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“Año del Diálogo y Reconciliación Nacional” UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA

FACULTAD DE INDUSTRIAS ALIMENTARIAS

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PROFESOR: ALUMNOS:

Horario: miércoles 11:00 a 1:00 pm.

LA MOLINA –  MOLINA –  PERÚ  PERÚ 2018

1. DISTRIBUCIONES MÁS COMUNES 1.1.DISTRIBUCIÓN 1.1. DISTRIBUCIÓN NORMAL

Una empresa conservera enlata alimentos y el peso neto de las latas sigue una distribución normal N (400, 10), calcula: a. La probabilidad de que una lata pese menos de 380 gramos. b. La probabilidad de que una lata pese entre 385 y 410 gramos. Solución. Usando las tablas: a.

b.

(Allueva et al., 2015). 1.2.DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Una fábrica tiene una norma de control de calidad consistente en elegir al azar diariamente 20 artículos producidos y determinar el número de unidades defectuosas. Si hay dos o más artículos defectuosos la fabricación se detiene para inspección de los equipos. Se conoce por experiencia que la probabilidad de que un artículo producido sea defectuoso es 5%. Encuentre la probabilidad de que en cualquier día la producción se detenga al aplicar esta norma de control de calidad. Solución. Esta situación corresponde a un experimento binomial. n = 20 p = 0.05 X: x = 0, 1, …, 20

Cantidad de ensayos (independientes) Probabilidad de éxito (constante) Variable aleatoria discreta (cantidad de artículos defectuosos) Valores que puede tomar X

Entonces

(Rodríguez, 2007). 1.3.DISTRIBUCIÓN POISSON La probabilidad de que dos aminoácidos determinados se combinen para formar un dipéptido es muy pequeña y, en consecuencia, el número de dipéptidos de una determinada composición que puedan observarse al analizar un conjunto de proteínas sigue una distribución de Poisson, que por otras investigaciones sabemos que tiene parámetro λ = 0.4. Si denominamos como X el número de dipéptidos observados en una composición determinada: a. Calcular la probabilidad de no encontrar ninguno de tales dipéptidos en dicha composición. b. Probabilidad de encontrar dos o más. Solución. a.

b.

(Villardón, 2016). 1.4.DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Una caja contiene 9 cupcakes de las cuales 4 están en buen estado y las restantes malogrados. Se toma una muestra eligiendo al azar tres cupcakes. Calcule la probabilidad que en la muestra se obtengan: a. Ningún cupcake en buen estado b. Al menos un cupcake en buen estado c. No más de dos cupcakes en buen estado

Solución. Este es un experimento de muestreo sin reemplazo, por lo tanto, es un experimento hipergeométrico con: N=9 K=4 n=3 X:

Total de elementos del conjunto Total de elementos considerados “éxitos” Tamaño de la muestra Cantidad de cupcakes en buen estado en la muestra (Variable aleatoria discreta)

Entonces la distribución de probabilidad de X es:

a.

b.

c.

(Rodríguez, 2007). 2. PRUEBAS ESTADÍSTICAS 2.1.PARAMÉTRICAS 2.1.1. DISEÑOS EXPERIMENTALES 2.1.1.1. DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR Se utilizó este diseño con arreglo factorial desbalanceado de 3 x 4 con dos factores, tres niveles dentro del factor contenido de azúcar y cuatro niveles dentro del factor contenido de polidextrosa. Se tuvieron 12 tratamientos, se realizaron tres repeticiones por cada tratamiento obteniéndose un total de 36 unidades experimentales. Se midieron 3 variables: penetrabilidad (dureza del gel), grados Brix y pH.

PENETRABILIDAD (DUREZA DEL GEL) •

•

Hipótesis Nula: No existen diferencias estadísticamente significativas entre los tratamientos para la penetrabilidad (dureza del gel) con un 5% de probabilidad. Hipótesis Alterna: Si existen diferencias estadísticamente significativas entre los tratamientos para la penetrabilidad (dureza del gel) con un 5% de probabilidad.

Del análisis de variancia (ANOVA) se desprende que existió diferencia significativa entre los tratamientos y además de que el factor contenido de azúcar (A), el factor contenido de polidextrosa (B) y la interacción de los factores AxB influyeron en la penetrabilidad de los tratamientos.

Se observa que el valor del coeficiente de variación fue adecuado pues se obtuvo un valor de 1.29%. Al ser un experimento realizado bajo condiciones controladas, se esperó que el valor de CV fuese menor al 5%. Por lo tanto, se realizó correctamente la estimación.

Los tratamientos 12, 4 y 8 presentaron la mayor penetrabilidad, siendo estadísticamente iguales entre si al 5% probabilidad. Al comparar la penetrabilidad obtenida en los tratamientos 12, 4 y 8 con la penetrabilidad de 193 de la jalea de mora marca “snob”, se observó que los valores

fueron cercanos a la jalea comercial. Tanto la jalea comercial como los tratamientos 12, 4 y 8 tuvieron menos dureza del gel comparados con el resto de tratamientos. Por lo tanto, se seleccionaron como los mejores. PH •

•

Hipótesis Nula: No existen diferencias estadísticamente significativas entre los tratamientos para el pH con un 5% de probabilidad. Hipótesis Alterna: Si existen diferencias estadísticamente significativas entre los tratamientos para el pH con un 5% de probabilidad.

Del análisis de variancia (ANOVA) se desprende que existió diferencia significativa entre los tratamientos y además de que el factor contenido de azúcar (A), el factor contenido de polidextrosa (B) y la interacción de los factores AxB influyeron en el pH de los tratamientos. Se observa que el valor del coeficiente de variación fue adecuado pues se obtuvo un valor de 0.75%. Al ser un experimento realizado bajo condiciones controladas, se esperaría que el valor de CV fuese menor al 5%, por lo tanto, se realizó correctamente la estimación.

Todos los tratamientos fueron estadísticamente iguales entre si al 5% de probabilidad. Al comparar los valores de pH de los tratamientos con el parámetro establecido, se observó que

todos los tratamientos se encontraban dentro del rango, que fue de 3.5 como máximo a 2.8 como mínimo. Por lo tanto, se seleccionaron a todos los tratamientos como los mejores. GRADOS BRIX •

•

Hipótesis Nula: No existen diferencias estadísticamente significativas entre los tratamientos para los grados Brix con un 5% de probabilidad. Hipótesis Alterna: Si existen diferencias estadísticamente significativas entre los tratamientos para los grados Brix con un 5% de probabilidad.

Del análisis de variancia (ANOVA) se desprende que existió diferencia significativa entre los tratamientos y además de que el factor contenido de azúcar (A), el factor contenido de polidextrosa (B) y la interacción de los factores AxB influyeron en los grados Brix de los tratamientos. Se observa que el valor del coeficiente de variación fue adecuado pues se obtuvo un valor de 0.68%. Al ser un experimento realizado bajo condiciones controladas, se esperaría que el valor de CV fuese menor al 5%, por lo tanto, se realizó correctamente la estimación.

Todos los tratamientos fueron estadísticamente iguales entre si al 5% de probabilidad. Al comparar los grados Brix de los tratamientos con el parámetro establecido para las confituras,  jaleas y mermeladas, se observó que todos los tratamientos se encontraban dentro del rango, que fue de 60 a 65%. Por lo tanto, se seleccionaron a todos los tratamientos como los mejores. (Rosero, 2012). 2.1.1.2. DISEÑO DE BLOQUES COMPLETAMENTE AL AZAR Un equipo de mejora investiga el efecto de 4 métodos de ensamble (A, B, C y D) sobre el tiempo de ensamble en minutos. Para aumentar la exigencia del estudio, se determina un bloque que controla a los operadores que realizarán el ensamble. Los resultados de os t iempos de ensamble obtenidos en este experimento se muestran en la siguiente tabla:

Utilice un nivel de significancia del 5% y obtenga las conclusiones correspondientes. •

Primero se calcula las sumatorias correspondientes:

•

El segundo paso es calcular los componentes del ANOVA para obtener F0:

(Montgomery, 2010). 2.1.1.3. DISEÑOS CUADRADO LATINO Supongamos que un experimentador está estudiando el efecto de 5 fórmulas diferentes de la mezcla de dinamita sobre la fuerza explosiva observada. Cada fórmula se prepara usando un lote de materia prima, lo suficientemente grande para que sólo se hagan 5 mezclas. Mas aún, las mezclas las preparan 5 operarios, pudiendo existir una diferencia sustancial en la habilidad y experiencia entre ellos. El diseño apropiado para este problema consiste en probar cada fórmula exactamente una vez, por cada uno de los 5 operarios. El diseño resultante es un cuadrado latino. Las cinco formulas se representan mediante las letras latinas A, B, C, D y E. los datos aparecen a continuación:

Para simplificar los datos se resta 25 unidades y se obtiene:

Las medias sobre el factor y son:

La suma de los cuadrados es:

La tabla ANOVA es:

Como:

Existen diferencias significativas en la fuerza explosiva media debido a las 5 fórmulas. (Montgomery, 2010).

2.1.1.4. EXPERIMENTOS FACTORIALES 2.1.2. PRUEBAS DE COMPARACIÓN DE PROMEDIOS 2.1.2.1. PRUEBA DE “t” DE STUDENT 2.1.2.2. PRUEBA DE DUNCAN 2.1.2.3. PRUEBA DE TUKEY 2.2.NO PARAMÉTRICAS 3. BIBLIOGRAFÍA - ALLUEVA, A.; ALEJANDRE, J. L.; GONZÁLEZ, J. M. 2015. Matemática Aplicada. Bloque 5: Probabilidad y Estadística. Tema 3: Distribuciones de Probabilidad. Zaragoza, España. - MONTGOMERY, D. 2010. Control estadístico de la Calidad. Limusa Wiley. México. - RODRÍGUEZ, L. 2007. Probabilidad y Estadística Básica para Ingenieros. Escuela Superior Politécnica del Litoral. Ecuador. - ROSERO, M. J. 2012. Desarrollo de una jalea de guanábana ( Annona muricata L.) con polidextrosa. Tesis de grado para la obtención del título de Ingeniera en Alimentos. Universidad San Francisco de Quito. Quito. - VILLARDÓN, G. 2016. Introducción a la Estadística. Universidad de Salamanca. España.