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SISTEMAS DE CONTROLE - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

SISTEMAS DE CONTROLE - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

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PUCRS CONTROLE DIGITAL ................................................................................................................................. 1 1 Introdução ao Controle Digital ........................................................................................................ 3 1.1 Introdução................................................................................................................................... 4 1.2 Amostragem e Quantização ........................................................................................................ 6 1.3 Modelagem dos Elementos de Amostragem e Retenção ............................................................ 7 1.4 Efeitos da Amostragem............................................................................................................... 9 1.5 Algoritmo de Controle.............................................................................................................. 13 1.6 Função de Transferência Discreta............................................................................................. 15 1.7 Problemas Propostos:................................................................................................................ 17 1.8 Bibliografia............................................................................................................................... 18 2 Análise de Sistemas Discretos....................................................................................................... 19 2.1 Introdução................................................................................................................................. 20 2.2 Transformada Z ........................................................................................................................ 20 2.3 Região de Convergência .......................................................................................................... 21 2.4 Sinais ........................................................................................................................................ 24 2.5 Propriedades da Transformada Z .............................................................................................. 26 2.6 Convolução ............................................................................................................................... 27 2.7 Transformada Z Inversa............................................................................................................ 28 2.8 Problemas Propostos................................................................................................................. 29 2.9 Bibliografia............................................................................................................................... 30 3 Sistemas Discretos Equivalentes ................................................................................................... 31 3.1 Introdução................................................................................................................................. 32 3.2 Equivalência Por Integração Numérica .................................................................................... 32 3.3 Estabilidade de Sistemas Discretos........................................................................................... 38 3.4 Equivalência por Mapeamento de Zeros e Pólos ...................................................................... 39 3.5 Equivalência por Retenção de Ordem Zero .............................................................................. 41 3.6 Problemas ................................................................................................................................. 43 3.7 Bibliografia............................................................................................................................... 46 4 Projeto de Controladores Discretos ............................................................................................... 47 4.1 Introdução................................................................................................................................. 48 4.2 Projeto do Compensador Discreto ............................................................................................ 48 4.3 Bibliografia............................................................................................................................... 53 5 Análise de Sistemas Discretos em Malha-Fechada ....................................................................... 54 5.1 Introdução................................................................................................................................. 55 5.2 Redução de Diagramas de Blocos ............................................................................................ 55 5.3 Estabilidade de Sistemas Discretos........................................................................................... 57 5.4 Erro em regime permanente...................................................................................................... 60 5.5 Exercícios ................................................................................................................................. 62 5.6 Bibliografia............................................................................................................................... 63 6 Lugar Geométrico das Raízes com Controle Digital ..................................................................... 64 6.1 Introdução................................................................................................................................. 65 6.2 O LGR ...................................................................................................................................... 65 6.3 Correspondência com Sinais Contínuos ................................................................................... 69 6.4 Implementação do Compensador Digital.................................................................................. 72 6.5 Exercícios ................................................................................................................................. 72 6.6 Bibliografia............................................................................................................................... 72

CONTROLE DIGITAL

v1.2

1

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Capítulo 1 - Introdução ao Controle Digital SISTEMAS DE CONTROLE - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

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PUCRS

1.1 Introdução Pode-se dizer que utilização de “Sistemas de Controle” está inserida na base de qualquer dispositivo ou equipamento automatizado. Diariamente nos deparamos com uma série de equipamentos que possuem algum elemento de controle, desde eletrodomésticos como geladeira, ferro elétrico e máquinas de lavar até sistemas robotizados empregados, por exemplo, na indústria automobilística. Observa-se o emprego de ferramentas de modelagem, análise e o posterior projeto de sistemas de controladores em várias áreas Engenharia. Pode-se citar por exemplo, o controle de PH em processos químicos relacionado diretamente a Engenharia Química ou a análise de modos de vibração estrutural relacionado às Engenharias Mecânica e/ou Civil. Encontra-se também exemplos de sistemas de controle nas áreas da Biologia. Um exemplo que pode ser citado é o sistema de controle de equilíbrio do corpo humano, que utiliza informações oriundas do ouvido interno e dos olhos para realização de tal tarefa. De forma geral, todos os exemplos citados anteriormente tem em comum uma estrutura peculiar, bastante conhecida no cenário dos sistemas de controle, que pode ser sintetizada através da representação apresentada na Figura 1.1,

1 Introdução ao Controle Digital Figura 1.1: Diagrama de blocos de um sistema de controle realimentado.

onde r(t) é definido como sendo o sinal de referência a ser seguido pelo sinal de saída do processo y(t). A informação do sinal de saída do processo é obtida, para efeito de comparação com a variável de referência, através da utilização de elemento sensor que da origem ao sinal b(t).

O diagrama de blocos apresentados na Figura 1.1 esquematiza as partes principais e o conjunto de sinais normalmente apresentados junto à descrição de um sistema de controle do tipo SISO – Single Input Single Output, sendo todas as variáveis representadas por sinais em tempo contínuo. Até o final da década de 50, tal diagrama indicava também a única forma de representação de um sistema de controle do tipo SISO operando em malha-fechada. De acordo com Aströn [1], em 12 de maio de 1959, a empresa Thomson Ramo Woolridge (TRW), em parceria com a empresa Texaco, colocaram em operação junto a um processo de polimerização, o primeiro sistema de controle em malha-fechada baseado em computador. O exemplo bem sucedido da TRW, despertou em outras indústrias o interesse em aplicar em seus processos computadores para exercer a tarefa de controle, que com o crescente evolução tecnológica passaram a ter maior capacidade de processamento e confiabilidade aliados a redução de custo. Outras vantagens de se utilizar computadores em malhas de controle passaram também a serem primordiais. Diferentemente dos controladores analógicos, os sistemas de controle baseados em computador poderiam exercer as funções de armazenamento de dados e supervisão de todas as variáveis do processo em um único local, facilitando as tarefas relacionadas ao gerenciamento e a operação dos processos. Outra vantagem é a possibilidade de utilização de diferentes técnicas de controle, independente do grau de complexidade associada a cada uma delas, através da inserção de novos algoritmos de controle e sem a necessidade de qualquer alteração no hardware do controlador. Mais comum é a necessidade de ajuste de parâmetros dos controladores que, da mesma forma, constitui-se uma tarefa facilmente realizável em um sistema de controle baseado em computador. Texto Original: Luis Fernando Alves Pereira Alteração e adaptação por: Pablo Alberto Spiller

Em um sistema de controle baseado em computador a parte relacionada ao controle, até então realizado com componentes eletrônicos analógicos, foi substituída por um computador

Capítulo 1 - Introdução ao Controle Digital

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digital, sendo o diagrama de blocos da Figura 1.1 adaptado para a inclusão deste novo componente, conforme apresentado na Figura 1.2.

Capítulo 1 - Introdução ao Controle Digital

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1.2 Amostragem e Quantização As operações externas realizadas pelo computador, tanto de leitura do conversor A/D quanto de escrita no conversor D/A, serão realizadas em instantes de tempo múltiplos inteiros de uma variável denominada de período de amostragem – T. 1 Portanto, o sinal b(KT) representa o sinal b(t) amostrado no instante de tempo t=KT e, diferentemente das variáveis de tempo contínuo, tais variáveis serão consideradas variáveis ou sinais de tempo discreto.

Figura 1.2: Diagrama de blocos de um sistema de controle realimentado por computador.

Comparando-se os dois diagramas, pode se observar que os sinais de entrada e de saída do computador são os sinais em tempo contínuo b(t) e u(t), agora representados internamente no computador pelos seus equivalentes em tempo discreto, respectivamente b(KT) e u(KT). Observa-se que na Figura 1.2, os blocos que constituem o computador, sob o ponto de vista de execução das tarefas de controle, são o bloco A/D (conversor Analógico/Digital), D/A (conversor Analógico/Digital), Algoritmo de Controle e Clock, descritos a seguir:

O sinal discreto no tempo, produzido pela operação de amostragem do sinal será reproduzido internamente no computador por um número finito mais próximo dentre todos os números de amplitude discreta representáveis pelo computador. Conforme definido em [2], esta operação é chamada de quantização. Exemplo: Considere um sinal de tempo contínuo y (t ) = t 2 Volts, aplicado a entrada de um conversor A/D de 4 bits, cujo valor máximo admissível na entrada é de 16 Volts. Considere também que a variável t ∈ [0,4] segundos e que o período de amostragem T=0.5 segundos. A representação gráfica das variáveis f(t) e f(KT) em função do tempo é apresentada na Figura 1.4.

• Conversor A/D – É o dispositivo de hardware utilizado para aquisição de um sinal analógico externo ao computador, convertendo-o em um sinal digital equivalente ao sinal externamente lido. No exemplo da Figura 1.2, o sinal analógico externo é o sinal de saída do sensor b(t) que após a conversão A/D será representado pela variável b(KT); • Conversor D/A – É o dispositivo de hardware utilizado para conversão de um sinal internamente representado no computador, para um sinal analógico externo ao computador. No exemplo da Figura 1.2, o sinal internamente representado no computador é o sinal u(KT) que após a conversão D/A será representado pela variável u(t) utilizada para tarefa de controle do processo; • Algoritmo de Controle – Este bloco contém os códigos responsáveis pelo processamento do sinal b(KT) de forma a gerar o sinal u(KT), empregado no controle do processo. Na Figura 1.1 observa-se que o sinal de entrada do bloco “Controlador” é dado pela diferença entre os sinais r(t) e b(t), anteriormente definido como sinal de erro e(t). Na Figura 1.2, o Algoritmo de Controle utiliza apenas a informação do sinal b(KT), pois as variáveis de referência r(KT) e o sinal de erro e(KT) são internamente gerados neste bloco; • Clock – Este é o bloco responsável pela manutenção do sincronismo entre os demais blocos que constituem o bloco “Computador” representado na Figura 1.2. Considere como exemplo o sistema de controle de temperatura de um processo de mistura apresentado na Figura 1.3 e compeare-o com o da Figura 1.2. Nota-se na representação, a diferenciação entre o subsistema computacional e a representação dos subsistemas processo e sensor e a interligação entre os subsistemas dois sistemas realizada pelos sinais u(t) e b(t).

Figura 1.4: Exemplo de amostragem e quantização de um sinal

y (t ) = t 2 Volts.

O conversor de sinal analógico retém, a cada T segundos o valor analógico, , denominada sinal amostrado. Esta então é quantizada, ou seja, convertido numa amplituda representável pelo computador. No caso anterior: Em y(1,5)=2,25 Volts. Assim, como o conversor A/D é de 4 bits (ou 16 níveis) e sua amplitude máxima é de 16 Volts, para cada nível tem-se uma amplitude entre níveis de 1 Volt. Admita que os valores assumidos na quantização do sinal são sempre iguais ao valor mais próximo da variável y(t) no instante em que ela é amostrada. Através desta hipótese, o erro associado à operação de quantização deste sinal no instante t= 1,5 é de 0,25 Volts. Podemos considerar de modo geral, o erro de quantização máximo (E) como: E=±

Amplitudemáxima 2 N +1

Onde N é o número de bits do conversor A/D. Figura 1.3: Sistema de controle de temperatura de um tanque.

1

A referência [1] utiliza a letra h como período de amostragem.

Capítulo 1 - Introdução ao Controle Digital

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Realizada as operações de amostragem e de quantização, o sinal apresentará uma representação discreta em tempo e em amplitude, e será representado internamente no computador por um código a ele associado, composto por símbolos 1’s e 0’s, e também será denominado de sinal digital. Para o efeito de utilização do sinal lido, já na forma digital, para geração de um sinal de controle, será realizada a comparação deste sinal com um valor de referência que também já deverá estar representado como um sinal digital. Tal comparação da origem ao sinal de erro, utilizado pelo Algoritmo de Controle para a determinação de um sinal de controle digital. Este sinal será aplicado ao processo através da utilização de conversores A/D’s, e será mantido constante durante todo o intervalo de tempo T. Esta operação é denominada de retenção.

Capítulo 1 - Introdução ao Controle Digital

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Entendido o efeito dos elementos de amostragem e retenção, pode-se agora descrever a função de transferência deste elemento, a fim de incluir o efeito destes elementos no comportamento dinâmico do sistema. Para isto, há de se observar que a função de transferência de um sistema linear é igual a transformada de Laplace da resposta ao impulso deste sistema. Pela análise da Figura 1.5, percebe-se que o amostrador é o responsável pela geração de um sinal do tipo impulso em sua saída, i.e. f * (t ) = f (t ).δ (t ) (1.1) Este sinal é aplicado ao elemento de retenção, que o transforma em um pulso retangular de mesma amplitude do sinal de entrada, com largura igual ao período que é realizada cada amostra – T segundos, ou seja

f h (t ) = f * (t ).(u (t ) − u (t − T ) )

1.3 Modelagem dos Elementos de Amostragem e Retenção Enquanto o conversor A/D é o responsável pela leitura dos sinais em tempo contínuo externos ao computador em instantes de tempo discretos KT, o conversor D/A é o responsável pela operação de escrita de dados digitais existentes internamente no computador na forma digital, em um sinal analógico equivalente, atualizando-o nos instantes de tempo discreto KT. A operação conjunta destes dois elementos é denominada de amostragem (leitura do A/D) e retenção (escrita no D/A).

(1.2)

onde o índice h significa o sinal após a operação de retenção – hold. O diagrama de blocos completo do conjunto amostrador-retentor, cujo comportamento dos componentes individuais já foi descrito, é apresentado na Figura 1.7.

A característica ideal de um dispositivo amostrador é que ele consiga realizar cada uma das amostras de um sinal em tempo contínuo de forma instantânea, tal que os valores amostrados apresentem um valor único em cada instante de amostragem. Os dispositivos de amostragem são representados de acordo com a Figura 1.5. Nesta figura o sinal de tempo contínuo f (t ) é aplicado a entrada de uma amostrador ideal que realiza as amostras em intervalos regulares de T segundos, resultando no sinal amostrado f * (t ) .

Figura 1.7: Diagrama esquemático com os sinais envolvidos na operação de amostragem e retenção. Figura 1.5: Representação do dispositivo amostrador ideal.

A característica ideal de um dispositivo de retenção é que ele consiga manter um determinado valor inalterado durante um tempo previamente determinado. Pode-se entender melhor o efeito da retenção, fazendo-se uma analogia a um capacitor que é carregado em um dado instante de tempo. Idealmente, até que haja um caminho elétrico entre seus terminais que possa descarregá-lo, a tensão do capacitor manter-se-á constante. Seguindo este exemplo, os dispositivos de retenção serão representados de acordo com a Figura 1.6. Nesta figura o sinal de sinal amostrado f * (t ) será convertido em um pulso retangular de amplitude igual a do sinal amostrado com duração de T segundos.

O conjunto apresentado da Figura 1.7 é conhecido como Amostrador-Retentor de Ordem Zero (Zero Order Hold), cuja representação no domínio da freqüência é dada pela seguinte função de transferência Fh ( s ) 1 − e − sT = Gh ( s) = s F (s)

Demonstração: L{ f h (t )} = L{ f (t ).δ (t ).(u (t ) − u (t − T )) )} L{ f h (t )} == F ( s ).1.Gh ( s )

Gh ( s ) = L{u (t ) − u (t − T )}

Gh ( s ) = L{u (t )} − L{u (t − T )} ∞

∞

0

0

Gh ( s ) = ∫ u (t ).e − st .dt − ∫ u (t − T ).e − st .dt Figura 1.6: Representação do dispositivo retentor ideal.

(1.3)

Capítulo 1 - Introdução ao Controle Digital

9

Analisando apenas a primeira parcela: − sτ

∞

⎡e ⎤ 1 u (t ).e − st .dt = ⎢ ⎥ = − s s ⎣ ⎦0 Analisando a segunda parcela:

∫

∞

(1.4)

0

∞

−T

10

Como sinal de saída deste dispositivo obtêm-se um sinal representado em formas de sucessivos degraus, de amplitudes iguais as amplitudes do sinal contínuo nos instantes de tempo em que este sinal foi amostrado, com duração igual a do período de amostragem empregado. A consideração utilizada para reconstrução de um sinal contínuo que reproduza de maneira mais próxima o sinal de saída do ZOH é que tal sinal seja resultado da interpolação do sinal de saída do ZOH em instantes tempo iguais ao valor de tempo médio existente entre dois instantes subseqüentes de amostragem.

Se t − T = τ ,

∫

Capítulo 1 - Introdução ao Controle Digital

u (τ ).e − s (τ + T ) .dτ

A Figura 1.9 apresenta os sinais de entrada e saída de um dispositivo ZOH, bem como o sinal contínuo correspondente à interpolação nos instantes de tempos médios de amostragem.

Como u (τ ) = 0 para τ < 0 :

∫

∞

−T

∞

u (τ ).e − s (τ +T ) .dτ = ∫ u (τ ).e − s (τ +T ) .dτ 0

Assim,

∫

∞

0

u (τ ).e − s (τ + T ) .dτ =

∫

∞

0

∞

⎡ e − sτ ⎤ − sT 1 u (τ ).e − sτ .e − sT .dτ = e − sT .⎢ ⎥ =e . s ⎣ − s ⎦0

(1.5)

Juntando as parcelas (1.4) e (1.5) :

Gh ( s ) =

∫

∞

0

∞

u (t ).e − st .dt − ∫ u (t − T ).e − st .dt 0

1 1 − e − sT . s s (1 − e − sT ) Gh ( s ) = s Gh ( s ) =

1.4 Efeitos da Amostragem Para apresentar o efeito da amostragem, introduzida pela adição do elemento amostrador-retentor2 de ordem zero na malha de controle da Figura 1.2, será considerado um sinal senoidal, de amplitude unitária e freqüência igual a 1.0 Hz, aplicado à entrada de um dispositivo de amostragem e retenção, comumente referenciado na literatura especifica da área pela sigla ZOH – iniciais do nome em inglês Zero Order Hold. A Figura 1.8 apresenta o diagrama de blocos.

Figura 1.9: Sinais de entrada

f (t )

e sinal de saída

f h (t )

aproximado

do conjunto amostrador-retentor, e sinal contínuo

f aprox (t ) .

Pela observação da Figura 1.9, conclui-se que o sinal contínuo aproximado, resultante da interpolação do sinal de saída do elemento amostrador-retentor, está atrasado em relação ao sinal de entrada de meio período de amostragem, ou seja de T/2, mantendo-se inalterados os valores de amplitudes do sinal de saída. Desta observação conclui-se que para a representação do sinal contínuo aproximado, a relação apresentada em (1.6) é válida. −

sT

Faprox ( s ) = F ( s ).e 2 (1.6) A expressão (1.6) descreve matematicamente no domínio da freqüência, a consideração −

sT

realizada para o sinal contínuo equivalente na saída do ZOH, ou seja o produto dos termos .e 2 e do sinal de entrada F(s), que representa fisicamente um atraso de transporte de meio período −

Figura 1.8: Exemplo de utilização do ZOH.

2 O elemento amostrador-retentor de ordem zero será doravante referenciado neste texto como elemento amostrador-retentor, também citado na literatura como ZOH – iniciais da expressão Zero Order Hold.

sT

de amostragem – T/2, associado ao sinal de entrada F(s). O termo .e 2 deve ser considerado para avaliação do efeito da amostragem na resposta em freqüência de um processo que apresente em sua malha de controle um elemento do tipo ZOH. Admitindo s = jω , é fácil concluir que o termo relacionando ao atraso de transporte em (1.6) mantém a magnitude do sinal F(s), ωT rad. alterando apenas a fase do sinal F(s) do valor − 2

Capítulo 1 - Introdução ao Controle Digital

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Demonstração:

Faprox ( s ) = F ( s ).e

−

sT 2

Faprox ( s ) = F ( s ) . e Faprox ( s ) = F ( s ) .1

j ωT − 2

Faprox ( s ) = F ( s ).e

sT − 2

∠Faprox ( s ) = ∠F ( s ) + ∠e ∠Faprox ( s ) = ∠F ( s ) −

−

j ωT 2

ωT 2

O efeito de um elemento constituído por um atraso de transporte em uma malha de controle é, por vezes, prejudicial no desempenho global do sistema. Percebe-se que há um decréscimo de fase proporcional a freqüência do sinal de entrada - ω , e também proporcional ao período de amostragem T. Pode-se concluir então que quanto maior forem a frequências dos sinais apresentados a entrada do ZOH, menor deverá ser o período de amostragem - T utilizado, de forma a minimizar os efeitos da amostragem no sistema.

Exemplo 1.1: Com objetivo de ilustrar o efeito da amostragem em um sistema de controle, considere o diagrama de blocos apresentado na Figura 1.10.

Capítulo 1 - Introdução ao Controle Digital

12

A análise visual da Figura 1.11 leva a conclusão que o efeito de períodos de amostragem maiores em um sistema de controle em malha-fechada conforme o apresentado na Figura 1.10, implica em maiores oscilações do sinal de saída do sistema. Tal fenômeno se explica, porque a inclusão do elemento de amostragem e retenção com período de amostragem igual a T segundos, ωT traz consigo somente o acréscimo de − radianos na fase da função de transferência do 2 sistema de malha-aberta na freqüência de ω rad/s, mantendo inalterada sua magnitude, isto é:

∠G ( s ) ZOH = ∠G ( s ) −

ωT

2 G ( s ) ZOH = G ( s ) (1.7) A implicação nas equações de magnitude e de fase da função de transferência do processo em malha-aberta operando com a inclusão do ZOH - G ( s ) ZOH , está relacionada diretamente a alteração da margem de fase do sistema, conforme pode ser visto nos diagramas de Bode apresentados na Figura 1.12. Nesta figura, a curva de fase superior representa a fase do processo operando em malha-aberta sem a inclusão do elemento amostrador-retentor, a curva de fase intermediária representa a fase do processo operando com o ZOH com período de amostragem igual a 0.05 segundos e a curva de fase mais abaixo representa a fase do processo operando com o ZOH com período de amostragem igual a 0.1 segundos.

Figura 1.10: Diagrama de blocos do sistema empregado no exemplo 1.1.

Será apresentada a resposta ao degrau deste sistema, admitindo dois valores distintos de amostragem, T = 0.05 seg. e T = 0.1 seg. As respostas do sistema considerando estas duas situações são comparadas a resposta do sistema funcionando em malha-fechada sem a utilização do elemento amostrador-retentor, conforme pode-se observar na Figura 1.11.

Figura 1.12: Variação das margens de fase do sistema para diferentes períodos de amostragem.

A obtenção dos diagramas de Bode de sistemas que incluem atraso de transporte não é diretamente obtida através das funções disponíveis no Matlab, sendo necessário adaptar os comandos existentes de forma a obter os diagramas de Bode apresentados na Figura 1.12. Apresenta-se na Tabela 1.1 as linhas de comando utilizadas para obtenção dos diagramas de Bode da Figura 1.12.

Figura 1.11: Resposta do sistema em malha-fechada considerando diferentes taxas de amostragem.

Capítulo 1 - Introdução ao Controle Digital

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% clear all % close all % definicao do numerador e denominador do sistema % sistema com G(s)=100/s(s+10)

df (t ) f ( KT ) − f ( KT − T ) ≅ dt T denominada de backward approximation, ou

w=logspace(-1,1,100); [mag,fase,w]=bode(num,den,w); T1=0.05; T2=0.1; fase_T1=(-w*T1/2)*180/pi; fase_T2=(-w*T2/2)*180/pi;

% atraso de transporte - T=0.05 segundos % atraso de transporte - T=0.1 segundos % fase inserida pelo atraso T1 em graus % fase inserida pelo atraso T2 em graus

fase_final_T1=fase + fase_T1; fase_final_T2=fase + fase_T2; magdB=20*log10(mag);

% fase final para sistema com atraso T1 % fase final para sistema com atraso T2 % magnitude em dB

hold on; subplot(2,1,1); semilogx(w,magdB); grid on; subplot(2,1,2); semilogx(w,fase); semilogx(w,fase_final_T1,'r'); semilogx(w,fase_final_T2,'g'); grid on;

(1.10)

df (t ) f ( KT + T ) − f ( KT ) (1.11) ≅ dt T denominada de forward approximation. Considerando a aproximação do tipo backward, serão substituídos em (1.9) os termos que aparecem as derivadas temporais, i.e. u ( KT ) − u ( KT − T ) e( KT ) − e( KT − T ) + β .u ( KT ) = K c + K c .α .e( KT ) (1.12) T T Pode-se então, a partir de (1.12), obter o sinal de controle u (KT ) , conforme apresentado em (1.13).

% grafico de magnitude

1 .[K c .(1 + αT ).e( KT ) − K c .e( KT − T ) + u ( KT − T )] (1.13) 1 + βT Na equação (1.13) observa-se que o sinal de controle que será aplicado ao processo no instante de tempo t = KT segundos, representado por u (KT ) , depende do sinal de erro no mesmo instante de tempo e(KT ) , e dos sinais de erro e de controle ocorridos no instante de tempo t = KT − T segundos, e( KT − T ) e u( KT − T ) , ou seja, dos sinais de erro e de controle avaliados na última operação de leitura e escrita do dos conversores A/D e D/A computador. A implementação da equação (1.13) em um sistema de controle baseado em computador deve ser realizada mediante a utilização do algoritmo apresentado na Tabela 1.2. u ( KT ) =

% grafico de fase

% Para o entendimento de cada uma das funcoes utilize o comando help do % Matlab

Tabela 1.2. Algoritmo Para Implementação do Controlador Discret

1.5 Algoritmo de Controle Seguindo o diagrama de blocos apresentados na Figura 1.2, já tendo sido apresentado nas seções anteriores a modelagem dos elementos de amostragem e retenção e também o efeito da amostragem na dinâmica do sistema a ser controlado, ainda resta apresentar a forma com que o algoritmo de controle é implementado em um sistema de controle por computador. Considera-se então, como exemplo, que se deseja obter o equivalente discreto de um compensador de avanço de fase apresentado em (1.8). s +α , α , β ∈ ℜ + eα < β (1.8) s+β De acordo com a Figura 1.1 C ( s ) = U ( s ) , sendo E(s) e U(s) os sinais de erro e de E (s) controle do processo, respectivamente. A função de transferência (1.8) pode ser obtida através da equação diferencial (1.9), descrita no domínio do tempo. C ( s) = K c .

du (t ) de(t ) + β .u (t ) = K c + K c .α .e(t ) dt dt

14

O objetivo é a obtenção do sinal de controle u (KT ) , gerado pelo computador, que deve ser equivalente ao sinal de controle u (t ) gerado pelo compensador de avanço de fase representado em (1.8). Uma das formas de obtenção de u (KT ) é através da aproximação da equação diferencial (1.9) pela equação de diferenças equivalente. Serão consideradas as aproximações discretas da operação de derivação temporal descrita no domínio contínuo, ou seja

Tabela 1.1. Inserção do Atraso de Transporte no Diagrama de Bode

num=[100]; den=[1 10 0];

Capítulo 1 - Introdução ao Controle Digital

(1.9)

1.

e(0) ← valor inicial da variável erro

2.

u(0) ← valor inicial da variável de controle

3.

c1 ← Kc(1+αT) / (1+βT)

4.

c2 ← -Kc / (1+βT)

5.

c3 ← 1 / (1+βT)

6.

e(1) ← Leitura do conversor A/D

7.

u(1) ← c1e(1) + c2e(0) + c3u(0)

8.

Escreve u(1) no conversor D/A

9.

e(0) ← e(1)

10.

u(0) ← u(1)

11.

Temporiza por T segundos

12.

Retorna ao passo 6.

Capítulo 1 - Introdução ao Controle Digital

15

Capítulo 1 - Introdução ao Controle Digital

16

1.6 Função de Transferência Discreta De forma análoga a utilizada para obtenção de funções racionais, que estabelecem a relação entre as variáveis existentes nas equações diferenciais lineares e de coeficientes é constantes do tipo apresentado em (1.9), onde a operação de derivada temporal - d (.) dt substituída pelo operador equivalente no domínio freqüência 3- s, nas equações de diferenças os sinais atrasados de T, 2T, 3T, ..., kT segundos serão substituídos por termos na forma z −1 , z −2 , z −3 ,..., z − k , que representarão o atraso de cada um dos termos da equação por múltiplos inteiros do período de amostragem. Sendo assim, a equação (1.13), pode ser rescrita na forma U( z ) =

(

)

1 K c (1 + αT ) E( z ) − K c z −1 E( z ) + z −1U ( z ) 1 + βT

(1.14)

Multiplicando ambos os lados da equação por z, é possível estabelecer uma função racional que expressa a relação entre as variáveis U(z) e E(z), conforme apresentado na equação (1.15). ⎛ 1 ⎜ z− U( z ) 1 + αT ⎜ 1 + αT = Kc 1 1 + βT ⎜ E( z ) ⎜z− 1 + βT ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Figura 1.13: Resposta ao degrau do sistema.

(1.15)

A equação (1.15) representa a função de transferência discreta do controlador de avanço de fase proposto em (1.8), considerando a aproximação do tipo backward, conhecida também como aproximação retangular regressiva.

1.6.1 Exemplo de Projeto: Para avaliar a equivalência entre as funções de transferência representadas nos domínios contínuo (1.8) e discreto (1.13), será apresentado o projeto do controlador de avanço de fase que faça com que a resposta da variável de saída do sistema de malha-fechada quando submetido a um sinal de entrada do tipo degrau seja duas vezes mais rápida que a apresentada na Figura 1.11, com sobrepasso percentual de 10%. Pela análise do diagrama de Bode apresentado na Figura 1.12, para o sistema ser duas vezes mais rápido a nova freqüência de zero dB deverá ser de aproximadamente 16.0 rad/s. Sendo assim, o período de amostragem escolhido para o controlador discreto será de T = 2 * π / (30 * ω 0 dB ) , que é de aproximadamente 0.013 segundos. O compensador de avanço de fase obtido é apresentado na função de transferência discreta (1.16). A resposta ao degrau do processo operando sem compensação e com o compensador de avanço de fase é apresenta na Figura 1.12. A Figura 1.13 apresenta o diagrama de simulação utilizado para obtenção das curvas de resposta do sistema. Na Tabela 1.3 é apresentado o código do arquivo utilizado para o projeto do compensador de avanço de fase. U( z ) ⎛ z − 0.89 ⎞ = 4.45⎜ ⎟ E( z ) ⎝ z − 0.72 ⎠

(1.16)

Figura 1.14: Diagrama de simulação para validação do compensador projetado.

Tabela 1.3. Projeto do Controlador de Avanço de Fase.

% Projeto do Compensador de Avanco de Fase Mp=0.1; % Mp desejado de 10% tp=0.17; % tp desejado - duas vezes mais rapido que o atual qsi=sqrt((log(Mp))^2/(1+pi^2)); % Dados do Processo num=[100]; den=[1 10 0]; [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(num,den); grid on; % Dados do Projeto Controlador Continuo Wpmax=2*Wcp; % Frequencia de maxima fase do compensador Pmd=90-(180/pi)*atan(sqrt(-2*qsi^2+sqrt(4*qsi^4+1))/(2*qsi)); % Margem de fase desejada Pmax=Pmd-32; % Fase incluida pelo compensador de avanco na frequencia Wpmax Rzp=(1-sin(pi*Pmax/180))/(1+sin(pi*Pmax/180)); % Razao zero polo do compensador z=Wpmax*sqrt(Rzp); % zero do compensador de avanco p=z/Rzp; % polo do compensador de avanco

3 Equivalência válida considerando nulas as condições iniciais das variáveis envolvidas e de suas derivadas temporais de ordens sucessivas.

Kc=3.0*(1/sqrt(Rzp));

% ganho do compensador de avanco

Capítulo 1 - Introdução ao Controle Digital

17

18

1.8 Bibliografia

numc=100*Kc*[1 z]; denc=conv(den,[1 p]); margin(numc,denc); grid on;

[1] K. J. Aströn and B. Wittenmark, Computer Controlled System – Theory and Design, Prentice Hall, New Jersey, 1984. [2] S. Haykin and B. V. Veen, Sinais e Sistemas, Artmed Editora Ltda, 1999. [3] G. F. Franklin, J. D. Powell and M. Workman, Digital Control of Dynamic Systems, Addison Wesley, Third Edition, 1997. [4] G. F. Franklin, J. D. Powell and A. E. Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, Addison Wesley, 1991. [5] N. S. Nise, Engenharia de Sistemas de Controle, LTC – Livros Técnicos e Científicos, Terceira Edição.

% Dados do Projeto Controlador Discreto T=(2*pi)/(30*Wpmax); % Frequencia de amostragem igual a 30*w0dB alfa=z; beta=p; Kcd=Kc*((1+alfa*T)/(1+beta*T)); zd=1/(1+alfa*T); pd=1/(1+beta*T);

Capítulo 1 - Introdução ao Controle Digital

% ganho do compensador discreto % zero do compensado discreto % polo do compensado discreto

% Para o entendimento de cada uma das funcoes utilize o comando help do Matlab

1.7 Problemas Propostos: 1. De acordo com [3], ao incluir na malha de controle do sistema um controlador baseado em computador, é recomendável utilizar-se frequências de amostragens iguais ou superiores a 30 vezes a frequência de corte do sistema (frequência em que o processo apresenta magnitude igual a zero dB - ω 0 dB ). Baseado no que foi anteriormente exposto, explicar o porque desta escolha. 2. Utilizando o Matlab - O termo que representa um atraso de transporte T segundos no domínio da freqüência é dado por e − sT , que também pode ser aproximado pelo quociente de funções racionais de complexidade variável com o grau que se deseja aproximar o termo e − sT , denominado aproximação de Padé. Considerando a aproximação de Padé de primeira ordem, dada pela equação e − sT ≅

1 1 + sT

(1.17)

Verifique o grau de aproximação obtido para o exemplo apresentando anteriormente, considerando os mesmos períodos de amostragem utilizados. Obtenha a resposta temporal ao degrau e os diagramas de Bode para os dois casos. Repita o procedimento considerando as aproximações de Padé de segunda e de terceira ordem, apresentadas respectivamente nas equações (1.17) e (1.18). 1 1 (sT )2 2! 1 ≅ 1 1 1 + sT + (sT )2 + (sT )3 2! 3!

e − sT ≅

(1.17)

1 + sT +

e − sT

(1.18)

Capítulo 2 - Análise de Sistemas Discretos SISTEMAS DE CONTROLE - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

20

PUCRS

2.1 Introdução Sistemas dinâmicos se caracterizam por ter seu comportamento descrito por um conjunto de equações diferenciais, estabelecendo por meio destas equações as conexões entre as variáveis físicas que compõe os modelos destes sistemas. Se o conjunto de equações diferenciais que descrevem a dinâmica de um dado sistema for de natureza linear e seus coeficientes não apresentarem variação temporal, é comum a utilização da transformada de Laplace, e o emprego da transformação de domínios (tempo – freqüência), para análise e auxílio na solução de problemas relacionados a tais sistemas. Na representação de sistemas dinâmicos em tempo discreto, também é conveniente o emprego de uma ferramenta análoga a transformada de Laplace, denominada de transformada Z.

2.2 Transformada Z Uma vez que a transformada Z é uma ferramenta que apresenta o mesma funcionalidade para sistemas dinâmicos representados em tempo discreto que a transformada de Laplace apresenta para sistemas dinâmicos representados em tempo contínuo, será considerado inicialmente a representação de um sinal de tempo contínuo f(t), amostrado em intervalos regulares de T segundos, conforme mostrado na Figura 2.1 e apresentado na equação (2.1).

2 Análise de Sistemas Discretos

Figura 2.1: (a) Representação de um amostrador ideal, (b) função de entrada do amostrador, (c) função amostrada.

f * (t ) =

∞

∑ f ( KT )δ (t − KT )

(2.1)

K =0

Tal equação representa a seqüência de valores que a função f(t) apresenta em cada um dos instantes de tempo em que ela é amostrada. Uma vez que a cada um dos instantes em que f(t) é amostrada o valor da função é único, pode-se obter por inspeção a transformada de Laplace da função amostrada, conforme o apresentado na equação (2.2). Texto Original: Luis Fernando Alves Pereira Alteração e adaptação por: Pablo Alberto Spiller

F * (s) =

∞

∑ f (KT )e

K =0

− KTs

(2.2)

Capítulo 2 - Análise de Sistemas Discretos

21

Na equação (2.2), a função que representa o intervalo de T segundos existente entre cada uma das amostras, empregada para representar a seqüência de impulsos descrita em (2.1), é a função e − KTs . A partir desta função é definido o operador z = e Ts . Empregando este operador na equação (2.1), define-se a transformada Z da seqüência descrita por (2.3), i.e., F ( z) =

∞

∑ f (KT ) z

Capítulo 2 - Análise de Sistemas Discretos

F( z ) =

∞

∑a

22

KT − K

z

=

K =0

∞

∑( a

)

T −1 K

z

K =0

= 1 + aT z −1 + a 2T z − 2 + K

(2.5)

Para que a F ( z ) seja convergente, é necessário que a relação aT z −1 < 1 seja satisfeita, estabelecendo-se aí a região de convergência de F ( z ) , ou seja a região do plano Z em que

−K

(2.3)

K =0

z > a T , representada pela área sombreada da Figura 2.3.

2.3 Região de Convergência [6] Uma série de potência

∑

∞ k =0

∑c ∞

k

x k somente convergirá para certos valores de x . No caso,

x k converge se − 1 < x < 1 . Em geral, sempre haverá um intervalo (-R, R) no qual a série

de potência converge, onde R é chamado raio de convergência. R é denominado desta forma, devido ao fato da série de potência com coeficientes complexos, os valores de x com x < R formam um “Disco Aberto” com raio R.

Figura 2.3: Região de convergência de F ( z ) - seqüência unilateral direita.

Definida a região de convergência de F ( z ) pode-se dar seguimento ao termo geral de (2.5), o qual a série converge. Para isto é necessário multiplicar (2.5) pelo termo a −T z , ou seja: a −T z F ( z ) = a −T z + 1 + aT z −1 + a 2T z −2 + K

z > aT

(2.6)

Subtraindo (2.5) de (2.6) obtem-se F ( z ) , conforme apresentada em (2.7). a −T z F ( z ) = a −T z + F ( z )

Figura 2.2: Representação de um Disco Aberto de raio R.

A transformada Z, por ser uma série de potência

(∑

∞

)

região de convergência. A região de convergência neste caso, é o intervalo de valores os quais a variável z pode assumir que resulte na convergência da transformada Z (da série). Nem sempre a região de convergência será interna ao raio de convergência R. Veja o exemplo a seguir.

2.3.1 Seqüência Unilateral Direita Para exemplificar a forma com que é determinada a região de convergência da transformada Z, será considerado o exemplo da seqüência f ( KT ) = a KT , a ∈ ℜ . Uma vez que se deseja a obtenção da transformada Z de uma seqüência, deve-se levar em conta que pode haver termos desta seqüência que já existam antes do instante inicial em que a seqüência esta sendo calculada, isto é K=0. Desta forma, a definição de transformada Z apresentada em (2.3) deve ser ampliada de forma a considerar também a existência de termos para K < 0 , conforme (2.4). F( z ) =

∞

∑ f ( KT )z

K = −∞

−K

(

(2.4)

Entretanto, se for levada em conta a existência de valores da seqüência somente para termos com K ≥ 0 , a seqüência deverá ser representada na forma f ( KT ) = a KT u( KT ), a ∈ ℜ , e (2.4) poderá ser rescrita conforme (2.3), ou seja

)

F ( z ) a −T z − 1 = a −T z ⇒ F ( z ) =

f ( KT ) z − K , também possui uma

z z − aT

(2.7)

A seqüência apresentada em (2.5) é denominada de seqüência unilateral direita, que se caracteriza por possuir uma região de convergência externa a um circulo de raio R , maior que o módulo de todos os pólos de F ( z ) . No caso do exemplo apresentado, F ( z ) apresenta apenas um pólo em z = a T e a região de convergência de F ( z ) é a região exterior ao circulo de raio aT no plano Z.

2.3.2 Seqüência Unilateral Esquerda Outro tipo de seqüência possível é denominada de seqüência unilateral esquerda, cuja transformada Z será aqui exemplificada considerando a seqüência f ( KT ) = − a KT u( − KT − T ), a ∈ ℜ . Conforme (2.4), a transformada Z desta seqüência é dada por F( z ) =

Escrevendo

os

∞

∑ f ( KT )z

K = −∞

termos

da

−K

⇒ −

−1

∑a

K = −∞

seqüência

KT − K

z

descrita

(2.8)

em

(2.8),

obtém-se

F ( z ) = K − a −3T z 3 − a −2T z 2 − a −T z , que é igual a expressão apresentada na equação (2.9). Pela

análise de (2.8) é direta a conclusão de que a região de convergência de F ( z ) é determinada considerando que a −T z < 1 , ou seja z < aT , caracterizando a região interior a um circulo de raio aT no plano Z, conforme a região sombreada apresentada na Figura 2.4.

Capítulo 2 - Análise de Sistemas Discretos

23

Capítulo 2 - Análise de Sistemas Discretos

24

⎧⎪⎛ 1 ⎞ KT ⎫⎪ z 1 Z ⎨⎜ ⎟ u ( KT )⎬ = z > (2.12) 3 ⎪⎩⎝ 3 ⎠ ⎪⎭ z − 1 3 ⎧⎪⎛ 1 ⎞ KT ⎫⎪ z 1 Z ⎨⎜ ⎟ u (− KT − T )⎬ = − z < (2.13) 1 2 ⎪⎩⎝ 2 ⎠ ⎪⎭ z− 2 De (2.12) e (2.13), é fácil de observar que existe uma intersecção entre as regiões de convergência das transformadas Z das duas seqüências, apresentada na região sombreada da Figura 2.5, concluindo-se então que a transformada Z da seqüência bilateral f ( KT ) existe, e neste caso é dada pela equação (2.14).

Figura 2.4: Região de convergência de F ( z ) - seqüência unilateral esquerda.

De forma análoga aquela observada para as seqüências unilaterais direitas, a região de convergência das seqüências unilaterais esquerdas caracterizam-se por serem internas a um circulo de raio R , menor que o módulo de todos os pólos de F ( z ) . Expandindo F(z): (2.9)

F ( z ) = − a −T z − a − 2T z 2 − a −3T z 3 + K Multiplicando-se (2.9) pelo termo a T z −1 e, em seguida subtraindo-se do resultado a própria F ( z ) , determina-se a transformada Z da seqüência f ( KT ) , conforme a equação (2.10).

Figura 2.5: Região de convergência de F ( z ) - seqüência bilateral.

a T z −1F ( z ) = −1 − a −T z − a −2T z 2 − a −3T z 3 + K

(

)

F ( z ) a T z −1 − 1 = −1 ⇒ F ( z ) =

z < a

1 z = 1 − aT z −1 z − aT

T

(2.10)

Observe que as transformadas Z obtidas em (2.7) e (2.10) são iguais, não sendo possível definir a qual das seqüências cada uma delas está relacionada. Somente através da informação da região de convergência de cada uma delas é que se torna possível a determinação da seqüência discreta associada a F ( z ) .

2.3.3 Sequencia Bilateral Para finalizar a apresentação dos conceitos associados a região de convergência das transformadas Z, será considerado um exemplo da determinação da transformada Z de uma KT

KT

1 1 seqüência bilateral, dada pela expressão f ( KT ) = ⎛⎜ ⎞⎟ u( KT ) + ⎛⎜ ⎞⎟ u( − KT − T ) . Com base nos ⎝3⎠

⎝2⎠

exemplos das duas sequências apresentadas anteriormente conclui-se que KT

f ( KT ) =

⎛1⎞ ⎜ ⎟ u( KT ) ⎝134 ⎠4244 3

seqüência unilateral direita

KT

⎛1⎞ + ⎜ ⎟ u( − KT − T ) ⎝124 ⎠ 442444 3

(2.11)

seqüência unilateral esquerda

Determina-se então, de forma independente, as transformadas Z de cada um dos termos de (2.11) com suas respectivas regiões de convergência, conforme apresentado nas equações (2.12) e (2.13). Considere T=1.

F( z ) = −

z 1 1 ⎞⎛ 1⎞ 6⎛ ⎜ z − ⎟⎜ z − ⎟ 3 ⎠⎝ 2⎠ ⎝

(2.14)

2.4 Sinais A fim de ilustrar a forma de obtenção de funções representadas no domínio Z pelas suas transformadas equivalentes, serão consideradas algumas funções conhecidas e normalmente empregadas que são as funções degrau unitário, rampa unitária, a função exponencial f (t ) = e −at e a função senoidal.

2.4.1 Função Degrau: Empregando a definição de transformada Z apresentada em (2.4), de forma a reproduzir a seqüência numérica que reproduz um sinal do tipo degrau unitário obtém-se F ( z ) = 1 + z −1 + z −2 + z −3 + L

(2.15)

Ao realizar a operação zF ( z ) − F ( z ) , a função F(z) também pode ser representada pela seguinte função racional F (z) =

z z −1

(2.16)

Capítulo 2 - Análise de Sistemas Discretos

25

2.4.2 Função Rampa Da mesma forma, empregando o procedimento utilizado para a obtenção da transformada Z da função degrau unitário, será representada a seqüência que descreve a rampa unitária f ( KT ) = KT , que é F ( z ) = Tz −1 + 2Tz −2 + 3Tz −3 + L

)

zF ( z ) − F ( z ) = T 1 + z −1 + z − 2 + z −3 + L ⇒ F ( z ) = T

z

(z − 1)2

(2.18)

2.4.3 Função Exponencial

Tabela 2.1: Representação de algumas funções em tempo contínuo e discreto e suas respectivas transformadas.

f(t)

F(s)

f(KT)

F(z)

1.

δ(t )

1

δ ( KT )

1

2.

δ ( t − KT )

− sKT

δ ( t − KT )

z −K

1 s

u( KT )

z z −1 z

3.

u( t )

4.

t

5.

e − at

6.

sen( ωt )

e

1

F ( z ) = 1 + e − aT z −1 + e − a 2T z −2 + e − a 3T z −3 + L

(2.19)

Neste caso, realiza-se um procedimento semelhante aos realizados anteriormente, i.e. z e

− aT

F (z) =

z e

− aT

(1 + e

− aT

)

z −1 + e − a 2T z − 2 + e − a 3T z −3 + L

(2.20)

Subtraindo (2.20) de F ( z ) obtém-se a expressão z e − aT

F ( z) − F ( z) =

z e − aT

⇒ F ( z) =

z

(2.21)

z − e − aT

7.

cos( ωt )

8.

e − at sen( ωt )

9.

e − at cos( ωt )

1 s+a

ω

z 2 − 2 z cos( ωT ) + 1 z (z − cos( ωT ))

cos( ωKT )

s2 +ω2

ω ( s + a ) +ω

z − e − aT z sen( ωT )

sen( ωKT )

s

2

s+a ( s + a )2 + ω 2

(z − 1)2 z

e − aKT

s2 +ω2

2

T

KT

s2

− aKT

Na função exponencial f ( KT ) = e , conforme realizado para os dois casos anteriores, utiliza-se a definição de transformada Z apresentada em (2.4), ou seja

26

A Tabela 2.1, apresentada a seguir, estabelece a relação entre as funções de tempo contínuo e discreto e as respectivas transformadas de Laplace e transformadas Z de cada uma delas.

(2.17)

Ao realizar a operação zF ( z ) − F ( z ) , a função (2.17) pode ser representada na forma da função racional

(

Capítulo 2 - Análise de Sistemas Discretos

z 2 − 2 z cos( ωT ) + e − 2 aT

e − aKT sen( ωKT ) e − aKT cos( ωKT )

ze − aT sen( ωT ) z − 2 ze − aT cos( ωT ) + e − 2 aT 2

z 2 − ze − aT cos( ωT ) z 2 − 2 ze − aT cos( ωT ) + e − 2 aT

2.4.4 Função Seno Para a função senoidal f (t ) = sen(ωt ) , tem-se a seguinte função amostrada:

2.5 Propriedades da Transformada Z

∞

f ( KT ) =

∑ sen(ωKT )

(2.22)

K =0

Para obtenção de uma forma fechada da transformada Z do sinal f (t ) = sen(ωt ) , há de se considerar as seguintes identidades: e jωT − e − jωT e jωT + e − jωT ; cos( ωT) = e 2j 2

sen(ωT ) =

∞

∑x

−k

=

k =0

1 1 − x −1

(2.23)

Substituindo as relações apresentadas em (2.23) em (2.22) e aplicando a transformada Z tem-se:

F ( z) =

∞

∑

e

jωKT

K =0

Uma vez que

∞

∑x k =0

−k

=

−e 2j

1 1 − x −1

− jωKT

z−K =

∞

(

)

∞

(

1 1 ∑ e jωKT − 2 j K∑=0 e− jωKT 2 j K =0

)

(2.24)

( (

) )

⎞ 1 ⎛ z z z e jωT − e − jωT ⎞ 1 ⎛ ⎜⎜ 2 ⎟ = − F ( z) = ⎜ jωT − jωT ⎟ jωT − jωT + 1 ⎟⎠ 2j⎝ z −e z−e ⎠ 2j⎝z −z e +e z sen(ωT ) z − 2 z cos(ωT ) + 1 2

2.5.1 Linearidade: Uma função f ( x ) é dita linear se f ( αx1 + βx 2 ) = α f ( x1 ) + β f ( x 2 ) . Este resultado aplicado a definição de transformada Z resulta em:

Z {α f 1 ( KT ) + β f 2 ( KT )} = ∞

∞

K =0

K =0

∞

∑ {α

K =0

f 1 ( KT ) + β f 2 ( KT )} z − K

= α ∑ f 1 ( KT ) z − K + β ∑ f 2 ( KT ) z − K

, tem-se:

F ( z) =

Serão apresentadas a seguir duas definições que serão empregadas para estabelecer as propriedades de uma classe de sistemas denominados lineares e invariantes no tempo - LTI. Tais definições serão utilizadas na seqüência para a proposição e o entendimento da operação de convolução entre funções de tempo discreto e sua relação com funções no domínio transformado.

= αF1 ( z ) + β F2 ( z )

(2.27)

(2.25)

2.5.2 Estacionariedade

(2.26)

Um sistema será dito estacionário, ou invariante no tempo, se quando aplicado ao sistema um sinal de entrada deslocado no tempo implicar em um sinal de saída, com as mesmas características do sinal de saída para uma entrada não deslocada no tempo, deslocado no tempo. Para exemplificar este conceito considera-se um sistema em repouso, sujeito a um sinal de

Capítulo 2 - Análise de Sistemas Discretos

27

entrada u( T ) que responde com um sinal de saída y( T ) . Admitindo o mesmo sistema em repouso, se for aplicado a este sistema o mesmo sinal de entrada deslocado no tempo u( T − KT ) , o sinal de saída resultante deverá ser idêntico ao sinal y( T ) , porém com o mesmo deslocamento no tempo considerado para o sinal de entrada, isto é y( T − KT ) .

Capítulo 2 - Análise de Sistemas Discretos

2.7 Transformada Z Inversa A obtenção de funções em tempo discreto a partir das mesmas funções representadas no domínio Z pode ser realizada empregando dois métodos distintos, apresentados a seguir.

2.7.1 Método das Frações Parciais

2.6 Convolução Conforme [2], o sinal de saída de um sistema linear e invariante no tempo – LTI, pode ser determinado a partir do conhecimento do sinal de entrada e da função de resposta ao impulso do sistema que se quer determinar a saída. Utilizando o princípio da superposição, aplicável a sistemas LTI, o sinal de saída do sistema é determinado pela somatória dos impulsos ponderados com os valores do sinal de entrada deslocados no tempo. Esta operação é chamada de convolução, que é matematicamente definida como

O primeiro deles, também empregado para obtenção de funções em tempo contínuo a partir das mesmas funções representadas no domínio da freqüência, é o método das frações parciais. O exemplo 2.1 será utilizado para ilustrar o método das frações parciais. Exemplo 2.1: [5]

Será considerado neste exemplo que se deseja obter a função em tempo discreto que é representada no domínio Z pela seguinte função: F( z ) =

∞

∫

y( t ) = u( τ )g( t − τ )dτ

(2.28)

0

onde y(t) é o sinal de saída do sistema, u(t) é o sinal de entrada do sistema e g(t) é a função de resposta ao impulso do sistema considerado. Escrevendo a equação (2.28) na sua forma equivalente em tempo discreto, tem-se a expressão y( KT ) =

(2.29)

∞

−K

K =0

=

∞

A( z − 0.7 ) + B( z − 0.5 ) = 0.5 ⇒ A = −2.5 e B = 2.5

−K

K =0

A equação (2.30) pode ser convenientemente rescrita, alterando a ordem da somatória em K em J e adicionalmente considerando L = K − J , resultando em (2.31) Y( z ) =

∞

∞

J =0

L =0

∑ u( JT )∑ g( LT ) z

−( L + J )

F ( z ) = −2.5

(2.30)

J =0

Y( z ) =

(2.31)

−L

= U ( z )G( z )

(2.32)

f *(t ) =

∑ f ( KT ) δ ( t − KT ) = ∑ [− 2.5( 0.5 ) ∞

∞

K =0

K =0

K

]

+ 2.5( 0.7 ) K δ ( t − KT )

G( z )

Portanto, a convolução de dois sinais representados em tempo discreto é, de acordo com o resultado apresentado em (2.32), o produto das transformadas Z de cada um dos sinais envolvidos. Este resultado é análogo ao obtido para sinais de tempo contínuo, onde a operação de convolução dos sinais representados no domínio do tempo é equivalente no domínio da freqüência ao produto das transformadas de Laplace dos sinais envolvidos, ou seja y( t ) = u( τ )g( t − τ )dτ ⇒ Y ( s ) = U ( s )G( s )

(2.39)

A Figura 2.6 apresenta a resposta simulada de f*(t) para 10 amostras. Note os coeficientes de cada uma das amostras.

∞

∫

(2.38)

em f * ( t ) = 0δ ( t ) + 0.5δ ( t − T ) + 0.6δ ( t − 2T ) + 0.545δ ( t − 3T )

J = 044244 L = 044244 1 3 1 3 U( z )

(2.37)

As quatro primeiras amostras deste sinal serão obtidas fazendo K=0,1,2, e 3, resultando

∞

∑ u( JT ) z ∑ g( LT ) z −J

z z + 2.5 ⇒ f ( KT ) = −2.5( 0.5 ) K + 2.5( 0.7 ) K z − 0 .7 z − 0 .5

que é a função em tempo discreto que representa a transformada Z inversa de F(z). Ainda, se for de interesse representar a função amostrada f * ( t ) pode-se, a partir de (2.37), determinar esta função:

que ainda pode ser representada na forma ∞

(2.36)

Desta forma, F(z) poderá ser rescrita convenientemente como

∞

∑ z ∑ u( JT )g( KT − JT )

(2.35)

De (2.35) pode-se determinar os valores de A e B, ou seja

Empregar em (2.29) a definição apresentada em (2.3) é o passo inicial para a obtenção da transformada Z da operação de convolução no tempo, ou seja

∑ y( KT )z

(2.34)

F( z ) 0.5 A B = + = z z − 0.5 z − 0.7 ( z − 0.5 )( z − 0.7 )

∞

∑ u( JT )g( KT − JT )

0.5 z ( z − 0.5 )( z − 0.7 )

O primeiro passo a ser empregado para utilizar o método das frações parciais é rescrever a expressão de interesse, neste caso a equação (2.34), em uma soma de termos preferencialmente familiares (ex.: termos apresentados na tabela 2.1). No caso da equação (2.34) tem-se:

J =0

Y( z ) =

28

(2.33)

0

As duas propriedades apresentadas aqui serão utilizadas respectivamente na obtenção das transformadas Z inversas e nas operações e sínteses de diagramas de blocos com sinais e funções descritos no domínio Z. Figura 2.6: Resposta f*(t) para 10 amostras.

Capítulo 2 - Análise de Sistemas Discretos

29

O segundo método empregado, denominado de método da divisão longa, diferentemente do método das frações parciais, não resulta em uma forma fechada para o sinal de tempo discreto conforme a apresentada em (2.37). No entanto, empregando o método da divisão longa chega-se diretamente a função amostrada f * ( t ) . ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ z 2 − 1.2 z + 0.35 ⎪ ⎪ 0 .5 z ⎪ ⎪⎪ 0.5 z ⎪ −1 01 .52 z3 F( z ) = = ⎨− 0.5 z + 0.6 − 0.175 z −1 ⎬ ( s − 0.5 )( s − 0.7 ) ⎪ parte int eira da divisão ⎪ ⎪ ⎪ −1 01 .64 −402 .175 z3 ⎪ ⎪ 44 ⎪⎩ ⎪⎭ resto da divisão

0.6 − 0.175 z −1 z 2 − 1.2 z + 0.35

⎫ ⎪ z 2 − 1.2 z + 0.35 ⎪ ⎪⎪ −2 01 .62 z3 ⎬ parte int eira da divisão ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

z 2 − 1.2 z + 0.35

(2.42)

(2.43)

(2.44)

1. Obter os valores de y(KT) quando z , para K=0 a 4. Obtenha utilizando uma forma fechada de z 2 − 3z + 2 representação de y(KT) em função de K. Y ( z) =

Resposta: y(0)=0; y(1)=1; y(2)=3; y(3)=7; y(4)=15; 2. Um sistema apresenta uma resposta y(KT)=KT para K ≥ 0 . Obter Y(z) para esta resposta. T .z

y * (t ) = 0δ (t ) + 0.63δ (t − T ) + 0.86δ (t − 2T ) + 0.94δ (t − 3T ) + 0.967δ (t − 4T ) + 0.979δ (t − 5T ) + ...

(2.41)

2.8 Problemas Propostos

(z − 1)2

Utilizando o método da divisão longa:

a)

que coincide exatamente com o sinal representado em (2.39).

Resposta: Y ( z ) =

)

Resposta:

Do equacionamento apresentado em (2.43), utilizando-se das relações (2.1) e (2.2) anteriormente apresentadas, conclui-se que os quatro primeiros termos do sinal amostrado f * ( t ) são dados por f * ( t ) = 0δ ( t ) + 0.5δ ( t − T ) + 0.6δ ( t − 2T ) + 0.545δ ( t − 3T )

(

(2.40)

Análogo a representação (2.41) da função F(z), tem-se agora 0.545 z −1 − 0.210 z −2

1 − e −10.T z . (z − 1) z − e −10.T

a) Obtenha a resposta y(t) amostrada com T=0.1;

O mesmo procedimento da divisão longa é repetido para a parte representada pelo quociente de funções em (2.41), resultando em ⎧ ⎪ −1 ⎪ 0.6 − 0.175 z −1 ⎪ 0.6 − 0.175 z ⎪ = ⎨− 0.6 + 0.720 z −1 − 0.210 z − 2 ( s − 0.5 )( s − 0.7 ) ⎪ ⎪ 1 −2 01 .545 z −4 − 04 .210 z3 ⎪ 44 2 44 ⎪⎩ resto da divisão

Y ( z) =

b) Obtenha a resposta y(t) amostrada com T=0.05;

Da forma com que foi apresentada a função F(z) em (2.40), pode-se representá-la novamente relacionando-a com a parte inteira e com o resto da divisão, i.e.

F ( z ) = 0.5 z −1 + 0.6 z − 2 +

30

3. A resposta de um sistema pode ser expressa por:

2.7.2 Método da Divisão Longa

F ( z ) = 0.5 z −1 +

Capítulo 2 - Análise de Sistemas Discretos

2.9 Bibliografia [1] K. J. Aströn and B. Wittenmark, Computer Controlled System – Theory and Design, Prentice Hall, New Jersey, 1984. [2] S. Haykin and B. V. Veen, Sinais e Sistemas, Editora Bookman, 1999. [3] G. F. Franklin, J. D. Powell and M. Workman, Digital Control of Dynamic Systems, Addison Wesley, Third Edition, 1997. [4] G. F. Franklin, J. D. Powell and A. E. Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, Addison Wesley, 1991. [5] N. S. Nise, Engenharia de Sistemas de Controle, LTC – Livros Técnicos e Científicos, Terceira Edição. [6] H. P. Hsu, Sinais e Sistemas, Coleção Schaum, Editora Bookman, 2004.

Capítulo 3 - Sistemas Discretos Equivalentes SISTEMAS DE CONTROLE - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

32

PUCRS

3.1 Introdução A inserção de sistemas baseados em computador, sejam eles baseados em computadores de grande porte, computadores pessoais, controladores lógicos programáveis ou hardwares customizados que empregam microprocessadores ou microcontroladores para execução de tarefas específicas, vem ganhando grande espaço em aplicações de engenharia. São diversos os motivos para a utilização de dispositivos eletrônicos digitais em aplicações que outrora eram realizadas por dispositivos eletrônicos analógicos. Um destes motivos é a flexibilidade dos dispositivos eletrônicos digitais, o alto desempenho dos microprocessadores e de famílias de processadores dedicados para tratamento de sinais, que veio associado principalmente aos baixos custos apresentados na atualidade por estes dispositivos. Frente a esta realidade tecnológica, a adequação de projetos baseados em circuitos analógicos aos seus equivalentes digitais é, além de plenamente justificável, necessária. Desta forma, será apresentado neste capítulo, formas para realizar a equivalência entre os equacionamentos de sistemas dinâmicos nos domínios contínuo e discreto.

3.2 Equivalência Por Integração Numérica A equivalência por integração numérica será apresentada neste capítulo tomando por base três diferentes tipos de aproximação.

3 Sistemas Discretos Equivalentes

3.2.1 Backward Approximation A primeira aproximação, denominada de backward approximation, de acordo com [6], pode ser efetuada através da soma de sucessivos retângulos para composição da área definida abaixo da função f ( t ) , conforme apresentado na Figura 3.1.

Figura 3.1: Integração com aproximação do tipo backward.

Com base na Figura 3.1, pode-se dizer que uma aproximação possível para a obtenção da área definida abaixo da curva da função f ( t ) , até o instante de tempo t = KT , é a seguinte: y( KT ) = y( KT − T ) + Tf ( KT )

(3.1)

Aplicando a transformada Z em ambos os lados de (3.1), chega-se a seguinte relação

∑

∞ K =0

y ( KT ) = ∑ K =1 y ( KT − T ) + T ∑ K =0 f ( KT ) ∞

Y ( z ) = z −1 .Y ( z ) + T .F ( z ) Texto Original: Luis Fernando Alves Pereira

z.Y ( z ) = Y ( z ) + T .z.F ( z )

Alteração e adaptação por: Pablo Alberto Spiller

( z − 1).Y ( z ) = T .z.F ( z )

∞

Capítulo 3 - Sistemas Discretos Equivalentes

33

Tz F ( z) (3.2) z −1 que expressa a relação entre as transformadas Z das funções F(z) e de sua integral Y(z), obtida através da aproximação do tipo backward. Y ( z) =

Tal área definida abaixo da curva da função f ( t ) , também pode ser expressa no domínio de tempo contínuo com sua respectiva transformação para o domínio freqüência (empregando a transformada de Laplace), conforme (3.3). KT

y( t ) =

∫ f ( t )dt

⇒ Y( s ) =

0

1 F( s ) s

Capítulo 3 - Sistemas Discretos Equivalentes

34

3.2.2 Forward Approximation A segunda aproximação, denominada de forward approximation, da mesma forma que a aproximação considerada anteriormente, será efetuada através da soma de sucessivos retângulos para composição da área definida abaixo da função f ( t ) , porém o valor da função f ( t ) empregado para determinação das áreas dos retângulos é o valor inferior do intervalo considerado, conforme apresentado na Figura 3.3.

(3.3)

Comparando-se as expressões (3.2) e (3.3), estabelece-se a relação entre as variáveis “z” e “s”, considerando a aproximação do tipo backward, apresentada em (3.4). s≅

z −1 Tz

(3.4)

O emprego de (3.4) em uma função de transferência descrita no domínio “s” resulta em uma outra função de transferência descrita no domínio “z”, passível de implementação direta em um dispositivo baseado em microprocessador. De forma a ilustrar a validade da aproximação do tipo backward, considera-se o seguinte sistema dinâmico: G( s ) =

100 2

s + 10s + 100

(3.5)

Substituindo a relação apresentada em (3.4) na função de transferência (3.5), obtém-se a função de transferência aproximada (3.6), descrita no domínio “z”, sendo a resposta ao degrau do sistema (3.5) e de suas aproximações considerando três valores de período de amostragem T 1 = 2π , T 2 = 2π 200 e T 3 = 2π 100 apresentados na Figura 3.2. 1000 G( z ) =

(

100T 2 z 2

)

z 2 1 + 10T + 100T 2 − z (2 + 10T ) + 1

(3.6)

Figura 3.3: Região Integração com aproximação do tipo forward.

Com base na Figura 3.3, pode-se dizer que uma aproximação possível para a obtenção da área definida abaixo da curva da função f ( t ) , até o instante de tempo t = KT , é a seguinte: y( KT ) = y( KT − T ) + Tf ( KT − T )

(3.7)

Aplicando a transformada Z em ambos os lados de (3.7), chega-se a seguinte relação

∑

∞ K =0

y ( KT ) = ∑ K =1 y ( KT − T ) + T ∑ K =0 f ( KT − T ) ∞

∞

Y ( z ) = z −1 .Y ( z ) + T .z −1 .F ( z ) z.Y ( z ) = Y ( z ) + T .F ( z ) ( z − 1).Y ( z ) = T .F ( z ) Y( z ) =

T F( z ) z −1

(3.8)

que expressa a relação entre as transformadas Z das funções F(z) e de sua integral Y(z), obtida através da aproximação do tipo forward. Conforme realizado para a aproximação do tipo backward, tal função também pode ser expressa no domínio de tempo contínuo com sua respectiva transformação para o domínio freqüência (empregando a transformada de Laplace), conforme (3.3). Comparando-se as expressões (3.8) e (3.3), estabelece-se a relação entre as variáveis “z” e “s”, considerando a aproximação do tipo forward, apresentada em (3.9). s≅

z −1 T

(3.9)

Para verificar a validade da aproximação descrita em (3.9), será utilizado como exemplo o mesmo sistema dinâmico empregado na aproximação do tipo backward. O mesmo procedimento realizado anteriormente será efetuado de forma a obter a função de transferência aproximada descrita no domínio Z, resultando em (3.10). Figura 3.2: Aproximações com três diferentes períodos de amostragem – algoritmo do tipo forward.

G( z ) =

100T 2

z + z (10T − 2) + 100T 2 2

(3.10)

Na Figura 3.4 é apresentado o comportamento das curvas de resposta ao degrau das variáveis y( t ) e y( KT ) obtida através da aproximação do tipo forward considerando três diferentes períodos de amostragem, T 1 = 2π 1000 , T 2 = 2π 200 e T 3 = 2π 100 .

Capítulo 3 - Sistemas Discretos Equivalentes

35

Capítulo 3 - Sistemas Discretos Equivalentes

∑

∞

36

y ( KT ) = ∑ K =1 y ( KT − T ) + ∞

K =0

Y ( z ) = z −1 .Y ( z ) + z.Y ( z ) = Y ( z ) + ( z − 1).Y ( z ) =

3.2.3 Trapezoidal Approximation (Método de Tustin) A terceira aproximação apresentada é denominada de trapezoidal approximation, pois a composição da área definida abaixo da função f ( t ) será realizada através da soma de sucessivos trapézios, conforme ilustrado na figura 3.5.

T −1 T .z .F ( z ) + .F ( z ) 2 2

T (1 + z ).F ( z ) 2

T (1 + z ).F ( z ) 2

Y( z ) =

Figura 3.4: Aproximações com três diferentes períodos de amostragem – algoritmo do tipo forward.

T ∞ T ∞ ∑ f ( KT − T ) + 2 ∑K =0 f ( KT ) 2 K =0

T z +1 F( z ) 2 z −1

(3.12)

que expressa a relação entre as transformadas Z das funções F(z) e de sua integral Y(z), obtida através da aproximação do tipo trapezoidal. A título de informação vale dizer que este tipo de aproximação também é referenciado como transformação Bilinear ou também como método de Tustin. Conforme realizado para as duas aproximações anteriormente apresentadas, tal função também pode ser expressa no domínio de tempo contínuo com sua respectiva transformação para o domínio freqüência (empregando a transformada de Laplace), conforme (3.3). Comparando-se as expressões (3.12) e (3.3), estabelece-se a relação entre as variáveis “z” e “s”, considerando a aproximação do tipo trapezoidal, apresentada em (3.13). s≅

2 z −1 T z +1

(3.13)

Para verificar a validade da aproximação descrita em (3.13), será utilizado como exemplo o mesmo sistema dinâmico empregado para validação das aproximações anteriormente apresentadas. O mesmo procedimento de substituição da variável “s” por sua aproximação equivalente descrita em função de“z”, neste caso a apresentada em (3.13), deve ser realizado, resultando em (3.14). G( z ) =

2

(

(

) ) (

100T 2 z 2 + 2 z + 1

) (

z 4 + 20T + 100T 2 + z 200T 2 − 8 + 4 + 20T + 100T 2

)

(3.14)

Na Figura 3.6 é apresentado o comportamento das curvas de resposta ao degrau das variáveis y( t ) e y( KT ) obtida através da aproximação do tipo trapezoidal considerando três diferentes períodos de amostragem, T 1 = 2π 1000 , T 2 = 2π 200 e T 3 = 2π 100 . Figura 3.5: Integração com aproximação do tipo trapezoidal

De acordo com a Figura 3.5, pode-se dizer que uma aproximação possível para a obtenção da área definida abaixo da curva da função f ( t ) , até o instante de tempo t = KT , é a seguinte: y ( KT ) = y ( KT − T ) +

T ( f ( KT − T ) + f ( KT )) 2 444424444 1 3

(3.11)

Área do Trapézio

Aplicando a transformada Z em ambos os lados de (3.11), chega-se a seguinte relação

Figura 3.6: Aproximações com três diferentes períodos de amostragem – algoritmo do tipo trapezoidal.

Capítulo 3 - Sistemas Discretos Equivalentes

37

Capítulo 3 - Sistemas Discretos Equivalentes

38

3.2.4 Mapeamento do plano ‘s’ no ‘z’ Pela análise das Figuras 3.2, 3.4 e 3.6, observa-se que para cada uma das aproximações, mesmo sendo preservados os períodos de amostragens, o comportamento dinâmico da variável de saída para cada um dos casos apresenta diferenças significativas. Isto ocorre porque cada uma das aproximações mapeia os pontos do plano “s” em diferentes pontos do plano “z”. De forma a verificar os mapeamentos entre os dois planos característicos de cada uma das aproximações, será considerado por ordem de simplicidade o mapeamento realizado pela aproximação forward. Conforme (3.9) s≅

z −1 ⇒ z ≅ 1 + Ts T

(3.15)

Para realizar o mapeamento entre os planos “s” e “z”, o primeiro passo que será dado diz respeito a localização dos semiplanos direitos e esquerdo do plano “s” no plano “z”. A divisão entre estes dois semiplanos do plano “s” é caracterizada pelo conjunto de pontos do plano “s” que apresentam parte real nula, ou seja, os pontos de interesse serão aqueles em que s = jω . A parte escura da Figura 3.7 representa a área do plano “z” correspondente ao semiplano esquerdo do plano “s”.

Figura 3.8: Mapeamento do semiplano esquerdo do plano “s” no plano “z” – backrward.

O mapeamento corresponde ao semiplano esquerdo do plano “s” em uma região correspondente no plano “z, considerando a aproximação trapezoidal, é realizado da mesma maneira que os anteriores partindo da relação (3.13), ou seja s≅

2 z −1 ⇒z≅ T z +1

Ts 2 Ts 1− 2 1+

(3.18)

Através da relação apresentada (3.18), conclui-se que para os pontos do plano “s” que apresentam parte real nula, um círculo de raio unitário é com centro na origem do plano “z” é obtido como resultado do mapeamento empregando a aproximação do tipo trapezoidal, sendo os pontos pertencentes ao semiplano esquerdo do plano “s” mapeados internamente a este círculo, conforme apresentado na Figura 3.9

Figura 3.7: Mapeamento do semiplano esquerdo do plano “s” no plano “z” – forward.

O mesmo tipo de análise pode ser feito para avaliar o mapeamento entre os planos “s” e “z” decorrente da aproximação do tipo backward. Neste caso, utilizando a relação apresentada em (3.4), obtem-se s≅

1 z −1 ⇒ z≅ Tz 1 − Ts

(3.16)

De forma a facilitar a visualização da superfície correspondente ao semiplano esquerdo do plano “s” no plano “z”, utilizando a aproximação do tipo backward, de acordo com [3] a relação apresentada em (3.16) será convenientemente rescrita na forma z≅

1 ⎛ 1 1⎞ 1 1 ⎛ 1 + Ts ⎞ +⎜ − ⎟ = + ⎜ ⎟ 2 ⎝ 1 − Ts 2 ⎠ 2 2 ⎝ 1 − Ts ⎠

Os pontos do plano “s” com parte real nula mapeiam um circulo de raio em

1 2

(3.17)

1 2

com centro

no plano “z”. Pontos pertencentes ao plano com parte real negativa serão mapeados

internamente a este círculo, conforme apresentado na Figura 3.8.

Figura 4.9: Mapeamento do semiplano esquerdo do plano “s” no plano “z” – trapezoidal.

3.3 Estabilidade de Sistemas Discretos Sabemos da teoria de controle que um sistema com realimentação e contínuo é estável se todos os pólos da função de transferência da malha fechada estiverem no semiplano ‘s’ da esquerda. Uma vez que z = e sT = e (σ + jω )T , pode-se escrever esta relação como:

z = eσT e ∠z = ωT

Capítulo 3 - Sistemas Discretos Equivalentes

39

Para localizar pontos no semiplano esquerdo, σ < 0 , fazendo com que z varie entre 0 e 1, com ângulo variável. O eixo imaginário do plano ‘s’, σ = 0 , compreende um círculo de raio unitário no plano ‘z’, enquanto que todo o semiplano esquerdo, compreende seu interior.

Capítulo 3 - Sistemas Discretos Equivalentes

40

Portanto, a função de transferência resultante através da equivalência pelo mapeamento de zeros e pólos, incluindo o ajuste de ganho apresentado em (3.22), é apresentada em (3.23). A Figura 3.11 apresenta a resposta a uma entrada do tipo degrau para a função real e para a função aproximada considerando o intervalo de amostragem T = π 10 . G( z ) =

1 1 − e −2T z − e −1T 2 1 − e −1T z − e − 2T

(3.23)

Figura 3.10: Mapeamento da região de estabilidade do plano “s” no plano “z”.

Portanto, um sistema amostrado é estável se todos os pólos da função de transferência de malha fechada estiverem localizados no interior do círculo unitário do plano ‘z’. .Figura 3.11 – Resposta ao degrau do sistema (3.19) e de seu equivalente discreto por mapeamento de pólos e zeros (3.23).

Pelo mapeamento observado, ao utilizar a equivalencia pelo método de Tustin, asseguramos que um sistema estável no domínio contínuo, também será estável no domínio discreto.

3.4 Equivalência por Mapeamento de Zeros e Pólos O método de obtenção de uma função de transferência discreta descrita no domínio “z” equivalente a uma função de transferência contínua descrita no domínio “s” consiste em realizar a equivalência dos pólos e dos zeros finitos da função de transferência descrita no domínio “s”, por pólos e zeros correspondentes mapeados no domínio “z”, seguindo a definição que z = e sT . Sendo assim, uma função de transferência descrita no domínio “s” por

Uma regra adicional utilizada para concluir o procedimento de obtenção de sistemas equivalentes discretos empregando a técnica de mapeamento de pólos e zeros, é a inserção dos zeros localizados no infinito do plano “s”, no ponto -1 do plano “z”. Para exemplificar a validade desta regra, será utilizado o sistema de segunda ordem (3.5). Neste exemplo existem dois zeros localizados no infinito do plano “s”, e dois pólos localizados em s = −5.0 + j8.6 e s = −5.0 − j8.6 . O primeiro passo será realizar o mapeamento dos pólos, ou seja: z = e −5T (cos(8.66T ) + jsen(8.66T ))

s +1 (3.19) s+2 que apresenta um zero em s = −2 e um pólo em s = −1 será inicialmente representada,

seguindo a forma de mapeamento descrita anteriormente, pela seguinte função de transferência no domínio “z”. G( z ) =

z − e −1T

(3.20)

z − e − 2T

Da forma com que (3.20) está representada, existe a equivalência realizada pelo mapeamento de zeros e pólos, porém a situação de ganho da função de transferência (3.19) que ocorre quando s = 0 deverá também ser satisfeita para (3.20) quando z = 1 , valor assumido pela variável “z” quando s = 0 . Portanto

s +1 1 z − e −1T = ≠ G( z ) = (3.21) s + 2 s =0 2 z − e − 2T z =1 A correspondência entre os valores de G(s) e G(z), respectivamente nos pontos iguais a s = 0 e z = 1 , se dará mediante ao ajuste de mais um parâmetro de G(z), que representará o ganho da função, ou seja G (s) =

G( z ) = K

1 − e −1T 1 − e − 2T

= z =1

1 1 1 − e −2T se K = 2 2 1 − e −1T

(3.22)

s = −5.0 + j 8.66

e

G( s ) =

(3.24)

z=e

− 5T

(cos(8.66T ) − jsen(8.66T )) s =−5.0− j 8.66

Portanto, o denominador da função de transferência equivalente no plano “z”, considerando o mapeamento efetuado por (3.24), é dado por ou ainda

(z − e

−5T

(cos(8.66T ) + jsen(8.66T )))(z − e −5T (cos(8.66T ) − jsen(8.66T )))

(

(

)

z 2 − 2e −5T cos(8.66T ) z + e −10T (cos(8.66T ))2 + (sen(8.66T ))2

)

(3.25)

(3.26)

Considerando que existem dois zeros localizados no infinito do plano “s”, mapeados em z = −1 no plano “z”, resulta na seguinte função de transferência discreta equivalente: G( z ) =

(

)

K ( z + 1)2

(

z 2 − 2e −5T cos(8.66T ) z + e −10T (cos(8.66T ))2 + (sen(8.66T ))2

)

(3.27)

Para satisfazer a equivalência entre G( s ) s =0 com G( z ) z =1 , deve-se determinar o valor do ganho K , concluindo a função de transferência discreta equivalente, conforme apresentado em (3.28). A Figura 3.12 apresenta a curva de resposta ao degrau para o sistema (3.5) e o sistema discreto equivalente (3.28).

Capítulo 3 - Sistemas Discretos Equivalentes

G( z ) =

2

(

41

(

1 − 2e −5T cos(8.66T ) + e −10T (cos(8.66T ))2 + (sen(8.66T ))2 4

z − 2e

− 5T

)

(z + 1)2 cos(8.66T ))z + e −10T ((cos(8.66T ))2 + (sen(8.66T ))2 )

(3.28)

Capítulo 3 - Sistemas Discretos Equivalentes

42

Para se obter a função de transferência do sistema discreto equivalente, pode-se tomar como base o diagrama de blocos da Figura 3.14. Neste diagrama é apresentado o sistema continuo G( s ) e o dispositivo de amostragem e retenção ZOH ( s ) .

Figura 3.14: Sistema contínuo G( s ) com o dispositivo de amostragem e retenção ZOH ( s )

Com base na Figura 3.14, e sabendo que o bloco ZOH ( s ) é representado pela função de transferência ZOH ( s ) = Figura 3.12 – Resposta ao degrau do sistema (3.5) e de seu equivalente discreto por mapeamento de pólos e zeros (3.27).

obtém-se a relação

3.5 Equivalência por Retenção de Ordem Zero Outra forma de se obter a função de transferência discreta de um sistema descrito no domínio contínuo é considerar a existência de um elemento que amostra o sistema contínuo em instantes de tempo pré-estabelecidos, e aproxima a saída do sistema contínuo entre dois instantes sucessivos de acordo com uma determinada métrica. Um exemplo de dispositivo de amostragem e retenção é denominado de “Zero Order Hold – ZOH”, já anteriormente apresentado. Neste dispositivo, a métrica do elemento de retenção, é manter o valor de saída do sistema discreto constante entre dois instantes de amostragem, com amplitude igual a do valor da variável de saída do sistema contínuo no instante em que foi realizada a amostragem. A Figura 3.13 apresenta a saída do sistema (3.5) quando submetido a um sinal de entrada do tipo degrau com amplitude unitária, e a comparação do sinal do mesmo sistema, sujeito as mesmas condições de operação, após passar por um dispositivo do tipo ZOH.

Y ZOH ( s )

E( s )

1 − e − sT s

(3.29)

, apresentada em (3.30).

⎛ 1 − e − sT G ZOH ( s ) = G( s )⎜ ⎜ s ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(3.30)

Introduzindo-se dois amostradores sincronizados com o amostrador do dispositivo ZOH , um na entrada E( s ) e outro na saída YZOH ( s ) , conforme apresentado Figura 3.15, obtém-se respectivamente os sinais E( k ) e YZOH ( k ) . A função de transferência discreta do bloco representado por G ZOH ( z ) pode ser determinada de acordo com (3.31).

(

)

⎧ G( s ) ⎫ G ZOH ( z ) = 1 − z −1 Z ⎨ ⎬ ⎩ s ⎭

(3.31)

Figura 3.15: Diagrama de blocos do sistema discreto equivalente com ZOH.

Exemplo 3.1: Neste exemplo será obtido o equivalente discreto da função de transferência G( s ) =

Ka s( s + a )

(3.32)

empregando retenção de ordem zero, admitindo como período de amostragem T . De acordo com (3.31) tem-se:

(

Figura 3.13 – Saída do sistema contínuo e discreto com retenção de ordem zero – ZOH.

)

⎧⎪ Ka ⎫⎪ G ZOH ( z ) = 1 − z −1 Z ⎨ 2 ⎬ ⎪⎩ s (s + a ) ⎪⎭

(3.33)

Capítulo 3 - Sistemas Discretos Equivalentes

43

Rescrevendo o termo interno a chave na equação (3.33) na forma de frações parciais, chega-se a seguinte expressão:

(

G ZOH ( z ) = 1 − z

−1

)

⎧ ⎛ A B 1 1 C ⎞⎫ Z ⎨K ⎜ 2 + + ⎟⎬ com A = 1, B = − e C = s s + a ⎠⎭ a a ⎩ ⎝s

Capítulo 3 - Sistemas Discretos Equivalentes

Resposta de 1.1: LGR do sistema contínuo.

(3.34)

No Matlab:

Determinado os valores de A, B e C, obtém-se com o auxílio da Tabela de Transformadas, a transformada Z do termo interno as chaves da expressão (3.34), apresentada em (3.35). ⎧ ⎛ 1 1 ⎞⎫ z z ⎛ ⎪ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎜ Tz a − a + Z ⎨ K ⎜ 2 − a + a ⎟⎬ = K ⎜ 2 − ( ) + 1 s s a z ⎟ ⎜ ⎜ − s z e − aT (z − 1) ⎪⎩ ⎝ ⎠⎪⎭ ⎝

(

)

⎛ Tz 1 1 − e − aT z = K⎜ − ⎜ (z − 1)2 a ( z − 1) z − e − aT ⎝

(

(

)

44

>> G=tf(10,[1 10 0]); >> rlocus(G)

⎞ ⎟

)⎟⎟⎠

(3.35)

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Substituindo (3.35) em (3.34), chega-se na função de transferência equivalente discreta por retenção de ordem zero da função de transferência (3.32), dada por − aT ⎛ ⎛ ⎜ T z − e − aT − (z − 1)⎜ 1 − e ⎜ ⎜ a ⎝ G ZOH ( z ) = K ⎜ (z − 1) z − e −aT ⎜ ⎜⎜ ⎝

(

)

(

)

⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠

(3.36)

Ou >> G=tf(10,[1 10 0]);

3.6 Problemas

>> rltool(G)

1. Para efeito de observação do mapeamento, trace o LGR dos sistemas no domínio contínuo considerando K>0. Após, realize o mesmo procedimento para os sistemas no domínio discreto, mapeados de diferentes maneiras: T=1. a) pelo Equivalente por Retenção de Ordem Zero; b) pelo Método de Tustin; c) por Mapeamento de Pólos e Zeros; Observe a estabilidade nos modelos. Considere o seguinte sistema:

10 1.1 G ( s ) = ; s ( s + 10)

1 1.2 G ( s ) = ; s ( s + 1) 2

( s + 10) 1.3 G ( s ) = s

a) G ZOH ( z ) =

0,9 z + 0,09995 z 2 − z + 4,54.10 −5

b) GTustin ( z ) =

0,4167 z 2 + 0,833z + 04167 z 2 − 0.333 z − 0,667

c) G zp ( z ) =

0,5466 z + 0,5466 z 2 − z + 4,54.10 −5

Capítulo 3 - Sistemas Discretos Equivalentes

45

No Matlab:

Capítulo 3 - Sistemas Discretos Equivalentes

46

2. Considere o sistema apresentado com um Amostrador-Retentor de Ordem Zero Go(s), e um processo Gp(s).

>> G=tf(10,[1 10 0]); >> Gzoh=c2d(G,1,'zoh'); >> rltool(Gzoh)

a) Utilize frações parciais e encontre a Tranformada Z do sistema. Considere o período de amostragem T=1. b) A resposta ao impulso pode ser obtida dividindo o numerador da transformada pelo denominador. Utilize o método da Divisão Longa para obter essa resposta.

⎡ T .z z z − + Resposta: a) G ( z ) = 1 − z −1 ⎢ 2 − z 1 z − e −T ( ) − z 1 ⎣

(

No Matlab:

)

⎤ 0,3678 z + 0,2644 ⎥= 2 z − 1,3678 z + 0,3678 ⎦

b) y * (t ) = 0.3678.δ (t − T ) + 0.7675.δ (t − 2T ) + 0.9145.δ (t − 3T ) + 0.9685.δ (t − 4T ) + 0.9884δ (t − 5T ) + ...

>> G=tf(10,[1 10 0]); >> Gdt=c2d(G,1,'tustin'); >> rltool(Gdt)

No Matlab: >> G=tf(1,[1 1 0]); >> Gzoh=c2d(G,1,'zoh')

3. Considere o sistema de controle abaixo. A função G(z) foi obtida com amostragem Tz . z −1

=1. Determine a resposta y(KT) quando aplicado na entrada um degrau unitário: R( z ) =

No Matlab: >> G=tf(10,[1 10 0]); >> Gpz=c2d(G,1,'matched'); >> rltool(Gpz)

Resposta: y ( KT ) = 0.3678.δ (t − T ) + 1.δ (t − 2T ) + 1.4.δ (t − 3T ) + 1.4.δ (t − 4T ) + 1.147δ (t − 5T ) + 0.89.δ (t − 6T ) + 0.8.δ (t − 7T ) + 0.868.δ (t − 8T ) + 0.994.δ (t − 9T ) + ... No Matlab: >> Gmf=feedback(Gzoh,1); >> step(Gmf)

3.7 Bibliografia [1] K. J. Aströn and B. Wittenmark, Computer Controlled System – Theory and Design, Prentice Hall, New Jersey, 1984. [2] S. Haykin and B. V. Veen, Sinais e Sistemas, Artmed Editora Ltda, 1999. [3] G. F. Franklin, J. D. Powell and M. Workman, Digital Control of Dynamic Systems, Addison Wesley, Third Edition, 1997. [4] G. F. Franklin, J. D. Powell and A. E. Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, Addison Wesley, 1991. [5] N. S. Nise, Engenharia de Sistemas de Controle, LTC – Livros Técnicos e Científicos, Terceira Edição. [6] B. C. Kuo, Automatic Control Systems, Prentice Hall, Seventh Edition.

Capítulo 4 - Projeto de Controladores Discretos SISTEMAS DE CONTROLE - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

48

PUCRS

4.1 Introdução Projetos de controladores baseados em dispositivos microprocessados são cada vez mais comuns. A opção pela utilização destes dispositivos se dá, principalmente, pela sua funcionalidade que possibilita a realização de diferentes tarefas. Em aplicações simples com um microcontrolador pode-se, por exemplo, receber dados externos de sensores, apresentar estes dados em um display, monitorar valores máximos e mínimos de variáveis, acionar alarmes para o usuário e ainda controlar um ou mais processos. Em aplicações mais complexas pode-se utilizar Controladores Lógicos Programáveis – CLP’s ou, até mesmo, os Sistemas de Digitais de Controle Distribuídos – SDCD’s. Independente do caso, a quantidade de tarefas a serem realizadas em um processo cujo controle é baseado em dispositivos microprocessados pode ser aumentada se houver tempo para que todas as tarefas sejam executadas satisfatoriamente. No caso específico das malhas de controle, este tempo influencia na determinação dos períodos de amostragem empregados para o projeto dos controladores de cada uma das malhas. Neste capítulo será apresentado uma metodologia de projeto de compensadores. Como exemplo, é apresentado um compensador de atraso de fase baseado em métodos de resposta em freqüência, juntamente com os procedimentos para obtenção do controlador discreto equivalente.

4.2 Projeto do Compensador Discreto 4 Projeto de Controladores Discretos

De forma a apresentar o procedimento para a obtenção do compensador discreto, será considerado o sistema de controle conforme ilustrado no diagrama de blocos na figura 4.1, considerando a inclusão do computador na malha de controle. Os requisitos pretendidos para o sistema de malha-fechada são Mp ≤ 9.5% e K v ≥ 160 .

Figura 4.1: Exemplo de um servo posicionador utilizado para o projeto de compensadores discretos.

Na obtenção do equivalente discreto do compensador deve ser considerado o efeito das operações de amostragem e retenção, introduzidas pelos conversores A/D e D/A presentes na malha de controle de um sistema baseado em dispositivos microprocessados. Naturalmente, os efeitos dinâmicos destes componentes tendem a ser diminuídos, ou até mesmo desprezados, quando os períodos de amostragem envolvidos são muito pequenos. A forma com que será realizada a obtenção do controlador é bastante simples:

4.2.1 Discretização do Processo Em primeiro lugar, deverá ser obtida a função de transferência discreta do processo a ser controlado, empregando o equivalente por retenção de ordem zero. A equação (4.1) inclui a dinâmica do dispositivo ZOH. Texto Original: Luis Fernando Alves Pereira Alteração e adaptação por: Pablo Alberto Spiller

(

)

⎧G ( s )⎫ G ZOH G P ( z ) = 1 − z −1 Z ⎨ P ⎬ ⎩ s ⎭

(4.1)

Capítulo 4 - Projeto de Controladores Discretos

49

Capítulo 4 - Projeto de Controladores Discretos

50

De forma a ilustrar com clareza o efeito da inclusão da dinâmica dos elementos de amostragem e retenção, o período de amostragem utilizado será igual a T = 0.05 segundos. Utilizando o método das frações parciais, juntamente com a tabela de transformadas Z, pode-se encontrar a função no domínio discreto. No exemplo a equação (4.2) foi empregada a função c2d (continuous to discrete) do software Matlab, empregando-se a seguinte seqüência de comandos: Tabela 4.1: Linhas de código em Matlab para obtenção do equivalente discreto de Gp(s).

>> K=1.0; >> T=0.05; >> Gp = zpk([ ], [0 -36 -100], 100*K); >> Gd = c2d(Gp, T, ‘zoh’);

% ganho admitido para o estágio pré-amplificador % define o período de amostragem utilizado % gera um processo com função igual a Gp(s) % gera o equivalente discreto incluindo o efeito do ZOH

Para o caso do exemplo apresentado na figura 4.1, foi admitido o ganho K do estágio pré-amplificador como unitário, resultando na função de transferência equivalente discreta apresentada em (4.2). G ZOH G P ( z ) =

0.00053774 (z + 1.068) (z + 0.03556) (z - 1) (z - 0.1653) (z - 0.006738)

(4.2)

A função de transferência (4.2) já leva em consideração a dinâmica dos elementos de amostragem e retenção.

4.2.2 Projeto do Controlador

Figura 4.2: Diagrama de Bode do processo e de seu equivalente com ZOH.

De posse dos diagramas de Bode do sistema equivalente, verifica-se a necessidade da inclusão de um compensador no sistema de controle, pois o ganho necessário para obter o Kv mínimo de 150 instabilizaria o sistema. (verificar o Nyquist do sistema). Aumentando o ganho K do processo, pode-se ajustar o sobressinal para 9,5%. Fazendo uma relação direta com a margem de fase do processo, o sistema deve ter aproximadamente 59º. Na Figura 4.3, está representado o Diagrama de Bode do processo com um ajuste de ganho (K=330). Observa-se: Margem fase= 58.7º. ω0 dB = 9 rad/s. Kv= 9.

Os requisitos pretendidos para o sistema de malha-fechada são Mp ≤ 9.5% e K v ≥ 160 . Será que um simples ajuste de ganho não resolveria? Podemos analisar a característica da resposta temporal diretamente pelas características da resposta em frequencia do processo.

Para isso, as curvas de resposta em frequência da função de transferência contínua, equivalente a (4.2), devem ser obtidas. Para esta tarefa será empregado método de Tustin, que emprega a relação de equivalência entre as variáveis “z” e “s” dada em (4.3). z≅

1 + Ts

s

1 − Ts

2

(4.3)

A função de transferência contínua equivalente é apresentada em (4.4). A Figura 4.2 apresenta as curvas de resposta em freqüência do sistema contínuo e do sistema contínuo equivalente considerando o efeito do elemento de amostragem e retenção. 0.000015 (s - 1220) (s - 40) (s + 42.95) (4.4) s (s + 28.65) (s + 39.46) De forma análoga a realizada para a obtenção da função de transferência discreta apresentada em (4.2), a função de transferência contínua que leva em conta o efeito dinâmico do ZOH é obtida pela linha comando do software Matlab apresentada na Tabela 4.2. Geq ( s ) = GZOH GP ( s ) =

Tabela 4.2: Linha de código em Matlab para obtenção do equivalente contínuo.

>> Geq = d2c( Gd , ‘tustin’ )

% função de transferência contínua equivalente

Figura 4.3: Diagrama de Bode do processo equivalente com ajuste de ganho

Desta forma, pode-se atender somente o requisito de sobressinal. Assim, sugere-se um compensador para atender a constante de erro Kv. A seguir, é apresentado o projeto de um compensador de atraso de fase, C ( s) = K C .

s+z , onde p < z s+ p

cuja principal característica é de atender os requisitos de erro em regime permanente baseado em métodos de resposta em frequência.

Capítulo 4 - Projeto de Controladores Discretos

51

A margem de fase que satisfaz o requisito de Mp ≤ 9.5% ,é de 59.2 o . Admitindo que a inclusão do compensador de atraso de fase, com o zero do compensador localizado uma década abaixo de ω 0dB , irá apresentar nesta freqüência uma contribuição de fase de − 5.13 o , deve-se ajustar inicialmente o ganho do controlador proporcional para que ω 0dB coincida com a freqüência em que o sistema equivalente apresente fase igual a G ZOH G P ( jω ) = −180 o + 59.2 o + 5.13 o

(4.5)

Utilizando a ajuda do Matlab, obtém-se a freqüência em que (4.5) é satisfeita: aproximadamente 7.18 rad/s. A Figura 4.4 mostra o Diagrama de Bode do processo com um ganho K ajustado para 263.

Capítulo 4 - Projeto de Controladores Discretos

52

Concluindo o projeto do compensador contínuo, a função de transferência (4.10) deverá ser empregada para satisfação dos requisitos de desempenho do sistema, considerando a influência dinâmica dos elementos de amostragem e retenção, i.e: G c ( s ) = 263 { K

s + 0.718 s +402 .0314 1 43

(4.10)

Atraso

Uma vez que a proposta é a obtenção do controlador de atraso de fase discreto, pode-se empregar novamente o método de Tustin para obtenção da função de transferência equivalente discreta de (4.10), ou seja, considerando s≅

obtém-se

2 z −1 T z +1

G c ( z ) = 267 .5 123 K

z − 0.9646 z −402 .9984 1 43

(4.11)

(4.12)

Atraso

As curvas de resposta em freqüência do sistema contínuo incluindo a dinâmica do ZOH – equação (4.4), considerando o compensador de atraso de fase (4.10), são apresentadas na Figura 4.6.

Figura 4.4: Diagrama de Bode do processo equivalente com ajuste de ganho K=263.

Este valor de frequência pode ser extraído diretamente do diagrama de Bode da Figura 4.2, ou numericamente através da equação de fase de (4.4). Nesta frequência, a magnitude do sistema equivalente, também observada no diagrama de Bode ou calculada analiticamente pela equação de magnitude de (4.4) é de aproximadamente -48.4 dB. Desta forma, o ganho a ser inserido para tornar ω 0dB = 7.18 rad / s deverá ser de K = 10

48.4

20

≅ 263

Figura 4.5: Diagrama de blocos do sistema de controle simulado.

(4.6)

Também pelo diagrama de Bode pode-se extrair o valor do K v do sistema após a inclusão do ganho K , calculado em (4.6), que é aproximadamente K v ≅ 7 .0 (4.7) De posse destas informações já se pode definir o valor de todos os elementos do compensador de atraso de fase. O zero do compensador será localizado uma década abaixo da frequência de zero dB, ou seja: z ≅

ω0 dB

= 0.718 rad / s (4.8) 10 O pólo do compensador, será localizado de tal forma que em baixas freqüências o ganho do sistema seja aumentado, satisfazendo o K v desejado, ou seja

p≅

K v atual K v desejado

7 .0 z = 0.718 rad / s = 0.0314 rad / s 160

(4.9)

Figura 4.6: Diagrama de Bode do sistema incluindo a dinâmica do ZOH em conjunto com o compensador de atraso de fase.

Na Figura 4.7 é apresentada a resposta ao degrau do sistema de controle em malhafechada considerando o compensador (4.12), projetado incluindo a dinâmica do ZOH na malha de controle.

Capítulo 4 - Projeto de Controladores Discretos

53 SISTEMAS DE CONTROLE - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

Fig. 4.7: Respostas ao degrau do sistema com compensador, considerando a dinâmica do ZOH.

4.3 Bibliografia [1] N. S. Nise, Engenharia de Sistemas de Controle, LTC – Livros Técnicos e Científicos, Terceira Edição. [2] B. C. Kuo, Automatic Control Systems, Prentice Hall, Seventh Edition. [3] R. C. Dorf, Sistemas de Controle Modernos, LTC – Livros Técnicos e Científicos, Oitava Edição.

5 Análise de Sistemas Discretos em Malha-Fechada

Texto Original: Pablo Alberto Spiller

PUCRS

Capítulo 5 - Análise de Sistemas Discretos em Malha-Fechada

55

Capítulo 5 - Análise de Sistemas Discretos em Malha-Fechada

56

Na representação (b), não existe o elemento amostrador entre os blocos G1 ( s ) e G2 ( s ) . Pode-se então simplificá-la como um único bloco G2 G1 ( s ) .

5.1 Introdução Até este capítulo, pode-se ter uma dimensão de sistemas de controle discreto desde a transformada ‘z’ até o projeto de um sistema de controle. Basicamente, fez-se aqui uma apresentação da metodologia de projeto de um sistema de controle quando implementado num sistema digital, tal como um microcontrolador, computador, controlador programável, etc. A partir deste capítulo, serão apresentados os conceitos relacionados com a parte conceitual, matemática e ferramental da prática de projetos de controladores discretos, sempre fazendo um paralelo entre os conceitos já conhecidos de sistemas contínuos, como LGR, análise de estabilidade, erro em regime permanente, realimentação de estados, etc.

Na representação (c), havendo o elemento amostrador entre os blocos G1 ( s ) e G2 ( s ) , não se pode simplificá-la como um único bloco. As transformadas de cada bloco deve ser realizadas, produzindo G2 ( z ).G1 ( z ) . Na representação (d), o sinal contínuo que entra no amostrador é RG1 ( s ) .

5.2.1 Exemplo 1 Determine a transformada z do sistema de controle abaixo.

5.2 Redução de Diagramas de Blocos O objetivo aqui é ser capaz de encontrar a função de transferência de malha fechada de um sistema com dados amostrados na malha. Ao manipular o diagrama de blocos, deve-se ter o cuidado para evitar erros na simplificação da malha. Por exemplo, z{G1 ( s ).G2 ( s )} ≠ G1 ( z ).G2 ( z ) , onde z{G1 ( s ).G2 ( s )}é a transformada ‘z’. As funções no domínio ‘s’ devem ser multiplicadas antes da aplicação da transformada. Utilizaremos a notação G1G2 ( s ) para designar uma função G1 ( s ).G2 ( s ) após o produto. Vejamos os sistemas amostrados apresentados na Tabela 5.1 abaixo. Os sistemas com dados amostrados são apresentados na coluna ‘s’ e suas transformadas ‘z’ na coluna marcada como ‘z’. Um sistema padrão é mostrado na parte (a).

Solução: Uma operação que sempre pode ser realizada é a colocação de um amostrador imaginário na saída de cada subsistema que tenha uma entrada amostrada. Outra operação é colocar um amostrador numa junção somadora cuja saída é amostrada. Assim pode-se reescrever o sistema em blocos como mostrado abaixo.

Tabela 5.1: Redução de blocos amostrados

s

z Pode-se reescrever o sistema com o bloco G(s) deslocado.

(a)

(b)

Substituindo o sistema amostrado pelas suas transformadas, tem-se o sistema representado em ‘z’.

(c) Simplificando a malha-fechada chega-se ao resultado abaixo.

(d)

Capítulo 5 - Análise de Sistemas Discretos em Malha-Fechada

57

Como já abordado anteriormente, sabemos da teoria de controle que um sistema com realimentação e contínuo é estável se todos os pólos da função de transferência da malha fechada estiverem no semiplano ‘s’ da esquerda. Uma vez que z = e sT = e (σ + jω )T , pode-se escrever esta relação como: e

58

Note que cada linha é repetida em ordem inversa e os elementos são definidos da seguinte forma:

5.3 Estabilidade de Sistemas Discretos

z = eσT

Capítulo 5 - Análise de Sistemas Discretos em Malha-Fechada

∠z = ωT

a0 an

bk =

a n−k b0 , ck = ak bn −1

bn−1− k c0 , dk = bk cn−2

c n− 2−k , ... ck

A condição necessária para que o polinômio Q(z) possua raízes no interior do círculo unitário é: Q(1) > 0

Para localizar pontos no semiplano esquerdo, σ < 0 , fazendo com que z varie entre 0 e

(−1) n Q(−1) > 0

1, com ângulo variável. O eixo imaginário do plano ‘s’, σ = 0 , compreende um círculo de raio unitário no plano ‘z’, enquanto que todo o semiplano esquerdo, compreende seu interior.

a0 < an b0 > bn −1 c0 > c n − 2 d 0 > d n −3

M m0 > m 2

5.3.2 Exemplo 2 Suponha que a equação característica do sistema em malha fechada de um sistema amostrado é:

Figura 5.1: Mapeamento da região de estabilidade do plano “s” no plano “z”.

Portanto, um sistema amostrado é estável se todos os pólos da função de transferência de malha fechada estiverem localizados no interior do círculo unitário do plano ‘z’.

Q( z ) = z 3 − 1.8 z 2 + 1.05 z − 0.2 = 0

Existem métodos tabulares que permitem determinar a estabilidade de sistemas discretos, tal como o Método de Routh-Hurwitz utilizado para sistemas contínuos. Um deles é o método de Jury.

Verifique a estabilidade do sistema. Primeiras condições do teste:

5.3.1 Método de Estabilidade de Jury Um critério de estabilidade semelhante ao teste de Routh-Hurwitz de sistemas contínuos é o método de Jury[1]. Ele também é baseado na equação característica do sistema de controle. Dada a equação característica Q(z) abaixo: Q( z ) = a n z n + a n z n + ... + a n z n + a n z n = 0 , A análise é dada segundo a tabela a seguir: z0 a0 an b0 bn −1 c0 cn−2

M l0 l3 m0

z1 a1 a n−1 b1 bn − 2 c1 c n −3 M l1 l2 m1

z2 a2

...

z n−k an−k

...

...

an−2 b2 bn − 3 c2 cn−4 M l2 l1 m2

...

an > 0

(5.1)

z n−1 a n−1

zn an

ak

...

a1

a0

bn − k

...

bn −1

...

bk −1

...

...

...

...

cn−k

...

...

ck −2

...

M l3

M

l0

Solução:

b0

Q(1) > 0

Q(1) = 1 − 1.8 + 1.05 − 0.2 = 0.05 > 0

(−1) Q(−1) > 0 ,

(−1) n Q(−1) = −[−1 − 1.8 − 1.05 − 0.2] = 4.05 > 0

a0 < an

a 0 = 0.2 < a n = 1

n

A tabela é então montada: z0 -0.2 1 b0 b0 =

− 0 .2

1

1

− 0 .2

= −0.96 , b1 =

z1 1.05 -1.8 b1

z2 -1.8 1.05 b2

− 0 .2 − 1 .8 1

1.05

z3 1 -0.2 = 1.59 , b2 =

− 0.2 1.05 1

Uma vez que a condição: b0 = 0.96 > b2 = 0.69 também é satisfeita, o sistema é estável.

− 1 .8

= −0.69

Capítulo 5 - Análise de Sistemas Discretos em Malha-Fechada

59

5.3.3 Exemplo 3

Capítulo 5 - Análise de Sistemas Discretos em Malha-Fechada

60

5.4 Erro em regime permanente

Suponha que o sistema de controle tenha o seguinte diagrama de blocos.

Outro requisito comum em sistemas de controle está relacionado com a diferença resultante entre as variáveis de referência e de saída do sistema após a etapa transitória, conhecida como erro de regime permanente do sistema. Em sistemas contínuos, para avaliação do sinal de erro em regime permanente de um sistema de controle operando em malha-fechada, considera-se inicialmente o caso em que a realimentação é unitária apresentado na Figura 5.2. Verifique qual a faixa de valores do tempo de amostragem que garanta a estabilidade do sistema. Solução: A função de transferência de malha fechada: T ( z ) = G ( s ) = 10

G( z) 1 + G( z)

1 ⎞ (1 − e −Ts ) ⎛ 1 1 = 10(1 − e −Ts )⎜ 2 − + ⎟ s s + 1⎠ s 2 ( s + 1) ⎝s

Figura 5.2: Sistema de controle e análise de erro.

onde E(s) é o sinal de erro gerado pela diferença entre os sinais de referência e do sinal de realimentação da variável de saída do sistema.

Aplicando a transformada:

G ( z ) = 10

((

)

( z − 1) ⎡ Tz z z ⎤ T − 1 + e −T z + 1 − e −T (1 + T ) − + ⎢ ⎥ = 10 z ⎣ ( z − 1)2 z − 1 z − e −T ⎦ z 2 − 1 + e −T z + e −T

(

(

(

) (

Q( z ) = 1 + G ( z ) = z 2 − 10T − 11 + 9e −T z + 10 − 9e −T − 10Te −T

)

)

)

Naturalmente, o comportamento do erro em regime dependerá do tipo de sinal de referência aplicado ao sistema e de fatores relacionados as características do processo e do controlador.

)

⎧R( s) − C (s) = E ( s) ⎨ ⎩ E ( s ).G ( s ) = C ( s ) R( s ) − E ( s ).G ( s ) = E ( s )

Primeiras condições do teste:

Q(1) > 0

(

(18 + 10T )e −T

a0 < an

)

(

+ 22 − 10T > 0

(−1) Q(−1) = 1 + 10T − 11 + 9e n

(−1) n Q(−1) > 0 ,

) (

Q(1) = 1 − 10T − 11 + 9e −T + 10 − 9e −T − 10Te −T > 0

(

10T 1 − e

(

−T

)> 0

→

−T

→

T < 1.42

) + (10 − 9e

−T

− 10Te

T >0

)

10 − e (9 + 10T ) < 0

A tabela não é necessária por ser de segunda ordem.

)> 0

R(s) (5.2) 1 + G (s) Uma vez que se pretende analisar o comportamento em regime permanente da variável de erro, toda esta análise é realizada empregando-se o teorema do valor final. Aplicando-se o teorema do valor final a variável de erro do sistema, conclui-se que E ( s) =

e(∞) = lim e(t ) = lim s.E ( s )

a 0 = 10 − 9e −T − 10Te −T < a n = 1 −T

−T

t →∞

→

T < 0.21

s →0

(5.3)

Para sistemas discretos, utiliza-se a mesma análise. Considere um sistema discreto com um controlador e um processo, como mostrado abaixo.

Assim: T 1 e todos os pólos de ( z − 1) F ( z ) estão dentro do círculo unitário do plano z, então; z →1

z →1

5.5 Exercícios 5.5.1 Simplificação de blocos:

(5.4)

R( z ) 1 + D( z ).G ( z )

5.4.1 Erro ao degrau Para entrada degrau: R( z ) =

z , logo: z −1

e(∞ ) =

1 1 + D(1).G (1)

(5.5)

Resposta:

Note que se DG tem um pólo em z=1, então o erro tende a zero.

G1 ( z ).G2 ( z ) C (s) = R( s ) 1 + G2 H ( z ) + G1 ( z ).G2 ( z )

5.4.2 Erro a rampa z z 1 , logo e(∞) = lim( z − 1)T z →1 ( z − 1) 2 ( z − 1) 2 1 + D( z ).G ( z )

Para entrada rampa: R( z ) = T

e(∞) = lim z →1

T .z ( z − 1).(1 + D( z ).G ( z ))

(5.6)

Note que se DG não tiver pólo em Z=1, o erro tenderá ao infinito. Com um pólo em Z=1, o erro tenderá a um valor constante.

5.4.3 Exemplo 4 Determine o erro em regime permanente do sistema de controle do sistema apresentado 10 . na Figura 5.3. Considere D(s)=1 e G ( s ) = s ( s + 1)

Resposta:

G1 ( z ).G2 G3 ( z ).G4 ( z ) C (s) = R( s ) 1 + G2 G3 ( z ).G4 ( z ).H ( z ) + G2 G3 ( z ).H ( z ) + G4 ( z ) + G1 ( z ).G2 G3 ( z ).G4 ( z )

5.5.2 Estabilidade 2. Determine a faixa de valores de K, que torna o sistema abaixo estável.

Solução: Obtenha a G(z) pela equivalência por retenção de ordem zero. G ( z ) = 10

z − 1 ⎧ 10 ⎫ z −1 ⎧ 1 1 1 ⎫ .Z ⎨ 2 − + .Z ⎨ 2 ⎬ = 10 ⎬ z z s s + 1⎭ ⎩s ⎩ s ( s + 1) ⎭

z −1 ⎤ ⎡ T G ( z ) = 10 ⎢ −1+ s − e −T ⎥⎦ ⎣ z −1 Para uma entrada degrau: e(∞) =

1 1 = =0 1 + G (1) 1 + ∞

Para uma entrada em rampa: e(∞) = lim z →1

e(∞) = lim z →1

Resposta: 0 < K < 11.1

T .z ( z − 1).(1 + D( z ).G ( z )) T .z ⎡ z −1 ⎡ T ( z − 1).⎢1 + 10 ⎢ −1+ 1 z − s − e −T ⎣ ⎣

62

1. Simplifique os diagramas de controle amostrados e encontre a função que relaciona a entrada com a saída.

e(∞) = lim( z − 1) E ( z ) e(∞) = lim( z − 1)

Capítulo 5 - Análise de Sistemas Discretos em Malha-Fechada

⎤⎤ ⎥⎥ ⎦⎦

= 0 .1

Capítulo 5 - Análise de Sistemas Discretos em Malha-Fechada

63 SISTEMAS DE CONTROLE - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

5.5.3 Erro em regime permanente 3. Admitindo os sistemas estáveis, determine o erro em regime permanente dos sistemas abaixo, para as seguintes entradas: a) u (t ) b) t.u (t ) c)

1 2 t .u (t ) 2

Sistema 3.1

6 Lugar Geométrico das Raízes com Controle Digital

Sistema 3.2

Sistema 3.3

Sistema 3.4 Resposta: (a) (b) (c)

Sistema 3.1 0.66

∞ ∞

Sistema 3.2 0 0.1

∞

Sistema 3.3 0.33

∞ ∞

Sistema 3.4 0 0.1

∞

5.6 Bibliografia [1] E.I.Jury, Theory and Application of the z-Transform Method, Huntington, NY: R.E. Krieger Publishing Co. , 1973. [2] N. S. Nise, Engenharia de Sistemas de Controle, LTC – Livros Técnicos e Científicos, Terceira Edição. [3] B. C. Kuo, Automatic Control Systems, Prentice Hall, Seventh Edition. [4] R. C. Dorf, Sistemas de Controle Modernos, LTC – Livros Técnicos e Científicos, Oitava Edição.

Texto Original: Pablo Alberto Spiller

PUCRS

Capítulo 6 - Lugar Geométrico das Raízes com Controle Digital

65

Capítulo 6 - Lugar Geométrico das Raízes com Controle Digital

66

6.2.1 Exemplo 1:

6.1 Introdução O método do Lugar Geométrico das Raízes (LGR) para sistemas digitais é idêntico LGR de sistemas contínuos. Aqui faremos algumas observações de forma resumida, apresentando exemplos de sistemas discretos e suas particularidades.

Considere o sistema da Figura 6.1 com D(z)=1 e G ( s ) = Obtém-se então o equivalente discreto pelo zoh. K .G ( z ) =

6.2 O LGR Considerando o sistema de controle apresentado abaixo na Figura 6.1, a função de transferência de malha fechada é: C ( z) K .G ( z ).D( z ) = R( z ) 1 + K .G ( z ).D( z )

1 s2

T 2 K ( z + 1) 2 ( z − 1) 2

Se a amostragem é T = 2 , o LGR ficará como apresentado na Figura 6.2. 1- Defina os pólos e os zeros da malha aberta. 2- Trace a localização possível dos pólos no eixo real. (regra 2)

A equação característica é 1 + K .G ( z ).D( z ) = 0 ,

3- Calcule os pontos de entrada e/ou saída: (regra 4)

Que é análoga à equação característica para análise de KD(s)G(s), no plano s. Em consequência se pode traçar o lugar das raízes da equação característica do sistema amostrado em função da variação de K.

d [G ( z )] ( z − 1) 2 − [( z + 1).(2 z − 2)] = =0 dz den 2 − z 2 − 2 z + 3 = 0 , assim z1 = 1 e z 2 = −3 . Como os pontos pertencem a região de localização de pólos, são pontos de entrada e/ou saída. No caso, z1 = 1 saída e z 2 = −3 entrada.

4- Nesse caso, não é necessário calcular o ângulo da única assintótica pois será sobre o eixo real tendendo a − ∞ . Figura 6.1: Sistema de controle.

As regras para obter o LGR discreto estão resumidas na Tabela 6.1. Tabela 6.1: Regras para construção do LGR no plano z.

1 2 3 4

5

O lugar das raízes inicia nos pólos e prossegue em direção aos zeros. Um pólo para cada zero finito ou no infinito. O lugar das raízes existe nos trechos do eixo real à esquerda de um número ímpar de pólos ou zeros. (singularidades) O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real. O lugar das raízes pode deixar o eixo real e reentrar no eixo real. Os pontos de entrada e/ou de saída são determinados a partir da equação: d [D( z ).G ( z )] =0 dz O número de retas assintóticas é equivalente a diferença entre o número de pólos ( n p ) e número de zeros ( n z ) de D( z ).G ( z ) . Cada reta intercepta o eixo real no ponto: σ =

∑ Re( polos) −∑ Re( zeros) n p − nz

(2.h + 1).180 o Formando um ângulo com o eixo real: γ h = , sendo h = 0,1,2,... n p − nz

Figura 6.2: LGR do exemplo 1.

Capítulo 6 - Lugar Geométrico das Raízes com Controle Digital

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6.2.2 Exemplo 2:

Capítulo 6 - Lugar Geométrico das Raízes com Controle Digital

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6.2.3 Exemplo 3: s +1 1 e G( s) = e T=1. s s +1

1 Considere o sistema da Figura 6.1 com D(z)=1 e G ( s ) = 2 e T=1. s + 2s

Considere o sistema da Figura 6.1 com D( s ) =

Obtém-se então o equivalente discreto pelo zoh.

Obtém-se então o equivalente discreto pelo zoh.

K .G ( z ) = K

0.28( z + 0.52) ( z − 1)( z − 0.13)

O LGR ficará como apresentado na Figura 6.3.

K .D ( z ) = K

1 .5 z − 0 .5 0.63 , G( z) = ( z − 1) ( z − 0.36)

O LGR ficará como apresentado na Figura 6.4.

1- Defina os pólos e os zeros da malha aberta.

1- Defina os pólos e os zeros da malha aberta.

2- Trace a localização possível dos pólos no eixo real. (regra 2)

2- Trace a localização possível dos pólos no eixo real. (regra 2)

3- Calcule os pontos de entrada e/ou saída: (regra 4)

3- Calcule os pontos de entrada e/ou saída: (regra 4)

d [G ( z )] ( z − 1)( z − 0.13) − [(2 z − 1.13).( z + 0.52)] = =0 dz den 2

4- Nesse caso, não é necessário calcular o ângulo da única assintótica pois será sobre o eixo real tendendo a − ∞ .

− z 2 − 1.04 z + 0.72 = 0 , assim z1 = −1.51 e z 2 = 0.47 . Como os pontos pertencem a região de localização de pólos, são pontos de entrada e/ou saída. No caso, z1 = 0.47 saída e z 2 = −1.51 entrada.

4- Nesse caso, não é necessário calcular o ângulo da única assintótica pois será sobre o eixo real tendendo a − ∞ .

Figura 6.4: LGR do exemplo 3.

Figura 6.3: LGR do exemplo 2.

Capítulo 6 - Lugar Geométrico das Raízes com Controle Digital

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6.2.4 Exemplo 4: 1 Considere o sistema da Figura 6.1 com D( s ) = 1 e G ( s ) = 3 e T=1. s + s 2 + 100 s Obtém-se então o equivalente discreto pelo zoh. G( z) =

0.01z 2 + 0.0096 z + 0.004 z + 0.026 z 2 − 0.658 z − 0.368

Capítulo 6 - Lugar Geométrico das Raízes com Controle Digital

70

Fazendo um paralelo entre os sistemas de controle digitais com os de sinais contínuos, podemos identificar o comportamento da resposta temporal de sistemas digitais diretamente no plano ‘z’. Sabe-se que o posicionamento dos pólos influencia diretamente na dinâmica do sistema. A Figura 6.6 faz um paralelo entre a posição do pólo ∆ (real ou complexo conjugado) com a resposta impulsiva (resposta natural devido a posição do pólo no plano ‘s’).

3

O LGR ficará como apresentado na Figura 6.5. 1- Defina os pólos e os zeros da malha aberta. 2- Trace a localização possível dos pólos no eixo real. (regra 2) 3- Calcule os pontos de entrada e/ou saída: (regra 4) 4- Nesse caso, não é necessário calcular o ângulo da única assintótica pois será sobre o eixo real tendendo a − ∞ .

Figura 6.6: Resposta impulsiva para diversas localizações de pólos no plano ‘s’ (a raiz conjugada não está representada).

A parte real do pólo está relacionada com o tempo de estabilização da resposta temporal

(e ) , onde σ refere-se ao valor da parte real do pólo. Assim, quanto mais próximo do eixo σ .t

imaginário, mais lento será o sistema. Claro que respeitando a estabilidade do sistema, ou seja, pólos devem estar localizados na esquerda do plano, fazendo com que sua resposta natural tenda a zero.

A parte imaginária do pólo influencia numa oscilação na resposta natural. Quanto maior este valor maior sua frequencia natural amortecida ( ωd ), geralmente maior seu sobressinal, associado ao coeficiente de amortecimento ( ζ ).

Figura 6.5: LGR do exemplo 4.

6.3 Correspondência com Sinais Contínuos Durante o projeto utilizando o LGR, é necessário ao projetista, o entendimento da relação entre o posicionamento dos pólos e sua influência na resposta temporal. Este conhecimento permite ao projetista um maior entendimento do sistema a ser controlado bem como as ações que podem ser realizadas para melhoria das características de resposta e robustez do sistema quanto a estabilidade.

Figura 6.7: Resposta ao degrau de um sistema para diferentes valores de

ζ

.

Capítulo 6 - Lugar Geométrico das Raízes com Controle Digital

71

Para extrair conclusões a respeito do plano ‘z’, é necessário mapear estas características através de z = e − s.T . A parte real do plano ‘s’ caracterizado por s = σ + jωd definida como σ influencia diretamente no módulo de z, pois z pode ser reescrito como: z = eσ .T e jωd .T = r.e jωd .T (6.1) A equação 6.1 designa círculos concêntricos com raio r. Quanto maior o r, mais próximo de zero estará σ , e assim, mais lento estará o sistema. Respeitando o interior do círculo unitário, r < 1, para ser estável.

Capítulo 6 - Lugar Geométrico das Raízes com Controle Digital

72

6.4 Implementação do Compensador Digital Já observamos diversos tipos de controladores ao longo do curso e nos capítulos anteriores foi mostrado a forma de obtenção do controlador em ‘z’, por exemplo, na Figura 6.1, suponha a seguinte função: D( z ) =

U ( z ) a3 z 3 + a2 z 2 + a1 z + a0 = E( z) b2 z 2 + b1 z + b0

(6.4)

Multiplicando em cruz, (b2 z 2 + b1 z + b0 ).U ( z ) = (a3 z 3 + a2 z 2 + a1 z + a0 ).E ( z )

O valor de ζ no plano ‘z’ pode ser obtido pela relação:

σ ζ =− ωd 1−ζ 2

b2 z 2 .U ( z ) = (a3 z 3 + a2 z 2 + a1 z + a0 ).E ( z ) − (b1 z + b0 ).U ( z ) a3 a b a a b z + 2 + 1 z −1 + 0 z −2 ).E ( z ) − ( 1 z −1 + 0 z −1 ).U ( z ) b2 b2 b2 b2 b2 b2 Finalmente aplicando a transformada Z inversa, obtemos a equação: U (z) = (

Portanto,

ζ

s = σ + jω d = −ωd .

+ jω d 1−ζ 2 Transformando a equação 6.2 para o plano ‘z’, resulta ⎛ −ωd .T ⎜ ζ ⎜ 1−ζ 2 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ −ωd .T ⎜ ζ ⎜ 1−ζ 2 ⎝

(6.2)

u * (t ) =

(6.5)

a3 * a b a a b e (t + T ) + 2 e* (t ) + 1 e* (t − T ) + 0 e* (t − 2T ) − 1 u * (t − T ) − 0 u * (t − 2T ) b2 b2 b2 b2 b2 b2 (6.6)

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

z=e e jωd .T = e ∠ω d T Assim, podem ser traçadas curvas de ζ constante no plano ‘z’.

Pode-se notar que na equação 6.6 o valor presente de saída do controlador, u * (t ) , é uma (6.3)

função dos valores da amostra futura e* (t + T ) , da amostra presente do erro e* (t ) e das amostras passadas do erro e do sinal de controle. Obviamente, se desejarmos implementar fisicamente (em microprocessador) o compensador, a saída não poderá ser calculada. Para ser realizável, a3 deveria ser zero. Conclui-se assim que o compensador não pode ter um número de zeros maior que o número de pólos.

6.5 Exercícios 1. Implemente no rltool do Matlab os exercícios 2, 3 e 4 e verifique a resposta ao degrau do sistema variando o ganho K do sistema.

Figura 6.8: Curvas de

ζ

constante no plano ‘z’.

Esta análise pode ser importante no momento que o projetista se depara com o sistema de controle descrito em ‘z’. Observar as alterações causadas pelo controlador, reposicionar pólos e zeros ou alterar o ganho do sistema diretamente pela análise do LGR no plano ‘z’.

6.6 Bibliografia [1] E.I.Jury, Theory and Application of the z-Transform Method, Huntington, NY: R.E. Krieger Publishing Co. , 1973. [2] N. S. Nise, Engenharia de Sistemas de Controle, LTC – Livros Técnicos e Científicos, Terceira Edição. [3] B. C. Kuo, Automatic Control Systems, Prentice Hall, Seventh Edition. [4] R. C. Dorf, Sistemas de Controle Modernos, LTC – Livros Técnicos e Científicos, Oitava Edição.