2011-B
Universidad Nacional del Callao- FIEE
CONTROL POR LINEALIZACION EXACTA POR REALIMENTACION DE ESTADOS
“
”
Cuya Solari, Omar Antonio
[email protected]
Flores Bustinza, Edwing Irwing
[email protected]
Torres Chavez, Jonathan Emmanuel jonathan260605@ jonatha
[email protected] hotmail.com om
Laboratorio de Control Avanzado
1
Universidad Nacional del Callao- FIEE
2011-B
I.- Objetivos
Conocer el comportamiento de una planta sub-amortiguada con proyección al control. Aprender la técnica de control por linealización exacta por realimentación de estados. Comprobar los resultados del control en simulación y tiempo real usando la tarjeta NIDAQUSB-6009 de National Instruments y el software LABVIEW.
II.- Modelamiento de una Planta Prototipo de Segundo Orden
Fig 1.-Planta prototipo de segundo orden De la planta prototipo obtenemos las siguientes ecuaciones:
Despejando
de las ecuaciones (1) y (2), e igualando obtenemos:
Laboratorio de Control Avanzado
2
Universidad Nacional del Callao- FIEE Despejando
2011-B
de la ecuación (2) y reemplazándola en la ecuación (4):
̇ ̈
Ahora reemplazando la ecuación (3):
Reemplazando las ecuaciones (3) y (6) en la ecuación (5) se obtiene la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:
Aplicando la transformada de LAPLACE y hallando la función de transferencia obtenemos:
Sabemos que el sistema prototipo de segundo orden es:
Dándole la forma estándar de segundo orden a la ecuación (7):
Laboratorio de Control Avanzado
3
2011-B
Universidad Nacional del Callao- FIEE
En este laboratorio implementamos 2 plantas las cuales fueron simuladas e implementadas en tiempo real, demostrando un buen control mediante el MRAC (Control Adaptivo con un Modelamiento de Referencia). Para la primera planta como para la segunda se tomaron los siguientes valores de componentes:
Siendo
un componente diferente entre las dos plantas.
1.- Primera planta a.- Diseño Se diseñara para que su respuesta transitoria sea subamortiguada lo que se ha tomado un sobrepaso del 14%.
por
Sabemos que la atenuación:
√ √
Y la frecuencia de natural amortiguada:
Entonces en sobreenlogamiento
Despejando
se define como:
se obtiene:
Reemplazando el valor del sobreenlogamiento
Reemplazando
obtenemos:
en la ecuación (9) y los valores de los componentes obtenemos:
Laboratorio de Control Avanzado
4
Universidad Nacional del Callao- FIEE Despejando
2011-B
y resolviendo resolviendo la ecuación ecuación cuadrática cuadrática se se obtiene:
b.- Simulación
Simulando el momento transitorio de la planta en PROTEUS obtenemos un sobrepaso de 17%:
Fig 2.- Primera planta Sub-amortiguada 2.- Segunda planta a.- Diseño Se diseñara para que su respuesta transitoria sea subamortiguada lo que se ha tomado un sobrepaso del 50%: Sabemos que la parte real:
por
√ √
Y la frecuencia de natural amortiguada:
Entonces en sobreenlogamiento
se define como:
Laboratorio de Control Avanzado
5
2011-B
Universidad Nacional del Callao- FIEE Despejando
se obtiene:
Reemplazando el valor del sobreenlogamiento
Reemplazando
Despejando
obtenemos:
en la ecuación (9) y los valores de los componentes obtenemos:
obtenemos, y resolviendo la ecuación cuadrática se obtiene:
b.- Simulación
Simulando el momento transitorio de la planta en PROTEUS obtenemos un sobrepaso de 50%:
Fig 3.- Segunda planta Sub-amortiguada
Laboratorio de Control Avanzado
6
2011-B
Universidad Nacional del Callao- FIEE
III.- Técnica de control Control por linealización exacta por realimentación de estados Esta técnica de control es concebida como dos lazo de realimentación, un primer lazo que transforma el sistema original en un sistema lineal mediante una realimentación no lineal de las variables de estado y un segundo lazo externo que controla el sistema lineal resultante.
1.- Primera Planta Para la aplicación concreta del control en nuestro primer diseño de planta análoga tenemos los siguientes valores:
Recordemos que esta planta posee un sobrepaso del 14% y un coeficiente de amortiguamiento de 0.527. Entonces tenemos como función de transferencia de la planta:
… (α) (α)
Para llevar a cabo la técnica téc nica de control debemos entender el siguiente diagrama de bloques:
Para desmenuzar el diagrama anterior comencemos conociendo la planta análoga que será sometida a control. Para ello llevaremos al espacio de estados nuestra función de transferencia (α) ( α)
̇ ̇̇
Laboratorio de Control Avanzado
7
2011-B
Universidad Nacional del Callao- FIEE
] [
De las ecuaciones de espacio anteriores podemos decir entonces:
Ahora realizamos el cálculo del Grado Relativo empleando las derivadas de Lie en el modelo del proceso de segundo grado (n=2):
] [ ()
De acuerdo a las ecuaciones anteriores concluimos que el grado relativo del proceso respecto a la salida es r=2 . Esto implica que el proceso en ). cuestión es completamente linealizable (r=n=2 ). Por otro lado además de la obtención del grado relativo realizamos la comprobación estricta de la linealización exacta:
Donde ,
, pues G es un vector constante, y:
Finalmente:
Esto significa que tal conjunto está formado por campos vectoriales linealmente independientes (primera condición de linealización). Por otra parte, es involutivo porque es constante. Finalmente podemos afirmar que el proceso puede ser linealizado en forma exacta.
Laboratorio de Control Avanzado
8
2011-B
Universidad Nacional del Callao- FIEE
Una vez cumplidas las condiciones necesarias procedemos al diseño del para controlador en sí. Primero realizaremos el cambio de coordenadas llevar al proceso a su forma normal:
[] []
Obtenidos estas nuevas coordenadas representaremos el proceso en función de la variable “z” y hallaremos la ley de control:
̇ [̇̇] [̇ ̇ ] [ ] ] ̇ [̇̇] [ ̇ ̇ ̇ ̈ ̇ ̈ ̇ ̇̇ ̇ ̈ ̈ ̈ ̇ ̇ ̈ ̇ ̈ ̇ ̈ ̇
Las ecuaciones anteriores representan un doble integrador ( debe diseñarse de modo tal que r(t). De
). La señal v
siga una trayectoria angular de referencia
En lazo cerrado:
Laboratorio de Control Avanzado
9
2011-B
Universidad Nacional del Callao- FIEE Finalmente la ley de control resulta:
̈ ̇ ̈ ̇ ̇ ̇ ̈ ̇ ̇
Además sabemos que:
Entonces la ley de control también puede ser descrita por:
2.- Segunda Planta
Para esta planta de 50% de sobrepaso, tenemos los siguientes valores:
Recordemos que esta planta posee un sobrepaso del 14% y un coeficiente de amortiguamiento de 0.527. Entonces tenemos como función de transferencia de la planta:
… (α) (α)
Para llevar a cabo la técnica de control debemos entender el siguiente diagrama de bloques:
Laboratorio de Control Avanzado
10
Universidad Nacional del Callao- FIEE
2011-B
Para desmenuzar el diagrama anterior comencemos conociendo la planta análoga que será sometida a control. Para ello llevaremos al espacio de estados nuestra función de transferencia (α) ( α)
̇ ̇̇ ] [
De las ecuaciones de espacio anteriores podemos decir entonces:
Ahora realizamos el cálculo del Grado Relativo empleando las derivadas de Lie en el modelo del proceso de segundo grado (n=2):
] [ ()
Esto implica que el proceso en cuestión es completamente linealizable.
Por otro lado además de la obtención del grado relativo realizamos la comprobación estricta de la linealización exacta:
Donde ,
, pues G es un vector constante, y:
Laboratorio de Control Avanzado
11
2011-B
Universidad Nacional del Callao- FIEE Finalmente:
Una vez cumplidas las condiciones necesarias procedemos al diseño del para controlador en sí. Primero realizaremos el cambio de coordenadas llevar al proceso a su forma normal:
[] []
Obtenidos estas nuevas coordenadas representaremos el proceso en función de la variable “z” y hallaremos la ley de control:
̇ [̇̇] [̇ ̇ ] [ ] ] ̇ [̇̇] [ ̇ ̇ ̇ ̈ ̇
Las ecuaciones anteriores representan un doble integrador ( debe diseñarse de modo tal que r(t).
). La señal v
siga una trayectoria angular de referencia
Finalmente la ley de control resulta de la misma forma que para la primera planta:
̈ ̇ ̇ ̇
Además sabemos que:
Laboratorio de Control Avanzado
12
2011-B
Universidad Nacional del Callao- FIEE Entonces la ley de control:
̈ ̇ ̇
IV.- Simulaciones Simulaciones 1.- Primera Planta 1.a.- Matlab
Conocida la técnica de control a aplicar a nuestra planta realizaremos los algoritmos empleados en MATLAB y LABVIEW. Se utilizó el software MATLAB con la finalidad de además de visualizar la respuesta de nuestra planta ante un escalón unitario, encontrar el vector de realimentación de acuerdo a especificaciones de tiempo de establecimiento (ts) ( ts) y máximos sobreimpulso (Mp) (Mp) que se deseen adecuar al proceso.
clear all all; ; close all all; ; clc % R1=10e3; % R2=29.74e3; % C2=100e-9; % C1=470e-9; R1=str2double(input('ingrese R1=str2double(input( 'ingrese R1 = ', ', 's' 's')); )); R2=str2double(input('ingrese R2=str2double(input( 'ingrese R2 = ', 's' 's')); )); C2=str2double(input('ingrese C2=str2double(input( 'ingrese C2 = ', 's' 's')); )); C1=str2double(input('ingrese C1=str2double(input( 'ingrese C1 = ', 's' 's')); )); wn=sqrt(1/(C1*C2*R1*R2)) delta=((R1+R2)/2)*sqrt(C2/(R1*R2* C1)) if(delta
