Control - FASE2.docx

Problema 1: A continuación, se presentan las respuestas impulso de varios sistemas lineales continuos. En cada caso determine si la respuesta impulsional representa un sistema estable o inestable. Justifique su respuesta.

a) b) c) d)

ℎ(𝑡) = 𝑡𝑒−𝑡 ℎ(𝑡) = 1 ℎ(𝑡) = 𝑒−𝑡 𝑠𝑒𝑛3𝑡 ℎ(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) Tiempo

Laplace 1

ℎ(𝑡) = 𝑒−𝑡

H(s)=𝑠+1

ℎ(𝑡) = 𝑡𝑒−𝑡

H(s)=(𝑠+1)2

ℎ(𝑡) = 1

H(s)=𝑠

ℎ(𝑡) = 𝑒−𝑡 𝑠𝑒𝑛3𝑡

H(s)=(𝑠+1)2 +9

ℎ(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)

1 1 3

ω

H(s)=𝑠2 +ω2

Estado Inestable(polo negativo) Inestable(polos negativos) Estable(Polo=0) Inestable(polos negativos) Si 𝜔 positvo inestable Si 𝜔 negativo estable

Problema 2:

Se tiene un proceso con la siguiente función de transferencia:

Determine los valores requeridos para controlar el sistema con un controlador PI y PID utilizando los dos métodos de Ziegler y Nichols. SOLUCION Expandiendo el denominador 𝐺(𝑠) =

0.0001 ∙

𝑠4

+ 0.0126 ∙

𝑠3

1 + 0.2725 ∙ 𝑠 2 + 1.2600 ∙ 𝑠 + 1

Para hallar el K crítico, se necesita probar con un control proporcional el cual será Kp, Gc(s)=Kp. El sistema realimentado es:

𝐾𝑝 𝐶(𝑠) = 4 3 𝑅(𝑠) 0.0001 ∙ 𝑠 + 0.0126 ∙ 𝑠 + 0.2725 ∙ 𝑠 2 + 1.2600 ∙ 𝑠 + 1 + 𝐾𝑝

El polinomio característico es:

𝑃(𝑠) = 0.0001 ∙ 𝑠 4 + 0.0126 ∙ 𝑠 3 + 0.2725 ∙ 𝑠 2 + 1.2600 ∙ 𝑠 + 1 + 𝐾𝑝

El valor de Kp que hace al sistema marginalmente estable para que ocurra una oscilación sostenida se obtiene mediante el criterio de estabilidad de Routh: 0.0001 ∙ 𝑠 4 + 0.0126 ∙ 𝑠 3 + 0.2725 ∙ 𝑠 2 + 1.2600 ∙ 𝑠 + 1 + 𝐾𝑝 = 0

𝑠4 𝑠3 𝑠2 𝑠1 𝑠0

0.0001 0.0126 0.2625 1.21 − 0.048 ∗ 𝐾𝑝 1 + 𝐾𝑝

0.2725 1 + 𝐾𝑝 1.2600 0 1 + 𝐾𝑝 0 0 0 0 0

Hallando el Kp de coeficiente de primer orden se tiene que 𝐾𝑝 = 25.25, como es el limite ocurrirá una oscilación.

Entonces se tiene que el 𝐾𝑐𝑟 = 25.25 y reemplazando en la ecuación característica, se tiene:

𝑃(𝑠) = 0.0001 ∙ 𝑠 4 + 0.0126 ∙ 𝑠 3 + 0.2725 ∙ 𝑠 2 + 1.2600 ∙ 𝑠 + 26.25 Para encontrar la frecuencia de la oscilación sostenida, se sustituye 𝑠 = 𝑗𝜔 en la ecuación característica, del modo siguiente:

0.0001 ∙ (𝑗𝜔)4 + 0.0126 ∙ (𝑗𝜔)3 + 0.2725 ∙ (𝑗𝜔)2 + 1.2600 ∙ (𝑗𝜔) + 26.25=0 0.0001 ∗ 𝜔4 + 𝜔3 ∗ 0.0126𝑗 − 0.2725 ∗ 𝜔2 − 𝜔 ∗ 1.26𝑗 + 26.25 = 0

Resolviendo la ecuación y tomando valores positivos se encuentra que la frecuencia de la oscilación sostenida es: 𝜔 = 10 𝑠 𝑃𝑐𝑟 =

2𝜋 = 0.6283 𝑠 𝜔

Teniendo en cuenta la Tabla de Regla de sintonía de Ziegler-Nichols, se calcula el controlador PI primeramente y luego el controlador PID.

Hallando parámetros para el controlador PI: 𝐾𝑝 = 0.45 ∗ 𝐾𝑐𝑟 = 11.3625 𝑇𝑖 =

1 𝑃 = 0.5236 1.2 𝑐𝑟

La función de transferencia del controlador PI es:

𝐺𝑐 (𝑠) = 𝐾𝑝 (1 +

𝐾𝑝 𝑇𝑖 𝑠 + 𝐾𝑝 𝐾𝑝 𝑇𝑖 𝑠 + 𝐾𝑝 5.9492𝑠 + 11.3625 1 )= = = 𝑇𝑖 𝑠 𝑇𝑖 𝑠 𝑇𝑖 𝑠 0.5236𝑠

Hallando parámetros para el controlador PID: 𝐾𝑝 = 0.6 ∗ 𝐾𝑐𝑟 = 15.1500 𝑇𝑖 = 0.5 ∗ 𝑃𝑐𝑟 = 0.3141 𝑇𝑑 = 0.125 ∗ 𝑃𝑐𝑟 = 0.0785

La función de transferencia del controlador PID es:

𝐺𝑐 (𝑠) = 𝐾𝑝 (1 +

𝐾𝑝 𝑇𝑖 𝑠 + 𝐾𝑝 + 𝐾𝑝 𝑇𝑖 𝑇𝑑 𝑠 2 0.3738𝑠 2 + 4.7594𝑠 + 15.1500 1 + 𝑇𝑑 𝑠) = = 𝑇𝑖 𝑠 𝑇𝑖 𝑠 0.3141𝑠

RESULTADO FINAL

Problema 3 Demostrar que los valores de la ganancia estática, k debe ser mayor que –15 y menor a 40 para que sea estable el modelo de sistema de control de la Figura 1. Según el criterio de estabilidad de Routh Hurwitz: 

La función de transferencia del sistema está dado por: 1+G(s)*H(s)=0 1 1 1+𝑘∗ 2 ∗ =0 𝑠 + 2𝑠 + 5 𝑠 + 3 𝑠 3 + 5𝑠 2 + 11𝑠 + 15 + 𝑘 =0 𝑠 3 + 5𝑠 2 + 11𝑠 + 5 𝑠 3 + 5𝑠 2 + 11𝑠 + 15 + 𝑘 = 0



Si todos los coeficientes son positivos, se ordenan los coeficientes del polinomio en filas y columnas de acuerdo con el patrón siguiente: 11 1 𝑠3 𝑠2

5

𝑠1

40+k

15+k

𝑠0 

La condición de que todas las raíces tengan partes reales negativas (por ende estable)se obtiene mediante 15 + 𝑘 > 0 𝑘 > −15 Y también: 40 + 𝑘 > 0 𝑘 < 40



Se demuestra que cuando k es mayor de -15 y menor de 40 el sistema es estable

Programación en MATLAB:

Cuando k=-15

Cuando k=20

Cuando k=-20

Problema 4 Se programó un robot, para que, con una herramienta de soldar, siguiera una trayectoria prescrita. Considere que la herramienta debe seguir la trayectoria dentada que se muestra en la Figura 2 (a). La FT de la planta es:

para el sistema de lazo cerrado que se muestra en la Figura 2 (b). Calcular el error en estado estacionario

SOLUCION Expandiendo el denominador

𝐺(𝑠) =

𝑠3

75𝑠 + 75 + 25𝑠 2 + 100 ∙ 𝑠

El sistema realimentado es: 𝑌(𝑠) 75𝑠 + 75 = 3 2 𝑅(𝑠) 𝑠 + 25𝑠 + 100𝑠 + 75𝑠 + 75 El polinomio característico es:

𝑃(𝑠) = 𝑠 3 + 25𝑠 2 + 175𝑠 + 75 Comprobando estabilidad mediante el criterio de estabilidad de Routh

𝑠 3 1 175 𝑠 2 25 75 𝑠1 172 0 𝑠 0 75 0 Valores mayores a 0, entonces el sistema es estable.

Calculando el error en estado estacionario



Velocidad estática: 𝑘𝑣 = lim 𝑠 ∗ 𝐺(𝑠) = lim 𝑠 ∗ 𝑠→0

𝑠→0

𝑘𝑣 = lim 

𝑠→0 𝑠 2

𝑠3

75𝑠 + 75 3 = + 25𝑠 + 100 4

Error en estado estacionario 𝑒𝑠𝑠 =

Comprobación en MATLAB:

10-8.68= 1.3200

75𝑠 + 75 + 25𝑠 2 + 100 ∙ 𝑠

1 4 = = 1.33 𝑘𝑣 3

Problema 5:

a) S2

S4

S6

Y1

0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 PARA Y’ e Y’’ (Inferior y superior): Y=Y’*Y’’ 𝑌1′ = (𝑆2 + 𝑆4 + 𝑆6) Análogamente: 𝑌2′ = (𝑆2 + 𝑆4 + 𝑆6) 𝑌3′ = (𝑆2 + 𝑆4 + 𝑆6) Para Y” (enclavamiento) 𝑌1′′ = 𝑆2 ∗ (𝑆1 + 𝑌1′′) 𝑌2′′ = 𝑆4 ∗ (𝑆3 + 𝑌2′′) 𝑌3′′ = 𝑆4 ∗ (𝑆5 + 𝑌3′′) Para las salidas 𝑌1 = 𝑌1′ ∗ 𝑌1′′ 𝑌2 = 𝑌2′ ∗ 𝑌2′′ 𝑌3 = 𝑌3′ ∗ 𝑌3′′ b)

Y2

Y3

0 1 1 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1



Emplear enclavamientos



Empleando instrucciones Lacth y Unlacth



Crear una tabla de variables, direccionar y etiquetar adecuadamente a las entradas y salidas de acuerdo al esquema y lo solicitado.

Variables

Etiquetas

Direccionamiento

S. Tanque 1 lleno

S1

I:1/1

S. Tanque 2 lleno

S3

I:1/3

S. Tanque 3 lleno

S5

I:1/5

S. Tanque 1 vacío

S2

I:1/2

S. Tanque 2 vacío

S4

I:1/4

S. Tanque 3 vacío

S6

I:1/6

Válvula tanque 1

Y1

O:0/1

Válvula tanque 2

Y2

O:0/2

Válvula tanque 3

Y3

O:0/3

Problema 6: Elaborar una tabla de variables, empleando las etiquetas y direccionamientos adecuados.

a)

Variables

Etiquetas

Direccionamiento

Pulsador

P

I:1/0

Fin de carrera arriba

FCA

I:1/1

Fin de carrera abajo

FCB

I:1/3

Sensor de paso de vehiculo Motor barrera

SPV

I:1/2

MB

O:0/1

Bobina interna(ladder)

M

O:0/0

Realizar el modelamiento del automatismo.

b) Realizar la programación del PLC en lenguaje Ladder.

Problema 7: a)

b)

C)

Variables

Direccionamiento

A

I:1/0

DL

I:1/1

DV

I:1/4

SP1

I:1/2

SP2

I:1/3

V1

O:2/0

V2

O:2/3

V3

O:2/5

VA

O:2/1

VB

O:2/2

M

O:2/4

Problema 8: a) Realizar el grafo de estados del automatismo.

b) Elaborar una tabla de variables, empleando las etiquetas y direccionamientos adecuados. Variables Etiquetas Direccionamiento Sensor 1

S1

NA

Sensor 2

S2

NA

Motor Derecha

Md

N Apagado

Motor Izquierda

Mi

N Apagado

Temporizador

T4:1

Bobina “proceso”

Proceso

N Apagado

Luz Roja

R

N Apagado

Bobina “Motor Der”

Mdd

N Apagado

Bobina “Motor Izq”

Mii

N Apagado

Parada motor derecho

Stop

N Apagado

Parada motor izquierdo

Stop2

N Apagado

Inicio del proceso

start

N Apagado

---

c) Realizar la programación en Ladder del automatismo.