Control e Instrumentación (Msc. Luis Moncada Albitres).docx

AUTOMATIZACIÓN Y CONTROL DE PROCESOS ÍNDICE CAPITULO I CONCEPTOS Y DEFINICIONES BÁSICAS 1.1

Definiciones

1.2

Variables

1.3

Diseño al Estado Estacionario

1.4

Control de procesos

1.5

Niveles de control

1.6

El Estado no estacionario

1.7

Principios básicos de diseño de sistemas de control

CAPITULO II SISTEMAS DE CONTROL

2.1

Sistema de control retroalimentado “feedback”

2.2

Servosistemas

2.3

Sistemas de regulación automática

2.4

Sistemas de control de procesos

2.5

Sistema de control de lazo cerrado (“closed loop”)

2.6

Sistema de control de lazo abierto

2.7

Sistema de control de lazo cerrado versus de lazo abierto

2.8

Control combinado de lazo abierto y lazo cerrado

2.9

Sistemas de control adaptables

2.10 Sistemas de control con aprendizaje

2.11 Clasificación de sistemas de control

CAPITULO III CONTROL E INSTRUMENTACIÓN DE PROCESOS

3.1 Instrumentación y Control

3.2 Sensores

3.2. 1

Medidores de temperatura

3.2. 2

Medidores de presión

3.2. 3

Medidores de flujo

3.2. 4

Mediciones de nivel

3.2. 5

Medición de propiedades físicas

3.3 Transmisores

3.4 Válvulas de control

3.4. 1

Acción de la válvula

3.4. 2

Tamaño

3.4. 3

Características

3.5 Controladores

3.5. 1

Controladores Analógicos y Digitales

3.6 Dispositivos de computación y lógicos

3.7 Funcionamiento de controladores de retroalimentación

3.7. 1

Especificaciones de la respuesta de lazo cerrado

3.7. 2

Operación de carga

3.8 Objetivos de la instrumentación y control

3.9 Esquemas de control automático

3.9. 1

Reglas para confección de diagramas de I & C

3.9. 2

Nomenclatura

3.9. 3

Símbolos básicos de instrumentos

3.9. 4

Identificación de instrumentos

3.1 Sistemas típicos de control 0

3.10 Control de nivel .1

3.10 Control de presión .2

3.10 Control de flujo .3

3.10 Intercambiadores de calor .4

3.10 Control en cascada .5

3.10 Control proporcional .6

3.10 Control de columnas de destilación .7

3.10 Control de reactores .8

3.10 Alarmas y dispositivos de seguridad .9

CAPITULO IV LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

4. 1

Concepto de una transformada

4.1. Transformada de Laplace con UNTSIM 1

4.1. Consideraciones de la Transformada de Laplace 2

4. 2

Transformada de una derivada

4.2. Transformada de una derivada con UNTSIM 1

4. 3

Transformada de una integral

4. 4

Transformada inversa

4. 5

Propiedades de las transformadas

4.5. Teorema del valor inicial 1

4.5. Teorema del valor final 2

4.5. Teorema del retardo puro 3

CAPITULO V SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

5. 1

Inversión por fracciones parciales

5.1. Cuando contiene únicamente polos distintos 1

5.1. Cuando tiene polos múltiples 2

5.1. Descomposición en fracciones parciales con MATLAB 3

5.1. Descomposición en fracciones parciales con UNTSIM 4

5. 2

Uso de UNTSIM para invertir F(s) a f(t)

5. 3

Solución de ecuaciones lineales invariantes en el tiempo

Uso de UNTSIM para resolver EDO 5. 4 5. 5

Descomposición en fracciones parciales usando MATLAB

CAPITULO VI LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

6.1 Elementos de la función de transferencia

6.2 Modelamiento matemático de sistemas dinámicos

6.3 Sistemas lineales y no lineales

6.3.1 Sistemas lineales

6.3. Sistemas no lineales 2

6.4 Linealización

6.5 Variables de desviación

6.6 Función de transferencia de los elementos de un sistema de control

6.6. Función de transferencia del proceso 1

Intercambiador de calor

Sistema de nivel de liquido: Caso lineal

Sistema de nivel de liquido: Caso no lineal

Sistemas térmicos

Sistema de mezclado

Sistema de reacción

Uso de UNTSIM para obtener la función de transferencia

Tres reactores CSTR en serie

Dos tanques calentados

6.6. Función de transferencia del elemento de medida (sensor) 2

Función de transferencia de un termómetro de mercurio

6.6. Función de transferencia del Controlador 3

Control proporcional

Control de dos posiciones (encendido-apagado)

Control Proporcional - integral

Control proporcional – integral - derivativo

6.6. Función de transferencia del elemento final de control (válvula) 4

Válvulas de control

Actuadores de posición final

Posicionadores y elevadores de potencia

Válvulas alimentadoras de sólidos

Propulsores de velocidad variable

6.6. Función de transferencia de elementos de transporte 5

6.7 Polos y ceros de la Función de Transferencia

6.7. Ceros y polos de la función de transferencia con UNTSIM 1

6.8 Ganancias al estado estacionario

6.9 Función de transferencia de lazo abierto y función de transferencia directa

6.1 Función de transferencia de lazo cerrado 0

6.1 Sistemas sometidos a una perturbación de carga 1

6.1 Operación para análisis de sistemas de control 2

CAPITULO VII DIAGRAMAS DE BLOQUES

7.1

Bloques en serie

7.2

Bloques en paralelo

7.3

Bloques en retroalimentación

7.4

Bloques con cadenas cruzadas

7.5

Reducción del diagrama de bloques

7.6

Reducción del diagrama de bloques usando UNTSIM

CAPITULO VIII RESPUESTAS TRANSITORIAS

8.1

8.2

8.3

Funciones elementales de excitación

8.1. 1

Función escalón

8.1. 2

Impulso unidad

8.1. 3

Rampa unidad

8.1. 4

Función sinusoidal

Análisis temporal de los sistemas de primer orden

8.2. 1

Respuesta a escalón unidad

8.2. 2

Respuesta a impulso unidad

8.2. 3

Respuesta a entrada en rampa

8.2. 4

Propiedades de los sistemas lineales invariantes en el tiempo

Respuesta de sistemas de primer orden en serie

8.3. 1

Sistema no interactuante

8.3.

Generalización de varios sistemas no interactuantes

2

8.3. 3

Sistemas interactuantes

8.4

Definición de los parámetros de respuesta transitoria

8.5

Análisis teórico de la respuesta escalón Comentarios sobre los parámetros de respuesta transitoria

8.6

CAPITULO IX ANALISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE CONTROL

9.1

Estabilidad absoluta

9.1. 1

Criterio de raíces de la ecuación característica

9.1. 2

Criterio de Routh

Uso de UNTSIM para hacer el arreglo de Routh

9.2

Análisis de estabilidad relativa

CAPITULO X DISEÑO DE UN PID POR PRUEBA Y ERROR

10.1

Los tres términos del controlador

10.2

Características de los controladores PID

10.3

Caso de estudio

10.4

Respuesta escalón en lazo abierto

10.5

Respuesta escalón en lazo cerrado

10.6

Control proporcional

10.7

Control proporcional e integral

10.8

Control proporcional, integral y derivativo (lazo cerrado)

10.9

Consejos generales para el diseño de un controlador PID

10.1 0

Diseño de Sistemas de Control usando SIMULINK

10.1 1

10.10.1

Simulación de Sistemas de Lazo Abierto

10.10.2

Simulación de Sistemas de Lazo Cerrado

Control Optimo con UNTSIM

CAPITULO XI ANALISIS Y DISEÑO EN EL LUGAR DE LAS RAÍCES

11. Diagramas del lugar de las raíces 1

11.1. Diagramas del lugar de las raíces de sistemas de primer orden 1

11.1. Diagramas del lugar de las raíces de sistemas de segundo orden 2

11.1. Análisis del lugar de las raíces de sistemas de control con MATLAB 3

11. Respuesta de lazo cerrado 2

11. Diseño en Lugar de las Raíces con UNTSIM 3

CAPITULO XII ANÁLISIS Y DISEÑO DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA

12.1 Salida en estado estacionario a una entrada sinusoidal

12.2 Diagramas de Bode o diagramas logarítmicos

12.3 Margen de ganancia y margen de fase

12.3 Margen de ganancia (Gm) .1

12.3 Margen de fase (Pm) .2

12.3 Sistemas de fase mínima y sistemas de fase no mínima .3

12.3 Uso de los márgenes de fase y ganancia en el diseño .4

12.4 Relación entre la respuesta transitoria al escalón y la respuesta en frecuencia en el sistema estándar de segundo orden

12.5 Frecuencia de ancho de banda (Wbw)

12.6 Comportamiento de lazo cerrado

12.7 El Diagrama de Nyquist

12.7 Criterio de estabilidad de Nyquist .1

12.7 Margen de ganancia usando el diagrama de Nyquist .2

12.8 Uso de UNTSIM para el analisis en el dominio de la frecuencia

CAPITULO XIII ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO

13.1

Introducción

13.2

Obtención de ecuación de estado con UNTSIM

13.3

Representación en el espacio de estado, de sistemas de ecuaciones

diferenciales lineales de enésimo orden, con r entradas

13.4

Relación entre funciones de transferencia y variables de estado

13.5

Transformación de modelos usando MATLAB

13.6

13.5. 1

Funciones de transferencia a espacio de estado

13.5. 2

Espacio de estado a función de transferencia

Controlabilidad y observabilidad

13.6. 1

13.7

Controlabilidad y observabilidad con UNTSIM

Respuesta a escalón unitario del sistema en forma de espacio de estados

CAPITULO XIV VARIABLE DISCRETA Y LA TRANSFORMADA z

14.1

Introducción

14.1. 1

Tipos de señales

14.1. 2

Sistemas de control en tiempo continuo y en tiempo discreto

14.1.

Controladores digitales y analógicos

3

14.1. 4

Control digital de procesos

14.2

Señales en tiempo discreto

14.3

La transformada Z

14.4

Transformada z de funciones elementales

14.5

14.4. 1

Función impulso

14.4. 2

Función escalón unitario

Generación de funciones en tiempo discreto usando MATLAB

14.5. 1

Generación de la función de entrada delta de Kronecker

14.5. 2

Generación de la función de entrada en escalón

14.5. 3

Generación de la función de entrada en rampa

14.5. 4

Generación de la función de entrada de aceleración

14.5. 5

Generación de la función de entrada arbitraria

14.6

14.7

Teoremas del valor inicial y final

14.6. 1

Teorema del valor inicial

14.6. 2

Teorema del valor final

Inversión de la transformada z.

14.7. 1

Método de expansión en fracciones parciales

14.7. 2

Método de la división directa

14.7. 3

Método computacional

CAPITULO XV SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO

15.1

Muestreo mediante impulsos y retención de datos

15.1.1

Muestreo mediante impulsos

15.1.2

Retenedor de orden cero

15.1.3

Equivalencia del retenedor de orden cero

15.2

15.3

15.4

Conversión usando c2dm

15.2.1

Función de transferencia

15.2.2

Espacio de Estado

Funciones de transferencia de pulsos

15.3.1

Obtener G(z) a partir de G(s) usando MATLAB

15.3.2

Función de transferencia de pulsos de elementos en cascada

15.3.3

Función de transferencia de pulsos en lazo cerrado

15.3.4

Función de transferencia de un controlador digital

15.3.5

Función de transferencia pulso en lazo cerrado de un sistema de control digital

15.3.6

Función de transferencia pulso de un controlador PID digital

Respuestas transitorias

15.4.1

Función de transferencia

15.4.2

Espacio de estado

15.4.3

Respuesta a la entrada delta de Kronecker

15.4.4

Respuesta a una entrada escalón unitario

15.4.5

Respuesta a una entrada rampa unitaria

ANÁLISIS DE RESPUESTA TRANSITORIA EN ESTADO PERMANENTE 15.5

15.6

POLOS Y CEROS EN EL PLANO z

15.7

LOCALIZACIÓN DE LOS POLOS Y RESPUESTA TRANSITORIA PARA UN SISTEMA DISCRETO

15.8

15.7.1

Amortiguamiento pequeño (zeta = 0.795, Wn = 0.755)

15.7.2

Medium damping (zeta = 0.4, Wn = 11pi/20T)

15.7.3

Large damping (zeta = 0.8, Wn = pi/4T)

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS EN LAZO CERRADO EN EL PLANO z

15.8.1 Estabilidad y Respuesta transitoria

15.8.2 Lugar de las Raíces Discreta

15.9

Análisis en el espacio de estado

15.10 Representaciones en espacio de estado de sistemas en tiempo discreto

15.10. 1

Formas canónicas para ecuaciones en el espacio de estado en tiempo discreto

15.10. 2

Forma canónica controlable

15.10.

Forma canónica observable

3

15.11 Respuesta transitoria de sistemas en tiempo discreto definidos en el espacio de estado

APÉNDICE MANUAL DE FUNDAMENTOS DE MATLAB

Vectores

Funciones

Gráficos

Polinomios

Matrices

Lista de funciones de MATLAB

Material en la Web

CAPITULO CONCEPTOS Y DEFINICIONES BÁSICAS

1

El control automático ha jugado un papel vital en el avance de la ciencia y de la ingeniería, constituyéndose parte integral e importante de los procesos industriales y de manufactura modernos, resultando esencial en operaciones industriales como el control de presión, temperatura, humedad y viscosidad, y flujo en las industrias de transformación. Los procesos se controlan con mayor precisión para dar productos más uniformes y de más alta calidad, mediante la aplicación del control automático, lo cual con frecuencia representa mayores ganancias. El control automático también tiene grandes ventajas con ciertas operaciones remotas, peligrosas y rutinarias. Puesto que el beneficio del proceso es por lo común la ventaja más importante que se busca al aplicar el control automático, la calidad del control y su costo se deben comparar con los beneficios económicos y técnicos esperados del proceso. El primer trabajo significativo en control automático fue el regulador centrífugo de James Watt para el control de velocidad de una máquina de vapor, en el siglo dieciocho. En 1922 Minorsky uso las ecuaciones diferenciales que describen al sistema para demostrar la estabilidad del mismo. En 1932 Nyquist desarrolló un procedimiento para determinar la estabilidad de los sistemas de lazo cerrado sobre la base de la respuesta de lazo abierto con excitación sinusoidal en régimen permanente. En 1934 Hazen introdujo el término de servomecanismos y desarrolló el diseño de los mismos. Durante la década de los cuarenta, los métodos de respuesta en frecuencia posibilitaron el diseño de sistemas lineales de control de lazo cerrado. De fines de los cuarenta a principios de los cincuenta, Evans desarrolló por completo el método del lugar de las raíces. Los métodos de respuesta de frecuencia y del lugar de las raíces, que son el corazón de la Teoría Clásica de Control, llevan a sistemas que son estables y que satisfacen un conjunto de requerimientos de funcionamiento mas o menos arbitrarios. Tales sistemas son, en general, aceptables pero no óptimos. Desde fines de los cincuenta, el énfasis en problemas de diseño de sistemas de control se desplazó al diseño de un sistema óptimo. Como las plantas modernas con muchas entradas y salidas, se van haciendo más y más complejas, la descripción de un sistema moderno de control requiere una gran cantidad de ecuaciones. La teoría de control clásica, que trata de sistemas con una entrada y una salida, se vuelve absolutamente impotente ante sistemas de múltiples entradas y

salidas. Hacia 1960, gracias a la disponibilidad de las computadoras digitales, se hizo posible el análisis de sistemas complejos en el dominio del tiempo; desde entonces se ha desarrollado la Teoría de Control Moderna, basada en el análisis y síntesis en el dominio del tiempo, utilizando variables de estado, con lo que se posibilita afrontar la complejidad creciente de las plantas modernas y los estrictos requisitos de exactitud, peso y costo. Los desarrollos más recientes en la teoría de control moderna están en el campo del control óptimo de sistemas, tanto determinísticos como estocásticos, así como en sistemas de control complejos con adaptación y aprendizaje. Las aplicaciones más recientes de la teoría de control moderna incluyen sistemas no ingenie riles como los de biología, biomedicina, economía y socioeconomía. 1.1 DEFINICIONES Planta. Una planta es un equipo, quizá simplemente un juego de piezas de una máquina, funcionando conjuntamente, cuyo objetivo es realizar una operación determinada. En este libro llamaremos planta a cualquier objeto físico que deba controlarse (como un horno de calentamiento, un reactor químico o columna de destilación) Proceso. El diccionario Merrian-Webster define proceso como una operación o desarrollo natural, caracterizado por una serie de cambios graduales, progresivamente continuos, que se suceden uno a otro de un modo relativamente fijo, y que tienden a un determinado resultado o final; o a una operación voluntaria o artificial progresivamente continua, que consiste en una serie de acciones controladas o movimientos dirigidos sistemáticamente hacia determinado resultado o fin. En este libro se denomina proceso a cualquier operación que deba controlarse. Ejemplos de ellos son los procesos químicos, económicos y biológicos. Sistemas. Es la combinación de componentes que actúan conjuntamente y cumple determinado objetivo. Un sistema no está limitado a objetivos físicos. El concepto de sistema puede aplicarse a fenómenos dinámicos abstractos, como los que se encuentran en economía. Por tanto, el término sistema hay que interpretarlo como referido a sistemas físicos, biológicos, económicos y otros. El sistema de procesos químicos. Es un conjunto de procesos físicos y químicos ínter relacionados y medios físicos qué que lo implementan. Todo sistema de proceso tiene entradas y salidas. Entradas puede ser materia prima, temperatura, concentración etc. Un sistema está sujeto usualmente a señales o perturbaciones que para compensarlas se hace uso de correcciones o acciones de control. En este

libro se denominará a un sistema de procesos químicos como sistema de procesos o simplemente como proceso. Para visualizar un sistema de proceso simple vamos a considerar el siguiente proceso de calentamiento: Se dispone de una corriente de liquido a razón de W (kg/h) y una temperatura Ti (oK). Se desea calentar esta corriente hasta una temperatura TR (oK) según el sistema de calentamiento mostrado en la Fig. 1.1. El fluido ingresa a un tanque bien agitado el cual esta equipado con un serpentín de calentamiento mediante vapor. Se asume que la agitación es suficiente para conseguir que todo el fluido en el tanque esté a la misma temperatura T. El fluido calentado es removido por el fondo del tanque a razón de W (kg/h) como producto de este proceso de calentamiento. Bajo estas condiciones la masa de fluido retenido en el tanque permanece constante en el tiempo y la temperatura del efluente es la misma que del fluido en el tanque. Por un diseño satisfactorio esta temperatura debe ser TR. El calor específico del fluido es Cp, se asume que permanece constante, independiente de la temperatura

Fig. 1.1 Proceso de Calentamiento de un Líquido

1.2 VARIABLES Las variables de entrada y salida del proceso son de diferentes tipos:

Fig. 1.2 Variables y Perturbaciones Variable controlada. Es la cantidad o condición que se mide y controla. Normalmente la variable controlada es la salida del sistema y cambia con el progreso del proceso. Por Ejemplo: -

La Temperatura de salida de la corriente de proceso en el calentador de la Fig. 1.1 La Composición de salida en un sistema de reacción.

Variable manipulada. Es la cantidad o condición modificada por el controlador a fin de afectar la variable controlada. Estas afectan el curso del proceso y pueden ser medidas y cambiadas a voluntad. Por Ejemplo: -

El caudal de vapor en el calentador de la Fig. 1.1.

-

La Composición de entrada en un sistema de reacción.

Perturbaciones. Es una señal que tiende a afectar adversamente el valor de la salida del sistema. Estas afectan directamente el curso del proceso pero no pueden ser cambiadas a voluntad. Por Ejemplo: -

Cambio repentino en el caudal de entrada en un reacción.

sistema de

Las perturbaciones pueden ser: -

Perturbaciones Internas: Cuando se generan dentro del sistema Perturbaciones Externas: Cuando se generan fuera del sistema y constituye una entrada.

Variables intermedias. Son variables relacionadas con el curso del proceso solo indirectamente. Por Ejemplo, la temperatura del vapor

en el tanque de calentamiento o la temperatura del agua de enfriamiento en un sistema de reacción. Parámetros. Son las variables que toman un valor fijo durante el proceso. Por Ejemplo, la presión de operación en un reactor. Control. Significa medir el valor de la variable controlada del sistema y aplicar al sistema la variable manipulada para corregir o limitar la desviación del valor medido, respecto al valor deseado

1.3

DISEÑO AL ESTADO ESTACIONARIO (E. E.)

Un proceso es denominado al estado estacionario (estático) cuando ninguna de sus variables están cambiando con el tiempo. Al estado estacionario deseado, puede escribirse un balance de energía para el proceso de calentamiento: qs = W Cp (Ts – Tis)

(1.1)

donde qs es calor entrando al tanque y el subíndice s es adicionado para indicar valor de diseño al E. E.. Por un diseño satisfactorio, la temperatura al E. E. de la corriente de salida Ts debe ser igual a TR (temperatura de referencia). De aquí: qs = W Cp (TR – Tis)

(1.2)

Sin embargo, es evidente que, si el calentador es ajustado para entregar una carga de calor constante qs, al cambiar las condiciones del proceso, la temperatura en el tanque también cambiará de TR. Una condición típica del proceso que puede cambiar es la temperatura de entrada Ti. Una solución obvia al problema es diseñar el controlador de tal manera que la entrada de calor sea variada para mantener la temperatura T igual o cerca de TR.

Ejemplo. Considerando el tanque de calentamiento mostrado en la Fig. 1.1, en el cual se desea calentar agua, desde una temperatura de entrada de Tis = 25 oC, podemos encontrar la cantidad de calor necesario para dos situaciones:

a)

Si mantenemos constante el flujo de entrada de agua por decir 1 m3/h (1000 kg/h) y deseamos determinar la cantidad de calor para calentarlo a diferentes temperaturas (por ejemplo entre 25 y 50 oC)

Haciendo un programa Matlab podemos tener el calor necesario para diferentes temperaturas: t=25:5:50; Q=1000*1.0*(t-25); disp('Temperatura de salida Calor') disp([t',Q'])

Al ejecutar el programa tenemos el calor necesario para diferentes temperaturas de salida manteniendo constante la masa de entrada: Temperatura 25 30 35 40 45 50

b)

de salida Calor 0 5000 10000 15000 20000 25000

Si fijamos la temperatura de salida por decir 40 oC y deseamos determinar la cantidad de calor necesario para diferentes caudales de entrada entre 800 y 1200 kg/h. Modificamos el programa anterior para variar la masa de agua: m=800:20:1200; Q=m*1.0*(40-25); disp(' Masa Calor') disp([m',Q'])

Al ejecutar el programa tenemos el calor necesario para diferentes cantidades de masa y manteniendo constante la temperatura de salida: Masa 800 820 840 860 880 900 920 940

Calor 12000 12300 12600 12900 13200 13500 13800 14100

960 980 1000 1020 1040 1060 1080 1100 1120 1140 1160 1180 1200

1.4

14400 14700 15000 15300 15600 15900 16200 16500 16800 17100 17400 17700 18000

CONTROL DE PROCESOS

Para el caso b) del ejemplo anterior la variable controlada será la temperatura de salida la cual se ha fijado en 40 oC, así, si el flujo de entrada de agua fuese 1000 kg/h, se debe agregar qs a razón de 15000 kcal/h., asumiendo que el flujo de entrada de agua en algún momento, no sea constante, es necesario decidir que tanto debe ser cambiado el calor de entrada q desde qs para corregir cualquier desviación de T desde TR. Una solución podría ser colocar un operario del proceso, quien deberá ser responsable de controlar el proceso de calentamiento. El operario deberá observar la temperatura en el tanque, presumiblemente con un elemento de medida tal como una termocupla, un termómetro o un sensor y comparar esta temperatura con TR, él deberá aumentar la entrada de calor y viceversa. A medida que él sea experimentado en esta tarea, sabrá cuanto cambiar q para cada situación. Sin embargo, esta tarea relativamente simple puede ser fácilmente y a menor costo ejecutada por una máquina. El uso de máquinas para este y similares propósitos es conocido como control automático de procesos.

1.5 NIVELES DE CONTROL Control manual. Cuando el trabajo de regular alguna variable con el fin de compensar alguna alteración en el proceso es ejecutada manualmente (por un operario), basado en mediciones previas de la variable controlada y en la experiencia. Control automático simple. Cuando el trabajo anterior es ejecutado por una máquina, obedeciendo indicaciones dadas de antemano según el tipo de proceso a controlar y el modo de acción de la máquina (controlador) Este modo de control es ejecutado en forma individual para cada sistema de proceso.

Control automático por computadora. Es la forma moderna de control de procesos, es un control integral (de todo el proceso) mediante una sola máquina (computadora digital), la cual analiza las señales dadas por los puntos de medición y emite las señales respectivas hacia los elementos que regulan las variables.

1.6

EL ESTADO NO ESTACIONARIO (E. N. E.)

Para el ejemplo del tanque de la Fig 1.1, asumiendo que el caudal de entrada no permanece constante, es lógico pensar que manteniendo constante la cantidad de calor para el calentamiento, la temperatura de salida no será constante, sino que variará de acuerdo como cambie la cantidad de alimentación. Esta relación está dada por la ecuación: T = Tis + qs/W Cp

(1.3)

Si el caudal de entrada W aumenta, la temperatura de salida T disminuye y si W disminuye T aumenta. En un proceso real esta variación en el caudal se puede deber a problemas en una etapa anterior al tanque o del sistema de bombeo. Este cambio que altera el curso normal del proceso se denomina perturbación. Las perturbaciones pueden deberse también a situaciones que no están dentro del proceso como por ejemplo en este caso la temperatura del medio ambiente la cual influirá en la pérdida de calor a los alrededores si el sistema no está debidamente aislado con el consiguiente cambio en la temperatura de salida. Si la temperatura o cualquier otra variable del proceso cambia, se tiene el estado no estacionario, por lo que es necesario hacer las correcciones respectivas para volver al estado estacionario. Si una máquina está siendo usada para controlar el proceso, es necesario decidir en adelante precisamente que cambios deberán hacerse en la entrada de calor q para cada situación posible que pueda ocurrir. Nosotros no podemos contar con el juicio de la máquina tanto como del operario. Las máquinas no piensan; ellas simplemente ejecutan una tarea predeterminada de una manera también predeterminada. Para tener la capacidad de hacer las decisiones de control con anticipación (y alimentar los datos a la máquina) es necesario conocer como cambia la temperatura en el tanque en respuesta a cambios en Ti y q. Para esto es necesario escribir el balance de energía al estado no estacionario o transitorio (dinámico). Los términos entrada y salida en este balance son los mismos que los usados en el balance al estado

estacionario, Ec. (1.1), en adición aquí hay una acumulación transitoria de energía en el tanque, la cual puede escribirse: dT Acumulación

=

r

VCp

--------

energía/tiempo

dt donde r = densidad del fluido V = volumen del fluido en el tanque t = variable independiente, tiempo Con lo cual la ecuación de balance de energía será: dT r VCp ------- = dt

W Cp Ti – W Cp T + q

(1.4)

Asumiendo que los flujos de entrada y salida son iguales y constantes, así como el término r V, el cual es la masa del fluido en el tanque (W), también constante, Se tiene : r VCp ------- = dt

W Cp (Ti – T )+ q

dT (1.5)

La Ec. (1.1) es la solución al estado estacionario de la Ec. (1.5), obtenida para el tiempo cero.

1.7 PRINCIPIOS BÁSICOS DE DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL Requisitos generales de sistemas de control. Todo sistema de control debe ser estable. Este es un requisito básico, además de estabilidad absoluta, un sistema de control debe tener una estabilidad relativa razonable; es decir, la respuesta debe mostrar un amortiguamiento razonable. Asimismo, la velocidad de respuesta debe ser razonablemente rápida, y el sistema de control debe ser capaz de reducir los errores a cero, o a un valor pequeño tolerable. Cualquier sistema de control, para ser útil, debe satisfacer estos requisitos. El requisito de estabilidad relativa razonable y el de la precisión de estado estacionario tienden a ser incompatibles, por lo tanto, al diseñar sistemas de control resulta necesario efectuar el mejor compromiso entre estos dos requerimientos.

Teoría de control moderno versus teoría de control clásico. La teoría de control clásica utiliza extensamente el concepto de función de transferencia (o transmitancia). Se realiza el análisis y el diseño en el dominio de s (Laplace) y/o en el dominio de la frecuencia. La teoría de control moderna que esta basada en el concepto del espacio de estado, utiliza extensamente el análisis vectorial-matricial. El análisis y el diseño se realizan en el dominio del tiempo. La teoría de control clásica brinda generalmente buenos resultados para sistemas de control de una entrada y una salida. Sin embargo, la teoría clásica no puede manejar los sistemas de control de múltiples entradas y múltiples salidas. En este libro se presentan en su primera parte los métodos de control clásicos, frecuentemente denominados métodos de control convencional y en una segunda parte los métodos de control moderno. Nótese que los procedimientos clásicos o convencionales, ponen énfasis en la comprensión física y utilizan menos matemática que los métodos de control modernos. En consecuencia los métodos de control clásicos o convencionales son más fáciles de entender Modelado matemático. Los componentes que abarcan los sistemas de control son muy diversos. Pueden ser electromecánicos, hidráulicos, neumáticos, electrónicos, etc. En ingeniería de control, en lugar de operar con dispositivos o componentes físicos, se les reemplaza por sus modelos matemáticos. Obtener un modelo matemático razonablemente exacto de un componente físico, es uno de los problemas más importantes en ingeniería de control. Nótese que para ser útil, un modelo matemático no debe ser ni muy complicado ni excesivamente simple. Un modelo matemático debe representar los aspectos esenciales de un componente físico. Las predicciones sobre el comportamiento de un sistema, basadas en el modelo matemático, deben ser bastante precisas. Nótese también que sistemas al parecer diferentes, pueden representarse por el mismo modelo matemático. El uso de tales modelos matemáticos permite a los ingenieros de control desarrollar una teoría de control unificada. En ingeniería de control, se usan ecuaciones diferenciales lineales, invariantes en el tiempo, funciones de transferencia y ecuaciones de estado, para modelos matemáticos de sistemas lineales, invariantes en el tiempo y de tiempo continuo. Para mayor información consultar el texto sobre Modelamiento y Simulación de Procesos del mismo autor. Aunque las relaciones entrada-salida de muchos componentes son no-lineales, normalmente esas relaciones se linealizan en la vecindad de los puntos de operación, limitando el rango de las variables a valores

pequeños. Obviamente, tales modelos lineales son mucho más fáciles de manejar tanto ana líticamente como por computadora. Análisis y diseño de sistemas de control. Al llegar a este punto, es deseable definir que significan los términos análisis, diseño, análisis de respuesta transitoria, y otros. Por análisis de un sistema de control se entiende la investigación, bajo condiciones especificadas, del comportamiento de un sistema cuyo modelo matemático se conoce. Como cualquier sistema consta de componentes, el análisis debe comenzar con una descripción matemática de cada componente. Una vez que se ha elaborado un modelo matemático del sistema completo, la forma en que el análisis se lleva a cabo es independiente de si el sistema físico es neumático, eléctrico, mecánico, etc. Por análisis de respuesta transitoria se entiende generalmente la determinación de la respuesta de una planta a señales y perturbaciones de entrada. Por análisis de respuesta en estado estacionario significa la determinación de la respuesta tras la desaparición de la respuesta transitoria. Por diseño de un sistema, se entiende hallar uno que cumpla una tarea dada, si las características de respuesta dinámica y/o de estado estacionario no son satisfactorias, se debe agregar un compensador al sistema. Por síntesis se entiende encontrar, mediante un procedimiento directo, un sistema de control que se comporte de un modo específico. Generalmente, tal procedimiento es totalmente matemático de principio a fin del proceso de diseño. Se dispone de procedimientos de síntesis para el caso de sistemas lineales y para sistemas lineales de control óptimo. En años recientes, las computadoras digitales han jugado un importante papel en el análisis, diseño y operación de sistemas de control. La computadora puede utilizarse para efectuar los cálculos necesarios, para simular los componentes de un sistema o una planta, o para controlar un sistema. El control por computadora ha llegado a ser de uso común, y muchos sistemas de control industrial utilizan controladores digitales. Método básico de diseño de control. El método básico de diseño de cualquier sistema de control práctico, entraña la obligada aplicación de procedimientos de tanteo. La síntesis de sistemas de control lineales es teóricamente posible, y el ingeniero de control puede determinar sistemáticamente los componentes necesarios para realizar el objetivo propuesto. En la práctica sin embargo, el sistema puede estar

expuesto a muchas restricciones, o no ser lineal, y en tales casos no se cuenta actualmente con métodos de síntesis. Acaso, además, las características de los componentes no se conozcan con precisión. Por tanto, siempre resultará necesario seguir procedimientos de tanteo. No obstante en la práctica a menudo se enfrentan situaciones en las que un proceso no es alterable (esto es, no se tiene la libertad de modificar la dinámica del proceso), y el ingeniero de control tiene que diseñar el resto del sistema, de modo que el conjunto cumpla con las normas previstas en tanto se lleva a cabo la tarea propuesta. Las especificaciones pueden incluir factores tales como la velocidad de respuesta, amortiguamiento razonable, exactitud en estado estacionario, confiabilidad y costo. En algunos casos los requerimientos o especificaciones pueden darse explícitamente, y en otros no. Todos los requerimientos o especificaciones deben interpretarse en términos matemáticos. En el diseño convencional, se debe estar seguro de que el sistema de lazo cerrado sea estable, y que presente características de respuesta transitoria aceptables (esto es velocidad y amortiguamiento razonables), y exactitud aceptable en estado estacionario. Es importante recordar que algunas de las especificaciones quizás no sean realistas. En tal caso, las especificaciones deben revisarse en las primeras etapas del diseño. Asimismo las especificaciones dadas, acaso incluyan condiciones contradictorias o conflictivas. Entonces el diseñador debe resolver en forma satisfactoria los conflictos entre los muchos requerimientos dados. El diseño basado en teoría de control moderna, requiere que el diseñador tenga un índice de comportamiento o desempeño razonable, que lo guíe en el diseño de un sistema de control. Un índice de comportamiento es una medida cuantitativa del comportamiento, que indica la desviación con respecto al comportamiento ideal. La selección de un índice de comportamiento particular se determina por objetivos del sistema de control. El índice de comportamiento puede ser la integral de una función de error que debe minimizarse. Estos índices de comportamiento, basados en la minimización de la integral del error, pueden usarse tanto en los procedimientos de control moderno, como en los de control convencional. Sin embargo, en general la minimización de un índice de comportamiento se puede lograr mucho más fácilmente usando procedimientos de control modernos. La especificación de la señal de control durante el intervalo de tiempo operativo, recibe el nombre de ley de control. Matemáticamente,

el problema básico de control es determinar la ley de control óptimo, sujeta a diversas restricciones de ingeniería y de economía, que minimice (o maximice, según el caso) un índice de comportamiento o desempeño determinado. Para el caso de sistemas relativamente simples, se puede hallar la ley de control en forma analítica. En el caso de sistemas complejos, puede requerirse una computadora digital que opere en línea para generar la ley de control óptimo. Para sistemas de control industrial, el índice de comportamiento puede ser el costo mínimo, la confiabilidad máxima, etc. Es importante puntualizar que la elección del índice de comportamiento es sumamente importante, ya que la naturaleza de control óptimo diseñado depende del índice de comportamiento particular que se elige. Hay que seleccionar el índice de comportamiento más adecuado para cada situación.

CAPITULO 2 SISTEMAS DE CONTROL

Todo proceso industrial es controlado básicamente por tres tipos de elementos el transmisor (medidor o sensor) (TT), el controlador (TIC o TRC) y la válvula o elemento final de control, según puede verse en la Fig. 2.1. La Fig. 2.1 corresponde al típico intercambiador de calor, en el que un fluido de calefacción (vapor) calienta un producto de entrada hasta una temperatura de salida que es transmitida por TT y controlada e indicada por TIC (o controlada y registrada por TRC) a través de una válvula de control V. Esta deja pasar el vapor de calefacción suficiente para mantener la temperatura del fluido caliente en un valor deseado o punto de consigna que es prefijado (valor de referencia o “set point”) en el controlador TIC o TRC. La combinación de los componentes transmisor-controlador-válvula de control-proceso, que actúan conjuntamente, recibe el nombre de sistema y cumple el objetivo de mantener una temperatura constante en el fluido caliente de salida del intercambiador. Cada uno de los componentes anteriores considerados aisladamente es también un sistema, puesto que cada uno cumple un objetivo determinado. Por ejemplo, el transmisor convierte los valores de la temperatura a señales neumáticas o electrónicas; el controlador mantiene la señal de entrada constante para cada punto de consigna o valor deseado fijado por el operador, mediante la variación de la señal de salida a la válvula de control; la válvula de control convierte la señal de entrada neumática o electrónica a posición de su vástago y, por tanto, gobierna el caudal de vapor con que alimenta el serpentín del intercambiador de calor; el proceso cumple el objetivo de calentar el fluido de salida, mediante el vapor de entrada, y lo hace a través de un serpentín, del que se elimina continuamente el condensado con un purgador. Nótese que en cada uno de los sistemas anteriores se ha considerado una entrada y una salida; por ejemplo, en el caso de la válvula de control, la entrada es la señal procedente del controlador y la salida es el caudal de vapor al serpentín; y en el caso del proceso, la entrada es el caudal de vapor que pasa a través de la válvula y la salida es la temperatura del fluido caliente. a) Control neumático

b) Control electrónico

Fig. 2.1 Proceso industrial típico

Estos sistemas se representan mediante un rectángulo llamado bloque, la variable o variables de entrada constituidas por flechas que entran en el rectángulo, y la variable o variables de salida representadas por flechas que salen del rectángulo. De este modo, el sistema de la Fig. 2.1 quedaría representado según se ve en la Fig. 2.2 denominado diagrama de bloques.

Fig. 2.2 Diagrama de bloques de un proceso industrial típico La señal (perturbaciones) en el bloque del proceso se refiere a las variables que –aparte del caudal de vapor de agua– pueden afectar el proceso; por ejemplo, el mal funcionamiento del purgador de vapor, las variaciones de caudal o de temperatura del fluido de entrada, los cambios de temperatura exteriores al intercambiador, el posible recubrimiento, con el tiempo, de la pared del serpentín que está en contacto con el fluido, con la consiguiente alteración en la transmisión del calor de condensación del vapor, las variaciones de presión del vapor producidas por el consumo variable de vapor en los sistemas próximos al considerado, o por otras causas, etc. El sistema de control anterior pertenece a los denominados servosistemas. En su significado más amplio, el servosistema corresponde a un sistema de mando y control automático de aparatos basado en la anulación de las desviaciones que existan entre el valor instantáneo de la magnitud a regular y el valor prescrito para la misma. Un caso particular de los servosistemas son los controladores o reguladores; en ellos la respuesta o señal de salida tiende fundamentalmente a contrarrestar las perturbaciones que afectan a la variable o magnitud de entrada. Este es el caso del TIC o TRC de la Fig. 2.1. En estos aparatos, la magnitud de entrada se fija en un valor constante (que es el valor de referencia o punto de consigna del controlador) o en un valor variable con el tiempo según una ley programada (se trata entonces de controladores programadores). Otro caso particular son los servomecanismos.

2.1 SISTEMA DE CONTROL RETROALIMENTADO (“FEEDBACK”) Como se ha visto anteriormente, el control retroalimentado es una operación que, en presencia de perturbaciones, tiende a reducir la diferencia

entre la salida de un sistema y alguna entrada de referencia, realizándolo sobre la base de esta diferencia. Aquí sólo se especifican las perturbaciones no previsibles, ya que las previsibles o conocidas siempre pueden compensarse dentro del sistema. Se denomina sistema de control retroalimentado a aquel que tiende a mantener una relación preestablecida entre la salida y alguna entrada de referencia, comparándolas y utilizando la diferencia como medio de control. Por ejemplo el control de temperatura del tanque mezclador de la Fig. (1.1). Midiendo la temperatura de salida del tanque y comparándola con la temperatura de referencia (temperatura deseada), la válvula de entrada de vapor regula el flujo de éste aumentando o disminuyendo para mantener la temperatura de la corriente de salida en el valor deseado.

2.2 SERVOSISTEMAS El servosistema (o servomecanismo) es un sistema de control retroalimentado en el que la salida es algún elemento mecánico, sea posición, velocidad o aceleración. Por tanto, los términos servosistema o sistema de control de posición, o de velocidad o de aceleración, son sinónimos. Estos servosistemas se utilizan ampliamente en la industria moderna. Por ejemplo con el uso de servosistemas e instrucción programada se puede lograr la operación totalmente automática de máquinas herramientas. Nótese que a veces se denomina también servosistema a un sistema de control cuya salida debe seguir con exactitud una trayectoria determinada en el espacio (como la posición de una aeronave en el espacio en un aterrizaje automático). Los ejemplos incluyen el sistema de control de una mano de robot, en que la misma debe seguir una trayectoria determinada en el espacio al igual que una aeronave en el sistema de control de aterrizaje.

2.3 SISTEMA DE REGULACIÓN AUTOMÁTICA Un sistema de regulación automática es un sistema de control en el que la entrada de referencia o salida deseada son, o bien constantes o bien varían lentamente con el tiempo, y donde la tarea fundamental consiste en mantener la salida en el valor deseado a pesar de las perturbaciones presentes. Por ejemplo los controles automáticos de presión y temperatura en un proceso químico.

2.4

SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESOS

A un sistema de regulación automática en el que la salida es una variable como temperatura, presión, flujo, nivel de liquido o pH, se le denomina sistema de control de proceso. El control de procesos tiene amplia aplicación en la industria. En estos sistemas con frecuencia se usan controles programados,

como el de la temperatura de un horno de calentamiento en que la temperatura del mismo se controla según un programa preestablecido. Por ejemplo el programa preestablecido puede consistir en elevar la temperatura a determinado valor durante un intervalo de tiempo definido, y luego reducir a otra temperatura prefijada también durante un periodo predeterminado. En este control el punto de referencia se ajusta según el cronograma preestablecido. El controlador entonces funciona manteniendo la temperatura del horno cercana al punto de ajuste variable.

Fig. 2.3 Sistema de control de temperatura En la Fig. 2.3, se puede apreciar el esquema para el control mediante una computadora de la temperatura en un horno eléctrico. La Temperatura en el interior del horno se mide con una Termocupla (Bimetálico), que es un dispositivo analógico. La Temperatura se convierte a un valor de temperatura digital, por un convertidor A/D y con esta se alimenta a un controlador a través de una interfaz con la finalidad de pasar la señal de voltaje a lenguaje de computadora (Código Binario). La Temperatura digital se compara con la temperatura de referencia es decir la temperatura de entrada programada; y ante cualquier discrepancia (Error), el controlador envía una señal al Calefactor, a través de un amplificador, y relevador, para llevar la temperatura del horno eléctrico al valor deseado, y obtener de esta manera una operación satisfactoria. El empleo de un amplificador es para aumentar la potencia puesto que generalmente los procesos se realizan en pequeñas voltajes, bajas potencias.

El relevador o interruptor recibe señal de la computadora si se enciende o se apaga; se apaga el relevador cuando obtenemos la

temperatura deseada y permanece encendido mientras no se llegue al valor.

2.5 SISTEMA DE CONTROL DE LAZO CERRADO: (“CLOSED LOOP”) Con frecuencia se llama así a los sistemas de control retroalimentado. En la práctica, se utiliza indistintamente la denominación control retroalimentado (“feedback”) o control de lazo cerrado (“closed loop”). La señal de error actuante, que es la diferencia entre la señal de entrada y la de retroalimentación (que puede ser la señal de salida o una función de la señal de salida y sus derivadas), entra al controlador para reducir el error y llevar la salida a un valor deseado. Esta retroalimentación se logra a través de la acción de un operador (control manual) o por medio de instrumentos (control automático). En el caso de control manual, para el ejemplo mostrado en la Fig. (1.1) el operador mide previamente la temperatura de salida; si esta es por ejemplo, inferior al valor deseado, aumenta la circulación de vapor abriendo levemente la válvula. Cuando se trata de control automático, se emplea un dispositivo sensible a la temperatura para producir una señal (eléctrica o neumática) proporcional a la temperatura medida. Esta señal se alimenta a un controlador que la compara con un valor deseado preestablecido o punto de ajuste (“set point”). Si existe una diferencia, el controlador cambia la abertura de la válvula de control de vapor para corregir la temperatura como se indica en la Fig. 2.4.

Fig. 2.4 Sistema de control de lazo cerrado

El término lazo cerrado implica el uso de la acción de control retroalimentado para reducir el error del sistema.

Fig. 2.5 Diagrama de bloques del sistema de control de lazo cerrado

2.6

SISTEMA DE CONTROL DE LAZO ABIERTO ("OPEN

LOOP") Los sistemas en los que la salida no tiene efecto sobre la acción de control, se denominan sistemas de control de lazo abierto (“open loop”). En otras palabras, en un sistema de control de lazo abierto la salida ni se mide ni se retroalimenta para compararla con la entrada. Un ejemplo práctico lo constituye una lavadora de ropa domestica. El remojo, lavado y enjuague en la lavadora se cumplen por tiempos. La máquina no mide la señal de salida, es decir, la limpieza de la ropa.

Fig. 2.6

Sistema de control de lazo abierto

En cualquier sistema de control de lazo abierto, no se compara la salida con la entrada de referencia. Por tanto, para cada entrada de referencia corresponde una condición de operación fija. Así, la precisión del sistema depende de la calibración. En presencia de perturbaciones, un sistema de control de lazo abierto solo se puede utilizar si la relación entre la entrada y la salida es conocida; y si no se presentan perturbaciones tanto internas como externas. Desde luego, tales sistemas no son sistemas de control retroalimentado, denominándose frecuentemente sistema de control de alimentación directa (“feed foward”). Nótese que cualquier sistema de control que funciona sobre la base de tiempos es un sistema de lazo abierto.

Fig. 2.7 Diagrama de bloques del sistema de control de lazo abierto El control de alimentación directa se esta utilizando de una manera muy generalizada; sobre todo en el control por computadora. Los cambios en las variables de entrada al proceso se miden y compensan sin esperar a que un

cambio en la variable controlada indique que ha ocurrido una alteración en las variables. El control de alimentación directa es muy útil también en casos en que la variable controlada final no se puede medir. En el ejemplo ilustrado en la Fig. 2.6, el controlador de alimentación directa tiene la capacidad de computar y utilizar el gasto medido de liquido de entrada y su temperatura, para calcular el gasto de vapor necesario para mantener la temperatura deseada en el liquido de salida.

2.7 SISTEMA DE CONTROL DE LAZO CERRADO VERSUS DE LAZO ABIERTO Una ventaja del sistema de control de lazo cerrado es que el uso de la retroalimentación hace que la respuesta del sistema sea relativamente insensible a perturbaciones externas y a variaciones internas de parámetros del sistema. De este modo, es posible utilizar componentes relativamente imprecisos y económicos, y lograr la exactitud de control requerida en determinada planta, cosa que sería imposible en un control de lazo abierto. Desde el punto de vista de la estabilidad, en el sistema de control de lazo abierto la estabilidad es más fácil de lograr puesto que no constituye un problema importante. En cambio en los sistemas de lazo cerrado, la estabilidad si es un problema importante, por su tendencia a sobrecorregir errores que pueden producir oscilaciones de amplitud constante o variable. Hay que puntualizar que para sistemas cuyas entradas son conocidas previamente y en los que no hay la presencia de perturbaciones, es recomendable utilizar el control de lazo abierto. Los sistemas de control de lazo cerrado tienen ventajas solamente si se presentan perturbaciones no previsibles o variaciones de componentes del sistema. Nótese que la potencia de salida determina parcialmente el costo, peso y tamaño de un sistema de control. La cantidad de componentes utilizados en un sistema de control de lazo cerrado es mayor a la correspondiente a un sistema de control de lazo abierto. Así, entonces, un sistema de control de lazo cerrado es generalmente de mayor costo y potencia. Para reducir la potencia requerida por un sistema, es conveniente usar sistema de lazo abierto. Por lo común resulta menos costosa una combinación adecuada de controles de retroalimentación y alimentación directa, lográndose un comportamiento general satisfactorio.

2.8 CONTROL COMBINADO DE LAZO ABIERTO Y LAZO CERRADO

La respuesta que emite el controlador hacia la válvula de control es el resultado de solucionar una ecuación que relaciona las variables controlada y regulada, y se designa generalmente como el modelo de proceso. Es muy raro encontrar modelos y controladores perfectos, de manera que es más conveniente utilizar una combinación de control de retroalimentación y alimentación directa como muestra la Fig. 2.8. La configuración de un controlador que proporciona el punto de ajuste para otro controlador se conoce como control en cascada.

Fig. 2.8 directa.

Control combinado con retroalimentación y alimentación

2.9 SISTEMAS DE CONTROL ADAPTABLES Las características dinámicas de la mayoría de los sistemas de control no son constantes por diversas razones, como el deterioro de los componentes al paso del tiempo, o las modificaciones en los parámetros o en el medio ambiente. Aunque en un sistema de control retroalimentado se atenúan los efectos de pequeños cambios en las características dinámicas, si las modificaciones en los parámetros del sistema y el medio son significativas, un sistema, para ser satisfactorio ha de tener capacidad de adaptación. Adaptación implica la capacidad de autoajustarse o automodificarse de acuerdo con las modificaciones imprevisibles del medio o estructura. Los sistemas de control que tienen

algún grado de capacidad de adaptación (es decir, el sistema de control por si mismo detecta cambios en los parámetros de planta y realiza los ajustes necesarios en los parámetros del controlador, para mantener un comportamiento óptimo), se denomina sistema de control adaptable. En un sistema de control adaptable, las características dinámicas deben estar identificadas en todo momento, de manera que los parámetros del controlador pueden ajustarse para mantener un comportamiento óptimo. (De este modo, un sistema de control adaptable es un sistema no estacionario). Este concepto resulta muy atractivo para el diseñador de sistemas, ya que un sistema de control adaptable, además de ajustarse a los cambios ambientales, también lo hace ante errores moderados del proyecto de ingeniería o incertidumbres, y compensa la eventual falla de componentes menores del sistema, aumentando, por tanto, la confiabilidad de todo el sistema.

2.10 SISTEMAS DE CONTROL CON APRENDIZAJE Muchos sistemas de control que aparentemente son de lazo abierto, pueden convertirse en sistemas de lazo cerrado si un operador humano se considera como un controlador, que compara la entrada y la salida y realiza las acciones correctivas basadas en la diferencia o error. Si se intenta analizar tales sistemas de control de lazo cerrado con intervención humana, se encuentra el difícil problema de plantear ecuaciones que describan el comportamiento del operador humano. En este caso uno de los muchos factores que lo complican, es la capacidad de aprendizaje del ser humano. A medida que este va adquiriendo experiencia, mejora como elemento de control, y esto debe tomarse en cuenta al analizar el sistema. Los sistemas de control con capacidad para aprender, reciben el nombre de sistemas de control con aprendizaje. En la literatura se encuentran avances recientes en aplicaciones de control adaptable y con aprendizaje.

2.11 CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS DE CONTROL Los sistemas de control pueden clasificarse de diversos modos. A continuación se señalan algunos. Sistemas de control lineales versus no lineales.- En rigor, la mayoría de los sistemas físicos no son lineales en varios sentidos. Sin embargo, si la extensión de variaciones de las variables del sistema no es amplia, el sistema puede linealizarse dentro de un rango relativamente estrecho de valores de las variables. Para sistemas lineales, se aplica el principio de superposición. Aquellos sistemas a los que no es aplicable este principio son los sistemas no lineales.

Sistemas de control invariante en el tiempo versus control variable en el tiempo.- Un sistema de control invariante en el tiempo (sistema de control con coeficientes constantes) es aquel en el que los parámetros no varían con el tiempo. La respuesta de tal sistema es independiente del tiempo en el que se aplica la entrada. En cambio, un sistema de control variable en el tiempo es aquel en el cual los parámetros varían con el tiempo; su respuesta depende del tiempo en el que se aplica una entrada. Ejemplo de un sistema de control variable en el tiempo, es le sistema de control de un vehículo espacial, en el que la masa disminuye en el tiempo al consumirse combustible durante el vuelo. Sistemas de control de tiempo continuo versus tiempo discreto.- En un sistema de control de tiempo continuo, todas las variables son funciones de un tiempo continuo t. Un sistema de control de tiempo discreto abarca una o más variables que son conocidas sólo en instantes discretos de tiempo. Sistemas de control con una entrada y una salida versus con múltiples entradas y múltiples salidas.- Los sistemas pueden tener una entrada y una salida, o múltiples entradas y múltiples salidas como en el caso de un sistema de control de proceso con dos entradas (entrada de presión y entrada de temperatura) y dos salidas (presión de salida y temperatura de salida). Sistemas de control con parámetros agrupados versus parámetros distribuidos.- Los sistemas de control que pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales ordinarias, son sistemas de control de parámetros agrupados, mientras que los sistemas de control con parámetros distribuidos son aquellos que pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales parciales. Sistemas de control determinísticos versus estocásticos.- Un sistema de control es determinístico si la respuesta a la entrada es predecible y repetible. De no serlo, el sistema de control es estocástico.

CAPITULO

3

CONTROL E INSTRUMENTACIÓN DE PROCESOS 3.1

INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

Alguna familiaridad con el software y hardware de control es necesario antes de entrar a discutir la selección y sintonía. Nosotros no estamos preocupados sobre los detalles de cómo se construyen los diferentes equipos mecánicos, neumáticos, hidráulicos, electrónicos y los servicios de computación. Estos detalles pueden ser obtenidos de los proveedores de instrumentos y computadoras. Nosotros solamente necesitamos conocer básicamente como trabajan ellos y que es lo que se supone hacen.

Los instrumentos son proporcionados para monitorear las variables claves del proceso durante la operación de la planta. Estos pueden estar incorporados a un lazo de control automático, o usados para el control manual de la operación. Ellos también pueden ser parte de un sistema de control por computadora. Los instrumentos monitoreando las variables críticas del proceso deben estar equipados con alarmas automáticas para alertar al operador sobre situaciones críticas y peligrosas. En las últimas décadas ha habido una real revolución en el hardware de instrumentación. Hace 30 años, la mayoría de hardware de control fue mecánico y neumático (usando instrumentos con presión de aire para mover los aparatos y señales de control). La tubería se colocó entre el equipo de proceso y el cuarto de control. Las señales fueron grabadas en cartas de papel. Actualmente la mayoría de los nuevos sistemas de control usan hardware de “control distribuido”: microprocesadores que sirven simultáneamente a varios lazos de control. La información es desplegada en CRTs (tubos de rayos catódicos). La mayoría de señales son transmitidas de manera analógica electrónica (usualmente señales de corriente).

A pesar de todos esos cambios en el hardware, los conceptos básicos de estructura de sistemas de control y algoritmos de control (tipos de controladores) permanecen esencialmente iguales como fueron hace 40 años. Ahora es fácil implementar estructuras de control; solo debemos reprogramar una computadora. Pero el trabajo de los ingenieros de control de procesos es el mismo: obtener sistemas de control que den un control bueno, estable y robusto. Como se ha visto en el Cáp.- 2, el lazo básico de un control de retroalimentación consiste de un sensor para detectar la variable de proceso; un transmisor para convertir la señal del sensor en una “señal” equivalente (una señal de presión de aire en sistemas neumáticos o señal de corriente en sistemas analógicos electrónicos); un controlador que compare esta señal del proceso con un valor de referencia (set point) deseado y producir una apropiada señal de salida del controlador; y un elemento final de control que cambie la variable manipulada. Usualmente el elemento final de control es una válvula de control operada con aire o eléctricamente que se abre o cierra para variar la razón de flujo de la corriente manipulada. Ver Fig. 3.1.

Fig. 3.1 Lazo de control de retroalimentación El sensor, transmisor, y válvula de control son físicamente localizadas sobre el equipo de proceso (“en el campo”). El controlador es usualmente localizado sobre un panel o en una computadora en un cuarto de control que está a alguna distancia del equipo de proceso. Cables conectan las dos ubicaciones, llevando señales de corriente del transmisor al controlador y del controlador al elemento final de control.

(a) En manual

(b)

En automático

Fig. 3.2 Conmutador manual / automático El hardware usado en plantas químicas y petroquímicas es ya sea analógico (neumático o electrónico) o digital. Los sistemas analógicos usan señales de presión de aire (3 a 15 psig) o señales de corriente/voltaje (4 a 20 miliamperios, 10 a 50 miliamperios o 0 a 10 voltios DC). Estos son accionados por instrumentos de aire suministrando (25 psig aire) o 24 voltios DC de potencia eléctrica. Los sistemas neumáticos envían señales de presión de aire a través de pequeños tubos. Sistemas analógicos electrónicos usan cables.

Cuando se usa una válvula neumática actuada por presión de aire, las señales de corriente son usualmente convertidas en presión de aire. Se usa un transductor “I a P” (corriente a presión) para convertir señales de 4 a 20 mA en señales de 3 a 15 psig. También colocado en el cuarto de control está el conmutador (“switch”) manual-automático. Durante el arranque o bajo condiciones anormales, el operador de la planta puede querer poder colocar la posición de la válvula de control en el mismo en lugar que tiene la posición del controlador. Un “switch” es usualmente colocado sobre el panel de control o en el sistema de control como se muestra en la Fig. 3.2. En la posición manual el operador puede accionar la válvula cambiando una perilla (un regulador de presión en un sistema neumático o un potenciómetro en un sistema electrónico analógico). En la posición “automático” la salida del controlador va directamente a la válvula. Cada controlador debe proporcionar lo siguiente: 1. Indicar el valor de la variable controlada: la señal del transmisor 2. Indicar el valor de la señal siendo enviada a la válvula: la salida del controlador 3.

Indicar el valor de referencia (“setpoint”)

4.

Tener un “switch” manual / automático.

5. Tener una perilla para fijar el setpoint cuando el controlador está en automático. 6. Tener una perilla para fijar la señal a la válvula cuando el controlador está en manual.

Todos los controladores desde hace 40 años para los controladores neumáticos o los controladores modernos basados en microprocesador, tienen estas funciones.

3.2

SENSORES

Se han desarrollado diferentes instrumentos para la medición en línea de diferentes propiedades. Las variables más importantes son caudal, temperatura, presión y nivel. Dispositivos para medición de otras propiedades tal como pH, densidad, viscosidad, absorción ultravioleta e infrarroja, e índice de refracción están disponibles. La medición directa de la composición química mediante un cromatógrafo de gas en línea es extensamente usada. Esto conlleva interesantes problemas de control

debido a su operación intermitente (una señal de composición es generada cada cierto tiempo). Estos casos veremos en el estudio de variables discretas. Es deseable que las variables del proceso a ser monitoreadas sean medidas directamente; muchas veces, sin embargo, esto es impracticable y algunas variables dependientes deben medirse en forma indirecta. Por ejemplo, en el control de una columna de destilación es deseable el análisis de los productos en la corriente del tope en la misma línea de proceso, pero esto es difícil y costoso llevarlo a cabo, de tal manera que frecuentemente es monitoreada la temperatura como una indicación de la composición. Los instrumentos de temperatura pueden formar parte de un lazo de control de la composición de los productos de cabeza con el reflujo, verificado frecuentemente por los análisis de laboratorio.

3.2.1 Medidores de temperatura La temperatura es una de las principales variables que afectan el curso de los procesos químicos, por tal razón esta variable debe ser medida con la mayor exactitud posible para poder controlarla adecuadamente. Dentro de los principales instrumentos que se utilizan para la medición de temperatura se tiene: Termocuplas. Se basan en el hecho de que una corriente del orden de milivoltios fluye en un circuito continuo de dos alambres metálicos diferentes. La señal varía con la temperatura de la “juntura caliente”. Las termocuplas de hierro-constantan son comúnmente usadas en el rango de temperatura de 0 a 1300 oF. Termómetros de resistencia. Se basan en el hecho de que los metales cambian su resistencia eléctrica cuando se someten a un cambio de temperaturas. Termómetros llenos. Los Termómetros de sistema lleno se diseñan para proporcionar una indicación de la temperatura a cierta distancia del punto de medición. El Elemento sensible o medición (bulbo o ampolla) tiene un gas o un liquido que cambia de volumen, presión o presión de vapor con la temperatura. Este cambio se comunica por medio de un tubo capilar al Tubo de Bourdon u otro dispositivo sensible

a la presión y el volumen. Estos dispositivos debido a su simplicidad se utilizan con frecuencia en los procesos industriales. Termómetros bimetálicos. El Bimetal termostático se define como un material compuesto que consta de tiras de dos ó más metales unidos entre sí. Debido a los diferentes índices de expansión de sus componentes, Esta composición tiende a cambiar de curvatura cuando se somete a una variación de temperatura. Los Termostatos Bimetálicos se destinan a utilizarse a temperaturas que oscilan entre 1000º F hasta –300º F e incluso a niveles inferiores. Termómetros de liquido en capilares de vidrio. Las tres formas de Termómetros de liquido en capilares de vidrio son: 1. Los Totalmente hechos de vidrio (de cuello grabado o de escala cerrada). 2. De Tubo y Escala. 3. Industriales. Estos termómetros no se utilizan en sistemas de control automático pero si se utilizan profundamente como dispositivo de medición para el control manual y en laboratorios de control. Pirómetros. “Pirometría de Radiación”, es la determinación de la temperatura de un objeto por medio de la cantidad y la naturaleza de la energía que irradia. Estos dispositivos se clasifican en: 1. Pirómetros ópticos; basados en la brillantez de un objeto caliente. 2. Pirómetros de Radiación; miden el índice de emisión de energía por unidad de área La respuesta dinámica de la mayoría de sensores es usualmente mucho más rápida que la dinámica del proceso mismo. Los sensores de temperatura son una notable y a veces problemática excepción. La constante de tiempo de una termocupla y un termómetro lleno pueden ser 30 segundos o más. Si el termómetro esta revestido con polimero u

otro material, el tiempo de respuesta puede ser varios minutos. Esto puede significar degradación en la operación de control.

3.2.2

Medidores de presión

Los dispositivos para medir presiones en procesos se dividen en tres grupos: 1.

Los que se basan en una medición de la altura de una columna liquida. En estos dispositivos, la presión que se mide se compara con la presión ejercida por una columna de líquido. Casi todos los dispositivos de columna líquida para medir presiones se llaman comúnmente Manómetros. Según sea la gama de presión, los líquidos más frecuentemente usados son el agua y el mercurio.

2.

Los que se basan en la medición de la distorsión de una cámara de presión elástica. Son aquellos en que las presiones medidas deforman algún material elástico, y la magnitud de dicha deformación es, más o menos, proporcional a la presión aplicada. Estos dispositivos se clasifican en tres tipos: El Tubo de Bourdon, los fuelles y el diafragma.

3.

Los dispositivos, sensores de tipo eléctrico; denominados también extensores, cuando un alambre u otro conductor eléctrico se extiende elásticamente, su longitud aumenta y su diámetro disminuye. Estos dos cambios dimensionales generan un aumento en la resistencia eléctrica del conductor.

3.2.3

Medidores de flujo

El flujo, definido como volumen por unida de tiempo en condiciones especificas de temperatura y presión, se mide usualmente con medidores de desplazamiento positivo o de velocidad. Las principales clases de instrumentos de medición de flujo o corriente que se utiliza en Industrias de Proceso son las de carga variable, área variable, desplazamiento positivo, turbina, medidores de flujo en masa y vertedores y canalones para medir la corriente en canales abiertos. 3.2.4

Mediciones de nivel

La medición del nivel se puede definir como la determinación de la

ubicación de la entrecara entre dos fluidos, separables por gravedad, con respecto a un plano de referencia fija. La medición de nivel más común es la de la entrecara entre un liquido y un gas. Otras mediciones de nivel que se encuentran con suma frecuencia son la entrecara de dos líquidos, de sólidos granulares o fluidificados y un gas, y entre un gas, y entre un liquido y su vapor. Las bases más frecuentemente dispositivos de nivel son:

usadas

para

clasificar

los

Dispositivos visuales. Comprende dispositivos como: la varilla de inmersión, la escala de plomada y cinta, el manómetro abierto y el vidrio de nivel o columna indicadora. Vidrio de nivel. Es un dispositivo visual para medir niveles en procesos, el cual puede considerarse como un manómetro donde el nivel de fluido del proceso, dentro del mismo, busca la misma elevación que en el depósito. El vidrio de nivel se instala casi siempre con válvulas que permiten que este medidor quede aislado del depósito y se pueda extraer sin que éste pierda presión. Dispositivos activados con flotador. Se caracterizan por un dispositivo flotante que queda suspendido en la entrecara de los dos fluidos. Puesto que por lo común se requiere una fuerza sustancial para mover el mecanismo indicador, éstos aparatos se limitan casi siempre a las entrecaras líquido - gas. Mediante un pesado correcto del flotador, se puede utilizar para medir entrecaras de líquido – líquido. Dispositivos de desplazador. Los dispositivos activados con un desplazador emplean la fuerza de flotación ejercida sobre un desplazador parcialmente sumergido, como medida de la ubicación de la entrecara a lo largo del eje del flotador. El movimiento vertical de éste se restringe casi siempre por medio de un miembro elástico, cuyo movimiento o distorsión es directamente proporcional a la fuerza de flotabilidad y, por ende, al nivel de la entrecara. Dispositivos de carga. Hay una extensa variedad de dispositivos que emplean la carga hidrostática como medición del nivel. Como sucede en los casos del dispositivo de desplazador, la medición exacta del nivel por medio de una carga hidrostática exige el conocimiento preciso de las densidades de ambos fluidos, el de la fase pesada y el de la fase ligera. La mayoría de esta clase de sistema utilizan dispositivo de medición de

presión estándar o presión diferencial. 3.2.5

Medición de propiedades físicas

Estas mediciones se consideran a veces como analizadores de composición, porque, para mezclas binarias o seudo binarias, la composición se difiere con frecuencia de la medición de las propiedades físicas. Densidad y densidad relativa. En el caso de mezclas binarias o seudo binarias de líquidos o gases, o de una solución de un sólido o gas contenidos en un disolvente, la densidad es una función de la composición a ciertas temperaturas y presiones. En el caso de soluciones no ideales, la calibración empírica dará la relación entre la densidad y la composición. Viscosidad y consistencia. Los Viscosímetros continuos miden por lo común ya sea la resistencia al flujo o el arrastre o par producido por el movimiento de un elemento a través del fluido. Cada instalación se aplica normalmente en una gama angosta de viscosidades, y la calibración empírica en dicha gama permite utilizar fluidos tanto newtonianos como no newtonianos. Analizadores del índice de refracción. Cuando la luz se mueve a través de un medio (por ejemplo aire o vidrio), para pasar a otro (por ejemplo un líquido), sufre un cambio de velocidad, y si el ángulo de incidencia no es de 90º sufre también un cambio de dirección. Para una entrecara, un ángulo, una temperatura y una longitud de onda de luz particulares, la cantidad de desviación por refracción dependerá de la composición del liquido Conductividad térmica. Todos los gases y los vapores tienen la capacidad de conducir calor desde una fuente calorífica. A una temperatura y un ambiente físico dados, las pérdidas de calor por radiación y convección se estabilizaran y la temperatura de la fuente calorífica dependerá primordialmente de la conductividad térmica y, por ende, de la composición de los gases circundantes. Analizadores de punto de ebullición. Los analizadores de proceso para obtener diversos puntos de ebullición (inicial, intermedio y final), de corrientes de hidrocarburos, son bastante conocidos. Estos analizadores son procesos de destilación en miniatura en los que la temperatura de la muestra se mide al efectuarse la destilación. Los diferentes diseños se deben a distintos métodos que se emplean

para determinar la cantidad de muestra destilada tomando en cuenta de sí se trata de una medición en lotes o continua. Analizadores de punto de inflamación. En este tipo de analizadores la muestra del liquido se calienta, su vapor se mezcla con una corriente controlada de aire y se alimenta a una cámara de chispa. Al aumentar la temperatura de la muestra líquida, y con ello, la concentración de vapor, la mezcla se enciende finalmente por medio de una chispa. La temperatura de la muestra en este punto se registra entonces como punto de inflamación. Medición de la humedad. Las mediciones de la humedad se dividen en dos categorías generales: los métodos de humedad absoluta y los de humedad relativa. Los primeros son aquellos que proporcionan una salida primaria que se pueden calibrar directamente en termino de la temperatura del punto de condensación, la concentración molar o la concentración por peso. La pérdida de peso durante el calentamiento es el método más conocido. Los métodos más especializados analizados aparecen por orden aproximado respecto de lo directamente que se efectúe la determinación de la humedad. Los métodos de humedad relativa son los que proporcionan una salida primaria que se calibra de un modo más directo utilizando el porcentaje de saturación de la humedad.

3.3

TRANSMISORES

El transmisor es la interfase entre el proceso y el sistema de control. El trabajo de un transmisor es convertir la señal del sensor (milivoltios, movimiento mecánico, presión diferencial, etc.) en una señal de control (por ejemplo 4 a 20 mA). Considerar el transmisor de presión mostrado en la Fig. 3.3a. asumamos que este particular transmisor es fijado para que la señal de corriente de salida varíe desde 4 hasta 20 ma. a medida que la presión en el tanque de proceso varia de 100 a 1000 kPa manometricos. Esto es llamado el rango del transmisor. El intervalo del transmisor es 900 kPa. El cero del transmisor es 100 kPa. El transmisor tiene dos perillas ajustables para modificar el rango y/o en cero. Esto es, si establecemos el cero en 200 kPa manometricos, el rango del transmisor deberá ahora ser 200 a 1100 kPa manometricos y su rango permanece en 900 kPa.

La respuesta dinámica de los transmisores más comunes es usualmente mucho más rápida que el proceso y las válvulas de control. Consecuentemente, podemos normalmente considerar al transmisor como una simple ganancia (un cambio en escalón en la entrada al transmisor da un cambio instantáneo de escalón en la salida). La ganancia del transmisor de temperatura considerado anteriormente es:

Por lo tanto el transmisor es solo un “transductor” que convierte las variables del proceso a una señal de control equivalente. La Fig. 3.3b muestra un transmisor de temperatura el cual acepta la señal de entrada de una termocupla y se ha fijado de tal manera que su señal de corriente de salida varia desde 4 hasta 20 mA a medida que la temperatura del proceso varia desde 50 hasta 250 oF. El rango de temperatura de la temperatura transmitida es 50 a 250 oF, su rango es 200 oF, y su cero es 50 oF. La ganancia del transmisor de temperatura es:

Fig. 3.3 Transmisores típicos. (a) presión; (b) temperatura; (c) flujo (placa de orificio) Como se ha notado anteriormente, la dinámica de los sensores termómetro-termocupla con frecuencia no despreciables y deben ser incluidas en los análisis dinámico. La Fig. 3.3c muestra un transmisor de P es usado con una placa de orificio como un transmisor de flujo. La caída de presión sobre la placa de orificio (el sensor) es convertida a una señal de control. Suponga que la placa de orificio es dimensionada para dar una caída de presión de 100 pulg. deH 2O a un flujo de proceso a razón de 2000 kg/k. El transmisor de P convierte la pulg. de H2O en miliamperios, y su ganancia es 16 mA/100 pulg. H 2O. Sin embargo, nosotros realmente queremos la razón de flujo, no la caída de presión en la placa de orificio. Como P es proporcional al cuadrado de la razón de flujo, hay una relación no lineal entre la razón de flujo F y la señal de salida del transmisor:

donde PM = señal de salida del transmisor, mA F = razón de flujo en kg/h

Disminuyendo el flujo por un factor de dos disminuye la señal de P por un factor de 4. para análisis de sistemas usualmente linealizamos la Ec. (3.3) alrededor del valor de estado estacionario de la razón de flujo, Fs.

donde PM y F = perturbaciones para el estado estacionario Fs = razón de flujo al estado estacionario, kg/h Fmax = razón de flujo máximo a escala completa = 2000 kg/h en este ejemplo

3.4

VÁLVULAS DE CONTROL

La interfase entre el proceso y el otro extremo del lazo de control es realizada por el elemento final de control. En una gran mayoría de procesos de ingeniería química el elemento final de control es una válvula automática la cual regula el flujo de una corriente manipulada. La mayoría de válvulas de control consisten de un tapón al final de un vástago que abre o cierra un orificio . como muestra la Fig. 3.5, el vástago esta adjunto a un diafragma que conducido por el cambio de presión de aire sobre el diafragma. La fuerza de presión de aire es opuesta a un resorte. Existen varios de las válvulas de control: su acción, características, y tamaño.

3.4.1

Acción de la válvula

Las válvulas son diseñadas ya sea para que se cierren o se abran completamente al anular la presión o voltaje. Cual acción es apropiada depende del efecto de la variable manipulada sobre el proceso. Por ejemplo, si la válvula está manipulando vapor o combustible, se necesitará que el flujo se corte en una situación de emergencia, es decir se necesitará que la válvula se cierre. Si la válvula está manipulando agua de enfriamiento a un reactor, se necesitará que el flujo vaya a un máximo en una situación de emergencia, es decir se necesitará que la válvula se abra completamente.

La válvula mostrada en la Fig. 3.4 es cerrada cuando el vástago está al tope de su deslazamiento. Como el incremento de la presión de aire cierra la válvula, esta válvula es una válvula aire-para-cerrar (“air-toclose”) (AC). Si la señal de presión de aire cae a cero debido a alguna falla (por ejemplo, suponer que la línea de suministro de aire a los instrumentos se corta), ésta válvula quedará completamente abierta ya que el resorte mantendrá la válvula abierta. Las válvulas pueden ser hechas de acción aire-para-abrir (“air-to-open”) (AO) mediante la acción inversa del tapón para cerrar la abertura en la posición arriba o por la colocación inversa del resorte y presión de aire (colocar la presión de aire bajo el diafragma). Por lo tanto nosotros usaremos ya sea válvulas AO o AC, y la decisión de cual se debe usar depende de la necesidad del proceso.

Fig. 3.4 Típica válvula de control operada con aire 3.4.2

Tamaño

El tamaño de las válvulas de control es una de los aspectos más controversiales en el control de procesos. La velocidad de flujo a través de una válvula de control depende del tamaño de la válvula, la caída de presión a

través de la válvula, la posición del vástago y las propiedades del fluido. La ecuación de diseño para líquidos (sin flasheo) es:

donde

F = velocidad de flujo, gpm Cv = coeficiente de tamaño de válvula

x = posición del vástago de la válvula (fracción de completamente abierta)

f(x) = fracción del área total de flujo de la válvula. (La curva de f(x) versus x es llamada la “característica inherente” de la válvula. Nosotros discutiremos esto posteriormente. sp gr = gravedad específica (relativa al agua) Pv = caída de presión a través de la válvula, psi Ecuaciones más detalladas fabricantes de válvulas de control.

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El dimensionamiento de las válvulas de control es un buen ejemplo del trabajo de ingeniería que debe hacerse en el diseño de una planta. Considerar el proceso mostrado en la Fig. 3.5. suponer que la velocidad de flujo a condiciones de diseño es 100 gpm, la presión en el tanque de alimentación es atmosférica, la caída de presión a través del intercambiador (PH) a la velocidad de flujo de diseño es 40 psi, y la presión en el tanque final, P2, es 150 psig. Asumamos que tendremos una válvula de control semiabierta (f(x) = 0.5) al flujo de diseño. La gravedad específica del liquido es 1. El trabajo del ingeniero de procesos es dimensionar la bomba centrifuga y la válvula de control. A mayor tamaño de la válvula de control, menor caída de presión. Esto permite usar una bomba con menor columna y disminuir los costos de energía debido al consumo de potencia por el motor que mueve a la bomba. Así, el ingeniero que conoce poco de válvulas de control, querrá diseñar un sistema que tenga una baja caída de presión a través de la válvula de control. Para un punto de vista del estado estacionario, esto tiene sentido perfecto.

Fig. 3.5 Sistema de proceso Sin embargo, el ingeniero de procesos va a consultar con el ingeniero de control, y el ingeniero de control quiere tomar una parte de la caída de presión a través de la válvula. Por qué? Básicamente esto es una cuestión de “rangeabilidad”: a más grande caída de presión, los cambios que pueden hacerse en la velocidad de flujo son más grandes (en ambas direcciones: aumentando y disminuyendo). Examinemos dos diseños diferentes para mostrar porque esto es deseable desde un punto de vista dinámico para tomar mayor caída de presión a través de la válvula de control. En el caso 1 dimensionaremos la válvula para dar una caída de presión de 20 psi al flujo de diseño cuando está semiabierta. Esto conllevará a que la bomba deberá producir una columna diferencial de 150 + 40 + 20 = 210 psi a condiciones de diseño. En el caso 2 dimensionaremos la válvula para dar una caída de presión de 80 psi a condiciones de diseño. Ahora será necesaria una bomba de columna grande : 150 + 40 + 80 = 270 psi. Usando la Ec. (3.5), pueden dimensionarse ambas válvulas de control. Caso 1:

cuando la caída de presión de diseño de la válvula es 20 psi Caso 2:

cuando la caída de presión de diseño de la válvula es 80 psi Naturalmente la válvula de control en el caso 2 es más pequeña que en el caso1. Ahora veamos que pasa en los dos casos cuando nosotros abrimos la válvula de control completamente: f(x) = 1. Ciertamente, la velocidad de flujo se incrementará, pero que tanto? Desde un punto de vista de control, podemos querer tener la posibilidad de incrementar el flujo substancialmente. Llamemos este flujo desconocido como Fmax.

El aumento de la velocidad de flujo incrementará la caída de presión en el intercambiador como el cuadrado de la velocidad de flujo.

la velocidad de flujo alta puede también reducir la columna que la bomba centrifuga produce si estamos fuera de la curva de la bomba donde la columna decae rápidamente con el rendimiento específico. Por simplicidad, asumiremos que la curva de la bomba es atenuada. Esto permite que la caída de presión total a través del intercambiador y la válvula de control es constante. Entonces, la caída de presión a en la válvula de control disminuye mientras que la caída de presión en el intercambiador se incrementa. Pv = PTotal – PH (3.7) Colocando los números para los dos casos se obtiene los resultados siguientes. Caso 1 (20 psi de diseño): PTotal = 60 psi

Cv1 = 44.72

Esta ecuación puede ser resuelta para Fmax: 115 gpm. Así, el máximo flujo a través de la válvula es solamente 15 por ciento más que el diseño si se usa una caída de presión en la válvula de 20 psig a la velocidad de flujo de diseño. Caso 2 (80 psi de diseño):

Resolviendo para Fmax da 141 gpm. Así, el máximo flujo a través de esta válvula, la cual ha sido diseñada para una caída de presión grande puede producir un mayor incremento en el flujo a su capacidad máxima. Ahora veamos que pasa cuando queremos reducir el flujo. Las válvulas de control no trabajan muy bien cuando están abiertas menos del 10 por ciento. Estas pueden hacerse mecánicamente inestables cerrándose completamente y luego saltar a parcialmente abiertas. Las fluctuaciones en el flujo resultantes son indeseables. Entonces, si queremos diseñar una válvula para una abertura mínima de 10 por ciento, veamos cual será el flujo mínimo en los dos casos considerados anteriormente cuando las dos válvulas son llevadas a f(x) = 0.1.

En este caso la menor velocidad de flujo dará una disminución en la caída de presión en el intercambiador de calor y por lo tanto un incremento en la caída de presión en la válvula de control. Caso 1 (20 psi de diseño):

Resolviendo da Fmín: 33.3 gpm.

Caso 2 (80 psi de diseño):

Este Fmín es: 24.2 gpm.

Estos resultados muestran que la velocidad mínima de flujo es menor para la válvula que fue diseñada para caída de presión grande. Así, no solamente podemos incrementar el flujo, también podemos reducirlo. Entonces el retorno (la razón de Fmax a Fmin) de la válvula de P grande es mayor. Razón de retorno para válvula de 20 psi de diseño = 115/33.3 = 3.46 Razón de retorno para válvula de 80 psi de diseño = 141/24.2 = 5.83 Nosotros hemos demostrado porque el ingeniero de control quiere más caída de presión en la válvula. Así como resolvemos este conflicto entre el ingeniero de procesos queriendo baja caída de presión y el ingeniero de control queriendo caída de presión grande? Una solución heurística comúnmente usada recomienda que la caída de presión en la válvula de control a condiciones de diseño deberá ser 50 por ciento del total de caída de presión del sistema. Aunque ampliamente usó, este procedimiento tiene poco sentido para mí. Un procedimiento de diseño más lógico es delineado a continuación. En algunas situaciones es muy importante ser posible incrementar la velocidad de flujo arriba de las condiciones de diseño (por ejemplo, el agua de enfriamiento a un reactor exotérmico puede tener que duplicarse o triplicarse para manipular los trastornos dinámicos). En otros casos esto no es importante (por ejemplo, el flujo de alimentación a una unidad). Por consiguiente es lógico basar el diseño de la válvula de control y la bomba para tener un proceso que pueda lograr tanto las condiciones de flujo máximo y mínimo. Las condiciones de flujo de diseño son usadas solamente para conseguir la caída de presión en el intercambiador de calor (o la parte fija de la resistencia del proceso). El diseñista debe especificar la velocidad máxima de flujo que es requerida bajo estas condiciones y el flujo mínimo que es requerido. Entonces las ecuaciones para el flujo de la válvula para las condiciones máximas y mínimas dan dos ecuaciones y dos incógnitas: la columna de presión de la bomba centrifuga PP y el tamaño de la válvula de control Cv.

Ejemplo 3.1 Suponer que queremos diseñar una válvula de control para suministrar agua a un serpentín de enfriamiento en un reactor químico exotérmico. La velocidad normal de flujo es 50 gpm. Para prevenir inestabilidades en el reactor, la válvula debe ser capaz de proporcionar tres veces la velocidad de

flujo de diseño. Debido a que el pronostico de las ventas es optimista, una velocidad mínima de flujo de 50 por ciento de la velocidad de flujo de diseño debe ser alcanzada. La caída de presión a través del serpentín de enfriamiento es 10 psi a la velocidad de flujo de diseño de 50 gpm. El agua de enfriamiento debe ser bombeada de un tanque abierto a la atmósfera. El agua saliendo del serpentín ingresa a una tubería en la cual la presión es constante igual a 2 psig. Dimensionar la válvula y la bomba. La caída de presión a través del serpentín depende de la velocidad de flujo F:

La caída de presión a través de la válvula de control es la caída de presión total disponible ( la cual nosotros no conocemos todavía) menos la caída de presión en el serpentín.

Ahora escribimos una ecuación para las condiciones de flujo máximo y una para el mínimo. A condiciones de flujo máximo:

A condiciones de flujo máximo:

Resolviendo simultáneamente las dos ecuaciones se tiene el tamaño de la válvula de control (Cv = 21.3) y la columna de la bomba (Pp = PT +2 = 139.2 +2 = 141.2 psi). A las condiciones de diseño (50 gpm), la fracción abierta de la válvula (fdes) estará dada por:

El procedimiento de dimensionamiento de válvula de control/bomba anterior no está sin sus limitaciones. Las dos ecuaciones de diseño para las condiciones máximas y mínimas en términos generales son:

donde PT = caída total de presión a través del sistema a caudal de diseño (PH)dis = caída de presión en resistencias fijas en el sistema a caudal de diseño fmin = apertura mínima de la válvula Fdis = velocidad de flujo de diseño Una curva plana de la bomba es asumida en la derivación anterior. Resolviendo estas dos ecuaciones para PT se tiene:

Es claro a partir de la Ec. (3.19) que a medida que el segundo término en el denominador se aproxima a la unidad, la caída de presión requerida tiende al infinito!. Hay un límite para la reangeabilidad realizable de un sistema. Definiendo este término como índice de rangeabilidad del sistema, .

Los parámetros en el lado derecho de la Ec. (3.20) deben ser seleccionados de tal manera que  sea menor que la unidad. Esto puede ser ilustrado, usando los números del Ejemplo 7.1. Si la velocidad mínima de flujo es reducida de 50 por ciento de diseño (donde PT fue 139.2 psi) a 40 por ciento, la nueva PT será 202 psi. Si Fmin es reducido adicionalmente a 35 por ciento del de diseño, PT es 335 psi. En el límite a medida que Fmin va a 30 por ciento del de diseño, el índice de rangeabilidad es

y la caída de presión total disponible tiende al infinito.

El valor de fmin puede ser reducido debajo de 0.1 si se requiere una razón grande de rechazo. Esto se consigue usando dos válvulas de control en paralelo, una grande y una pequeña, en un rango diferente de configuraciones. La válvula pequeña se abre primero y luego se abre la válvula grande a medida que la señal a las dos válvulas cambia sobre su rango total.

3.4.3

Características

Mediante el cambio de la forma del tapón y el asiento en la válvula, pueden obtenerse diferentes relaciones entre la posición del vástago y el área de flujo. Las características comunes de flujo usadas son válvulas lineales y válvulas de porcentajes iguales, mostradas en la Fig. 3.6. el término “porcentaje igual” se debe a la pendiente de la curva f(x) siendo una fracción constante de f. Si se asume caída de presión constante en la válvula y si la posición del vástago está 50 por ciento abierto, una válvula lineal da 50 por ciento del máximo flujo y una válvula de porcentajes iguales da solamente 15 por ciento del máximo flujo. Las ecuaciones para estas válvulas son: Lineal: f(x)

=

x

(3.21) Porcentajes iguales: f(x) = 

x–1

(3.22)

3 psig

 válvula aire para abrir

 15 psig

15 psig  válvula aire para cerrar 

3 psig

Fig. 3.6 Características de la válvula de control donde  es una constante (20 a 50) que depende del diseño de la válvula. En la Figura es usada una válvula de 50.

La razón para usar válvulas de diferentes características es mantener la estabilidad del lazo de control medianamente constante sobre un amplio rango de flujos. Las válvulas lineales son usadas por ejemplo, cuando la caída de presión en la válvula de control es medianamente constante y existe una relación lineal entre la variable controlada y la velocidad de flujo de la variable manipulada. Considerar el flujo de vapor desde un suministro a presión constante. El vapor fluye por el lado del casco de un intercambiador de calor. Una corriente liquida de proceso fluye por el lado de los tubos y es calentada por el flujo de vapor. Existe una relación lineal entre la temperatura de salida de la corriente de proceso y el flujo de vapor (con velocidad del fluido de proceso y temperatura de entrada constantes) ya que cada libra de vapor proporciona cierta cantidad de calor. Las válvulas de porcentajes iguales son a menudo usadas cuando la caída de presión disponible en la válvula de control no es constante. Esto ocurre cuando hay otras piezas de equipo en el sistema que actúan como resistencias fijas. La caída de presión en estas partes del proceso varían como el cuadrado

de la velocidad de flujo, como se ha visto en las ejemplos discutiendo el tamaño de las válvulas de control. A velocidades de flujo bajas, la mayor cantidad de la caída de presión es tomada en la válvula de control, la caída de presión sobre el resto de equipos es baja. A altas velocidades de flujo, la caída de presión en la válvula de control es baja. En esta situación la válvula de porcentajes iguales tiende a dar una relación más lineal entre el flujo y la posición de la válvula de control que la lineal. En válvulas convencionales, la señal de presión de aire hacia el diafragma proviene de un transductor I/P en sistemas electrónicos analógicos. “posicionadores de válvulas” son a menudo usados para mejorar el control, particularmente para válvulas grandes y con fluidos suciós los cuales ensucian la válvula. Una válvula sucia puede causar que el lazo de control oscile; la señal de salida del controlador cambia pero la posición de la válvula no lo hace hasta que la presión sea grande para mover la válvula. Entonces, desde luego, la válvula se mueve muy lejos y el controlador debe revertir la dirección de cambio de su salida, y lo mismo ocurre en la dirección contraria. Así, el lazo de control se hace fluctuante alrededor del setpoint aún sin otras perturbaciones. Los posicionadores de válvulas son pequeños controladores de retroalimentación que censan la posición actual del vástago, comparan esta con la posición deseada dada por la señal del controlador y ajustan la presión de aire sobre el diafragma para mover el vástago a su posición correcta. Los posicionadores de válvulas también son usados para abrir o cerrar las válvulas en varios rangos. Las válvulas de control son usualmente más rápidas en comparación con el proceso. Con válvulas grandes (mayores a 4 pulgadas) pueden tardar 20 a 40 segundos para que la válvula se mueva completamente una carrera.

3.5

CONTROLADORES

3.5.1 Controladores analógicos y digitales Un controlador automático compara el valor real de la salida de una planta con la entrada de referencia (valor deseado), determina el error, y produce una señal de control que reducirá el error a cero, o a un valor muy pequeño. La forma como el controlador automático produce la señal de control, se denomina acción de control.

Los controladores analógicos usan señales eléctricas o neumáticas continuas. Los controladores ven continuamente las señales del transmisor, y las válvulas de control son cambiadas continuamente. Los controladores digitales por computadora son discontinuos en su operación, viendo un número de lazos secuencialmente. Cada lazo individual es visto solo en cada periodo de muestreo. Como muestra la Fig. (2.3), las señales analógicas desde los transmisores deben pasar a través de convertidores analógico-digital (A/D) para que llegue la información a la computadora en una forma que pueda usarla. Después la computadora ejecuta los cálculos (algoritmo de control) y envía una señal la cual debe pasar a través de un convertidos digital-a-analógico (D/A) y un “retenedor” que envía una señal continua a la válvula de control. Nosotros estudiaremos este sistema muestreo de datos con detalle en el Cáp. XV Existen tres tipos básicos de controladores que son comúnmente usados para control de retroalimentación continuo. Los detalles de la construcción del equipo y la programación del dispositivo digital varían de un fabricante a otro, pero sus funciones básicas son esencialmente las mismas. Acción proporcional. La acción proporcional en un controlador implica que su señal de salida, U, cambia en proporción directa a la señal de error, E, la cual es la diferencia entre el setpoint, R, y la señal medida del proceso, Ym, proveniente del transmisor. U Ym)

=

Us



Kc(R (3.23)

–

Donde: U

= señal de salida del controlador, presión para controladores neumáticos y mA para controladores electrónicos.

Us = constante y es el valor de la señal de salida del controlador cuando no hay error. Como generalmente el proceso debe operar al valor de diseño y en el estado estacionario (U = Us). Kc = es denominada ganancia del controlador. A mayor valor de la ganancia, mayor cambio en la señal de salida del controlador para un error dado. Por ejemplo, si la ganancia es 1, un error de 10 por ciento de la escala (1.6 mA en un sistema analógico electrónico de 4 a 20 mA) cambiará la salida del controlador en 10 por ciento de la escala.

Muchos fabricantes de instrumentos usan un término alternativo, banda proporcional (BP) en lugar de ganancia. Los dos son relacionados mediante:

Mientras más alta o “ancha” la banda proporcional, la ganancia será más baja y viceversa. El término banda proporcional se refiere al rango sobre el cual el error debe cambiar para mover la salida del controlador sobre su rango total. Entonces una BP ancha es una ganancia baja, y una PB estrecha es una ganancia alta.

TT = transmisor de temperatura TC = controlador temperatura

de

U = salida del controlador R = setpoint o valor de referencia To = temperatura de entrada al

proceso T = temperatura de salida del proceso Fs = caudal de vapor F = caudal de corriente de proceso

Fig. 3.7 Intercambiador de calor La ganancia del controlador puede ser ya sea positiva o negativa mediante la colocación de un interruptor en un controlador analógico o especificando el signo deseado en un controlador digital. Una ganancia positiva trae como resultado que la salida del controlador disminuye cuando la medición del proceso se incrementa. Esta acción de “aumento-disminución” es denominada un controlador de acción inversa. Para una ganancia negativa, la salida del controlador aumenta cuando la medición del proceso aumenta, y esta es denominada controlador de acción directa. el signo correcto depende de la acción del transmisor (el cual es usualmente directa), la acción de la válvula airepara-abrir o aire-para-cerrar (ait-to-open o air-to-close), y el efecto de la variable manipulada sobre la variable controlada. Si estamos enfriando en lugar de calentar, necesitaremos que el flujo de refrigerante se incremente cuando la temperatura se incremente. Pero la acción del controlador deberá ser reversa ya que la válvula de control podría ser una válvula de aire-para-cerrar, ya que lo necesitamos para que se abra en caso de falla. Como un ejemplo final, supongamos que estamos controlando el nivel de la base de una columna de destilación con el flujo de los productos del fondo. La válvula deberá ser AO ya que necesitamos que se corte en caso de falla (no queremos perder nivel en la base en una emergencia). La señal de nivel del transmisor se incrementa si el nivel se incrementa. Por lo tanto, el controlador de nivel de la base deberá ser “incremento-incremento” (acción directa). Uno de los más importantes items para verificar al implementar un lazo de control de retroalimentación en la planta es que acción del controlador es correcta. Acción integral (restauradora). La acción proporcional mueve la válvula de control en proporción directa a la magnitud del error. La acción integral mueve la válvula de control en base al tiempo integral del error.

donde I es el tiempo integral o el tiempo de restauración con unidades de minutos Si no hay error, la salida del controlador no se mueve. A medida que el error se hace positivo o negativo, la integral del error mueve la salida del controlador ya sea arriba o abajo, dependiendo de la acción (inversa o directa) del controlador. La mayoría de controladores son calibrados en minutos (o minutos/repetición, un término que viene del test de colocar en el controlador un error fijo y observar cuanto tiempo lleva la acción integral para subir la salida del controlador y producir el mismo cambio que podría haberlo realizado el controlador proporcional cuando su ganancia es 1; la integral repite la acción del controlador proporcional). El propósito básico de la acción integral es mover el proceso regresándolo a su setpoint cuando este ha sido perturbado. Un controlador proporcional, usualmente no retorna la variable controlada a su setpoint cuando ocurre una perturbación de carga o setpoint. Este error de funcionamiento (R – Ym) es denominado error de estado estacionario u “offset”. La acción integral reduce el “offset” a cero. La acción integral degenera la respuesta dinámica de un lazo de control. Nosotros demostraremos esto en los capítulos posteriores. Esto hace al lazo de control más oscilatorio y los movimientos hacia la inestabilidad. Pero la acción integral es usualmente necesaria si se desea obtener un offset igual a cero. Este es otro ejemplo de la contradicción en ingeniería que debe resolverse entre la operación dinámica y la operación al estado estacionario. Acción derivativa. El propósito de la acción derivativa (también llamada velocidad o preacto) debe anticipar donde el proceso esta en curso mirando la razón de tiempo de cambio de la variable controlada (su derivada). Si podemos tomar la derivada de la señal de error (lo cual no podemos hacerlo perfectamente, como se explicará con mayor detalle en los capítulos posteriores), tendríamos una acción derivativa ideal.

donde D es el tiempo derivativo (minutos) En teoría, la acción derivativa debe siempre proporcionar respuesta dinámica, y esto se hace en muchos lazos. En otros sin embargo, el problema de señales ruido (fluctuaciones de señales medidas del proceso) hacen indeseable el uso de la acción derivativa. Controladores comerciales. Las tres acciones descritas anteriormente son usadas individualmente o combinadas en controladores comerciales. Probablemente 60 por ciento del total de controladores son PI (proporcional-integral), 20 por ciento son PID (proporcional-integralderivados) y 20 por ciento son P solamente (proporcional). Discutiremos la razón de uso de uno u otro tipo en la sección 3.6

3.6

DISPOSITIVOS DE COMPUTACIÓN Y LÓGICOS

Una gran cantidad de dispositivos y software están disponibles para realizar una variada colección de operaciones de computación y lógicas con señales de control. Por ejemplo sumadores, multiplicadores, divisores, selectores de bajos, selectores de altos, limitadores de altos, limitadores de bajos, y extractores de raíz cuadrada pueden todos ser implementados tanto en sistemas analógicos y de computo. Estos son ampliamente usados en control de proporción, en mediciones de las variables, en control hacia delante, y en control de retroalimentación. En adición a los lazos de control básicos, todos los procesos tienen instrumentación que (1) hacen sonar las alarmas para alertar al operador ante cualquier condición anormal o insegura y (2) detienen el proceso si se detectan condiciones inseguras o fallas en el equipo. Por ejemplo, si un compresor a motor se sobrecarga y el sistema de control eléctrico del motor apaga al motor, el resto del proceso deberá ser parado inmediatamente. Este tipo de instrumentación es denominada “interbloque”. Eso o cierra una válvula de control completamente o conduce la válvula de control sin obstrucción a la vista. Otros ejemplos de condiciones que pueden “interbloquear” un proceso incluyen la falla de una bomba de reflujo, detección de alta temperatura o presión en un recipiente, e indicación de alto o bajo nivel en un tanque o la base de una columna. Los interbloques son usualmente conseguidos mediante interruptores de presión, mecánicos o eléctricos. Estos pueden ser incluidos en el software de computación en un sistema de control por computadora, pero ellos son usualmente independientes por fiabilidad y redundancia.

3.7 FUNCIONAMIENTO RETROALIMENTACIÓN 3.7.1

DE

CONTROLADORES

DE

Especificaciones de la respuesta de lazo cerrado

Hay un gran número de criterios mediante los cuales la operación deseada de un sistema de lazo cerrado puede ser especificado en el dominio del tiempo. Por ejemplo, debemos especificar que el sistema de lazo cerrado sea críticamente amortiguado de tal manera que no tenga sobreimpulso u oscilación. Debemos entonces seleccionar el tipo de controlador u establecer sus constantes de “sintonización”, que den la respuesta deseada de lazo cerrado al estar acoplado con el proceso. Naturalmente, la especificación de control debe ser físicamente obtenible. No podemos violar las restricciones sobre la variable manipulada (la válvula de control puede ir solamente de completamente abierta a completamente cerrada), y no podemos requerir un controlador físicamente irrealizable. Existe un gran número de especificaciones en el dominio del tiempo. Unas cuantas de las especificaciones más frecuentemente usadas son listadas a continuación (esto se verá con más detalle en el Cap. 8). La señal de prueba de entrada tradicional es un cambio de escalón en el setpoint. 1. Coeficiente de amortiguamiento de lazo cerrado 2. Sobreimpulso: la magnitud por la cual la variable controlada sobrepasa al setpoint 3. El tiempo de subida (velocidad de respuesta): el tiempo que toma el proceso alcanzar el nuevo setpoint 4. Razón de decaimiento: es la razón de las amplitudes máximas de las oscilaciones sucesivas. 5. Tiempo de establecimiento. El tiempo que toma la amplitud de la oscilación a decaer a generalmente el 0.05 del cambio en el setpoint 6. La integral del cuadrado del error:

Notar que los cinco primeros de estos asumen un sistema de lazo cerrado sobreamortiguado, es decir uno que tiene una oscilación natural.

Mi preferencia personal es diseñar un sistema de lazo cerrado con un coeficiente de amortiguamiento de 0.3 a 0.5. como veremos en el resto de este libro, este criterio es fácil de usar y realizable. Criterio como ISE puede ser usado para cualquier tipo de perturbación, del setpoint, o carga. Algunos “expertos” (recordar que un “experto” es aquel que rara vez tiene dudas, pero frecuentemente errores) recomiendan diferentes parámetros de sintonía para los dos tipos de perturbaciones. Esto tiene poco sentido para mí. Lo que se quiere es un compromiso razonable entre la operación (control rápido: pequeñas constantes de tiempo de lazo cerrado) y robusto (no ser sensible a cambios en los parámetros del proceso). Este compromiso es logrado usando un coeficiente de amortiguamiento de 0.3 a 0.5 ya que esto mantiene las partes reales de las raíces de la ecuación característica de lazo cerrado en una distancia razonable del eje imaginario, el punto donde el sistema es inestable (ver Cap. 11). La especificación del coeficiente de amortiguamiento de lazo cerrado es independiente del tipo de perturbación de entrada. El error al estado estacionario es otra especificación en el dominio del tiempo. Esta no es una especificación dinámica, pero es un importante criterio de operación. En muchos lazos (pero no todos) es deseable un error de estado estacionario de cero, es decir el valor de la variable controlada deberá eventualmente alcanzar el valor del setpoint.

3.7.2

Operación de carga

El trabajo en la mayoría de lazos de control en un proceso químico es el de mantener la variable controlada en su setpoint ante perturbaciones de carga. Veamos los efectos de cambios en la carga cuando se usan tipos estándar de controladores. Usaremos un proceso simple de transferencia de calor (Fig. 3.8) en el cual una corriente de aceite es calentada con vapor. La temperatura de salida del proceso T es controlada por la manipulación de la corriente de vapor Fs hacia el lado del casco del intercambiador de calor. El caudal de aceite F y su temperatura de entrada Fo son las perturbaciones de carga. La señal desde el transmisor de temperatura (TT) es la señal medida del proceso, Ym. La señal del setpoint es R. La señal de salida; U, desde el controlador de temperatura (TC) va a través de un transductor I/P hacia la válvula de control. La válvula es AO debido a que deseamos que se cierre ante una falla.

3.8 OBJETIVOS DE LA INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL Los principales objetivos del diseñista al especificar los esquemas de instrumentación y control son: 1.

Asegurar la operación de la planta a)

Para mantener las variables de proceso dentro de los limites seguros de operación conocidos

b) Para detectar situaciones peligrosas a medida que desarrollen y proporcionen alarmas y sistemas automáticos de parada. c) Para proporcionar alarmas y dispositivos de parada para prevenir se produzca una operación peligrosa. 2.

Referente a la producción: Para conseguir la salida del producto de acuerdo al diseño

3.

Calidad de producto: Para mantener la composición del producto dentro de los estándares de calidad especificados.

4.

Costo:

Para operar al menor costo de producción, complementario a los demás objetivos.

3.9 ESQUEMAS DE CONTROL AUTOMÁTICO El diseño y especificación detallada de los esquemas de control automático para un proyecto grande, es usualmente hecho por especialistas. En este capitulo solamente se considera la primera etapa en la especificación de un sistema de control para un proceso: la preparación de un esquema preliminar de instrumentación y control, desarrollado en base al diagrama de flujo. Este puede ser dibujado por el diseñador del proceso en base a su experiencia con plantas similares y su evaluación crítica de los requerimientos del proceso. Muchos de los lazos de control serán convencionales y no será necesario un análisis detallado del

comportamiento del proceso. Un discernimiento, basado en la experiencia, puede ser usado para decidir cuales sistemas son críticos y necesitan análisis y diseño detallado. Algunos ejemplos de sistemas típicos (convencionales) de control usados para el control de variables específicas del proceso y operaciones unitarias son dadas en esta sección, y pueden ser usadas como una guía en la preparación de esquemas preliminares de I & C (instrumentación y control).

3.9.1

Reglas para confección de diagramas de control e instrumentación

El siguiente procedimiento se puede usar para dibujar diagramas preliminares de instrumentación y control 1.

Identificar y dibujar aquellos lazos que son obviamente necesarios para la operación satisfactoria de la planta, tales como: 

Controles de nivel



Controles de flujo



Controles de presión



Controles de temperatura

2.

Identificar las variables claves del proceso que necesitan ser controladas para conseguir la calidad especificada del producto. Incluir los lazos de control usando la medición directa de la variable controlada, donde sea posible; si no es practicable, seleccionar una variable dependiente adecuada.

3.

Identificar e incluir aquellos lazos de control adicionales requeridos para asegurar la operación, no cubiertos en los pasos 1 y 2.

4.

Decidir y mostrar aquellos instrumentos auxiliares necesarios para el monitoreo de la operación de la planta por los operadores.

5.

Decidir sobre algunos puntos de ubicación.

6.

Decidir acerca de la necesidad de registradores y la localización de

los puntos de lectura, local o en la caseta de control. Esta etapa debe realizarse en concordancia con los pasos 1 y 4. 7.

Decidir sobre la necesidad de alarmas y dispositivos de parada; esto debe hacerse en conjunción con el paso 3.

3.9.2

Nomenclatura

Para especificar diagramas de control se usará la terminología: X

: Variable de proceso (flujo, presión, temperatura, etc.)

C

: Control

I

: Indicador (medidor simple)

R

: Registrador (medidor con “chart”)

Cuya combinación da: XC

: Control de X

XI

: Medidor de X

XR

: Registrador de X

XRC : Controlador registrador de X XRI

: Medidor registrador de X

XIC

: Controlador indicador de X

XIRC : Controlador, registrador, e indicador de X 3.9.3

Símbolos básicos de instrumentos

Existen símbolos convencionales que identifican a los instrumentos en los esquemas de I & C. Según la ISA (“Instrument Society of America”), los símbolos son: Instrumento

Ubicación

Loca l

En la caseta (tablero)

Instrumento con una función simple tal como indicador, registrador, trasmisor, controlador Combinación de instrumentos o mecanismo con dos funciones. Ejemplo controlador registrador

Transmisión instrumentos

neumática

de

Transmisión instrumentos

electrónica

de

3.9.4

Identificación de instrumentos F: Flujo 8: Octavo instrumento de flujo I : Indicador

Control automático de instrumento a válvula

Válvula de control operando manualmente

Válvula autorreguladora

Válvula con motor de diafragma para control neumático

Válvula operada electricamente para control electónico

Punto de medición

Controlador de flujo: proporcional

Controlador de flujo: Integral

3.10

SISTEMAS TÍPICOS DE CONTROL

3.10.1

Control de nivel

Todo equipo donde existe una interfase entre dos fases (Ej. liquido-vapor) debe proporcionarse algún medio para mantener la interfase al nivel requerido. Este puede ser incorporado en el diseño del equipo, es usualmente hecho por decantadores o por control automático del flujo desde el equipo. La Fig. 3.8, muestra un arreglo típico para el control de nivel en la base de una columna. La válvula de control debe estar colocada en la línea de descarga desde la bomba

Fig. 3.8 Control de nivel 3.10.2

Control de presión

El control de presión será necesario para la mayoría de sistemas manipulando vapores o gases. El método de control dependerá de la naturaleza del proceso. Esquemas típicos son mostrados en las Figs. 3.9 a,b,c,d. El esquema mostrado en la Fig. 3.8 a no deberá usarse cuando la descarga es toxico o valiosos. En estos casos la salida debe ir a un sistema de recuperación de gases tal como un “scrubber”.

Fig. 3.9a Control de presión por salida directa

Fig. 3.9b Salida de no condensables despues del condensador

Fig. 3.9c. Control de presión en el condensador mediante el flujo de refrigerante

Fig. 3.9d Control de presión de un condensador, mediante la variación del área de transferencia de calor dependiente del nivel de liquido 3.10.3

Control de flujo

El control de flujo usualmente está asociado con el control de inventario en un tanque de almacenamiento u otro equipo. Debe haber un reservorio para para tomar los cambios en la velocidad de flujo. Para proveer el control de flujo en un compresor o una bomba trabajando a velocidad constante y suministrando un flujo de salida constante, se debe usar un “By pass” como muestra las Fig. 3.10 a, b.

Fig. 3.10 a Control de flujo para una bomba reciprocante

Fig. 3.10 b Esquema alternativo para bomba o compresor centrífugos

3.10.4

Intercambiadores de calor

La Fig. 3.11 a muestra el arreglo simple, la temperatura es controlada variando el flujo del medio de calentamiento o enfriamiento

Fig. 3.11a Control de una corriente de fluido

Si el intercambiador está entre dos corrientes de proceso cuyos flujos son fijos, se puede usar un control mediante “by pass”, como muestra la Fig. 3.11b

Fig. 3.11b Control en “by pass” Control de condensadores

El control de temperatura es inseguro para ser efectivo en condensadores a menos que la corriente de liquido sea subenfriada. El control de la presión es a menudo usada como se muestra en la Fig. 3.9d o el control de temperatura puede basarse en la temperatura del medio de enfriamiento. Control de rehervidores y vaporizadores Así como en condensadores, el control de temperatura no es efectivo, como la temperatura del vapor saturado es constante a presión constante. Para vaporizadores se usa el control de nivel; el controlador controlando el vapor suministrado al área de transferencia, con control de flujo en la alimentación de liquido a ser vaporizado, como muestra la Fig. 3.12. Un incremento en la alimentación trae como resultado un incremento automático en la corriente de vapor al vaporizador para evaporar el flujo incrementado y mantener constante el nivel. El sistema de control del rehervidor se selecciona como parte del sistema general de control para la columna y se discute en la Sección 3.10.7

Fig. 3.12 Control de un vaporizador 3.10.5

Control en cascada

Con este arreglo, la salida de un controlador es usado para ajustar el punto de referencia (“set point”) de otro. El control en cascada puede dar control uniforma en situaciones donde el control directo de la variable podría dar operación inestable. El controlador "esclavo”puede ser usado para compensar para cualquier variación corta en, por decirlo, una corriente de servicio, la cual podría perturbar la variable controlada; el controlador primario (principal) controla las variaciones mas grandes. Ejemplos típicos son mostrados en las Fig. 3.13e y 3.14

3.10.6

Control proporcionador

El control proporcionador se puede usar donde se desea mantener dos flujos a razón constante, por ejemplo, alimentaciones a un reactor y reflujo de columnas de destilación. Un esquema típico para el control proporcionador se muestra en la Fig. 3.13. En la Fig. 3.13, el controlador sobre la corriente A controla el flujo de esa corriente y proporciona una señal hacia el proporcionador, el cual controla el punto de referencia del controlador sobre la corriente B; el punto de referencia es automáticamente ajustado para mantener una razón fija preestablecida entre los dos flujos de las corrientes.

Fig. 3.13 Control proporcionador

3.10.7

Control de columnas de destilación

El objetivo principal del control de una columna de destilación es para mantener la composición especificada de los productos del tope y del fondo, y cualquier corriente lateral corriegiendo para los efectos de perturbaciones en: 1.

Velocidades de flujo de alimentación, composición y temperatura.

2.

Presión del vapor suministrado.

3.

Presión del agua de enfriamiento y temperatura de calentamiento

4.

condiciones ambientales, las cuales causan cambios en el reflujo interno.

Las composiciones son controladas regulando el caudal de reflujo y ebullición. El balance de materiales sobre toda la columna también debe ser controlado; las columnas de destilación tienen pequeñas variaciones en su capacidad (retención) y los flujos de destilado y fondos (y corrientes laterales) deben igualar al flujo de la alimentación. Shinskey (1979) ha mostrado que hay 120 formas para conectar los cinco pares principales de las principales variables medidas y controladas, en lazos simples. Una variedad de esquemas de control se han propuesto para control

de columnas de destilación. Algunos esquemas típicos son mostrados en las Figs. 3.13a, b, c, d; lazos e instrumentos auxiliares de control no son mostrados. El control de columnas de destilación es discutido en detalle por Parkins (1959), Bertrand y Jones (1961), Shineskey (1979) y Luyben (1995). La presión de la columna es normalmente controlada a un valor constante. El uso del control variable de presión para conservar energía ha sido discutido por Shinskey (1979). La velocidad de flujo de la alimentación es a menudo ajustada por un controlador de nivel de una columna anterior. Esto puede ser controlado independientemente si la columna es alimentada desde un tanque de almacenamiento. La temperatura de alimentación normalmente no es controlada, a menos que se use un precalentador. La temperatura es frecuentemente usada como un indicador de la composición. El sensor de temperatura debe colocarse en una posición en la columna donde la velocidad de cambio de la temperatura con el cambio en la composición de los componentes claves es un máximo. Cerca del tope y del fondo de la columna el cambio usualmente es pequeño. Con sistemas de múltiple componentes, la temperatura no es la única función de la composición.

Las temperaturas del tope son usualmente controladas variando la razón de reflujo, y las temperaturas del fondo variando la velocidad de ebullición. Si se pueden colocar analizadores en línea, se pueden incorporar al lazo de control, pero se necesitara equipo de control más complejo.

Fig. 3.13a Modelo de control de temperatura. Con este arreglo puede ocurrir interacción entre los controladores de temperatura del tope y el fondo

Fig. 3.13b Control de composición. Razón de reflujo controlada por un controlador proporcionador, o separador, y los productos del fondo tienen una relación fija respecto a la alimentación

Control diferencial de presión es a menudo usado en columnas empacadas para conseguir que el empaque opere a la carga correcta; ver Fig. 3.13d. Indicadores adicionales de temperatura o puntos de registro deben ser incluidos sobre la columna para monitorear la operación de la columna.

Fig. 3.13c Control de composición. Producto del tope y ebullición controlada por la alimentación

Fig. 3.13d Columna empacada. Control de presión diferencial

Fig. 3.13e. Destilación “batch” reflujo en cascada con la temperatura para mantener composición constante en el tope 3.10.8

Control de reactores

Los esquemas usados para control del reactor depende del proceso y el tipo de reactor

Fig. 3.14 Esquema típico de control de un CSTR, control de temperatura en cascada y control de flujo de reactante. Si se dispone de un analizador en línea, y la dinámica del reactor es aprovechable, la composición del producto puede monitorearse continuamente y las condiciones del reactor y flujos de la alimentación se pueden controlar automáticamente para mantener la composición deseada del producto y el rendimiento. Muchas veces, el operador es el nexo final en el lazo de control, ajustando los puntos de referencia para mantener el producto dentro de las especificaciones, basándose en análisis periódicos de laboratorio. La temperatura del reactor normalmente se controla regulando el flujo del medio de calentamiento o de enfriamiento. La presión usualmente se mantiene constante. El control del balance de materiales será necesario para mantener el flujo correcto de reactantes al reactor y el flujo de productos y material no reaccionado desde el reactor. Un esquema típico de control del reactor se muestra en la Fig. 3.14

3.10.9

Alarmas y dispositivos de seguridad

Las alarmas son usadas para alertar sobre serios y potenciales peligrosas desviaciones en las condiciones del proceso. Los instrumentos claves son acondicionados con “switches”y “relays” para operar alarmas audibles y visuales en los paneles de control y otros. Cuando hay demora o falta de

respuesta, y sea probable el desarrollo rápido de una situación peligrosa, los instrumentos deben estar acondicionados con sistemas de seguridad para tener acción automática para prevenir el peligro; tales como dispositivos de parada de bombas, cierre de válvulas, sistemas de operación de emergencia. Los componentes básicos de un sistema de seguridad son: 1.

Un sensor para monitorear la variable de control y proporcionar una señal de salida cuando se ha excedido el valor preestablecido (el instrumento).

2.

Una línea para transferir la señal al actuador, usualmente consistiendo de un sistema neumático o eléctrico de “relays”.

3.

Un actuador para llevar a cabo la acción requerida, cerrando o abriendo una válvula, apagando un motor.

Los dispositivos de seguridad pueden incorporarse al lazo de control. Sin embargo, la operación segura del sistema dependerá del equipo de control, y para situaciones potencialmente peligrosas es mejor práctica especificar un sistema separado de alarmas. Se deben hacer previsiones para el chequeo periódico de los sistemas de seguridad para conseguir que el sistema opere cuando sea necesario.

CAPITULO 4 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Analizando el problema de control del tanque de calentamiento en el Cáp. 1, es evidente que la solución de las ecuaciones diferenciales será una de nuestras mayores tareas. El método de la transformada de Laplace proporciona una vía eficiente para solucionar ecuaciones diferenciales ordinarias, lineales con coeficientes constantes. Transformando una ecuación diferencial resulta una ecuación algebraica con la variable s reemplazando al tiempo como variable independiente. Resolviendo esta ecuación algebraica y haciendo la transformación inversa da la solución de la ecuación original.

4.1 EL CONCEPTO DE UNA TRANSFORMADA Un ejemplo familiar de una transformada es un logaritmo. Por ejemplo, considerar la multiplicación de dos números tales como:

(643) (2,68) = ... Para resolverlo mediante logaritmos es necesario lo siguiente: 1. 2.

3.

Tomar los logaritmos (hacer la transformación). Sumar los logaritmos (solucionar el problema en un dominio matemático diferente). Notar que la complejidad del problema se ha reducido: Adición reemplaza a multiplicación. Tomar el antilogaritmo (hacer la transformación inversa).

El problema transformado es resuelto en el paso 2, y luego en el paso 3 esta solución es convertida al dominio del problema original. La transformada de Laplace tiene mucho en común con las transformadas logarítmicas. Las transformadas de Laplace son transformadas integrales y son transformadas para funciones en lugar de números. Definimos: f(t) = una función del tiempo t tal que f(t) = 0 para t < 0

L = un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que procede debe

F(s) = transformada de Laplace de f(t) Entonces la transformada de Laplace de f(t) está dada por

Donde L es el símbolo para “La transformada de Laplace de”. Así pues, aplicar una transformada de Laplace a una ecuación diferencial equivale pasar del dominio del tiempo t a la variable compleja  + j en el dominio de la s. Para que al lector le sea más fácil comprenderlo, intente imaginarse que en lugar de vivir en nuestro mundo habitual en el que todos los fenómenos, tanto físicos como químicos, los referimos al tiempo utilizando como patrones los relojes, pasara a habitar otro mundo totalmente distinto en el que la referencia fuera una variable compleja s medida por patrones s en lugar de los

relojes. Si consigue situarse en esta posición imaginaria, todos los razonamientos y conceptos que siguen y que están basados en la transformada de Laplace, le resultarán perfectamente comprensibles conceptualmente. (De hecho con una calculadora programada según la expresión básica de la transformada de Laplace o con el uso de un paquete de cálculo, es fácil pasar inmediatamente expresiones en el sistema t al sistema s).

Fig. 4.1 Dominios t y s Una vez que se ha obtenido la solución de la expresión algebraica en función de la variable s, bastará buscar la transformada inversa de Laplace (antitransformada) con el fin de obtener la solución de la ecuación diferencial en el dominio del tiempo. Se expresa del modo siguiente: L-1 [F(s)] = f(t)

(4.2)

Ejemplo 4.1 Encontrar la transformada de Laplace de la función: f(t) = 1 De acuerdo a la Ec. 4.1

Análogamente, la transformada de una constante sería

En la Tabla 4.1 se encuentran resueltas las transformadas de las funciones más comunes.

TABLA 4.1 Tabla de transformadas de Laplace

4.1.1 Transformada de Laplace con UNTSIM El simulador UNTSIM posee una rutina para evaluar las transformadas de Lapace de funciones del tiempo. Por ejemplo si deseamos evaluar la transformada de Laplace de : f (t) = 1 - cos (3 t) Seleccionamos del Menú principal: Otros cálculos - Cálculos Matemáticos - Transformada de Laplace - Transformar F(t) a F(s) Copyright 2004 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved 05-Jul-2004 ESTE PROGRAMA ENCUENTRA LA TRANSFORMADA DE LAPLACE F(s) DE UNA FUNCIÓN DEL TIEMPO f(t) ************************************************************** Ingresar Función f(t): 1-cos(3*t) ************************************************************* LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA FUNCION ES:

------------------------------------------------------------s 1/s - -----2 s+9 ------------------------------------------------------------>>

4.1.2

Consideraciones importantes de la Transformada de Laplace

Hay varios factores importantes que se deben considerar: 1.

La transformada de Laplace F(s) no contiene información acerca del comportamiento de f(t) para t < 0. esto no es una limitación para el estudio de sistemas de control ya que t representa la variable tiempo y el estudio del comportamiento de sistemas se hace solamente para t > 0. en realidad, las variables y sistemas son definidos usualmente tal que f(t)  0 para t < 0. esto quedará claro con el estudio de los ejemplos específicos.

2.

Puesto que la transformada de Laplace es definida en la Ec. (4.1) por una integral impropia, esta no existirá para todas las funciones f(t).

3.

la transformada de Laplace es lineal. En notación matemática será: L[Af1(t) + Bf2(t)] = A L[f1(t)] + B L[f2(t)]

(4.4)

Donde A y B son constantes, y f1, f2 son dos funciones de t 4.

El operador de Laplace transforma una función de la variable t a una función de la variable s. La variable t es eliminada mediante la integración.

4.2 TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA

esta última, aplicada reiteradamente a una derivada enésima, daría L[fn(t)] = snF(s) – sn – 1 f(0) – sn – 2 f’(0) – . . . – fn-1(0) y con las condiciones iniciales supuestas nulas resulta:

(4.6)

L[f n(t)] = sn F(s) (4.7)

Ejemplo 4.2 Encontrar la transformada de Laplace de la función x(t) la cual satisface la ecuación diferencial y las condiciones iniciales

Es permisible matemáticamente tomar la transformada de Laplace de una ecuación diferencial e igualarlos, ya que igualdad de funciones implica igualdad de sus transformadas. Haciendo esto, se obtiene s3X(s) – s2x(0) – sx(0) – x(0) + 4[s2X(s) – sx(0) - x(0)]

donde X(s) = L[x(t)]. Se ha hecho uso de la propiedad de linealidad y del hecho de que solamente son de interés valores positivos de t. Insertando las condiciones iniciales y resolviendo para X(s)

4.2.1 Transformada de una derivada con UNTSIM El simulador UNTSIM, posee una rutina para evaluar la transformada de Laplace de una EDO de orden n (0

4.3 TRANSFORMADA DE UNA INTEGRAL

Es decir, la transformada de Laplace convierte la operación de derivar en una multiplicación por la variable s y la operación de integrar en una división por la misma variable s, siempre que naturalmente las condiciones iniciales sean nulas.

4.4 TRANSFORMADA INVERSA En las secciones previas se ha dado f(t) y el problema ha sido determinar su transformada de Laplace F(s). En esta sección se considera el problema de hallar f(t) cuando se conoce F(s); el proceso es conocido como inversión. Esta operación es comúnmente denotada por: f(t) = L-1[F(s)]

(4.9)

En la mayoría de los casos, la transformación inversa se puede obtener de la tabla de transformadas tales como las mostradas en la Tabla (4.1). en esta tabla, dos funciones de t no tienen la misma transformada de Laplace o dos funciones de s no tienen la misma transformada inversa. En general, la transformada inversa es única si no son tomadas en cuenta las funciones nulas, tales como las funciones cuya integral con respecto al tiempo es cero.

4.5 PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMADAS Las propiedades de la transformada de Laplace son las siguientes: -

Linealidad L[f1 (t)  f2 (t)] = F1(s)  F2(s) (4.10) Permutabilidad L[k.f(t)] = k.L[f(t)]

(4.11)

4.5.1 Teorema del valor inicial Permite conocer el valor de una función en el origen sin necesidad de calcular su antitransformada y sustituir en ella la variable independiente por 0. Se sabe que, conocida la función y(t), la transformada de Laplace de su derivada es:

4.5.2

Teorema del valor final

De una forma análoga a la anterior se desea saber el valor de una función en el infinito, y no es posible o bien no se desea calcular su transformada inversa. Procediendo como antes se busca la transformada de Laplace de su derivada y se toman límites para s 0, con lo cual resulta:

luego

4.5.3 Teorema del retardo puro Cumple la igualdad: L[f(t – T)] = e-sT F(s) siendo el retardo puro la función f = e-sT y T una constante

Si se impone que las condiciones iniciales son nulas en la función primitiva y en sus derivadas, resulta:

L[e-atf(t)] = F(s + a)

(4.20)

o bien deshaciendo la transformación L-1 [F(s + a)] = e-at f(t) = e-at L-1 [F(s)]

(4.21)

que puede considerarse homónima del teorema del retardo puro, cambiando los dominios t y s.

Ejemplo 4.4 Valores inicial y final de una función f(t) cuya transformada de Laplace es:

Si se deseara conocer la forma de arranque de la curva en el origen, se procedería del modo siguiente En el dominio del tiempo

En el instante inicial t 0, se producen variaciones rápidas de la derivada y puede suponerse que ésta tiende a infinito p . Luego

Lo que indica que el origen la curva se comporta como si fuera equivalente a la función. TABLA 4.2 Propiedades de las transformadas de Laplace

CAPITULO 5 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES Si analizamos el Ejemplo 4.2, hay dos puntos importantes con respecto a este ejemplo. En primer lugar, la aplicación de la transformación trae como resultado una ecuación la cual es resuelta para la función desconocida por medios puramente algebraicos. Segundo, y más importante, si la función x(t) la cual tiene la transformada de Laplace 2/s(s3 + 4s2 + 5s + 2) fuese conocida, podríamos tener la solución a la ecuación diferencial y las condiciones de frontera. Esto sugiere un procedimiento para resolver ecuaciones diferenciales. En el método de la transformada de Laplace para la solución de ecuaciones diferenciales, la función es convertida a sus transformadas y las ecuaciones resultantes son resueltas algebraicamente para la función desconocida. Esto es mucho más fácil que resolver una ecuación diferencial. Nosotros obviamente no podemos esperar construir una tabla conteniendo las transformadas de Laplace de cada función f(t) la cual posee una transformada. En cambio podríamos desarrollar métodos para expresar transformadas complicadas, tal como X(s) del Ejemplo 4.2, en términos de transformadas simples las cuales pueden encontrarse en la Tabla 4.1. Por ejemplo, se puede verificar fácilmente que la solución a la ecuación diferencial y condiciones de frontera del Ejemplo 4.2 es x(t) = 1 – 2te-1 – e-2t

(5.1)

La transformada de Laplace de x, usando la Ec. (5.1) y la Tabla (4.1), es

La ecuación X(s) = 2/s(s3 + 4s2 + 5s + 2) es el resultado de poner la Ec. (5.2) sobre un denominador común y muchas veces es difultuoso encontrar x(t) a partir de esta ecuación, requiriéndose un método para expandir la forma de denominador común a la forma separada dada en la Ec. (5.2). Este método es dado por la técnica de fracciones parciales que se verá más adelante.

5.1

Inversión por fracciones parciales

En problemas de análisis de teoría de control, F(s), la transformada de Laplace de f(t), frecuentemente es de la forma

donde las A(s) y B(s) son polinomios en s, y el grado de B(s) es menor de A(s). Si F(s) se descompone en sus componentes, F(s) = F1(s) + F2(s) + . . . + Fn(s)

(5.4)

y si las transformadas inversas de Laplace de F1(s), F2(s) , . . . , Fn(s) son obtenidas fácilmente, entonces L-1[F(s)] = L-1[F1(s)] + L-1[F2(s)] +. . . + L-1[Fn(s)] = f1(t) + f2(t) + . . . + fn(t)

(5.5) (5.6)

donde f1(t), f2(t), . . ., fn(t) son las transformadas inversas de Laplace de F1(s), F2(s) , . . . , Fn(s), respectivamente. La transformada inversa de Laplace así obtenida F(s) es única, excepto posiblemente en puntos donde la función de tiempo es discontinua. Toda vez que la función de tiempo sea continua, las funciones del tiempo f(t) y sus transformadas de Laplace F(s) tienen una correspondencia univoca. La ventaja del procedimiento de expansión en fracciones parcialices es que los términos individuales de F(s), resultantes de la expansión en forma de fracciones parciales, son funciones muy simples de s. En consecuencia no es necesario recurrir a una tabla de transformadas de Laplace, si se memorizan algunos pares de transformadas de Laplace simples. Conviene señalar, sin embargo, que al aplicar la técnica de expansión en fracciones parciales en búsqueda de la transformada inversa de Laplace de F(s) = B(s)/A(s) deben conocerse previamente las raíces del polinomio denominador A(s). Es decir, este método no se aplica hasta que se ha factorizado el polinomio denominador. En la expansión de F(s) = B(s)/A(s) en forma de fracciones parciales, es importante que la potencia más elevada de s en A(s) sea mayor que la potencia de s en B(s). Si ese no es el caso, el numerador B(s) debe dividirse entre el denominador A(s) para producir un polinomio en s más un resto (una relación de polinomios en s cuyo numerador sea de grado menor que el denominador). (Para detalles ver el Ejemplo 5.2)

5.1.1

Expansión en fracciones parciales cuando F(s) contiene únicamente polos distintos

Sea F(s) escrita en su forma factorizada

donde p1, p2, . . ., pn y z1, z2, . . ., zm son cantidades reales o complejas, para cada complejo p o z, debe aparecer el respectivo conjugado de pi o zi. Si F(s) contiene solamente polos distintos, puede expandirse en una suma de fracciones parciales simples, es decir:

donde ak (k = 1, 2, . . ., n) son constantes. El coeficiente ak se denomina residuo en el polo de s = – pk. El valor de ak puede hallarse multiplicando ambos miembros de la Ec. (5.8) por (s + pk) y haciendo s = – pk, lo que da

Como puede verse, todos los términos expandidos desaparecen, excepto ak. Entonces se halla que el residuo es

Nótese que, como f(t) es una función real del tiempo, si p1 y p2 son complejos conjugados, los residuos de a1 o a2 también son complejos conjugados. Sólo uno de los conjugados, a1 o a2 debe evaluarse, ya que el otro se conoce automáticamente. Como

Se obtiene f(t) como

Ejemplo 5.1 Hallar la transformada inversa de Laplace de

La expansión de F(s) en fracciones parciales es

donde a1 y a2 se determinan utilizando la Ec. (5.9).

Entonces f(t) = L-1[F(s)]

= 2e

–t

– e

–2t

(t  0)

Ejemplo 5.2 Obtener la transformada inversa de Laplace de

Nótese que el polinomio denominador puede factorizarse como s2 + 2s + 5 = (s + 1 + j2)(s + 1 – j2) Si la función F(s) incluye un par de polos complejos conjugados, es conveniente no expandir en las fracciones parciales habituales, sino en una suma de una función seno y una función coseno amortiguadas. Considerando que s2 + 2s + 5 = (s + 1) 2 + 22 y colocando las transformadas de Laplace de e –  t sen  t y e –  t cos  t, se escribe

De aquí que: f(t) = L-1[F(s)]

= 5e – t sen 2t + 2e – t cos 2t

5.1.2

(t  0)

Expansión en fracciones parciales cuando F(s) tiene polos múltiples

En lugar de tratar el caso general, se utiliza un ejemplo para mostrar cómo obtener la expansión de F(s) en fracciones parciales. Sea la siguiente F(s):

La expansión en fracciones parciales de esta F(s) cubre tres términos

donde b1, b2 y b3 se determinan como sigue. Multiplicando ambos miembros de esta última ecuación por (s + 1)3, se tiene

También diferenciando ambos miembros de la Ec. (5.10) con respecto a s se obtiene

Si se hace s = – 1 en la Ec. (5.11), entonces

Diferenciando ambos miembros de la Ec. (5.11) respecto a s, el resultado es

Del análisis precedente se puede ver que los valores b1, b2 y b3 pueden determinarse sistemáticamente del siguiente modo:

= ½ (2) = 1 Así, se tiene f(t) = L-1[F(s)]

= t2 e – t + 0 + e – t = (t2 +1) e – t

(t  0)

5.1.3 Descomposición en fracciones parciales usando MATLAB Una herramienta importante en el diseño y análisis de sistemas de control es MATLAB. Comenzaremos viendo su aplicación en la descomposición de expresiones en fracciones parciales, para lo cual consideraremos la razón de dos polinomios b(s) y a(s) de la forma

donde a(1)  0, pero algún a(i) y b(j) pueden ser ceros. Los vectores fila num y den especifican los coeficientes del numerador y del denominador de la función de transferencia. Es decir, num = [b(1) b(2) ... b(n)] den = [a(1) a(2) ... a(n)] La orden [r,p,k] = residue(num,den) encuentra los residuos, los polos y los términos directos de una descomposición en fracciones parciales del cociente de dos polinomios B(s) y A(s). La descomposición en fracciones parciales de B(s)/A(s) viene dada por

Ejemplo 5.3

Descomponer en fracciones parciales la siguiente expresión

Solución Para esta función, num = [2 5 3 6] den = [1 6 11 6] La orden [r,p,k] = residue(num,den) da el siguiente resultado >> num = [2 5 3 6] >> den = [1 6 11 6] >> [r,p,k] = residue(num,den) r= -6.0000 -4.0000 3.0000 p= -3.0000 -2.0000 -1.0000 k= 2 >>

(Observe que los residuos se devuelven en un vector columna r, la localización de los polos en un vector columna p y los términos directos en un vector fila k). Esta es la respuesta en MATLAB de la siguiente descomposición en fracciones parciales de B(s)/A(s):

La orden [num,den]=residue (r,p,k) donde r, p, k son dadas en la anterior salida de MATLAB, convierte la descomposición en fracciones parciales al polinomio cociente B(s)/A(s) como sigue: >> [num,den]=residue (r,p,k) num = 2.0000 5.0000 3.0000 6.0000 den = 1.0000 6.0000 11.0000 6.0000

>> Lo cual equivale a la Ec. (5.14)

5.1.4

Descomposición en fracciones parciales usando UNTSIM

El simulador UNTSIM puede usarse para descomponer en fracciones parciales: Ingresando a Cálculos matemáticos-TransformadasDescomposición por fracciones parciales, se tiene la siguiente respuesta Ejemplo 5.4

Descomponer por fracciones parciales usando UNTSIM la Ec. (5.14) Copyright 2002 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved

ESTE PROGRAMA DESCOMPONE UNA FUNCION EN EL DOMINIO DE LAPLACE POR EL METODO DE LAS FRACCIONES PARCIALES PARA TENER UNA EXPRESION DE LA FORMA: a(S)/b(S) = n1/d1 + n2/d2 + ... + k Ver Automatizacion y control Cap. 5.3 Ingrese coeficientes del numerador: [2 5 3 6] Ingrese coeficientes del denominador: [1 6 11 6] -------------------------------------------Numerador(n) Denominador(d)=(s-...) -6.0000 -3.0000 -4.0000 -2.0000 3.0000 -1.0000 El residuo k= 2

Con lo cual la descomposición en fracciones parciales es la Ec. (1&)

Ahora podemos tomar la transformada inversa, según la Tabla (4.1). Ejemplo 5.5

Determinar la expansión por fracciones parciales de:

Ingrese coeficientes del numerador: [ 2 0 9 1] Ingrese coeficientes del denominador: [ 1 1 4 4] -------------------------------------------Numerador(n) Denominador(d)=(s-...) 0.0000 - 0.2500i -0.0000 + 2.0000i 0.0000 + 0.2500i -0.0000 - 2.0000i -2.0000 -1.0000 El residuo k= 2

Luego la expansión en fracciones parciales es

5.2

USO DE UNTSIM PARA INVERTIR F(s) A f(t)

Podemos usar el simulador UNTSIM para hacer la transformación directa de F(s) a f(t). Para lo cual seleccionamos del Menú Principal: Otros cálculos Cálculos Matemáticos - Transformada de Laplace –Transformar F (s) a f(t) Ejemplo 5.6 Invertir F(s) a f(t) la expresión obtenida en el Ejemplo 4.2.

Copyright 2004 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved 06-Jul-2004 ESTE PROGRAMA ENCUENTRA LA TRANSFORMADA INVERSA f(t) DE UNA FUNCION F(s) ************************************************************** Ingresar Función F(s): 2/(s^4+4*s^3+5*s^2+2*s) ************************************************************* LA TRANSFORMADA INVERSA DE LA FUNCION ES: ------------------------------------------------------------1 - exp(-2 t) - 2 t exp(-t) -------------------------------------------------------------

Ejemplo 5.7 Invertir F(s) a f(t) dada por la expresión (5.16) del Ejemplo 5.4

Copyright 2004 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved 11-Apr-2004

ESTE PROGRAMA ENCUENTRA LA TRANSFORMADA INVERSA f(t) DE UNA FUNCION F(s) ************************************************************** Ingresar Funcion F(s): (-6/(s+3))-(4/(s+2))+(3/(s+1))+2 ************************************************************* LA TRANSFORMADA INVERSA DE LA FUNCION ES: -------------------------------------------------------------6 exp(-3 t) - 4 exp(-2 t) + 3 exp(-t) + 2 Dirac(t) ------------------------------------------------------------>>

Ejemplo 5.8 Invertir F(s) a f(t) dada por la expresión (5.18) del Ejemplo 5.5

ESTE PROGRAMA ENCUENTRA LA TRANSFORMADA INVERSA f(t) DE UNA FUNCION F(s) ************************************************************** Ingresar Función F(s): 2+(-2/(s+1))+(1/((s^2)+4)) ************************************************************* LA TRANSFORMADA INVERSA DE LA FUNCION ES: ------------------------------------------------------------1/2 1/2 2 Dirac(t) - 2 exp(-t) + 1/4 4 sin(4 t) -------------------------------------------------------------

5.3 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO El método de la transformada de Laplace brinda la solución completa (la solución particular más la complementaria) de ecuaciones diferenciales ordinarias invariantes en el tiempo. Los métodos clásicos para hallar la solución completa de una ecuación diferencial, requieren evaluar las constantes de integración a partir de las condiciones iniciales. En el caso de la transformada de Laplace, empero, no es necesario calcular las constantes de integración a partir de las condiciones iniciales, ya que estas quedan incluidas automáticamente en la transformada de Laplace de la ecuación diferencial. Si todas las condiciones iniciales son cero, la transformada de Laplace de la ecuación diferencial, se obtiene substituyendo simplemente d/dt por s, d2/dt2 por s2, etc. El método para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes con la transformada de Laplace comprende:

1.

Tomar la transformada de ambos lados de la ecuación, en este punto se incorporan las condiciones iniciales en las transformadas de las derivadas.

2.

Resolver algebraicamente la ecuación resultante para la transformada de Laplace de la función desconocida.

3.

Encontrar la función de t la cual tiene la transformada de Laplace obtenida en el paso 2. esta función satisface la ecuación diferencial y las condiciones iniciales y es la solución deseada.

Ejemplo 5.9 Resolver x' + 3x = 0 x(0) = 2 Enumerando las etapas de acuerdo a la discusión anterior: 1.

sX(s) – 2 + 3X(s) = 0

5.4 USO DE UNTSIM PARA RESOLVER EDO El simulador UNTSIM puede usarse para resolver EDO. Ejemplo 5.10 Resolver la EDO del Ejemplo 5.9. a) Transformada de Laplace de la EDO Copyright 2004 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved 06-Jul-2004

ESTE PROGRAMA ENCUENTRA LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA ECUACION DIFERENCIAL DE ORDEN n CON CONDICIONES INICIALES ************************************************************** Colocar la EDO en la forma: n (n-1) dx d x dx an ---- + a(n-1) ------- + . . . + a1 ---- + ao x = u n (n-1) dt dt dt donde an ... ao y u = escalares ------------------------------------------------------------Orden de la Ec. Diferencial (maximo 10): 1 Ingresar coeficientes del lado izquierdo de la Ecuacion [an, ..., ao]: [1 3] Ingresar lado derecho de ecuacion: 0 Condicion inicial x(o): 2 ---------------------------------------------------------------La Transformada de Laplace X(s) = 2 ----s+3

b) Invirtiendo F(s) a f(t) Copyright 2004 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved 06-Jul-2004 ESTE PROGRAMA ENCUENTRA LA TRANSFORMADA INVERSA f(t) DE UNA FUNCION F(s) ************************************************************** Ingresar Funcion F(s): 2/(s+3) ************************************************************* LA TRANSFORMADA INVERSA DE LA FUNCION ES: ------------------------------------------------------------2 exp(-3 t) -------------------------------------------------------------

>> Ejemplo 5.11 Hallar x(t) de la ecuación diferencial x'' + 3x + 2x = 0

x(0) = a

x(0) = b

donde a y b son constantes. Denotando la transformada de Laplace de x(t) por X(s), o sea L[x(t)] = X(s) se obtiene L[x] = sX(s) – x (0) L[x] = s2X(s) – sx(0) – x(0) Y entonces la ecuación diferencial dada se convierte en [s2X(s) – sx(0) – x(0)] +3[sX(s) – x(0)] + 2X(s) = 0 Substituyendo las condiciones iniciales en esta última ecuación, [s2X(s) – as – b] + 3[sX(s) – a] + 2X(s) = 0 o (s2 + 3s + 2)X(s) = as + b + 3a Despejando el valor de X(s), se tiene

La transformad inversa de Laplace de X(s) da

= (2a + b)e – t – ( a + b) e – 2 t

(t  0)

Que es la solución de la ecuación diferencial propuesta. Nótese que en la solución aparecen las condiciones iniciales a y b. Así, x(t) no tiene constantes indeterminadas. Asumiendo que a = 1 y b = 3, y usando el simulador UNTSIM se tiene:

a) Transformada de Laplace de la EDO Orden de la Ec. Diferencial (maximo 10): 2 Ingresar coeficientes del lado izquierdo de la Ecuacion [an, ..., ao]: [1 3 2] Ingresar lado derecho de ecuacion: 0

Condiciones iniciales d1x(0): 3 x(0): 1 ---------------------------------------------------------------La Transformada de Laplace X(s) = s+6 -----------2 s+3s+2

b) Invirtiendo F(s) a F(t) ************************************************************** Ingresar Funcion F(s): (s+6)/(s^2+3*s+2) ************************************************************* LA TRANSFORMADA INVERSA DE LA FUNCION ES: -------------------------------------------------------------4 exp(-2 t) + 5 exp(-t) ------------------------------------------------------------>>

Ejemplo 5.12 Encontrar la solución x(t) de la ecuación diferencial x'' + 2x' + 5x = 3

x(0) = 0

Considerando que L[3] = 3/s, x(0) = 0, Laplace de la ecuación diferencial es

x' (0) = 0 x' (0) = 0, la transformada de

s2X(s) + 2sX(s) + 5X(s) = 3/s Al resolver para despejar X(s), se halla

Por lo tanto, la transformada inversa de Laplace es x(t) = L– 1[X(s)]

Ejemplo 5.13 Resolver la ecuación diferencial siguiente para las condiciones iniciales y(0) = - 1, y' (0) = 2 y '' + 3y' + 2y – 5 = 0 La transformada de Laplace es: y'' = s2Y(s) – sy(0) – y(0) = s2Y(s) + s – 2 y' =sY(s) – y(0) luego:

Usando UNTSIM a) Transformada de Laplace de la EDO Orden de la Ec. Diferencial (maximo 10): 2 Ingresar coeficientes del lado izquierdo de la Ecuacion [an, ..., ao]: [1 3 2]

Ingresar lado derecho de ecuacion: 5 Condiciones iniciales d1x(0): 2 x(0): -1 ---------------------------------------------------------------La Transformada de Laplace X(s) = 5/s - s - 1 -----------2 s+3s+2

b) Inversión de F(s) a f(t) ************************************************************** Ingresar Funcion F(s): (5/s-s-1)/(s^2+3*s+2) ************************************************************* LA TRANSFORMADA INVERSA DE LA FUNCION ES: ------------------------------------------------------------5/2 + 3/2 exp(-2 t) - 5 exp(-t) -------------------------------------------------------------

5.5

DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES USANDO MATLAB

Una herramienta importante en el diseño y análisis de sistemas de control es MATLAB. Comenzaremos viendo su aplicación en la descomposición de expresiones en fracciones parciales, para lo cual consideraremos la razón de dos polinomios b(s) y a(s) de la forma

donde a(1)  0, pero algún a(i) y b(j) pueden ser ceros. Los vectores fila num y den especifican los coeficientes del numerador y del denominador de la función de transferencia. Es decir, num = [b(1) b(2) ... b(n)] den = [a(1) a(2) ... a(n)] La orden [r,p,k] = residue(num,den)

encuentra los residuos, los polos y los términos directos de una descomposición en fracciones parciales del cociente de dos polinomios B(s) y A(s). La descomposición en fracciones parciales de B(s)/A(s) viene dada por

Ejemplo 5.7 Descomponer en fracciones parciales la siguiente expresión

Solución Para esta función, num = [2 5 3 6] den = [1 6 11 6] La orden [r,p,k] = residue(num,den) da el siguiente resultado >> num = [2 5 3 6] >> den = [1 6 11 6] >> [r,p,k] = residue(num,den) r= -6.0000 -4.0000 3.0000 p= -3.0000 -2.0000 -1.0000 k= 2

>>

(Observe que los residuos se devuelven en un vector columna r, la localización de los polos en un vector columna p y los términos directos en un vector fila k). Esta es la respuesta en MATLAB de la siguiente descomposición en fracciones parciales de B(s)/A(s):

La orden [num,den]=residue (r,p,k) donde r, p, k son dadas en la anterior salida de MATLAB, convierte la descomposición en fracciones parciales al polinomio cociente B(s)/A(s) como sigue: >> [num,den]=residue (r,p,k) num = 2.0000 5.0000 3.0000 6.0000

den = 1.0000 6.0000 11.0000 6.0000

>>

Usando el simulador UNTSIM a) Descomposición en fracciones parciales Ingresando a Calculos matemáticos-Transformadas-Descomposición por fracciones parciales, se tiene la siguiente respuesta

Copyright 2002 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved ESTE PROGRAMA DESCOMPONE UNA FUNCION EN EL DOMINIO DE LAPLACE POR EL METODO DE LAS FRACCIONES PARCIALES PARA TENER UNA EXPRESION DE LA FORMA: a(S)/b(S) = n1/d1 + n2/d2 + ... + k Ver Automatizacion y control Cap. 5.3 Ingrese coeficientes del numerador: [2 5 3 6] Ingrese coeficientes del denominador: [1 6 11 6] -------------------------------------------Numerador(n) Denominador(d)=(s-...) -6.0000 -3.0000 -4.0000 -2.0000 3.0000 -1.0000 El residuo k= 2

Con lo cual la descomposición en fracciones parciales es:

Ahora podemos tomar la transformada inversa, según la Tabla (4.1). y(t) = – 6 e–3t – 4 e–2t + 3e–t + 2 b) Invirtiendo F(s) a F(t) Ingresando a Calculos matemáticos-Transformadas-Inversión de F(s), se tiene la siguiente respuesta Copyright 2004 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved 11-Apr-2004 ESTE PROGRAMA ENCUENTRA LA TRANSFORMADA INVERSA f(t) DE UNA FUNCION F(s) ************************************************************** Ingresar Funcion F(s): (-6/(s+3))-(4/(s+2))+(3/(s+1))+2 ************************************************************* LA TRANSFORMADA INVERSA DE LA FUNCION ES: -------------------------------------------------------------6 exp(-3 t) - 4 exp(-2 t) + 3 exp(-t) + 2 Dirac(t) ------------------------------------------------------------>>

Ejemplo 5.8 Determinar la expansión por fracciones parciales de:

Ingrese coeficientes del numerador: [ 2 0 9 1] Ingrese coeficientes del denominador: [ 1 1 4 4] -------------------------------------------Numerador(n) Denominador(d)=(s-...) 0.0000 - 0.2500i -0.0000 + 2.0000i 0.0000 + 0.2500i -0.0000 - 2.0000i -2.0000 -1.0000 El residuo k= 2

Luego la expansión en fracciones parciales es

y la transformada inversa será: Copyright 2004 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved 16-May-2004 ESTE PROGRAMA ENCUENTRA LA TRANSFORMADA INVERSA f(t) DE UNA FUNCION F(s) ************************************************************** Ingresar Funcion F(s): 2+(-2/(s+1))+(1/((s^2)+4)) ************************************************************* LA TRANSFORMADA INVERSA DE LA FUNCION ES: ------------------------------------------------------------1/2 1/2 2 Dirac(t) - 2 exp(-t) + 1/4 4 sin(4 t) -------------------------------------------------------------

CAPITULO 6 LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Nuestro principal uso de la s transformaciones da Laplace en control de procesos involucra la representación de la dinámica del proceso en términos de “Funciones de Transferencia”. Estas son relaciones salida-entrada y se obtienen mediante la transformada de Laplace de ecuaciones algebraicas y diferenciales. Al examinar la Fig. 2.5, se plantea inmediatamente la posible relación existente entre las variables de entrada y las de salida. Al cociente entre las expresiones matemáticas de las variables de salida y de entrada en función del tiempo se le denomina función de transferencia o transmitancia y se representa por el símbolo G(p) o G(s), que recibe también el nombre de transmitancia isomorfa. Para determinar la función de transferencia, consideremos un caso general en el cual las señales de entrada y salida de un sistema se expresarán mediante ecuaciones diferenciales lineales (una ecuación diferencial lineal es la formada por la suma de términos lineales, es decir por la suma de términos que son de primer grado con relación a las variables independientes).

donde ai y bi = coeficientes constantes r = entrada o fuerza impulsora y = salida

Representando la función derivada por el operador p = d/dt resulta: (an pn + a(n-1) pn-1 + ...+ a0)y = (bmpm + b(m-1) pm-1 + ... + b0)r (6.2) y de aquí

que es la relación entre las señales de salida y(t) y entrada r(t), ambas como funciones del tiempo. Esta relación recibe el nombre de función de transferencia del sistema. En la expresión anterior, N(p) representa el numerador de la función de transferencia y D(p) representa el denominador, ambos en función del operador p. En caso de que la señal de entrada o de excitación del sistema sea nula, r(t) = 0 y el sistema evoluciona libremente de acuerdo con la expresión siguiente D(p) = an pn + a(n-1) pn-1 + ... + a0 = 0 (6.4) que se llama ecuación característica y cuyas raíces son p1, p2, p3, ... pi y se denominan polos de la función de transferencia. Las raíces del numerador N(p) igualado a cero se denominan ceros de la función de transferencia. De este modo, la ecuación característica puede expresarse como an(p – p1) (p – p2) ... (p – pi ) (p – pn) = 0 (6.5) o bien, siendo en general pí raíces imaginarias, la expresión anterior pasa a ser D(p) = y(t) = c1 ept + c2 ept + ... + ci ept + ... + cn ept = 0 (6.6) Para que el sistema sea estable, la curva y(t) debe ser de evolución amortiguada al crecer el tiempo, y por tanto las raíces pi deben tener su parte real negativa, ya que entonces el término general ciept = cie(-r + ji)t -----> 0 en el tiempo. Esta es una de las condiciones de estabilidad que se verá más adelante

Consideramos de nuevo la Ec. (6.1) como ecuación diferencial lineal que relaciona las señales de entrada y de salida a un sistema definido por la función de transferencia G. Aplicando la transformada de Laplace a los dos miembros y considerando valores iniciales nulos en la función y en las derivadas resulta: ansnY + a(n-1)sn – 1Y + . . . + a 0Y = bmsmR + b(m-1)sm – 1R + . . . + b 0R (6.7) y de aquí

expresión equivalente a la Ec. (6.3) sin más que cambiar el operador diferencial p en el dominio del tiempo por la variable compleja s en el dominio de las s. Así pues, al ser las dos expresiones equivalentes, la función de transferencia se puede expresar también por el cociente de las transformadas de Laplace, siempre que se mantengan nulas las condiciones iniciales en la variable y sus derivadas. Utilizando este concepto de función de transferencia, se puede representar la dinámica de un sistema por ecuaciones algebraicas en s. Si la potencia más alta de s en el denominador de la función de transferencia es igual a n, se dice que el sistema es de orden n. El valor de la salida se obtiene multiplicando la entrada por la función de transferencia.

6.1

ELEMENTOS DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Para una ecuación que describe un sistema físico real Ec.(6.1), el orden del lado derecho, m, no puede ser mayor que el orden del lado izquierdo, n. Este criterioj para una realizabilidad física es: n m

(6.9)

Esta condición puede ser determinada intuitivamente por el siguiente razonamiento. Tomando un caso donde m = 1 y n = 0.

Esta ecuación dice que tenemos un proceso cuya salida y depende del valor de la entrada r y el valor de la derivada de la entrada. Entonces el proceso debe ser capaz de diferenciar, perfectamente, la señal de entrada. Pero es imposible para todo sistema real diferenciar perfectamente. Esto tomaría que un cambio de escalón en la entrada produzca una punta infinita en la salida. Esto es físicamente imposible. Este ejemplo puede ser generalizado a cualquier caso donde m  n para mostrar que diferenciación debe requerir. Por lo tanto, n siempre debe ser mayor o igual a m. La transformada de Laplace de la Ec. (6.10) da:

Este es un adelanto de primer orden. Esto no es físicamente realizable; es decir, un dispositivo no puede ser construido que tenga exactamente esta función de transferencia Considerar el caso donde n = m = 1.

Esto aparece que una derivada de la entrada es nuevamente requerida. Pero la Ec. (6.12) puede ser arreglada agrupando los términos de derivada juntos:

El lado derecho de esta ecuación contiene funciones del tiempo pero no derivadas. Esta EDO puede ser integrada mediante la evaluación del lado derecho (la derivada) en cada punto en el tiempo e integrando para conseguir z en el nuevo punto en el tiempo. Entonces, el nuevo valor de y es calculado a partir del valor conocido de r: y

=

(z

+

r)/a1

b1 (6.14)

No se requiere diferenciación y esta función de transferencia es físicamente realizable. Recordar, la naturaleza siempre integra. Nunca diferencia!

La transformada de Laplace de la Ec. (6.13) da la función de transferencia salida/entrada

Este es llamado un elemento de adelanto- retraso (lead-lag) y contiene un retraso de primer orden y un adelanto de primer orden. Los sistemas de procesos fluidos y térmicos, manifiestan varias características dinámicas distintas, pero muchas de ellas se pueden describir por combinaciones de cinco funciones de transferencia K

e-Ls tiempo)

Elemento proporcional

Elemento de tiempo muerto (retardo en el

6.2 MODELAMIENTO DINÁMICOS

MATEMÁTICO

DE

SISTEMAS

Para estudiar los sistemas de control una etapa principal es modelar y analizar las características dinámicas del proceso a ser controlado. Un modelo matemático de un sistema dinámico se define como un juego de ecuaciones que representan la dinámica del sistema con exactitud, o al menos, razonablemente bien. Un sistema dado puede tener muchos modelos matemáticos. La dinámica de muchos sistemas se pueden describir en términos de ecuaciones diferenciales, y la respuesta del sistema a una entrada se puede

obtener si se resuelven las ecuaciones diferenciales que modelan dicho sistema. Para obtener información detallada sobre modelamiento y simulación de procesos químicos se recomienda revisar el texto del autos sobre: Modelamiento y Simulación de Procesos

Ejemplo 6.1 Modelamiento matemático de un intercambiador de calor.

Fig. 6.1 Sistema de control de Un Intercambiador de Calor Para ilustrar el modelamiento del proceso, consideraremos el caso de control de temperatura en un intercambiador de calor de doble tubo. En un sistema de intercambio de calor, generalmente se tiene como objetivo calentar (o enfriar) un fluido de proceso hasta una temperatura determinada Tp (de salida) para ser alimentado a una etapa posterior en el proceso, para

cumplir con este objetivo se debe usar una corriente de fluido de calentamiento (o enfriamiento) el cual debe operar en un rango de temperaturas entre la entrada Tco y la salida Tc y a una velocidad de flujo Fc, la cual depende de los requerimientos del proceso. Si el objetivo del proceso de transferencia de calor es el calentamiento (o enfriamiento) de la corriente de proceso, el objetivo del sistema de control es mantener la temperatura de salida de la corriente de proceso en un valor especificado o en estado estacionario ante cualquier perturbación que pueda alterar el proceso. Con lo expuesto anteriormente podemos establecer que la variable controlada es la temperatura de salida del fluido de proceso (Tp), y la variable manipulada es la velocidad de flujo del fluido de calentamiento (Fc). Las perturbaciones pueden presentarse debido a cambios en la temperatura de entrada (Tpo), la velocidad de flujo (Fp) del fluido de proceso, variación de temperatura del medio ambiente, resistencias a las incrustaciones, etc.

Para el sistema de control del intercambiador de calor dado en la Fig. 6.1, por modelamiento matemático (ver Modelamiento y Simulación de Procesos del mismo autor), se llega a las Ecs. (6.16) y (6.17)

donde Tc = temperatura de salida del fluido caliente Tc0 = temperatura de entrada del fluido caliente Tp = temperatura de salida del fluido de proceso (variable que se va a controlar) Tp0 = temperatura de entrada del fluido de proceso Fc = flujo de masa del fluido caliente (variable que se va a manipular) Fp = flujo de masa del fluido de proceso U = coeficiente total de transferencia de calor A = área de transferencia de calor T = diferencia verdadera de temperaturas Cpc = capacidad calorífica del fluido caliente

Cpp = capacidad calorífica del fluido de proceso Mc = masa del fluido caliente dentro del intercambiador Mp = masa del fluido de proceso dentro del intercambiador t = tiempo T = (Tc, TCo, Tp, Tpo) es un vector de temperaturas de los fluidos de entrada y salida, T(T) es la diferencia media efectiva de temperaturas, la cual puede ser la diferencia media aritmética de temperaturas (DMAT). T(T) = [(Tp – Tco) + (Tpo –Tc)]/2 (6.18) o como en la mayoría de los casos prácticos, la diferencia media logarítmica de temperaturas (DMLT).

La dependencia del tiempo del coeficiente de transferencia de calor es importante para variaciones en el área de transferencia de calor. En este caso asumimos que U(t)  0, t  0 y Tco  Tpo ó (Tco  Tpo respectivamente). Las asunciones precedentes implican que bajo condiciones normales de operación, Tco > Tc o (Tco < Tc respectivamente), de modo que el sistema de control está bien definido para todo t  0.

Ejemplo 6.2 Modelamiento matemático de tres reactores en serie

Fig. 6.2 Reactores CSTR en serie La Fig. 6.2 muestra una batería de tres reactores en serie. El producto B es formado y el reactante A es consumido en cada uno de los tres reactores

perfectamente mezclados mediante una reacción de primer orden llevándose a cabo en el liquido. Por el momento asumimos que las temperaturas y retenciones (volúmenes) de los tres tanques pueden ser diferentes, pero tanto las temperaturas y el volumen de liquido en cada tanque se asumen a ser constantes (isotérmico y a volumen constante). Se asume densidad constante a lo largo del sistema, el cual es una mezcla binaria de A y B. Con estas asunciones en mente, podemos formular nuestro modelo. Ver Modelamiento y Simulación de Procesos del mismo autor. Las ecuaciones que describen los cambios dinámicos en las cantidades de reactante A en cada tanque son (con unidades de Kg. . mol de A/min)

La velocidad de reacción específica kn está dada por la ecuación de Arrhenius kn = 

n = 1, 2, (6.21)

3

si las temperaturas en los reactores son diferentes, los k son diferentes. La n se refiere al número de la etapa. El volumen Vn puede ser sacado fuere de la derivada del tiempo debido a que es constante. Si el flujo F es constante y las retenciones y temperaturas son las mismas en todos los tanques, las Ec. (6.20) serán

(6.22)

donde  = V/F con unidades de minutos

Existe solamente una función impulsora o variable de entrada CA0.

6.3 6.3.1

SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES Sistemas lineales

Un sistema en el que se aplica el principio de superposición se denomina lineal. El principio de superposición establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones excitadoras (perturbaciones) distintas, es la suma de las respuestas individuales. Por lo tanto, para sistemas lineales la respuesta a diversas entradas se puede calcular tratando una entrada a la vez, y añadiendo o sumando los resultados. La primera interrogante que debe ser contestada es justamente cuando una ecuación diferencial es lineal. Básicamente es la que contiene variables solamente elevadas a la primera potencia en cualquiera de los términos de la ecuación. Ejemplo de EDO lineal

(6.23) donde ao y a1 son constantes o funciones del tiempo solamente, no de las variables dependientes o sus derivadas. 6.3.2

Sistemas no lineales

Los procesos reales generalmente se modelan mediante ecuaciones algebraicas y/o diferenciales no lineales. Si en la ecuación aparecen raíces cuadradas, cuadrados, exponenciales, productos de variables, etc., la ecuación, es no lineal. Ejemplos de EDO no lineal

(6.24)

(6.25)

(6.26)

(6.27) donde x1 y x2 son variables dependientes

6.4

LINEALIZACIÓN

Matemáticamente, una ecuación diferencial lineal es una para la cual se cumplen las siguientes propiedades: 1.

Si x(t) es una solución, entonces cx(t) es también una solución, donde c es una constante.

2.

Si x1 es una solución y x2 es también una solución, entonces x1 + x2 es una solución.

La linealización es muy simple. Todo lo que se tiene que hacer es tomar las funciones no lineales, expandirlas en una serie de expansión de Taylor alrededor de la operación al estado estacionario, y despreciar todos los términos después de las primeras derivadas parciales. Asumiendo que tenemos una función no lineal de variables del procesos x1 y x2: f (x1, x2). Por ejemplo, x1 podría ser fracción molar o temperatura o razón de flujo. Denotando los valores de estas variables al estado estacionario como: x1s = valor al estado estacionario de x1 x2s = valor al estado estacionario de x2 Ahora expandiendo la función f(x1, estado estacionario f (x1s, x2s).

x2)

alrededor de sus valores al

(6.28) La linealización consiste en truncar las series después de las primeras derivadas parciales.

(6.29) Hemos aproximado la función real a una función lineal

Ejemplo 6.3 Considerar la dependencia del flujo saliendo de un tanque a la raíz cuadrara de la altura de liquido en el tanque:

(6.30) La serie de expansión de Taylor alrededor del valor de h al estado estacionario, el cual es hs en nuestra nomenclatura es:

(6.31)

(6.32)

(6.33) Ejemplo 6.4

El producto de dos variables dependientes es una función no lineal de dos variables: f(CA, F) = CA F

(6.34)

Linealizando

(6.35) CA(t)F(t)  CAs Fs +Fs(CA(t) – CAs) + CAs(F(t) – F(s)) (6.36)

Notar que la linealización convierte la función no lineal (el producto de dos variables dependientes) en una función lineal conteniendo dos términos.

6.5

VARIABLES DE DESVIACIÓN

Nosotros encontraremos de mucha utilidad en prácticamente todos los casos de estudio de dinámica y control de sistemas lineales tomar la variable de desviación del estado estacionario en lugar de las variables absolutas

Fig. 6.3 Variables de desviación

Como las variables totales son funciones del tiempo, x(t), su desviación de los valores del estado estacionario xs también serán funciones del tiempo como muestra la Fig. 6.3.

Esta desviación del estado estacionario se denomina desviación o variables de desviación. Nosotros usaremos letras mayúsculas para denotar las variables de desviación. Entonces, la variable de desviación X es definida como: X s

=

x(t)

–

x (6.37)

Las ecuaciones que describen al sistema lineal pueden ser ahora expresadas en términos de estas variables de desviación. Cuando se hace esto, dos resultados muy útiles ocurren 1. Los términos en la ecuación diferencial ordinaria tienen las constantes fuera 2. las condiciones iniciales para las variables de desviación son todas iguales a cero si el punto de inicio es la condición de operación al estado estacionario.

6.6 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LOS ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE CONTROL

Para el análisis de sistemas de control, se considera la carga constante y se varia el setpoint, y el sistema de control debe llevar el valor de la variable de salida al valor dado del setpoint. Con esta consideración, el sistema de control del intercambiador de calor dado en el Ejemplo 6.1. puede representar mediante un diagrama de bloques para una operación servo (discutida en el punto 6.13)

Fig.6.4 Diagrama de bloques del sistema de control

Como se puede observar en la Fig. 6.4, el sistema de control es un sistema de lazo cerrado con retroalimentación en el cual se mide la variable controlada (salida) para compararlo con el valor deseado de esta variable (valor de referencia), esto se hace en el comparador y debido a que en la comparación la variable medida entra con signo negativo, este sistema se conoce como “feedback negativo”. Para un sistema de retroalimentación (feedback) negativo, la señal medida proveniente del sensor ingresa con signo negativo al comparador por lo que el error está dado por: Error = valor de referencia o al E.E. (setpoint) – señal medida (6.38) En este texto usaremos la siguiente nomenclatura: a)

En el dominio del tiempo r(t) = setpoint ym(t) = variable medida e(t) = error e(t)

ym(t) b)

=

r(t)

– (6.39)

En el dominio de Laplace y usando las variables de desviación: R(s) = setpoint Ym(s) = variable medida

E(s) = error E(s)

=

R(s)

Ym(s)

– (6.40)

Si hay diferencia se produce una señal de error la cual va al controlador para accionar la válvula de control y regular el flujo del fluido de calentamiento según lo requerido por el proceso. Como muestra este sistema de control, los elementos básicos son: -

Proceso

-

Elemeto de medida (Sensor)

-

Controlador

-

Elemento final de control (Válvula)

-

Elementos de transporte de señal

Siendo estos los elementos del sistema, veremos en el presente capítulo como deducir las funciones de transferencia de cada elemento.

6.6.1

Función de transferencia del proceso

La función de transferencia para el proceso controlado relaciona en el dominio de Laplace a la variable controlada (salida) a la variable manipulada (entrada).

Ejemplo 6.5 Función de transferencia de un intercambiador de calor La función de transferencia para el proceso controlado llevado a cabo en el intercambiador de calor debe relacionar en el dominio de Lapace a la variable de salida (controlada) Tp a la variable de entrada (manipulada) Fc. De la Ec. (6.16) (para el fluido de proceso), considerando constante el flujo de entrada

=

(Tpo

–

Tp) (6.41)

Cpp

si k1

= p

(tiempo)

+

U(t)

T(T)

A

/Fp

A T(T) /Fp Cpp =

y

La Ec. (6.25) se puede escribir como

+

Tp

=

Tpo (6.42)

+

k1

U

En el estado estacionario, la Ec. (6.41) será:

+

Tps

=

Tpos + (6.43)

k1

Us

=

0

Donde el subíndice s indica al estado estacionario. Restando la Ec. (6.43) de la Ec. (6.42) se tiene

+ (Tp - Tps ) = (Tpo - Tpos ) + k1 (U – Us ) (6.44) Definiendo las variables de desviación para el intercambiador de calor: (Tp - Tps ) = Tp (U – Us ) = U Además, Tpo = Tpos la temperatura de entrada es la misma en cualquier instante. Con lo cual la Ec. (6.44)será:

+ Tp = k1 U (6.45)

Aplicando la transformada de Laplace a la Ec. (6.45) se tiene: U(s)

p [ s Tp (s) – Tp (0) ] + Tp (s) = k1

(6.46)

Donde Tp (0) = 0, ya que en el tiempo cero recién se inicia el proceso y no hay variación del estado estacionario (las variables de desviación para t = 0 son 0). Simplificando la Ec. (6.46) se tiene

(6.47) donde: p = Constante de tiempo del proceso (usualmente minutos o segundos) k1 = Ganancia al estado estacionario Usando el mismo procedimiento para la Ec. (6.17) (fluido de calentamiento) y aplicando la propiedad de traslación de la transformada, para lo cual se sabe que: Q = Fc (Tc – Tco) = U A T

(6.48)

se tiene la función de transferencia para el fluido de calentamiento

(6.49) Considerando que los dos procesos se llevan a cabo en serie, por lo cual la función de transferencia del proceso total será el producto de las funciones de transferencia individuales, y haciendo k1 k2 = Kp, c = 1 y p = 2, se tiene:

0

; (6.50)

1 , 2 >

La Ec. (6.50), relaciona la variable de salida TP (variable controlada) a la variable regulada FC (entrada o carga), donde 1 y 2 son las constantes características de tiempo del proceso. Esta función de transferencia es de segundo orden.

Ejemplo 6.6 Función de transferencia de un sistema de nivel de liquido Al analizar sistemas que consideran el flujo de fluidos, se hace necesario dividir el régimen de flujo en régimen de flujo laminar y régimen de flujo turbulento, de acuerdo con la magnitud del número de Reynolds. Si el número de Reynolds es mayor que aproximadamente 3000 - 4000, el flujo es turbulento.

Fig. 6.5 Sistema de control de nivel de liquido donde: q = caudal de entrada, en m3 / s qo = caudal de salida, en m3 / s. h = nivel de liquido, en m. R = resistencia a la salida A = área de sección transversal del tanque, m2 V = volumen de liquido en el tanque, m3 Si el Reynolds es menor que aproximadamente 2000, el flujo es laminar. En el caso laminar el flujo de fluido se produce en tuberías sin turbulencia. Los sistemas que implican flujo turbulento suelen requerir, para representarse, de ecuaciones diferenciales no lineales, mientras que los sistemas que corresponden a flujo laminar, pueden representarse por ecuaciones diferenciales ordinarias. (En los procesos industriales frecuentemente se tiene flujos en tuberías y tanques. En esos procesos el flujo es frecuentemente turbulento y no laminar).

a) Caso lineal Como se ha mencionado anteriormente, un sistema se puede considerar lineal si el flujo es laminar. En este caso la resistencia al caudal de salida es lineal y estará dado por: qo = R h (6.51) El sistema debe mantener constante el nivel de liquido en el tanque (salida) para lo cual debe regular el caudal de entrada (entrada). Por lo tanto la función de transferencia debe relacionar en el dominio de Laplace el nivel de liquido al caudal de entrada. Función de transferencia:

(6.52) 1. Haciendo un balance de materiales al estado no estacionario entrada – salida = acumulación

(6.53)

(6.54) si V = Ah;

dV = Adh

y

qo = h/R

q – qo = q – h/R = A

(6.55) definiendo la constante de tiempo, AR = , la Ec. (6.55) se escribe:

(6.56) 2. Haciendo un balance de materiales al estado estacionario

(6.57) donde hs = nivel de liquido en el estado estacionario qs = caudal de entrada en el estado estacionario 1.

Definiendo las variables de desviación, para lo cual restamos la Ec. (6.57) de la Ec. (6.56) se tiene:

(6.58) Las variables de desviación están dadas por: (h – hs) = H (q – qs) = Q con lo cual la Ec. (6.58) se escribe:

(6.59) 2.

Tomando la transformada de Laplace a la Ec. (6.59) se tiene: [sH(s) – H(0)] + H(s) = R Q(s)

Como se ha visto anteriormente, H(0) = 0 con lo cual se tiene:  sH(s) + H(s) = R Q(s) H(s) [s + 1] = R Q(s)

(6.60) Función de transferencia que relaciona el nivel de liquido al caudal de entrada b) Caso no lineal Supongamos que el tanque del ejemplo anterior opera en régimen turbulento por lo que posee una resistencia no lineal en la salida, y el caudal de salida está dado por: q0 = R h1/2 (6.61) De igual manera que en el caso anterior, la función de transferencia del proceso debe relacionar en el dominio de Laplace el nivel de liquido al caudal de entrada. Función de transferencia:

(6.62) Haciendo un balance de materiales al estado no estacionario igual que en el caso lineal

(6.63) si V = Ah;

dV = Adh

y

qo = C h1/2

q – qo = q – Ch1/2 = A (6.64)

Como existe él termino NO LINEAL Ch1/2 trae dificultades al momento de tomar la transformada de Laplace, por lo que esta ecuación debe linealizarse. Para esto hacemos uso de la serie de expansión de TAYLOR y la función q0(h) puede ser expresada en las proximidades del estado estacionario para valores de h próximos a hs. Entonces

qo = qo(hs) + qo(hs)(h – hs) + ... (6.65) donde

q’0(hs) = es la primera derivada de q0 evaluada a hs. q’’0(hs) = es la segunda derivada de q0 evaluada a hs constante.

Si tomamos solamente los términos lineales, el resultado es: 

qo hs)

qo(hs)

+qo(hs)(h (6.66)

Si sabemos que qo = C h1/2

qo(hs) = dqo(hs) Reemplazando el valor de q’0 (hs) en la Ec. (6.66) tenemos:

(6.67) Haciendo

Tenemos

qo(hs) =

–

(6.68) Sustituyendo la Ec. (6.68) en (6.65)

(6.69) 1.

Haciendo un balance de materiales al estado estacionario.

(6.70) 2.

Restando las Ecs. (6.69) – (6.70)

(6.71) Introduciendo las variables de desviación q – qs = Q h – hs = H

(6.72)  = AR1 se tiene:

Definiendo la constante de tiempo

R1Q

–

H

= (6.73)

Tomando la transformada de Laplace R1Q(s) – H(s) = [sH(s) – H(0)] R1Q(s) – H(s) =  sH(s) R1Q(s) =  sH(s) + H(s) R1Q(s) = H(s) [s + 1]

(6.74) Ejemplo 6.5 Sistema de mezclado. Considerar un proceso de mezclado en el cual una corriente de solución conteniendo sal disuelta fluye a un flujo volumétrico constante. La concentración de sal en la corriente de entrada X (masa de volumen) varia con el tiempo. Si desea obtener la función de transferencia que relacione la concentración de salida con la concentración de entrada.

Fig. 6.8

Sistema de mezclado

G(s) Y(s)/X(s) (6.85)

=

Asumiendo que la densidad de la solución permanece constante. La concentración de salida debe ser igual a la concentración de la solución dentro del tanque, puesto que es mezclada. Analizando el sistema y haciendo un balance de sal: Sal que entra – Sal que sale = Sal acumulada en el tanque Haciendo un balance de materiales al estado no estacionario tenemos:

donde V = constante x, y = masa de sal / volumen q = flujo volumétrico Haciendo un balance de materiales al estado estacionario tenemos:

Introduciendo las variables de desviación

x – xs = X y – ys = Y La Ec. (6.88) se escribe

Aplicando la transformada de Laplace: X(s) – Y(s) = [sY(s) – Y(0)] X(s) – Y(s) = sY(s) X(s) = sY(s) + Y(s) X(s) = Y(s)[s + 1

Ejemplo 6.6 Sistema de reacción. Considerar un reactor CSTR (Reactor Continuo de Tanque Agitado) donde tiene lugar la reacción siguiente:

Fig 6.9 CSTR donde ra = velocidad de reacción K = constante de reacción CA = concentración de A V = volumen del reactor F = caudal volumétrico de alimentación(constante) CA0 = Concentración inicial de A NA = Moles de salida NAo = Moles de entrada Considerando que la densidad y volumen son constantes, desarrollar la función de transferencia que relacione la concentración en el reactor con la concentración en la alimentación.

Haciendo un balance de materiales a condiciones no estacionarios (base reactante límite A) Entrada = Salida + Desaparición por reacción + Acumulación

Definiendo como

Haciendo un balance de materiales al estado estacionario.

Introduciendo las variables de desviación CAo – CAos = CA0 CA – CAs = CA Luego

Tomando la transformada de Laplace RCA0(s) = CA(s) + [sCA(s) + CA(0)]

(6.100)

RCA0(s) = CA(s) (1 +  s)

Uso de UNTSIM Para obtener la Función de Transferencia Podemos usar el simulador UNTSIM para obtener la función de transferencia de sistemas descritos por una ecuación diferencial de hasta orden 10 en la salida como en la entrada. Para el caso del ejemplo anterior Ec. (6.85) la EDO es de primer orden y la usaremos para ilustrar esta aplicación. Para esto seleccionamos del Menú Principal: Cálculos de Ingeniería Química – Automatización y Control – Teoría Clásica – F de T desde Ec. Diferencial. Copyright 2004 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved 07-Jul-2004 ESTE PROGRAMA DEDUCE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA A PARTIR DE UNA ECUACION DIFERENCIAL DE ORDEN n CON CONDICIONES INICIALES 0 COMO ES EL CASO DE LAS VARIABLES DE DESVIACION ************************************************************** Colocar la EDO en la forma: n (n-1) d x d x dx an----- + a(n-1)------- + . . . + a1---- + a0 x = n (n-1) dt dt dt m (m-1) d y d y dy bm ---- + b(m-1) ------- + . . . + b1 ---- + b0y m (m-1) dt dt dt donde a(i) y b(i)coeficientes. Puede usar valores numericos o los simbolos R tau1 tau2 (solo para EDO 1er. orden) ------------------------------------------------------------Ingresar coeficientes de la Ecuacion: Lado Izquierdo [ao...an]: [tau1 1] Lado Derecho [bo...bm]: [R] La funcion de transferencia G(s) = X(s)/y(s) =

R ---------tau1 s + 1 >>

Ejemplo 6.10 Tres reactores CSTR en serie El sistema es mostrado en la Fig. 6.10 y es una simple extensión del CSTR considerado en el Ejemplo 6.9. El producto B es formado y el reactante A es consumido en cada uno de los tres reactores perfectamente mezclados mediante una reacción de primer orden llevándose a cabo en el liquido. Se asume que las temperaturas y el volumen de liquido en cada tanque son constantes (isotérmico y a volumen constante). Se asume densidad constante en el sistema, el cual es una mezcla binaria de A y B.

Con estas asunciones en mente, podemos formular nuestro modelo. Si el volumen y densidad de cada tanque son constantes, la masa total en cada tanque es constante. Luego la ecuación de continuidad total para el primer reactor es

o

F0 = F1

Asimismo, un balance total de masa en los tanques 2 y 3 da F3 = F2 = F1 = F0 = F (6.103) Donde F se define como el flujo (m3/min)

Fig. 6-10 Reactores CSTR en serie Si se quiere determinar las cantidades de reactante A y producto B en cada tanque, son necesarias las ecuaciones de continuidad por componente.

Sin embargo, como el sistema es binario y se conoce la cantidad total de masa de material en cada tanque, solamente es necesaria una ecuación de continuidad de componente. Se pueden usar ya sea A o B. Si elegimos arbitrariamente A, las ecuaciones que describen los cambios dinámicos en las cantidades de reactante A en cada tanque son (con unidades de kg . mol de A/min)

La velocidad de reacción específica kn está dada por la ecuación de Arrhenius

si las temperaturas en los reactores son diferentes, los k son diferentes. La n se refiere al número de la etapa. Las tres ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales dadas en la Ecs. (6.104) son el modelo matemático del sistema.

Usaremos este sistema simple en muchas partes subsecuentes de este libro. Si se usa para diseño de sistemas de control y para análisis de estabilidad, se usará una versión simplificada. Si el flujo F es constante y las retenciones y temperaturas son las mismas en todos los tanques, las Ecs (6.104) serán

donde  = V/F con unidades de minutos

k = minutos

–1

(reacción de primer orden)

Existe solamente una función impulsora o variable de entrada CA0, y la variable de salida del sistema es CA. El sistema considerado anteriormente; Fig. 6.10, es un sistema de "lazo abierto", es decir, no se usa ningun controlador de retroalimentación.

Fig. 6.11 Lazo cerrado para un proceso de tres CSTR. (a) Sistema idealizado; (b) Sistema actual

Si adicionamos un controlador de retroalimentación, tenemos un sistema de "lazo cerrado"; Fig. 6.11. El controlador mide la concentración saliendo del tercer tanque CA3 y hace ajustes en la concentración de entrada al primer reactor CAo en orden a mantener CA3 cerca al valor de referencia deseado ("set point") CA3set. La variable CAD es una desviación de la concentración y la variable CAM es una

concentración manipulada que es cambiada por el controlador. Nosotros asumimos que: CAo = CAM + CAD (6.107) Esta es una idealización del sistema físico real en el cual la señal de control desde el controlador deberá mover la posición de la válvula de control que deberá regular una corriente con alta concentración de reactante A hacia la corriente de alimentación (Ver Fig. 6.11) Reacomodando las Ecs. (6.94) tenemos:

Las variables pueden ser ya sea totales o variables de desviación ya que las ecuaciones son lineales ( todas las k y  con constantes). Nosotros usaremos variables de desviación, y por lo tanto las condiciones iniciales para todas las variables son cero. CA1(0) = CA2(0) = CA3(0) = 0

(6.109)

Tomando la transformada de Laplace y encontrando la función de transferencia para cada tanque. Tanque 1: 1sCA1(s) + k1 1 CA1 (s) + CA1(s) = CA0 (s)

Tanque 2: 2sCA2(s) + k2 2 CA2 (s) + CA2(s) = CA1 (s)

Tanque 3:

3sCA3(s) + k3 3 CA3 (s) +CA3(s) = CA2 (s)

Si nosotros estamos interesados en el sistema total y queremos solamente el efecto de la entrada CA0 sobre la salida CA3, las tres funciones de transferencia pueden ser combinadas para eliminar CA1 y CA2. CA3(s) = G3 CA2(s) = G3(G2 CA1(s) ) = G3 G2 (G1 CA0(s) ) (6.111) La función de transferencia total G(s) es:

Multiplicando las tres funciones de transferencia y reacomodando se tiene:

La Ec. (6.114) es la Función de transferencia del proceso total en la forma estándar con las constantes de tiempo pi y una ganancia al estado estacionario Kp

Ejemplo 6.11 Dos tanques calentados El flujo F de aceite pasando a través de dos tanques en serie perfectamente mezclados es constante e igual a 90 pies 3/min. La densidad  del aceite es constante e igual a 40 lb m/ pie3, y su capacidad calorífica CP es 0,6 Btu/lbmF. El volumen del primer tanque V1 es constante e igual a 450 pies 3, y el volumen del segundo tanque V2 es constante e igual a 90 pies 3. La temperatura del aceite entrando al primer tanque es T0 y es 150 F en el estado estacionario inicial. Las temperaturas en los dos tanques son T1 y T2. Las dos son iguales a 250 F en el estado estacionario inicial. Un dispositivo

de calentamiento en el primer tanque usa vapor para calentar el aceite. Denominando Q1 al calor adicionado en el primer tanque.

Fig. 6.12 Dos tanques con calentamiento Se puede hacer un balance de energía para cada tanque,. Balance de energía para el tanque 1:

Balance de energía para el tanque 2:

Como el flujo a través de los tanques es constante F0 = F1 = F2 = F. Debido a que los volúmenes, densidades, y capacidades caloríficas son todas constantes, las Ecs. (6.115) y (6.116) se pueden simplificar

Los valores numéricos de las variables son: F = 90 pies3/min V1 = 450 pies3

 = 40 lbm/pie3

Cp = 0.6 Btu/lbm oF

V2 = 90 pies3

Reemplazando estos valores en las Ecs. (6.117) y (6.118) da:

Las transformaciones de Laplace da

(s + 1) T2 (s) = T1(s) Rearreglando y combinando para eliminar T1 da la variable de salida T2 como una función de las dos variables de entrada, T0 y Q1.

Los dos términos entre corchetes representan las funciones de transferencia de este proceso de lazo abierto. En los siguientes capítulos veremos este sistema nuevamente y usaremos un controlador de temperatura para controlar T2 manipulando Q1. La función de transferencia relacionando la variable controlada T2 a la variable manipulada Q1 es definida como GM(s). La función de transferencia relacionando la variable controlada T2 a la perturbación de carga T0 es definida como GL(s). T2(s) = GL(s) T0(s) + GM(s) Q1(s) (6.124) Estas dos funciones de transferencia son retrazos de segundo orden con constantes de tiempo de 1 minuto y 5 minutos.

6.6.2

Función de transferencia del elemento de medida (sensor)

Los elementos de medida o sensores pueden considerarse como la primera etapa en un sistema de control, y son los que van a reportar el valor

de la variable para compararlo con el valor deseado o punto de consigna y determinar el error. Siendo así la entrada en un elemento de medida es la variable leída (Y) y la salida es el valor emitido hacia el controlador (Ym), con lo cual la función de transferencia es

Como las características dinámicas y estáticas del sensor o elemento de medición afectan la indicación del valor efectivo de la variable de salida, el sensor juega un papel importante en la determinación del comportamiento global del sistema de control. El sensor suele determinar la función de transferencia en la retroalimentación. Si las constantes de tiempo del sensor son insignificantes en comparación con las constantes de tiempo de los demás componentes del sistema de control, la función de transferencia del sensor se convierte, simplemente en una constante. A continuación se dan ecuaciones de funciones de transferencia más comunes de sensores

La respuesta de un sensor térmico suele ser del tipo sobre amortiguado de segundo orden

Ejemplo 6.12 Función de transferencia de un termómetro de mercurio

Un ejemplo para ilustrar la función de transferencia de un sensor es un termómetro de mercurio. Cuando se desea tomar la temperatura usando un termómetro de mercurio, se debe esperar un cierto tiempo

hasta que el termómetro alcance la temperatura del medio que lo rodea, entes de comenzar a medir la temperatura (colocar el termómetro en el medio que se va a medir) este se encuentra en un estado estacionario, durante el tiempo que demora el termómetro para alcanzar la temperatura del medio, este se encuentra a condiciones no estacionarias y cuando alcanza la temperatura del medio hacia delante se encuentra a condiciones estacionarias.

Fig. 6.13 Comportamiento de un termómetro de mercurio

Considerando: x = temperatura del liquido. y = temperatura del bulbo del termometro. A = área superficial del bulbo. U = coeficiente de transferencia de calor. m = masa de mercurio en el bulbo. Cp = capacidad calorífica del mercurio. 1. Un balance de energía para el bulbo de mercurio a condiciones no estacionarias esta dado por: Calor que entra – calor que sale = acumulación (6.129)

definiendo la constante de tiempo del termómetro como

se tiene:

2. Haciendo un balance de energía al estado estacionario

Restando (6.132) – (6.133)

Definiendo las variables de desviación: y – ys = Y x – xs = X La Ec. (6.134) se escribe como

Tomando la transformada de Laplace de la EC. (6.135) X(s) – Y(s) =  [sY(s) – Y(0)] Pero Y(0) = 0 todavía no se inicia el cambio X(s) – Y(s) =  sY(s)

Es la función de transferencia para el termómetro de mercurio

6.6.3 1.

Función de transferencia del controlador Control proporcional

PC

La ecuación describiendo un controlador proporcional en el dominio del del tiempo es: u(t) = us  Kc (r (t) – ym (t)) (6.137) donde u = señal de salida del controlador us = constante, señal de salida del controlador al E.E. (cuando el r = ym, P = Ps) r = setpoint ym = señal medida del proceso desde el transmisor Kc = ganancia proporcional

Fig. 6.14 Controlador proporcional La Ec. (6.137) esta escrita en términos de variables totales. Si estamos tratando con variables de desviación, simplemente eliminamos el término ps. La transformada de Laplace da:

U(s) =  Kc (R (s) – Ym (s)) =  Kc E(s) (6.138) donde E = señal de error = R – Ym Reacomodando para conseguir la salida sobre la entrada da la función de transferencia GC(s) para el controlador.

Así, la función de transferencia para un controlador proporcional es simplemente una ganancia. Sin importar el mecanismo en sí y la potencia que lo alimenta, el controlador proporcional es esencialmente un amplificador con ganancia ajustable. En la Fig. 6.15; se puede ver un diagrama de bloques de este controlador.

Fig. 6.15 Diagrama de Bloques de un Controlador Proporcional La ganancia del controlador proporcional es la relación que existe entre la variación de la señal de salida y el error que la produce, es decir, es la variación en la señal de entrada. El controlador proporcional es esencialmente un amplificador con ganancia ajustable. En lugar de la ganancia, muchos controladores emplean la denominada banda proporcional que es la inversa de la ganancia, según la fórmula: BP %

%

=

(100/K) (6.140)

y cuya definición es: Banda proporcional es el porcentaje de variación de la variable controlada necesaria para provocar una carrera completa del elemento final de control. Por ejemplo, en el caso de un instrumento de escala 0 – 200 oC, en el que basta una variación de temperatura de 50 oC para dar

lugar a una carrera completa de la válvula de control, la correspondiente banda proporcional es de

En los instrumentos de control industrial la banda proporcional oscila del 1% al 500%, y solo en casos muy espaciales los valores son mayores. Ejemplo 6.13 Un controlador proporcional se usa para controlar temperatura dentro del rango de 60 a 100 oF. El controlador se ajusta de tal manera que la presión de salida vaya desde 3 psi (válvula completamente abierta) hasta 15 psi(válvula completamente cerrada) a medida que la temperatura medida va desde 71 a 75 oF con el “set point”mantenido constante. Encontrar la ganancia y la banda proporcional.

Ahora asumimos que la banda proporcional del controlador es cambiada a 75 por ciento. Encontrar la ganancia y el cambio de temperatura necesario para causar que la válvula vaya de completamente abierta a completamente cerrada. T = (banda proporcional)(rango) = 0,75 (40oF) = 30oF

Control encendido-apagado (on-off). El controlador más simple podría ser un controlador encenido-apagado. En este sistema de control el actuador tiene sólo dos posiciones fijas, que en muchos casos son, simplemente conectando y desconectando.

Un ejemplo de esta acción de control lo constituye una válvula que actúa como un interruptor; si la ganancia proporcional es muy alta la válvula se moverá de una posición extrema a la otra (enteramente cerrada a enteramente abierta).

Fig. 6.16 Acción “ON”/ “OFF” Esta acción muy sensible es llamada acción encendido-apagado “ON/OFF” debido a que la válvula estará enteramente abierta “ON” o enteramente cerrada “OFF”. La válvula en este caso actúa como un interruptor. La anchura de banda de un controlador “ON/OFF” es aproximadamente igual a cero. El Controlador de dos posiciones es simple y económico razón por la cual se usa en muchos sistemas de control tanto domésticos como industriales. Sea: u(t) = señal de salida del controlador. e(t) = señal de error. En un controlador de dos posiciones, la señal u(t) permanece en un valor máximo o mínimo, según sea la señal de error positiva o negativa, de manera que: u(t) = U1 para e(t) > 0 u(t) = U2 para e(t) < 0

Fig. 6.17 (a) y (b) Diagramas de Bloques de Controladores de Dos Posiciones Donde U1 y U2 son constantes. Generalmente el valor mínimo de U2 puede ser, o bien cero, o -U1. En general los controladores de dos posiciones son dispositivos eléctricos, donde habitualmente hay una válvula accionada por un solenoide eléctrico. El rango en que la señal de error debe variar antes que se produzca la conmutación, se denomina zona muerta o brecha diferencial como se indica en la Fig. 6.17(b). Este es un controlador simple y es ejemplificado por el termostato de un sistema de refrigeración. Tal brecha diferencial hace que la salida del controlador u(t) mantenga su valor hasta que la señal de error haya rebasado ligeramente el valor 0.

Offset.. El “offset” es una característica indeseable inherente al control proporcional. Consiste en la estabilización de la variable en un lugar no coincidente con el punto de consigna, después de presentarse una perturbación en el sistema. Inicialmente parece un contrasentido que la variable no se estabilice en el punto de consigna, ya que da la impresión que el controlador no controla, puesto que, aparentemente, lo lógico es que al fijar un punto de consigna la variable vuelva al mismo después de una perturbación. Veremos con dos ejemplos sencillos el porque se produce el “offset” debido a las características propias del controlador proporcional. Sea el control de nivel de la Fig. 6.18, realizado mediante una válvula autorreguladora de flotador en la que el flotador está ligado a la válvula mecánicamente. En el supuesto de que el caudal de salida sea igual al caudal de aportación, el nivel se mantendrá en un valor estable que suponemos es igual al punto de consigna. Si en un momento determinado aumenta el caudal de salida por una mayor demanda, el nivel bajará hasta estabilizarse en un nuevo valor, tal que el caudal mayor de entrada por la nueva posición de la válvula de control iguale al caudal de salida. Debido al enlace mecánico entre la válvula y el

flotador, el mayor caudal de aportación sólo puede obtenerse con un descenso del nivel que equivaldrá al “offset”.

Fig. 6.18 Control de nivel En el intercambiador de calor de la Fig. 6.19, suponemos que inicialmente la temperatura coincide con el punto de consigna de 100 0 C. Al cabo de un tiempo se presenta un cambio de carga, originado, por ejemplo, por un aumento en el consumo de fluido caliente, por apertura simultánea de mayor número de válvulas de consumo. Nótese que la temperatura no vuelve al valor de consigna, sino que la misma se estabiliza a los 90 oC. Es obvio que la temperatura final difiere de la primitiva, puesto que se así no fuera, por las características del control proporcional, la posición de la válvula sería la inicial, lo cual es imposible ya que en esta posición se ha presentado la disminución de temperatura inicial y existiría el absurdo de mantener la misma temperatura de salida con la válvula de control en la misma posición, dando el mismo paso de caudal de vapor tanto para el consumo de agua caliente en el régimen inicial como para el aumento de este consumo.

La desviación puede eliminarse reajustando manualmente el punto de consigna; no obstante, si vuelven a cambiar las condiciones de servicio volverá a presentarse el “offset”. De aquí que el control proporcional solo puede aplicarse si las condiciones de servicio no varían y son estables o si la presencia del “offset”en la variable es perfectamente admisible, tal como ocurre, por ejemplo, en el caso del control de nivel de un tanque intermedio en un proceso de fabricación;

no importará demasiado que el nivel se estabilice en el 45 % aunque el punto de consigna sea 50 % del nivel del tanque.

2.

Control proporcional – integral

PIC

La acción de un controlador proporcional – integral queda definida por la siguiente ecuación:

donde i = tiempo de restauración, minutos La Ec. (6.142) está en términos de variables totales. Convirtiendo a variables de desviación y tomando la transformada de Laplace se tiene:

Entonces, la función de transferencia para un controlador PI contiene un adelanto de primer orden y un integrador. Esta es una función de s, conteniendo polinomios de orden uno en el numerador y denominador. Ambos valores, Kc y i son ajustables. El tiempo integral regula la acción de control integral, mientras que una modificación en Kc afecta tanto a la parte integral como a la proporcional de la parte de control. El recíproco del tiempo integral i recibe el nombre de frecuencia de reposición la cual viene hacer la cantidad de veces por minuto que se repite la acción proporcional.

Fig. 6.20. Diagrama de Bloques de un controlador proporcional – integral En el control integral, el elemento final se mueve de acuerdo con una función integral en el tiempo de la variable controlada, es decir, el movimiento de la válvula corresponde a la suma de las áreas de desviación de la variable con relación al punto de consigna. Por tanto queda eliminado el “offset” típico de la acción proporcional, ya que si se presenta, el controlador integra el área de desviación, moviendo la válvula lo necesario para volver la variable al punto de consigna.

3.

Control proporcional - integral – derivativo PIDC

La combinación de los efectos de acción proporcional, integral y derivativa, se denomina acción de control proporcional – integral – derivativa. Esta combinación tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación de un control con esta acción de control es:

La Ec. (6.145) está en términos de variables totales. Convirtiendo a variables de desviación y tomando la transformada de Laplace se tiene la función de transferencia de un PID “ideal”. La función de transferencia es

La función de transferencia de un PID “real”, en distinción a uno “ideal”, es la función de transferencia del PI con un elemento de adelanto-retraso colocado en serie.

donde d = constante de tiempo derivativo, minutos.  = una constante = 0.1 a 0.05 para la mayoría de controladores comerciales

Fig. 6.21 Diagrama de Bloques de un Controlador Proporcional – Integral - Derivativo La unidad de adelanto-retraso es denominada unidad derivativa, y su respuesta a escalón es mostrada en la Fig. 6.22. para una unidad de escalón de cambio en la entrada, la salida cambia a 1/ y luego decae a una velocidad que depende de d. Así la unidad derivativa se aproxima a una derivada ideal. Esto es físicamente realizable ya que el orden del polinomio de su numerador es igual al orden del polinomio de su denominador.

Fig. 6.22

6.6.4

Unidad derivativa

Función de transferencia del elemento final de control (válvula)

El elemento de control final es el mecanismo que altera el valor de la variable regulada, en respuesta a la señal de salida que se obtiene de un dispositivo de control de manejo manual o por alguna manipulación manual directa. En instalaciones de control automático; éste consta normalmente de dos partes Un activador que traduce la señal de salida del dispositivo controlador en una acción que comprende una gran fuerza o la manipulación de una energía de gran magnitud, y un dispositivo que responde a la fuerza del activador y que ajusta el valor de la variable regulada. Por ejemplo: el activador se puede usar para cambiar la posición de un tapón de válvula en un orificio, la velocidad de un dispositivo giratorio o la cantidad de energía que se suministra a una carga eléctrica. En el control automático de procesos, el elemento de control final que se emplea con mayor frecuencia es la válvula de diafragma motor (VDM). Consta de un activador neumático de diafragma motor y una válvula de control del fluido de proceso. Cada dispositivo que se utiliza para constituir un elemento de control final posee sus propias características de retardación dinámica o constantes de tiempo. Esto quiere decir que los dispositivos no responderán de manera instantánea a los cambios de las señales de control o a las perturbaciones de la carga. La importancia del efecto de los retrasos depende del proceso en que se emplea el dispositivo. En algunos casos, estos retrasos pueden degradar gravemente el funcionamiento del sistema de control y por lo tanto, provocar menguas en los buenos resultados del proceso. También pueden hacer que se requiera mayor atención e intervención del operador. Válvulas de control En cualquier estudio de válvulas de control y sus características, se deben tomar en cuenta dos partes de la válvula en forma especial: Primero, el cuerpo de la misma, sus aspectos geométricos y los materiales de construcción y en segundo lugar, el macho o tapón de la válvula, su geometría y sus materiales de construcción. La geometría combinada del cuerpo y el tapón determinan las propiedades de flujo de la válvula. La mayoría de las válvulas operan por medio de un actuador de posición lineal o alguna modificación de este tipo de actuador. Estos actuadores colocan

el macho de la válvula en el orificio, en respuesta a una señal proveniente del controlador automático o a través de un ajuste mecánico manual. Una válvula neumática siempre tiene algún retraso dinámico, el cual hace que el movimiento del vapor no responda instantáneamente a la presión aplicada desde el controlador. Se ha encontrado que la relación entre el flujo y la presión para una válvula lineal puede a menudo representarse por una función de transferencia de primer orden; esto es:

Donde Q(s) = variable manipulada U(s) = señal proveniente del controlador ( presión o mA) y actúa sobre la válvula KV = constante de válvula (ganancia al estado estacionario) 

V

= Constante de tiempo de la válvula

En muchos sistemas prácticos, la constante de tiempo de la válvula es muy pequeña comparada con las constantes de tiempo de otros componentes del sistema de control, y la función de transferencia de la válvula puede ser aproximada a una constante

Bajo estas condiciones, la válvula contribuye con un retardo dinámico despreciable. Ejemplo 6.14 Para justificar la aproximación de una válvula rápida mediante una función de transferencia la cual se simplifica a Kv, considerar una válvula de primer orden y un proceso de primer orden conectados en serie como muestra la Fig. 6.23

Fig. 6.23 Diagrama de bloques para una válvula de primer orden y un proceso de primer orden

Como se verá mas adelante según el álgebra de bloques, la función de transferencia Y(s)/U(s) es

Para un cambio de una unidad de escalón en U

El inverso de esta ecuación es

Si v >

6.8

GANANCIAS AL ESTADO ESTACIONARIO

La ganancia al estado estacionario es la razón de la salida en el estado estacionario sobre la perturbación de entrada. En el proceso de dos tanques con calentamiento dado en el Ejemplo 6.11, las dos funciones de transferencia son dadas por la Ec. (6.123). la ganancia al estado estacionario entre la temperatura de entrada T0 y la salida T1 se ha encontrado a ser 1 oF/oF cuando s es establecido igual a cero. Esto dice que cuando cambia un grado en la temperatura de entrada variara la temperatura de salida un grado, lo cual es razonable. La ganancia al estado estacionario entre T2 y el calor de entrada Q1 es 1/2160 oF/Btu.min. Se debe tener cuidado en las unidades de la ganancia. Algunas veces se tienen unidades de ingeniería, como en este ejemplo, otras veces son usadas ganancias adimensionales.

6.9

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LAZO ABIERTO Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DIRECTA

Al representar un sistema de control mediante un diagrama de bloques, se debe colocar en cada bloque la función de transferencia correspondiente al elemento del sistema. Así para el sistema de control de lazo cerrado mostrado en la Fig. 2.3

Fig. 6.27 Diagrama de bloques de un sistema de control de lazo cerrado Como se vera más adelante, el diagrama de la Fig. 6.27 se puede reducir a la forma dada en la Fig. 6.28a y 6.28b.

(b)

(a)

Fig. 6.28 Sistema de lazo cerrado a)

H(s)  1

b)

H(s) = 1

La salida Y(s) es alimentada nuevamente al punto de suma, donde se compara con la entrada de referencia R(s). La salida Y(s), se obtiene en este caso, multiplicando la función de transferencia G(s) por la entrada al bloque E(s). Al inyectar nuevamente la salida al punto de suma para compararla con la entrada, es necesario convertir la forma de la señal de salida a la forma de la señal de entrada. Por ejemplo, en un sistema de control de temperatura, la señal de salida es generalmente la temperatura controlada. La señal de salida, que tiene la dimensión de una temperatura, debe convertirse a una fuerza, posición o voltaje antes de compararla con la señal de entrada. Esta conversión lo realiza el elemento de retroalimentación (medidor), cuya función de transferencia es H(s). La función del elemento de retroalimentación es modificar la salida antes de compararla con la entrada. En la mayoría de los casos el elemento de retroalimentación es un sensor que mide la salida del proceso. La salida del sensor se compara con la entrada (valor de referencia) y así se genera la señal de error. En este ejemplo la señal de retroalimentación que se envía de vuelta al punto de suma para su comparación con la entrada es Ym(s) = H(s) Y(s).

Con referencia a la Fig. 6.28, la relación entre la señal de retroalimentación Ym(s) y la señal de error actuante E(s), se denomina función de transferencia de lazo abierto. Es decir:

La relación entre la salida Y(s) y la señal de error actuante E(s) se denomina función de transferencia directa, de modo que:

Si la función de transferencia de retroalimentación H(s) es la unidad, la función de transferencia de lazo abierto y la función de transferencia directa son lo mismo

6.10

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LAZO CERRADO

Para el sistema que se muestra en la Fig. 6.28, la salida Y(s) y la entrada R(s) están relacionadas como sigue: Y(s) = G(s) E(s) E(s) = R(s) – Ym(s) = R(s) – H(s) Eliminando E(s) de ésta ecuación se tiene Y(s) = G(s) R(s) – H(s) Y(s) o

Usando MATLAB, la función de transferencia se evalúa de acuerdo a: Para la Fig. 6.28a Gs = feedback(G, H)

Para la Fig. 6.28b Gs = feedback(G, 1) La función de transferencia que relaciona Y(s) con R(s), se denomina función de transferencia de lazo cerrado. Esta función de transferencia relaciona la dinámica del sistema de lazo cerrado con la dinámica de los elementos de acción directa y los de la retroalimentación De la Ec. (6.157) se obtiene Y(s) por:

Así la salida del sistema de lazo cerrado depende claramente tanto de la función de transferencia de lazo cerrado como de la naturaleza de la entrada

6.11 SISTEMAS SOMETIDOS A UNA PERTURBACIÓN DE CARGA En la Fig. 6.29, se ve un sistema sometido a una perturbación. Cuando dos entradas (la señal de referencia y la perturbación) están presentes en un sistema lineal, cada entrada puede tratarse independientemente de la otra; y las salidas correspondientes se pueden sumar a cada una de las entradas individuales, para obtener la salida total. En el punto de suma se indica, ya sea por medio de un signo más o un signo menos, la forma en que cada entrada se introduce al sistema. Considere el sistema que aparece en la Fig. 6.29. Al examinar el efecto de la perturbación N(s), se puede suponer que el sistema está inicialmente en reposo, con error cero, entonces se puede calcular la respuesta CN(s) debida a la perturbación solamente. Se puede hallar entonces que:

Fig. 6.29 Sistema de lazo cerrado sujeto a una perturbación Por otro lado, considerando la respuesta a la entrada de referencia R(s), se puede suponer que la perturbación es cero. Entonces es posible obtener la respuesta YR(s) a la entrada de referencia R(s) de:

La respuesta a la aplicación simultánea de la entrada de referencia y de la perturbación se puede obtener sumando las dos respuestas individuales. En otras palabras, la respuesta Y(s) debida a la aplicación simultánea de la entrada de referencia R(s) y la perturbación L(s) está dada por Y(s) = YR(s) + YL(s)

Ejemplo 6.15 Ecuación característica de lazo abierto para perturbación de carga

a) general

b) Ejemplo

Fig. 6.30 Proceso de lazo abierto Considerar el sistema general de lazo abierto mostrado en la Fig. 6.30. La carga variable L(s) ingresa a través de una función de transferencia de lazo abierto del proceso GL(s). La variable manipulada M(s) ingresa a través de una función de transferencia del proceso de lazo abierto GM(s). La variable controlada Y(s) es la suma de los efectos de la variable manipulada y la carga variable. Recordar que si trabajamos en el dominio de Laplace se aplica el principio de superposición. La Fig. 6.30b muestra un ejemplo específico: el proceso de dos tanques con calentamiento discutido en el Ejemplo 6.11. La carga variable es la temperatura de entrada To. La variable manipulada es la entrada de calor al primer tanque Q1. las dos funciones de transferencia GL(s) y GM(s) fueron discutida en el Ejemplo 6.11

La dinámica de este sistema de lazo abierto depende de las raíces de la ecuación característica, es decir las raíces del polinomio en el denominador de las funciones de transferencia del denominador. Si todas las raíces caen en el lado izquierdo del plano s, el sistema de lazo abierto es estable. Para los dos tanques con calentamiento del ejemplo mostrado en la Fig. 6.30b, los polos de las funciones de transferencia de lazo abierto son s = 1 y s = – 1/5, así el sistema de lazo abierto es estable. Notar que la función de transferencia GL(s) para el proceso de dos tanques con calentamiento tiene una ganancia de estado estacionario que tiene las unidades de oF/oF. La función de transferencia GM(s) tiene una ganancia con unidades de oF/Btu/min.

Ejemplo 6.16 Ecuación característica y funciones de transferencia de lazo cerrado para perturbación de carga Ahora colocaremos un controlador de retroalimentación sobre el proceso, como muestra la Fig. 6.31a. La variable controlada es convertida en una señal de medición de

Fig. 6.31 Sistema de lazo cerrado proceso YM por el elemento sensor/transmisor H(s). El controlador de retroalimentación compara la señal de YM con la señal de setpoint deseada R, alimentando la señal de error E a través de un controlador de retroalimentación cuya función de transferencia es GC(s) y produce una señal del controlador U. La señal proveniente del controlador cambia la posición de la válvula de control la cual varía el flujo de la variable manipulada M La Fig. 6.31b da una representación del sistema de control de retroalimentación y un diagrama de bloques para el proceso de dos

tanques con calentamiento con un controlador. Usaremos un sistema analógico electrónico con señales de control de 4 a 20 mA. El sensor de temperatura tiene un rango de 100 oF, así la función de transferencia H (despreciando cualquier dinámica en la medición de temperatura) es

La señal de salida del controlador P va a un transductor I/P que convierte 4 a 20 mA a una señal de presión de aire 3 a 15 psig para mover la válvula de control a través de la cual se adiciona vapor al proceso. Ahora asumiremos que la válvula tiene una característica lineal y pasa suficiente vapor para adicionar 500 000 Btu/min al liquido en el tanque cuando la válvula esta completamente abierta. Entonces la función de transferencia entre Q1 y U (juntando la función de transferencia para el transductor I/P y la válvula de control) es

mirando el diagrama de bloques en la Fig. 6.31a, podemos ver que la salida Y(s) está dada por: Y

=

GL(s)

L

+ (6.168)

M

Pero en este sistema de lazo cerrado, M(s) está relacionada a Y(s): M = GV(s)U = GV(s)GC(s)E = GV(s)GC(s) ( R – YM ) M = GV(s)GC(s) ( R – H(s) Y )

(6.169)

Combinando las Ecs. (6.168) y (6.169) Y = GL(s)L + GM(s) GV(s) GC(s) ( R – H(s) Y ) [1 + GM(s) GV(s) GC(s) H(s) ] Y = GL(s) L + GM(s) GV(s) GC(s) R

GM(s)

La Ec. (6.170) da las funciones de transferencia describiendo el sistema de lazo cerrado, así, estas son las funciones de transferencia de lazo cerrado. Las dos entradas son la carga L(s) y el setpoint R(s). La variable controlada es Y(s). Notar que los denominadores de ambas funciones de transferencia son idénticos.

Ejemplo 6.17 Las funciones de transferencia para el proceso de dos tanques calentados pueden ser calculadas a partir de las funciones de transferencia del proceso de lazo abierto y la función de transferencia del controlador de retroalimentación. Nosotros seleccionamos un controlador proporcional, de tal manera que GC(s) = Kc. Notar que las dimensiones de la ganancia de este controlador son mA/mA, esto es, la ganancia es adimensional. El controlador toma un miliamperio de la señal (YM) y envía una señal de un miliamperio (U)

La función de transferencia de lazo cerrado para cambios en la carga es:

La función de transferencia de lazo cerrado para cambios en el setpoint es

Si vemos las funciones de transferencia entre YM y R, debemos multiplicar la primera por H.

Notar que los denominadores de estas funciones de transferencia son idénticos. Notar también que la ganancia de estado estacionario de la servo función de transferencia de lazo cerrado YM /R no es la unidad; es decir, es un estado estacionario fuera del valor deseado (offset). Esto se debe al controlador proporcional. Nosotros podemos calcular la razón YM /R en el estado estacionario igualando s a cero en la Ec. (6.173)

La Ec. (6.174) muestra que mientras más pequeña es la ganancia, mas pequeño es el offset. Como la ecuación característica de cualquier sistema (lazo abierto o lazo cerrado) es el denominador de la función de transferencia que lo describe, la ecuación característica para este sistema es:

Esta ecuación muestra que la dinámica de lazo cerrado depende de las funciones de transferencia de lazo abierto (GM, GV y H) y de la función de transferencia del controlador de retroalimentación GC. La Ec. (6.175) se aplica para sistemas de simple entrada- simple salida (SISO). Nosotros derivaremos las ecuaciones características para otros sistemas en los siguientes capítulos. La primera función de transferencia en le Ec. (6.170) relaciona la variable controlada a la carga variable. Esta es la función de transferencia reguladora de lazo cerrado. La segunda función de transferencia de lazo cerrado en la Ec. (6.170) relaciona la variable controlada al setpoint. Esta es denominada servo función de transferencia de lazo cerrado. Normalmente nosotros diseñamos el controlador de retroalimentación GC(s) para dar algún desempeño de lazo cerrado deseado. Por ejemplo, debemos especificar un deseado coeficiente de amortiguamiento de lazo cerrado. Es de gran utilidad considerar la situación ideal. Si podríamos diseñar un controlador ideal fuera de cualquier consideración para la realización física, cuales deberían ser las funciones de transferencia reguladora y servo de lazo cerrado?. Claramente, desearíamos que una perturbación en la carga no tenga efecto sobre la variable controlada. Así, la función de transferencia reguladora de lazo cerrado es cero. Para cambios en el setpoint, nos gustaría que la variable controlada siguiera al setpoint en todo instante. Así, la servo función de transferencia ideal es la unidad.

Si vemos la Ec. (6.170) veremos que se pueden conseguir las dos situaciones si podemos simplemente hacer a Gc(s) infinitamente grande. Esto podría hacer al primer término cero y al segundo término la unidad. Sin embargo como se verá en el Cáp. 9, las limitaciones de estabilidad nos impiden conseguir esta situación ideal. En lugar de considerar las funciones de transferencia del proceso, transmisor y válvula separadamente, es conveniente combinarlas a todas ellas en una sola función de transferencia.

Fig. 6.32 Lazo de retroalimentación simplificado Por consiguiente, el diagrama de lazo cerrado, mostrado en la Fig. 6.32 es mas simple. La ecuación que describe este sistema de lazo cerrado es:

Estas son la ecuaciones que usaremos en algunos casos debido a que es más conveniente. Tener en cuenta que la función de transferencia GM(s) en la Ec. (6.176) es una combinación de las funciones de transferencia del proceso, transmisor, y la válvula. La ecuación característica de lazo cerrado es:

6.12 OPERACIÓN PARA ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL Convencionalmente para el diseño de sistema de control, se somete el sistema a variaciones del setpoint (R) y determinar si la

variable controlada sigue a los valores del setpoint y en que tiempo alcanza estos valores. En consecuencia para esta caso la función de tranfernecia reguladora se hace cero, por lo que los sistemas dados en las Fig. 6.31 y 6.32 se transforman en:

Fig. 6.33 Diagrama de bloques para operación servo para dos tanques con calentamiento a) Total b) Simplificado Esta será la forma de representación que usaremos en la mayoría de nuestros análisis de sistemas de control.

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DIAGRAMAS DE BLOQUES Un sistema de control puede constar de cierta cantidad de componentes. Para mostrar las funciones que realiza cada componente, en ingeniería de control se acostumbre usar diagramas denominados diagramas de bloques. Estos diagramas a la vez que muestran las relaciones entre las variables del sistema constituyen el método estándar para representar sistemas para fines de análisis o estudio. Hay acuerdos ya establecidos para la construcción o el diseño de diagramas de bloques. Las líneas representan señales que pueden ser flujos o corrientes de información, material o energía. Una unión o juntura circular de totalización (punto de suma) representa una suma algebraica de las señales de entrada en este punto. Al lado de la flecha que va a la junta totalizadora se coloca un signo algebraico, (+) o (-), para indicar una suma o una resta respectivamente; Fig. 7.1a. Un punto de ramificación o bifurcación de otra línea representa la dirección de una señal en más de una trayectoria sin modificaciones, Fig. 7.1b. Los rectángulos representan una modificación de la señal entrante y se utilizan para los elementos del sistema Fig. 7.1c.

En general, los rectángulos contienen notaciones que describen las características dinámicas del sistema que representan. Estas notaciones pueden incluir la ecuación diferencial, la constante para la conversión de unidades o la función de transferencia que relaciona la entrada y la salida del elemento.

El diagrama de bloques se obtiene directamente del sistema físico, dividiendo en secciones funcionales no interactuantes, cuyas entradas y salidas se identifican con facilidad. Los bloques se conectan en el mismo orden en que aparecen en el sistema físico.

Fig. 7.2

Circuito de control de un flujo de proceso

El lazo de control neumático de flujo que se muestra en la Fig. 7.2 comprende seis secciones principales que se deben considerar: controlador, línea de transmisión a, válvula, placa de orificio, transmisor del diferencial de presión y línea de transmisión b. Para este caso, las características de válvulas representan el proceso que se está controlando; la circulación por las válvulas es la salida del proceso c y el diagrama de bloques de este sistema es el que aparece en la Fig. 7.3

Fig. 7.3 Diagrama de bloques de un circuito de control de flujo especificando el equipo usado El controlador tiene una entrada de referencia o punto de ajuste R, que es el valor deseado para la señal de medición del proceso transmitida al controlador. Este mide la diferencia o error entre el punto de ajuste y la señal de medición. El controlador maneja el error E para

producir una salida M que corrige la posición de la válvula para hacer que el error se reduzca a cero. En el diagrama de bloques, el controlador está representado por la unión y el bloque de modalidades de control. La salida del controlador alimenta la línea de transmisión a; el bloque que representa la línea de transmisión a tiene a M, la variable manipulada, como entrada y como salida a A. La línea de transmisión puede variar con gran rapidez, como sucede en los instrumentos electrónicos, de modo que A = M, o bien puede hacerlo con lentitud, como sucede en algunas instalaciones de instrumentos neumáticos, de tal manera que A tiene una demora o retraso en tiempo en relación con M. A su vez, la señal A regula la posición de la válvula de control, y esta posición y las características de válvula determinan el gasto o velocidad de flujo a través de la misma. Del mismo modo, se agregan bloques para la placa de orificio, el transmisor de presión diferencial y la línea de transmisión b. El diagrama de bloques del sistema de lazo cerrado, genera un lazo cerrado cuando se expresa en la notación de diagramas de bloques

7.1 BLOQUES EN SERIE

Sabemos que:

Así pues, la función de transferencia resultante de dos o más bloques en serie es igual al producto de las funciones de transferencia da cada uno de los bloques dispuestos en serie

7.2 BLOQUES EN PARALELO

La función de transferencia de dos o más bloques en paralelo es igual a la suma de las funciones de transferencia de cada uno de los bloques dispuestos en paralelo.

7.3

BLOQUES EN RETROALIMENTACIÓN

7.4 BLOQUES CON CADENAS CRUZADAS

Estos bloques no están dispuestos ni en serie, ni en paralelo, ni en retroalimentación, sino que presentan un cruzamiento de las cadenas.

Convendría trasladar la salida D hacia el nudo I y, de este modo, el diagrama quedará reducido a dos retroalimentaciones. En el diagrama se han colocado los valores de las entradas y la salida, y se ha dibujado el diagrama equivalente, indicándose con trazos discontinuos los cambios realizados.

Debe verificarse que la señal de entrada a C sea la misma en ambos casos. Luego:

Luego: Z = 1/A En forma análoga determinaremos el valor de la función de transferencia T en la cual se ha trasladado el punto de arranque de A a C.

Debe verificarse que las señales a la entrada de C sean iguales. Luego:

Luego: Z = 1/C En consecuencia, tanto si se traslada el punto de arranque de la señal de entrada, como si se cambia el punto de ataque de la señal de salida, el bloque tiene una función de transferencia que es la inversa de la función de transferencia del bloque afectado que se sobrepasa.

7.5

REDUCCIÓN DEL DIAGRAMA DE BLOQUES

Es importante notar que los bloques se pueden conectar en serie solamente si la salida de un bloque no es afectada por el bloque inmediato siguiente. Si hay cualquier efecto de carga entre los componentes, es necesario combinar esos componentes en un bloque individual. Cualquier cantidad de bloques en cascada que representen componentes que no producen efecto de carga se puede representar como un bloque individual, siendo la función de transferencia de ese bloque simplemente el producto de las funciones de transferencia individuales. Es posible simplificar un diagrama de bloques muy complejo, con muchos lazos de retroalimentación, modificando paso a paso, utilizando las reglas del álgebra de diagrama de bloques. En la tabla 7.1 se dan algunas de estas reglas importantes. Se obtienen escribiendo la

ecuación en forma diferente. Hay que notar, sin embargo, que al simplificar el diagrama de bloques, los nuevos bloques se vuelven más complejos, debido a que se generan nuevos polos y ceros. Al simplificar un diagrama de bloques debe darse lo siguiente: 1. El producto de las funciones de transferencia en sentido directo debe quedar igual 2. El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo debe quedar igual.

Tabla 7.1 Reglas del álgebra de diagrama de bloques

Ejemplo 7.1

Sea el sistema que aparece en la Figura 7.4(a). Simplifique este diagrama usando las reglas que aparecen en la Tabla 7.1

Solución Desplazando el punto de suma de lazo negativo de retroalimentación que contiene H2 fuera del lazo positivo de retroalimentación que contiene a H1, se obtiene le figura 7.4(b). Eliminando el lazo de retroalimentación positiva, se tiene la figura 7.4(c). Luego, eliminando el lazo que contiene H2/G1, se obtiene la figura 7.4(d). Finalmente eliminando el lazo de retroalimentación, se llega a la figura 7.4(e).

Fig. 7.4

(a) Sistemas de lazos múltiples; (b) - (e) reducciones sucesivas del diagrama de bloques mostrado en (a)

7.6 REDUCCIÓN DEL DIAGRAMA DE BLOQUES USANDO UNTSIM El simulador UNTSIM dispone de una rutina para reducir el diagrama de bloques al cual podemos acceder a través del Menú - Calculos de Ingeniería Química - Automatización y Control - Teoría clásica - Combinación de bloques: Ejemplo: reducir el sistema de control representado por el siguiente diagrama:

Al acceder al programa tenemos: Copyright 2003 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved ESTE PROGRAMA MANIPULA LAS FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE UNO O DOS SISTEMAS Ver Automatización y control Cap. 6

*************************************************** Multiplicar (1), Feedback (2), paralelo(3): 1 Coeficientes del numerador de función 1: 5 Coeficientes del denominador de función 1: 1 -------------------------------------------La función de transferencia 1 es Transfer function: 5 -------------------------------------------Coeficientes del numerador de función 2: [1 1] Coeficientes del denominador de función 2: [2 5 1] -------------------------------------------La función de transferencia 2 es Transfer function: s+1 --------------2 s^2 + 5 s + 1 ******************************************** LA COMBINACIÓN EN SERIE DA: Transfer function: 5s+5 --------------2 s^2 + 5 s + 1 >>

Lo cual significa que se ha reducido los bloques en serie a un solo bloque, quedando el diagrama de la siguiente forma:

Y nuevamente al correr el programa para combinar en retroalimentación se tiene: Multiplicar (1), Feedback (2), paralelo(3): 2 Coeficientes del numerador de función principal: [5 5] Coeficientes del denominador de función principal: [2 5 1] -------------------------------------------La función de transferencia principal es: Transfer function: 5s+5 --------------2 s^2 + 5 s + 1

-------------------------------------------Coeficientes del numerador de función 2: 1 Coeficientes del denominador de función 2: 1 -------------------------------------------La función de transferencia 2 es Transfer function: 1 ******************************************** LA COMBINACIÓN EN RETROALIMENTACIÓN DA: Transfer function: 5s+5 ---------------2 s^2 + 10 s + 6 >>

La cual equivale a:

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RESPUESTAS TRANSITORIAS

La respuesta temporal de un sistema de control consta de dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta en estado estacionario. Por respuesta en estado estacionario se entiende la forma en que la salida del sistema se comporta cuando el tiempo t tiende al infinito. El primer paso del análisis de un sistema de control es deducir un modelo matemático del sistema. En la práctica, la señal de entrada a un sistema de control no puede conocerse con anticipación, ya que es de naturaleza aleatoria y por lo tanto, la entrada instantánea no puede expresarse en forma analítica. Solo en casos especiales se conoce previamente la señal de entrada, que entonces es expresable en forma analítica, o por curvas representativas. Al analizar y diseñar sistemas de control, se debe disponer de una base para comparar el comportamiento de diversos sistemas de control. Esas bases se pueden establecer especificando determinadas señales especiales de entrada y comparando las respuestas de diversos sistemas.

En general, sabemos que la relación entre la función de transferencia y las señales de entrada y de salida es:

y de aquí Y(s) = X(s).G(s) y que y(t) = L-1[X(s).G(s)] = L-1[Y(s)]

X(s) se conoce porque es la transformada de Laplace de la perturbación x(t), y(t) se obtiene experimentalmente, registrándose normalmente en forma de gráfico Luego el problema es determinado. Su resolución práctica puede hacerse por tanteo, a base de suponer distintas funciones G(s) y calcular la señal de salida x(t) para cada una de ellas. Se van ajustando progresivamente los datos experimentales y los cálculos para y(t) hasta definir suficientemente la transmitancia G(s). Aunque teóricamente cualquier perturbación de función conocida sería aplicable, se suelen utilizar señales elementales típicas, tales como el impulso unidad, el escalón, la rampa unidad, la función parabólica y la función senoidal. Y, aunque en la práctica las señales a analizar siempre son mucho más complejas, siempre será posible su descomposición en señales fundamentales elementales, con lo cual, la respuesta será la suma de las respuestas ante estas funciones elementales de excitación.

8.1 Funciones elementales de excitación Las señales de entrada a utilizar para analizar las características de un sistema, depende de la forma de las señales de entrada más habituales a que el sistema estará sometido a condiciones normales de operación. Si las entradas a un sistema de control son funciones que cambian gradualmente en el tiempo, la señal adecuada para una prueba puede ser la señal rampa. En forma similar, si un sistema está sujeto a perturbaciones súbitas, una función escalón en el tiempo puede ser una buena señal de prueba; y para un sistema sujeto a entradas bruscas, la mejor puede ser una función impulso

8.1.1

Función escalón Sea la función escalón

Fig. 8.1 Función escalón x(t) = 0

para t < 0

x(t) = A

para t > 0

(8.1)

donde A es una constante. Tomando la Transformada de Laplace

Si A = 1 se tiene la función escalón unidad. En la Fig. 8.1 puede verse su representación gráfica.

8.1.2

Impulso unidad

La función impulso es un caso especial limitativo de la función pulso. Sea la función impulso

Fig. 8.2

Función impulso

Como la altura de la función impulso es A/t0, el área bajo el impulso es igual a A. A medida que la duración t0 tiende acero, la altura A/t0 tiende a infinito, pero el área cubierta por el impulso permanece igual a A. Nótese que la magnitud de un impulso viene dada por su área. La transformada de Laplace de esta función impulso resulta ser X(s) = L[f(t)] = A

(8.4)

Por lo tanto la transformada de Laplace de una función impulso es igual al área bajo el impulso La función impulso cuya área es igual a la unidad, recibe el nombre de función impulso unitario o función delta de Dirac.

8.1.3

Rampa unidad

Sea la función rampa siguiente x(t) = 0

para

t> Gm=tf(1,[0.1 1]) > step(Gm)

> Gm=tf([0 0 25],[1 4 25])> step(Gm)> num = [0 0 1] >>den = [0.1 1 0]

» » » » » » » » » » » » » » » » » » »

%--------Respuesta a una entrada en rampa unitaria---------%La respuesta a una entrada unitaria en rampa se obtiene como %la respuesta a un escalón unitario de G(s)/s por G(s) % y utilizar la orden de respuesta a un escalón unitario %Introduzca el numerador y el denominador de G(s)/s num=[0 0 1]; den=[0.1 1 0]; %***Especifique los instantes de tiempo de cálculo (tales como %t=0:0.005:0.5*** %A continuación introduzca la orden de respuesta %a un salto unitario step(num,den) t=0:0.005:0.5; c=step(num,den,t); %Al representar la respuesta a una rampa, añada a la gráfica %la entrada de referencia es t. Incluya como argumentos %de la orden plot lo siguiente: t,t, '-', la orden plot en este %caso es como sigue: plot(t,c,'-',t,t, '-') plot(t,c,'-',t,t, '-') grid

» xlabel('Tiempo (min)') » ylabel('Variación de la temperatura C')

Ejemplo 8.6 Respuesta de un sistema de segundo orden

Para obtener la respuesta a una entrada en rampa unitaria, introduzca el siguiente numerador y denominados en el programa MATLAB num = [0 0 0 1]; den = [1 1 1 0]; y utilice la orden de respuesta a un escalón. El programa es: » » » » » » » »

num=[0 0 0 1]; den=[1 1 1 0]; t=0:0.17:7; c=step(num,den,t); plot(t,c,'*',t,t,'-') grid ylabel('Salida: c') xlabel('t: seg')

Uso de UNTSIM El simulador UNTSIM podemos usarlo para determinar las respuestas transitorias de cualquier sistema ante cambios de escalón unitario, impulso unitario y rampa unitaria. Para esto accedemos a través del Menú Principal: Cálculos de Ingeniería Química - Automatización y Control - Teoría Clásica Respuestas transitorias, Con lo cual se obtiene: Copyright 2003 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved ESTE PROGRAMA SIMULA LA RESPUESTA TRANSITORIA DE UN SISTEMA DANDO LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Ver Automatización y control Cap. 8.2 *************************************************** Ingrese numerador de F de T: [0 1] Ingrese denominador de F de T: [0.1 1] Respuesta a Escalón (1), Impulso(2), Rampa (3): 3 ------------------------------------------->>

y obtenemos una Figura similar a la Fig. 8.13

8.2.4

Propiedades de los sistemas lineales invariantes en el tiempo

En comparación de la respuesta del sistema con las tres entradas vistas anteriormente, se indica claramente que la respuesta a la derivada de una señal de entrada se puede obtener al diferenciar la respuesta del sistema a la señal original. También se puede ver que la respuesta a la integral de la señal original se puede obtener integrando la respuesta del sistema a la señal original, y las constantes de integración se determinan a partir de la condición inicial de salida, cero. Esta es una propiedad de los sistemas lineales variables en el tiempo. Y los sistemas no lineales no poseen esta propiedad.

8.3 Respuesta de sistemas de primer orden en serie Muchas veces un sistema físico puede representarse por varios procesos de primer orden conectados en serie. Para ilustra este tipo de sistemas, considerar los sistemas de nivel de liquido mostrados en la Fig. 8.14, en la cual dos tanques son arreglados de tal manera que la salida del primer tanque es la entrada al segundo tanque. Dos posibles arreglos de tubería son mostrados en la Fig. 8.14. En la Fig. 8.14a la salida del tanque 1 se descarga directamente en la atmósfera antes de ingresar en el tanque 2 y el flujo a través de R1 depende solamente de h1. La variación en h2 en el tanque 2 no afecta la respuesta transitoria que ocurre en el tanque 1. este tipo de sistemas es conocido como un sistema no interactuante. De otro lado, el sistema mostrado en la Fig. 8.14b es denominado a ser interactuante debido a que el flujo a través de R1 ahora depende de la diferencia entre h1 y h2 8.3.1

Sistema no interactuante

Para el ejemplo previo de nivel de liquido, asumimos que la densidad del liquido es constante, que el tanque tiene un área de sección transversal uniforme, y la resistencia al flujo es lineal. Nuestro problema es encontrar una función de transferencia la cual relacione h2 a q, esto es, H2(s)/Q(s). Se debe obtener una función de transferencia para cada tanque, Q1(s)/Q(s) y H2(s)/Q1(s), mediante un balance de masa el E.N.E. alrededor de cada tanque; estas funciones de

transferencia serán luego combinadas para eliminar el flujo intermedio Q1(s) y producir la función de transferencia deseada. Un balance en el tanque 1 da

Las relaciones entre el flujo y el nivel dadas por las resistencias lineales son

Combinando las Ecs. (8.21) y (8.22) de la misma manera como se ha hecho en el Cáp. 6 e introduciendo las variables de desviación da la función de transferencia para el tanque 1

donde Q1 = q1 – q1s, Q = q – qs, y 1 = R1A1. En la misma manera, combinamos las Ecs. (8.22) y (8.24) para obtener la función de transferencia para el tanque 2

donde H2 = h2 – h2s, y 2 = R2A2. Teniendo la función de transferencia para cada tanque, podemos obtener la función de transferencia total H2(s)/Q(s) multiplicando las Ecs. (8.25) y (8.26) para eliminar Q1(s):

Notar que la función de transferencia total Ec, (8.27), es el producto de dos funciones de transferencia de primer orden, cada una de las cuales es la función de transferencia de un tanque simple operando independientemente del otro. En el caso del sistema interactuante de la Fig. 8.14b, la función de transferencia total no puede ser encontrada por una simple multiplicación de las funciones de transferencia de los tanques. Esto será analizado posteriormente.

Ejemplo 8.7 Dos tanques no interactuantes son conectados en serie como muestra la Fig. 8.14a. Las constantes de tiempo son 1 = 0,5 y 2 = 1; R2 = 1 . esbozar la respuesta del nivel en el tanque 2 si el flujo de entrada al tanque 1 cambia en una unidad de escalón.

Fig. 8.14a Dos tanque no interactuantes

Fig. 8.14b Dos tanques ínteractuantes Solución La función de transferencia de este sistema es dada en la Ec. (8.27) y (8.28)

Para un cambio de una unidad de escalón en Q, se obtiene

Invirtiendo la Ec. (8.29) y reemplazando los valores de 1, 2 y R se tiene h2(t) = [1 – (2e-t – e-2t)

(8.30)

Dando valores a t en la Ec. (8.29), se obtienen los valores de h2(t)

Así mismo, reemplazando valores en la Ec. (8.29)se tiene:

El programa en MATLAB siguiente dará una gráfica de la respuesta a un escalón (salto) unitario de este sistema. Cuya gráfica se muestra en la Fig. 8.15 » » » » » » » » » » » » »

%Respuesta a un escalón unitario %para dos tanques no interactuantes num1=[0 0 1]; den1=[0.5 1.5 1]; %Para un solo tanque (el tanque 2) num2=[0 1]; den2=[1 1]; t=0:0.1:5; [y1,x1,t]=step(num1,den1,t); [y2,x2,t]=step(num2,den2,t); plot(t,y1,'-',t,y2,'-') xlabel('Tiempo: seg') ylabel('H2(t)')

» grid

Fig. 8.15 8.3.2

Respuesta transitoria del sistema de nivel de liquido

Generalización de varios sistemas no interactuantes

Habiendo observado que la función de transferencia total para dos sistemas de primer orden no interactuantes conectados en serie es simplemente el producto de las funciones de transferencia individuales, podemos ahora generalizar para n sistemas de primer orden no interactuantes representados en la Fig. 8.16. El diagrama de bloques es equivalente a las relaciones

para obtener la función de transferencia total, simplemente multiplicamos las funciones de transferencia individuales; luego

Del Ejemplo 8.7, notamos que la respuesta a un escalón de un sistema consistente de dos sistemas de primer ordene tiende a la forma de S, esto se debe a la demora de transferencia y está presente cuando se conectan en serie dos o más sistemas de primer orden.

8.3.3

Sistemas interactuantes

Para ilustrar un sistema interactuante, derivaremos la función de transferencia para el sistema mostrado en la Fig. 8.14b. el análisis comienza escribiendo los balances de masa para los tanques como en el caso de no interactuantes. Los balances en los tanques 1 y 2 son los mismos y están dados por las Ecs. (8.21) y (8.22). Sin embargo la relación de flujo a nivel para el tanque 1 es ahora

La relación de flujo a nivel para R2 es la misma del caso anterior y esta expresada por la Ec. (8.24). Una vía simple para combinar las Ecs. (8.21), (8.22), (8.24), y (8.33) es expresándolas primero en términos de las variables de desviación, transformar las ecuaciones resultantes, y luego combinar las ecuaciones transformadas para eliminar las variables no deseadas. Al estado estacionario, las Ecs. (8.21) y (8.22) pueden escribirse qs

–

q1s

0

(8.34) q1s

0

=

–

q2s

= (8.35)

Restando la Ec. (8.34) de la Ec. (8.21) y la Ec. (8.35) de la Ec. (8.22) e introduciendo las variables de desviación da

Expresando las Ecs. (8.33) y (8.24) en términos de las variables de desviación da

Transformando las Ecs. (8.36) a la (8.39) de Q(s) (8.40)

– Q1(s)

=

Q1(s) (8.41)

–

=

Q2(s)

A1sH1(s)

A2sH2(s)

R1Q1(s) = H1(s) – H2(s) (8.42) R2Q2(s)

=

H2(s)

(8.43) El análisis ha producido cuatro ecuaciones algebraicas conteniendo cinco incógnitas: (Q, Q1, Q2, H1, y H2). Estas ecuaciones se pueden combinar para eliminar Q1, Q2, y H1 y llegar a la función de transferencia deseada:

Notar que el producto de las funciones de transferencia para los tanques operando separadamente, Ecs. (8.25) y (8.26), no produce el

resultado correcto para el sistema interactuante. La diferencia entre la función de transferencia para el sistema no interactuante, Ec. (8.27), y el sistema interactuante, Ec. (8.44), es la presencia del término A1R2 en el coeficiente de s. El termino interactuante es a menudo referido como una carga. El segundo tanque de la Fig, 8.14b se dice carga al primer tanque. Reemplazando valores en la Ec. (8.44) se tiene

Y la respuesta para un escalón unitario es

Para este ejemplo, vemos que el efecto de la interacción ha sido el cambio efectivo de las constantes de tiempo del sistema interactuante. Graficando para el sistema no interactuante, Ec. (8.31) y el sistema con interacción, Ec. (8.46) se tiene » » » » » » » » » »

num1=[0 0 1]; den1=[1 2 1]; num2=[0 0 1]; den2=[1 3 1]; [y1,x1,t]=step(num1,den1,t); [y2,x2,t]=step(num2,den2,t); plot(t,y1,'-',t,y2,'-') grid xlabel('Tiempo: t') ylabel('Salida: H2(t)')

Fig. 8.16

Efecto de la interacción para dos tanques

Otra forma: >> G1=tf(1,[0.5 1]) > G2=tf(1,[1 1]) > G=G1*G2 > step(G2) > hold on >> step(G) 1. La respuesta transitoria de sistemas críticamente amortiguados y sobreamortiguados, no oscila. Si  = 0 la respuesta transitoria no se extingue. Ahora se obtendrá la respuesta del sistema que aparece en la Fig 8.19 a una entrada escalón unitario. Se considerarán tres casos diferentes: El subamortiguado (0 <  < 1), el críticamente amortiguado ( = 1) y el sobreamortiguado ( < 0). 1. Caso subamortiguado, (0 <  < 1): En este caso, C(s)/R(s) se puede escribir como:

La frecuencia d se denomina frecuencia natural amortiguada. Para una entrada escalón unitario, C(s) se puede escribir

La transformada inversa de Laplace de la Ec.(8.51) se obtiene fácilmente si C(s) se escribe del siguiente modo:

En el capítulo 4 se mostró que

de aquí se obtiene la transformada inversa de Laplace como

Este resultado se puede obtener en forma directa, utilizando la tabla de transformadas de Laplace. De la Ec. (8.52) se puede ver que la frecuencia de oscilación transitoria es la frecuencia natural amortiguada d y varía con la relación de amortiguamiento . La señal de error para este sistema es la diferencia entre la entrada y la salida, y es

Esta señal de error presenta una oscilación senoidal amortiguada. En estado estacionario, o en t = , no hay error entre entrada y salida.

Si la relación de amortiguamiento  es igual a cero, la respuesta se hace no amortiguada y la oscilación continúa indefinidamente. La respuesta c(t) para el amortiguamiento cero se puede obtener, substituyendo  =0 en la Ec (8.52), llegándose a c(t) = 1 – cos n t

(t  0)

(8.54

Así, de la Ec. (8.54) se ve que n representa la frecuencia natural no amortiguada del sistema. Es decir, n es la frecuencia a la cual el sistema oscilará si el amortiguamiento descendiera a cero. Si el sistema lineal tiene algún amortiguamiento, la frecuencia natural no

amortiguada no se puede observar en forma experimental. La frecuencia que se puede observar, es la frecuencia natural amortiguada d, que es igual a

Esta frecuencia es siempre inferior a la frecuencia natural no amortiguada. Un aumento en  reduce la frecuencia natural amortiguada d. Si  se incrementa por encima de la unidad, la respuesta se vuelve sobreamortiguada y no oscila. 2. Caso de amortiguamiento crítico, ( = 1): Si los dos polos de C(s)/R(s) son casi iguales, el sistema se puede aproximar por uno de amortiguamiento crítico. Para una entrada escalón unitario, R(s) = 1/s, C(s) se puede escribir como

La transformada inversa de Laplace de la Ec. (8.55) se puede hallar como

3. Caso sobreamortiguado ( > 1): En este caso los dos polos de C(s)/R(s) son reales negativos y diferentes. Para una entrada escalón unitario, R(s) = 1/s, C(s) se puede escribir como:

Así, la respuesta de c(t) incluye dos términos exponenciales decrecientes. Al simular sistemas de segundo orden podemos llegar a las siguientes conclusiones: Al simular sistemas de segundo orden podemos llegar a las siguientes conclusiones:

- Dos sistemas de segundo orden con el mismo , pero diferente n, presentan el mismo sobreimpulso y el mismo esquema oscilatorio. Se dice que tales sistemas tienen la misma estabilidad relativa. - De la Fig. 8.20 se puede ver que un sistema subamortiguado con  entre 0.5 y 0.8, se aproximan con más rapidez al valor final que un sistema críticamente amortiguado o subamortiguado. Entre los sistema que responden sin oscilación, un sistema críticamente amortiguado presenta la respuesta más rápida. Un sistema sobreamortiguado es siempre más lento en su respuesta a cualquier entrada.

Fig. 8.20 Curvas de respuesta al escalón unitario, del sistema mostrado en la Fig. 8.19 con n = 1 y diferentes valores del coeficiente de amortiguamiento  = e.

8.6 COMENTARIOS SOBRE RESPUESTA TRANSITORIA

LOS

PARÁMETROS

DE

Excepto en ciertas aplicaciones en que no se pueden tolerar oscilaciones, es deseable que la respuesta transitoria sea suficientemente rápida y amortiguada. Así, para una respuesta transitoria deseable de un sistema de segundo orden, la relación de amortiguamiento debe estar entre 0,4 y 0,8. valores pequeños de  ( < 0,4) producen sobreimpulso excesivo en la respuesta transitoria y un valor con un valor grande de  ( > 0,8) responde lentamente. El sobreimpulso máximo y el tiempo de crecimiento están en conflicto entre sí. En otras palabras, no se puede lograr un sobreimpulso máximo y un tiempo de crecimiento pequeños al mismo tiempo. Si uno de ellos se hace pequeño, el otro se hará grande necesariamente

Ejemplo 8.8

El setpoint del sistema de control siguiente recibe un cambio de 1 unidad de escalón

Fig. 8.21 Determine:

a)

El máximo valor de y(t)

b)

El “offset”

c)

El periodo de oscilación

Solución Usando el simulador UNTSIM se tiene:

a) Combinando en serie ESTE PROGRAMA MANIPULA LAS FUNCIONES

DE TRANSFERENCIA DE UNO O DOS SISTEMAS Ver Automatización y control Cáp. 6 *************************************************** Multiplicar (1), Feedback (2), paralelo(3): 1 Coeficientes del numerador de función 1: 1.6 Coeficientes del denominador de función 1: 1 -------------------------------------------La función de transferencia 1 es : Transfer function:

1.6 -------------------------------------------Coeficientes del numerador de función 2: 5 Coeficientes del denominador de función 2: [2 3 1] -------------------------------------------La función de transferencia 2 es Transfer function: 5 --------------2 s^2 + 3 s + 1 ******************************************** LA COMBINACIÓN EN SERIE DA: Transfer function: 8 --------------2 s^2 + 3 s + 1 b)

Anulando el feedback

ESTE PROGRAMA MANIPULA LAS FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE UNO O DOS SISTEMAS Ver Automatización y control Cáp. 6 *************************************************** Multiplicar (1), Feedback (2), paralelo(3): 2 Coeficientes del numerador de función principal: 8 Coeficientes del denominador de función principal: [2 3 1] -------------------------------------------La función de transferencia principal es:

Transfer function: 8 --------------2 s^2 + 3 s + 1 -------------------------------------------Coeficientes del numerador de función 2: 1 Coeficientes del denominador de función 2: 1 -------------------------------------------La función de transferencia 2 es Transfer function: 1 ******************************************** LA COMBINACIÓN EN RETROALIMENTACIÓN DA: Transfer function: 8 --------------2 s^2 + 3 s + 9

c) Simulando el sistema para una entrada de escalón ESTE PROGRAMA SIMULA LA RESPUESTA TRANSITORIA DE UN SISTEMA DANDO LA FUNCION DE TRANSFERENCIA Ver Automatización y control Cáp. 8.2 *************************************************** Ingrese numerador de F de T: 8 Ingrese denominador de F de T: [2 3 9] Respuesta a Escalón (1), Impulso(2), Rampa (3): 1

--------------------------------------------

Fig. 8.22

Fig. 8.23 De la Fig. 8.22 se tiene: a) El máximo valor de y(t) es 1.16 y ocurre después de 1.6 segundos b) El Offset es = 1 – 0.89 = 0.11 c)

El periodo de oscilación: podemos considerar antes del tiempo de establecimiento. Si consideramos el tiempo de establecimiento cuando y(t) se desvía solamente  0.02 del valor final (0.02 x 0.89) =  0.0178 lo cual es 0.9078 ó 0.8722

De la Fig.8.23 se tiene tiempo de oscilación 5.11 segundos, al cabo del cual se alcanza el límite de tolerancia.

CAPITULO

9

ESTABILIDAD El aspecto dinámico más importante de todo sistema es su estabilidad. Se entiende por estabilidad la capacidad que tiene un sistema para amortiguar con el tiempo y anular totalmente las oscilaciones de la respuesta ante una perturbación. Hemos visto en los capítulos anteriores que la estabilidad está dictada por la ubicación de las raíces de la ecuación característica del sistema. También hemos visto que las raíces del denominador de la función de transferencia, y sus polos, son exactamente lo mismo que las raíces de la ecuación característica. Entonces, para que el sistema sea estable, los polos de la función de transferencia deben estar en el semiplano izquierdo del plano s (LHP). Estas condiciones de estabilidad se aplica a cualquier sistema, de lazo abierto o de lazo cerrado. La estabilidad de un proceso de lazo abierto depende de la ubicación de los polos de su función de transferencia de lazo abierto. La estabilidad de un proceso de lazo cerrado depende de la ubicación de los polos de su función de transferencia. Estos polos de lazo cerrado naturalmente serán diferentes a los polos de lazo abierto. Así, los criterios para estabilidad de lazo abierto y lazo cerrado son diferentes. La mayoría de sistemas son de lazo abierto estable pero pueden ser de lazo cerrado estable o inestable, dependiendo de los valores de los parámetros del controlador. Nosotros mostraremos que cualquier proceso real puede hacerse de lazo cerrado inestable haciendo la ganancia del controlador de retroalimentación lo suficientemente grande. Existen algunos procesos que son de lazo abierto inestables. Nosotros mostraremos que estos sistemas pueden usualmente hacerse de lazo cerrado estable mediante la elección correcta del tipo de controlador y sus parámetros.

Podemos considerar dos tipos de estabilidad: absoluta y relativa. En la estabilidad absoluta, la variable vuelve al punto de consigna a un valor estable después de una perturbación, sin importar el tiempo que esté oscilando hasta anularse. Es decir, los criterios correspondientes no indican lo próximo que esté el sistema de la inestabilidad. En la estabilidad relativa, la variable vuelve al punto de consigna (valor de referencia o “set point”) después de una perturbación en un tiempo limitado, con la condición de que cada oscilación tenga un cuarto de la amplitud de la oscilación precedente. Existen varios métodos para analizar la estabilidad en el dominio de Laplace. Algunos de los más usados serán discutidos a continuación. Los métodos en el dominio de la frecuencia serán discutidos en el Cáp. 12.

9.1 ESTABILIDAD ABSOLUTA 9.1.1

Criterio de raíces de la ecuación característica

El sistema de control es estable si las raíces del denominador (ecuación característica) de la función de transferencia tienen partes reales negativas.

La ecuación característica es: D(s) = aosn + a1sn-1 + . . . +an = 0

(9.1)

Y es equivalente a la respuesta del sistema con excitación o entrada nula D(s) = 0 Si las raíces son s1, s2, . . . , sn la ecuación puede expresarse

Se llega a la misma conclusión considerando que la respuesta a un impulso unitario de la función de transferencia G(s) es:

y que debe ser nula para que el sistema sea estable Para que la expresión se anula cuando el tiempo tiende a infinito, es necesario que los valores reales de s1, s2, ...,sn sean negativos, ya que de este modo cada uno de los sumandos tiende a cero y la curva de respuesta se anula. Si las raíces s1, s2, ...,sn fueran positivas, cada uno de los términos A

t+B

t +. . . aumentarían con el tiempo.

Si las raíces son complejas con una parte real y una imaginaria s = a + bj también existirá su valor conjugado s = a – bj y, por tanto, la respuesta a un impulso unitario de la función de transferencia G contendrá términos tales como: L-1[G(s)] = e(+bj)t + . . . = eat (ejbt + e-jbt) + ... = eat . 2 cos bt + ... (9.4) que es una respuesta oscilatoria con una amplitud exponencial eat; para que disminuya con el tiempo es necesario que la parte real a sea negativa. Si la parte real fuera 0, la respuesta no se anula con el tiempo sino que se mantiene en un valor limitado. Así pues, la respuesta será estable si todas las raíces de la ecuación característica tienen la parte real negativa. Si estas raíces se representan en el plano imaginario de s deben estar a la izquierda del mismo (en el semiplano izquierdo LHP del plano s). Si al menos una raíz está en el semiplano derecho RHP del plano s, el sistema es inestable.

9.1.2

Criterio de Routh

El criterio de raíces de la ecuación característica es satisfactorio siempre que puedan determinarse dichas raíces en el polinomio de la ecuación. El criterio de Routh es un método que permite eliminar el cálculo de las raíces y asegura si cualquiera de las raíces es positiva o tiene partes reales que son positivas, en cuyo caso el sistema es inestable. Se escribe la ecuación característica D(s) = aosn + a1sn-1 + . . . +an-1 + an, siendo el primer coeficiente ao positivo, se forma una tabla con filas de coeficientes. El número de filas es el grado de la ecuación más 1, es decir si el grado es n, habrá n + 1 filas. fila

en la que

1

ao

a2

a4 ...

2

a1

a3

a5 ...

3

b1

b2

b3 ...

4

c1

c2

c3 ...

5

d1

d2

....

.

....

....

....

.

0

El sistema es estable si todos los elementos de la primera columna de la tabla de coeficientes son positivos. Cuando esto se cumple, las raíces de la ecuación característica tienen la parte real negativa. Si hay cambios de signo, su número índica el número de raíces con parte real positiva.

Ejemplo 9.1 Sea la función de transferencia de un lazo cerrado de control con denominador s3 + 6s2 + 12s + 8 = 0. determinar su estabilidad absoluta. Formando el arreglo de Routh

1

12

0

6

8

0

32/ 3

0

8

ya que

El sistema es estable porque los coeficientes de la primera columna tienen el mismo signo positivo

Uso de UNTSIM para hacer el arreglo de Routh Seleccionando del Menú principal: Calculos de Ingeniería QuímicaAutomatización y Control-Analisis de estabilidad-Arreglo de Routh 01-May-2004 Copyright 2004 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved ESTE PROGRAMA CONSTRUYE EL ARREGLO DE ROUTH

PARA UN POLINOMIO DE ORDEN n ****************************************************************** Ingresar coeficientes del polinomio [ ]: [1 6 12 8] Construyendo el arreglo Routh-Hurwitz del polinomio caracteristico: 1 6 12 8 1.0000e+000 6.0000e+000 1.0667e+001 8.0000e+000

1.2000e+001 8.0000e+000 0 0

Se ha hecho el arreglo de Routh! EL SISTEMA ES ESTABLE. >>

9.2

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD RELATIVA

El criterio de estabilidad de Routh brinda la respuesta sobre estabilidad absoluta. Esto, en muchos casos reales, no es suficiente; pues se requiere información sobre la estabilidad relativa del sistema. Un procedimiento útil para examinar la estabilidad relativa es desplazar el eje del plano s y aplicar el criterio de estabilidad de Routh. Es decir, se substituye s constante)

=

s

–



(

=

(9.11)

En la ecuación característica del sistema, se escribe el polinomio en términos de s, y se aplica el criterio de estabilidad de Routh al nuevo polinomio en s. La cantidad de cambios de signo en la primera columna del conjunto desarrollado por el polinomio en s es igual a la cantidad de raíces ubicadas a la derecha de la línea vertical s = – . Esta prueba indica la cantidad de raíces que quedan a la derecha de la línea vertical s = – . La utilidad del criterio de estabilidad de Routh en el análisis de sistemas lineales de control es limitada, principalmente porque no sugiere cómo mejorar la estabilidad relativa o como estabilizar un sistema inestable. Sin embargo, los efectos de la modificación de uno o dos parámetros de un sistema se pueden determinar examinando los valores que producen la inestabilidad.

Ejemplo 9.2 A continuación, se considerará el problema de determinar el rango de valores de un parámetro para lograr la estabilidad.

Fig. 9.1 Sistema de control Considere el sistema de la Fig. 9.1. Determinar el rango de K para le estabilidad. La función de transferencia de lazo cerrado es

La ecuación característica es S4

+

3s3

+3s2

0

+

2s (9.13)

+

K

=

El conjunto de coeficientes se convierte en

Para que haya estabilidad, K debe ser positiva, y todos los coeficientes de la primera columna deben serlo también. Por lo tanto, (14/9) > K > 0

Para K = 14/9, el sistema se vuelve oscilatorio y, matemáticamente, la oscilación se mantiene con amplitud constante.

Ejemplo 9.2

Considerar el proceso de tres CSTR en serie dados en el Ejemplo 6.10. con una función de transferencia del proceso

Nosotros deseamos examinar la estabilidad del sistema de lazo cerrado con un controlador proporcional GC(s) = KC, sin embargo; primero verificaremos la estabilidad de lazo abierto para este sistema. La ecuación característica de lazo abierto es: s3

+

3s2

+

3s

0 El arreglo de Routh utilizando UNTSIM es: 26-Jul-2004 Copyright 2004 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved ESTE PROGRAMA CONSTRUYE EL ARREGLO DE ROUTH PARA UN POLINOMIO DE ORDEN n **************************************************** Ingresar coeficientes del polinomio [ ]: [1 3 3 1] Construyendo el arreglo Routh-Hurwitz del polinomio característico: 1

3

3

1

+ (9.14)

1

=

1.0000

3.0000

3.0000

1.0000

2.6667

0

1.0000

0

Se ha hecho el arreglo de Routh! EL SISTEMA ES ESTABLE. >>

Como no hay ningún valor negativo en la primera columna, el sistema es estable. Este descubrimiento no es genial ya que nosotros sabemos por simulación que el sistema de lazo abierto es estable. Nosotros también podemos inspeccionar la Ec.(9.14) para determinar los polos. Usando el simulador UNTSIM (Cálculos matemáticos-Polinomios-Raíces de polinomios no lineales) se tiene: Desea ingresar coeficientes (1) o la función (2): 1 Ingrese coeficientes del polinomio: [1 3 3 1] Desea calcular todas las raíces(1) buscar en un intervalo (0): 1 Las raíces son: -1.0000 -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i

>> Los tres polos de la función de transferencia de lazo abierto están localizados a – 1 en el semiplano izquierdo del plano s (LHP), la cual es la región estable

Fig. 9.2 Sistema de 3 CSTR

Ahora verificaremos la estabilidad de lazo cerrado. El sistema es mostrado en la Fig. 9.2 . Aplicando el álgebra de bloques y reduciendo el sistema a un solo bloque se tiene

Con lo cual la ecuación característica de lazo cerrado es: s3 + 3s2 + 3s + 1 + Kc/8 = 0

(9.15) El arreglo de Routh es:

Examinando la primera columna podemos ver que puede haber un cambio de signo si el tercer término es negativo.

Luego el sistema es de lazo cerrado estable para una ganancia del controlador proporcional menos de 64 pero de lazo cerrado inestable para ganancias mayores que 64. El máximo valor estable de KC es el que hemos definido en el Cáp. 3 como la última ganancia Ku Nosotros podemos comprobar lo anteriormente dicho reemplazando el valor de KC por valores < 64, = 64, y > 64, y usando el simulador UNTSIM

a) Para KC < 64 (Por ejemplo 63) ESTE PROGRAMA CONSTRUYE EL ARREGLO DE ROUTH

PARA UN POLINOMIO DE ORDEN n ************************************************************ Ingresar coeficientes del polinomio [ ]: [1 3 3 1+63/8]

Construyendo el arreglo Routh-Hurwitz del polinomio característico: 1.0000

3.0000

1.0000

3.0000

3.0000

8.8750

0.0417

0

8.8750

0

3.0000

8.8750

Se ha hecho el arreglo de Routh! EL SISTEMA ES ESTABLE. >>

b) Para Kc = 64 ESTE PROGRAMA CONSTRUYE EL ARREGLO DE ROUTH PARA UN POLINOMIO DE ORDEN n ******************************************************* Ingresar coeficientes del polinomio [ ]: [1 3 3 1+64/8] Elementos de la fila 3 son todos cero. Son reemplazados por los coeficientes auxiliares de la eq. Fin del mensaje. Presionar para continuar...

c) Para KC > 64 (por ejemplo 65) ESTE PROGRAMA CONSTRUYE EL ARREGLO DE ROUTH

PARA UN POLINOMIO DE ORDEN n ****************************************************** Ingresar coeficientes del polinomio [ ]: [1 3 3 1+65/8]

Construyendo el arreglo Routh-Hurwitz del polinomio característico: 1.0000

3.0000

1.0000

3.0000

3.0000

9.1250

-0.0417

0

9.1250

0

3.0000

9.1250

Se ha hecho el arreglo de Routh! Existen 2 raíces en el semiplano-s derecho. EL SISTEMA ES INESTABLE >>

CAPITULO

10

DISEÑO DE UN PID POR PRUEBA Y ERROR Ahora mostraremos las características de los controles proporcional (P), integral (I) y derivativo (D). Y como usarlos para conseguir la respuesta deseada. Considerando el siguiente sistema con realimentación (“feedback”) unitaria:

Fig. 10.1 Sistema de control de Lazo cerrado Planta: Sistema objeto del control (proceso a controlar) Controlador: Proporciona la excitación a la planta; se diseña para controlar el comportamiento global del sistema.

10.1 LOS TRES TÉRMINOS DEL CONTROLADOR Tomando la Ec (6147) la función de transferencia de un controlador PID podemos escribirla como:

(10.1) donde KC = ganancia proporcional i = tiempo integral d = tiempo derivativo o tiempo de adelanto Los valores de KC, i y d son ajustables La Ec. 6.147 también se usa de la forma dada por la Ec.10.2

= Kc +

+ Kd s =

(10.2) donde 

Kp = Ganancia proporcional



Ki = KC/i = Ganancia integral



Kd = KCd = Ganancia derivativa

Los valores de KC, Ki y Kd son ajustables. Las dos Ecs. (10.1) y (10.2) son equivalentes, según sea el fabricante del controlador analógico, unos usarán la Ec. (10.1) y otros la Ec. (10.2). Nosotros usaremos las dos formas según sea el caso.

10.2 CARACTERÍSTICAS DE CONTROLADORES PID Un controlador proporcional (KC) reduce el tiempo de subida pero no elimina nunca el error en régimen permanente. El control integral (Ki) elimina el error en régimen permanente pero empeora la respuesta transitoria. Un control derivativo (Kd) incrementa la estabilidad del sistema, reduce el sobreimpulso y mejora la respuesta transitoria. En la siguiente tabla se resumen los efectos de cada controlador Kc, Kd y Ki sobre un sistema en bucle cerrado.

Tabla 10.1 Características PID

RESPUESTA BC

TIEMPO SUBIDA

TIEMPO DE SOBREIMPULS O ESTABLECIMIENT O

ERROR R-P

Kp

Disminuye

Aumenta

Poca variación

Disminuye

Ki

Disminuye

Aumenta

Aumenta

Elimina

Kd

Poca variación Disminuye

Disminuye

Poca variación

Tenga en cuenta que estas relaciones puede que no sean demasiado precisas porque los efectos de las ganancias Kp, Ki y Kd dependen los unos de los otros. De hecho, al variar el valor de una de estas variables puede que se modifiquen los efectos producidos por las otras dos. Por esta razón, a la hora de determinar los valores de KC, Ki y Kd sólo deberá usar esta tabla como una referencia.

10.3

CASO DE ESTUDIO

Consideremos el intercambiador del LOU de la UNT. La función de transferencia de la temperatura de salida del fluido de proceso Tp(s) con respecto al flujo de entrada del fluido de calentamiento Fc (s) esta dado por

; (6.24) O lo que es lo mismo:

(10.3)

1 , 2 > 0

Tomando los valores experimentales para el estado estacionario se tiene: KP = 0.07 C/kg seg (ganancia del proceso al estado estacionario) Así mismo para las constantes de tiempo se tiene: 1 = 3.42 seg. 2 = 3 seg. Sustituyendo estos valores en la anterior función de transferencia y arreglando se tiene

(10.4) El objetivo de este problema es mostrar como Kp, Ki y Kd contribuyen a obtener 

Un tiempo de subida más rápido



Un sobreimpulso mínimo



Un error en régimen permanente nulo

Previamente puede analizarse la estabilidad del sistema usando el criterio de Routh y los polos de la función de transferencia usando UNTSIM

10.4 RESPUESTA ESCALÓN EN LAZO ABIERTO (SIN CONTROL) Veamos, en primer lugar, la respuesta en lazo abierto del sistema (valor de Tp) ante una entrada escalón (cambio en una unidad el valor de Fc). Usando UNTSIM Copyright 2003 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved

26-Jul-2004 ESTE PROGRAMA SIMULA LA RESPUESTA TRANSITORIA DE UN SISTEMA DANDO LA FUNCION DE TRANSFERENCIA Ver Automatizacion y control Cap. 8.2 *************************************************** Ingrese numerador de F de T: [0.07] Ingrese denominador de F de T: [10.26 6.42 1] Respuesta a Escalon (1), Impulso(2), Rampa (3): 1 --------------------------------------------

Fig. 10.2 Respuesta de lazo abierto del intercambiador a un escalón

La ganancia de la función de transferencia de la planta es 0.07, Así, el valor final de la salida ante un escalón unitario es 0.07, lo que corresponde a un error en régimen permanente de 1 – 0.07 = 0.93, en efecto, bastante grande. Más aún, el tiempo de subida es de alrededor de 12 segundos y el tiempo de establecimiento es de aproximadamente 20 segundos.

10.5 RESPUESTA ESCALÓN EN LAZO CERRADO Para controlar el proceso, debemos diseñar un controlador que reduzca el tiempo de subida y el tiempo de establecimiento y elimine el error en régimen permanente. Para tal efecto diseñamos un sistema de control de retroalimentación y para fines de análisis consideramos un servosistema, el cual está dado por la Fig. 10.1 en donde reemplazando los valores de las funciones de transferencia se tiene:

Fig. 10.2

10.6

Control de lazo cerrado para el intercambiador del LOU

CONTROL PROPORCIONAL

En la tabla anterior se muestra que la acción proporcional (Kc) reduce el tiempo de subida, incrementa el sobreimpulso y reduce el error en régimen permanente. La función de transferencia para un controlador proporcional es: GC (s) = Kc (10.5) Introduciendo la ganancia proporcional en el bloque del controlador y reduciendo el sistema a un solo bloque se tiene la función de transferencia del sistema:

(10.6) Podemos encontrar la respuesta del sistema para diferentes valores de Kc y seleccionar la mejor. Usando el simulador UNTSIM: Cálculos de ingeniería química – Automatización y control – Teoría clásica – Simulación de sistema – Con Matlab

27-Jul-2004 Copyright 2003 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved ESTE PROGRAMA SIMULA UN SISTEMA DE CONTROL DE RETROALIMENTACION CON UN P, PI o PID Y EVALUA LA GANANCIA PROPORCIONAL Kp, TIEMPO INTEGRAL ti o (Ki=Kp/ti) Y TIEMPO DERIVATIVO td o (Kd=Kp*td) ************************************************************** FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL PROCESO Numerador [ ]: 0.07 Denominador [ ]: [10.26 6.42 1] Transfer function: 0.07 ---------------------10.26 s^2 + 6.42 s + 1

CONSTANTE DE VALVULA Kv: 1

>num=[1.151 0.1774]; %Numerador de F de T del proceso >>num1=conv(Kc,num); % Numerador de F de T directa del lazo

>>den1=[1 0.739 0.921 0]; %Denominador de F de T del proceso

Considerando la F de T de retroalimentación = 1 >> [numc,denc]=cloop (num1,den1);% F de T de lazo cerrado Se obtiene la siguiente respuesta numc = 0

0

2.3020

0.3548

denc = 1.0000

0.7390

3.2230

0.3548

Si se desea se puede arreglar la Función de transferencia con la orden >> sys=tf(numc,denc) Transfer function: 2.302 s + 0.3548 ---------------------------------s^3 + 0.739 s^2 + 3.223 s + 0.3548

Por ahora, poner la ganancia proporcional (Kc) igual a 2 y observar el comportamiento del sistema. Para lo cual se da la siguiente orden: >> step(sys)

3.

Usando el simulador UNTSIM de la misma forma que el ejemplo anterior, seleccionando la opción Control Proporcional y haciendo los supuestos de los valores de Kc = 1 y luego Kc = 2

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ESTE PROGRAMA SIMULA UN SISTEMA DE CONTROL DE RETROALIMENTACION CON UN P, PI o PID Y EVALUA LA GANANCIA PROPORCIONAL Kp, TIEMPO INTEGRAL ti o (Ki=Kp/ti) Y TIEMPO DERIVATIVO td o (Kd=Kp*td) ************************************************************** FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL PROCESO Numerador [ ]: [1.151 0.1774] Denominador [ ]: [1 0.739 0.921 0]

Transfer function: 1.151 s + 0.1774 ------------------------s^3 + 0.739 s^2 + 0.921 s

CONSTANTE DE VALVULA Kv: 1 FUNCION DE TRANSFERENCIA DE RETROALIMENTACIÓN Numerador [ ]: 1 Denominador [ ]: 1

Transfer function: 1

FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL CONTROLADOR 1. Control Proporcional 2. Control Proporcional Integral 3. Control Proporcional Integral Derivado Seleccione opción: 1 Ganancia proporcional Kc: 2 FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA

Transfer function: 2.302 s + 0.3548 ---------------------------------s^3 + 0.739 s^2 + 3.223 s + 0.3548

Desea hacer otro supuesto si(1), no(0): 0

Obteniendo las gráficas con las respectivas respuestas

Como se ve, ambos el sobreimpulso y el tiempo de establecimiento tienen la necesidad de alguna mejora.

Control proporcional derivado (PD) Recordar del estudio del PID, la acción derivativa reducirá el sobreimpulso y el tiempo del establecimiento. Consideremos un controlador PD. La función de transferencia de lazo cerrado del sistema con un controlador PD es:.

= Usando los órdenes mostrados debajo y con varias pruebas de ensayo-y-error, una ganancia proporcional (KC) de 9 y una ganancia derivativa (Kd) de 4 dan un resultado razonable. Para confirmar esto, cambiando el archivo-m al siguiente y ejecutándolo en la ventana de ordenes MATLAB. Se obtiene la respuesta siguiente: >>Kc=9; >>Kd=4; >>numc=[1.151*Kd 1.151*Kc+0.1774*Kd 0.1774*Kc]; >>denc=[1 0.739+1.151*Kd 0.921+1.151*Kc+0.1774*Kd 0.1774*Kc]; >>step (numc,denc)

Esta respuesta al escalón muestra el tiempo de crecimiento de menos de 2 segundos, el sobreimpulso de menos de 10%, el tiempo de establecimiento de menos de 10 segundos, y el error del estado estacionario de menos de 2%. Todos los requisitos del plan están satisfechos.

Control PID Aunque todos los requisitos del plan estaban satisfechos con el controlador PD, la acción integral (Ki) puede agregarse para reducir el sobreimpulso y tener una curva de respuesta más lisa. Después de varias pruebas de ensayo-y-error, la ganancia proporcional (KC) de 2, la ganancia integral (Ki) de 4, y la ganancia derivativa (Kd) de 3 todavía satisface todos los requisitos del plan y dan una curva de respuesta más lisa. Para confirmar esto, ingresar las órdenes siguientes >> Kc=2; >> Kd=3; >> Ki=4; >> numo=[1.151 0.1774];

>> deno=[1 0.739 0.921 0]; >> numpid=[Kd Kc Ki]; >> denpid=[1 0]; >> num1=conv(numo,numpid); >> den1=conv(deno,denpid); >> [numc,denc] = cloop(num1,den1); >> step (numc,denc) >> grid >> title('Respuesta de lazo cerrado para Kc=2, Kd=3 y Ki=4')

10.10 USO DE SIMULINK EN EL DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL El paquete SIMULINK es de gran ayuda para el diseño de sistemas de control.

Nosotros podemos acceder a un sistema típico mediante el simulador UNTSIM, para lo cual vamos al Menú principal- Automatización y Control - Simulación de sistemas.

10.10.1 Sistemas de Lazo Abierto Seleccionando la rutina para simular sistemas de control, aparece el esquema siguiente:

Fig 10.10 Diagrama SIMULINK para simulas sistemas de control

El sistema de lazo cerrado de la Fig. 10.10 consta de: proceso, lazo de retroalimentación (sensor con función de transferencia igual a la unidad), comparador , elemento de control final (actuador). El actuador consta de un bloque para limitar los valores de entrada o límites de saturación (extremos) y un bloque proporcionador para determinar la proporción de respuesta ante las señales de entrada (límite de respuesta). Estos valores se pueden ajustar en el cuadro de parámetros de cada bloque. En este caso, los límites de saturación del actuador

cortan los valores de entrada mayores que 2 unidades o menores que -2 unidades y el límite de respuesta es 0.8 unidades/seg. Haciendo doble Click en el bloque correspondiente al proceso aparece el siguiente cuadro:

Fig.10.11 Ajuste de parámetros del proceso

En el cual colocamos los coeficientes del numerador y del denominador de la función de transferencia del proceso, luego OK y se actualiza la función de transferencia en el diagrama principal: En este caso colocamos la Función de Transferencia del Ejemplo 10.1

Fig. 10.12 Diagrama Simulink para el Ejemplo 10.1

El siguiente paso es ir al menú principal Simulación - Start con lo cual se inicia la simulación para el sistema de lazo abierto. Para la simulación de lazo abierto debe verificarse que las ganancias del controlador no tengan ningún valor y estén como aparece en la Fig. 10.13

Fig. 10.13 Parámetros del controlador El resultado de la simulación lo podemos ver haciendo doble click en el cuadro de la gráfica, apareciendo la gráfica mostrada en la Fig. 10.14

Fig. 10.14 Respuesta de Lazo abierto ql sistema del Ejemplo 10.1 Respuesta de lazo abierto para el sistema del Ejemplo 10.1

10.10.2

Simulación de Sistemas de Lazo cerrado

Accedemos de la misma forma que en el caso anterior, pero ahora colocamos valores de las ganancias del controlador en el cuadro mostrado en la Fig 10.13 y seleccionamos el siguiente conjunto de parámetros.

Fig. 10.15 Ganancias de controlador de lazo cerrado Este conjunto de parámetros es para un PID; en caso de ser solamente un controlador proporcional los demás valores lo hacemos cero o no lo dejamos con su símbolo. Al realizar la simulación tenemos la siguiente respuesta:

Fig.10.16 Respuesta del sistema del Ejemplo 10.1 en Lazo cerrado con un PID con las ganancias dadas en la Fig. 10.15 Este procedimiento podemos continuarlo hasta encontrar el mejor conjunto de ganancias del controlador cuyos valores servirán para sintonizar el sistema de control. Este trabajo se ahorra con el programa UNTSIM para encontrar los mejores parámetros mediante un proceso de optimización. denominado control óptimo.

10.11 Control Optimo con UNTSIM El simulador UNTSIM, dispone de una rutina para determinar un conjunto de parámetros Kp, Ki, y Kd (ganancias del controlador PID), óptimo. Podemos acceder a esta rutina a traves de Menú Principal Automatización y Control - Control óptimo, con lo cual tenemos el siguiente diagrama:

Fig. 10 16 Diagrama de Control para optimizar parámetros En este diagrama podemos cambiar la función de transferencia para nuestro proceso siguiendo los mismos pasos anteriores y luego aceptar, la única variación es que en lugar de colocar números colocamos a1 para el coeficiente de s y a2 para el coeficiente de s 2 del denominador, con lo cual para nuestro ejemplo, el diagrama queda en la forma mostrada en la Fig. 10.16. Luego regresamos a la ventana principal donde se muestra lo siguiente: Copyright 2002 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved BUSQUEDA DE VALORES OPTIMOS DE Kd, Ki Y Kp, PARA UN SISTEMA DE CONTROL -------------------------------------------------------------Colocar la funcion de transferencia del proceso en el modelo y haga enter Done initializing optsim. Valores iniciales de Kp, Ki y Kd: [0.63 0.0504 1.9688] Ingrese valor de a1: 0.739 Ingrese valor de a2: 0.821 Max Directional Iter F-count {F,constraints} Step-size derivative Procedure 1 11 1.108 1 1.1 2 17 1.102 1 -0.000324 3 23 1.1 1 1 .97e-012 Hessian modified twice Optimization terminated successfully: Magnitude of directional derivative in search direction less than 2*options.TolFun and maximum constraint violation is less than options.TolCon Active Constraints: 94 214

pid = 0.9025 0.0420 1.9232 Kp = 0.9025 Ki = 0.0420

Kd = 1.9232 >>

Que nos da un conjunto óptimo de parámetros, cercanos a los valores supuestos inicialmente, pueden existir otros conjuntos óptimos, dependiendo de los valores iniciales tomados. La grafica de respuesta para este conjunto está dada por la Fig. siguiente:

Fig. 10.17 Respuesta del sistema para un conjunto de parámetros óptimos Para otro caso ver: Optimización de sistemas de control

CAPITULO 11 ANÁLISIS Y DISEÑO EN EL LUGAR DE LAS RAÍCES La característica básica de la respuesta transitoria de los sistemas de lazo cerrado, está estrechamente ligada a la ubicación de los polos de lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia variable, la ubicación de los polos de lazo cerrado depende del valor de la ganancia elegida. Por tanto, es importante que el diseñador conozca como se desplazan los polos del lazo cerrado en el plano s al variar la ganancia. Desde el punto de vista del diseño, un simple ejuste de la ganancia puede desplazar los polos de lazo cerrado a las posiciones deseadas. Entonces el problema de diseño se puede convertir en la selección de un valor de ganancia. En este capítulo se tratarán problemas de diseño que incluyen la selección del valor de un parámetro partícular (usualmente la ganancia de lazo cerrado) de modo que las características de respuesta transitoria sean satisfactorias. Si el solo ajuaste de la ganancia no brinda un resultado deseado, puede ser necesario agregar un compensador al sistema (cap 7 Ogata). W. R. Evans desarrollo un método simple para hallar las raíces de la ecuación característica, denominado método del lugar de las raíces, consiste en un procedimiento en que se trazan las raices de la ecuación

característica para todos los valores de un parámetro del sistema. A menos que se especifique lo contrario, se supone que el parámetro que se va a variar s través de todos sus valores desde cero a infinito, es la ganancia de la función de transferencia de lazo abierto.

11.1

DIAGRAMAS DEL LUGAR DE LAS RAÍCES

11.1.1 Diagramas del lugar de las raices de sistemas de primer orden Para un proceso simple con una ley de primer orden dado por la Fig. 11.1, con un controlador proporcional, la función de transferencia del controlador y el proceso es:

Fig. 11.1 Sistema con proceso de primer orden

(11.1) La ecuación característica de lazo cerrado es: 1 + GP(s)GC(s) = 0

= 0

(11.2) s + 1 + KPKc = 0 Resolviendo para la raíz de lazo cerrado da:

(11.3)

Fig. 11.2 Lugar de las raíces para un sistema de primer orden Hay una sola raíz (real negativa) y será solamente una línea en el plano s. La Fig. 11.2 da la gráfica del lugar de las raíces. La línea se inicia en s = – 1/ cuando Kc = 0. la raíz de lazo cerrado se mueve a lo largo del eje real negativo a medida que KC se incrementa.

11.1.2 Diagramas del lugar de las raíces de sistemas de segundo orden Considere el sistema que se ve en la Fig. 11.3: la función de transferencia de lazo abierto es:

(11.4)

Fig. 11.3 Sistema con proceso de segundo orden

La función de transferencia de lazo cerrado es:

(11.5) donde K = Kc KP de aquí, si Kc  0, K  0 y si Kc  , K   La ecuación característica es: S2 0

+

s

+

K

= (11.6)

Se desea hallar el lugar de las raíces de esta ecuación, cuando K varia de cero a infinito. El lugar de las raíces correspondientes a todos los valores de K está representado en la Fig. 11.4. el lugar de las raíces está graduado con K como parámetro. (Las flechas indican el desplazamiento de las raíces al incrementar K). Una vez trazado un diagrama así, se puede determinar inmediatamente el valor de K que ha de brindar una raíz, o un polo de lazo cerrado, en un punto deseado. De este análisis, es claro que los polos de lazo cerrado que corresponden a K = 0 son los mismos de los polos de lazo abierto. Al aumentar el valor de K de cero a ¼, los polos de lazo cerrado se desplazan hacia el punto (– ½ , 0). Para valores de K entre cero y ¼ , todos los polos de lazo cerrado están sobre el eje real. Esto corresponde a un sistema sobreamortiguado, y la respuesta a un impulso es no oscilatoria. En K = ¼ , los dos polos reales de lazo cerrado coinciden. Esto corresponde al caso de un sistema con amortiguamiento crítico. Al aumentar K por encima de ¼ , los polos de lazo cerrado se separan del eje real haciéndose complejos, y como la parte real del polo de lazo cerrado es constante para K > ¼ , los polos de lazo cerrado se mueven a lo largo de la recta s = – ½. Por tanto para K > ¼ , el sistema se vuelve subamortiguado. Para un valor dado de K, uno de los polos conjugados de lazo cerrado se mueve hacia s = – ½ + j .

Fig. 11.4 Diagrama del lugar de las raíces para el sistema que se muestra en la Fig. 11.3 Si los polos de lazo cerrado se especifican en el lugar de las raíces, el valor correspondiente de K para el sistema mostrado en la Fig. 11.5, se determina por la condición de magnitud, dada por la Ec. (11.6).

Fig. 11.5 Lazo de control

1

G(s)H(s)

= (11.6)

Si por ejemplo, los polos de lazo cerrado elegidos son s = – ½ ± j 2, entonces el valor correspondiente de K resulta ser

o bien

Como los polos son complejos conjugados, si se especifica uno de ellos, por ejemplo s = - ½ + j2, entonces el otro se fija automáticamente. Para evaluar el valor de K se puede utilizar cualquiera de ambos polos. Del diagrama del lugar de las raíces de la Fig. 11.4, se ven claramente los efectos de las modificaciones en el valor de K sobre el comportamiento en respuesta transitoria del sistema de segundo orden. Un incremento del valor de K produce una reducción de la relación de amortiguamiento , lo que produce un crecimiento del sobreimpulso de la respuesta. Un aumento del valor de K también produce un incremento de las frecuencias naturales amortiguada y no amortiguada. (Si K es mayor que el valor crítico, que es el que corresponde a un sistema con amortiguación crítica, aumentar el valor de K no tiene efecto en el valor de la parte real de los polos de lazo cerrado). Del diagrama del lugar de las raíces resulta evidente que los polos de lazo cerrado siempre están en el semiplano izquierdo del plano s; de modo que sin importar cuánto se aumente el valor de K, el sistema siempre permanece estable. Por tanto, el sistema de segundo orden (igual que de primer orden) siempre es estable. (Sin embargo, hay que notar que si la ganancia se ajusta a un valor muy elevado, pueden cobrar importancia los efectos de algunas de las constantes de tiempo despreciadas, y el sistema, que supuestamente es de segundo orden, aun cuando en realidad es de orden superior, puede tornarse inestable).

11.1.3 Análisis del lugar de las Raíces de sistemas de control con MATLAB En el capítulo anterior hemos examinado un método por tanteo para seleccionar los valores de las acciones de control. Existen métodos prácticos para seleccionar los valores de las acciones de control aplicando algunos criterios. El criterio aplicado generalmente es el de la razón de amortiguamiento , (Ver Cap. 8.7 para sistemas de segundo orden) que es un compromiso entre la estabilidad de la respuesta del controlador y la rápidez de retorno de la variable a un valor estable: una relación mayor a 1/4 dará mayor estabilidad (el valor de 0.606 da una mínima área de recuperación) pero prolongará el tiempo de normalización de la variable, mientras que una relación menor de 1/4 devolverá la variable más

rápidamente a su punto de consigna o a un valor estable, pero perjudicará la estabilidad del sistema (si la variable se registra se observarán ciclos sucesivos y rápidos). De la Fig. 8.20 se puede ver que un sistema subamortiguado con  entre 0.5 y 0.8, se aproximan con más rapidez al valor final que un sistema críticamente amortiguado o subamortiguado. Y este es el rango que usaremos para diseño.

Ejemplo 11.1 Considere un sistema en lazo abierto (proceso) cuya función de transferencia sea

H(s)

= (11.7)

¿Cómo se puede diseñar un controlador para este sistema usando el método del lugar de las raíces? Digamos que nuestros criterios de diseño son un 5% de sobreimpulso y un segundo de tiempo de subida.

a) Trazado del lugar de las raíces Cree un archivo de instrucciones denominado rl.m. Escriba la función de transferencia y el comando para trazar el lugar de las raíces: >> num=[1 7]; >> den=conv(conv([1 0],[1 5]),conv([1 15],[1 20])); >> rlocus(num,den) >> axis([-22 3 -15 15]) >> grid >> xlabel('Eje real') >> ylabel('Eje imaginario') >>

Fig. 11.6 Gráfica del lugar de las raíces

b) Seleccionar el valor de K en el lugar de las raíces El gráfico anterior muestra las ubicaciones de todos los posibles polos de bucle cerrado para un controlador proporcional. Obviamente no todos los polos de bucle cerrado satisfacen los criterios de diseño y podemos determinar la ganancia presionando el botón derecho del mouse sobre las líneas de la gráfica tal como se muestra en la figura siguiente.

Fig. 11.7 Ubicación del lugar de las raíces

Para determinar que parte del lugar es aceptable usamos el comando sgrid(Zeta,Wn) que traza las líneas de razón de amortiguamiento y de frecuencia natural constante. Sus dos argumentos son la razón de amortiguamiento (Zeta) y la frecuencia natural no amortiguada (Wn) [estos deben ser vectores si se desea ver un rango de valores aceptables]. En nuestro problema, se necesita un sobreimpulso del 5% (lo que representa un factor de amortiguamiento Zeta mayor de 0,7) y un tiempo de subida (Tr) de un segundo (lo que representa una frecuencia natural Wn= 1.8/Tr = 1.8. Tr = Tiempo de subida). Escriba lo siguiente en la ventana de instrucciones de MATLAB (a continuación del mismo programa anterior): >> zeta=0.7; >> Wn=1.8; >> sgrid(zeta, Wn)

>>

Aumentamos la parte de la gráfica de interés:

>> axis([-10 3 -6 6])

Fig. 11.8 Selección del valor K

En la gráfica anterior las dos líneas discontinuas de un ángulo de aproximadamente 45 grados indican la ubicación de los polos con Zeta = 0,7; entre estas dos líneas, los polos tienen Zeta > 0,7 y fuera de las líneas Zeta < 0,7. El semicírculo indica la ubicación de los polos con una frecuencia natural Wn = 1,8; dentro del círculo Wn < 1,8 y fuera del círculo Wn > 1,8. Volviendo a nuestro problema, para hacer el sobreimpulso menor que el 5% los polos deben estar entre las dos líneas discontinuas y para hacer el tiempo de subida menor que un segundo los polos deben estar fuera del semicírculo. Así, ahora conocemos que sólo es aceptable la parte del lugar de las raíces comprendida entre las dos líneas y fuera del semicírculo. Como todos los polos comprendidos en esta zona están en el semiplano izquierdo, el sistema será estable en bucle cerrado. En el gráfico anterior se observa como hay parte del lugar de las raíces en la región deseada. Así en este caso sólo se necesita un controlador proporcional para situar los polos en la región deseada. Se

puede usar el comando MATLAB rlocfind para elegir la ubicación de los polos deseados: >> [kc,polos] = rlocfind(num,den)

Con esta orden aparece sobre la figura un cursor en forma de cruz para seleccionar el lugar de las raíces. Pulse en la gráfica el punto en el que desee ubicar los polos de bucle cerrado. Debe seleccionar aquellos puntos del gráfico anterior que satisfacen los criterios de diseño. La función rlocfind se puede aplicar tantas veces como se desee para determinar el valor de K y el valor numérico de las raíces en un punto específico del lugar.

Fig. 11.9 Ubicación de los polos Se hace el intento obteniéndose da valores marcados con (+) la Fig. 11.8, los cuales corresponden a: >> [kc,polos] = rlocfind(num,den) Select a point in the graphics window selected_point = -2.8353 - 1.3509i

kc = 385.7264 polos = -22.1511 -12.1011 -2.8739 + 1.3468i -2.8739 - 1.3468i

Tenga en cuenta que como el lugar de las raíces tiene más de una rama, cuando se selecciona un polo, se muestran donde están los otros polos. Recuerde que ellos también influyen en la respuesta. En el gráfico anterior se observa que todos los polos seleccionados (todas las marcas "+") están en posiciones razonables. Continuemos y usemos la ganancia KC seleccionada en nuestro controlador proporcional.

11.2 RESPUESTA DE BUCLE CERRADO Para obtener la respuesta ante una entrada en escalón se necesita conocer la función de transferencia de bucle cerrado. Se puede hallar utilizando las reglas del álgebra de bloques o dejar que MATLAB lo haga por nosotros: >> [numCL, denCL] = cloop((kc)*num, den)

Los dos argumentos de la función cloop son el numerador y el denominador del sistema en bucle abierto. Se debe incluir la ganancia proporcional que previamente se ha elegido. Se supone realimentación unitaria. Obteniéndose la respuesta siguiente >> [numCL, denCL] = cloop((kc)*num, den) numCL = 1.0e+003 * 0

0

0

0.3897

2.7282

denCL = 1.0e+003 * 0.0010

0.0400

0.4750

1.8897

2.7282

Si tiene un esquema de realimentación no unitaria puede usar la función MATLAB feedback que calcula la función de transferencia de bucle cerrado con una ganancia en el bucle de realimentación. Comprobemos la respuesta del sistema en bucle cerrado ante un escalón unitario: >> step(numCL,denCL) >> grid

Fig. 11.10 Respuesta del sistema de control con un PC con K = 385 Como se esperaba, esta respuesta tiene un sobreimpulso menor del 5% y un tiempo de subida menor de 1 segundo.

11.3

Lugar de las Raíces con UNTSIM

El simulador UNTSIM posee una rutina MATLAB y una GUI (Interfase gráfica) para diseño de sistemas de control en el lugar de las raíces. Para acceder a la rutina MATLAB, seleccionamos del Menú principal: Cálculos de Ingeniería química – Automatización y control – Lugar de las raíces – Con matlab, obteniendo la siguiente respuesta para el ejemplo anterior:

Copyright 2004 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved

20-Aug-2004 ESTE PROGRAMA CALCULA LA GANANCIA PROPORCIONAL DE UN SISTEMA FEEDBACK DANDO LA FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL PROCESO USANDO EL LUGAR DE LAS RAICES Ver Automatizacion y control Cap. 11.2 ***************************************************

Ingrese numerador de F de T del proceso: [1 7] Ingrese denominador de F de T del proceso: conv(conv([1 0],[1 5]),conv([1 15],[1 20])) LA FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL PROCESO ES:

Transfer function: s+7 ------------------------------s^4 + 40 s^3 + 475 s^2 + 1500 s

Desea cambiar ejes de la grafica si(1) no (0): 1 Ingrese los ejes [-x x -y y]: [-22 3 -15 15]

Desea evaluar el valor de la GANANCIA PROPORCIONAL Kc en base al Factor de amortiguamiento (Eta) y Frecuencia natural Si (1) no (0): 1 Factor de amortiguamiento (Eta): 0.7 Frecuencia natural (Wn): 1.8 Select a point in the graphics window

selected_point =

-3.0723 - 1.3112i

GANANCIA PROPORCIONAL

kc =

383.1663

POLOS DE LAZO ABIERTO (RAÍCES DE LAZO CERRADO)

polos =

-22.1408 -12.1161 -2.8716 + 1.3238i -2.8716 - 1.3238i

Desea ver la respuesta del sistema a un escalón si (1) no (0): 1 LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA FEEDBACK ES:

Transfer function:

383.2 s + 2682 -------------------------------------s^4 + 40 s^3 + 475 s^2 + 1883 s + 2682 >>

Que viene a ser la respuesta del sistema con un controlador proporcional con ganancia Kc = 383.1663

CAPITULO 12 ANÁLISIS Y DISEÑO DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA

La salida de un sistema lineal ante una entrada sinusoidal es una sinusoide de la misma frecuencia pero con diferente magnitud y fase. La respuesta en frecuencia se define como la diferencia de magnitud y la fase entre las entradas y las salidas sinusoidales. En los métodos de respuesta en frecuencia, los métodos más convencionales de que disponen los ingenieros de control para análisis y diseño de sistemas de control, se varía la frecuencia de la señal de entrada dentro de un rango de interés y se estudia la respuesta resultante. El método de la respuesta en frecuencia puede que sea menos intuitivo que los otros métodos estudiados anteriormente. Sin embargo, presenta ciertas ventajas, sobre todo en situaciones de la vida cotidiana tales como cuando se desea modelar una función de transferencia a partir de datos experimentales.

La respuesta en frecuencia de un sistema puede verse de dos formas distintas: utilizando el diagrama de Bode o utilizando el diagrama de Nyquist. Ambos métodos muestran la misma información; la diferencia reside en la distinta forma de mostrarla. Ambos métodos se estudiarán en este capitulo.

12.1 SALIDA EN ESTADO ESTACIONARIO A UNA ENTRADA SINUSOIDAL Sea el sistema lineal e invariante en el tiempo que se muestra en la Fig. 12.1

Fig. 12.1 Y(s) G(s) = --------(12.1) X(s) La entrada x(t) es sinusoidal y viene dada por x(t) = X sen t

(12.2)

Se puede demostrar fácilmente que si el sistema es estable, entonces la salida y(t) se puede expresar como: y(t) = Y sen (t+)

(12.3)

donde Y=X| G(j)|

(12.4)

Parte imaginaria de G(j)  = G(j) = tan-1 [------------------------------ ] (12.5) Parte real de G(j) Un sistema lineal e invariante en el tiempo que está sujeto a una entrada sinusoidal en estado estacionario tendrá una salida también sinusoidal de la misma frecuencia que la de la entrada. sin embargo la amplitud y la fase de la salida serán en general diferentes de las de la entrada. de hecho, la amplitud de la salida viene dada por el producto de la amplitud de la entrada y |G(j)|, mientras que la fase difiere de la de la entrada en la cantidad  = G(j). En la Fig. 12.2 se muestra un ejemplo de señales de entrada y salida sinusoidales.

Fig. 12.2

Observe que para entradas sinusoidales: Y(j)  |G(j)| = |----------| = Razón entre las amplitudes de la sinusoide de salida y la X(j) sinusoide de entrada

Y(j)  G(j) = -------- = desfase entre la sinusoide de salida y la sinusoide de entrada X(j) Por tanto, la característica de respuesta de un sistema a una entrada sinusoidal se puede obtener directamente a partir de: Y(j) ---------- = (12.6) X(j)

G(j)

La función de transferencia sinusoidal G(j) que es la razón de Y(j) a X(j) es una cantidad compleja que puede representarse por su magnitud y el ángulo de fase con la frecuencia como parámetro. (Un ángulo de fase negativo se llama un retardo de fase y un ángulo de fase positivo es un adelanto de

fase). La función de transferencia sinusoidal de cualquier sistema lineal se obtiene sustituyendo jw por s en la función de transferencia del sistema La respuesta en frecuencia se define como la diferencia de magnitud y la fase entre las entradas y las salidas sinusoidales. En este capítulo, veremos como se puede usar la respuesta en frecuencia de bucle abierto de un sistema para predecir su comportamiento en bucle cerrado. Para representar gráficamente la respuesta en frecuencia, se utiliza un vector de frecuencias (que varia en frecuencia desde cero o "DC" hasta infinito) y se calcula el valor de la función de transferencia de la planta en esas frecuencias. Si G(s) es la función de transferencia del sistema en bucle abierto y  es el vector de frecuencias, se representa G(j) en función de . Como G(j) es un número complejo, se puede representar su magnitud y su fase (diagrama de Bode) o su posición en el plano complejo (diagrama de Nyquist).

12.2 DIAGRAMAS DE BODE O DIAGRAMAS LOGARÍTMICOS Una función de transferencia sinusoidal se puede representar con dos diagramas separados, uno de la magnitud en función de la frecuencia y el otro del ángulo de fase (en grados) en función de la frecuencia. Un diagrama de Bode consiste en dos gráficas: una es la representación del logaritmo de la magnitud de una función de transferencia sinusoidal; la otra es un diagrama del ángulo de fase, ambos en función de la frecuencia en escala logarítmica.

La representación estándar de la magnitud logarítmica de G(j) es 20 log |G(j)|, donde la base de logaritmos es 10. la unidad utilizada en esta representación de la magnitud es el decibelio, en forma abreviada dB. Observe que un número mayor que la unidad tiene un valor positivo en decibelios, mientras que un número más pequeño que la unidad tiene tiene un valor negativo. cuando un número aumenta por un factor de 10, el correspondiente valor en decibelios aumenta en un factor de 20. esto se puede ver a partir de la siguiente relación: 20 log ( K x 10 ) = 20 log K + 20 Note también que, cuando se expresa en decibelios, el inverso de un número difiere de su valor solamente en signo; esto es para el valor de K

20 log K = - 20 log (1/K) En la representación logarítmica, las curvas se dibujan en papel semilogaritmico, utilizando la escala logarítmica para la frecuencia y la escala lineal o bien para la magnitud (en decibelios) o el ángulo de fase (en grados). El rango de frecuencia de interés determina el número de ciclos logarítmicos que se necesitan sobre el eje de abcisas. En los diagramas de Bode, las relaciones de frecuencia se expresan en términos de octavos o décadas. una octava es una banda de frecuencia que va desde 1 hasta 21, donde 1 es cualquier valor de frecuencia. una década es una banda de frecuencia que va desde 1 hasta 101, donde otra vez 1 es cualquier frecuencia. (En la escala logarítmica del papel semilogarítmico, cualquier relación de frecuencia dada se puede representar por la misma distancia horizontal. Por ejemplo, la distancia horizontal desde  = 1 a  = 10 es igual a la que hay desde  = 3 a  = 30. El diagrama de Bode es útil porque muestra ambas características de baja y alta frecuencia de la función de transferencia. La expansión del rango de baja frecuencia mediante la utilización de una escala logarítmica para la frecuencia es muy ventajosa puesto que las características en baja frecuencia son más importantes en los sistemas prácticos. (Observe que debido a la escala de frecuencias logarítmicas, es imposible representar las curvas hasta la frecuencia cero; sin embargo, esto no plantea ningún problema serio). En resumen, el diagrama de Bode, es una representación de la magnitud y la fase de G(j) (en el que el vector de frecuencias  sólo contiene frecuencias positivas). Para obtener el diagrama de Bode de una función de transferencia, podemos usar la función bode de MATLAB. Por ejemplo, para la función de transferencia:

50 G(s)= ----------------------(12.7) s3 + 9 s2 + 30 s + 40

>> >> >> >>

num = 50; den = [1 9 30 40]; sys = tf(num,den); bode(sys)

O con la única orden: >>bode(50,[1 9 30 40])

Fig 12.3

Diagrama de Bode del sistema dado por Ec. 12.7

Observe los ejes de la gráfica. La frecuencia se expresa en escala logarítmica, la fase en grados y la magnitud en decibelios. Nota: Un decibelio se define como 20 log ( |G(j| )

12.3

MARGEN DE GANANCIA Y MARGEN DE FASE

12.3.1 Margen de ganancia (Gm) Se define como el cambio requerido en la ganancia de bucle abierto para llevar al sistema a la inestabilidad. Sistemas con márgenes de ganancia

grande pueden soportar grandes cambios en los parámetros del sistema antes de alcanzar la inestabilidad en bucle cerrado. Tenga en cuenta que una ganancia unitaria en magnitud equivale a cero dB.

El margen de ganancia de un sistema de primer o segundo orden es infinito, pues los diagramas polares para esos sistemas no cruzan el eje real negativo. Por lo tanto, en teoría los sistemas de primer o segundo orden no pueden ser inestables. (Sin embargo, nótese que los denominados sistemas de primer o segundo orden son solo aproximaciones en el sentido de que se desprecian pequeños retardos al deducir las ecuaciones del sistema, dando por resultado que no son sistemas de primer o segundo orden. Si se tienen en cuenta esos pequeños retardos, los sistemas de primer o segundo orden pueden volverse inestables).

12.3.2 Margen de fase (Pm) Se define como el cambio en el desplazamiento de fase en bucle abierto necesario para que el sistema de bucle cerrado se haga inestable. El margen de fase también mide la tolerancia del sistema a un retraso en el tiempo. Si se produce un retraso mayor que 180/Wpc en el bucle (donde Wpc es la frecuencia a la que el desplazamiento de fase es 180 grados), el sistema será inestable en bucle cerrado. Este retraso temporal puede verse como un bloque adicional en la línea directa del diagrama de bloques que añade fase al sistema sin alterar la magnitud. Es decir, un retraso en el tiempo se puede expresar como un bloque con magnitud unitaria y una fase de *retraso (en radianes/segundo). Por ahora, no nos preocuparemos de donde viene todo esto y nos concentraremos en identificar los valores de los márgenes de ganancia y fase en un diagrama de Bode: El margen de fase es la diferencia en fase entre la curva de fase y -180º en el punto correspondiente a la frecuencia que nos proporciona una ganancia de 0 dB (frecuencia de corte de la ganancia, Wgc). Del mismo modo, el margen de ganancia es la diferencia entre la curva de magnitud y 0 dB en el punto correspondiente a la frecuencia que nos proporciona una fase de -180º (frecuencia de corte de fase, Wpc).

Podemos encontrar el margen de ganancia (Gm), margen de fase(Pm), frecuencia de corte de ganancia (Wgc)y frecuencia de corte de fase (Wpc) con la orden:

>> [gm,pm,wpc,wgc]=margin(sys) gm =

4.6019

pm =

100.6674

wpc = wgc =

5.4782 1.8483

En este caso la respuesta de la frecuencia de corte de ganancia está en grados y para transformarlo a decibeles (gmdb) debemos hacer la siguiente operación: >> gm = 20*log10(gm) gmdb =

13.2587

También se pueden hallar directamente los márgenes de fase y de ganancia utilizando la función margin. Esta función Matlab devuelve los márgenes de fase (Pm) y de ganancia (Gm) las frecuencias de corte de fase (Wpc) y de ganancia (Wgc) estas últimas entre parentesis, y su representación en un diagrama de Bode. >> margin(sys)

Fig 12.4

Margen de Ganancia y Margen de Fase

Para el sistema del ejemplo se tiene la Fig. 12.4, en la cual el margen de ganancia es Gm = 13.3 dB (a 5.48 rad/s) y el margen de fase es Pm = 101 deg (a 1.85 rad/s).

12.3.3

Sistemas de fase mínima y sistemas de fase no mínima

Las funciones de transferencia que no tienen polos o ceros en el semiplano derecho del plano s, son funciones de transferencia de fase mínima, mientras que aquellas que tienen polos y/o ceros en el semiplano derecho del plano s, son funciones de transferencia de fase no mínima. A los sistemas con función de transferencia de fase mínima se les denomina sistemas de fase mínima, mientras que a los que tienen funciones de transferencia de fase no mínima, se designan como sistemas de fase no mínima. Para que un sistema de fase mínima sea estable, el margen de fase debe ser positivo.

12.3.4

Uso de los márgenes de fase y ganancia en el diseño.

Los margenes de fase y de ganancia de un sistema de control, son una medida de la proximidad del diagrama polar al punto –1 + j0. Por lo tanto, se pueden usar como criterio de diseño.

Nótese que ni el margen de ganancia , ni el de fase solos dan indicación suficiente sobre estabilidad relativa. Para determinar la estabilidad relativa deben darse ambos. Para un sistema de fase mínima, tanto el margen de fase como el de ganancia han de ser positivos para que el sistema sea estable. Los márgenes negativos indican inestabilidad. Los márgenes de fase y ganancia adecuados proporcionan seguridad contra variaciones en los componentes del sistema y especifican para determinados valores de frecuencia. Ambos valores limitan el comportamiento del sistema en lazo cerrado cerca de la frecuencia de resonancia. Para tener un comportamiento satisfactorio, el margen de fase debe estar entre 30 o y 60o y el margen de ganancia debe ser superior a 6 db. Con estos valores, un sistema de fase mínima tiene garantizado la estabilidad, aún cuando la ganancia de lazo abierto y las constantes de tiempo de los componentes varíen entre ciertos limites. Aunque los márgenes de fase y ganancia sólo proporcionan una estimación superficial sobre la relación de amortiguamiento efectiva del sistema de lazo cerrado, brindan un medio conveniente para diseñar sistemas de control o ajustar las constantes de ganancia del sistema. En los sistemas de fase mínima, las características de magnitud y fase de la función de transferencia de lazo abierto están relacionadas. El requisito de que el margen de fase se encuentre entre 30 o y 60o significa que, en un diagrama de Bode, la pendiente de la curva del logaritmo de la magnitud de la frecuencia de cruce de ganancia debe ser más suave que – 40 dB/década. En la mayoría de los casos prácticos, para tener estabilidad es deseable una pendiente de – 20 dB/década a la frecuencia de cruce de ganancia. (Aún cuando el sistema es estable, el margen de fase es pequeño). Si la frecuencia de cruce de ganancia es – 60 dB/década o más inclinada, muy probablemente el sistema es inestable.

Ejemplo 12.1 Obtenga los márgenes de fase y ganancia del sistema de la Fig. 12.5 para los casos en que K = 10 y K = 100.

Fig 12.5

Sistema de Control

Los márgenes de fase y ganancia se pueden obtener fácilmente del diagrama de bode usando MATLAB.

>> num = 10; >> den = conv([1 0],conv([1 1],[1 5])) >> sys = tf(num,den); >> bode(sys) >> margin(sys) >>

En la Fig. 12.6 se presenta un diagrama de Bode para la función de transferencia de lazo abierto para K = 10

Fig 12.6

Diagrama de Bode del sistema mostrado en la Fig. 12.5 con K = 10

Los márgenes de fase y ganancia para K = 10 son Margen de fase = 25.4o,

Margen de ganancia = 9.54 dB

Por lo tanto la ganancia del sistema se puede aumentar en 9.54 dB antes de que se presente inestabilidad.

Si la ganancia se incremente desde K = 10 hasta K = 100, el eje de 0 dB se desplaza en 20 hacia abajo, como se ve en la Fig. 12.7. Los margenes de fase y de ganancia son Margen de fase = –23.7o,

Margen de ganancia = –10.5 dB

Entonces el sistema es estable para K = 10, pero inestable para K = 100 Nótese que una de las ventajas del procedimiento del diagrama de Bode es la facilidad con que se pueden calcular los efectos del cambio de ganancia. Nótese también que para obtener un funcionamiento satisfactorio, el margen de fase se debe aumentar a 30o – 60o. Esto se puede lograr disminuyendo la ganancia K. Sin embargo, no es deseable reducir K, pues un valor pequeño produce un error elevado para una entrada rampa. Esto sugiere que puede ser necesaria la modificación de la forma de respuesta en frecuencia de lazo abierto.

Fig 12.7

Diagrama de Bode del sistema mostrado en la Fig. 12.5 con K = 100

12.4 RELACIÓN ENTRE RESPUESTA TRANSITORIA Y RESPUESTA EN FRECUENCIA EN EL SISTEMA ESTÁNDAR DE SEGUNDO ORDEN Considere el sistema que aparece en la Fig. 12.8. La función de transferencia de lazo cerrado es:

Fig. 12.8 Sistema de Control

(12.8)

donde  y n son la relación de amortiguamiento y la frecuencia natural no amortiguada, respectivamente. El margen de fase Pm y la relación de amortiguamiento están relacionados directamente entre si, aproximadamente por una recta para 0   0.6 como sigue:

(12.9) Entonces a una relación de amortiguamiento de 0.6 le corresponde un ángulo de fase de 60o. Para sistemas de orden superior con un par dominante de polos de lazo cerrado, se puede utilizar esta relación como estimación para evaluar la estabilidad relativa de respuesta transitoria (es decir, la relación de amortiguamiento) a partir de la respuesta en frecuencia.

12.5

FRECUENCIA DE ANCHO DE BANDA

La frecuencia de ancho de banda se define como la frecuencia a la que la magnitud de la respuesta de bucle cerrado es igual a -3 dB. Sin embargo, cuando se diseña utilizando la respuesta en frecuencia, se está interesado en predecir el funcionamiento de bucle cerrado a partir de la respuesta de bucle abierto. Así, se usará una aproximación a un sistema de segundo orden y diremos que el ancho de banda es la frecuencia a la que la magnitud de la respuesta de bucle abierto está entre -6 y -7,5 dB, considerando que la fase de la respuesta en frecuencia de bucle abierto esté comprendida entre -135 y -225º. Para ilustrar la importancia del ancho de banda, se mostrará como la salida varía dependiendo de la frecuencia de la señal de entrada. Se verá como el sistema es capaz de seguir "razonablemente bien" las entradas sinusoidales con frecuencias menores que Wbw (ancho de banda). Y como las entradas sinusoidales con frecuencias mayores que Wbw son atenuadas (en magnitud) en un factor de 0,707 o mayor (y por

supuesto desplazadas en la fase). Supongamos que la siguiente función de transferencia de lazo cerrado representa un sistema:

(12.10) En primer lugar, hallemos el ancho de banda a partir de diagrama de Bode: >> num =1; >> den =[1 0.5 1]; >> sys =tf(num,den); >> bode (sys)

Como esta es la representación de la respuesta en frecuencia de la función de transferencia en lazo cerrado, el ancho de banda será la frecuencia correspondiente a una ganancia de -3dB. La frecuencia de ancho de banda y demás parámetros se obtiene con la orden: >> [gm,pm,wpc,wgc,wbw]=margin(sys) gm =

Inf

pm =

41.4091

wpc = wgc = wbw =

Inf 1.3229 1

Se observa que Wbw es igual a 1 rad/s.

Fig. 12.9 Diagrama de Bode de la Ec. 12.10

También se observa en la Fig. 12.19, que para una frecuencia de 0,3 rad/s, la salida sinusoidal tiene una magnitud de 0.71 dB (lo cual equivale a 10^(0.71/20) = 1.0852 rad/seg) y un retraso de fase de 9.4 grados respecto de la entrada. Para una frecuencia de entrada de 3 rad/s, la magnitud de la salida es -18.2 dB (lo cual equivale a 10^(-18.2/20) = 0.123 rad/seg ) y un desfase de 169º (casi exactamente en el límite de la fase). Para verificar esto, primero, consideremos una entrada sinusoidal con una frecuencia menor que Wbw (> >> >> >> >>

w= 0.3; num = 1; den = [1 0.5 1 ]; t=0:0.1:100; u = sin(w*t); % Entrada

>> >> >> >>

[y,x] = lsim(num,den,u,t); %Cálculo de la salida plot(t,u,t,y) % Gráfica de la entrada y la salida axis([50,100,-2,2]) grid

>> legend('Entrada','Salida')

Fig. 12.10 Respuesta a una entrada sinusoidal del sistema de la Ec. 12.8 con w = 0.3 Observe que para una frecuencia de 0.3 rad/s, la salida (verde) sigue bastante bien a la entrada (azul); quizás, como se esperaba, la salida sinusoidal tiene una magnitud cercana a uno y un retraso de fase de unos pocos grados respecto de la entrada. Sin embargo, si se establece la frecuencia de entrada a un valor mayor que la frecuencia del ancho de banda (>1.0) del sistema, se obtiene una salida muy distorsionada (con respecto a la entrada): >> >> >> >> >> >> >>

w= 3; num = 1; den = [1 0.5 1 ]; t=0:0.1:100; u = sin(w*t); [y,x] = lsim(num,den,u,t); plot(t,u,t,y)

>> axis([90,100,-1,1]) >> grid >> legend('Entrada','Salida')

Observe, de nuevo, como la magnitud es 0.123 (  1/10 el valor de la entrada), como se predijo, y que está casi exactamente fuera de fase (retrasada 169 grados) de la entrada. Experimente representando respuestas para diferentes frecuencias w, y compruebe como se corresponden con el diagrama de Bode.

Fig. 12.11 Respuesta a una entrada sinusoidal del sistema de la Ec. 12.8 con w = 3

12.6 COMPORTAMIENTO DE LAZO CERRADO Para predecir el comportamiento en lazo cerrado a partir de la respuesta en frecuencia de lazo abierto, se necesita tener claro algunos conceptos: 

El sistema debe ser estable en lazo abierto si se va a diseñar utilizando el diagrama de Bode.



Si la frecuencia de corte de la ganancia es menor que la

frecuencia de corte de la fase (Wgc < Wpc), entonces el sistema en lazo cerrado será estable. 

Para sistemas de segundo orden, la razón de amortiguamiento en lazo cerrado es igual al margen de fase dividido por 100 si el margen de fase está entre 0 y 60 grados. Se debe usar con cuidado esta regla si el margen de fase es mayor de 60 grados.



Para sistemas de segundo orden, existe una relación entre el factor de amortiguamiento, ancho de banda y tiempo de establecimiento que se describe en la parte del ancho de banda.



Se puede aproximar muy groseramente la frecuencia natural con el ancho de banda.

Ejemplo 12.2

La función de transferencia de un sistema es la siguiente:

(12.11) Se pide: 1) Dibujar el diagrama de bloques de esta planta con un controlador proporcional. Calcular mediante métodos frecuenciales una ganancia adecuada para este controlador proporcional. Justificar de forma razonada los motivos por las que ha elegido esa ganancia. 2) Dibujar de forma aproximada (no es necesario calcular la función de transferencia) el diagrama de Bode de la planta compensada.

Determinar también de forma aproximada el ancho de banda de la planta compensada. Solución

1)

Diagrama de bloques de la planta con un controlador proporcional

Fig. 12.12 Conrol proporcional de lazo cerrado para la planta de la Ec. 12.11 Diagrama de bode de la planta >> num =[1 2] >> den =conv(conv([1 0],[1 1]),conv([1 5],[1 10])); >> sys =tf(num,den)

Transfer function: s+2 ---------------------------s^4 + 16 s^3 + 65 s^2 + 50 s >> bode(sys)

Obteniendo la Fig. 12.13 Para ajustar un controlador proporcional, se va a utilizar como criterio de elección el margen de fase. Un margen de fase de 60 grados equivale, aproximadamente, a un amortiguamiento de 0,6 que es un valor razonable. El valor de ganancia que hace que el margen de fase sea de 60º es la inversa de la ganancia donde la fase valga 120º. Como se muestra en la Fig 12.13, este valor es de unos 27.5 dB. Se ha obtenido a una frecuencia de 0.786 rad/s que será aproximadamente el ancho de banda de la planta. Por tanto el controlador tendrá una ganancia de: >> 27.5 = 20*log10(K) >> K = 10^(27.5/20)

K = 23.7137

Fig. 12.13 Diagrama de Bode para la planta de la Ec. 12.11

2) Función de transferencia de lazo cerrado de la planta compensada >> Kc = 23.7137; >> num =conv(Kc,[1 2]); >> den =conv(conv([1 0],[1 1]),conv([1 5],[1 10])); >> sys =tf(num,den); >> syscl=feedback(sys,1)

Transfer function: > bode(syscl)

El diagrama de Bode en lazo cerrado será a baja frecuencia prácticamente 0dB debido a que la ganancia de la planta en lazo abierto es muy alta a baja frecuencia. En alta frecuencia el diagrama de Bode en lazo cerrado será prácticamente igual al diagrama de Bode en lazo abierto multiplicado por 22.4 (es decir, desplazado hacia arriba 27 dB). Para frecuencias cercanas a 0.8 rad/s el diagrama de Bode tendrá un pequeño (casi despreciable) pico de resonancia puesto que el amortiguamiento obtenido es menor de 0.7. La figura muestra el diagrama de Bode de la planta en lazo cerrado.

Fig. 12.13 Diagrama de Bode de lazo cerrado para la planta de la Ec. 12.11, con controlador proporcional con Kc = 23.71 La respuesta del sistema controlado ante una entrada de escalón

unitario serà: >> step(syscl)

Fig. 12.14 Respuesta del sistema controlado a un escalón unitario

12.7 EL DIAGRAMA DE NYQUIST El diagrama de Nyquist permite predecir la estabilidad y el comportamiento del sistema de lazo cerrado examinando el comportamiento del sistema en lazo abierto. El criterio de estabilidad de Nyquist puede usarse en el diseño sin tener en cuenta la estabilidad del sistema en lazo abierto (tenga en cuenta que el método de diseño de Bode supone que el sistema es estable en lazo abierto). Así, que usaremos este criterio para determinar la estabilidad del sistema en lazo cerrado cuando el diagrama de Bode muestre una información confusa. El diagrama de Nyquist es básicamente una gráfica de G(j*w) donde G(s) es la función de transferencia de bucle abierto y w es un vector de frecuencias que incluye completamente el semiplano derecho. Al trazar el diagrama de

Nyquist se tienen en cuenta tanto las frecuencias positivas como las negativas (desde cero a infinito

Para ver un diagrama de Nyquist sencillo, definamos la siguiente función de transferencia y veamos la gráfica:

F(s) = (12.12)

>> nyquist (0.5,[1 -0.5])

Fig. 12.15 Diagrama de Nyquist para el sistema de la Ec. 12.12

Veamos ahora, el diagrama de Nyquist de la siguiente función de transferencia:

F(s) (12.13)

=

nyquist([1 2], [1 0 0])

Fig. 12.16 Diagrama de Nyquist para el sistema de la Ec. 12.13

12.7.1 Criterio de estabilidad de Nyquist En esta sección se presenta el criterio de estabilidad de Nyquist. Considere el sistema de lazo cerrado de la Fig.12.17.

12.17 Sistema de lazo cerrado

La función de transferencia de lazo cerrado es:

(12.14) Por razones de estabilidad, todas las raíces de la ecuación característica 1+ G(s)H(s)

(12.15)

deben quedar en el semiplano izquierdo del plano s. [Nótese que, aunque puede haber polos y ceros de la función de transferencia de lazo abierto en el semiplano derecho del plano s, el sistema es estable si todos los polos de la función de transferencia de lazo cerrado (es decir, las raíces de la ecuación característica) están en el semiplano izquierdo del plano s]. El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta en frecuencia de lazo abierto G(jw)H(jw) con la cantidad de polos y ceros de 1+ G(s)H(s) ubicados en el semiplano derecho del plano s. Este criterio deducido por H. Nyquist, es útil en ingeniería de control, porque se puede determinar gráficamente la estabilidad absoluta de un sistema de lazo cerrado partiendo de las curvas de respuesta en frecuencia de lazo abierto sin necesidad de una determinación efectiva de los polos de lazo cerrado. Para el análisis de estabilidad se pueden utilizar curvas de respuesta en frecuencia de lazo abierto obtenidas en forma analítica, o experimental. Esto es conveniente, pues al diseñar un sistema de control, frecuentemente sucede que no se conocen las expresiones matemáticas de algunos componentes, y solo se dispone de sus datos de respuesta en frecuencia. El número N de veces que la gráfica G(s)H(s) rodea a -1 es igual al número de ceros Z menos el número de polos P de la función 1+ G(s)H(s) incluidos en el contorno de frecuencias (N = Z – P). Si analizamos cuidadosamente los numeradores y denominadores de las funciones de transferencia de lazo abierto y lazo cerrado llegará a la conclusión de que: 

Los ceros de 1 + G(s)H(s) son los polos de la función de transferencia en lazo cerrado.



Los polos de 1 + G(s)H(s) son los polos de la función de transferencia en lazo abierto.

El criterio de Nyquist establece que:



P = número de polos (inestables) de lazo abierto de G(s)H(s).



N = número de veces que el diagrama de Nyquist rodea a –1 + j0



Los rodeos a –1+j0, en el sentido de las agujas del reloj se consideran positivos



Los rodeos a –1+j0, en el sentido contrario a las agujas del reloj se consideran negativos



Z = número de polos en el semiplano derecho (positivos, reales) de bucle cerrado del sistema.

Esta es la importante ecuación que relaciona estas cantidades: Z=P+N (12.16) Sabiendo el número de polos de lazo abierto (P) en el semiplano derecho (inestables) y el número de rodeos (N) del diagrama de Nyquist en torno al punto –1+ j0 se puede determinar la estabilidad del sistema en bucle cerrado. Si Z = P + N es positivo el sistema en lazo cerrado es inestable. Si la trayectoria de Nyquist en el plano s encierra Z ceros y P polos de 1+G(s)H(s) y no atraviesa polos ni ceros de 1 + G(s)H(s) cuando un punto representativo s se desplaza en sentido horario a lo largo de la trayectoria de Nyquist, entonces la trayectoria correspondiente en el plano G(s)H(s) rodea al punto –1 + j0, N = Z – P veces en sentido horario. (valores negativos de N implican rodeos antihorarios). Al examinar la estabilidad de los sistemas de control lineales utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist, se pueden presentar tres posibilidades: Caso 1.- No hay rodeo del punto –1 + j0. Esto implica que el sistema es estable si no hay polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s; en caso contrario, el sistema es inestable Para el sistema dado por la Ec. 12.11 y considerando H(s) = 1, se tiene >> num =[1 2]; >> den =conv(conv([1 0],[1 1]),conv([1 5],[1 10])); >> nyquist(num,den)

Fig. 12.18 Diagrama de Nyquist del sistema dado por la Ec. 12.11

No hay rodeos del punto –1 + j0. Ahora veamos los polos de G(s)H(s) >> roots(den) ans = 0 -10.0000 -5.0000 -1.0000

>> No hay polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s. Por lo tanto el sistema es estable

Caso 2.- Hay un rodeo en sentido antihorario o rodeos del punto –1 + j0. En este caso el sistema es estable si la cantidad de rodeos antihorarios es la misma que la cantidad de polos G(s) H(s) en el semiplano derecho

del plano s; en caso contrario el sistema es inestable. Por ejemplo para el sistema dado por la Ec. 12.17.

G(s) = (12.17)

Lo primero que debemos hacer es hallar el número de polos reales positivos de la función de transferencia de lazo abierto: >> roots([1 -8 15]) ans = 5 3

Los polos de la función de transferencia en lazo abierto son ambos positivos. Por lo tanto, se necesitan dos rodeos en sentido contrario a las agujas del reloj (N = - 2) para que el sistema sea estable (Z = P + N). Si el número de rodeos es menor que dos o son en sentido de las agujas del reloj el sistema será inestable. Ahora hagamos el diagrama de Nyquist para este sistema >> nyquist([ 1 10 24], [ 1 -8 15])

Fig. 12.18 Diagrama de Nyquist del sistema dado por la Ec. 12.19

Hay dos rodeos en sentido contra las agujas del reloj; por lo tanto el sistema es estable Caso 3.- Hay un rodeo o rodeos del punto –1 + j0 en sentido horario. En este caso el sistema es inestable.

12.7.2 Margen de ganancia usando el diagrama de Nyquist También se puede utilizar el criterio de Nyquist para determinar el rango de la ganancia de lazo abierto para el cual el sistema en lazo cerrado con realimentación unitaria es estable. Comprobémoslo para el siguiente sistema:

12.19 Sistema de controlado con Controlador Proporcional donde G(s) es :

G(s) = (12.17) Este sistema dispone de una ganancia K que puede variarse para modificar la respuesta del sistema de bucle cerrado. Sin embargo, si se desea asegurar la estabilidad del sistema en lazo cerrado sólo es posible modificar el valor de la ganancia dentro de unos límites. Esto es el que pretendemos hallar: el rango de ganancias que hace que es sistema sea estable en lazo cerrado.

Lo primero que debemos hacer es hallar el número de polos reales positivos de la función de transferencia de lazo abierto: >> roots([1 -8 15])

ans = 5 3

Los polos de la función de transferencia en lazo abierto son ambos positivos. Por lo tanto, se necesitan dos rodeos en sentido contrario a las agujas del reloj (N = - 2) para que el sistema sea estable (Z = P + N). Si el número de rodeos es menor que dos o son en sentido de las agujas del reloj el sistema será inestable. Veamos el diagrama de Nyquist para una ganancia K = 1: >> nyquist([ 1 10 24], [ 1 -8 15])

12.20 Diagrama de Nyquist para el sistema de la Fig. 12.19 con K = 1

Hay dos rodeos al punto -1 en sentido contrario a las agujas del reloj por lo tanto el sistema es estable para ganancia 1. Ahora, veamos como se comporta el sistema cuando se incrementa la ganancia K = 20: nyquist(20*[ 1 10 24], [ 1 -8 15])

12.21 Diagrama de Nyquist para el sistema de la Fig. 12.19 con K = 20

El diagrama se expande. Así, sabemos que el sistema permanecerá estable independientemente de lo aumente el valor de la ganancia. Sin embargo, si disminuimos la ganancia, el diagrama se comprimirá y puede llegar a ser inestable. Veamos que ocurre con ganancia 0,5: nyquist(0.5*[ 1 10 24], [ 1 -8 15])

12.22 Diagrama de Nyquist para el sistema de la Fig. 12.19 con K = 0.5

El sistema es ahora inestable el punto –1 no es rodeado por el diagrama de Nyquist aún cuando esté en contra de las agujas del reloj. Por prueba y error se puede determinar que este sistema es inestable para ganancias menores de 0,80. Se puede verificar este hecho ampliando la gráfica del diagrama de Nyquist así como observando la respuesta ante un escalón del sistema para las ganancias 0,79; 0,80 y 0,81.

12.8

ANALISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA CON UNTSIM

El simulador UNTSIM, posee dos rutinas para el analisis de un sistema de control en el dominio de la frecuencia. Supongamos que tenemos el sistema dado por:

(12.18)

Para determinar la ganancia de un controlador proporcional para controlar este proceso en lazo cerrado con retroalimentación unitaria, podemos usar: 1.

Diagrama de Bode.- Accedemos a través del menú principal: Cálculos de Ingeniería química – Automatización y control – Respuesta en frecuencias – Diagrama de Bode:

Copyright 2004 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved

03-Sep-2004 ESTE PROGRAMA ANALIZA UN SISTEMA DE CONTROL USANDO LA RESPUESTA EN FRECUENCIA Ver Automatización y control Cap. XII *************************************************** Coef. del numerador de F de T del PROCESO: 50 Coef. del denominador de F de T del PROCESO: [1 9 30 40] -------------------------------------------FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL PROCESO

Transfer function: 50 ----------------------s^3 + 9 s^2 + 30 s + 40

--------------------------------------------

12.23 Diagrama de Bode del sistema con UNTSIM

-----------------------------------------------------

Desea ver la respuesta del sistema a escalón Si(1) No(0): 1 El valor de K debe ser < 4.60187 Ingresar valor de K: 1.5 Función de transferencia de Lazo cerrado

Transfer function: 75 -----------------------s^3 + 9 s^2 + 30 s + 115

12.23 Respuesta escalón unitario del sistema con K = 1.5

Desea hacer otro supuesto Si(1) No (0): 0 >>

Según el programa el límite superior de K es 4.6, con valores mayores, el sistema es inestable. Ud. Puede comprobar esto. 2.

Diagrama de Nyquist.- Accedemos a través del menú principal: Cálculos de Ingeniería química – Automatización y control – Respuesta en frecuencias – Diagrama de Nyquist:

Copyright 2004 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved

03-Sep-2004

ESTE PROGRAMA ANALIZA UN SISTEMA DE CONTROL USANDO EL DIAGRAMA DE NYQUIST Ver Automatización y control Cap. XII ***************************************************

Coef. del numerador de F de T del PROCESO: 50 Coef. del denominador de F de T del PROCESO: [1 9 30 40] -------------------------------------------FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL PROCESO

Transfer function: 50 ----------------------s^3 + 9 s^2 + 30 s + 40

-------------------------------------------LAS RAICES DE LA ECUACION CARACTERISTICA SON:

ans =

-4.0000 -2.5000 + 1.9365i -2.5000 - 1.9365i

-------------------------------------------DIAGRAMA DE NYQUIST El valor de K debe ser < 4.60187 Ingresar valor de K: 4.60187 -----------------------------------------------------

12.24 Diagrama de Nyquist para el sistema con K = 4.60187

Desea ver la respuesta del sistema a escalón Si(1) No(0): 1 Función de transferencia de Lazo cerrado

Transfer function: 230.1 -------------------------s^3 + 9 s^2 + 30 s + 270.1

12.23 Respuesta escalón unitario del sistema con K = 4.60187 (Inestable)

Desea hacer otro supuesto Si(1) No (0): 0 >>

Nota.- Se ha seleccionado en el segundo caso una ganancia igual al límite máximo dado por el diagrama de Nyquist (K = = 4.60187). Como se puede ver, el diagrama es en sentido horario. Según el caso 3 el diagrama de Nyquist no debe rodear al punto –1 + j0. Con K = 4.60187, el diagrama pasa exactamente por el punto –1 + j0 haciendo al sistema inestable, lo cual se corrobora con la respuesta escalón unitario dada en la Fig. 12.23. Se recomienda verificar el diagrama de Nyquist y la respuesta para valores de K > 4.60187 para los cuales el punto – 1 + j0 quedará dentro del diagrama y el sistema será inestable; y para valores de K < 4.60187

para los cuales el punto – 1 + j0 quedará fuera del diagrama y el sistema será estable.

CAPITULO 13 ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO 13.1

INTRODUCCIÓN

En la teoría clásica de control se consideraba un sistema con una única señal de entrada y una única señal de salida (SISO), relacionadas ambas por la función de transferencia o tramitancia o tramitancia. La teoría de control moderna se aplica a sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO), que pueden ser lineales o no lineales, variables o invariantes en el tiempo, y de una sola entrada y una sola salida. Además, la teoría de control moderna es un procedimiento en el dominio del tiempo esencialmente, mientras la teoría convencional opera en el dominio de las frecuencias complejas. La teoría clásica no deja de ser una simplificación de la realidad, ya que si observamos cualquier fenómeno físico, siempre debemos considerar en un análisis profundo la existencia de múltiples señales de entrada y de salida. Por ejemplo en el caso del control de nivel de un tanque existen como señales de entrada los caudales a, b, c y sus densidades d1, d2, d3 y como señales de salida el caudal q y su densidad d; de aquí que el nivel del tanque podrá definirse por un sistema de ecuaciones función del tiempo entre a, b, d1, d2, q, d y el nivel h con la existencia como se ve de varias entradas y varias salidas. El ejemplo puede ampliarse al control de otras variables (presión, caudal, temperatura, etc.), pero su interés reside más bien en el estudio de procesos complejos, por ejemplo, secadores, evaporadores de simple, doble y triple efecto, reactores y como caso más complejo, el análisis de

columnas de destilación. En estos casos, el lector apreciará claramente la dificultad del estudio por la teoría clásica; abordarlos requeriría una excesiva sobre simplificación con la consecuencia de la obtención de resultados, que como máximo, nos darán valores de tendencia cualitativa del problema. Por tanto, el método clásico debe descartarse en el estudio de estos procesos complejos; debiendo utilizarse la teoría moderna del espacio de estado. Estado. El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de variables (denominadas variables de estado) tales que el conocimiento de esas variables en t = to, conjuntamente con el conocimiento de la entrada para t  to, determinan completamente el comportamiento del sistema en cualquier tiempo t  to. Así, el estado de un sistema dinámico al tiempo t queda determinado unívocamente por el estado al tiempo to y la entrada para t  to, y es independiente del estado y entradas antes de to. Nótese que al tratar sistemas lineales invariantes en el tiempo, generalmente se escoge un tiempo de referencia to igual a cero. Variables de estado. Las variables de un sistema dinámico son las variables que constituyen el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado de un sistema dinámico. Si se requieren al menos n variables x1, x2, . . ., xn para describir completamente el comportamiento de un sistema dinámico (de modo que una vez dada la entrada para t  to, y que el estado inicial este especificado en t = to, el estado futuro del sistema queda completamente determinado) entonces esas n variables son un conjunto de variables de estado Vector de estado. Si se requieren n variables de estado para describir completamente el comportamiento de un sistema dado, se puede considerar a esas n variables como n componentes de un vector x. Tal vector recibe el nombre de vector de estado. Un vector de estado es un vector que determina unívocamente el estado del sistema x(t) en cualquier tiempo t  to, una vez conocido el estado en t = to y la entrada u(t) para t  to. Espacio de estado. El espacio n-dimensional cuyos ejes coordenados consisten en el eje x1, el eje x2, . . . , el eje xn, se denomina espacio de estado. Cualquier estado se puede representar por un punto en el espacio de estado. La ecuación de estado quedará definida pues por un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales que describan la dinámica del sistema y que será necesario trasladar a una forma vectorial-matricial.

La ecuación diferencial típica de un sistema dinámico es de la forma: dny d n 1 y  a ( n 1) n 1  ...  a 0 y dt n dt = b0 u

(13.1)

siendo u la señal de entrada y definiendo n variables de estado x1, x2, . . ., xn en la forma: x1 = y x2 

dy dt

x3 

d2y dt 2

. . . d n 1 y x n  n 1 dt La Ec. 13.1 se escribirá: dny  a ( n 1) x n  ...  a 0 x dt n = u

b0 (13.2)

con lo que el sistema dado por la Ec. 15.1 pasa a describirse por el conjunto de EDO de primer orden:

dx1  x2 dt dx 2  x3 dt 2 (13.3) . . .

dx n   a 0 x1  a1 x 2    a ( n  2 ) x ( n 1)  a ( n 1) x n  b0 u dt o en forma matricial (y representando las derivadas por la variable con un punto en su parte superior para así facilitar la representación) dx1 0 dx 2 0   dx n  a 0

1 0   a1

0 1

  

 a2

0 x1 0 0 x 0  2  u     a n 1 x n 1

(13.4)

o en forma simbólica 

X =

Ax

+

Bu (13.5)

que recibe el nombre de ecuación de estado. Con la adición de la ecuación de salida, el modelo de estado completo es: 

X = Ax + Bu y

=

Cx

Du Donde .

X : Vector de derivadas de las variables de estado de orden n. A : Matriz cuadrada de n  n elementos constantes, parámetros o características físicas o dinámicas del sistema. X : Vector matriz de las variables de estado x de orden n B : Matriz de constantes de orden n de la señal de entrada u : Matriz de entradas del sistema

+ (13.6)

y : Vector de salida. El número de filas que presentan y, C y D se determina por el número de variables de salida deseadas

En general, las ecuaciones de estado de los sistemas dinámicos consistirán en ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, en las que el tiempo es la variable independiente y que están en la forma: 

x 1 = f1( x1, x2, . . . xn; u1, u2, . . . um; t) 

x 2 = f2( x1, x2, . . . xn; u1, u2, . . . um; t) .

.

.

(13.7) 

x n = fn( x1, x2, . . . xn; u1, u2, . . . um; t) con las n variables de estado x1, x2, . . . xn que define el estado del sistema en cualquier instante, y con las entradas al sistema u, siendo t la variable independiente.

Ejemplo 15.1 Considere el sistema definido por d3y d2y dy  6  11  6 y 3 2 dt dt dt = u

6 (13.8)

donde y es la salida y u es la entrada al sistema. Obtenga una representación del sistema en el espacio de estado. Se eligen las variables de estado como: x1 = y x2 

dy dt

x3 

d2y dt 2

entonces se obtiene

dx1  x2 dt dx 2  x3 dt 2 (13.9) dx 3  6 x 3  11x 2  6 x1  6u dt La última de estas tres ecuaciones se obtuvo al resolver la ecuación diferencial original para el término con la derivada más alta d3y, y al sustituir y = x1, dy = x2, d2y = x3 en la ecuación resultante. Utilizando la notación matricial, se pueden combinar estas tres ecuaciones diferenciales de primer orden en una, como sigue:

dx1 0 1 0 x1 0 dx 2  0 0 1  x2  0  u dx 3  6  11  6 x 3 6 (13.10)

La ecuación de salida está dada por

x1 y  1 0 0 x2 x3 (13.11)

Fig. 13.1 Diagrama de bloques del sistema definido por las Ecs. (13.10) y (13.11) Las Ecs. (13.10) y (13.11) se pueden colocar en la forma normalizada, dadas por las Ecs. (13.5 y (13.6) 

X = Ax + Bu y = Cx donde

0 1 0 A 0 0 1  6  11  6

,

0 B 0 6

,

C1 0 0

La Fig. 13.1 muestra la representación, en diagrama de bloques, de la ecuación de estado y de salida. Nótese que las funciones de transferencia de los bloques de retroalimentación, son idénticas a los coeficientes con signo negativo de la Ec. (13.8), que es la ecuación diferencial original.

13.2 OBTENCIÓN UNTSIM

DE

ECUACIÓN

DE

ESTADO

CON

El simulador UNTSIM puede usarse para obtener directamente el modelo de estado a partir de la ecuación diferencial del sistema. Para el problema anterior, seleccionamos del Menú principal: Cálculos de Ingeniería Química – Automatización y Control – Teoría Moderna – Ecuación de estado

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03-Sep-2004 ESTE PROGRAMA CONVIERTE UNA O.D.E. DE ORDEN n CON SOLO UNA FUNCION DE ENTRADA u(t) ********************************************************************** Colocar la EDO en la forma: n

(n-1)

d y

d

y

dy

an----- + a(n-1)------- + . . . + a1---- + a0 y = bu n

(n-1)

dt

dt

dt

********************************************************************** Ingresar los coeficientes de la O.D.E. de orden n en la forma [a(n) a(n-1) ... a(0)]: [1 6 11 6] Ingresar el valor de b: 6 ---------------------------------------------------Las matrices en el espacio de estado son:

A= 0

1

0

0

0

1

-6 -11

-6

b= 0 0 6

C= 1

0

0

Ejemplo 13.2 Sea el sistema mecánico que aparece en la Fig. (15.3). Se supone que el sistema es lineal. La fuerza externa u(t) es la entrada al sistema, y el desplazamiento y(t) de la masa es la salida. En ausencia de fuerza externa, se mide el desplazamiento y(t) desde la posición de equilibrio. Se trata de un sistema de una sola entrada y una sola salida.

Solución Del diagrama, la ecuación es

d2y dy m 2 b  ky  u dt dt (13.12) El cual puede escribirse como

d2y b 1 dy 1   ky   u 2 m m dt m dt (13.13)

Fig. 13.2 Sistema mecánico

Este sistema es de segundo orden. Esto significa que el sistema incluye dos integrales. Las variables de estado x1(t) y x2(t) se definen como

Entonces se obtiene

o

La ecuación de salida es y

=

x1 (13.20)

En forma vectorial matricial las Ecs.(13.18) y (13.19) se pueden escribir como

La ecuación de salida, Ec. (13.21) se puede escribir como

La Ec. (13.21) es una ecuación de estado y la Ec. (13.22) es una ecuación de salida para el sistema. Las Ecs. (13.21) y (13.22) están en la forma normalizada



X = Ax + Bu y = Cx + Du

donde

La Fig. 13.3 es un diagrama de bloques para el sistema. Nótese que las salidas de los integradores son variables de estado.

Fig. 13.3Diagrama de bloques para el sistema mecánico mostrado en la Fig. 13.2

13.3 REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADO, DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ENÉSIMO ORDEN, CON r FUNCIONES EXCITADORAS

Considere el sistema con entradas y salida múltiples, que aparece en la Fig. 13.4.

Fig. 13.4 Sistema con múltiples entradas y múltiples salidas En este sistema, x1, x2, . . ., xn, representan las variables de estado; u1, u2, . . . ur, indican las variables de entrada; y1, y2, . . ., ym, son las variables de salida. Para el sistema de la Fi. 13.4, se puede tener el sistema de ecuaciones como sigue: .

x 1 = a11 x1 + a12 x2, +. . .+a1nxn +b11 u1 +b12 u2 + . . .+b1r ur .

x 2 = a x + a x , +. . .+a x +b u +b u + . . .+b u 21 1 22 2 2n n 21 1 22 2 2r r ... .

x n = an1 x1 + an2 x2, +. . .+annxn +bn1 u1 +bn2 u2 + . . .+bnr ur

donde las a y las b son constantes o funciones de t. En notación matricial, estas n ecuaciones se pueden expresar en forma compacta como 

X = Bu donde

Ax

+ (13.23)

La Ec. (13.23) es la ecuación de estado del sistema. [Nótese que una ecuación diferencial matricial como la Ec. (13.23) (o las equivalentes ecuaciones diferenciales de enésimo orden), que describe la dinámica de un sistema, es una ecuación de estado si y sólo si, el conjunto de variables dependientes en la ecuación diferencial matricial, satisface la definición de variables de estado]. Para las señales de salida, se tiene y1 = c11 x1 + c12 x2, +. . .+c1nxn +d11 u1 +d12 u2 + . . .+d1r ur y2 = c21 x1 + c22 x2, +. . .+c2nxn +d21 u1 +d22 u2 + . . .+d2r ur ... ym = cm1 x1 + cm2 x2, +. . .+cmnxn +dm1 u1 +dm2 u2 + . . .+dmr ur

En notación matricial, estas m ecuaciones se pueden expresar en forma compacta, como: y Du

=

Cx

+ (13.24)

donde

La Ec.(13.24), es la ecuación de salida del sistema y las matrices A, B, C y D, caracterizan totalmente la dinámica del sistema. En la Fig. 13.5 aparece una representación, diagrama de bloques, del sistema definido por las Ecs. (13.23) y (13.24). Para indicar las cantidades vectoriales, en el diagrama se han dibujado flechas dobles.

Fig. 13.5 Diagrama de bloques del sistema definido por las Ecs. (13.23) y (13.24). donde : Vector de derivadas de las variables de estado de orden n A(t): Matriz de estado; es una matriz cuadrada de n x n elementos de constantes, parámetros o características físicas o dinámicas del sistema. x(t): Vector matriz de las variables de estado x de orden n B(t): Matriz de entrada, es una matriz de constantes de orden n de la señal de entrada u(t): Matriz de entradas del sistema C(t): Matriz de salida D(t): Matriz de transmisión directa

13.4 RELACIÓN ENTRE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Y VARIABLES DE ESTADO A continuación, se mostrará como obtener la función de transferencia de un sistema con una entrada y una salida simple, a partir de las ecuaciones de estado. Sea un sistema cuya función de transferencia está dada por

Este sistema puede representarse en el espacio de estado por las siguientes ecuaciones:

donde x es el vector de estado, u es la entrada e y es la salida. Las transformadas de Laplace de las Ecs. (13.26) y (13.27) están dadas por sX(s) – x(0) = AX(s) + BU(s) (13.28) Y(s) = CX(s) + DU(s) (13.29) Como la función de transferencia se definió previamente como la relación entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada cuando las condiciones iniciales son cero, se supone que x(0) en la Ec. (13.28) es cero. Entonces se tiene sX(s) – AX(s) = BU(s) o (sI – A)X(s) = BU(s) Premultiplicando por (sI – A) obtiene

– 1

ambos miembros de esta última ecuación, se

X(s) = (sI – A) – 1 BU(s) (13.30) Sustituyendo la Ec. (13.30) en la Ec. (13.29), se ve que Y(s) = [C(sI – A) – 1 B + D] U(s) (13.31) Comparando la Ec. (13.31) con la Ec. (13.25), se ve que

G(s) = C(sI – A) – 1 B + D (13.32) Esta es la expresión de la función de transferencia en términos se A, B, C y D. Nótese que el miembro derecho de la Ec.(13.32) comprende a (sI – A) – 1. Por lo tanto, G(s) puede escribirse como

Donde Q(s) es un polinomio en s. Por lo tanto sI – A  es igual al polinomio característico de G(s). En otras palabras, los autovalores de A son idénticos a los polos de G(s).

Ejemplo 13.3 Considere el mismo sistema visto en el Ejemplo 13.1 que ahora se escribe como

Se demostrará que la representación en el espacio de estado, dada por las Ecs. (13.10) y (13.11), se puede obtener también mediante la técnica de expansión en fracciones parciales. La Ec. (13.34) se representa, en la forma de una función de transferencia:

Expandiendo esta función de transferencia en fracciones parciales, se tiene

Por tanto

Se define

Fig. 13.6 Diagrama de bloques del sistema definido por las Ecs. (13.39) y (13.40)

Las transformadas inversas de Laplace de las Ecs. (13.36),(13.37), y (13.38), dan como resultado

En notación matricial, se obtiene

Como la Ec. (13.35) se puede expresar como Y(s) = X1(s) + X2(s) + X3(s) Se obtiene y = x1 + x 2 + x 3 o bien

Las Ecs. (13.39) y (13.40), son de la misma forma que la (13.10) y (13.11), respectivamente. La Fig. 13.6 muestra una representación en el diagrama de bloques, de las Ecs. (13.39) y (13.40). Nótese que las funciones de transferencia de los bloques de retroalimentación, son idénticas a los valores propios del sistema. Nótese también que los residuos de los polos de la función de transferencia, o los coeficientes de las expresiones, en las frecuencias parciales Y(s)/U(s), aparecen en los bloques de prealimentación.

13.5 TRANSFORMACIÓN MATLAB

DE

MODELOS

USANDO

MATLAB tiene ordenes útiles para transformar un modelo matemático de un sistema lineal en otro modelo. Algunas de las transformaciones útiles de sistemas lineales para resolver problemas de ingeniería de control se presentan a continuación

13.5.1 Funciones de transferencia a espacio de estado La orden >>[A,B,C,D] = tf2ss(num,den) convierte el sistema de función de transferencia

a la representación de espacio de estados

Ejemplo 13.4 Sea la función de transferencia del sistema

Hay muchas infinitas representaciones en el espacio de estados para este sistema. Una representación posible es

Otra representación posible (entre las infinitas alternativas) es

MATLAB transforma la función de transferencia en la representación en el espacio de estados dada en la segunda forma. Para lo cual se deben introducir las ordenes siguientes >> num =[0 0 1 0]; >> den =[1 14 56 160]; >> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

A= -14 -56 -160 1

0

0

0

1

0

1

0

B= 1 0 0

C= 0

D= 0

El modelo puede especificarse más detalladamente con la orden: >> sys = ss([-14 -56 -160;1 0 0; 0 1 0],[1;0;0],[0 1 0],0) o si se han especificado las matrices como en este caso >> sys = ss(A,B,C,D) a= x1

x2

x3

x1 -14 -56 -160 x2

1

0

0

x3

0

1

0

b= u1 x1 1 x2 0 x3 0

c= x1 x2 x3 y1 0 1 0

d= u1 y1 0

Continuous-time model. >>

En adición a las matrices A, B, C, y D, la visualización de los modelos del espacio de estado incluye nombres de variables de estado, nombres de entradas, y nombres de salidas. Por defecto los nombres (aqui , x1, x2, x3, u1, y1) son desplegadas cuando estas no son especificadas.

13.5.2 Espacio de estado a función de transferencia Si el sistema tiene una entrada y una salida, la orden >> [num,den] = ss2tf(A,B,C,D) proporciona la función de transferencia Y(s)/U(s) Si el sistema tiene más de una entrada, utilice la siguiente orden: >> [num,den] = ss2tf(A,B,C,D,iu) Esta orden convierte el sistema en representación de espacio de estados

a función de transferencia

observe que el escalar “iu”es un índice dentro de las entradas del sistema y especifica que entrada se va a utilizar para la respuesta

Ejemplo 13.5 Considere el siguiente sistema, el cual tiene dos entradas, u1 y u2.

Se pueden obtener las dos funciones de transferencia para este sistema. Una relaciona la salida y con la entrada u1, y la otra relaciona la salida y con la entrada u2. (cuando se considera la entrada u1, se supone que la entrada u2 es cero, y viceversa). Véase la siguiente salida de MATLAB. >> A=[0 1;-2 -3]; >> B=[1 0;0 1]; >> C=[1 0]; >> D=[0 0]; >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)

num = 0

1

3

3

2

den = 1

>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,2)

num = 0

0

1

3

2

den = 1

De la salida MATLAB, tenemos

Para encontrar la representación en el espacio de estados del sistema dado anteriormente se introducen las ordenes siguientes (es una de las infinitas soluciones posibles) >> num=[0 1 3]; >> den=[1 3 2]; >> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

A= -3

-2

1

0

B= 1 0

C= 1

3

D= 0

Ejemplo 13.6 Sea nuevamente el sistema mecánico que aparece en la Fig.13.2. Las ecuaciones de estado para el sistema están dadas por las Ecs. (13.21) y

(13.22). las funciones de transferencia para el sistema se obtendrán partiendo de las ecuaciones de espacio de estado. Sustituyendo A, B, C, y D en la Ec.(13.32), se obtiene G(s) = C(sI – A) – 1 B + D (13.52)

Como

Que es la función de transferencia del sistema. Partiendo de la Ec. (13.12) se puede obtener la misma función de transferencia.

13.6

CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD

Se dice que un sistema es controlable en el tiempo t0, si por medio de un vector de control no restringido, es posible transferir el sistema desde cualquier estado inicial x(t0) a cualquier otro estado en un tiempo finito.

Se dice que un sistema es observable en el tiempo t0 si, con el sistema en el estado x(t0), es posible determinar este estado a través de la observación de la salida durante un intervalo finito de tiempo. Los conceptos de controlabilidad y observabilidad, fueron introducidos por Kalman. Estos juegan un papel importante en el diseño de sistemas de control en el espacio de estado. De hecho, las condiciones de controlabilidad y observabilidad, pueden gobernar la existencia de una solución completa, en el problema de diseño de sistemas de control. La solución a este problema no puede existir si el sistema considerado no es controlable. Aunque la mayoría de los problemas físicos son controlables y observables, los modelos matemáticos correspondientes pueden no tener la propiedad de controlabilidad y observabilidad. Entonces se requiere conocer las condiciones bajo las cuales un sistema es controlable y observable.

Controlabilidad.- Utilizando el modelo matricial de la planta, se puede demostrar que es controlable si y sólo si la matriz de controlabilidad:

tiene rango n, donde n es el orden del sistema. Un segundo test para la controlabilidad se expresa como sigue. Un sistema es controlable si y sólo si

donde 1, 2, . . ., n son valores propios de A.

Ejemplo 13.7 Demostrar que el sistema dado por la Ec.(13.56) es controlable.

Solución Utilizando Mc para comprobar la controlabilidad, la matriz se formula como un array 3  3 en el que la primera columna es B, la segunda columna es AB y la tercera columna es A2B. Después de calcular AB, la tercera columna se puede generar como (A)(AB) con

El rango es igual al número de filas o columnas que son linealmente independientes y se puede evaluar como la dimensión del mayor determinante no singular (después de eliminar, cuando sea necesario, filas y columnas). Con una única entrada, el array es cuadrado y se demuestra rápidamente en este ejemplo partícular que det Mc es no singular. Así el rango es igual a 3 y la planta es controlable.

Observabilidad.- La propiedad de observabilidad considera la manera en que la salida está influenciada por las variables de estado. Una planta es observable si la observación de la salida durante un periodo de tiempo finito no nulo es suficiente para determinar el estado al comienzo del periodo de tiempo. Utilizando el modelo matricial de la planta, se puede demostrar que la planta es observable si y sólo si la matriz de observabilidad,

tiene rango n, donde n es el orden de la planta.

13.6.1 Controlabilidad y observabilidad con UNTSIM El simulador UNTSIM posee una rutina para determinar la controlabilidad y observabilidad de un sistema descrito en el espacio de estado. Seleccionando del Menú principal: Cálculos de Ingeniería química – Automatización y control – Teoría moderna – Controlabilidad y observabilidad:

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ESTE PROGRAMA SIMULA DETERMINA LA CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD DE UN MODELO DE ESPACIO DE ESTADO ************************************************* Ingrese matriz [A]: [0 5 0; 0 -0.1 60; 0 -1.4 -50] Ingrese Vector [B]: [0; 0; 10] Ingrese matriz [C]: [1 0 0] -------------------------------------------------RESPUESTAS -------------------------------------------------1. EL SISTEMA ES DE ORDEN: 3 2. LA MATRIZ DE CONTROLABILIDAD ES:

Mc =

0

0

3000

0

600

10

-500

-30060 24160

3. EL RANK DE LA MATRIZ DE CONTROLABILIDAD ES: 3 ********EL SISTEMA ES CONTROLABLE*********

4. LA MATRIZ DE OBSERVABILIDAD ES: Mo =

1.0000 0

0

0

5.0000

0

0 -0.5000 300.0000

5. EL RANK DE LA MATRIZ DE OBSERVABILIDAD ES: 3 ********EL SISTEMA ES OBSERVABLE********* >>

13.7

RESPUESTA A ESCALÓN UNITARIO DEL SISTEMA EN FORMA DE ESPACIO DE ESTADOS

Ejemplo 13.8 Calcular la respuesta a un escalón unitario del siguiente sistema

donde

El programa 13.1 en MATLAB producirá una gráfica de la curva de respuesta a un escalón unitario en la Fig. 13.7 Programa en MATLAB 15.1 >> %------Respuesta a un escalón unitario---->> %*****Introduzca las matrices A,B,C y D de las >> %ecuaciones en el espacio de estados**** >> A=[0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;-100 -80 -32 -8]; >> B=[0;0;5;60]; >> C=[1 0 0 0]; >> D=[0]; >> %****Para obtener la respuesta a un escalón unitario >> %de y respecto a t introduzca la siguiente orden**** >> step(num,den); >> step(A,B,C,D) >> grid >> title('Respuesta a un escalón unitario')

Respuesta a un escalon unitario 1.4 1.2

Amplitude

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Time (sec.) Fig. 13.7 Salida del programa 13.1 Ejemplo 13.9 Obtener la respuesta a un escalón unitario del sistema descrito por las siguientes ecuaciones en el espacio de estado

El programa MATLAB 13.2 dará una gráfica de la respuesta a un escalón unitario del sistema. Una gráfica de salida y(t) respecto de t se muestra en la Fig. 13.8

Para representar las curvas x1 respecto de t, x2 respecto de t y x3 respecto de t en un mismo diagrama, simplemente introduzca la orden plot(t,x). Esto se ilustra en el programa MATLAB 13.3 y se muestra en la Fig. 13.9

Programa MATLAB 13.2 >> %****Respuesta a un escalón unitario*********** >> >> %****Introduzca las matrices A,B,C y D de las >> %

ecuaciones en el espacio de estados*******

>> >> A=[0 1 0;0 0 1;-5.008 -25.1026 -5.0325]; >> B=[0;25.04;-121.005]; >> C=[1 0 0]; >> D=[0]; >> %****Introduzca la siguiente orden de respuesta >> %

a un escalón unitario***

>> >> [y,x,t]=step(A,B,C,D); >> plot(t,y), grid >> title('Respuesta a un escalón unitario') >> xlabel('t seg'), ylabel('Salida y') »

Respuesta a un escalon unitario

1.4 1.2 1

Salida y

0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

2

4

t seg

6

8

Fig. 13.8 Salida del programa 13.2 Programa MATLAB 13.3 » %-----Respuesta a un escalón unitario para x1, x2 y x3---» A=[0 1 0;0 0 1;-5.008 -25.1026 -5.0325]; » B=[0;25.04;-121.005]; » C=[1 0 0]; » D=[0]; » [y,x,t]=step(A,B,C,D); » plot(t,x), grid » title('Respuesta a un escalón unitario para x1, x2 y x3') » xlabel('t seg'), ylabel('x1,x2 x3')

10

Respuesta a un escalon unitario para x1, x2 y x3

5

x1

0

x2

-5

x1,x2 x3

-10 -15 -20

x3

-25 -30 -35

0

2

4

t seg

6

8

Fig. 13.9 Salida del programa 13.3

10

CAPITULO 14 VARIABLE DISCRETA Y LA TRANSFORMADA z 14.1 INTRODUCCIÓN En años recientes se ha incrementado el uso de controladores digitales en sistemas de control. Los controladores digitales se utilizan para alcanzar el desempeño óptimo (por ejemplo, en la forma de productividad máxima, beneficio máximo, costo mínimo o la utilización mínima de energía). La tendencia actual de controlar los sistemas dinámicos en forma digital en lugar de la analógica se debe principalmente a la disponibilidad de computadoras digitales de bajo costo y a las ventajas de trabajar con señales digitales en lugar de señales en tiempo continuo.

14.1.1 Tipos de señales Una señal en tiempo continuo es aquella que se define sobre un intervalo continuo de tiempo. La amplitud puede tener un intervalo continuo de valores o solamente un número finito de valores distintos. El proceso de representar una variable por medio de un conjunto de valores distintos se denomina cuantificación y los valores distintos resultantes se denominan valores cuantificados. La variable cuantificada sólo cambia en un conjunto finito de valores distintos. Una señal analógica es una señal definida en un intervalo continuo de tiempo cuya amplitud puede adoptar un intervalo continuo de valores. La Fig. 14.1a) muestra una señal analógica en tiempo continuo y la Fig. 14.1b) una señal cuantificada en tiempo continuo(cuantificada sólo en amplitud). La señal analógica es un caso especial de la señal en tiempo continuo. En la práctica, sin embargo, se emplea con frecuencia la

terminología “tiempo continuo” en lugar de “analógica”. De esta forma, en la literatura, incluyendo este libro, los términos “señal en tiempo continuo” y “señal analógica” se intercambian de manera frecuente, aunque estrictamente hablando no son del todo sinónimos.

Fig. 14.1 a) Señal analógica en tiempo continuo; b) señal cuantificada en tiempo continuo; c) señal de datos muestreados; d) señal digital

Una señal en tiempo discreto es una señal definida sólo en valores discretos de tiempo (esto es, aquellos en los que la variable independiente t está cuantificada). En una señal en tiempo discreto, si la amplitud puede adoptar valores en un intervalo continuo, entonces la señal se denomina señal de datos muestreados. Una señal de datos muestreados se puede generar muestreando una señal analógica en valores discretos de tiempo. Esta es una señal de pulsos modulada en amplitud. La figura 14.1c) muestra una señal de datos muestreados. Una señal digital es una señal en tiempo discreto con amplitud cuantificada. Dicha señal se puede representar mediante una secuencia de números, por ejemplo, en la forma de números binarios. (En la práctica, muchas señales digitales se obtienen mediante el muestreo de señales analógicas que después se cuantifican; la cuantificación es lo que permita que estas señales analógicas sean leidas como palabras binarias finitas.) La Fig. 14.1d) muestra una señal digital. Es claro que

está cuantificada tanto en amplitud como en tiempo. El uso de un controlador digital requiere de la cuantificación de las señales tanto en amplitud como en tiempo.

14.1.2 Sistemas de control en tiempo continuo y en tiempo discreto Los sistemas de control en tiempo discreto son aquellos sistemas en los cuales una o más de las variables pueden cambiar sólo en valores discretos de tiempo, Estos instantes, los que se denotarán mediante kT o tk (k = 0, 1, 2, . . .), pueden especificar los tiempos en los que se lleva a cabo alguna medición de tipo físico o los tiempos en los que se extraen los datos de la memoria de una computadora digital. El intervalo de tiempo entre estos dos instantes discretos se supone que es lo suficientemente corto de modo que el dato para el tiempo entre éstos se pueda aproximar mediante una interpolación sencilla. Los sistemas de control en tiempo discreto difieren de los sistemas de control en tiempo continuo en que las señales para los primeros están en la forma de datos muestreados o en la forma digital. Si en el sistema de control está involucrada una computadora digital como controlador, los datos muestreadosse deben convertir a datos digitales. Los sistemas en tiempo continuo, cuyas señales son continuas en el tiempo, se pueden describir mediante ecuaciones diferenciales. Los sistemas en tiempo discreto, los cuales involucran señales de datos muestreados o señales digitalñes y posiblemente señales en tiempo continuo, también se pueden describir mediante ecuaciones en diferencias después de la apropiada discretización de las señales en tiempo continuo.

1.4.1.3

Controladores digitales y analógicos

Los controladores digitales solamente operan sobre números. La toma de decisiones es una de sus funciones importantes. Estos a menudo se utilizan para resolver los problemas relacionados con la operación global óptima de plantas industriales. Los controladores digitales son muy versátiles. Estos pueden manejar ecuaciones de control no lineales que involucran cálculos

complicados u operaciones lógicas. Se puede utilizar con controladores digitales una variedad mucho más amplia de leyes de control que las que se pueden usar con controladores analógicos. También en el controlador digital, mediante la edición de un nuevo programa, las operaciones que se están ejecutando se pueden cambiar por completo. Esta característica es en particular importante si el sistema de control va a recibir información o instrucciones de operación desde algún centro de cálculo donde se hacen análisis económicos y estudios de optimización. Los controladores digitales son capaces de ejecutar cálculos complejos con exactitud constante a alta velocidad y pueden tener casi cualquier grado deseado de exactitud de cálculo con un incremento relativamente pequeño en el costo. En un principio los controladores digitales se usaron sólo como componentes en sistemas de control a gran escala. Actualmente, sin embargo, gracias a la disponibilidad de microcomputadoras baratas, los controladores digitales se utilizan en muchos sistemas de control de gran y pequeña escala. De hecho, los controladores digitales están reemplazando a los controladores analógicos que han sido utilizados en muchos sistemas de control a pequeña escala. Los controladores digitales son a menudo superiores en desempeño y con costo menor que sus contrapartes analógicas. Los controladores analógicos representan las variables en una ecuación mediante cantidades físicas continuas. Estos se pueden diseñar fácilmente para servir de manera satisfactoria como controladores que no tienen que tomar decisiones. Pero el costo de los controladores analógicos se incrementan rápidamente a medida que la complejidad del cálculo se incrementa, si se tiene que mantener una exactitud constante. Existen ventajas adicionales de los controladores digitales sobre los analógicos. Los componentes digitales, tales como circuitos de muestreo y retención, convertidores A/D y D/A y los transductores digitales, son de construcción robusta, alta confiabilidad y a menudo compactos y ligeros. Además, los componentes digitales tienen alta sensibilidad y con frecuencia son más baratos que sus contrapartes analógicas y son menos sensibles a señales de ruido. Y, como se mencionó en un principio, los controladores digitales son flexibles al permitir cambios en la programación.

14.1.4 Control digital de procesos

En general, en sistemas de control de procesos industriales, no es práctico operar períodos de tiempo muy prolongados en estado estacionario, debido a que se pueden presentar ciertos cambios en los requerimientos de producción, materias primas, factores económicos y equipos y técnicas de procesamiento. Así, el comportamiento transitorio de los procesos industriales debe siempre tomarse en consideración. Debido a que existen interacciones entre las variables de proceso, al utilizar una sola variable de proceso para cada uno de los agentes de control no es apropiado para un control completo real. Mediante el uso de un controlador digital, es posible tomar en cuenta todas las variables del proceso, conjuntamente con los factores económicos, los requerimientos de producción, el desempeño del equipo y todas las demás necesidades, y de este modo alcanzar el control óptimo de los procesos industriales.

14.2

SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO

Las señales en tiempo discreto surgen si el sistema involucra la operación de muestreo de señales en tiempo continuo. La señal muestreada es x(0), x(T), x(2T), . . ., donde T es el periodo de muestreo. Dicha secuencia de valores que surge de la operación de muestreo normalmente se escribe como x(kT). Si el sistema incluye un proceso iterativo realizado por una computadora digital, la señal involucrada es una secuencia de números x(0), x(1), x(2), . . . La secuencia de números normalmente se escribe como x(k), donde el argumento k indica el orden en el que se presentan los números en la secuencia, por ejemplo, x(0), x(1), x(2), . . . Aunque x(k) es una secuencia de números, ésta se puede considerar como una señal muestreada de x(t) cuando el periodo de muestreo T es 1 segundo. La trensformada z se aplica a la señal en tiempo continuo x(t), a la señal muestreada x(kT) y a la secuencia de números x(k). Si no se presenta confusión en el estudio al tratar con la transformada z, de manera ocasional se emplean x(kT) y x(k) intercambiadas. [Esto es, para simplificar la presentación en ocasiones se omite la aparición explicita de T y se escribe x(kT) como x(k).]

14.3

LA TRANSFORMADA z

Al considerar la transformada z de una función del tiempo x(t), sólo se toman en cuenta los valores muestreados de x(t), esto es, x(0), x(T), x(2T), . . ., donde T es el periodo de muestreo.

La transformada z de una función del tiempo x(t), donde t es positivo, o de la secuencia de valores x(kT), donde k adopta valores de cero o de enteros positivos y T es el periodo de muestreo, se define mediante la siguiente ecuación:

Para una secuencia de números x(k), la transformada z se define como

TABLA 14.1 Tabla de transformadas z

La transformada z definida mediante las Ecs. (14.1) o (14.2) se conoce como transformada z unilateral. El símbolo Z denota la "transformada z de" . En la transformada z unilateral se supone que x(t) = 0 para t < 0 o x(k) = 0 para k < 0. Observe que z es una variable compleja.

La expansión del segundo miembro de la Ec. (14.1) da como resultado X(z) = x(0) + x(T)z +... (14.3)

–

1

+ x(2T)z

–

2

+ . . . + x(kT)z

–

k

La Ec. (14.3) implica que la transformada z de cualquier función en tiempo continuo x(t) se puede escribir, mediante inspección, en la forma de una serie. La z – k en esta serie indica la posición en el tiempo en la que se presenta la amplitud x(kT). De manera contraria, si X(z) está dada en la forma de una serie como la que se indicó, la transformada z inversa se puede obtener por inspección como una secuencia de la función x(kT) que corresponde a los valores de x(t) en los valores de tiempo respectivos.

14.4

TRANSFORMADA ELEMENTALES

z

DE

FUNCIONES

14.4.1 Función delta de Kronecker o(kT) (Impulso unidad) La función delta de Kronecker (la cual se corresponde con la función de impulso unitario para sistemas en tiempo continuo), se define por: o(kT) = 1,

para k = 0

= 0,

para k  0

x(k) = 1,

para k = 0

= 0,

para k  0

o

El muestreador dará una función x(kT) que, es igual al impulso unidad o(k) en la primera muestra y que es cero en los restantes muestreos. La transformada z de la entrada delta de Kronecker es X(z) 1 (14.4)

=

Es decir, que la respuesta impulso unidad trabajando con transformadas z, o bien en otros términos, la transformada en z del impulso unidad, es la unidad.

14.4.2

Función escalón unitario para 0  0

x(t) = 1(t), = 0,

para t < 1

Aplicando la transformada z del escalón unidad se tiene: X(z) =  x(kT). z – k = x(0) + x(T). z – 1 + x(2T). z – 2 + . . . = = 1 + z – 1 + z – 2 + . . . = 1/(1 – z – 1) = z/ (z – 1) (14.5) ya que las funciones x(kT) son iguales a la unidad por tratarse de un escalón unitario. En la tabla 14.1 pueden verse las transformadas en z de las funciones más comunes.

14.5 GENERACIÓN DE FUNCIONES DISCRETO USANDO MATLAB 14.5.1

EN

TIEMPO

Generación de la función de entrada delta de Kronecker En MATLAB la entrada delta de Kronecker está dada por

x = [1 zeros(1,N)] Donde N corresponde al final de la duración del tiempo discreto del proceso considerado. La siguiente entrada delta de Kronecker x(0) = 1 x(k) = 0,

para k = 1, 2, 3, . . ., 60

se puede introducir en el programa Matlab como: >> x = [1 zeros(1,60)] Una entrada delta de Kronecker de magnitud 8 como x(0) = 8 x(k) = 0,

para k = 1, 2, 3, . . ., 40

se puede introducir en el programa como >> x = [8 zeros(1,40)]

14.5.2

Generación de la función de entrada en escalón

Una entrada escalón unitario como x(k) = 1(k) = 1,

para k = 0, 1, 2, . . ., 100

se puede introducir en el programa Matlab como >> x = ones(1,101) o >> x = [1 ones(1,100)] Análogamente una entrada escalón de magnitud 5, o x(k) = 5*1(k) = 5,

para k = 0, 1, 2, . . ., 50

se puede introducir en el programa Matlab como >> x = 5*ones(1,51) o >> x = [5 5*ones(1,50)]

14.5.3

Generación de la función de entrada en rampa

La entrada rampa unitaria se define por x = t,

para 0  t

Para sistemas discretos, t = kT, donde T es el periodo de muestreo (seg). Por consiguiente la entrada rampa se puede escribir como: x(k) = kT,

para k = 0, 1, 2, . . .

Si la rampa viene dada por x(k) = kT,

para k = 0, 1, 2, . . ., 50

entonces utilizaremos una de las siguientes formas: x = 0:T:50*T

(T = periodo de muestreo, seg)

o k = 0:50; x = [k*T] Es decir, si T = 0,2 seg y k = 50, se utiliza >> x = 0:0.2:10 o >> k = 0:50; x = [0.2*k]

14.5.4

Generación de la función de entrada de aceleración

Antes de considerar la entrada aceleración, consideremos la siguiente señal: h = [0 1 2 3 4 5 6] El cuadrado de esta señal en cada instante de muestreo viene dada por w = [0 1 4 9 16 25 36] La señal se puede generar en Matlab como sigue: >> h = 0:6

h=

0

1

2

3

4

5

6

>> w = h.*2

w=

0

2

4

6

8

10

12

Nótese que es necesario introducir un punto después de h para obtener el cuadrado del valor muestreado. Ahora consideramos la entrada aceleración en general. Supongamos que la entrada viene dada por

donde T es el periodo de muestreo. Asumamos, por ejemplo, que T = 0,2 seg, o

Esta entrada aceleración se puede introducir en el programa Matlab como sigue: Si k = 0, 1, 2, 3, 4, podemos introducir las siguientes órdenes: k = 0:4; x = [0.5*(0.2*k).^2] La pantalla mostrará lo siguiente: >> k = 0:4; x = [0.5*(0.2*k).^2] u=

0

0.0200

0.0800

0.1800

0.3200

Podemos introducir también las siguientes órdenes:

>> k = 0:4; m = [0.5*(0.2*k)’*(0.2*k)]; x = [diag(m)]’ La pantalla del ordenador mostrará lo siguiente: >> k = 0:4; m = [0.5*(0.2*k)'*(0.2*k)] m= 0

0

0

0

0

0

0.0200

0.0400

0.0600

0.0800

0

0.0400

0.0800

0.1200

0.1600

0

0.0600

0.1200

0.1800

0.2400

0

0.0800

0.1600

0.2400

0.3200

>> x = [diag(m)]'

x= 0

0.0200

0.0800

0.1800

0.3200

Resumiendo, si k varía de 0 a 40, podemos utilizar una de las siguientes formas: a. >> k = 0:40;

>> x = [0.5*(0.2*k).^2]

b. >> k = 0:40;

>> x = [diag(0.5*(0.2*k)'*(0.2*k))]'

14.5.5

Generación de la función de entrada arbitraria

Si una entrada arbitraria se especifica como: x(0) = 3 x(1) = 2.5 x(2) = 1.2

x(k) = 0,

para 3, 4, 5, . . . 80

La siguiente forma puede ser utilizada como la entrada: >> x = [3 2.5 1.2 zeros(1,78)]

14.6

TEOREMAS DEL VALOR INICIAL Y FINAL

14.6.1 Teorema del valor inicial Como

que es el teorema del valor inicial

14.6.2 Teorema del valor final Sea

y aplicando limites cuando z1 resulta:

que es el teorema de valor final El lector observará que hasta ahora la transformada z es matemáticamente la transformada de Laplace con un cambio en la variable. Debe tener en cuenta que el uso de las tablas es similar al de las tablas de las transformadas de Laplace. La transformada z de la función de transferencia de un elemento o series de elementos de una transformada z de salida, que puede convertirse en el dominio del tiempo con la señal de salida correspondiente, ya sea intermitente o continua, pero que en este último caso solo tendrá validez en los instantes de muestreo.

14.7

LA TRANSFORMADA z INVERSA

La transformada z en sistemas de control en tiempo discreto juega el mismo papel que la transformada de Laplace rn sistemas de control en tiempo continuo.

La notación para la transformada z inversa es Z– 1. La transformada z inversa de X(z) da como resultado la correspondiente secuencia de tiempo x(k). Se debe observar que a partir de la transformada z inversa sólo se obtiene la secuencia de tiempo en los instantes de muestreo. De esta manera, la transformada z inversa de X(z) da como resultado una única x(k), pero no de una única x(t). Esto significa que que la transformada z inversa da como resultado una secuencia de tiempo que especifica los valores de x(t) solamente en los valores discretos de tiempo, t = 0, T, 2T, . . ., y no dice nada acerca de los valores de x(t) en todos los otros tiempos. Esto es, muchas funciones del tiempo x(t) diferentes pueden tener la misma x(kT). Ver Fig. 14.2. Cuando X(z), la transformada z de x(kT) o x(k), está dada, la operación que determina la x(kT) o x(k) correspondiente se denomina transformación z inversa. Los métodos para encontrar la transformada z inversa son: 

Método de expansión en fracciones parciales



Método de la división directa



Método computacional



Método de la integral de inversión



Para ilustración y por razones de espacio solamente trataremos los tres primeros

14.7.1 Método de expansión en fracciones parciales El desarrollo de X(z) en fracciones parciales que es análogo al método empleado en las transformadas de Laplace y que consiste en simplificar la transformada z, es decir X(z), en fracciones parciales que sean simples y puedan encontrarse en la tabla de transformadas z. La expresión obtenida es una función continua de kT y sus valores son correctos en los instantes del muestreo, ya que no existe información entre estos instantes. Sea, por ejemplo, la transformada z siguiente:

El desarrollo en fracciones parciales da

X ( z) A B 1 1    2  2 z z  2 z  3 z  5z  6 z  5z  6 y así

Y de la tabla de transformadas z resulta x(kT) = – 2k + 3k con k = 0, 1, 2, 3, . . . y así x(0) = 0,

14.7.2

x(T) = 1, x(2T) = 5, x(3T) = 19, . . .

Método de la división directa

El desarrollo de X(z) en potencias de z mediante la división del numerador por el denominador. De este modo se obtiene: X(z) =x(0) + x(T).z –1 + x(2T).z –2 + . . .+ x(kT).z –k + . . . (14.9) El método es útil porque da inmediatamente los primeros términos de los instantes iniciales del muestreo que habitualmente son los más interesantes. Téngase presente que los errores cometidos en la división son acumulativos. Resolviendo el mismo ejemplo anterior con éste método se efectúa la división del numerador por el denominador, después de transformarlos a potencias con exponente negativo y se tiene: z –1 .(1 – 5z –1 + 6z –2 ) = z –1 + 5z –2 + 19z –3 + 65z –4 + . . . serie de la que se deduce x(0) = 0,

x(T) = 1, x(2T) = 5, x(3T) = 19, . . .

14.7.3 Método computacional

Considerar un sistema G(z) definido mediante:

0.4673 z 1  0.3393 z 2 G( z)  1  1.5327 z 1  0.6607 z  2 (14.10) para encontrar la transformada z inversa, se utiliza la función delta de Kronecker o(kT). Mediante la entrada delta de Kronecker, la Ec. (14.10) se puede rescribir como

G( z ) 

Y ( z) 0.4673z 1  0.3393 z 2  X ( z ) 1  1.5327 z 1  0.6607 z  2 

0.4673 z  0.3393 z  1.5327 z  0.6607 2

(14.11) Se puede utilizar MATLAB para encontrar la transformada z inversa. A partir de la Ec. (14.20), la entrada X(z) es la transformada z de la entrada delta de Kronecker. Puesto que la transformada z de la entrada delta de Kronecker X(z) es igual a la unidad, la respuesta del sistema a esta entrada es

Y ( z)  G( z) 

0.4673 z 1  0.3393 z 2 1  1.5327 z 1  0.6607 z  2

Introduzca el numerador y denominador de la siguiente forma: >> num =[0 0.4673 -0.3393]; >> den =[1 -1.5327 0.6607]; Introduzca la entrada delta de Kronecker. >> x =[1 zeros(1,40)];

Luego introduzca el comando >> y =filter(num,den,x) para obtener la respuesta y(k) desde k = 0 hasta k = 40.

En la pantalla se mostrará la salida y(k) desde k =0 a 40 como sigue:

y=

Columns 1 through 7 0 0.4673 0.3769 0.2690 0.1632 0.0725 0.0032

Columns 8 through 14 -0.0429 -0.0679 -0.0758 -0.0712 -0.0591 -0.0436 -0.0277

Columns 15 through 21 -0.0137 -0.0027 0.0050 0.0094 0.0111 0.0108 0.0092

Columns 22 through 28 0.0070 0.0046 0.0025 0.0007 -0.0005 -0.0013 -0.0016

Columns 29 through 35 -0.0016 -0.0014 -0.0011 -0.0008 -0.0004 -0.0002 0.0000

Columns 36 through 41 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0001

Nótese que los cálculos en MATLAB empiezan en la columna 1 y finalizan en la columna 41, y no van desde la columna 0 a la 40. Estos valores son la transformada inversa z de G(z). Es decir y(1) = 0.4673 y(2) = 0.3769 y(3) = 0.2690 . . y(40) = 0.0001 Para representar los valores de la transformada inversa z de G(z), se procede como sigue. Puesto que hemos elegido 0  k  N = 40. y el rango de la respuesta y(k) se estima que se encuentre entre –1 y 1 (si esta estimación no es satisfactoria, cambie el rango después de una prueba), introduzca los rangos para el eje x (0  x  40) y el eje y (-1  y  1) de la siguiente manera: >> v = [0 40 –1 1] >> axis(v) o combine las dos líneas de programa en una sola: >> axis([0 40 -1 1]) Ahora añada un punto y coma al final de la línea >> y = filter(num,den,x); e introduzca >> plot(y,'o') Representará la respuesta y(k) frente a k + 1. Nótese que la gráfica en MATLAB comienza en k = 1 y acaba en k = N + 1.

Fig. 14.2 Transformada inversa de la Ec. (14.10) Para obtener la respuesta y(k) frente a K + 1, junto con la rejilla, el título de la gráfica, la etiqueta del eje x y la etiqueta del eje y, ejecute el programa MATLAB 14-1. El resultado se muestra en la Fig 14.3. Si se desea representar la respuesta y(k) frente a k + 1 utilizando un trazo continuo, sustituya la orden >> plot(y,'o') por >> plot(y,'-') Los vectores en MATLAB van desde 1 a N + 1 en lugar de 0 a N. Si se desea representar la respuesta y(k) frente a k, en lugar de representar y(k) frente a K + 1, necesitamos añadir la siguiente declaración >> k = 0;40; y cambiar la orden plot como sigue: >> plot(k,y,'o')

num=[0 0.4673 –0.3393];

Programa en MATLAB 14.1

den=[1 –1.5327 0.6607]; x=[1 zeros(1,40)]; v=[0 40 –1 1]; axis(v);

Respuesta a una entrada delta de Kronecker

0.6 0.5

y(k)

0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1

0

5

10

15

20

k+1

25

30

35

40

45

Fig. 14.3 Salida del programa 14.1

CAPITULO 15 SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO (CONTROL DIGITAL)

El método de la transformada z es particularmente útil para analizar y diseñar sistemas de control en tiempo discreto, lineales e invariantes en el tiempo, de una entrada y una salida. La principal ventaja del método de la transformada z es que ésta habilita al ingeniero para aplicar los métodos de diseño convencionales de sistemas en tiempo continuo a sistemas en tiempo discreto que pueden ser en parte en tiempo discreto y en parte en tiempo continuo.

La Fig 15.1 muestra el sistema continuo típico de retroalimentación que hemos estado considerando en lo que va de este texto. La mayor parte de los controladores continuos pueden ser construidos usando dispositivos electrónicos analógicos.

Fig. 15.1 Sistema re retroalimentación continuo El controlador continuo, encerrado en el cuadrado con líneas discontinuas, puede ser reemplazado por un controlador digital, mostrado en la Fig 15.2, este realiza la misma tarea de control como el controlador continuo. La diferencia básica entre estos controladores es que el sistema digital funciona con las señales discretas (o muestras de la señal sensada) en lugar de las señales continuas.

Fig. 15.2 Sistema re retroalimentación digital Diferentes tipos de señales en el esquema anterior pueden ser representadas por las siguientes gráficas.

Fig. 15.3 Representación de señales digitales El propósito de este capítulo es mostrar como se trabaja con funciones discretas ya sea en con la función de transferencia o la forma de espacio de estado para diseñar sistemas de control digital.

15.1 MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS Y RETENCIÓN DE DATOS

Los sistemas de control en tiempo discreto pueden operar en parte en tiempo discreto y en parte en tiempo continuo. De esta manera, en dichos sistemas de control algunas señales aparecen como funciones en tiempo discreto (a menudo en la forma de una secuencia de números o un código numérico) y otras señales como funciones en tiempo continuo. Al analizar sistemas de control en tiempo discreto, la teoría de la transformada z juega un papel importante. Para demostrar por qué el método de la transformada z es útil en el análisis de sistemas de control en tiempo discreto, primero se presenta el concepto de muestreo mediante impulsos y luego se estudia la retención de datos.

15.1.1 Muestreo mediante impulsos

Si la señal de tiempo continuo x(t) se muestrea mediante impulsos en forma periódica, la señal muestreada se puede representar de manera matemática mediante 

x * (t )   x(t ) (t  kT ) k 0

(15.1) En el muestreador mediante impulsos se puede pensar que interruptor se cierra instantáneamente cada periodo de muestreo T y genera impulsos x(kT)(t – kT). Dicho proceso de muestreo se conoce como muestreo mediante impulsos. El muestreador mediante impulsos se presenta por conveniencia matemática; éste es un muestreador ficticio que no existe en el mundo real. La transformada de Laplace de la señal muestreada mediante impulsos x*(t) ha mostrado ser la misma que la transformada z de la señal x(t) si eTs se define como z, o eTs

=

z (15.2)

Fig. 15.4 Muestreador mediante impulsos

15.1.2 Retenedor de orden cero En un muestreador convencional, un interruptor se cierra cada periodo de muestreo T para admitir una señal de entrada. En la práctica, la duración del muestreo es muy corta en comparación con la constante de tiempo más significativa de la planta. Un muestreador convierte una señal en tiempo continuo en un tren de pulsos que se presenta en los instantes de muestreo t = 0, T, 2T, . . ., donde T es el periodo de muestreo. (Observe que entre dos instantes de muestreo consecutivos el muestreados no transfiere información. Dos señales cuyos respectivos valores en los instantes de muestreo son iguales darán como resultado la misma señal muestreada.) La retención de datos es un proceso de generación de una señal en tiempo continuo h(t) a partir de una secuencia en tiempo discreto x(kT). El retenedor de datos más sencillo es el retenedor de orden cero. En la Fig. 15.2 se observa un muestreador y retenedor de orden cero. La señal de entrada x(t) se muestrea en instantes discretos y la señal muestreada se pasa a través del retenedor de orden cero. El circuito retenedor de orden cero suaviza la señal muestreada para producir la señal h(t), la cual es constante desde el último valor muestreado hasta que se puede disponer de la siguiente muestra. La función de transferencia Gh del retenedor de orden cero está dada por

Gh  (15.3)

1  e Ts s

Fig. 15.5 Muestreador y retenedor de orden cero

En este libro, a menos que se indique otra cosa, se supone que el circuito de retención es de orden cero.

15.1.3 Equivalencia del retenedor de orden cero En el esquema del sistema digital de control dado en la Fig. 15.2, vemos que el sistema digital de control contiene ambos partes discretas y. Al diseñar un sistema digital de control, necesitamos encontrar el equivalente discreto de la parte continua a fin de que sólo necesitamos ocuparnos de funciones discretas. Para esta técnica, consideraremos la siguiente parte del sistema digital de control y reacomodaremos como sigue.

Fig. 15.6 Reacomodo de la parte continua El reloj conectado a los convertidores D/A y A/D suministra un pulso cada T segundos y cada D/A y A/D envía una señal sólo cuando el pulso llega. El propósito de tener este pulso es requerir a ese Hzoh (z) tiene sólo datos u(k) para trabajar y produzca sólo datoss de salida y(k); Así, Hzoh (z) puede ser realizado como una función discreta. La filosofía del diseño es la siguiente. Queremos encontrar una función discreta Hzoh (z) tal que para una entrada constante al sistema continuo H(s), la salida probada del sistema continuo corresponde a la salida discreta. Supongamos que la señal u(k) representa una porción de la señal de entrada. Hay técnicas para tomar esta muestra u(k) y hacerla producir una señal continua uhat(t). El boceto debajo muestra que la uhat(t) es mantenida constante en u(k) sobre el intervalo kT a (k + 1) T. Esta operación de mantener constante uhat(t) sobre el tiempo de muestreo es llamado retenedor de orden cero.

Fig. 15.7 Funcionamiento de un retenedor de orden cero El retenedor de orden cero aplica la señal uhat(t) que va a través de H2(s) y A/D para producir la salida y(k) que será la misma señal como si la señal continua u(t) pase a través de H(s) para producir la salida continua y(t).

Fig. 15.8 Señales digitales y continuas Ahora volveremos a dibujar el esquemática, considerando Hzoh (z) en lugar de la porción continua.

Fig. 15.9 Diagrama de bloques con un retenedor de orden cero Colocando a Hzoh (z), podemos diseñar sistemas digitales de control ocupándose sólo funciones discretas. Nota: Hay ciertos casos donde la respuesta discreta no hace juego con la respuesta continua debido a un circuito de agarre implementado en los sistemas digitales de control. Para información, ver el Efecto de Histéresis asociado con la retención.

15.2 CONVERSIÓN USANDO c2dm Existe una función en Matlab llamada c2dm que convierte un sistema continuo dado (ya sea como función de transferencia o espacio de estado) a sistema discreto usando el retenedor de orden cero. Los comandos básicos para esta c2dm es uno de los siguientes. [numDz,denDz] = c2dm (num,den,Ts,'zoh') [F,G,H,J] = c2dm (A,B,C,D,Ts,'zoh')

El tiempo de muestreo (Ts en seg/muestra) debería ser más pequeño que 1/(30*BW), donde BW es la frecuencia del ancho de banda (bandwidth frequency) del sistema de lazo cerrado.

15.2.1 Función de transferencia Supongamos que se tiene la siguiente función de transferencia continua:

   

M = 1 kg b = 10 N.s/m k = 20 N/m F(s) = 1

Asumiendo que la frecuencia de ancho de banda (bandwidth frequency) de lazo cerrado es mas grande que 1 rad/seg, escogeremos el tiempo de muestra (Ts) igual a 1/100 seg. Ahora, crear u nuevo m-file e introducir los siguientes comandos. M=1; b=10; k=20; num=[1]; den=[M b k]; Ts=1/100; [numDz,denDz]=c2dm(num,den,Ts,'zoh')

Corriendo este m-file en la ventana de comandos deberá darnos las siguientes matrices numDz y denDz. numDz = 1.0e-04 * 0

0.4837

0.4678

denDz = 1.0000 -1.9029

0.9048

A partir de estas matrices, la función de transferencia discreta puede ser escrita como

15.2.2 Espacio de Estado Supongamos que tenemos el siguiente modelo continuo en la forma de espacio de estado

Todas las constantes son las mismas de antes El siguiente m-file convierte el modelo continuo de espacio de estado anterior a un modelo de espacio de estado discreto. M=1; b=10; k=20; A=[0 1; -k/M -b/M]; B=[ 0; 1/M]; C=[1 0]; D=[0]; Ts=1/100; [F,G,H,J] =

c2dm (A,B,C,D,Ts,'zoh') Crear un nuevo m-file y copiar los comandos anteriores. Corriendo este m-file en la ventana de comandos Matlab deberá dar las siguientes matrices. F= 0.9990 -0.1903 G= 0.0000 0.0095 H= 1

0

0.0095 0.9039

J= 0

A partir de estas matrices, el espacio de estado discreto puede ser escrito como

Ahora tenemos el modelo de espacio de estado discreto.

15.3

FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE PULSOS

La función de transferencia para un sistema continuo relaciona las transformadas de Laplace de la salida en tiempo continuo con la correspondiente de la entrada en tiempo continuo, mientras que la función de transferencia pulso relaciona las transformadas z de la salida en los instantes de muestreo con la correspondiente entrada muestreada. La función de transferencia pulso G(z) del sistema que se muestra en la Fig. 15.10a) es

Y ( z)  G ( z )  Z  G ( s ) X ( z) (15.4)

Fig. 15.10 a) Sistema en tiempo continuo G(s) con un muestreador mediante impulsos en la entrada; b) sistema en tiempo continuo

Después considere el sistema que se muestra en la Fig. 15.10b). La función de transferencia G(s) está dada por

Y (s)  G ( s) X (s) (15.5) Es importante recordar que la función de transferencia pulso para este sistema no es Z[G(s)], debido a la ausencia del muestreador mediante impulsos. La presencia o ausencia del muestreador mediante impulsos es crucial en la determinación de la función de transferencia pulso del sistema, puesto que, por ejemplo, para el sistema que se muestra en la Fig. 15.10a), la transformada de Laplace de la salida y(t) es Y(t) = G(s).X*(s) Por lo tanto, al tomar la transformada de Laplace asterisco de Y(s), se tiene

Y*(s) =G*(s).X*(s) o en términos de la transformada z, Y(z) = G(z).X(z) mientras que, para el sistema que se muestra en la Fig. 15.10b), la transformada de Laplace de la salida y(t) es

Y(s) = G(s).X(s) Lo cual da como resultado Y*(s) =[G*(s).X*(s)]*=[GX(s)]* o, en términos de la transformada z, Y(z) = Z[Y(s)]=Z[G(s).X(s)]=Z[GX(s)]=GX(z)  G(z)X(z) (15.6) Al estudiar la función de transferencia pulso, se supone que existe un muestreador a la entrada del elemento en consideración. La presencia o

ausencia del muestreados a la salida del elemento (o el sistema) no afecta la función de transferencia pulso, debido a que, si el muestreador no está físicamente presente en el lado de la salida del sistema, es siempre posible suponer que el muestreador ficticio esté presente en la salida. Esto significa que, aunque la señal de salida es continua, se puede considerar valores de la salida sólo en t = kT(k = 0, 1, 2, . . .) y así se obtiene la secuencia y(kT). Observe que sólo para el caso donde la entrada al sistema G(s) es una señal muestreada mediante impulsos, la función de transferencia pulso está dada por G(z) = Z[G(s)] (15.7)

15.3.1

Obtener G(z) a partir de G(s) usando MATLAB

El uso de MATLAB para obtener la función de transferencia pulso a partir de la función de transferencia se usa la orden: >> sysd = c2d(sysc,Ts) donde: sysd = sistema discreto; sysc = sistema continuo; Ts = periodo de muestreo

Ejemplo 15.1 Obtenga la función de transferencia pulso G(z) del sistema que se muestra en la Fig. 15.10a), donde G(s) está dada por

G(s) 

s2 s  3s  2 2

(15.8) Suponiendo que el periodo de muestreo Ts es de 0.1 seg., se tiene: >> num =[1 2]; >> den =[1 3 2]; >> sysc=tf(num,den) %Función de transferencia continua

Transfer function: s+2 ------------s^2 + 3 s + 2

>> sysd = c2d(sysc,0.1) %Función de transferencia discreta

Transfer function: 0.09516 z - 0.07791 ---------------------z^2 - 1.724 z + 0.7408

Sampling time: 0.1 >>

15.3.2

Función de transferencia de pulsos de elementos en cascada

Considere el sistema que se muestra en las Figs. 15.11a) y b). Aquí se supone que los muestreadores están sincronizados y que tienen el mismo periodo de muestreo. Se mostrará que la función de transferencia pulso del sistema que se muestra en la Fig. 15.11a) es G(z)H(z), mientras que la del sistema que se muestra en la Fig. 15.11b) es Z[G(s)H(s)] = Z[GH(s)] = GH(z), que es diferente de G(z)H(z).

Considere el sistema que se muestra en las Fig. 15.11a). A partir del diagrama se obtiene U(s) = G(s)X*(s) Y(s) = H(s)U*(s) Por tanto, al tomar la transformada de Laplace asterisco de cada una de estas dos ecuaciones se obtiene como resultado

U*(s) = G*(s)X*(s) Y*(s) = H*(s)U*(s) En consecuencia, Y*(s) = H*(s)U*(s) = H*(s)G*(s)X*(s) o

Y*(s) = G*(s)H*(s)X*(s) En términos de la notación de la transformada z, Y(z) = G(z)H(z)X(z) La función de transferencia pulso entre la salida y*(t) y la entrada x*(t) está por tanto dada mediante

Y ( z)  G( z) H ( z) X ( z) (15.9)

Fig. 15.11 a) sistema muestreado con un muestreador entre los elementos en cascada G(s) y H(s); b) sistema muestreado sin muestreador entre los elementos en cascada G(s) y H(s).

Después considere el sistema que se muestra en la Fig. 15.11b). A partir del diagrama se encuentra que

Y(s) = G(s)H(s)X*(s) = GH(s)X*(s) donde GH(s) = G(s)H(s) Al tomar la transformada de Laplace asterisco de Y(s), se tiene Y*(s) = [GH(s)]*X*(s) En términos de la transformada z,

Y(z) = GH(z)X(z) Y la función de transferencia pulso entre la salida y*(t) y la entrada x*(t) es

Y ( z)  GH ( z )  Z  GH ( s ) X ( z) Observe que G(z)H(z)  GH(z) = Z[GH(s)] (15.10) Por tanto, las funciones de transferencia pulso de los sistemas que se muestran en las Figs. 15.11a) y b) son diferentes.

15.3.3

Función de transferencia de pulsos en lazo cerrado

En un sistema en lazo cerrado la existencia o no de un muestreador de salida en el lazo hace que el comportamiento del sistema sea diferente. (Si existe un muestreador fuera del lazo, no habrá ninguna diferencia en la operación de lazo cerrado.) Considere el sistema de control en lazo cerrado que se muestra en la Fig. 15.12. En este sistema, el error actuante está muestreado. A partir del diagrama de bloques, E(s) = R(s) – H(s)C(s) C(s) = G(s)E*(s)

Fig. 15.12 Sistema de control en lazo cerrado Por tanto, E(s) = R(s) – H(s)G(s)E*(s) Entonces, al tomar la transformada de Laplace asterisco, se obtiene E*(s) = R*(s) – GH*(s)E*(s) o

E * ( s) 

R * ( s) 1  GH ( s )

Puesto que

C*(s) = G*(s)E*(s) Se obtiene

C * ( s) 

G * ( s) R * ( s) 1  GH * ( s)

En términos de la notación de la transformada z, la salida puede darse mediante

C ( z) 

G ( z ) R( z ) 1  GH ( z )

(15.11) La transformada z inversa de esta última ecuación da los valores de la salida en los instantes de muestreo. [Observe que la salida real c(t) del sistema es una señal en tiempo continuo. La transformada z inversa de C(z) no dará la señal de salida en tiempo continuo c(t).] La función de transferencia pulso para este sistema en lazo cerrado es

C ( z) G( z)  R( z ) 1  GH ( z ) (15.12) En la Tabla 15.1 se muestra cinco configuraciones típicas para sistemas de control en tiempo discreto en lazo cerrado. Aquí, los muestreadores están sincronizados y tienen el mismo periodo de muestreo. Para cada configuración, se muestra la salida correspondiente C(z). Nótese que algunos sistemas de control en tiempo discreto en lazo cerrado no se pueden representar mediante C(z)/R(z) (esto es, no tienen función de transferencia pulso) debido a que la señal de entrada R(s) no se puede separar de la dinámica del sistema. Aunque la función de transferencia pulso no pueda existir para ciertas configuraciones de sistemas, se pueden aplicar las mismas técnicas que se estudian en este texto.

15.3.4 Función de transferencia de un controlador digital

La función de transferencia pulso de un controlador digital se puede obtener a partir de las características entrada-salida requeridas del controlador digital. Suponga que la entrada al controlador digital es e(k) y la salida m(k). En general, la salida m(k) puede estar dada mediante el siguiente tipo de ecuación en diferencias: m(k) + a1m(k – 1) + a2m(k – 2) + . . . +anm(k – n) = n)

boe(k)

+

b1e(k

– 1) (15.13)

+

.

.

.

+

bn

e(k

–

La transformada z de la Ec. (15.10) da como resultado M(z) + a1z– 1 M(z) + a2z– 2 M(z) + . . . + anz– n M(z) = boE(z) + b1z– 1 E(z) + . . . + bn z– n E(z) o (1 + a1z–1 + a2z–2 + . . . +anz–

n

)M(z) = (bo + b1z–

1

+ . . . + bn z –

n

)

E(z) La función de transferencia pulso GD(z) del controlador digital puede entonces estar dada mediante

M ( z ) b0  b1 z 1    bn z  n GD ( z)   E ( z ) 1  a1 z 1    a n z  n (15.14) El uso de la función de transferencia pulso GD(z) en la forma de la Ec. (15.14) habilita al lector para analizar los sistemas de control digital en el plano z.

Tabla 15.1 Cinco configuraciones típicas de sistemas de control en tiempo discreto en lazo cerrado

C ( z) 

C( z) 

C ( z) 

G ( z ) R( z ) 1  GH ( z )

G ( z ) R( z ) 1  G( z) H ( z)

G1 ( z )G 2 ( z ) R ( z ) 1  G1 ( z )G 2 ( z ) H ( z )

C ( z) 

G 2 ( z )G1 R ( z ) 1  G1G 2 H ( z )

C( z) 

GR( z ) 1  GH ( z )

15.3.5 Función de transferencia pulso en lazo cerrado de un sistema de control digital En la Fig. 15.13 a) se muestra un diagrama de bloques de un sistema de control digital. Aquí el muestreador, el convertidor A/D, el controlador digital, el retenedor de orden cero y el convertidor D/A producen una señal de control u(t) en tiempo continuo (constante por pedazos) para ser alimentada la planta. En la Fig. 15.13 b) se muestran las funciones de transferencia de los bloques involucrados en el sistema. La función de transferencia del controlador digital se muestra como G*D(s). En el sistema real la computadora (controlador digital) resuelve una ecuación en diferencias cuya relación entrada-salida está dada mediante la función de transferencia pulso GD(z).

Fig. 15.13 a) Diagrama de bloques de un sistema de control digital; b) diagrama de bloques equivalente que muestra las funciones de transferencia de los bloques

En el presente sistema la señal de salida c(t) se alimenta de regreso para ser comparada con la señal de entrada r(t). La señal de error e(t) = r(t) – c(t) se muestrea, y la señal analógica se convierte en digital a través de un dispositivo A/D. La señal digital e(kT) se alimenta al controlador digital, el cual opera sobre la secuencia muestreada e(kT) de una manera adecuada para producir la señal m(kT). Esta relación conveniente entre las secuencias m(kT) y e(kT) se especifica mediante la función de transferencia pulso GD(z) del controlador digital. [Mediante la selección adecuada de los polos y ceros de GD(z), se puede generar un buen número de características de entrada-salida.] Refiriéndose a la Fig. 15.13b), se define

A partir de la Fig. 15.13b), nótese que

En términos de la notación de la transformada z, C(z) = G(z)GD(z)E(z) Puesto que E(z) = R(z) – C(z) Se tiene C(z) = GD(z)G(z)[R(z) – C(z)] Y, por tanto,

G D ( z )G ( z ) C ( z)  R ( z ) 1  G D ( z )G ( z ) (15.15) La Ec. (15.15) da la función de transferencia pulso en lazo cerrado del sistema de control digital que se muestra en la Fig. 15.13b). El desempeño de dicho sistema en lazo cerrado se puede mejorar mediante la apropiada elección de GD(z), la función de transferencia pulso del controlador digital.

15.3.6 Función de transferencia pulso de un controlador PID digital

El esquema de control PID analógico ha sido usado de manera exitosa en muchos sistemas de control industrial por más de medio siglo. El principio básico del esquema de control PID es que actúa sobre la variable a ser manipulada a través de una apropiada combinación de las tres acciones de control: acción de control proporcional (donde la acción de control es proporcional a la señal de error actuante, la cual es la diferencia entre la entrada y la señal de realimentación); la acción de control integral (donde la acción de control es proporcional a la integral de la señal de error actuante) y la acción de control derivativa (donde la acción de control es proporcional a la derivada de la señal de error actuante).

En situaciones donde muchas plantas se controlan directamente mediante una sola computadora digital (como un esquema de control en el que se controlan desde unos cuantos lazos hasta cientos de éstos mediante un solo controlador digital), la mayoría de los lazos de control se pueden manipular mediante esquemas de control PID. La acción de control PID en controladores analógicos está dada por

 1 m(t )  K  e(t )  Ti 

t

 e(t )dt  T 0

d

de(t )   dt 

(15.16)

donde e(t) es la entrada al controlador (señal de error actuante), m(t) es la salida del controlador (señal manipulada), K es la ganancia proporcional, Ti es el tiempo integral (o tiempo de reajuste) y Td es el tiempo derivativo (o tiempo de adelanto). La función de transferencia pulso para el controlador PID digital está dada por: GD ( z) 

K1 M ( z)  KP   K D (1  z 1 ) 1 E( z) 1 z

(15.17) donde

Nótese que la ganancia proporcional Kp para el controlador PID digital es más pequeña que la ganancia K para el controlador PID analógico por un factor de KI /2.

La función de transferencia pulso del controlador PID digital dada por la Ec. (15.17) se conoce comúnmente como forma posicional del esquema de control PID. La otra forma por lo regular utilizada en el esquema de control PID digital es el esquema conocido como forma de velocidad. M ( z)   K P C ( z)  K I

R( z )  C ( z )  K D (1  z 1 )C ( z ) 1 1 z

(15.18) En este caso la respuesta del controlador en los términos proporcional y derivativo depende solamente de la salida C(z), y sólo el término integral incluye la entrada R(z). Una ventaja del esquema de control PID en la forma de velocidad es que no es necesaria la inicialización cuando se conmuta de operación manual a automática. De este modo, si existen cambios súbitos grandes en el punto de ajuste o en el inicio de la puesta en operación del proceso, el esquema de control PID en la forma de velocidad presenta mejores características de respuesta que aquel en la forma posicional. Otra ventaja del esquema de control PID en la forma de velocidad es que es útil en la supresión de correcciones excesivas en sistemas de control de procesos.

Fig. 15.14 Diagrama de bloques de la realización del esquema de control PID en la forma de velocidad. Las leyes de control lineales en la forma de acciones de control PID, tanto en la forma posicional como en la de velocidad, son básicas en controles digitales debido a que con frecuencia dan soluciones satisfactorias a muchos problemas prácticos de control, en particular a problemas en control de

procesos. Observe que, en los controladores digitales, las leyes de control se pueden implementar mediante software, y por lo tanto las restricciones de hardware de los controladores PID se pueden ignorar por completo.

15.4

RESPUESTAS TRANSITORIAS

Para graficar una respuesta escalón de un sistema discreto, usamos dosfunciones Matlab separadas, dstep y stairs. La dstep se usada para obtener N numero de puntos de salida de la muestra, donde N es dado por el usuario. La stairs traza una gráfica de escalón mediante líneas, del tiempo [t] y la amplitud [x].

15.4.1 Función de transferencia Primero, veremos como usar estas dos funciones para obtener una respuesta de escalón de una función de transferencia discreta dada. Supongamos que se tiene la siguiente función de transferencia

Usaremos dstep para obtener un vector de puntos de muestra. Crear un m-file e ingresar los siguientes comandos. numDz=[0.05 0.05]; denDz=[1 -1.6 0.7]; IU=1;

%This is the input value

N=101; [x] = dstep (IU*numDz,denDz, N)

Corriendo este m-file en la ventana de comandos da 101 puntos de muestra. Notar que la función dstep no considera el vector tiempo [t];en su lugar, considera el número de puntos de muestra (N). Por lo tanto, si se toma el argumento del lado izquierdo [x] a partir del comando dstep(numDz,denDz, se consigue la respuesta de escalón del sistema como

una función de la muestra (k), no como una función del tiempo (Probar esto). Para obtener una respuesta como función del tiempo, primero, necesitamos considerar la relación entre el número de muestras y el tiempo de muestreo (Ts). Digamos que nuestro sistema de control digital tiene el tiempo de muestreo de t seg/muestra. Usando este sistema de control digital, Toma t*(N-1) segundos para obtener N muestras. Por ejemplo, si fueron tomadas alrededor de 101 muestras con el sistema que tiene un tiempo de muestreo de 0.05 seg/muestra, el periodo total de muestreo es igual a 5 segundos. Si se grafíca esto, se verá la siguiente gráfica.

Fig. 16.14 Puntos de muestreo La función stairs conects estos puntos de muestreo en una vía que representa la salida y(k) precedida por retención de orden cero. Usar stairs para conectar estos puntos de muestra. Adicionando los siguientes comandos se tiene la respuesta escalón unitario para una función de transferencia discreta. t=0:0.05:5; stairs (t,x)

Fig. 16.15 Respuesta escalón de un sistema discreto

15.4.2 Espacio de estado Para obtener la respuesta escalón a partir de un modelo de espacio de estado, se sigue el mismo procedimiento que para función de transferencia. La única diferencia es que ahora tratamos con las matrices F, G, H, y J en lugar de las matrices num y den. Supongamos que tenemos el siguiente modelo de espacio de estado

Nota: Este espacio de estado representa el mismo sistema dado anteriormente como función de transferencian

Los siguientes comandos grafican una respuesta escalos en forma discreta para este modelo.

F = [1.6 -0.7 1 0]; G = [1 0]; H = [0.05 0.05]; J = [0]; N=101; IU=1; %Input value [x] = dstep (F,G,H,J,IU,N) t=0:0.05:5; stairs (t,x)

Se debe obtener la misma gráfica anterior

Ejemplo 15.2 Considere el sistema de control con el controlador PID digital que se muestra en la Fig. 15.15 a). (El controlador PID está en la forma posicional.) Se supone que la función de transferencia de la planta es

Fig. 15.15 a) Diagrama de bloques de un sistema de control

G P ( s) 

1 s( s  1)

(15.19) y el periodo de muestreo T se supone de 1 segundo. Entonces la función de transferencia del retenedor de orden cero se convierte en

G h ( s) 

1  es s (15.20)

Para calcular la función de transferencia producto de las funciones de transferencia del retenedor de orden cero y la planta se tiene:

 1  e Ts 1   s s( s  1)  

G ( z )  Z  G h ( s )G P ( s )  Z  

 1   s ( s  1) 

 (1  z 1 ) Z 

2

1   1 1   2 s s  1  s

 (1  z 1 ) Z 

(15.21)

Usando una tabla de transformadas se puede encontrar la transformada z de cada uno de los términos de la expansión en fracciones parciales. Usando MATLAB, el cual usa por defecto un retenedor de orden cero, procedemos de la siguiente manera: 1.

Ingresamos función de transferencia continua de la planta (proceso): Gp(s)

>> clear all >> numc=[1]; >> denc=[1 1 0]; >> sysc=tf(numc,denc)

Transfer function: 1 ------s^2 + s

>>

2.

Ingresamos el periodo de muestreo >> Ts =1.0;

3.

Transformamos Gp(s) a Gp(z)

>> sysd = c2d(sysc,Ts)

Transfer function: 0.3679 z + 0.2642 ---------------------z^2 - 1.368 z + 0.3679

Sampling time: 1 >>

Multiplicando numerador y denominador por z –2, la Ec. (15.21) se transforma en

 1  e s 1  0.3679 z 1  0.2642 z 2  G ( z )   s s( s  1)  1  1.368 z 1  0.3679 z  2 

z

(15.22) con lo cual, el diagrama de bloques de la Fig. 15.16 quedará:

Fig. 15.16 Diagrama de bloques equivalente a la Fig. 15.15 Con los valores de KP = 1, KI = 0.2, y KD = 0.2. La función de transferencia de pulso del controlador digital está dada por

GD 

1.4  1.4 z 1  0.2 z 2 1  z 1

(15.23)

Entonces la función de transferencia de pulso en lazo cerrado se convierte en G D ( z )G ( z ) C ( z)  R ( z ) 1  G D ( z )G ( z ) (15.24) Usando MATLAB operando como sistemas continuos se tiene: 1.

Función de transferencia del controlador

>> numcon=[1.4 -1.4 0.2]; >> dencon=[1 -1 0]; >> syscon=tf(numcon,dencon)

Transfer function: 1.4 s^2 - 1.4 s + 0.2 --------------------s^2 - s

2.

Función de transferencia del retenedor multiplicado por el proceso

>> num =[0.3679 0.2642]; >> den =[1 -1.368 0.3679]; >> sysd =tf(num,den)

Transfer function: 0.3679 s + 0.2642 ---------------------s^2 - 1.368 s + 0.3679

3.

Combinando en serie y luego encontrando el feedback de los dos sistemas, considerando realimentación unitaria:

>> sysCL=feedback(series(syscon,sysd),1)

Transfer function: 0.5151 s^3 - 0.1452 s^2 - 0.2963 s + 0.05284 -----------------------------------------------s^4 - 1.853 s^3 + 1.591 s^2 - 0.6642 s + 0.05284

4.

Cambiando s por z y multiplicando numerador y denominador por z se tiene la función de transferencia de todo el sistema de lazo cerrado

C ( z) 0.5151z 1  0.1452 z 2  0.2963 z 3  0.0528 z 4  R ( z ) 1  1.8528 z 1  1.5906 z  2  0.6642 z 3  0.0528 z  4 (15.24b)

15.4.3 Respuesta a la entrada delta de Kronecker

Uso de UNTSIM. Seleccionando del Menú principal: Cálculos de Ingeniería Química – Automatización y control – Sistemas discretos – Respuestas transitorias: Copyright 2004 UNT MSc. Luis Moncada

–4

,

All rights reserved

10-Sep-2004 ESTE PROGRAMA CALCULA LA RESPUESTA DE UN SISTEMA DE CONTROL DIGITAL ANTE UNA ENTRADA DEFINIDA Ver Automatizacion y Control Cap. 15 *********************************************************** Coeficientes del numerador de G(z)[ ]:[0 0.5151 -0.1452 - ... 0.2963 0.05284] Coeficientes del denominador de G(z)[ ]:[1 -1.853 1.591 - ... 0.6642 0.05284] Tiempo de muestreo (seg): 1 Tiempo total de muestreo (seg): 40 SELECCIONE EL TIPO DE ENTRADA (PERTURBACION) 1. Entrada delta de Kronecker 2. Entrada Escalon unitario 3. Entrada Rampa unitaria Perturbacion: 1 ----------------------------------------------------------RESPUESTA A UNA ENTRADA DELTA DE KRONECKER

-----------------------------------------------------------

Fig. 15.17 Respuesta del sistema de la Fig. 15.16 a una entrada delta de Kronecker

15.4.4

Respuesta a una entrada escalón unitario

con el mismo procedimiento anterior se tiene y seleccionando la opción 2, se tiene

Fig. 15.18 Respuesta del sistema de la Fig. 15.16 a una entrada escalón

15.4.5

Respuesta a una entrada rampa unitaria

Ahora seleccionando la opción 3, se tiene

Fig. 15.19 Respuesta del sistema de la Fig. 15.16 a una entrada rampa

15.5 ANÁLISIS DE RESPUESTA TRANSITORIA EN ESTADO PERMANENTE La estabilidad absoluta es un requisito básico de todos los sistemas de control. Además, en cualquier sistema de control también se requiere de una buena estabilidad relativa y precisión en estado permanente, ya sea en tiempo continuo o en tiempo discreto. Con frecuencia los sistemas de control en tiempo discreto son analizados mediante entradas “estándar”, como son entradas escalón, entradas rampa o entradas senoidales. Con frecuencia, las características de desempeño de un sistema de control están especificadas en términos de su respuesta transitoria a una entrada escalón unitario. La respuesta transitoria a una entrada escalón unitario depende de las condiciones iniciales. Es común utilizar la condición inicial de que el sistema está en reposo y la salida y todas sus derivadas con respecto al tiempo son cero. La respuesta transitoria de un sistema de control práctico, donde la señal de salida es en tiempo continuo, a menudo muestra oscilaciones amortiguadas antes de llegar al estado permanente. (Esto es

cierto para la mayoría de sistemas de control en tiempo discreto o digitales, porque las plantas a controlarse en la mayor parte de los casos son de tiempo continuo y, por lo tanto, las señales de salida son en tiempo continuo). Igual que en el caso de los sistemas de control en tiempo continuo, la respuesta transitoria de un sistema de control digital puede caracterizarse no sólo por el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural amortiguada, sino también por el tiempo de levantamiento, los sobrepasos máximos, el tiempo de asentamiento y así sucesivamente, en respuesta a una entrada escalón. Las especificaciones son iguales que para tiempo continuo.

15.6 POLOS Y CEROS EN EL PLANO z En aplicaciones de ingeniería del método de la transformada z, la función de transferencia G(z) puede tener la forma:

b0 z m  b1 z m 1    bm G( z)  n z  a1 z n 1    a n

m (15.25)



n

o

G( z ) 

b0 ( z  z1 )( z  z 2 )  ( z  z m ) ( z  p1 )( z  p 2 )  ( z  p n )

donde los pi (i = 1,2,. . .,n) son los polos de G(z) y los zj(j=1,2,. . .,m) son los ceros de G(z).

La ubicación de los polos y ceros de G(z) determinan las características de g(k), la secuencia de los valores o número. Como en el caso del análisis de sistemas de control lineales en tiempo continuo en el plano s, también se utiliza una representación gráfica de las localizacionesde los polos y ceros de G(z) en el plano z. Observe que en ingeniería de control y en procesamiento de señales, G(z) a menudo se expresa como un cociente de polinomios en z –1, como sigue:

b0 z  ( n  m )  b1 z  ( n  m 1)    bm z  n G( z)  1  a1 z 1  a 2 z  2    a n z  n (15.26) donde z -1 se interpreta como el operador retraso unitario.

Al encontrar los polos y ceros de G(z), es conveniente expresar G(z) como un cociente de polinomios en z. Por ejemplo,

z ( z  0.5) z 2  0 .5 z G( z)  2  z  3 z  2 ( z  1)( z  2) Es claro que G(z) tiene polos en z = –1 y z = – 2 y un cero en z = –0.5. Si G(z) se escribe como un cociente de polinomios en z –1, la G(z) precedente se puede escribir como

G( z) 

1  0.5 z 1 1  0.5 z 1  1  3 z 1  2 z  2 (1  z 1 )(1  2 z 1 )

(15.27) Aunque los polos en z = –1 y z = –2 y un cero en z = –0.5 se ven claramente a partir de la expresión, el cero en z = 0 no se muestra de manera explicita, y de esta forma el principiante puede fallar al ver la existencia del cero en z = 0. Por lo tanto, al tratar con los polos y ceros de G(z), es preferible expresar G(z) como un cociente de polinomios z, en lugar de polinomios en z –z.

15.7

LOCALIZACIÓN DE LOS POLOS Y RESPUESTA TRANSITORIA PARA UN SISTEMA DISCRETO

Amortiguamiento Pequeño (zeta = 0.1, Wn = 4pi/5T) Amortiguamiento Mediano (zeta = 0.4, Wn = 11pi/20T) Amortiguamiento Grande (zeta = 0.8, Wn = pi/4T) En esta página, vamos a mostrar más análisis en la localización de los polos y la respuesta correspondiente en el tiempo.

15.7.1

Amortiguamiento pequeño (zeta = 0.795, Wn = 0.755)

Primero consideremos la siguiente función de transferencia discreta.

Las siguientes órdenes le mostrarán los polos de esta función de transferencia. Introduzca las siguientes órdenes en un m-file y ejecutándolo usted debería ver el mapa del polo mostrado debajo. numDz=[1]; denDz=[1 1.2 0.57]; [poles,zeros] = pzmap (numDz,denDz) pzmap (numDz,denDz) axis([-1 1 -1 1])

zgrid

De este mapa del polo, vemos que los polos están localizados en la frecuencia natural de 4pi/5T rad/muestra (T es el tiempo de muestreo en muestras/seg) y la proporción de amortiguación de 0.755. Asumiendo que tenemos un tiempo de muestreo de 1/20 seg/muestra y usando tres ecuaciones dadas abajo

we can determine that this system should have the rise time of 0.03 sec, the settling time of 0.9 sec, and the maximum overshoot of 70% (0.7 more than the steady-state value). Let's confirm this by obtaining the step response. Add the following commands to the above m-file and rerun it. You should see the following step response. [x] = dstep (numDz,denDz,51); t = 0:0.05:2.5; stairs (t,x)

The plot shows all of the rise time, the settling time, and the overshoot as what we expected.

15.7.2 Medium damping (zeta = 0.4, Wn = 11pi/20T) Now consider the next discrete transfer function.

Let's follow the same steps as what we did above. Create an new m-file and enter the following commands. Running this m-file in the command window gives you the following pole map. numDz=[1]; denDz=[1 0 0.25]; [poles,zeros]=pzmap (numDz,denDz) pzmap (numDz,denDz) axis([-1 1 -1 1])

zgrid

From this pole map, we see that poles are located at the natural frequency of 11pi/20T rad/sample and the damping ratio of 0.4. Assuming the sampling time of 1/20 sec as before and by using the above three equations, we can determine that the step response should

have the rise time of 0.05 sec, settling time of 0.3 sec, and the maximum overshoot of 25%. Let's obtain the step response and see if these are correct. Add the following commands to the above m-file and rerun it. You should see the following step response. [x] = dstep (numDz,denDz,51); t = 0:0.05:2.5; stairs (t,x)

Once again, this step response shows all of the rise time, the settling time and the overshoot as what we expected.

15.7.3 Large damping (zeta = 0.8, Wn = pi/4T) For the last example, let's consider the following discrete transfer function

Just as before, enter the following commands to an new m-file and run it in the Matlab command window. You should see the following pole map. numDz=[1]; denDz=[1 -0.98 0.3];

[poles, zeros]=pzmap (numDz,denDz) pzmap (numDz,denDz) axis([-1 1 -1 1])

zgrid

From this plot, we see that the poles are located at the natural frequency of pi/4T rad/sample and the damping ratio of 0.8. Once again assuming the sampling time of 1/20 sec, we can determine that this system should have the rise time of 0.1 sec, the settling time of 0.36 sec and the overshoot of 1%. Let's confirm this by adding the following commands to the above m-file and rerunning it. You should see the following step response. [x] = dstep (numDz,denDz,51); t = 0:0.05:2.5; stairs (t,x)

This time both the rise time and the settling time came out a little slower than what we expected; however, the overshoot still came out as what we expected.

15.8

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS EN LAZO CERRADO EN EL PLANO z

Considere el siguiente sistema con función de transferencia de pulso en lazo cerrado:

C ( z) G( z)  R( z ) 1  GH ( z ) (15.28) La estabilidad del sistema que define la Ec. (15.28), así como la de otros tipos de sistemas de control en tiempo discreto, puede determinarse por las localizaciones de polos en lazo cerrado en el plano z, o por las raíces de la ecuación característica P(z) 0

=

1

+

GH(z) (15.29)

=

como sigue: 1.

Para que el sistema sea estable, los polos en lazo cerrado o las raíces de la ecuación característica deben presentarse en el plano z dentro

del circulo unitario. Cualquier polo en lazo cerrado exterior al círculo unitario hace inestable al sistema. 2.

Si un polo simple se presenta en z 0 1, entonces el sistema convierte en críticamente estable. También el sistema se convierte críticamente estable si un solo par de polos complejos conjugados presentan sobre el círculo unitario en el plano z. Cualquier polo múltiple lazo cerrado sobre el círculo unitario hace al sistema inestable.

se en se en

3.

Los ceros en lazo cerrado noafectan la estabilidad absoluta y por lo tanto pueden quedar localizados en cualquier parte del plano z.

Entonces, un sistema de control en lazo cerrado en tiempo discreto lineal e invariante con el tiempo de una entrada/una salida se vuelve inestable si cualquiera de los polos en lazo cerrado se presenta por fuera del círculo unitario y/o cualquier polo múltiple en lazo cerrado se presenta sobre el círculo unitario del plano z.

Ejemplo 15.3 Para el sistema mostrado en la Fig. 15.9, analizar su estabilidad en el plano z Los polos de lazo cerrado para el sistema se pueden obtener del polinomio característico, que es el denominador de la función de transferencia discreta en lazo cerrado. den = z

4

– 1.8528 z

3

+ 1.5906 z

2

– 0.6642 z + 0.0528

Introduciendo la sentencia >> r = rotos(den) obtenemos los polos en lazo cerrado para el sistema tal como sigue: >> den=[1 -1.8528 1.5906 -0.6642 0.0528]; >> r=roots(den)

r= 0.4763 + 0.6521i

0.4763 - 0.6521i 0.7989 0.1013 >>

Como todos los polos están dentro del circulo unitario: El sistema es estable

15.8.1 Estabilidad y Respuesta transitoria Para los sistemas continuos, sabemos que ciertos comportamientos resultan de posiciones diferentes del polo en el plano-s. Por ejemplo, un sistema es inestable cuando cualquier polo está ubicado a la derecha del eje imaginario. Para los sistemas discretos, podemos analizar el comportamiento de sistema a partir de las diferentes localizaciones del polo en el plano-z. Las características en el plano-z pueden ser relacionadas con aquellas en el plano-s por la expresión

  

T = Tiempo de muestreo (sec/muestra) s = Localización en el plano-s z = Localización en el plano-z

La Fig. 16.8 muestra las líneas del mapeo razón de amortiguación constante (zeta) y la frecuencia natural (Wn) del plano-s para el plano-z usando la expresión dada arriba.

Fig. 15.8 Mapeo de amortiguación constante en el plano-z Si usted pone atención en el plano-z, entonces la demarcación de estabilidad ya no es el eje imaginario, sino es el círculo de la unidad | z | = 1. El sistema es estable cuando todos los polos están ubicados dentro del círculo de la unidad e inestables cuándo cualquier polo está ubicado afuera. Para analizar la respuesta transitoria a partir de la ubicación de los polos en el plano-z, las siguientes tres ecuaciones usadas en diseños continuos de sistema son todavía aplicables.

donde     

zeta = Razón de amortiguamiento (Damping ratio) Wn = Frecuencia natural (rad/seg) Ts = Tiempo de asentamiento (Settling time) Tr = Tiempo de subida (Rise time) Mp = Sobreimpulso máximo (Maximum overshoot)

Importante: La frecuencia natural (Wn) en plano-z tiene la unidad de rad/sample, pero cuándo a usted use las ecuaciones dadas arriba, la Wn debe estar en la unidad de rad/sec.

Supongamos que se tiene la siguiente función de transferencia discreta

Crear un nuevo m-file e ingrese los siguientes comandos. Corriendo este m-file en la ventana de comandos da la siguiente gráfica con las líneas de razón de amortiguamiento constante y frecuencia natural. numDz=[1]; denDz=[1 -0.3 0.5];

pzmap(numDz,denDz) axis([-1 1 -1 1])

zgrid

Fig. 15.9 Líneas de amortiguamiento constante De esta gráfica, podemos ver que los polos están localizados aproximadamente a una frecuencia natural (Wn) de 0.707 rad/seg y usando las tres ecuaciones mostradas anteriormente, podemos determinar que este sistema deberá tener un tiempo de subida de 1.8/0.707 = 2.54 seg ,          From this plot, we see poles are located approximately at the natural frequency of 9pi/20T (rad/sample) and the damping ratio of 0.25. Assuming that we have the sampling time of 1/20 sec (which leads to Wn = 28.2 rad/sec) and using three equations shown above, we can determine that this system should have the rise time of 0.06 sec, the settling time of 0.65 sec and the maximum overshoot of 45% (0.45 more than the steady-state value). Let's obtain the step response and see if these are correct. Add the following commands to the above m-file and

rerun it in the command window. You should get the following step response. [x] = dstep (numDz,denDz,51); t = 0:0.05:2.5; stairs (t,x)

Fig 16.10 Respuesta Escalón As you can see from the plot, all of the rise time, the settling time and the overshoot came out to be what we expected. We proved you here that we can use the locations of poles and the above three equations to analyze the transient response of the system. For more analysis on the pole locations and transient response, see Transient Response.

15.8.2 Lugar de las Raíces Discreta El lugar geométrico de las raíces es el lugar geométrico de proposiciones donde las raíces de la ecuación característica pueden ser encontradas a medida que una simple ganancia sea variada de cero a infinito. La ecuación característica de un sistema con retroalimentación de unidad es

donde G(z) es el compensador implementado en el controlador digital y Hzoh(z) es la función de transferencia de la plante en z. La mecánica de dibujar el lugar geométricos de las raíces es exactamente iguale en el plano-z que en el plano-s. Recordar de la ubicación del lugar de las raíces, donde usamos la función Matlab llamada sgrid para encontrar la región del lugar geométrico de las raíces que dé la ganancia correcta (K). Para el análisis discreto del lugar geométrico de las raíces, usamos la función zgrid que tiene las mismas características como la sgrid. La orden zgrid (zeta, Wn) traza líneas de razón de amortiguamiento constante (zeta) y la frecuencia natural (Wn). Supongamos que tenemos la siguiente función de transferencia discreta

y los requisitos de tener una razón de amortiguamiento mayor que 0.6 y la frecuencia natural mayor que 0.4 rad/muestra (estos pueden ser encontrados de los requisitos del diseño, el tiempo de muestreo (sec/muestra) y tres ecuaciones mostradas en el punto anterior). Los siguientes comandos trazan el lugar geométrico de las raíces con líneas de amortiguación constante proporción y de frecuencia natural constante. numDz=[1 -0.3]; denDz=[1 -1.6 0.7];

rlocus (numDz,denDz) axis ([-1 1 -1 1]) zeta=0.4; Wn=0.3; zgrid (zeta,Wn)

Fig. 15.11 Lugar de las raíces con zeta y Wn De esta gráfica, podemos ver que el sistema es estable porque todos los polos están ubicados dentro del círculo de la unidad. También, vemos dos líneas punteadas de proporción de amortiguamiento constante y frecuencia natural constante. La frecuencia natural es mayor que 0.3 exterior la línea de Wn-constante, y la razón de amortiguamiento es mayor que 0.4 interior la línea de zeta-constante. En este ejemplo, nosotros tenemos la lugar geométrico de las raíces en la región deseada. Por consiguiente, una ganancia (K) seleccionada de uno de los lugares geométricos en la región deseada le debería dar la respuesta que satisface requisitos del diseño. Así, si seleccionamos una ganancia de 0.9

fig. 15.12 Selección del valor de la ganancia y al probar para un escalón unitario con la función dstep se tiene >> >> >> >>

numDz=0.9*[1 -0.3]; denDz=[1 -1.6 0.7]; IU=1; %This is the input value N=101;

>> >> >> >> >> >> >> >> >> >>

[x] = dstep (IU*numDz,denDz, N) plot(x) t=0:0.05:5; stairs (t,x) xlabel('Amplitud') ylabel('Tiempo: seg') title('Respuesta Discreta a Escalon') xlabel('Tiempo: seg') ylabel('Amplitud')

Fig. 15.13 Respuesta escalón con K = 0.9

15.9

ANÁLISIS EN EL ESPACIO DE ESTADO

Para sistemas (lineales o no lineales) de tiempo discreto variantes en el tiempo, la ecuación de estado se puede escribir como: x(k

+

1)

=

f

k]

[x(k), (15.30)

u(k),

y la ecuación de la salida como y(k)

=

g

[x(k), (15.31)

u(k)]

Para sistemas lineales de tiempo discreto variantes en el tiempo, la ecuación de estado y la ecuación de salida se pueden simplificar a x(k+1) = G(k)x(k) + H(k)u(k) (15.32)

y(k) = C(k)x(k) + D(k)u(k) (15.33) donde x(k) = vector n

(vector de estado)

y(k) = vector m

(vector de salida)

u(k) = vector r

(vector de entrada)

G(k) = matriz n x n

(matriz de estado)

H(k) = matriz n x r

(matriz de entrada)

C(k) = matriz m x n

(matriz de salida)

D(k) directa)

=

matriz

m

x

r

(matriz

de

transmisión

La presencia de la variable k en los argumentos de las matrices G(k), H(k), C(k), y D(k) implica que estas matrices varían con el tiempo. Si la variable k no aparece en forma explicita en estas matrices, se supone que son invariables en el tiempo, es decir, constantes. Esto es, si el sistema es invariante en el tiempo, entonces las Ecs. (15.32) y (15.33) se pueden simplificar a x(k+1) = Gx(k) + Hu(k) (15.34) y(k) Du(k)

=

Cx(k)

+ (15.35)

En la Fig. 15.11 se muestra la representación en diagrama de bloques del sistema de control en tiempo discreto definido por las Ecs. (15.34) y (15.35)

Fig. 15.11 Diagrama de bloques del sistema de control en tiempo discreto definido por las Ecs. (15.34) y (15.35)

15.10 EPRESENTACIONES EN ESPACIO DE ESTADO DE SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO 15.10.1 Formas canónicas para ecuaciones en el espacio de estado en tiempo discreto

Existen muchas técnicas para obtener representaciones en el espacio de estado correspondientes a sistemas en tiempo discreto. Considere el sistema en tiempo discreto definido por y(k) + a1y(k – 1) + a2y(k – 2) + . . . + any(k – n) = b0u(k) + b1u(k – 1) + . . . + n)

bbu(k –

(15.36)

donde u(k), es la entrada e y(k) es la salida del sistema en el instante de muestreo k. Observe que algunos de los coeficientes ai (i = 1, 2, . . ., n) y bj (j = 1, 2, . . ., n) pueden ser cero. La Ec. (15.36) se puede escribir en la forma de la función de transferencia pulso como

Y ( z ) b0  b1 z 1    bn z  n  U ( z ) 1  a1 z 1    a n z  n (15.37) o bien

Y ( z ) b0 z n  b1 z n 1    bn  n U (z) z  a1 z n 1    a n (15.38) existen muchas formas de llevar a cabo representaciones en el espacio de estado para el sistema en tiempo discreto descrito por las Ecs. (15.36), (15.37) y (15.38). Por razones de espacio e importancia sólo presentaremos las formas controlable y observable.

15.10.2

Forma canónica controlable

La representación en el espacio de estado del sistema en tiempo discreto obtenida de las Ecs. (15.36), (15.37) y (15.38) se puede expresar en la forma dada por las ecuaciones siguientes:

 x1 (k  1)   0  x ( k  1)   0  2            x n 1 ( k  1)   0  x n (k  1)    a n

1 0

0 1

 0  a n 1

 0  an2

0  0      1    a1   

 x1 (k )   0  x (k )   0  2          u (k )      x n 1 (k )   0  k n (k )   1

(15.39)

y (k )   bn  a n b0 bn 1  a n 1b0 b1  a1b0 

 x1 (k )   x (k )   2      b0 u ( k )    x n 1 (k )  x n (k ) 

(15.40)

Las Ecs. (15.39) y (15.40) son las ecuaciones de estado y salida , respectivamente. La representación en el espacio de estado dada por las Ecs. (15.39) y (15.40) se conoce como la forma controlable.

15.10.3

Forma canónica observable

La representación en el espacio de estado del sistema en tiempo discreto obtenida de las Ecs. (15.36), (15.37) y (15.38) se puede expresar en la forma siguiente:

 x1 (k  1)   0 0  x (k  1)   1 0  2             x n 1 (k  1)  0 0  x n (k  1)   0 0

 0 0  an   0 0  a n 1        1 0  a2   0 1  a1 

 x1 (k )   bn  a n b0   x (k )   a  a b  n 1 0   2   n 1   u (k )          x n 1 (k )   b2  a 2 b0   k n (k )   b1  a1b0 

(15.41)

 x1 (k )   x (k )   2  y (k )   0 0  0 1     b0 u (k )    x n 1 ( k )   x n ( k )  (15.42)

La representación en el espacio de estado dada por las Ecs. (15.41) y (15.42) se conoce como la forma observable.

Ejemplo 15.4 Considere el sistema siguiente

y( z ) z 1  2 U ( z ) z  1.3  0.4 (15.43) Las representaciones en el espacio de estado en las formas canónica controlable y canónica observable, se convierten en: Forma canónica controlable

1   x1 (k  1)   0  x (k  2)    0.4  1.3   2  

 x1 ( k )   0  x (k )   1  2   

u (k )

(15.44)

 x (k )  y (k )  1 1  1   x 2 (k ) (15.45) Forma canónica observable

 x1 (k  1)   0 0.4   x (k  2)   1  1.3   2  

 x1 (k )   1  x (k )   1  2   

u (k )

(15.46)

 x (k )  y (k )   0 1  1   x 2 (k ) (15.47) Usando MATLAB. Obtenemos la forma canónica controlable (Hay varias formas de representaciones equivalentes) >> num =[1 1]; >> den =[1 1.3 0.4]; >> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

A= -1.3000 -0.4000 1.0000

B= 1 0

0

C= 1

1

D= 0

>>

15.11

ESPUESTA TRANSITORIA DE SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO DEFINIDOS EN EL ESPACIO DE ESTADO

En esta sección, presentaremos la respuesta transitoria de sistemas en tiempo discreto definidos en el espacio de estados. Específicamente, determinaremos la respuesta en escalón del sistema.

 x1 (k  1)   0 0.4   x (k  2)   1  1.3   2  

 x1 (k )   1  x (k )   1  2   

u (k ) (15.48)

 x (k )  y (k )  1.16 1  1   x 2 (k ) (15.49) [La entrada u(k) puede ser una entrara en escalón, en rampa, una delta de Kronecker, etc.] Para este sistema

Supongamos que el sistema está inicialmente en reposo y que u(k) es una secuencia de escalón unitario En primer lugar daremos una solución analítica a este problema. La función de transferencia discreta Y(z)/U(z) de este sistema se obtiene mediante el uso de la siguiente ecuación

Para una secuencia de entrada que sea un escalón unitario, tenemos

Obsérvese que el valor final y() se puede obtener mediante el teorema del valor final como sigue

Por tanto y(k) se puede expresar como y(0) = 0 y(1) = 1 y(2) = 1,16 y(3) = 0,84 y(4) = 1,1344 . . y() = 1,0000 A continuación, determinaremos x2(k), teniendo en cuenta tenemos

la Ec. (15.48),

x1(k + 1) = x2 (k) x2(k + 1) = – 0,16x1 (k) – x2(k) + u(k) Por tanto obtenemos x2(k + 2) + x2(k + 1) + 0,16x2 (k) = u(k + 1) Tomando la transformada z de esta ecuación, teniendo en cuenta que x2(0) =0, x2(1) = 1 y u(0) = 1, encontramos: z2X2(z) – z + zX2(z) + 0,16X2(z) = zU(z) – z o

El valor final de x2(k) es

Por tanto x2(0) = 0 x2(1) = 1 x2(1) = 0 x2(3) = 0,84 x2(4) = 0,16 x2(5) = 0,7056 . . x2() = 0,4630 Para determinar x1(k) conviene observar que x1(0) = 0 y x1(k + 1) = x2(k). Por tanto x2(0) = 0

x2(1) = x2(0) = 1 x2(1) = x2(1) = 0 x2(3) = x2(2) = 0,84 x2(4) = x2(3) = 0,16 x2(5) = x2(4) = 0,7056 . . x2() = x2() = 0,4630

Solución con MATLAB Para calcular la salida y(k) con MATLAB, en primer lugar convertimos las ecuaciones expresadas en el espacio de estados (15.48) y (15.49) en la función de transferencia discreta Y(z)/U(z) mediante el uso de la siguiente orden >> [num,den] = ss2tf(G,H,C,D) a continuación utilizamos la orden filter >> y = filter(num,den,u) donde u es la secuencia de salto unitario. Para obtener la respuesta x1(k), utilice la siguiente ecuación de salida ficticia:

donde F = [1 0]

Después convierta las ecuaciones en el espacio de estados y en la función de transferencia discreta X1(z)/U(z) con la orden >> [num,den] = ss2tf(G,H,F,D) y finalmente utilice otra vez la orden filter. >> x1 = filter(num1,den1,u) Análogamente, para obtener la respuesta x2(k), considere otra ecuación de salida ficticia:

donde J = [0 1] Convierta las ecuaciones en el espacio de estado en la función de transferencia discreta X2(z)/U(z) con la orden >> [num2,den2] = ss2tf(G,H,J,D) y utilice la orden filter >> x2 = filter(num2,den2,u) Con el programa 15.1 en MATLAB se obtienen las respuestas de y(k), x1(k) y x2(k) respecto de k. Las Figuras 15.12, 15.13 y 15.114 muestran respectivamente estas funciones.

Programa en MATLAB 15.1

>> %-----Respuesta a un escalón de sistemas en tiempo discreto >> %definidos en el espacio de estados-----

>> >> %*****Introduzca las matrices G, H, C, F, J, D***** >> G=[0 1;-0.16 -1]; H=[0;1]; >> C=[1.16 1]; F=[1 0]; >> J=[0 1]; D=[0]; >> >> %****Para obtener y(k) convertir las ecuaciones del espacio >> %de estados en función de transferencia discreta Y(z)/U(z)*** >> >> [num,den]=ss2tf(G,H,C,D); >> >> %****Introduzca la orden para obtener la respuesta a >> %un escalón unitario*** >> >> u=ones(1,51); axis([0 50 -0.5 2]); >> k=0:50; >> y=filter(num,den,u); >> plot(k,y,'o',k,y,'-'), grid, >> title('Respuesta a un escalón unitario de y(k)') >> xlabel('k'), ylabel('y(k)') >> >> %****Para obtener x1(k) convertir las ecuaciones del espacio de >> %estados en función de transferencia discreta x1(z)/U(z)***** >> >> [num1,den1]=ss2tf(G,H,F,D); >> >> %****Introduzca la orden para obtener la respuesta a >> %un escalón unitario***** >> >> axis([0 50 -0.5 1.5]);

>> x1=filter(num1,den1,u); >> plot(k,x1,'o',k,x1,'-'), grid, >> title('Respuesta a un escalón unitario de x1(k)') >> xlabel('k'), ylabel('x1(k)') >> >> %****Para obtener x2(k) convertir las ecuaciones del espacio de >> %estados en función de transferencia discreta x2(z)/U(z)***** >> [num2,den2]=ss2tf(G,H,J,D); >> >> %****Introduzca la orden para obtener la respuesta a >> %un escalón unitario***** >> >> axis([0 50 -0.5 1.5]); >> x2=filter(num2,den2,u); >> plot(k,x2,'o',k,x2,'-'), grid, >> title('Respuesta a un escalón unitario de x2(k)') >> xlabel('k'), ylabel('x2(k)') >>

Respuesta a un escalón unitario de y(k)

1.4 1.2 1

y(k)

0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

10

20

k

30

40

50

Fig. 15.12

Respuesta a un escalón unitario de x1(k)

1.4 1.2 1

x1(k)

0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

10

20

k

Fig. 15.13

30

40

50

Respuesta a un escalón unitario de x2(k)

1 0.9 0.8 0.7

x2(k)

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

10

20

k

30

40

50

Fig. 15.14

La Histéresis (Retardo) Asociada con la Retención Debería notarse que el único impacto importante de implementar un sistema de control digital es el efecto de retardo asociado con el retenedor. Primero, copiar las siguientes órdenes aun m-file y ejecútelo en la ventana de comandos Matlab. num=[1]; den=[1 10 20]; numDz=[0.0107 0.0055]; denDz=[1 -0.8106 0.1353]; t=0:0.2:2; step (num,den,t) %grafica la respuesta continua hold [x]=dstep (numDz,denDz, 11); plot (t,x,'ro') %grafica la respuesta discreta hold off

De esta gráfica, vemos que la respuesta discreta aparece exactamente con la respuesta continua en cada instante de tiempo de muestreo. Esto es cierto debido a aque la entrada fue una función escalón invariante en el tiempo. Si la entrada hubiera sido una función continuamente variando con el tiempo, esta no seguiria exactamente con la respuesta continua. Esto puede verse cambiando la entrada al sistema del ejemplo anterior de escalón a impulso. En el anterior m-file, cambiar step a impulse y dstep a dimpulse. Re-ejecutando este m-file dará la siguiente gráfica.

De esta gráfica, vemos que la respuesta discreta no sigue a la respuesta continua. La respuesta discreta queda atrás de la respuesta continua en cierto rango de tiempo. Aun si la respuesta discreta hace juego con la respuesta continua

la señal promedio uBar(t) lse desvia de la señal continua u(t) en T/2 sec. Sn embargo, si disminuimos el tiempo de impulso de muestreo (Ts, en sec/muestreo), este efecto de retardo se hace más y uBar(t) está muy cercana a la señal u(t).

CAPITULO 16 CONVERSION ENTRE REPRESENTACIONES DE SISTEMAS

Un sistema dinámico está más comúnmente descrito en una de tres formas: Por un conjunto de ecuaciones de espacio estado y las matrices correspondientes, por una función de transferencia con polinomios del numerador y denominador, o por una lista de polos y ceros y la ganancia asociada. De vez en cuando, es útil para convertir entre estas representaciones diversas. Matlab puede hacer estas conversiones rápidamente y fácilmente.

16.1 Espacio de Estado a Función de Transferencia [ Ceros al infinito ]: Para empezar, suponga que usted tiene un conjunto de ecuaciones de estado y le gustaría convertirlo a la función de transferencia equivalene. Para hacer esto e usar la orden

[num,den] =

ss2tf(A,B,C,D,iu)

Este comando crea el numerador y denominador de la función de transferencia para la iu'th entradat. Note que en la mayoría de sistemas considerados en este textol, existe solamente una entrada i por lo tento el término "iu" no necesita ser incluido. Por ejemplo, para el siguiente conjunto de ecuaciones de estado:

  

m=1000 b=50 u=500

Para cambiar esto a función de transferencia dar las ordenes: A = [0 1 0 -0.05]; B = [0; 0.001]; C = [0 1]; D = 0; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D)

Matlab debe retornar lo siguiente en la ventana de comandos: num = 0

0.0010

0

den = 1.0000

0.0500

0

Esta es la vía que presenta Matlab 0.001s + 0 ------------------

s^2 + 0.05s + 0

Ahora se tiene la función de transferencia que describe al sistema. Como se puede ver la forma es fácil. Aquí algunas notas acerca de ss2tf:   

El numerador, num, tendrá tantas columnas como salidas exista (o columnas en la matriz C). El numerador y denominador son retornados en potencias descendentes de s Se debe tener cuidado al verificar el numerador y denominador, tanto los ceros como infinito pueden producir funciones de transferencia erroneas.

16.1.1 Ceros en el Infinito Este último punto necesita algunas explicaciones. Decimos que un sistema tiene ceros en el infinito si el límite a medida que s->infinito del valor de la función de transferencia es igual al cero; Esto ocurre cuandoquiera que usted tenga más polos que los ceros. Usted verá esto en la gráfica del lugar geométrico de las raíces como las asíntotas que van al infinito (el número de asíntotas es igual al número de ceros en el infinito). Matlab algunas veces computa estos ceros en el infinito como números finitos grandes. Cuando esto ocurre, alguno de los coeficientes en el numerador que - se supone - es fin de cero siendo números muy pequeños. No puede parecer importante, pero puede causar errores al tratar de usar la función de transferencia más tarde. Usted siempre debería comprobar su función de transferencia, y si números que son 0.0000 salen a la vista arriba ya que eso - se supone - es cero, reescriba el numerador en Matlab para compensar. Un buen ejemplo de esto es dado por el siguiente conjunto de ecuaciones de estado:

Si se ingresa esto en Matlab usando el siguiente m-file:

A = [0 1 0 0 0 -0.1818 2.6727 0 0 0 0 1 0 -4.545 31.1818 0]; B = [0 1.8182 0 4.5455]; C = [1 0 0 0 0 0 1 0]; D = [0 0]; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D)

Se debe conseguir la siguiente Función de Transferencia: num = 0 0

0.0000 0.0000

1.8182 -0.0000 -44.5460 4.5455 0.0000 0

den = 1.0000

0.1818 -31.1818 -4.4541

0

Si vemos el numerados, el primer y último elemento de cada columna son 0, mientras que el segundo y cuarto elementos en cada columna son 0.0000. Si vemos más de cerca cada uno de estos elementos, entonces veremos que no son cero, pero de hecho son algún número muy pequeño. Para ver esto, ingrese cualquiera de los siguientes comandos: num(1,2), num(1,4), num(2,2) o num(2,4). Y se deberá tener como respuesta algo similar a lo siguiente: 7.1054e-15, -6.2172e15, 1.2434e-14, or 4.4409e-15. Ver las raíces del polinomio usando roots(num(1,:)) y se verán las raíces del numerador que están cerca al infinito pero no completamente. Esta inconsistencia numérica puede ser eliminada adicionando la siguiente línea antes del comando ss2tf para deshacerse de los numeros que no están allí. num = [num(1,3) 0 num(1,5) num(2,3) 0 num(2,5)];

Ahora todos los números pequeños han sido reemplazados con ceros. Siempre asegúrese para ver su función de transferencia y entender lo que significa antes de que usted use eso en el proceso del diseño.

16.2 Función de Transferencia a espacio de estado: El inverso del comando ss2tf es el comando tf2ss, el cual convierte una función de transferencia de un sistema a la forma de espacio de estado. El comando es usado como: [A,B,C,D] =

tf2ss(num,den)

Un hecho importante a notar es que aunque haya una función de transferencia de única que describe un sistema, usted puede tener múltiples ecuaciones de espacio de estado que describen el mismo sistema. El comando tf2ss retorna las matrices de espacio de estado en la forma canónica de control. Por consiguiente, si usted toma un conjunto de ecuaciones de espacio de estado, las convierte en una función de transferencia, y luego convierta ella de regreso, usted no tendrá el mismo conjunto de ecuaciones de espacio estatado con las que usted inició a menos que usted comenzase con matrices en forma canónica de control. Como un ejemplo, tomar el numerador y denominador creados anteriormente y convertirlo al espacio de estado. Esto puede ser hecho con el siguiente código Matlab [A,B,C,D] =

tf2ss(num,den)

Matlab deberá retornar el siguiente conjunto de matrices: A=

B=

-0.1818 31.1818 4.4541 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0

0

1 0 0 0

C= 0 0 D=

1.8182 4.5455 0

0

0 0

-44.5460 0

Éste no es obviamente el mismo conjunto de matrices que fueron inicialmente usadas, pero el comportamiento de entrada y salida de este sistema es el mismo del anterior. Hay infinitamente muchos formas para representar una función de transferencia dada en forma de espacio estatado; Matlab lige la forma canónica de control.

16.3 Espacio de estado a ceros/polos y función de transferencia a ceros/polos: Existe una tercera forma de representar un sistema dinámico, y esta es el modelo de ceros y polos. Este modelo es básicamente el mismo que el modelo de función de transferencia, excepto que los polinomios han sido factorizados así, los polos están todos en el denominador y los ceros están en el numerador. El formato básico muestra lo siguiente:

Recuerde que para una función de transferencia correcta, el número n de polos es mayor o igual que el número m de ceros. Matlab puede hacer las transformaciones ya sea del espacio de estado o función de transferencia a la representación de ceros y polos. Las órdenes para conseguir el sistema en forma de ceros y polos son: [z,p,k] =

tf2zp(num,den)

si se tiene una función de transferencia, y: [z,p,k] =

ss2zp(A,B,C,D,iu)

si se tiene un modelo de espacio de estado. Ambos comandos deberán retornar tres variables: z, p, k. La variable z retorna todos los ceros en columnas. Esto debe dar una columna para cada columna del numerador en la función de transferencia o cada salida, y (columnas en la matriz C). La variable p retorna todos los polos en una columna. La variable k retorna una columna de los valores de ganancia. La columna deberá tener tantas columnas como columnas tenga el numerador o salidas, y. Por ejemplo, usando t el modelo de espacio de estado y función de transferencia anterior, ingresar cualquiera de los siguientes m-files: num = [1.8182 0 -44.5460; 4.5455 -7.4373 0];

den = [1 0.1818 -31.1818 6.4786 0]; [z,p,k] =

tf2zp(num,den)

o A = [0 1 0 0 0 -0.1818 2.6727 0 0 0 1 0 -4.545 31.1818

0 0];

B = [0 1.8182 0 4.5455]; C = [1 0 0 0 0 0 1 0]; D = [0 0]; [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1)

y usted deberá obtener la siguiente salida z= 4.9498 1.6362 -4.9498 0 p= 0 0.2083 -5.7753 5.3851 k= 1.8182 4.5455

Existen dos columnas de ceros, y entonces la matriz k tiene dos filas (una para cada columna z).

16.4 Polos/ceros a espacio de estado y polos/ceros a función de transferencia

Si se tiene un modelo descrito por polos y ceros, se puede pasar a los modelos de función de transferencia o espacio de estado. Las órdenes son las siguientes: [A,B,C,D] =

zp2tf(z,p,k)

Nuevamente, es importante notar que más de un conjunto de matrices de espacio de estado pueden describir un sistema. Las matrices retornadas por este comando están en la forma canónica de control. Por ejemplo, tomando las matrices z, p, y k que se crearon anteriormente y convertirlas a espacio de estado: [A,B,C,D] =

zp2tf(z,p,k)

Se obtendrán las siguientes matrices del espacio de estado: A=

-0.1818 31.1818 -6.4786 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0

B=

0

1 0 0 0

C=

0

D=

0

1.8182 4.5455

0 -7.4373

-44.5460 0

0 0

Se verá que es el mismo conjunto de matrices que se cero usando el comando, tf2ss. Para pasar un modelo descrito por ceros y polos al modelo de función de transferencia, usar el siguiente comando: [num,den] =

zp2tf(z,p,k)

Convirtiendo el mismo modelo de polos y ceros anterior, se debe tener la siguiente función de transferencia: num = den =

0

0

0

1.0000

0 1.8182 0 -44.5460 4.5455 -7.4373 0 0.1818 -31.1818

6.4786

0

Es la misma función de transferencia obtenida anteriormente

16.5

Uso de UNTSIM

El simulador UNTSIM posee una rutina para hacer todas las transformaciones y podemos acceder a través del Menú principal: Calculos de Ingeniería Química - Automatización y Control Transformación de modelos: En este caso seleccionamos G(s) a Espacio de Estado y se tiene: Copyright 2002 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved 28-Jan-2004 ESTE PROGRAMA TRANSFORMA UN MODELO DE FUNCION DE TRANSFERENCIA A ESPACIO DE ESTADO Ver Automatizacion y control Cap. XV ********************************************** Ingrese coeficientes del numerador: [0 0.0000 1.8182 -0.0000 -44.5460 ;0 0.0000 4.5455 0.0000 0] Ingrese coeficientes del denominador: [1.0000 0.1818 -31.1818 -4.4541 0] -------------------------------------------Las matrices del modelo en espacio de estado son: A= -0.1818 31.1818 4.4541 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 B= 1 0 0 0 C= 0 1.8182 0 -44.5460 0 4.5455 0 0 D= 0

0 >>

Para transformar ceros y polos a función de transferencia: Copyright 2002 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved ESTE PROGRAMA CONVIERTE CEROS Y POLOS A FUNCION DE TRANSFERENCIA Ingresar datos de LA FUNCION DE TRANSFERENCIA Definir factor de ganancia [k]:[1.8182;4.5455] Especificar el cero [z]:[4.9498 1.6362; -4.9498 0] Vector columna para definir los polos [p], por ejemplo [-2+j*4; -2-j*4] : [0; 0.2083; -5.7753; 5.3851] La respuesta es: Numerador n= 0 0 1.8182 0 -44.5468 0 0 4.5455 -7.4373 0 Denominador d= 1.0000 0.1819 -31.1818 6.4782 0

>>

APENDICE

Manual de Fundamentos de Matlab Vectores Funciones Gráficos Polinomios Matrices Impresión Usando archivos de instrucciones en Matlab La ayuda de Matlab

Las funciones de Matlab usadas en este manual son: plot polyval roots conv deconv polyadd inv eig poly Nota: Las funciones no estandar de Matlab usadas en este manual se muestran resaltadas en verde.

Matlab es un programa interactivo para el cálculo numérico y la representación gráfica de datos. Su uso está muy extendido entre los ingenieros en el ámbito del análisis y diseño de sistemas de control. Hay muchas colecciones de funciones diferentes disponibles que aumentan la capacidad de Matlab para diferentes áreas de aplicación. En este manual se usa frecuentemente la colección denominada "Control System Toolbox". Matlab funciona en los entornos Unix, Macintosh y Windows; existe una versión para estudiantes disponible para ordenadores personales. Para obtener más información acerca de Matlab contactar con Mathworks.

La idea que subyace en estos manuales es que pueda verlos en una ventana mientras ejecuta Matlab en otra. Usted debería ser capaz de reproducir todas las gráficas y todos los cálculos realizados en estos manuales con sólo copiar el texto desde el manual a Matlab o a un archivo de instrucciones. Vectores Empecemos creando algo tan simple como un vector. Introduzca cada elemento del vector (separado por un espacio) entre corchetes y asígnelo a una variable. Por ejemplo, para crear el vector a, introduzca en la ventana de instrucciones de Matlab (para hacerlo más fácil puede "copiar" y "pegar" desde el navegador a Matlab):

a = [1 2 3 4 5 6 9 8 7] Matlab debería devolver: a=123456987

Digamos que desea crear un vector con elementos entre 0 y 20 separados a incrementos de 2 (este método se usa frecuentemente para crear un vector de tiempo): t = 0:2:20 t= 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Manipular vectores es casi tan fácil como crearlos. Primero, supongamos que desea añadir 2 a cada elemento del vector 'a'. La instrucción que realiza este cálculo es: b=a+2 b= 3 4 5 6 7 8 11 10 9

Supongamos ahora que desea sumar dos vectores. Si los dos vectores tienen la misma dimensión es fácil. Sencillamente sume los dos vectores como se indica a continuación: c=a+b c= 4 6 8 10 12 14 20 18 16

Restar vectores de la misma longitud funciona exactamente igual.

Funciones Para facilitar las cosas Matlab incluye muchas funciones estándar. Cada función es un bloque de código que desempeña una tarea específica. Matlab incorpora todas las funciones estándar tales como seno (sin), coseno (cos), logaritmo (log), exponencial (exp), raíz cuadrada (sqrt), así como muchas otras. También incorpora constantes tales como pi e i o j para la raíz cuadrada de -1.

sin(pi/4) ans = 0.7071

Para averiguar como se usa una función escriba help [nombre de funcion] en la ventana de instrucciones de Matlab. Matlab incluso le permite escribir sus propias funciones con la instrucción function; siga el enlace para aprender a escribir sus propias funciones y para

ver la lista de las funciones creadas para este manual.

Gráficos También es muy sencillo crear gráficos en Matlab. Suponga que desea crear la gráfica de un seno en función del tiempo. Primero cree un vector de tiempo (el punto y coma al final de una instrucción le indica a Matlab que no muestre la respuesta) y evalue el seno para cada uno de esos valores de tiempo. t=0:0.25:7; y = sin(t); plot(t,y) grid xlabel(‘Tiempo: t’) ylabel(‘Sen t’)

El gráfico contiene aproximadamente un periodo de una onda seno. Los fundamentos de las representaciones gráficas en Matlab son muy sencillos y la función plot proporciona ciertas características adicionales.

Polinomios En Matlab un polinomio se representa como un vector. Para crear un polinomio en Matlab simplemente introduzca cada coeficiente del polinomio en un vector en orden descendente. Por ejemplo, digamos que tenemos el siguiente polinomio: s4 + 3s3 – 15s2 – 2s + 9 Para introducirlo en Matlab basta con crear un vector de la siguiente manera x = [1 3 -15 -2 9] x= 1 3 -15 -2 9

Matlab interpreta un vector de longitud n+1 como un polinomio de orden n. Así, si un polinomio no posee algún coeficiente es preciso

introducir un cero en el lugar apropiado del vector que lo representa. Por ejemplo, s4 + 1 se representa en Matlab como: y = [1 0 0 0 1]

Se puede evaluar el polinomio usando la función polyval. Por ejemplo para hallar el valor del polinomio anterior en s=2, z = polyval([1 0 0 0 1],2) z=

17

También se pueden hallar las raíces de un polinomio. Esto es muy útil cuando se tiene un polonimio de orden superior como s4 + 3s3 – 15s2 – 2s + 9 Hallar las raíces es tan sencillo como introducir la siguiente instrucción: roots([1 3 -15 -2 9]) ans = -5.5745 2.5836 -0.7951 0.7860

Digamos que desea multiplicar dos polinimios. El producto de dos polinomios se calcula realizando la convolución de sus coeficientes. Matlab dispone de a función conv para realizar esta tarea. x = [1 2]; y = [1 4 8]; z = conv(x,y) z= 1 6 16 16

Dividir dos polinomios es igual de sencillo. La función deconv devuelve el cociente y el resto. Así, al dividir z entre y obtendremos de nuevo x. [xx, R] = deconv(z,y)

xx = 12 R= 0000

Como puede ver se obtiene el mismo polinomio/vector x anterior. Si el polinomio y no fuese un múltiplo de x, el vector correspondiente al polinomio resto contendría algo diferente a cero. Si desea sumar dos polinomios del mismo orden basta con z=x+y (los vectores x e y deben tener la misma longitud). En el caso más general puede usarse la función definida por el usuario polyadd. Para usar polyadd copie la función en un archivo de instrucciones y úsela como si fuese cualquier otra función Matlab. Si dispone de la función polyadd almacenada en un archivo de instrucciones y desea sumar dos polinomios cualesquiera x e y puede realizar esta operación escribiendo la siguiente instrucción: z = polyadd(x,y) x= y= z=

12 148 1 5 10

Matrices Introducir matrices en Matlab es igual que introducir vectores excepto en que cada fila de elementos se separa de otra con un punto y coma o con un salto de línea: B = [1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12] B= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12] B= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Las matrices en Matlab se pueden manipular de muchas maneras. Por ejemplo, se puede obtener la traspuesta de una matriz utilizando la tecla de apóstrofo. C = B' C= 1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

Se debe hacer notar que si C hubiese sido compleja, el apóstrofo realmente hubiese dado la matriz compleja conjugada traspuesta. Para obtener la traspuesta, utilice (los dos operadores realizan la misma operación si la matriz no es compleja). Se pueden multiplicar las dos matrices B y C. Recuerde que el orden de las matrices afecta al resultado del producto. D=B*C D= 30 70 110 70 174 278 110 278 446 D=C*B D= 107 122 137 152

122 140 158 176

137 158 179 200

152 176 200 224

También es posible multiplicar dos matrices elemento a elemento utilizando el operador .* (las dos matrices deben tener el mismo tamaño). E = [1 2;3 4] E= 12 34

F = [2 3;4 5] F= 23 45 G = E .* F G= 2 6 12 20

Una matriz cuadrada, como la matriz E, puede multiplicarse por ella misma tantas veces como se quiera elevando la matriz a una potencia dada. E^3 ans = 37 54 81 118

Si se desea elevar al cubo cada elemento de la matriz basta con usar el operador potencia elemento a elemento. E.^3 ans = 1 8 27 64

También puede hallarse el inverso de una matriz: X = inv(E) X= -2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000

o sus autovalores: eig(E) ans = -0.3723 5.3723

Incluso existe una función que calcula los coeficientes del polinomio característico de una matriz. La función "poly" crea un vector que contiene los coeficientes del polinomio característico. p = poly(E) p=

1.0000 -5.0000 -2.0000

Recuerde que los autovalores de una matriz son las raíces de su polinomio característico: roots(p) ans = 5.3723 -0.3723

Lista de Funciones de Matlab La siguiente lista de funciones puede serle muy útil como referencia. Para obtener más información acerca de como se utilizan estas funciones utilice la ayuda "help" de Matlab. En estos manuales se utilizan tanto las funciones de Matlab como las funciones de colección de funciones "Control Systems Toolbox", así como algunos funciones que nosotros mismos hemos escrito. Se ofrecen enlaces a páginas con la descripción de aquellas funciones no estándar. Nota: Las funciones Matlab de la colección de funciones "Control System

rojo. Las funciones Matlab no estándar se muestran resaltadas en color verde. Toolbox" se muestran resaltadas en color

Función

Descripción

abs

Valor absoluto

acker

Calcula la matriz K con los polos de A-BK, ver place

axis

Establece la escala del gráfico actual, ver plot, figure

bode

Traza un diagrama de Bode, ver logspace, margin, nyquist1

c2dm

De sistema continuo a discreto

clf

Borrar figura (use clg para Matlab 3.5)

cloop

Función de transferencia de bucle cerrado

conv

Convolución (útil para multiplicar polinomios), ver deconv

ctrb

Matriz de controlabilidad, ver obsv

deconv

Deconvolución y división de polinomios, ver conv

det

Halla el determinante de una matriz

dimpulse

Respuesta impulsiva de un sistema lineal de tiempo discreto, ver dstep

dlqr

Diseña un controlador lineal-cuadrático para un sistema de tiempo discreto, ver lqr

dlsim

Simulación de sistemas lineales de tiempo discreto, ver lsim

dstep

Respuesta escalón de sistemas lineales de tiempo discreto, ver stairs

eig

Calcula los autovalores de una matriz

eps

Tolerancia numérica de Matlab

figure

Crea una nueva figura o redefine la figura actual, ver subplot, axis

for

For, ver loop

format

Formato numérico (dígitos significativos, exponente)

function

Crea una función en un archivo de instrucciones

grid

Dibuja una cuadrícula en la gráfica actual

gtext

Añade un texto al gráfico actual, ver text

help

¡AYUDA!

hold

Mantiene el gráfico actual, ver figure

if

Sentencia de ejecución condicional

imag

Devuelve la parte imaginaria de un número complejo, ver real

impulse

Respuesta impulsiva de un sistema lineal en tiempo continuo, ver step, lsim, dlsim

input

Solicita una entrada de usuario

inv

Halla el inverso de una matriz

jgrid

Traza una cuadrícula de líneas de razón de amortiguamiento (zeta) y tiempo de establecimiento (sigma) constantes, ver sgrid, sigrid, zgrid

legend

Leyenda de un gráfico

length

Longitud de un vector, ver size

linspace

Devuelve un vector espaciado linealmente

lnyquist

Genera un diagrama de Nyquist en escala logarímica, ver also nyquist1

log

logaritmo natural, también log10: logaritmo común

loglog

Representación gráfica usando escala logarímica para ambos ejes, ver semilogx/semilogy

logspace

Devuelve un vector espaciado logarímicamente

lqr

Diseña un regulador lineal cuadrático para un sistema continuo, ver dlqr

lsim

Simula un sistema lineal, ver step, impulse, dlsim.

margin

Devuelve el margen de ganancia, el margen de fase y las frecuencias de corte, ver bode

norm

Normaliza un vector

nyquist1

Traza un diagrama de Nyquist, ver lnyquist. Tenga en cuenta que este comando se ha escrito para reemplazar el comando estándar de Matlab nyquist para obtener diagramas de Nyquist más precisos.

obsv

Matriz de observabilidad, ver ctrb

ones

Devuelve una matriz de unos, ver zeros

place

Calcula la matriz K con los polos de A-BK, ver also acker

plot

Traza un gráfico, ver figure, axis, subplot.

poly

Devuelve el polinomio característico

polyval

Evalúa un polinomio

print

Imprime el gráfico actual (en la impresora o en un archivo postscript)

pzmap

Mapa de polos y ceros de un sistema lineal

rank

Halla el número de filas o columnas independientes de una matriz

real

Devuelve la parte real de un número complejo

rlocfind

Halla el valor de k y los polos de un punto seleccionado

rlocus

Traza un lugar de las raíces

roots

Halla las raíces de un polinomio

rscale

Halla el factor de escala para un sistema con realimentación del vector de estado

set

Establece (gca, 'Xtick', xticks, 'Ytick', yticks) para controlar el número y el espaciado de las marcas en los ejes

series

Interconexión en serie de sistemas lineales temporalmente independientes

sgrid

Genera una cuadrícula de líneas de razón de amortiguamiento (zeta) y frecuencia natural (Wn) constantes, ver jgrid, sigrid, zgrid

sigrid

Genera una cuadrícula de líneas de tiempo de establecimiento (sigma) constante, ver jgrid, sgrid, zgrid

size

Halla la dimensión de un vector o una matriz, ver length

sqrt

Raíz cuadrada

ss2tf

De la representación en espacio de estado a función de transferencia, ver tf2ss

ss2zp

De la representación en espacio de estado a polo-cero, ver zp2ss

stairs

Representación gráfica de un sistema discreto, ver dstep

step

Traza la respuesta ante un escalón, ver impulse, lsim, dlsim.

subplot

Divide una ventana gráfica en partes, ver plot, figure

text

Añade un texto al gráfico actual, ver title, xlabel, ylabel, gtext

tf2ss

De la representación en función de transferencia a espacio de estado, ver ss2tf

tf2zp

De la representación en función de transferencia a polo-cero, ver zp2tf

title

Añade un título al gráfico actual

wbw

Devuelve la frecuencia de ancho de banda partiendo de la razón de amortiguamiento y el tiempo de subida o de establecimiento.

xlabel/yla Añade una etiqueta a los ejes horizontal/vertical del gráfico actual, bel ver title, text, gtext

zeros

Devuelve un vector o una matriz de ceros

zgrid

Traza una cuadrícula de líneas de razón de amortiguamiento (zeta) y frecuencia natural (Wn) constantes, ver sgrid, jgrid, sigrid

zp2ss

De la representación en polo-cero a espacio de estado, ver ss2zp

zp2tf

De la representación en polo-cero a función de tranferencia, ver tf2zp

BIBLIOGRAFÍA 1.

G. Stephanopoulos, "Chemical Process Control: An Introduction to Theory and Practice," Prentice-Hall, 1984

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7.

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Página Web http://www.engin.umich.edu/group/ctm/