Control Discretizacion de Controladores y Plantas

Control Automático

Discretización de reguladores y plantas

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Pmatched 0.5

Contenido

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4 Time (sec)



Discretización a partir de la función de transferencia en tiempo continuo 

Por respuesta invariante al impulso



Por retenedor de orden cero (ZOH)



Por Tustin o transformación bilineal



Por mapeo de polos (solo para SISO)



Ejemplos



Ejercicios

5

6

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Pmatched 0.5

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

Esquema de un control digital

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4 Time (sec)

y(t)

Computador 

5

6

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Pmatched

Escogencia del periodo de muestreo 

0.5

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4 Time (sec)

El periodo de muestreo T s debe ser escogido para que sea menor que una décima parte de la constante de tiempo dominante, del sistema que se espera en lazo cerrado T  s <

1 10

T dom.

5

6

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Pmatched

Escogencia del periodo de muestreo

0.5

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4 Time (sec)

5

6

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Pmatched 0.5

Condiciones de la conversión

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4

5

Time (sec)



Dos funciones continuas son discretizadas y se encuentran en cascada

x(t) X(s)

x*(t) T



Y ( z )  X ( z )

V(s)

v*(t) T V*(s) V(z)

y(t)

G2(s)

Y(s)

y*(t) T

Y(z)

= G1 ( z ) ⋅ G2 ( z ) = Ζ{G1 ( s )}⋅ Ζ{G2 ( s )}

Dos funciones continuas en cascada son discretizadas; G(s) = G1(s)G2(s)

x(t) X(s)

G1(s)

X(z)

G ( z ) =

v(t)

x*(t) T

X(z)

G ( z ) =

G1(s)

Y ( z )  X ( z )

v(t) V(s)

G2(s)

y(t) Y(s)

= Ζ{G ( s )} = Ζ{G1 ( s )G2 ( s )}

y*(t) T

Y(z)

6

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Pmatched 0.5

Condiciones de la conversión

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4

5

Time (sec)



Procedimiento: 

Combinar todos los elementos continuos que se encuentren directamente conectados en cascada en una única función G(s) y*(t) y(t) T

x(t)

x*(t)

X(s)



T

X(z)

G1(s) K(z)

u*(t) T U (z)

Y(z)

y(t) G(s) G2(s)

Y(s)

Considerar como si la función G(s), tiene además, paralelamente a su salida continua, una salida muestreada. G(z) = Y(z)/U(z)

6

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Pmatched 0.5

El sistema híbrido de control

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4

5

Time (sec)

y*(t)

y(t) T r(t) + R(s)

x*(t)

-

T

u*(t)

G1(s) K(z)

X(z)

T U (z)

y(t) G(s) G2(s)

Y(s)

H(s)

T ( z ) =

Y ( z )  R ( z )

=

 K ( z )G ( z ) 1 + K ( z )GH ( z )

=

 K ( z ) Ζ{G ( s )} 1 + K ( z ) Ζ{G ( s ) H ( s )}

Y(z)

6

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Pmatched

Transformación por respuesta invariante al impulso

0.5

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4



Combinar todos los elementos continuos que se encuentren directamente conectados en cascada en una única función G(s)



Representar G(s) en fracciones parciales



Convertir cada fracción parcial a su forma en Z usando la transformada Z de la función exponencial muestreada y con ayuda de tablas.

{ }=

 L e

Ζ{e

− at 

1

Tiene problemas de aliasing  dependiente de T

( s + a )

} = Ζ{e } =

−at 

−akT 

5

Time (sec)

1 1 − e −aT  z −1

6

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Pmatched 0.5

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

Respuesta invariante al impulso

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4 Time (sec)



Para raíces simples

G ( z ) =

n

 Ri

∑ (1 − e i =1



 piT  −1

 z  )

Para raíces repetidas

G ( z ) =

 j

mi

i =1

l =1

∑∑

( −1)l −1 Ril  ∂ l −1 

 l −1  p T  (l − 1)! ∂ pi  (1 − e z −1 )  1

i

No mantiene la respuesta ante escalón. El factor de escala es T

5

6

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Ejemplo 1: Discretización de una planta por respuesta inv. 

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4 Time (sec)

Encuentre el modelo en tiempo discreto para la planta P(s) mostrada, con T = 0.1s  P ( s ) =



Pmatched 0.5

4 ( s + 1)( s + 4)

Evaluando los residuos para los polos 

P = [ -4 -1]



R = [-4/3 4/3]

5

6

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Pmatched 0.5

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

Ejemplo 1: cont.

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4 Time (sec)



Evaluando

 P ( z ) =

2

 Ri

∑ (1 − e i =1

 pi T  −1

 z  )

=

− 4/3 (1 − e

− 4*0.1 −1

 z  )

+

4/3 (1 − e −1*0.1 z −1 )

4 / 3 * z  − 4 / 3 * z   P ( z ) = + ( z − 0.6703) ( z − 0.9048)  P ( z ) =

0.31269 z  ( z − 0.6703)( z − 0.9048)

5

6

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Pmatched 0.5

Por retenedor de orden cero

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4

5

Time (sec)



Se combina la función de transferencia del retenedor de orden cero con la de la planta. y(k)

u(k)

1 − e  Z    s 

u*(t) ZOH

− sT 

G(s)



 G ( s )    s  

* G ( s )  = (1 − z −1 ) * Z 



y(t) Método preferible para sistemas con tiempo muerto

El resultado se descompone en fracciones parciales y cada fracción se transforma a Z.

6

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Ejemplo 2: Discretización de una planta por ZOH 

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4 Time (sec)

Encuentre el modelo en tiempo discreto para la planta P(s) mostrada, con T = 0.1s  P ( s ) =



Pmatched 0.5

4 ( s + 1)( s + 4)

Descomponiendo en fracciones parciales P(s)/s los residuos y polos son: 

R = [ 0.3333 -1.3333 1.0000]



P = [-4 -1 0]

5

6

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Pmatched 0.5

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

Ejemplo 2: cont.

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4 Time (sec)



Después de transformar cada fracción parcial aplicando el periodo de muestreo T = 0.1s 

 P ( z ) = (1 − z −1 ) 

0.33

−( 4*0.1) −1 ( 1 e  z  ) − 



−

1.33 (1 − e −(1*0.1) z −1 )

+

 (1 − e0 z −1 ) 

Sumamos, aplicamos el factor (1 - z -1), factorizamos y simplificamos:  P ( z ) =

0.01699 ( z+0.8466) ( z-0.9048)( z-0.6703)

, T  = 0.1 s

1

5

6

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Por el método de Tustin o transformación bilineal 

Pmatched 0.5

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4

5

6

Time (sec)

Partimos de la relación de definición de z  z  = e sT 



Despejamos s y desarrollamos la serie de No tiene problemas potencias del logaritmo  s =

 s = 

1

de aliasing  dependiente de T

ln z 

T  2 ( z − 1)

T  ( z + 1)

+

2 ( z − 1) 3 3T  ( z + 1)

3

+

2 ( z − 1) 5 5T  ( z + 1)

5

+L

Finalmente aproximamos al primer término 2 ( z − 1)  s ≈ T  ( z + 1)

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Ejemplo 2: Discretización de una planta por Tustin 

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4 Time (sec)

Encuentre el modelo en tiempo discreto para la planta P(s) mostrada, con T = 0.1s  P ( s ) =



Pmatched 0.5

4 ( s + 1)( s + 4)

Sustituyendo 4

 P ( z ) = (

 P ( z ) =

2 ( z − 1) 0.1 ( z + 1)

+ 1)(

2 ( z − 1) 0.1 ( z + 1)

0.0079365( z + 1) 2 ( z − 0.6667)( z − 0.9048)

+ 4)

5

6

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Pmatched 0.5

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

Por mapeo de polos y ceros

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4

5

6

Time (sec)

Solo para sistemas SISO. Se sustituye cada polo de la forma (s - pi) por ( z  – epiT ) y cada cero de la forma (s - zi) por ( z – eziT ). Finalmente se ajusta la ganancia K’ para una respuesta igual, típicamente a frecuencia cero. G ( s ) = G ( z ) z =1  s =0 q

G ( s ) = K 

∏

( s − z i )

i =1 n

∏ ( s − p ) i

i =1

n>q

G ( z ) = K 1 ( z + 1)( n −q −1) = ∞ en dom. analógico ≈ ω = ½ ωs en el dom. discreto. ω

q

∏

 z iT 

( z − e

)

∏ ( z − e

)

i =1 n

i =1

 piT 

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Pmatched 0.5

Por mapeo de polos y ceros

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4 Time (sec)

La ganancia K’ se calcula como n

 K 1 = K  B ⋅

∏ ( z − e

 piT 

)

i =1

( z + 1)

( n − q −1)

q

∏ i =1

 z iT 

( z − e

)  z =1

q

∏ − z  i

 K  B = G ( s ) s =0 = K 

i =1 n

∏ − p

i

i =1

Se satisface exactamente la relación  z = e

 sT 

5

6

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Ejemplo 4: Discretización de una planta por mapeo z = esT 

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4 Time (sec)

Encuentre el modelo en tiempo discreto para la planta P(s) mostrada, con T = 0.1s

 P ( s ) =



Pmatched 0.5

4 ( s + 1)( s + 4)

Los datos del sistema continuo son: 

P = [-4 -1 ]



n = 2; q = 0



KB = P(0) = 1

5

6

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Pmatched 0.5

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

Ejemplo 4: cont.

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4 Time (sec)



Evaluamos las fórmulas

ˆ ( z )  P ( z ) = K  * P  1

ˆ ( z ) =  P 

( z + 1)( 2 - 0 -1) ( z − e - 4* 0 .1 )(z − e -1* 0 .1 )

ˆ (1) = 63.7486  P   P ( z ) =

 

 K 1 = 1 / 63.7486

0.015687 ( z+1) ( z-0.6703)( z-0.9048)

, T = 0.1s

5

6

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Pmatched 0.5

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

Respuesta al impulso

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4

5

6

7

Time (sec)

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin Pmatched

Se puede 0.6 observar que solamente la 0.5 forma     e0.4 invariante al      d     u      t      i      l     p impulso     m      A0.3 conserva este tipo de 0.2 respuesta 0.1

0 0

1

2

3

4 Time (sec)

5

6

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Pmatched 0.5

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

Respuesta al escalón

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4

5

6

7

Time (sec)

Step Response 1 P Pzoh Ptustin Pmatched

0.9 Todas las 0.8 formas conservan la 0.7 respuesta ante 0.6     e      d un escalón     u      t      i      l 0.5     p excepto la     m      A 0.4 invariante al impulso, que lo 0.3 hace solo si es 0.2 escalada por T 0.1 0 0

1

2

3 Time (sec)

4

5

6

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Pmatched 0.5

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

Respuesta ante rampa

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4

5

6

7

Time (sec)

Respuesta ante rampa

3

Todas las formas conservan la respuesta ante una rampa excepto la invariante al impulso.

2.5

2     e      d     u      t      i      l 1.5     p     m      A

P Pzoh PTustin Pmatched

1

0.5

0 0

0.5

1

1.5

2 Time (sec)

2.5

3

3.5

4

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Ejemplo 5: Discretización del regulador PID 

Pmatched 0.5

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4 Time (sec)

El PID ideal se puede discretizar por los métodos de 

La aproximación trapezoidal a la integral y la aproximación de Euler a la derivada



Transformación bilineal o método de Tustin (s  z   kT)

5

6

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Pmatched

Discretización del PID por aproximaciones a la I y D 

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4

5

6

Time (sec)

Partimos de la expresión para el PID en el dominio del tiempo continuo t 

∫

m(t ) = K  P e(t ) + K  I  e(τ  ) d τ   + K  D 0



0.5

d  dt 

e(t ) + m0

Obtenemos la forma posicional del algoritmo del PID

e(k ) − e(k − 1)  [(e(k ) + e(k − 1)]T  s   m(k ) = K  P e(k ) + K i  + Int  prev.  + K d  + m0 2 T  s    

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Pmatched

Discretización del PID por transformación bilineal

0.5

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

0.2

0.1

0 0

1

2

3



Partimos de la expresión para el PID en el dominio de la frecuencia compleja  K  P   K  PID ( s ) = K  P  + + s ⋅ K  P T d  T  s i



Sustituimos

 s ≈

4

5

6

7

Time (sec)

2 ( z − 1) T  ( z + 1)

y obtenemos la forma de velocidad del algoritmo del PID m(k ) = m(k − 1) + K  P [e(k ) − e(k − 1)] +

 K  P T  s T i

e(k ) +

 K  P T d  T  s

[e(k ) − 2e(k − 1) + e(k − 2)]

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Pmatched

La forma de velocidad del PID discreto 

0.5

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4 Time (sec)

La forma de velocidad del PID se puede simplificar a m( k ) = m( k − 1) + A ⋅ e( k ) + B ⋅ e( k − 1) + C ⋅ e(k − 2)

donde las constantes A, B y C dependen de KP, Ti, Td y del tiempo de muestreo TS 

También se puede llegar a esta forma si restamos la forma posicional del PID evaluada en k y en k-1



Esta forma es menos propensa al windup

5

6

7

Impulse Response

0.7

P Pimp Pzoh Ptustin

0.6

Pmatched 0.5

    e0.4      d     u      t      i      l     p     m      A0.3

Ejercicios

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4 Time (sec)



Obtenga y compare los modelos discretos, con el periodo de muestreo T dado para las funciones G(s), F(s) y H(s); por los cuatro métodos vistos en clase. 3 * e − s*0.4

G ( s ) =  F ( s ) =

( s + 1)( s + 2)

; T = 0.2s

( s + 0.4)( s + 3)

 H ( s ) =

 s ( s + 9) ( s + 3)  s ( s + 1)

2

; T = 0.05s

; T = 0.1s

5

6

7