di dimostrare quanto asserito, e` necessario dimostrare che C(s) ha la forma indicata attraverso la funzione di impianto P (s), e la funzione parametrica Q(s) entrambe appartenenti alla classe S, il sistema di controllo risulter`a internamente stabile. Nota. Q(s) pu`o essere nulla, ci`o implica che il sistema P (s) e` internamente stabile. Caso 1:

Il sistema di controllo e` stabile internamente se P (s) ∈ S e: C(s) =

Q(s) 1 − Q(s)P (s)

(4.3.2)

Possiamo quindi verificare che tutte le possibili funzioni di trasferimento abbiano tutti poli a parte reale minore di 0. 1 C(s) P (s) C(s)P (s) ; ; ; 1 + C(s)P (s) 1 + C(s)P (s) 1 + C(s)P (s) 1 + C(s)P (s) Se sostituisco ottengo: 1 ⇒ 1 + C(s)P (s)

1 1 − P (s)Q(s) ⇒ ⇒ Q(s)P (s) 1 − P (s)Q(s) + Q(s)P (s) 1+ 1 − Q(s)P (s) (4.3.3) 1 = 1 − P (s)Q(s) 1 + C(s)P (s)

58

Capitolo 4

Caso 2:

Se il sistema di controllo e` stabile internamente P (s) ⇒ 1 + C(s)P (s)

P (s) P (s) − P 2 (s) Q(s) ⇒ ⇒ Q(s)P (s) 1 − P (s)Q(s) + Q(s)P (s) 1+ 1 − Q(s)P (s) P (s) = P (s) (1 − P (s)Q(s)) ⇒ 1 + C(s)P (s) (4.3.4) 1 = 1 − P (s)Q(s) 1 + C(s)P (s) C(s) = Q(s) 1 + P (s)Q(s)

L’implicazione e` verificata se il sistema e` stabile internamente, ne segue che: C (s) =

Q (s) 1 − P (s) Q (s)

con P (s) ∈ S

Dato che il sistema e` stabile internamente le quattro funzioni di trasferimento sono tutte ∈ S, hanno cio`e tutti i poli a parte reale minore di 0. Si deve quindi dimostrare che: C(s) =

Q(s) , 1 − Q(s)P (s)

con Q(s) ∈ S

(4.3.5)

Dimostro che: C(s) − C(s)P (s)Q(s) = Q(s)

(4.3.6)

Q(s) (1 + C(s)P (s)) = C(s) Q(s) =

(4.3.7)

C(s) 1 + C(s)P (s)

(4.3.8) Ora

dimostro che Q(s) ∈ S. Lemma 4.3.1. Q(s) ∈ S poich´e essa assume forma uguale ad una delle funzioni di trasferimento del sistema, che noi abbiamo supposto internamente stabili. Se Q(s) ∈ S: C(P ) =



Q(s) C (s) = , 1 − P (s)Q(s)

Q(s) ∈ S



(4.3.9)

Ossia ho dimostrato che le quattro funzioni di trasferimento sono lineari (e non pi`u razionali) rispetto a Q(s). Dimostrazione: 1 = 1 − Q(s)P (s) (4.3.10) 1 + C(s)P (s) C(s) = Q(s) 1 + C(s)P (s)

(4.3.11)

P (s) = P (s) − Q(s)P (s)2 C(s) 1 + C(s)P (s)

(4.3.12)

Lezione del 10 Ottobre 2006

P (s)C(s) = P (s)Q(s) 1 + C(s)P (s)

(4.3.13)

Tutte le funzioni di trasferimento sono quindi affini (o lineari ) rispetto a Q(s). Esempio 4.3.2. P (s) =

1 s+1

E´ richiesto di determinare C(s) in modo tale che: Il sistema di controllo sia stabile internamente. • Errore di inseguimento a regime ad un gradino unitario y o (t) = 1 sia nullo.

C(P ) =

      

C(s) =

(s + 1) Q(s) Q(s) = , Q(s) (s + 1) − Q(s) 1− 1 − P (s)

Q(s) ∈ S

y (t)

1

y o (t)

t Figura 4.3.1: Problema di inseguimento asintotico, risposta a regime. lim y o (t) − y (t) = 0

t→∞

Ponendo il disturbo di uscita e il disturbo di misura rispettivamente a 0 otteniamo: 1 = 1 − P (s)Q(s) ⇒ G(s) 1 + C(s)P (s)

r = yo = 1

R(s) =

e = yo − y

G(s)  ′

Q− (s) → { • } Q+ (s) → 0

G(s) = s · G (s), ⇒

G(0) = 0

59

      

60

Capitolo 4

G(0) = 1 − P (0) Q(0) = 1 − Q(0), | {z }

Q(0) = 1

1

Ho caratterizzato tutto il sistema pi`u tutti i controllori. Per le specifiche imposte dal problema, definisco l’insieme dei controllori stabili per cui: Q(s) ∈ S, Caso pi`u semplice e` quindi Q(s) = 1  C(s) = 1 − P (s) =

Q(0) = 1

1 1 + C(s)P (s)



=

s+1 s+1 = s+1−1 s

Osservazioni. Il controllore v`a a cancellare i poli stabili dell’impianto.

Esempio 4.3.3. Supponiamo di avere un impianto cos`ı fatto: P (s) =

10  s (1 + s) 1 + 10

Si osserva subito che P (s) ∈ S, in questo caso l’inseme dei controllori stabilizzanti sar`a il seguente:         Q (s) C(P ) = C (s) = , Q (s) ∈ S 10 Q (s)       1− (1 + s) (1 + 0.1s)

dove Q (s) e` una qualunque funzione di trasferimento ∈ S, supponiamo per`o di voler caratterizzare il sistema facendo in modo che il controllore oltre a stabilizzare internamente il sistema risolva anche un problema di inseguimento alla rampa in ingresso y o (t) = t. y o (t) t

Yo + -

e (t)

C (s)

P (s)

Y

Figura 4.3.2: Problema di inseguimento asintotico. Sistema eccitato con segnale a rampa. Allora i controllori C (s) dovranno garantire oltre alla stabilit`a interna anche che lim y o (t) − y (t) = 0, si t→∞ abbia cio`e un inseguimento perfetto alla rampa di ingresso. Se dovessimo risolvere questo problema con le tecniche viste nel precedenti corsi, adotteremo la sintesi per tentativi. Perch´e si abbia un errore di inseguimento nullo rispetto ad una rampa d’ingresso, lim y o (t) − t→∞

y (t) = 0, occorre che il sistema sia almeno di tipo 2. Il controllore dovr`a avere almeno due poli in s = 0 o meglio il guadagno ad anello L(s) = P (s) C (s) deve presentare almeno due poli in s = 0, ma dato che P (s) non presenta poli in s = 0 (verrebbe violata ∈ S) allora li dovr`a avere per forza C (s). C (s) =

1 ′ C (s) s2

Lezione del 10 Ottobre 2006

61

Dato che conosciamo gi`a l’insieme dei controllori stabilizzanti posso procedere in maniera pi`u rapida. Devo quindi caratterizzare la funzione Q (s) in maniera da garantire il rispetto della condizione di inseguimento (ci`o ci permette di trovare i controllori che cerchiamo). lim y o (t) − y (t) = 0 ⇔ lim e (t) = 0

t→∞

t→∞

Dal punto di vista logico la nostra situazione si pu`o ricondurre al caso schematizzato in seguito: 1 1 + C (s) P (s)

y o (t) = t

e (t) → 0

In questo caso possiamo andare ad applicare il PRINCIPIO DEL MODELLO INTERNO. 1 1 · 2 1 + C (s) P (s) s   1 1 −1 · lim L = 0 t→∞ 1 + C (s) P (s) s2 E (s) =

perch´e ci`o si verifichi la funzione di trasferimento dovr`a avere due zeri in s = 0, ma questa e` una delle quattro funzioni di trasferimento che si sono analizzate e che e` espressa in funzione di Q (s) ed era pari a: 1 = 1 − P (s) Q (s) 1 + C (s) P (s) posso quindi riscrivere la funzione in modo equivalente, infatti: lim y o (t) − y (t) = 0 ⇔ [1 − P (s) Q (s)]

t→∞

[1 − P (s) Q (s)] deve avere due zeri in s = 0, in definitiva vogliamo che la funzione di trasferimento sia: 1 − P (s) Q (s) = s2 F (s) 1 − P (0)Q(0) = 0 Sostituendo nell’espressione di P (s) in s = 0 si riesce a ottenere una 1a condizione su Q (s) : infatti P (0) e` nota e vale 10; allora 1 1 − 10Q(0) = 0 ⇒ Q(0) = 10 Per poter garantire che esistano due zeri in s = 0 e` necessario introdurre una ulteriore condizione, infatti se si ha uno zero doppio nell’origine non solo si annulla la funzione ma anche la sua derivata. ′ d 2 s F (s) = 2sF (s) + s2 F (s) ds

tale funzione calcolata in s = 0 si annulla. ′ ′ P (s) Q (s) − P (s) Q (s)

s=0

= 0

sviluppiamo i calcoli e sostituiamo s = 0

11 10 1 − 10Q′ (0) = 0 1 10

10

⇒

′ d Q (s) ds

s=0

′

= Q (0) =

11 100

62

Capitolo 4

Le due condizioni cos`ı definite ci aiutano ad identificare un inseme pressoch´e infinito di controllori che risolvono i nostri problemi di stabilit`a ed inseguimento, volendo e` anche possibile sceglierne uno che possa risolvere il problema Q (s) ∈ S e perci`o una funzione razionale fratta con poli a parte reale minore di 0. Proviamo a definire una possibile Q (s) ∈ S Q (s) =

′

Q (s) =

as + b (s + 1)

Q(0) = b =

a (s + 1) − (as + b) (s + 1)2 ′

Q (0) =

11 100

⇒

′

1 10

Q (0) = a − a =

1 10

21 100

sostituendo nella nostra espressione si ottiene: Q(s) =

0.21s + 0.1 s+1

che se sostituisco nell’equazione di C (s) ci fornisce il controllore voluto che risolve il problema. Nota. E´ quindi possibile se noto l’insieme dei controllori stabilizzanti , risolvere in maniera analitica il problemi di progettazione del controllore senza ricorrere alla sintesi per tentativi.

5 Lezione del 12 Ottobre

5.1 Stabilita` nei sistemi di controllo con impianto internamente instabile Nel capitolo precedente avevamo analizzato il problema della sintesi del controllore nel caso in cui l’impianto P (s) ∈ S di yo

+ -

C(s)

+ +

d0 P (s)

+ +

y +

H(s)

+

dh

Definiamo con S, l’insieme delle funzioni che hanno tutti i poli a parte reale strettamente minore di 0

e avevamo assunto come ipotese che: P (s) ∈ S C(P ) =



C(s) =

Q(s) , 1 − P (s)Q(s)

(5.1.1) Q(s) ∈ S



(5.1.2)

analizziamo adesso il problema della stabilit`a nel caso in cui P (s) ∈ / S. Nel caso in cui P (s) ∈ / S, ovvero P (s) ha almeno un polo a parte e reale maggiore uguale di zero, dobbiamo studiare come deve essere realizzato il controllore C(s), in maniera tale da garantire la stabilit`a del sistema.

64

Capitolo 5

P ◦ (s) w

z

+ v −

z

C(s)

−

P (s)

−

C o (s)

P (s)

C o (s) −

C(s)

+

C(s) (b) Sistema B

(a) Sistema A

Figura 5.1.1: Rappresentazione a blocchi dei sistemi per lo studio dei controllori stabilizzanti. Studio se i due sistemi A e B, in figura 5.1.1, sono equivalenti. A→ B→

{v = −C ·z} { ω = − C o · z + (− (C z − C o z)) } = = −C o z − C z + −C o z = − C z

(5.1.3)

Da cui e` facile ricavare che per ω = v i due sistemi sono equivalenti. Devo quindi calcolare il valore delle funzione di trasferimento al blocco 1 che indicher`o con P o (s) e del blocco 2 che indicher`o con C(s). P o (s) =

P (s) 1 + C o (s)P (s)

(5.1.4)

C = C(s) − C o (s)

(5.1.5)

Q(s) ;Q ∈ S 1 − P o (s)Q(s)

C(s) =

(5.1.6)

Se P (s) ∈ / S allora: C (P )



Q(s) C(s) = C (s) + 1 − P o (s)Q(s) o



,

Q∈ S

(5.1.7)

Con C o tale da stabilizzare internamente la funzione di trasferimento di impianto P (s). C o (s) : P o (s) =

P (s) , 1 + C o (s) P (s)

P o (s) ∈ S

(5.1.8)

Lezione del 12 Ottobre

65

Corollario 5.1.1. Se P (s) ∈ S allora C o (s) = 0, il sistema e` stabile internamente. Corollario 5.1.2. Se P (s) ∈ / S allora C o (s) 6= 0, devo progettare il controllore C o (s) in maniera appropriata da rendere il sistema stabile internamente.

Allora l’insieme dei controllori stabilizzanti di P o (s) sar`a pari a:  Q (s) o , C (P ) = C (s) = 1 − P o (s) Q (s) dove: C (P ) =



Q (s) ∈ S

Q (s) C (s) = C (s) + , 1 − P o (s) Q (s) o



Q (s) ∈ S

(5.1.9) 

(5.1.10)

Ricorda. Il controllore C o (s) stabilizza internamente il sistema di controllo, mentre P o (s) si ricava ∈ S.

5.1.1 Caso in cui P (s) ∈ / S Cerchiamo adesso di capire cosa succede 1. Determinare un controllore C o (s), tale da stabilizzare internamente il mio impianto P (s). 2. Trovare l’insieme dei controllori stabilizzanti:   P (s) o C(P ) C(s) = C (s) + ; Q(s) ∈ S 1 − P o (s) C(s)

(5.1.11)

, dove P o (s) =

+ −

C(s)

P (s) 1 + C o (s)P (s)

P (s)

(5.1.12)

y

Esempio 5.1.3. Considero il controllore C o (s) = k regolatore proporzionale ed un impianto P (s) =

1 . s

1 + C o (s)P (s) deve avere tutti gli zeri a parte reale minore di zero 1 s+k ; 0

(5.1.13)

66

Capitolo 5

P (s) P (s) = = 1 + C o (s) P (s)

1 s

o

P o (s) =

1 ; s+1

C (P ) =

    

C(s) = 1 +

1 1+ s

=

1 1+s

Q(s) , 1 Q(s) 1− s+1

Q(s) ∈ S

    

Osservazioni. Dall’esempio precedente si osserva come nel caso di impianti P (s) ∈ / S ,l’insieme C(P ) dei controllori stabilizzanti e` un insieme infinito di elementi.

5.1.2 Modo Sistematico y o (t)

+ −

C(s)

P (s)

y (t)

Affrontiamo adesso il problema , di come calcolare il controllore stabilizzante C o (s) per un generico impianto P (s), tramite un metodo generale valido per ogni impianto. Se P (s) ∈ / S allora come identifico il mio controllore C(s)? 1. 1 + C(s)P (s) deve avere poli a parte reale minore di zero. 2.(a) Ogni zero di P (s) a parte reale ≥ 0 deve essere anche zero di L(s), con almeno la stessa molteplicit`a. (b) Ogni polo di P (s) a parte reale ≥ 0 deve essere anche polo di L(s), con almeno la stessa molteplicit`a. Devo cercare la funzione di trasferimenti W (s), che soddisfa queste condizioni e poi ricavare C(s) per inversione. C(s)P (s) W (s) = (5.1.14) 1 + C(s)P (s) W (s) + W (s) C(s) P (s) = C(s) P (s) L(s) = C(s)P (s) = L(s) = C(s) = Riscrivo le condizioni in funzione di W (s):

W (s) 1 − W (s)

W (s) 1 − W (s)

1 W (s) · P (s) 1 − W (s)

(5.1.15) (5.1.16) (5.1.17) (5.1.18)

1. W (s) ha tutti i poli a parte reale < 0 2.(a) Ogni zero di P (s) a parte reale ≥ 0 deve essere anche zero di W (s), con almeno la stessa molteplicit`a.

Lezione del 12 Ottobre

67

(b) Ogni polo di P (s) a parte reale ≥ 0 deve essere anche zero di 1 − W (s), con almeno la stessa molteplicit`a. C(s) =

W (s) 1 P (s) 1 − W (s)

P (s) ∈ / S

(5.1.19)

deve avere il numero degli zeri minore o uguale al numero dei poli. 3. C(s) deve essere fisicamente realizzabile.

5.1.3 Eccesso poli-zeri della F.d.T. Definizione 5.1.1 (Eccesso di funzione di trasferimento). Definisco eccesso di una funzione di trasferimento G(s) e lo indico con E(G), la differenza tra il numero dei poli ed il numero degli zeri di una funzione. E(G) = Npoli − Nzeri

(5.1.20)

L’eccesso di una funzione mi indica quando un sistema e` fisicamente realizzabile. Esempio 5.1.4. C(s) = Il sistema e` fisicamente realizzabile se E(C) ≥ 0

W (s) 1 P (s) 1 − W (s)

Eseminando l’esempio otteniamo:     W 1 E(C) = E +E = −E(P ) + E(W ) − E(1 − W ) ≥ 0 P 1−W

W =

N ; D

E(C) ≥ 0 ⇔ E(W ) ≥ E(P ) + E (1 − W )  gradoN < gradoD E = 0 D−N 1−W = → E (1 − W ) = gradoN ≥ gradoD E ≥ 0 D

(5.1.21)

(5.1.22) (5.1.23) (5.1.24)

Nella pratica non si verifica mai la condizione in cui E(1 − W ) ≥ 0. Da cui, si ricava la seguente ipotesi: E(P ) > 0

→

Esempio 5.1.5.

E(W ) ≥ 0



1s−1 ; P (s) = ss−2

Impongo due vincoli di interpolazione a e b.

Poli { 0, 2 } Zeri { 1 }

W (s) = (s − 1) (a s + b) a e b, servono a rispettare le condizioni di interpolazione. 1 − W (s) = 0

{s = 0, s = 2}

(5.1.25)

68

Capitolo 5

Impongo le condizioni di interpolazione: W (0) = 1 W (2) = 1 W (s) =

(s − 1)(as + b) s+1

E(P ) = 1

E(W ) = 1

−1 b 1 → 2a + b s=2 → 33 L’esponente n di (s + 1)n a denominatore della funzione W (s) e dato dal calcolo dell’eccesso. s=0 →

(s − 1)(as + b) W (s) = (s + 1)3

b = −1, C(s) =

27 = 2a − 1 → a = 14

W (s) 1 P (s) 1 − W (s)

W (s) =

(s − 1)(14s − 1) (s + 1)3

(s − 1)(14s − 1) 1 W (s) s(s − 2) (s + 1)3 C(s) = = = P (s) 1 − W (s) s − 1 (s + 1)3 − (s − 1)(14s − 1) (s − 1)3 s(s − 2)(14s − 1) = (s + 1)3 − (s − 1)(14s − 1) (s2 − 2s)(14s − 1) = 3 = s + 3s2 + 3s + 1 − 14s2 + s + 14s − 1 s(s − 2)(14s − 1) s3 − 11s2 + 18s

(5.1.26)

Attenzione s(s − 2) e` una cancellazione:

(s − 2)(14s − 1) (s − 2)(14s − 1) = 2 s − 11s + 18 (s − 2)(s − 9) C o (s) = C(s) =

14s − 1 s−9

14s − 1 Q(s) + s−9 1 − P o (s)Q(s)

(s − 1) (s − 1)(s − 9) (s − 1)(s − 9) s(s − 2) = = P o (s) = s − 1 14s − 1 s(s − 2)(s − 9) + (s − 1)(14s − 1) −1 + 33s − 25s2 + s3 1+ s(s − 2) s − 9   Q(s) 14s − 1 + Q(s) ∈ S C(P ) = C(s) = s−9 1 − P o (s)Q(s)

Ottengo la stabilit`a per un intervallo di valori molto piccoli.

Lezione del 12 Ottobre

Root Locus 3

2

Imaginary Axis

1

0

−1

−2

−3 −8

−6

−4

−2

0

2

4

Real Axis

Figura 5.1.2: Luogo delle Radici

6

8

10

69

70

6 Lezione del 17 Ottobre 2006

6.1 Controllori Stabilizzanti do (t)

di (t) + -

C(s)

+ +

P (s)

+ +

y (t) +

n

+

C(P ) =



P (s) ∈ / S Q(s) C(s) = C (s) + , Q(s) ∈ S 1 + P (s)Q(s) o



Dove C o (s) stabilizza internamente P (s) ottenendo la funzione di trasferimento: P o (s) =

P (s) 1 + C o (s)P (s)

Il nostro obbiettivo e` quello di trovare un controllore C o (s). + -

Yo

Yo

C o (s)

P (s)

W (s) =

C o (s) =

C o (s)P (s) 1+C o (s)P (s)

1 W (s) P (s) 1 − W (s)

Y

y

(6.1.1)

72

Capitolo 6

1. W (s) deve avere poli a parte reale < 0. 2.(a) Ogni zero di P (s) a parte reale ≥ 0 deve essere anche zero di W (s), con almeno la stessa molteplicit`a. (b) Ogni polo di P (s) a parte reale ≥ 0 deve essere anche zero di 1 − W (s), con almeno la stessa molteplicit`a. 3. E(W ) ≥ E(P ) per la realizzabilit`a fisisca del dispositivo. • • • •

{np1 , . . . , pr } sono o poli di P (s) a parte reale maggiore di 0 (poli instabili). p p mi , . . . , mr molteplicit`a dei poli. { z1 , . . . , zl } sono  zeri di P (s) a parte reale maggiore di 0. miz , . . . , ml z molteplicit`a dei zeri. r X mip sono il numero dei poli di P (s) a parte reale maggiore di zero. • Np = i=1

• Nz =

l X

miz sono il numero degli zeri di P (s) a parte reale maggiore di zero.

i=1

• N = Np + Nz − 1

z

z

W (s) =

(s − zi )mi · · · (s − zl )ml (s + 1)

(6.1.2)

Nel progetto del controllo C (s) per soddisfare la terza condizione, si e` imposto che E (W ) ≥ E (P ), per P il calcolo di E (W ) sappiamo che il numeratore ha grado pari a lj=1 mzj = N z pi`u il grado massimo del
polinomio inserito per soddisfare la 2.(b) che come si vede e` pari a N p−1 , ne segue che il numero degli zeri di W (s) e` pari a :N p + N z − 1 = N . Ma allora per garantire E (W ) ≥ E (P ) il denominatore si e` dovuto imporre che avesse grado minimo N + E per soddisfare la condizione 3 dato che E (P ) = E. z

W (s) =

z

(s − zi )mi · · · (s − zl )ml



αN p −1 sN

p −1

(s + 1)N +E

+ . . . + α1 s + α0



(6.1.3)

dove α0 , α1 , . . . , αN p −1 , sono i parametri ibridi, tali parametri saranno identificati in maniera da soddisfare le condizione 2.b .

• La condizione 2.(b) impone che 1 − W (s) = 0 per s = pi 1 − W (pi ) = 0 • Nel caso in cui il polo della funzione abbia molteplicit`a maggiore di 1 (esempio 2), allora dalla condizione 2.(b) ricavo che 1 − W (s) debba avere un polo doppio in s = pi da cui ottengo:    1 − W (pi ) = 0 d [1 − W (s)] = 0   ds s=pi

(6.1.4)

Lezione del 17 Ottobre 2006

Definizione 6.1.1 (Condizione di interpolazione).  W (p1 ) = 1     h   D W (p1 ) = 0 h = 1, 2, . . . m1p − 1   .. .     W (pr ) = 1     h D W (pr ) = 0 h = 1, 2, . . . mr p − 1 dh D W (p1 ) = W (s) ds s=p1 h

73

(6.1.5)

(6.1.6)

Il numero delle interpolazioni e` pari al numero dei parametri liberi, cio`e N p . Dopo aver trovato l’equazione che caratterizza la mia W (s), applicando il metodo dell’inversione ricavo l’equazione della C(s). Esempio 6.1.1. P (s) =

s+1 s2

Osservo che la mia funzione P (s), ha uno zero a parte reale negativi, quindi e` uno zero stabile,mentre presenta due poli nell’origine, che sono poli instabili; P (s) ∈ / S. p1 = 0;

mp1 = 2

 p Nz = 0 N = 2 N = 1  E(P ) = 1 W (s) =

as + b (s + 1)2

devo determinare i due coefficienti a, b in maniera tale che: ( W (0) = 1 D 1 W (s) s=0 = 0 W (0) =

D W (s)|s=0

b = 1, → b = 1 1

a(s + 1)2 − 2(s + 1)(a s + b) = (s + 1)4 s=0 a − 2b = 0 → a = 2

1 W (s) s2 C o (s) = = P (s) 1 − W (s) s+1

2s + 1 2s + 1 2s + 1 s2 (s + 1)2 = = 2 2s + 1 s + 1 s + 2s + 1 − 2s − 1 s+1 1− (s + 1)2

74

Capitolo 6

Si osserva che il controllore stabilizzante assume la forma di una rete anticipatrice: Co =

1 + τs τ 1+ m s

τ = 2, m = 2

  P (s) = s + 1 k  o C (s) = k

studio la stabilit`a interna del sistema, cos`ı progettato, pongo che i zeri della funzione 1 + C o (s)P (s) siano minori di zero k(s + 1) 1 + C o (s)P (s) = 1 + = s2 + k s + k = 0 k > 0 s2 Quindi la condizioni di stabilit`a e verificata per ogni valore di k > 0.

6.2 Problema del pendolo inverso Supponiamo che il pendolo di massa m pu`o risultare in equilibrio su due posizioni verticali rispetto al punto di incernieratura del suo braccio. Devo determinare il sistema che mi permette, muovendo s di controllare la posizione della sua massa che subisce l’effetto della forza di gravita m g. y m·g

6.2.1 Equazioni del pendolo Inverso

(x, y) L’equazione che descrive il moto della massa si scrive tenendo conto delle forze che vi agiscono sopra: m L θ¨ = mg sin θ − m¨s cos θ

(6.2.1)

L Θ

dove Lθ¨ e` l’accelerazione tangenziale della massa data dalx 0 s la derivata seconda dell’angolo θ. Infatti possiamo pensare al problema del pendolo inverso come al tentativo di tenere in equilibrio la massa m nella sua posizione di equilibrio instabile compensando i movimenti della massa con equivalenti movimenti del punto di cerniera ( che si pu`o pensare di essere su una mano o su un carrello). Sulla massa agisce una componente della forza peso (m g sin θ) che la allontana dall’equilibrio a cui si risponde con un movimento di s applicandovi una forza ( −m¨ s cos θ). Come detto quello che vogliamo e` studiare il comportamento del pendolo nell’intorno delle sue condizioni di equilibrio. Nella condizione iniziale di equilibrio verticale: θ = 0, θ˙ = 0, ¨s = 0, x = s, y = L vediamo adesso cosa varia se inizia a muoversi: ˙ ¨s = 0 + ∆¨s, θ¨ = 0 + ∆θ¨ θ = 0 + ∆θ, θ˙ = 0 + ∆θ, m L∆θ¨ = mg sin ∆θ − m∆¨s cos ∆θ

Lezione del 17 Ottobre 2006

75

y Poich´e vogliamo studiare piccoli spostamenti della condizione di equilibrio lavoreremo nell’ipotesi che ∆θ → 0. Posso approssimare la formula per valori di θ piccoli, ottenendo il modello lineare del sistema. m L ¨s = mg ∆θ − m∆¨s

(x, y)

L b

x

s Figura 6.2.1: Schema grafico delle forze in un pendolo inverso.

Si e` cos`ı ottenuta una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti. E` chiaro che variando l’angolo θ variano anche le posizione (x, y) in particolare:  x = s + L sin ∆θ = s + ∆x y = L + L (cos ∆θ − 1) nel nostro caso se ∆θ → 0 ∆x , L∆θ a questo punto potremo cercare di ricondurci ad un sistema del tipo: u = ¨s

G(s)

y=θ

Se ansiche considerare l’angolo θ o la sua variazione ∆θ si considera la variazione delle coordinate ∆x della posizione di equilibrio dovuta alla spostamento di ∆s devo trovare un legame tra ∆s e ∆x, ma questo legame lo abbiamo gi`a trovato, basta esprimerlo in funzione di ∆x. 1 1 mL ∆¨ x = mg ∆x − m∆¨s L L g ∆¨ x − ∆x = −∆¨s L si e` ricavata l’equazione differenziale che stabilisce il legame tra la variabile ∆x che vogliamo controllare (y) tramite la variabile di controllo ∆s (u). Riscrivendo l’equazione trovata in una forma pi`u generale avremo: g y¨ (t) − y (t) = −¨ u (t) L utilizzando la trasformata di Laplace otteniamo: h g i L y¨ − y = −L [¨ u] L g −s2 Y (s) = −s2 U (s) ⇒ Y (s) = g U (s) L s2 − L Per cui la funzione di trasformazione che lega ∆x e ∆s e` pari a: s2 Y (s) −

L [y] −s2 = g L [u] s2 − L mentre la posizione totale sar`a pari a: x = ∆s + ∆x. ∆x infatti era solo lo spostamento rispetto alla posizione di equilibri, ma se invece si vuole sapere dove si trova effettivamente la massa rispetto al sistema di coordinate fisse e` necessario sommarci ∆s. Cambiando il modello posso andare a studiare il modello, al variare dello spostamento di s e non pi`u al variare dell’accelerazione, cio`e la posizione rispetto al sistema cartesiano.   x = s + Lθ x = s + L sin θ per θ piccoli y = L y = L cos θ G(s) =

76

Capitolo 6

1

s=u

1−

L g

s2

x=y

θ = G(s)¨s → s2 u

L [θ] = s2 G(s)L [u] x = s + Lθ −→ L [x] = L [s] + LL [θ] L [y] = L [u] = L s2 G(s)L [u]

L s2 g L [y] = 1 + L s2 G(s) = 1 + = 2 L [u] g − Ls g − L s2 Ottenendo la funzione di trasferimento per angoli piccoli: G(s) =

1 1 − Lg s2

Siamo cos`ı risaliti alla funzione di trasferimento G (s) dell’impianto da controllare avente in ingresso la variabile di controllo u che rappresenta lo spostamento ∆s rispetto alle condizioni di equilibrio delle massa m e come uscita y la posizione lungo l’asse x della massa m dopo che si e` dato lo spostamento. Questo e` un modello semplificatico lineare e stazionario poich´e e` definito da una funzione di trasferimento in cui massa m e lunghezza del pendolo L si considerano indipendenti dal tempo, stazionario ed inoltre considerando piccoli spostamenti rispetto alla condizione di equilibrio pu`o essere considerato lineare. Andiamo adesso a studiare i poli dell’impianto G (s) che sono: r r g g ; s = − ; s = L L esiste perci`o un polo a parte reale maggiore di 0, ne consegue che G (s) ∈ / S e ci`o era prevedibile trattandosi di una condizione di equilibrio instabile senza controllo. Come riprova calcolo adesso la risposta impulsiva del sistema considerando per ipotesi semplificativa che L/g = 1     1 1 −1 −1 L = L = A1 et + A2 e−t 1 − s2 (s + 1)(s − 1) Dal calcolo dei residui ottengo che A1 = − 12 e A2 =

1 2.

1 1 g(t) = − et + e−t 2 2 si osserva come ipotizzato che il sistema eccitato con una perturbazione limitata in ingresso (spostamento rispetto alla posizione iniziale di equilibrio) per t → ∞ non ritorna alla posizione iniziale ma si ferma su un nuovo valore. Vediamo ora di calcolarci un controllore stabilizzante che sia in grado di osservare la posizione del pendolo e di stabilizzarla. Dato che P (s) ∈ / S in modo da definire l’intera classe dei controllori stabilizzanti di P (s).

C(P ) =



Q(s) C(s) = C (s) + , Q(s) ∈ S 1 + P (s)Q(s) o



Lezione del 17 Ottobre 2006

Supponiamo per semplicit`a che il nostro sistema veno ga posizionato sull’origine degli assi di riferimento y all’inizio, y o = 0 ovvero l’uscita desiderata prevede che la massa si trovi lungo sull’origine dell’asse x.

+ -

C (s)

u

P (s)

77

y

Nota P (s) e` necessario scegliere un controllore tale che la funzione ad anello chiuso risultante presenti due poli a parte reale minore di 0 cio`e stabile. La grandezza u indica come l’uscita del controllore non e` altro che la correzione che si apporta alla posizione di s per equilibrare il movimento di m, mentre y rappresenta la posizione attuale di m , a sua volta legata alla grandezza u dalla relazione: U (s) = −C (s) Y (s) Supponiamo di voler scegliere il controllore pi`u semplice in assoluto ovvero di tipo proporzionale C (s) = K costante , si avr`a allora anche una proporzionalit`a anche antitrasformando. u (t) = −Ky (t) Vediamo se attraverso questa legge di controllo cos`ı semplice si riesce a stabilizzare il sistema. come sappiamo la funzione di trasferimento vale: W (s) =

C (s) P (s) 1 + C (s) P (s)

essendo C (s) = K non si hanno problemi di cancellazioni con P (s) quindi la condizione per avere stabilit`a interna si riduce a garantire che gli zeri di 1 + P (s) C (s) siano tutti a parte reale minore di 0, ovvero che i poli di W (s) siano tutti a parte reale minore di 0, vista l’assenza di cancellazioni. −K Lg g −K −K Lg s2 − Lg L W (s) = = 2 g = g −K Lg s − L − K Lg s2 − (K + 1) 1− 2 g L s −L In questo caso i poli di W (s) sono: s2 = (K + 1)

g L

essi dipendono dal valore assunto da K infatti: r  g   ho sempre un polo a parte reale maggiore di 0 K > −1 p1,2 = ± (K + 1)   L  K = −1 p1,2 = 0 r ho un polo doppio nell’origine   g   K < −1 p1,2 = ± j |K + 1| poli immaginari puri L Quindi in nessun caso si riesce ad ottenere poli a parte reale minore di 0. Si nota subito che i risultati variano con K, avremo:

• per K = 0 si hanno i poli di P (s) = ±

r

g . L

• per K > 0 le radici si allontana dall’asse. • per K < 0 le radici si avvicinano all’asse fino a quando per K = −1 si annullano. • per K = −1 le radici diventano immaginarie pure, si muovono quindi lungo l’asse ℑ [s].

Capitolo 6

78

Potendo scegliere tra i valori possibili dei guadagni si nota che ha un effetto pi`u stabilizzante il caso in cui K < 0, anche se quando i poli si trovano sull’asse immaginario, il sistema tende ad oscillare. Si intuisce che il solo controllore proporzionale non e` sufficiente a stabilizzare il nostro sistema, e` perci`o necessario inserire anche una Rete Anticipatrice.

ℑ [s] K < −1

K>0

−

× r

K 0, m > 1 Figura 6.2.2: Luogo delle radici

L’azione della rete anticipatrice e` tanto pi`u forte quanto m e` grande: per m → ∞ ottengo infatti U (s) = (1 + sτ ) E (s) Se ne deduce che per stabilizzare il sistema non e` sufficiente studiare il singolo spostamento della massa ma e` necessario osservare la velocit`a a cui questa si sposta per regolare la nostra risposta di conseguenza. Allora in controllore che riuscir`a sicuramente a stabilizzare il nostro sistema e` : U (s) = K

1 + sτ τ 1+s m

devo quindi dimensionare opportunamente il parametri del controllore per poter stabilizzare il sistema. Lo schema analizzato nel paragrafo precedente non e` altro un caso particolare in cui m = 1, di cui abbiamo ricavato il luogo della radici. Se per`o si considera il caso in cui m > 1, andremo a modificare questo luogo delle radici.

×

×m

−

τ

bc

1 − τ

−

× r

ℑ [s]

Rispetto al caso precedente essendo m 6= 1 il polo e lo zero della rete anticipatrice non coincidono:

r× g L

g L

× Figura 6.2.3: Luogo delle radici.

z = − ℜ [s]

1 τ

p = −

m τ

La funzione di trasferimento presenta tre poli ed uno zero, quindi E(W ) = 2, questo ci dar`a un asintoto posizionato a sinistra dell’ordinata, infatti la sua posizione e` determinata dal rapporto (somma poli/ somma zeri) e dato che il polo −m ` a sinistra di − τ1 , mentre gli altri due poli τ e si annullano a vicenda, ne consegue che il centro dell’asintoto deve essere reale negativo.

Lezione del 17 Ottobre 2006

79

Quando K <  0 il modulo  risulter`a sufficiente1 m mente grande, avremo quindi un polo reale negativo compreso in − , − e due poli complessi τ τ coniugati con parte reale minore di 0, sull’asse dell’asintoto; il controllore e` risucito a stabilizzare la situazione.

Approccio Sistematico + -

yo

e

u

C o (s)

Esempio 6.2.1. P (s) =

y

P (s)

1 1 − s2

  poli p1 = 1, m1p = 1 → N p = 1   zeri nessuno, → Nz = 0 p z  N = N + N −1 = 0   E=2 W (s) =

a (s + 1)2

dove a: W (s)|s=1 = 1

→ a = 4 W (s) =

4 (s + 1)2

4

1 W (s) (1 − s)(s + 1)4 (1 − s)(1 + s) (s+1)2 C (s) = = = = 4 P (s) 1 − W (s) 1 (1 + s)2 − 4 1 − (s+1)2 o

4(1 − s)(1 + s) 4(1 + s) 4(1 − s)(1 + s) = =− = s2 + 2s − 3 (s − 1)(s + 3) (s + 3) 4 1+s = − 3 1 + 3s

=

Da cui τ = 1 m = 3, k = 4/3. Si e` cos`ı ottenuto un controllore appartenente ad una classe che avevamo gi`a visto nel caso generale.

6.3 Pendolo Doppio Supponiamo di voler complicare la cosa non limitandoci a controllare solo un pendolo inverso, bens`ı un pendolo doppio. L’azione di controllo e` sempre la stessa, come nel caso precedente si tende a linearizzare considerando che: L1 =1 L2

80

Capitolo 6

y

b

x(1) , y (1) b

m2 g

θ 2 m1 g L2

b b

m1 g θ1

L1

x(2) , y (2) m2 g







x b

s Figura 6.3.1: Schema delle forze in gioco nel pendolo doppio m1 =1 m2 g g = =1 L1 L2 θ1 , θ2 piccoli Come detto l’azione di controllo e` sempre la stessa, ovvero lo spostamento di ∆s, invece la variabile da controllare e` lo spostamento di una delle due masse (m1 , m2 ) in funzione di quella che e` presa come riferimento. Intuitivamente risulter`a pi`u facile controllare la massa m1 , tale ipotesi viene avallata dalla funzione di trasferimento che si ottiene, esse saranno rispettivamente pari a: ∆s

P1 (s)

∆ x(1)

2 P1 (s) = 4 s − 4s2 + 2

∆s

P2 (s)

∆ x(2)


2 s2 − 1 P2 (s) = 4 s − 4s2 + 2

Analizzando le due funzioni di trasferimento si osserva che hanno entrambi lo stesso denominatore del 4o ordine , ma la funzione di trasferimento P2 (s) presenta due zeri in pi`u a P1 (s). Analizziamo quindi le singolarit`a: dato che in questo caso non e` possibile realizzare un controllore utilizzando le reti classiche, e` necessario orientarci su un controllore instabile molto pi`u complicato nella realizzazione pratica di quanto la teoria matematica affermi.

ℑ [s] −1 bc q× q× √ √ − 2+ 2− 2− 2

1bc q × √ 2− 2

ℜ [s] q × √ 2+ 2

7 Lezione 19 Ottobre 2006

7.1 Sintesi dei Controlli Si considera il nostro sistema di controllo classico: di yo

+ -

C(s)

+ +

do P (s)

+ +

y + +

dn

Il problema del controllo e` sempre lo stesso, data la funzione di trasferimento di un impianto P (s) da controllare, si deve progettare C (s) in modo tale che Y sia il pi`u vicino possibile all’uscita desiderata Y o (s) Da corso di fondamenti di automatica avevamo studiato un metodo di risoluzione per tentativi utilizzando reti correttrici : • Regolatori standard: K, I, D • Reti correttrici. Il metodo era detto per tentativi poich´e in base alle specifiche di controllo del sistema si ottenevano dei parametri equivalenti in base a cui si progettavano le reti correttrici, una volta terminato si verificava se le specifiche iniziali erano state assolte, in caso negativo si procedeva a riprogettare il tutto. Iniziamo ad introdurre un metodo nuovo per la sintesi del controllore che si base su un procedimento diretto.

7.1.1 Il metodo di Sintesi Diretta Il metodo della sintesi diretta si basa su una idea diversa, infatti dal punto di vista ingresso uscita il nostro sistema e` assimilabile a quello a fianco. Come e` noto la W (s) definisce essenzialmente il legame tra Y o (s) e Y (s), ovvero come l’uscita effettiva segua l’usci-

Y o (s)

W (s)

Y

82

Capitolo 7

ta desiderata, possiamo ipotizzare un comportamento desiderato imponendo la funzione di trasferimento W o (s) Hp.1 Non ci sono disturbi. Hp.2 Si vuole seguire fedelmente il gradino.

1.8 1.6

1 + sˆmax

1.4 Ampiezza

1.2

sˆ

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

1

2

3

4 Tempo

5

6

7

8

tos

Figura 7.1.1 dove: ts ∼ = tos e ˆs ≤ ˆsM AX tos sˆmax 0

Le F.d.T:

tos Sistema

C(s) sˆmax eˆ

Y (s) = W (s)Y o (s)

Sistema

W (s)

(7.1.1)

la funzione di trasferimento ad anello chiuso e` pari a: W (s) =

C(s)P (s) 1 + C(s)P (s)

(7.1.2)

Nella sintesi diretta, vado a progettare una funzione ausiliaria, che soddisfa (una volta inserita) le mie specifiche di sistema. W (s) 1 (7.1.3) C(s) = P (s) 1 − W (s) Svolgendo la funzione W (s), ottengo la FdT del controllore C(s), vincolata strettamente a tale funzione.

Lezione 19 Ottobre 2006

83

Scegliamo il valore della funzione W (s), in funzione delle specifiche. 1 spec: Sistema stabile internamente. 2 spec: Controllore fisicamente realizzabile. 3 spec: Prestazioni. ` Impongo le condizioni di stabilita: 1. 1 + C(s)P (s) ha tutti gli zeri a parte reale ≤ 0. 2. Non ci sono cancellazioni a parte reale ≥ 0, fra i poli e gli zeri di C(s) e P (s). W (s) =

C(s)P (s) 1 + C(s)P (s)

(a) W (s) deve avere poli a parte reale ≤ 0. (b) Ogni zero di P (s) a parte reale ≥ 0 deve essere anche zero di W (s), con almeno la stessa molteplicit`a. (c) Ogni polo di P (s) a parte reale ≥ 0 deve essere anche zero di 1 − W (s), con almeno la stessa molteplicit`a. • E(C) ≥ 0 ⇔ E(W ) ≥ E(P )

7.1.2 Funzione Canonica Prendiamo la funzione canonica del secondo ordine: W (s) =

1 ; s2 s + 1 + 2ζ ωn ωn 2

con ζ > 0

(7.1.4)

Dalla figura 7.1.2 si osserva che ζ e` il seno dell’angolo φ formato con la semi circonferenza di raggio ωn ℑ [s] ζ = sin φ ωn

φ ℜ [s]

Figura 7.1.2: Determinazione del fasore W (s).

Ricorda. Non esiste un sistema del secondo ordine, che riesca a soddisfare tutte le possibili condizioni di stabilit`a.

84

Capitolo 7 Sistema del Secondo Ordine - Risposta al Gradino Unitario 2 ζ=0

Ampiezza w(t)

1.5

1

0.5 ζ=1 0 0

5

10

15

20

Tempo Normalizzato (t)

Figura 7.1.3: Risposta al gradino unitario al variare di ζ

1 (7.1.5) s2 s + 1 + 2ζ ωn ωn2 La condizione (2.a) la posso utilizzare solo per impianti che non hanno zeri a parte reali positiva, maggiore e uguale zero. W (s) =

P (s) non deve avere zeri a parte reale ≥ 0. La condizione (2.b) richiede che W (s) = 1, quindi ho che: 1

= 1 ζ s2 1+2 s+ 2 ωn ωn    s = 0 s 2ζ = 0 → + s 2 s = −2ζ ωn ωn ωn

(7.1.6)

(7.1.7)

non posso trovare s 6= 0 poich´e −2ζωn > 0 e` verificata solo se ωn < 0, poich´e avevamo supposto che ζ > 0. Sono quindi ammissibili solo le funzioni con s = 0 cio`e con polo nell’origine. n = 0, 1 1 1 P (s) (7.1.8) sn mf Dove Pmf (s) rappresenta tutte le funzioni a fase minima, cio`e quelle funzioni che hanno tutti i poli e gli zeri reali < 0 . P (s) =

Lezione 19 Ottobre 2006

85

Esempio 7.1.1. Equazione del motore. P (s) =

k s (1 + fe s) (1 + tm s)

(7.1.9)

Ho inoltre l’introduzione del vincolo sull’eccesso che E(P ) ≤ 2, poich´e la W (s) e` una funzione del secondo ordine, per la fisica realizzabilit`a del controllore C(s) devo imporre la condizione sull’eccesso. Abbiamo trovato dei prerequisiti dell’impianto, per classificarlo in una classe con determinate caratteristiche. Specifiche standard • Errore a regime permanente nullo al segnale y o (t). erp = 0 • Errore di inseguimento alla rampa. L’errore di inseguimento ad una rampa unitaria, (y o (t) = t) sia non superiore ad un certo valore e1 . lim |y o (t) − y (t)| ≤ e1 (7.1.10) t→∞

• Specifiche sulla sovra elongazione massima s ≤ sˆmax , figura 7.1.1. • Specifiche sulla banda passante del sistema, come banda a −3dB. Date le specifiche posso trovare almeno due valori di ζ e ωn che rispettino le mie specifiche di progetto. Wo (A)

A yo

y

W (s)

Figura 7.1.4: Valutazione dell’errore al gradino

• La condizione di errore al gradino nullo, e` soddisfatta intrinsecamente. • Errore di inseguimento alla rampa. Y (s) = W (s) Y o (s);

Y o (s) =

1 s2

lim |y o (t) − y (t)| ≤ e1

t→∞

Dove y o (t) segnale a rampa. Applico il teorema del valore finale: lim s · L [y (t)] = lim s [Y o (s) − Y (s)] = lim s (1 − W (s))

s→0

s→0

s→0

faccio lo sviluppo i serie di Taylor della funzione W (s) dW dW W (s) = W (0) + s + ... = 1 + ds s=0 ds s=0

1 s2

(7.1.11)

(7.1.12)

86

Capitolo 7

 1 dW dW s + ... = − lim 1 − 1 − s→0 ds s=0 s ds s=0 

In fine ottengo:

dW ds ≤ e1 s=0   2ζ ωn + . . . 2ζ = ≤ e1   2 2 ωn 1 + 2ζ ωsn + s 2 ω

(7.1.13)

(7.1.14)

(7.1.15)

s=0

n

W (0) = 1 dW − ds > e1

(7.1.16)

s=0

Definizione 7.1.1 (Sovraelongazione). Definisco sovra elongazione e la indico con sˆ la differenza tra il valore massimo (o picco) della funzione ed il suo valore all’infinito,vedi figura 7.1.5, matematicamente la esprimo come: πζ −p 1 − ζ2 sˆ(s) = e (7.1.17) Le condizioni di progetto mi impongo il vincolo che: −p

sˆ(s) = e

πζ 1 − ζ 2 ≤ sˆ max

Definizione 7.1.2 (Banda a −3 dB). Definisco banda a −3 dB, la pulsazione alla quale, il |W (jω)| e` 1 pari a √ . 2 1 (7.1.18) |W (jB3 )| = 2 svolgendo i calcoli troviamo: q p B3 = ωn 1 − 2ζ 2 + 2 − 4ζ 2 + 4ζ 4 = B3o (7.1.19) W (s) =

L (s) C(s)P (s) ⇒ → 1 + C(s)P (s) 1 + L (s)

W (s) = (1 − W (s)) L(s)

1 s s2 1 + 2ζ + 2 W (s) 1 1 ωn ωn   C (s) = = = 2 = s 1 s 1 − W (s) s s 1− 2ζ + 2ζ + 2 s 2 ωn ωn ωn ωn 1 + 2ζ + ωs 2 n ωn ωn 1 2ζ L(s) = s 1+ s 2ζωn L(s) =

KL sn

(7.1.20)

(7.1.21)

Lezione 19 Ottobre 2006

KL = KL = B3

ωn 2ζ

ωn 1 2ζ q q = p p ωn 1 − 2ζ 2 + 2 − 4ζ 2 + 4ζ 4 2 ζ 1 − 2ζ 2 + 2 − 4ζ 2 + 4ζ 4 KL ≥

KL = B3

2ζ

q

1 e1

1−

KL 1 ≥ B3 e1 B3

→

2ζ 2

+

87

1 p

2−

4ζ 2

+

4ζ 4

≥ B3o

(7.1.22)

(7.1.23) (7.1.24)

Funzione di Trasferimento del Secondo Ordine - Modulo 20

Smorzamento ζ =.1,.2,.3,.4,.5,.707,1.0,2.0

Modulo (dB)

10 ζ ↑

0 -10 -20 -30 -40 0.1

1

10

Frequenza (ω/ωn ) Figura 7.1.5: Variazione del picco di risonanza al variare dello smorzamento.

7.2 Utilizzo della carta • Si parte dalla specifica della sovra elongazione, identificando uno ζmin sˆ •

⇒

ζmin

KL 1 la specifica mi d`a le informazioni sul valore massimo ammissibile per ζ: ζmax . e1 B3 B3 KL (ζ) B3

⇒

sˆmax (ζ)

• Prendo un valore intermedio di ζ tra ζmin e ζmax , e lo prolungo sulla curva

B3 , trovando il valore di ωn . ωn

88

Capitolo 7

0.325 0.375 0.425 0.475 0.525 0.575 0.625 0.675 0.725 0.775 0.825 0.875 0.925 0.975 0.5

1.5 1.45 1.4

0.45

1.35 B3 ωn

1.3

0.4

1.25 1.2

0.35

1.15 1.1

0.3

1

0.25 sˆ

0.95 0.9

KL B3

0.2

0.85 0.8

0.15

0.75 0.7

0.1

0.65 0.6

0.05

0.55 0.5

0 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 ζ Figura 7.2.1: Carta di Controllo

1

sˆ

B3 , KL ω n B3

1.05

Lezione 19 Ottobre 2006

89

Corollario 7.2.1. Non sempre posso utilizzare le carte per trovare i parametri del controllore, sopratutto KL minori del valore ζmin . per valori di B3

90

8 Lezione del 26 Ottobre 2006

8.1 Sintesi diretta di + -

yo

+ +

C(s)

do + +

P (s)

y + +

 

Kp · Pmf (s), sn  E(P ) ≤ 2 P (s) =

W (s) =

dh

n = 0, 1

(8.1.1)

controllore fisicamente realizzabile. 1 1 + 2ζ ωsn +

s2 2 ωn

(8.1.2)

con ζ e ωn tali da garantire: e1 , sˆmax , B3o C(s) =

W (s) 1 P (s) 1 − W (s)

Conoscendo le specifichi di progetto del nostro sistema, posso calcolarmi i valori di ζ e ωn dalla carta attraverso le curve normalizzate   B3 KL , sˆ, ωn B3 W (s) =

C(s)P (s) 1 + C(s)P (s)

KL e` il guadagno di bode della funzione L(s), che e` definita come C(s)P (s). ζ , ωn 1 KL ≥ 1. B3 e1 B3o 2. sˆ ≤ sˆmax

92

3.

Capitolo 8

B3 Bo ≡ 3 ωn ωn

Esempio 8.1.1. P (s) =

1 + 10s s(1 + s)2

Impongo le seguenti specifiche di progetto: • Errore di inseguimento alla rampa e1 = 0.1. • Sovra elongazione massima sˆmax = 0.2. • Banda passante B3o = 12.5. 1

W (s) =

1 + 2ζ ωsn +

s2 2 ωn

1 1 = = 0.8 → ζ = 0.484 o e1 B3 12.5 · 0.1

Dalle specifiche sulla ˆsmax assumo dalla carte ζmin = 0.47. Fisso la mia ζ nel valore intermedio da cui Bo ottengo: ωn3 = 1.3 → M . 12.5 Bo = 9.58 M = 3 ≡ ωn = ωn M ωn W (s) 10.2 s(1 + s)2 1 s(1 + s)2 2ζ   =   = C(s) = s P (s) 1 − W (s) 1 + 10s s 1 + s 1 + 10s s 1 + 2 · 0.47 · 9.58 2ζ ω n

2

C(s) =

(1 + s) 10, 2 1+s 1+s = 10.2 (1 + 10s) (1 + s/9) 1 + 10s 1 + s/9

Come si osserva il controllore ha i poli dell’impianto come zeri, mentre ha gli zeri dell’impianto come poli, ad eccezione del polo nell’origine.

Nel esempio ho eseguito una cancellazione della parte stabile dell’impianto attraverso due reti: la prima di tipo ritardatrice e la seconda di tipo anticipatrice. Ritardatrice  τr = 10 mr = 10

Anticipatrice  τa = 1 ma = 9

(8.1.3)

Analizziamo adesso il caso in cui volessi restringere le specifiche del mio sistema, imponendo e1 = 0.08. S`ı osserva dal grafico che il valore di ζmax < ζmin . Non e` pi`u possibile soddisfare le specifiche di progetto con un controllore del secondo ordine. Devo modificare il controllore inserendo una nuova funzione di trasferimento W (s). WI (s) =

1 s s2 1 + 2ζ + 2 ωn ωn

(8.1.4)

Lezione del 26 Ottobre 2006

WII (s) = WI (s)

1 + sτ τ 1 + sm

93

(8.1.5)

Analizzando il controllore WII (s) (8.1.5) si osserva che e` stata inserita una rete di tipo anticipatrice (τ ≥ 0 , m ≥ 1). Ho quindi due nuovi parametri per il calcolo della F.d.T. del controllore. Inoltre nel caso in cui m = 1, ottengo la funzione di trasferimento del 2o ordine WI (s).   e1 ← specifica di progetto sˆmax  B3o

(8.1.6)

Risolvo quindi il mio problema, agendo solo su B3o e su sˆmax lim |y o (t) − y (t)| ≤ e1

t→∞

Da cui: Y o (s) =

1 , s2

per y o = t

(8.1.7)

Y (s) = Y o (s)W (s)

lim |y o (t) − y (t) | = lim s (Y o (s) − Y (s)) =

t→∞

s→0

= lim s [1 − W (s)] s→0

= lim [1 − W (s)] s→0

1 = s2

(8.1.8)

1 s

facendo lo sviluppo in serie di Taylor,ottengo; d WII d WII s + ... = 1 + s= WII (s) = WII (0) + d s s=0 d s s=0 d WII o lim y (t) − y (t) = − t→∞ ds

(8.1.9)

s=0

lim y o (t) − y (t) ≤ e1 t→∞

d WII per y (t) = t ⇔ − ds o

s=0

≤ e1

τ
− τ (1 + sτ ) τ 1 + sm −2ζ d WI m−1 d WII m = ⇒− + 1× − τ
2 τ ds s=0 ds s=0 ωn m 1 + sm s=0

(8.1.10)

(8.1.11)

La (8.1.11) rappresenta la condizione sulla banda.

Supponiamo di fissare ζ, ωn tale da soddisfare le specifiche di sˆmax e B3o . Posso comunque utilizzare la stessa carta, fissando le specifiche equivalenti sulla WI , dopo di che posso fare la WII . WI (s) =

1 1 + sτ · τ s s2 1 + s m 1 + 2ζ + 2 ωn ωn

(B3 )I , (ˆ s)I ⇒ (B3 )II , (ˆ s)I



(B3 )I ⇔ (B3 )II (ˆ s)I ⇔ (ˆ s)II

(8.1.12)

(8.1.13)

94

Capitolo 8

|W (jω)|dB

|W (jω)|

3.0 1.5

|W (0)| |W√(0)| 2

0

B3

-1.5 -3.0 -4.5 b

b

ω −3 dB

ω

B3

(a) Diagramma del Modulo della funzione WI (s), in dB

(b) Diagramma del Modulo della funzione WI (s), in dB

Ho due punti di rottura, uno su τ ed uno su τ /m. 1 m , ≫ ωn τ τ

→

(B3 )II ∼ = (B3 )I

1 m , ≪ ωn τ τ

→

(B3 )II > (B3 )I

Da cui: 0 W (s) ω 10-1

101

102

10-1

10-2

Figura 8.1.1: Effetto della rete anticipatrice sul modulo di WII (s) 1 + jωτ =mdB lim ω→ ∞ 1 + jω τ m

(8.1.14)

Lezione del 26 Ottobre 2006

95

(B3 )I = −3 ωn (B3 )II = −3 2. 20 log 10 m − 40 log 10 ωn   (B3 )II (B3 )I 40 log10 − log10 = 20 log 10 m ωn ωn 1. −40 log10

2 log10

(B3 )II = log10 m (B3 )I

 √  (B3 )II = 1, m (B3 )I

(8.1.15)

Quindi se il valore di m e` poco maggiore di 1 garantisco che le due bande siano uguali. m → 1,

(B3 )II ∼ = (B3 )I

(8.1.16)

(B3 )II = B3o ⇔ (B3 )I = B3o

(8.1.17)

WII (s) = WI (s)

1 + sτ τ 1 + sm

(8.1.18)

WII (s) = WI (s)

1 + sτ τ 1 + sm

(8.1.19)

m + sτ m m + sτ

(8.1.20)

Sovra elongazione Massima

WII (s) = WI (s)

WII (s) = mWI (s) − (m − 1) WI (s) Devo anti trasformare le funzioni:   1 −1 L WII (s) = m L −1 s | {z } Risposta al gradino del sistema II

(8.1.21)

    1 1 1 − (m − 1) L −1 WI (s) , WI (s) τ s s 1 + sm | {z } Risposta al gradino del sistema I

yII (t) = yI (t) − (m − 1) yI (t) ⊗ L Dove yI (t) ≫ 0 cio`e la risposta del sistema del m −mt e τ . τ

1 1 + s mt

2o

−1



s + sτ τ 1 + sm



ordine e` maggiore di 0 e L

(8.1.22)

(8.1.23) −1



1 + sτ τ 1 + sm



e` pari a

96

Capitolo 8

Da cui qualunque sia il valori di t, l’uscita del sistema corrispondente alla funzione di trasferimento del secondo ordine sar`a minore dell’uscita del sistema alla funzione di trasferimento del primo ordine moltiplicata per m. yII (t) ≤ m yI (t) , ∀ t (8.1.24) Da cui sostituendo la sovra elongazione massima, 1 + sˆII ≤ m (1 + sˆI ) ⇒ (ˆ sII ) = m (1 + sˆI ) − 1

(8.1.25)

Devo quindi garantire che (ˆ s)II < sˆmax . mˆ sI + m − 1 ≤ sˆmax sˆI ≤

sˆmax − m + 1 m

(8.1.26) (8.1.27)

Quindi: 1. Fisso m > 1 (Poco maggiore di 1) 2. Fisso ζ dalle carte tale che:

sˆmax − m + 1 m ζmin = 0.62 ∼ = (B3 ) = Bo ∼ sˆI ≤

3. Trovo ωn dalle carte sapendo che (B3 )II

3

I

(B3 )I = ∼ = B3o B3 (ζ = 0.62) ωn ωn = 4. Noto ωn fisso τ tale che:

B3o = 11.15 M

(m − 1) 2ζ · τ ≤ e1 → τ ≥ 0.35 − ωn m   m 2ζ τ = τmin = − e1 m − 1 ωn

(8.1.28)

(8.1.29)

9 Lezione del 31 Ottobre 2006

9.1 Sintesi Yo

+

C(s)

P (s)

Consideriamo la nostra funzione di trasferimento di impianto P (s) = soddisfa la condizione sull’eccesso E(P ) ≤ 2, allora: W (s) = WI (s) =

1 s s2 1 + 2ζ + 2 ωn ωn

y

Kp Pn f (s) con n = 0, 1, 2, . . . che sn (9.1.1)

dove ζ e ωn sono scelti in base a e1 , B30 , sˆmax . Posso dalle specifiche trovare la funzione W (s) e successivamente riportarmi al controllore con la formula di inversione: C(s) =

W (s) 1 P (s) 1 − W (s)

Dalle carte, trovo che: 1. sˆ (ζ) ≤ sˆmax ⇔ 1 KL ⇔ ≥ 2. B3 e1 B3o B3 (s) B o (s) 3. = 3 ωn ωn

ζ ≥ ζmin

ζ ≤ ζmax

come si e` visto si hanno in questo caso tre parametri, si e` anche visto che il problema pu`o essere sempre risolto, ovvero si pu`o sempre definire il controllore C (s) che garantisce il rispetto delle specifiche di sistema richieste scegliendo una W (s) . Nel caso in cui il valore di ζmax che mi realizza il controllore sia minore al valore di ζmin , inserisco una rete di tipo anticipatrice. 1 + sτ (9.1.2) WII (s) = WI (s) τ 1+s m

98

Capitolo 9

Nel caso in cui m = 1, si ottinene che WII (s) = WI (s). 1. Scelto il valore di m : m → 1. 2. Scelto il valore ζ: (ˆ s)I ≤ sˆmax . Tale condizione e` garantita, se: (ˆ sI ) =

sˆmax − (m − 1) m

⇒

ζ ≥ ζmin

(9.1.3)

Nella progettazione viene utilizzato normalmente il parametro ζmin . ζ = ζmin Ricavato ζ, posso ricavare dalle carte anche il valore di B3 /ωn corrispondente. B3 (ζ) 3. Scelgo ωn : (B3 )I (B3 )II B3 B3 (ζ) = = = ωn ωn ωn ωn ωn =

4. Scelgo il valore di τ :

B3o B3o (ζ) ωn

(9.1.4)

2ζ m − 1 ωn − m τ ≤ e1

(9.1.5)

2ζ ωn e1 α=

τmin

m−1 m

τ∗

τmax

τ

Figura 9.1.1: Range di τ per cui e` soddisfatta la specifica sull’errore di uscita del mio sistema di controllo. Impongo che la funzione (9.1.5) sia minore o uguale a e1 . Determino quindi l’intervallo di valori ammessi per τ . Qualunque siano le mie specifiche, posso sempre risolvere il problema di controllo con WII (s). Nel caso in cui e1 = 0 (Errore di inseguimento nullo), ho come soluzione il valore di τ = τ ∗ . Inoltre per m → 1, ho l’effetto di cancellazione polo zero della rete anticipatrice, che mi garantisce il comportamento prossimo a quello della rete del secondo ordine WI (s).

Lezione del 31 Ottobre 2006

99

Il sistema ad anello chiuso si comporta come un sistema del 2o ordine. • e1 ≥ 0 • sˆmax ⇒ • B3o

WII (s) = WI (s) con m → 1.

Nota. Si prende sempre il valore di τ minore possibile, che soddisfa le specifiche τ = τmin .

τ = τmin

m = m−1



2ζ − e1 ωn



(9.1.6)

Esempio 9.1.1. Prendo la funzione di trasferimento del mio impianto: P (s) =

1 (1 + 10 s) · s (1 + s)2

(9.1.7)

• e1 = 0.08 • sˆmax = 0.2 • B3o = 12.5 rad/sec

sˆ (ζ) ≤ 0.2

→

ζ ≥ 0.46

KL 1 (ζ) ≤ =1 B3 e1 B3

Da cui ricavo che ζ ≤ ζmax = 0.35 ma in questo caso osserva che ζmax < ζmin , non ho quindi soluzione con il sistema del secondo ordine, quindi W (s) e` del tipo WII (s). Inserisco una rete di tipo anticipatrice con un fattore m pari a 1.1. m = 1.1 Dalla relazione (9.1.3) ricavo: sˆII =

0.2 − 0.1 1 sˆmax − (m − 1) = = = 0.09 m 1.1 11

Da cui utilizzando la curva KL /B3 della carte per ζ = 0.63, posso calcolare il valore della pulsazione naturale della mia rete: B3o ω = → ωn = 11.15 B3 (0.62) ωn Che inserito nella (9.1.6) mi permette di calcolare il calore di τmin della mia rete anticipatrice Dalla carta assume ζ = 0.62.   2ζ m − e1 ∼ τ = τmin = = 0.35 m − 1 ωn quindi τ viene assunto pari a 0.35, ottenendo quindi la seguente rete anticipatrice: 1 + 0.35s 0.35 s 1+ 1.1

100

Capitolo 9

Posso quindi calcolare il controllore per inversione della formula: C(s) = WII (s) =  1 − WII (s) WII (s) = 1 − WII (s)

1 + sτ

W (s) 1 P (s) 1 − W (s)

1 + sτ  s τ
− 1 − sτ 1 + sm + 2 1 + 2ζ ωn ωn s2

s2

s τ + 2ζ τ s2 + τ s3 + + sm 2ζ ωn mωn2 ωn ωn2

=

1 + sτ



2ζ τ + 2ζ τ s + τ s2 s ωn + s2 + m ωn ωn mωn2



ricavando quindi che: WII (s) 12.6 (1 + 0.35s) = 1 − WII (s) s (1 + 0.48s) (1 + 0.067s)
1 + s2 (1 + 0.35s) C(s) = (1 + 10s) (1 + 0.48s) (1 + 0.0) 1 • zeri: 1 , 1 , 0.35 • poli: 0 , 1 , 2 , 1.6 La rete pu`o essere vista come: C(s) = 12.6



1+s 1 + 10s



1+s 1 + 0.48s



1 + 0.35s 1 + 0.067s



(9.1.8)

Nella sintesi diretta l’ordine del controllore e` pari all’ordine dell’impianto.

9.2 Classe dell’impianto

P (s) =

Kp Pmf (s) sh

1. h = 0, 1 2. Pmf (s) e` stabile internamente, ha quindi tutti i poli e gli zeri a parte reale minore di zero. 3. E(P ) ≤ 2 Controllore fisicamente realizzabile.

(9.2.1)

Lezione del 31 Ottobre 2006

101

Posso applicare il metodo della sintesi diretta anche per funzioni di trasferimento di impianto con E(P ) > 2, in tale caso dovr`o inserire un polo fuori banda, con pulsazione tra 3 e 5 B3o .

Esempio 9.2.1. P (s) =

1 s (s + 1)2

e1 = 0.8 • sˆmax = 0.2 • B3o = 12.5 1

WII (s) = 1 + 1.24 Ottengo:

s2

s + 11.15 (11.15)2

·

1 + 0.035s 0.035s 1+ 1.1


12.6 1 + s2 (1 + 0.35s) C(s) = (1 + 0.98s) (1 + 0.067s)

Il controllore non e` fisicamente realizzabile. Non rispetta la condizione di fisica realizzabilit`a. Condizione di fisica realizzabilit`a del sistema e` che E(W ) ≥ E(P ). Per rendere fisicamente realizzabile il mio impianto, inserisco dei poli fuori banda, ad alte frequenze. W (s) = WII ·

1 , 1 + ωso

ωo ∼ = [3, 5] B3o

(9.2.2)

Corollario 9.2.2. Assegnati e1 , sˆ, B3o e` sempre possibile trovare un controllore: W (s) =

1 1 1 + sτ · · E(P )−2 τ 2 s s s 1 + s + 1 + 2ζ 1+ m ωn ωn2 ωo C(s) =

Risolvo il problema B3 ∼ = B3o WI (s) =

W (s) 1 P (s) 1 − W (s)

1 1 ωn WI (s)   = ⇒ 2 s 1 − WI (s) 2ζ s s s 1 + ωn 1 + 2ζ + 2ζ ωn ωn2 C(s) =

(9.2.3)

1 1 ωn   s P (s) 2ζ s 1 + ωn 2ζ

(9.2.4)

(9.2.5)

102

Capitolo 9

Con h = 1, P (s) =

Kp N (s) Pmf (s) e Pmf (s) = s D(s) ωn 1   s Kp Pmf (s) 2ζ s 1 + ωn 2ζ s

C(s) =

C(s) =

(9.2.6)

ωn 1 D(s)   s 2ζKp N (s) s 1 + ωn 2ζ

(9.2.7)

• Ordine del controllore C(s) ≥ grado del denominatore D(s) • Ordine dell’impianto P (s) = 1+ grado di D(s) Corollario 9.2.3. Nei metodi di sintesi diretta, l’ordine del controllore e` pari all’ordine dell’impianto. Per sistemi di ordine elevato, ho controllori di elevata complessit`a, i cui coefficienti sono difficilmente gestibili dal punto di vista pratico. Dovrei andare a studiare metodi di semplificazione del controllore.

yo

+

C(s)

P (s)

y

Richiami sulla Sintesi Diretta 1. Scelta della W (s) sulla base delle specifiche. 2. C(s) =

1 W (s) P (s) 1 − W (s)

Esempio 9.2.4. 10 · P (s) = s



1−s 1+s



La FdT dell’impianto, non e` internamente stabile. La presenza dello zero a destra , non mi permette di utilizzare la sintesi attraverso le carte di controllo. Errore di inseguimento a regime ad un gradino unitario in ingresso, deve essere nullo. e1 (y (t) = 1) = 0 • Mr = max |W (jω)| ≤ 1. ω>0

• La banda passante, sia pari a 5 rad/sec.

B3o = 5

Lezione del 31 Ottobre 2006

103

Devo trovare il controllore che mi soddisfa le specifiche: stabilit`a interna + specifiche equivalenti. Per le specifiche di stabilit`a interna sappiamo che: • • • •

W (s) deve avere tutti i poli a parte reale minore di zero. W (1) = 0. 1 − W (0) = 0. E(W ) ≥ E(P ) Nel nostro caso E(W ) ≥ 1.

Sulla base delle specifiche impongo che la funzione di trasferimento W (s) in s = 0 valga 1: W (0) = 1 Che il modulo massimo della funzione per ω > 0 sia minore di 1 e` che la banda passante sia minore di 5 rad/sec. Dalle specifiche di stabilit`a interna devo trovare un controllore C o (s) che mi stabilizzi internamente il sistema, devo quindi cancellare lo zero a parte reale maggiore di zero della FdT dell’impianto in s = 1. W (s) =

s−1 W (s) ···

Per le specifiche sul modulo del mio sistema, devo intervenire sul denominatore della W (s), per annullare l’effetto dello zero in banda, devo quindi garantire che nella banda passante del mio sistema il modulo sia unitario, devo quindi inserire al denominatore della funzione W (s), un polo che sia il complesso coniugato dello zero instabile al numeratore, in maniera da annullare l’effetto sul modulo: 1−s = 1 − s = 1 − jω = (1 − jω) (1 + jω) = 1 (1 − s)∗ (1 + s) 1 + jω (1 + jω) (1 − jω) Posso adesso lavorare sulla funzione W (s). Per le condizioni sulla stabilit`a interna devo garantire che: 1 − W (0) = 0

(9.2.8)

1) ր ց 2)

(9.2.9)

W (0) = 1

Prendo la funzione pi`u semplice possibile: k − W (s) = 1 + sτ

Impongo la condizione sul modulo della funzione:

τ >0 k = 1, ⇒ k = 1 1 + sτ s=0

W (jω) = p 1 ≤1 1 + ω2 τ

Per τ > 0 la condizione e` verificata ∀ ω, la condizione sulla banda passante , B3o = 5 rad/s , imponendo il punto di rottura per τ = 1/5, la mia funzione di trasferimento ad anello chiuso diventa: W (s) =

1 1 + 15

1−s 1 1+s1+ 1 5    1−s 1 W (s) s (1 + s) 1 5s (s + 1) 1+s 5+s    = = C(s) = 1 P (s) 1 − W (s) 10 (1 − s) 1 + 1 − s 10 [(s + 1) (s + 5) − 5 (1 − s)] 1+s 5+s W (s) =

104

Capitolo 9

Semplificando ottengo: C(s) =

(s + 1) 2 (11 + s)

9.3 Sintesi diretta a piu` obbiettivi A nalizziamo adesso il caso di un sistema con disturbo sull’uscita: Devo valutare l’incertezza del sitema. Do + -

Yo

C(s)

P (s)

+ +

Y

H(s)

Y =

C(s)P (s) 1 Yo+ D 1 + C(s)P (s) 1 + C(s)P (s) {z } {z } | | W (s) Wd (s)

(9.3.1)

Sistesi a + obbiettivi 1. W (s) = W o (s) 2. Wd (s) = Wdo (s) Ho un unico grado di libert`a, per lo sviluppo del controllore: W o (s) = Wdo = 1

(9.3.2)

fissato W o (s) → Wdo (s) = 1 − W (s)

Se non sono soddisfatto della mia funzione di trasferimento Wdo (s), applico in ingresso al mio sistema un blocco funzionale, inserendo pi`u gradi di libert`a nel progetto. Inoltre i disturbi in ingresso al mio sistema sono normalmente non misurabili. Do Yo

T (s)

+ -

C(s)

P (s)

H(s)

+ +

Y

Lezione del 31 Ottobre 2006

105

Ottengo quindi che l’uscita del mio sistema sar`a data dalla nuova relazione: Y =

C(s)P (s) 1 T (s) Y o + D 1 + C(s)P (s) 1 + C(s)P (s) | | {z } {z } W o (s) Wd (s) Wo =

C(s)P (s) T (s) 1 + C(s)P (s)

(9.3.4)

1 1 + C(s)P (s)

(9.3.5)

Wdo =

C(s) = W o (s) = (1 − Wdo (s)) = 1 −

(9.3.3)

W o (1 + C(s)P (s)) = 1

(9.3.6)

1 − Wdo (s) Wdo (s)P (s)

(9.3.7)

=

1 · P (s)

1 − Wdo (s) Wdo (s)

1 + C(s)P (s) − 1 C(s)P (s) 1 = = 1 + C(s)P (s) 1 + C(s)P (s) 1 + C(s)P (s) W o (s) = (1 − Wdo ) T (s) T (s) =

W o (s) 1 − Wdo (s)

(9.3.8) (9.3.9) (9.3.10)

La funzione di trasferimento T (s) prende i nome di pre filtro. Il controllore presente sull’anello interno del sistema serve per migliorare il rapporto segnale rumore. In ogni situazione se mi accontento della condizione Wdo = 1 − W o (s) → T (s) = 1, risolvo il problema con un solo grado di libert`a.

106

10 Lezione del 2 Novembre 2006

10.1 Esercizzi 10.1.1 Controllori Stabilizzanti

P (s) =

s+1 (s − 1) (s + 2)

• La funzione ha uno polo a parte reale maggiore di zero in 1, devo trovare una classe di controllori stabilizzanti:   Q(s) o C(P ) = C(s) = C (s) + 1 − P o (s)Q(s) dove C o (s) e` un controllore stabilizzante e

P o (s) =

P (s) 1 + C o (s)P (s)

il metodo sistematico, mi impone di cercare una funzione W (s), che soddisfi la condizione sull’eccesso ed inoltre presenti in questo caso almeno un grado di libert`a. a0 W (s) = s+1 dove (s + 1), mi soddisfa a condizione sull’eccesso, mentre il parametro a0 mi introduce un grado di libert`a sulla funzione. Inoltre la mia funzione W (s) dovr`a soddisfare le seguenti condizione: 1 − W (1) = 0,

W (1) = 1 −

a → a=2 2

da cui ricavo che la funzione W (s) sar`a del tipo: W (s) =

2 s+1

Tramite la formula di inversione posso ricavarmi la forma del controllore stabilizzante C o (s). C o (s) =

1 W (s) (s − 1) (s + 2) 2 s+2 = = 2 P (s) 1 − W (s) (s + 2) s−1 s+1

108

Capitolo 10

Posso quindi trovale la forma dell’impianto: (s + 1) (s + 1) 1 (s − 1) (s + 2) (s − 1) (s + 2) = = P (s) = (s − 1) + 2 (s + 2) (s + 1) s+2 1+2 (s + 1) (s − 1) (s + 2) (s − 1) o

P o (s) =

1 s+2

Vado a vedere se posso trovare un controllore C o (s) di tipo proporzionale che mi permette di stabilizzare il mio impianto. C o (s) = k 1 + C o (s)P (s) =

(s − 1) (s + 2) + k (s + 1) (s − 1) (s + 2)

s2 + s − 2 + ks + k = s2 + s (1 + k) + k − 2 = 0  o C (s) = 3     s+1  1+k >0 s+1 → (s − 1) s + 2  1−2 > 0 P o (s) = = 2   (s + 1) s + 4s + 1   1+3 (s − 1) (s + 2)

• Devo trovare il sottoinsieme dei controllori che rendono nullo l’errore di inseguimento a regime del gradino unitario. s+1 P (s) = (s − 1)(s + 2) ) ( 2(s + 2) Q(s) C (P ) = C(s) = + 1 , Q(s) ∈ S s+1 1 − Q(s) s+2 trovo il sottoinsieme di C(P ), tale che l’errore a regime di inseguimento ad un gradino unitario (y o (t) = 1) sia nullo. yo

+ -

C o (s)

P o (s)

y

L’errore di inseguimento lo posso vedere come la funzione di sensibilit`a del sistema. yo

S(s) =

e

S(s)

A (s) 1 = 1 + C(s)P (s) A (s) + B (s) E(s) = S(s)

1 s

Lezione del 2 Novembre 2006

109

Voglio che:  H(s)|s=0 = 0  ր la funzione di sensitivit`a deve avere uno zero in 0 lim e (t) = 0 − ց A (s) t→∞ → 0 s s=0

Oppure impongo che il mio controllore ha un polo nell’origine, cio`e che la funzione di sistema sia di tipo 1. Q(0) C(0) = 4 + , C(0) → ∞ per Q(0) = 2 1 − 12 Q(0) Cio`e la funzione ha polo nello’origine. L’insieme dei controllori, che soddisfano la condizione di errore di inseguimento nullo sono del tipo: ) ( Q(s) 2(s + 2) + C (P ) = C(s) = 1 , Q(s) ∈ S , Q(0) = 2 s+1 1 − Q(s) s+2 C(s) =

2(s + 2) 2(s + 2) 2(s + 2) 2 = + + s+2−2 (s + 1) s+1 s s+2 2(s + 2)(2s + 1) C(s) = s(s + 1)

• Errore a regieme di inseguimento del segnale y o (t) = 1 − et sia nullo. yo

+ -

C(s)

P (s)

d + +

y

y o (t)

t

Figura 10.1.1: Andamento del segnale di ingresso • L’errore a regime prodotto dal disturbo d (t) = sin t sia non superiore a ed = 0.1.

110

Capitolo 10

Per la condizione di errore di inseguimento nullo a regime posso valutare separatamente i due effetti del segnale 1 e et . Per y o (t) = 1 avevo precedentemente trovato la condizione Q(s)|s=0 = 2,non devo verificare la condizione per et . Moltiplico la trasformata per la funzione di sensibilit`a: E(s) = S(s)Y o (s) = S(s)

1 s−1

e (t) → 0 per t → ∞, se e solo se L(s) ha un polo in s = 1, per il principio del modello interno. Ma (s − 1) e` gi`a uno dei fratti semplici della funzione del mio impianto P (s), devo introdurre nessun vincolo ulteriore alla mia funzione di controllo. S(s)

d(t)

Y D (s) =

y (t)

1 D(s) 1 + C(s)P (s)

L’uscita al disturbo del mio sistema e` pari alla risposta in frequenza del mio sistema yd (t) = |S (jω)| sin (t + arg S(jω)) | {z } ≤1

risposta in frequenza del sistema minore di 0.1 • |S(jω)| ≤ 0.1 ( ) Q(s) 2(s + 2) + C (P ) = C(s) = 1 , Q(s) ∈ S , Q(0) = 2 , [S(j) ≤ 0.1] s+1 1 − Q(s) s+2 S(s) =

1 → 1 + C(s)P )(s)

"

1

(s + 1) Q(s) 2(s + 2) 1+ + 1 Q(s) (s − 1)(s + 2) (s + 1) 1− s+ 2

per ω = 1 sostituiamo ad s = j ottenendo 1 ≤ 0.1   1+j Q(j) 2(j + 2) 1 +   (1 − j)(j + 2) (j + 1) 1 − 1 Q(j) j+2

10.1.2 Sintesi diretta

P (s) =

1 2

(s + 1) (s + 3)

#

Lezione del 2 Novembre 2006

yo

+ -

C(s)

P (s)

d + +

111

y

• Errore a regime prodotto dal disturbo d(t) = t, sia non superiore a 0.5. ed ≤ 0.5 • sˆ ≤ sˆmax = 0.3 • B3o = B3 = 1 rad/s. Bisogna osservare che ed = e1 poich´e hanno la stessa espressione. L’eccesso poli-zeri di P (s) e pari a 3 quindi devo mettere un polo fuori dalla banda, per la condizione sull’eccesso della funzione. E(P ) = 3. Posso quindi iniziare a sintetizzare il mio controllore supponendo di poter soddisfare le specifiche con controllore del secondo ordine. WI (s) =

1 s s2 1 + 2ζ + 2 ωn ωn

ζmax ≤

1 ≤2 e1 B3o

Dalle carte ricavo immediatamente che ζmin e` maggiore dello ζmax , quindi devo inserire una rete anticipatrice. 1 + sτ W (s) = WI (s) τ 1+s m 1. m = 1.1 2. (ˆ s)I ≤ sˆmax dalla carta ottengo ζmin 3.

sˆmax − (m − 1) 0.3 − 0.1 2 ∼ = = = 0.18 m 1.1 1.1 = 0.48. B3o 1 = 0.8 = 1.3, ωn = (B3 )II 1.3 ωn   2ζ m − ed = 7.45 τ = m − 1 ωn

Devo inoltre mettere un polo fuori dalla banda del sistema. 1 1+

s ω0

Posso posizionare il polo in ω0 = 5 WII (s) = WI (s)

1 + sτ 1 τ s 1+s 1+ m 5

112

Capitolo 10

10.2 Sintesi direta con impianto con polo a destra

P (s) =

1 − s2 (s + 1)2 (s + 3)

Ho uno zero a destra: 1. 2. 3. 4.

Sistema internamente stabile. Controllore fisicamente realizzabile. Errore a regime di inseguimento al gradino di ingresso (y o (t) = 1) sia nullo. L’errore a regime prodotto dal disturbo d (t) = 1, sia ed = 0.1.

yo

+ -

C(s)

P (s)

d + +

y

Condizione sull’eccesso: E(P ) = 1 1. 2. 3. 4.

W (s) deve avere tutti i poli a parte reale minore di 0 e deve avere uno zero in s = 1. W (1) = 0. Deve essere fisicamente realizzabile E(W ) ≥ 1. W (0) = 1 Poich´e W (s) + S(s) = 1 con S(s) funzione sensibilit`a. Il modulo calcolato in s = 0 della derivata rispetto ad s della funzione W (s), deve essere minore o uguale al disturbo ed , considerato come errore di inseguimento ad un segnale a rampa. d W (s) − ≤ e1 d s s=0

Posso quindi progettare il controllore che avr`a al numeratore lo zero instabile dell’impianto e una funzione polinomiale con almeno due gradi di libert`a, per soddisfare le specifiche al punto 3 e 4,mentre al denominatore sar`a composta da dei poli in numero tale da bilanciare l’eccesso poli-zero di W (s). W (s) =

(s − 1)(a + sb) (s + 1)3

I termini forzanti (vincoli), a e b, servono a soddisfare le condizione di errore al gradino e alla rampa, mentre il termine di potenza a denominatore, tiene conto della condizione dell’eccesso e quindi della fisica realizzabilit`a. da cui W (0) = −a quindi a = −1

d (1 − s)(1 + bs) ds (s − 1)3

(s − 1) (−1 + s b) 1 − b s − s + b s2 = 3 (s + 1) (s + 1)3 (−b − 1 + 2bs) (1 + s)3 − (s + 1)2 1 − b s − s + b s2
= 6 (s + 1) s=0

Lezione del 2 Novembre 2006

|4 + b| ≤ 0.1

C(s) =

W (s) 1 P (s) 1 − W (s)

b=4

W (s) =

(1 − s)(1 + 4s) (1 + s)3

− (1 − s) (1 − 4s) (1 − s)(1 − 4s) W (s) (1 + s)3 = = (1 − s)(1 + 4s) 1 − W (s) (1 + s)3 + (1 − s) (1 + 4s) 1− (1 + s)3 C(s) =

1 W (s) (s + 1)(s + 3)(1 + 4s) = P (s) 1 − W (s) s2 (s + 7)

113

114

Parte B

Analisi delle Prestazioni

11 Lezione 7 Novembre 2006

11.1 Problema delle prestazioni Supponiamo di avere un’uscita desiderata Y o (s) e un sistema del seguente tipo: U (s) + E (s) o C (s) P (s) Yo Y -

l’obbiettivo e` quello di fare in modo che l’uscita Y sia pari a Y o per opportuni segnali di ingresso. Yo

W (s)

Y

Y (s) = W (s)Y o (s) o

(11.1.1) o

Y (s) − Y (s) = [1 − W (s)] Y (s) {z } | E(s)

(11.1.2)

y o (t) = A cos(ωt),

(11.1.3)

Supponiamo adesso che y o (t) sia un segnale sinusoidale:

ω ∈ [0, B3o ]

Nell’ipotesi di sistema internamente stabile ottengo: e (t) → A |1 − W (j ω)| cos (ωt + arg [1 − W (j ω)])

(11.1.4)

devo quindi garantire che |1 − W (j ω)| sia il valore pi`u piccolo possibile; teoricamente la condizione |1 − W (j ω)| = 0 mi garantisce e (t) = 0. Per avere errore di inseguimento piccolo, il valore di e (t) deve essere piccolo, ossia 1 − W ( jω) deve tendere a 0 ∀ ω ∈ alla banda, ossia W (jω) → 1.

11.1.1 Profilo nella Banda Definizione 11.1.1 (Profilo Ideale). Il caso e (t)=0 nella banda del sistema mi dice che il profilo ideale del modulo di W (j ω), nella banda, e` pari a 1. In queste condizioni ho l’inseguimento del segnale in ingresso.

118

Capitolo 11

1

|W (j ω)|

Profilo Ideale di |W (j ω)| B3o

0

ω

Figura 11.1.1: Profilo ideale di banda della funzione W (s) L’obbiettivo del mio progetto potrebbe essere quello di chiedere che W (jω), sia unitario nella banda del sistema e nullo fuori dalla banda. Il fatto di garantire che al di fuori della banda di progetto il valore della funzione W (j ω) sia nullo, mi permette di eliminare dall’uscita del mio sistema l’effetto dei disturbi in ingresso, con componenti armoniche fuori dalla banda del sistema: d (t) = B cos (ωd t) ,

ωd > B3o

(11.1.5)

D Yo

+ + -

C o (s)

P (s)

Y

Il contributo addizionale sulla risposta sar`a dato da Y (s) = W (s)Y o (s) + W (s)D(s) | {z } Yd (s)

(11.1.6)

yd (t) → B |W (j ωd )| cos (ωd t + arg [W (j ωd )]) → 0

(11.1.7)

poich`e l’ingresso del disturbo lo possiamo localizzare nello stesso punto di Y (s).

ma |W (j ωd )| dovr`a essere nulla ∀ ω > B30 , poich´e il disturbo dovr`a essere reiettato. |W (j ωd )| → 0

∀ ωd > B3

la funzione |W (jω)| deve quindi essere identicamente nulla fuori dalla banda. Ricorda. Quando si parla di prestazioni si cerca di vedere se la W (s) pu`o avere un profilo che segue quello ideale.

L’effetto del disturbo sull’uscita deve essere cancellato dal sistema di controllo, poich´e l’impianto del sistema di controllo P (s) e` assegnato, il mio problema si sar`a quello di determinare un opportuno controllore C(s) tale per cui la FdT ad anello chiuso W (s) presenti un profilo ideale sull’uscita.

Lezione 7 Novembre 2006

119

11.2 Funzione di Sensitivita` Definizione 11.2.1 (Sensitivit`a). La funzione di sensitivit`a rappresenta l’incertezza del sistema. S(s) =

1 1 + C(s)P (s)

(11.2.1)

Descrive la relazione tra il disturbo D e l’uscita Y , dove D e` un disturbo che modella l’incertezza presenta nel sistema.

W (s) =

C(s)P (s) 1 + C(s)P (s)

allora vale la relazione W (s) + S(s) = 1

∀s ∈ S

(11.2.2)

un profilo di W (s) come quello in figura 11.1.1, equivale ad avere un profilo ideale del modulo della funzione di sensitivit`a, |S(jω)| del tipo. |S(j ω)| 1 Profilo Ideale di |S(j ω)| B3o

0

ω

Figura 11.2.1: Profilo Ideale di Banda della funzione sensitivit`a S(s).

11.2.1 Profilo ideale di |L(j ω)| Ridisegnando lo schema di controllo in maniera pi`u conveniente ottengo: Yo

+ -

L(s) = C(s)P (s)

dove: W (s) =

Y

L(jω) L(s) → W (jω) = 1 + L(s) 1 + L(jω)

(11.2.3)

Devo quindi studiare come progettare il guadagno ad anello di L(s) per ottenere il profilo di W (s).  L(j ω) 1. |W (j ω)| = → 2. 1 + L(j ω)

|L(j ω)| ≫ 1 |L(j ω)| ≪ 1

ω ∈ [0, B3 ] ω ∈ [B3 , +∞]

(11.2.4)

Dalla (11.2.4) abbiamo estratto le due condizioni che implementano il profilo ideale del |L(jω)|. 1. 2.

|L(j ω)| ≫ 1 ⇒ |W (j ω)| = 1 |L(j ω)| ≪ 1 ⇒ |W (j ω)| ∼ = |L(j ω)|

(11.2.5)

120

Capitolo 11

|L(j ω)| γ1 1

γ2 ω1 B3o ω2

0

ω

Figura 11.2.2: Profilo ideale di L(s)

 |L(j ω)| ≥ γ1 , |L(j ω)| ≤ γ2 ,

∀ ω ∈ [0, ω1 ] ∀ ω ∈ [ω2 , +∞)

(11.2.6)

devo progettare un sistema il cui modulo diminuisce bruscamente nell’intorno della pulsazione di attraversamento. Una pendenza accentuata della funzione di trasferimento mi produce una perdita di fase che mi pu`o creare instabilit`a. Osservazioni:

• L’andamento ideale di W (jω), lo si ottiene quanto pi`u grande e` γ1 e pi`u piccolo γ2 e quanto pi`u ω1 e ω2 si avvicinano tra di loro. Posso quindi vedere la pulsazione B3o , la pulsazione per la quale la FdT in modulo vale 1, come pulsazione di attraversamento. • Idealmente dovremmo progettare un guadagno ad anello in cui modulo presenta una brusca variazione in un range di frequenze ristretto intorno alla pulsazione di attraversamento.

Che controindicazioni comporta ? Nota. Una pendenza elevata tende a far perdere fase al sistema e dunque a destabilizzarlo. Devo quindi eseguire un’analisi sulla fase del sistema in funzione del modulo. Uno dei metodi pi`u utilizzati e quello del teorema di Bode.

11.2.2 Introduzione al teorema di Bode Teorema 11.2.1 (Bode). Sia L(s) una funzione razionale fratta, strettamente propria, a minima rotazione di fase (poli e zeri a parte reale strettamente minore di zero). Tesi: E´ possibile ricostruire l’andamento della fase L(j ω), ( dalla conoscenza di L(j ω) per ω ≥ 0), dall’andamento del modulo |L(jω)| per ω ≥ 0. Esempio 11.2.2. Sistema del I o ordine G(s) =

1 , 1 + sτ

τ >0

Lezione 7 Novembre 2006

|L(jω)|

0 dB/dec

121

L(jω)

1/τ

1/τ

0 dB/dec ω

ω

−20dB/dec −π/2

(a) Diagramma del Modulo

(b) Diagramma della Fase

Figura 11.2.3: Andamento di modulo e fase tipico di un sistema del primo ordine

Ho un andamento dei livelli asintotico. • ad una pendenza di 0 dB corrisponde una fase di 0 rad. • ad una pendenza di -20 dB/dec corrisponde una fase di − π2 rad. Ho proporzionalit`a tra la pendenza del modulo e la fase.

Esempio 11.2.3. Sistema del II o ordine 1 ; 0 del logaritmo per la funzione:

ottenendo:

d ln |L(j ω)| d ln ω

(11.2.11)

d log10 |L(j ω)| 1 d 20 log10 |L(j ω)| = d log10 ω 20 d log10 ω

(11.2.12)

1 d |L(j ω)|dB d ln |L(j ω)| = d ln ω 20 d log10 ω

(11.2.13)

d |L(j ω)|dB rappresenta la pendenza della retta nel diagramma di Bode, mentre 1/20 e` d log10 ω il rapporto tra la pendenza della retta e la pendenza locale. Il secondo termine della (11.2.8) e` il termine correttivo. Dove il termine

Lezione 7 Novembre 2006

123

|L(jω)| 0 dB/dec −20dB/dec ωp1

ωp2

ω

−40dB/dec

(a) Diagramma della fase

L(jω)

0 dB/dec

ωp1

ωp2 ω

−π/2 −π

(b) Diagramma della fase modulo

Figura 11.2.5: Andamento in modulo e fase di un sistema con due poli distinti. Nota. Nel punto ω0 , dove viene calcolata la derivata , la pendenza vale esattamente 20 dB/dec, da cui il primo termine della (11.2.8) indica che esiste una corrispondenza di -20 dB/dec e fase −π/2. La funzione peso e` concentrata intorno alla funzione ω0 . L’integrale assume valori apprezzabili solo nell’intorno di una decade rispetto a ω0 . π La fase perde − ogni perdita di almeno 20 dB del modulo. 2 L’andamento del modulo e` valutato solo per valore nullo dell’integrale. Il termine correttivo non modifica il primo termine della (11.2.8), nel caso in cui ω ≶ di una decade rispetto a ω0 . Diversamente intorno al punti ω0 : • Se la pendenza del modulo e` nulla, allora anche il secondo termine e` nullo (perch´e e` nulla la differenza tra le due derivate nell’integrale). 1. La fase e` costante e pari al valore del primo termine. 2. Se la pendenza e` costante anche la fase e` costante. • Se la pendenza non e` nulla ecco che un valore di fase viene corretto . . . e infatti nel disegnare l’andamento reale a partire da quello asintotico si applica una correzione proprio in corrispondenza del punto di rottura.

124

Capitolo 11

6 ln ω − ln ω0 ln coth 2

5 4 3 2 1 0 10-1

100

101

Figura 11.2.6: Andamento della funzione peso f (ω, ωo )

11.2.4 Valutazione del margine di fase della funzione La fase e` importante per la stabilit`a del sistema di controllo, in particolare il sistema dovr`a avere margine di fase positivo.

Im {L(jω)} mφ = π + arg [L(jωa )]

|

mφ

-1 ω = ωa

L(0) ω = +∞ ω(0) 1 bc

Re {L(jω)}

b

mφ ⇔ arg [L(jωa )] > −π

Figura 11.2.7: Diagramma di Nyquist

Il margine di fase e` una misura di quanto il guadagno ad anello aperto e` lontano dal punto -1, per il teorema di Nyquist se la curva gira intorno al punto -1, il sistema e` instabile. Nota. Per garantire la stabilit`a del sistema il margine di fase mφ deve essere maggiore di zero, ossia la fase di L(jω) alla pulsazione di attraversamento deve essere maggiore di −π.

Lezione 7 Novembre 2006

mϕ = π + arg [L(j ωa )] ,

con ωa pulsazione di attraversamento

125

(11.2.14)

da cui si ricava che mϕ > 0 per arg [L(j ωa )] > −π. Studio la stabilit`a ad anello chiuso del sistema: arg [L(j ωa )] > −π,

(11.2.15)

Il sistema risulta stabile se la fase della funzione L(j ω) alla pulsazione di attraversamento ωa e` maggiore di −π, la differenza tra arg [L(jωa )] e −π prende il nome di margine di fase1 . La pulsazione di attraversamento ωa e calcolata sfruttando la relazione (11.2.13). |L(j ωa )|dB

d |L(j ω)| 1 dB ∼ = 0 = 20 d log10 ω ω=ωa

(11.2.16)

Per avvicinarsi al profilo ideale, il modulo di L(jω) dovrebbe avere una brusca variazione, tanto pi`u la pendenza del modulo e` negativa, tanto pi`u negativa e` la fase alla pulsazione di attraversamento, sfruttando il Teorema di Bode possiamo scrivere: arg [L (jωa )] =

π 1 d |L(j ωa )|dB · 2 20 d log10 ωa

(11.2.17)

Non rispetto la condizione sul vincolo di stabilit`a del sistema in catena chiusa, non esiste nessuna L(s) che rispetti il profilo di andamento ideale. In particolare se la pendenza e` di - 40 dB/dec, la fase assume il valore di −π, il vincolo della stabilit`a non sar`a quindi soddisfatto. Osservazioni. Non esiste nessuna funzione L(s) e quindi nessun controllore che mi permettano di ottenere il profilo ideale di W (s) come in figure 11.2.8. Devo addolcire il profilo della mia funzione per ottenere un controllore che mi realizzi la L(s) che rispetti il vincolo di stabilit`a. Questo e` il problema che si applica nel caso pi`u semplice di impianto P (s) con poli e zeri stabili. Osservazioni. Il caso che fino ad adesso abbiamo trattato e` quello in cui l’impianto P (s) assume la forma pi`u semplice possibile, cio`e il nostro impianto ha una funzione di trasferimento a fase minima2 . Poich´e quando si considerano impianti meno semplici ( dove la funzione di trasferimento dell’impianto P (s) ha poli e zeri a parte reale ≥ di 0), quello che ci aspettiamo e` che le cose vadino ancora peggio.

Ricorda. Non si pu`o dimensionare un controllore C(s), tale per cui W (s) assume un profilo ideale nel caso in cui P (s) assume la forma pi`u semplice (funzione a fase minima), ne tanto meno nel caso in cui esso ha forma pi`u complessa.

1

Il margine di fase e` la differenza tra l’angolo −π e la fase della funzione di trasferimento ad anello aperto L(jω) valutata alla pulsazione per cui il modulo del guadagno ad anello vale 1 o meglio e` quella pulsazione per cui la funzione di trasferimento vale 0 dB 2 Tutti i poli e gli zeri a parte reale minore di zero, andamento monotono decrescente

126

Capitolo 11

|W (j ω)| 1

ω1 B3o ω2

0

ω

Figura 11.2.8: Profilo ideale di W (s)

11.3 Valutazioni sul profilo della funzione Vediamo quindi cosa si ottiene nel caso in cui l’impianto non presenta una FdT P (s) a fase minima.

Yo

+ -

L(s)

Y

Figura 11.3.1: Schema a blocchi di un sistema nel per lo studio del problema di Inseguimento.

L(s) = Lmf (s)

1 − sτ 1 + sτ

τ >0

(11.3.1)

Tutti i poli e gli zeri della funzione Lmf (s) sono a parte reale minore di zero (condizione di minima rotazione di fase).

11.3.1 Guadagno ad anello con zero a parte reale maggiore di zero Tale condizione si verifica tipicamente quando l’impianto P (s) presenta uno zero a destra. Dalla (11.3.1) possiamo scrivere s−1 s+1 con τ = 1 s2 + s + 1 s + 1 Devo cercare di isolare lo zero a destra. Riportando l’equazione nella forma di Bode, otteniamo:   1−s 1+s L (s) = − 2 (s + s + 1) 1 + s L(s) =

(11.3.2)

Il profilo ideale di W (s) non pu`o essere del tipo rappresentato in figura 11.3.2: Intuitivamente L(s) ha uno zero in 1/τ , mentre tutte le altre singolarit`a sono a parte reale minore di 0.

Lezione 7 Novembre 2006

127

|L(j ω)|

|W (j ω)|

γ1 1 γ2

0

B3o

ω

ω1 B3o ω2

0

(a) Profilo ideale del modulo di W (s)

ω

(b) Profilo del guadagno ad anello L(s)

Figura 11.3.2: Profilo Ideale di W (s) e il corrispondente profilo di L (s) ℑ [s] − τ1 τ1

ℜ [s]

Figura 11.3.3: Posizione dei poli e degli zeri di L (s) nel piano delle s

Ricorda. Esiste una relazione tra la stabilit`a del sistema ed il suo luogo delle radici: Qm (s − zi ) L(s) = k Qni=1 i=1 (s − pi ) ′

′

(11.3.3)

per k = 0 la funzione di trasferimento ad anello aperto coincide con la funzione di trasferimento ad anello chiuso.

L(s) = Lmf (s)

1 − sτ 1 + sτ

τ >0

(11.3.4)

Tutti i poli e gli zeri della funzione sono a parte reale > 0. Scriviamo ora la funzione di corrispondenza tra W (s) e il luogo delle radici ′ Qm k zi ) L(s) i=1 (s − = Qn W (s) = ′ Qm 1 + L(s) i=1 (s − pi ) + k i=1 (s − zi )

(11.3.5)

Se aumento il modulo, aumento la possibilit`a che il luogo delle radici risulti instabile, il polo tende a spostarsi sullo zero a destra rendendo il sistema stabile. ′ Qm |j ω − z | i (11.3.6) |L(j ω)| = k Qni=1 |j ω − p i| i=1 ′

k non pu`o essere fatto arbitrariamente grande per problemi di instabilit`a.

128

Capitolo 11

E´ necessario quindi studiare il modulo di L(jω) ad alte frequenze:

lim |L (j ω)|

ω→+∞

ω→∞ −→

′ k

(11.3.7)

ω n−m ′

essendo n > m, polinomio strettamente proprio, |L(jω)| tende a decresce nel caso in cui k sia molto grande, l’inizio della fase decrescente si sposta sempre verso frequenze maggiori. ′ Dato che k non pu`o essere grande, prima o poi |L(jω)| decresce. Ho un limite superiore della banda B3 che posso realizzare, essa non pu`o quindi essere arbitrariamente grande. Esempio 11.3.1. Da una prima analisi della funzione di trasferimento della (11.3.2), si osserva il segno negativo che domina la funzione, questo comporta che nel tracciamento del luogo delle radici, dovremo ′ seguire le regole di tracciamento per k < 0, cio`e il metodo inverso (A.1). Dal grafico e` possibile osservare che la funzione ad anello perto L (s) risulta essere nella regione instabile.

Root Locus 2

1.5

Imaginary Axis

1

0.5

0

−0.5

−1

−1.5

−2 −1.5

−1

−0.5

0

0.5 1 Real Axis

1.5

2

2.5

3

Figura 11.3.4: Luogo delle Radici della funzione (11.3.2)

Analiticamente Studio l’effetto del polo a destra sulla pulsazione di attraversamento. Impongo quindi un vincolo sulla banda del sistema, poich´e devo spostare a destra la banda del mio sistema, l’operazione e` quella di imporre un vincolo sulla banda di attraversamento e di conseguenza sulla banda del sistema. (Ho

Lezione 7 Novembre 2006

un vincolo sulla pulsazione di attraversamento e quindi sulla banda.) 1 − j ωτ = |L(j ω)| = |Lmf (j ω)| 1 + j ωτ = |Lmf (j ω)| ∀ ω ≥ 0

129

(11.3.8)

 1 − j ωτ = arg [L(j ω)] = arg [Lmf (j ω)] + arg 1 + j ωτ arg [L(j ω)] − arg [Lmf (j ω)] = arg [1 − j ωτ ] − arg [1 + j ωτ ] = arg [L(j ω)] − arg [Lmf (j ω)] = arctan(−ωτ ) − arctan ωτ = 

(11.3.9)

arg [L(j ω)] − arg [Lmf (j ω)] = −2 arctan(ωτ ) Per la parte a fase minima posso applicare il teorema di Bode per calcolare la fase, supponiamo inoltre che la pulsazione di attraversamento ωa e` tale per cui: |L(j ωa )| ∼ = 1 = |Lmf (j ωa )| = 1 Diagramma di Bode 60

0 Modulo in dB Fase

40

-20

20

-40

0

Gain (dB)

-20 -80 -40 -100 -60

Fase (degrees)

-60

-120 -80 -140

-100

-160

-120 -140 10^-01

10^+00

10^+01

10^+02

10^+03

10^+04

10^+05

-180 10^+06

Figura 11.3.5: Diagramma di Bode di una funzione a fase minima. La fase di Lmf (j ω), essendo proporzionale all’andamento del modulo, in corrispondenza della pulsazione di attraversamento ωa dovr`a essere negativa. arg [Lmf (j ωa )] = arg [L(j ωa )] + 2 arctan(ωa τ ) ≤ 0.

(11.3.10)

aggiungo e sottraggo π al primo membro. Ottengo quindi un vincolo sulla fase alla pulsazione di attraversamento. π + arg [L(ωa )] − π + 2 arctan(ωa τ ) ≤ 0 ⇒ 2 arctan(ωa τ ) ≤ π − mϕ | {z } mϕ

(11.3.11)

130

Capitolo 11

arctan(ωa τ ) ≤

π m  π − mϕ ϕ , ⇔ ωa τ ≤ tan − 2 2 2 mϕ 1 cot ωa ≤ τ 2

(11.3.12)

con 1/τ punto di rottura dello zero.

π 1 ⇒ ωa ≤ 2 τ Se lo zero e` sufficientemente lontano dall’asse immaginario (`e ad alta frequenza), non mi d`a problemi sulla mϕ =

ω 0

√ 3 τ

1 τ

mϕ =

π 2

mϕ =

π 3

Figura 11.3.6: Andamento del margine di fase mϕ al variare del polo dominante 1/τ . stabilit`a. Pi`u lo zero si avvicina all’asse immaginario, pi`u il sistema e` difficile da controllare. Lo zero a destra e` indice di un sistema con ritardo. Nota. Tanto pi`u lo zero e` fuori banda, tanto minori sono le problematiche legate alla stabilit`a del sistema. Diversamente se lo zero si avvicina all’asse immaginario, il vincolo e` sempre pi`u stringente. Esempio 11.3.2. mϕ = 60◦

ωe ≤

1√ 3 τ

Nota. Uno zero a destra e` sinonimo che esiste un certo ritardo nel sistema, infatti: e−sT =

1 − s T2

1 + s T2

un sistema che presenta un ritardo molto elevato ( e quindi uno zero sempre pi`u bassa frequenza) e` un sistema difficilmente controllabile.

Situazione di Polo a destra. Esempio 11.3.3. s+2 s+1 s+2 (s + 2) 1 + s L(s) = 2 = = − s −1 (s + 1) (s − 1) s + 1 − s} (s + 1)2 |1 {z τ =1

s+1 s+1 e scompongo la FdT in due parti, una parte a minima rotazione di fase e una parte instabile.

Per garantire che L (s) sia strettamente propria, suppongo una cancellazione

Lezione 7 Novembre 2006

131

′

In questo caso ho problemi per k piccoli. Per sistemi di questo tipo si hanno problematiche di stabilit`a per ℑ(s)

1 τ

ℜ(s)

Figura 11.3.7: Tracciamento dei poli e zeri nel piano delle s

Diagramma di Bode 20

-90 Modulo in dB Fase -100

0 -110 -20

-40

-130

-60

-140

Fase (degrees)

Gain (dB)

-120

-150 -80 -160 -100 -170

-120 10^-03

10^-02

10^-01

10^+00

10^+01

10^+02

10^+03

10^+04

10^+05

-180 10^+06

Figura 11.3.8: Diagramma di Bode della funzione L (s) in esempio. ′

valori di k piccoli: perch´e la radice che parte da 1/τ non ce la fa ad arrivare nel semipiano di sinistra. ′ • In questo caso k non pu`o essere fatto arbitrariamente piccolo, per problemi di instabilit`a. • Ho problemi nelle pulsazioni di attraversamento inferiore. Il polo ci fornisce un limite inferiore nella pulsazione di attraversamento ωa ovvero nella banda passante B3o . Nota. Questo non e` un problema del sistema di controllo, poich´e noi dovremmo far si che la banda si estenda sempre pi`u in alta frequenza. In particolare sviluppando come nel caso precedente, il vincolo che si ottiene e` il seguente: ωa ≥

mϕ 1 · tan τ 2

(11.3.13)

132

Capitolo 11 Root Locus 3

2

Imaginary Axis

1

0

−1

−2

−3 −6

−5

−4

−3 −2 Real Axis

−1

0

1

Figura 11.3.9: Luogo delle radici diretto della funzione L (s) .

ω 0

1 τ

ωa

Figura 11.3.10

Il polo limita inferiormente la pulsazione di attraversamento.

11.4 Sommario 1. Il profilo ideale pu`o essere solo approssimato. 2. Se L(s) (ovvero P (s)) ha uno zero a parte reale > 0 allora la pulsazione di attraversamento ωa (ovvero B30 ) ha un limite superiore (il cui ordine di grandezza e` dato dallo zero stesso). 3. Se L(s) (ovvero P (s)) ha un polo a parte reale > 0, allora ωa (ovvero B30 ) e` limitata inferiormente.

12 Lezione 9 Novembre 2006

12.1 Prestazioni in presenza del disturbo La presenza di poli e zeri sulla L(s), impone delle limitazioni sul profilo del mio segnale.

Y o (s)

+ -

L(s)

D (s) + +

Y (s)

Figura 12.1.1: Sistema in retroazione unitaria.

Precedentemente abbiamo visto che la scelta della B3 , o meglio della pulsazione di attraversamento ωa , e` limitata dalla presenza di poli e zeri a parte reale maggiore di zero, nella funzione di trasferimento dell’impianto P (s).

1. Lo zero introduce un limite superiore sulle specifiche di banda del controllore. 2. Il polo introduce un limite inferiore sulle specifiche di banda del controllore.

Devo quindi studiare come si comportano tali poli e zeri in presenza di un disturbo D (s), non necessariamente fuori dalla banda.

Considero quindi due funzioni di trasferimento: La prima modella come Y0 influenza Y L(s) W (s) = 1 + L(s)

Y o (s)

W (s)

Y (s)

La seconda che modella come il disturbo D influenza Y , quella che e` stata definita funzione di sensitivit`a.

Capitolo 12

134

1 1 + L(s) Dove W (s) e S(s) sono legate dal vincolo:

D(s)

S(s) =

S(s)

Y (s)

W (s) + S(s) = 1 Osservazioni. Se z0 e` uno zero a parte reale > 0 di L(s), ossia L(z0 ) = 0 per definizione di zero, L(s) ha uno zero a destra. Tale zero sar`a tipicamente inserito nell’impianto, non sar`a mai il controllore ad inserirlo. • W (z0 ) = 0 In ogni caso a destra del mio impianto. • S(z0 ) = 1 Per ogni polo p0 : ℜ { po } ≥ 0 di L(s), ossia L(p0 ) = ∞: Osservazioni. Sia p0 un polo a parte reale > 0 di L(s), ossia L(p0 ) = ∞, allora altrove:  S(p0 ) = 0 W (s) + S(s) = 1 W (p0 ) = 1

(12.1.1)

Ho dei valori particolari per poli e zeri a destra, ho la condizione di interpolazione. Nota. Se z0 e p0 sono vicini nel piano s si deve trovare una funzione W (s) che valga 0 nel primo e 1 nel secondo. W (s) sar`a quindi una funzione piuttosto complessa , che dovr`a presentare una brusca variazione in un intervallo molto piccolo. Hp:

Sia il disturbo D = 0, vediamo la risposta al gradino1 del sistema. y (t)

1

t Figura 12.1.2: Risposta a regime di un sistema del secondo ordine eccitato da un disturbo.

Il problema non pu`o avere delle cancellazioni polo zero stabili.  1   Y (s) = W (s) · s   E(s) = S(s) · 1 s 1

Essendo il sistema stabile la risposta al gradino sar`a l’unit`a.

(12.1.2)

Lezione 9 Novembre 2006

Cosa implica la presenza dello zero e del polo a destra sulla risposta a gradino?  1 o  Y (s) = W (s)Y (s) = W (s) s E(s) = Y o (s) − Y (s) = [1 − W (s)] Y o (s) = Y o (s)S(s)

135

(12.1.3)

Essendo Y (s) per definizione la trasformata di Laplace dell’uscita ottengo: Y (s) =

Z

+∞

y(t) e−st dt

(12.1.4)

e (t) e−st dt

(12.1.5)

0

analogamente : E(s) =

Z

+∞ 0

e poich´e esse valgono ∀ s varranno anche per s = z0 Y (z0 ) =

Z

+∞

−z0 t

y (t) e

dt,

E(z0 ) =

0

Z

+∞

e (t) e−z0 dt

(12.1.6)

e (t) e−p0 dt

(12.1.7)

0

ma non solo esse varranno anche per s = p0 Y (p0 ) =

Z

+∞

−p0 t

y (t) e

dt,

E(p0 ) =

Z

+∞

0

0

Dalla (12.1.3), possiamo calcolare: 1 Y (z0 ) = W (z0 ) = 0, | {z } z0 =0

1 1 Y (p0 ) = W (p0 ) = , | {z } p0 p0

1 1 E(z0 ) = S(z0 ) = | {z } z0 z0 =1

1 E(p0 ) = S(p0 ) = 0 | {z } p0

=1

Si ottiene ∀ ’zero’ z0 a parte reale ≥ 0 di L(s) si ha: Z

+∞

−z0 t

y (t) e

dt = 0,

inoltre, ∀ ’polo’ p0 a parte reale ≥ 0 di L(s): Z

+∞

−p0 t

y (t) e 0

1 , dt = p0

(12.1.9)

=0

Z

+∞

Z

1 z0

(12.1.10)

e (t) e−p0 t dt = 0

(12.1.11)

e (t) e−z0 t dt =

0

0

(12.1.8)

+∞

0

12.1.1 Analizzo lo zero Dalle relazioni precedenti si osserva che alle alte frequenze la Y (z0 ) = 0. Necessariamente la y (t), nell’origine, deve essere negativa, sotto elongazione. Dalla risposta al gradino, osservo se e` presente sotto elongazione. Il sistema si muove nella direzione opposta alla sollecitazione, (inizialmente alla direzione della forza). (Esempio sistema con ritardo come l’altalena).

136

Capitolo 12

e−z0 t

y (t) 1

1 t

0

(a) Risposta al gradino

0

t

(b) Andamento del termine esponenziale

Figura 12.1.3: Risposta al gradino di un sistema del secondo ordine con zero a destra In figure 12.1.3b, si nota che l’andamento e` decrescente ma sempre positivo, perch´e un prodotto y (t) e−z0 t sia uguale a zero e` necessario che da qualche parte y (t) sia negativo, l’area sotto intesa dalla cura della risposta a gradino , fig. 12.1.3a deve essere negativa per un certo periodo. y (t) deve quindi presentare una certa sotto elongazione. Sotto elongazione ⇔ zero a parte reale > 0 di L(s)

La presenza di uno zero a parte reale maggiore di 0 e` sintomo di un ritardo del sistema, si dice che il sistema parte in contro pendenza. Nota. Poich´e gli zeri a destra dell’impianto non possono essere cancellati, questa caratteristica della contro pendenza permane anche nell’impianto controllato. Si pu`o intervenire solo riducendo tali effetti dimensionando opportunamente il controllore.

12.1.2 Analizzo il polo L’andamento di e−p0 t ∼ = e−z0 t , ossia decresce ma rimane sempre positivo. Affinch´e il prodotto e (t) e−po t sia nullo, l’errore da qualche parte deve essere negativo. e (t) = y o (t) − y (t) = 1 − y (t) Sovra elongazione ⇔ polo a parte reale > 0 di L(s) Come mostrato in Fig. 12.1.4. sotto elongazione ↔ zero a parte reale > 0 sovra elongazione ↔ polo a parte reale > 0

Lezione 9 Novembre 2006

137

y (t)

1

t Figura 12.1.4: Risposta al gradino di un sistema del secondo ordine con polo a destra Nota. Ovviamente se l’impianto presente uno zero ed un polo a destra i due fenomeni si manifestano contemporaneamente, Fig 12.1.5.

y (t) 1 t

0

Figura 12.1.5: Risposta al gradino di un sistema del secondo ordine con zero e polo a destra Osservazioni. In particolare l’entit`a di questi effetti e` legata anche alla posizione dei poli e degli zeri a destra. Se ipotizziamo che il sistema sia stabile internamente (transitorio si estingue) + presenta un inseguimento asintotico perfetto ad un gradino ( L(s) ha polo in s = 0). Siamo sicuri che l’errore sar`a sicuramente compreso all’interno di un andamento di tipo esponenziale:

12.2 Sistema stabile internamente + inseguimento perfetto al gradino Prendo l’errore e (t) e lo maggioro: |e (t)| ≤ Ke−α t

(12.2.1)

In particolare e` importante non tanto K, si pu`o sempre dimensionare K in maniera che mi racchiuda il segnale, ma piuttosto il termine α che descrive la rapidit`a con cui decresce il termine esponenziale.

Y (s) = W (s)

1 1 bn sn + . . . b1 s + b0 = = s (s − p1 ) (s − p2 ) . . . (s − pn ) s

(12.2.2)

138

Capitolo 12

Yo

+ -

L(s)

Y

Figura 12.2.1: Problema di inseguimento in un sistema in retroazione unitaria.

Ricorda. Per l’ipotesi di sistema internamente stabile i poli della (12.2.2) sono tutti a parte reale minore di 0. Y (s) = antitrasformando si ottiene:

A1 A2 A3 An 1 + + + ... + + s − p1 s − p2 s − p3 s − pn s

(12.2.3)

y (t) = A1 ep1 t + A2 ep2 t + . . . An epn t + 1

(12.2.4)

e(t) = 1 − y (t)

(12.2.5)

ne considero il modulo |e (t)| =

|e (t)| ≤

−A1 ep1 t − A2 ep2 t − A3 ep3 t − . . . An epn t

|A1 | ep1 t + | A2 | ep2 t + |A3 | ep3 t + . . . + |An | epn t

(12.2.6)

L’esponenziale che caratterizza il mio errore e` quello pi`u piccolo poich´e sar`a quello che decresce pi`u lentamente. L’esponenziale α sar`a quindi leggermente pi`u grande del ‘maggiore’ dei poli a sinistra. ℑ{s} Piano delle α

Maggiore dei × poli a sinistra ×

ℜ{s}

×

−α Figura 12.2.2: Posizione del coefficiente α nel piano delle s.

α sar`a quindi la distanza dei poli dall’asse immaginario. Lemma 12.2.1. α e` una misura approssimata della banda del mio sistema, indice di come va a 0 (± velocemente) l’errore. α∼ = B3o Zero a Destra

sappiamo che :

Z

+∞ 0

y (t) e−z0 dt

(12.2.7)

Lezione 9 Novembre 2006

139

rappresenta la prima condizione e che per essere soddisfatta y (t) deve necessariamente avere una sotto elongazione iniziale (zona tratteggiata in rosso fig. 12.1.5) |e (t)| ≤ K e−α t ⇒ |1 − y (t)| ≤ Ke−α t ottengo quindi due possibili casi:

y (t) ≥ 1 − K e−αt

y (t) ≤ 1 + K e−αt

(12.2.8)

(12.2.9)

y (t) 1+K 1 + Ke−αt 1 1 − Ke−αt

1−K

Figura 12.2.3: La zona tratteggiata rappresenta i valori permessi della y (t). Perch´e la condizione (12.2.7) sia soddisfatta, y (t) deve avere una sotto elongazione e ci`o pu`o avvenire solo all’interno della zona colorata in figure 12.2.3. Al diminuire di α la regione di sotto elongazione e` maggiore. Contemporaneamente il picco e` diminuito. Si deduce che per valori di K piccoli si ottiene una sotto elongazione pi`u moderata. All’aumentare di α (lo zero entra sempre pi`u nella banda), maggiore e` l’effetto (pi`u marcato) della sotto elongazione. Nota. Dove la banda e` data dal pi`u piccolo polo a parte reale minore di zero. y (t) 1+K

e−α1 t

e−α2 t

1 e−α2 t 1−K

e−α1 t

t

Figura 12.2.4: Variazione della zona permessa di y (t) al variare dei valori di α. Caso in cui α2 < α1

Se α (ossia lo zero tende ad uscire dalla banda), la regione di sotto elongazione si allarga poich´e il termine esponenziale decresce pi`u lentamente. Siccome il contributo all’integrale deve essere lo stesso, il picco di sotto elongazione pu`o essere anche piu` piccolo. Viceversa se lo zero tende ad entrare in banda e dunque la regione di sotto elongazione a stringersi, il picco di sotto elongazione diviene piu` rilevante. Polo a destra Consideriamo adesso α con il polo ed in particolare con la sua posizione: Z +∞ e (t) e− po t dt = 0 0

L’errore e` inizialmente maggiore di zero ed il suo andamento e` rappresentato in figura 12.2.5:

L’errore deve andare a zero, in maniera molto veloce. Se aumento α rispetto al polo, aumento la velocit`a di risposta e aumento il tempo in cui rimane stabile. Osservazioni. La sovra elongazione e` tanto pi`u marcata tanto pi`u il polo po e` minore di α. In tale caso l’integrale della funzione errore e` pari a zero.

140

Capitolo 12

e (t) K + 1

y (t) 1+K 1 + Ke−αt

t 1 −K

+

Figura 12.2.5: Tracciamento dell’errore di inseguimento e (t) all’interno della zona permessa di y (t). L’errore parte da 1, poich´e e` dato da 1 − y (t) che e` inizialmente > 0

1−K

1 − Ke−αt

Figura 12.2.6: Andamento ipotizzato dell’uscita y (t) nel caso in cui α ≪ p0 , (polo fuori banda).

Nel caso in cui α ≪ po ( polo e` fuori dalla banda) Ho una zona dove il sistema e` in sovra elongazione. Per α ≪ po , il sistema risponde con una sovra elongazione maggiore. Adesso variando α, l’andamento dell’inviluppo dell’errore avr`a una convergenza pi`u o meno veloce 0, fig.12.2.7. Se α ≫ po → • e−po t va a zero lentamente ed e` circa costante nel primo intervallo di tempo. e (t) deve andare a 0 ( e quindi y (t) tende ad 1) abbastanza velocemente e poi deve restarci. • y (t) raggiunge velocemente la sovra elongazione e ci rimane a lungo. In particolare questo fenomeno e` tanto pi`u rilevante (ossia tanto pi`u e marcata la sovra elongazione ) quanto pi`u il polo e` minore di α, e questo torna per quanto detto: polo a destra limita inferiormente la banda. Tanto pi`u il polo viola il limite della banda tanto pi`u il picco di sovra elongazione sar`a maggiore. Considerazioni 1. La presenza di uno zero a parte ℜ [zi ] > 0 di L(s), garantisce la presenza di sotto elongazione della risposta al gradino. Il picco di sotto elongazione e` tanto pi`u marcato, quanto pi`u lo zero z0 e` in banda (α). 2. La presenza di un polo a parte ℜ [pi ] > 0 di L(s), garantisce la presenza di sovra elongazione nella risposta al gradino. Il picco di sovraelongazione e` tanto pi`u marcato, quanto pi`u il polo p0 e` fuori dalla banda (α). Nota. queste considerazioni sono fatte su L(s) perch´e qualunque zero e polo a destra dell’impianto P (s) sono anche zeri e poli di L(s) perch´e il controllore pu`o cancellarli. Se il controllore e` opportunamente progettato per avere una certa banda, allora i fenomeni di sovra e sotto elongazione possono essere mitigati. Problema della risposta in freqeunza I poli e gli zeri a parte reale maggiore di zero hanno effetto anche sulla risposta in frequenza. Prendiamo lo schema di controllo classico con disturbo in uscita. Facciamo le seguenti ipotesi: 1. Sistema stabile internamente. 2. Disturbo sinusoidale del tipo: d(t) = A sin ω t

y (t) → A ×

|S(j ω)| | {z }

|S(j ω)| 0 • Se L(s) ha uno polo a parte reale maggiore di 0, ossia L(p0 ) = 0, allora il sistema presenta una sovra elongazione con ℜ [p0 ] > 0 Esempio 13.1.1. Sia L(s): L(s) =

2 (1 − s) s (s + 5)

La funzione presenta uno zero a destra in 1. Calcoliamo quindi W (s) e riportiamo sul piano delle s poli zeri. 2 (1 − s) 2 (1 − s) 2 (1 − s) L(s) = 2 = 2 = W (s) = 1 + L(s) s + 5s + 2 (1 − s) s + 3s + 2 (s + 1) (s + 2) ℑ{s}

×

−2

×

−1

bc

1

ℜ{s}

Figura 13.1.1: Rappresentazione nel piano delle s dei poli e degli zeri di W (s). Valutiamo quindi la sua risposta al gradino. Y (s) =

2 (1 − s) 1 1 W (s) = s (s + 1) (s + 2) s

Capitolo 13

144

Sia inoltre: Y (s) =

1 2 (s + 1) (s + 2) s

allora: Y (s) = Y (s) − sY (s)

Antitrasformando Y (s) ottengo:

y(t) = y¯(t) + y¯o (t)

Osservazioni. Moltiplicare una funzione per ‘s’ nella trasformata di Laplace equivale a derivare la funzione nel dominio del tempo, quindi il termine sY (s) equivale a y¯o (t), nel caso in cui y¯(0) = 0 (condizioni iniziali nulle).

Ricorda. α equivale alla parte reale del polo maggiore. Studio quindi come e` fatta la risposta al gradino di y(t) infatti: y¯ (t),¯ y o (t) a

b

1

t

bc

o

Figura 13.1.2: Andamento nel dominio del tempo delle due funzioni y¯ (t) e y¯o (t) 1 Y (s) =  1 + 32 s +

s2

L’equazione assume la forma tipica del secondo ordine:

2



1 s

1 s s2 1 + 2ζ + 2 ωn ωn √ 2eζ = con ωn = esponenziale.

3 4

√

2 > 1. La risposta al gradino non e` oscillante ma bens`ı crescente di tipo

La funzione di trasferimento y (t) e` pari alla differenza tra y¯ (t) e y¯0 (t) otteniamo quindi tre zone temporali, su cui possiamo valutare l’andamento di y (t): tratto a: tratto o: tratto a:

Essendo y¯0 (t) > y¯ (t) allora y (t) < 0, la funzione presenta sotto elongazione. Essendo y¯0 (t) = y¯ (t) allora y (t) = 0. Essendo y¯0 (t) < y¯ (t) allora y (t) > 0, la funzione tender`a asintoticamente a 1.

Lezione del 14 Novembre 2006

145

y (t) 1

t

bc

a o

b

Figura 13.1.3: Si osserva che il sistema avendo un solo zero a destra, parte in contro pendenza. Si parte con una sotto elongazione per poi tendere al valore di regime. Esempio 13.1.2. Sia L (s): L(s) =

2(2s + 1) s (s − 1)

2(2s + 1) 2 (2s + 1) 2(2s + 1) L(s) = 2 = 2 = 1 + L(s) s − s + 4s + 2 s + 3s + 2 (s + 1) (s + 2) 2 4s 1 1 0 Y (s) = Y (s) = , (s + 1)(s + 2) s (s + 1)(s + 2) s

W (s) =

dall’esempio precedente si ricava:

y (t) = y¯ (t) + 2¯ y o (t)

y¯ (t), y¯o (t),y (t) 1

t Figura 13.1.4: Andamento nel dominio del tempo di y¯ (t) (curva in nero), y¯o (t) (curva in blue) e la loro somma y (t) ( curva tratteggiata in grigio).

Esempio 13.1.3. Sia: P (s) =

s − z0 s (s − p0 )

dove p0 e z0 , sono uno zero ed un polo a destra. E´ richiesto di progettare C(s) maniera tale che W (s) abbia tre poli in s = −1: W (s) =

C(s)P (s) 1 + C(s)P (s)

Al solito sui chiede che il sistema sia stabile internamente e che il controllore sia fisicamente realizzabile, quindi E(C) ≥ 0.

146

Capitolo 13 o

W (s) =

x

z }| { z }| { (s − z0 ) (a + bs) (s + 1)3 | {z } k

Ricorda:

o. Tutti gli zeri a parte reale maggiore di 0 di L(s) e quindi di P (s), devono essere zeri di W (s) x. I poli a parte reale maggiore di 0 di L(s) e quindi di P (s), devono essere zeri di 1 − W (s). • i poli sono in s = 0 e in s = p0 . • ho due condizioni da rispettare ho quindi un polinomio di ordine 2. j. La condizione sull’eccesso e soddisfatta perch´e si richiede che E(W ) ≥ E(P ) La condizione sul polo triplo in −1 la ottengo imponendo che il polinomio a denominatore di W (s) sia pari a (s + 1)3 .

con a e b : Impongo:



W (0) = 1 W (p0 ) = 1

W (0) = −z0 · a = 1 → a = − da cui: W (s) =

 −z0 1 −

s z0

  − z10 + bs

(a + s)3

con γ ≡ −b z0 e γ t.c. W (p0 ) = 1 → 

 1−

p0 z0



=

1 z0

 1−

s z0



(1 + γs)

(1 + s)3

(1 + γp0 )

=1 (1 + p0 )3  3 1 (1 + p0 )   − 1 · = γ p0 p0 1 − z0

Una volta trovata la W (s) posso trovare per inversione il controllore C(s):

Ricorda. Devo confrontare la posizione di p0 e di z0 con quella di α; in questo caso essendo i poli tutti in −1, α = 1

Poich´e c’`e stato uno scambio di posizione tra il polo e lo zero, il sistema sente prima l’effetto del polo che si trova vicino al limite della banda, quindi la risposta al gradino del sistema presenter`a inizialmente una sovra elongazione, fig. 13.1.7.

Lezione del 14 Novembre 2006

147

a Hp: E´ presente solo lo zero a destra z0 = 0.5, mentre il polo e` considerato stabile p0 = −0.5, ci dobbiamo quindi aspettare sotto elongazione nella risposta. z0 α

1.5

bc

|

0.5

1

y (t)

1.0 0.5 t -0.5 -1.0 Figura 13.1.5: Hp: di polo stabile e zero a destra. Si osserva dal grafico una sotto elongazione molto pronunciata

b Hp: Cominciamo ad introdurre il polo a destra oltre allo zero a destra z0 = 0.5, mentre il polo e` considerato p0 = 0.2 all’interno della banda, ci dobbiamo quindi aspettare un picco di sovra elongazione, come mostrato in figura 13.1.6. p0 z0 α ×

bc

0.2 0.5

|

1

y (t) 3 2 1 t -1

5

10

-2 -3 Figura 13.1.6: Hp. di zero e polo a destra, con pulsazione del polo minore della pulsazione dello zero. Si osserva che la risposta parte con una sotto elongazione per poi avere un picco di sovra elongazione.

148

Capitolo 13

c Hp: Supponiamo che il polo si sposti verso il margine della banda e lo zero sempre pi`u all’interno. z0 p0 α ×

bc

0.2 0.5

|

1

y (t) 6 4 2 t 5

10

-2 -4 -6 Figura 13.1.7: Hp di zero e polo a destra, con pulsazione del polo superiore alla pulsazione dello zero. Il sistema parte con una sovra elongazione. Nota. Se noi osservassimo solo la funzione di trasferimento W (s) osserveremmo solo i 3 poli in −1, non ci aspetteremmo quindi un andamento di y (t) di questo tipo. Nota. L’andamento di y (t) e` tanto pi`u complesso quanto pi`u lo zero si spinge in banda e quanto pi`u il polo si spinge verso l’esterno.

13.2 Effetto di poli e zeri a destra sulla risposta in frequenza al disturbo di uscita Analizziamo quindi l’effetto del polo e dello zero a destra sulla risposta in frequenza del sistema.

Yo

+ -

L(s)

+ +

D Y

Figura 13.2.1: Schema a blocchi sistema

L’effetto di D sull’uscita e` modellato dalla funzione di sensitivit`a: Il disturbo D modella l’incertezza che esiste sul sistema, ossia il fatto che la Y misurata non e` esattamente l’uscita reale ma ad essa e` sommata qualcosa che non conosciamo.

Lezione del 14 Novembre 2006

S(s)

D(s)

149

Y (s)

Sia il disturbo sull’uscita di tipo sinusoidale: d (t) = A sin(ωt) t→∞

y (t) → A

|S(j ω)| | {z }

sin ((ω t) + arg [S(j ω)])

|S(j ω)| 1

(13.2.2)

Scrivo: L(jω) = x + jy

(13.2.3)

(13.2.2) = |1 + x + jy| > 1 q (1 + x)2 + y 2 > 1

(13.2.4)

Da cui ottengo:

(1 + x)2 + y 2 > 1

ma l’espressione (13.2.4) rappresenta l’equazione della circonferenza di raggio r = 1 e centro c = (−1, 0). Quindi perch´e |L(jω)| > 1, L(jω) deve stare fuori dalla circonferenza. L’andamento di L(jω) tipo quello in figura 13.2.2, soddisfa la condizione, ossia un sistema a cui essa e` relativa ha un |S(jω)| < 1, ∀ ω Osservazioni. Un andamento di L(jω) tipo quello tracciato dalla linea blue in figura 13.2.2, e` un tipico sistema del primo ordine. τ >0 k L(s) = con k>0 1 + sτ Invece un sistema del secondo ordine del tipo: L(s) =

k s (1 + sτ )

150

Capitolo 13

pr zon oi a bi ta

Im {L(jω)} ≡ y

ω = +∞

Re {L(jω)} ≡ x

|

-1

L(jω) L(jω) ω = 0+ Figura 13.2.2: Diagramma di Nyquist. La zona in rosso rappresenta la regione del piano proibita alla L(jω) per avere reiezione del disturbo sulla risposta in frequenza. da luogo ad un diagramma di Nyquist, per cui ad alta frequenza il sistema entra all’interno della circonferenza. Se ho un sistema con incertezza, ad alta frequenza l’incertezza la ritrover`o anche in uscita, viceversa in bassa frequenza essa sar`a attenuata.

Esempio 13.2.1. k = 1 Prendiamo il sistema del secondo ordine: L(s) =

S(s) =

k , con k > 0 s (s + 1)

s (s + 1) s2 + s + k

Forma di Bode

−→

1 s (s + 1)   k 1 + s + s2 k

k

dobbiamo quindi analizzare quando |S(jω)| < 1. Disegno quindi il diagramma di Bode del modulo di S(jω) e nel punto in cui esso diventer`a negativo allora vuol dire che |S(jω)| < 1. Analizzo il caso k = 1: s (s + 1) S(s) = 2 s +s+1 τ =1 ζ = 1/2 ωn = 1 Dalla funzione di trasferimento della sensitivit`a si osserva che per ω = ωn = 1 ho uno zero e due poli complessi coniugati, inoltre avendo due poli e due zeri nella funzione, l’andamento asintotico del modulo tender`a a 0 dB per ω grande.

Lezione del 14 Novembre 2006

151

|S(jω)|

Andamento Reale 101 ω = 0.71 e` la pulsazione di taglio oltre la quale non e` pi`u vero che |S(jω)| < 1

ω 10-1

101

102

Andamento Asintotico Figura 13.2.3: Andamento della funzione di sensitivit`a con k = 1

polo doppio |S(jω)| bc

103 102

+

101 zero 10-1

×

Andamento Reale ω = 2.23 e` la pulsazione di taglio oltre la quale non e` pi`u vero che |S(jω)| < 1, si osserva che tale valore e` maggiore rispetto al caso precedente

ω

101 Figura 13.2.4: Andamento della funzione di sensitivit`a con k = 10

Caso 2: k = 10

Osservazioni. Al crescere del guadagno, aumenta il picco e la frequenza di taglio diventa maggiore. Questo comportamento e` giustificato dall’esistenza di un teorema che e` una sorta di Se voconservazione dell’energia della funzione di sensitivit`a per il quale l’area negativa sottesa dal diagramma di Bode del modulo e` uguale a quella positiva. gliamo che |S(jω)| < 1 per una certa banda, mi devo aspettare, quando esco da tale banda di avere un picco molto pronunciato, sicuramente maggiore di quello che avrei avuto se avessi imposto la condizione sulla sensitivit`a su una banda piu` piccola.

152

Capitolo 13

13.3 Applicazione del Teorema di Bode Hp: L(s) non ha poli a parte reale maggiore di 0 ed il sistema e` stabile internamente. siano: E (L) eccesso della funzione L (s) ′

k = lim s (L(s)) s→∞

Tesi:

Z

+∞ 0

ln |S(jω)| dω =

(

−k

′

π se E(L) = 1 2 0 se E(L) > 1

(13.3.1)

Esempio 13.3.1. L(s) =

k , 1 + sτ

con k > 0,

τ >0

siamo nel caso in cui E(L) = 1, allora: Z

+∞ 0

ln |S(jω)| dω = −

π k π k lim s · = − · 2 s→∞ 1 + sτ 2 τ

Questo integrale ha un valore negativo quando |S(jω)| < 1 ed e` tanto pi`u grande tanto pi`u grande e` k.

ln |S(jω)|

|S(jω)| > 1

0

ω Le due aree colorate sono uguali

|S(jω)| < 1

Figura 13.3.1: Andamento in frequenza del modulo di una funzione sensitivit`a con eccesso poli e zeri strettamente maggiore di 1. Si pu`o osservare che la superficie in cui il modulo della funzione e` minore di 1 (zona tratteggiata in rosso) e` identica alla superficie per la quale il modulo e` maggiore di 1 (zona tratteggiata in verde). Nota. Nel caso di sistemi di controllo caratterizzati dall’avere un eccesso poli-zeri > 1, il teorema di Bode dice invece che la zona in cui la sensitivit`a e` minore di 1, ha una superficie uguale a quella per cui la sensitivit`a e` > 1.

Ricorda. La sensitivit`a misura il contributo del disturbo sull’uscita, se cerco di far cadere il disturbo all’interno della banda dove la sensitivit`a e` minore di 1 in modo da attenuarlo, mi devo aspettare un picco maggiore della funzione fuori banda.

Lezione del 14 Novembre 2006

153

ln |S(jω)| ω Figura 13.3.2: Andamento in frequenza del modulo di una funzione sensitivit`a. In questo caso per incrementare la reiezione dei disturbi abbiamo aumentato la zona in cui il modulo della funzione di sensitivit`a e` minore di 1 (zona tratteggiata in rosso).

Nota. Questo pu`o andare bene se il disturbo e` conosciuto, ma se non conosco la frequenza, questo e` localizzato. Fare una banda grande pu`o portare ad una amplificazione dello stesso perch´e casualmente esso potrebbe cadere anche fuori dalla banda. Nota. Questo era il caso in cui L(s) non ha poli a destra. Cosa succede se esistono poli a parte reale maggiore di zero ?. Intuitivamente ci aspettiamo che le cose peggiorino, ma devo cercare di quantificare di quanto peggiorino.

13.4 Formulazione Generale del Th. di Bode Hp: Sia il sistema stabile internamente e siano p1 , . . . , pn i poli a parte reale maggiore di 0 di L(s). Tesi: Z

+∞ 0

ln |S(jω)| dω = π |

N X

Re [pi ] +

i=1

{z ∗

}

(

−k

′

π se E(L) = 1 2 0 se E(L) > 1

(13.4.1)

• La presenza di poli a destra d`a un contributo positivo all’area (sovra elongazione). • L’aumento dell’area positiva pu`o creare un aumento della sua larghezza o del suo picco, tale effetto e` tanto pi`u marcato tanto pi`u grandi sono i poli (poli fuori banda). Nota. Questo risultato e` indipendente dallo specifico controllore che stiamo usando, tutto dipende dallo specifico impianto considerato P (s).

Dimostrazione: Indichiamo i poli a parte reale maggiore di zero nel seguente modo: L (¯ pi ) = ∞, ℜ [¯ pi ] > 0 con i = 1 . . . N e consideriamo il caso in cui E(L) > 1, per cui. Z

0

+∞

ln |S(jω)| dω = π

N X i=1

Re [pi ]

(13.4.2)

154

Capitolo 13

e quello che si vuole dimostrare e` il seguente. 1. Cominciamo dall’analizzare la funzione L(s) nella sua forma pi`u generale:

L(s) = k

′

m Y i=1

n Y i=1

(s − zi )

con m < n − 1

,

(s − pi )

La condizione m > n − 1 e` data dal fatto che E(L) deve essere almeno pari a 2. Inoltre N di questi n poli sono a parte reale maggiore di 0.

1 S(s) = = n Y 1 + L(s) i=1

n Y i=1

(s − pi )

(s − pi ) + k

′

m Y i=1

(13.4.3) (s − zi )

essendo m < n − 1 il polinomio a denominatore e` di grado n. Posso quindi scriverlo come:

(13.4.3) =

n Y

i=1 n Y i=1

(s − pi ) (13.4.4) (s − ri )

Dove ri sono i poli di S(s) ma sono anche poli di W (s), poich´e per l’ipotesi di sistema internamente stabile, i poli di W (s) sono tutti a parte reale minore di zero. ℜ [ri ] < 0 ∀ i = 1, . . . , n sn + an−1 sn−1 + an−2 sn−2 + . . . | {z } ∗

L’effetto degli zeri si pu`o far sentire solo sui termini ‘∗’ perch´e il, termine k

′

m Y i=1

almeno di grado n − 2. Basta scrivere il polinomio come:

(s − zi ) e` un polinomio

(s − p1 ) (s − p2 ) · · · (s − pn ) = sn + (−p1 − p2 − · · · pn ) sn−1 Q non solo posso espandere anche ni=1 (s − ri ): (s − r1 ) (s − r2 ) · · · (s − rn ) = sn + (−r1 − r2 · · · − rn ) sn−1

(13.4.5)

(13.4.6)

confrontando le due espressioni che rappresentano diversamente lo stesso polinomio: n X i=1

ri =

n X i=1

pi

(13.4.7)

Lezione del 14 Novembre 2006

155

Poich´e se esiste un polo complesso esista anche il suo coniugato, ci`o equivale a dire che: n X

Re [ri ] =

n X

Re [pi ]

(13.4.8)

i=1

i=1

La (13.4.8) rappresenta la nostra 2a condizione. Passo 2: Dall’espressione della sensitivit`a calcoliamo l’integrale: Z

Z

+∞

0

ln |S(jω)| dω =

+∞

0

Qn i=1 (jω − pi ) dω = ln Qn (jω − ri )

(13.4.9)

i=1

essendo il modulo di un prodotto uguale al prodotto dei moduli poso scrivere: Z +∞ X Z +∞ Y n n jω − pi jω − pi dω = ln ln jω − ri dω = jω − ri 0 0

(13.4.10)

i=1

i=1

Dove abbiamo sfruttato la propriet`a dei logaritmi in cui il logaritmo dei prodotti e pari alla somma dei logaritmi. Scambiano gli operatori di somma e integrale per il principio di linearit`a ottengo: ∞ ∞ Z +∞ X X jω − pi π dω = ln (|Re [pi ]| − |Re [ri ]|) (13.4.11) jω − r 2 i 0 i=1

i=1

per le propriet`a degli integrali posso scrive. Z +∞ jω − p 2 dω = 2π [|Re [p]| − |Re [r]|] = ln jω − r −∞ 2 Z +∞ Z +∞ jω − pi jω − pi dω = 4 dω = ln =2 ln jω − r jω − r 0 0 Z +∞ jω − pi dω = 2π [|Re [p]| − |Re [r]|] = ln = jω − r 4 0 π = [|Re [p]| − |Re [r]|] 2 L’integrale si pu`o equivalentemente scrivere come: Z +∞ n πX (|Re [pi ]| − |Re [ri ]|) = S(jω)dω = 2 0 i=1 | {z } n X

i=1

|Re [pi ]| −

↓ n X

i=1

|

|Re [ri ]| ↓

essendo Re [ri ] < 0 e dalla definizione di modulo posso scrivere:

n X

i=1

|Re [pi ]| +

{z

n X

i=1

}

Re [pi ]

(13.4.12)

156

Capitolo 13

Z

+∞ 0

n πX S(jω)dω = (|Re [pi ]| + Re [pi ]) = 2 i=1  se pi ha p. reale > 0 : |Re [pi ]| = Re [pi ] se pi ha p. reale < 0 : |Re [pi ]| = − Re [pi ]

La sommatoria pu`o essere ridotta alla somma sulle sole sparti reali maggiori si zero. =

n n n X πX πX (|Re [¯ pi ]| + Re [¯ pi ]) = (2 Re [¯ Re [¯ pi ] pi ]) = π 2 2 i=1

c.v.d.

i=1

i=1

(13.4.13)

14 Lezione del 16 Novembre 2006

14.1

Problema delle Prestazioni d y0

+ -

e

C(s)

P (s)

+ +

y

Figura 14.1.1: Sistema in retroazione unitaria con disturbo sull’uscita Un metodo molto utilizzato per definire le prestazioni del sistema nel caso in cui questo non fosse noto e quello di studiare la risposta del sistema ad un gradino in ingresso e definire alcuni parametri che devono soddisfare opportune condizioni, quali sovra elongazione sˆ, tempo di salita ts e tempo di assestamento ta . Questa classica tipologia di approccio e` molto utilizzata per sistemi a sintesi diretta o a sintesi per tentativi. y (t)

1

sˆ

t ts Figura 14.1.2: Risposta al gradino di un sistema del secondo ordine Diversamente e` possibile studiare le prestazioni del sistema utilizzando un approccio basato sulla risposta in frequenza del sistema stesso. Consideriamo un tipico problema di controllo: Esempio 14.1.1. Prendiamo lo schema di controllo in figura 14.1.1 e imponiamo le seguenti specifiche: d (t) = 0

158

Capitolo 14

y0 (t) ∈ ∆0 ≡ { A cos (ωt) , 0 ≤ A ≤ 1 , ω ≥ 0 }

assegnato l’impianto P (s), determiniamo C(s) tele per cui: lim |y0 (t) − y (t)| ≤ ǫ, {z }

t→∞ |

∀ y0 (t) ∈ ∆0 (14.1.1)

e(t)

lim e (t) ≤ ǫ,

t→∞

∀ y0 (t) ∈ ∆0

Sappiamo che E(s) = S(s)Y0 (s), per cui per t → ∞, inoltre se il sistema e` stabile internamente posso applicare il teorema della risposta in frequenza ottenendo: e (t) → A |S(jω)| cos (ωt + arg [S(jω)])

(14.1.2)

con A |S(jω)| ≤ ǫ ∀ A[ 0, 1] , ∀ ω ≥ 0. Consideriamo quindi il caso peggiore in cui l’ampiezza del segnale assume il suo valore massimo, per cui equivalentemente |S(jω)| ≤ ǫ, ∀ω ≥ 0 1 |S(jω)| ≤ 1, ǫ

∀ω ≥ 0

(14.1.3)

il problema dell’inseguimento pone quindi un vincolo sull’ampiezza della funzione di sensitivit`a. Definizione 14.1.1 (Norma H∞ di una funzione). Sia F (s) una funzione razionale fratta con poli e zeri a parte reale minore di 0. Allora si definisce norma H∞ di F (s) la quantit`a: kF k∞ = sup |F (jω)| = picco di risonanza di F (s) ω≥0

Nota. Questa definizione ha senso solo se F (s) e` stabile cio`e se ha tutti i poli a parte reale minore di 0. 1 Consideriamo quindi la funzione razionale fratta e costante Π1 (s) = e la sensitivit`a S(s). Facciamo ǫ quindi il prodotto e calcoliamo la norma H∞ : 1 |S(jω)| = ω≥0 ǫ

k Π1 · S k∞ = sup

( picco di risonanza)

(14.1.4)

Osservazioni. E´ lecito moltiplicare Π1 per S(s) poich´e la funzione S(s) ha tutti i poli a parte reale minore di 0, mentre Π1 non ha poli. Il loro prodotto da luogo ad una nuova funzione che non ha poli a parte reale minore di 0, per la quale e` possibile definire la norma H∞ questo ci permette di scrivere la condizione vista come: k Π1 · S k∞ ≤ 1

(14.1.5)

La (14.1.5), rappresenta un vincolo a cui si riducono molti problemi di controllo, inoltre rappresenta il modo standard con cui pu`o essere scritta la condizione di inseguimento. Esempio 14.1.2. d (t) = 0 y0 (t) ∈ ∆0 ≡ { A cos (ωt + φ0 ) , 0 ≤ A ≤ A(ω) , φ0 = φ0 (ω) , ω ≥ 0 }

Lezione del 16 Novembre 2006

159

vediamo quindi che il problema di inseguimento di questa classe di segnali pu`o essere riscritto nei termini visti: lim |y0 (t) − y (t)| ≤ ǫ, ∀ y0 (t) ∈ ∆0 t→∞

E(s) = S(s) · Y0 (s) per cui , per t → ∞ , e (t) → A |S(jω)| cos (ωt + φ0 + arg [S(jω)]) ≤ ǫ , ∀ A : [0 ≤ A ≤ A(ω)] , ∀ ω ≥ 0 al solito considero il caso peggiore per eliminare la dipendenza da A. A(ω) |S(jω)| ≤ ǫ A(ω) |S(jω)| ≤ 1 ǫ

∀ω ≥ 0

(14.1.6)

∀ω ≥ 0

Si pu`o considerare il segnale y0 (t) come l’uscita di un particolare blocco avente A(ω) come modulo e φ0 (ω) come fase ed in ingresso il segnale cos(ωt) A(ω)ejφ0 (ω)

cos(ωt)

A(ω) cos (ω t + φ0 (ω))

Figura 14.1.3: Rappresentazione equivalente di un segnale y o (t) appartenente alla classe dei segnali sinusoidali. Per la valutazione delle prestazioni di inseguimento robuste.

Complessivamente e` come se avessi il seguente sistema. { cos (ωt) , ω ≥ 0 }

A(ω)ejφ0 (ω)

+ -

C(s)

P (s)

y

Figura 14.1.4: Schema a blocchi equivalente per lo studio del problema di inseguimento robusto alla classe di segnali sinusoidali.

1 Sia Π1 (s) = F (s), dove F (s) ha tutti i poli a parte reale minore di zero e tale che F (jω) = A(ω)ejφ(ω) ǫ . 1 k Π1 · S k∞ = sup |F (jω)| |S (jω)| ≤ 1 (14.1.7) ω≥0 ǫ La (14.1.7) equivale a richiedere che: 1 sup A(ω) |S (jω)| ≤ 1 ω≥0 ǫ qualunque sia in segnale da inseguire, o meglio la classe di segnale sinusoidale da inseguire, il problema dell’inseguimento si pu`o ridurre a richiedere che: k Π1 · S k∞ ≤ 1,

∀ω≥0

con Π1 opportuna funzione di peso dipendente dalle caratteristiche del segnale da inseguire.

160

Capitolo 14

Ricorda. La funzione di sensitivit`a descrive come l’errore e l’uscita sono influenzati rispettivamente dal segnale desiderato e dal disturbo:  E(s) = S(s)Y0 (s) Y (s) = S(s)D0 (s) Riassumendo Le prestazioni di un tipico sistema di controllo richiedono che k Π1 · S k∞ ≤ 1 dove Π1 (s) e` una funzione razionale fratta avente tutti i poli a parte reale minore di 0. Ma che tipologia di funzione Π1 (s) ci vanno bene per il nostro problema ? Dobbiamo richiedere che: sup |Π1 (jω)S(jω)| ≤ 1 ⇒ ω≥0

|Π1 (jω)S(jω)| ≤ 1,

(14.1.8)

∀ ω≥0

poich´e il modulo di un prodotto equivale al prodotto dei moduli. |S(jω)| ≤

1 , |Π1 (jω)|

∀

ω≥0

(14.1.9)

Π1 definisce quindi una certa curva al di sotto della quale deve trovarsi il modulo della funzione di sensitivit`a. Esempio 14.1.3. Π1 (s) =

1 −→ specifica ǫ

|S(jω)| ≤ ǫ ∀ ω ≥ 0

|Π1 (jω)|

|S(jω)| Zona Proibita

1 ǫ

ǫ ω (a)

ω (b)

Figura 14.1.5: Profili dei moduli della funzione peso Π1 e della funzione di sensitivit`a S

Esempio 14.1.4. 

M ≫ 1 ∀ ω ∈ [0, ω ¯] =⇒ |S(jω)| ≤ Π1 (jω) 0 ∀ ω>ω ¯



1/M +∞

∀ ∀

ω ∈ [0, ω ¯] ω>ω ¯

Nota. Quello in figura e` un andamento ideale, non esiste nessuna funzione reale in cui il modulo vari istantaneamente. Nella realt`a dovremmo realizzare la funzione Π1 (s) in maniera tale che il modulo varia pi`u dolcemente.

Lezione del 16 Novembre 2006

M

|Π1 (jω)|

1 0

161

|S(jω)|

ω

ω ¯

1 M

ω ¯

ω

(b)

(a)

Figura 14.1.6: Andamento dei moduli della funzione peso e e della funzione di sensitivit`a nell’esempio 14.1.4 Se trovo un controllore stabilizzante C(s) tale da far si che k Π1 (s) S (s) k∞ ≤ 1 sono sicuro che |S(jω)| 1 e` < per ω < ω ¯. M Tra tutti i controllori stabilizzanti si deve scegliere quello parametrato rispetto alla funzione Q che rende 1/M pi`u piccolo possibile e ω ¯ pi`u grande possibile. In definitiva Π1 (s) e` una funzione razionale fratta, con tutti i poli a parte reale minore di zero, con modulo monotono decrescente o non crescente; Π1 (s) e` in pratica un filtro passa basso. Esempio 14.1.5. Siano L(s) =

K e Π1 (s) la funzione di peso ideale, espressa in figure 14.1.7. s

Y0

+ -

L(s)

Y

Figura 14.1.7 Π1 (jω) M ω ω ¯ 0 Figura 14.1.8: Profilo ideale di Π1 (s) Domanda: Che tipo di vincolo si ottiene sulla sensitivit`a? Devo studiare quando k Π1 S k∞ ≤ 1 S(s) =

1 =, 1 + L(s)

k Π1 S k∞ = sup |Π1 S| ≤ 1, ω≥0

1

s = k s+k 1+ s |Π1 (jω)| |S(jω)| ≤ 1,

Conoscendo la funzione di sensitivit`a posso scrivere: 1 s s = nella forma di Bode S(s) = s+k k1+ s k

∀ω ≥ 0

162

Capitolo 14

|S(jω)|

1 M

Andamento corretto ω

ω ¯

Figura 14.1.9: Profilo del modulo della funzione Sensitivit`a. La funzione ha uno zero nell’origine e un polo in k. La funzione sale prima per opera dello zero e poi si stabilizza per opera del polo, ma gli andamenti che si possono avere dipendo dal valore del guadagno k. Per soddisfare il vincolo basta imporre che: jω 1 ¯ 1 |S(j ω ¯ )| ≤ =⇒ ≤ M jω ¯ + k M

(14.1.10)

Nota. Il vincolo lo posso imporre solo per ω = ω ¯ e non per tutti gli ω perch´e rappresenti il caso limite. Se tale condizione e` soddisfatta per ω = ω ¯ , sono sicuro che e` soddisfatta per tutti gli ω inferiori, poich´e abbiamo imposto che |S(jω)| abbia andamento crescente.

√

1 ω ¯ ≤ 2 M +k

ω ¯2

elevando ambo i membri al quadrato ottengo: 1 ω ¯2 ≤ 2, 2 2 ω ¯ +k n

=⇒

M 2ω ¯2 ≤ ω ¯ 2 + k2
2 n2 − 1 ω ¯ ≤ k2 p k≥ω ¯ M2 − 1

(14.1.11)

Per i valori di k imposti dal vincolo (14.1.11) il vincolo sulla sensitivit`a e soddisfatto. Nota. tanto pi`u M e` grande tanto pi`u 1/M e` piccolo, ossia: tanto minore e` la sensitivit`a e quindi tanto e` minore l’errore di inseguimento. Esempio 14.1.6. L(s) =

k 1 − sT , s 1 + sT

T >0

La funzione di anello L(s) presenta uno zero a destra che mi impone un vincolo devo studiare quale.

Lemma 14.1.7. Esiste una propriet`a della norma H∞ di F (s) secondo cui k F (s) k∞ ≥ |F (s)| ,

∀ s : ℜ{s} ≥ 0

(14.1.12)

Lezione del 16 Novembre 2006

163

ℑ{s} Prendo il valore massimo sull’asse immaginario. bc

ℜ{s} deriva dal fatto che: sup |F (s)| = sup |F (jω)|

s:ℜ[s]≥0

(14.1.13)

ω≥0

nel nostro caso abbiamo un punto particolare nel semipiano destro (ω = 1/T ):       1 1 = Π1 1 k Πs k∞ = Π1 S T T T

(14.1.14)

Sapendo che la funzione di sensitivit`a in uno zero (a destra) vale 1.


Quindi se vogliamo far si che kΠ1 (s) S (s)k ≤ 1, basta imporre che Π1 T1 ≤ 1. Perch´e questa condizione sia soddisfatta, consideriamo l’andamento reale di Π1 (jω), basta allora richiedere che lo zero ω = 1/T si trovi a pulsazioni maggiori di ω ¯ , ossia che lo zero sia fuori banda. M

|Π1 (jω)|

1 0

bc

ω ¯

La pulsazione ω ¯ rappresenta il limite inferiore per il vincolo Π1 (jω).

ω

164

15 Lezione 21 Novembre 2006

15.1 Problema delle prestazioni Consideriamo al solito il sistema di controllo in retroazione: P (s) e` la FdT dell’impianto da controllare. y0

+ -

C(s)

y

P (s)

Figura 15.1.1: Schema del sistema di controllo per lo studio del problema di inseguimento asintotico. In realt`a si tratta solo di un modello matematico che descrive il sistema fisico reale. Solitamente e` difficile esprimere un sistema reale attraverso una sola FdT Problema della stabilit`a robusta Il problema della stabilit`a robusta consiste nello studiare la stabilit`a per una P (s) ∈ ad una famiglia P. Problema del controllore Il controllore deve garantire la stabilit`a del sistema qualunque sia la FdT dell’impianto ∀ P (s) ∈ P. Al posto di P (s) inserisco quindi una famiglia P di FdT: Lo schema che ottengo e` il seguente: P∆ Π2 (s) y0

+ -

C(s)

P (s)

∆(s) + +

Figura 15.1.2: Schema di controllo per lo studio delle prestazioni robuste dove: • P (s) FdT dell’impianto nominale della famiglia

y

166

Capitolo 15

• Π2 (s) Funzione di peso fissa. • ∆(s) Blocco che modella l’incertezza. Nota. Se ∆(s) = 0, la famiglia P si riduce all’impianto nominale P (s), infatti: La generica funzione ∈ questa famiglia P∆ e` . Pe(s) = P (s) [1 + Π2 (s)∆(s)] • Dove la funzione peso Π2 (s), e` per ipotesi una funzione razionale fratta con tutti i poli a parte reale minore di 0, (dipende espressamente da come e` fatto l’impianto). • ∆(s) e` una funzione razionale fratta con tutti i poli a parte reale minore di 0 e tale che k ∆ k∞ ≤ 1, ossia il suo picco di risonanza sia minore ≤ 1. Mr (∆) ≤ 1 La famiglia P∆ pu`o essere scritta cos`ı: P∆ =

n

Pe(s) : Pe(s) = P (s) [1 + Π2 (s)∆(s)] , k ∆ k∞ ≤ 1

o

(15.1.1)

cerchiamo quindi di capire il significato della funzione peso Π2 (s).

Mettiamo adesso un segnale sinusoidale ad una certa pulsazione in ingresso all’impianto: Π2 (s) u

P (s)

∆(s) + +

y

Figura 15.1.3: Sotto sistema P∆ . Sia u (t) = A cos (ωt) , per il teorema della risposta in frequenza, y (t) tende a:    A P (jω) [1 + Π2 (jω)∆(jω)] cos ωt + arg P (jω) [1 + Π2 (jω)∆(jω)]

(15.1.2)

Il numero complesso P (jω) [1 + Π2 (jω)∆(jω)] rappresenta la risposta in frequenza del sistema. Se ∆(jω) = 0 l’immagine di tale numero e` rappresentata dal punto 1 in figura 15.1.4. Se ∆(jω) varia, individuer`o un insieme diverso di punti. Devo quindi studiare quale sia il range di punti ammissibili. Sappiamo che ∀ ω ≥ 0 deve risultare |∆(jω)| ≤ 1 Ricorda. ∀ ω ≥ 0 ∆(jω) deve stare dentro la circonferenza di raggio unitario. In particolare essendo la relazione che lega l’immagine a ∆(jω) di tipo lineare, l’insieme dei punti sar`a una circonferenza (15.1.4).

Lezione 21 Novembre 2006

167

ℑ

b a

ℜ 1 b

c P (jω)

Figura 15.1.4: Regione del piano dove e` localizzata l’uscita y (t) del sistema. ℑ [∆ (s)]

1

Figura 15.1.5: Zona di esistenza della funzione ∆(jω).

ℜ [∆ (s)]

Osservazioni. Se ∆(jω) sta dentro la circonferenza allora anche l’immagine star`a dentro una circonferenza, abbiamo infatti deciso di prendere un punto individuato sulla circonferenza, individuato dal vettore ~a, esso a sua volta e` dato dalla somma di due vettori ~b e ~c: P (jω) = P (jω) + P (jω)Π2 (jω)∆(jω) | {z } | {z } ~b

(15.1.3)

~c

|P (jω)| |Π2 (jω)| |∆(jω)| = | {z } =1

(15.1.4)

= |P (jω)| |Π2 (jω)|

• Una volta assegnato l’impianto, il raggio e` modulato da |Π2 (jω)|. • Tanto pi`u grande e` |Π2 (jω)|, tanto + grande e` la circonferenza e di conseguenza tanto pi`u grande e` l’incertezza. Proviamo a rifare il disegno supponendo di valutare l’immagine per diverse pulsazioni. In figura ??, si osserva che il tratto continuo (in verde) e` l’andamento che otterremmo se considerassimo, come fino ora abbiamo fatto, una FdT che modella l’impianto reale. Viceversa una famiglia di funzioni di trasferimento P (jωi ), pu`o essere compresa all’interno di una circonferenza di raggio |P (jω)Π2 (jω)|. Se consideriamo le circonferenze in modo continuo, dovremo tener conto dell’inviluppo di tali circonferenze. Si individua cos`ı una certa fascia all’interno della quale si trova il nostro sistema vero, che non possiamo conoscere perfettamente a causa dell’esistenza di coefficienti incerti. Sostituiamo quindi la sua FdT con una FdT incerta e cerchiamo di costruire un controllore C(s) che garantisce la stabilit`a di tutte le FdT appartenenti alla famiglia. In questo modo sono sicuro che esso stabilizzi anche l’impianto reale (purch´e ovviamente esso sia esattamente all’interno della fascia, all’interno della famiglia).

168

Capitolo 15

ℑ

P (jω5 )

ℜ b

b

P (jω1 )

b

P (jω4 ) b b

P (jω2 ) P (jω3 )

Figura 15.1.6: Zone delle piano C, occupate dalle famiglie delle funzioni impianto P (jω) al variare della pulsazione.

15.1.1 Determinazione di P (s) e Π2 (s)

Esempio 15.1.1. Supponiamo che l’impianto vero Po (s) sia dato da: Po (s) =   con k incognito ma compreso nell’intervallo k, k .

k s−2

Vogliamo quindi determinare P (s) e Π2 (s) in modo che Po (s) appartenga alla famiglia P∆ .

Ricorda. P∆ = Graficamente:

n

Pe(s) : Pe (s) = P (s) [1 + Π2 (s)∆(s)] , k ∆ k∞ ≤ 1

o

  k , k ∈ k, k jω − 2 deve esistere un cerchio di centro P (jω) e raggio |P (jω)| |Π2 (jω)|. Po (jω) ad una determinata ω sar`a localizzato nel terzo quadrante. Agendo sulla costante k riesco a variare il modulo della funzione senza alterare la fase, quello che ottengo e` che il punto si sposta lungo la retta passante per il punto e l’origine degli assi. Po (jω) =

Poich´e e` bene avere circonferenze le pi`u piccole possibili, si assume che il segmento disegnato coincida esattamente con il diametro della circonferenza, il cui centro rappresenta proprio P (s):

il suo raggio e` dato invece da:


1 k+k P (s) = 2 s−2 |P (jω)| |Π2 (jω)| =

1 1 k − k 2 |jω − 2|

(15.1.5)

(15.1.6)

Lezione 21 Novembre 2006

169

ℑ

k P (jω)= jω−2

ℜ b

k jω−2

k jω−2

Figura 15.1.7: L’immagine dell’impianto vero e` un segmento nel piano complesso Ipotizzando che k > k ottengo: |Π2 (jω)| =


1 1 |jω − 2| k−k · 1 k−k ·
= 2 |jω − 2| k+k 2 k+k 
1  + k k     P (s) = 2 (s − 2)   k−k    Π2 (s) = k+k

(15.1.7)

(15.1.8)

Nota. In questo caso particolare il peso e` una funzione costante. Esempio 15.1.2. Sia :

1 −sT e s2 L’impianto presenta quindi un doppio polo in zero ed un elemento di ritardo. Ipotizioamo quindi che il ritardo sia una grandezza incognita tra 0 ≤ T ≤ 0.1. Po (s) =

In questo caso, poich´e noi abbiamo sempre studiato funzioni di tipo razionale fratte la scelta dell’impianto nominale e` banale: 1 non vogliamo che esso presenti un ritardo per cui scegliamo P (s) = 2 s Ci manca solamente da determinare Π2 (s) che deve essere tale per cui: ( Po (s) ∈ P∆ =

)

P (s) [1 + Π2 (s)∆(s)] , k ∆(s) k∞ ≤ 1

(15.1.9)

Deve esistere ∆(jω) con |∆(jω)| ≤ 1 tale per cui l’immagine sta nella famiglia, ossia. Po (jω) Po (jω) Po (jω) − P (jω) Po (jω) − P (jω) P (jω)

= P (jω) [1 + Π2 (jω)∆(jω)] = P (jω) + P (jω)Π2 (jω)∆(jω) = P (jω)Π2 (jω)∆(jω) = Π2 (jω)∆(jω)

(15.1.10)

170

Capitolo 15

L’uguagliare due quantit`a complesse (15.1.10) impone che sia il modulo che la fase siano uguali, ossia: Po (jω) − P (jω) = |Π2 (jω)∆(jω)| = |Π2 (jω)| |∆(jω)| | {z } P (jω) ≤1 (15.1.11) Po (jω) − P (jω) = |Π2 (jω)| = P (jω)

Devo pertanto determinare una funzione razionale fratta Π2 (s) con tutti i poli a parte reale minore di 0, che soddisfi tale condizione, ossia tale che: Po (jω) ∀ω≥0 (15.1.12) P (jω) − 1 ≤ |Π2 (jω)∆(jω)| , Osservazioni. P0 (jω) lo posso determinare sperimentalmente basta mettere una sinusoide in ingresso al sistema e prendere la sinusoide che esso fornir`a in uscita a regime: dal rapporto tra i loro moduli trover`o il modulo della Po (jω), dallo sfasamento esistente determiner`o invece la fase di Po (jω).

Devo scegliere una Π2 (s) funzione il cui modulo maggiori sempre l’andamento. Non importa che sia molto grande perch´e se cos`ı fosse otterrei al famiglia P∆ troppo grande. Si sceglie solitamente un Π2 (s) tale per cui il suo modulo sia molto vicino al limite richiesto.

Nel nostro caso: 1 −jωT 2e jωT (jω) ≤ |Π2 (jω)| , = e − 1 − 1 1 (jω)2

∀ T ∈ [0, 0.1] ;

∀ω≥0

(15.1.13)

scrivo quindi l’esponenziale come un numero complesso:

|cos(ωT ) − j sin(ωT ) − 1| ≤ |Π2 (jω)|

(15.1.14)

eleviamo tutto al quadrato per semplificare i conti: |cos(ωT ) − j sin(ωT ) − 1|2 ≤ |Π2 (jω)|2

(15.1.15)

calcolo quindi il quadrato del modulo: (1 − cos(ωT ))2 + sin2 (ωT ) = 1 + cos2 (ωT ) − 2 cos(ωT ) + sin2 (ωT ) = 2 (1 − cos(ωt)) avendo precedentemente elevato al quadrato ora estraggo la radice: p 2 (1 − cos(ωT )) ≤ |Π2 (jω)| , ∀ T [0, 0.1] , graficamente:

Si pu`o verificare che scegliendo una funzione Π2 (s) =

∀ω ≥ 0

0.21s , la condizione e` soddisfatta. 0.1s + 1

(15.1.16)

(15.1.17)

Lezione 21 Novembre 2006

p 2 (1 − cos(ωT ))

171

Massimo dell’inviluppo che posso avere, al di sopra del quale deve stare |Π2 (jω)| All’aumentare di T , otterr`o una cosinusoide a parit`a di ω, di frequenza via via crescente. Nel caso peggiore quando T = 0.1

ω Figura 15.1.8: Inviluppo delle funzioni La funzione Π2 (s) parte da zero e pu`o crescere per opera dello zero, nel punto ω = 10 incontra il polo e quindi diventa costante. La funzione Π2 (s) ha un andamento tipo filtro passa alto, poich´e l’impianto nominale cattura bene l’andamento a bassa frequenza. L’incertezza sar`a quindi concentrata in alta frequenza. Questo ci permette di modellare bene l’andamento del sistema in banda. Noi abbiamo visto come determinare le FdT P (s) e Π2 (s), ma nella pratica essi sono tipicamente assegnati. Nella realt`a ci si limita soltanto a determinare il controllore C(s). Ridisegnamo quindi lo schema di controllo. P∆ u v Π2 (s) ∆(s) + + P∆ y y0 C(s) P (s) + -

Figura 15.1.9 Dove: P∆ =

(

)

P (s) [1 + Π2 (s)∆(s)] , k ∆(s) k∞ ≤ 1

nella pratica sono note entrambi come detto.

15.2 Teorema della stabilita` robusta. Hp:

Sia C(s) un controllore stabilizzante per P (S).

Allora C(s) lo deve stabilizzare ∀ Pe(s) ∈ P∆ se e solo se k Π2 · W k∞ > 1. Con W (s) FdT ad anello chiuso riferita all’impianto nominale: W (s) =

C(s)P (s) 1 + C(s)P (s)

Progettando una W (s) sull’impianto si pu`o garantire una robustezza della stabilit`a, ossia siamo sicuri che siano stabili tutte le funzioni di trasferimento appartenenti alla famiglia P∆ .

172

Capitolo 15

Dire che C(s) e` stabile equivale a dire che . ∀ω≥0

|Π2 (jω)W (jω)| < 1

⇒

|W (jω)| <

1 |Π2 (jω)|

(15.2.1)

|Π2 (jω)| M 1 ω

ω ¯ (a) Andamento del modulo della funzione peso Π2 .

1 |Π2 (jω)|

Zona Proibita

1 √ 1/ 2 1/M ω ¯

ω

B3

(b) Zona dove e` garantita la stabilit`a robusta

Figura 15.2.1: Zona del piano in cui il modulo della funzione W (jω) soddisfa requisiti di stabilit`a robusta. Se ho incertezza e sono interessato solo alla condizione di stabilit`a robusta, posso risolve questo problema imponendo specifiche in termini di larghezza di banda e di ampiezza del picco di risonanza. Nota. Se volessi trovare il controllore ottimamente robusto dovrei scrivere W (s) in funzione di C(s) e di Q(s) e trovare cos`ı le condizioni che esso deve soddisfare. Dimostrazione (Implicazione sufficiente) Siano u e v i segnali nei punti indica nello schema 15.1.9, ossia ingresso e uscita al blocco ∆(s). Mi chiedo quindi quanto vale la funzione di trasferimento F (s). Per determinarla u v considero il seguente schema. ∆(s) Nota. Si trascura il segnale in ingresso, perch´e la stabilit`a e` una propriet`a delle FdT ed e` indipendente dai segnali presenti in ingresso o meno. F (s) Figura 15.2.2

Π2 (s) -

C(s)

v +

P (s) x (a)

u +

Lezione 21 Novembre 2006

F (s) = Π2 (s)



 C(s) · P (s) = −Π2 (s)W (s) − 1 + C(s) · P (s)

173

(15.2.2)

passo quindi al seguente schema equivalente: u

v ∆(s) −W (s)

Π2 (s)

∆(s)

− Π2 (s)

W (s) (b)

(a)

Figura 15.2.3: Schema equivalente per la determinazione di F (s). Devo quindi verificare le condizioni per la stabilit`a interna del sistema. 1. Non ci devono essere cancellazioni tra poli e zeri a parte reale ≥ 0 ma: • • • •

W (s) e` la funzione di trasferimento del sistema stabilizzato da C(s). W (s) ha poli a parte reale < 0. Π2 (s) ha poli a perte reale < 0. ∆(s) e` anche essa per definizione una funzione razionale fratta con poli e zeri a parte reale < 0.

Ne consegue che nelle tre funzioni non esistono poli a parte reale ≤ 0, non possono esservi quindi della cancellazioni polo-zero instabili. Posso quindi passare ad uno schema equivalente a retroazione unitaria: Studio quindi la stabilit`a del sistema di questo tipo utilizzando il criterio di Nyquist. Il suo diagramma non + -

Π2 (s) · W (s) · ∆(s)

Figura 15.2.4: Schema equivalente in retroazione unitaria per il problema della stabilit`a robusta. deve avvolgere il punto -1. Sappiamo per le ipotesi che: ∀ ω ≥ 0

|Π2 (jω)W (jω)| ≤ 1

Inoltre: |∆(jω)Π2 (jω) W (jω)| ≤ |Π2 (jω) W (jω)| ≤ 1. 1. Tutti gli andamenti stanno all’interno di una circonferenza di raggio unitario. 2. Inoltre per il teorema di Nyquist, poich´e i diagrammi non attraversano il punto -1 , il sistema in retroazione unitaria e` stabile. C(s) stabilizza l’impianto nominale P (s).

174

Capitolo 15

ℑ {∆(jω)} ≡ y

ω = +∞

×

ℜ {∆(jω)} ≡ x

-1 ∆(jω) Per ∆(jω) 6= 0 gli andamenti devono stare a destra del punto -1

Per ∆(jω) 6= 0 all’↑ di ∆(jω)

Figura 15.2.5: Diagramma di Nyquist Nota. Abbiamo dimostrato l’implicazione sufficiente, per dimostrare l’implicazione necessaria. Si procede quindi per assurdo: si parte dell’hp che kΠ2 W k = 1. Si arriva quindi a dimostrare che che i diagrammi di Nyquist passano per il punto -1. Ma cos`ı facendo il sistema non sarebbe stabile .... FALSO!, ci`o significa che l’ipotesi di partenza e` sbagliata.

15.2.1 Applicazione: Problema del pendolo inverso Ricordiamo che la FdT era del tipo:

1 1 − Lg s2

∆u

∆x

Figura 15.2.6: Modello del pendolo inverso

1. 2. 3. 4.

Quello descritto in figura 15.2.6, e` un modello matematico nominale approssimato per descrivere il sistema reale. Dobbiamo risolvere il problema della stabilit`a non solo questa FdT per tutta la famiglia delle FdT del pendolo. Consideriamo quindi il sistema in figura 15.2.7, dove:

Yo rappresenta la posizione iniziale. C(s) la nostra mano. Y Il punto di osservazione verso l’alto, sulla quale si sposta la mano in feedback. Π2 (s), in generale sar`a sempre un filtro passa alto stimabile sperimentalmente. P∆ Π2 (s) Y0

+ -

C(s)

∆(s) +

P (s)

+

Figura 15.2.7

Y

Lezione 21 Novembre 2006

175

perch´e C(s) stabilizzi tutte le FdT ∈ P∆ devo costruire una W (s) opportuna , tale che: k Π2 W k∞ < 1 Per la propriet`a della H∞ ottengo: k Π2 W k∞ ≥ |Π2 (s) W (s)|

∀ s : ℜ [s] ≥ 0

Ossia la norma H∞ , prende il massimo sull’asse immaginario della p FdT. Sapendo inoltre che i poli dell’impianto sono localizzati in s = ± g/L, p si osserva come l’impianto sia instabile poich´e presenta un polo a parte reale maggiore di zero: s = + g/L. Quanto vale la W (s) in un polo a destra? W (s) in polo a destra vale sempre 1: p  g/L = 1 W da cui :

p  g/L ≤ k Π2 W k∞ < 1 Π2

(15.2.3)

Perch´e il sistema sia stabile nella pratica deve valere: p  g/L < 1 Π2

(15.2.4)

La condizione (15.2.4) e` pi`u facile da soddisfare a bassa frequenza ( tenendo conto dell’andamento passa alto di |Π2 (jω)|). Poich´e su g ,accelerazione di gravit`a, non posso agire, l’unico parametro su cui posso |Π2 (jω)|

×

p× g/L

ω

Figura 15.2.8: Modulo della funzione Π2 . intervenire e` L. Per spostare la lunghezza L elevate.

p

g/L in bassa frequenza dobbiamo quindi avere a che fare con aste di

Osservazioni. Questo spiega per quale motivo e` semplice controllare il posizionamento verticale in equilibrio di un bastone lungo, pi`u tosto che di una penna.

176

16 Lezione del 23 Novembre 2006

16.1 Stabilita` Robusta Ridisegniamo lo schema di controllo in cui al posto dell’impianto singolo P (s) si ha una famiglia P∆ . P∆ Π2 (s) Yo

+ -

E

C(s)

P (s)

∆(s) + Y

+

Figura 16.1.1: Schema di controllo

dove: P∆ = Con:

n

Pe(s) = P (s) [1 + Π2 (s)∆(s)] ,

k ∆ k∞ ≤ 1

o

(16.1.1)

• P (s) impianto nominale: quello che abbiamo quando non esiste incertezza. • Π2 (s) funzione razionale fratta con tutti i poli a parte reale minore di zero. In generare e` un filtro passa alto: l’incertezza e` crescente in frequenza.

Ricorda. Problema della stabilit`a robusta: Sotto le ipotesi che C(s) stabilizza internamente l’impianto nominale, C(s) stabilizza internamente ogni impianto Pe ∈ P∆ se e solo se k Π2 W k∞ < 1. C(s)P (s) W (s) = 1 + P (s)C(s) Poich´e il sistema vero ∈ P∆ , allora C(s) stabilizza anche quello. Supponiamo di avere un problema di inseguimento e di considerare un segnale errore E. La FdT e` : 1 1 + C(s)P (s) [1 + Π2 (s)∆(s)]

(16.1.2)

178

Capitolo 16

1 1 + C(s)P (s) [1 + Π2 (s)∆(s)]

Yo

E = Yo − Y

Se ∆(s) = 0, la FdT si riduce:

1 = S(s) (16.1.3) 1 + C(s)P (s) La funzione 16.1.2 non e` altro che la funzione di sensitivit`a dipendente da ∆ (s), che indicheremo come S∆ (s). Ipotizziamo quindi che Yo sia del tipo A cos (ωt), allora per t → ∞ applicando il teorema della S∆ (s)

Yo

E = Yo − Y

risposta in frequenza avremo: e (t)

→

A |S∆ (jω)| cos (ωt + arg [S∆ (s)]) {z } |

(16.1.4)

♣

♣ Si pu`o chiedere che questo errore sia < di una qualche quantit`a costante o di un qualcosa che dipende dalla frequenza. A A |S∆ (jω)| ≤ ǫ ∀ω≥0 ⇒ |S∆ (jω)| ≤ 1 ǫ Nell’ipotesi in cui A ∈ [0, 1], la condizione deve essere vera ∀ ω ≥ 0 e ∀ A ∈ [1, 0]. 1 |S∆ (jω)| ≤ 1, ǫ

ω≥0

1 definendo quindi Π1 (s) = , si pu`o interpretare questa condizione equivalentemente come: ǫ k Π1 · S∆ (s) k∞ ≤ 1

(16.1.5)

(16.1.6)

L’espressione (16.1.6) rappresenta il modo standard per descrivere le prestazioni del sistema. Per risolvere il problema delle prestazioni si richiede che, una volta assegnato Π1 (s), risulti: k Π1 · S∆ (s) k∞ ≤ 1

Ma Π1 (s) come abbiamo visto e` generalmente un filtro passa basso . . . perch´e ci interessava avere inseguimento buono per segnali in banda. . . . questa condizione pu`o essere generalizzata nel parlare del problema delle prestazioni robuste.

16.1.1 Problema delle prestazioni Robuste Per il problema delle prestazioni robuste deve essere soddisfatta la condizione: k Π1 · S∆ (s) k∞ ≤ 1, dove:

∀ ∆ : k ∆ k∞ ≤ 1

(16.1.7)

1 (16.1.8) 1 + C(s)P (s) [1 + Π2 (s)∆(s)] Garantire la stabilit`a e le prestazioni per tutta la famiglia, ci assicura che esse siano garantite anche per il sistema reale. Ovviamente le due condizioni devono essere soddisfatte contemporaneamente. . ., ma esiste sempre una soluzione a questo problema? S∆ ps, =

Lezione del 23 Novembre 2006

179

16.2 Problema delle Prestazioni Robuste (PPR) + Stabilita` Robusta (PSR) I problemi di PPR e PSR hanno soluzione se e solo se: |Π1 (jω) S(jω)| + |Π2 (jω) W (jω)| < 1,

∀ ω ≥ 0.

(16.2.1)

questo problema si pu`o risolvere lavorando solo sull’impianto nominale, ovviamente purch´e Π1 (s) e Π2 (s) siano assegnati. In particolare bisogner`a determinare un controllore C(s) tale per cui le corrispondenti S(s) e W (s) soddisfino questa condizione. Dimostrazione: Hp di base:

C(s) controllore stabilizzante.

Problema PSR

dato dalla condizione |Π2 (jω) W (jω)| < 1,

Problema PPR

Π1 (jω) ≤ 1 ∀ ω ≥ 0 ∀∆ : k ∆ k ≤ 1 si pu`o scivere come ∞ 1 + C(jω)P (jω) [1 + Π2 (jω)∆(jω)]

Problema PSR+PPR

∀ω ≥ 0

La condizione per cui e` soddisfatto e` la seguente: 1 1 + C(jω)P (jω) Π1 (jω) + |Π2 (jω)W (jω)| ≤ 1 ∀ω ≥ 0

equivalentemente possiamo scrivere: |Π1 (jω)S(jω)| + |Π2 (jω)W (jω)| < 1 supponendo di ripetere questo ragionamento per ∀ ω, consideriamo un ω fissato, si pu`o scrivere in modo pi`u compatto tralasciando la dipendenza da jω. |Π1 S| + |Π2 W | < 1 } | {z } | {z a

dobbiamo quindi dimostrare che:

(16.2.2)

b

|Π2 W | < 1 (PSR) A Π1 1 + CP [1 + Π2 ∆] < 1 ∀ ∆ : |∆| ≤ 1 (PPR) B

(16.2.3)

Essendo a e b due numeri maggiori di 0. La condizione (16.2.2) e` vera se:

 |Π2 W | < 1 → Questa condizione dimostra la condizione A |Π1 S| < 1 − |Π2 W | → Bisogna dimostrare che questa implica la condizione B

(16.2.4)

180

Capitolo 16

La condizione B si pu`o scrivere come: 1 1 = = 1 + C P [1 + Π2 ∆] 1 + C P + C P Π2 ∆ 1 1    = CP (1 + C P ) | {z } 1 + Π2 ∆ 1+CP S {z } |

(16.2.5)

W

Allora la condizione B pu`o essere riscritta come: S Π 1 1 + C P [1 + Π2 ∆] = Π1 · 1 + W Π2 ∆ < 1

(16.2.6)

|Π1 S| < |1 + W Π2 ∆| ∀ ∆ : |∆| ≤ 1

Come detto la condizione deve essere verificata ∀ ∆ ( sia quando ∆ = 0, ∆ = −1, ∆ = 1 etc . . .). Essendo il modulo di una somma, minore uguale della somma dei moduli e maggiore uguale alla differenza dei moduli: 1 − |W Π2 ∆| ≤ |1 + W Π2 ∆| ≤ 1 + |W Π2 ∆| ≤1

≤1

z}|{ z}|{ 1 − |W Π2 | |∆| ≤ |1 + W Π2 ∆| ≤ 1 + |W Π2 | |∆| 1 − |W Π | ≤ |1 + W Π2 ∆| ≤ 1 + |W Π2 | | {z 2}

(16.2.7)

♯

Poich´e ♯ e` > |Π1 S| e poich´e questo e` il valore minimo che |1 − W Π2 ∆| pu`o assumere, allora siamo sicuri che: |1 − W Π2 ∆| > |Π1 S| , ∀ ∆ (16.2.8) Ritorniamo quindi al problema delle prestazioni robuste + stabilit`a robusta per il progetto di C(s) e lavoriamo sulla base del solo impianto nominale P (s) come supposto. Quindi assegnati Π1 (s) e Π2 (s) devo determinare il controllore C(s) tale che: 1. C(s) stabilizzi internamente P (s). 2. |Π1 (jω)S(jω)| + |Π2 (jω) W (jω)| < 1 ∀ ω , con: W (s) =

C(s)P (s) L(s) = 1 + C(s)P (s) 1 + L(s)

S(s) =

1 1 = 1 + C(s)P (s) 1 + L(s)

L(s) = C(s)P (s) + -

C(s)

P (s)

Lezione del 23 Novembre 2006

Osserva:

181

W e S dipendono dal guadagno ad anello, posso nuovamente riscrivere la condizione come: Π1 1 + Π2 L < 1 (16.2.9) 1 + L 1 + L

L’idea e` quella di non trovare C(s) bens`ı L(s) e da esso ricavare per inversione la FdT C(s), che soddisfa la condizione. Questo modo di procedere e` detto ’Loop Shaping‘, poich´e si deve dare una particolare forma al guadagno ad anello. Sostanzialmente il modulo del guadagno ad anello dovr`a avere un certo profilo, andamento, che dipende da Π1 (s) e Π2 (s).

Si lavora sulla funzione di trasferimento ad anello aperto L(s) come nella sintesi per tentativi. Diversamente nella sintesi diretta si lavorava sulla FdT ad anello chiuso W (s). Nota. Vedremo che in generale questo problema non sempre ha soluzione, perch´e Π1 (s) e Π2 (s) sono due filtri , l’uno passa basso e l’altro passa alto. Esiste una soluzione solo se non si ha cross-over tra le due bande. riscriviamo la condizione: |Π1 S| + |Π2 W | < 1 Ricorda. Tra S e W esiste una relazione: S + W = 1 ∀ ω Supponiamo quindi che ad una certa pulsazione, (tipicamente a bassa frequenza ) |Π1 | > |Π2 |. sfruttando |Π1 (jω)|,|Π2 (jω)|

ω Figura 16.2.1: Modulo della funzione Π2 (jω) e Π1 (jω). la relazione scritta: |Π1 S| + |Π2 (1 − S)| < 1

(16.2.10)

|Π1 | |S| + |Π2 | |1 − S| < 1 Se sostituisco a Π1 , Π2 allora questa quantit`a diventa ancora pi`u piccola: A maggior ragione la condizione e` soddisfatta. |Π2 | |S| + |Π2 | |1 − S| < 1 |Π2 | (|S| + |1 − S|) < 1

(16.2.11)

182

Capitolo 16

Essendo la somma dei moduli maggiore del modulo della somma posso semplificare l’espressione nel seguente modo: |Π2 | ≤ |Π2 | (|S| + |1 − S|) < 1 |Π2 | |S + 1 − S| = |Π2 | Sicuramente |Π2 | < 1 e il ragionamento analogo pu`o essere applicato se assumiamo |Π1 | < |Π2 |. Definizione 16.2.1. Condizione necessaria per avere soluzione e` che il pi`u piccolo tra Π1 e Π2 sia < 1. min { |Π1 | , |Π2 | } < 1

(16.2.12)

La 16.2.12, e` la condizione necessaria per la scelta dei pesi, se tale condizione non e` soddisfatta vuol dire: 1. L’errore e` troppo piccolo ( Π1 = 1/ǫ e` grande). 2. C’`e troppa incertezza (Π2 e` grande). |Π1 (jω)|,|Π2 (jω)|

×

1

×

ω Zona 1

Zona 2

Zona 3

Figura 16.2.2: Tecnica del Loop Shaping Hp:

Ipotizzo inoltre che tale condizione sia soddisfatta . . . quale e` la condizione sufficiente? Π1

1 L + Π2 0. Il segno di k viene scelto in modo che il sistema sia stabile. + -

L(s)

W (s) =

L(s) k = 1 + L(s) 1 + sτ + k

Radici del denominatore: 1 + sτ + k = 0 s = −

1+k < 0, τ

k > −1

192

Capitolo 17

dB 45 40 35 30 25 20 15 10 5

′ L (jω)

|L(jω)|

dB −40 dec

ω -5

10-1

100

−20

101 dB dec

102

103

104

dB −20 dec

Figura 17.1.10

Il problema diventa adesso parametrico: si tratta di scegliere τ e k opportuni, ossia che abbiano i segni indicati e tali da far si che L(s) stia sopra la curva A e sotto la curva B. Quale e` l’andamento di L(s) per generici valori di k e τ , aventi segni indicati? variando k e τ si pu`o traslare verso l’alto o il basso verso destra o verso sinistra rispettivamente la curva. Come si pu`o inserire questo andamento all’interno della curva precedente? L’andamento all’infinito e` vincolato : L(s) scende con -20 dB/dec e deve stare sotto la curva B che decresce con tale pendenza. Si assume quindi che L(jω) sia tangente alla curva B. Devo a questo punto scegliere un valore di k tale per cui |L(jω)| stia sopra la curva A e abbia punto di rottura τ1 in 1 (vedi andamento − in figura 17.1.10). Scrivo quindi L(s).

1 = 1 da cui τ = 1. τ • k tale per cui |L(jω)| = 0 in ω = 20

• Il punto di rottura

|L(jω)|ω=20 = 1 |L(jω)| =

k =

p

k k = √ = 1 |1 + j20| 1 + 202 1 + 202 ∼ = 20.025 → 20 L(s) =

20 1+s

(17.1.10)

Lezione del 28 Novembre

193

Questa espressione di L(s) che valori di M mi permette di ottenere? M M |Π1 (jω)| = |L(jω)|ω=1 = = A: 1 − |Π2 (jω)| ω=1 1 − |Π2 (jω)| 1 + j  1 −  20 1 + j 100 →

1−

M √ 1+1 r

20

1+

= √

20 → 1+1

1 100

20 20 M M √ √ = √ = √ → 2 2 2 2 1− r 1− 20 101 20 100

M = 13.14 Si ricava quindi che M ∼ = 13.14, errore di inseguimento ad un segnale sinusoidale di altezza arbitraria e banda unitaria risulta essere pari a 1/M circa 7%. Domanda: Si pu`o migliorare il valore di questo errore di misura, ad esempio, riducendolo all’1%?

Per fare questo devo capire come agire sulla forma della L(s). Poich´e non posso modificare il comportamento di L (s) dopo la pulsazione di attraversamento poich´e questo mi assicura: • |L(jω)| vada all’infinito con velocit`a richiesta di (- 20 dB/dec). • La pendenza alla pulsazione di attraversamento stessa sia di -20 dB/dec, che ci assicura un buon andamento della fase in termini di stabilit`a robusta. Posso per`o lavorare nella decade 1 ≤ ω ≤ 10: Per aumentare il valore di M potrei cercare di ottenere l’andamento (−), e` possibile aumentare il valore di k, inserendo un polo in ω = 1 che permetta una decrescita pi`u rapida del |L(jω)|. Ma in questo modo non e` pi`u soddisfatto il teorema di Bode, che mi impone che la pendenza della curva alla pulsazione di attraversamento sia di -20 dB/dec, mentre in questo caso sarebbe di -40 dB/dec. Posso rimediare a ci`o inserendo uno zero in corrispondenza della pulsazione ω = 10.   s s 10 1 + 200 1 + 20 ′ 10 = 10 · L (s) = 1 + s (1 + s) (1 + s)2 | {z } L(s)

Nota. Alla rete ritardatrice si assegna un guadagno pari a 10 perch´e come detto si deve aumentare il valore di k ma si deve comunque garantire l’attraversamento in ωa ∼ = 20

M √ = 2 1− 20

r

1 200 1 + 100 → M∼ = 92.93 2 (1 + j)

Si osserva che con il nuovo valore di M , l’errore di inseguimento ad ogni segnale sinusoidale nella banda ω ∈ [0, 1] e` circa pari all’1%.

194

Capitolo 17

Nota. Se P (s) non fosse stata a minima rotazione di fase, ad esempio avesse avuto uno zero a destra, allora, perch´e non si verifichino cancellazioni nella C(s), tale zero a destra doveva avercelo anche L(s). In tale caso non era pi`u possibile applicare il teorema di Bode alla L(s), quindi non e` pi`u possibile garantire la stabilit`a del sistema studiano unicamente l’andamento del modulo della funzione di trasferimento ad anello aperto.

18 Lezione del 30 Novembre 2006

18.1 Sistemi a Dati Campionati Abbiamo visto finora sistemi del tipo: y o (t)

+

e (t)

C(s)

u(t)

P (s)

y (t)

Figura 18.1.1 dove attraverso un segnale di errore viene dato il comando U (s) all’impianto, mentre C(s) e` il controllore sviluppato per un segnale tempo continuo. Diversamente per i sistemi a dati campionati, il controllore Cd e` realizzato attraverso segnale tempo continuo, in ingresso e uscita ma che internamente vengono campionato e poi ricostruito in uscita. Essendo P (s) un sistema reale tempo continuo, il controllore pu`o essere cos`ı realizzato: Analizziamo i blocchi che compongono il mio controllore C (s): e (s) C T MP

yo (t)

+ -

e (t)

ADC

ek

Cd

uk

DAC

u (t)

P (s)

Figura 18.1.2: Diagramma a Blocchi di un sistema a dati campionati

ADC Rappresenta il convertitore analogico-digitale, detto anche campionatore. Cd E´ il controllore tempo discreto. DAC Rappresenta il convertitore digitale analogico. TMP E´ il temporizzatore.

y (t)

196

Capitolo 18

Campionatore Il campionatore ha il compito di trasformare il segnale analogico e (t), ossia tempo continuo, in un segnale tempo discreto. e (t) bc bc bc bc

T

2T

bc

3T

kT

t

Il segnale in uscita dal ADC, ek = e (kT ) con T tempo di campionamento e k = 1, 2, . . ., e` una sequenza di campioni che viene poi elaborata da con controllore tempo discreto Cd , detto ‘controllore digitale’. Tale controllore prende sequenze di campioni in ingresso e restituisce in uscita un’altra sequenza di campioni uk . Tale sequenza uk rappresenta il segnale elaborato, tempo discreto, non ancora pronto per entrare in ingresso all’impianto P (s) che e` tempo continuo. Dalla sequenza di campioni si deve ricostruire in segnale tempo continuo.

18.1.1 Problema di interpolazioni Il problema di interpolazione consiste nella ricostruzione di una curva passante per i campioni. Tale compito e` svolto dal blocco di conversione digitale analogico detto ‘mantenitore’. e (t) u0 bc

u1 bc

u2

T

u3 bc

uk

bc

2T

3T

bc

kT

t

Nota. Il pi`u semplice mantenitore e` quello di ordine zero per cui: ∀ t ∈ [kT, (k + 1) T )

u (t) = uk da cui il termine mantenitore. uk u0 bc bc

u1 T

u2

u3 bc

bc

bc

uk

2T

kT

t

` Proprieta: Il mantenitore del primo ordine ricostruisce fedelmente un segnale costante, mantiene lo stesso campione per tutto il tempo di campionamento.1 Esistono comunque mantenitori di ordine superiore: Es. il mantenitore del primo ordine ha un andamento a rampa lineare, per tutto l’intervallo di campionamento, mentre il campionatore del secondo ordine ha un andamento a rampa parabolica. Osservazioni. Lo schema in figura 18.1.2, rappresenta un controllore analogico realizzato in maniera digitale, dove le operazioni effettuate dai singoli blocchi sono coordinate attraverso un temporizzatore. Devo quindi chiedermi come dimensionare (scegliere) i blocchi che costituiscono tale sistema. 1

Il mantenitore di ordine zero ricostruisce fedelmente un un eventuale segnale costante.

Lezione del 30 Novembre 2006

197

18.1.2 Problema del Controllore Quella appena descritta e` una implementazione digitale di un controllore tempo continuo. 1. Tipicamente i convertitori sono scelti di ordine zero. Si concentra l’attenzione sulla scelta del periodo di campionamento. 2. Il controllore digitale invece come si pu`o rappresentare? uk e` il valore di y all’istante kT , devo trovare quindi un modo per esprimerlo: uk dipende dai valori precedenti dell’uscita, dall’ingresso allo stesso istante e da quello agli istanti precedentie dal particolare istante in cui lo considero: uk = Φ (uk−1 , uk−2 , · · · ek , ek−1 , · · ·) ;

con k = 1, 2, 3, . . .

(18.1.1)

La (18.1.1) e` una formula generale, a noi interessa una forma semplificata ( implementazione del controllore analogico C (s), rappresentazione matematica del nostro controllore digitale nella sua forma generale):

Forma Semplificata Il controllore infatti e` lineare, uk e` una combinazione lineare, e stazionario, non dipende dal tempo ne dai valori di k, perch´e descritto da una funzione di trasferimento. uk = −a1 uk−1 − a2 uk−2 − . . . + b0 ek + b1 ek−1 + b2 ek−2 . . .

(18.1.2)

Il controllore descritto nella (18.1.2), parte da 0 ed ha memoria infinita. Per arrivare a regime devo compiere un numero elevatissimo di calcoli. Poich´e non e` possibile tenere conto in maniera indefinita di tutti gli ingressi passati e di tutte le uscite generate, dopo un certo numero di campioni, il controllore non prende pi`u in considerazioni, generalmente, quelli pi`u vecchi). Devo quindi estrarre dalla (18.1.2) il contributo lineare stazionario che sia a memoria finita. uk = −a1 uk−1 − a2 uk−2 − an uk−n . . . + b0 ek + b1 ek−1 + . . . + bn ek−n

(18.1.3)

Il controllore cos`ı ottenuto sar`a quindi: lineare, stazionario e a memoria finita. Nota. Avendo supposto che il controllore e` stazionario, i parametri a0 , a1 , . . . , b0 , b1 cono costanti. Adesso lavoriamo nell’intervallo: Essenzialmente scrivere la FdT del controllore equivale a scrivere: |

(k − n) T

(k − 1) T

kT

Lunghezza dell’orizzonte di calcolo

e (t)

C (s)

u (t)

Figura 18.1.3

U (s) =

N (s) = D (s) U (s) = N (s) E (s) D (s)

(18.1.4)

198

Capitolo 18

antitrasformando si ottiene un’ equazione differenziale, in cui una combinazione lineare delle derivate dei segnali u (t) e` pari ad una combinazione lineare delle derivate dei segnali e (t). Ma l’espressione della nostra uk non e` altro che una ‘equazione alle differenze’. L’idea e` di andare a lavorare anche in questo caso nel dominio trasformato, ma stavolta con la trasformata zeta. Vediamo un esempio elementare: uk = a1 uk−1 + bo ek + b1 ek−1 definisco:

con n = 1

(18.1.5)

 U (z) = Z [uk ] trasformata zeta di uk E (z) = Z [ek ] trasformata zeta di ek

In particolare posso scrivere la forma generale: Z [uk ] =

+∞ X

uk z −k

(18.1.6)

k=0

Z [uk ] = Z [−a1 uk−1 + b0 ek + b1 ek−1 ]

(18.1.7)

Per la linearit`a della trasformata zeta scriveremo. U (z) = −a1 z −1 U (z) + b0 E (z) + b1 z −1 E (z)

U (z) = −a1 Z [uk−1 ] + b0 Z [ek ] + b1 Z [ek−1 ]

1 + a1 z −1 U (z) = b0 + b1 z −1 E (z) U (z) = E (z)

b0 + b1 z −1 1 + a1 z −1




=

b0 z + b1 z + a1

(18.1.8)

(18.1.9)

(18.1.10)

Perci`o un controllore lineare stazionario a memoria finita pu`o essere rappresentato come una funzione di trasferimento nella variabile z, definita dal rapporto della trasformata zeta dell’uscita e la trasformata zeta dell’ingresso, nella forma pi`u generale scriveremo: U (z) b0 + b1 z −1 + . . . bn z −n b0 z n + b1 z n−1 + . . . bn = = E (z) 1 + a1 z −1 + . . . an z −n z n + a1 z n−1 + . . . an

(18.1.11)

Quindi il controllore digitale che vogliamo determinare e` caratterizzato da una funzione di trasformazione nel dominio zeta razionale fratto. Abbiamo quindi due problemi: 1. Scelta del tempo di campionamento 2. Passaggio al controllore digitale partendo da una FdT nel dominio s.

18.2 Scelta del tempo di campionamento Andiamo adesso a vedere come scegliere un corretto tempo di campionamento T , per ottenere una corretta implementazione digitale del nostro controllore analogico.

Lezione del 30 Novembre 2006 In ingresso metto un impulso:

G(s) ,

δ

A s−p

g (t) →

199

risposta impulsiva

Figura 18.2.1

A/D T

g (t)

gk = g (kT ) k = 0, 1, 2, . . .

Figura 18.2.2

Campionando la risposta impulsiva con un campionatore avente periodo T : In generale, dato un segnale tempo continuo, lo si andr`a a campionare e dopo alcune manipolazioni lo si riporter`a in analogico. In questa operazione e` importante la corretta scelta del tempo di campionanmeto T in modo che non si perdano informazioni di alcun genere. Sappiamo inoltre che esiste una corrispondenza biunivoca tra un segnale tempo continuo e la sua trasformata di Laplace, e che analogamente ne esiste un altra tra un segnale tempo discreto e la sua trasformata zeta. Posso quindi trasformare la sequenza di campioni g(kT ) nel dominio complesso attraverso l’operatore trasformata Z.

Z [gk ] ,

+∞ X

gk z −k = G(z)

(18.2.1)

k=0

Domanda: Che relazione esiste tra la trasformata di g (t) e quella di gk ? Per il teorema di Shannon sappiamo che esiste una relazione tra il segnale f (t) nel DT, ed il segnale fk = f (kT ), tale relazione e` di corrispondenza biunivoca.

Poich´e ad ogni f (t) e` associata univocamente una F (s) e ad ogni fk una F (z), si vuole vedere sotto quali condizioni esiste una corrispondenza biunivoca tra le trasformate. f (t) ↔ F (s) = L [f (t)] m fk (t) ↔ F (z) = Z [fk ]

Cercare di capire quando esiste una corrispondenza biunivoca tra il segnale continuo nel tempo e il segnale digitale, si pu`o studiare analogamente nel dominio delle trasformate. Esempio 18.2.1. Prendiamo un segnale la cui trasformata di Laplace e` :

G(s) =

A s−p

−→

L −1 [G (s)] ⇒ g (t) = A ep t

(18.2.2)

200

Capitolo 18

e il corrispondente segnale campionato sar`a del tipo: pkT

gk = g (kt) = A e

−→

Z [gk ] =

+∞ X

Aep k T z −k =

k=0 +∞ X

= A

k=0

=

+∞

X ep k T =A k z

k=0



ep T z

k

(18.2.3)

A epT 1− z

Az = Z [gk ] (18.2.4) z − epT Nel caso di questo esempio molto semplice si nota che la trasformata di Laplace del segnale a tempo continuo e la trasformata zeta del segnale campionato, sono entrambe razionali fratte con lo stesso ordine e in particolare un polo in z = ep T . G(z) =

Nota. • G(s) e` razionale fratta ed anche G(z) e` razionale fratta. • G(s) ha un polo anche G(z) ha un polo in particolare il polo in s = p, nel piano Z va a finire in ep T . ℑ [s] ℑ [z] ℜ [s]

×

p

×

ℜ [z]

epT sembra che la mappa con cui si trasformano i poli sia z = epT

Figura 18.2.3: Passaggio di una funzione di trasferimento dal piano delle s al piano delle z ma questo vale in generale? Consideriamo una G(s) pi`u complessa, che presenta n poli: G(s) =

N (s) (s − p1 ) · (s − Pn )

(18.2.5)

se la relazione vista fosse vera, potremmo scrivere la G(z) come: G(z) =

M (z) · (z − ePn T )

(18.2.6)

A1 An + ... + s − p1 s − pn

(18.2.7)

(z −

ep1 T )

che e` proprio la forma corretta della G(z). Scomponiamo quindi G(s) in fratti semplici: G(s) =

Lezione del 30 Novembre 2006

201

procediamo quindi a trasformare ogni generico termine: A1 z An z + ... + (18.2.8) P t 1 z−e z − epn T svolgendo il minimo comune multiplo nella (18.2.8) ottengo l’espressione (18.2.6), tale enunciato e` verificato a meno della presenza di cancellazioni. Abbiamo quindi individuato la mappa. Il problema adesso e` quello di verificare che essa sia invertibile o meno. se lo fosse vuol dire dal segnale campionato si pu`o ricostruire il segnale di partenza. G(z) =

Proprieta` propedeutiche Abbiamo visto come: I poli della trasformata di Laplace di g (t) si trasformano in poli della trasformata zeta di gk secondo la mappa z = epT . Devo adesso studiare come si trasformano i poli a parte reale minore di zero. In generale un generico punto s si pu`o scrivere come s = −σ + jω. z = es T = e(−σ+jω)T = e−σ T ejω T

 |z| = e−σ T  arg [z] = ω T

se σ < 0 allora −

(18.2.9)

ր |z| < 1 ց arg |z| dipende solo da ω

(18.2.10)

abbiamo considerato un polo a parte reale minore di zero. Perch´e il sistema sia stabile tutti i poli devono ℑ [s] ℑ [z] j ×

jω

ℜ [s]

−σ

−1

z = es T

1

ℜ [z]

−j

Figura 18.2.4: Passaggio dal piano s al piano z stare all’interno della circonferenza di raggio 1. Nota. Il modulo e` in corrispondenza biunivoca con la pare reale, diversamente succede per la fase che ruota. Esistono pertanto punti del piano s, su ogni retta parallela all’asse immaginario che hanno la stessa immagine nel piano z. Qualunque sia il punto al di fuori del segmento, in figura 18.2.5a, esiste un altro punto del segmento avente la stessa immagine z ( ossia ad esso corrisponde lo stesso campione). Diversamente non pu`o esistere corrispondenza biunivoca, indipendentemente da ∀ σ che io considero. Si crea quella che viene definita ‘striscia di Nyquist’.

Ricorda. Perch´e esista corrispondenza biunivoca i poli della G(s) devono stare all’interno di questa striscia. Noi vorremmo un tempo di campionamento tale per cui i poli stiano nella fascia di Nyquist, ossia vorremmo che ω, fosse minore di ωn , in questo modo avrei la ricostruzione fedele dei segnali che girano nel sistema di controllo.

202

Capitolo 18

ℑ [s] ω =

×

I punti all’interno di questo intervallo hanno corrispondenza biunivoca con i punti della circonferenza Γ. Ma gi`a agli estremi le immagini coincidono

π T

bc

−σ

ω=0 ω = −

×

ℜ [s] π T

(a) Piano delle s

ℑ [z]

j Tπ

all’aumentare di ω , ωn , Pulsazione di Nyquist = Tπ

Γ

bc

×

ℑ [s]

bc

ℜ [s]

ℜ [z] al diminuire di ω

Arrivano nello stesso punto quando ωT = π

−j Tπ

(b) Piano delle z

×

(c) Striscia di Nyquist

Figura 18.2.5

Nota. La dimensione della fascia di Nyquist dipende da T : al diminuire di T la striscia si allarga.

Ricorda. La posizione dei poli di un segnale sinusoidale e` ± jω, da cui otteniamo la condizione che ω < ωn , con ωn pulsazione di Nyquist. Si nota subito che la pulsazione di Nyquist ωn dipende dal tempo di campionamento T . Diminuendo il tempo di campionamento T si ottiene una fascia pi`u ampia, viceversa aumentandolo.

ω < ωn

→

2π f <

π , T

T <

1 2f

(18.2.11)

Per il teorema di Shannon otteniamo che T < 1/2f , con f frequenza fondamentale del segnale. Posso soB3 , defininendo stituire, nel caso di segnali in banda base alla f , il valore limite della banda passante f3 = 2π quindi f3 frequenza di taglio del sistema.

Lezione del 30 Novembre 2006

203

18.2.1 Scelta del periodo di campionamento Prendiamo il nostro sistema di controllo: y o (t)

+ -

e (t)

C(s)

u (t)

P (s)

y (t)

Quando si e` visto il progetto del controllore, una delle specifiche critiche che si e` visto e` relativa alla banda del sistema di controllo. Infatti se andiamo a considerare la funzione di trasferimento 1 ad anello chiuso, nel caso ideale avr`o un andamento come quello in figura 18.2.6. Andando a forme di implementazione digitale di W (s) o meglio del suo controllore, noi vogliamo che comunque il nostro sistema segua fedelmente ogni segnale sinusoidale: e (t) = E sin (ωt + ρ)

|W (j ω)|

B3o ω 0 Figura 18.2.6: Profilo ideale di banda della funzione W (s)

nella banda tra [0, B3 ]. Dalla teoria conosciamo che la trasformata di Laplace di un segnale sinusoidale come e (t), sappiamo che presenta i poli in ±j ω ¯ , mentre nel caso limite per ω = B3 avremo poli in ±jB3 mentre nel caso di segnali costanti che presentano cio`e ω = 0 si avranno poli in s = 0. Dalla relazione di Shannon e` possibile ricavare il passo massimo di campionamento. Poich´e i segnali che girano nel sistema devono stare all’interno della banda B3 dello stesso, si deve imporre che B3 stia nella fascia di Nyquist: π B3 < (18.2.12) = ωn T Devo quantificare di quanto ωn debba essere maggiore di B3 . Tipicamente si sceglie ωn a cavallo di una decade: π π (18.2.13) < T < 10 B3 B3 Cos`ı facendo il tempo di campionamento e` scelto. Tale range e` scelto per porre un limite inferiore al tempo di campionamento T del nostro sistema, legato a varie problematiche tra cui anche il costo.

18.3 Controllore Digitale • Come precedentemente enunciato, i convertitori, ADC e DAC, sono tipicamente di ordine 0. • Come si riesce a ricavare Cd da C(s)? Si tratta di far vedere che la relazione (18.3.5), pu`o essere riscritta nel dominio trasformato di Laplace, infatti nei sistemi tempo discreti vale una relazione analoga a quella dei sistemi tempo continui U (s) = E(s) · C(s). U (z) = Cd (z) · E(z) (18.3.1)

204

Capitolo 18

e (s) C

T MP

yo (t)

+ -

e (t)

ADC

ek

Cd

uk

DAC

u (t)

P (s)

y (t)

Figura 18.3.1: schema generale a blocchi di un sistema a dati campionati ek

Cd

uk

Dove U (z) e` la trasformata zeta di uk ed E(z) e` la trasformata zeta di ek nell’ipotesi di condizioni iniziali nulle per il calcolo della risposta forzata. Si e` visto che il controllore digitale C (z) altro non e` che: Cd (z) =

Z [uk ] bn z m + bn−1 z n−1 + . . . + b1 z + b0 = m Z [ek ] z + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0

Si assume Cd , essere un controllore digitale lineare stazionario a memoria finita, descritto nel caso in cui sia di ordine 1 da: Possiamo inoltre dimostrare che Cd (z) rappresenta la FdT del controllore digitale, scrivibile in termine dei coefficienti come: b1 z + b 0 (18.3.2) Cd (z) = z + a1 Ossia risulta razionale fratta, poich´e a memoria finita, e di ordine 1, poich´e il controllore e` di ordine 1. Z [uk ] =

b1 z + b0 Z [ek ] z + a1

(18.3.3)

ovvero: z + a1 (b1 z + b0 ) Z [uk ] = Z [ek ] ⇒ b1 Z [ek ] + b0 Z [ek ] z z

(18.3.4)

antitrasformando questa equazione si ottiene: uk + a1 uk−1 = b1 ek + b0 ek−1 . Possiamo perci`o scrivere che nel caso generale il campione k-esimo del nostro controllore digitale (nel caso n=1) e una combinazione lineare del tipo: (18.3.5) uk = −a1 uk−1 + b0 ek + b1 ek−1 Definizione 18.3.1. Il sistema Cd pu`o essere visto come una funzione di trasferimento Cd (z), cio`e in una funzione razionale fratta nella sola variabile z. Adesso e` necessario trovare delle regole che ci consentano di passare da C(s) a C(z):

Lezione del 30 Novembre 2006

Passaggio da C(s) a C(z) dominio s al dominio z:

205

L’idea intuitiva e` quella di sfruttare la mappatura dei poli nel passaggio dal

Considero z = es T scrivo s in funzione di z e lo sostituendo in C(s). Cos`ı facendo la C(z) che otterrei non e` razionale fratta, questo implica che il controllore e` a memoria infinita, cosa che io non voglio.

Il metodo ottimo e` quello che permette di approssimare esT con delle funzioni razionali fratte, in modo che sostituendo anche C(z) diventi una funzione razionale fratta.

206

19 Lezione del 5 Dicembre 2006

19.1 Sistemi a dati campionati 19.1.1 Richiami Abbiamo descritto come implementare un controllore di tipo digitale, che pu`o essere schematizzato nel seguente modo: y o (t)

e (t)

+

e (t)

ADC

C(s)

ek

u(t)

P (s)

Cd

uk

y (t)

DAC

u (t)

T MP Definizione 19.1.1. Cd Definisco Cd controllore digitale,lineare, stazionario, a memoria finita, cio`e descritto da una legge del tipo: uk = −a1 · uk−1 − a2 · uk−2 − . . . − an · uk−n + b0 · ek + b1 · ek−1 + . . . + bn · ek−n

(19.1.1)

Dove con −an uk−n sono segnate le uscite agli istanti precedenti, mentre con +bn ek−n sono segnati gli ingressi allo stesso istante. u(k−n) e(k−n) (k − n)T

u(k−1) e(k−1)

uk ek

(k − 1)T kT

Il sistema definito dalla (19.1.1) risponde ai requisisti fissati di:

Capitolo 19

208

Linearit`a: Poich´e combinazione lineare degli ingressi. Stazionaria: I coefficienti a1 , . . . , an , b0 , . . . , bn ; sono costanti. A memoria finita: Considero per determinare uk , una finestra temporale limitata. Osservazioni. Cosa vuol dire questa relazione di campiono nel dominio trasformato? Ossia se abbiamo Z [uk ] come si pu`o scrivere la funzione Z [ek ], in modo da caratterizzare Cd solo con una funzione trasformata? Conoscendo la banda del segnale e il tempo di campionamento, devo trovare i coefficienti della funzione di trasferimento. Z [uk ] Z [ek ] Dove la funzione a parametri zeta fk e` pari alla trasformata zeta ad essa associata: fk → Z [fk ] =

+∞ X

f0

f3

f2 f1

(19.1.2)

k=0

g[k]

f [k]

fk z −k

fk

g1 g3

g4

g2

···

gk ···

g0 0

T

3T

2T

t

kT

0

(a)

T

2T

3T

4T (k + 1)T

t

(b)

gk = fk−1 In questo caso ottengo una sequenza traslata in avanti: gk = fk−1 → Z [gk ] =

+∞ X

gk z −k =

k=0

= g0 + g1 · z −1 + g2 · z −2 + . . . =

(19.1.3)

= f0 · z −1 + f1 · z −2 + f2 · z −3 + . . . =   = z −1 f0 + f1 z −1 + f2 z −2 + . . .

Ottengo quindi la sequenza fk ritardata di un fattore 1.

Corollario 19.1.1. Ritardare la funzione di un passo temporale significa moltiplicare la trasformata zeta per z −1 Applicando questa propriet`a alla uk ottengo: Z [uk ] = −a1 · Z [uk−1 ] − a2 · Z [uk−2 ] − . . . − an · Z [uk−n ] + b0 Z [ek ] + b1 Z [ek−1 ] + b2 Z [ek−2 ] + . . . + bn Z [ek−n ]

(19.1.4)

Lezione del 5 Dicembre 2006

209

essendo la trasformata zeta di un operatore lineare, la trasformata della somma e` pari alla somma delle trasformate. I termini ek−1 nella (19.1.4), introducono uno shift temporale, e` possibile quindi utilizzare la propriet`a della trasformata precedentemente vista. Z [uk ] = −a1 · z −1 Z [uk ] − a2 · z −2 Z [uk ] − . . . − an · z −n Z [uk ]

+ b0 Z [ek ] + b1 z −1 Z [ek ] + b2 z −2 Z [ek ] + . . . + bn z −n Z [ek ]

raccogliendo i termini Z [uk ] e Z [ek ] e portandoli al primo membro avremo:

1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . an z −n Z [uk ] = b0 + b1 z −1 + . . . + bn z −n Z [ek ]

(19.1.5)

(19.1.6)

abbiamo trovato una relazione tra Z [uk ] e Z [ek ], che possiamo riscrivere in modo tale da eliminare le potenze negative di Z:

Z [uk ] =

b0 z n + b1 z n−1 + . . . bn Z [ek ] z n + a1 z n−1 + . . . an

(19.1.7)

dove Z [uk ] e` la funzione di trasferimento del sistema lineare stazionario a memoria finita, tale funzione e` razionale fratta, ed e` l’analogo della C(s) dei sistemi tempo continui.

Posso quindi definire la funzione di trasferimento del controllore nel seguente modo. C (z) =

b0 z n + b1 z n−1 + . . . bn z n + a1 z n−1 + . . . an

(19.1.8)

adesso si rende necessario trovare dei metodi che mi permettano di eseguire il passaggio dalla variabile C(s) a C (z). In realt`a noi sappiamo gi`a che la relazione che lega s e z e` descritta dalla mappa z = es τ . Potrei da essa ricavare s in funzione di z e poi sostituire l’espressione di s cos`ı ottenuta, s(z), in C(s) in modo da trovare C(z). La funzione C (z) cos`ı ottenuta non essendo razionale fratta non pu`o essere approssimata con una funzione razionale fratta, questo vuol dire che Cd non e` pi`u a memoria finita e a noi questo no va bene. ´ necessario inserire delle funzioni approssimate: cerco di approssimare la mappa con Soluzione: E delle funzione razionali fratte.

19.2 Metodo di Integrazione Metodo 1: [Metodo di Integrazione] Supponiamo che C(s) sia un sistema del I o ordine, ad esempio una rete anticipatrice: C (s) =

s−p+p−r p−r s−r = = 1+ , s−p s−p s−p

con p 6= r

(19.2.1)

Dove C(s) e` la relazione esistente tra e (t) ed u (t) che ci permette di rappresentare nel DT il sistema nel seguente modo:  x˙ (t) = p x (t) + (p − r) e (t) (19.2.2) u (t) = x (t) + e (t)

210

Capitolo 19

La (19.2.2) e` una equazione di stato in cui si ha una sola variabile di stato x (t):

Ricorda. Lo stato x (t) e` un segnale che contiene l’informazione relativa alla storia passata di e (t), sufficiente per determinare la storia futura di u (t). B = (b − r) ;

A = b;

e (t)

A, B, CT , D

CT = 1;

D = 1;

u (t)

Si e` visto che la funzione di trasferimento di un sistema cos`ı realizzato vale:

x (t)

L [u (t)] = CT (sI − A)−1 B + D L [e (t)]

(19.2.3)

ovvero in linea generale esistono quattro matrici per cui la funzione di trasferimento del sistema di equazioni di stato risulta esattamente quella del controllore analogico C (s) da noi progettato. gL’idea st`a nell’andare a studiare questo sistema di equazioni differenziali nell’intervallo di campionamento [kT , (k + 1) T ], ad esempio integrando le nostre equazioni in questo intervallo. U (s) s−r = C(s) = E(s) p−r

(19.2.4)

L [x˙ (t)] = s X(s) = p X(s) + (p − r) E(s) = p−r E(s) = X(s) = s−p Sviluppando la II a equazione: (s − p) X(s) = (p − r) E(s)   p−r U (s) = X(s) + E(s) = E(s) + E(s) = s−p   p−r = 1+ E(s) s−p | {z } ∼ = C(s) s−r U (s) = C(s) = E(s) s−p

(19.2.5)

(19.2.6)

(19.2.7)

(19.2.8)

L’equazione di stato e` definita su tutto il DT, ma a me interessa solo sapere come pu`o essere rappresentato il sistema gli istanti di campionamento: considero quindi l’equazione di stato integrata nell’intervallo kT, (k + 1) T

19.2.1 Tecniche di integrazione Z

(k+1)T

kT

x˙ (t) dt =

Z

(k+1)T

kT

p x (t) dt +

Z

(k+1)T

kT

(p − r) e (t) dt

(19.2.9)

Lezione del 5 Dicembre 2006

211

xk−1 − xk = devo trovare i valori all’estremo dell’intervallo. Il primo integrale della (19.2.9) lo posso facilmente calcolare poich´e rappresenta l’integrale di una derivata. I due integrale al secondo membro sono funzione di x (t) e e (t) di cui dovrei conoscere l’andamento. Ma a noi questo non interezza, ci basta sapere come si comportano tali segnali agli estremi dell’intervallo. Z (k+1)T Z (k+1)T Z (k+1)T e (t) dt (19.2.10) x (t) dt + (p − r) x˙ (t) dt = p kT

kT

kT

xk xk = x (kT )

xk+1 = x (k + 1) T

bc

eventuale andamento di x (t) bc

kT

(k + 1) T Figura 19.2.1

La tecniche approssimazione di integrazione forniscono un modo approssimato per calcolare tale area conoscendo solo i valori agli estremi.

Prendo la funzione approssimazione. La funzione approssimazione e` l’area sotto intesa dal quadrato di base kT . Z

(k+1)T

kT

x (t) dt = [(1 − α) xk + α xk+1 ] T,

con

α ∈ [0, 1]

(19.2.11)

In funzione del valore assunto dalla variabile α definisco un metodo di approssimazione. a. α = 0 L’area sottintesa dalla funzione x (t) risulta essere pari a xk · T . Questo metodo prende il nome di Eulero in avanti, poich´e prende il valore k T e lo tiene costante per tutto l’intervallo. b. α = 1 L’area sottintesa dalla funzione x (t) risulta essere pari a xk+1 · T . Questo metodo prende il nome di Eulero all’indietro, poich´e prende il valore (k + 1) T e lo tiene costante per tutto l’intervallo. c. α = 1/2 La area sottintesa dalla funzione x (t) risulta essere pari a:   1 1 1 xk + xk+1 T = [xk + xk+1 ] T (19.2.12) 2 2 2 In altre parole approssimo l’integrale della funzione alla superficie del un trapezio con base minore xk e base maggiore xk+1 , mostrato in figure 19.2.1. Tale metodo prende il nome di: Metodo di Tastin.

Comunque si scelga una volta fissato il valore di α al’interno del’intervallo [0, 1], si va a definire una stima dell’integrale esprimendolo solo in funzione del valore iniziale e del vallore finale assunti dalla funzio-

212

Capitolo 19

ne x (t) nell’intervallo di campionamento k-esimo che ci interessa. Possiamo andare a sostituire queste approssimazioni all’interno della nostra equazione di stato. Ho un legame tra z ed s di tipo razionale fratto. xk+1 − xk

= p [(1 − α) xk + α xk+1 ] T + + (p − r) [(1 − α) ek + α ek+1 ] T

(19.2.13)

Relativamente alla seconda equazione di stato scriveremo che: uk = CT xk + D ek

(19.2.14)

Dato C(s) posso trovare la forma di Cd (z) zZ [xk ] − Z [xk ] = p [(1 − α) Z [xk ] + αz Z [xk ]] T + + (p − r) [(1 − α) Z [ek ] + αz Z [ek ]] T = (z − 1) Z [xk ] = p Z [xk ] [(1 − α) + αz] T + + (p − r) Z [ek ] [(1 − α) + αz] T  z−1  Z [xk ] = pZ [xk ] + (p − r) Z [ek ] [(1 − α) + α z] T  Z [uk ] = Z [xk ] + Z [ek ]

Scriviamo adesso la (19.2.16) nella rappresentazione tramite variabili di stato. ( ̟ Z [xk ] = AZ [xk ] + BZ [ek ] Z [uk ] = CT Z [xk ] + DZ [ek ]

(19.2.15)

(19.2.16)

(19.2.17)

sviluppando la prima equazione si ricaver`a la Z [xk ] in funzione della Z [ek ] da sostituire nella seconda equazione. (̟ I − A) Z [xk ] = B Z [ek ] ⇒ Z [xk ] = (̟ I − A)−1 B Z [ek ]

(19.2.18)

sostituendo nella seconda equazione: Z [uk ] = CT (̟ I − A)−1 B Z [ek ] + D Z [ek ]

(19.2.19)

si e` definita la relazione che lega Z [uk ] con Z [ek ]. Cd (z) =

Z [uk ] Z [ek ]

Applicando la trasformata di Laplace alle due equazioni ottengo:  sL [x (t)] = p L [x (t)] + (p − r) L [e (t)] L [u (t)] = L [x (t)] + L [e (t)] 

x˙ (t) = p x (t) + (p − r) e (t) u (t) = x (t) + e (t)

(19.2.20)

(19.2.21)

Lezione del 5 Dicembre 2006

C(s) =

U (s) s−r = E(s) s−p

213

(19.2.22)

Nella equazione 19.2.20 posso sostituire s al primo membro con la seguente relazione: s=

z−1 [(1 − α) + αz]

(19.2.23)

Confrontando le equazioni scritte possiamo concludere che:  −1   Z [uk ] z−1 z−1 T e Cd (z) = B+D = C s = = C −A (19.2.24) Z [ek ] [(1 − α) + αz] [(1 − α) + αz] T

e (s) calcolato per Riassumendo la nostra C (z) non e` altro che l’espressione del controllore analogico C z−1 . s = (1 − α + αz) T A, B, CT , D

e (t)

u (t)

x (t) e (t)

ADC

ek

Cd

uk

DAC

u (t)

T MP Riassumendo: Come faccio a progettare un sistema digitale? 1. Tempo di campionamento π π < T < 10 B3 B3 2. Scelta del parametro α ∈ [0, 1] nella tecnica ad integrazione. 3. Scrivere l’espressione di Cd (z):   z−1 e Cd (z) = C s = [(1 − α) + αz] T

e (s) a Cd (z) ma quella per integrazione da noi viste e` Nota. Esistono altre tecniche per passare da C sicuramente la pi`u semplice ed una delle pi`u usate. e Esempio 19.2.1. Sia C(s) , un controllore proporzionale con polo in zero dovuto all’inserimento di un integratore per risolvere problemi di inseguimento della forma: C(s) =

10 s

B3 = 10 rad/s

Passo 1 T deve appartenere a: T ∈ [0.1, 1] → T = 0.2

214

Capitolo 19

Passo 2 Scelgo il metodo di Eulero in avanti e pongo: α=0

s=

z−1 z−1 = T 0.2

Cd (z) =

2 10 = z−1 z−1 0.2

Nota. C(s) ha polo in s = 0, mentre Cd (z) ha polo in z = 1, e questo ci torna perch´e i poli si trasformano con legge z = es T .

Z [uk ] = moltiplicando numeratore e denominatore per z −1 : Z [uk ] =

2 z −1 Z [ek ] → 1 − z −1

antitrasformanto: ⇒ Nota. Si pu`o dimostrare che la legge s = es T .

2 Z [ek ] z−1 ⇓
1 − z −1 Z [uk ] = 2z −1 Z [ek ]

uk = uk−1 + 2 ek−1 z−1 e` una approssimazione della mappa z = [(1 − α) + α z] T

A Formulario

A.1 Regole di tracciamento del luogo delle radici Partiamo dell’equazione ad anello aperto: N (s) D(s)

(A.1.1)

1 |N ∗ (s)| = |D(s)| |ρ|

(A.1.2)

L(s) =

arg N ∗ (s) = arg

m Y

(s + zi) =

arg

arg D(s) = arg

(s + zi) = arg

(s + pi) =

arg

n X

(s + pi) = arg

i=1

i=1

m X

θi

i=1

i=1

i=1

n Y

m X

n X

(A.1.3) ϕi

i=1

Regola 1 Il luogo delle radici e` composto da 2n rami: n di questi fanno parte del luogo diretto e n del luogo inverso. Regola 2 Il luogo delle radici e` simmetrico rispetto all’asse reale. Regola 3 I Rami partono dai poli della funzione L(s), per |ρ| → 0 le radici convergono sui poli della funzione ad anello Regola 4 Sie nel luogo diretto che nel luogo inverso, per |ρ| → ∞, m rami arrivano negli zeri L(s) mentre i restanti v rami tendono all’infinito. Regola 5 I rami che tendono all’infinito lo fanno lungo degli asintoti che si intersecano nell’asse real nel punto di ascissa: ! n m X 1 X xa = (A.1.4) pi zi − v i=1

i=1

e formano con l’asse reale angoli pari a

ψak

 (2k + 1) π   , v =  (2k) π  , v

k = 0, 1, · · · , v − 1 (LD) k = 0, 1, · · · , v − 1

(LI)

(A.1.5)

216

Appendice A

Regola 6 Tutti i punti dell’asse reale ad eccezione di quelli che presentano una singolarit`a per L(s) appartengono al luogo delle radici.Precisamente fanno parte del luogo diretto tutti i punti a sinistra di un numero dispari di singolarit`a di L(s). Fanno parte del luogo inverso delle radici tutti a sinistra di un numero pari di singolarit`a. Regola 7 Quando v > 2 il baricentro del luogo non dipende da |ρ| ed e` pari a n

xb =

1X pi n

(A.1.6)

i=1

Regola 8 Si consideri i poli −pj di L(s) e si consideri che abbiano molteplicit`a hj , gli hj del luogo diretto e inverso partono con i seguenti angoli    n m  X X 1     θi − ϕi  , (2k + 1) π + k = 0, 1, . . . , , hj − 1 (LD)    hj i=1 i6=j   βkj = (A.1.7)  n m  X X  1    θi − ϕi  , 2kπ + k = 0, 1, . . . , , hj − 1 (LI)   hj i=1

i6=j

Da cui si ottiene per un polo semplice l’angolo della tangente risulta essere:  n m X X    θ − , (LD) π +  i   i=1 i6=j βk = n m  X X    ϕi , (LI) θi −   i=1

(A.1.8)

i6=j

Regola 9 Si consideri i zeri −zj di L(s) e si consideri che abbiano molteplicit`a hj , gli hj del luogo diretto e inverso partono con i seguenti angoli    n  X X 1     ϕi  , (2k + 1) π − θi + k = 0, 1, . . . , , hj − 1 (LD)    hj i=1 i6=j   (A.1.9) βkj =  n  X X  1    2kπ − ϕi  , θi + k = 0, 1, . . . , , hj − 1 (LI)   hj i6=j

i=1

Da cui si ottiene per un polo semplice l’angolo della tangente risulta essere:  n X X    , (LD) π − θ + i    i=1 i6=j βk = n X X     ϕi , (LI) − θi +   i6=j

(A.1.10)

i=1

Regola 10 Gli eventuali incroci del luogo delle radici sono dati dai massimi e dai minimi della funzione. Regola 11 In ogni punto del luogo il valore di |ρ| e` dato da: Qm ηi |ρ| = Qni=1 (A.1.11) i=1 λi Dove ηi e λi sono le distanze del punto dagli zeri e dai poli.

Formulario

A.2 Reti correttive A.2.1 Ritardatrice

ω

R1 b

C R2

bc

×

1 − ατ

− τ1

σ

b

(b)

(a)

|G(jω)| (Log) 1 τ

ωn

1 ατ

log ω

Im G(jω) α

1+α 2

α

arg [G(jω)]

1

φn

ωn

1−α 2

Re G(jω)

101

− π4

ω

102

− π2 -1

(c)

(d)

Figura A.2.1: Rete Ritardatrice e relativi diagrammi

φm = − arcsin

G(s) =

R2 +

1 Cs

R1 , + R2 +

1 Cs

1−α , 1+α

=

ωm =

1 √

τ α

1 + ατ s 1 + R2 C s = 1 + (R1 + R2 ) C s 1 + τs

τ m F (s) = , 1 + sτ 1+s



τ ≥0 m≥0

log ω

217

218

Appendice A

A.2.2 Anticipatrice C

ω

R1 b

b

R2 b

× bc

1 − ατ

− τ1

(a)

σ

(b)

|G(jω)| (Log) 1 τ ωn

Im G(jω)

1 ατ

log ω ωn

1−α 2

α

φn

α

1

1+α 2

π 2

Re G(jω)

arg [G(jω)]

π 4

log ω (c) Ritardatrice

(d)

Figura A.2.2: Rete anticipatrice e relativi diagrammi

φm = − arcsin R2

G(s) = R2 , +

1 Cs + (1/R1 )

=

1−α , 1+α

ωm =

1 √

τ α

R2 (1 + R1 C s) 1 + τs = α R1 + R2 + (R1 + R2 ) C s 1 + ατ s

1 + sτ F (s) = τ , 1+s m

A.3 Problema dell’inseguimento



τ ≥0 m≥0

Formulario

Problema

G(s)

r (t)

e (t)

Inseguimento

1 1 + L(s)

y o (t)

y o (t) − y (t)

P (s) 1 + L(s)

di (t)

−y (t)

1 1 + L(s)

do (t)

y (t)

dh (t)

y (t)

Reiezione del disturbo di (t) Reiezione del disturbo do (t) Reiezione del disturbo dh (t)

−

L(s) 1 + L(s)

Tabella A.1: Talella riassuntiva

219

220

B Trasformata di Laplace

B.0.1 Trasformata di Laplace e risposta impulsiva in sistemi lineari stazionari a dimensione finita • Definizione di trasformata di Laplace di un segnale f (t) . L [f (t)] = F (s) =

Z

+∞

f (t) e−st dt,

s = σ + jω

0

• Trasformate di Laplace di alcuni segnali elementari – – – – – –

Gradino unitario: u(t) → 1/s. Rampa unitaria: t u(t) → 1/s2 . Esponenziale: eat u(t) → 1/(s − a). Sinusoide: sin (ωt) u(t) → ω/(s2 + ω 2 ). Cosinusoide: cot (ωt) u(t) → s/(s2 + ω 2 ). Esponenziale+monomio: tn eat u(t) → n!/(s − a)n+1 .

• Alcune propriet`a: – Linearit`a:

c1 f1 (t) + c2 f2 (t) → c1 F1 (s) + c2 F2 (s) , – Teorema della traslazione nel tempo: f (t − a) → F (s)e−as – Teorema dell’integrale nel tempo:

Z

+∞ 0

f (τ ) → F (s)/s

– Teorema della derivata nel tempo: Df (t) → sF (s) − f (0+ ) – Teorema della derivata generalizzata: Df (t) → sF (s) − f (0− )

222

Appendice B

– Teorema del valore finale: lim f (t) = lim sF (s)

t→∞

s→0

– Teorema del valore iniziale: lim f (t) = lim sF (s)

t→0+

Antitrasformata di Poli multipli della mia funzione come: Pi,h

s→∞

Quando F (s) ha poli multipli posso descrivere l’antitrasformata

1 dni −h [(s + pi )ni F (s)] = (ni − h)! d sni −h s = −pi

Antitrasformata di Funzione complessa Pj Pi P¯i Pi + = + = s + pi s + pj s + pi s + pi 2 |Pi | eRe(−pi )t cos (Im(−pi )t + argPi )

(B.0.1)

Trasformata di Laplace

f (t) δ (t) u (t) t u (t) tn u (t) e−at u (t) a ≥ 0 ∈ R t e−at u (t) sin (ωt) u (t) cos (ωt) u (t) sin (ωt + φ) u (t) cos (ωt + φ) u (t) e−at sin (ωt) u (t) e−at cos (ωt) u (t) e−at sin (ωt + φ) u (t) e−at cos (ωt + φ) u (t) t e−at cos (ωt) u (t)

F (s) 1 1 s 1 s2 n! sn+1 1 s+a 1 2

(s + a)

ω s2 + ω 2 s s2 + ω 2 s sin φ + ω cos φ s2 + ω 2 s cos φ − ω sin φ s2 + ω 2 ω 2

(s + a) + ω 2 s+a 2

(s + a) + ω 2 (s + a) sin φ + ω cos φ 2

(s + a) + ω 2 (s + a) cos φ − ω sin φ 2

(s + a) + ω 2

2ω (s + a) h i2 2 (s + a) + ω 2 2

te−at cos (ωt) u (t)

(s + a) − ω 2 i2 h 2 (s + a) + ω 2

223

224

Appendice B

B.1 Carta di Controllo 0.325 0.375 0.425 0.475 0.525 0.575 0.625 0.675 0.725 0.775 0.825 0.875 0.925 0.975 0.5

1.5 1.45

0.45

1.4 1.35 B3 ωn

1.3

0.4

1.25 1.2

0.35

1.15 1.1

0.3

1

0.25 sˆ

0.95 0.9

KL B3

0.2

0.85 0.8

0.15

0.75 0.7

0.1

0.65 0.6

0.05

0.55 0.5

0 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 ζ

1

sˆ

B3 , KL ω n B3

1.05