CONTROL DE UN MOTOR BRUSHLESS_APLICACIÓN A VEHÍCULOS ELÉCTRICOS

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico Departamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS Control de un Motor Brushless para Aplicación a Vehículos Eléctricos presentada por

Diego Langarica Córdoba Ing. Electrónico por el I. T. de Veracruz como requisito para obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Director de tesis: Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez Co-Director de tesis: Dr. Abraham Claudio Sánchez

Cuernavaca, Morelos, México.

13 de Octubre de 2010

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico Departamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS Control de un Motor Brushless para Aplicación a Vehículos Eléctricos presentada por

Diego Langarica Córdoba Ing. Electrónico por el I. T. de Veracruz como requisito para obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica Director de tesis: Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez Co-Director de tesis: Dr. Abraham Claudio Sánchez Jurado: Dr. Carlos Daniel García Beltrán - Presidente Dr. Víctor Manuel Alvarado Martínez - Secretario Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez - Vocal Dr. Abraham Claudio Sánchez - Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, México.

13 de Octubre de 2010

Resumen Este trabajo de tesis aborda el control no lineal basado en el rediseño de Lyapunov, esto con el objetivo de hacer frente a la incertidumbre paramétrica en las resistencias de los devanados de un motor brushless montado en un vehículo eléctrico. El diseño del controlador robusto parte del método de control basado en pasividad (controlador nominal); en esta metodología se toma en cuenta la propiedad de pasividad del motor, así como en el moldeo de energía e inyección de amortiguamiento para un apropiado seguimiento de trayectorias deseadas. El modelo matemático del vehículo eléctrico está conformado por un subsistema eléctrico (banco de baterías, inversor trifásico y motor) y un subsistema mecánico (motor, transmisión mecánica y llantas). El banco de baterías se considera como una fuente de voltaje ideal, capaz de entregar la corriente que el motor le demande. El modelo del inversor considera dispositivos ideales de conmutación y la técnica de modulación senoidal. Para el motor brushles se obtienen 2 modelos trifásicos: uno a partir del análisis tradicional de circuitos eléctricos y otro en base a las ecuaciones de E-L. A ambos modelos se les aplica la transformación en el marco de referencia fijo al rotor. Finalmente se obtiene el modelo de la parte mecánica con la segunda ley de Newton considerando a las propiedades físicas de la transmisión y de las llantas. Dentro de esta investigación también se desarrolla el control vectorial para el motor brushless, ya que es una técnica altamente usada en la industria y representa un punto de referencia para comparar los controladores no lineales. El propósito de esta técnica es el control de par electromagnético en máquinas de corriente alterna a través de un desacoplamiento de variables mediante transformaciones de coordenadas. Las pruebas realizadas en simulación a los controladores (Vectorial, Nominal y Robusto) consisten en variar de forma independiente las resistencias de fase en valores de 50%, 150% y 200% del valor nominal, además, se efectúan pruebas para evaluar el comportamiento de los controladores bajo cambios en el ángulo de la superficie sobre la cual circula el auto, estos cambios van desde 10◦ hasta 20◦ . Como un objetivo extra en la tesis se desarrolla la implementación del sistema inversor-motor, el cual es operado con el sistema DSPACE del laboratorio de Máquinas Eléctricas del CENIDET. Esta implementación contempla el sensor de velocidad tipo resolver, los sensores de efecto hall para medir corrientes y la implementación del PWM senoidal para disparar los dispositivos semiconductores del inversor trifásico.

Abstract This thesis work addresses a nonlinear control based on Lyapunov´s redesign, this with the aim to deal parametric uncertainty in the resistance of the windings of a brushless motor mounted on electric vehicle. The robust controller design starts from passivity based control method (nominal controller); this methodology takes into account the passivity property of the motor, as well as energy shaping and damping injection for a proper tracking of desired trajectories. The mathematical model of the electric vehicle is formed by an electrical subsystem (battery bank, three-phase power inverter and motor) and a mechanical subsystem (motor, mechanical transmission and wheels). The battery model is considered as an ideal voltage source capable of delivering the motor current demanded from it. The inverter model considers ideal switching devices and sine modulation technique. Two models are obtained for the three-phase brushless motor: one from a traditional analysis of electrical circuits and another based on the E-L equations. The transformation in the reference frame fixed to the rotor is applied to both models. Finally, from Newton´s second law a mechanical part model is obtained considering the physical properties of the transmission and wheels. Within this research a vector controller for a brushless motor is also developed, because it is highly used in industry and represents a benchmark to compare the nonlinear controllers. The purpose of this technique is the electromagnetic torque control in AC machines through a decoupling of variables with coordinate transformations. The simulation tests of the controllers (Vectorial, Nominal and Robust) consist of independently variations of the phase resistances in values of 50%, 150% and 200% of nominal values, moreover, tests are performed to evaluate the behavior of all controllers under changes in the angle of the surface on which the car moves, this changes range from 10◦ to 20◦ . As an extra goal in this thesis, the implementation of inverter-motor system is developed, this dual system is operated with the DSPCE from the Electric Machines laboratory in CENIDET. This implementation considers the resolver speed sensor, hall efect current sensors and sine PWM technique to trigger semiconductors devices in the power inverter.

Dedicatoria

A Dios: por guiarme en todo momento de mi vida.

A mis padres: Gustavo Langarica M. y María Elena S. Córdoba M. por su amor, apoyo y educación,

A mi hermano Gustavo: por sus incontables experiencias de vida.

A mi hermana Olivia: por contagiarme de ese espíritu aventurero.

Esto es para ustedes con todo mi corazón.

Agradezco

A toda mi familia por apoyarme con sus palabras.

Al Dr. Gerardo V. Guerrero R. por su conocimiento, paciencia, disciplina, guía y amistad a lo largo de la maestría, gracias por su ejemplo de vocación.

Al Dr. Abraham Claudio S. por su valiosa contribución con sus conocimientos y amistad.

A mi revisores, los Doctores Carlos D. García B. y Víctor M. Alvarado M. por enriquecer la tesis con sus comentarios.

A mis profesores, Manuel Adam M., Carlos M. Aztorga Z., Alejandro Rodríguez P., Juan Reyes R., Guadalupe Madrigal E., Pedro R. Mendoza E., Enrique Quintero-Mármol M., José Loyde O., Rosa M. Rodríguez D., Guadalupe P. Armas L. y Alberto Abarca por sus enseñanzas dentro y fuera de las clases.

A mis amigos, Julio, Abraham, Erik, Felipe, Miguel y Alejandro por haber compartido la trinchera en clases.

A mi maestro del Tecnológico José Antonio Hernández Reyes por su apoyo y motivación para entrar al CENIDET.

A mis amigos que me alentaron a seguir adelante, Edgar Ivan, Ángel, Juan Manuel, Adrián, Oscar Cipriano y Félix.

A la Secretaria Maira Correa, al Ing. Mario Moreno , a la Sra. Monica Diaz, a la Srita. Nadia Lopez y a todo el personal del CENIDET.

Al CONACYT por brindarme el apoyo económico durante la maestría.

Sólo hay un bien: el conocimiento. Sólo hay un mal: la ignorancia. Sócrates

Contenido Lista de Figuras

iii

Lista de Tablas

vii

Lista de Símbolos

ix

1 Introducción 1.1 Antecedentes . . . . . . . . . 1.2 Ubicación del problema . . . . 1.3 Justificación . . . . . . . . . . 1.4 Hipótesis . . . . . . . . . . . . 1.5 Objetivos . . . . . . . . . . . 1.5.1 Objetivo general . . . 1.5.2 Objetivos particulares 1.6 Estado del arte . . . . . . . . 1.7 Aportaciones . . . . . . . . . 1.8 Organización del trabajo . . .

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1 1 4 5 6 7 7 7 7 10 10

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13 14 15 16 22 23 26

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29 30 33 33 36 41 43 45 46

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2 Análisis en estado estacionario del motor brushless 2.1 Construcción del motor brushless . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Circuito equivalente del motor brushless . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Determinación de la matriz de inductancias del estator 2.3 Operación en estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Análisis de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Ejemplo de análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Modelo dinámico del sistema 3.1 Inversor trifásico de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Modelo matemático del motor brushless . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Modelo en ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Modelo en ecuaciones Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . 3.3 Teoría del marco de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Transformación al modelo en ecuaciones diferenciales . . 3.3.2 Transformación al modelo en ecuaciones Euler-Lagrange 3.3.3 Matriz de resistencias explícitas . . . . . . . . . . . . . . i

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Contenido 3.4 3.5

Modelo de la parte mecánica del vehículo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simulación en lazo abierto del sistema inversor-motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Control vectorial 4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Diseño del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Simulación del control vectorial bajo diferentes escenarios . . . 4.4.1 Simulación bajo condiciones nominales de operación. . 4.4.2 Simulación bajo variaciones en las resistencias de fase. 4.4.3 Simulación bajo cambios en el ángulo de la superficie. .

47 49

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53 53 54 54 59 60 62 64

5 Control robusto 5.1 Consideración del rediseño de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Ejemplo de control robusto aplicado a un sistema mecánico . . . . . . 5.3 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Diseño del controlador nominal basado en pasividad . . . . . . . . . . 5.4.1 Diseño del controlador del subsistema mecánico . . . . . . . . 5.4.2 Diseño del controlador del subsistema eléctrico . . . . . . . . . 5.5 Diseño del controlador robusto basado en el rediseño de Lyapunov . . 5.6 Simulación de los controladores propuestos bajo diferentes escenarios 5.6.1 Simulación bajo condiciones nominales de operación. . . . . . 5.6.2 Simulación bajo variaciones en las resistencias de fase. . . . . 5.6.3 Simulación bajo cambios en el ángulo de la superficie. . . . . .

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67 68 69 73 74 74 76 78 81 83 85 89

6 Análisis de resultados y conclusiones 6.1 Comparación de índices de desempeño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 93 97 99

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Bibliografía

101

A Implementación en el DSPACE A.1 Operación del resolver . . . . . . . . A.2 Señales de control . . . . . . . . . . . A.3 Operación de los sensores de corriente A.4 Resultados en lazo abierto . . . . . . A.5 Resultados en lazo cerrado . . . . . .

105 107 109 112 114 116

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B Uso del ADC y DAC del DSPACE ds1103

121

C Programas de Matlab

133

ii

Lista de Figuras 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Triciclo eléctrico de 1882. . . . . . . . . . . . . . Promedio anual de costo por barril de petróleo. Clasificación de autos ecológicos. . . . . . . . . Fuerzas que actúan sobre el VE. . . . . . . . . . Clasificación de los motores eléctricos. . . . . . .

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2 2 3 4 5

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12

Sección transversal del MB trifásico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Devanados del estator del MB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Componentes Faq y Fad de la fuerza Fa . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comportamiento de la inductancia propia del devanado a. . . . . . . . Circuito equivalente de la fase a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Circuito equivalente monofásico del MB en el dominio de la frecuencia. Diagrama fasorial de la ecuación (2.45). . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de flujo de potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representación de la parte eléctrica y mecánica del MB. . . . . . . . . Curva de potencia del MB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Circuito eléctrico para la fase a del motor B26S. . . . . . . . . . . . . . Diagrama fasorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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14 15 17 18 22 23 23 24 25 26 28 28

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11

Diagrama del VE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inversor de potencia con el uso de PWM senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principio de operación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representación del MB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Descomposición pasiva de subsistemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relación entre marcos de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representación de la transmisión del VE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerzas que actúan sobre el VE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama a bloques de la simulación en lazo abierto para el sistema inversor-motor Simulación del sistema inversor-motor con un escalon de 87 N m en τL . . . . . . . . Efectos de la modulación senoidal sobre las corrientes del MB. . . . . . . . . . . . .

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29 30 32 34 41 42 47 48 50 51 51

4.1 4.2 4.3 4.4

Representación de la transformación de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . Controlador vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Seguimiento de velocidad deseada bajo condiciones balanceadas de operación. . Seguimiento de par y regulación de flujo bajo condiciones balanceadas. . . . .

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56 57 60 61

iii

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Lista de Figuras 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14

Señales de control para el caso sin variaciones en el control vectorial. . . . . Corrientes del MB en el caso sin variaciones con el controlador vectorial. . Variación paramétrica al valor de las resistencias de fase del MB. . . . . . . Seguimiento de velocidad deseada con variación de 200% en rc en el control Corrientes del MB con variación de 200% en rc en el control vectorial. . . . Índices de desempeño para variaciones de 50%, 100%, 150% y 200%. . . . . Cambio en el ángulo ψ de la superficie sobre la cual circula el VE. . . . . . Seguimiento de velocidad deseada con cambios en ψ en el control vectorial. Par electromagnético desarrollado por el MB bajo cambios en ψ. . . . . . . ITAE del control vectorial cuando varía ψ. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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61 61 62 63 63 64 64 65 66 66

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.17 5.18 5.19 5.20 5.21

Resultado del control de posición angular de un manipulador de 1 gdl. . . . . . . . . . Resultado del control de velocidad angular a un manipulador de 1 gdl. . . . . . . . . Señales de control nominal τn y robusto τr aplicadas a un manipulador de 1 gdl. . . . Descomposición pasiva de subsistemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama a bloques del control no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Seguimiento de velocidad bajo condiciones nominales de operación. . . . . . . . . . . Seguimiento de par electromagnético bajo condiciones nominales de operación. . . . . Señal de control y seguimiento de corriente en el eje q bajo condiciones nominales. . . Señal de control y seguimiento de corriente en el eje d bajo condiciones nominales. . . Señal de control y seguimiento de corriente en el eje 0 bajo condiciones nominales. . . Variación paramétrica al valor de las resistencias de fase del MB. . . . . . . . . . . . . Seguimiento de velocidad con variación de 200% en rc . . . . . . . . . . . . . . . . . . Seguimiento de par electromagnético con variación de 200% en rc . . . . . . . . . . . . Señal de control y seguimiento de corriente en el eje q con variación de 200% en rc . . . Señal de control y seguimiento de corriente en el eje d con variación de 200% en rc . . Señal de control y seguimiento de corriente en el eje 0 con variación de 200% en rc . . ITAE para variaciones de 50%, 100%, 150% y 200%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cambio en el ángulo ψ de la superficie sobre la cual circula el VE. . . . . . . . . . . . Seguimiento de velocidad con variación de 200% en rc con control nominal y robusto. Seguimiento de par electromagnético y corriente ia de ambos casos . . . . . . . . . . . ITAE de los controladores no lineales cuando varía ψ. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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72 72 73 74 81 83 84 84 85 85 86 87 87 88 88 89 89 90 91 91 92

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Referencia de velocidad angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Error de velocidad angular de los tres controladores bajo condiciones normales. . . . Error de velocidad angular de los tres controladores bajo un cambio en rc de 200%. Corrientes del MB con variación de 200% en rc para los tres casos. . . . . . . . . . . Error de velocidad angular de los tres controladores bajo un cambio en ψ de 20◦ . . .

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93 94 95 96 97

A.1 A.2 A.3 A.4 A.5 A.6

Diagrama Diagrama Diagrama Diagrama Diagrama Diagrama

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105 106 107 108 108 109

a bloques del sistema ds1103. . . . . . . . . . . . a bloques general de la implementación. . . . . . esquemático del resolver. . . . . . . . . . . . . . para obtener la lectura del resolver. . . . . . . . en Simulink para obtener la lectura del resolver. del Controlador P y del bloque FVE1. . . . . . . iv

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Lista de Figuras A.7 Aislamiento eléctrico para las señales del resolver (Bloque A). . A.8 Diagrama de generación de las señales de control (Bloque B). . . A.9 Generación de tiempos muertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.10 Diagrama de generación de la señal portadora. . . . . . . . . . . A.11 Diagrama para generar el bus de CD. . . . . . . . . . . . . . . . A.12 Diagrama para generar las señales moduladoras. . . . . . . . . . A.13 Aislamiento eléctrico para las señales de los sensores de corriente A.14 Diagrama de Simulink para lectura de corriente. . . . . . . . . . A.15 Filtro de variable de estado para las corrientes. . . . . . . . . . . A.16 Diagrama de calibración de los sensores de corriente. . . . . . . A.17 Perfil de las señales moduladoras. . . . . . . . . . . . . . . . . . A.18 Variables mecánicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.19 Variables eléctricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.20 Diagrama de Simulink. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.21 Seguimiento de velocidad angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . A.22 Par electromagnético real y deseado. . . . . . . . . . . . . . . . A.23 Señales del controlador y corrientes desarrolladas. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Bloque C). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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109 110 111 111 112 112 113 113 114 114 115 115 116 117 118 118 119

B.1 B.2 B.3 B.4 B.5 B.6 B.7 B.8 B.9 B.10 B.11 B.12 B.13 B.14 B.15 B.16 B.17 B.18 B.19 B.20 B.21 B.22 B.23 B.24 B.25

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121 122 122 122 123 123 124 124 125 125 126 126 126 127 127 128 128 128 129 129 130 130 131 131 132

Conexión entre los canales ADCH17 y DACH1 . Ventanas de librerías del DSPACE . . . . . . . . . Configuración del DAC . . . . . . . . . . . . . . . . Tabla de configuración del DAC . . . . . . . . . . Configuración del ADC . . . . . . . . . . . . . . . . Escalamiento de las señales. . . . . . . . . . . . . . Ventana de nuevo experimento. . . . . . . . . . . . Layout del experimento. . . . . . . . . . . . . . . . Botones de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bloque de graficación. . . . . . . . . . . . . . . . . Configuración del bloque de graficación. . . . . . . Configuración de la captura de variables. . . . . . . Compilación del diagrama de Simulink . . . . . . . Compilación del diagrama de Simulink . . . . . . . Compilación del diagrama de Simulink . . . . . . . Model root. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variables a relacionar. . . . . . . . . . . . . . . . . Relaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pantalla final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Selección del Host. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Manejo de datos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Manejo de datos en Matlab. . . . . . . . . . . . . . Error de tiempo de muestreo. . . . . . . . . . . . .

v

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista de Tablas 1.1 1.2

Comparación cualitativa entre el VE y el auto de combustión interna. . . . . . . . . . . Diferencias entre el motor brushless y el motor de inducción. . . . . . . . . . . . . . . .

2.1

Parámetros del MB.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.1

Parámetros de la simulación en lazo abierto del sistema inversor-motor. . . . . . . . . .

50

4.1 4.2 4.3 4.4

Parámetros usados en simulación para el control vectorial del VE. . . . . . . Índices de desempeño para el caso sin variaciones del control vectorial. . . . Índices de desempeño del control vectorial ante variaciones en las resistencias Índices de desempeño del control vectorial ante cambios en ψ . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . de fase . . . . . .

. . . .

59 60 62 65

5.1 5.2 5.3 5.4

Parámetros usados en simulación para el control no lineal del VE. . . . . . . . . . . . Índices de desempeño de los controladores no lineales bajo condiciones nominales . . . Índices de desempeño de los controladores no lineales ante cambios en las resistencias. Índices de desempeño de los controladores no lineales bajo variaciones en ψ. . . . . .

. . . .

82 83 86 90

6.1 6.2 6.3 6.4

Índices de desempeño de control de velocidad en el caso sin variaciones. . . . . . Índices de desempeño de control de velocidad ante un cambio en ra , rb y rc . . . . ITAE de la regulación de corrientes id e i0 bajo cambios paramétricos en rc . . . . Índices de desempeño del control de velocidad bajo una variaciones en ψ de 20◦ .

. . . .

94 95 96 97

. . . .

. . . .

. . . .

4 6

A.1 Parámetros del motor BSM80B-150AA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 C.1 Parámetros de la simulación en lazo abierto del capítulo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . 133 C.2 Parámetros usados en simulación para el control de los capítulos 4 y 5. . . . . . . . . . 134

vii

Lista de Símbolos Simbolos generales θe , θm ωe , ωm ηm np Re re I ia , ib , ic V va , vb , vc Λ λa , λb , λc Λm λam , λbm , λcm λm L, De Ns Fa Pq , Pd Lm L∆m Lls Ls c (·) fp ϕ δ eag Pem , Pem, 3φ g(t) fs Ma , Mb , Mc fm Am

Desplazamiento angular eléctrico y mecánico. Velocidad angular eléctrica y mecánica. Velocidad del rotor en revoluciones por minuto. Número de pares de polos del motor. Matriz de resistencias. Resistencia de fase. Vector de corrientes trifásicas. Corrientes de fase. Vector de voltajes de alimentación trifásicos. Voltajes de fase. Vector de enlaces de flujo del motor. Enlaces de flujo. Vector de enlaces de flujo debidos al material magnético. Enlaces de flujo debidos al material magnético. Magnitud de los enlaces de flujo dados por el imán en el rotor. Matriz de inductancias. Número de vueltas de los devanados. Fuerza magnetomotriz de la fase a. Permeancias magnéticas. Valor promedio de la inductancia de magnetización. Componente senoidal de la inductancia de magnetización. Inductancia de dispersión. Inductancia síncrona. Fasor. Factor de potencia. Ángulo cuyo coseno es el factor de potencia. Ángulo de potencia. Voltaje generado por el movimiento del rotor. Potencia electromagnética por fase y trifásica. Señal portadora. Frecuencia de la señal portadora. Señales moduladoras. Frecuencia de las señales moduladoras. Amplitud de las señales moduladoras.

Lista de Símbolos M va1 vi vac , vbc , vcc τem , τemd τL Bm , Rm J M B , DM B DV E Dm Wc q, q˙ qe , qm q˙e , q˙m L, Le , Lm T ∗ , Te∗ , Tm∗ V D F u Σe , Σm r ks , (ksr )−1 Vqd0 , ur Iqd0 , q˙er Λqd0m , µr Λqd0 Lqd0 , Der Lq , Ld Rex r Rex r ηg G Fte v Frr µrr m g ψ

Índice de modulación. Amplitud de la frecuencia fundamental. Bus de corriente directa. Señales de control. Par electromagnético y par electromagnético deseado. Par de carga. Coeficiente de fricción viscoza. Inercia del rotor. Inercia del vehículo. Inercia total del auto. Coenergía. Coordenada generalizada y velocidad generalizada. Coordenadas generalizadas (cargas eléctricas y posición angular mecánica). Velocidades generalizadas (corrientes trifásicas y velocidad angular mecánica) Lagrangiano general, Lagrangiano eléctrico y mecánico. Co-energía cinética general, Co-energía cinética eléctrica y mecánica. Energía potencial. matriz de inercias generalizadas. Función de disipación de Rayleigh. Vector entrada a la ecuación de Euler-Lagrange. Subsistemas eléctrico y mecánico. Matriz de transformación y su inversa. Vector de voltajes de alimentación en el marco de referencia fijo al rotor. Vector de corrientes en el marco de referencia fijo al rotor. Vector de enlaces de flujo´transformado debidos al imán en el rotor. Vector de enlaces de flujo transformado. Matriz de inductancias transformada. Inductancias del eje q y d. Matriz de resistencias explicitas. Matriz de resistencias explicitas transformada. Radio de la llanta. Eficiencia de la transmisión. Cociente de reducción de velocidad angular d ela transmisión. Fuerza de tracción eléctrica. Velocidad lineal del auto. Fuerza de fricción con la superficie. Coeficiente de fricción. Masa del vehículo en kilogramos. Coeficiente de aceleración gravitacional (9.81 m/s2 ). Ángulo de inclinación del camino.

x

Lista de Símbolos Fad ρ A Cd Fhc q˜˙, q¨˜ V (·) Γm e, e˙ k gd0 Bd0 Φ0 ˜ Φ ρ1 ǫ

Fuerza de fricción con el viento. Densidad del aire (1.25 Kg/m3 ). Área frontal del auto. Coeficiente aerodinámico. Peso del auto bajo una pendiente. Error de velocidad angular y error de aceleración angular. Función candidata de Lyapunov. Ganancia de control. Error de corrientes y su derivada. Ganancia de control. Vector de términos independientes al parámetro con incertidumbre. Matriz de términos relacionados al parámetro con incertidumbre. Vector del parámetro con incertidumbre. Error paramétrico. Cota máxima a la cual puede variar la incertidumbre. Ganancia de control.

Abreviaciones. VE MB MS MR MI CA CD CENIDET E-L IGBT MOSFET BJT PWM

Vehículo Eléctrico. Motor Brushless. Motor Síncrono. Motor de Reluctancia. Motor de Inducción. Corriente Alterna. Corriente Directa. Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico. Euler-Lagrange. Insulated Gate Bipolar Transistor. Metal Oxide Semiconductor Fiel Effect Transistor. Bipolar Junction Transistor. Pulse Width Modulation.

xi

Capítulo 1

Introducción partir de su invención en el siglo XIX, los motores eléctricos acompañan a la sociedad en diversas áreas como la producción de bienes, transporte, electrodomésticos, servicios médicos y entretenimiento. El uso extenso de los motores eléctricos en la vida diaria se debe a que estas máquinas convierten la energía eléctrica en energía mecánica. En la actualidad se dice que en un día una persona tiene a su servicio alrededor de 50 motores eléctricos, de aquí la importancia de estudiar a este tipo de dispositivos y mejorar sus características funcionales.

A

Este trabajo de tesis aborda el control de un motor brushless (MB) trifásico con aplicación a vehículos eléctricos (VE´s) y en este capítulo se presentan aspectos generales de esta investigación como los antecedentes de los VE´s, la ubicación del problema, los objetivos, la metodología, el estado del arte, los alcances y limitaciones, etc.

1.1

Antecedentes

El uso del vehículo eléctrico beneficia a nuestro medio ambiente al no emitir CO (monóxido de carbono) y otros gases nocivos a la salud humana; las limitaciones energéticas y ambientales en el mundo dejan en claro que el transporte eléctrico forma parte de la solución a la contaminación global. De forma básica un auto de esta naturaleza transforma la energía electroquímica almacenada en baterías en energía mecánica para desplazarse, sin la necesidad de utilizar algún tipo de combustible para su operación. La construcción del primer vehículo eléctrico se le atribuye a Robert Anderson en 1839 en Aberdeen, Escocia, pero oficialmente se reconoce a Gustave Trouvé como el primero en construir un triciclo eléctrico, exhibido en París, Francia en 1881. Un año después, en 1882, W. Ayrton y J. Perry presentan en Inglaterra otro triciclo (figura 1.1); el desarrollo subsecuente del auto eléctrico tenía la forma de un carruaje sin caballos. Este estilo fue desarrollado en muchos países de forma simultánea, particularmente en Francia, en 1902, por Jeantaud y Krieger [Bossche, 2003]. En la primera década del siglo XX se mantenía una fuerte competencia por dominar el mercado automovilístico entre las compañías de autos eléctricos y las compañías de autos de combustión interna. El bajo costo del petróleo en aquel entonces y el largo periodo de carga de las baterías eléctricas, propició que el consumidor se inclinara por el auto de combustión interna, por lo tanto, la poca demanda de autos eléctricos provocó un decremento considerable en el desarrollo tecnológico de estos. 1

1.1. Antecedentes

Figura 1.1: Triciclo eléctrico de 1882.

La necesidad mundial de petróleo en los años 80´s, además de las fuertes emisiones a la atmósfera por los automotores de combustión lograron que el transporte eléctrico resurgiera como una solución barata y eficaz. La figura 1.2, muestra la tendencia en el aumento del precio del barril de crudo a lo largo de los años, en lo que va del año 2010 el costo del barril es de aproximadamente $75 dólares [Goschel, 2008]. 150

Dólares

100

50

0 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

Años Figura 1.2: Promedio anual de costo por barril de petróleo. El petróleo representa el 40% de la energía total que se consume en el planeta; se estima que en el año 2048 el crudo escasee debido a su alta demanda. En el 2008 México consumió 2 039 000 barriles y produjo 3 157 000 barriles de crudo por día; el transporte urbano y la generación de energía eléctrica, a partir de petróleo, representan el área de mayor consumo del crudo en el país [Hayward, 2009]. Las emisiones al medio ambiente impactan directamente en la salud y en la ecología. Hasta marzo de 2009 en México circulaban 18 191 674 vehículos particulares, 293 643 autobuses de pasajeros y 8 377 677 camiones de carga: en total de 26 862 994 de vehículos, de los cuales un porcentaje muy pequeño representó al transporte eléctrico. La contaminación generada por la quema del combustible de 3 500 000 de autos en la Ciudad de México ocasiona en la población ardor de ojos, tos seca, bronquitis, asma o padecimientos del corazón, cuando esta supera los 250 puntos IMECA (Índice Metropolitano de Calidad del Aire) [INEGI, 2009].

2

Capítulo 1. Introducción La Secretaría de Salud de México propone las siguientes soluciones para reducir la contaminación del aire: • Industria limpia: incremento en la vigilancia, fomento y créditos para la instalación de sistemas anticontaminantes, verificación anual de las emisiones, mejoramiento e incorporación de nuevas tecnologías que reduzcan el uso de combustible y aumenten el uso de energía renovable. • Vehículos ecológicos: mejoramiento en la eficiencia de los motores de combustión interna, verificación vehicular obligada, apoyo al uso de vehículos híbridos y eléctricos, uso de gas natural en el transporte público colectivo. • Orden urbano: programas de reforestación urbana y rural, promoción de consciencia ambiental en la población, evitar la quema de basura y uso moderado de los automóviles de combustión interna. • Recuperación ecológica: reutilizar y reciclar materiales como plástico, vidrio y cartón. La figura 1.3 muestra los tipos de vehículos amigables con el medio ambiente, entre ellos se encuentra el VE.

Figura 1.3: Clasificación de autos ecológicos. Los autos solares cuentan con rangos elevados de autonomía, cero costos de operación, baja capacidad de carga y costos elevados de celdas solares, estos al igual que los eléctricos cuentan con un motor eléctrico. Los autos híbridos combinan un motor de combustión con uno eléctrico y logran altos niveles de eficiencia en consumo de combustible y baja emisión de monóxido de carbono. Los autos con celdas de combustible que representan una nueva forma de generación de energía, en ellas se produce una corriente cuando se pone en contacto el oxígeno con el hidrógeno bajo un ambiente controlado, como resultado se obtienen emisiones de agua pura, también utilizan un motor eléctrico. Los autos eléctricos son los llamados eléctricos puros, estos producen cero contaminación mientras se carguen con energía renovable, son fáciles de construir pero su costo es elevado, sin embargo su mantenimiento y operación es de bajo costo.

3

1.2. Ubicación del problema Con la intención de comparar las ventajas y desventajas del auto eléctrico con respecto al auto de combustión, se muestra la siguiente tabla: Tabla 1.1: Comparación cualitativa entre el VE y el auto de combustión interna. Rubro Auto eléctrico Auto de combustión Emisiones a la atmósfera Ninguna CO, SOx , N Ox , HC, P b Contaminación auditiva Casi nula Sí Costo de mantenimiento y operación Bajo Elevado Costo de compra Elevado Moderado Autonomía Corta Larga Velocidad máxima 120-160 Km/Hr. 150-230 Km/Hr. Peso Bajo Medio eficiencia energética del motor Alta Baja Capacidad de carga Media muy alta

1.2

Ubicación del problema

El VE como cualquier otro auto, está sometido a fuerzas que actúan en contra de su movimiento. En este trabajo de tesis se consideran las siguientes fuerzas: Fad es la fuerza de fricción con el viento, Frr es la fuerza de fricción con la superficie, Fhc es la componente del peso total del auto, Fte es la fuerza de tracción del auto, además, se considera que ψ es el ángulo de inclinación con respecto a la horizontal, m es la masa del auto, g es la aceleración gravitacional, 9.81 m/s2 , v es la velocidad lineal en m/s y a es la aceleración del móvil en m/s2 . La siguiente figura muestra como se relacionan las fuerzas involucradas en el movimiento del VE:

Figura 1.4: Fuerzas que actúan sobre el VE. De acuerdo a la segunda ley de Newton expresada por la siguiente ecuación: ΣF = ma,

(1.1)

Fte = ma + Frr + Fad + Fhc .

(1.2)

se puede decir que:

4

Capítulo 1. Introducción Entonces, ¿cuál es el problema a resolver?, la fuerza de tracción Fte está dada por el motor brushless trifásico, ademas, la señal de referencia de velocidad del vehículo está dada por la acción del conductor sobre los pedales, se considera que el controlador debe realizar una tarea de seguimiento. Por lo tanto, se requiere diseñar un controlador no lineal robusto que logre el objetivo de seguimiento de una trayectoria deseada (velocidad) en toda la región de operación de un motor brushless trifásico, este controlador debe de asegurar el acotamiento de las señales y la estabilidad interna del sistema completo, aún bajo incertidumbre paramétrica y perturbaciones en la carga.

1.3

Justificación

En años recientes el desarrollo del vehículo eléctrico se ha incrementado, así también, el desarrollo de motores eléctricos capaces de satisfacer los requerimientos de tracción. Una clasificación general de los motores se muestra en la figura 1.5, el motor de inducción y el motor brushless se destacan como los más utilizados para proporcionar tracción a un vehículo.

Figura 1.5: Clasificación de los motores eléctricos. En la tabla 1.2 se presentan las diferencias entre el motor brushless y el motor de inducción, la información mostrada indica que el motor brushless ofrece tanto ventajas como desventajas para su aplicación en tracción eléctrica. Es necesario resaltar que no existe deslizamiento entre las frecuencias del estator y rotor en el motor brushless; esto representa una de las principales ventajas sobre el motor de inducción. Por otro lado, el MB presenta la desventaja de un costo mayor que el de inducción. El MB como cualquier otro sistema físico, es susceptible a variaciones o perturbaciones paramétricas, por ejemplo, la resistencia de los devanados del estator puede llegar a variar un 100% de su valor nominal debido a la temperatura. En estos casos las técnicas de control que no toman en cuenta estas variaciones dejan de funcionar adecuadamente y ponen en riesgo la estabilidad del sistema.

5

1.4. Hipótesis

Rubro

Tabla 1.2: Diferencias entre el motor brushless y el motor de inducción. Motor brushless Motor de inducción (jaula de ardilla)

Características

Operación en todo el rango

No lineal,

velocidad/par

de velocidad a par nominal.

par bajo a velocidades bajas.

Baja. Mejores

Alta. Características

características dinámicas.

dinámicas pobres.

Nominal.

Arriba de 7 veces

Inercia del rotor Corriente de arranque

la corriente nominal. Requerimientos de control Deslizamiento

Siempre se requiere un

A velocidad constante no se requiere

controlador para mantener

controlador, a velocidad variable

la operación del motor.

sí se requiere.

No existe deslizamiento

La frecuencia del rotor es menor

entre rotor y estator.

a la del estator; el deslizamiento aumenta con la carga.

Las recientes metodologías de diseño de controladores (Adaptable, inteligente y modos deslizantes) consideran el hecho de que los sistemas físicos y el entorno en el cual operan no se puede modelar de manera precisa, pueden cambiar de manera no predecible y pueden estar sujetos a perturbaciones significativas. En este trabajo de tesis se elige el control robusto, el cual está diseñado a partir del control basado en pasividad y de la técnica de rediseño de Lyapunov. Esta última técnica se usa para encontrar una señal de control adicional que es agregada a la ley de control basado en pasividad, de esta forma, se garantiza la estabilidad del sistema ante incertidumbre paramétrica debido a variaciones en la resistencia de los devanados del estator. La ley de control robusta es estática, es decir, no incrementa el orden del sistema completo, solo requiere conocer el valor máximo de las variaciones paramétricas, esto presenta la desventaja de que el error de seguimiento de trayectoria deseada (velocidad) no converja a cero sino que únicamente permanece acotado, este acotamiento es elegido a criterio del diseñador [Guerrero, 2001][Olmos, 2004].

1.4

Hipótesis

Después de estudiar los principios del control robusto basado en el rediseño de Lyapunov y de hacer un estudio acerca del motor brushless, se propone la siguiente hipótesis: La técnica de control robusto basado en el rediseño de Lyapunov aplicada al MB, permite hacer un seguimiento de velocidad aceptable, aun frente a incertidumbre en el valor de la resistencia de los devanados del motor, además, mantiene el error acotado. 6

Capítulo 1. Introducción

1.5 1.5.1

Objetivos Objetivo general

En el control de máquinas de corriente alterna se han desarrollado distintos enfoques y esquemas, de estos se pretende la aplicación de técnicas de control no lineal al motor brushless trifásico; además de analizar el comportamiento del sistema en lazo cerrado, por lo tanto, el objetivo general que guía el desarrollo de la tesis es: Diseñar un controlador para lograr el seguimiento de trayectoria de velocidad de un motor brushless trifásico con un enfoque a vehículos eléctricos.

1.5.2

Objetivos particulares

Los objetivos particulares que guían el desarrollo del tema de investigación se basan en primer lugar en un estudio detallado del motor brushless trifásico y una revisión del estado del arte sobre los esquemas de control no lineal, posteriormente los esquemas analizados se aplican al motor para evaluar su desempeño. Los objetivos son los siguientes: 1. Analizar el motor en estado estacionario. 2. Obtener el modelo matemático del sistema completo (inversor-motor-vehículo). 3. Estudiar las estrategias de control no lineal (control basado en pasividad y control robusto). 4. Diseñar los esquemas de control no lineal para el seguimiento de trayectoria deseada (velocidad). 5. Realizar pruebas en simulación del sistema completo tomando en cuenta los ciclos de conducción del vehículo. 6. Realizar pruebas en tiempo real del sistema inversor-motor sin carga mecánica en el DSPACE.

1.6

Estado del arte

En [Guzzella et al., 2007], [M. Ehsani et al., 2004], [Chan et al., 2001] y en [Larminie et al., 2003] se presentan aspectos generales de la construcción de un VE como: las baterías a utilizar, las configuraciones usadas en la construcción de un VE, los controladores y motores disponibles, el modelado de la dinámica del auto y conceptos básicos de consumo de energía. En [Hori, 2004] se presenta un vehículo eléctrico experimental llamado UOT March II construido en el 2001; se exploran varias técnicas de control del vehículo: control de adhesión al suelo, control de frenado de alto desempeño, control de comportamiento bidimensional y estimación de la condición de la superficie del camino. El auto cuenta con un motor de imán permanente por cada neumático, lo que permite controlar de forma independiente el par generado en cada llanta; incorpora el frenado regenerativo para el uso eficiente de la energía.

7

1.6. Estado del arte En [Haddoun et al., 2007] se muestra el modelo de la dinámica del VE usada en este trabajo de tesis. Se considera que el motor se acopla a las llantas mediante una transmisión sencilla, además, mediante la segunda ley de Newton se relacionan las fuerzas que actúan sobre el VE. En [Wang et al., 2008] se muestran los motores que se utilizan los VE, dentro de los cuales destacan: 1. Motor de corriente directa: famoso por sus características de velocidad/par y control sencillo, como desventajas presenta un mantenimiento constante, baja eficiencia y la necesidad de un conmutador mecánico. 2. Motor de inducción: presenta bajo mantenimiento, costo y la habilidad de ser operados en ambientes hostiles. 3. Motor brushless: por su operación este tipo de motores se dividen en motor de corriente directa y de corriente alterna. La diferencia principal entre estos reside en que el primero trabaja con corrientes de estator tipo escalón y el segundo trabaja con corrientes de estator tipo senoidal lo que permite un menor rizado de par generado por el motor. Existen varios libros donde se tratan las características del funcionamiento del motor brushless entre los cuales se revisaron los siguientes. En [Krause et al., 2002] se profundiza en el estudio en estado estacionario del motor; se desarrollan las ecuaciones en los diferentes marcos de referencia, además brinda parámetros físicos del motor. En estos textos se presenta el análisis en estado estacionario del motor, destacando aspectos constructivos y de operación. En [Gieras et al., 2004] se muestra la tecnología existente en los materiales de construcción de motores de imán permanente, se presenta un estudio exhaustivo de todas las máquinas que cuentan con un rotor de esta naturaleza. En [Ortega et al., 1998] se presenta la metodología para la obtención del modelo matemático de la máquina eléctrica en general usando la ecuación de Euler-Lagrange. Esta metodología se puede aplicar para varias máquinas eléctricas de CA, entre las cuales se encuentra el motor brushless trifásico. En [Hyun, 2007] se propone un controlador robusto adaptable para el seguimiento de velocidad de un motor síncrono de imán permanente aplicado en un vehículo eléctrico, considerando incertidumbre en la resistencia de estator y par de carga; el modelo matemático que representa al motor está dado en el marco de referencia d-q, además, utiliza un algoritmo backstepping adaptable desarrollado recientemente para sistemas no lineales, el cual provee de pasos sistemáticos para el diseño de controladores de sistemas no lineales con parámetros desconocidos pero constantes. En [Petrovic et al., 2001] se muestra la regulación de velocidad de un motor síncrono de imán permanente por medio del moldeo de energía; se utiliza un controlador conformado por una retroalimentación de estados no lineal estática y un observador no lineal simple; este controlador tiene convergencia casi 8

Capítulo 1. Introducción global. El modelo utilizado esta basado en el modelo PCH (Port-controlled Hamiltonian) el cual resulta de la conservación de energía y de los parámetros físicos del sistema con elementos de almacenamiento independientes. La metodología de diseño para el control basado en pasividad para máquinas de CA en general se presenta en [Ortega et al., 1998]. Se define el control basado en pasividad como una extensión de la técnica del moldeo de energía e inyección de amortiguamiento usada para resolver problemas de regulación y seguimiento en la retroalimentación de estados. En [Guerrero, 2001] y [Durán, 2004] se presenta el control basado en pasividad para manipuladores de 2 grados de libertad con motor de inducción y 1 grado de libertad con motor síncrono de imanes permanentes respectivamente; estos utilizan la formulación de Euler-Lagrange para modelar el comportamiento dinámico tanto para el manipulador como para el motor utilizado, el controlador del subsistema mecánico, en ambos casos resulta del análisis de estabilidad basado en Lyapunov. En [Guerrero, 2001] y [Olmos, 2004] se presentan los pasos a seguir para obtener la ley de control robusta: en estos se desarrolla primero el control basado en pasividad y después se usa el rediseño de Lyapunov para hacer frente a la incertidumbre paramétrica. En [Guerrero, 2001] se ocupa el control robusto para garantizar el seguimiento de trayectorias en un manipulador de dos grados de libertad y en [Olmos, 2004] se ocupa el control robusto para garantizar la calidad de la red de suministro de CA a través de filtros activos. En [Gan et al., 2004] se aborda la problemática del rizado de par en motores de AC de imán permanente; este rizado se pretende eliminar usando el principio de modelo interno (IMP), se diseña un controlador robusto de ganancias programadas de dos grados de libertad que elimina este problema sin la necesidad de estimar la magnitud y fase del rizado; esta referencia brinda un modelo matemático del motor en el marco de referencia d-q. En [Ying et al., 2008] se presenta el modelo matemático en el marco de referencia abc para el motor brushless trifásico; la técnica de control usada para analizar el comportamiento dinámico del modelo es el clásico PID, se controla la velocidad del motor evaluando el error entre lo deseado y lo desarrollado por el motor. En [Yu, 2006] se propone un controlador basado en modos deslizantes usando la técnica PSO (Particle swarm optimization) con aplicación a un servomotor de corriente alterna, estos son una clase especial de sistemas de control no lineal caracterizados por una acción de control discontinua, la cual cambia de estructura una vez que se ha alcanzado un conjunto de superficies deslizantes. La técnica PSO fue concebida para resolver problemas en optimización, redes neuronales artificiales y control difuso. En [Boussak, 2005] se presenta el control de velocidad y la estimación de la posición inicial del rotor de un motor síncrono de imán permanente; La estimación de la posición y velocidad del rotor es obtenida a través con el filtro de Kalman extendido con la medición de los voltajes y corrientes de estator; el modelo del motor esta en el marco de referencia d-q. 9

1.7. Aportaciones

En [Rashid, 2001] y [Rashid, 1993] se presentan los aspectos generales de la modulación senoidal, además, brindan información útil de la topología general de un inversor trifásico. En [Trzynadlowski, 2001] se halla el modelo usado para representar al inversor en este trabajo de tesis. Este modelo relaciona el resultado del PWM senoidal con los voltajes de fase de alimentación del motor y considera solo dispositivos ideales de conmutación.

1.7

Aportaciones

El análisis en estado estacionario del MB descrito en el capítulo 2 representa una aportación ya que no existe tal análisis descrito en la literatura reportada. En este trabajo de tesis se conjunta el modelo del sistema inversor-motor-vehículo, lo que permite obtener simulaciones apegadas a lo que se realiza en la operación de los VE´s. Se presenta la transformación de coordenadas para los dos modelos obtenidos para el MB, lo que permite al lector seguir paso a paso el desarrollo ya que en la literatura es difícil encontrar dichos pasos. Este trabajo usa la técnica de rediseño de Lyapunov para hacer frente a variaciones paramétricas en el MB. En la bibliografía no se halló la aplicación de esta técnica al MB.

1.8

Organización del trabajo

En el capítulo 2 se presenta el análisis en estado estacionario del MB. En la primera parte se muestran los aspectos generales de la construcción del MB, la obtención del circuito equivalente monofásico del motor a través de la segunda ley de Kirchhoff y la obtención de las inductancias propias y mutuas de la máquina. En la segunda parte se muestra en análisis de potencia del MB en base al circuito equivalente en su representación fasorial. Como una última actividad se muestra un ejemplo de análisis útil para ilustrar el contenido del capítulo. En el capítulo 3 se muestra el modelo del sistema inversor-motor-vehículo. En una primera instancia se muestra la obtención del modelo del inversor y su uso con la modulación de tipo senoidal. El modelado del motor comprende el modelo obtenido a partir del método tradicional de ecuaciones diferenciales y el modelo obtenido a partir de las ecuaciones E-L. Se presenta también la teoría del marco de referencia y el desarrollo de la transformación para los dos modelos obtenidos. En este capítulo se presenta la matriz de resistencias explicitas que mas adelante en el capítulo 5 se hace uso de ella. Para finalizar este capítulo se obtiene el modelo de la carga mecánica En el capítulo 4 se presenta el control vectorial para el MB. Al principio del capítulo se presenta la justificación de por que usar esta técnica de control. Después se muestra que el procedimiento de diseño se realiza a partir de un cambio de variables y una transformación de coordenadas. Al final del capítulo se muestran los resultados obtenidos en simulación para este controlador. En el capítulo 5 se expone el controlador robusto. En una primera parte se diseña el control basado en pasividad tanto para el subsistema mecánico del MB como para el subsistema eléctrico. Después se hace uso del rediseño de Lyapunov para agregar a la ley de control nominal un término que haga frente 10

Capítulo 1. Introducción a la incertidumbre paramétrica. Al final del capítulo se muestra el desempeño del control robusto y del control nominal para hacer las comparaciones pertinentes entre estos dos. El capítulo 6 se presentan un análisis comparativo de los resultados obtenidos en simulación para el control de velocidad, muestran tablas de evaluación de índices de desempeño para cada caso y además se dan las conclusiones del trabajo de tesis. Para finalizar se muestra la bibliografía consultada, así como los anexos correspondientes a la implementación en el sistema DSPACE.

11

Capítulo 2

Análisis en estado estacionario del motor brushless l motor brushless (MB) trifásico es un motor síncrono de imán permanente de corriente alterna (CA). Recibe el nombre de motor síncrono ya que la velocidad angular del rotor se relaciona con la velocidad angular del campo magnético giratorio en el estator y no existe deslizamiento entre estas dos velocidades [Fitzgerald et al., 2003]. El estator de este motor es como el de cualquier motor trifásico, dependiendo de la construcción del rotor se tienen diferentes tipos de motores síncronos: el MB cuenta con imanes permanentes montados en el rotor, el motor síncrono (MS) de rotor devanado cuenta con un embobinado para generar el campo magnético y el motor de reluctancia (MR) cuenta con un rotor laminado.

E

Las ventajas del MB ante motores como el de corriente directa (CD), el de inducción (IM) o el MS son las siguientes: • No se absorbe energía eléctrica por el sistema de excitación de campo (uso de imán permanente), por tanto, no hay pérdidas de excitación lo cual significa un incremento substancial en la eficiencia. • Relación de par/peso y potencia/peso de salida alta en comparación con el uso de excitación electromagnética. • Mejor desempeño dinámico que otros motores (alta densidad de flujo magnético en el entrehierro). • Excelente controlabilidad en el rango completo de par-velocidad. • Robustez y funcionalidad. • Simplificación de la construcción y mantenimiento. El MB trifásico es ampliamente usado en sistemas de generación de potencia trifásica, sistemas de propulsión eléctrica y como actuador en servo-sistemas [Lyshevski, 1999]. El uso de materiales magnéticos en el rotor como el neodimio-hierro-boro (N d2 F e14 B) y el samario de cobalto (Sm1 Co5 y Sm2 Co17 ) proporciona un alto par, alta densidad de potencia, eficiencia y controlabilidad. En este capítulo se abordan aspectos como: la construcción del MB, el circuito equivalente, la matriz de inductancias y el análisis de potencia de la maquina. 13

2.1. Construcción del motor brushless

2.1

Construcción del motor brushless

El MB tiene una construcción similar a la de cualquier motor, cuenta con un estator, un rotor y una carcasa. El estator contiene varias bobinas por cada devanado de fase, distribuidas en ranuras alrededor de él. El rotor está formado por uno o varios imanes permanentes con la intención de generar el campo magnético del rotor. La vida útil de estos imanes se ve afectada por temperaturas elevadas o por la presencia de un campo magnético externo mucho mayor que el de los imanes. La carcasa cumple con el objetivo de proteger contra el medio ambiente y la corrosión al motor, además, sobre la carcasa se montan los soportes del eje del rotor, dispositivos de medición de velocidad y demás elementos que brindan una correcta instalación del motor. El MB conceptualmente tiene una estructura como la mostrada en la figura 2.1. Aquí se muestra un motor de 2 polos y 3 fases; los devanados del estator (a, b, c) son idénticos pero separados entre si 120◦ (2π/3 radianes), cada uno con Ns vueltas y resistencia re , para nuestro análisis se asume que los devanados de estator están distribuidos senoidalmente. Los devanados del estator generan campos magnéticos, estos se representan como (ejes a, b y c) y los ejes magnéticos del rotor (ejes q y d). La salida de corriente se representa por cruces y la entrada por puntos. El desplazamiento angular eléctrico es θe y define la separación entre el eje a y el eje q. La velocidad del campo magnético giratorio es ωe .

Figura 2.1: Sección transversal del MB trifásico. El motor se alimenta de los voltajes trifásicos aplicados a los devanados del estator, estos voltajes crean un campo magnético giratorio con una velocidad angular ωe dada por: ωe = 2πf,

(2.1)

donde f es la frecuencia de los voltajes en Hz., ahora, ωe se relaciona con la velocidad angular mecánica ωm con: ωe = np ωm , (2.2) con np como el número de pares de polos. De esta última expresión se puede decir que los motores con pocos pares de polos se utilizan para velocidades elevadas y los que cuentan con muchos pares de polos en aplicaciones de baja velocidad. 14

Capítulo 2. Análisis en estado estacionario del motor brushless Si se desea conocer las revoluciones por minuto (rpm) del rotor ηm , se tiene la siguiente expresión: ηm =

60f , np

(2.3)

de aquí se deduce que después del arranque el rotor gira a la velocidad ηm . Esta ecuación (2.3), relaciona la velocidad del rotor con la frecuencia de los voltajes aplicados al estator y el número de pares de polos de la máquina. Esta última ecuación establece la característica fundamental de las máquinas síncronas. En la operación el número de pares de polos no se puede modificar, entonces, para variar la velocidad del rotor sólo hace falta variar la frecuencia de los voltajes aplicados, esto se cumple desde la operación en vacío hasta la carga máxima admisible por el MB. Si se supera el par de carga máximo el motor pierde el sincronismo.

2.2

Circuito equivalente del motor brushless

En esta sección se muestra la metodología para hallar el circuito equivalente del MB. Como un primer paso se muestra la representación del devanado trifásico y las variables eléctricas asociadas a él. Después se determinan los elementos de la matriz de inductancias y los elementos del vector de enlaces de flujo debido al imán. Por último se utiliza el circuito equivalente para la fase a con el propósito de analizar el estado estacionario. Estos resultados son fácilmente extrapolados para las fases b y c, para obtener la representación trifásica completa. El devanado trifásico del estator del MB generalmente se conecta en estrella y cada devanado se representa por una resistencia y una inductancia, como se muestra en la figura 2.2. Por construcción los devanados tienen una misma resistencia re . ia , ib , ic son las corrientes en los devanados y va , vb , vc son los voltajes aplicados a cada fase del estator.

Figura 2.2: Devanados del estator del MB. Los enlaces de flujo del motor se expresan como una suma de los enlaces de flujo del estator (definidos por el producto de las inductancias por las corrientes) más los enlaces de flujo dados por el material 15

2.2. Circuito equivalente del motor brushless magnético en el rotor, esta suma tiene la forma: λa = laa ia + lab ib + lac ic + λa m , λb = lba ia + lbb ib + lbc ic + λb m ,

(2.4)

λc = lca ia + lcb ib + lcc ic + λcm , donde λa , λb y λc son los enlaces de flujo del motor. laa , lab , lac , lba , lbb , lbc , lca , lcb , lcc son inductancias de los devanados del estator. ia , ib , ic son las corrientes que circulan en los devanados. λam , λbm y λcm son los enlaces de flujo establecidos por el imán permanente, estos enlaces son funciones periódicas de θe y están dados por la ecuación (2.5). La magnitud de los enlaces está dada por λm determinada por el material del imán permanente. λam = λm sin θe  λbm = λm sin θe −  λcm = λm sin θe +

 2 π 3  2 π 3

(2.5)

Las ecuaciones (2.4) se pueden reescribir matricialmente como:       λam ia laa lab lac λa  λb  =  lba lbb lbc   ib  +  λbm  λcm ic lca lcb lcc λc  donde

(2.6)

       λam ia laa lab lac λa Λ =  λb  , L=  lba lbb lbc  , I =  ib  y Λm =  λbm  λcm ic lca lcb lcc λc 

Entonces la ecuación matricial de los enlaces de flujo (2.6) se puede expresar de la siguiente forma: Λ = LI + Λm

(2.7)

con Λ como el vector de enlaces de flujo del motor, L la matriz de inductancias, I el vector de corrientes de fase y Λm el vector de enlaces de flujo debido al imán. De esta última ecuación se requiere conocer los elementos de L para después hallar el circuito que representa a la fase a del motor.

2.2.1

Determinación de la matriz de inductancias del estator

Los elementos de la matriz L son inductancias dependientes del desplazamiento angular eléctrico θe entre los ejes magnéticos del rotor y estator. Si los subíndices de las inductancias l son iguales indican que son inductancias propias (laa , lbb y lcc ) y si son diferentes indican que es una inductancia mutua entre dos devanados (lab , lac , lba , lbc , lca y lcb ). De forma general la inductancia lij es la inductancia del devanado de la fase i, debida a la corriente del devanado de la fase j [Kundur, 1994]. Inductancias propias del estator

16

Capítulo 2. Análisis en estado estacionario del motor brushless La inductancia propia o autoinductancia laa es igual a la razón del enlace de flujo del devanado de la fase a con respecto a la corriente ia con todas las demás corrientes iguales a cero, además, esta inductancia propia cuenta con una componente de dispersión (Lls ), debida al flujo disperso en el devanado y una componente de magnetización, debida al flujo de magnetización causada por el devanado. La inductancia laa es un máximo cuando θe = 0◦ , es un mínimo cuando θe = 90◦ y vuelve a ser un máximo con θe = 180◦ y así sucesivamente. La fuerza magnetomotriz de la fase a (Fa ) tiene una distribución senoidal con un valor máximo Ns ia centrado en el eje magnético de la fase a. La figura 2.3 muestra las componentes de la fuerza magnetomotriz de la fase a a lo largo de los ejes q y d.

Figura 2.3: Componentes Faq y Fad de la fuerza Fa . Entonces, si Fa = Ns ia es la fuerza magnetomotriz de la fase a, sus componentes a lo largo de los ejes del rotor están dados por: Faq = Fa cos θe ,

(2.8)

Fad = Fa sin θe .

Si el rotor es de polos salientes tendrá distintos coeficientes de permeancia magnética Pq y Pd , entonces los flujos por polo en el entrehierro a lo largo de los dos ejes son: Φaq = Pq Fa cos θe ,

(2.9)

Φad = Pd Fa sin θe . El enlace de flujo total de la fase a en el entrehierro es:

(2.10)

λaa0 = Ns (Φaq cos θe + Φad sin θe ) , al sustituir los valores de Φaq y Φad en la ecuación anterior se obtiene:
λaa0 = Ns Fa Pq cos2 θe + Pd sin2 θe ,

y al usar las identidades trigonométricas cos2 = λaa0 = Ns Fa



1 2

+ 12 cos 2θe y sin2 =

1 2

(2.11) − 12 cos 2θe , se tiene que:

 Pd + Pq Pd − Pq − cos 2θe . 2 2 17

(2.12)

2.2. Circuito equivalente del motor brushless La relación entre el enlace de flujo λaa0 y la inductancia laa0 es: laa0 =

λaa0 Ns λaa0 λaa0 = = , ia Fa /Ns Fa

(2.13)

entonces la componente de magnetización de la inductancia propia de la fase a está dada por: laa0 = donde Lm = Ns2



Pd +Pq 2

Ns2





Pd + Pq Pd − Pq − cos 2θe 2 2



= Lm − L∆m cos 2θe ,

(2.14)

es el valor promedio de la inductancia de magnetización y la amplitud pico   q de la variación senoidal de la inductancia de magnetización es L∆m = Ns2 Pd −P cos 2θ e . 2 A esta inductancia laa0 se le suma la inductancia de la componente de dispersión Lls , debida al flujo producido por ia que no cruza el entrehierro y sólo afecta al devanado de la fase a, entonces la inductancia propia queda: laa = Lls + Lm − L∆m cos 2θe ,

(2.15)

y la variación de la inductancia propia laa con respecto a θe se muestra en la figura 2.4.

Figura 2.4: Comportamiento de la inductancia propia del devanado a. Dado que los devanados de las fases b y c son idénticos al devanado de la fase a con un desplazamiento y 2π radianes eléctricos respectivamente, las inductancias propias del estator son: de 3 −2π 3

laa = Ll s + Lm − L∆m cos 2θe ,   2π lbb = Ll s + Lm − L∆m cos 2 θe − . 3   2π lcc = Lls + Lm − L∆m cos 2 θe + . 3

(2.16)

Inductancias mutuas del estator Estas se definen como la razón del enlace de flujo de un devanado debido a la corriente que circula en un segundo devanado, con todas las demás corrientes iguales a cero. La inductancia mutua lba se puede encontrar por la evaluación del enlace de flujo de la fase b (λba ) en el entrehierro cuando la fase 18

Capítulo 2. Análisis en estado estacionario del motor brushless a es excitada. Para encontrar los enlaces de flujo de la fase b debido a la fuerza magnetomotriz de la fase a, se reemplaza θe por θe − 2π en la ecuación (2.10): 3      2π 2π λba0 = Ns Φaq cos θe − + Φad sin θe − . (2.17) 3 3 Al sustituir los valores de Φaq y Φad dados en (2.9) en la ecuación anterior, se obtiene:      2π 2π λba = Ns Fa Pq cos θe cos θe − + Pd sin θe sin θe − 3 3

(2.18)

para simplificar la expresión anterior se usan las siguientes identidades trigonométricas:   2π 2π 2π cos θe − = cos θe cos + sin θe sin , 3 3 3   2π 2π 2π = sin θe cos − cos θe sin , sin θe − 3 3 3 entonces,

"

λba = Ns Fa Pq

√

1 3 − cos2 θe + cos θe sin θe 2 2

!

√

1 3 cos θe sin θe + Pd − sin2 θe − 2 2

(2.19)

!#

.

(2.20)

Al usar las identidades trigonométricas cos2 = 12 + 12 cos(2θe ), sin2 = 21 − 12 cos(2θe ) y cos θe sin θe = 1 sin(2θe ), se tiene que: 2 " !# √ Pd + Pq Pd − Pq 1 3 λba = Ns Fa − − cos(2θe ) + − sin(2θe ) , (2.21) 4 2 2 2 se usa una igualdad para:

por lo tanto se tiene:

√  3 π 1 sin(2θe ) = cos 2 θe − − cos(2θe ) + , 2 2 3

(2.22)

   π Pd + Pq Pd − Pq , − cos 2 θe − λba = Ns Fa − 4 2 3

(2.23)

y finalmente se utiliza una expresión similar a la ecuación 4.11: lba =

λba λba Ns λba = = . ia Fa /Ns Fa

(2.24)

La inductancia mutua entre las fases a y b es igual a:  1 π , (2.25) lba = lab = − Lm − L∆m cos 2 θe − 2 3 entonces las inductancias mutuas entre los devanados de estator se expresan con las siguientes ecuaciones:  1 π lab = lba = − Lm − L∆m cos 2 θe − , 2 3   π 1 (2.26) , lac = lca = − Lm − L∆m cos 2 θe + 2 3 1 lbc = lcb = − Lm − L∆m cos 2 (θe + π) . 2 19

2.2. Circuito equivalente del motor brushless El término del valor promedio de la inductancia (Lm ) es multiplicado por − 21 , esto se debe al ; y el coseno de este desfasamiento es − 12 . desfasamiento entre los devanados del estator que es de 2π 3 Una vez determinados todos los elementos de L y considerando que θe = np θm , la matriz de inductancias del motor MB es:   laa lab lac (2.27) L =  lba lbb lbc  , lca lcb lcc con las siguientes expresiones para cada elemento:

laa = Lls + Lm − L∆m cos(2np θm ),   2π lbb = Lls + Lm − L∆m cos 2 np θm − , 3   2π lcc = Lls + Lm − L∆m cos 2 np θm + , 3  π 1 , lab = lba = − Lm − L∆m cos 2 np θm − 2 3   1 π lac = lca = − Lm − L∆m cos 2 np θm + , 2 3 1 lbc = lcb = − Lm − L∆m cos 2 (np θm + π) . 2

(2.28)

Para motores síncronos de imán permanente de rotor cilíndrico se cumple que, Pq = Pd , entonces los elementos de la matriz de inductancias se simplifican, ya que L∆m = 0, por tal motivo, las inductancias ya no están en función del desplazamiento angular eléctrico θe . Realizando las operaciones, las expresiones de los elementos simplificados quedan: laa = lbb = lcc = Lls + Lm , lab = lba = lac = lca



2π = lbc = lcb = Lm cos ± 3



1 = − Lm . 2

(2.29)

Hasta aquí ya se tienen definidos todos los elementos de la matriz de inductancias, ahora se continúa con el desarrollo del circuito equivalente para la fase a. De la ecuación (2.4), el enlace de flujo para la fase a es: λa = laa ia + lab ib + lac ic + λam , (2.30) esta última se puede expresar usando los términos de las inductancias correspondientes definidas anteriormente:  
1 λa = Lls + Lm ia + − Lm (ib + ic ) + λm sin θe . (2.31) 2

Cuando un conjunto de voltajes trifásicos con la misma amplitud alimenta a los devanados del motor se cumple que va + vb + vc = 0. Estos voltajes de alimentación son: va = Vm cos (ωe t) ,   2π , vb = Vm cos ωe t − 3   2π vc = Vm cos ωe t + , 3 20

(2.32)

Capítulo 2. Análisis en estado estacionario del motor brushless donde Vm es la amplitud pico de voltaje. Si el motor está balanceado, los voltajes aplicados al estator producen corrientes que circulan por los devanados; estas se representan por: ia = Im cos (ωe t − ϕ) ,   2π ib = Im cos ωe t − ϕ − , 3   2π , ic = Im cos ωe t − ϕ + 3

(2.33)

donde Im es la amplitud máxima de las corrientes y ϕ es el ángulo cuyo coseno es el factor de potencia al cual opera el motor. Estas corrientes cumplen con: ia + ib + ic = 0, de aquí que ia = −(ib + ic ). Al sustituir el valor de ia en (2.31) se tiene:   3 Lm + Lls ia + λm sin θe , λa = 2

(2.34)

(2.35)

si se considera el desplazamiento de −2π/3 y +2π/3 para las fases b y c, respectivamente, entonces se obtienen los enlaces de flujo:     3 2π λb = Lm + Lls ib + λm sin θe − , 2 3     (2.36) 2π 3 . λc = Lm + Lls ic + λm sin θe + 2 3 Al aplicar la segunda ley de Kirchhoff al devanado de la fase a se tiene que: v a = re i a +

dλa , dt

(2.37)

al tomar en cuenta que θe = ωe t + θe0 , donde θe0 es la posición inicial del rotor, entonces el voltaje en la fase a es:   d 3 dia + λm (sin (ωe t + θe0 )) , (2.38) v a = re i a + Lm + Lls 2 dt dt

donde λm es la magnitud de los enlaces de flujo y la determina el material magnético en el rotor. Al desarrollar la derivada restante, la ecuación que define el circuito equivalente para la fase a es:   3 dia v a = re i a + Lm + Lls + λm ωe cos (ωe t + θe0 ) , (2.39) 2 dt de esta última se dice que el voltaje va está formado por: 1. La caída de voltaje re ia en la resistencia.
2. El voltaje 23 Lm + Lls didta en la inductancia efectiva de la fase a. A esta inductancia se le conoce como inductancia síncrona, definida como: 3 Ls = Lm + Lls . 2 21

(2.40)

2.3. Operación en estado estacionario

Figura 2.5: Circuito equivalente de la fase a. 3. El voltaje eag generado por el movimiento del rotor y se define como: eag = λm ωe cos (ωe t + θe0 ) .

(2.41)

Así finalmente el circuito equivalente para la fase a se muestra en la figura 2.5. Para la fase b y c, se obtienen circuitos similares, solo se requiere considerar el desfazamiento − 2π y 3 2π , respectivamente. 3

2.3

Operación en estado estacionario

En estado estacionario el MB es alimentado con los voltajes dados en la ecuación (2.32), repetidos aquí: va = Vm cos (ωe t) ,   2π vb = Vm cos ωe t − , 3   2π vc = Vm cos ωe t + . 3

(2.42)

Estos voltajes se encuentran representados en el dominio del tiempo y cuentan con la misma amplitud Vm . Al considerar que ωe = 2πf , entonces, los tres voltajes tienen la misma frecuencia y la diferencia entre estos es el ángulo de fase. Es posible representar este sistema de voltajes por medio de fasores. El fasor representa una función senoidal en base a su valor rms y a su ángulo de desfasamiento. Así la representación en el dominio de la frecuencia de las ecuaciones (2.42) es: Vm Vba = √ ∠0, 2 V m Vbb = √ ∠ − 2 V m Vbc = √ ∠ + 2

2π , 3 2π . 3

(2.43)

La notación fasorial requiere que las letras sean escritas con mayúsculas y sobre de ellas el símbolo b, con esto se índica que la variable es un fasor. Esta representación de funciones senoidales simplifica el análisis de circuitos eléctricos. Los elementos como la resistencia (R), el inductor (L) o el capacitor 22

Capítulo 2. Análisis en estado estacionario del motor brushless (C) también se representan en el dominio de la frecuencia, como: R = R, XL = ωL, 1 XC = − , ωC

(2.44)

donde XL es la reactancia inductiva y XC es la reactancia capacitiva. La resistencia es igual en el dominio de la frecuencia y en el dominio del tiempo. Bajo estas consideraciones el circuito equivalente de la fase a descrito por la figura 2.5 se puede plantear como el circuito mostrado en la figura 2.6.

Figura 2.6: Circuito equivalente monofásico del MB en el dominio de la frecuencia. Aplicando la primera ley de voltajes de Kirchhoff al circuito anterior obtenemos la siguiente ecuación: bag Vba = Ra Iba + jXs Iba + E

(2.45)

donde Xs = ωe Ls es la reactancia síncrona. El diagrama fasorial correspondiente a esta ecuación 2.45 bag se llama ángulo de potencia debido se presenta en la figura 2.7. El ángulo δ entre los fasores Vba y E a que está relacionado con la potencia y el par que desarrolla el MB.

Figura 2.7: Diagrama fasorial de la ecuación (2.45).

2.3.1

Análisis de potencia

El MB trifásico es una máquina eléctrica que convierte la potencia eléctrica suministrada en los devanados del estator en potencia mecánica aplicada en el eje del rotor. En este proceso de conversión se presentan pérdidas de potencia: 1. Potencia eléctrica de entrada: es la potencia suministrada en los devanados del estator y está dada por la ecuación (2.46). Esta potencia de entrada no depende del tipo de conexión (∆ ó ) 23

2.3. Operación en estado estacionario del motor [Chapman, 2003]. Pin = 3Vφ Iφ cos ϕ =

√

3VL IL cos ϕ

(2.46)

Donde Vφ e Iφ es el voltaje y corriente por fase del motor respectivamente. VL e IL es el voltaje y corriente de línea respectivamente. ϕ es el ángulo cuyo coseno es el factor de potencia. En √ conexiones  se tiene que IL = Iφ y que VL = 3Vφ . Por otro lado, en conexiones ∆ se tiene que √ VL = Vφ y que IL = 3Iφ . 2. Pérdida de potencia en la resistencia: esta se presenta en las resistencias de los devanados del estator en forma de calor y están dadas por la ecuación (2.47) PR = 3 |Ia |2 Ra

(2.47)

3. Pérdida de potencia en el núcleo: esta pérdida se ocasiona por histéresis y por corrientes parásitas en el metal del motor. Como una primera aproximación se considera cero. 4. Potencia electromagnética: al restar la pérdida de potencia en la resistencia y la pérdida de potencia en el núcleo a la potencia eléctrica de entrada se obtiene como resultado la potencia electromagnética; esta potencia es la que se transforma de eléctrica a mecánica y su deducción se realiza más adelante. 5. Pérdida de potencia mecánica: se relaciona con la fricción entre las partes móviles del motor y la fricción del rotor con el aire. 6. Potencia de salida: esta resulta de restar el conjunto de todas la pérdidas a la potencia de entrada. La figura 2.8 muestra el flujo de potencia del MB.

Figura 2.8: Diagrama de flujo de potencia. Para determinar la potencia electromagnética se utiliza el circuito equivalente monofásico en el dominio de la frecuencia dado por la figura 2.6; se agrega la representación de la parte mecánica con la intención de ilustrar la transformación de potencia eléctrica a mecánica (figura 2.9). La potencia bag . electromagnética se presenta en la fuente de voltaje generado E 24

Capítulo 2. Análisis en estado estacionario del motor brushless

Figura 2.9: Representación de la parte eléctrica y mecánica del MB. De la ecuación 2.45 se despeja el fasor de corriente Iba :

bag bag Vba E Vba − E = − . Iba = Ra + jXs Ra + jXs Ra + jXs

(2.48)

Tomando en cuenta que Zb = |Z| ∠φz = Ra + jXs es la impedancia del devanado y que |Z| = p s representan la magnitud y la fase respectivamente, entonces se tiene Ra2 + Xs2 y φz = arctan X Ra que: |Va | |Eag | Iba = ∠ − φz − ∠ − (δ + φz ) , (2.49) |Z| |Z| se requiere conocer el conjugado de Iba , este es: El superíndice

|Eag | |Va | ∠φz − ∠ (δ + φz ) . Iba∗ = |Z| |Z|

representa el conjugado, desarrollando los términos se tiene que:   |V | |E | |E | |V | a ag ag a ∗ Iba = cos φz − cos (δ + φz ) + j sin φz − sin (δ + φz ) . |Z| |Z| |Z| |Z| ∗

(2.50)

(2.51)

Para hallar la potencia electromagnética real se debe encontrar primero la potencia aparente dada por: bag Iba∗ , Sb = E (2.52) bag = |Eag | ∠ − δ y realizando las operaciones correspondientes, se tiene que: al considerar que E ! 2 2 |V | |E | |V | |E | |E | |E | a ag a ag ag ag Sb = cos (φz − δ) − cos φz + j sin (φz − δ) − sin φz . (2.53) |Z| |Z| |Z| |Z|

Se conoce también que Sb = Pem +jQem , entonces de la ecuación anterior la potencia electromagnética real Pem y la potencia reactiva Qem están dadas por: |Eag |2 |Va | |Eag | cos (φz − δ) − cos φz , |Z| |Z| |Va | |Eag | |Eag |2 = sin (φz − δ) − sin φz . |Z| |Z|

Pem = Qem

25

(2.54)

2.4. Ejemplo de análisis Normalmente la resistencia de los devanados es muy pequeña en comparación con la reactancia síncrona, por lo tanto se considera que Ra = 0; bajo esta consideración el valor de la magnitud de impedancia es |Z| = Xs y el valor del ángulo de fase es φz = π/2, por lo tanto la expresión para la potencia electromagnética es: Pem =

|Va | |Eag | |Va | |Eag | cos (φz − δ) = sin δ. Xs Xs

(2.55)

Esta última ecuación representa la potencia electromagnética para una sola fase del MB, la potencia electromagnética total se obtiene multiplicando por 3 a (2.55), es decir: Pem,3φ = 3

|Va | |Eag | sin δ. Xs

(2.56)

Otra expresión para la potencia electromagnética desde el punto de vista mecánico es: Pem,3φ = ωm τem ,

(2.57)

donde ωm es el desplazamiento angular mecánico del eje del rotor y τem es el par producido por el motor, este se expresa como: |Va | |Eag | τem = 3 sin δ. (2.58) ωm Xs Cuando se opera esta máquina como motor, se tiene que el ángulo de potencia δ siempre es negativo. Por otro lado si se opera como generador δ es siempre positivo. La curva de potencia (figura 2.10) muestra cómo se comporta la potencia electromagnética en función de δ. En el primer cuadrante se tiene la acción generador y en el tercer cuadrante se tiene la acción motor. El máximo valor de potencia en operación motor se presenta cuando δ = −π/2, siempre y cuando Ra = 0. Si Ra 6= 0, el valor máximo de la potencia electromagnética se presenta cuando δ = φz , [Durán, 2004].

Figura 2.10: Curva de potencia del MB.

2.4

Ejemplo de análisis

En esta sección se analiza el estado estacionario de un MB con base en los datos obtenidos del fabricante italiano HDT. El motor usado es el B26S de 3000 rpm, con estos parámetros se calculan datos de 26

Capítulo 2. Análisis en estado estacionario del motor brushless

Tabla 2.1: Parámetros del MB. VL = 400 V re = 0.121 P =8 ηs = 3000 rpm

Pout = 27, 415 W = 36.74 hp Ls = 1.2 mH np = 4 f p = 0.93

importancia como la corriente de fase, el voltaje generado, la potencia y el par electromagnético máximo. La tabla 2.1 enlista los parámetros del MB conectado en estrella dados en la hoja de datos. El análisis en estado estacionario se realiza con base en el circuito monofásico dado por la figura 2.9. 1. De inicio se calcula la velocidad angular mecánica ωm y eléctrica ωe a partir de la velocidad nominal del motor, además de la frecuencia f del campo magnético del estator:   2π ωm = 3000 = 314.16 rad/seg, 60 ωe = np ωm = 4(314.16) = 1256.63 rad/seg, 1256.63 = 200 Hz. f= 2π 2. La reactancia síncrona se obtiene del producto de la velocidad angular eléctrica con la inductancia síncrona, es decir: Xs = ωe Ls = (1256.63)(1.2x10−3 ) = 1.5 Ω. 3. El fasor de voltaje Vba se obtiene del voltaje de línea VL . En conexiones  la magnitud del fasor es: VL |Va | = √ = 231 V, 3 por lo tanto el fasor es: Vba = 231∠0◦ V,

4. Suponiendo que las pérdidas de potencia mecánica y potencia en el núcleo son iguales a cero (Pperd mec = Pperd nuc = 0) se halla una expresión cuadrática para la corriente de fase. Con esta se obtiene la magnitud del fasor de corriente y su ángulo está determinado por el factor de potencia al cual opera el motor. Se toma en cuenta que si Pem = Pout entonces en el caso monofásico: Pin = Pem + PR , la potencia de entrada es Pin = Va Ia f p, la potencia en la resistencia es PR = re Ia2 y la potencia electromagnética es Pem = Pout , entonces: 3 re Ia2 − Va Ia f p + Pem = 0, 0.121Ia2 − 214.76Ia + 9138.33 = 0.

Al resolver la ecuación cuadrática se obtiene la magnitud del fasor de corriente Iba . El ángulo está dado por arccos 0.92, entonces el fasor es: Iba = 43.62∠ − 21.6◦ A. 27

2.4. Ejemplo de análisis 5. La impedancia es: Z = re + jXs = 0.121 + j1.5 = 1.51∠85.4◦ . 6. El voltaje generado es: de aquí que:

bag = Vba − Z Iba = 210.4∠ − 16.31◦ V, E δ = 16.31◦ .

7. La potencia máxima se presenta cuando δ = φz y se calcula con: Pem =

|Va ||Eag | |Eag |2 − cos φz = 29, 835.84 W |Z| |Z|

entonces Pem,3φ,max = 89, 507.52 W = 120 hp El par electromagnético máximo es el cociente de la potencia trifásica máxima y la velocidad angular mecánica: 89, 507.22 τem,max = = 285 N m. 314.16 8. La siguiente ecuación que define el circuito eléctrico monofásico, las figuras 2.11 y 2.12 muestran circuito y el diagrama fasorial respectivamente. bag Vba = Ra Iba + jXs Iba + E

Figura 2.11: Circuito eléctrico para la fase a del motor B26S.

Figura 2.12: Diagrama fasorial.

28

Capítulo 3

Modelo dinámico del sistema n este capítulo se presenta el desarrollo del modelo matemático propuesto para el VE, este se constituye generalmente por un subsistema eléctrico (banco de baterías, inversor trifásico y motor) y un subsistema mecánico (motor, transmisión mecánica y llantas), ambos subsistemas ilustrados en la figura 3.1.

E

Figura 3.1: Diagrama del VE.

El motor brushless forma parte tanto del subsistema eléctrico como del mecánico, ya que es el elemento encargado de transformar la energía eléctrica a energía mecánica y además proporciona la fuerza de tracción necesaria para el movimiento del VE. El banco de baterías se considera como una fuente de voltaje ideal, capaz de entregar la corriente que el motor le demande. El modelo del inversor considera dispositivos ideales de conmutación y la técnica de modulación senoidal. Para el MB se obtienen 2 modelos trifásicos: uno a partir del análisis tradicional de circuitos eléctricos y otro en base a las ecuaciones de E-L. A ambos modelos se les aplica la transformación en el marco de referencia fijo al rotor. Finalmente se obtiene el modelo de la parte mecánica con la segunda ley de Newton considerando a las propiedades físicas de la transmisión y de las llantas.

29

3.1. Inversor trifásico de potencia

3.1

Inversor trifásico de potencia

Para operar el MB con frecuencia y voltaje variable se requiere un convertidor CD-CA también llamado inversor. Los inversores trifásicos cubren aplicaciones de media y alta potencia. El propósito general de esta topología es controlar la amplitud, fase y frecuencia del voltaje trifásico generado a partir de una fuente de voltaje de corriente directa [Rashid, 1993]. El modelo que aquí se presenta está reportado en [Trzynadlowski, 2001] y considera un inversor con dispositivos ideales de conmutación. La figura 3.2 muestra la topología estándar de este convertidor.

(a) Topología del inversor

(b) Portadora y moduladoras

Figura 3.2: Inversor de potencia con el uso de PWM senoidal El inversor está formado por seis dispositivos de conmutación ordenados por ramas (S1 y S2 ), (S3 y S4 ) y (S5 y S6 ) que pueden ser IGBT’s, MOSFET´s, BJT´s u otros dispositivos y seis diodos de conducción libre que aseguran que la corriente a causa del fenomeno de atraso en los devanados del MB no circule de regreso por los dispositivos de conmutación. El voltaje vi es el voltaje de salida del banco de baterías también llamado bus de CD, va , vb y vc son los voltajes de fase, ia , ib y ic son las corrientes de fase del motor, n es el neutro en conexiones tipo estrella. La señal portadora g(t) es una señal triangular, esta se muestra en la figura 3.2 (b) y su expresión está dada por la ecuación (3.1) y se reporta en [Rashid, 2001]: g(t) =

π 2 arcsin(sin(2πfs t + )), π 2

(3.1)

donde fs es la frecuencia de la portadora y tiene una amplitud pico a pico que va de −1 a 1, la frecuencia fs se elige en base a dos necesidades: 1. que sea múltiplo impar de tres veces la frecuencia de las moduladoras; es decir 3, 9, 15... veces fm , esto con objetivo de eliminar armónicas indeseables [Hart, 2001] y 2. que sea menor a la frecuencia de operación especificada en la hoja de datos del dispositivo de conmutación a utilizar. Las señales moduladoras Ma , Mb , Mc son las señales de control del inversor, estas se muestran en la figura 3.2 (b). Para el caso de operación del sistema en lazo abierto, las moduladoras son señales 30

Capítulo 3. Modelo dinámico del sistema senoidales y se representan por: Ma = Am sin(2πfm t) 2π ) 3 2π Mc = Am sin(2πfm t + ) 3 Mb = Am sin(2πfm t −

(3.2)

y deben cumplir con las siguientes propiedades: • de amplitud Am menor a 1, • de frecuencia fm menor a la frecuencia fs de la portadora y • desfasadas 120◦ entre sí. La relación que existe entre la amplitud Am de las señales moduladoras con la amplitud Ac de la señal portadora es el índice de modulación definido como: Ma =

Am , Ac

(3.3)

sí Ma ≤ 1, entonces la amplitud Va1 de la frecuencia fundamental de la tensión de salida es linealmente proporcional a Ma , es decir: va1 = Ma vi , (3.4) por lo tanto, se puede decir que al controlar la amplitud Am se manipula el índice de modulación Ma y en consecuencia la amplitud de la componente fundamental del voltaje de salida. Sí Ma > 1, entonces va1 aumenta conforme aumenta Ma pero no de forma lineal ya que en esta caso se presenta el fenómeno conocido como sobremodulación [Hart, 2001]. Para el caso de operación del sistema en lazo cerrado, la amplitud de las señales trifásicas generadas por el controlador (vac , vbc y vcc ) se dividen entre la magnitud del voltaje del bus de cd (vi ), esto con el objetivo de producir las señales moduladoras, es decir:     vac Ma  Mb  = 1  vbc  . (3.5) vi vcc Mc En este caso la señal moduladora Ma es:

Ma =

vac , vi

(3.6)

y al sustituir la ecuación (3.6) anterior en (3.4), queda: va1 = Ma vi =

vac vi = vac , vi

(3.7)

de aquí que la señal vac del controlador se traduce en el voltaje va1 de la frecuencia fundamental. Este voltaje va1 conserva la misma frecuencia y amplitud que la señal de control vac y también aporta mucha mas energía a la fase a del MB que los voltajes armónicos subsecuentes. 31

3.1. Inversor trifásico de potencia

(a) PWM senoidal

(b) Modulación de la fase a

Figura 3.3: Principio de operación.

El control de los disparos de los elementos de conmutación se basa en la técnica de modulación senoidal, la figura 3.3 muestra el principio de operación del PWM senoidal. De la figura 3.3 (a), al comparar lógicamente las señales moduladoras con respecto a la portadora resultan las variables binarias a, b y c. Dicho de otra manera, de la figura 3.3 (b), si en cualquier instante de tiempo, la señal Ma es mayor a g(t) entonces a toma el valor de 1, esto implica que S1 conduce y S2 no conduce. Por lo contrario, si la señal Ma es menor a g(t) entonces a toma el valor de 0, esto implica que S1 no conduce y S2 conduce. Esto se cumple también para las fases b y c. Las variables binarias se relacionan con los ecuación:    vab  vbc  = vi  vca

voltajes de línea a línea (vab , vbc , vca ) con la siguiente   a 1 −1 0   b . 0 1 −1 c −1 0 1

(3.8)

Cuando el inversor alimenta a una carga trifásica balanceada conectada en estrella los voltajes de fase cumplen con: va + vb + vc = 0. (3.9)

Se sabe que los voltajes de línea a línea se relacionan con los voltajes de fase con las siguientes expresiones: vab = va − vb , vbc = vb − vc ,

(3.10)

vca = vc − va . Al resolver las ecuaciones (3.9) y (3.10) resulta la siguiente ecuación matricial:      va vab 1 0 −1  vb  = 1  −1 1 0   vbc  3 vc vca 0 −1 1 32

(3.11)

Capítulo 3. Modelo dinámico del sistema y cuando se combinan las ecuaciones (3.8) y (3.11) se tiene la ecuación matricial que representa el funcionamiento del inversor:      va 2 −1 −1 a vi      V = vb = (3.12) −1 2 −1 b . 3 vc −1 −1 2 c Esta ecuación (3.12) relaciona las variables binarias a, b y c con el voltaje vi del bus de CD para generar los voltajes de fase va , vb y vc . Este es un modelo general del inversor el cual considera dispositivos ideales de conmutación y representa una aproximación del comportamiento real de dispositivos como IGBT´s, MOSFET´s ó BJT´s. Si se desea tomar en cuenta un modelado más realisra de los IGBT´s se puede consultar a la referencia [Rajapakse et al., 2005] en donde se presenta el modelo electro-térmico para simulación de estos dispositivos. Otra referencia que trata del modelado de IGBT´s es [Tichenor et al., 2000], y propone un modelo simple y apropiado para la simulación de los efectos de la alta frecuencia en sistemas electronicos de potencia y sistemas de control de motores, además expone resultados en experimentación.

3.2

Modelo matemático del motor brushless

En esta sección se muestra el desarrollo del modelo trifásico del motor en ecuaciones diferenciales y el desarrollo del modelo en ecuaciones de Euler-Lagrange. Para ambos modelos se muestra su transformación al marco de referencia fijo al rotor.

3.2.1

Modelo en ecuaciones diferenciales

En esta sección se presenta el modelo trifásico del MB obtenido a través de ecuaciones diferenciales. Para el subsistema eléctrico se utiliza la segunda ley de Kirchhoff y para el subsistema mecánico se utiliza la segunda ley de Newton. El análisis considera un MB de dos polos conectado en estrella dado en [Lyshevski, 1999]. La figura 3.4 muestra el diagrama esquemático del MB junto con el diagrama eléctrico de los devanados de estator. La velocidad angular eléctrica del rotor es ωe . τem , τL y Bm representan el par electromagnético generado por el MB, el par de carga y la fricción viscosa respectivamente. Los voltajes para cada fase del estator son va , vb y vc . Las corrientes de fase están dadas por ia , ib y ic . Las inductancias propias de los devanados de estator se representan con laa , lbb , y lcc . A partir de la segunda ley de Kirchhoff aplicada al diagrama eléctrico de los devanados de estator mostrado en la figura 3.4, se obtienen las ecuaciones diferenciales de los voltajes para cada devanado del estator, dadas por: dλa dt dλb v b = re i b + dt dλc v c = re i c + dt

v a = re i a +

33

(3.13)

3.2. Modelo matemático del motor brushless

(a) Diagrama esquemático

(b) Diagrama eléctrico de los devanados de estator

Figura 3.4: Representación del MB. y al hacer uso de las siguientes definiciones:         λa ia re 0 0 va V =  v b  , R e =  0 re 0  , I =  i b  , Λ =  λ b  , λc ic 0 0 re vc las ecuaciones (3.13) se pueden expresar de forma matricial de la siguiente manera: V = Re I +

dΛ . dt

(3.14)

Al considerar circuitos magnéticos lineales, los enlaces de flujo están descritos por la siguiente ecuación matricial: Λ = LI + Λm . (3.15) La matriz de inductancias L y los enlaces de flujo generados por el imán permanente Λm están definidos en el capítulo anterior. Al desarrollar la derivada de los enlaces de flujo, la ecuación de voltaje (3.14) ahora se reescribe como: V = Re I + L

dΛm dI dL + I+ . dt dt dt

(3.16)

Si se despeja la derivada del vector de corriente con respecto al tiempo se obtiene la representación de la dinámica del subsistema eléctrico:   dL dΛm dI −1 , (3.17) V − Re I − =L I− dt dt dt donde I = [ia ib ic ]⊤ es el vector de estados del subsistema eléctrico, la derivada de la matriz de inductancias y la derivada del vector de enlaces de flujo con respecto al tiempo son:   sin 2(np θm ) sin 2(np θm − π3 ) sin 2(np θm + π3 ) dL = 2np ωm L∆m  sin 2(np θm − π3 ) sin 2(np θm − 2π ) sin 2(np θm + π)  y 3 dt π sin 2(np θm + 3 ) sin 2(np θm + π) sin 2(np θm + 2π ) 3 34

Capítulo 3. Modelo dinámico del sistema



 cos(np θm ) dΛm = λm np ωm  cos(np θm − 2π ) , 3 dt 2π cos(np θm + 3 )

para el caso de que el motor sea de rotor cilíndrico la inductancia L∆m = 0, esto implica que

dL dt

= 0.

De la segunda ley de Newton se obtiene la siguiente ecuación diferencial que define al subsistema mecánico: d2 θm JM B 2 + τL + Bm ωm = τem . (3.18) dt Al despejar la segunda derivada del desplazamiento angular mecánico y definir también a la primera derivada se obtiene respectivamente: 1 d2 θm = (τem − τL − Bm ωm ) y dt2 JM B dθm = ωm , dt

(3.19)

donde τem es el par electromagnético generado por el motor, τL es el par de carga, Bm es el coeficiente de fricción viscosa del motor y JM B es la inercia de rotacional del rotor. El estado del subsistema mecánico está formado por el desplazamiento angular mecánico θm y la velocidad angular mecánica ωm . Es importante conocer la expresión del par electromagnético, ya que es la variable que relaciona al subsistema eléctrico con el mecánico. Para calcular el par electromagnético es necesario definir la coenergía del motor como: 1 (3.20) Wc = I ⊤ LI + I ⊤ Λm + Wpm , 2 donde Wpm es la energía almacenada en el imán permanente y es constante ante cambios en θm , [Lyshevski, 1999]. La expresión del par electromagnético surge de la derivada parcial de la coenergía con respecto a θm , [Krause et al., 2002]. De esta manera se obtiene: τem = con

∂L 1 ∂Λm ∂Wc = I⊤ I + I⊤ . ∂θm 2 ∂θm ∂θm

(3.21)

 sin 2(np θm ) sin 2(np θm − π3 ) sin 2(np θm + π3 ) ∂L = 2np L∆m  sin 2(np θm − π3 ) sin 2(np θm − 2π ) sin 2(np θm + π)  y 3 ∂θm ) sin 2(np θm + π3 ) sin 2(np θm + π) sin 2(np θm + 2π 3 

∂Λm ∂θm

 cos(np θm ) = λm np  cos(np θm − 2π ) , 3 ) cos(np θm + 2π 3 

Las ecuaciones (3.17) y (3.19) describen matemáticamente el comportamiento dinámico del subsistema eléctrico y mecánico del MB. 35

3.2. Modelo matemático del motor brushless

3.2.2

Modelo en ecuaciones Euler-Lagrange

En el modelado de sistemas físicos generalmente se usan dos tipos de metodologías: ecuaciones diferenciales obtenidas a partir de propiedades físicas y la aplicación de principios variacionales a funciones de energía. Para sistemas simples que tienen solo elementos de la misma naturaleza, la primera metodología es suficiente, por ejemplo: para sistemas mecánicos y eléctricos se utiliza la segunda ley de Newton y la segunda ley de Kirchhoff respectivamente. Esta metodología se puede usar para sistemas de naturaleza combinada (sistemas electromecánicos), pero esto implica tener un gran conocimiento del tema. El objetivo del método variacional es obtener las ecuaciones que representan la dinámica del sistema a partir de una formulación general que no necesita de tanta información [Ortega et al., 1998]. Los subsistemas de distinta naturaleza física que se encuentren interconectados para formar a un sistema cuentan con una relación en común, todos ellos transforman energía. Por lo tanto, es natural formular el problema de modelado en términos de cantidades energéticas. Los sistemas dinámicos en los cuales el intercambio de energía juega un papel central pueden considerarse sistemas pasivos y estos cumplen con la siguiente relación: Energía suministrada = Energía almacenada + Energía disipada, y se entiende como pasividad una propiedad fundamental de los sistemas físicos definida en términos de disipación y transformación de energía. Un ejemplo de sistemas que disipan energía son los circuitos eléctricos en los cuales parte de la energía eléctrica y magnética es disipada en forma de calor por los resistores. Un caso similar ocurre con los sistemas mecánicos en donde la fricción entre las partes físicas provoca la disipación de energía en forma de calor también. Para definir matemáticamente esta propiedad de disipación se deben de incluir dos funciones: la razón de alimentación (es la razón a la cual la energía fluye hacia el sistema) y la función de almacenamiento (que mide la cantidad de energía que es almacenada dentro del sistema). Estas funciones se relacionan mediante la desigualdad de disipación la cual establece que a lo largo de las trayectorias en el tiempo de un sistema disipativo la razón de alimentación no es menor que el incremento en el almacenamiento. Es necesario en este punto mencionar que los sistemas pasivos son una clase particular de sistemas disipativos en donde la razón de alimentación es simplemente u⊤ y, donde u y y son la entrada y la salida de un sistema, respectivamente. A pesar de que los conceptos de pasividad y de estabilidad de entrada y salida fueron desarrollados de forma independiente de la definición de variable de estado, por simplificación se consideran los sistemas como: Σ:



x˙ = f (x, u), x(0) = x0 ∈ Rn y = h(x, u)



(3.22)

donde x ∈ Rn es el estado, u ∈ Rm es la entrada y y ∈ Rm es la salida. En este sentido se puede decir que 3.22 define un operador dinámico Σ : u 7→ y, y se pueden hacer las siguientes definiciones.

36

Capítulo 3. Modelo dinámico del sistema Definición 3.1 (Disipatividad.) Σ es disipativo con respecto a la alimentación w(u, y):Rm × Rm → R si y solo si existe una función de almacenamiento H : Rn → R≥0 , tal que H(x(T )) ≤ H(x(0)) +

Z

T

w(u(t), y(t))dt,

(3.23)

0

para toda u, toda T ≥ 0 y toda x0 ∈ Rn . Definición 3.2 (Pasividad.) Σ es pasivo si es disipativo con la razón de alimentación w(u, y) = u y. Es pasivo estrictamente a la entrada (ISP) si es disipativo con una razón de alimentación w(u, y) = u⊤ y − δi ||u||2 , con δi > 0. Finalmente, Σ es pasivo estrictamente a la salida (OSP) si es disipativo con una razón de alimentación w(u, y) = u⊤ y − δo ||y||2 , con δo > 0. ⊤

El punto de partida del método variacional para modelar matemáticamente un sistema es la definición de un conjunto de coordenadas generalizadas (generalmente posiciones y cargas para sistemas mecánicos y eléctricos, respectivamente) agrupadas en un vector q ∈ Rn , además, el conjunto de velocidades generalizadas agrupadas en q˙ ∈ Rn . Entonces en función de q y q˙ la ecuación E-L se escribe como:   ∂L d ∂L (q, q) ˙ − (q, q) ˙ = Q, (3.24) dt ∂ q˙ ∂q

el Lagrangiano del sistema se define como:

L(q, q) ˙ = T (q, q) ˙ − V(q),

(3.25)

con T (q, q) ˙ como la energía cinética (ó co-energía) dada por: 1 T (q, q) ˙ = q˙⊤ D(q)q, ˙ 2

(3.26)

donde D(q) ∈ Rn×n es la matriz de inercia generalizada que satisface D(q) = D(q)⊤ > 0, y V(q) es la energía potencial del sistema que se asume acotada por debajo, es decir, ∃ c ∈ R tal que V (q) ≥ c, ∀ q ∈ Rn . Las fuerzas externas al sistema están dadas por el vector Q ∈ Rn , formado por: Q=−

∂F (q) ˙ + Qζ + M u. ∂ q˙

(3.27)

Las fuerzas disipativas tienen la forma − ∂F (q), ˙ donde F(q) ˙ es la función de disipación de Rayleigh, ∂ q˙ la cual por definición satisface que: ∂F q˙⊤ (q) ˙ ≥ 0, (3.28) ∂ q˙ además, Qζ es una señal externa que modela el efecto de las perturbaciones y en la mayoría de los casos esta señal se considera cero. Se asume que las señales de control entran linealmente a través de M u ∈ Rn , con M ∈ Rn×n una matriz constante y u ∈ Rn el vector de control. Definición 3.3. La ecuación de movimiento de E-L   ∂L ∂F d ∂L (q, q) ˙ − (q, q) ˙ + (q) ˙ = M u + Qζ , dt ∂ q˙ ∂q ∂ q˙ 37

(3.29)

3.2. Modelo matemático del motor brushless en conjunto de las ecuaciones (3.25), (3.26) y (3.28) definen un sistema E-L caracterizado por sus parámetros E-L: {T (q, q), ˙ V(q), F(q)}. ˙ En función de estos parámetros, un sistema puede ser fácilmente modelado con las ecuaciones de E-L. En muchos de los casos prácticos se considera que la función de disipación de Rayleigh es una función cuadrática (resistencia eléctrica constante ó fricción lineal) de la forma: 1 F(q) ˙ = q˙⊤ Rq, ˙ 2

(3.30)

con R = R⊤ ≥ 0 y diagonal. R representa para el caso mecánico el coeficiente de fricción viscosa o para el caso eléctrico la matriz de resistencias. Proposición 3.1 El sistema E-L de la ecuación (3.29) con Qζ = 0 define un operador pasivo Σ : u 7→ M ⊤ q˙ con una función de almacenamiento de la energía total del sistema H(q, q), ˙ la cual solo requiere ser semidefinida positiva y acotada por debajo. Esto es,

u|M ⊤ q˙

para toda T ≥ 0 y toda u ∈ Lm 2e .



T

≥ H[q(T ), q(T ˙ )] − H[q(0), q(0)] ˙

(3.31)

 Prueba. La propiedad puede ser establecida tomando la derivada en el tiempo de la función Lagrangiana L(q, q), ˙ donde por simplicidad no se expresan los argumentos, dL = dt



∂L ∂q

⊤

y al usar (3.24), se puede decir que d ∂L = ∂q dt

dq + dt 

∂L ∂ q˙





∂L ∂ q˙

⊤

dq˙ dt

(3.32)

(3.33)

−Q

por lo tanto (3.32) se puede reescribir como dL = dt



∂L ∂ q˙

⊤

d dq˙ + dt dt



∂L ∂ q˙

⊤

q˙ − q˙⊤ Q

Entonces, reordenando los términos y usando la ecuación (3.27), por lo tanto queda:      ∂F ∂L d ⊤ Mu − q˙ − L = q˙ , dt ∂ q˙ ∂ q˙

(3.34)

(3.35)

el término entre corchetes en el primer miembro de la ecuación anterior concide con la energía total del sistema, la cual está denotada por H(q, q), ˙ es decir 

∂L(q, q) ˙ ∂ q˙

⊤

q˙ − L(q, q) ˙ = T (q, q) ˙ + V(q) = H(q, q) ˙ 38

(3.36)

Capítulo 3. Modelo dinámico del sistema Al integrar la ecuación (3.35) desde 0 hasta T se establece la ecuación de balance de energía como ˙ )] + H[q(T ), q(T ˙ )] − H[q(0), 0(T | {z } almacenada

Z |

0

T

q˙

˙ ⊤ ∂F(q)

Z

T

ds = q˙⊤ M uds ∂ q˙ {z } | 0 {z }

disipada

(3.37)

suministrada.

Debido a que V(q) está acotada por debajo por la constante c, y T (q, q) ˙ ≥ 0 entonces se tiene que H(q, q) ˙ ≥ c. Finalmente la función de disipación de Rayleigh satisface a la ecuación (3.28), por lo tanto la ecuación (3.31) se comprueba.  La ecuación de balance de energía (3.37) revela propiedades interesantes de los sistemas E-L. Por ejemplo, si se hace que u = 0 se observa que la energia no se incrementa, por lo tanto el equilibrio del sistema no forzado es estable en el sentido d Lyapunov. También se puede decir que el amortiguamiento puede ser fácilmente incluido a lo largo de los estados actuados si q˙ es medible. Al tomar en cuenta la ecuación (3.29) y al considerar que Qζ = 0, entonces las ecuaciones de E-L para los subsistemas del MB están definidas por:   ∂L ∂F d ∂L (q˙e , q˙m , qm ) − (q˙e , q˙m , qm ) + (q˙e , q˙m ) = Me u, Σe : dt ∂ q˙e ∂qe ∂ q˙e   (3.38) d ∂L ∂L ∂F Σm : (q˙e , q˙m , qm ) − (q˙e , q˙m , qm ) + (q˙e , q˙m ) = −τL . dt ∂ q˙m ∂qm ∂ q˙m Para el subsistema eléctrico Σe se definen las coordenadas generalizadas como qe = [q1 q2 q3 ]⊤ que representan las cargas eléctricas en los devanados del estator. Las velocidades generalizadas q˙e = [q˙1 q˙2 q˙3 ]⊤ = [ia ib ic ]⊤ son las corrientes que circulan por los devanados del estator. Para el subsistema mecánico Σm se define la coordenada generalizada como la posición angular mecánica del rotor, es decir, qm = θm . La velocidad angular mecánica es q˙m = ωm , bajo esta nueva representación se sigue cumpliendo que θe = np θm = np qm . Se define al Lagrangiano total del MB como la suma del Lagrangiano eléctrico y mecánico, es decir: L(q˙e , q˙m , qm ) = Le (q˙e , qm ) + Lm (q˙m ).

(3.39)

El Lagrangiano del subsistema eléctrico se encuentra de la diferencia de la coenergía cinética y la energía potencial, y su expresión es: 1 Le (q˙e , qm ) = Te∗ (q˙e , qm ) − V(qm ) = q˙e⊤ De (qm )q˙e + µ⊤ (qm )q˙e , 2

(3.40)

donde Te∗ (q˙e , qm ) es la coenergía y V(qm ) es la energía potencial. La matriz De (qm ) es igual a la matriz de inductancias L y el vector µ(qm ) es el vector de enlaces de flujo Λm establecido por el imán, ambos definidos en el capítulo 2.

39

3.2. Modelo matemático del motor brushless Si se desprecian los efectos capacitivos en los devanados del estator y se considera rígida la flecha del motor entonces la contribución de la energía potencial es cero debido a que solo hay material magnético en el rotor, entonces, el Lagrangiano del subsistema mecánico es: 1 2 , Lm (q˙m ) = Tm∗ (q˙m ) = DM B q˙m 2

(3.41)

donde DM B es la inercia rotacional del rotor equivalente a JM B . Se asume que los efectos disipativos eléctricos y mecánicos solo se deben a la resistencia re de los devanados del estator y al coeficiente de fricción viscosa Rm ,respectivamente. Por lo tanto se define la función de disipación de Rayleigh como: 1 1 2 . F(q˙e , q˙m ) = q˙eT Re q˙e + Rm q˙m 2 2

(3.42)

La matriz Me se elige como una matriz identidad de 3 × 3 y la señal de control está definida por el vector u = [u1 u2 u3 ], este representa los voltajes de fase que alimentan al motor. El modelo en ecuaciones E-L para el MB se obtiene al desarrollar las derivadas indicadas en las ecuaciones (3.38), entonces, para el subsistema eléctrico Σe las derivadas son: ∂L (q˙e , q˙m , qm ) = De (qm )q˙e + µ(qm ), ∂ q˙e   d ∂De (qm ) ∂µ(qm ) ∂L (q˙e , q˙m , qm ) = De (qm )¨ qe + q˙m q˙e + q˙m , dt ∂ q˙e ∂qm ∂qm ∂L (q˙e , q˙m , qm ) = 0, ∂qe ∂F (q˙e , q˙m ) = Re q˙e , ∂ q˙e

(3.43)

y para el subsistema mecánico Σm , las derivadas son: ∂L (q˙e , q˙m , qm ) = DM B q˙m , ∂ q˙m   ∂L d (q˙e , q˙m , qm ) = DM B q¨m , dt ∂ q˙m ∂µ(qm ) 1 ∂De (qm ) ∂L (q˙e , q˙m , qm ) = q˙e⊤ q˙e + q˙e⊤ , ∂qm 2 ∂qm ∂qm ∂F (q˙e , q˙m ) = Rm q˙m . ∂ q˙m

(3.44)

Al tomar en cuenta los desarrollos en (3.43) y (3.44) el modelo en la formulación E-L del MB es: Σe : De (qm )¨ qe + W1 (qm )q˙m q˙e + W2 (qm )q˙m + Re q˙e = Me u Σm : DM B q¨m − τem (q˙e , qm ) + Rm q˙m = −τL , con 

 sin 2(np qm ) sin 2(np qm − π3 ) sin 2(np qm + π3 ) ∂De (qm ) W1 (qm ) = = 2np L∆m  sin 2(np qm − π3 ) sin 2(np qm − 2π ) sin 2(np qm + π)  3 ∂qm π sin 2(np qm + 3 ) sin 2(np qm + π) sin 2(np qm + 2π ) 3 40

(3.45)

Capítulo 3. Modelo dinámico del sistema y



 cos(np qm ) ∂µ(qm ) = λm np  cos(np qm − 2π W2 (qm ) = ) . 3 ∂qm 2π cos(np qm + 3 )

El par electromagnético se presenta en (3.44) como la derivada parcial del Lagrangiano con respecto a la posición mecánica: τem (q˙e , qm ) =

1 ∂L (q˙e , q˙m , qm ) = q˙e⊤ W1 (qm )q˙e + q˙e⊤ W2 (qm ). ∂qm 2

(3.46)

Las entradas y salidas de los dos subsistemas definidos por las ecuaciones en (3.45) se representan por los siguientes mapas pasivos:     u q˙e Σe : , 7→ τem −q˙m (3.47) Σm : (τem − τL ) 7→ q˙m ,

y se puede decir que al MB solo se tiene acceso a través de los voltajes de alimentación u, por lo tanto, el subsistema mecánico es considerado una perturbación pasiva al subsistema eléctrico. El MB se puede descomponer en dos subsistemas pasivos Σe y Σm , estos están interconectados como lo indica la figura 5.4. Esta descomposición representa el punto de partida para el diseño del controlador nominal del capítulo 5.

Figura 3.5: Descomposición pasiva de subsistemas.

3.3

Teoría del marco de referencia

Las ecuaciones (3.17) y (3.45) que definen al subsistema eléctrico de cada uno de los modelos obtenidos cuentan con parámetros dependientes de la posición del rotor. A menudo se utiliza un cambio de variables para eliminar esta dependencia y reducir la complejidad de las ecuaciones diferenciales. En 1920, R. H. Park introdujo un nuevo enfoque en el análisis de máquina eléctricas; él formuló un cambio de variables en el cual se reemplazaban las variables (voltajes, corrientes y enlaces de flujo) asociadas a los devanados del estator de una máquina síncrona con devanados ficticios ubicados en el rotor. En otras palabras, refirió las variables del estator en el marco de referencia fijo al rotor 41

3.3. Teoría del marco de referencia [Krause et al., 2002]. El cambio de variables que permite la transformación, se realiza a través de la matriz ksr de la siguiente manera: fqd0 = ksr fabc

(3.48)

donde fqd0 = [fq fd f0 ]⊤ y fabc = [fa fb fc ]⊤ . En esta ecuación f puede representar voltaje, corriente, enlaces de flujo y otras variables, los subíndices abc se refieren a las variables originales y los subíndices qd0 se refieren a las variables transformadas, además, al considerar que θe = np θm , la matriz de transformación de Park está dada por:   cos np θm cos(np θm − 2π/3) cos(np θm + 2π/3) 2 ksr =  sin np θm sin(np θm − 2π/3) sin(np θm + 2π/3)  3 1/2 1/2 1/2 y su inversa por: (ksr )−1

 cos np θm sin np θm 1 2 =  cos(np θm − 2π/3) sin(np θm − 2π/3) 1  . 3 cos(np θm + 2π/3) sin(np θm + 2π/3) 1 

(3.49)

(3.50)

La matriz de transformación no es constante y se requiere conocer la posición angular mecánica del rotor en todo instante de tiempo. El subíndice s y el superíndice r indican que la transformación se realiza de variables del estator a variables del rotor. La figura 3.6 muestra la relación trigonométrica entre ambos marcos de referencia.

Figura 3.6: Relación entre marcos de referencia.

La posición angular eléctrica θe se relaciona con la velocidad angular eléctrica de la siguiente manera: θe =

Z

t

ωe (ξ)d(ξ) + θe (0),

(3.51)

0

donde ξ es una variable auxiliar de integración y θe (0) es el estado inicial de la posición. Otro de los objetivos de la transformación es simplificar el diseño del control, en los capítulos 4 y 5 se utilizan los modelos transformados para diseñar los controladores correspondientes. 42

Capítulo 3. Modelo dinámico del sistema

3.3.1

Transformación al modelo en ecuaciones diferenciales

En esta parte se muestra la transformación de la ecuación (3.14); esta ecuación define el comportamiento eléctrico del motor en función de la segunda ley de Kirchhoff. La matriz de inductancias L y el vector de enlaces de flujo Λm generados por el imán contienen elementos en función de la posición mecánica del rotor y el desarrollo que se presenta a continuación transforma los elementos de L y Λm en términos constantes, además, en el caso de que la resistencia de los devanados del estator sean iguales, se reduce de 3 a 2 el numero de ecuaciones diferenciales del modelo de la parte eléctrica del MB. La transformación directa e inversa se relaciona con los vectores de voltaje, corriente y enlaces de flujo de la siguiente manera: Vqd0 = ksr V V = (ksr )−1 Vqd0 Iqd0 = ksr I ó I = (ksr )−1 Iqd0 Λqd0m = ksr Λm Λm = (ksr )−1 Λqd0m .

(3.52)

Para iniciar la transformación al marco de referencia fijo al rotor se parte de la ecuación (3.14), que aquí se repite: dΛ , (3.53) V = Re I + dt y con las ecuaciones (3.52) se reescribe en términos de las variables (qd0): (ksr )−1 Vqd0 = Re (ksr )−1 Iqd0 +

d ((ksr )−1 Λqd0 ) . dt

(3.54)

Como ksr (ksr )−1 = I, con I como una matriz identidad de 3 × 3, entonces la ecuación anterior la multiplicamos por ksr y se obtiene: d ((ksr )−1 Λqd0 ) , dt y al desarrollar los términos contenidos en la derivada se logra: ksr (ksr )−1 Vqd0 = ksr Re (ksr )−1 Iqd0 + ksr

Vqd0 = ksr Re (ksr )−1 Iqd0 + ksr

d(ksr )−1 dΛqd0 Λqd0 + . dt dt

(3.55)

(3.56)

De esta última ecuación se conoce que ksr Re (ksr )−1 = Re (siempre y cuando las resistencias de los devanados del motor sean iguales) y que:   0 1 0 r −1 d(ks ) (3.57) ksr = np ωm  −1 0 0  , dt 0 0 0

ahora solo resta saber el término Λqd0 y su derivada. Este término es el vector de enlaces de flujo transformado y se obtiene de la transformación de la ecuación (3.15), entonces: Λqd0 = ksr L(ksr )−1 Iqd0 + ksr Λm , de aquí que la matriz de inductancias transformada es:   Lq 0 0 Lqd0 = ksr L(ksr )−1 =  0 Ld 0  , 0 0 Lls 43

(3.58)

(3.59)

3.3. Teoría del marco de referencia con: 3 Lq = Lls + Lm − 2 3 Ld = Lls + Lm + 2 Ld − Lq L∆m = , 3 además: Λqd0m

3 L∆m , 2 3 L∆m , 2

 0 = ksr Λm =  λm  . 0 

(3.60)

(3.61)

Como la matriz Lqd0 y el vector Λqd0m contienen elementos constantes, la derivada de Λqd0 es: dIqd0 dΛqd0 = Lqd0 , dt dt

(3.62)

así la ecuación (3.56) se puede desarrollar como: Vqd0 = Re Iqd0 + ksr

d(ksr )−1 dIqd0 d(ksr )−1 Lqd0 Iqd0 + ksr Λqd0m + Lqd0 , dt dt dt

(3.63)

donde Vqd0 = [vq vd v0 ]⊤ y Iqd0 = [iq id i0 ]⊤ son el vector de voltaje y corriente en el marco de referencia fijo al rotor respectivamente, Re y Lqd0 ya se definieron anteriormente. Ahora las matrices resultantes son:     0 np ωm Ld 0 np ωm λm r −1 r −1 d(ks ) d(ks ) . ksr Lqd0 =  −np ωm Lq Λqd0m =  0 0 0  y ksr dt dt 0 0 0 0 Al desarrollar la ecuación (3.63) para cada fase y despejar las derivadas de las corrientes se obtiene el modelo en el marco de referencia fijo al rotor en espacio de estado: diq 1 = (vq − re iq − np ωm Ld id − np ωm λm ), dt Lq 1 did = (vd − re id + np ωm Lq iq ) dt Ld 1 did = (v0 − re i0 ). dt Lls

(3.64)

Cuando el motor opera bajo condiciones balanceadas y con mismas resistencias de fase, la corriente i0 = 0 y v0 = 0, entonces, la ecuación correspondiente a la fase cero puede ser omitida, por lo tanto, el modelo del motor queda representado por las primeras dos ecuaciones como: 1 diq = (vq − re iq − np ωm Ld id − np ωm λm ), dt Lq 1 did = (vd − re id + np ωm Lq iq ). dt Ld

(3.65)

La ecuación del par electromagnético dada por (3.21) se transforma realizando las siguientes operaciones: ∂Λm 1 ⊤ r ∂L r −1 ⊤ ks (ks ) Iqd0 + Iqd0 ksr , (3.66) τem = Iqd0 2 ∂θm ∂θm 44

Capítulo 3. Modelo dinámico del sistema con: ksr



0

∂L r −1  (k ) = 3L∆m np ∂θm s 0

   3L∆m np 0 np λ m ∂Λm  = 0 . 0 0  y ksr ∂θm 0 0 0

Al desarrollar todos los términos y simplificar, el par electromagnético en función de las variables (qd0) es: 3 τem = np iq ((Ld − Lq )id + λm ). (3.67) 2 El factor de 3/2 se elige como una constante de transformación [Krause et al., 2002]. La ecuación (3.65) ahora representa el subsistema eléctrico y el estado está formado por las corrientes iq e id que son la corriente en el eje de cuadratura y en el eje de directa, respectivamente. La fase cero se omite debido a que bajo condiciones balanceadas de operación esta corriente es igual a cero. Esta representación es utilizada en el capítulo 4, donde se desarrolla el control vectorial del MB.

3.3.2

Transformación al modelo en ecuaciones Euler-Lagrange

En esta parte se muestra la transformación al marco de referencia fijo al rotor de la ecuación del subsistema eléctrico del MB dada en (3.45). Al igual que en la sección pasada, La matriz de inductancias De (qm ) y el vector de enlaces de flujo µ(qm ) generados por el imán contienen elementos en función de la posición mecánica del rotor, el siguiente desarrollo permite eliminar esta dependencia con el objetivo de simplificar el modelo del MB. Para comenzar la transformación, la ecuación (3.45) es expresada en función de las variables (qd0), con las siguientes relaciones: q¨e = (ksr )−1 q¨er , De (qm ) = (ksr )−1 Der , µ(qm ) = (ksr )−1 µr , q˙e = u=

(3.68)

(ksr )−1 q˙er , (ksr )−1 ur ,

entonces la ecuación para el subsistema Σe se reescribe como: De (qm )(ksr )−1 q¨er +

∂(ksr )−1 Der ∂(ksr )−1 µr q˙m q˙er + q˙m + Re (ksr )−1 q˙er = Me (ksr )−1 ur . ∂qm ∂qm

(3.69)

Como ksr (ksr )−1 = I, con I como una matriz identidad de 3 × 3, entonces la ecuación anterior la multiplicamos término a término por ksr y se obtiene: ksr De (qm )(ksr )−1 q¨er + ksr

∂(ksr )−1 Der ∂(ksr )−1 µr q˙m q˙er + ksr q˙m + ksr Re (ksr )−1 q˙er = ksr Me (ksr )−1 ur . ∂qm ∂qm

(3.70)

Al considerar que µr = ksr µ(qm ) = [0 λm 0]⊤ y realizar las operaciones indicadas por la ecuación (3.70), el modelo del subsistema eléctrico Σe en el marco de referencia fijo al rotor es: Der q¨er + W1r q˙m q˙er + W2r q˙m + Rer q˙er = ur , 45

(3.71)

3.3. Teoría del marco de referencia con



 Lq 0 0 Der = ksr De (qm )(ksr )−1 =  0 Ld 0  , 0 0 Lls   0 Ld 0 r −1 r ∂(ks ) De = np  −Lq 0 0  , W1r = ksr ∂qm 0 0 0   np λ m r −1 r r r ∂(ks ) µ  W2 = ks = 0 , ∂qm 0   re 0 0 Rer = ksr Re (ksr )−1 =  0 re 0  . 0 0 re

Se redefine la señal de control como ur = [ur1 ur2 ur3 ]⊤ = [vq vd v0 ]⊤ y el vector de corrientes como q˙er = [q˙1r q˙2r q˙3r ]⊤ = [iq id i0 ]⊤ . El par electromagnético después de la transformación es el mismo que el que se presenta en la ecuación (3.67): 3 τem = np q˙1r ((Ld − Lq )q˙2r + λm ). 2

(3.72)

Las inductancias de las fases q y d son: Lq = Lls + 32 Lm − 23 L∆m y Ld = Lls + 32 Lm + 23 L∆m . En general esta transformación se puede ver como si ahora en lugar de los 3 devanados originales del estator se tienen dos devanados perpendiculares (q y d) con mismas resistencias re e inductancias Lq y Ld respectivamente. Estos devanados perpendiculares producen el mismo efecto que los devanados trifásicos.

3.3.3

Matriz de resistencias explícitas

Cuando la resistencia de los devanados del estator son iguales, la matriz de resistencias del estator del motor es:   re 0 0 (3.73) R e =  0 re 0  , 0 0 re y se cumple que:

Rer = ksr Re (ksr )−1 = Re ,

(3.74)

es decir, que a pesar de la transformación la matriz de resistencia permanece exactamente igual que antes de aplicar dicha transformación. Para el caso contrario, cuando las resistencias de los devanados no son iguales, los elementos de la matriz Re ahora se representan por la resistencia de cada fase, es decir:   ra 0 0 Rex =  0 rb 0  , (3.75) 0 0 rc 46

Capítulo 3. Modelo dinámico del sistema y su transformación al marco de referencia fijo al rotor queda [Vidal, 2006]:   √ 3 2 r + 16 rb + 61 rc (rb − rc ) 23 ra√− 13 rb − 13 rc 3 a 6   r 3 1 1 Rex = ksr Rex (ksr )−1 =  (r − rc ) (r + rc ) (rb − rc )  6 b 2√ b 3 1 r − 16 rb − 16 rc − 63 (rb − rc ) 31 (ra + rb + rc ) 3 a   r11 r12 r13 =  r21 r22 r23  , r31 r32 r33

(3.76)

en donde cada elemento es una combinación de dos o más resistencias de fase. El subíndice ex se refiere a una matriz con resistencias explícitas y esta se utiliza en el capítulo 5 para el diseño del controlador robusto a variaciones en los valores de las resistencias de fase.

3.4

Modelo de la parte mecánica del vehículo eléctrico

En esta sección se presenta el modelo del subsistema mecánico del VE mostrado en la figura 3.1. Este subsistema está formado por el motor, la transmisión y las ruedas. El modelo es obtenido a partir de la segunda ley de Newton y considera las fuerzas que se oponen a la fuerza de tracción que genera el MB, estas son: la fuerza de fricción de las llantas con la superficie, la fuerza de fricción debido al viento y la fuerza debido a la componente del peso del auto. El modelo que aquí se presenta está reportado en [Haddoun et al., 2007]. El objetivo de este desarrollo es encontrar la expresión del par de carga que se produce por las fuerzas en oposición al movimiento del auto y la inercia rotacional debido a la masa del VE. La transmisión mecánica que se considera en este modelo es una transmisión simple y se muestra en la figura 3.7, a través de esta transmisión el par desarrollado por el motor se relaciona con la fuerza de tracción en la llantas con la siguiente expresión:

Figura 3.7: Representación de la transmisión del VE. τ=

r Fte ó ηg G

τ = ηg

r Fte , G

47

(3.77) (3.78)

3.4. Modelo de la parte mecánica del vehículo eléctrico donde τ es el par proporcionado en la flecha del motor, r es el radio de la llanta, ηg es la eficiencia de la transmisión, G es el cociente de reducción de velocidad angular de la transmisión y Fte es la fuerza de tracción que impulsa el VE. La ecuación (3.77) se utiliza cuando el motor entrega potencia mecánica (condiciones normales de operación) y la ecuación (3.78) se utiliza cuando el motor recibe potencia mecánica, es decir que funciona como generador (frenado regenerativo). El uso del frenado regenerativo no se aborda en este trabajo de tesis. De la figura 3.7 se obtiene la relación entre la velocidad angular del motor ωm = q˙m y la velocidad lineal v del VE con la siguiente expresión: v q˙m = G . r

(3.79)

Las fuerzas que actúan sobre el vehículo se muestran en la figura 3.8. La fuerza Fte es la fuerza de tracción que impulsa al VE y es proporcionada por el motor eléctrico a través de la transmisión. La fuerza de fricción Frr entre los neumáticos y la superficie sobre la cual se mueve el auto está dada por: Frr = µrr mg cos(ψ),

(3.80)

donde µrr es el coeficiente de fricción, m es la masa total del vehículo en Kg, g = 9.8 m/s2 es el coeficiente de aceleración gravitacional y ψ es el ángulo de inclinación de la pendiente. La fuerza de fricción con el viento está dada por: 1 Fad = ρACd v 2 , 2

(3.81)

donde ρ = 1.25 kg/m3 es la densidad del aire, A es el área frontal de VE en m2 , Cd es el coeficiente aerodinámico y v es la velocidad lineal del VE en m/s. La fuerza Fhc es la necesaria para mover el auto por una pendiente con un ángulo de inclinación ψ, esta es una componente del peso total del vehículo y está representada por: Fhc = mg sin(ψ).

(3.82)

Aplicando la segunda ley de Newton al VE se tiene que:

Figura 3.8: Fuerzas que actúan sobre el VE.

Fte − Frr − Fad − Fhc = ma, 48

(3.83)

Capítulo 3. Modelo dinámico del sistema donde a es la aceleración del auto en m/s2 . Despejando la fuerza de tracción Fte de la ecuación (3.83) y sustituyendo las expresiones correspondientes a cada fuerza que actúa sobre el VE se obtiene la expresión: 1 (3.84) Fte = ma + µrr mg cos(ψ) + ρACd v 2 + mg sin(ψ). 2 En esta última ecuación (3.84) no se han considerado al motor ni a la transmisión. A partir de la ecuación del subsistema mecánico (3.45) se despeja el par electromagnético τem : τem = DM B q¨m + Rm q˙m + τL .

(3.85)

La inercia total en el marco de referencia del motor es la suma de la inercia de rotor del MB y la inercia del VE: Dm = DM B + DV E , (3.86) la expresión para la inercia del VE es:

1 r2 DV E = m 2 2 G Al sustituir las ecuaciones (3.77) y (3.86) en (3.85) se obtiene la siguiente expresión: τem = Dm q¨m + Rm q˙m +

r Fte , ηg G

ahora se sustituye la ecuación (3.84) en (3.88):   dv 1 r 2 m + µrr mg cos(ψ) + ρACd v + mg sin(ψ) . τem = Dm q¨m + Rm q˙m + ηg G dt 2

(3.87)

(3.88)

(3.89)

La ecuación (3.89) contiene tanto a la velocidad angular del rotor q˙m como a la velocidad lineal v del VE. El modelo del subsistema mecánico se obtiene al dejar la ecuación (3.89) en función de q˙m usando la ecuación (3.79) y del despeje de q¨m , entonces la ecuación para el subsistema mecánico es:   ηg G 2 µrr mgr cos(ψ) ρACd r3 2 mgr sin(ψ) q¨m = τem − Rm q˙m − − q˙ − , (3.90) Dm ηg G2 + mr2 ηg G 2ηg G3 m ηg G ó si se requiere en la nomenclatura del modelado en ecuaciones diferenciales:   µrr mgr cos(ψ) ρACd r3 2 ηg G2 mgr sin(ψ) dωm τem − Rm ωm − = − ω − . dt Dm ηg G2 + mr2 ηg G 2ηg G3 m ηg G

(3.91)

Esta ecuación (3.90) es una ecuación diferencial de segundo orden representa todo el subsistema mecánico del VE dado por la figura 3.1, en donde se incluye también al MB.

3.5

Simulación en lazo abierto del sistema inversor-motor

En esta sección se presenta la simulación en lazo abierto en donde solo se considera el inversor trifásico de potencia representado por la ecuación (3.12) y el MB dado por las ecuaciones de E-L dadas en (3.45). La ecuación dinámica de la parte mecánica del VE no se considera, ya que en lazo abierto el MB no puede alcanzar la velocidad de sincronismo debido a que no puede vencer la inercia total del auto dada 49

3.5. Simulación en lazo abierto del sistema inversor-motor por la ecuación (3.86). La figura 3.9 ilustra el diagrama a bloques del sistema inversor-motor usado para la simulación, las entradas al sistema lo constituyen la amplitud Am y la frecuencia fm de las señales moduladoras, además, el par de carga τL . La salida del sistema está formada por las corrientes trifásicas q˙e , el par electromagnético τem que desarrolla el motor y la velocidad angular q˙m .

Figura 3.9: Diagrama a bloques de la simulación en lazo abierto para el sistema inversor-motor El motor brushless usado en la simulación es el B26S. Este motor se encuentra conectado en estrella y lo fabrica la empresa italiana HDT. Sus parámetros se listan en la tabla 3.1 junto con los parámetros de la operación del inversor. Tabla 3.1: Parámetros de la simulación en lazo abierto del sistema inversor-motor. Parámetro Magnitud Parámetro Magnitud Am 1 re 0.121 Ω fm 200 Hz. Lls 1 × 10−5 H. fs 10 KHz. Lm 8 × 10−4 H. vi 600 V. L∆m 0 H. λm 0.262 V s/rad. Dm 0.00022 Kgm2 . Rm 0.00001 N ms/rad. np 4

La figura 3.10 muestra las gráficas de las variables de interés en la simulación. En la figura 3.10 (a) se muestra la velocidad angular que desarrolla el MB, que de inicio presenta grandes oscilaciones debido a que al rotor le es difícil sincronizarse con la frecuencia de campo magnético del estator. Alrededor del instante t = 0.1 seg. la velocidad se establece en la velocidad síncrona (2πfm /np =314.16 rad/seg). En el instante t = 0.2 seg. la velocidad sufre una desincronización debido a que se presenta un cambio en la magnitud del par de carga. En la figura 3.10 (b) se observa que el par electromagnético τem tarda en establecerse aproximadamente 0.1 seg. en un valor medio a 0 N m y en el instante t = 0.2 seg. cambia su valor debido a que el par de carga τL es modificado, es decir, τL = 0 N m para t < 0.2 seg. y τL = 87 N m para t ≥ 0.2 seg. Por lo tanto, τem al final de la simulación oscila en un valor medio de 87 N m. De igual manera estas oscilaciones se deben al rizo de corriente provocado por la modulación senoidal. Las corrientes trifásicas son mostradas en la figura 3.10 (c). Estas en estado estacionario tienen una amplitud pico de aproximadamente 22 A antes del cambio en el par de carga y una amplitud pico de 50

rad/seg

Capítulo 3. Modelo dinámico del sistema

1500

600

1000

400 200 Nm

500 0

0 −200

−500 −1000

−400

0

0.05

0.1

0.15

0.2 seg

0.25

0.3

0.35

−600

0.4

0

0.1

0.15

0.2 seg

0.25

0.3

0.35

0.4

(b) Par electromagnético τem

400

400

200

200

0

0

V

A

(a) Velocidad angular q˙m

0.05

−200

−200

−400

−400 0

0.05

0.1

0.15

0.2 seg

0.25

0.3

0.35

0.4

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

seg

(c) Corritentes trifásicas q˙e

(d) Voltaje de fase va

Figura 3.10: Simulación del sistema inversor-motor con un escalon de 87 N m en τL . 66 A después del cambio en el par de carga, además, la frecuencia de estas corrientes corresponde a la frecuencia fm de las moduladoras. Debido a la modulación senoidal las corrientes presentan un rizo cuya frecuencia tiene el valor de la frecuencia fs de la portadora y este efecto se aprecia en la figura 3.11.

60 40

A

20 0 −20 −40 −60 0.389

0.39

0.391 seg

0.392

0.393

0.394

Figura 3.11: Efectos de la modulación senoidal sobre las corrientes del MB. El voltaje de alimentación va se muestra en la figura 3.10 (c). La amplitud pico es de 400 V que corresponde a 2vi /3. La frecuencia de la armónica fundamental de este voltaje corresponde a la frecuencia fm de las moduladoras.

51

Capítulo 4

Control vectorial 4.1

Introducción

En el pasado, los motores de CD fueron utilizados en muchas aplicaciones en donde se requería una velocidad variable, debido a que se puede controlar fácilmente el flujo y el par controlando la corriente de armadura y de campo. En particular los motores de CD de excitación separada han sido usados principalmente en aplicaciones donde se requiere una respuesta rápida de par. Sin embargo los motores de CD tienen desventajas; debido a que usan un conmutador y escobillas requieren mantenimiento periódico, además, no se pueden utilizar en ambientes explosivos o corrosivos. Todos estos problemas se solucionan utilizando motores de CA los cuales tienen una estructura simple y robusta, casi no requieren mantenimiento, son económicos y de menor tamaño que los motores de CD. La incorporación de DSP´s a la técnica del control vectorial ha hecho posible el uso de motores de CA en aplicaciones de alto desempeño en donde solo se usaba el motor de CD. Como en el motor de CD, el control de par en las máquinas de CA se logra controlando la amplitud y fase de las corrientes, en otras palabras el vector de corrientes se debe controlar, de aquí el nombre de control vectorial. El control de los motores de CA es complejo debido a que existe un acoplamiento entre la dinámica del flujo, el par y la velocidad. El control vectorial de motores de CA, elimina este acoplamiento y logra que el sistema de control tenga un buen desempeño. Este desacoplamiento se logra usando la transformación el marco de referencia fijo al flujo del estator, así, la expresión del par electromagnético que se requiere al finalizar estas transformaciones debe de ser similar a la ecuación del par producido por la máquina de CD de excitación separada, que es: τem = cφf × ia = c|φf ||ia |,

(4.1)

donde c es una constante y × denota el producto vectorial. Los vectores de flujo φf y corriente de armadura ia son ortogonales y por tanto se utilizan sus magnitudes para expresar el par producido. Si la magnitud del flujo se mantiene constante, el par electromagnético puede ser controlado al variar la corriente de armadura. El propósito del control vectorial de máquinas de CA es el control de par a través de un desacoplamiento producido por transformaciones de coordenadas [Vas, 1990].

53

4.2. Planteamiento del problema

4.2

Planteamiento del problema

Se considera que el MB se alimenta de los voltajes de que aquí se repite:    va 2 v i V =  vb  =  −1 3 vc −1

salida del inversor dados por la ecuación (3.12),   −1 −1 a 2 −1   b  , −1 2 c

(4.2)

donde V = [va vb vc ]⊤ es el vector de voltajes de fase, vi es el voltaje del bus de CD y a, b y c son las variables binarias resultantes de la modulación senoidal. El modelo del MB para la parte eléctrica se obtiene a partir de la segunda ley de Kirchhoff descrita por la ecuación (3.17), por conveniencia esta ecuación se repite:   dL dΛm dI −1 , (4.3) V − Re I − =L I− dt dt dt donde I = [ia ib ic ]⊤ es el vector de corrientes que representa el estado de este subsistema, Re , L y Λm son la matriz de resistencias, la matriz de inductancias y el vector de enlaces de flujo debido al imán, respectivamente, todos ellos definidos anteriormente. Ahora, el MB está acoplado a la transmisión mecánica del VE como lo muestra la figura 3.7 y la ecuación que representa a todo este subsistema mecánico (motor, transmisión y llantas) está dada por (3.90), repetida aquí: ηg G2 dωm = dt Dm ηg G2 + mr2



µrr mgr cos(ψ) ρACd r3 2 mgr sin(ψ) τem − Rm ωm − − ωm − 3 ηg G 2ηg G ηg G



,

(4.4)

con ωm y θm los estados del subsistema mecánico. Todos los parámetros del VE están definidos en el capítulo 3. El problema de control es: dado un vehículo eléctrico accionado por un motor brushless trifásico y todo el sistema representado por las ecuaciones (4.2), (4.3) y (4.4), suponer que todo el estado esta disponible para medición, los parámetros del inversor, del MB y del VE son conocidos, diseñar un controlador que logre el objetivo de seguimiento de trayectoria de velocidad deseada ωm ref acotada.

4.3

Diseño del controlador

En el diseño del control vectorial se consideran conocidos todos los parámetros del sistema y se tiene acceso a todos los estados. La metodología de diseño está basada en transformaciones trigonométricas que cumplen la función de obtener una expresión para el par electromagnético en donde la dinámica del flujo y de la corriente están desacopladas. Esta metodología esta reportada en [Vas, 1990] y [Durán, 2004]. Para el diseño del controlador vectorial se considera un motor brushless trifásico en su representación 54

Capítulo 4. Control vectorial en el marco de referencia fijo al rotor (qd0) dada por las ecuaciones (3.65) que aquí se repiten: diq 1 = [vq − re iq − np ωm Ld id − np ωm λm ], dt Lq 1 did = [vd − re id + np ωm Lq iq ], dt Ld

(4.5)

donde Lq y Ld son las inductancias en los ejes de cuadratura y directa respectivamente, re es la resistencia eléctrica de los devanados del estator, np es el número de pares de polos, ωm es la velocidad angular mecánica y λm es la magnitud de los enlaces de flujo debido al imán permanente. El estado del subsistema eléctrico transformado está formado por las corrientes iq e id que son la corriente en el eje de cuadratura y en el eje de directa, respectivamente. La expresión del par electromagnético en variables (qd0) es: 3 τem = np iq ((Ld − Lq )id + λm ). 2

(4.6)

Las ecuaciones que aparecen en (4.5) están relacionadas mutuamente a travéz de las corrientes iq e id y es necesario un cambio de variables para eliminar esta relación, entonces, se proponen las siguientes variables auxiliares: v1q = vq − np ωm Ld id − np ωm λm

v2d = vd + np ωm Lq iq

(4.7)

Los superíndices q y d se usan para indicar que v1q y v2d se relacionan con los ejes q y d, respectivamente. Bajo este cambio de variables las ecuaciones (4.5) se reescriben como: 1 diq = [−re iq + v1q ] dt Lq 1 did = [−re id + v2d ], dt Ld

(4.8)

con v1q y v2d que representan entradas nuevas al sistema, con esto se logra desacoplar las corrientes entre sí. Ahora para encontrar la expresión de par que desacopla el flujo y la corriente, se desarrollan los términos de la ecuacion (3.58) del capítulo anterior y repetida aquí: Λqd0 = ksr L(ksr )−1 Iqd0 + ksr Λm = Lqd0 Iqdo + Λqdom ,

(4.9)

que son los enlaces de flujo en el marco de referencia fijo al rotor dados por: λ q = Lq iq λ d = Ld id + λ m .

(4.10)

De aquí que las inductancias Lq y Ld son: λq , iq λd − λm Ld = . id Lq =

55

(4.11)

4.3. Diseño del controlador Al sustituir las inductancias de la ecuación (4.11) anterior en la expresión del par electromagnético dada en (4.6), se obtiene la siguiente expresión: 3 τem = np (λd iq − λq id ) 2

(4.12)

Esta ecuación de par todavía muestra acoplamiento entre flujos y corrientes de diferentes ejes. Hasta aquí, todas las variables se encuentran referidas en el marco de referencia fijo al rotor (qd0), para desacoplar completamente la ecuación (4.12) se hace uso de la transformación en el marco de referencia fijo al flujo del estator (XY ) dada por la matriz T y su inversa T −1 definidas por:     cos(σ) − sin(σ) cos(σ) sin(σ) −1 , , T = T = sin(σ) cos(σ) − sin(σ) cos(σ) Los ejes (XY ) del marco de referencia fijo al flujo del estator se relacionan trigonométricamente con los ejes (dq) del marco de referencia fijo al rotor con la siguiente figura:

Figura 4.1: Representación de la transformación de variables. En la figura 4.1 se muestra el enlace de flujo del estator λs , su amplitud se obtiene de las siguientes relaciones: q q 2 2 (4.13) |λs | = λx + λy = λd 2 + λq 2 ,

de la figura se dice que λs no tiene componente en el eje Y , por lo tanto λy = 0, de aquí que |λs | = λx y que el ángulo de rotación entre los marcos es:   λq . (4.14) σ = arctan λd Las corrientes y los flujos se relacionan directamente con:         ix id λx λd =T y =T , iy iq λy λq e inversamente con:



id iq



=T

−1



ix iy



y



λd λq



=T

−1



λx λy



,

Bajo estas relaciones trigonométricas y con intención de desacoplar el flujo y la corriente en la expresión del par dada por la ecuación (4.12), se tienen: id = ix cos(σ) − iy sin(σ), iq = ix sin(σ) + iy cos(σ), λd = λx cos(σ) − λy sin(σ), λq = λx sin(σ) + λy cos(σ). 56

(4.15)

Capítulo 4. Control vectorial Estas últimas expresiones se sustituyen en la ecuación (4.12), además, se considera que cos2 (σ) + sin2 (σ) = 1 y que λy = 0, entonces: 3 (4.16) τem = np λx iy , 2 donde λx es la componente de los enlaces de flujo del estator a lo largo del eje X, e iy es la componente de la corriente del estator a lo largo del eje Y . Al considerar que |λs | = λx , la ecuación final para el par queda: 3 (4.17) τem = np |λs |iy . 2 Con esta última ecuación, se puede decir que el par producido por el MB puede ser controlado al regular el flujo del estator |λs | y manipular la componente de la corriente del estator iy que es perpendicular al flujo. En la siguiente figura se muestra el diagrama a bloques del controlador vectorial para el MB.

Figura 4.2: Controlador vectorial. La velocidad angular de referencia está dada por ωm ref , la entrada al controlador de velocidad es el error obtenido por la resta entre ωm ref y ωm . τem ref es la salida del controlador de velocidad que es un controlador del tipo proporcional integral (P I) dado por: Z τem ref = kp1 (ωm ref − ωm ) + ki1 (ωm ref − ωm )dt (4.18)

La entrada al controlador de par es la resta entre τem ref y τem , la señal uy es la salida de este controlador, también formado por un (P I). Su expresión es: Z uy = kp2 (τem ref − τem ) + ki2 (τem ref − τem )dt (4.19)

La magnitud del flujo de referencia |λs |ref se resta con la magnitud del flujo del estator |λs | para formar la entrada al controlador del flujo, este también es del tipo (P I), y su salida es: Z ux = kp3 (|λs |ref − |λs |) + ki3 (|λs |ref − |λs |)dt (4.20) A estas dos señales ux y uy se les aplica la transformada inversa T −1 de la siguiente manera:    d  ux v2 −1 , (4.21) =T uy v1q 57

4.3. Diseño del controlador es decir: v2d = ux cos(σ) − uy sin(σ),

v1q = ux sin(σ) + uy cos(σ).

(4.22)

Es necesario resaltar que a lo largo de esta tesis, el marco de referencia fijo al rotor se maneja con el orden de la variables (qd), con excepción de cuando se relaciona con el marco de referencia fijo al flujo del estator, en este caso el orden es (dq). Ahora de la ecuación (4.7) se encuentran los voltajes vq y vd con: vq = np ωm Ld id + np ωm λm + v1q vd = −Lq np ωm iq + v2d

(4.23)

A esta dos variables de control se les aplica la transformación inversa (ksr )−1 para obtener las señales trifásicas de control (vac , vbc y vcc ). Estas tres señales de control son divididas entre la magnitud vi del bus de CD para formar las señales moduladoras, es decir:    Ma vac  Mb  = 1  vbc  , vi Mc vcc 

(4.24)

de esta manera las señales moduladoras se comparan con la señal portadora g(t) para generar las señales binarias a, b y c, estas se ocupan en la ecuación (4.2) con el objetivo de obtener los voltajes de fase va , vb y vc con los que se alimenta al MB. A las corrientes trifásicas ia , ib y ic se les aplica la transformación ksr para obtener las corrientes iq e id . Finalmente la magnitud |λs | del enlace de flujo del estator se encuentra a partir de las ecuaciones (4.10) y (4.13).

58

Capítulo 4. Control vectorial

4.4

Simulación del control vectorial bajo diferentes escenarios

En esta sección se muestra el desempeño del sistema de control vectorial dado por la figura 4.2. Es necesario resaltar que el diseño de este controlador no toma en cuenta variaciones paramétricas en el MB ni perturbaciones en la carga mecánica, por lo tanto, para probar el desempeño del controlador se realizan diversas pruebas bajo diferentes condiciones de operación, es decir, cambios en el valor de las resistencias de fase y cambios en el ángulo de la pendiente de la superficie sobre la cual circula el VE. Todas las simulaciones se realizaron con MATLAB/Simulink y se escogió un paso de integración fijo de 12 µseg con la intención de generar adecuadamente la señal portadora g(t) cuya frecuencia es fs = 5 KHz. En la práctica usualmente se elige esta frecuencia en el orden de 15 a 18 KHZ dependiendo del dispositivo de conmutación usado en el inversor. El motor brushless usado en la simulación es el B26S. Este motor se encuentra conectado en estrella y lo fabrica la empresa italiana HDT. Sus parámetros se listan en la tabla 4.1 junto con los parámetros de la operación del inversor y los coeficientes mecánicos del VE. Tabla 4.1: Parámetros usados en simulación para el control vectorial del VE. Parámetro Magnitud Parámetro Magnitud fs 5 KHz. re 0.121 Ω vi 600 V. Lls 1 × 10−5 H. λm 0.262 V s/rad. Lm 8 × 10−4 H. Rm 0.00001 N ms/rad. L∆m 0 H. np 4 Dm 0.022 Kgm2 . m 1366 Kg µrr 0.015 g 9.8 m/s2 ρ 1.25 Kg/m3 A 2.66 m2 Cd 0.23 ψ 0 rad G 5.5 r 0.2876 m ηg 0.95

Los valores de las ganancias del control vectorial usadas para todas las simulaciones son: kp1 = 50, ki1 = 40, kp2 = 40, ki2 = 2000, kp3 = 35000 y ki3 = 50000. Las simulaciones realizadas para probar el desempeño del controlador vectorial se agrupan de la siguiente manera: 1. Simulación del sistema de control bajo condiciones nominales y sin perturbaciones mecánicas de ningún tipo. 2. Simulación del sistema de control con variaciones paramétricas en el valor de las resistencias de fase. 3. Simulación del sistema de control con cambios en el ángulo ψ de la superficie sobre la cual circula el VE. 59

4.4. Simulación del control vectorial bajo diferentes escenarios

4.4.1

Simulación bajo condiciones nominales de operación.

En esta sección se muestra el desempeño del sistema de control dado por la figura 4.2 bajo una operación nominal, es decir, que no existe ningún tipo de variación en el valor de la resistencias de fases del MB, además, el VE circula por una superficie cuyo ángulo de inclinación en todo momento es cero (ψ = 0◦ ). La figura 4.3 (a) muestra el seguimiento de velocidad deseada. La referencia tiene un perfil acorde con la conducción de un VE, es decir, presenta aceleración, velocidad constante y desaceleración. La magnitud máxima de la referencia llega a 265.6 Rad/seg que equivale a 50 Km/hr. Esta relación se encuentra con la ecuación (3.79) que relaciona la velocidad lineal v del VE con la velocidad angular ωm del rotor del MB. El error de velocidad angular se muestra en la figura 4.3 (b). La amplitud máxima del error es de 2.45 Rad/seg y se presenta en el instante t = 23 seg, en este punto el error es el 1.84% de la referencia.

250

ω

200

ω

2

m ref

Rad/seg

Rad/seg

m

150 100

1 0 −1

50

−2

0 0

5

10

15 seg

20

25

30

0

(a) Velocidad angular

5

10

15 seg

20

25

30

(b) Error de velocidad angular

Figura 4.3: Seguimiento de velocidad deseada bajo condiciones balanceadas de operación.

Los índices de desempeño que evalúan el control de velocidad se listan en la siguiente tabla 4.2:

Tabla 4.2: Índices de desempeño para el caso sin variaciones del control vectorial. Caso Sin variaciones

ISE 24.84

ITSE 497.6

IAE 21.52

ITAE 385.5

Las siguientes figuras 4.4 (a) y (b) muestran el seguimiento de par electromagnético y la regulación de flujo, respectivamente. El Control vectorial realiza un adecuado seguimiento de par electromagnético cuya amplitud máxima positiva es de 176 N m y negativa de −234 N m. Se observa que el par que desarrolla el motor se mantiene oscilando alrededor de la referencia de par, esto debido al efecto de la conmutación de los dispositivos semiconductores en el inversor. La referencia en la regulación de flujo se elige como la magnitud de los enlaces de flujo dados por el material magnético en el rotor del MB, es decir, λ = 0.262 V s/rad. Al igual que el par, el flujo que desarrolla el MB se mantiene oscilando en el valor de la referencia debido a la operación del inversor. 60

200

0.275

100

0.27 Vseg/rad

Nm

Capítulo 4. Control vectorial

0 τem

−100

0.26 |λs|

0.255

τ

−200

0.265

|λs|ref

em ref

0

5

10

15 seg

20

25

0.25

30

0

5

10

(a) Par electromagnético

15 seg

20

25

30

(b) Flujo

Figura 4.4: Seguimiento de par y regulación de flujo bajo condiciones balanceadas. Las señales de control vq y vd se muestran en la figura 4.5 (a) y se relacionan con las señales de control vac , vbc y vcc mostradas en 4.5 (b) a través de la transformación inversa (ksr )−1 . Se observa que las señales de control trifásicas tienen una amplitud que supera al voltaje del bus de cd (vi = 600 V ). Debido a esto, existe una sobremodulación ya que las señales moduladoras del PWM senoidal se obtienen con la ecuación (4.24) y deben de ser menores a la unidad para evitar dicha sobremodulación. 1000

1000

vq v

500

d

V

V

500

0

−500

0 −500 −1000

0

5

10

15 seg

20

25

30

0

(a) Señales de control vq y vd

5

10

15 seg

20

25

30

(b) Señales de control vac , vbc y vcc

Figura 4.5: Señales de control para el caso sin variaciones en el control vectorial. En las siguientes dos gráficas se muestran las corrientes tanto en el marco de referencia fijo al rotor como las del marco de referencia arbitrario. En la figura 4.6 (a) se incluye la corriente i0 para mostrar que bajo condiciones nominales de operación esta permanece igual a 0. En la figura 4.6 (b) se muestran las corrientes trifásicas que desarrolla el MB, estas son balanceadas y presentan una amplitud pico de 157 A. 150

i

i

q

i

d

0

100

100

A

A

50 0

0

−50

−100

−100 −150

i

a

0

5

10

15 seg

20

25

30

0

(a) Corrientes iq , id y i0

5

i

b

10

i

c

15 seg

20

25

(b) Corrientes ia , ib y ic

Figura 4.6: Corrientes del MB en el caso sin variaciones con el controlador vectorial.

61

30

4.4. Simulación del control vectorial bajo diferentes escenarios

4.4.2

Simulación bajo variaciones en las resistencias de fase.

En este tipo de simulación se provocan cambios en el valor de la resistencia de fase del MB con la intención de evaluar el desempeño del control vectorial bajo condiciones desbalanceadas en las resistencias de fase. La magnitud de la resistencia de cada fase se puede ver afectada por diversos factores como: el desgaste en el esmalte que recubre el conductor de las bobinas, la temperatura de operación, el medio ambiente y otras circunstancias. En esta simulación se consideran cambios abruptos de tipo escalón en el valor nominal de las resistencias de fase del MB en el instante t = 15 seg. Estos cambios se presentan de forma independiente por cada fase. Las variaciones paramétricas con las cuales se realizaron las pruebas se muestran en la siguiente figura: 0.25 50%=0.0605 Ω 150%=0.1815 Ω 200%=0.242 Ω

Ω

0.2 0.15 0.1 0.05

0

5

10

15 seg

20

25

30

Figura 4.7: Variación paramétrica al valor de las resistencias de fase del MB. La siguiente tabla lista todas las pruebas realizadas para evaluar el desempeño del control vectorial para el seguimiento de velocidad: Tabla 4.3: Índices de desempeño del control vectorial ante variaciones en las resistencias de fase Simulación 1 2 3

Resistencia de fase ra , rb , rc ra , rb , rc ra , rb , rc

Variación 50% 150% 200%

ISE 24.84 24.84 24.84

ITSE 497.6 497.6 497.6

IAE 21.52 21.52 21.52

ITAE 385.5 385.5 385.5

La tabla 4.3 muestra explícitamente que ante cambios paramétricos en las resistencias, los índices de desempeño permanecen sin cambio con respecto a los índices mostrados en la tabla 4.2, es decir, que los cambios no afectan el desempeño del controlador en el seguimiento de velocidad, esto se debe a que la frecuencia del campo magnético giratorio generado por el estator no se modifica con las variaciones en las resistencias de fase. A continuación se presentan las gráficas correspondientes a la simulación 3 correspondiente al caso de variación de 200% en rc . El seguimiento de velocidad angular y el error se muestran en las figuras 4.8 (a) y (b) y son exactamente iguales a las figuras 4.3 (a) y (b) del caso sin variaciones, correspondientemente. 62

Capítulo 4. Control vectorial

(a) Velocidad angular

(b) Error de velocidad angular

Figura 4.8: Seguimiento de velocidad deseada con variación de 200% en rc en el control vectorial. Las corrientes que circulan por los devanados del MB se observan en la figura 4.9 (a), estas corrientes son similares a las corrientes del caso sin variación paramétrica, con la particularidad de que en el instante t = 15 seg, la corriente ic (en color rojo) disminuye su amplitud a causa de que aumento la resistencia rc . Este efecto se observa con mayor detalle en la figura 4.9 (b), donde la amplitud de ic es diferente antes y después del cambio en rc . En esta gráfica la amplitud de ic es menor por 3 A a las amplitudes de ia e ib . La figura 4.9 (c) muestra las corrientes en el marco de referencia fijo al rotor, esto con la intención de mostrar que ante condiciones desbalanceadas, la corriente i0 es diferente de 0. En este caso la amplitud máxima de i0 es de 15.5 A.

(a) Corrientes ia , ib y ic

(b) Acercamiento a las corrientes

(c) Corrientes iq , id y i0

Figura 4.9: Corrientes del MB con variación de 200% en rc en el control vectorial. El diagrama de barras de la figura 4.10 muestra en resumen los cuatro índices de desempeño (ISE, ITSE, IAE e ITAE) del control de velocidad para los cuatro diferentes porcentajes (50%, 100%, 150% y 200%) del valor nominal de las resistencias de fase. De aquí se vuelve a decir que el control de velocidad 63

4.4. Simulación del control vectorial bajo diferentes escenarios no se ve afectado por cambios en las resistencias de fase, ya que presentan el mismo valor que cuando se tiene el 100% del valor nominal.

Figura 4.10: Índices de desempeño para variaciones de 50%, 100%, 150% y 200%.

4.4.3

Simulación bajo cambios en el ángulo de la superficie.

Con el objetivo de evaluar el controlador vectorial mas allá de las variaciones paramétricas en las resistencias de fase, se realizan pruebas en simulación cambiando el ángulo de la superficie sobre la cual circula el VE sin que el controlador conozca la magnitud de la variación ni el instante en el que se produce. En la práctica difícilmente se tiene una calle completamente plana, así que este tipo de pruebas permiten verificar si el control de velocidad es eficiente ante situaciones que se asemejan a la realidad. La figura 4.11 (a) ilustra el camino sobre el cual se mueve el VE (x y y son los ejes horizontal y vertical sobre los cuales se mueve el VE), de inicio, este camino tiene un ángulo ψ igual a cero, después, cuando inicia la rampa el ángulo ψ es mayor a cero y constante, finalmente al término de la rampa el ángulo vuelve a ser igual a cero. La figura 4.11 (b) muestra el perfil de cambio del ángulo ψ para las simulaciones. Se escogieron los valores de 10◦ , 15◦ y 20◦ con inicio en el instante t = 23 seg y su fin en el instante t = 28 seg.

20 o

ψ = 10

Grados

15

o

ψ = 15

o

ψ = 20

10 5 0 0

(a) Representación gráfica

5

10

15 seg

20

25

30

(b) Perfil de cambió del ángulo ψ

Figura 4.11: Cambio en el ángulo ψ de la superficie sobre la cual circula el VE. A diferencia de cambios en el valor de las resistencias de fase, los cambios en el ángulo de la superficie si afectan el seguimiento de velocidad. La figura 4.12 (a) muestra el seguimiento de velocidad 64

Capítulo 4. Control vectorial deseada bajo los tres casos, para los casos en donde ψ toma valores de 10◦ y 15◦ el desempeño es aceptable, pero para el caso en el que se varia a ψ = 20◦ , al controlador ya no le es posible mantener el seguimiento de velocidad. La figura 4.12 (b) se muestran los errores de velocidad angular para cada caso y es evidente que el error de velocidad en el caso ψ = 20◦ se despega por completo de los otros dos casos.

(a) Velocidad angular

(b) Error de velocidad angular

Figura 4.12: Seguimiento de velocidad deseada con cambios en ψ en el control vectorial. Los índices de desempeño del seguimiento de velocidad deseada en los tres casos se listan en la tabla 4.4, destaca la tercera fila que corresponde a la variación de ψ = 20◦ en donde los índices son muy elevados con respecto a los otros dos casos. Tabla 4.4: Índices de desempeño del control vectorial ante cambios en ψ Ángulo de la superficie ψ = 10◦ ψ = 15◦ ψ = 20◦

ISE 45.57 61.47 5.6×104

ITSE 1029 1440 1.6×106

IAE 27.23 30.02 463.2

ITAE 535.2 608.6 1.2×104

El par electromagnético generado por el MB en los tres casos se muestra en la figura 4.13. Los pares generados antes del instante t = 23 seg son idénticos, ya que el VE se encuentra en una superficie sin pendiente, al presentarse el cambio en el ángulo se observa que en los tres casos se incrementa los pares y en el caso de ψ = 20◦ , en el instante t = 26 seg el par cae a cero, esto se debe a que el sistema de control ya no es capaz de realizar el seguimiento de velocidad y el MB pierde sincronía.

Figura 4.13: Par electromagnético desarrollado por el MB bajo cambios en ψ.

65

4.4. Simulación del control vectorial bajo diferentes escenarios Con la intención de ilustrar el desempeño del control vectorial ante diferentes cambios en la pendiente del camino se muestra el diagrama de barras dado en la figura 4.14 que muestra el ITAE bajo las diferentes variaciones de ψ incluyendo el caso cuando no se realiza alguna variación ψ = 0. Se observa claramente que la tendencia del índice es incrementar conforme se incrementa la variación del ángulo.

Figura 4.14: ITAE del control vectorial cuando varía ψ. En este tipo de simulaciones en donde se varía el ángulo sobre el cual se mueve el auto queda manifiesto que el controlador vectorial no puede realizar el seguimiento de velocidad cuando el ángulo cambia a 20◦ . Es necesario hacer esta observación ya que en la práctica este auto no podría subir pendientes elevadas y esto se debe a que se requiere que el MB produzca mas par electromagnético, además, esta necesidad está asociada con las características físicas constructivas del MB.

66

Capítulo 5

Control robusto l controlador robusto basado en el rediseño de Lyapunov considera la existencia de incertidumbre paramétrica en la resistencia de los devanados del estator y su diseño parte del método de control basado en pasividad (controlador nominal), en el cual se toma en cuenta la propiedad de pasividad del motor, así como en el moldeo de energía e inyección de amortiguamiento. Ahora, para hacer frente a la incertidumbre en los valores de la resistencia, se utiliza el rediseño de Lyapunov para encontrar un término adicional que es agregado a la ley de control nominal, conceptualmente se puede decir que la

E

ley de control robusta = ley de control nominal + término adicional. La ley de control nominal es el control basado en pasividad; esta técnica es usada ampliamente en el control no lineal de convertidores de potencia, manipuladores robóticos, sistemas electromecánicos o cualquier sistema que pueda ser modelado a través de la formulación de Euler-Lagrange. Esta metodología se encuentra reportada en diferentes fuentes, en esta tesis se consultaron a las referencias [Ortega et al., 1998], [Guerrero, 2001] y [Durán, 2004]. El control basado en pasividad considera conocidos todos los parámetros del modelo, incluyendo la resistencia de los devanados del estator. Este controlador es diseñado en base a los siguientes pasos: 1. Obtención de la ecuación dinámica del sistema. 2. Definición de la ecuación dinámica deseada del sistema. 3. Definición de las señales de error. 4. Definición de la ecuación dinámica del error del sistema. 5. Proposición de una función candidata de Lyapunov V en términos del error. 6. Desarrollo de la derivada de la función candidata V˙ y su evaluación a lo largo de la trayectoria del error. 7. Forzar a que V˙ sea una función definida negativa ó al menos definida positiva pero acotada. El término de diseño adicional es el encargado de hacer frente a la incertidumbre paramétrica, y se diseña en función del valor máximo que pueden tomar las resistencias de fase, es decir, solo se requiere conocer la cota máxima de la incertidumbre para que el control robusto garantice el seguimiento de trayectorias y la estabilidad del sistema. La técnica de control robusto basado en el rediseño de Lyapunov se encuentra reportada en [Khalil, 2002], [Guerrero, 2001] y [Olmos, 2004] y no garantiza que el 67

5.1. Consideración del rediseño de Lyapunov error converja a cero, mas bien, garantiza un error de magnitud acotada. En este capítulo se presenta el diseño del controlador robusto basado en el rediseño de Lyapunov. El diseño del controlador nominal se divide en dos controladores, uno para el subsistema eléctrico Σe y otro para el subsistema mecánico Σm . El diseño del controlador robusto se realiza a partir de una factorización de la ecuación del subsistema Σe , esta factorización separa los términos relacionados con las resistencias con incertidumbre de los que no, en este punto se considera la matriz de resistencias explicitas.

5.1

Consideración del rediseño de Lyapunov

Considerar el siguiente sistema con incertidumbre: x˙ = f (t, x) + G(t, x)[u + δ(t, x, u)],

(5.1)

donde x ∈ Rn es el estado y u ∈ Rp es la entrada de control. Las funciones f , G y δ se encuentran definidas para (t, x, u)∈ [0, ∞) × D × Rp , donde D × Rp es un dominio de que contiene al origen. Se asume que f , G y δ son funciones continuas por partes en t y locales Lipschitz en x y u. Las funciones f y G son conocidas, mientras la función δ es desconocida y engloba incertidumbre debido a simplificaciones en el modelado ó desconocimiento de los paramétros, además, esta función satisface la condición de relacionarse con la entrada de control u. El modelo nominal del sistema sin incertidumbre es de la forma: x˙ = f (t, x) + g(t, x)u,

(5.2)

cómo ya se mencionó, el rediseño de Lyapunov considera desde un inicio el diseño de un controlador retroalimentado que usa la estructura del modelo nominal del sistema, por lo tanto existe una ley de control nominal u = ψ(t, x) tal que el origen del sistema nominal en lazo cerrado x˙ = f (t, x) + g(t, x)ψ(t, x),

(5.3)

es asintóticamente estable. Se asume una función conocida de Lyapunov para la ecuación (5.3), es decir, se tiene una función V (t, x) diferenciable que satisface α1 ||x|| ≤ V (t, x) ≤ α2 ||x|| ∂V dV + [f (t, x) + G(t, x)ψ(t, x)] ≤ −α3 ||x|| dt ∂x para toda (t, x) ∈ [0, ∞) × D, donde α1 , α2 y α3 son funciones clase K, se asume que con la ley de control u = ψ(t, x) + v el término que contiene a la incertidumbre δ satisface a: ||δ(t, x, ψ(t, x) + v)|| ≤ ρ(t, x) + k0 ||v||, 0 ≤ k0 < 1 donde ρ : [0, ∞) × D → R es una función no negativa continua.

68

(5.4)

Capítulo 5. Control robusto La estimación de la ecuación anterior es la única información que se requiere para conocer el término con incertidumbre δ. La función ρ es u sólo una medida de la magnitud de la incertidumbre. Es necesario resaltar que ρ no se requiere que sea pequeña sólo se requiere que sea conocida. El objetivo de este capítulo es mostrar que con el conocimiento de la función de Lyapunov V y de la función ρ se puede diseñar el término de control adicional v, tal que la ley de control u = ψ(t, x) + v estabilice el sistema con incertidumbre. El diseño de v es el método de rediseño de Lyapunov.

5.2

Ejemplo de control robusto aplicado a un sistema mecánico

El objetivo de este ejemplo es ilustrar los pasos para diseñar un controlador no lineal insensible a incertidumbre paramétrica. En este caso se considera un manipulador de un grado de libertad (1 gdl ) del cual solo se conoce el valor nominal de la masa total del sistema. La masa del sistema puede variar debido a que el manipulador puede mover diferentes objetos, por lo tanto, se requiere un controlador que tome en cuenta esta variación. Inicialmente se diseña la ley de control nominal que está basada en pasividad y considera todos los parámetros nominales y sin variación alguna. Después se obtiene un término adicional a través del rediseño de Lyapunov para sumárselo a la ley de control nominal, de tal manera que la ley de control robusta = ley de control nominal + término adicional. Este término adicional solo considera el valor máximo de la variación, de tal manera que no se requiere conocer o estimar el valor verdadero de la masa sino solo que tanto puede variar. El objetivo de control es la posición y velocidad angular del brazo y se supone que el controlador actúa directamente sobre el brazo con una señal de par τ . La ecuación dinámica del manipulador en la formulación E-L es [Durán, 2004]: Dm q¨m + Rm q˙m + G(qm ) = τ, (5.5) donde Dm = 13 l2 m es la inercia, Rm es el coeficiente de fricción viscosa y G(qm ) = 12 mgl sin(qm ) es el par debido a la fuerza de gravedad, m es la masa del sistema, l es la longitud del brazo, qm es la posición angular y q˙m es la velocidad angular, la entrada del sistema es el par τ . La ecuación dinámica de referencia del sistema es: Dm q¨r + Rm q˙r + G(qm ) = τd .

(5.6)

Los errores de posición, velocidad y aceleración angular quedan definidos por q˜m = qm − qmd , ˙q˜m = q˙m − q˙md y q¨˜m = q¨m − q¨md , respectivamente, donde el subíndice d hace referencia a trayectorias deseadas. Se definen las trayectorias de referencias de velocidad y aceleración como q˙r = q˙md − Γm q˜m y q¨r = q¨md − Γm q˜˙m , respectivamente, además, Γm > 0. Se hace uso del error combinado de seguimiento con la intención de controlar tanto la posición como la velocidad angular del brazo: s = q˜˙m + Γm q˜m = q˙m − q˙r . 69

(5.7)

5.2. Ejemplo de control robusto aplicado a un sistema mecánico Al restar las ecuaciones (5.5) y (5.6) y usar las definiciones anteriores la ecuación dinámica del error combinado de seguimiento es: Dm s˙ + Rm s = γ, (5.8) con γ = τ − (Dm q¨r + Rm q˙r + G(qm )), por lo tanto, se puede decir que si τ = τd → γ = 0. Para hallar la ley de control nominal y asegurar la estabilidad en lazo abierto se usa la teoría de estabilidad de Lyapunov, entonces se propone la siguiente función candidata en términos del error combinado como: 1 (5.9) V (s) = Dm s2 , 2 y se cumple que V (s) ≥ 0 debido a que Dm > 0 y que s2 ≥ 0, además, se evalúa a lo largo de la trayectoria del error y se obtiene que V (0) = 0, V (s 6= 0) 6= 0, y V (s → ∞) → ∞. La derivada de la función candidata es: V˙ = Dm ss, ˙ (5.10) y el controlador nace de forzar a que V˙ sea negativa, entonces de (5.8) se despeja a Dm s˙ como: Dm s˙ = γ − Rm s

= τ − (Dm q¨m + Rm q˙m + G(qm )),

(5.11)

y se sustituye en (5.10), resultando en: V˙ = (τ − (Dm q¨r + Rm q˙m + G(qm ))) s,

(5.12)

esta última debe ser una función definida negativa, por lo tanto se hace la siguiente operación: τ − (Dm q¨r + Rm q˙m + G(qm )) = −Γs s, Γs > 0,

(5.13)

de tal manera que la derivada ahora es; V˙ = −Γs s2 ,

(5.14)

y se puede decir que V˙ ≤ 0 ya que Γs > 0 y s2 ≥ 0. La ley de control nominal τn se obtiene al despejar τ de la ecuación (5.13): τn = τ = −Γs s + Dm q¨r + Rm q˙m + G(qm ). (5.15) Para hallar el término adicional se necesita separar los elementos que se relacionan con la masa de los que no, esto se logra a partir de la ecuación de la dinámica de referencia del manipulador dada por (5.5). Al desarrollar todos los términos de la ecuación se tiene que: 1 1 τd0 = Rm q˙r + ( l2 q¨r + gl sin qm )m0 = gd0 + Bd0 Φ0 , 3 2

(5.16)

donde gd0 = Rm q˙r es el término independiente a m y Bd0 = ( 31 l2 q¨r + 21 gl sin qm ) es el término que se relaciona a m. Φ0 es el vector de parámetros con incertidumbre que en este caso solo es m. El superíndice 0 indica valor nominal. Entonces la ley de control robusta es formulada a partir de la nominal como: τr = τn + Bd0 w, w ∈ R. (5.17) 70

Capítulo 5. Control robusto El error paramétrico se define como la diferencia entre el valor nominal y el valor real de la masa y se expresa como: ˜ = Φ0 − Φ = m0 − m, Φ (5.18)

˜ ≤ ρ1 , ρ1 ∈ R+ y representa la cota máxima de la variación de m. Ahora solo resta se cumple que ||Φ|| conocer w ya que es el término encargado de hacer frente a la incertidumbre. Para todo sistema que se pueda factorizar como la ecuación (5.16) se usa que w sea: ρ21 (Bd0 )⊤ s w=− , ρ1 ||s⊤ Bd0 || + ǫ

(5.19)

en este caso todas las cantidades son escalares, por lo tanto w se formula como: w=−

ρ21 Bd0 s , ρ1 |sBd0 | + ǫ

(5.20)

donde ǫ ∈ R+ es una ganancia de diseño. Más adelante en este capítulo se muestra el desarrollo para obtener a w mediante el análisis de estabilidad de Lyapunov y en este caso al analizar el término Bd0 w se observa que este término es estático y que no incrementa el orden del sistema, lo cual se considera una ventaja del rediseño de Lyapunov. Con w definido, la ley de control robusta τr dada por la ecuación (5.64) muestra un buen desempeño en comparación a la ley de control nominal τn . Se obtienen resultados en simulación con los parámetros del manipulador definidos como l = 0.305 m, Rm = 15 × 10−6 N ms/rad, g = 9.81 m/s2 , una masa nominal m0 = 0.4 Kg y una masa real m = 4 Kg. Es necesario recordar que el control nominal solo usa el valor nominal de la masa m0 . Los parámetros del controlador nominal es definen como Γm = 5 y Γs = 1, los parámetros del control robusto además de usar los del nominal también define la cota máxima de variación paramétrica como ρ1 = 4 y la ganancia de diseño como ǫ = 0.001. Las trayectorias deseadas de posición, velocidad y aceleración se escogen como qm = sin(2πt), q˙m = 2π cos(2πt) y q¨m = −(2π)2 sin(2πt), respectivamente. Las figuras 5.1 (a) y (b) muestran el desempeño del controlador nominal y el controlador robusto en el seguimiento de la referencia de posición deseada junto con el error correspondiente.

71

5.2. Ejemplo de control robusto aplicado a un sistema mecánico La gráfica correspondiente al error de posición muestra que el caso nominal tiene un mejor desempeño debido a que q˜m del caso nominal se mantiene oscilando con una amplitud del 5% de la referencia mientras que q˜m del caso robusto oscila con una amplitud menor al 1% de la referencia.

(a) Posición angular

(b) Error de posición angular

Figura 5.1: Resultado del control de posición angular de un manipulador de 1 gdl. La gráfica 5.2 (a) muestra el seguimiento de velocidad angular y se observa que el caso robusto tiene un mejor desempeño. El error de velocidad se presenta en la gráfica 5.2 (b), el caso nominal presenta oscilaciones sostenidas del 8.3% de la magnitud de la referencia mientras que el caso robusto presenta oscilaciones menores al 1%.

(a) Velocidad angular

(b) Error de velocidad angular

Figura 5.2: Resultado del control de velocidad angular a un manipulador de 1 gdl. La señales de control nominal τn y robusta τr se muestran en la gráfica 5.3. Se observa que estas dos señales tienen un comportamiento diferente, esto se debe a que el caso robusto cuenta con la señal de control Bd0 w que se encarga de hacer frente a la falta del conocimiento en el parámetro m. 72

Capítulo 5. Control robusto

Figura 5.3: Señales de control nominal τn y robusto τr aplicadas a un manipulador de 1 gdl.

5.3

Planteamiento del problema

Se considera que el MB se alimenta de los voltajes de que aquí se repite:    va 2 vi    V = vb = −1 3 vc −1

salida del inversor dados por la ecuación (3.12),   −1 −1 a   2 −1 b , −1 2 c

(5.21)

donde u = V = [va vb vc ]⊤ es el vector de voltajes de fase, vi es el voltaje del bus de CD y a, b y c son las variables binarias resultantes de la modulación senoidal. El modelo del MB para el subsistema eléctrico Σe se obtiene a partir de la formulación de E-L descrita por la ecuación (3.45), por conveniencia esta ecuación se repite: Σe : De q¨e + W1 q˙m q˙e + W2 q˙m + Re q˙e = Me u,

(5.22)

donde q˙e = [q˙1 q˙2 q˙3 ]⊤ es el vector de corrientes que representa el estado de este subsistema, De es la m) e , W2 = ∂µ(q , matriz de inercias generalizadas equivalente a la matriz de inductancias L, W1 (qm ) = ∂D ∂qm ∂qm Re es la matriz de resistencia, q˙m es la velocidad angular mecánica y Me es una matriz identidad de 3×3. Ahora, el MB está acoplado a la transmisión mecánica del VE como lo muestra la figura 3.7 y la ecuación que representa a todo este subsistema mecánico (motor, transmisión y llantas) está dada por (3.90), repetida aquí:   ηg G 2 µrr mgr cos(ψ) ρACd r3 2 mgr sin(ψ) , (5.23) q¨m = τem − Rm q˙m − − q˙ − Dm ηg G2 + mr2 ηg G 2ηg G3 m ηg G con q˙m y qm los estados del subsistema mecánico. Todos los parámetros del VE están definidos en el capítulo 3. El problema de control es: dado un vehículo eléctrico accionado por un motor brushless trifásico y todo el sistema representado por las ecuaciones (5.21), (5.22) y (5.23), suponer que todo el estado está disponible para medición, los parámetros del inversor, del MB y del VE son conocidos con excepción 73

5.4. Diseño del controlador nominal basado en pasividad de las resistencias de fase (ra , rb y rc ), diseñar un controlador robusto a variaciones en las resistencias ... que logre el objetivo de seguimiento de trayectoria deseadas q˙md , q¨md y q md todas estas acotadas.

5.4

Diseño del controlador nominal basado en pasividad

Como se vió en el capítulo 3, el modelo dinámico de la máquina está formado por dos subsistemas pasivos Σe y Σm , interconectados como lo indica la figura 5.4.

Figura 5.4: Descomposición pasiva de subsistemas. El diseño del controlador nominal comprende dos tipos de controladores; el controlador de la parte mecánica y el controlador de la parte eléctrica del MB. Para la parte mecánica se diseña un controlador a partir de la trayectoria deseada de velocidad q˙md y la velocidad q˙m que desarrolla el motor. Con estas trayectorias y sus derivadas se obtiene el par electromagnético de referencia τemd que es el par que necesita producir la máquina para lograr el seguimiento de velocidad. Las corrientes deseadas están en función del par deseado, entonces, para la parte eléctrica se diseña un controlador que asegure el seguimiento de corrientes, lo que implica el seguimiento de par electromagnético, es decir que si limt→∞ ||q˙e − q˙ed || = 0 asegura que limt→∞ |τem − τemd | = 0.

5.4.1

Diseño del controlador del subsistema mecánico

En esta sección se presenta el diseño del controlador para la parte mecánica del MB. La ecuación (3.88), que aquí se repite: r Fte = τem , (5.24) Dm q¨m + Rm q˙m + ηg G representa la dinámica de la parte mecánica del motor junto con la transmisión y las llantas, esta ecuación mantiene una estructura apropiada para iniciar el diseño del controlador. El término Dm agrupa tanto la inercia de la flecha del motor como la inercia de todo el vehículo y el par de carga que se presenta en la flecha es ηgrG Fte . Al seguir los pasos descritos al inicio de este capítulo el diseño comienza a partir de esta última ecuación (5.24) y de su dinámica deseada ordenadas como: Dm q¨m + Rm q˙m + τL = τem , Dm q¨md + Rm q˙md + τL = τemd . 74

(5.25)

Capítulo 5. Control robusto El subíndice d hace referencia a las trayectorias deseadas. Ahora se definen los errores de velocidad y aceleración angular como: q˜˙m = q˙m − q˙md y q¨˜m = q¨m − q¨md ,

(5.26)

respectivamente. La ecuación dinámica del error se obtiene al restar las ecuaciones en (5.25) y al hacer uso de las definiciones en (5.26), entonces: Dm q¨˜m + Rm q˜˙m = τem − [Dm q¨md + Rm q˙md + τL ].

(5.27)

El segundo miembro de la ecuación anterior es la entrada a la ecuación dinámica del error y se define como σm = τem − [Dm q¨md + Rm q˙md + τL ], (5.28)

por lo tanto, se puede decir que si τem = τemd , entonces, σm = 0. Para diseñar el controlador se propone la siguiente función candidata de Lyapunov en función del error de velocidad: 1 2 V (q˜˙m ) = Dm q˜˙m , 2

(5.29)

y se cumple que V (q˜˙m ) ≥ 0 debido a que Dm > 0 y que q˜˙2 ≥ 0, además, se evalúa a lo largo de la trayectoria del error y se obtiene que: V (0) = 0, V (q˜˙m ) 6= 0,

(5.30)

V˙ = q˜˙m Dm q¨˜m ,

(5.31)

V (∞) → ∞.

La derivada de la función candidata es:

y el controlador para el subsistema mecánico se obtiene al forzar a V˙ a que sea una función semidefinida negativa, además, con esto se logra garantizar la estabilidad. Para lograr que sea semidefinida negativa se despeja de la ecuación (5.27) el término Dm q¨˜m y se sustituye en la ecuación (5.31), con lo que se obtiene que: V˙ = q˜˙m (τem − [Dm q¨md + Rm q˙m + τL ]) , (5.32) ahora, para forzar a que V˙ sea una función definida negativa se considera que: τem − [Dm q¨md + Rm q˙m + τL ] = −Γm q˜˙m , Γm > 0,

(5.33)

de esta manera V˙ queda definida negativa y su expresión es de la forma: 2 V˙ = −q˜˙m Γm q˜˙m = −Γm q˜˙m .

(5.34)

El par que se requiere para que el motor siga la referencia de velocidad surge de despejar el término τem de la ecuación (5.33). A este par y a su derivada se les renombra como τemd y τ˙emd respectivamente y tienen la siguiente expresión: τemd = −Γm q˜˙m + Dm q¨md + Rm q˙m + τL y ... τ˙emd = −Γm q¨˜m + Dm q md + Rm q¨m + τ˙L . 75

(5.35)

5.4. Diseño del controlador nominal basado en pasividad Estas últimas ecuaciones dadas por (5.35) representan la ley de control para el subsistema mecánico. El par de carga y su derivada se definen a partir del modelo del VE como:   r mr ρACd r2 2 τL = q¨m + µrr mg cos(ψ) + q˙ + mg sin(ψ) , ηg G G 2G2 m   (5.36) ρACd r2 mr ... r ˙ ˙ q m − µrr mg ψ sin(ψ) + q˙m q¨m + mg ψ cos(ψ) . τ˙L = ηg G G G2

5.4.2

Diseño del controlador del subsistema eléctrico

En esta sección se muestra el desarrollo del controlador para la parte eléctrica del MB. Es necesario resaltar que este diseño toma en cuenta que cuando las resistencias de fase no son iguales, la corriente q˙3r = i0 tiene una dinámica diferente de cero. Por lo tanto la señal de control u cuenta con tres elementos, es decir, ur = [ur1 ur2 ur3 ]⊤ = [vq vd v0 ]⊤ . Para iniciar el diseño de este controlador, se definen como trayectorias a seguir el par deseado y su derivada definidos en la ecuación (5.35). Las corrientes deseadas se relacionan con el par electromagnético deseado a partir de la expresión del par en el MR fijo al rotor dada por la ecuación (3.72) repetida aquí: 3 r r τemd = np q˙1d ((Ld − Lq )q˙2d + λm ). (5.37) 2 r Para emular el par producido por el motor de corriente directa se desea que q˙2d = 0, entonces la expresión anterior se simplifica como: 3 r , (5.38) τemd = np λm q˙1d 2 r r además, se desea que la corriente de la fase cero sea cero, es decir, q˙3d = 0. Al despejar q˙1d de la ecuación anterior, se define el vector de corrientes deseadas y su derivada como:      r q˙ed =

2τemd 3np λm

0 0

  r  y q¨ed = 

2τ˙emd 3np λm

0 0

 .

(5.39)

Ahora, el subsistema eléctrico del MB representado por la ecuación (5.22) y su dinámica deseada son: Der q¨er + W1r q˙m q˙er + W2r q˙m + Rer q˙er = ur y, r r r Der q¨ed + W1r q˙m q˙ed + W2r q˙m + Rer q˙ed = urd ,

(5.40)

y el error eléctrico y su derivada quedan definidos como:  r   r    r  q¨1d q¨1 q˙1d q˙1r r r r r r  r  r  r      . y e˙ = q¨e − q¨ed = q¨2 − q¨2d e = q˙e − q˙ed = q˙2 − q˙2d r r r r q¨3 q¨3d q˙3 q˙3d

(5.41)

Der e˙ + W1r q˙m e + Rer e = σe ,

(5.42)



Al restar las ecuaciones dadas en (5.40) y hacer uso de la definición del error y su derivada se obtiene la ecuación dinámica del error eléctrico como:

76

Capítulo 5. Control robusto con la entrada definida como: r r r σe = ur − [Der q¨ed + W1r q˙m q˙ed + W2r q˙m + Rer q˙ed ].

(5.43)

Para propósitos de diseño se requiere que la matriz resultante del término W1r q˙m cumpla con la propiedad de antisimetría, es decir, que una matriz sea igual a su transpuesta negativa, en términos generales A = −A⊤ . Para cumplir con esta propiedad se propone la matriz Z1 como:   0 (Ld − Lq )np q˙m 0 (5.44) Z1 =  0 0 0 , 0 0 0 esta última matriz se resta y se suma a la ecuación dinámica del error de la siguiente manera: Der e˙ + [W1r q˙m − Z1 ]e + [Rer + Z1 ]e = σe .

(5.45)

Como resultado se obtienen: 

0 Lq r r  Ce = W1 q˙m − Z1 = np q˙m −Lq 0 0 0  re (Ld − Lq )np q˙m r r  R e = R e + Z1 = 0 re 0 0

 0 0  y 0  0 0 , re

(5.46)

donde Cer cumple con la propiedad de antisimetría, es decir, Cer = −(Cer )⊤ . Ahora la ecuación dinámica del error queda: r Der e˙ + Cer e + Re e = σe , (5.47) con

r

r r r σe = ur − [Der q¨ed + Cer q˙ed + W2r q˙m + Re q˙ed ].

(5.48)

Se puede decir que si ur = urd , entonces σe = 0, esto implica que la ecuación dinámica del error se iguala a cero y que la dinámica eléctrica del motor es la dinámica deseada. Entonces, la señal de control en lazo cerrado es la dinámica eléctrica deseada descrita por: r

r r r ur = Der q¨ed + Cer q˙ed + W2r q˙m + Re q˙ed .

(5.49)

Para efecto de una rápida convergencia, se añade amortiguamiento a la ecuación dinámica del error agregando a ambos miembros el producto de una matriz de ganancias K1 por el error de corrientes e de la siguiente manera: r Der e˙ + Cer e + Re e + K1 e = σe , (5.50) debido a esta suma de amortiguamiento y a la ecuación (5.48), la entrada σe se reescribe como: r

r r r σe = ur − [Der q¨ed + Cer q˙ed + W2r q˙m + Re q˙ed − K1 e].

(5.51)

Entonces la ley de control nominal se obtiene igualando a cero σe de la ecuación (5.51) y al despejar u se obtiene: r r r r − K1 e. (5.52) ur = Der q¨ed + Cer q˙ed + W2r q˙m + Re q˙ed r

77

5.5. Diseño del controlador robusto basado en el rediseño de Lyapunov Ahora solo resta conocer K1 , esto se logra con el análisis de estabilidad de Lyapunov y para tal motivo se propone la siguiente función candidata: 1 V = e⊤ Der e, 2

(5.53)

esta función es semidefinida positiva, es decir, V (q˜˙m ) ≥ 0 debido a que existe un producto cuadrático en el error e y que también De > 0, además, si se evalúa a lo largo de la trayectoria del error y se obtiene que: V (0) = 0, V (e) 6= 0,

(5.54)

V˙ = e⊤ Der e, ˙

(5.55)

V (∞) → ∞. La derivada de la función candidata es:

y de la ecuación (5.50), cuando la entrada σe = 0 se despeja el término Der e˙ de la siguiente manera: r

Der e˙ = −Cer e − [Re + K1 ]e,

(5.56)

entonces, al sustituir Der e˙ en (5.55) se tiene que: r r V˙ = −e⊤ Cer e − e⊤ [Re + K1 ]e = −e⊤ [Re + K1 ]e,

(5.57)

donde el término e⊤ Cer e = 0 ya que Cer es una matriz que cumple con la propiedad de antisimetría. Para hallar los elementos de K1 se debe forzar a que V˙ sea semidefinida negativa, entonces la suma r [Re + K1 ] debe de ser definida positiva, por lo tanto, se propone K1 como:   k −(Ld − Lq )np q˙m 0 (5.58) K1 =  0 k 0  0 0 k

y la suma queda:

 re + k 0 0 r R e + K1 =  0 re + k 0  , k > 0, 0 0 re + k 

(5.59)

con lo que se logra que V˙ sea una función semidefinida negativa. El controlador nominal está definido finalmente por la ley de control para la parte mecánica dada por (5.35) y por la ley de control para la parte eléctrica dada por (5.52). Esta última no considera variaciones paramétricas en las resistencias de fase.

5.5

Diseño del controlador robusto basado en el rediseño de Lyapunov

El control robusto tiene como finalidad hacer frente a incertidumbre paramétrica en la resistencia de los devanados del estator [Guerrero, 2001]. Este valor puede cambiar por muchos factores como 78

Capítulo 5. Control robusto la temperatura y desgaste en el esmalte de las bobinas, lo que ocasiona que el motor funcione bajo condiciones desbalanceadas. Para contrarrestar el efecto de la variación se diseña un término adicional que se suma a la ley de control nominal dada en (5.52). Para encontrar este nuevo término se parte de la ecuación dinámica deseada para el subsistema eléctrico dado con la suma de la matriz Z1 , además, se hace uso de la matriz de resistencias explicitas dada por la ecuación (3.76) a la cual también se le suma la matriz Z1 : r r r r , (5.60) urd = Der q¨ed + Cer q˙ed + W2r q˙m + Rex q˙ed con r

Rex

 r11 r12 + (Ld − Lq )np q˙m r13 r = Rex + Z1 =  r21 r22 r23  . r31 r32 r33

(5.61)

2τemd . 3np λm

(5.63)



Al considerar (5.39) y desarrollar todos los términos de (5.60), la ecuación de la dinámica deseada se puede agrupar de la siguiente forma:  L 2τ˙    0  q emd 2 1 1 + λ n q ˙ α α α ra m p m 3np λm 3 6 6    r0 −q˙m Lq 2τemd 1 1   ud =  (5.62) α −6α rb0  = gd0 + Bd0 Φ0 , 0 + 6 3λm 1 1 1 0 rc α −6α −6α 0 3

con

α=

Donde gd0 es el vector de términos independientes a los parámetros con incertidumbre, Bd0 es la matriz de términos que multiplican a las resistencias y Φ0 contiene los parámetros con incertidumbre. El superíndice 0 indica valor nominal. A la ley de control nominal se le agrega un término Bd0 w de la siguiente manera: 0 3 ur = ur0 (5.64) d − K1 e + Bd w, w ∈ R . Se define al error paramétrico como la diferencia entre el valor nominal y el real del parámetro, es decir,  0    ra ra ˜ = Φ0 − Φ =  r0  −  rb  , Φ (5.65) b 0 rc rc

y se debe de satisfacer que

˜ ≤ ρ1 , ρ1 ∈ R+ . ||Φ||

(5.66)

ρ1 es la cota máxima a la que puede variar el valor de las resistencias. Ahora solo falta hallar el valor de w, este surge del análisis de estabilidad en el sentido de Lyapunov. Para realizar el análisis se debe adecuar la ecuación (5.64) agregando el término ±Bd0 Φ de la siguiente manera:

r

u −

(gd0

+

ur = gd0 + Bd0 Φ0 − K1 e + Bd0 w ± Bd0 Φ ˜ + w) − K1 e ur = (gd0 + Bd0 Φ) + Bd0 (Φ

Bd0 Φ)

=

˜ Bd0 (Φ

(5.67)

+ w) − K1 e.

El término ur − (gd0 + Bd0 Φ) es la resta del comportamiento real menos el deseado y por lo tanto utilizando (5.47) es válido expresar: r ˜ + w) − K1 e. Der e˙ + Cer e + Re e = Bd0 (Φ

79

(5.68)

5.5. Diseño del controlador robusto basado en el rediseño de Lyapunov Se propone de nuevo una función candidata con el objetivo de hallar la expresión de w, esta función es:

1 (5.69) V = e⊤ Der e. 2 La función candidata V ya se probó anteriormente que es definida positiva. La derivada de la función candidata es: V˙ = e⊤ Der e, ˙ (5.70) al despejar el término Der e˙ de (5.68) y sustituyendo en la ecuación anterior se obtiene: r ˜ + w). V˙ = −e⊤ Cer e − e⊤ [Re + K1 ]e + e⊤ Bd0 (Φ

(5.71) r

Como ya se mencionó −e⊤ Cer e = 0, además, ya se demostró también que e⊤ [Re +K1 ]e es una función definida positiva y al estar acompañada de un signo negativo automáticamente se vuelve una función definida negativa. Se encuentra el término w realizando las siguientes operaciones [Olmos, 2004]: ˜ + w) =e⊤ Bd0 Φ ˜ + e⊤ Bd0 w e⊤ Bd0 (Φ ˜ + e⊤ Bd0 w ≤||e⊤ Bd0 ||||Φ||

˜ 2 ||e⊤ Bd0 ||2 ||Φ|| + e⊤ Bd0 w 0 ⊤ ˜ ||e Bd ||||Φ|| (e⊤ Bd0 )((Bd0 )⊤ e)ρ21 + e⊤ Bd0 w ≤ ||e⊤ Bd0 ||ρ1   0 ⊤ 2 (Bd ) eρ1 ⊤ 0 +w . =e Bd ||e⊤ Bd0 ||ρ1 =

(5.72)

Igualando a cero esta última expresión se tiene que w=−

(Bd0 )⊤ eρ21 . ||e⊤ Bd0 ||ρ1

(5.73)

Para evitar indeterminaciones se agrega una constante ǫ cuyo valor se asigna por diseño, por lo tanto se tiene finalmente para w la siguiente expresión: w=−

ρ21 (Bd0 )⊤ e . ρ1 ||e⊤ Bd0 || + ǫ

(5.74)

˜ + w) es una función definida negativa o en su defecto una Ahora solo resta demostrar que e⊤ Bd0 (Φ función definida positiva pero acotada. Entonces al utilizar las propiedades de las normas, se realiza lo siguiente:   ρ21 (Bd0 )⊤ e ⊤ 0 ˜ ⊤ 0 ˜ e Bd (Φ + w) = e Bd Φ − ρ1 ||e⊤ Bd0 || + ǫ   2 0 ⊤ ρ ||(B ) e|| 1 d ⊤ 0 ˜ − ≤ ||e Bd || ||Φ|| ρ1 ||e⊤ Bd0 || + ǫ (5.75)   2 ⊤ 0 ⊤ 0 2 0 ⊤ ρ1 ||e Bd ||ǫ ρ1 ||e Bd || − ρ1 ||(Bd ) e|| + ρ1 ǫ = ≤ ||e⊤ Bd0 || 0 ⊤ ρ1 ||e Bd || + ǫ ρ1 ||e⊤ Bd0 || + ǫ ≤ ǫ.

80

Capítulo 5. Control robusto Por lo tanto la derivada de la función candidata es: r V˙ ≤ −e⊤ [Re + K1 ]e + ǫ,

(5.76)

y se puede decir que la ley de control robusta (5.64) asegura que el error tanto de velocidad como de corrientes sea acotado, mas no que converja a cero. La figura 5.5 muestra el diagrama a bloques del control no lineal. Este diagrama representa tanto al controlador nominal como al robusto, ya que la diferencia entres estos es solo el diseño de la ley de control para el subsistema eléctrico. El control robusto, como ya se mencionó, es el control nominal más un término que se encarga de hacer frente a la variación paramétrica. En el sistema de control de la figura 5.5 se retroalimentan las corrientes q˙e = [q˙e1 q˙e2 q˙e3 ]⊤ , la posición qm y la velocidad angular q˙m del motor, es decir, todos los estados del MB que incluye al subsistema eléctrico y mecánico, respectivamente. Las entradas al sistema son las trayectorias de velocidad, aceleración y derivada de aceleración deseadas. El controlador se divide en un controlador para el subsistema mecánico dado por la ecuación (5.35) y un controlador para el subsistema eléctrico dado por la ecuación (5.52) para el caso nominal ó por la ecuación (5.64) para el caso robusto . La entrada al inversor son las señales de control u = [u1 u2 u3 ]⊤ y la salida son los voltajes de fase al motor.

Figura 5.5: Diagrama a bloques del control no lineal.

5.6

Simulación de los controladores propuestos bajo diferentes escenarios

En esta sección se muestra el desempeño de los dos controladores (nominal y robusto) diseñados en este capítulo y ambos representados por el diagrama a bloques de la la figura 5.5. El diseño del controlador robusto toma en cuenta variaciones paramétricas en el valor de las resistencias de fase del MB, por lo tanto se realizan pruebas para evaluarlo con respecto al controlador nominal. Además, se realizan pruebas con cambios en el ángulo de la pendiente de la superficie sobre la cual circula el VE con la intención de mostrar el comportamiento de los dos controladores.

81

5.6. Simulación de los controladores propuestos bajo diferentes escenarios El motor brushless usado en la simulación es el B26S. Este motor se encuentra conectado en estrella y lo fabrica la empresa italiana HDT. Sus parámetros se listan en la tabla 5.1 junto con los parámetros de la operación del inversor y los coeficientes mecánicos del VE.

Tabla 5.1: Parámetros usados en simulación para el control no lineal del VE. Parámetro Magnitud Parámetro Magnitud fs 5 KHz. re 0.121 Ω vi 600 V. Lls 1 × 10−5 H. λm 0.262 V s/rad. Lm 8 × 10−4 H. Rm 0.00001 N ms/rad. L∆m 0 H. np 4 Dm 0.022 Kgm2 . m 1366 Kg µrr 0.015 2 g 9.8 m/s ρ 1.25 Kg/m3 A 2.66 m2 Cd 0.23 ψ 0 rad G 5.5 r 0.2876 m ηg 0.95

Los valores de las ganancias del control nominal usadas para todas las simulaciones son Γm = 9000 y k = 20. Para el control robusto también se usan las ganancias Γm = 9000 y k = 20, además, ρ1 = 0.121 y ǫ = 0.01. De la misma manera que en el control vectorial, las simulaciones realizadas para probar el desempeño de los controladores propuestos se agrupan de la siguiente manera: 1. Simulación de los dos sistemas de control no lineal bajo condiciones nominales y sin perturbaciones mecánicas de ningún tipo. 2. Simulación de los dos sistemas de control no lineal con variaciones parametricas en el valor de las resistencias de fase. 3. Simulación de los dos sistemas de control no lineal con cambios en el ángulo ψ de la superficie sobre la cual circula el VE. En las simulaciones realizadas para el control nominal y robusto se usa un filtro de variable de estado para derivar el par de carga del VE. Este filtro tiene una representación en variable de estado como: x˙ 1 = x2 , x˙ 2 = −(2πf )2 x1 − 22/3 πf x2 + (2πf )2 τL ,

(5.77)

con f = 45 Hz. La entrada al filtro es el par de carga τL dado en (5.36) y la salida son los estados x1 y x2 que son el par de carga filtrado y su derivada respectivamente. Estas dos salidas del filtro de estado son utilizadas en las ecuaciones (5.35) con la intención de ahorrar tiempo y esfuerzo computacional, ya que reconstruir la derivada del par de carga τ˙L requiere conocer la derivada de la aceleración y eso involucra derivar la ecuación (5.24), y esta a su vez requiere derivar otras expresiones. 82

Capítulo 5. Control robusto

5.6.1

Simulación bajo condiciones nominales de operación.

En esta sección se muestra el desempeño del sistema de control tanto nominal como robusto dado por la figura 5.5, en esta prueba no existe incertidumbre en el valor de la resistencias de fases del MB, además, el VE circula por una superficie cuyo ángulo de inclinación en todo momento es cero (ψ = 0◦ ). El seguimiento de velocidad angular deseada para ambos controladores se muestra en la figura 5.6 (a), La referencia de velocidad es una señal suave y acotada con una amplitud máxima de 265.6 Rad/seg que equivale a 50 Km/hr. Se observa claramente que no existen diferencias en el seguimiento de velocidad deseada entre ambos controladores, esto se aprecia mejor en la figura 5.6 (b) que muestra que el error de seguimiento de ambos controladores es el mismo. El error tiene una amplitud máxima de 0.051 Rad/seg en el instante t = 19.5 seg, en este mismo instante la referencia tiene un valor de 235 Rad/seg, por lo tanto, el error es el 0.021% de la referencia. 0.055 250

150

ωm ref

100

ωm nom

50

ω rob

Rad/seg

Rad/seg

Error nom Error rob

0.05

200

m

0.045 0.04 0.035

0 0

5

10

15 seg

20

25

0.03

30

0

(a) Velocidad angular.

5

10

15 seg

20

25

30

(b) Error de velocidad angular.

Figura 5.6: Seguimiento de velocidad bajo condiciones nominales de operación. Los índices de desempeño para evaluar los controladores se muestran en la tabla 5.2. Estos índices muestran que el control nominal tiene ligeramente un mejor desempeño que el control robusto. Tabla 5.2: Índices de desempeño de los controladores no lineales bajo condiciones nominales Tipo de controlador Nominal Robusto

ISE 0.04731 0.04741

ITSE 0.766 0.767

IAE 1.177 1.178

ITAE 18.39 18.41

El seguimiento de par electromagnético de ambos controladores se exhibe en la figura 5.7. En esta se muestra que las referencias de par son casi idénticas y que también el par electromagnético desarrollado en ambos casos es muy parecido, además, tiene una amplitud máxima positiva de 176 N m y negativa de −228 N m. El par electromagnético desarrollado por el MB en ciertas zonas se aleja de la referencia, esto no interfiere con el seguimiento de velocidad ya que el par desarrollado es suficiente para un buen control de velocidad. 83

5.6. Simulación de los controladores propuestos bajo diferentes escenarios

200 100 τem ref nom

Nm

0

τem ref rob

−100

τem nom

−200

τem rob 0

5

10

15 seg

20

25

30

Figura 5.7: Seguimiento de par electromagnético bajo condiciones nominales de operación.

En la siguiente figura 5.8 (a) se muestran las señales de control ur1 = vq del caso robusto y nominal, esta gráfica tiene el proposito de ilustrar que estas dos señales son muy parecidas ya que no existe ningún tipo de desbalanceo en el motor. Ambas tienen una amplitud máxima de 730 V . r Al mismo tiempo se presentan las corrientes deseadas q˙1d = iq ref junto con las corrientes desarror lladas q˙1 = iq por el MB de los casos nominal y robusto en la figura 5.8 (b). Las referencias de corriente en ambos casos son muy parecidad entre sí, al igual que las corrientes desarrolladas por el MB. De la misma manera que en la gráfica 5.7 anterior, la corriente no sigue perfectamente a la referencia y esto no involucra un mal seguimiento de la velocidad deseada.

800

100 50 iq ref nom

0

400

A

V

600

r u 1 r u1

200 0 0

5

10

15 seg

iq ref rob

−50

nom

iq nom

−100

rob

iq rob

−150

20

25

0

30

(a) Señal de control ur1 = vq .

5

10

15 seg

20

25

30

(b) Seguimiento de corriente q˙1r = iq .

Figura 5.8: Señal de control y seguimiento de corriente en el eje q bajo condiciones nominales.

Las señales de control ur2 = vd de los dos controladores se muestran en la figura 5.9 (a). Estas señales son muy similares y presentan una amplitud máxima de 420 V . En la figura 5.9 (b) se muestra la corriente q˙2r = id que desarrolla el MB para los dos tipos de r controladores, la corriente deseada en ambos casos se escogió como q˙2d = id ref = 0 A. Se observa que la mayor diferencia entre lo desarrollado y lo deseado ocurre en el instante t = 19.5 seg con una magnitud de 15.5 A. 84

Capítulo 5. Control robusto

400

r

u2 nom

10

r 2

u rob A

V

200 0

0 i nom d

i rob

−10

d

−200

i

d ref

0

5

10

15 seg

20

25

−20

30

0

5

(a) Señal de control ur2 = vd .

10

15 seg

20

25

30

(b) Seguimiento de corriente q˙2r = id .

Figura 5.9: Señal de control y seguimiento de corriente en el eje d bajo condiciones nominales. Para finalizar la prueba de los controladores bajo condiciones nominales de operación, se muestran las figuras 5.10 (a) y (b) correspondientes a la señal de control ur3 = v0 y a la corriente q˙3r = i0 , respectivamente. Debido a que no existen variaciones en el valor de las resistencias de fase del MB la señal de control ur3 = v0 nominal no exhibe ningun comportamiento y su valor es cero en todo instante, a diferencia de la señal por parte del controlador robusto, que presenta cierta forma diferente de cero. Las corrientes q˙3r = i0 de ambos controladores son iguales a cero, ya que las resistencias de fase del MB tienen el mismo valor y no presentan variaciones. Corrientes bifásicas

4

0.01 i0 nom

0.005

0

A

V

2

i0 rob

i0 ref

0

ur nom 3 r u 3

−2 −4

0

5

10

15 seg

20

25

−0.005

rob

−0.01

30

(a) Señal de control ur3 = v0 .

0

5

10

15 seg

20

25

30

(b) Regulación de corriente q˙3r = i0 .

Figura 5.10: Señal de control y seguimiento de corriente en el eje 0 bajo condiciones nominales. El comportamiento de los dos sistemas de control (nominal y robusto) bajo condiciones balanceadas de operación es muy similar y aunque los índices de desempeño del caso nominal sean ligeramente menores que el caso robusto, no se considera significativa esta diferencia ya que la referencia de velocidad es mucho mayor con respecto al error presentado por los dos casos, además, la aplicación de control de velocidad de un VE no demanda mucha precisión.

5.6.2

Simulación bajo variaciones en las resistencias de fase.

En este tipo de simulaciones se provocan cambios en el valor de las resistencias de fase del MB con la intención de evaluar el desempeño de los controladores nominal y robusto bajo condiciones desbalanceadas de operación. Se supone que la variación en el valor de las resistencias ocurre de forma aislada en cada una de las fases del MB.

85

5.6. Simulación de los controladores propuestos bajo diferentes escenarios La magnitud de la resistencia de cada fase se puede ver afectada por diversos factores como: el desgaste en el esmalte que recubre el conductor de las bobinas, la temperatura de operación, el medio ambiente y otras circunstancias. En esta simulación se consideran cambios abruptos de tipo escalón en el valor nominal de las resistencias de fase del MB en el instante t = 15 seg. Estos cambios se presentan de forma independiente por cada fase. Las variaciones paramétricas con las cuales se realizaron las pruebas se muestran en la siguiente figura:

0.25 50%=0.0605 Ω 150%=0.1815 Ω 200%=0.242 Ω

Ω

0.2 0.15 0.1 0.05

0

5

10

15 seg

20

25

30

Figura 5.11: Variación paramétrica al valor de las resistencias de fase del MB.

La siguiente tabla lista todas las pruebas realizadas para evaluar el desempeño de los controladores para el seguimiento de velocidad:

Tabla 5.3: Índices de desempeño de los controladores no lineales ante cambios en las resistencias. Simulación 1 2 3 4 5 6

Tipo de controlador Nominal Robusto Nominal Robusto Nominal Robusto

Resistencia ra , rb , rc ra , rb , rc ra , rb , rc ra , rb , rc ra , rb , rc ra , rb , rc

Variación 50% 50% 150% 150% 200% 200%

ISE 0.04365 0.04669 0.04383 0.04717 0.04376 0.04681

ITSE 0.7034 0.7533 0.7064 0.7632 0.7053 0.7552

IAE 1.132 1.17 1.133 1.175 1.133 1.171

ITAE 17.63 18.26 17.66 18.36 17.65 18.27

En la figura 5.12 (a) se muestra el seguimiento de velocidad deseada por parte de los dos controladores correspondientes a las simulaciones 5 y 6, en las cuales se varía la resistencia de fase rc hasta un 200% de su valor nominal. Es evidente que después del instante t = 15 seg la velocidad que desarrolla el MB en ambos casos no sufre ningún cambio. La figura 5.12 (b) muestra el error de velocidad angular de los dos controladores y a diferencia del caso en el que no se presenta ninguna variación paramétrica (ver figura 5.6), en el instante t = 20 seg ambas gráficas de error presentan un comportamiento oscilatorio y destaca el error del caso nominal por ser estas oscilaciones ligeramente de mayor amplitud. 86

Capítulo 5. Control robusto Velocidad

Error de velocidad 0.055

250 ωm ref

150

Rad/seg

Rad/seg

Error nom Error rob

0.05

200

ωm nom

100

ωm rob

50

0.045 0.04 0.035

0 0

5

10

15 seg

20

25

0.03

30

0

(a) Velocidad angular

5

10

15 seg

20

25

30

(b) Error de velocidad angular

Figura 5.12: Seguimiento de velocidad con variación de 200% en rc .

El par que desarrolla el MB en los dos casos (nominal y robusto) se muestra junto con las dos referencias respectivas en la figura 5.13. Es evidente que antes del cambio en rc el par desarrollado en ambos casos es igual, pero después del cambio en el valor de la resistencia existe una diferencia entre los dos casos, esto se aprecia en el intervalo t = [18 23] seg que es cuando existe una desaceleración de velocidad del MB, la diferencia reside en que el par en el caso robusto es menor al par en el caso nominal.

Par electromagnético 200

Nm

100 τem ref nom

0

τem ref rob

−100

τem nom τem rob

−200 0

5

10

15 seg

20

25

30

Figura 5.13: Seguimiento de par electromagnético con variación de 200% en rc .

Para presentar las diferencias entre el controlador nominal y el robusto, se presentan las figuras 5.14 (a) y (b) que muestran la señal de control ur1 = vq producida por ambos controladores y la corriente q˙1r = iq desarrollada por el MB, respectivamente. En la figura 5.14 (a) se observa que la señal de control del caso robusto en el instante t = 20 seg es menor en 200 V que la señal de control del caso nominal que tiene en ese instante una amplitud r de 1200 V . En la figura 5.14 (b) se muestran las corrientes de referencia q˙1d = iq ref de los dos casos r junto con las corrientes q˙1 = iq que desarrolla el MB. Esta gráfica es muy similar a la figura 5.13 del par electromagnético y de igual manera se tiene que el caso nominal después del cambio paramétrico presenta mayor amplitud de corriente generada que el caso robusto en el intervalo t = [18 23] seg. El caso nominal presenta una amplitud máxima negativa de −163 N m y el caso robusto de −158 N m. 87

5.6. Simulación de los controladores propuestos bajo diferentes escenarios Corrientes bifásicas

Voltajes bifásicos 100

ur nom

1000

50 i

rob

V 500

nom

q ref

0

iq ref rob

A

1 r u1

−50

i nom q

−100

iq rob

−150

0 0

5

10

15 seg

20

25

0

30

(a) Señal de control ur1 = vq .

5

10

15 seg

20

25

30

(b) Seguimiento de corriente q˙1r = iq .

Figura 5.14: Señal de control y seguimiento de corriente en el eje q con variación de 200% en rc .

La señal de control ur2 = vd para los dos casos se muestra en la figura 5.15 (a), en esta gráfica se hace evidente la acción de control después de la variación en el valor de rc , ya que ambas responden a dicho cambio. En el intervalo t = [18 23] seg se manifiesta la diferencia de las dos leyes de control, ya que la amplitud de la señal de control nominal es de 1250 V y la de la señal de control robusta es de 1050 V . En la figura 5.15 (b) se muestra la regulación de la corriente q˙2r = id en un valor de 0 A. Es aquí donde se muestra una de las mejoras del control robusto sobre el nominal, ya que la amplitud de la corriente del caso robusto es menor en 10 A que la corriente del caso nominal que tiene una amplitud pico negativa de −56 A.

Voltajes bifásicos

Corrientes bifásicas 20

r

u2 nom ur 2

500

0

rob A

V

1000

id nom

−20

i rob d

−40

0 0

5

10

15 seg

20

25

−60

30

(a) Señal de control ur2 = vd .

i

d ref

0

5

10

15 seg

20

25

30

(b) Seguimiento de corriente q˙2r = id .

Figura 5.15: Señal de control y seguimiento de corriente en el eje d con variación de 200% en rc .

La siguiente figura 5.16 (a) muestra las señales de control de la fase cero ur3 = v0 para ambos casos, en esta se observa como las dos señales tienen un valor de 0 V antes de la variación en rc y después de la variación inician la acción de control diferente de cero. El caso nominal de nuevo presenta una mayor amplitud con respecto al caso robusto en el instante t = 20.5 seg, 710 V contra 510 V , respectivamente. Las corrientes q˙3r = i0 de los dos casos se presentan en la figura 5.16 (b), donde la regulación es mejor en el caso robusto que nominal por 8 A. Esto representa también una mejora del control robusto con respecto al control nominal. 88

Capítulo 5. Control robusto Corrientes bifásicas

Voltajes bifásicos 40 r 3 r u3

u nom 20

rob A

V

500

0

0

i0 nom i0 rob

−20

−500

i

0 ref

0

5

10

15 seg

20

25

−40

30

(a) Señal de control ur3 = v0 .

0

5

10

15 seg

20

25

30

(b) Seguimiento de corriente q˙3r = i0 .

Figura 5.16: Señal de control y seguimiento de corriente en el eje 0 con variación de 200% en rc . En esta simulación se observa que ante cambios en el valor de la resistencia rc de fase, no existe una diferencia significativa en el seguimiento de velocidad entre los dos controladores. Como lo muestra la tabla 5.3, los índices de desempeño de las simulaciones 5 y 6 difieren por muy poco, siendo el caso nominal el de un ligero mejor desempeño. Las diferencias entre los controladores saltan a la vista en la regulación de corrientes q˙2r y q˙3r , ya que el caso robusto exhibe una mejora significativa con respecto al nominal. Para resumir la pruebas realizadas bajo cambios en las resistencias de fase se muestra el diagrama de barras de la figura 5.17 que muestra el ITAE del control de velocidad para los cuatro diferentes porcentajes (50%, 100%, 150% y 200%) del valor nominal de las resistencias de fase. En este diagrama se observa que el control nominal es ligeramente mejor que el desempeño del controlador robusto.

Figura 5.17: ITAE para variaciones de 50%, 100%, 150% y 200%.

5.6.3

Simulación bajo cambios en el ángulo de la superficie.

Con el objetivo de evaluar los controladores diseñados en este capítulo mas allá de las variaciones paramétricas en las resistencias de fase, se realizan pruebas en simulación cambiando el ángulo de la superficie sobre la cual circula el MB sin que los controladores conozcan la magnitud de la variación ni el instante en el que se produce. En la práctica difícilmente se tiene una calle completamente plana, así que este tipo de pruebas permiten verificar si el control de velocidad es eficiente ante situaciones que se 89

5.6. Simulación de los controladores propuestos bajo diferentes escenarios asemejan a la realidad. La figura 5.18 (a) ilustra el camino sobre el cual se mueve el VE, de inicio, este camino tiene un ángulo ψ igual a cero, después, cuando inicia la rampa el ángulo ψ es mayor a cero y constante, finalmente al término de la rampa el ángulo vuelve a ser igual a cero. La figura 5.18 (b) muestra el perfil de cambio del ángulo ψ para las simulaciones. Se escogieron los valores de 10◦ , 15◦ y 20◦ con inicio en el instante t = 23 seg y su fin en el instante t = 28 seg.

20 o

ψ = 10

Grados

15

o

ψ = 15

o

ψ = 20

10 5 0 0

(a) Representación gráfica

5

10

15 seg

20

25

30

(b) Perfil de cambió del ángulo ψ

Figura 5.18: Cambio en el ángulo ψ de la superficie sobre la cual circula el VE.

Se realizan las pruebas indicadas por a la figura 5.18 (b) para los dos controladores y se obtienen los índices de desempeño de la tabla 5.4. De nuevo el control nominal es ligeramente mejor en el control de velocidad, aunque, esta ligera diferencia no es significativa debido a que en el control de VE´s no es necesaria tanta precisión, por lo que se puede decir que ambos controladores funcionan adecuadamente.

Tabla 5.4: Índices de desempeño de los controladores no lineales bajo variaciones en ψ. Tipo de controlador Nominal Robusto Nominal Robusto Nominal Robusto

Ángulo de la superficie ψ = 10◦ ψ = 10◦ ψ = 15◦ ψ = 15◦ ψ = 20◦ ψ = 20◦

ISE 0.04528 0.0454 0.04442 0.04455 0.04367 0.0438

ITSE 0.7143 0.7163 0.6925 0.6947 0.6733 0.6756

IAE 1.147 1.148 1.132 1.134 1.117 1.119

ITAE 17.62 17.65 17.29 17.27 16.87 16.91

La siguiente figura 5.19 (a) muestra el seguimiento de velocidad deseada por parte de los dos controladores bajo un cambio en el ángulo ψ de 20◦ . La figura 5.19 (b) muestra el error de seguimiento para ambos casos, se observa que no hay diferencias entre los dos errores, además, en los instantes t = 23 seg y t = 28 seg se reflejan los cambios abruptos en el ángulo de la superficie. Debido a que el controlador del subsistema mecánico de ambos casos se diseñaron exactamente igual, no existe diferencia entre la respuesta que ofrecen ante variaciones en la pendiente del camino sobre el cual circula el auto. 90

Capítulo 5. Control robusto Velocidad

Error de velocidad

250 0.05

ω

Rad/seg

Rad/seg

200 m ref

150

ω nom m

100

ω rob

0.03 Error nom Error rob

0.02

m

50

0.04

0.01

0 0

5

10

15 seg

20

25

30

0

(a) Velocidad angular

5

10

15 seg

20

25

30

(b) Error de velocidad angular

Figura 5.19: Seguimiento de velocidad con variación de 200% en rc con control nominal y robusto.

El seguimiento de par electromagnético se muestra en la figura 5.20 (a). De la misma manera se tienen el par desarrollado por el motor bajo ambos casos y con sus referencias respectivas. La magnitud del par desarrollado por ambos casos es igual, así que esto refuerza mas la afirmación que no existen diferencias entre el controlador nominal y el robusto debido a que los dos cuentan con el mismo controlador del subsistema mecánico.

Par electromagnético

Corrientes trifásicas

400 200

0

τ

nom

τ

rob

em ref em ref

−200

nom

−100

τ

rob

−200

em

−600

0

5

0

τ

em

−400

100 A

Nm

200

10

i nom

15 seg

20

25

30

a

0

(a) Velocidad angular

5

10

i rob a

15 seg

20

25

30

(b) Error de velocidad angular

Figura 5.20: Seguimiento de par electromagnético y corriente ia de ambos casos

En la figura 5.20 (b) se muestra la corriente de fase q˙e1 = ia que desarrolla el MB en ambos casos. En necesario decir que debido al cambio de la pendiente en el camino y a elevación del par necesario para mover el VE, las corrientes de fase del MB también se elevan, en este caso por simplificación solo se muestra la corriente de una sola fase y destaca su amplitud máxima en el instante t = 27 seg con 245 A. La figura 5.21 muestra el diagrama de barras del ITAE para los casos en que varia ψ, en este diagrama también se incluye el caso cuando no se tiene una variación en el ángulo de la pendiente. Caso contrario al control vectorial, estos controladores no lineales muestran que cuando se incrementa la magnitud de ψ el índice decrementa. También se puede decir que en la mayoría de los casos el control nominal es ligeramente mejor que el control robusto en el control de velocidad. 91

5.6. Simulación de los controladores propuestos bajo diferentes escenarios

Figura 5.21: ITAE de los controladores no lineales cuando varía ψ.

92

Capítulo 6

Análisis de resultados y conclusiones n esta tesis se abordaron tres tipos de controladores para manipular la velocidad de un vehículo eléctrico considerando tanto variaciones paramétricas en el subsistema eléctrico como en el mecánico. El control vectorial se basa en transformaciones de coordenadas entre diferentes marcos de referencia con la intención de desacoplar variables y así poder usar un control lineal tipo P I. Por otro lado, el control robusto está fundamentado en el control nominal (basado en pasividad) más un término de control adicional que enfrenta las variaciones paramétricas, a esta metodología se le llama rediseño de Lyapunov.

E

En todas las simulaciones realizadas se ocupa como referencia de velocidad angular el perfil que se muestra en la figura 6.1, esta se construye a partir de polinomios de Bezier, la aceleración y la segunda derivada de la velocidad se obtienen derivando la velocidad sucesivamente mediante el bloque de derivación de Simulink. Las simulaciones se realizan en el intervalo de t = [0 30] seg con un paso de integración de 12 µ seg, con condiciones iniciales de velocidad igual a cero.

Rad/seg

300

200

100

0

0

5

10

15 seg

20

25

30

Figura 6.1: Referencia de velocidad angular. El perfil de velocidad angular de referencia nace a partir de los ciclos de conducción de cualquier auto, es decir, se tiene una aceleración, una velocidad constante y una desaceleración en diferentes instantes con el objetivo de evaluar a los controladores bajo circunstancias mas apegadas a la vida real.

6.1

Comparación de índices de desempeño

La comparación de los índices se agrupa de la misma manera en que se agruparon las simulaciones, es decir, se realiza una comparación entre los controladores cuando el motor opera bajo condiciones normales, cuando existe una variación en las resistencias de fase y cuando el ángulo de la pendiente varia. Esta comparación consiste en agrupar los índices generados por cada tipo de controlador en sus 93

6.1. Comparación de índices de desempeño respectivas tablas, así también, graficar el error de velocidad en cada caso. Comparación bajo condiciones normales de operación Cuando no existen variaciones en las resistencias de fase y el camino por el cual circula el VE es completamente plano, los controladores abordados en esta tesis presentan los índices de desempeño de la tabla 6.1, estos índices muestran que los controladores no lineales (nominal y robusto) presentan mejor desempeño que el control vectorial. Entre el controlador nominal y el robusto existe una diferencia muy pequeña, aunque el nominal presenta un mejor desempeño, se puede decir que ambos funcionan de la misma manera ya que la aplicación de control de velocidad de un auto no demanda gran precisión.

Tabla 6.1: Índices de desempeño de control de velocidad en el caso sin variaciones. Tipo de controlador Vectorial Nominal Robusto

ISE 24.84 0.04731 0.04741

ITSE 497.6 0.766 0.767

IAE 21.52 1.177 1.178

ITAE 385.5 18.39 18.41

La figura 6.2 muestra el error de velocidad por parte de los tres controladores, se observa como el caso vectorial presenta un error que es muy elevado con respecto a los casos nominal y robusto cuya amplitud se mantiene muy cercana cero.

Rad/seg

2

Error vectorial Error nominal Error Robusto

1 0 −1 −2 0

5

10

15 seg

20

25

30

Figura 6.2: Error de velocidad angular de los tres controladores bajo condiciones normales. Comparación bajo variación en la resistencias de fase Al introducir variaciones independientes en el valor de las resistencias de fase del MB, se obtuvieron los índices de desempeño de las tablas 4.3 y 5.3 correspondientes a los capítulos 4 y 5, respectivamente. En esta sección solo se muestran agrupados en la tabla 6.2 los índices de desempeño que corresponden al caso en donde se varía el valor de las resistencias en un 200% de su valor nominal. Esta tabla muestra que en el caso vectorial aunque se tiene una operación desbalanceada en el motor, el sistema de control cuenta con los mismos índices que los mostrados en la tabla 6.1, además, los casos nominal y robusto de igual manera que la tabla 6.1, muestran una diferencia muy insignificante entre sí, aquí se puede hacer la afirmación que una variación de 200% en el valor nominal en una resistencia 94

Capítulo 6. Análisis de resultados y conclusiones de fase no interfiere significativamente en el control de velocidad.

Tabla 6.2: Índices de desempeño de control de velocidad ante un cambio en ra , rb y rc . Tipo de controlador Vectorial Nominal Robusto

Variación 200% 200% 200%

ISE 24.84 0.04376 0.04681

ITSE 497.6 0.7053 0.7552

IAE 21.52 1.133 1.171

ITAE 385.5 17.65 18.27

De nuevo se presenta la figura 6.3 que agrupa el error de velocidad para cada controlador, con la intención de comparar visualmente sus diferencias, esta figura es muy similar a la figura 6.2 anterior.

Error vectorial Error nominal Error Robusto

Rad/seg

2 1 0 −1 −2 0

5

10

15 seg

20

25

30

Figura 6.3: Error de velocidad angular de los tres controladores bajo un cambio en rc de 200%. El control robusto es diseñado para hacer frente a incertidumbre en el valor de las resistencias de fase, estas resistencias se relacionan directamente con el modelo del subsistema eléctrico del MB, por lo tanto, los efectos visibles del uso de un control robusto se hacen presente en las corrientes eléctricas en el marco de referencia fijo al rotor, es decir, iq , id e i0 . La figura 6.4 (a) muestra la corriente iq que desarrolla el MB en los tres casos (vectorial, nominal y robusto). En presencia de la variación paramétrica se observa que la corriente en el caso robusto presenta en el instante t = 20.5 seg una amplitud negativa de −158 y la corriente en el caso nominal una amplitud negativa de −162, es decir existe una diferencia de 4 A entre estos dos casos, apenas es visible el efecto del control robusto. La corriente id que desarrolla el MB bajo los tres casos se presenta en la figura 6.4 (b). La referencia de esta corriente id es de cero y se observa que el caso robusto ante la presencia de la variación se acerca mucho más a la referencia que los otros dos casos, ya que cuenta con una amplitud negativa en el instante t = 20 seg de −46 A, mientras que los casos nominal y vectorial presentan amplitudes de −56 A y −60 A, respectivamente. Esto exhibe la mejora del control robusto ante variaciones paramétricas. De la misma manera, la figura 6.4 (c) exhibe la corriente i0 bajo los tres casos. Esta corriente se desea igual a cero y la del caso robusto presenta una amplitud máxima de 28 A que es menor en 95

6.1. Comparación de índices de desempeño comparación a los otros dos casos que presentan amplitudes de 36 A y 38 A, correspondientes al nominal y al vectorial. 200

iq Vec

iq Nom

iq Rob

0

100

A

A

−20 0

−40

−100

−60

−200

−80

i Vec

i Nom

d

0

5

10

15 seg

20

25

30

0

5

(a) Corrientes iq

d

10

15 seg

i Rob d

20

25

30

(b) Corrientes id

40

i0 Vec i0 Nom

20

i Rob A

0

0 −20 −40

0

5

10

15 seg

20

25

30

(c) Corrientes i0

Figura 6.4: Corrientes del MB con variación de 200% en rc para los tres casos. Con la intención de cuantificar el desempeño de los controladores en lo que a regulación de corrientes se refiere, se muestra la tabla 6.3 que exhibe el índice ITAE del control de las corrientes id e i0 bajo una variación de 200% en la resistencia de fase rc . Los índices correspondientes a la corriente iq no se exhiben debido a que la referencia de esta corriente se relaciona con el par deseado mediante la ecuación (5.38) y no es congruente la comparación entre los controladores propuestos. Tabla 6.3: ITAE de la regulación de corrientes id e i0 bajo cambios paramétricos en rc . Tipo de controlador/corriente Vectorial Nominal Robusto

id 5764 2017 1719

i0 2780 2643 2107

La tabla 6.3 muestra que los índices del controlador robusto son menores en comparación con los otros dos casos, esta información refuerza la afirmación de que el rediseño de Lyapunov cumple con el objetivo de minimizar el error de corriente ante variaciones paramétricas.

96

Capítulo 6. Análisis de resultados y conclusiones Comparación bajo cambios en el ángulo ψ En la práctica no es común que un auto circule por calles o ciudades completamente planas, por lo tanto, para evaluar el desempeño de los controladores bajo circunstancias mas apegadas a la realidad, se realizan pruebas en donde solo se varía el ángulo ψ de la superficie por donde se mueve el VE. Estas pruebas consisten en cambios abruptos de 10◦ , 15◦ y 20◦ en la pendiente, los resultados se muestran en las tablas 4.4 y 5.4 correspondientes a los capítulos 4 y 5, respectivamente. Por simplificación aquí solo se muestra el caso mas extremo, que corresponde a variaciones de 20◦ en ψ. Los índices de desempeño para cada controlador se agrupan en la tabla 6.4, estos indican que el controlador vectorial no puede realizar un seguimiento de velocidad bajo esta variación. Por el contrario, los controladores no lineales realizan un buen seguimiento sin que la variación los afecte de forma significativa.

Tabla 6.4: Índices de desempeño del control de velocidad bajo una variaciones en ψ de 20◦ . Tipo de controlador Vectorial Nominal Robusto

Ángulo de la superficie ψ = 20◦ ψ = 20◦ ψ = 20◦

ISE 5.6×104 0.04367 0.0438

ITSE 1.6×106 0.6733 0.6756

IAE 463.2 1.117 1.119

ITAE 1.2×104 16.87 16.91

La siguente figura 6.5 muestra como el error de velocidad del caso vectorial se aleja por completo de los casos nominal y robusto, los cuales permanecen cercanos a cero.

Rad/seg

6

Error vectorial Error nominal Error Robusto

4 2 0 −2 0

5

10

15 seg

20

25

30

Figura 6.5: Error de velocidad angular de los tres controladores bajo un cambio en ψ de 20◦ .

6.2

Conclusiones

En este trabajo de tesis se plantea la siguiente hipotesis: La técnica de control robusto basado en el rediseño de Lyapunov aplicada al MB, permite hacer un seguimiento de velocidad aceptable, aun frente a incertidumbre en el valor de la resistencia de los devanados del motor, además, mantiene el error acotado.

97

6.2. Conclusiones De acuerdo a los resultados obtenidos y a las comparaciones realizadas bajo diferentes condiciones de simulación, se puede concluir que el control robusto basado en el rediseño de Lyapunov presenta un desempeño aceptable en el control de velocidad, pero este desempeño no es mejor que el del control nominal diseñado también en este trabajo. Las tablas 6.1, 6.2 y 6.4 muestran cuantitativamente como el control nominal es ligeramente mejor que el control robusto en los tres escenarios, estos dos a su vez muestran un mejor desempeño que el control vectorial. El error de velocidad de los controladores nominal y robusto en los tres escenarios de simulación permanece acotado con una amplitud máxima aproximada del 0.02 % del valor de la referencia de velocidad. Sin embargo, las figuras 6.4 (a), 6.4 (b) y 6.4 (c), presentan las mejoras del control robusto ante los otros dos controladores cuando existe variaciones paramétricas en las resistencias de fase. En estas figuras todas las corrientes correspondientes al caso robusto son de menor amplitud que las corrientes en los otros dos casos, esto beneficia al MB ya que al circular corrientes de menor amplitud se evitan sobrecalentamientos y así se extiende el periodo de vida útil del motor. El MB es un motor cuyas características constructivas le atribuyen ventajas considerables sobre otros motores, por ejemplo, en la construcción de un VE la relación par/peso de un motor es un parámetro de diseño importante, esta relación es mucho mejor en los MB que en comparación con los motores de inducción, también usados en aplicaciones de tracción eléctrica. Debido a la naturaleza síncrona del MB, existe una relación directa entre la frecuencia del campo magnético giratorio presente en los devanados del motor y la velocidad angular mecánica del rotor, y el hecho de que el valor de las resistencias de fase varien no afecta a esta relación. La obtención de la matriz de inductancias L y del vector de enlaces de flujo Λm debido al material magnético en el rotor, representan un importante desarrollo, ya que gracias a estos dos elementos es posible hallar el circuito equivalente monofásico del MB y así poder realizar el análisis de potencia. Estos dos elementos también se usan para modelar el subsistema eléctrico Σe del MB en ecuaciones de E-L. El modelo matemático del inversor es un modelo genérico simple que solo considera dispositivos ideales de conmutación y no toma en cuenta ningún tipo de fenómeno termo-eléctrico o de altas frecuencias de conmutación, ya que no es el objetivo de este trabajo. En una primera aproximación el inversor es usado como un traductor de las señales provenientes del controlador, y en consecuencia se obtiene un rizado en las variables eléctricas del MB. Este rizado está relacionado con la frecuencia fs de la portadora del PWM senoidal. Las transformaciones entre los diferentes marcos de referencia son válidos bajo condiciones balanceadas de operación, pero al considerar variaciones paramétricas en las resistencias de fase del motor, la transformación de la matriz Re al marco de referencia fijo al rotor a través de la matriz ksr , ya no resulta en una matriz diagonal, sino en una matriz de resistencias explicitas en donde cada elemento de esta matriz es una combinación de dos o mas resistencias de fase.

98

Capítulo 6. Análisis de resultados y conclusiones El control vectorial tiene la ventaja de un diseño simple, puesto que se basa en someter la expresión del par electromagnético del MB a transformaciones de coordenadas, esto con el propósito de desacoplar la dinámica entre el flujo, el par y la velocidad. Una vez desacopladas estas dinámicas se utiliza cualquier controlador lineal para controlar por separado a estas variables. En este trabajo se elige el control tipo P I para el control de la velocidad, sin embargo, se puede utilizar cualquier tipo de controlador sea cual sea su naturaleza para lograr el seguimiento de velocidad. En las simulaciones realizadas se demuestra que el control vectorial realiza un buen desempeño en el seguimiento de velocidad, inclusive ante cambios en el valor de las resistencias de fase, pero en el caso en el que el ángulo ψ de la pendiente cambia abruptamente a una magnitud elevada, el sistema de control vectorial ya no puede realizar el seguimiento de velocidad. Para lograr aplicar la técnica de rediseño de Lyapunov se tiene una condición, que las ecuaciones que describen el comportamiento deseado de un sistema puedan ser manipuladas de manera que se separen los términos relacionados al parámetro con incertidumbre con los términos que no están asociados. El rediseño de Lyapunov no requiere conocer exactamente la incertidumbre o perturbación en los parámetros, solo requiere conocer el valor máximo al que pueden variar. Por otro lado esto no asegura que el error converja a cero solo asegura que permanezca acotado, el diseñador elije el acotamiento a través de la ganancia ǫ de manera arbitraria. En todas las simulaciones de los controladores no lineales se hizo uso de un filtro de variable de estado para derivar el par de carga del vehículo y así ahorrar tiempo y esfuerzo computacional, ya que si no se hace uso de este filtro se desencadena un desglose de ecuaciones con la intención de reconstruir variables eléctricas para formar la derivada del par de carga. Este desglose provocaría un esfuerzo computacional muy grande. Los controladores no lineales presentan la ventaja de un buen seguimiento de velocidad con respecto al controlador vectorial, pero como desventaja presentan un diseño muy complejo y elaborado, a diferencia del vectorial que es un diseño sencillo. Además, en los controladores no lineales se requiere conocer la referencia de velocidad, de aceleración y de la derivada de la aceleración, caso contrario, en el control vectorial solo se requiere conocer la referencia de velocidad. En esta investigación se demuestra que aunque los controladores no lineales no conocen el ángulo de inclinación de la superficie sobre la que se mueve el auto, son capaces de hacer un seguimiento adecuado de velocidad.

6.3

Trabajos futuros

A continuación se listan los trabajos futuros de esta tesis: 1. Desarrollar un modelado mas aproximado a la realidad de los dispositivos de conmutación del inversor, ya que en esta tesis solo se consideraron como dispositivos ideales sin pérdidas de ningún tipo. 99

6.3. Trabajos futuros 2. Desarrollar una técnica de control diferente a la técnica P I usada en el control vectorial para mantener regulado el flujo y controlada la corriente del MB. 3. Desarrollar otro esquema de control aparte del control nominal y robusto presentados en esta tesis. Estos esquemas pueden ser el control adaptable, el control por modos deslizantes ó el control inteligente. 4. Desarrollar un conjunto de pruebas que permitan conocer los parámetros físicos del motor. 5. Implementar los controladores en tiempo real con resultados favorables.

100

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103

Anexo A

Implementación en el DSPACE En este anexo se muestran los aspectos prácticos de la operación en lazo abierto del sistema inversormotor. El diagrama de la figura A.2 contiene cada uno de los bloques considerados para adecuar las señales entre el DSPACE y los circuitos correspondientes. Los siguientes puntos explican cada uno de los bloques: • Matlab + Controldesk. Son los programas instalados en la computadora con los cuales se opera el DSPACE. Matlab junto con Simulink se ocupan para desarrollar los diagramas correspondientes a la operación en lazo abierto y configurar todas las entradas y salidas del DSPACE. El programa Controldesk se utiliza para supervisar en tiempo real todas las señales involucradas en la operación, el Anexo B explica de forma básica como ligar a Matlab con Controldesk Basic Version 3.1.1. • DSPACE. Es la sistema que se encuentra en el Laboratorio de Máquinas Eléctricas del CENIDET. Este sistema de prototipo rápido es una herramienta muy poderosa y se utiliza en este caso para manejar sólo señales analógicas tanto de entrada como de salida. La figura A.1 muestra la arquitectura de sistema ds1103.

Figura A.1: Diagrama a bloques del sistema ds1103. El sistema ds1103 es una tarjeta controladora híbrida con un alto poder de procesamiento, cuenta 105

con interfaces de entrada-salida I/O, que acoplan de manera rápida sensores y actuadores provenientes del mundo real. A continuación se enlistan las características más importantes: – Microprocesador maestro Motorola PowerPC 604e a 333Mhz. – Microcontrolador esclavo DSP TMS320F240 de Texas Instruments. – 16 canales (4 x 4ch) ADC, 16 bit , 4 µs, ±10 V. – 4 canales ADC, 12 bit , 800 ns, ±10V.

– 8 canales (2 x 4ch) DAC, 14 bit , ±10 V,6 µs.

– 7 canales para Encoder Incremental.

– 32 lineas digitales de I/O, programables in grupos de 8-bits. – 12 canales SPWM, PWM. • Bloque A (medición de posición y velocidad). Es el encargado de acondicionar las señales U0 , U1 , U2 para leer correctamente el resolver integrado en el motor (cables rojo, verde y rosado). La metodología para leer el resolver se obtuvo de [Kaewjinda et al., 2007] y consiste en excitar una bobina ubicada en el rotor del MB y sensar el voltaje inducido en dos bobinas instaladas en el estator del MB.

Figura A.2: Diagrama a bloques general de la implementación. • Bloque B. Es el encargado de generar la señal triangular portadora del PWM senoidal. Las señales provenientes del DSPACE se comparan lógicamente con la portadora produciéndose así las señales digitales de disparo de los dispositivos semiconductores del inversor, además, contiene un circuito de tiempos muertos que permiten asegurar que los IGBT´s en una misma rama del inversor no conduzcan simultáneamente, evitando calentamiento ó en el peor caso un corto circuito entre las terminales de la fuente de CD. • Inversor. Es el convertidor de potencia encargado de traducir las señales de control a voltajes de fase del motor, este convertidor es parte del laboratorio y en [Aguilera, 2010] se detallan todos los 106

Capítulo A. Implementación en el DSPACE aspectos prácticos y de operación del mismo. En este bloque también se incluye el bus de CD que en este caso se genera a partir de un rectificador monofásico formado por un váriac, un puente de diodos, un capacitor y un fusible. • MB. Es el motor brushless BSM80B-150AA de fabricante baldor y en este caso se realizan las pruebas sin una carga mecánica acoplada a flecha del motor. • Bloque C: Es el encargado de aislar eléctricamente las señales de los sensores de corriente con las entradas del DSPACE. Se utilizan los sensores de corriente CSLA2CD para medir las corrientes de fase del motor.

A.1

Operación del resolver

Existen en el mercado diferentes tipos de dispositivos para medir la posición y velocidad angular de la flecha de un motor, entre estos destacan el resolver y el encóder. Solo por mencionar brevemente sus diferentes principios de operación, el resolver trabaja con una demodulación de señales senoidales para obtener la posición y velocidad y por otro lado el encóder trabaja con una decodificación de pulsos digitales generados por el movimiento del eje del motor. La figura A.3 muestra como está formado un resolver. Este dispositivo cuenta con una bobina montada en el eje del motor a la cual se le aplica un voltaje senoidal U0 de amplitud constante y frecuencia específica, en este caso para U0 se escoge una amplitud de 4 V pico a pico y una frecuencia de 1.5 KHz., también se tienen dos bobinas instaladas en el estator del motor cada una de ellas genera un voltaje (U1 y U2 ) cuya amplitud está en función de la posición de la bobina del rotor, es decir, se les induce un voltaje dependiendo de la ubicación del rotor, es necesario mencionar que las señales U1 y U2 cuentan con la misma frecuencia que la señal U0 .

Figura A.3: Diagrama esquemático del resolver.

La metodología para demodular las señales adecuadamente se toma de [Kaewjinda et al., 2007]; en este artículo se utiliza una técnica que es fácilmente implementable en un diagrama de Simulink, el diagrama propuesto por el artículo es el siguiente: 107

A.1. Operación del resolver

Figura A.4: Diagrama para obtener la lectura del resolver. En esta figura A.4, θm y ωm representan la posición y velocidad angular del eje del motor. Se observa como U0 entra al resolver y U1 y U2 son señales de salida del resolver, además se utiliza un controlador tipo P I para generar la señal de velocidad. El diagrama realizado en Simulink para leer el resolver es el que se muestra en la figura A.5. Este diagrama es realizado en base a la figura A.4, la señal U0 se genera con el bloque Sine wave con la amplitud y frecuencia antes mencionadas. Esta señal sale por el canal DACH1 y las señales U1 y U2 se recogen por los canales ADCH17 y ADCH18. Estos canales aceptan voltajes en el rango de ±10 V.

Figura A.5: Diagrama en Simulink para obtener la lectura del resolver. La demodulación se logra con el bloque del Controlador P que tiene una ganancia de Kp = 1000 como lo muestra la figura A.6 (a). El filtro de variable de estado FVE1 se utiliza para obtener la 108

Capítulo A. Implementación en el DSPACE velocidad y aceleración angular a partir de la posición y su diagrama se muestra en la figura A.6 (b), las ganancias tienen los siguientes valores: Gain3=Gain4=(2πf )2 y Gain5=23/2 πf , con f = 10 Hz.

(a) Bloque Controlador P

(b) Bloque FVE1

Figura A.6: Diagrama del Controlador P y del bloque FVE1. El diagrama de la figura A.4 ofrece la lectura de la velocidad ωm en la salida del bloque PI Controller, por otro lado, el diagrama de la figura A.5 la velocidad angular es una de las salidas del bloque FVE1. Esta diferencia se debe a que inicialmente se realizaron mediciones tomando la velocidad directamente de la salida del Controlador P pero no se obtuvieron buenos resultados, por lo tanto se optó por usar el bloque FVE1 para derivar la posición y así conocer la velocidad. Para proteger eléctricamente las entradas y salidas analógicas del DSPACE se requiere de un aislamiento mediante amplificadores operacionales en la configuración seguidor de voltaje como lo muestra la figura A.7, en este trabajo todos los amplificadores operacionales están contenidos dentro del circuito integrado TL082.

Figura A.7: Aislamiento eléctrico para las señales del resolver (Bloque A). Los colores rojo, verde y rosado representan una de las terminales de las tres bobinas mostradas de la figura A.3, las otras tres terminales son de color azul, amarillo y gris las cuales se conectan a tierra del circuito.

A.2

Señales de control

En esta sección se presenta el manejo de las señales de control provenientes de los canales DACH2, DACH3 y DACH4 del DSPACE los cuales pueden manipular voltajes en el rango de ±10. Las señales 109

A.2. Señales de control de voltaje presentes en estos canales son las señales moduladoras Ma , Mb y Mc , las cuales son la entrada al bloque B de la figura A.2. Internamente el bloque B esta formado por el diagrama de la figura A.8, de inicio las señales moduladoras son comparadas con la señal triangular proveniente del bloque Cto Portadora pero a la vez los amplificadores operacionales funcionan como un aislante eléctrico entre el DSPACE y los circuitos correspondientes.

Figura A.8: Diagrama de generación de las señales de control (Bloque B). A la salida de los comparadores se presentan pulsos de voltaje de ± 12 V correspondientes a la comparación lógica entre las señales moduladoras y la portadora. Estos pulsos de voltaje se tienen que convertir a señales binaria en el rango de 0 V a 5 V , por lo tanto, se usan los potenciómetros P1 , P2 y P3 para sumar un voltaje, lo cual provoca que ahora las señales se encuentren en el rango de 0V a 12 V . La segunda etapa de amplificadores operacionales es solo un acoplamiento entre circuitos. Los divisores de voltaje (resistencias de 1 K conectadas en serie) provocan que los pulsos de voltaje en los nodos A, B y C ahora se encuentren en el rango de 0 V a 5 V . Estas señales son el producto de la modulación senoidal y representan los pulsos de disparo de las compuertas de los IGBT´s del inversor. Las señales con el subíndice d representan a la señal de disparo pero con retardo y las señales con el subíndice ´ son los complementos de las señales con retardo. Los tiempos muertos se generan con el circuito de la figura A.9 (a); en este se ocupan compuertas lógicas y una red de atraso RC para generar el retardo en los flancos de subida de los pulsos. La variable i representa a las señales de los nodos A, B y C, por lo tanto, este circuito se repite para cada fase exactamente igual. La figura A.9 (b) muestra como se genera el retraso en los pulsos, este retardo esta dado por la relación tc = RC, para este caso se considera que R es un potenciómetro de 50 K y C un capacitor de 100 nF . El tiempo muerto se puede cambiar al variar el valor de R. 110

Capítulo A. Implementación en el DSPACE

(a) Circuito de tiempos muertos para las tres señales A, B, C

(b) Gráfica del tiempo muerto.

Figura A.9: Generación de tiempos muertos Se observa que tanto a id e i´ se les provoca un retardo en el flanco de subida, esto para asegurar que los IGBT´s en la misma rama del inversor no conduzcan de forma simultanea y así evitar un corto circuito en la terminales de la fuente. El circuito para generar una señal portadora se muestra en la figura A.10, los potenciómetros P4 y P5 sirven para variar tanto la frecuencia como la amplitud de la señales, En este caso se considera una portadora de 15 KHz. con una amplitud pico a pico de 21 V .

Figura A.10: Diagrama de generación de la señal portadora. El bus de CD se genera a partir del diagrama de la figura A.11. El voltaje de salida pude variar de 0 V a 200 V al variar la perilla del váriac. Se considera que el circuito puede soportar hasta una corriente de 15 A., aun así se colocó un interruptor (SW) de emergencia. Los diodos utilizados pueden soportar hasta 25 A de CD. 111

A.3. Operación de los sensores de corriente

Figura A.11: Diagrama para generar el bus de CD. El diagrama de Simulink desarrollado para el manejo de las señales moduladoras se muestra en al figura A.12. Las señales moduladoras son un conjunto de señales senoidales trifásicas balanceadas, es decir, que tienen la misma amplitud y frecuencia pero desfasadas entre ellas 120◦ . Bajo este concepto los bloques Fcn, Fcn1 y Fcn2 contienen las ecuaciones que describen a las moduladoras en función de una amplitud y frecuencia variable, además del tiempo.

Figura A.12: Diagrama para generar las señales moduladoras. Los bloques voltaje y frec contienen una serie de bloques de escalones para manipular tanto el voltaje como la frecuencia de las moduladoras.

A.3

Operación de los sensores de corriente

La medición de las corrientes trifásicas se realiza mediante los sensores CSLA2CD fabricados por Honeywell. Para realizar la medición los cables que conectan al motor se enrollan con un número de vueltas a través del orificio del sensor, el número de vueltas determina la sensibilidad de los sensores, en este caso se usan 4 vueltas para cada sensor, con lo que es suficiente para medir las corrientes del motor. Es necesario considerar que los sensores se alimentan con un voltaje de 12 V. y la salida de los sensores tiene un offset de 6 V. El escalamiento de las señales se realiza mediante software y en la implementación al igual que el caso del resolver solo se utiliza una etapa de aislamiento eléctrico para proteger las terminales del DSPACE. La figura A.13 muestra la etapa de protección. 112

Capítulo A. Implementación en el DSPACE

Figura A.13: Aislamiento eléctrico para las señales de los sensores de corriente (Bloque C). El diagrama desarrollado en Simulink para el escalamiento de las señales provenientes de los sensores se muestra en la figura A.14. Los canales ADCH19, ADCH20 y ADCH1 se usan para leer las señales de salida de los seguidores de voltaje. Las ganancias Gain4, Gain6 y Gain1 se utilizan para adaptar las señales (ver la tabla B.5 (b) del anexo B), los bloques de bias a, bias b y bias c se utilizan para quitar el offset del sensor.

Figura A.14: Diagrama de Simulink para lectura de corriente. Las ganacias Gain a, Gain b y Gain c se ocupan para escalar las señales. Finalmente cada señal de corriente es filtrada con un filtro de variable de estado como lo muestra la figura A.15. Las ganancias tienen los siguientes valores: Gain3=Gain4=(2πf )2 y Gain5=23/2 πf , con f = 35 Hz. La calibración y escalamiento de los sensores de corriente se realiza haciendo pasar la misma corriente por los tres sensores, se conecta una carga resistiva (focos conectados en paralelo) que demande una corriente similar a la corriente nominal del motor, de esta manera, se toma la medición de corriente con 113

A.4. Resultados en lazo abierto un amperímetro (ver figura A.16), lo cual da una medición en valor en rms y para convertir a valor pico √ se multiplica por 2, en otras palabras: √ IDSP ACE = (valor rms) 2

Iamperimetro = valor rms,

con esto se calibran las ganancias y los bloques de bias para generar una señal en el DSPACE que sea la corriente que circula por el motor.

Figura A.15: Filtro de variable de estado para las corrientes.

Figura A.16: Diagrama de calibración de los sensores de corriente.

A.4

Resultados en lazo abierto

De acuerdo con todo lo establecido en este anexo, se realiza la implementación en lazo abierto del motor brushless sin carga mecánica. Los bloques de voltaje y frec mostrados en la figura A.12 están formados por bloques de escalón (step), con la intención de formar la amplitud y la frecuencia de las moduladoras, en la figura A.17 se muestran los perfiles asignados a cada una de las variables. 114

Capítulo A. Implementación en el DSPACE

30

0.5 0.4 Hz

V

20

0.3 0.2

10

0.1 0

0

2

4

6

8

0

10

0

2

4

seg

6

8

10

seg

(a) Perfil de voltaje

(b) Perfil de frecuencia

Figura A.17: Perfil de las señales moduladoras.

La figura A.18 (a) muestra la velocidad angular desarrollada por el motor, esta velocidad se relaciona directamente con la frecuencia de los voltajes de alimentación del motor (figura A.17 (b)), la relación se expresa con la siguiente ecuación: ωm =

2πf , np

donde f en este caso es la frecuencia de la figura A.17 (b) y np = 2 es el número de pares de polos del motor, de esta manera, cuando f = 30 Hz. significa que ωm = 94.24 Rad/seg. La posición angular se muestra A.18 (b) y se observa como la pendiente de la señal cambia con respecto al cambio de velocidad.

800

150

600 Rad

Rad/seg

100 50 0 −50

400 200 0

0

2

4

6

8

−200

10

0

2

4

6

8

10

seg

seg

(a) Velocidad angular

(b) Posición angular

Figura A.18: Variables mecánicas.

Las corrientes trifásicas aparecen en la figura A.19 (a), las cuales tienen una amplitud máxima de 22 A., la frecuencia de estas corrientes es la frecuencia f de las señales moduladoras. La figura A.19 (b) exhibe el comportamiento del par electromagnético, el cual es reconstruido a través de la ecuación (3.21). Se observa que este par se eleva en el arranque hasta casi 4 N m. y disminuye hasta 1 N m. conforme la velocidad aumenta. 115

A.5. Resultados en lazo cerrado

6 20 4 Nm

A

10 0

0

−10 −20

2

0

2

4

6

8

−2

10

0

2

4

seg

6

8

10

seg

(a) Corrientes trifásicas

(b) Par electromagnético

Figura A.19: Variables eléctricas. Normalmente los motores brushless no se utilizan en lazo abierto, ya que es difícil sincronizar manualmente el rotor con el campo magnético giratorio del estator. En esta actividad se muestra sólo una manera de operar el motor en lazo abierto y sin carga mecánica sólo para llevar a la práctica los principios de lectura del resolver, el PWM senoidal y la lectura de las corrientes que circulan por el motor.

A.5

Resultados en lazo cerrado

En este apartado se muestran los resultados obtenidos en lazo cerrado mediante la ley de control nominal dada por el conjunto de ecuaciones (5.35) y (5.52) descritas en el capítulo 5 y repetidas aquí: Ley de control para el subsistema mecánico. τemd = −Γm q˜˙m + Dm q¨md + Rm q˙m + τL y ... τ˙emd = −Γm q˜¨m + Dm q md + Rm q¨m + τ˙L .

(A.1)

Ley de control para el subsistema eléctrico. r

r r r ur = Der q¨ed + Cer q˙ed + W2r q˙m + Re q˙ed − K1 e.

(A.2)

Los parámetros del motor BSM80B-150AA del fabricante Baldor se listan en la tabla A.1. Tabla A.1: Parámetros del motor BSM80B-150AA. Parámetro Magnitud Parámetro Magnitud Velocidad nominal 6000 rpm λm 0.2922 V s/rad. Par nominal 1.63 N m. re 2.5 Ω Corriente nominal 3.78 Arms Lls 0.0001 H. Peso 4.1 Kg. Lm 0.004143 H. Rm 0.00001 N ms/rad. L∆m 0 H. np 2 Dm 0.0003502 Kgm2 .

Las ganancias de control corresponden a Γm = 0.4 para el subsistema mecánico y k = 25 para el subsistema eléctrico. Se usa un voltaje en el bus de CD de vi = 300 V , además, una portadora de 116

Capítulo A. Implementación en el DSPACE 15 KHz. Debido a que no se tiene carga mecánica acoplada al eje del motor se considera que τL = 0 y que τ˙L = 0. Se realizan pruebas de seguimiento correspondientes a las referencias de velocidad, aceleración y derivada de la aceleración dadas en la ecuación (A.3). 3

q˙md =35(1 − e−0.1t )

3

q¨md =35(−3(−0.1)t2 e−0.1t ) ... 3 3 q md =35(−9(−0.1)2 t4 e−0.1t − 6(−0.1)te−0.1t )

(A.3)

Las dos leyes de control son implementadas en Simulink como lo muestra la figura A.20. En este diagrama se utilizan los bloques elaborados en este anexo para la medición de la posición y de la velocidad angular, además, de las corrientes del motor.

Figura A.20: Diagrama de Simulink. Los resultados en lazo cerrado producto de la ley de control nominal se muestran a continuación. La velocidad angular real y deseada se observan en la figura A.21 (a), la referencia es una señal suave que va desde 0 Rad/seg hasta 35 Rad/seg en aproximadamente 2 seg, en esta figura no se observa un buen 117

A.5. Resultados en lazo cerrado desempeño del controlador. El error de velocidad muestra en la figura A.21 (b) un comportamiento oscilatorio el cual tiene su media en aproximadamente −10 Rad/seg y al considerar que la referencia tiene una amplitud máxima de 35 Rad/seg se puede afirmar nuevamente que el sistema de control completo no está operando de forma adecuada.

5 0 −5

20

Rad/seg

Rad/seg

30

ω

10

m

ω ref

0

−10 −15 −20

m

−25

−10 0

0.5

1

1.5 seg

2

2.5

3

0

0.5

(a) Velocidad angular.

1

1.5 seg

2

2.5

3

(b) Error de velocidad.

Figura A.21: Seguimiento de velocidad angular.

El par electromagnético real se reconstruye mediante la ecuación (3.21), la cual solo requiere de las mediciones de las tres corrientes y de la posición mecánica, el par de referencia es la salida del controlador del subsistema mecánico y ambos pares se muestran en la figura A.22. Se observa que el par real es cercano al par deseado sin embargo no se logra un adecuado seguimiento de velocidad deseada.

15 τem

τemd

Nm

10 5 0 0

0.5

1

1.5 seg

2

2.5

3

Figura A.22: Par electromagnético real y deseado.

Las señales de voltaje de control presentes a salida del los canales del DAC del DSPACE se exhiben en la figura A.23 (a). Estas señales son comparadas con la señal portadora con la intención de generar los disparos de compuerta del inversor. Las corrientes trifásicas del motor se observan en la figura A.23 (a). Estas corrientes al igual que los voltajes de control presentan un desbalance, es decir, presentan diferentes amplitudes pico. En el caso de las corrientes, en algunos instantes se presentan amplitudes de ±10 A, superando casi el doble el valor de corriente pico nominal del motor que es de 5.34 A. 118

Capítulo A. Implementación en el DSPACE

4

V

2 0 −2 −4

0

0.5

1

1.5 seg

2

2.5

3

2

2.5

3

(a) Voltajes de control. 15 10

A

5 0 −5 −10 0

0.5

1

1.5 seg

(b) Corrientes trifásicas.

Figura A.23: Señales del controlador y corrientes desarrolladas. El efecto del incremento de corriente en los devanado del motor se hace más evidente cuando la referencia de velocidad se eleva a magnitudes de 40 Rad/seg, 45 Rad/seg y 50 Rad/seg. Bajo estos casos el error de velocidad es mayor que el presentado en la figura A.21 (b), por consiguiente el controlador presenta señales de control con frecuencia y amplitud más elevadas lo que provoca que las corrientes se eleven de manera considerable muy por encima de su valor nominal por lo que la protección en el bus de CD se funde debido a este incremento, se consideran fusibles de protección de 15 A y 25 A para las diversas pruebas realizadas.

119

Anexo B

Uso del ADC y DAC del DSPACE ds1103 El objetivo de este anexo es mostrar la manipulación de la lectura del ADC y escritura del DAC del DSP maestro del sistema ds1103 . Todos estos pasos representan una metodología para manejar correctamente Matlab/Simulink y Control-desk en conjunto. Para esta actividad solo se requieren dos puntas atenuadas para osciloscopio, con las cuales se conecta un canal del ADC con un canal del DAC , a continuación se listan los pasos a seguir en esta actividad. 1. Verificar que la llave USB esté conectada a la computadora (cable blanco USB que sale del CPU ). Encender la computadora del sistema ds1103 y abrir Matlab. Después de que Matlab se inicializó adecuadamente, abrir el programa Control-desk . 2. Conectar una punta de osciloscopio a la terminal ADCH17 y otra a la terminal DACH1 y conectar estas puntas entre sí como lo indica la siguiente figura B.1.

Figura B.1: Conexión entre los canales ADCH17 y DACH1 . 3. Dentro de Matlab ubicarse en la dirección C:\Archivos de programa\MATLAB\R2006b\work para crear una carpeta donde se guardarán todos los archivos relacionados a esta actividad. A esta nueva carpeta la llamaremos practica3 . Nos posicionamos dentro de ella por lo tanto ahora nos encontramos en la dirección C:\Archivos de programa\MATLAB\R2006b\work\practica3. 4. En la ventana de comando de Matlab ejecutamos la instrucción rtilib y aparece la siguiente ventana (figura B.2 (a)) con las librerías del DSPACE . Para esta actividad usaremos sólo el DSP maestro, entonces hacemos doble clic donde dice MASTER PPC . 5. Se tiene la siguiente ventana (figura B.2 (b)), de la cual solo vamos a ocupar los bloques de ADC y DAC . Estos dos bloques se arrastran a un modelo en blanco de Simulink . 121

(a) Librerías

(b) Bloques del MASTER PPC

Figura B.2: Ventanas de librerías del DSPACE . 6. El diagrama inicial de Simulink queda como el de la figura B.3 (a). Este diagrama se guarda como practica3 dentro de la dirección especificada anteriormente. 7. Al bloque de DAC le damos doble clic y se abre la siguiente ventana de la figura B.3 (b).

(a) Diagrama inicial en Simulink

(b) Propiedades del DAC

Figura B.3: Configuración del DAC . Se observa que está configurado para el canal 1, que es el canal que se tiene conectado. Al hacer clic en la opción de Help, aparece el archivo de ayuda que contiene información del DAC . Lo importante de esta información es la tabla que se muestra en la figura B.4.

Figura B.4: Tabla de configuración del DAC .

122

Capítulo B. Uso del ADC y DAC del DSPACE ds1103 Esta última tabla nos indica que las señales de entrada al bloque DAC debe tener una amplitud de -1 a 1 y eso corresponde a una salida de -10 a 10 V. 8. Al hacer doble clic en el bloque de ADC nos encontramos con la ventana de la figura B.5 (a), esta nos indica que el ADC está configurado para el canal 17 que ya se tiene conectado. De la misma manera se tiene la tabla de la figura B.5 (b) que nos dice que el rango de voltaje de entrada al ADC es de -10 a 10 V y eso se traduce como señales que van desde -1 a 1 dentro de Simulink .

(a) Propiedades del ADC

(b) Tabla de configuración del ADC

Figura B.5: Configuración del ADC . 9. Para escalar las señales adecuadamente y poderlas ver como son en realidad, se construye el siguiente diagrama:

Figura B.6: Escalamiento de las señales. El objetivo de este diagrama es generar una forma de onda senoidal que sale por el DACH1 y se retroalimenta por el ADCH17 . La amplitud, frecuencia, fase y bias de la onda seno serán modificadas desde Control-desk . Ya con el diagrama de Simulink realizado ahora nos vamos al programa Control-desk y creamos un nuevo experimento haciendo clic en File y New Experiment, con lo que aparece la ventana de la figura B.7. 123

Figura B.7: Ventana de nuevo experimento. Una vez que se especificó el nombre practica3 y la dirección a guardar se hace clic en OK . La dirección se especifica como sigue C:\Archivos de programa\MATLAB\R2006b\work\practica3\ Después se crea un nuevo LAYOUT haciendo clic en el botón y se genera una pantalla donde ahí se desarrolla la interfaz gráfica, esta se guarda en la carpeta creada en Matlab haciendo clic en File y después en Save as bajo el nombre de practica3 :

Figura B.8: Layout del experimento.

124

Capítulo B. Uso del ADC y DAC del DSPACE ds1103 10. El siguiente paso es crear los controles para manipular la amplitud, frecuencia, fase y bias de la onda seno, por lo tanto en el lado derecho de Control-desk aparecen las opciones llamadas Virtual intruments, de estas seleccionamos la que dice NumericInput, hacemos un clic sobre esta opción y sobre la pantalla de Layout creamos un rectángulo y automáticamente aparece el control. Se requieren de cuatro bloques para controlar las cuatro variables de la onda seno. La pantalla queda:

Figura B.9: Botones de control. 11. Ahora se coloca un instrumento de graficación, este lo obtenemos del lado derecho de Controldesk en la pestaña Data acquisition con la opción PlotterArray , de la misma manera hacemos un clic sobre esta opción y después en la pantalla de diseño se crea un rectángulo a gusto del diseñador, donde se genera el bloque de graficación de la siguiente manera.

Figura B.10: Bloque de graficación. Al hacer clic sobre este rectángulo aparecen una ventana y se configura palomeando la opción Frameless y haciendo un clic sobre la opción Plotter y después aceptar: 125

Figura B.11: Configuración del bloque de graficación. Ahora hay que poner un cuadro de configuración, este lo ponemos usando la opción CaptureSettings de Data Acquisition y lo colocamos de la siguiente manera:

Figura B.12: Configuración de la captura de variables. Hasta aquí ya se tiene elaborada la interfaz con la que podremos manipular la onda seno y ver tanto la salida del DAC y la entrada del ADC . Solo resta relacionar todos estos bloques enmarcados en rojo con su función en Simulink . 12. Ahora nos regresamos a Matlab y compilamos nuestro diagrama haciendo un clic en Incremental build :

Figura B.13: Compilación del diagrama de Simulink .

126

Capítulo B. Uso del ADC y DAC del DSPACE ds1103 Ahora esperamos que se compile el diagrama, la compilación se lleva acabo en la ventana de comandos de Matlab y al finalizar queda así:

Figura B.14: Compilación del diagrama de Simulink . 13. Ahora en Control-desk aparece una nueva pestaña:

Figura B.15: Compilación del diagrama de Simulink .

127

Al hacer clic sobre esta pestaña, aparece el menú correspondiente que dice Model root, al hacer clic sobre el signo de +, se despliega la información de todos los bloques del diagrama de Simulink :

Figura B.16: Model root. Ahora vamos a relacionar las cuatro variables que hay en Sine Wave con los bloques de Controldesk . Se selecciona Sine Wave y se despliegan las variables correspondientes, estas variables son:

Figura B.17: Variables a relacionar. Cada una de ellas se arrastra a cada uno de los bloques como lo muestra la siguiente figura:

Figura B.18: Relaciones.

128

Capítulo B. Uso del ADC y DAC del DSPACE ds1103 De la misma manera para visualizar las gráficas se selecciona donde dice Scope y se arrastra su valor sobre el eje Y de la pantalla de graficación como se muestra a continuación:

Figura B.19: Relaciones. Para el Scope1 se realiza exactamente lo mismo. Entonces la pantalla queda así:

Figura B.20: Pantalla final.

129

14. Ahora solo resta darle clic al botón de animation mode 15. Se pude jugar con los valores de amplitud, frecuencia, bias y fase solo actuando sobre las flechas de arriba y debajo de cada control numérico. Ahora en el panel de configuración escogemos el host adecuado:

Figura B.21: Selección del Host. 16. Haciendo esto podremos observar algo como esto:

Figura B.22: Tiempo real. 17. Por último podemos exportar los datos de las gráficas como un archivo de estructura de Matlab y graficar desde Matlab a conveniencia. Se le da clic en Settings del panel de configuración y aparece la ventana de la figura B.23 (a). 130

Capítulo B. Uso del ADC y DAC del DSPACE ds1103

(a) Exportar de datos

(b) Salvar datos

Figura B.23: Manejo de datos.

Como se observa nos ubicamos en la pestaña de Capture Variables y palomeamos las dos variables que tenemos ahí, damos aceptar. Después para capturar los datos que queramos sólo damos clic en el botón Save y salvamos los datos en la dirección de la practica3 (figura B.23 (b)). Después en Matlab solo cargamos los datos al Workspace dando doble clic en el archivo datos.mat (figura B.24 (a)).

(a) Directorio de Matlab.

(b) Gráfica de datos.

Figura B.24: Manejo de datos en Matlab.

131

Para graficar y poder guardar la imagen en cualquier formato que se deseé solo utilizamos el comando plot de la siguiente manera: plot(datos.X.Data,datos.Y(1,1).Data,datos.X.Data,datos.Y(1,2).Data) En resumen esta práctica sirve para operar los canales analógicos del ds1103 . Se conectó una salida analógica y una entrada analógica de tal manera que se retroalimentó una señal. Además se repasaron los pasos a seguir para generar cualquier tipo de proyecto electrónico. También se abordo el tema de exportar datos desde Control-desk a Matlab para su graficación. Es importante saber que existe un error que se puede presentar al darle clic al botón animation mode:

Figura B.25: Error de tiempo de muestreo. Esto sucede por que el tiempo de muestreo es muy bajo, para solucionar este error solo hay que elevar o hacer mas largo el tiempo de muestreo.

132

Anexo C

Programas de Matlab A continuación se listan por capítulo los programas desarrollados para esta tesis, así también los archivos asociados. • Capítulo 3. Modelo dinámico del sistema 1. lazo.mdl : Es el modelo de Simulink que se ocupa para simular la operación en lazo abierto del sistema inversor-motor, los parámetros que se pueden modificar directamente en este modelo son la amplitud y frecuencia de las moduladoras (Am = 1 y fm = 200 Hz). 2. inversor_s.m : Es la función S del inversor, además, sirve para generar el PWM senoidal, tiene como entrada las tres señales moduladoras y como salidas los voltajes de alimentación del motor, los parámetros correspondientes a esta función son: la frecuencia de la portadora fs = 10 KHz. y el bus de CD vi = 600 V. 3. MB_hdt_s3.m : Es la función S del motor, las entradas son el par de carga y los tres voltajes de alimentación de fase. Las salidas son las tres corrientes trifásicas, la velocidad y posición angular, además, el par electromagnético. Los parámetros de esta función son el valor de las resistencias de fase, las inductancias, la magnitud de los enlaces de flujo, la inercia del rotor, el coeficiente de fricción viscosa y el número de pares de polos del motor, todos estos agrupados en la tabla C.1. Tabla C.1: Parámetros de la simulación en lazo abierto del capítulo 3. Parámetro Magnitud Parámetro Magnitud Am 1 re 0.121 Ω fm 200 Hz. Lls 1 × 10−5 H. fs 10 KHz. Lm 8 × 10−4 H. vi 600 V. L∆m 0 H. λm 0.262 V s/rad. Dm 0.00022 Kgm2 . Rm 0.00001 N ms/rad. np 4

• Capítulo 4. Control vectorial 1. bloques_vect.mdl : Es el modelo de Simulink encargado de conjuntar todo el controlador vectorial que se diseño a bloques. Los valores de las ganancias del control vectorial usadas 133

para todas las simulaciones son: kp1 = 50, ki1 = 40, kp2 = 40, ki2 = 2000, kp3 = 35000 y ki3 = 50000. Los parámetros usados para las funciones que se describen a continuación se listan en la tabla C.2. 2. ecuacion_par.m : En esta función S la salida es el par electromagnetico generado por el motor que se reconstruye a partir de las entradas (corrientes trifásicas, velocidad y posición angular). 3. inversor_s.m : Es la función S del inversor, además, sirve para generar el PWM senoidal. Tiene como entrada las tres señales moduladoras y como salidas los voltajes de alimentación del motor, los parámetros correspondientes a esta función son: la frecuencia de la portadora fs = 5 KHz. y el bus de CD vi = 600 V. 4. MB_hdt_s3.m : Es la función S del motor junto con la dinámica del auto. Las entradas son: la resistencia de fase a variar, el ángulo de la superficie sobre la cual circula el auto y los voltajes de alimentación del motor. Las salidas son las tres corrientes trifásicas, la velocidad y posición angular que desarrolla el motor. 5. parametros.m : Son los parámetros del motor y del vehículo, este programa debe ser ejecutado de un inicio ya que todos los bloques del modelo utilizan las variables declaradas. 6. ref_vel.mat : Es la referencia de velocidad y para la simulación esta referencia debe estar en el WORKSPACE de Matlab. Tabla C.2: Parámetros usados en simulación para el control de los capítulos 4 y 5. Parámetro Magnitud Parámetro Magnitud fs 5 KHz. re 0.121 Ω vi 600 V. Lls 1 × 10−5 H. λm 0.262 V s/rad. Lm 8 × 10−4 H. Rm 0.00001 N ms/rad. L∆m 0 H. np 4 Dm 0.022 Kgm2 . m 1366 Kg µrr 0.015 2 g 9.8 m/s ρ 1.25 Kg/m3 A 2.66 m2 Cd 0.23 ψ 0 rad G 5.5 r 0.2876 m ηg 0.95

• Capítulo 5. Control robusto 1. cbp.mdl : Es el modelo de Simulink el cual contiene a las siguientes funciones S con el objetivo de simular tanto el controlador nominal como el controlados robusto. 2. control.m : Es la función S de los controladores nominal y robusto y para seleccionar entre uno de estos, sólo hace falta escoger entre la línea 211 ó 214 del codigo fuente mediante el comando %. Esta función tiene como entradas las corrientes trifásicas, la velocidad y posición angular, además de las referencias de velocidad, aceleración y derivada de la aceleración. 134

Capítulo C. Programas de Matlab Como salidas tiene las tres señales de control que entran al inversor, las tres señales de control en el marco de referencia fijo al rotor, las corrientes desarrolladas y deseadas, así como el error entre estas, además, el par desarrollado y deseado y finalmente la velocidad desarrollada y deseada. Los valores de las ganancias del control nominal usadas para todas las simulaciones son Γm = 9000 y k = 20. Para el control robusto también se usan las ganancias Γm = 9000 y k = 20, además, ρ1 = 0.121 y ǫ = 0.01. 3. inversor_s.m : Es la función S del inversor, además, sirve para generar el PWM senoidal. Tiene como entrada las tres señales moduladoras y como salidas los voltajes de alimentación del motor, los parámetros correspondientes a esta función son: la frecuencia de la portadora fs = 5 KHz. y el bus de CD vi = 600 V. 4. MB_hdt_s3.m : Es la función S del motor junto con la dinámica del auto. Las entradas son: la resistencia de fase a variar, el ángulo de la superficie sobre la cual circula el auto y los voltajes de alimentación del motor. Las salidas son las tres corrientes trifásicas, la velocidad y posición angular que desarrolla el motor. los parámetros se muestran también en la tabla C.2. 5. ref_bezier_50Kmhr.mat : Son las trayectorias deseadas y a este archivo hay que darle doble clic antes de iniciar la simulación. • Generación de trayectorias deseadas 1. Bezier.mdl : Es el modelo de Simulink en donde se construyen las trayectorias deseadas de posición, velocidad, aceleración y derivada de la aceleración. 2. fn_bezier.m : Es la función que contiene la lógica para fabricar los polinomios de Bezier. 3. adaptador_ref.mdl : Es el modelo de Simulink que sirve para cambiar el tiempo de muestreo a 12 µseg. a las trayectoria deseadas.

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