Controladores PID

Tema 7.

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T E M A 7: CONTROLADORES P.I.D. 1.- DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL: En esta tema vamos a combinar las características de la respuesta temporal y la técnica del lugar de la raíces. Lo que pretendemos es conseguir que el sistema, mediante un control, actúe de modo que las salidas evolucionen de una forma adecuada para unas entradas determinadas y que aquellas cumplan unas especificaciones previstas. El método más usado es el control en lazo cerrado o control realimentado. Si conocemos la F.T del proceso o planta G p(s) y si suponemos que la realimentación es unitaria, de modo

GP(s)

GC(s)

que H(s) = 1, entonces el diseño de un sistema de control

H(s)

consiste en los siguientes pasos: 1.- Fijar especificaciones: tiempo de asentamiento, sobreelongación... 2.- Fijar una estructura con realimentación: ejemplo la de la figura. 3.- Buscar una F de T que cumpla (1.-) 4.- Realización física: ===> obtener el regulador. 5.- Materializar el sistema de realimentación 6.- Comprobar que se cumplen las especificaciones. Tipos de controladores. Los controladores más comunes son: ·

Controlador PID (Proporcional, integral, derivativo)

·

Red de adelanto de fase (Phase-lead controller)

·

Red de retardo de fase (phase-lag controller) El bloque controlador tal como indica la figura, recibe la señal de error e(t) = r(t) - y(t)

y genera una señal de control u(t) que actúa sobre la entrada del proceso. La F.de T. del controlador Gc(s) representa la relación entre la salida u(t) y la entrada e(t).

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2.- CONTROL P.I.D: La salida de este controlador es la combinación lineal de tres acciones básicas de control: .- Acción proporcional (P): La señal u(t) es proporcional a e(t) u(t) = Kp.e(t)

E(s)

U(s) = K p.E(s)

U(s)

G (s)= KP

La acción proporcional u(t) varía cada vez que se modifica e(t). Alcanza un valor estacionario cuando lo alcanza e(t) .- Acción integral (I): La señal de control varía proporcionalmente a la señal de error e(t): dui (t ) = K I .e(t ) dt K Ui ( s) = i .E ( s ) s

E(s)

GC(s)=

K I s

U(s)

La acción integral ui(t) es acumulativa , tiene en cuenta la historia pasada de e(t) y sólo puede tener un valor estacionario cuando e(t)=0. .- Acción derivativa (D) : La señal de control es proporcional a la variación de la señal de error:

uD (t ) = K D .

de(t ) dt

E(s)

GC GC(s) = KD .S

U(s)

La acción derivativa u d(t) es anticipativa, tiene en cuenta las variaciones instantáneas de e(t). Se anula cuando e(t) alcanza un valor estacionario. .- Acción PID : El diseñador del sistema de control debe lograr una combinación adecuada de estas tres acciones, es decir determinar las tres constantes K P, KD y KI del algoritmo PID para que el sistema en L.C cumpla las especificaciones pedidas. El algoritmo de control PID es:

u( t ) = u P ( t ) + u i ( t ) + u D ( t ) = K P .e( t ) + K D .

t de ( t ) + K I ò e( t ).dt 0 dt

1ù é U(s) = êK P + K D .s + K I . ú .E(s ) sû ë Y la función de transferencia del PID es:

G (s ) =

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U (s ) é 1ù = êK P + K D .s + K I . ú E(s ) ë sû

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Diseñar un PID para el control de un sistema es determinar las tres constantes que aparecen en su F.T.

kp

+

Ki s

E(s)

+

U(s)

+

kD.s En la práctica se usa:

G C (s) = K P .(1 + TD .s +

1 ) TI .s

Donde TD y TI representan las constantes de tiempo derivativas e integral: TD = KD/KP

TI = KP/KI

Como casos particulares de PID consideramos: regulador "P" --> TD = 0, TI = w regulador "PI" --> TD = 0

--> Gc(s) = K P

-->

G C (s ) = K P

1 + TI .s TI .s

que tiene un polo y un cero en: s = 0 y s = -1/T I regulador "PD" --> TI = w --> Gc(s) = K P . ( 1 + TD.s ) que tiene un cero en: S = -1/T D El caso del PD es no causal, lo que exige colocarle un polo muy rápido, de modo que su FT. Es , para casos prácticos:

G C (s ) = K P

1 + TD .s 1 + TR .s

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donde TR >> TD

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3.- REGULADORES ELECTRONICOS: Es el elemento más importante de los sistemas de regulación automática. Recibe la diferencia entre la señal prefijada (set point) u(t) y la señal controlada y(t) y reacciona a esta diferencia para conseguir el equilibrio entre estas dos señales. El regulador entra en acción cuando varía u(t) o y(t) Si el regulador forma parte de la cadena directa, lo primero que debe cumplir es la rapidez en compensar la diferencia entre la entrada u(t) y la salida y(t). Esto se debe hacer sin poner en peligro la estabilidad del sistema. Antes de diseñar el regulador se debe saber la respuesta transitoria y en frecuencia del sistema, para así escoger el más adecuado. Funciones principales de los reguladores: 1.- Hacer que la señal de salida sea la adecuada para la entrada 2.- Compensar lo más rápidamente posible las perturbaciones en el tramo de regulación 3.- Compensar los retardos, tiempos muertos, errores, mejorar la estabilidad... El elemento más importante de los reguladores lo constituye el amplificador operacional. Si aplicamos la señal a la entrada (-) la ecuación del

Zr

u(t) Ze

+

amplificador operacional es : y la F.T es:

y(t) =

y(t)

zr .u ( t ) ze

Si aplicamos la señal a la entrada (+) se verifica que: u(t)

y( t ) =

y(t)

+

Zr + Ze .u( t ) Ze

Y la F.T es:

Zr

G A (s) = Ze

zr + ze ze

Algunos ejemplos más de reguladores electrónicos

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4.- CONTROL PROPORCIONAL (P): Regulador P: Llamamos así a todo regulador que proporciona una señal correctora proporcional a la señal de entrada, cualquiera que sea la frecuencia de la señal u(t). Si el circuito es el de la figura mostrada más arriba la ecuación del regulador es:

u(t) = K.e(t)

y la función de transferencia es:

G(s) = R 2/R1 = K

Lo representamos con el gráfico: Resumen de consecuencias de su incorporación al sistema: 1.- La respuesta a la entrada se hace sin retraso

de tiempo.

2.- Se aumenta la ganancia estática del sistema. 3.- Disminuye el error estacionario. 4.- Puede alterar la estabilidad. Respuesta transitoria: La respuesta transitoria al escalón unitario es otro escalón de amplitud K. U(s) = K/s

y por lo tanto

y(t) = K

La ganancia K no puede aumentarse indefinidamente pues la tensión de salida del amplificador está limitada por la tensión de saturación. Ajuste de la ganancia K: Es útil dotar al regulador P de algún sistema que permita

regular K.

Para ello se introduce una resistencia variable como indica la figura. Las ecuaciones del regulador son: e(t) = R1 . i1(t) a.u(t) = R2 . ir(t) i1(t) = ir(t) de donde u(t ) = 1 . R 2 .e(t ) a R1

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y la función de transferencia es :

G (s ) =

1 R2 . a R1

la ganancia K se puede variar desde el valor R 2/R1 para a = 1, hasta infinito para a = 0. A).- Ejemplo nº1: el servomotor y el nivel de líquido de un depósito: B).- Ejemplo nº2: el satélite artificial: C).- Ejemplo nº3 : servomotor controlado por inducido:

Resumiendo de los problemas resueltos en clase: 1º.- Al variar Kp se puede conseguir que la Respuesta sea sobre amortiguada

si

P1 ≠ P2

amortiguamiento crítico subamortiguado si

si P1 = P2

P1 y P2 son complejos

2º.- Respuesta con ts constante 3º.- Al crecer Kp

decrece δ

y crece la Mp

4º.- Al crecer Kp decrece el error frente a la entrada rampa (que nunca se anula )

N.B: CONCLUSIONES: a los tres ejemplos puestos. .- El regulador proporcional introducido de esta forma no elimina el error, aunque lo disminuye. .- Mejora la velocidad de respuesta. .- Es adecuado para procesos que incorporen un integrador puro (un polo en el origen, sistemas de tipo uno o superior). .- Dado un sistema de tipo "0", con el control P la salida del sistema no alcanza nunca el valor de referencia.

SE PROPONE COMO TRABAJO PARA EL ALUMNO/A: 1º.- estudiar los tres sistemas anteriores cuando el regulador proporcional se incluye en el lazo de realimentación (G c = 1,

H(s) = K p)

2º.- emplear la definición de sensibilidad para comparar los efectos de la variación de K p en la función de transferencia en lazo cerrado para la compensación en serie (la que hemos hecho en este estudio) y por realimentación (la propuesta en 1º).

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5.- EL REGULADOR INTEGRAL (I): Si se diseña el amplificador operacional de forma que las impe-dancias sean: zr = 1/jwC = 1/sC

ze = R

La F.T. del regulador I es:

G (s ) =

1 1 = s .R .C s.T

Siendo Ti la constante de tiempo del amplificador operacional. Ti = R.C la señal de salida es

y en función del tiempo:

U( s ) =

u( t ) =

1 × E(s ) s.R .C

1 t × e( t ).dt T ò0

La señal de salida es la integral de la señal de entrada. La acción del regulador integral la podemos definir como una regulación en que el valor de la señal reguladora y(t) es proporcional a la integral de la variación de u(t). Al introducir un regulador I en la cadena directa de un sistema aumenta en una unidad el tipo de sistema. .- si era de tipo cero (error de posición) --> el e p=0 .- si era de tipo uno (error de velocidad) --> el e v=0 La inestabilidad aumenta al introducir el regulador I.

6.- CONTROLADOR P.I.: Es la combinación de un regulador P y uno I. Se diseña de la forma de la figura: Donde:

zr = R 2 +

1 × U (s ) j.w .C 2

ze = R1 Su función de transferencia es:

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G (s ) = Si hacemos k = R 2/R1 Nos queda que

R2 +

z r (s ) = z e (s )

1 1 j.w .C 2 R 2 = + R1 R 1 s.R 1 .C 2

Ti = R1.C2

G (s ) =

1 + k .Ti .s s .Ti

El regulador PI presenta una integración

pura por lo que aumenta un grado

el tipo del sistema. Se anula el error estático del sistema regulado. Pero aumenta la tendencia a la inestabilidad del sistema.

La salida del sistema será:

U(s ) = k .E(s) +

Y en el dominio del tiempo: u ( t ) = k .e( t ) +

1 .E(s ) s.Ti

t 1 .ò e( t ).dt 0 Ti

Al introducir un regulador PI en un sistema, la corrección de la señal de salida es proporcional a la señal de error y a la integral de la señal de error. Respuesta transitoria: La respuesta transitoria al escalón unitario es:

U(s ) = G (s ).E(s ) =

k 1 + 2 s s .Ti

de donde la respuesta temporal es u(t) = k + t/T i Que hemos representado en la figura anterior. Consta de un salto correspondiente al control P para t = 0, más un aumento lineal hasta alcanzar el valor de la tensión de saturación del amplificador operacional. El controlador PI dado por la función de transferencia anterior también lo podemos representar por esta otra F.T.:

G c (s ) = k p .

1 + Ti s Ti .s

Conclusiones: 1.- Añade un polo en el origen y un cero en -1/T I a la función de transferencia en lazo abierto. 2.- El controlador integral aumenta el orden del sistema en una unidad. Lo que hace que, si el error estacionario a una entrada es constante, lo reduce a cero. (Si el sistema sigue siendo estable). 3.- El aumento del orden del sistema puede hacerlo inestable si los parámetros k p y TI no se eligen bien.

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4.- La constante de tiempo integral T I permite fijar la posición del cero para que el lugar de las raíces con kp como parámetro variable tenga una forma determinada. 5.- Mejora el amortiguamiento y reduce la sobrelongación Mp 6.- Incrementa el tiempo de subida 7.- Disminuye el ancho de banda 8.- Filtra el ruido de alta frecuencia 9.- Mejora el Margen de ganancia y Fase, y el pico de resonancia Mr 10. Es difícil encontrar un capacitor no muy grande para implementarlo Ejemplo: sea un proceso de primer orden descrito por la F.T:

G c (s ) =

k T.s + 1

7.- EL REGULADOR DIFERENCIAL (D): Debe su nombre a que la salida es la derivada de la señal de entrada. Se diseña como indica la figura: Se diseña de modo que: ze = 1/j.w.C

zr = R

La función de transferencia es:

G c (s ) =

R = R .C.s 1 s.C

La señal de salida es: y(s) = RCs.u(s) = T.s.u(s) Y en el dominio del tiempo:

u ( t ) = T.

T = R.C

de(t ) dt

La señal controlada es proporcional a la velocidad de la señal de control. Respuesta transitoria: Al aplicar al regulador D una señal escalón e(t) = 1 La velocidad de variación de u(t) es infinita, anulándose instantáneamente. Como el amplificador no es ideal la señal responde a la de la figura.

u(t)

u(t)

y(t) y(t)

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8.- CONTROLADOR P.D.: El circuito se diseña según la figura: La ecuación del amplificador es:

U(s ) =

z r (s ) .E(s ) z e (s )

El circuito equivalente al dado es: Aplicando las leyes de Kirchoff: 2.R 2 .i r =

1 ' .i r s.C 2

2.R 2 .i r = 2.R 2 .i'r' = U (s ) i r = - i 'r + i'r'

De donde

G (s ) =

U(s ) = 4.R 2 .(1 + s.C2 .R 2 ) I r (s )

La F.T del regulador PD nos queda: G (s ) = Haciendo

4R2/R1 = k

al ser Ze(s) = R1

R U(s ) = 4. 2 .(1 + s .C 2 .R 2 ) I r (s ) R1

R2.C2 = T2

Nos queda: G(s) = k.(1 + T 2.s) La salida del sistema será U(s) = k.(1 + T 2.s).E(s) Y la respuesta temporal será: u( t ) = k .e( t ) + k . de(t ) dt

De aquí el nombre de regulador PD. u(t)

La gráfica de la respuesta es:

y(t)

k

Conclusiones:

Dado un controlador P.D. cuya F.de T. Es: Gc(s) = K p.(1 + T D.s)

1.- añade un cero a la F.T. en L.A. (ver lo estudiado sobre el añadido de ceros). 2.- no modifica el "tipo de sistema". 3.- La constante de tiempo derivativa permite fijar la posición del cero, haciéndolo, generalmente, más estable. 4.- Mejora el amortiguamiento y reduce la sobreelongación Mp 5.- Reduce el tiempo de subida y el estacionario 6.- Incrementa el ancho de banda 7.- Puede acentuar el ruido en altas frecuencias Departamento de AC y Automática

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8.- No es efectivo para sistemas ligeramente amortiguados o inestables 9.- Puede requerir un capacitor muy grande en la implementación Ejemplo del satélite. Basta que la constante de tiempo derivativa T D y la ganancia proporcional K p sean positivas para que los polos del sistema en lazo cerrado tengan parte real negativa y el sistema sea estable. Una adecuada elección de T D y Kp permite que la respuesta del sistema a una entrada escalón cumpla unas especificaciones determinadas de sistema de segundo orden subamortiguado, lo que supone una mejora radical respecto del control P. SE PROPONE COMO TRABAJO PARA EL ALUMNO/A: Hacer un estudio análogo con G c(s) = K p.(1 + TD.s) para:

k 1 + T.s k B ). - G P (s ) = s.(1 + T.s ) A ). - G P (s ) =

9.- REGULADOR P.I.D.:

Se diseña básicamente con un dispositivo como el circuito de la figura. Este dispositivo admite como circuito equivalente el de la figura adjunta: La F.T es :

z r(s) G(s) = ------z e(s)

Para calcular z r aplicamos las leyes de Kirschoff en el circuito equivalente: 1 ö 1 ' æ .i r (s ) ç R2 + ÷.i r (s ) = s.C ø s.C '2 è æ 1 ö çç R 2 + ÷.i r (s ) + R '2 .i 'r' (s) = U(s ) s.C 2 ÷ø è i r (s ) = - i 'r + .i 'r' (s )

De donde deducimos que: U(s) 1 zr(s) = ----- = ----- . [(1 + s.R2.C2).(1 + s.R2'.C2') + s.R2'.C2] ir(s) sC2 La función de transferencia del regulador PID es:

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U(s) 1 G(s) = ------ = ------ . [(1 + sR2C2)(1 + sR2'C2') + sR2'C2] E(s) sR 1C2 Función de transferencia que puede ponerse: (1 + T 2.s).(1 + T2'.s) G(s) = ----------------------------S .T 1 Donde es fácil calcular las constantes de tiempo del sistema. Si colocamos la F.T, después de operar el numerador, de la forma: T 2 + T2' T2.T2' 1 G(s) = ----------- + ------- . s + -----T1 T1 T 1.s y llamando k = T2/T1 T 2' k G(s) = k.( 1 + ----- ) + k .T 2'.s + -----T2 T 2.s Y aplicando la transformada inversa, la salida será: æ T' ö de(t ) k . e(t ).dt u(t ) = k .çç 1 + 2 ÷÷.e(t ) + k .T2' . + dt T2 ò T 2 ø è Ecuación que define el regulador PID trabajando en régimen transitorio. La gráfica adjunta explica el significado de esta ecuación. Diseño del REGULADOR PID: Automática II. Gómez Campomanes.

Pag 897.

10.- SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID Dadas unas necesidades para las características del estado transitorio y del permanente, se denomina “sintonización del controlador PID” al proceso de seleccionar los parámetros del controlador que hacen que el sistema en lazo cerrado verifique dichas especificaciones. Ziegler y Nichols sugieren una reglas experimentales para sintonizar los controladores PID basadas en : 1º.- en la respuesta a escalón experimental 2º.- en el valor de K p que se produce en la estabilidad marginal cuando sólo se utiliza la acción de control proporcional. Estas reglas son empíricas y muy convenientes cuando se desconoce el modelo matemático de la planta. Existen dos métodos para Ziegler y Nichols, en ambos se pretende obtener un 25% máximo de sobreelongación en la respuesta escalón. Departamento de AC y Automática

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Primer método Se encuentra experimentalmente la respuesta a entrada escalón. La curva de salida debe tener una forma parecida a la de la figura, si no el método falla. GP(s)

GC(s) H(s)

Planta a controlar con PID

Respuesta a entrada escalón

La curva de salida queda caracterizada por tres parámetros *** El tiempo de retardo L *** La constante de tiempo T *** El cociente Salida/Entrada

G =y_est/u_est

Ziegler y Nichols establecen los valores de sintonización de acuerdo con la tabla Tipo de Controlador P PI PID

KP

TI

TD

T L.G T 0.9 L.G T 1.2 L.G

¥

0

3.3L

0

2L

0.5 L

Sustituyendo estos valores en la F.T del controlador GC (s) = K P .(1 + TD .s + = 1.2

1 )= TI .s

T 1 (1 + + 0.5Ls) = L 2Ls

1ö æ çs+ ÷ Lø = 0.6T è s

2

El controlador tiene un polo en el origen y un cero doble en s = -1/L

Segundo método Se dan los siguientes pasos: 1º.- Se establece

T I = ¥ y TD = 0

2º.- Se incrementa K P hasta un valor valor K CR que de al sistema una salida de tipo senoidal (en el límite de la estabilidad) de frecuencia w CR 3º.- Se calcula el período correspondiente

TCR =

2p wCR

4º.- Se dan los valores de sintonización dados por la tabla:

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Tipo de

KP

TI

TD

P

0.5 K CR

¥

0

PI

0.45 K CR

TCR 1.2

0

PID

0.6 K CR

0.5TCR

0.125L

Controlador

Sustituyendo estos valores en la F.T del controlador

GC (s) = K P .(1 + TD .s + = 0.6KCR (1 +

1 )= TI .s

1 + 0.125TCR .s) = 0.5TCR .s

æ 4 ö çç s + ÷ TCR ÷ø è = 0.075KCRTCR s

2

El controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en s = -4/T CR Las reglas de Zigler-Nichols se aplican a sistemas cuya dinámica se desconoce y han demostrado ser muy útiles. Según los casos hay que adaptar los resultados Si el sistema tiene un integrador estas reglas no son adecuadas. (ver ejemplo)

11.- DISEÑO DEL REGULADOR P.I.D. DISCRETO: La mayoría del control de procesos industriales se hacen con reguladores P.I.D. Por lo general, los reguladores P.I.D. tienen la siguiente estructura: t

u ( t ) = k p × e( t ) + k i ò e( t ).dt + k D 0

de (t ) dt

2 U(s ) k D s + k p s + k i Gc(s) = = E(s ) s

es decir:

Podemos preparar diversas versiones digitales del P.I.D. A).- Por aproximación de las derivadas e integrales: Según cómo aproximemos la integral y la derivada (o bien la “s” en Gc(s ) ). Si por ejemplo aproximamos la integral con el método trapezoidal, y la derivada por diferencia atrás, se obtiene:

kT k ö 2k ö k æ æk T y k = y k -1 + ç k p + i + D ÷u k + ç i - k p - D ÷u k -1 + D u k -2 2 T ø T ø T è è 2 que corresponde a:

Gc( z ) =

Az -2 + Bz -1 + C 1 - z -1

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con:

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A=

kD 2k ö æk T B = ç i - kp - D ÷ T T ø è 2

kT k ö æ C = ç kp + i + D ÷ 2 Tø è

Es fundamental en el P.I.D. el bloque de control proporcional

kp .

kp

E(s)

La integración se introduce para eliminar errores de régimen

Ki s

+ +

U(s)

+

permanente; y la derivada para mejorar el tiempo de respuesta

kD.s

Ejemplo: SISTEMA TÉRMICO Y CONTROL P.I.: Sea el sistema térmico:

G( z ) =

0,025z -1 (1 + 0,816 × z -1 ) (1 - 0´952z -1 )(1 - 0,528z -1 )

Aplicamos un control P.I., con su cero puesto en el origen:

k Tö æ çk p + i ÷ 2 ø H( z ) = è -1 (1 - z )

Puede comprobarse con el lugar de las raíces, que el sistema en lazo cerrado es inestable para:

k Tö æ ç k p + i ÷ > 0,351 2 ø è planteándose así un compromiso que liga tres parámetros a elegir: K p , K i , T. Problema para Programas: Dibujo del lugar de las raíces para diversas configuraciones de control (P.I., P.I.A., P.D., etc.). Estudio similar para el sistema de dos tanques.

5.-DISEÑO DE CONTROLADORES PID DIGITALES: MÉTODOS TÉCNICOS Los métodos estudiados hasta ahora son métodos académicos

Estructuras de control más usuales: A).- Seguimiento de la entrada r(t): Ya que la señal de referencia es la que introduce en el error cosas como pendientes infinitas

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B).- Regulación frente a perturbaciones: Evita cargas muy fuertes sobre la señal de control u(t).

C).- Aproximación derivada por red de adelanto:

Todas estas estructuras se pueden representar mediante:

3 grados de libertad

Si

T=δ

2 grados de libertad

R ( z ). U ( z ) = T ( z ). R ( z ) - d ( z ). y ( z )

Ejemplo:

Gc(s ) =

10 s.(s + 2)

T = 0.25 sg 2

T=0.25; nc=10; dc=[1 2 0]; gps=tf(nc,dc) gpz=c2d(gps,T) axis('square'),zgrid,rlocus(gpz); [k,polos]=rlocfind(gpz), w=angle(polos(1))/T

1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -4

-3

-2

-1

0

1

2

Tcr=2*pi/w, Kmax = 1.7046 Polos = 0.5763 ± 0.8117.j

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