Controlabilidad y Observabilidad Informexxx

 

Universidad Politécnica Salesiana Fecha: 15/01/2018

LABORATORIO DE TEORÍA DE CONTROL III

CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDA CONTROLABILIDAD OBSERVABILIDAD D TEORIA DE CONTROL III Informe N°1  Arellano Chuquimarca Chuquimarca Darwin Darwin Gonzalo Gonzalo [email protected]   [email protected]  Alban Jose  jalbanc@est  [email protected] .ups.edu.ec   Fecha: 15/01/2018

sistema de control, y juega un papel crucial en muchos problemas de control, como la estabilización de sistemas inestables, o el control óptimo. Controlabilidad y observabilidad son aspectos duales de un mismo problema.

 A B S TR A C T: In the following report, the analysis of the data obtained through the use of software, the analysis of data obtained from laboratory practice, observation and observation, the values obtained for the circuits are also observed. RLC arranged.

 Armamos el valor de las matrices

RESUMEN:

En el informe siguiente, se muestra los datos obtenidos mediante el uso del software matlab, el análisis de datos obtenidos de la práctica de laboratorio correspondiente a controlabilidad y observabilidad, también se observará los valores obtenidos para los circuitos RLC dispuestos.

controlabilidad,     CLAVE: PALABRAS observalidad, matlab, determinante, RLC.

1. OBJETIVOS  Figura 1. Elementos de MATRIZ M ATRIZ característica [3]

1.1. Objetivo Objetivo General  



Un sistema es controlable a un tiempo t0 si es posible transferir mediante el uso de un vector de control sin restricciones al sistema desde el estado inicial x (t0) a cualquier otro estado en un intervalo finito de tiempo. Un sistema exhibe controlabilidad completa si todos los estados son controlables. Condición de controlabilidad completa: Un sistema es controlable si la matriz de controlabilidad C es de rango completo, es decir, el rango de C es igual a n; el número de estados: C se construye de la siguiente manera:

Verificar y analizar los diferentes parámetros de observabilidad y controlabilidad obtenidos al modelar un circuito RLC.

1.2. Objetivo Objetivo Específicos   Comparar los valores obtenidos de cada uno



de los circuitos con los patrones resistencia teóricos de cada uno.

de

   Analizar los factores por los cuales los



sistemas puedan observables. 

ser

comprobables

y

 A grandes rasgos, el concepto de controlabilidad es la habilidad de mover un sistema en toda su configuración de espacios usando solamente ciertas manipulaciones admisibles. La definición exacta varía ligeramente dentro del marco de trabajo o los tipos de modelos aplicados.

  Obtener el resultado de los l os sistemas para los



diferentes valores de resistencia. 

2. MARCO TEÓRICO [Ecua. 1] 

2.1. Controlabilidad

El sistema es controlable si la matriz de comprobabilidad tiene un rango=n y su determinante es diferente de cero.

La controlabilidad es la propiedad que indica si el comportamiento de un sistema se puede controlar actuando sobre sus entradas

 A continuación, algunos ejemplos de variaciones variaciones de la

Controlabilidad es una propiedad importante de un

notación de controlabilidad que han sido introducida en la

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2.4 Función CTRB

literatura de sistemas de control:

La sintaxis para una matriz ingresafa .      







Controlabilidad de estado Controlabilidad de salida Controlabilidad en el comportamiento del marco de trabajo

ctrb(A,B) returns the controllability matrix: Co = ctrb(A,B) returns 2

n−1

Co=[ BABA  B… A

Un sistema es observable a un tiempo t0 si con el sistema en un estado inicial x (t0); es posible determinar este estado a partir de las observaciones de la salida y (t) durante un intervalo finito de tiempo. Un sistema exhibe observabilidad completa si todos los estados son observables. La observabilidad es la propiedad que indica si el comportamiento interno de un sistema puede detectarse desde sus salidas

 B]

ecua.3 

donde tiene n filas y columnas nm. Co = ctrb(sys)calcula la matriz de controlabilidad del objeto LTI de espacio de estado sys. Esta sintaxis es equivalente a ejecutar Co = ctrb (sys.A, sys.B) El sistema es controlable si Contiene rango completo n. Ejemplo Verificar si el sistema con la siguiente información

2.2. Observabilidad

 A = 11 4 -2

Un sistema es observable a un tiempo t0 si con el sistema en un estado inicial x (t0); es posible determinar este estado a partir de las observaciones de la salida y (t) durante un intervalo finito de tiempo. Un sistema exhibe observabilidad completa si todos los estados son observables La observabilidad es la propiedad que indica si el comportamiento interno de un sistema puede detectarse desde sus salidas.

B= 1 -1 1 -1 es controlable Tipo Co = ctrb (A, B); % Número de estados incontrolables unco = longitud (A) -rank (Co) y MATLAB regresa unco = 1

[Ecua. 2] El sistema es observable si la matriz de observabilidad tiene un rango=n y su determinante es diferente de cero.

Limitaciones La estimación del rango de la matriz de controlabilidad está mal condicionada; es decir, es muy sensible a los errores de redondeo y los errores en los datos. Una indicación de esto se puede ver en este simple ejemplo.

2.3. Matlab y funciones Herramientas de análisis de modelos: Las siguientes funciones son útiles para analizar, realizar transformaciones de coordenadas de estado en

Este par es controlable si pero si , donde eps es la precisión

ellos y derivar realizaciones canónicas en el espacio de estado para modelos únicos LTI o arreglos de modelos LTI en el espacio de estado.

relativa decompleto. la máquina. ctrb(A,B) ctrb(A, B) devoluciones no es de rango Para casos como estos, que es mejor determinar la controlabilidad de un sistema que use ctrbf. obsc

Realizaciones en el espacio de estado canon Realización canónica en el espacio de estado

Forma la matriz de observabilidad

ecu.4 Sintaxis Ob = obsv (A, B) Ob = obsv (sys) Descripción obsv calcula la matriz de observabilidad para sistemas de espacio de estado. Para un n -by- n matriz Ay una p -by- n matriz C, obsv(A,C)devuelve la matriz de observabilidad

Tabla1. Funciones para comprobar observabilidad y controlabilidad mediante Matlab

con n columnas y np filas.

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3.2 Se procede a implementar el trabajo en clase para el

2.5 Función Obsv

uso de un sistema que evalúe para valores de R en un rango ingresado por el usuario y evaluado por el software.

Ob = obsv(sys) calcula la matriz de observabilidad del modelo de espacio de estado sys. Esta sintaxis es equivalente a ejecutar Ob = obsv (sys.A, sys.C) El modelo es observable si Obtiene rango completo n . Ejemplo Determinar si el par  A = 11 4 -2

Fig1. Circuito para modelamiento de las matrices observable y comprobable Se procedió a ingresar las matrices para un valor de R en un rango especifico

C= 10 01 es observable Tipo

TRABAJO EN CLASE n=input( 'ingrese el numero para el rango : ' n=input('ingrese '); ); for for (Z=1:1:n)  (Z=1:1:n) %%R=input('Ingrese ');   %%R=input('Ingrese el valor de R: ');  fprintf('PARA fprintf( 'PARA R= ' '); ); disp(Z+1); R=Z; A=[0 -50; 0.5 -R/2];

Ob = obsv (A, C); % Número de estados no observables nob = longitud (A) -barra (Ob) MATLAB responde con nob = 0

B=[50 ; 0]; C=[0 R]; D=0; matriz    Co=ctrb(A,B) %% arma la matriz det(Co) %% para saber si es controlable  controlable  if if det(Co)~=0  det(Co)~=0 fprintf('sistema fprintf( 'sistema controlable cuando R= ' '); ); disp(Z) end    end

3. DESARROLLO Y PROCEDIMIENTO 3.1 Se

procedió a implementar el código para el uso de matrices características y obtener los valores Co,Ob A=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 72 -124 -54 -13]; B=[0; 0; 0; 1]; C=[72 66 20 2]; D=0; Co=ctrb(A,B) %% para saber si es comprobable  comprobable  input('DEVUELVE input( 'DEVUELVE EL VALOR DEL DETERMINANTE DE Co') Co' )

if if det(Co)==0  det(Co)==0 'sistema no es controlable cuando R= fprintf('sistema fprintf( '); disp(Z) end end   

det(Co) if det(Co)==0  det(Co)==0 %% evaluamios el derterminante Co Co    if input ('El ('El Sistema Es Comprobable Comprobable' ') end  end  if det(Co)!=0  det(Co)!=0 if input ('El ('El Sistema es No COMPROBABLE') COMPROBABLE') end  end 

Ob=obsv(A,C) %% arma la matriz Ob=obsv(A,C)%% matriz    det (Ob) %% para saber si es observable observable    if det(Ob)~=0  det(Ob)~=0 if 'sistema Observable cuando R= ' '); ); fprintf('sistema fprintf( disp(Z) end end   

Ob=obsv(A,C) %% arma la matriz Ob=obsv(A,C)%% matriz    det (Ob) %% para saber si es observable  observable  if if det(Ob)==0  det(Ob)==0 %% evaluamios el de3terminante Ob Ob    input (' (' El Sistema Es Observable' Observable') ) end end    if det(Ob)!=0 if  det(Ob)!=0 Observable') ) input (' (' El Sistema Es No Observable' end  end 

if if det(Ob)==0  det(Ob)==0 fprintf('sistema fprintf( 'sistema no es Observable cuando R= '); disp(Z) end    end end end   

3

 

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 A continuación, se procederá a mostrar los resultaos obtenidos y analizar los mismos

de los determinantes como primer caso se tiene Co=1250 al ser este valor del determinante entonces se procede a decir que el sistema es “comprobable”  Y si se obtiene un Ob=-2 al ser este valor del determinante entonces se procede a decir que el sistema es “Observable”

4. ANÁLISIS Y RESULTADOS   A continuación, se muestra la implementación. De las matrices de observabilidad y comprobabilidad para un circuito RLC mostrado

Fig. 2. Circuito RLC. Se procede a realizar el análisis para los valores obtenidos en la práctica:

Fig. 4. Datos obtenidos para una R=2 el sistema es comprobable y observable En la ejecución ultima ejecución del programa se observa que par una entrada de R=10 se obtiene los valores de los determinantes como primer caso se tiene Co=1250 al ser este valor del determinante entonces se procede a decir que el sistema es “comprobable”  Y si se obtiene un Ob= -50 al ser este valor del determinante entonces se procede a decir que el sistema

En la ejecución del programa se observa que par una entrada de R=1 se obtiene los valores de los determinantes como primer caso se tiene Co=1250 al ser este valor del determinante entonces se procede a decir que el sistema es “Comprobable” Y si se obtiene un Ob= -0.5 al ser este valor del determinante entonces se procede a decir que el sistema es “observable”

es “observable”

Fig. 3. Datos obtenidos para una R=1 el sistema es comprobable y observable Fig. 5. Datos obtenidos para una R=10 el sistema es comprobable y observable

En la ejecución segunda ejecución del programa se observa que par una entrada de R=2 se obtiene los valores

4

 

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1. Datos obtenidos para un rango de R=0--10

http://ciecfie.epn.edu.ec/wss/VirtualDirectories/80/JIEE/his torial/XIXJIEE/34Antenas%20Corr.pdf

La tabla 4 muestra los resultados al operar el sistema en el cual se determina la observabilidad y controbabilidad

Tabla2. Rango de nivel y Frecuencia Valores de Co Ob R R=1

1250

-0.5

R=2

1250

-2

R=10

1250

-50

Así determinamos que para un rango de R de 0 hasta 10 en el sistema diseñado con los parámetros de C=0.02 F y L=2 H se obtiene un sistema que es controlable y observable

5. CONCLUSIONES Se verifico que el sistema RLC con valores de C=0.2F y L=2 H, al modelar y evaluar el sistema, la matriz de comprobabilidad no se afecta y su determinante es el mismo se obtiene un Co=1250, valor que se muestra en la tabla 2, comprobando que el sistema no depende de R para verificar su comprobabilidad, mientras que para la matriz de observabilidad se determinó que los valores del determinante de la matriz de observabilidad varía dependiendo del valor de R mostrados en la tabla 2, obteniendo un sistema con matriz de observabilidad dependiente del valor de R.

RECOMENDACIONES    Ingresar los valores de la resistencia en un rango de 0 a R que puedan obtener valores coherentes 



6. REFERENCIAS  [1] Tecnología de comunicación, Inclusive tecnologías de transmisión, alta frecuencia y redes (Capacidad de actuar de manera orientada a la práctica p ráctica y a los proyectos), LucasNülle, segunda edición, pág.: 40 – 49 [en línea] Disponible: http://www.sidilab.com/media/files/TELECO http://www.sidilab.com/ media/files/TELECOMUNICAC MUNICACION ION ES.pdf. [2] Apoyo a investigación C.P.D., 2002. [En línea]. Disponible en: http://www.emkttek.com [3] Labsoft manual [[En línea]: Disponible en: http://www.gigatronic.es/prueba-y-medida/medidores-decampo/1259-agilent-technologies-incorpora-medidas-depulso-en-fieldfox-para-simplificar-las-pruebas-de-radarsobre-elterreno [4] Estudio de antenas inteligentes y principales aplicaciones en los sistemas de telefonía móvil, Ortega C. Patricio, Enríquez P. Oscar, Escuela Politécnica Nacional, Ingeniería Eléctrica y Electrónica. [En línea]. Disponible en:

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