Control de Calidad

Control de Calidad Teoría y aplicaciones

Bertrand L. Hansen Prabhakar M. Ghare

Control de Calidad Teoría y aplicaciones

Título original: «Quality Control and Application» © 1987 Prentice-Hall, Inc. © 1990 Ediciones Díaz de Santos, S. A. «No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright» ISBN lengua inglesa: 0-13-745225-X ISBN lengua española: 978-84-87189-31-9 Depósito legal: M. 41.996-1989 Edita: Díaz de Santos, S. A. c/Juan Bravo, 3A. 28006 Madrid Diseño de cubierta: J. Luis Tellería Traducción: Diorki, S. A. General Moscardó, 30. 28020 Madrid Fotocomposición: MonoComp, S. A. Conde de Vilches, 31. 28028 Madrid Impresión: EDIGRAFOS, S. A. c/Edison, B-22. Pol. Ind. San Marcos 28906 GETAFE (Madrid)

Contenido

Presentación.....................................................................................................

XIII

EL CONTROL DE CALIDAD EN PERSPECTIVA ....................

1

1.

Calidad de proyecto 2 Calidad de concordancia con el proyecto 3 Calidad de funcionamiento 3 Aumento del control de calidad 4 Ejemplo ilustrativo: Calidad de proyecto 5 Calidad de concordancia con el proyecto: Vigilancia del proceso 10 Calidad de concordancia con el proyecto: Muestreo de aceptación 14 Calidad de funcionamiento: Fiabilidad 16 Dirección de calidad 17 Calidad y productividad 18 Sobre este libro 19 2. FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EN EL CONTROL DE CALIDAD .................................................... Sucesos y probabilidades 22 Leyes de probabilidad 23 Espacio, distribución y frecuencia de sucesos 26 Esperanzas matemáticas y momentos 28 Algunas distribuciones útiles para el estudio del control de calidad 30 Vil

21

VIII

CONTENIDO

Página

Jerarquía de aproximaciones 40 Funciones de probabilidad en la práctica 43 Representación gráfica de una distribución de frecuencia 46 Estimaciones y sus distribuciones 48 Prueba de hipótesis 51 Errores Tipo I y Tipo II 54 Longitud de racha de un proceso de vigilancia 58 Grados de libertad 60 Pruebas de significancia 63 Pruebas de significancia para medias de muestras: Pruebas t 66 Pruebas t para significancia de diferencias relativas a proporciones 70 Pruebas para la significancia de la diferencia entre varianzas 73 3. CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS ............................ Ejemplos de variabilidad de personas, máquinas y materiales 83 Inferencia estadística de la variabilidad del proceso 87 Variación a lo largo del tiempo contra variación natural del proceso 90 Forma básica de un gráfico de control 91 Uso de gráficos de control 93 Creación de un gráfico de control 96 Causas para iniciar la investigación 97 Responsabilidad por el gráfico y por las acciones de ajuste 98 Muestreo del proceso 98 4. GRÁFICOS DE CONTROL PARA CARACTERÍSTICAS VARIABLES DE CALIDAD .............................................................. Principios básicos sobre gráficos de control 102 Uso de gráficos de control 104 Gráficos para características variables de calidad 105 Derivación de factores de gráficos de control 108 Inicio de un gráfico de control 109 Proceso no estable durante el período base 111 El gráfico de control durante el período de vigilancia 114 5. PROCEDIMIENTOS ESPECIALES DE CONTROL DE PROCESOS ........................................................................................... Gráficos de control para X y s 121 Gráficos de control para medidas individuales 124 Límites de aviso 129 Promedio móvil y gráficos de sumas acumuladas (CUSUM) 131

83

101

121

CONTENIDO

IX

Página

6.

PROPIEDADES DE LOS GRÁFICOS DE CONTROL.............. Características operativas de un gráfico de control 143 Cálculo de la curva OC 145 La curva OC y el tamaño del subgrupo 147 Distribución de la longitud de racha en control de calidad 149 Longitud media de racha en los gráficos X 151 Uso de los límites de aviso 154 Curva OC y longitud media de racha 158 Producción de elementos defectuosos antes de detectarse un cambio en la media del proceso 158

143

7. GRÁFICOS DE CONTROL DE ATRIBUTOS............................ Gráfico de control de porcentajes o gráfico p 164 Control de calidad de procesos de fábricas 168 Aplicación del control de atributos a las fábricas 170 Gráfico de control de defectos 177 Aplicación del control de defectos por unidad 178 Gráfico de atributos para subsanar problemas de calidad 180 Gráfico de atributos para control de funcionamiento 182 índice gráfico para control de funcionamiento 183 Sistema de clasificación de deméritos 189 Aplicaciones posibles de la clasificación de resultados 192

163

8. ANÁLISIS DE LA CAPACIDAD DEL PROCESO .................... Determinación de la capacidad del proceso 199 Determinación de la capacidad de un proceso: Uso de observaciones de la muestra 202 Método de intervalo único 206 Ajuste de la tendencia dentro del estudio 208 Especificaciones de proyecto y tolerancias 209 Capacidad del proceso y tolerancias 210 Tolerancias para subconjuntos 211 Establecimiento de tolerancias para fases intermedias de la producción 213 Interferencia y tolerancia de ajuste 214

199

9. INTRODUCCIÓN A LA GARANTÍA DE CALIDAD Y EL CONTROL DE ACEPTACIÓN ................................................... Objetivos del control de aceptación 221 Responsabilidades sobre garantía de calidad 222 Relaciones entre productor y receptor (dentro de la fábrica, entre Divisiones de la firma y entre diversas firmas) 223 Falacias del método de muestreo de inspección localizada 224 Prueba de hipótesis en control de aceptación 226

221

X

CONTENIDO

Página

Característica operativa de un plan de muestreo Inspección de rectificación 229 Calidad media de salida 230 Inspección total bajo inspección de rectificación Muestreo doble y múltiple 232 10.

227 231

MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR ATRIBUTOS, LOTE A LOTE .....................................................................................................

235

Construcción de la curva OC de un plan de muestreo simple por atributos 236 Desarrollo de un plan sencillo de muestreo de atributos 240 Análisis e interpretación de la curva característica operativa 242 11.

PROCEDIMIENTOS DE ACEPTACIÓN BASADOS EN AQL

245

Circunstancias que aconsejan el uso de AQL 246 Breve reseña histórica 247 Aplicabilidad de procedimientos AQL 248 Decisiones iniciales 248 Especificaciones de nivel de calidad aceptable (AQL) 249 Especificación de nivel de inspección 251 Inspección normal, rigurosa y reducida 252 Planes de muestreo simple, doble y múltiple 252 Descripción y uso de Tablas 255 Riesgo del fabricante y curvas OC 257 Criterios de administración 258 Registros de inspección y media estimada del proceso 260 Procedimiento de aceptación de defectos 262 Utilización del MIL-STD-105D para defectos 263 Cantidad total de inspección de muestreo 264 Procedimiento administrativo para la presentación y nueva presentación de lotes 265 12.

OTROS PROCEDIMIENTOS DE ACEPTACIÓN ..................... Procedimiento de aceptación de calidad indiferente Tablas Dodge-Romig 275 Cálculo de la media del proceso 277 Procedimientos de aceptación secuencial 278 Muestreo de deméritos 283 Muestreo de verificación para garantía de calidad

13.

272

287

MUESTREO CONTINUO DE ACEPTACIÓN POR ATRIBUTOS .................................................................................................. Ventajas del muestreo continuo Lotes en movimiento 292

291

271

291

CONTENIDO

XI

Página

Reseña histórica 294 MIL-STD-1235 (ORD) 294 Descripción de procedimientos de aceptación continua Planes de inspección rigurosa y reducida 301 Efectividad del muestreo continuo 303 Planes para AOQL específicos 304 14.

296

PROCEDIMIENTOS DE ACEPTACIÓN POR CARACTERÍSTICAS VARIABLES ..........................................................................

317

Aplicabilidad del muestreo de aceptación por variables 317 Plan de muestreo de variables 318 Operación de un plan de muestreo de variables 319 MIL-STD-414: Procedimientos de muestreo y Tablas para inspección por variables para porcentajes de elementos defectuosos 321 Diseño de planes de muestreo por variables 326 15.

DISEÑO DE LA GARANTÍA DE CALIDAD ...........................

333

Ingeniería de calidad 333 Planificación de calidad y fiabilidad 334 Encuesta de calidad previa a la adjudicación 334 Otras responsabilidades de planificación 337 Evaluación de calidad y fiabilidad 338 Elementos de un Programa de control de herramientas, calibradores y equipo de pruebas 341 16.

MÉTODOS Y NORMAS DE GARANTÍA DE CALIDAD . . . .

351

Análisis del valor de la calidad del producto 351 Procedimiento de clasificación de defectos 354 Especificación de método de inspección 358 Establecimiento de niveles de calidad estándar 359 Clasificación de deméritos 367 Ilustración de la clasificación de deméritos 368 Niveles experimentales de calidad estándar 369 17.

CALIDAD, PRODUCTIVIDAD Y ECONOMÍA ......................... Control presupuestario de costos de calidad 372 Control de costos de calidad de tipo técnico 376 Optimación económica del control de calidad 376 Elección económica de un plan de muestreo 377 Simple ilustración de la teoría de los juegos aplicada a un problema de inspección 381

371

XII

CONTENIDO

Página

18.

ORGANIZACIÓN PARA LOGRAR CALIDAD Y PRODUCTIVIDAD ........................................................................................... Objetivos de una empresa 386 Directrices de la Gerencia para mejorar calidad y productividad 386 Estructura de una organización 387 División del trabajo y funcionalización 388 Organización para lograr calidad y productividad 392 Organización tradicional de calidad 392 Círculos de control de calidad 396 Ejemplo de un nuevo Programa de círculos de control de calidad 401 Sistema Kanban 404

385

19. FIABILIDAD ................................................................................ Distribuciones halladas al controlar la Habilidad 416 Tiempo medio hasta un fallo 420 Densidad exponencial de fallos 423 Cálculo de MTTF: Densidad exponencial de fallos 424 Densidad de fallos de Weibull 427 Logro de la Habilidad 428 Proyectos de ingeniería para lograr fiabilidad 429 Medida y pruebas de fiabilidad 432 Uso del Manual H108 433 Procedimientos de aceptación secuencial basada en MTTF 440 Mantenimiento y fiabilidad 443

415

Bibliografía ....................................................................................................

448

Apéndice ...........................................................................................................

451

Índice ..............................................................................................................

541

Presentación

El objetivo principal de este libro es presentar las técnicas de control de calidad de forma asequible para el técnico. La presentación, en forma breve, de cada método ha permitido incluir en este libro una selección más amplia de éstos y de sus ejemplos. El libro se divide en cuatro partes. La parte I presenta los conceptos básicos de control de calidad y la información básica necesaria sobre Estadística y Probabilidades. La parte II describe las técnicas para vigilar la calidad y mantenerla durante las operaciones de proceso y producción. La parte III presenta gran variedad de procedimientos de control de aceptación. La parte IV está dedicada, en gran parte, a la dirección de calidad e incluye, además, una breve exposición sobre fiabilidad de producto. Se han conservado muchos casos presentados en el texto original: Control de Calidad: Teoría y Aplicaciones, de Bertrand L. Hansen. Aunque puede que las referencias no sean siempre las más recientes, y hasta es posible que algunos de los productos que se citan no se utilicen ya, nos disculparemos por conservar tales citas y ejemplos. Como la buena gerencia, el buen control de calidad nunca se pasa de moda. Los cambios fundamentales con relación al texto original son los siguientes: 1. Se presentan los conceptos de «duración del recorrido» y «duración media del recorrido» para cualquier procedimiento de control. Quien trabaja en este campo debe tener consciencia de que no existe técnica alguna que garantice la detección instantánea de una condición «fuera de control». La cantidad de producto insatisfactorio fabricado está en función directa del tiempo necesario para detectar dicha condición. Se incluyen dos tablas especiales para ayudar en el análisis de la duración media del recorrido. XIII

XIV

PRESENTACIÓN

2. Se presenta el nexo entre productividad y calidad. Se presentan los métodos de mejora de productividad convencionalmente designados como círculos de control de calidad y sistema Kanban, junto con un comentario sobre sus implicaciones en la calidad del producto. 3. Todo el material básico de carácter estadístico se incluye, en forma condensada, en un solo capítulo: el 2. Las técnicas estadísticas que se usan en control de calidad se presentan de forma práctica y el espacio dedicado a sus conceptos teóricos es limitado. 4. Se ha incluido una gran cantidad de ejemplos y hay más de 200 problemas prácticos. Queremos expresar nuestro agradecimiento a la doctora Shakuntala Ghare (esposa del coautor) y al doctor Woletr Fabrycky por su incansable aliento. El doctor Donald R. Jensen y el doctor Ezey Dar-El merecen mención especial por la ayuda que prestaron a los autores, proporcionándoles una visión especialmente brillante de la Estadística y la Productividad. Hay también otros muchos autores cuyas obras aparecen citadas o algunas de cuyas frases se reproducen en nuestro texto. Aunque muy numerosos para citarlos de forma individual queremos agradecer su amabilidad y la de sus editores al permitirnos utilizar dicho material. Por último, la señora Joni Chamber y la señorita Nancy Menges merecen nuestro agradecimiento especial por su paciente trabajo al mecanografiar el manuscrito y ocuparse de todo el proceso de edición durante las distintas etapas hasta llegar al producto final. Bertrand L. Hansen Prabhakar M. Ghare

1 El control de calidad en perspectiva

Pueden hallarse numerosas definiciones de garantía de calidad. Un ejemplo sería la aceptada en el National Symposium on Reability and Quality de 1959: «Garantía de calidad es una denominación amplia que abarca tanto el control de calidad como la ingeniería de control de calidad.» De acuerdo con esta definición, es preciso definir previamente el control de calidad y la ingeniería de control de calidad para comprender qué es la garantía de calidad. En opinión de los autores, el concepto de garantía de calidad es mucho más amplio de lo que sugiere la definición citada. Tal como se utiliza en este libro, comprende todos los métodos encaminados a garantizar la calidad y el funcionamiento de determinado producto. Se trata, pues, de un concepto omnímodo Para garantizar la calidad pueden utilizarse muchos métodos; entre ellos figuran, además del control y la ingeniería de control de calidad, otros procedimientos que garantizan la calidad de un producto fabricado o un trabajo terminado. Aunque la palabra calidad tiene connotaciones distintas según las personas que la empleen, en ella subyace siempre una idea central. La calidad de un producto es satisfactoria cuando responde a las necesidades del consumidor. Para producir un artículo de alta calidad hay que superar una serie de etapas intermedias. En primer lugar, el ingeniero a cargo del proyecto debe ser capaz de plasmar las necesidades del consumidor en un proyecto de ingeniería, indicando sus especificaciones y márgenes de tolerancia. El ingeniero de producción debe crear un proceso que permita fabricar un producto acorde con estas especificaciones y márgenes de tolerancia. El gerente de producción es el responsable de la fabricación del producto. El encargado de compras debe proporcionar las materias primas y la energía necesarias. El director de personal debe facilitar trabajadores adecuadamente capacitados. El inspector de calidad debe probar y evaluar el producto que se está elaborando. Por último, es esencial la realimentación de los consumidores. En muchos casos, las necesidades que se pías1

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CONTROL DE CALIDAD

man en el proyecto no reflejan lo que el consumidor desea en realidad. No se trata de que el consumidor no sepa lo que quiere, sino de que no es capaz de expresar sus deseos en términos que resulten inteligibles para el ingeniero de proyecto. Una vez fabricado el producto, el consumidor puede determinar con exactitud qué modificaciones serían necesarias para hacerlo plenamente satisfactorio. Se denomina control de calidad al conjunto de técnicas y procedimientos de que se sirve la dirección para orientar, supervisar y controlar todas las etapas mencionadas hasta la obtención de un producto de la calidad deseada. El control de calidad no es sólo papeleo, ni una serie de fórmulas estadísticas y de tablas de aceptación y control, ni el departamento responsable del control de calidad. Para una dirección bien informada, el control de calidad representa una inversión que, como cualquier otra, debe producir rendimientos adecuados que justifiquen su existencia. Todos los miembros de una empresa son responsables del control de calidad. Sea cual sea el trabajo que desarrolle una persona o una máquina, quien realiza el trabajo o maneja la máquina es quien con mayor eficacia puede controlar la calidad o informar de la imposibilidad de alcanzar la calidad deseada para que se adopten medidas correctoras. Entre los años 1965 y 1985, en la mayoría de las empresas estadounidenses se ha impuesto este concepto del control de calidad. Durante dicho período, las empresas de este país hubieron de enfrentarse a una competencia creciente, dentro de las propias fronteras y en el extranjero, como consecuencia de la comercialización de productos de mejor calidad y menor costo provenientes de otros países industriales. A la cabeza de los mismos figuraban Alemania Occidental y Japón; este último país representa, en la década de 1980, el ideal de gran calidad y bajo costo. Para defenderse, tanto las empresas de los Estados Unidos como las de otros países occidentales han incrementado sus esfuerzos en el área del control de calidad, con objeto de mejorar la calidad y la productividad, y reducir los costos. Pese a que este libro se centra en el control de calidad, los autores están convencidos, y desearían transmitir su convencimiento a los lectores, de que existe una estrecha relación entre el control de calidad y la productividad; para destacar esta relación, hemos incluido un resumen de ciertas técnicas de dirección japonesas y estadounidenses. En definitiva, quien mayor influencia, positiva o negativa, tiene sobre el trabajador es su supervisor directo, tanto en las labores de producción como en las administrativas. Por tanto, el supervisor se convierte en el eje en torno al cual giran todos los esfuerzos para la consecución del control de calidad total. Aunque la alta dirección de la empresa esté plenamente convencida de la necesidad del control de calidad, no logrará ningún resultado si los supervisores no son conscientes de su valor. Puede ocurrir que un grupo de expertos en estadística y de ingenieros de control de calidad estén realizando sus cálculos en el vacío, simplemente porque los supervisores no hayan alentado la participación activa de los trabajadores en el control de calidad. CALIDAD DE PROYECTO La calidad de proyecto de un producto está relacionada con el rigor de las especificaciones para la fabricación del mismo. Así, por ejemplo, un componen-

EL CONTROL DE CALIDAD EN PERSPECTIVA

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te con una tolerancia de proyecto de +0,0001 se considerará de mejor calidad de proyecto que otro con una tolerancia de ±0,01. En general, cuanto mayor sea la exigencia en cuanto a solidez, resistencia a la fatiga, duración, función e intercambiabilidad de cualquier producto, mejor será su calidad de proyecto. Huelga decir que el proyecto debe ser lo más sencillo y económico posible, siempre que satisfaga las demandas de los consumidores. El mercado al que se dirige determinado producto influye notablemente en su calidad de proyecto. Así, por ejemplo, el mercado estadounidense de misiles balísticos está constituido por una serie de entidades oficiales que se encargan de adquirirlos para el Ministerio de Defensa y la calidad de proyecto que exigen es bien conocida. Frente a ello, hay innumerables productos de consumo que se fabrican con plena conciencia de que en breve plazo van a dejar de venderse porque pasan de moda. CALIDAD DE CONCORDANCIA CON EL PROYECTO Está relacionada con el grado en que un producto manufacturado concuerda con las exigencias del proyecto original, esto es, con el grado en que se controla la calidad tanto de los materiales adquiridos como de los productos que salen de la fábrica y se almacenan en las instalaciones de la empresa. El control de calidad, como es sobradamente conocido, mantiene estrechas relaciones con la calidad de concordancia. En esta área han sido utilizadas la gran mayoría de las técnicas estadísticas y de muestreo que hoy se aplican. CALIDAD DE FUNCIONAMIENTO Los resultados que se logren al utilizar el producto dependerán tanto de la calidad de proyecto como de la calidad de concordancia. Aunque el proyecto fuera insuperable, si se ha utilizado un mal control de concordancia puede que el funcionamiento no sea todo lo satisfactorio que debiera. Y, al contrario, aunque el control de concordancia fuera excepcionalmente bueno, no se conseguiría buen funcionamiento de un producto mal proyectado. En consecuencia, es preciso disponer de un sistema de confirmación que funcione ininterrumpidamente y proporcione información sobre calidad que sirva de base para adopción de decisiones a fin de optimizar la calidad del producto. La idea clave en todas las situaciones es optimizar, lo que no implica necesariamente una exigencia de calidad más estricta, sino de la mejor calidad, en el sentido de que proporcione la mayor rentabilidad —a largo plazo— de la inversión realizada para la puesta en marcha del control de calidad. El proceso de control de calidad no debe estar a cargo de ningún departamento o unidad específicos. Exige la cooperación de toda la empresa y a todos los niveles. En términos generales, puede afirmarse que tanto la alta dirección como los departamentos de contabilidad, «control de calidad» y proceso de datos tienen la obligación de apoyar, estimular, controlar y coordinar el esfuerzo empresarial para controlar la calidad de sus productos. Los departamentos de investigación y desarrollo, ventas e ingeniería tienen la misión de determinar

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CONTROL DE CALIDAD

las necesidades del consumidor y diseñar productos y procesos que las satisfagan. Los de ingeniería de producción, maquinaria, compras y producción se ocupan de obtener un producto conforme a las especificaciones y que resulte lo más económico posible. A dichas funciones se refiere la Tabla 1.1. AUMENTO DEL CONTROL DE CALIDAD Los primeros datos disponibles sobre control de calidad se remontan a 1924, cuando Walter A. Shewhart, de los laboratorios Bell Telephone, aplicó por vez primera un gráfico estadístico de control de calidad a un producto manufacturado. Posteriormente, Shewhart escribió un libro titulado Economic Control of Quality of Manufactured Product («Control económico de calidad de productos manufacturados»), publicado en 1931 por D. Van Nostrand Company, Inc., Nueva York. Como se desprende de su título, su objetivo central era el control económico. Desgraciadamente, muchas de las últimas aplicaciones de técnicas estadísticas al control de calidad han sido todo menos económicas. Durante los primeros años de la década de 1940 se crearon y empezaron a utilizar tablas de muestreo para inspecciones de aceptación1, y se publicaron, además, las utilizadas por las Fuerzas Armadas2. Estas últimas dieron lugar al Military Standard 105D, ampliamente aceptado y utilizado por entidades públicas y privadas para inspecciones de aceptación por muestreo de atributos3. El Ministerio de Defensa ha publicado, también, su Military Standard 414 para muéstreos de aceptación basados en variables4 y tiene normas para muéstreos continuos simples y multietápicos que utiliza para la inspección por atributos5. Los distintos departamentos del Ministerio de Defensa han influido siempre, directa o indirectamente, dado el volumen de sus adquisiciones, en la promulgación y utilización de técnicas de control de calidad. Gran parte del PNB lo representan los gastos en defensa. Cuando se considera el efecto que produce la insistencia sobre la calidad necesaria de toda la cadena de sucesos, se puede adjudicar a los distintos departamentos del Ministerio citado gran parte del mérito correspondiente al desarrollo de controles de calidad. Las mejoras en el control de calidad pueden relacionarse directamente con los cambios de actitud de los departamentos del Ministerio de Defensa en cuanto a la calidad exigida en sus adquisiciones. Durante la segunda guerra mundial y la guerra de Corea, las diversas entidades de inspección del Ministerio de Defensa insistieron en el uso de las técnicas. Tras la guerra de Corea se produjo un cambio y se insistió en la promoción del uso de técnicas de control de 1

H. F. Dodge y H. G. Romig: Sampling Inspection Tabtes-Single and Double Sampling, John Wiley & Sons, Nueva York, 1944. 2 Tanto el Ejército como las Fuerzas Navales utilizan tablas de muestreo de aceptación. 3 Military Standard 105D: Sampling Procedures and Tables for Inspection by Attributes, Servicio Nacional de Información Técnica, Washington, D.C. 4 Military Standard 414: Sampling Procedures and Tables for Inspection by Variables for Percent Defective, Servicio Nacional de Información Técnica, Washington, D.C. 5 Military Standard 1235-ORD: Sampling Procedures and Tables for Inspection by Variables for Percent Defective, Servicio Nacional de Información Técnica, Washington, D.C.

EL CONTROL DE CALIDAD EN PERSPECTIVA

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TABLA 1.1. Funciones de la empresa y sus responsabilidades en el campo de la calidad Alta dirección

Control de calidad

Contabilidad

Apoyo desde el el nivel más alto y estímulos al esfuerzo para lograr calidad.

Garantía de calidad, más promoción, coordinación y y control del esfuerzo total para lograr calidad.

Medida de los costos de calidad y del esfuerzo dedicado a lograr la calidad,

Ingeniería de proyecto

Ingeniería de utillaje

Proyectar un producto de calidad y cambiar el proyecto para lograr condiciones óptimas de calidad.

Proporcionar herramientas, plantillas y accesorios de calidad.

Investigación

Ventas y marketing

Calidad de investigación —proyecto adecuado y análisis de datos experimentales.

Venta de un producto de calidad y suministro de información sobre el funcionamiento sobre el terreno.

Ingeniería de producción

Compras

Fabricación

Prorporcionar un proceso para la producción de calidad.

Calidad de concordancia de los productos adquiridos: realimentación de información sobre calidad.

Concordancia de calidad en la fabricación, productos terminados y semiterminados; realimentación de información sobre calidad.

calidad por parte de los proveedores, a las que que se unieron los métodos de garantía utilizados por las entidades inspectoras del Ministerio de Defensa. En la actualidad, se insiste en el ciclo vital, que se ocupa de la calidad durante todo el ciclo: estimación de la necesidad-proyecto-producción-uso-mantenimientofuncionamiento de un producto. EJEMPLO ILUSTRATIVO: CALIDAD DE PROYECTO6 Este caso ha sido seleccionado para marcar la pauta del libro. Muestra que la puesta en práctica de controles de calidad no supone, necesariamente, un importante esfuerzo administrativo ni una habilidad fuera de lo corriente. Su intención es mostrar que el control de calidad es más una filosofía y una actitud que un sistema elaborado. Los sistemas sirven para alcanzar las actitudes y filosofías deseadas, pero no son fines en sí mismos. El caso (que incluye entre paréntesis los comentarios de los autores) muestra lo que puede resultar de una actitud inquisitiva frente a la calidad: las economías y beneficios, directos o indirectos, para los distintos departamentos de la empresa que produce una 6

Cedido por A. G. Tashjian, ingeniero jefe, Cleveland Welding Division, American Machine and Foundry, Cleveland, Ohio.

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CONTROL DE CALIDAD

pequeña aplicación práctica del control de calidad. Este caso se presenta, inicialmente, como problema a estudiar. Le siguen los resultados del estudio de un proyecto. A continuación (como muestra la Tabla 1.3), se utiliza el mismo producto, junto con ciertos datos hipotéticos, para ilustrar cómo se pueden utilizar de forma efectiva los métodos y técnicas descritos en este libro para el control de calidad. Objeto estudiado: un separador para llanta doble de camión (Fig. 1.1) que viene fabricando la empresa desde hace muchos años. El volumen de producción actual es de casi 200.000 unidades anuales, lo que representa cerca de 220.000 dólares de ventas. La competencia en el precio de este artículo es fuerte. Se fabrica con pletina de acero laminada en caliente de calidad comercial C-1010, de 4| de pulgadas de anchura, 0,105 pulgadas de espesor y 118 pulgadas de longitud. Las operaciones de fabricación son como sigue: 1. Cizallado a la longitud requerida y estampación. 2. Decapado con baño químico. 3. Conformado (un círculo). 4. Soldadura eléctrica de alta intensidad bajo presión. 5. Primer rebabado (eliminación de soldadura). 6. Rebabado final. 7. Primer conformado (forma parcial). 8. Segundo conformado (forma final y conformado del borde). 9. Extensión. 10. Inspección al 100 por 100 y transferencia al transportador. 11. Galvanizado.

Figura 1.1.

Croquis de un separador.

EL CONTROL DE CALIDAD EN PERSPECTIVA

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El coste de la operación es de, aproximadamente, 1 centavo de dólar por unidad. El artículo se utiliza para espaciar llantas dobles de camión montadas en ruedas de cinco o seis radios. La pieza debe estar razonablemente ajustada. El montador debe montar normalmente la pieza en el área de soldadura entre los radios de las ruedas. No parece existir problema en ajustarse a las dimensiones. Las operaciones de fabricación son continuas y se llevan a cabo a una velocidad aproximada de 250 unidades por hora hasta la fase de galvanizado. No obstante, el material se apila después de la operación de extensión. Las normas de inspección exigen una inspección al 100 por 100 en este momento. Hay un inspector de aceptación dedicado a esta operación. Las existencias en proceso en este momento pueden oscilar entre la producción de un solo día y la de varias semanas. Sin embargo, en caso de rechazo, se ahorran los gastos de galvanizado y manipulación extra de unidades rechazadas. No hay problemas de espacio para el almacenaje. La soldadura y el montaje parecen ser satisfactorios. El ciclo de soldadura es automático, pero ha habido problemas de costos inesperados por averías en el ciclo de soldadura. Todos se muestran conformes con que los mayores defectos de este producto son consecuencia de materiales defectuosos o de soldaduras que se resquebrajan. Las demás características no se han separado en grupos de problemas graves y no graves. Como norma de aceptación para rebabado se ha insistido en el enrase de superficies con una tolerancia de proyección de aproximadamente 0,005 pulgadas. El departamento de producción se ha ceñido estrictamente a esta norma y, basándose en la misma, que no se ha variado durante años, ha insistido en que es absolutamente necesario efectuar la operación en dos etapas. No se ha tratado de verificar la necesidad de tal requisito ni se ha realizado ningún examen de los resultados de calidad de la competencia en rebabados de este tipo de soldadura. Se han recogido y archivado los datos de las inspecciones, pero no se han estudidado los archivos para determinar la calidad de salida. Las preguntas que se formulan al capataz de inspección sobre calidad reciben la respuesta de que ésta es «muy buena». Los trabajadores de producción trabajan las horas normales. Se supone que tienen una responsabilidad implícita en lo referente a la calidad. Sin embargo, confian totalmente en que el inspector detecte y separe las unidades defectuosas. Resultados de un estudio de proyecto de control de calidad

En primer lugar se examinaron los registros de inspecciones correspondientes a los seis meses anteriores. El promedio de calidad para dicho período arrojaba un 2,4 por 100 de artículos defectuosos. Más del 60 por 100 de tales artículos se debía a escasa habilidad en la eliminación de soldadura. Más del 20 por 100 de los artículos defectuosos tenían problemas de soldaduras agrietadas. A continuación se examinaron las medidas y tolerancias, y se llegó a la

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CONTROL DE CALIDAD

conclusión de que, en general, eran aceptables. Se formularon varias preguntas sobre las dimensiones de 5/8 x 1/32 de pulgadas: 1. ¿Es necesario establecer una dimensión máxima teniendo en cuenta que el borde va al aire y es, necesariamente, función del laminador dar la anchura a la pletina y centrar la pieza durante el laminado de conformación? 2. ¿Puede considerarse innecesaria la operación de controlar una superficie no funcional y, si es así, existe algún ahorro potencial de materiales en utilizar el ancho a que se compra? Las conversaciones que tuvieron lugar con supervisores de producción revelaron que el segundo laminado de conformidad se llevaba a cabo para controlar la máxima altura de ala. Con objeto de lograr costos de oportunidad aquí, se decidido reducir el ancho comprado en 1/8 de pulgada y autorizar el cambio de herramientas con objeto de eliminar el primer laminado. Acto seguido se pasó a la línea de montaje del consumidor para establecer si era necesario mantener el requisito de aceptación en rebabado de soldadura, de 0,005 de pulgada de tolerancia en defecto de enrase. Se examinaron, también, muestras de productos fabricados por competidores. El consumidor indicó que un saliente externo de 0,030 de pulgada y un saliente interno de 0,020 de pulgada serían aceptables para él. Con esta norma de aceptación, ingeniería y producción se mostraron de acuerdo en que sería suficiente una sola operación de rebabado. Se recomendó que se autorizasen nuevos troqueles en la soldadura y se adoptasen nuevas normas para la inspección del rebabado. Se convocó a una reunión a representantes de inspección, producción y control de calidad con objeto de obtener una descripción de los defectos y crear una clasificación de éstos en el separador. El punto de inspección previo al galvanizado parecía ser satisfactorio. En caso de rechazo se ahorrarían los costos de galvanizado y de manipulación suplementaria sobre las unidades rechazadas. Los tipos de defectos se definieron como sigue: Grupo 1: Defectos con posibilidades de causar graves problemas funcionales durante el uso y/o probables quejas de los clientes que pueden perjudicar y poner en peligro la reputación de calidad y ocasionar pérdidas de operaciones. Grupo 2: Defectos que, probablemente, producirán inconvenientes de pequeña entidad durante el montaje y/o reclamaciones menores de los clientes que se podrán atender con facilidad y de forma rutinaria. Grupo 3: Defectos que no afectan al uso y que, probablemente, no darán lugar a quejas por parte de los consumidores. Las características del separador fueron ajustadas a los grupos citados, de acuerdo con las descripciones de los defectos de cada uno (Tabla 1.2). Se marcaron niveles de calidad aceptables (AQLs), considerando especialmente el costo, función, montaje y quejas de consumidores.

EL CONTROL DE CALIDAD EN PERSPECTIVA

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Tabla 1.2 Grupo 1: Nivel aceptable de calidad: 0,15 % Soldadura agrietada. Acero defectuoso.

Grupo 2: Nivel aceptable de calidad: 1,5 % Mínima altura de ala. Anchura mínima. Circunferencia máxima y mínima. Diámetro interno rebabado.

Grupo 3: Nivel aceptable de calidad: 4 % Diámetro rebabado. Anchura mínima. Defectos en la superficie, Estampación.

Inicialmente, el tamaño del lote inspeccionado se fijó en la mitad de la producción de un turno —alrededor de 1.000 unidades— con la advertencia de que cuando se dispusiera de una cantidad suficiente de datos sobre calidad para iniciar su análisis, se pensaría seriamente en aumentar el tamaño del lote. Se decidió realizar muestreo simple para mayor facilidad administrativa. Asimismo, se hicieron ensayos «en seco» con varios lotes antes poner totalmente en marcha el plan. Se explicaron ampliamente a los operadores de máquinas los principios básicos de operación del plan. Resultados de la operación del plan de muestreo

Se realizaron todos los cambios de herramientas, emitiendo instrucciones sobre la forma de llevar a cabo la inspección. Se compilaron los datos una vez efectuado el muestreo de los 50 primeros lotes y se procedió a seleccionar un lote para el grupo 1 (soldaduras agrietadas) y el grupo 2 (diámetro interior rebabado). El resto de los lotes resultaron aceptables en la primera inspección. Los promedios de calidad de los grupos, basados en los muestreos realizados hasta la fecha, fueron los siguientes: grupo 1: 0,08 por 100; grupo 2: 1,10 por 100; grupo 3: 1 por 100. Como consecuencia directa del proyecto se realizaron los siguientes cambios: 1. Se cambió el tamaño del material de una anchura de 4| pulgadas a 4f, lo que supuso una economía en materiales de 0,23 libras/unidad. 2. Se eliminó inmediatamente una de las operaciones de fabricación (el primer laminado). 3. Otra de las operaciones de fabricación (primer rebabado) se eliminará pronto. 4. Los cambios en los troqueles de soldadura han reducido las fisuras de la misma en un 50 por 100. 5. Las horas de inspección se han reducido en un 80 por 100. Lo anterior, traducido a economías anuales supone: Trabajo de inspección 1.625,00$ Mano de obra directa 2.000,00 $ Materiales 4.000,00 S Reducción de repetición de trabajo (estimada) 500,00 $ Total 8.125,00$

10

CONTROL DE CALIDAD

Además, se conseguirán economías adicionales de 2.000,00 $ en costos de oportunidad si prospera el rebabado único. En costos de fabricación, las economías suponen 0,05 $ por unidad. Cuando se añaden los beneficios en gastos generales, se puede ver que se ha logrado un claro progreso con el esfuerzo realizado por mantener la competitividad en una época de costos crecientes. Los costos inmediatos incurridos para la puesta en marcha del plan y de las mejoras han sido los siguientes: Repetición de trabajo de laminado Redisposición de la línea Costo del proyecto Total

300,00 $ 100,00 $ 500,00 $ 1.025,00$

Los ahorros netos durante el primer año ascendieron a 7.100,00$. No se recibieron quejas de los consumidores. Los vendedores pueden ofrecer precios más bajos, si es necesario. La fabricación no resultó afectada. La calidad es mejor. Producción e inspección trabajan ahora juntas. CALIDAD DE CONCORDANCIA CON EL PROYECTO: VIGILANCIA DEL PROCESO El proyecto y los planos especifican exactamente dimensiones semejantes para todos los separadores que han de producirse. No obstante, el proceso de fabricación no es, en general, lo suficientemente bueno como para obtener separadores de idénticas dimensiones. Siempre se producirán pequeñas variaciones en cada una de las dimensiones específicas, por ejemplo, «anchura de espacios». Si las variaciones son pequeñas, los separadores no resultarán insatisfactorios, pero lo serán si las variaciones son grandes. Para contestar a la pregunta: ¿Son las variaciones lo suficientemente grandes como para afectar los resultados de los separadores?, se pueden usar algunas herramientas estadísticas muy sencillas. Los gráficos de control Shewhart suponen una herramienta simple, pero eficiente, para contestar a tal pregunta. En cualquier proceso de fabricación las variaciones pueden producirse por azar o siguiendo un proceso aleatorio, o pueden deberse a una causa externa identificable que se puede descubrir y evitar en el futuro. Un gráfico de control establece el recorrido de las variaciones que no es probable que se produzcan por azar. En consecuencia, cualquier variación que se produzca dentro de este recorrido debe obedecer a una causa externa que los ingenieros de control de calidad pueden identificar. Por ejemplo, si la distribución de probabilidad de una característica es normal, con una media P y una desviación estándar a, la probabilidad de que el valor observado para tal característica sea mayor que P + 3ı y que éste sea únicamente producido por azar es de, aproximadamente, 0,005, o de 1 entre 200. Si la característica es mayor de P + 3ı, con frecuencia significativamente mayor de 1 entre 200, digamos 1 entre 4, el ingeniero de control de calidad tendrá razones para suponer que existe una causa externa. En la jerga utilizada

EL CONTROL DE CALIDAD EN PERSPECTIVA

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en control de calidad, al límite P + 3ı se le llama límite de control y a la existencia de una causa externa se denomina proceso fuera de control. En los Capítulos 3 y 4 se describen con detalle los procedimientos y técnicas para el uso de estos gráficos de control. Sin embargo, se puede ofrecer una sencilla introducción a estas técnicas usando la característica «anchura del espaciador» como ejemplo. Cada hora se inspecciona una muestra de cinco separadores de entre los 250 producidos. La Tabla 1.3 ofrece las observaciones realizadas durante dos turnos —dieciséis horas. Las especificaciones para la anchura del separador son 4 ± 0,040 pulgadas. Para obtener los valores de la Tabla 1.3 se emplea el siguiente procedimiento: 1.

Se mide la anchura de cada separador como desviación respecto de 4,000 pulgadas en unidades de milésima de pulgada. 2. El recorrido R se calcula como la diferencia entre la observación más grande de la muestra y la más pequeña. 3. La media X se calcula como la media aritmética de cinco observaciones de la muestra: Media de muestras Media de recorridos

X R

240 16 400 16

15 25

TABLA 1.3. Observaciones de anchura de separadores Número de la muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Total

Anchura media, X

Recorrido, R

18 35 -1 -3 9 10 19 13 13 15 11 21 19 34 12 15 240

28 30 24 18 30 24 40 32 36 16 24 20 20 32 14 12 400

12

CONTROL DE CALIDAD

Utilizando expresiones que aparecen más adelante en este libro, los límites de control se calcularán así: UCL LCL

X X

15  0, 58 u 25

29, 5

15  0, 58 u 25

05

UCLR

2,11 u 25

LCLR

0

52, 75

0

La Figura 1.2 muestra las trazas correspondientes a la anchura media de las muestras observadas y de los recorridos observados de los valores de las muestras junto con sus correspondientes límites de control. A éstas se les denomina gráficos X y R, y, a veces, gráficos Shewhart. El supervisor de producción puede utilizar la información que presentan los gráficos para vigilar el proceso de producción. 1.

Cuatro puntos, las muestras 2, 3, 4 y 14, están fuera de los límites de control del gráfico X . Ninguno de dichos puntos está fuera de los límites de control del gráfico R. 2. El proceso de fabricación parece estar fuera de control para las medias, X , y controlado para recorridos, R. Si el proceso hubiera estado controlado, la proporción de puntos fuera de los límites de control habría sido de sólo 1 entre 200. Aquí la proporción es de 4 de 16, esto es, un 25 por 100. Basándose en dicha información, el supervisor puede adoptar dos posturas: 1) evaluar la capacidad del proceso, y 2) buscar las causas que hacen que el proceso esté fuera de control. Para establecer la capacidad del proceso se puede obtener una estimación de ı, la desviación estándar, partiendo del recorrido medio (véase Tabla 7 en el Apéndice):

V

R

25

d2

2, 326

10, 748

Si se puede mantener el proceso bajo control con una desviación estándar de 10,748, su tolerancia naturales de aproximadamente «la media ±32,25». Así que, con el proceso bajo control, será capaz de producir artículos dentro de la tolerancia establecida de «la media ± 0,040». La media deseada, según las especificaciones, es 4,000 ó 0 en la escala modificada. La media estimada de anchura de los espaciadores, basándonos en las 16 muestras, es 15. Con una media de 15 y tolerancias naturales de «media ±32,25», la mayoría de los productos estarían dentro del recorrido —17,25 a ±47,25. El recorrido aceptable es de —40 a +40. La producción de espaciadores no satisfactorios puede evitarse reduciendo la media desde 15 al deseado 0. Con una media de 0 y 1 tolerancia natural, la mayor parte del producto estaría dentro del recorrido —32,25 a +32,25, perfectamente dentro del recorrido aceptable.

EL CONTROL DE CALIDAD EN PERSPECTIVA

Figura 1.2. Gráfico de control para la producción de banda espaciadora: a) trazado de anchos de muestra promedios, gráfico X; b) trazado de gamas de muestra, gráfico R.

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14

CONTROL DE CALIDAD

El supervisor puede llegar a la conclusión de que el proceso de fabricación de separadores es capaz de producir artículos de calidad aceptable. Sin embargo, para lograr dicho objetivo hay que cumplir tres condiciones: 1. Deben establecerse las causas —que después habrán de corregirse— que hacen que las muestras 2, 3, 4 y 14 estén fuera de control. 2. Debe reducirse la media del proceso a 0. 3. El proceso debe permanecer bajo control. CALIDAD DE CONCORDANCIA CON EL PROYECTO: MUESTREO DE ACEPTACIÓN El supervisor de producción del departamento que fabrica los espaciadores puede utilizar gráficos de control o técnicas similares para vigilar la calidad del producto a medida que se va fabricando. En esta fase se pueden realizar ajustes y modificaciones tempranos para garantizar una producción de gran calidad. Este procedimiento, conocido como vigilancia del proceso, es algo que el comprador no tiene a su disposición. Típicamente, el cliente será un comprador de una planta de montaje de camiones. Tiene la responsabilidad de proporcionar separadores que cumplan con los requisitos del ensamblaje de ruedas. Una vez que se recibe un lote de separadores, digamos varias cajas, procedentes del fabricante de componentes, las opciones del comprador son limitadas. Lo puede aceptar en su totalidad, rechazarlo por completo, o devolverlo al fabricante para que sustituya los espaciadores defectuosos y vuelva a enviar el lote. Para llegar a la decisión apropiada, el comprador puede valerse de uno entre dos métodos alternativos: 1. Inspección al 100 por 100. Aquí la decisión se basa en la inspección (y prueba si es necesaria) de todos los separadores recibidos. 2. Muestreo de aceptación. En este caso, únicamente se examina una pequeña muestra. Se llega a una decisión sobre el total del lote partiendo de la información obtenida de ella. La ventaja del muestreo de aceptación sobre la inspección al 100 por 100 radica, fundamentalmente, en el bajo costo (y escaso tiempo) del primer sistema. Un muestreo de aceptación adecuadamente realizado llevará a la adopción de decisiones que pueden ser fiables en la mayoría de los casos, aunque no sean perfectas. El procedimiento típico de muestreo de aceptación implica determinar el tamaño de la muestra y el número crítico de artículos defectuosos que contenga. Supongamos que los separadores se envían en cajas de 1.000 unidades y que el consumidor, una planta de montaje de camiones, considera que un 1 por 100 de artículos defectuosos es aceptable. El comprador puede obtener un procedimiento de muestreo de aceptación basándose en el MIL-STD-105D, referencia muy utilizada en este sentido (y de la que se habla con mayor detalle en el Capítulo 11). El «plan de muestreo» supone que n = 80 y c = 2. El procedimiento de muestreo de aceptación implicado en este plan es el siguiente: tomar una muestra de 80 separadores de cada caja y probarlos todos. Aceptar la caja si se encuentran dos o menos separadores defectuosos. Si se encuentran tres o más separadores defectuosos, rechazarla.

EL CONTROL DE CALIDAD EN PERSPECTIVA

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La probabilidad de que se acepte una caja dependerá, evidentemente, de la calidad o de la fracción defectuosa que en ella se halle. Si todos los separadores de una caja son buenos (por ejemplo: si la calidad es 0 por 100 defectuosa) está claro que la caja será aceptada. Es imposible encontrar tres artículos defectuosos en la muestra si la caja no contiene ninguno. A medida que aumenta la fracción de artículos defectuosos, las probabilidades de aceptación disminuyen. Para dar un ejemplo, consideremos tres niveles: 1, 2 y 10 por 100. Si el producto es defectuoso en un 1 por 100, ¿cuántos artículos defectuosos se encontrarán en una muestra de 80? La caja contiene un 1 por 100 de defectuosos, es decir, 10 en total. La cantidad de ellos que entrarán en la muestra dependerá de las leyes de probabilidades. La aplicable en este caso es la ley de Poisson. En el Capítulo 2 se estudia con mayor detalle esta ley. Utilizando la ley de Poisson se puede estimar que si el muestro se realiza 1.000 veces, en 449 oportunidades tendrá 0 artículos defectuosos, en 360 tendrá uno, y en 144 oportunidades tendrá dos artículos defectuosos. En las otras 47 oportunidades, la muestra tendrá tres o más artículos defectuosos y la caja será rechazada. Por tanto, la probabilidad de que se acepte una caja con una calidad del 1 por 100 es de un 95,3 por 100. Cálculos similares nos darían la probabilidad de aceptación de otros niveles de calidad (Tabla 1.4). La Figura 1.3 muestra la probabilidad de que se acepte una caja en función de la calidad del producto que contiene. Tal curva se denomina característica operativa del procedimiento de muestreo. Puede observarse que siempre que el producto sometido a este plan de muestreo es del nivel de calidad aceptable del 1 por 100 o mejor, la probabilidad de aceptación es muy alta, del 95 por 100 o superior. Incluso productos ligeramente inferiores (de un 2 por 100) tienen una probabilidad razonable de ser aceptados: 78 por 100. Si el producto es marcadamente inferior (un 10 por 100, por ejemplo) es casi seguro que será rechazado, ya que su probabilidad de aceptación es tan sólo del 1,4 por 100. Es deseable que cualquier plan de muestreo proporcione protección adecuada tanto al productor como al consumidor (comprador y vendedor). Cuando el fabricante produce un artículo de «buena calidad», la probabilidad de que sus lotes sean rechazados deberá ser baja. Por otra parte, el consumidor desea tener la seguridad de que también es baja la probabilidad de que se acepten lotes de «mala calidad».

TABLA 1.4. Resumen del muestreo

Calidad

1%

2%

10%

Pr (0 defectuosos en la muestra) ............................ Pr (l defectuoso en la muestra) .............................. Pr (2 defectuosos en la muestra) ............................ Pr (3 o más defectuosos en la muestra).................. Probabilidad de aceptación ....................................

449 360 144 47 95,3 %

202 323 258 217 78,3 %

0 3 11 986 1,4 %

16

CONTROL DE CALIDAD

Figura 1.3. Curva característica operativa de un procedimiento de muestreo.

CALIDAD DE FUNCIONAMIENTO: FIABILIDAD Una vez que el comprador acepta el producto y lo pone en funcionamiento, sea de forma independiente o como parte de un conjunto mayor, su calidad de funcionamiento será juzgada según el tiempo de servicio útil del producto. Esto es lo que significa la palabra fiabilidad. Cuando se observan dos elementos después de cierto tiempo, t, de ponerlos en servicio, se considerará más fiable el que tenga mayores probabilidades de seguir operando satisfactoriamente. En algunos casos es posible y deseable basar los procedimientos de muestreo de aceptación en la fiabilidad del producto. Unos grandes almacenes utilizan un elevado número de bombillas. Los datos que se conservan sobre dos lotes de 1.000 unidades cada uno adquiridos a proveedores distintos (y competidores entre sí) muestran los resultados que recoge la Tabla 1.5. Se puede relacionar el porcentaje de bombillas que todavía funcionan con la probabilidad de que cualquier bombilla seleccionada al azar siguiera aún funcionando. En otras palabras: las dos curvas de la Figura 1.4 pueden verse como los patrones de fiabilidad de las bombillas suministradas por los dos proveedores. El producto del proveedor B es claramente superior, ya que es más fiable para cualquier período de medida.

EL CONTROL DE CALIDAD EN PERSPECTIVA

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TABLA 1.5. Funcionamiento de las bombillas Porcentaje de bombillas que aún funcionan Horas

Proveedor A

0 200 400 600 800 1.000 1.200 1.400 1.600 2.000

100 92 85 71 59 43 34 25 17 12

Proveedor B 100 98 96 93 88 80 71 61 52 46

Figura 1.4. Vida de las bombillas de los dos proveedores.

DIRECCIÓN DE CALIDAD Una empresa moderna es una telaraña de miríadas de pequeñas y grandes decisiones, su comunicación e implementación. Todos los aspectos de la pro-

18

CONTROL DE CALIDAD

ducción de tal empresa, entre ellos la calidad, dependen de cómo se llegue a estas decisiones, de la estructura de la red de comunicaciones y de la consiguiente implementación. En un momento dado, todas las personas, cualquiera que sea su nivel en la empresa, desde el presidente del Consejo hasta cualquier obrero, influyen en la calidad. La influencia del obrero aparece clara. Ni las técnicas de control de calidad, ni los sistemas de dirección, ni los objetivos de la dirección de la empresa producen artículos de alta calidad. Sólo unos obreros motivados y bien preparados, que usan un equipo idóneo y materiales adecuados, pueden obtener productos de alta calidad. Cualquier esfuerzo dirigido a mejorar la calidad que prescinda de los obreros está condenado al fracaso. Los ejecutivos de niveles inferiores, como los supervisores de línea, son el último eslabón en el proceso de comunicación de decisiones y el primero en su implementación. Si dichas personas tienen dudas sobre cualquier decisión, lo más probable es que no la implementen correctamente, que lo hagan de forma inadecuada, o ambas cosas. Lo mismo ocurrirá si no entienden la importancia de la decisión. A efectos de control de calidad es absolutamente necesario que entiendan las técnicas que se utilizan —no necesariamente toda la información estadística ni todos los cálculos matemáticos, pero sí deben resultarles familiares, al menos, la aplicación mecánica de dichas técnicas y el objetivo que se persigue con cada una—. No deben pensar que el ingeniero de control de calidad es otro jefe más al que hay que satisfacer y mantener tranquilo, sino, por contrario, que es una persona que les ayuda a identificar problemas en «su» línea o en el lugar donde trabajan. Los mandos intermedios, desde los supervisores de sección hasta los gerentes de planta o división, son las responsables de la adopción de decisiones sobre las operaciones normales. Los cuatro ingredientes básicos en la fabricación de un producto de alta calidad —motivación, capacitación, equipo y materiales— dependen de tales decisiones. La calidad del producto final será todo lo buena que sean éstas. Los altos ejecutivos, desde los vicepresidentes hasta el presidente del Consejo de Administración no intervienen, por lo general, en las decisiones operativas diarias. Como el número de horas de la jornada es limitado, cualquier participación en tales decisiones les restaría tiempo para dedicarlo a su función principal: la adopción de decisiones estratégicas y de aquellas que afectan a la política general de la empresa. Su papel en cuanto a la mejora de la calidad se limita a: 1) establecer las normas generales de política empresarial; 2) crear un ambiente, en el seno de la empresa, que estimule y fomente mejores decisiones por parte de los ejecutivos intermedios, y 3) estructurar la empresa de forma que se faciliten tanto la comunicación como la implementación de tales decisiones. Se ha dicho, acertadamente, que en una empresa «la calidad es cosa de todos». CALIDAD Y PRODUCTIVIDAD La productividad es un índice para medir la eficiencia con que un proceso de fabricación transforma recursos en productos utilizables. Un operario de

EL CONTROL DE CALIDAD EN PERSPECTIVA

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una fábrica de cualquier artículo trabaja ocho horas diarias. Estas ocho horas de mano de obra son un insumo. Si el obrero produce 80 unidades/día, tales unidades se considerarán como resultados. El sistema de producción, al que llamamos «fábrica de cualquier artículo», recibe un insumo de ocho horas de mano de obra y lo convierte en 80 unidades producidas. Si algún tipo de mejora en el sistema de producción conduce a incrementar los resultados de 80 unidades a 100, se puede afirmar que el sistema de producción ha pasado a ser más productivo. El índice de productividad ha crecido desde 10 unidades/hora mano de obra hasta 12,5 unidades/idéntico insumo. La productividad y la calidad están estrechamente relacionadas. En cierto sentido, son dos formas alternativas de una misma cosa: la eficiencia en la conversión de insumos. Ambas tienen idéntico objetivo: «obtener más productos utilizables» con el mismo gasto de insumos. La única diferencia está en que el estudio de la productividad hacer mayor hincapié en la palabra «más», en tanto que la calidad subraya el término «utilizable». Supongamos que la producción de unidades a que hicimos referencia en el párrafo anterior fuera tal que sólo resultara utilizable el 75 por 100 de las unidades producidas. Cuando la producción pasó de 80 a 100, la cantidad de unidades utilizables aumentó de 60 a 75. Si, en vez de mejorar la producción, hubiera que mejorar la calidad para llevarla desde un 75 a un 100 por 100 utilizable, la cantidad de unidades útiles pasaría de 60 a 80. Dado que la productividad y calidad son esfuerzos estrechamente relacionados entre sí, la mejora de una suele llevar a mejorar la otra. En páginas sucesivas del libro se describen dos técnicas para mejorar la productividad. Una —los círculos de control de calidad— trata de mejorar la participación de los trabajadores en la dirección del puesto de trabajo. La segunda —el sistema de ficha de reposición— trata de lograr un sistema de producción constante, sin urgencias repentinas. Resulta evidente que el efecto de tales técnicas para mejorar la productividad, sobre la calidad del producto, será positivo. El trabajador que piensa que puede influir en algún modo en la solución de problemas en su puesto de trabajo, y que tiene la seguridad de que siempre dispondrá del tiempo necesario y adecuado para la realización de un trabajo determinado, producirá, naturalmente, artículos de mejor calidad. SOBRE ESTE LIBRO

El objetivo concreto de este libro es proporcionar una idea general sobre los problemas, y las técnicas disponibles para solucionarlos, de las cuatro áreas de calidad: de proyecto, de concordancia con el proyecto tanto en la vigilancia del proceso como en el muestreo de aceptación, de funcionamiento y dirección de calidad. No pretende aportar conocimientos exhaustivos sobre los principios matemáticos y estadísticos en que se basan estas técnicas. Tampoco trata de describir la investigación básica. No obstante, los autores reconocen que es esencial que cualquiera que se dedique al control de calidad tenga conocimientos sobre los principios básicos de la estadística y las probabilidades. Por ello, el Capítulo 2 incluye un repaso general de estos fundamentos. Los lectores que tengan conocimientos de importancia en el campo de la estadística y las

20

CONTROL DE CALIDAD

probabilidades pueden considerarlo superfluo y omitirlo. A otros, este capítulo les proporcionará los principios básicos necesarios. El resto de la obra se divide en tres partes. La parte II se ocupa de los aspectos de vigilancia del proceso de calidad de concordancia con el proyecto. Deqcribe cómo se crean los diferentes tipos de gráficos de control. Pretende, además, ayudar al lector a interpretar la información proporcionada por dichos gráficos. La parte III trata de los aspectos del muestreo de aceptación de calidad de concordancia con el proyecto. Aquí se destacan los procedimientos de muestreo creados por el Ministerio de Defensa de Estados Unidos. Los planes creados por dicho Ministerio, llamados estándares militares, suponen una fuente de procedimientos de muestreo fiables y fácilmente accesibles, y su utilización no está limitada en ningún caso a usos militares. La parte IV se ocupa de la calidad de proyecto y de la calidad de funcionamiento, y hace mayor hincapié en esta última. Esta parte se ocupa también de la dirección de calidad y de la interrelación calidad-productividad. Todas las partes son esencialmente independientes entre sí y se pueden estudiar en cualquier orden. Quienes necesiten conocer la visión de conjunto de estadística y probabilidades del Capítulo 2 también tienen dos alternativas: la primera, estudiar el Capítulo 2 en su integridad antes de pasar a las partes II, III y IV; la segunda empezar por leer las partes II, III y IV volviendo intermitentemente al Capítulo 2 cuando sea necesario.

2 Fundamentos de estadística y probabilidad en el control de calidad

Todo director de Control de Calidad se formula siempre las mismas preguntas sobre la situación del proceso de producción: ¿se está desarrollando como es debido? ¿Se ha producido alguna desviación de la operación normal? Si la respuesta es afirmativa, ¿exige dicha desviación que se emprenda algún tipo de acción correctora? Determinarlo es crucial para un control de calidad eficiente. Si se producen desviaciones que no se detectan o que, aun detectándose, no se corrigen, la calidad del producto se deteriorará. Pero, por otra parte, si el director se excede en las correcciones, o adopta el hábito de iniciar acciones correctoras innecesarias, los costos del control de calidad crecerán sin que ésta se beneficie en absoluto de dicho esfuerzo económico. Existen técnicas basadas en la estadística y en las de probabilidades que el director puede utilizar para adoptar decisiones correctas sobre preguntas tan importantes. En este capítulo presentamos los principios básicos de la estadística y la teoría de las probabilidades necesarios para la creación de dichas técnicas. Odioso es decir que el tratamiento que damos a ambos temas no es, ni mucho menos, exhaustivo. No pretendemos que lo sea. La única razón de su presencia en este capítulo es ofrecer a los profesionales del control de calidad ciertos conceptos básicos. Quienes tengan interés y deseen profundizar en el estudio de la estadística y la teoría de las probabilidades pueden encontrar numerosos y excelentes libros para cualquier nivel de conocimientos: básico, avanzado o especializado. En la sección correspondiente a bibliografía de este mismo libro relacionamos algunos títulos. Las técnicas mencionadas son fundamentales para diseñar cualquier programa de control de calidad. Se pueden utilizar mecánicamente, sin entender a fondo los principios estadísticos o del cálculo de probabilidades. En ocasiones, basta con enseñar el empleo de las técnicas, especialmente cuando se trata de 21

22

CONTROL DE CALIDAD

operarios de control de calidad, o de producción que mantienen datos sobre control de calidad. En numerosos programas académicos, el primer curso de control de calidad está dedicado exclusivamente a dichas técnicas, y suele denominarse control estadístico de calidad. La posición que mantiene este libro es la de que el control de calidad es la suma de todas las actividades de control, tanto directas como indirectas, destinadas a producir un artículo de gran calidad. En este sentido, el control estadístico de calidad es un aspecto concreto del control de calidad. SUCESOS Y PROBABILIDADES Cualquier suceso se caracteriza por dos cosas: la fecha en que se produjo y los datos que lo describen. Por ejemplo: determinado artículo fue producido por una prensa automática el lunes, 15 de enero de 1984 a las 15.23 horas, y tenía una longitud de 3,638 pulgadas. Ese fue el suceso, caracterizado por la fecha en que se produjo y sus datos descriptivos. Después de producirse, el suceso se conoce con absoluta certeza. Antes de que se produjera, sólo era posible adivinar sus datos descriptivos. Se utiliza la palabra «probabilidad» para aludir al grado de confianza que una persona determinada tiene sobre la ocurrencia de un determinado suceso futuro. Está claro que, después del hecho, la probabilidad de tal acontecimiento es 1 ó 0, según se haya producido o no. Pero con anterioridad la probabilidad estaba situada en algún nivel entre el 1 y el 0. Con relación al suceso a que nos hemos referido anteriormente, la longitud del producto después de haberlo fabricado es fija. Es 3,638 pulgadas o alguna otra. Simbólicamente, esto se representa así: Pr(x = 3,638) = Probabilidad de que la variable x que indica la longitud del producto tenga un valor de 3,638 1, si la longitud es, en realidad, de 3,638 0, si la longitud es distinta de 3,638 Antes de producirse el hecho, el observador no tiene certeza alguna sobre cuál será la longitud. Debe hacer una estimación basada en conocimientos previos sobre el trabajo que realiza la máquina y sobre los artículos producidos en ella. Si indica que 3 de cada 5 artículos producidos tienen una longitud de 3,638 pulgadas, podremos expresarlo así: Pr(x = 3,638) =

3 = 0,60 = 60 % 5

En este libro, la palabra probabilidad se utilizará exclusivamente para indicar probabilidad antes de que se produzca el hecho. En general, la probabilidad es un número entre el 0 y el 1, ambos inclusives. Para cualquier acontecimiento A 0 ” Pr(A) ” 1

FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EN EL CONTROL DE CALIDAD

23

El principio «los sucesos desconocidos son igualmente probables» se utiliza frecuentemente para determinar la probabilidad. Dicho principio lo formuló el matemático francés Laplace a principios del siglo XIX. Para entenderlo mejor nos serviremos de un ejemplo: supongamos que en determinado recipiente hay 3 bolas verdes y 9 rojas. Se vendan los ojos a una persona y se le pide que extraiga una bola. De acuerdo con el mencionado principio, dicha persona puede sacar una cualquiera de las 12 bolas. La probabilidad de que saque una bola específica es, pues, de 1/12. La probabilidad de que la bola que tome sea roja es de 9 x 1/12, o 9/12, o un 75 por 100. Este concepto de probabilidad se denomina concepto de frecuencia relativa de la probabilidad. En este sentido, la probabilidad es una relación, una fracción:

Probabilidad=

Número de resultados que llevan al suceso Número de resultados posibles

LEYES DE PROBABILIDAD Definición. La probabilidad condicional Pr(A | B) es la probabilidad de que se produzca el suceso A si sabemos que se ha producido el suceso B. Daremos un ejemplo para comprender mejor el concepto: una caja contiene 100 piezas de plástico, que se distribuyen así:

30 piezas son redondas y de color rojo. 20 piezas son redondas y de color verde. 40 piezas son cuadradas y de color rojo. 10 piezas son cuadradas y de color verde. Si una persona con los ojos vendados saca una pieza, la probabilidad de que ésta sea redonda es de 0,50, puesto que 50 de las 100 piezas son redondas. Sin embargo, si sabemos ya que la pieza es verde, la probabilidad condicional de que sea redonda es de 0,667 puesto que 20 de las 30 piezas verdes son redondas. A = suceso que produce la extracción de una pieza redonda B = suceso que da lugar a que dicha pieza sea verde Pr (A) = 0,50 Pr (A | B) = 0,667 Definición. Se dice que dos sucesos, A y B, son estadísticamente independientes entre sí si Pr(A|B) = Pr(A) y Pr(B|A) = Pr(B).

Evidentemente, el hecho de que la pieza seleccionada sea redonda y el hecho de que sea verde no son sucesos estadísticamente independientes.

24

CONTROL DE CALIDAD

Definición. Se dice que dos sucesos, A y B, son estadísticamente dependientes cuando no son estadísticamente independientes.

Esta dependencia estadística no supone dependencia física alguna ni implica, tampoco, relación de causa y efecto. A su vez, la dependencia física o la relación de causa y efecto tampoco suponen dependencia estadística. Definición. Pr(A · B), esto es, la probabilidad de A y B es la probabilidad de que se produzcan los sucesos A y B. Pr(A + B), esto es, la probabilidad de A o B, es la probabilidad de que se produzca el suceso A o el B, o ambos. Pr(Ac), esto es, la probabilidad del complemento de A, es la probabilidad de que no se produzca el suceso. Algebra de probabilidades

Las definiciones citadas anteriormente nos permiten formular ciertas reglas algebraicas de aplicación a la teoría de las probabilidades: Propiedad complementaria:

Pr(A + A c ) = 1 Pr(A · Ac ) = 0 Propiedad conmutativa:

Pr(A + B) = Pr(B + A) Pr(A·B) = Pr(B·A) Propiedad asociativa:

Pr(A + (B + C)) = Pr((A + B) + C) Pr(A·(B·C)) = Pr((A·B)·C) Propiedad distributiva:

Pr(A· (B + C)) = Pr((A · B) + (A · C)) Pr(A + (B · C)) = Pr((A + B ) · ( A + C)) Propiedad condicional:

Pr(A·B) = Pr(B|A)·Pr(A) = = Pr(A | B) · Pr(B)

FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EN EL CONTROL DE CALIDAD

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Sucesos mutuamente excluyentes

Si los sucesos A y B son mutuamente excluyentes (por ejemplo: la ocurrencia de uno evita que ocurra el otro), entonces:

Pr(A + B) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A· B) = 0 Sencillos problemas de calidad resueltos como problemas de probabilidad

Muchos problemas para descubrir un deterioro en la calidad se pueden estudiar como problemas de determinación de la naturaleza de un suceso aleatorio. Esta sección muestra cómo varios problemas que se dan frecuentemente en la evaluación de calidad se pueden plantear como problemas de probabilidades. Si se formulan adecuadamente, se puede aplicar el álgebra de probabilidades para obtener sus soluciones. Ejemplo 2.1

Las especificaciones de cierto artículo exigen que tenga una longitud de al menos 4,00 cm. Un obrero produce 10 unidades durante una hora, de las que 3 no llegan a los 4,00 cm de largo. Un inspector selecciona 2 unidades aleatoriamente para su medición. ¿Cuál es la probabilidad de que el inspector descubra que se producen artículos que no alcanzan la longitud especificada? Planteado matemáticamente el problema es como sigue: ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las dos unidades inspeccionada sea corta? Sea: A = suceso en el que la primera unidad es corta B = suceso en el que la segunda unidad es corta Entonces, suceso en que al menos 1 unidad es corta = (suceso en que la primera unidad es corta) o (suceso en que la primera unidad tiene el tamaño normal y suceso en que la segunda unidad es corta) = = A + Ac · B | Ac

probabilidad de detección = Pr(A + A c ·B|A C ) =

= Pr(A) + Pr(Ac · B | Ac) = Sucesos mutuamente excluyentes = Pr(A) + Pr((B| Ac) | Ac) · Pr(Ac) = Propiedad condicional = Pr(A) + Pr(B| Ac) · Pr(Ac) (B|Ac)|Ac = B|A = 3 3 7 97 8  g 10 9 10 30 15

26

CONTROL DE CALIDAD

Ejemplo 2.2

Hay tres válvulas de seguridad independientes en un Chemical Reaction Vessel (podría traducirse como recipiente para reacciones químicas, pero supongo que tiene un nombre específico). La probabilidad de que la válvula X funcione adecuadamente es de 0,9; la de la válvula Y, de 0,8; y la de la válvula Z, de 0,7. ¿Qué probabilidades hay de que funcionen exactamente dos válvulas? (Las válvulas funcionan de forma independiente entre sí.) Sean X, Y, Z = casos en que las válvulas X, Y, Z funcionan (respectivamente). Tres modos posibles de que exactamente dos válvulas funcionen son: 1. X·Y·Zc. 2. X·Yc·Z. 3. Xc·Y·Z. La probabilidad de que dos válvulas funcionen = Pr(X· Y · Zc + X · Yc · Z + Xc · Y · Z) = = Pr(Z · Y ·Zc) + Pr(X · Yc · Z) + Pr(XC·Y · Z) = = Pr(X) ·Pr(Y) ·Pr(Zc) + + Pr(X) ·Pr(Yc) ·Pr(Z) + + Pr(Xc) · Pr(Y) · Pr(Z) = = (0,9)(0,8)(0,3) + (0,9)(0,2)(0,7) + (0,l)(0,8)(0,7) = = 0,398 ESPACIO, DISTRIBUCIÓN Y FRECUENCIA DE SUCESOS

Los resultados aleatorios de cualquier proceso o decisión son, todos ellos, sucesos aleatorios. El conjunto de todos ellos se denomina espacio de sucesos. Por ejemplo, cuando una persona juega a la lotería sólo pueden producirse dos sucesos posibles: que gane (= W) o que pierda (= L). El espacio de sucesos es el conjunto de dos sucesos {W, L}. Cuando se arroja un dado puede salir cualquiera de sus lados. Si éstos están numerados del 1 al 6, el espacio de sucesos será el conjunto de seis sucesos {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Un husillo fijo en un torno puede tener un diámetro situado entre 1,365 y 1,375 cm. En este caso, cualquier número real situado dentro del recorrido entre 1,365 y 1,375 representa un suceso posible. Este espacio de sucesos puede considerarse continuo e infinito, mientras que los espacios de sucesos para el lanzamiento de un dado o jugar a la lotería son discretos y finitos. Cuando cualquier suceso dentro de un espacio de sucesos está representado por un número, éste se denomina espacio de sucesos numéricamente valorado. En los ejemplos citados, la lotería no produce un espacio de sucesos numéricamente valorados, el husillo sí. Los resultados de un espacio de sucesos numéricamente valorados se consideran valores diferentes de una variable aleatoria. En el caso del husillo, se dice que la variable aleatoria D = diámetro, tiene valores en el recorrido entre 1,365 y 1,375, y cada suceso del espacio de sucesos se describe cuando la variable aleatoria D tiene algún valor numérico determinado. En el análisis de problemas de control de calidad es preciso tratar exclusivamente de variables aleato-

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27

rias en vez de sucesos. Aunque en esta sección se define la «distribución de probabilidades» sólo para sucesos, en otros capítulos y secciones se utilizarán las distribuciones de variables aleatorias. Definición. El conjunto de las probabilidades de todos los sucesos de un espacio de sucesos se denomina distribución de probabilidad de dicho espacio de sucesos.

La distribución de probabilidad suele tener interés cuando el espacio de sucesos es numéricamente valorado. Sin embargo, hay espacios de sucesos que no son numéricamente valorados y tienen una distribución de probabilidad. Por ejemplo, en el caso de la lotería, la distribución de probabilidad puede posiblemente darse como P(W) = 0,0001, P(L) = 0,9999. Esta es una distribución de probabilidad completa. Definición. La función que asigna un valor a la probabilidad de cada suceso en el espacio de sucesos se denomina función de probabilidad.

Así pues, la función de probabilidad de los resultados de lanzar un dado son:

Pr(x = k) =

1 6

para k = 1, 2, 3, 4, 5 ó 6

Para espacios continuos de sucesos existe muchas veces una función f(·), definida por todos los números reales x que describe el espacio de sucesos y que satisface la relación

La función f(·) se denomina función de densidad de probabilidad (FDP) de la función de probabilidad Pr(·). Como todas las integrales de f(·) deben ser probabilidades, la función f(·) debe satisfacer tres requisitos: para cualquier x del espacio de sucesos. para cualquier suceso fuera del espacio de sucesos. Del mismo modo, la función de probabilidad debe también satisfacer los siguientes requisitos: 1. Pr(E i ) • 0 para cualquier suceso E i del espacio de sucesos. 2. Pr(U(E i )) = 1 donde U(E i ) es el conjunto de todos los sucesos del espacio de sucesos. 3. Pr(E i) = 0 para cualquier suceso fuera del espacio de sucesos. Estos requisitos pueden utilizarse para probar si una función se puede considerar función de probabilidad o función de densidad de probabilidad.

28

CONTROL DE CALIDAD

Ejemplo 2.3

¿Puede la función f(·), dada por la ecuación [2.1], ser una función de densidad de probabilidad? f(x) = x - x 2 = =0

0 ” x ”2 en caso contrario

La respuesta es negativa porque f(x) es negativa para x > 1. Ejemplo 2.4

¿Puede la función Pr(·), dada por la ecuación [2.2], ser una función de probabilidad? Pr(x) =

x = 15

para x = 1, 2, 3, 4, 5 [2.2]

=0

en caso contrario

Aquí se satisfacen la primera y la tercera de las condiciones citadas. Para probar la segunda puede determinarse la probabilidad de U(E¡) Pr(U(Ei)) = Pr(x = 1) + Pr(x = 2) + Pr(x = 3) + Pr(x = 4) + Pr(x = 5) = 1 2 3 4 5     1 15 15 15 15 15 Por tanto, esta función puede calificarse de función de probabilidad. Definición. Cuando un espacio continuo de sucesos está formado por todos los números reales en el recorrido entre un valor mínimo k y un valor máximo m, la integral t ³k f ( x ) dx

F (t )

k dtdm

se denomina función de probabilidades acumuladas en t. Para un espacio discreto de sucesos la función de probabilidades acumulativas viene dada por la suma t ¦ Pr( x j k

j)

ESPERANZAS MATEMÁTICAS Y MOMENTOS

La esperanza matemática o valor esperado de una función h(x) de una variable aleatoria se define como E[ h( x )]

³ h( x ) f ( x ) dx ¦ h( x ) Pr( X

x)

si x es continuo si x es discreto

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29

La afirmación anterior implica que si x es una variable aleatoria con una función de densidad de probabilidad f(x) o Pr(X = x) y se observan los valores de la función h(x) durante un período prolongado, los valores observados, como promedio, tendrán un valor dado por la ecuación [2.3]. Aunque para la mayoría de las funciones se puede definir y calcular una esperanza matemática, las esperanzas matemáticas de dos tipos de funciones son de gran interés en el estudio del control de calidad. 1. Las esperanzas matemáticas de las potencias de x, tales como x, x2, x3. Estas potencias se conocen como momentos de x. El momento de mayor importancia es el primer momento, la propia esperanza matemática de x. Este valor, E(x), se representa generalmente por la letra P , y se denomina media de la variable aleatoria x.

Definición

media = E(x) = P x 2.

[2.4]

Esperanzas matemáticas de las potencias de la diferencia (x — P ), tales como (x — P ), (x — P ) 2 , (x — P ) 3 , etc. Se denominan momentos centrales. El momento central de mayor importancia es el segundo momento central, o la esperanza matemática de (x — P ) 2 . Este valor, E(x — P ) 2 se representa generalmente por el símbolo a 2 , y se conoce como la varianza de la variable aleatoria x.

Definición

varianza = E(x - P ) 2 = ı 2 x

[2.5]

La media y la varianza describen dos de las características más destacadas de la distribución de cualquiera de los datos aleatorios. La media es una medida de la tendencia central y la varianza es una medida de la variabilidad. Una medida alternativa de la variabilidad es la raíz cuadrada de la varianza, o a. Esta medida se conoce como la desviación estándar de la variable aleatoria x. Hay que recordar que los que se definen en esta sección son los momentos para la función de densidad de probabilidad completa, esto es, la población de todos los sucesos posibles para todos los valores factibles de x. Existen dos importantes relaciones dentro de las esperanzas matemáticas: 1. 2.

Si k es una constante, E[k · h(x)] = k · E[h(x)]. Si h 1 (x) y h 2 (y) son dos funciones de las variables x e y, entonces E[h 1 {x) + h 2 {y)] = E[h 1 (x)] + E[h 2 {y)].

Ambas relaciones se pueden probar expresando la esperanza matemática como una integral. Se pueden utilizar estas relaciones para determinar las medias y varianzas de las sumas de variables aleatorias.

30

CONTROL DE CALIDAD

ALGUNAS DISTRIBUCIONES ÚTILES PARA EL ESTUDIO DEL CONTROL DE CALIDAD Distribución hipergeométrica

Si una urna1 contiene N bolas, de las que n son rojas y el resto, N — n, son verdes, y se selecciona una muestra y de dicha urna, es posible que algunas de esas bolas sean rojas. La cantidad x de bolas rojas de la muestra es una variable aleatoria discreta y tiene valores dentro del recorrido entre 0 e y. Definamos los sucesos: E = seleccionar y bolas entre N bolas E 1 = seleccionar x bolas rojas entre n bolas rojas E 2 = seleccionar y — x bolas siempre que se seleccione una muestra El suceso E se produce siempre que se seleccione una muestra de tamaño y. El suceso conjunto E Y y E 2 se da cuando exactamente x de las bolas y bolas son rojas. Probabilidad de x = Pr(x) = =número de maneras en las que pueden ocurrir E l y E 2 número de maneras en las que puede ocurrir E 1

[2.10]

A los estadísticos les gusta guardar las bolas en una urna. Se puede usar cualquier recipiente ordinario sin que ello afecte en modo alguno a los resultados matemáticos.

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31

§ n ·§ N  n · ¨ ¸¨ ¸ © x ¹© y  x ¹ §N· ¨ ¸ ©y ¹ § p· En la expresión del lado derecho de la ecuación [2.10] el símbolo ¨ ¸ ©q ¹ representa el número de combinaciones de p cosas tomadas de q en q. Este número de combinaciones se calcula de la manera siguiente:

§ p· ¨ ¸ ©q ¹

p! q !( p  q )!

[2.11]

en la que p! es el «factorial de p» o el producto de los términos p, p — 1,p — 2, etc., hasta llegar a 1.

Pr( x)

§ n·§ N  n· ¨ ¸¨ ¸ © x¹© y  x ¹ §N· ¨ ¸ ©y ¹

[2.12]

n !( N  n)! y !( N  y )! x !( n  x)!( N  n  y  x)!( y  x)! N !

Ejemplo 2.5 Si la urna contiene 10 bolas de las que 4 son rojas y se toma una muestra de 3 bolas, ¿cuál es la probabilidad de que una de dichas bolas sea roja? Aquí N = 10, n = 4, y = 3, x = 1.

P r( x )

§n·§ N  n· ¨ ¸¨ ¸ © x¹© y  x ¹ §N · ¨ ¸ © y ¹

o

§4·§6· ¨ ¸¨ ¸ 1 2 P r(1 )= © ¹ © ¹ §10 · ¨ ¸ ©3 ¹

4!

˜

6!

1!3 ! 2 ! 4 !

˜

3 !7 ! 10 !

6 !7 !

6u5u 4

1

3 ! 2 !1 0 !

2 u 10 u 9 u 8

12

32

CONTROL DE CALIDAD

La distribución hipergeométrica es la distribución natural y básica aplicable a la mayoría de las situaciones que se dan en el control de calidad. Cuando un comprador adquiere grandes cantidades de determinados artículos, puede resultarle antieconómico inspeccionar todos y cada uno de ellos. Hay que llegar a conclusiones basándose en una inspección por muestreo. Vamos a presentar un problema de inspección por muestreo. Ejemplo 2.6

Una empresa adquiere grandes cantidades de resistencias. El fabricante suele prepararlas en cajas de 1.000 unidades. Las especificaciones exigen que el número de defectuosas sea menor del 1 por 100. Para realizar pruebas puede que la empresa ordene al inspector que tome una muestra de 20 resistencias de cada caja y que pruebe cada una de ellas. Si el producto, tal como se envía, contiene el 1 por 100 de artículos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que el inspector no encuentre más de un elemento defectuoso? N = 1.000, n = 10(1 % de 1.000), y = 20. probabilidad requerida2 = Pr(0) + Pr(l) =

§ 10 ·§ 990 · § 10 · § 990 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ © 0 ¹© 20 ¹  © 1 ¹ © 19 ¹ § 1000 · § 1000 · ¨ ¸ ¨ ¸ © 20 ¹ © 20 ¹

0, 97

Si el inspector realmente encuentra 2 o más elementos defectuosos, estará plenamente justificado que llegue a la conclusión de que el producto no es defectuoso al 1 por 100, como exigen las especificaciones, sino que el porcentaje de elementos defectuosos es mayor. En consecuencia, el inspector puede rechazar el envío. Desgraciadamente el carácter de esta distribución hace que resulte casi imposible crear tablas de valores fácilmente utilizables. Ha de calcularse cada probabilidad de forma individual, valiéndose de largas y tediosas multiplicaciones. Por esta razón, aunque es la natural, la distribución hipergeométrica se usa muy poco en control de calidad. En la mayoría de los casos se usa una distribución aproximada adecuada. Distribución binomial

Si se lleva a cabo una serie de N pruebas y el resultado de cada una es un «éxito», con una probabilidad ce, o un «fracaso», con una probabilidad 1 — a, y los resultados de dichas pruebas son independientes entre sí, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente x de dichas pruebas sean «éxitos»? Supongamos que N = 3 y que x = 1. Si se contemplan las tres pruebas como secuencia, hay tres maneras en que sólo una muestre un éxito. Dichos

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modos son FFE, FEF y EFF. En general, un número exacto x de éxitos sobre

§ · N pruebas puede producirse de ¨ N ¸ modos diferentes. ©x ¹

Dado que las pruebas son independientes, pueden multiplicarse las probabilidades de sucesos separados para darnos la probabilidad de un suceso conjunto. Por ello la probabilidad de x éxitos y N — x fallos viene dada por Į x (l - Į) N - x La probabilidad de que x de N pruebas sean éxitos viene dada por

§N· x N-x ¸ Į (l - Į) x © ¹

Pr(x) = ¨

[2.13]

Esta distribución se llama distribución binomial, ya que la probabilidad de x es exactamente el término (x + i)-simo en la expansión binomial de [(Į) + (1 - Į)] N Como corolario, puede verse que la suma de las probabilidades de todos los posibles valores de x, desde 0 hasta N, es 1.

N ¦ Pr( x ) x 0

N §N· x N x ¦ ¨ ¸ D (1  D ) x 0© x ¹

[(D )  (1  D )] N

1N

1

Ejemplo 2.7 Si se lanza seis veces una moneda ordinaria, ¿cuál es la probabilidad de que salga «cara» exactamente dos veces? Aquí N = 6, x = 2. Como se trata de una moneda ordinaria, la probabilidad de que salga cara es 0,5, o lo que es lo mismo a = 0,5. 6 §N· x §6· 6! § 1 · 15 N x  2 4 Pr(2 caras ) ¨ ¸ D (1  D ) (0, 5 )(0, 5 ) ¨ ¸ ¨ ¸ 2!4! © 2 ¹ 64 ©x ¹ © 2¹ La Figura 2.1 muestra la distribución completa de la variable aleatoria x, el número de «caras» en seis lanzamientos de una moneda ordinaria. La distribución binomial se aplica al control de calidad de dos formas diferentes. En primer lugar, es la distribución natural al considerar la calidad de los elementos que se producen secuencialmente. Aquí cada elemento que se produce es una nueva prueba. En segundo lugar, puede utilizarse como una aproximación de la distribución hipergeométrica. Se ha tabulado un número limitado de valores de la distribución binomial. Sin embargo, en la mayoría de los casos no es difícil calcular los valores individualmente.

34

CONTROL DE CALIDAD

Figura 2.1. Número de «caras» en seis lanzamientos de una moneda ordinaria.

Distribución de Poisson

Siempre que la probabilidad de que se produzca un suceso determinado sea muy pequeña en cualquier instancia específica, pero, a la vez, el número de instancias posibles sea enormemente grande, la distribución de los sucesos se realiza mediante la distribución de Poisson. eO O x x!

Pr( x)

en donde k es una constante. Un ejemplo clásico de la distribución de Poisson ha sido el estudio del número de soldados del ejército prusiano que sufrieron la coz de una muía. La probabilidad de que una muía coceara a un soldado era muy baja, ya que son, por naturaleza, animales muy dóciles. Por otra parte, el número de soldados en el ejército prusiano era muy elevado. La probabilidad acumulada para la distribución de Poisson, se han tabulado en la Tabla A3.1. Los valores aproximados pueden obtenerse en el gráfico modificado de Thorndyke que se presenta en la Figura 2.2. Este gráfico nos da la probabilidad de que se produzcan x o menos «éxitos» en una muestra de n cuando la media de éxitos es p. En estas condiciones el parámetro X viene dado por

O

n˜ p

La distribución de Poisson también se utiliza de dos formas en el control de calidad. En primer lugar, da una buena aproximación, en ciertas condiciones,

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35

36

CONTROL DE CALIDAD

de la distribución binomial. La segunda aplicación se ilustra con el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.8

Un proveedor suministra una gran cantidad del artículo CXB-12, y en el pasado se ha observado que el 1 por 100 es defectuoso. Si se inspecciona una muestra de 100 unidades de CXB-12, ¿cuál es la probabilidad de que se encuentren exactamente 3 defectuosos? n ˜ p 100 u 1% 1, 00 e O ˜ O x e 1 ˜ 13 Pr(3) | 0, 062 3! x!

O

Distribución normal

En los primeros años del siglo XIX el matemático alemán Cari Friedrich Gauss observó que gran cantidad de fenómenos naturales seguían una distribución caracterizada por: 1. La probabilidad de ocurrencia aumenta a medida que la variable se acerca a su valor medio y disminuye cuando se desvía de dicho valor medio. 2. Las ocurrencias por encima y por debajo de la media son igualmente probables. 3. Aunque la mayoría de las desviaciones de la media son pequeñas, es posible, aunque muy raro, que se produzcan grandes desviaciones de la media. Una función de probabilidad con tales características tiene la forma de campana que muestra la Figura 2.3. Gauss mostró su fórmula matemática: f ( x)

2 2 1 e  ( x  P ) / 2V 2SV

[2.15]

donde P y ı son constantes (parámetros). Tanto e como S tienen el significado normal de las matemáticas tradicionales (e — base de los logaritmos neperianos = 2,71828; S = relación entre la circunferencia y el diámetro = 3,1416...). Esta distribución se conoce como distribución normal, como la que puede esperarse que se dé normalmente, o como distribución de Gaus, en homenaje a su creador. Para estudios de control de calidad, la distribución normal se utiliza de tres formas. En primer lugar, se puede esperar su uso cuando se miden ciertas características de calidad de un producto3. En segundo lugar, en ciertas condi3

La distribución de frecuencia del «diámetro» que aparece como un histograma en la Figura 2.7, es una distribución normal.

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37

ciones puede resultar una aproximación útil a la distribución binomial y, también, a la distribución hipergeométrica. Por último, se puede demostrar que la distribución de los valores característicos medios en muestras grandes tiende a seguir la distribución normal con independencia de la distribución de los datos originales de las muestras. (Hay ciertas condiciones que deben cumplirse y que se explican en la sección siguiente.)

Figura 2.3. Densidad de función normal (o de Gauss).

A causa de su gran utilidad, la distribución normal se representa tanto como f ( x)

1 2SV

e

( x  P )2 /2V 2

38

CONTROL DE CALIDAD

así como mediante la función acumulativa

I ( x)

³

x

f ( x)dx

f

Como caso especial, si la media = 0 y la varianza ı 2 = 1,

1  x2 / 2 e 2S

f ( x)

Se dice que esta variable x tiene una distribución normal estándar. La variable x se denomina variable aleatoria normal estándar. Es fácil ver que si una variable y tiene la función de densidad de probabilidad 2 2 1 e  ( y  P ) / 2V 2SV

f ( y)

la varianza z = (y — P )/ı es una variable aleatoria normal estándar y

1  z2 / 2 e 2S

f ( z)

La función de distribución de z es sólo función de la variable y no incluye parámetro alguno. Las Tablas Al y A2 dan los valores de probabilidad acumulada y la función de densidad de la variable aleatoria normal estándar. Estos valores se pueden utilizar para obtener los correspondientes de cualquier variable con una distribución normal, así como los valores específicos de la media y la varianza.

Ejemplo 2.9 Una máquina llena un recipiente con una cantidad medida de café. El peso del café en cada recipiente tiene una distribución normal con una media de 510 g de café y una desviación estándar de 4 g. ¿Cuál es la probabilidad de que un recipiente escogido al azar contenga menos de 500 g de café? Sea y = peso del café en el recipiente. Entonces,

f ( y)

1 2S ˜ 4

La cantidad z

y  510 4

e  ( y 510)

2

/ 2(4)2

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39

tendrá una distribución normal estándar

f ( z)

1  z2 / 2 e 2S

Cuando y = 500, z = (500 – 510)/4 = –2,5. Por tanto,

Pr( y d 500) Pr( z d 2,5)

³

2,5

f

f ( z )dz

Esta cantidad aparece tabulada en la Tabla Al como 0,0048. La probabilidad de que un recipiente tomado al azar contenga menos de 500 g de café es de 0,0048.

Distribuciones exponencial y de Weibull

Las distribuciones normal, binomial y de Poisson se usan ampliamente en trabajos de control de calidad. Otras dos distribuciones, exponencial y de Weibull, resultan útiles cuando la calidad de funcionamiento se mide en términos de fiabilidad del producto. La distribución exponencial viene dada por

f ( x)

1

T

e x /T

para x • 0

y

F ( x) 1  e  x / T La Figura 2.4 muestra la forma de las funciones de densidad exponencial. La distribución de Weibull viene dada por

f ( x)

E § x J · D ¨© D ¸¹

E 1

ª § x  J ·E º exp «  ¨ ¸ » «¬ © D ¹ »¼

para x t J

y

ª § x  J ·E º F ( x) 1  exp «  ¨ ¸ » ¬« © D ¹ »¼ Los tres parámetros Į, ȕ, Ȗ se llaman parámetro de escala, parámetro de forma y parámetro de situación, respectivamente. Según los valores de dichos parámetros, la función de densidad de Weibull puede adoptar gran variedad de formas, que aparecen en el Capítulo 19.

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CONTROL DE CALIDAD

Figura 2.4.

Función de densidad exponencial.

JERARQUÍA DE APROXIMACIONES Como se ha dicho, la distribución hipergeométrica es la distribución básica y natural aplicable a casi todos los casos en que se aplique control de calidad. La población está formada por todos los elementos fabricados o comprados y es, por tanto, finita, las muestras inspeccionadas no son demasiado pequeñas y cada elemento tiene una característica binaria: «satisfactorio» o «no satisfactorio». Sin embargo, para los ingenieros no es fácil utilizar la distribución hipergeométrica. Resulta casi imposible crear tablas fácilmente asequibles y utilizables. Todas las probabilidades deben calcularse por separado y suponen el cálculo de varios factoriales. Para evitar tal complejidad se utiliza una jerarquía de aproximación. Primero se hace una aproximación a la distribución hipergeométrica por medio de la distribución binomial. Luego se hace una aproximación a la binomial por medio de la distribución de Poisson o de la normal (Fig. 2.5). Aproximación 1

Siempre que el tamaño de la muestra, y, es excesivamente pequeño con relación a N, esto es, cuando la población N antes del muestreo es aproximadamente igual a la población N — y después del muestreo, la distribución hipergeométrica

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41

§ n·§ N  n· ¨ ¸¨ ¸ © x¹© y  x ¹ §N· ¨ ¸ ©y ¹

Pr( x )

puede ser aproximada por la función de probabilidad binomial

§ y· x y x ¨ ¸ D (1  D ) x © ¹

Pr( x )

en la que el parámetro Į = n/N. Aunque, en términos estrictos, la aproximación sólo puede utilizarse cuando y es «extremadamente pequeño» con relación a N, en la práctica se puede utilizar la aproximación siempre que y sea menor que el 10 por 100 de N.

Figura 2.5.

Jerarquía de aproximaciones.

Aproximación 2

Siempre que el parámetro a sea aproximadamente igual a 0,5, la función de probabilidad binomial Pr( x )

§N· x N x ¨ ¸ D (1  D ) ©x ¹

puede ser aproximada por medio de la función de densidad normal f ( x)

ª 1 § x  P ·2 º exp «  ¨ ¸ » 2SV «¬ 2 © V ¹ »¼ 1

donde los parámetros P y ı 2 son iguales a NĮ y NĮ(1 — Į), respectivamente.

42

CONTROL DE CALIDAD

Aquí, una vez más, aunque a debería ser aproximadamente 0,5, la aproximación puede utilizarse sin excesivo riesgo de pérdida de precisión en un amplio recorrido de a desde 0,1 hasta 0,9. Aproximación 3

Cuando el parámetro a es muy pequeño y/o NĮ, es un número pequeño, la función de probabilidad binomial

§N· Pr( x) ¨ ¸ D x (1  D ) N  x ©x ¹ puede ser aproximada por medio de la función de probabilidad de Poisson

Pr( x)

e x O x x!

donde el parámetro O = NĮ. Por razones de conveniencia, la aproximación de Poisson a la binomial se utiliza en todos los casos en que no se puede utilizar la aproximación normal. Aproximación 4: Teorema del límite central

Esta última aproximación no describe aproximadamente una distribución hipergeométrica. Describe el comportamiento aproximado de la distribución de probabilidad del valor medio de una muestra de cualquier población. Esta aproximación se presenta como un teorema llamado del límite central. Teorema. Si x1, x2,…, xn son n muestras tomadas de una población con una media finita P y una varianza finita ı2, y si x representa la media (x1 + x2 + …+ x n )/n, la cantidad

tiene una distribución normal con una media 0 y una varianza 1 cuando n sea lo suficientemente grande. La expresión «« sea suficientemente grande» es bastante vaga. La magnitud del valor de n para proporcionar una aproximación «razonablemente buena» dependerá de la distribución de probabilidad de la población de x. Si la distribución de x tiene la forma aproximada de una campana y es simétrica, el teorema del límite central da una aproximación razonablemente buena para un n tan pequeño como 4. Afortunadamente, para su aplicación al control de calidad, la mayoría de los casos de artículos manufacturados caen dentro de este grupo. Esto supone que se pueden basar los procedimientos de control en

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43

TABLA 2.1. Distribución de frecuencia Intervalo

Designación

Frecuencia

0-0,15 0,15-0,25 0,25-0,35 0,35-0,45 0,45-0,55 0,55-0,65 0,65-0,75 0,75-0,85 0,85-1,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 13 91 226 316 t249 90 15 0

el comportamiento de las medias de pequeñas muestras, aunque la distribución de la propia característica sea completamente conocida. Para demostrar el teorema del límite central se seleccionaron 1.000 muestras de seis números aleatorios de una distribución uniforme con un recorrido entre 0 y 1 (Tabla 2.1). La Figura 2.6 muestra la distribución de frecuencia de los valores medios de esas 1.000 muestras.

Figura 2.6. Ilustración del teorema del límite central.

FUNCIONES DE PROBABILIDAD EN LA PRÁCTICA En procesos de fabricación, muchas de las dimensiones características de un producto son variables aleatorias. Sólo en contados casos es posible obtener las

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funciones de densidad de probabilidad exactas para esas variables usando la simple lógica (como en el caso del lanzamiento de un dado). Normalmente se hace necesario obtener una estimación de la función observando una pequeña muestra de la producción real. A continuación presentamos un ejemplo típico sobre cómo se puede estimar una función de densidad de probabilidad. La Tabla 2.2 es un listado de datos en bruto obtenidos mediante la medición del diámetro externo de una muestra de 100 componentes hechos a máquina. La alusión a componentes hechos a máquina tiene por objeto dar mayor sentido al análisis en beneficio del estudiante. Hay que dejar sentado que se aplican los mismos principios con independencia de lo que se produzca, o de que la medición se realice en pulgadas, centímetros, libras por pie, kilos por centímetro cuadrado, ohmios de resistencia, etc. El factor determinante es si la medida es o no de tipo continuo.

TABLA 2.2. Datos en bruto obtenidos por la medición de 100 componentes hechos a máquina ( + 0,3800)

0,0024 0,0036 0,0029 0,0036 0,0040 0,0025 0,0019 0,0029 0,0058 0,0050 0,0041 0,0026 0,0043 0,0057 0,0007 0,0037 0,0037 0,0048 0,0045 0,0024 0,0030

0,0043 0,0066 0,0036 0,0031 0,0034 0,0020 0,0038 0,0034 0,0037 0,0037 0,0025 0,0025 0,0048 0,0024 0,0032 0,0021 0,0043 0,0040 0,0039 0,0025 0,0027

0,0024 0,0025 0,0032 0,0041 0,0048 0,0048 0,0037 0,0033 0,0032 0,0039 0,0056 0,0036 0,0053 0,0036 0,0044 0,0035 0,0021 0,0045 0,0028 0,0021 0,0029

0,0048 0,0033 0,0019 0,0035 0,0042 0,0041 0,0039 0,0035 0,0045 0,0031 0,0024 0,0046 0,0032 0,0019 0,0037 0,0011 0,0043 0,0028 0,0039 0,0041 0,0048

0,0022 0,0025 0,0044 0,0035 0,0041 0,0021 0,0051 0,0025 0,0041 0,0022 0,0033 0,0019 0,0034 0,0036 0,0027 0,0034

En esta forma no se puede sacar mucho en limpio de los datos. Una ordenación de frecuencias de los datos de mayor a menor mejoraría las cosas. La Tabla 2.3 muestra esta ordenación descendente con el número de ocasiones en que se ha producido cada medida marcado tantas veces como aparece en los datos recogidos directamente. Aunque suponga una mejora con relación al simple listado, la ordenación de frecuencias sigue siendo suficiente para proporcionar una estimación de la

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TABLA 2.3. Ordenación de frecuencias de datos (x 10.000 y +0,3800) de la Tabla 2.2

función de densidad de probabilidad. Para obtener dicha estimación, haga lo siguiente: 1. Prepare una hoja para marcar de distribución de frecuencias agrupadas, con los encabezamientos «intervalo de clase», «marca», f, d, fd, f(d)2 (véase Tabla 2.4). 2. Determine el recorrido de los datos. Para este ejemplo el recorrido = 66 - 7 = 59. 3. Divida el recorrido del paso 2 por un número tal que el resultado se sitúe entre 10 y 20. (Queremos destacar que esto es a título de guía. A veces pueden resultar aceptables sólo 7 grupos y otras puede llegarse hasta 30 grupos.) Para nuestro ejemplo: 59/5 = 12. 4. Seleccione de la lista preferente que sigue el número más próximo al utilizado. El número así seleccionado representará el tamaño del intervalo de clase que se va a utilizar. Los intervalos preferidos son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15 o cualquier múltiplo mayor de 5. Para nuestro ejemplo el intervalo usado es 5. 5. Escriba los límites de cada intervalo en orden descendente dentro de la columna de intervalos de clase de la hoja de marcar. Esto, junto con el otro paso, aparece ya hecho en la Tabla 2.4. Los límites de un intervalo

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son sus valores más alto y más bajo. Empiece en la parte superior con el intervalo mayor y continúe hasta incluir el intervalo con la observación más pequeña. 6. Marque las observaciones en el intervalo de clase adecuado. La ordenación de la Tabla 2.3 se utilizó sólo como ejemplo ilustrativo, de manera que este marcado se llevará a cabo partiendo de los datos tomados directamente. 7. Cuente las marcas de cada intervalo y escriba el resultado en la columna f. 8. Divida cada uno de los números de la columna f por el número total de marcas, Ȉf Esta es la función de densidad de probabilidad estimada. Esta función se conoce, también, como de distribución de frecuencia, ya que indica la frecuencia relativa de ocurrencia dentro de cada intervalo. TABLA 2.4. Hoja para marcar de distribución agrupada de frecuencias para los datos del ejemplo

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA La imagen visual de la función de densidad se puede refinar de varias maneras. La Figura 2.7 muestra diversos tipos de expresiones gráficas con sus nombres apropiados. La Figura 2.7a es un histograma; la Figura 2.7b muestra tanto un polígono estimado real y una estimación redondeada de cómo pudiera ser la función. La Figura 2.7c muestra la frecuencia acumulada de las observaciones existentes en los intervalos por debajo de cada intervalo de clase.

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Figura 2.7. Gráficos de datos del ejemplo.

probabilidad acumulada=

suma de frecuencias menores que el límite superior del intervalo número de observaciones

Este tipo de curva se llama ojiva o curva «menos que». En la Figura 2.7d, la escala vertical está ajustada de forma que la probabilidad acumulada de una función de probabilidad normal aparecerá como una línea recta. Las distribuciones similares a la normal, como la del ejemplo, se aproximarán a una línea recta. Al representar o construir gráficamente distribuciones de frecuencias agrupadas, es conveniente advertir al estudiante para que observe cuidadosamente

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los límites de los intervalos. Observe que, en el ejemplo, los límites de cada intervalo son 65-69, 60-64, 55-59, etc. Por tanto, los intervalos no se superponen en cuanto a sus límites. Observe, también, que el intervalo marcado «6965» incluye todas las observaciones entre 69,5 y 64,5. Se puede controlar la conservación del tamaño adecuado de intervalo evitando superposiciones y restando sucesivamente el tamaño de intervalo del límite del intervalo anterior. Para aclarar esto convendrá comparar con la Tabla 2.4. ESTIMACIONES Y SUS DISTRIBUCIONES Parámetros y sus distribuciones Tanto los histogramas como los polígonos redondeados de frecuencia dan una estimación muy grosera de la función de frecuencia. Para obtener estimaciones mejores y más utilizables de la función de frecuencia o función de probabilidad es necesario utilizar métodos matemáticos más formales. Cada función de frecuencia o de probabilidad implica tres tipos de elementos: 1. Variables aleatorias. 2. Números conocidos o constantes. 3. Elementos desconocidos que no son variables aleatorias. El último grupo de elementos se denomina parámetros. Por ejemplo, la función de probabilidad binomial viene dada por §N· Pr( x) ¨ ¸ D x (1  D ) N  x ©x ¹ Donde x es la variable aleatoria, 1 es un número conocido y tanto N como Į son «elementos desconocidos que no son variables aleatorias» o parámetros. De igual modo, la distribución de Poisson es una función de un solo parámetro con parámetro O. Los datos observados se pueden utilizar para obtener los valores estimados de esos parámetros si se puede suponer el tipo o la forma de la función de frecuencia. Cada vez que se observa una característica aleatoria, es un suceso sujeto a la función de distribución de frecuencia de la variable aleatoria que mide la característica. El conjunto de todos los sucesos posibles se llama población o universo. («Población» no es lo mismo que el espacio de sucesos al que aludimos anteriormente. ¿Por qué?) Los datos observados forman un subconjunto de esta población y se llaman muestra. Los valores de los parámetros de cualquier función de frecuencia de probabilidad están relacionados con la población. Las estimaciones de tales valores obtenidos de la muestra se llaman estimaciones, estimadores o parámetros de la muestra. Se suelen indicar añadiendo el símbolo ^. Por ejemplo, Iˆ es una estimación del parámetro desconocido I . La estimación puede ser estimación de punto, que da un valor específico para una estimación, como Dˆ = 0,3, o estimación de intervalo, como

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Estimación de punto

Una muestra aleatoria, x 1 x 2 , . . . , x n se selecciona de un proceso con función de distribución f(x, ș). Una función h en la que

Tˆ h( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) se usa para obtener una estimación 9 del valor del parámetro desconocido ș. A la función h se la denomina función estimadora o simplemente estimador. Un ejemplo de estimador es la media de la muestra utilizada para estimar la media de una distribución normal. x1 : N ( P , V 2 )

Pˆ

1 n ¦ xi ni1

Debe observarse que la estimación 9 es una función de los valores x1 . . ., xn de la muestra. En consecuencia, es una variable aleatoria y tiene una distribución de probabilidad propia. Para cualquier muestra dada, el valor Tˆ — ș se puede denominar error de estimación. Los criterios para evaluar una función h como un estimador, pueden expresarse de la siguiente forma: 1. El estimador debe ser neutral o, lo que es lo mismo, el valor esperado del error E(Tˆ — ș) será cero. 2. El estimador debe ser consistente, o lim E[(Tˆ  T ) 2 ] 0 n of

3. La varianza del estimador debe ser tan pequeña como sea posible. Algunas funciones estimadoras útiles

Los parámetros de las tres distribuciones —normal, Poisson y binomial— pueden estimarse basándose en observaciones de la muestra y utilizando las funciones estimadoras que damos a continuación. En todos los casos, x1, x2, . . ., xn representan una muestra de observaciones. Distribución normal

El parámetro P se estima por x

n (1/ n) ¦ xi . Este estimador es neutral, i 1

consistente y de varianza mínima. El parámetro ı2 se estima mediante dos funciones estimadoras. La primera es s2 = (l/n) Ȉ (xi — x )2; la segunda es Vˆ 2 = [l/(n — 1)] Ȉ (Xi — x )2. Ninguna de ellas satisface las condiciones exigidas a un buen estimador, s2 no es neutral

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y Vˆ 2 no es una varianza mínima. Por tanto ambas se usan por razones de conveniencia. Distribución de Poisson El parámetro es estimado por

1 x

n n

¦x

i

i 1

Este estimador es neutral, consistente y con varianza mínima. Distribución binomial En la distribución binomial las observaciones xi son 0 ó 1. El parámetro a n es estimado por medio de x (1/ n) ¦ xi . El tamaño n de la muestra se toma i 1

como el parámetro N. Distribuciones de funciones de observaciones de muestras Las distribuciones de funciones estimadoras, al igual que otras funciones de valores de la muestra, resultan muy valiosas en problemas de análisis y estimación. Algunas de las distribuciones más importantes de funciones de valores muéstrales aparecen más abajo. Se omite su desarrollo para economizar espacio. 1.

Si x l, x 2 , . . ., x n es una muestra de una población normal con una media P y una varianza ı2, la distribución de x = (1/n) Ȉxi es normal con una media P y una varianza ı2/n. 2. Si x1, x2, …, xn es una muestra de una población normal con media P y varianza ı2, la función

u

§ xi  P · ¦ ¨ V ¸¹ i 1 © n

2

tiene una distribución psi-cuadrado con n grados de libertad. La función de densidad psi-cuadrado viene dada por

f (u )

1 1 u n / 2 u ( n / 2) 1e  (u / 2) [(n / 2)  1]! 2

Para todo u • 0

La distribución psi-cuadrado ha sido ampliamente tabulada y aparece en la Tabla A4.

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3.

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Si xi, x2,..., xn es una muestra de una población normal con media P y varianza ı 2 y s 2 es una estimación de ı 2 , obtenida como

s2

¦ (x  x )

2

i

n

entonces, la razón (xi — P)/s sigue una distribución t de Student con n grados de libertad. La función de densidad de Student viene dada por

h(t )

[(n  1) / 2]! 1 u 2 ( n 1) / 2 nS [(n  2)] / 2]! [1  (t / n)]

[2.17]

Para valores muy grandes del tamaño n de la muestra, la función de densidad t de Student presenta la forma aproximada de una función de densidad normal. La distribución t de Student ha sido tabulada y aparece en la Tabla A5. 4. Si u y v son dos variables aleatorias distribuidas psi-cuadrado con n y k grados de libertad, respectivamente, su razón

F

u/n v/k

ku nv

sigue la distribución F con n y k grados de libertad. La distribución F es considerablemente compleja, pero ha sido tabulada para su uso práctico y aparece en la Tabla A6.

PRUEBA DE HIPÓTESIS

Una hipótesis es una afirmación sobre las características estadísticas de un proceso o una cosa física. Una hipótesis es una conjetura. Por ejemplo: si un campesino observa el pesaje de varios cerdos de su granja, sabrá, con certeza, la media real del peso de los cerdos que observó. Puede avanzar un paso más y conjeturar que el peso medio de todos los cerdos de su granja es de k kilos. En el proceso científico tendría entonces que probar su hipótesis contra una hipótesis alternativa. Hipótesis nula H o : peso medio = k kilos Hipótesis alternativa H1: peso medio  k kilos Es importante que la hipótesis que se va a probar, Ho, se presente antes de que empiecen a recogerse los datos de la prueba. Si no se tiene en cuenta esta advertencia, es probable que los resultados sean tendenciosos. Una prueba es un procedimiento estadístico para determinar la validez de una hipótesis. En una prueba estadística, el primer paso es decidir sobre el tamaño de la muestra que debe observarse. Las observaciones que se realizan

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de esta muestra se llaman datos de la prueba. Una función de los datos de la prueba, llamada estadístico de prueba, se usa como base de la prueba. Si el valor del estadístico de prueba cae fuera del recorrido estipulado, hay razones para rechazar la hipótesis. En caso contrario, no hay base suficiente para rechazarla. La aceptación de la hipótesis es muy difícil si sólo se usan procedimientos estadísticos. Sin embargo, desde el punto de vista práctico, el «no rechazo de una hipótesis» es un sustitutivo aceptable de la «aceptación de una hipótesis». Los pasos básicos para probar una hipótesis son los siguientes: 1. Formular la hipótesis nula. El campesino consideraría que su programa para el engorde de sus cerdos ha sido un éxito si el peso medio de los animales se situara en 200 kilos. Si sospecha que su programa de engorde no tiene éxito, puede probar la hipótesis H o: P = 200 kg

contra una alternativa H1: P < 200 kg

2.

3.

4.

5. 6.

Un rechazo de la hipótesis nula verificaría sus sospechas. Si la hipótesis nula no resulta rechazada, el campesino puede tener la seguridad de que sus temores eran infundados. Especificar la probabilidad máxima a de que la prueba rechace la hipótesis nula cuando es cierta. Esta decisión se basa usualmente en un compromiso entre el costo de la prueba y el de una conclusión incorrecta. Definir un estadístico de prueba y su distribución de probabilidad suponiendo que Ho fuera cierta. Este es el paso de mayor importancia. La validez de la prueba de hipótesis depende en gran parte de que este paso se implemente de forma adecuada. Como el campesino está interesado en una hipótesis sobre la media, un estadístico aceptable sería x , el peso medio de los cerdos en una muestra de n cerdos. Podemos también asumir que los pesos de los cerdos siguen una distribución normal con media P y varianza ı2. Determinar la zona de rechazo. Esta es una zona en la que, si Ho es verdadera, la probabilidad de que el valor observado del estadístico de la muestra ocurra dentro de ella es menor que el valor a seleccionado en el paso 2. La situación exacta de esta zona vendrá dada por la distribución del estadístico escogido, en este caso x . Llevar a cabo la prueba. El campesino habrá de seleccionar aleatoriamente n cerdos de la piara, pesar cada uno y hallar la media de peso x Llegar a una conclusión. Si se estableció que la zona de rechazo para los pesos medios de 12 cerdos fueran valores inferiores a 187 kg (Fig. 2.8), se puede llegar a una conclusión comparando el valor observado con esta zona de rechazo. Si el peso medio de los 12 cerdos fuese 198 kg, el campesino carece de base suficiente para rechazar la hipótesis nula. No tendría que pensar que el programa de engorde de los cerdos es un fracaso.

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Figura 2.8. Zona de rechazo para la prueba de una hipótesis.

Ejemplo 2.10

Este ejemplo muestra una prueba unilateral de una característica que tiene una distribución normal con varianza conocida. Considérese una característica cuya distribución de probabilidad es normal, con media P y varianza ı2. Suponemos que la varianza es conocida y necesitamos probar la hipótesis H0: P = k contra una hipótesis alternativa H1:

P>k

Más aún, queremos limitar la probabilidad de no aceptar Ho cuando sea cierta para un cierto número Į. Un estadístico que puede utilizarse en esta prueba es x , la media de una muestra de n observaciones. Si Ho es verdadera, la distribución de este estadístico también es normal, con media P = k y varianza ı2/n. A continuación definimos una región crítica, esto es, la zona que indicará un rechazo de Ho. Para limitar la probabilidad de que se rechace una hipótesis cierta, la zona crítica R debe satisfacer la relación

Pr( x  R | H 0 cierta) D Como no nos preocupa que P sea menor que k (la hipótesis alternativa es P > k), la zona crítica se selecciona de forma que esté situada entre un cierto valor xc y el infinito. Entonces,

Pr( x ! xc | P

k) D

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o

ERRORES TIPO I Y TIPO II No es cierto que las conclusiones de una prueba sean idénticas a la realidad, que es, generalmente, desconocida. En la realidad, la hipótesis Ho puede ser «cierta» o «no cierta». La conclusión de la prueba puede ser «rechazar» o «no rechazar» la hipótesis. Si la conclusión es que hay que rechazar una hipótesis que no es cierta o que no hay que rechazar una hipótesis que lo es, no hay error. En otros casos, las conclusiones a que lleva la prueba pueden ser erróneas. Hay dos tipos de errores: Error de tipo I: rechazo de una hipótesis cierta. Error de tipo II: no rechazo de una hipótesis que no es cierta. Estas cuatro posibilidades se pueden mostrar de forma esquemática ( indica que no hay error en las conclusiones). Realidad

Para cualquier prueba, las probabilidades de cometer cualquiera de ambos tipos de error se representan por los símbolos Į y ȕ, respectivamente. Pr(error tipo I) = Į Pr(error tipo II) = ȕ

Potencia de una prueba

El objetivo de una prueba es discriminar entre dos hipótesis, una cierta y la otra no cierta. A este objetivo se puede llegar de diferentes formas (por ejemplo, por medio de muchas pruebas diferentes). Por ejemplo, cuando se prueba una hipótesis sobre una característica con distribución normal y varianza conocida, H o : P = 3cm

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contra una hipótesis alternativa H 1 : P = 3,5 cm

puede haber varios métodos de proyectar una prueba con Į = 0,05. Aunque todas esas pruebas tendrán la misma probabilidad de dar un aviso (por ejemplo, rechazar Ho) cuando Ho es cierta, su comportamiento diferirá cuando Ho no es cierta (H1 es cierta). Ejemplo 2.11

La Figura 2.9 muestra dos posibles pruebas para probar la hipótesis con la misma probabilidad de error del tipo I. La prueba de la Figura 2.9a es unilateral en que la hipótesis Ho se rechaza siempre que la observación esté por encima del límite U1. La prueba de la Figura 2.9b es bilateral y la hipótesis Ho se rechaza siempre que la observación esté por encima del límite U2 o por debajo del límite L1. Aunque el error

Figura 2.9. Dos pruebas alternativas para probar la hipótesis H o : P = 3 cm contra H 1 : P i = 3,5 cm.

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de tipo I es el mismo en ambos casos, el error de tipo II es significativamente diferente. Los valores aproximados de dichos dos errores son los siguientes:

Está claro que la prueba 1 es mejor que la 2. Para una única muestra, la 1 es mejor que la 2 para detectar una situación fuera de control. Se dice que «la prueba 1 es más potente que la 2». Definición.

Se llama potencia de una prueba a la cantidad 1 — ȕ.

Esta definición se usa normalmente para distinguir entre pruebas con el mismo nivel de significancia (por ejemplo, el mismo a). Más aún, para cualquier prueba, ȕ, y por consiguiente la potencia dependerá de la diferencia entre lo que constituye un estado «bajo control» y otro «fuera de control» en el proceso de producción. En el ejemplo, P = 3cm denota la situación «bajo control» y P = 3,5 cm la situación «fuera de control». La diferencia es de 0,5 cm. Si esta diferencia pasara a ser de 1,5 cm y la nueva hipótesis alternativa fuera H1: P = 4,5. cm, cualquier situación «fuera de control» se detectaría con mayor probabilidad. Dicho de otro modo: la potencia de una prueba aumentará y ȕ disminuirá. Definición. La curva característica operativa (curva OC) de una prueba es un gráfico que muestra ȕ como función de la diferencia entre la hipótesis nula y la alternativa (por ejemplo: designa los casos «bajo control» y «fuera de control»; véase Fig. 2.10). Definición. La función de potencia de una prueba es un gráfico que muestra la potencia 1 — ȕ, como función de la «diferencia» (Fig. 2.11).

En el ejemplo 2.11, la prueba 1 se consideró más potente que la 2 cuando el Į común era 0,05 y la diferencia 0,5 cm. Si la prueba 1 fuera más potente que la 2 para cualquier a común y para cualquier diferencia, tendría que considerarse «uniformemente más potente» que la prueba 2. Definición. Una prueba ș se denomina «la prueba uniformemente más potente» dentro de un grupo de pruebas W si a) ș  W y b) ș es uniformemente más potente que cualquier otra prueba I  W .

Una prueba que es uniformemente más potente dentro de un grupo se denomina «óptima» en sentido incompleto. Se obtiene un sentido más absoluto de lo «óptimo» cuando el grupo W es el de todas las pruebas. Una forma alternativa de definir lo óptimo de modo más completo se basa en la distribución de longitud de racha.

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Figura 2.10. Curva característica operativa de una prueba.

Figura 2.11.

Función de potencia de una prueba.

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Definición. Una prueba es óptima en sentido absoluto cuando su longitud de racha es estocásticamente la menor en ciertas condiciones. LONGITUD DE RACHA DE UN PROCESO DE VIGILANCIA La vigilancia de un proceso de fabricación incluye, generalmente, los siguientes pasos: 1. Observación y medida de la característica para un tamaño de muestra n, y 1 , y 2 , …,y n

2. Cálculo de un estadístico de control D, como una función de estas observaciones: D I ( y1 , y2 ,..., yn ) 3. Determinación del FDP (Función de densidad de probabilidad) de D, h(D), cuando el proceso está bajo control. 4. Determinación del nivel Į de significación y selección de una zona de aceptación R, en la que Pr(D  R) = 1 - Į 5. Una señal siempre que el estadístico de control D esté fuera de la zona de aceptación R. Estos cinco pasos se pueden denominar, de forma conjunta, proceso de vigilancia. Un gráfico de control es, sin lugar a dudas, un proceso de vigilancia. En el análisis que sigue y en otros que figuran en este libro se utilizará el término «proceso de vigilancia» en este sentido. No debe confundirse con un proceso de producción, que fabrica un producto y está sujeto a vigilancia. Una racha será el número de muestras observadas hasta que se produce el primer aviso. Cuando las primeras muestras (j — 1) no dan lugar a aviso alguno, y éste se produce en la muestra j, la longitud de racha es j. Para un proceso de vigilancia la longitud de racha, j, sería una variable aleatoria y su distribución de probabilidad, h(J) = Pr(j ” J], se denominaría distribución de longitud de racha. Las distribuciones de longitud de racha de los procesos de vigilancia, cuando el proceso de producción está bajo control, son de particular interés. Teorema. Cuando los sucesivos valores del estadístico de control son independientes, la distribución de la longitud de racha es una distribución geométrica. Para un proceso de vigilancia está especificado el nivel de significancia y la distribución del estadístico de control está predeterminada. Para cualquier muestra k, Pr (Dk  R) = Į

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Dado que los sucesivos valores D1, D2, ..., Dj son independientes, la probabilidad de conseguir una señal en la muestra y-sima, pero no antes, viene dada por Pr(longitud de racha = j) = (1 - Į) j-1

[2.19]

De aquí que la distribución de la longitud de racha h(J) venga dada por

La Figura 2.12 muestra la forma de una distribución geométrica.

Figura 2.12. Distribución de longitud de racha (distribución geométrica) para Į = 0,05.

Definición. Se dice que una variable aleatoria U es estocásticamente mayor que una variable aleatoria V, cuando para cada t, Pr(U > t) • Pr(V > t). Sea G(t, Į) una distribución geométrica con argumento t y parámetro Į: G(t, Į) = 1 - (1 - Į) t Teorema. La familia de una distribución geométrica G(t, Į); Į  (0, 1) es estocásticamente decreciente en Į.

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Sean U1 y U2 dos variables aleatorias con distribuciones geométricas G(t1, Į1) y G(t1, Į2), y sea Įl < Į2. Pr(U 1 > t) = 1 - G(t 1 , Į 1 ) = (1 - Į 1 ) t Pr(U 2 > t) = 1 - G(t 1; Į 2 ) = (1 - Į 2 ) t

Como Į1 < Į2, (1 - Į 1 ) > (1 - Į 2 ) y

(1 – Į 1 ) t > (1 – Į 2 ) t o Pr(U 1 > t) > Pr(U 2 > t) Esto implica que U1 es estocásticamente mayor que U2. Esto es aplicable a todas las parejas Įi, Įj siempre que Įi y Įj- estén dentro del recorrido entre 0 y 1. Teorema. Si una variable aleatoria U es estocásticamente mayor que otra variable aleatoria V, entonces 1. E(U)• E(V). 2. FU(t) ” FV (t) para todo t. La parte 1 es intuitiva. Para la parte 2 resulta fácil ver que Pr(U > t) • Pr(V > t) porque U es estocásticamente mayor. 1 - FU (t) • 1 - FV(t) o

FU (t) ” FV (t)

Esta relación se expresa generalmente de la siguiente forma: «la distribución de probabilidad de V está limitada por debajo por la distribución de probabilidad de U» o, alternativamente, «la variable U tiene dominancia sobre la variable V». La relación aparece en la Figura 2.13. GRADOS DE LIBERTAD En cualquier problema con n variables, un número k de dichas variables puede ser dependiente con relación a las restantes n — k variables. En tales

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Figura 2.13. Dominancia estadística.

casos, sólo se pueden escoger libremente los valores de las variables n — k. Una vez escogidos los valores de t de las variables dependientes k son fijos y no se pueden seleccionar libremente. Se puede, pues, pensar en grados de libertad como (n — número de valores fijos) o, alternativamente, como el número de opciones libres. Ejemplo 2.12

Sea X1 + X2 + X3 = +10. A cualquier par de las variables X1, X2 y X3 se le puede asignar cualquier valor (dos opciones libres = dos grados de libertad), pero una vez que dos de ellas han tomado valores, el valor de la tercera es fijo. Sea X 1 = -50

y

X 3 = +35

El valor de X 2 es fijo en +25 para que X1 + X2 + X3 = +10

Esto deberá resultar evidente de inmediato, pero se llegará al convencimiento si se practica con unos cuantos ejemplos. Para otro ejemplo, habrá que recordar que el denominador de la formula de la raíz cuadrada de la media era (n — 1). El cálculo de la media, X , partiendo de (Ȉ X)/n es neutral, pero el cálculo de ı no lo es a no ser que se considere el número de opciones libres. Dadas tres desviaciones de X respecto de X y con ( X  X )1 10

( X  X )2

5

el valor de (X — X )3 viene fijado en —15, ya que una de las propiedades de la media, X , es que la suma de las desviaciones alrededor de la media debe ser igual a cero.

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Así pues, 10 + 5 – 15 = 0 y los grados de libertad = (n — 1) = 2. La Tabla 2.5a nos da las sumas de las filas y columnas de una tabla de dos por dos. El valor rodeado por un círculo en la Tabla 2.5b muestra un valor libremente asignado. Con éste, los otros valores de la tabla son fijos según se indica. Así, en este caso hay un grado de libertad, esto es n –3 = 4 –3 = 1 grado de libertad. TABLA 2.5. Ilustración de grados de libertad para una tabla de dos por dos

En la tabla de cuatro por cuatro (filas y columnas) de la Tabla 2.6 la libre asignación de nueve valores fija los otros siete. Quizá el lector quiera verificarlo con unos cuantos problemas hipotéticos de carácter práctico. TABLA 2.6. Ilustración de grados de libertad de una tabla de cuatro por cuatro

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Hay ocasiones en que se desea comparar la variabilidad dentro de las columnas con la variabilidad entre columnas. Esto es lo que mide la combinación del gráfico X y el R. El gráfico X mide la variabilidad entre muestras de subgrupos (columnas), mientras que el gráfico R mide la variabilidad dentro del subgrupo (columna). Usando la Tabla 2.6 para el cálculo del número de grados de libertad, se pueden calcular los grados de libertad entre columnas a partir de los totales de éstas o de sus promedios. Si se trabaja con los totales se ve que se pueden asignar libremente tres de los totales de las columnas, quedando fijado el otro por los asignados libremente y el total de la tabla. Los grados de libertad dentro de las columnas son 12; esto es, hay cuatro columnas en cada una de las cuales se pueden asignar valores libremente seleccionados a tres de ellas. n – 4 = 16 – 4 = 12 Omitiendo mentalmente los totales de fila y columna y dejando únicamente el total de la columna, se ve que el total de libertad de grados para la tabla completa es n – 1 = 16 – 1 = 15 La información sobre grados de libertad para este tipo de análisis viene dada en la Tabla 2.7. Se observará que los grados de libertad entre columnas más los grados de libertad dentro de la columna dan el total de grados de libertad. TABLA 2.7. Ilustración de los grados de libertad para variaciones dentro de la columna y entre columnas

PRUEBAS DE SIGNIFICANCIA Cuando una hipótesis define de forma explícita un valor específico de los parámetros involucrados, se denomina hipótesis simple. En una prueba de Ho: ș = ș0 contra H1: ș = ș1 tanto la hipótesis nula como la alternativa son hipótesis simples. La consecuencia de rechazar la hipótesis nula sería aceptar la alternativa y produciría una mayor confianza en la hipótesis alternativa. Si la hipótesis alternativa hubiera sido H1: ș = ș0, no habría sido una hipótesis simple. En este caso, la prueba hubiera representado sólo un intento de contestar a la pregunta: ¿Es el valor observado de ș significativamente menor que ș0? Tales pruebas pueden llamarse pruebas de significancia. Una

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prueba de significancia puede ser de una cola si la zona de rechazo está sólo en un extremo del recorrido de los valores estadísticos de la prueba; si la zona de rechazo está en ambos extremos, la prueba se denomina de dos colas (Fig. 2.14).

Figura 2.14. a) Prueba de una cola (Ho:ș = ș0, H1: ș < ș0 ); b) Prueba de dos colas (Ho: ș = ș0, H1: ș  ș0 ).

Las pruebas de significancia son útiles para evaluar nuevos métodos, tratamientos o proyectos. Se puede considerar que un proyecto logra éxito cuando los resultados son significativamente mejores que los que se alcanzaban antes de utilizarlo. La probabilidad de error de tipo I o a se denomina nivel de significancia. La hipótesis nula señala que no hay diferencias entre los resultados antes y después del proyecto propuesto. La prueba descrita en el ejemplo 2.13 es de significancia.

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Figura 2.15. Prueba de significancia del ejemplo 2.13.

Ejemplo 2.13

Un granjero sabe por experiencia que el peso medio de sus cerdos después de un programa de cebado de nueve meses es de 200 kg, con una desviación estándar de 10 kg. Ha salido a la venta un nuevo alimento que se anuncia como superior para la alimentación del ganado porcino. Con objeto de verificar la autenticidad de tal afirmación, el campesino lleva a cabo una prueba usando el nuevo alimento para una muestra de 25 cerdos. Sea x el peso medio de los cerdos después del programa de cebado. Aquí la hipótesis nula es Ho:P = 200 kg, contra la alternativa H1: P > 200 kg. Sea Į = 0,05. Esta es una prueba unilateral de una característica, el peso de un cerdo, con varianza conocida. La distribución del estadístico de prueba x es aproximadamente normal con una media de 200 kg y una desviación estándar 10/ 25 = 2 kg. En la Tabla Al, la probabilidad de 0,95 nos da el nivel crítico xc como la media + 1,645 desviaciones estándar.

xc = 200 + 1,645 x 2 = 203,29 kg Después de la prueba se halló que el peso medio era de 207,80 kg (Fig. 2.15). Se rechaza la hipótesis nula y se llega a la conclusión de que, ciertamente, el nuevo alimento tiene propiedades superiores para el cebado de los cerdos. Suele decirse que esta conclusión se alcanzó al «nivel de significancia» de 5 por 100. Las dos secciones siguientes describen una serie de variaciones de pruebas de significancia aplicables a distintos casos industriales.

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PRUEBAS DE SIGNIFICANCIA PARA MEDIAS DE MUESTRAS: PRUEBAS t Significancia de la inedia de una muestra de un estándar: Varianza conocida

Cuando la variabilidad es conocida y estable, sólo hay que calcular la media para la prueba de significancia. Ejemplo 2.14

Supongamos que una muestra de 10 de un proceso con V ' conocida de 5 da una dureza Brinell media de 197. Las especificaciones estándar para la media de una muestra de 10 marcan 200 de dureza Brinell. Si se ha seleccionado 0,01 como nivel de significancia, ¿se acepta o rechaza la hipótesis nula basándose en esos datos? Cuando la varianza es conocida, la distribución de la media de la muestra es normal y la distribución de t es normal estándar. Normal estándar es un caso especial de la distribución t de Student con infinitos grados de libertad.

t

( X  X ') n V'

Para los datos de la muestra la expresión se convierte en

t

(197  200) 10 5

1,89

El valor t de una cola asociado a una probabilidad de 0,01 para grados de libertad infinitos es 2,326. Dado que el valor calculado de t es menor que el nivel de significancia de t elegido, la hipótesis nula no se rechaza. Esto es, se supone que 197 no es significativamente diferente de 200. Significancia de la media de una muestra de un estándar: Variabilidad desconocida

Cuando la variabilidad es desconocida y debe estimarse a partir de una muestra, la estimación de la variabilidad de la muestra debe corregirse para obtener una estimación neutral de la variabilidad de la población. El factor de corrección es n /( n  1) , que se multiplica por ı estimado a partir de la muestra. La expresión t se reduce a t

( X  X ) n 1 V'

Suponiendo que la variabilidad era desconocida y tenía que calcularse a partir de los datos anteriores (asumiendo, también, que ı = 5), la solución para t sería

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t

(197  200) 9 5

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1,80

Como podría esperarse, cuando la variabilidad es desconocida se requi una desviación real mayor para inferencias de significancia. En este caso ta poco se rechaza la hipótesis nula.

Significancia de una diferencia entre las medias de dos muestras: Varianzas conocidas e iguales

Para probar la diferencia entre dos medias se usa la distribución de ( X 1  X 2 ) . Suponiendo que XY y X2 son independientes estadísticamente,

y la expresión t se reduce a

Ejemplo 2.15

Como ejemplo de esta prueba de significancia, supongamos que se ha perdido la identificación de lote de dos lotes y se desea probar si los dos son significativamente diferentes en cuanto a dureza Brinell. El nivel de significancia escogido es 0,05 porque el costo de equivocarse es pequeño. Los datos obtenidos de las muestras de cada lote son los siguientes:

Estos datos nos dan el valor del estadístico de prueba t como

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La prueba es aquí para la diferencia entre dos medias, de forma que debemos utilizar la prueba de dos colas. La diferencia no es unidireccional, como ocurre cuando se compara una media con un estándar. Para la prueba de dos colas, empezamos a buscar en la parte inferior de la Tabla A5. El valor de t para un nivel de significancia de 0,05 y unos grados de libertad infinitos, es 1,96. Dado que el t calculado es mayor que el t significante (2,0 > 1,96), se rechaza la hipótesis nula. En otras palabras, se concluye que la diferencia en la dureza de esos dos lotes es significativa.

Significancia de una diferencia entre las medias de dos muestras: ı' igual pero desconocida

Con muchas frecuencias la varianza es desconocida. Si se desconoce la varianza de dos poblaciones de prueba, pero se piensa que es la misma (mismo método de procesamiento, materiales, etc.), se puede obtener una estimación ponderada de los valores calculados para ı en cada muestra. Esta estimación ponderada reemplaza, entonces, a ı' en la fórmula anterior. La estimación ponderada

(V w )

n1V 12  n2V 22 n1  n2  2

Como quiera que hay dos estimaciones de variabilidad de muestra, se han perdido dos grados de libertad. También ocurre que ı de la muestra mayor tiene un peso mayor que el de la menor. Utilizando los datos de dureza X y n del ejemplo ı', anterior, con ı1 = 17 y ı2 = 12, la solución de la fórmula de t conduce a

En la Tabla A5 el valor t de dos colas para 198 grados de libertad es el mismo que para infinitos grados de libertad. Usando el mismo nivel de significancia que utilizamos en el ejemplo anterior, 0,05, el valor t de la tabla es 1,96. Como quiera que el t calculado es menor que el t de la tabla (1,94 < 1,96), se acepta la hipótesis nula al nivel de significancia de 0,05. En otras palabras, se concluye que no hay diferencias significativas entre la dureza media de los dos lotes.

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Significancia de la diferencia entre medias muéstrales: Datos de parejas de probetas; varianza desconocida

Es frecuente la imposibilidad de excluir variables no deseadas que afectarán a los resultados de la prueba. Una forma de resolver este problema es considerar aleatorios los datos de un experimento diseñado para el análisis de la varianza. Otro método es minimizar el efecto de las variables extrañas haciendo parejas de probetas de prueba para su tratamiento. Ejemplo 2.16

En una prueba de condiciones climáticas para probar la resistencia a la corrosión de ciertos revestimientos, se pueden minimizar los efectos de diferentes intensidades de luz solar, humedad, presión, etc., colocando parejas de probetas para probarlos en diferentes condiciones atmosféricas. Supongamos que pares de pruebas de resistencia a la corrosión de los tipos de revestimiento I y II dieron los datos que aparecen en la Tabla 2.8 (en horas antes que apareciera corrosión). Basándonos en la evidencia, ¿es significativa la diferencia entre los dos tipos de revestimiento? Las dos columnas adicionales son para la diferencia y el cuadrado de la diferencia entre las parejas de probetas. Para probar la significancia entre medias cuando los datos se obtienen en pares de probetas, es necesario comparar la diferencia media con la media de variabilidad de la diferencia media. La diferencia media es la media de la tercera columna, que es igual a

¦ ( I  II ) n

6 1, 0 6

La medida de la variabilidad es el error estándar de la diferencia media. Si llamamos D a la diferencia media y V D a la desviación estándar de la diferencia, tendremos la expresión para t de D / V D . V D se calcula a partir de V D n, donde

§ n D 2   D 2 · ¦ ¸ ¨ ¦ ¨ ¸ n( n 1) © ¹

VD

por tanto,

t

D( n ) n ¦ D 2  (¦ D ) 2 n(n  1)

siendo los grados de libertad = n — 1. Sólo se pierde un grado de libertad aquí, ya que sólo hay un estimado, la variabilidad. Para los pares de datos del ejemplo

t

(1)( 6) 6(26)  (6) 2 6(5)

1, 22

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TABLA 2.8. Datos del muestreo

Incluso para un valor muy liberal de significancia de 0,20 (valor que no se usa casi nunca), el valor de la tabla de dos colas para t es mayor que el t calculado; esto es, en (n — 1) = grados de libertad = 5, el t de la Tabla A5 es 1,282, que es mayor de 1,22. Por tanto, se puede inferir que existe suficiente evidencia para pensar que hay una diferencia significativa entre los dos tipos de revestimiento. Se acepta la hipótesis indiferente.

PRUEBAS t PARA SIGNIFICANCIA DE DIFERENCIAS RELATIVAS A PROPORCIONES Significancia de una diferencia entre una proporción y un estándar (n elementos)

En caso de no disponer de tablas de probabilidad binomial, se puede usar la curva normal para probar la significancia de una diferencia entre una proporción y un estándar, basada en la aproximación normal a la distribución binomial.

Ejemplo 2.17

A efectos de ilustración, asumamos que el estándar de un proceso se ha situado en p' = 0,02. Se toma una muestra de 400 de un lote producido por el proceso y ésta muestra una fracción defectuosa, p, de 0,04. ¿Es la diferencia entre p y p' significativa al nivel de 0,5 por 100? Para probar la desviación de una proporción con relación a un estándar, la estadística t de la prueba es

con libertad de grados = f , Como tal,

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de forma que la aproximación normal es apropiada: 0, 04  0, 02 t 2,86 0, 02(1  0, 02) 400 El nivel 0,5 por 100 de una punta de t para infinitos grados de libertad según la Tabla A5 es 2,576. Por tanto, el t = 2,86 calculado es mayor que el t significativo de 2,576, y, en consecuencia, se rechaza la hipótesis indiferente y se concluye que la diferencia es significativa.

A veces es preferible calcular lo anterior en términos de cantidades de elementos defectuosos en vez de como fracción defectuosa. Entonces, usando los mismos datos y condiciones,

tal y como se esperaba. Significancia de una diferencia entre una proporción y un estándar (de n elementos y con pequeño p)

A medida que la cantidad np' se hace más pequeña la binomial empieza a aproximarse a la de Poisson. Ejemplo 2.17. Continuación

Dados los mismos datos que en el ejemplo 2.17 excepto que n = 50 en vez de ser igual a 400, entonces, de acuerdo con la Tabla A3.1, cuando la cantidad real de elementos defectuosos (np') es 1,0 la probabilidad de que un np sea 2 o mayor es de 0,08. (Esto se obtiene sustrayendo el valor en la columna c = 2 de la Tabla A3.1 de 1.000 y convirtiéndolo en un número decimal.) Así pues, en este caso se acepta la hipótesis indiferente porque el nivel de significancia de 0,005 (0,5 por 100) excede con mucho los 0,08 obtenidos en la Tabla A3.1. Esto sería de esperar, ya que n es mucho más pequeño que el del ejemplo anterior. Significancia de una diferencia entre el número de elementos defectuosos de una muestra y el número especificado por un estándar

La Tabla A3.1 se puede utilizar también para probar la significancia siempre que pueda suponerse que existe una distribución de Poisson. Las distribuciones del número de elementos defectuosos y los defectos por unidad siguen la ley de Poisson. De aquí que se pueda usar esta ley para probar la significancia de desviaciones de la muestra de un número estándar de defectos.

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Ejemplo 2.18

El número estándar de defectos por unidad para fallos en la pintura de la puerta de un refrigerador se establece en 0,5. Se seleccionan 10 del proceso que conforman una muestra aleatoria. Esta muestra da un total de 10 fallos en la pintura. ¿Justifica el número de defectos una decisión de rechazo de la hipótesis indiferente al nivel 5 por 100? En la solución, 0,5 está situado en la columna c' de la Tabla A3.1. Este valor es actualmente u', esto es, c'/n cuando n = 1. El valor de u en la muestra de 10 es c/n = 10/10 = 1. El valor de la tabla para c' = 0,5 y c = 1 es 910. Este valor se resta de 1.000 y se convierte en la expresión de probabilidad de 0,09. Dado que 0,09 es mayor que el valor 0,05 de la significancia, se acepta la hipótesis indiferente y no se concluye que haya significancia en la diferencia. Esta prueba se usa ampliamente como base de procedimientos de aceptación de control de calidad.

Significancia de una diferencia entre dos proporciones (de n1 y n2 elementos y siendo np' > 5 en cada muestra)

El error estándar de la diferencia (o suma) considerada anteriormente en este capítulo para pruebas de diferencias entre medias puede usarse también para probar la significancia de una diferencia entre dos proporciones cuando resulta apropiada la aproximación normal. La estadística de la prueba es:

t

p1  p2 n1 p1  n2 p2 § n1 p1  n2 p2 ·§ 1 1 · ¨1  ¸¨  ¸ n1  n2 © n1  n2 ¹© n1 n2 ¹

con grados de libertad = ’. El denominador es el estimado ponderado de V p1 p 2 , lo que hace que la fórmula parezca más complicada de lo que en realidad es.

Ejemplo 2.19

El productor y el consumidor han tomado muestras de un lote. El productor tomó una muestra de 200 unidades del lote y encontró ocho defectuosas. El consumidor seleccionó una muestra de 300 unidades del mismo lote y encontró 24 defectuosas. ¿Existe diferencia entre sus respectivos resultados al nivel 0,05 de significancia? Llamando p1 al resultado del productor y p2 al del consumidor y sustituyendo los valores en la ecuación, tendremos que: t

0, 08  0, 04 8  24 § 8  24 · § 1 1 ·  ¨1  ¸¨ ¸ 200  300 © 200  300 ¹ © 200 300 ¹

1, 79

El valor de dos colas de t para una significancia de 0,05 según la Tabla A5 es 1,96. 1,96 es mayor que 1,79, así que se acepta la hipótesis indiferente. La conclusión es que no hay significancia entre las dos proporciones al nivel del 5 por 100 de significancia.

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PRUEBAS PARA LA SIGNIFICANCIA DE LA DIFERENCIA ENTRE VARIANZAS

Todas las pruebas de significancia consideradas hasta ahora se han referido a promedios. Puede ocurrir que la desviación de la medida de dispersión de una muestra sea significativamente diferente de una medida de dispersión estándar. Por ejemplo, un jugador de golf puede hacer un promedio de 18 agujeros en 75 golpes con un recorrido usual de ± 5. Supongamos que cambia su «swing» para reducir el recorrido a ±3 aunque sigue promediando 75 golpes. Alternativamente, puede que al cambiar su «swing» siga promediando 75 golpes, pero su recorrido aumenta hasta ±7. En el primer caso, la cuestión es si el cambio de swing redujo la variabilidad significativamente, en tanto que en el último la cuestión es si la variabilidad creció significativamente. El promedio no ha cambiado así que esto carece de importancia aquí. Para probar este tipo de diferencia se usa una prueba conocida por ji al cuadrado (Ȥ2).

Significancia de una diferencia entre la varianza de la muestra y un estándar

Cuando se supone que la media no ha cambiado, la prueba para la varianza incluye la razón

en donde n es el tamaño de la muestra, ı’2 es la varianza estándar y ı2 es la varianza de la muestra. Ejemplo 2.20

En un proceso de tratamiento térmico, la fuerza de un elemento se mide por muestras periódicas de tres pruebas cada una. El recorrido de los valores de la muestra se usa para obtener un estimador de la desviación estándar como

Vˆ '

R' d2

en donde R es el recorrido medio y d2 es una constante dada por la Tabla A7. Este proceso tiene una larga historia recogida en archivos y R se ha mantenido aceptablemente constante en 6.000 psi. El estimado para la desviación estándar es

Vˆ '

6000 1693

3544 psi

Un nuevo proceso de tratamiento térmico que está siendo probado dio un valor estimado de la desviación estándar de 1.750 psi, basado en seis muestras de tres

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CONTROL DE CALIDAD

pruebas. ¿Es el nuevo proceso significativamente mejor que el proceso existente, al 1 por 100 del nivel? Cuando 1) la distribución implícita es normal o aproximadamente normal basada en el teorema del límite central; y 2) se supone que la media de esta distribución no ha cambiado, la estadística de la prueba

u

§ x u · ¦1 ¨© iV ' ¸¹ n

2

tiene una distribución ji al cuadrado con n grados de libertad. Usando X como estimado de P, los grados de libertad son n — 1. La estadística u se reduce a

u 2

nV 2

V '2

Para probar la hipótesis H0: ı = ı’2 contra la alternativa H1: ı2 < ı’2, puede 2 usarse el nivel 1 por 100 del extremo más bajo o el nivel para F 0,99 de una distribución 2 ji al cuadrado con 5 grados de libertad. Según la tabla A4, F 0,99 con 5 grados de

libertad = 0,554. Para la muestra observada,

u

6(1750) 2 (3544) 2

2 Como quiera que el valor observado u es mayor que F 0,99 no se puede rechazar la

hipótesis indiferente. Puede concluirse que la mejora en el proceso no es significativa. Significancia de la diferencia entre varianzas de la muestra de dos muestras

Consideremos dos muestras de una población normal, con tamaños de muestra n y k y varianzas V 12 y V 22 respectivamente. Las estadísticas

u

nV 12 V '2

v

kV 22 V '2

y

tendrían una distribución ji al cuadrado con grados de libertad n — 1 y k — 1, respectivamente. La relación entre esas variables aleatorias que siguen una distribución ji al cuadrado se expresa así

(k  1)u (n  1)v

(k  1)n ˜

V 12 1 V '2 ˜ ˜ V '2 n  1 kV 22

(k  1)n V 12 ˜ (n  1)k V 22

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Este cociente tendrá una distribución F con n — 1 y k — 1 grados de libertad, respectivamente. El cociente, incidentalmente, es aproximadamente igual al cociente de las varianzas de la muestra. Por costumbre, la varianza de la muestra mayor se designa siempre como V 12 (numerador) y la menor como a\ (denominador). Ejemplo 2.21

Supongamos que se desea probar la diferencia entre dos varianzas de muestras a un nivel de significancia de 0,014. La razón de la prueba es ver si la variabilidad del primer turno de trabajo es significativamente distinta de la del segundo, en una operación en la que es preciso controlar la variabilidad de la fuerza producida. El primer turno tenía mayor producción, de forma que se seleccionó una muestra mayor. Las dos pruebas proporcionaron los siguientes datos: Prueba l (primer turno)

Prueba 2 (segundo turno)

9 9.000.000 psi2

5 1.000.000 psi2

Tamaño de la muestra, n Varianza, ı2

Al aplicar la prueba F, la varianza mayor es siempre el numerador y la menor el denominador. El valor de F en este ejemplo puede apreciarse conceptualmente en la Figura 2.16. F = 9 no es significativo al nivel 0,01, ya que el valor crítico de F asociado a este nivel es 14,80. Si se hubiera elegido el nivel 0,05, habría sido significativo, ya que el valor crítico de F asociado con el nivel 0,05 es 6,04. En la tabla, F, Tabla A6, buscamos df1 = 8 en la parte superior y df2 en la lateral. Los valores críticos de F en los niveles de probabilidad 0,05 y 0,01 son 6,04 y 14,8 respectivamente.

Figura 2.16. Distribución aproximada de la estadística F para (4,8) grados de libertad. 4

La varianza (el cuadrado de la desviación estándar) de cada muestra se ha calculado según la fórmula

V

2

¦ X  X n 1

2

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PROBLEMAS

2.1.

Una urna contiene 20 bolas rojas y 40 negras. Otra urna contiene 30 bolas verdes y 30 negras. a) Cuando se toma una bola de la primera urna, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja? b) Cuando se toma una bola de la segunda urna, ¿cuál es la probabilidad de que sea verde? c) Cuando se toma una bola de cada urna, ¿cuál es la probabilidad de coger una roja y una verde? d) Cuando se coge una bola de cada urna, ¿cuál es la probabilidad de coger una roja, o una verde, o ambas a la vez? e) Cuando se coge una bola de cada urna, ¿cuál es la probabilidad de coger exactamente una negra? f) Cuando se coge una bola de cada urna, ¿cuál es la probabilidad de coger al menos una negra?

2.2.

Mario está pensando en realizar un viaje de costa a costa en su coche nuevo. La probabilidad de que una cubierta nueva sobreviva a este viaje es de 0,8. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una cubierta se estropee durante el viaje?

2.3.

Si se tira una sola vez un dado de seis caras, ¿cuál es la probabilidad de que salga el número 5? Si se tiran dos dados, ¿cuál es la probabilidad de sacar 8?

2.4.

Se ha dicho que un famoso director de Hollywood utilizaba tres cámaras para filmar algunas escenas complicadas. La probabilidad de que una cámara filmara dicha escena es de 1/3. ¿Cuál es la probabilidad de que se rodara una escena complicada sin filmarse?

2.5.

Una baraja tiene 52 cartas (4 palos de 13 naipes cada uno). El jugador C coge una carta al azar. Acto seguido, el jugador D coge otra igualmente al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean del mismo palo?

2.6.

Una función de densidad de probabilidad viene dada por f(x) = Ax — Bx2 para el recorrido 0 ” x ” 2. Determínense los valores de A y B.

2.7.

Si x, la vida de una cubierta de automóvil en millas de viaje, es una variable aleatoria continua con una función de densidad de probabilidad

f ( x)

1 e  x / 30.000 30000 =0

0 x0 en caso contrario

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la cubierta sobreviva a las primeras 20.000 millas? b) Suponiendo que haya sobrevivido a las primeras 20.000 millas, ¿cuál es la probabilidad de que resista otras 5.000 millas?

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2.8.

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Sea x una variable aleatoria discontinua con la función de probabilidad Pr(x) =a – =0

1 2x

=

x = 1, 2, 3, 4 en caso contrario

a) Determínese el valor de a para que la función anterior sea una función de probabilidad legítima. b) Usando el valor de a, hállese Pr(x ” 3). 2.9.

Pruebe lo siguiente usando la definición de esperanza matemática de una función h(x) para casos continuos y discontinuos. a) E(cx) = cE(x). b) E(cx + d) = cE(x) + d. c) E(cx + dy) = cE(x) + dE(y). donde x e y son variables aleatorias y c y d constantes.

2.10. Pruebe que Var (x) = E(x2) - [E(x)]2. 2.11. Para la variable x del problema 2.8, determine E(x), E(x2) y Var(x). 2.12. En un dado de seis caras, si x representa al número que sale después de tirar el dado, ¿cuál es el valor esperado de x? 2.13. En una partida de cartas en un casino, cada jugador recibe una carta después de hacer una apuesta de 25 dólares. Si la carta que el croupier descubre a continuación pertenece al mismo palo de la primera, el jugador gana 60 dólares, además de recibir la devolución del dinero de su apuesta. Si la carta es de un palo diferente el jugador pierde su apuesta. A largo plazo, ¿quién ganará en este juego: el casino o el jugador? 2.14. En una caja hay seis canicas verdes y tres azules. Se escogen al azar cuatro unidades. ¿Cuál es la probabilidad de que, de esas cuatro canicas, dos sean azules? 2.15. Una gasolinera recibe 100 unidades de repuestos, 20 de las cuales se sospecha que son defectuosos. Si se toma de la caja una muestra aleatoria de 5 unidades, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente una unidad de la muestra sea defectuosa? 2.16. Una emisora de TV quería entrevistar a cierto número de delegados que asistían a la convención de un partido político. Del total de delegados se supone que el 40 por 100 son conservadores, el 30 por 100 moderados y los restantes liberales. Si se seleccionan al azar cuatro políticos para las entrevistas, ¿cuál es la probabilidad de que más de uno sea conservador? 2.17. Se tira un dado regular 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga «6» exactamente dos veces?

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2.18. Digamos que la probabilidad de éxito en una prueba es p. Muestre que en una secuencia de pruebas la probabilidad de lograr el éxito por primera vez en la enésima prueba es p(1 - p)n-1 Esta distribución se denomina distribución geométrica. 2.19. Supongamos que el número de accidentes que ocurren un día determinado en una autopista es una variable aleatoria de Poisson con O = 2. Calcular: a) La probabilidad de que ocurran exactamente dos accidentes en un mismo día. b) La probabilidad de que ocurran más de un accidente en un mismo día.

2.20. El número de clientes que llegan al mostrador de facturación de una línea aérea es una variable aleatoria de Poisson con un recorrido medio de 6 por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que durante una hora determinada no lleguen más de dos personas? 2.21. En cierta unidad de producción, el 8 por 100 de las herramientas fabricadas resultan defectuosas. a) Determínese la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 10 elementos, 3 exactamente, sean los defectuosos. Utilícese la distribución binomial. b) Utilizando la aproximación de Poisson a la distribución binomial, vuélvase a calcular la probabilidad anterior. Compárense ambas respuestas.

2.22. Una firma dedicada a la fabricación estima que, como promedio, 1 de cada 600 artículos fabricados es defectuoso. En una muestra de 1.200 elementos, ¿cuál es la probabilidad de que haya exactamente 3 defectuosos? Úsese la aproximación de Poisson. 2.23. Se asume que el diámetro de un cilindro está normalmente distribuido con una media de 3,5 pulgadas y una varianza de 0,012. ¿Cuál es la probabilidad de que un cilindro escogido al azar tenga un diámetro mayor de 3,65 pulgadas? 2.24. Se asume que la distribución de puntos logrados en cierto examen es normal con una media de 80 y una varianza de 25. ¿Qué porcentaje de los estudiantes obtuvo 70 puntos o menos? 2.25. Supongamos que la distribución de una variable aleatoria x es normal estandarizada. Calcúlese:

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2.26. En una clase con 50 estudiantes, los puntos que sacaron en un examen son los siguientes:

Obtener: a) La distribución de frecuencia agrupada. b) Un histograma mostrando los puntos contrarios a la frecuencia. c) Un polígono con la frecuencia real estimada y un estimado suavizado de la función de probabilidad. d) Una curva de ojiva. 2.27. Una caja contiene cinco bolas marcadas con los números 3, 5, 7, 9 y 11, respectivamente. Cada vez que se sacan dos bolas, se anotan sus números y se devuelven a la caja. Considérense todas las muestras posibles de esta población. Calcúlese: a) La media de la población. b) La desviación estándar de la población. c) La media de las medias de muestra. d) La desviación estándar (error estándar) de las medias de muestra. 2.28. Se supone que el diámetro de un cilindro está distribuido normalmente con una media de 5 cm, y una varianza de 1,10. Si se toma para inspeccionar una muestra de 100 barriles, hállese la distribución de la media X de la muestra. ¿Cuál es la probabilidad de que una media de la muestra sea mayor de 5,2 cm? 2.29. Se supone que los rodamientos de fabricados en una empresa tienen un diámetro medio de 2,2 cm, y una desviación estándar de 0,70 cm. Determínese la distribución de las medias de la muestra. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de cierta muestra caiga entre 2 cm y 2,35 cm? 2.30. Si se tira una moneda 100 veces, ¿cuál es la probabilidad de que el número de «caras» esté entre 45 y 55? 2.31. Se supone que el diámetro de los rodamientos de bolas fabricados por una empresa está distribuido normalmente con una varianza de 0,5. En una muestra de 30 rodamientos, la media de la muestra es de 2,3 pulgadas. Usando Į = 0,05, pruébese la hipótesis de que la media P es de 2,1 pulgadas contra una alternativa de que P no sea igual a 2,1 pulgadas. 2.32. En el problema 2.31, supóngase que la hipótesis indiferente es P = 2,1 y la hipótesis alternativa es P > 2,1. ¿Apoyan los datos la hipótesis indiferente o la alternativa?

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CONTROL DE CALIDAD

2.33. Se supone que el coeficiente de inteligencia de los alumnos de una escuela está distribuido normalmente con una varianza de 6.400. En un muestreo aleatorio de 50 alumnos, la media es 120. El director ha señalado siempre que el coeficiente de inteligencia medio de la escuela es de 155. Para un valor a de 0,05 verifiqúese si puede aceptarse la observación del director o no. 2.34. Se supone que el ángulo de desviación de un rayo de luz horizontal sometido a una presión vertical está distribuido normalmente con una varianza de 6,2. La hipótesis a probar es Ho = 4,0 mm contra H1 > 4,0 mm Una muestra de 5 elementos da un ángulo de desviación de 4,25 mm. Si a = 0,10, ¿aceptaría usted la hipótesis indiferente? 2.35. Si en el problema 2.34 la varianza de la población no fuera conocida, pero se estimase que la varianza de la muestra es de 0,3, ¿aceptaría la hipótesis indiferente para un valor de Į de 0,05? 2.36. Se van a comparar las notas medias obtenidas en un examen por las clases A y B. Supóngase que las varianzas de las dos poblaciones son conocidas y que se estima que ambas son iguales a 7.200. Una muestra aleatoria de los exámenes de 50 alumnos de cada clase da una nota media de 75 y 87, respectivamente. Si la hipótesis indiferente establece que las dos medias son iguales, verifíquese si los datos confirman la hipótesis indiferente. Supóngase que las poblaciones están distribuidas normalmente y que Į = 0,05. 2.37. Una planta de montaje de automóviles desea comprar vástagos de dos proveedores distintos. Una de las dimensiones fundamentales de tales vástagos es el diámetro del casquillo del pasador de pistón. Dichos diámetros están distribuidos normalmente en los vástagos de ambas empresas, y se conocen sus varianzas, que se supone que son iguales. Se dispone también de los valores de ı. Los datos son los siguientes:

La planta puede usar los vástagos de ambos proveedores simultáneamente sólo si, estadísticamente, no hay diferencia entre las dos medias. ¿Debe seguir la planta adelante con sus planes o no? (Asuma que Į = 0,025.) 2.38. El asesor de una asociación de consumidores quiere comparar los resultados de los coches fabricados por dos empresas. Uno de los criterios que utiliza es el tiempo que necesitan los coches pasar de 0 a 60 millas por hora. Se supone que los tiempos están distribuidos normalmente con varianzas iguales; sin embargo,

FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EN EL CONTROL DE CALIDAD

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sólo se dispone de valores estimados para ı2. Los resultados de las pruebas son los siguientes:

P, tiempo medio para pasar de 0 a 60

ı2 n

Coche 1

Coche 2

9,6 seg 1,1 20

11,4 seg 1,2 20

La hipótesis a probar se establece como

H 0 : P1

P2 H1 : P1  P2 ¿Hay base suficiente para rechazar H01 2.39. Se pretende comparar las vidas útiles de dos válvulas de vacío para descubrir posibles diferencias significativas entre ellas. En idénticas condiciones de voltaje y temperatura, con válvulas de cada tipo dieron las siguientes vidas útiles en horas: Tipo 1

Tipo 2

1.010 980 880 900 1.205 1.060 870 990

1.040 1.000 870 965 1.185 1.030 860 990

Para un nivel a de 0,025 verifíquese la afirmación de que existe una diferencia significativa utilizando el método de los pares de probetas.

3 Control estadístico de procesos

La mayoría de los sistemas de dirección y producción suponen el empleo combinado de personas, máquinas y materiales. La función de cada uno de estos elementos puede ser relativamente simple o sumamente compleja. Pero en cada uno de ellos hay una variabilidad inherente o natural, cuyas causas no se pueden individualizar, junto con una variabilidad no natural que sí se puede, en consecuencia, controlar hasta que alcance un mínimo valor económico no susceptible de ulterior reducción. EJEMPLOS DE VARIABILIDAD DE PERSONAS, MAQUINAS Y MATERIALES Nuestro ejemplo hace referencia a una operación de taladrado de una pieza de fundición utilizando husillos múltiples. Se fija la pieza de fundición en una plantilla. El operario que maneja la taladradora hace girar una manivela y seis brocas hacen taladros en la pieza. Las brocas funcionan durante un breve período de tiempo, transcurrido el cual la manivela vuelve a su posición normal. ¿Cuáles son las posibles fuentes de variación? En primer lugar, el material del que está fabricada la pieza de fundición presentará alguna variación de una pieza a otra, lo que dará lugar a que determinadas piezas ofrezcan más resistencia a la taladradora por su mayor dureza. La porosidad de ciertas piezas será mayor que en otras. También variarán sus dimensiones. Las causas de variación del material pueden ser múltiples: adquisición de materiales inadecuados, malas especificaciones sobre materiales, garantía de calidad de los mismos a todas luces inadecuada, necesidad inmediata de obtenerlos prescindiendo de su calidad, considerar el precio de compra más bajo en lugar del 83

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CONTROL DE CALIDAD

costo mínimo para producción, reciprocidad, etc. Una razón y causa frecuente de la mala calidad de los materiales adquiridos, si existe, es que el proveedor no sabe exactamente lo que quiere el comprador. Hay a menudo un doble criterio: 1) lo que exigen las especificaciones de materiales, y 2) lo que el comprador aceptará basándose en su conveniencia. Una situación parecida se produce en la fábrica con el trabajador encargado de una máquina, esto es: 1) los planos de trabajo, y 2) lo que aceptará su supervisor, de nuevo basándose en su conveniencia. La segunda fuente de variaciones es la maquinaria. Cualquier proceso, aunque sea de precisión, funciona dentro de un cierto intervalo de capacidad. Los límites de este intervalo se conocen como límites naturales del proceso. Este intervalo de variabilidad se denomina capacidad del proceso o de la maquinaria. Un proceso no es más que la utilización de recursos para producir algo, pudiendo su resultado —el producto— ser tangible o intangible. En contraste con los límites naturales están los límites de las especificaciones o de los planos. Estos límites suelen ser arbitrarios, toda vez que se fijan según los objetivos que se persigan con el proyecto de los distintos productos. O, al menos, así debería ser. Sin embargo, es frecuente que la arbitrariedad se produzca sin tener en cuenta los objetivos del proyecto, ni tampoco las necesidades de un procedimiento económico de producción. Lo que nos lleva, una vez más, a la creación de un doble estándar en este campo: lo que se desea y lo que será aceptado. Los intentos por controlar el proceso hasta dejar una variabilidad menor que la suya natural provocan indecisiones, frustración y llevan a realizar gastos injustificados. Si el proceso no puede funcionar de modo aceptable dentro de los límites de su proyecto, quien adopte las decisiones no tiene más que tres alternativas: 1) separar los productos que satisfagan las especificaciones de los insatisfactorios; 2) utilizar un proceso más preciso; 3) cambiar el proyecto del producto. La elección de una alternativa debe obedecer a razones económicas. Habrá casos en que esté justificado optar por la primera alternativa, aunque en la mayoría de los casos, esta opción obedecerá a razones de mala planificación de producción y a ventajas momentáneas. La segunda alternativa puede suponer importantes inversiones en maquinaria, una carga diferente de las máquinas, o la subcontratación para llegar a procesos de producción más precisos. Con frecuencia, mediante una cuidadosa distribución del trabajo y una precisa programación se puede evitar la compra de equipos de mayor precisión. Queremos poner de manifiesto, además, que desde el punto de vista económico tan erróneo es pensar en un proceso de gran precisión si el proyecto disponible es impreciso como todo lo contrario. La tercera opción, quizá la más difícil de llevar a la práctica, es la del cambio de proyecto. Si se hace indiscriminada mente puede producir estragos en un plan organizado de producción, aunqu una mayor tolerancia con respecto a las exigencias del proyecto puede signifi car la diferencia entre ganar o perder dinero. Los costos de inspección al 10' por 100, de desechos y repeticiones de algunos trabajos pueden considerar^ como costos de oportunidad, esto es, costos innecesarios que se pueden reduc e incluso eliminar, mediante la planificación y los controles adecuados. Por contrario, una justificada observancia de todas las exigencias del proyecto puede incrementar la demanda de un producto de calidad. En cualquier caso, el objetivo a alcanzar debe ser: proyecto óptimo a un costo total mínimo.

CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

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El problema de nuestro ejemplo de la máquina taladradora debe relacionarse con el número de brocas. Cada una de ellas representa un proceso independiente cuyo producto es un orificio. Suponiendo que se presenten en el mismo cuatro características de calidad básicas: profundidad, anchura, radio y acabado superficial, existirán 6 x 4 = 24 fuentes de posible variación. El lector podrá imaginarse situaciones análogas que, con ligeras diferencias, se producen en procesos continuos y en diversos trabajos de taller. La tercera causa de variaciones es el hombre, el elemento más variable de todos. Las decisiones y las acciones humanas afectan de forma directa la variabilidad y producen sus efectos en los otros dos elementos: materiales y máquinas. Como ejemplo de la variabilidad producida por el factor humano citaremos la característica de «profundidad del taladro», una de las características básicas de la calidad en nuestro ejemplo. Es práctica común en las fábricas establecer una inspección del primer trabajo que realicen las máquinas. También existe la de inclinarse por la opción de «máximo metal», que refleja un deseo natural de permitir rehacer el trabajo, toda vez que es comparativamente más sencillo eliminar mayor cantidad de metal, si fuera preciso, que reponerlo una vez extraído, tarea mucho más difícil y cara y que conlleva, en la mayoría de los casos, desechar algún producto como chatarra. Para que el ejemplo resulte más fácil de entender, supongamos que las exigencias del proyecto en cuanto a la profundidad del taladro son de 1,00 ± 0,002 pulgadas y que hay que producir 50 unidades. El operario encargado de la máquina ensayará y marcará el punto en el que debe detenerse la broca de forma que la primera unidad producida en esas condiciones dé una lectura de 0,999 de profundidad. El operario se sentirá muy satisfecho pensando que está en la zona de menor profundidad (y de máximo metal, al mismo tiempo) y que, de no lograr las dimensiones mínimas exigidas a causa de algún problema no identificado de su máquina, se podrían salvar las piezas defectuosas repitiendo el trabajo. Desde su punto de vista es un razonamiento muy lógico, puesto que él no es responsable de los costos de inspección, repetición del trabajo o de que la pieza sea arrojada a la chatarra. Sigue manejando la taladradora sin alterar su disposición y vuelve a revisar la profundidad de la décima unidad. Para su sorpresa y alarma, la lectura de profundidad está ahora en la nominal de 1,000 pulgadas; vuelve, pues, a preparar la máquina con objeto de producir un taladro que tenga 0,0001 pulgada menos (que estima que le llevará a alcanzar una profundidad de 0,999 pulgadas) y termina de producir las unidades en esas condiciones. La Figura 3.1 indica los resultados de los actos realizados por el operario de la máquina. El operario no tuvo en cuenta la variabilidad natural del proceso. La primera medida, la primera comprobación, no era mejor indicación del verdadero nivel del proceso que la quinta, la décima o cualquier otra. La primera indicaba que la profundidad alcanzada era de 0,999 pulgadas y la segunda, realizada sin haber efectuado ajustes, indicaba 1,000 pulgadas. La verdad es que, pese a que creyó que lo había dispuesto todo para mantenerse del lado del máximo metal, estaba muy cerca del nominal de 1,000 pulgadas, como se muestra en las lecturas resumidas del proceso original (Fig. 3.1b). El ajuste de

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CONTROL DE CALIDAD

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87

– 0,001 pulgadas que realizó tras comprobar la décima unidad, llevó a que el proceso produjera material defectuoso (Fig. 3.1c). Obsérvense dos características importantes de la Figura 3.1: 1) al resumir los datos recogidos en el gráfico de series de unidades de la Figura 3.1c, ofrecen la apariencia de una distribución de tipo normal, y 2) basándonos sólo en la evidencia visual, el proceso, si se centra adecuadamente y luego se deja solo, parece capaz de producir dentro de los límites establecidos. Así puede verse cómo el nombre, con sus ajustes indiscriminados, hace que todo el proceso resulte más variable de lo que sería si los materiales y la maquinaria fueran los únicos elementos que variasen durante el proceso. Añadan a esto los actos indecisos y las precipitaciones de métodos y gerencia, y los beneficios posibles por medio del control gráfico resultarán aún más patentes. Es aconsejable repetir aquí el principio básico del control eficiente de un proceso: A no ser que haya una razón que nos obligue a actuar de otro modo, déjese al proceso actuar solo. INFERENCIA ESTADÍSTICA DE LA VARIABILIDAD DEL PROCESO El control de un proceso empieza con la comprensión de su variabilidad (Fig. 3.2). Los atributos del producto reflejarán todas las posibilidades de variación del proceso. Por ejemplo, el atributo de «profundidad del orificio taladrado» presenta una variabilidad que es el resultado de la variabilidad de los materiales, la maquinaria, o el hombre que participa en el proceso de taladrado. De aquí que, para comprender adecuadamente la variabilidad de todo el proceso, resulte esencial vigilar ciertos atributos importantes (o significativos) del producto. Sea x la medida del atributo del producto, x es una variable aleatoria y su función, f(x), de densidad de probabilidad es una función de todas las variables (y, probablemente, de todas las funciones de densidad, PDF) de los recursos que se emplean en el proceso de fabricación. La base para entender el comportamiento del proceso de fabricación es un cálculo del PDF f(x). El procedimiento para controlar un proceso incluirá los siguientes pasos: 1. Cálculo del PDF de un importante atributo de calidad del producto. Es preferible que sea el mismo atributo sujeto a las «especificaciones» marcadas.

Figura 3.2.

Variabilidad de los resultados del proceso.

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CONTROL DE CALIDAD

2. Basándonos en este cálculo, tratemos de contestar a la pregunta: ¿Es satisfactorio el producto (o una proporción aceptable del mismo) y conforme a las especificaciones? Si la respuesta es afirmativa, se dice que el proceso está «bajo control» y no es preciso hacer más. 3. Si la respuesta es negativa, la siguiente pregunta que debe contestarse es: ¿Puede transformarse la respuesta del paso 2 en otra afirmativa mediante el ajuste más beneficioso del proceso? Si la respuesta a esta pregunta es negativa, la capacidad del proceso no es adecuada para fabricar productos satisfactoriamente conformes a las especificaciones. En este caso, habrá que adoptar cualquiera de las tres opciones indicadas en la sección precedente (separación del producto, cambio del proceso o cambio del proyecto). 4. Si la respuesta al paso 3 es afirmativa, el paso final es la determinación de los ajustes apropiados para el proceso. Estos pasos se pueden representar de forma gráfica como muestra la Figura 3.3.

Figura 3.3.

Pasos en el procedimiento de control.

Volveremos a la misma operación de taladrado de una pieza de fundición usando múltiples husillos para ilustrar este proceso escalonado. Las medidas que aparecen en la Figura 3.1 incluyen algunas unidades anteriores al ajuste y otras producidas después de éste. Para evitar el efecto del ajuste, se ha seleccionado un grupo de 15 unidades fabricadas en secuencia sin que haya intervenido ajuste alguno; dichas unidades son las que utilizamos en esta ilustración (Tabla 3.1). Atributo de calidad:

Profundidad del orificio taladrado

Especificaciones:

1,000 ± 0,002 pulgadas ó 1,000 ± 2 milésimas de pulgada

Fecha de fabricación:

17 de enero

Unidades producidas entre:

9.30 y 9.52 de la mañana

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Para facilitar la estimación del PDF se hacen dos asunciones: Asunción 1: La forma de la distribución de probabilidad es una «distribución normal». Asunción 2: No hay cambio en el PDF durante el tiempo de fabricación, esto es, entre las 9.30 y las 9.52 de la mañana. TABLA 3.1 Número de la unidad

Profundidad ajustada*

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0,3 -0,5 1,4 1,2 1,0 -1,4 0,7 2,0 0,4 1,8 0,5 1,5 0,8 0,5 1,5

12

13 14 15

xx -0,5 -1,3 0,6 0,4 0,2 -2,2 -0,1 1,2 -0,4 1,0 -0,3 0,7 0,0 -0,3 0,7

* Profundidad ajustada indicada «(profundidad real en pulgadas x 1.000) - 1.000».

Si recordamos lo expuesto en el Capítulo 2, veremos que los estimados de los dos parámetros P y ı2 de la distribución normal que hemos asumido vienen dados por: estimado de P

15

Pˆ

x

x1

¦ 15

0,8

1

estimado de V

2

V

2

( x  xi )2 ¦1 14 15

Vˆ 2

0, 79357

De ello se desprende que el estimado de ı viene dado por estimado de V

Vˆ

Vˆ 2

0,89

Esto completa el primer paso y el PDF estimado es «una distribución normal con media 0,8 y desviación estándar 0,89». Para el paso 2, se considera satisfactorio el producto si más del 98 por 100 del mismo cumple con las especificaciones. Los dos límites de las especificaciones, + 2 y –2, están relacionados con el PDF estimado de la siguiente forma:

90

CONTROL DE CALIDAD

límite superior de las especificaciones = + 2,00 = § 1, 2 · 0,8  ¨ ¸ (0,89) © 0,89 ¹

Pˆ  1, 348Vˆ límite inferior de las especificaciones = –2,00 =

§ 2,80 · ¸ (0,89) © 0,89 ¹ Pˆ  3,146Vˆ

0,8  ¨

Con relación a la Tabla Al, la probabilidad de que una unidad seleccionada al azar esté fuera del límite superior de las especificaciones —cuando la variabilidad de producción es la que hemos determinado en el PDF— es de 8,883 por 100. La probabilidad de que esté fuera del límite inferior de las especificaciones es de 0,083 por 100. Está claro que la respuesta a la pregunta del paso 2 es negativa, ya que es probable que más del 2 por 100 del producto no cumpla con las especificaciones, al situarse fuera de uno u otro límite. Generalmente, la pregunta del paso 3 no se puede contestar sólo mediante deducciones estadísticas. Hay que servirse también de la intuición y de los conocimientos del funcionamiento del proceso de fabricación. En este caso, se asume que la forma del PDF es «normal». Dada su forma y simetría se puede deducir que la proporción de unidades que no cumplan con las especificaciones será minimizada cuando la media del proceso se centre entre los dos límites de las especificaciones. Dicho de otra forma: el mejor ajuste a realizar sería situar entre +2 y —2, ó 0,00 en lugar del 0,8 observado. Después de tal ajuste, límite superior de las especificaciones = +2,00 = 0,00 + 2,247 Vˆ límite inferior de las especificaciones = –2,00 = 0,00 – 2,247 Vˆ Con relación a la Tabla Al, la probabilidad de que una unidad fabricada después del ajuste viole cualquiera de las especificaciones en cuanto a límites de 1,232 por 100. La proporción total de unidades que no satisfagan las especificaciones será de 2 x 1,232 = 2,464 por 100. Por tanto, también la respuesta a la pregunta del paso 3 es negativa. El actual proceso de fabricación no es capaz de lograr que más del 98 por 100 de los productos sean conformes con las especificaciones. La dirección tendrá que elegir entre las tres opciones de separación del producto satisfactorio mediante una inspección, cambio del proceso o cambio del proyecto del producto. VARIACIÓN A LO LARGO DEL TIEMPO CONTRA VARIACIÓN NATURAL DEL PROCESO La Figura 3.1a muestra un gráfico de un ciclo temporal, en el que la escala horizontal expresa una sucesión de unidades. El eje horizontal también se podría haber denominado «tiempo» y haber confeccionado la escala de acuer-

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do con tal denominación. A causa de la corta duración del ejemplo, no resulta evidente el verdadero efecto de la variación a lo largo del tiempo. En cualquier duración lo suficientemente larga como para que se produzca un deterioro en el proceso, la variación natural se confundiría con dicho deterioro. La razón básica para el control es detectar deterioros no deseados en el proceso y corregirlos con un mínimo de pérdidas. La Figura 3.4 muestra cómo un gráfico de control pierde la mayor parte de su valor si se recogen los datos sin tener en cuenta el tiempo. Si se mezcla el producto fabricado durante todas las unidades de tiempo antes de recoger los datos y se representa luego en el gráfico al resumir las marcas (como se hace en la Figura 3.1) mostrarán una distribución con una amplia dispersión aunque la capacidad del proceso es mucho mejor que lo que muestra el gráfico. Esto nos lleva a la regla de que sólo es posible establecer la capacidad natural del proceso cuando se han excluido los efectos del deterioro o, al menos, se han minimizado. Y también hay un corolario: de nada sirve representar gráficamente datos de elementos ausentes. El gráfico mostrará, casi siempre, que hay control. FORMA BÁSICA DE UN GRÁFICO DE CONTROL1 Un gráfico de control es un dibujo para determinar si el modelo de probabilidad es estable o cambia a lo largo del tiempo. Al describir la conclusión estadística sobre la variabilidad del proceso, se utilizó el término «proceso bajo control» para aludir a un proceso de producción capaz de ofrecer una proporción satisfactoria de elementos conformes con las especificaciones. Por tanto, «bajo control» implica que el modelo de variabilidad del proceso no cambia a lo largo del tiempo y que el proceso es capaz de cumplir con las especificaciones. El concepto «estar bajo control», en relación con los gráficos de control, está limitado a la variabilidad del proceso —que debe ser estable— sin tener para nada en cuenta la capacidad de éste. Hay diversos tipos de gráficos para diferentes casos de control referidos a distintas pautas de variabilidad. Pero todos ellos tienen unas cuantas características comunes y se interpretan de la misma manera. En todos los casos, el gráfico de control es una prueba de una hipótesis, hay un gráfico de control independiente para cada parámetro de la distribución objeto de estudio y el gráfico es una representación de un ciclo temporal de las zonas críticas de esta prueba sobre una escala de ciclos temporales.

1

Se ha dicho que el objetivo del gráfico de control es el de detectar un deterioro no deseado del proceso. El deterioro puede obedecer a múltiples causas —un taladro embotado, contaminación, dilución progresiva de un agente químico, fatiga, etc.— En general, es fácil detectar y ajustar el tipo de deterioro que pasa de uno a otro nivel, como se indica en la Figura 3.1. (Esta es la pauta que ofrece el desgaste de herramientas.) Si se da una dispersión del deterioro, el problema es más difícil de solucionar; éste sería el caso del deterioro que es producido por un cambio en la capacidad del proceso. Como regla general, el primer caso se puede solucionar mediante un simple ajuste en un determinado nivel del proceso. En el segundo supuesto hay que incluir, generalmente, trabajos de ingeniería.

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CONTROL DE CALIDAD

Figura 3.4. Comparación de pautas resultantes de representar gráficamente durante el tiempo de la muestra una tendencia en el proceso de fabricación y las mismas unidades bien mezcladas al entrar en la inspección: a) dispersión natural del proceso con nivel incontrolado; b) dispersión aparente del proceso producida por la pérdida de control durante el tiempo de la muestra.

En el ejemplo del taladro por múltiples husillos se supone que la distribución de la probabilidad es normal. Para probar la hipótesis de que la media de dicha distribución sea estable se crea un gráfico de control como sigue: Hipótesis indiferente:

H0: P = 0,8

Hipótesis alternativa:

H1: P  0,8

Como sólo se está probando la media, se asume que es constante en 0,89. Si H0 es cierta, las profundidades observadas, x, estarán normalmente distribuidas con una media de 0,8 y una desviación estándar de 0,89. En consecuencia, la probabilidad de que cualquier observación esté por encima de P + kı, o por debajo de P + kı estará representada por la pequeña zona rayada que aparece en la Figura 3.5 como Į/2. O, si se selecciona como zona crítica la situada fuera

Figura 3.5. Zona crítica con probabilidad de error tipo I = Į.

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de los límites P + kı y P – kı, la probabilidad de un error tipo I (error de rechazar H0 cuando es cierta) es Į. Se puede usar la Tabla Al para obtener Į de una determinada k o para obtener k un Į deseada. Si se selecciona un k de 2,00, el Į será 4,56 por 100. Los límites de control son las fronteras de esta zona crítica. Si la pauta de variabilidad es estable, tales límites serán idénticos en todas las observaciones. En un gráfico de un ciclo temporal, tales límites aparecerían como una línea horizontal, como muestra la Figura 3.6. En este ejemplo k = 2: límite superior de control = P + 2ı = 0,8 + 2(0,89) = 2,58 límite inferior de control = P - 2ı = 0,8 – 2(0,89) = –0,98 El gráfico de control completo aparece en la Figura 3.7. Puede verse que el elemento 6 está muy por debajo del límite inferior de control. Para el nivel seleccionado de significancia el número de elementos que se puede esperar que estén fuera de los límites de control es (15)(4,56)/100, menos de 1. Recordemos que el nivel de significancia es de Į = 4,56. Por ello, hay que rechazar la hipótesis de que la pauta de variabilidad (concretamente la media) es estable durante el tiempo de fabricación.

Figura 3.6. Comparación de los límites de control con los intervalos de confianza y los niveles de significancia.

USO DE GRÁFICOS DE CONTROL Los límites de control son los de decisión, que informan a quien los interpreta cuándo debe investigar. La posición de los límites de control, determina-

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Figura 3.7.

Gráfico de control simple.

dos por el valor k seleccionado, reflejara los deseos del intérprete de aceptar una probabilidad de equivocarse al adoptar la decisión. Si se da a k un valor 3, cualquier valor que caiga en o fuera de los límites de control lleva al intérprete a rechazar la hipótesis indiferente al nivel de significancia de 0,0013 (la mitad de 0,26 por 100) para cada límite. Las probabilidad de equivocarse al decidir sólo serán de 26 entre 10.000 en ambos límites, y de 13 por cada 10.000 si se considera un sólo límite. La zona más allá de P ± 3ı es aproximadamente igual a 0,0026. Este valor k = 3 es muy utilizado en la mayoría de las aplicaciones de gráficos de control. Un gráfico de control actúa como poderoso estímulo para lograr mejoras, al par que sirve para prevenir ajustes indiscriminados. El rechazo de la hipótesis de que el proceso sea estable sólo se produce cuando hay una razón poderosa para pensar que ha habido alguna desviación. Se deja solo al proceso hasta que se produce algún síntoma de anomalía que indica que está justificado iniciar una investigación para tratar de hallar su causa. Como consecuencia de su poderoso efecto psicológico sobre las mejoras, hay que prestar la debida atención a los síntomas que muestre el gráfico de control. Si no se lleva adecuadamente el gráfico ni se investiga la causa de los síntomas de anomalía que aparezcan para determinar su causa, mejor sería eliminarlo. En caso contrario, entre el personal se creará una actitud despectiva hacia los gráficos, que pasarán a considerar como simples juguetes de la gerencia. Esta actitud dará

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pie a otros problemas no necesariamente relacionados con el control de calidad. Por contra, un gráfico adecuadamente llevado producirá beneficios en cualquier fábrica u organización de tipo administrativo. Es muy difícil que una persona o grupo de personas ignoren unas normas que conformen un objetivo que se puede lograr y que se exhiban en el lugar apropiado. Por el contrario, debe entenderse que es humano no esforzarse para alcanzar un estándar virtualmente imposible de lograr dados los resultados reales. Hay un punto, que varía según las diferentes personalidades de los empleados, en que éstos se sienten frustrados y adoptan una postura indiferente dada su incapacidad para lograr el estándar que se les exige. Esta situación no sólo afecta al trabajador, sino también a la gerencia. La Figura 3.8 muestra alguna de las indicaciones más clásicas de anomalías.

Figura 3.8. Gráfico de control que proporciona evidencia para investigar. Forma-, to de porcentaje de elementos defectuosos usado para ilustrar.

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CREACIÓN DE UN GRÁFICO DE CONTROL El control de un proceso por medio de gráficos de control incluye dos fases. Que un proceso esté «bajo control» implica que la pauta de distribución de probabilidad de los resultados del proceso no varía de forma significativa a lo largo del tiempo. Por ejemplo: pensemos en el atributo «profundidad x del orificio taladrado». Un gráfico de control probaría la hipótesis de que la distribución de la probabilidad de x es estacionaria (no varía significativamente a lo largo del tiempo). Más concretamente: la media de distribución es una constante:

En general, el valor numérico de P0 no será conocido. La primera fase, a lo que llamamos período base, se usa para estimar parámetros tales como P0. Los valores estimados se utilizarán en el período siguiente, llamado período de vigilancia:

Fase 1: Análisis del período base

Sea xi = valor medio observado del atributo en la i-ésima muestra. Esta es la estadística del test; Į = el error del tipo I especificado; n1 = número de muestras en el período base; 1 n1 Pˆ 0 ¦ xi = estimado de la media obtenida durante el período n1 1 base; g(·) = distribución condicional de x dada una media = Pˆ 0 ; G(·) = acumulativo de g(·). La hipótesis que se prueba en el período base es: H0: PX = Pˆ 0

contra H1: Px  Pˆ 0

Se rechaza la hipótesis si G ( xi ) < Į/2 o si G ( xi ) > 1 – Į/2 para cualquier muestra i durante el período base. La aceptación de Ho implica que el proceso está bajo control durante el período base; y la media del proceso = Pˆ 0 .

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Fase 2: Análisis del período de vigilancia

Se sigue usando el estimado Pˆ 0 obtenido durante el período base durante el período de vigilancia. De aquí que se continúe utilizando la misma distribución G(·). La hipótesis que se prueba en el período de vigilancia es: Ho: PX = Pˆ 0

del período base

contra H1: PX  Pˆ 0 La hipótesis se rechaza si G ( x j ) < Į/2 o si G ( x j ) > 1 — Į/2 para cualquier muestra j durante el período de vigilancia. Mientras se siga aceptando la hipótesis, se dice que el proceso está bajo control. Para probar esta hipótesis hay que establecer un conjunto de límites de control. En el límite inferior de control: G ( x ) = Į/2 En el límite superior de control: G ( x ) = 1 — Į/2 La progresión por las dos fases citadas se demostrará con un ejemplo en el capítulo siguiente. Si se rechaza la hipótesis se indicará mediante los términos: 1) proceso fuera de control; 2) un aviso del gráfico de control; 3) falta de control. CAUSAS PARA INICIAR LA INVESTIGACIÓN

Una vez que la pauta del gráfico de control ha indicado que debe realizarse una investigación para hallar la causa de una variación no aleatoria, se puede revelar uno de los puntos siguientes: 1. La causa de la desviación es una variación aleatoria que sólo se esperaba que ocurriera k veces de cada 1.000; esto es, no parece haber una justificación. Habrá, pues, que tener en cuenta esta desviación al definir el siguiente estándar. 2. La desviación tiene una causa identificable que es posible eliminar. Por ejemplo, no puede eliminarse la actividad cíclica o estacional. Habrá que tenerlas en cuenta para futuros casos de control, sea como desviaciones esperadas, o, si el ciclo o la estación tiene una duración considerable, como estándares cíclicos o estacionales. 3. La desviación es determinable y está provocada por una recogida defectuosa de datos. Esta recogida defectuosa de datos puede referirse a una medida no fiable o a un decimal mal colocado en los cálculos o a una mala marca en el gráfico. 4. La desviación tiene una causa determinable y que se debe a uno o más recursos: mano de obra, maquinaria o materiales.

98

CONTROL DE CALIDAD

Los gráficos de control se utilizan para la adopción de decisiones a corto y largo plazo. Las decisiones a corto plazo se dan cuando se inicia una labor de investigación como resultado de un síntoma de anomalía indicado por el gráfico de control. Las decisiones a largo plazo son consecuencia de una decisión de incluir o excluir ciertos datos en el estándar y los límites de control futuros. En general, la investigación llevada a cabo durante el período base indica la capacidad del proceso. Estos conocimientos se pueden utilizar para indicar lo que es posible lograr, si se mantiene un control satisfactorio del proceso, en períodos posteriores. RESPONSABILIDAD POR EL GRÁFICO Y POR LAS ACCIONES DE AJUSTE Muchas empresas confían al departamento de Control de Calidad todo lo concerniente a la actualización y mantenimiento del gráfico. Esto puede ser necesario en los primeros momentos en que éste se pone en práctica, pero, generalmente, el objetivo final tendría que ser que el departamento de Producción tuviese a su cargo el gráfico y la toma de decisiones. En primer lugar, porque el gráfico de control es una herramienta para controlar el proceso. Unos principios organizacionales sólidos exigen que el supervisor de producción no sólo sea el responsable, sino que tenga todas las herramientas precisas para controlar el proceso. El gráfico de control es una de las más valiosas y, en consecuencia, debe estimularse al supervisor para que lo utilice y lo mantenga actualizado. El uso y atención exclusiva del gráfico de control por parte del departamento de Control de Calidad tiene una connotación de medida punitiva y producirá una reacción en el departamento encargado del proceso, que tenderá a resistirse e ignorar la valiosa información incluida en el gráfico.

MUESTREO DEL PROCESO Un proceso puede ser sometido a muestreo con doble finalidad: 1) control del proceso; 2) aceptación de los productos del proceso. En este último caso, el objetivo es obtener una muestra representativa del producto procesado desde el período de muestreo anterior, para lo que se seleccionan de manera aleatoria y estratificada elementos para la muestra del proceso de producción. En el primer caso, el objetivo es el de control y deberán seleccionarse los elementos para que den variaciones mínimas dentro de la muestra y máximas entre muestras. Cabría hablar aquí de los prejuicios del observador y sus efectos. Los prejuicios del operador deben mantenerse a un nivel mínimo, toda vez que, si se utiliza adecuadamente, el gráfico de control es una herramienta que debe emplear lo mismo que cualquier otra que tenga en su caja. Si se teme que los prejuicios puedan surgir de forma cíclica, habrá que elegir de forma aleatoria el momento en que debe seleccionarse cada muestra. En general, el propósito de un muestreo de aceptación es garantizar calidad después de haber fabricado los

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CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

elementos. Un muestreo de control debe proyectarse para obtener del modo más rápido posible cualquier indicación sobre una desviación.

PROBLEMAS 3.1. Se realizaron las siguientes lecturas sobre la resistencia a la tensión en una línea procesadora de acero después del tratamiento térmico. Fecha 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Resistencia (1.000 psi) 95,5 96,5 90,5 100,0 97,0 93,5 90,0 89,5 92,5 96,5 97,0 99,5 91,0 102,0 87,0

Fecha

Resistencia (1.000 psi)

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

93,0 87,5 96,5 98,0 96,0 98,5 94,0 96,5 98,0 92,0 93,8 96,0 94,0 95,0 94,5

a) Estimar la media y la desviación estándar de la resistencia a la tensión. b) Determinar los límites inferior y superior de control usando k = 2,5. ¿Es estable el proceso? c) Dibujar un gráfico similar al de la Figura 3.7. d) ¿Qué conclusiones se extraen del gráfico? 3.2. Los paquetes de pizzas congeladas Torino vienen marcados con un contenido de «peso neto 800 g». Se tomó una muestra de 30 paquetes y se pesaron. a) Asumiendo que los pesos estaban distribuidos de forma normal, calcular la media y la varianza. b) ¿A qué porcentaje de paquetes les faltarán más de 10 g de peso? c) Determinar los límites superior e inferior de control usando k = 2. d) ¿Está el proceso de producción «bajo control» (en el sentido de que la variabilidad del proceso es estable)?

CONTROL DE CALIDAD

100

Número del paquete

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Peso

789 771 800 800 798 804 809 787 799 795 794 800 791 807 802

Número del paquete

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Peso

795 794 792 786 805 798 809 793 791 811 802 816 782 784 793

4 Gráficos de control para características variables de calidad

Una característica variable de calidad es aquella que se puede medir según una escala de valores variable. Como la magnitud de la desviación se puede determinar mediante instrumentos para medición de variables, resulta posible obtener más información sobre la característica de calidad objeto de estudio. Como podría suponerse esa información sólo se obtendrá si se invierte más dinero. En general los instrumentos para medición de variables son más costosos de adquirir, mantener y utilizar. Sin embargo, en muchas ocasiones la información que se logra y la reducción de inspecciones que se posibilita compensan con creces la cantidad invertida. Ejemplos muy conocidos de características variables son la temperatura, presión, resistencia a la tracción, dureza y acidez. También son más o menos familiares los calibres que se utilizan para medir dichas características. En muchas ocasiones, características que normalmente se consideran como atributos pueden ser convertidas a una escala de variables. Un ejemplo es la gradación de sabores. Además de calificar como bueno o malo el sabor de cierto tipo de alimentos o de una bebida determinada, se pueden asignar valores numéricos «bueno» y «malo» con objeto de obtener una gradación de tipo variable. Los gráficos de control son, probablemente, el método más utilizado de control de calidad de características variables. Aun tratándose de una herramienta importante para el control de calidad resulta exagerada la atención que ha recibido en las publicaciones sobre el tema, así como en las instituciones docentes y en los cursos de capacitación sobre control de calidad. La gran difusión de este método ha dado lugar a utilizarlo en muchos casos en los que no existe justificación económica para ello. Se trata de un recurso de control que sólo se debería emplear para un pequeño porcentaje de la totalidad de las características de calidad. Sin embargo, cuando su uso está justificado, se 101

102

CONTROL DE CALIDAD

convierte en un instrumento de gran importancia y sumamente efectivo para controlar la calidad de un determinado proceso durante su desarrollo. PRINCIPIOS BÁSICOS SOBRE GRÁFICOS DE CONTROL Un gráfico de control no es más que una sencilla técnica gráfica para observar y controlar una característica de calidad de una sola variable. Su función es la de obtener una estimación del parámetro principal que describe la variabilidad de dicha característica para luego aplicar técnicas de comprobación de hipótesis a fin de establecer si el proceso está controlado. En el trabajo de taladrado mediante múltiples brocas mencionado en el Capítulo 3, consideramos la «profundidad del orificio» como la característica individual de mayor importancia. El proceso de «taladradado» se consideraría estable y «bajo control» siempre que la variabilidad de la «profundidad del orificio» se mantuviese constante. Llamaremos xi a la profundidad del agujero del i-ésimo artículo producido y llamaremos P y ı2 a la media y a la varianza de la variable aleatoria xi. Si se observa una muestra de n elementos (por ejemplo: se mide el valor de xi para cada uno de dichos elementos) la distribución de probabilidades de la media de profundidades, x , será, aproximadamente, la normal, de acuerdo con el teorema del límite central. Para x , la media y la varianza serán P y ı2/n, respectivamente. Si el proceso de taladrado es estable, ocurrirá que, en todas las muestras observadas, de n elementos cada una, la media de las profundidades observadas X estará de acuerdo con la distribución de probabilidades establecida: normal con media P y varianza ı2/n. Por otra parte, si se hallan varios valores de X que no estén de acuerdo (por ser demasiado grandes o demasiado pequeños), habrá razones para suponer que el proceso ha dejado de ser estable. Para cualquier muestra j, se puede determinar la consistencia de X j mediante la técnica de prueba de hipótesis. Supongamos que el valor deseado de la media sea P .. La hipótesis nula sería que «el proceso de taladrado funciona correctamente». De acuerdo con la misma, la media P sería igual a P . La hipótesis alternativa sería la de que «el proceso de taladrado está fuera de control», en la que la media P es distinta de P. Hipótesis nula: Ho: P = P0 Hipótesis alternativa: H1: P  P0 Si la hipótesis nula es cierta, los valores observados de X seguirán una distribución normal con una media P y una desviación estándar V / n .En consecuencia, la probabilidad de que cualquier X esté por encima de P0 + kV / n o por debajo de P0 — kV / n estará representadas por la zona rayada de la Figura 4.1. Designemos como Į/2 la pequeña zona rayada que aparece en cada lado. Si se establece una norma de toma de decisiones según la cual Ho será rechazada siempre que el valor X} de una muestra aparezca dentro de la zona rayada, la probabilidad de que se rechace Ho pese a ser cierta es de Į/2 + Į/2 ó Į. Este es el error tipo I.

GRÁFICOS DE CONTROL PARA CARACTERÍSTICAS VARIABLES DE CALIDAD

103

Figura 4.1. Densidad de probabilidades de X en H0.

Por ejemplo, supongamos que P0 = 0,8; n = 1 y k = 2. En este caso,

Para el valor k = 2, la probabilidad a puede hallarse en la Tabla Al y es de 4,56 por 100. La norma de decisión para determinar la estabilidad del proceso sería: «Tome una muestra de un artículo. Mida la profundidad del agujero taladrado. Si está dentro de los límites —0,98 a 2,58 acepte la hipótesis. Si la profundidad es menor de —0,98 o mayor de 2,58 rechace la hipótesis.» Si se acepta H0, la consecuencia que se sigue es que el proceso se halla bajo control. Si se rechaza, ello implica que el proceso está fuera de control. Los límites U y L se conocen como límite de control superior e inferior, respectivamente. Al utilizar esta norma de decisión, la probabilidad de que se declara que un proceso está «fuera de control» cuando, de hecho, estaba «bajo control» es de tan solo un 4,56 por 100. Los límites U y L pueden emplearse para vigilar el proceso tomando muestras de la cadena de producción. Para facilitar su evaluación se prepara un gráfico como el de la Figura 4.2, que se denomina gráfico de control. Él valor del estimador, en este caso X, para cada muestra aparece marcado en el gráfico. En tanto el valor marcado se halle dentro de los límites de control U y L, la conclusión es que el proceso está «bajo control». En la muestra 7, el valor de X está fuera de los límites de control y, por tanto, la conclusión debe ser que el proceso «no está bajo control».

104

CONTROL DE CALIDAD

Figura 4.2. Gráfico básico de control.

USO DE GRÁFICOS DE CONTROL

La Figura 4.1 muestra que la probabilidad de cometer un error tipo I (es decir, llegar a la conclusión de que de H0 es falsa cuando el hecho es que es verdadera) depende de la k seleccionada. La Tabla 4.1 presenta la probabilidad máxima de dicho error (en porcentajes) bajo diferentes premisas de la función de distribución de probabilidad del cálculo. Condición 1: La distribución de probabilidad es aproximadamente normal. Condición 2: La distribución es simétrica respecto a la media y su varianza es finita. Condición 3: La varianza es finita. Los límites de control son límites de decisión que informan a quien los interpreta cuándo debe investigar. La posición de los límites de control, d terminada por el valor k seleccionado, reflejará los deseos del intérprete de aceptar una probabilidad de equivocarse al tomar la decisión. Si se da a k un valor 3, cualquier valor que caiga en o fuera de los límites de control lleva al intérprete a rechazar la hipótesis indiferente al nivel de significancia de 0,0013 (la mitad del 0,26 por 100) para cada límite. Las probabilidades de equivocarse al tomar la decisión será únicamente de 26 entre 10.000 en ambos límites y de

GRÁFICOS DE CONTROL PARA CARACTERÍSTICAS VARIABLES DE CALIDAD

105

13 por cada 10.000 si se considera un solo límite. La zona más allá de P ± 3ı es la más utilizada por la gran mayoría de las aplicaciones de gráficos de control. TABLA 4.1. Probabilidades de error tipo I bajo diferentes asunciones sobre la distribución de probabilidad k

Condición 1

2 2,5 3 3,5

Condición 2

4,55 1,24 0,26 0,05

Condición 3

11,1 7,1 4,9 3,6

25,0 16,0 11,1 8,2

GRÁFICOS PARA CARACTERÍSTICAS VARIABLES DE CALIDAD

Cuando se miden las características de calidad mediante una muestra de artículos, en la mayoría de los casos se puede asumir que resulta aplicable el teorema del límite central y que el promedio de los valores medidos tendrá, aproximadamente, una distribución normal. Para describir completamente la distribución normal se necesitan dos parámetros, P y ı2. En consecuencia, se requieren dos gráficos para controlar cualquier característica variable: uno para vigilar el estimador de la media, y el otro para vigilar el estimador de la variabilidad. El estimador de la media es:

X

1 n ¦ xi ni1

Los estimadores de la variabilidad son: R = xi (máximo) — xi(mínimo)

Vˆ

1 n ( x1  x )2 ¦ ni1

A estos pares de gráficos se los conoce normalmente como gráficos X y R o gráficos X y Vˆ . Los límites de control suelen establecerse en k = 3, esto es límite superior de control = media del estimador + 3 desviaciones estándar del estimador. límite inferior de control = media del estimador — 3 desviaciones estándar del estimador.

106

CONTROL DE CALIDAD

Figura 4.3. Gráfico X.

Ejemplo 4.1

Las especificaciones indican que la longitud de un tornillo debe ser de 20 mm. Para fabricarlos se utiliza un equipo semiautomático. En la Tabla 4.2 se muestran los resultados de haber tomado muestras de 5 tornillos durante cada hora de su fabricación. Las Figuras 4.3, 4.4 y 4.5 muestran los gráficos X , R y Vˆ de las observaciones de esas ocho muestras. Gracias a la sencillez de los cálculos, los gráficos X y R se usan mucho más que los gráficos X y Vˆ . TABLA 4.2. Datos del muestreo.

GRÁFICOS DE CONTROL PARA CARACTERÍSTICAS VARIABLES DE CALIDAD

Figura 4.4. Gráfico R.

Figura 4.5. Gráfico V .

107

108

CONTROL DE CALIDAD

DERIVACIÓN DE FACTORES DE GRÁFICOS DE CONTROL

Los límites de control de cualquiera de los tres tipos de gráficos de control van dirigidos a k = 3, tres veces la desviación estándar de los estimadores. Al construir los gráficos en la práctica, tanto para el período base como para el de vigilancia, se usan factores precalculados para estimar los límites de control de medias de pequeñas muestras ( X ), recorridos de pequeñas muestras (R) o las desviaciones estándar de la muestra, Vˆ 1 . Estos factores se designan por medio de símbolos y aparecen tabulados en la Tabla A8. Hagamos que P y ı2 denoten el parámetro de la característica X. Usando las distribuciones aproximadas de X , R y Vˆ se puede ver que la media de X ; P ; promedio de X (designado como X) la desviación estándar de X ;

V n

la media de R ; R la desviación estándar del recorrido no tiene una media de aproximación simple de Vˆ ; V la desviación estándar de Vˆ ;

V 2n

Los factores para el cálculo de los límites de control se definen del modo siguiente: c2 = factor para estimar ı a partir de Vˆ

Vˆ = promedio de Vˆ V c2 V d2 = factor para estimar ı a partir de R

R

A1 = factor para determinar «3 veces la desviación estándar de X » a partir de V

3˜

1

V n

; A1 ˜ V

límite superior de control para el gráfico X

X  A1V

límite inferior de control para el gráfico X

X  A1V

Los símbolos a y s se usan para indicar la cantidad de la muestra. Ambos símbolos se utilizan en este libro.

GRÁFICOS DE CONTROL PARA CARACTERÍSTICAS VARIABLES DE CALIDAD

109

A2 = factor para determinar «3 veces la desviación estándar de X » a partir de R 3˜

V n

; A2 ˜ R

límite superior de control para el gráfico X  A2 R límite inferior de control para el gráfico X

X  A2 R

B3 = factor para determinar el límite inferior de control para el límite inferior de control del gráfico Vˆ B3V B

B4 = factor para determinar el límite superior de control para el límite superior de control del gráfico Vˆ B4V B

D3 = factor para determinar el límite inferior de control para el límite inferior de control del gráfico R = D3 R D4 = factor para determinar el límite superior de control para el límite superior de control del gráfico R = D4 R Estos factores han sido calculados en numerosas oportunidades tabulándolos cuando la distribución de probabilidad de X es aproximadamente normal. La mayoría de la variabilidad encontrada en los procesos de fabricación justifica una asunción de normalidad aproximada. Esto permite adaptar fácilmente tales valores tabulados de los factores c2, d2, A1, A2,, B3, B4, D3 y D4 para determinar los límites de control. INICIO DE UN GRÁFICO DE CONTROL

Antes de dar inicio a cualquier técnica relativa a gráficos de control es preciso adoptar tres decisiones críticas. Estas decisiones tienen que ver con el tamaño de la muestra, el período base y el nivel de significancia y se explican mediante gráficos X y R, como ejemplo. Tamaño de la muestra

Es el tamaño n, o número de elementos incluidos en cada muestra. De acuerdo con el teorema del límite central (Cap. 2) la distribución del promedio X de la muestra es aproximadamente el de una distribución normal y la aproximación mejora a medida que aumenta el tamaño n de la muestra. Por esta razón, es preferible utilizar una muestra de gran tamaño. Por otra parte, si la producción cubierta por una sola muestra debe ser homogénea, es deseable que transcurra un lapso muy breve de tiempo y que el tamaño para la muestra incluya concesiones recíprocas entre ambos aspectos. Lo más corriente es que se usen los valores 4 ó 5 como tamaños de muestra. Para la mayoría de los productos industriales las medias de muestras tomadas en muestreos de tamaño 4 ó 5, proporcionan una aplicación aceptable del teorema del límite central.

110

CONTROL DE CALIDAD

Desde un punto de vista práctico no es difícil encontrar una media y un recorrido en una muestra de 4 ó 5 y la mayoría de los operadores son capaces de manejar esta aritmética tan elemental. En muchos casos los gráficos los actualizan a diario (o en cada turno) los mismos operadores. Período base

Un gráfico de control es un proceso de vigilancia e incluye una prueba de una hipótesis para todos y cada una de las muestras. Mientras no se rechace la hipótesis, la conclusión es que el proceso está bajo control. Esta prueba de la hipótesis exige necesariamente el conocimiento de la distribución condicional de X : g( X |H0 es verdadera) y, como consecuencia, la zona crítica para aceptar o rechazar Ho. Por lo general, en el período base se suelen realizar al menos 20 muéstreos antes de que se consideren satisfactorias las estimaciones. Para determinar si el proceso ha sido estable durante el período base se prueban todas las medias de las muestras observadas en el período base contra la zona crítica de la distribución condicional estimada. El proceso será considerado estable si ninguna indica el rechazo de Ho. Nivel de significancia

Es la probabilidad máxima de error del tipo I o Į. La selección de determina la zona crítica. Para gráficos X , con aproximación normal, la zona de aceptación generalmente utilizada es Pˆ r 3Vˆ donde Pˆ y Vˆ son las estimaciones de la media y la varianza de X , obtenidas durante el período base. Esto da un valor de Į = 0,0027, o 27 por 100.

Pˆ

x =

promedio de todos los valores de X

Vˆ

A2 R

donde R es el promedio de recorridos y A2 es un factor dependiente del tamaño n de la muestra. Zona de aceptación: X + A2 R .

El gráfico de control en el período de vigilancia

Una vez determinada la zona de aceptación para el período base y establecida la estabilidad del proceso, se prepara un gráfico para vigilarlo. Se dibujan, en papel cuadriculado, tres líneas horizontales. Línea X + A2 R Línea X Línea X — A2 R

límite superior de control (UGL) línea central (CL) límite inferior de control (LCL)

GRÁFICOS DE CONTROL PARA CARACTERÍSTICAS VARIABLES DE CALIDAD

111

Se marcan sucesivamente los valores de los promedios X de la muestra para todas las obtenidas en el período de vigilancia. Siempre que un valor esté por encima del UCL o por debajo del LCL, se dice que da un «aviso». Un aviso indica el rechazo de H0 y la conclusión es que el proceso no está bajo control. Existe un segundo gráfico para vigilar la variabilidad. Este tiene dos líneas horizontales. Línea D4 R Línea D3 R

límite superior de control (UCLR) límite inferior de control (LCLR)

En este gráfico se marcan los recorridos R de la muestra. Ejemplo 4.1 (Continuación)

Si en el ejemplo 4.1 se consideran las primeras ocho horas como período base, se pueden calcular las líneas para el período de vigilancia usando los factores A2, D3 y D4 de la Tabla A8. Para una muestra de tamaño 5: _X en el período base R en el período base A2 D3 D4

19,975 0,8875 0,58 0 2,11

Para el período de vigilancia: Gráfico X : Límite superior de control = X + A 2 R = = 19,975 + 0,58(0,8867)= 20,49 Gráfico X : línea central = X = 19,975 Gráfico X : límite inferior de control = X — A 2 R = = 19,975 - 0,58(0,8875) = 19,46 Gráfico R. límite superior de control = D 4 R = 2,11(0,8875) = 1,8726 Gráfico R límite inferior de control = D 3 R = 0(0,8875) = 0 Estos límites se han mostrado en los gráficos de las Figuras 4.3 y 4.4, respectivamente. (El lector puede verificar dichos límites en el gráfico de la Figura 4.5 como B4 V y B3 V , respectivamente.) B

PROCESO NO ESTABLE DURANTE EL PERIODO BASE En el ejemplo 4.1 los valores X y R de la muestra durante el período base estaban dentro de los límites de control, como muestran las Figuras 4.3 y 4.4. Esto implica que el proceso hubiera sido considerado «bajo control» de haber utilizado los mismos límites de control para el período base y para el de

112

CONTROL DE CALIDAD

vigilancia. Dicho de otro modo: las observaciones del período base estaban de acuerdo con los parámetros calculados a partir de ellas. Esto indica estabilidad del proceso de fabricación. Cuando el proceso de fabricación es estable, se pueden usar con toda confianza durante el período de vigilancia los límites de control obtenidos a partir de las observaciones del período base. Si cualquiera de los valores de X o R durante el período base estuvieran fuera de los límites de control, ello indicaría una probable falta de estabilidad del proceso. Cuando el proceso no es estable durante el período base, habría que poner en duda la validez de utilizar límites de control para el período de vigilancia. La vigilancia exige «los límites de control obtenibles si el proceso hubiera sido estable». Si la inestabilidad del período base es inherente al proceso (equipo gastado, mala calidad de los materiales), es mejor prescindir de los resultados de dicho período y reiniciar el trabajo una vez corregidas las causas de tal situación. Si la inestabilidad se debe a la novedad del producto o del proceso y/o a que los trabajadores encargados no están familiarizados con el producto, los límites de control se pueden obtener como sigue: 1. Si el tiempo lo permite y las observaciones no resultan demasiado caras, se puede iniciar un nuevo período base. Para ese momento, el proceso ya se habrá estabilizado, probablemente. 2. Controlar si el proceso es estable si se eliminan las observaciones «fuera de los límites de control». Para poder adoptar la opción 2, se utiliza el siguiente procedimiento: Paso 1. Iniciar un período base de al menos 25 muestras. Paso 2. Calcular X y R . Calcular los límites de control. Paso 3. Revisar el gráfico R. Si todas las observaciones caen dentro de los límites de control, ir al paso 4. Si hay observaciones que están fuera del límite superior de control, eliminar las muestras correspondientes del período base e ir al paso 2. Paso 4. Revisar el gráfico X . Si todas las observaciones están dentro de los límites de control ir al paso 5. Si hay observaciones fuera de algunos de los límites de control, elimine la muestra correspondiente del período base. Si quedan en el período base 15 muestras o menos, prescindir del período base. En caso contrario ir al paso 2. Paso 5. Extender los límites de control al período de vigilancia. Ejemplo 4.2

Una marca de gaseosas se vende en botellas que marcan 325 ml. Se llenan en una máquina automática. Durante el primer turno, cada quince minutos de fabricación, se toman muestras de cinco botellas con los resultados que aparecen en la Figura 4.3. La medida x es el número de mililitros por encima de 300. Se obtienen valores iniciales tentativos de los límites de control para este período base.

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GRÁFICOS DE CONTROL PARA CARACTERÍSTICAS VARIABLES DE CALIDAD

TABLA 4.3. Datos del muestreo. Número de la muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

X

R

Número de la muestra

X

R

29,0 25,0 26,0 25,2 25,4 28,0 26,0 27,0 24,8 21,4 23,9 24,1 27,0 26,8 26,4

11 8 5 5 3 4 5 4 7 4 3 5 4 6 2

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

23,8 27,0 28,4 25,4 26,2 27,0 26,0 28,0 26,4 27,3 24,0 22,6 28,0 24,4 26,4

4 5 3 7 6 5 5 3 6 4 4 2 6 5 3

De la Tabla A8, para un tamaño de la muestra de 5, A2 = 0,58, D3 = 0, DA = 2,11.

Límite superior de control para R = D4 R = 2,11 x 4,8 = 10,13 Límite inferior de control para R = 0 Límite superior de control para X X + A2 R = 25,9 + (0,50 x 4,8) = 28,68 Límite inferior de control para X X - A2R = 25,9 (0,58 x 4,8) = 23,12 De acuerdo con el paso 3, se comparan todos los recorridos con estos límites tentativos. La muestra 1 está por encima del límite superior de control (véase Fig. 4.6). Esto quiere decir que el proceso no es estable durante el período base. Se elimina del conjunto de datos la muestra 1. Se obtienen nuevos límites tentativas de las 29 muestras restantes. X R

¦ X 747 29 29 ¦ R 133 29

29

25, 76 4, 59

Límite superior de control para R Límite inferior de control para R Límite superior de control para X Límite inferior de control para X

= 2,11 x 4,59 = 9,68 =0 = 25,76 + (0,58 x 4,59) = 28,42 = 25,76 - (0,58 x 4,59) = 23,10

Volviendo al paso 3, se comparan todos los recorridos con estos límites tentativos. Todos los recorridos están dentro de los límites de control. Yendo al paso 4, se comparan todos los valores de X con los límites de control. Las muestras 10 y 27 están por debajo del límite inferior de control. Se eliminan estas dos del conjunto de datos. Se obtienen nuevos límites tentativos para las restantes 27 muestras. X R

703 27 127 27

26, 03 4, 70

114

CONTROL DE CALIDAD

Figura 4.6. Gráfico de control cuando el proceso no es estable durante el período base.

Límite superior de control para R = 2,11 x 4,70 = 9,92 Límite inferior de control para R = 0 Límite superior de control para X = 26,03 + 0,58 x 4,70 = 28,76 Límite inferior de control para X = 26,03 - 0,58 x 4,70 = 23,30 Volviendo a los pasos 3 y 4, se observa que los 27 corridos y X están dentro de sus respectivos límites de control. El conjunto de datos del período base tiene 27 muestras. Es posible llegar a la conclusión de que los límites de control se mantendrán si el proceso ha de permanecer bajo control. En conclusión: se aplican los límites (28,76 y 23,30 para X y 9,92 y 0 para R) al periodo de vigilancia. Al mismo tiempo se intenta establecer las posibles causas para la falta de control en las muestras 1, 10 y 27. EL GRÁFICO DE CONTROL DURANTE EL PERIODO DE VIGILANCIA

Una vez establecidos los límites de control durante el período base, se pueden utilizar durante el período de vigilancia para probar la hipótesis «el proceso es estable» (por ejemplo: está bajo control). Una vez establecidos los límites de control, no se modifican durante el período de vigilancia hasta que se de el aviso (por ejemplo: la observación de una muestra indica que el proceso está fuera de control y se rechaza la hipótesis). Cualquier aviso exigiría investigar las causas que producen esa situación de fuera de control. La investigación puede conducir a dos posibles decisiones: 1) la causa probable se considera aleatoria e improbable en cuanto a su repetición. En este caso se deja sólo al

GRÁFICOS DE CONTROL PARA CARACTERÍSTICAS VARIABLES DE CALIDAD

115

proceso y no se modifican los límites de control de los gráficos. 2) La probable causa exige una acción correctora. Si se decide en favor de una acción correctora, se prescinde del anterior gráfico de control y se inicia un nuevo período base. Ejemplo 4.1 (Continuación) La observación de ocho muestras durante el período de vigilancia arrojó los resultados que se muestran en la Figura 4.4. Los gráficos de control X y R durante dicho período aparecen en las Figuras 4.7 y 4.8. Las primeras seis muestras indican que el proceso está fuera de control en el gráfico X . En cualquiera de los gráficos puede aparecer una situación fuera de control. Un proceso bajo control debe aparecer como tal en ambos gráficos. Si la investigación para hallar las causas de la situación de fuera de control (muestra 7) conduce a iniciar acciones correctoras, se prescindirá de este gráfico y se iniciará un nuevo período base. TABLA 4.4 Número de la muestra 1 2 3 4 5 6 7 8

X 19,95 19,80 20,32 20,04 19,86 20,08 20,60 20,12

R 0,9 0,7 1,3 1,0 0,8 0,7 1,2 0,9

Figura 4.7. Gráfico X del periodo de vigilancia

116

CONTROL DE CALIDAD

Figura 4.8. Gráfico R del período de vigilancia.

PROBLEMAS 4.1.

Un fabricante de chocolate produce pastillas envueltas individualmente. Cada tableta tiene un peso nominal de 30 g que aparece impreso en la envoltura. Para el control de calidad se inspecciona una muestra de tres tabletas cada diez minutos de fabricación. Se considera que el proceso está fuera de control (por ejemplo: se rechaza H0) siempre que el promedio X de la muestra caiga fuera de los límites 2,56 por ambos lados de la media deseada, P = 30 g. Se asume que la desviación estándar ı es 0,25 g y que el promedio X de la muestra está normalmente distribuido cuando el proceso está bajo control. En la muestra observada a las nueve y diez de la mañana el peso medio X es de 30,39 g. a) ¿Se rechaza la hipótesis indiferente H0? b) ¿Cuál es la probabilidad, Į, de que se rechace H0 cuando es cierta?

4.2.

¿Cuáles serían las respuestas al problema 4.1 si los limites de control se situara en 3ı en vez de en 2,5ı en ambos lados de P?

4.3.

Hay que crear los gráficos de control X y R para la anchura de un repuesto de automóvil. El tamaño de la muestra es 5. Se calculan X y R para cada muestra después de 20 muestras, Ȉ X = 309,5 y Ȉ R = 22,38. a) Determinar los límites de control para los gráficos X y R asumiendo que k = 3. b) Calcular, la desviación estándar.

GRÁFICOS DE CONTROL PARA CARACTERÍSTICAS VARIABLES DE CALIDAD

117

4.4.

Se deben mantener gráficos de control sobre el valor pH de un nuevo champú. El tamaño de la muestra es 4. Después de 25 muestras, Ȉ X = 175,5 y Ȉ R = 13,5. Para k = 3, determine los límites de control de los gráficos X y R.

4.5.

Disponer los gráficos de control X y R usando limites 3ı y los siguientes datos: tamaño de la muestra = 6 número de muestras observadas = 20 Ȉ X = 308,8* Ȉ R = 40,6

4.6.

Preparar gráficos de control X y R usando límites 3ı y los siguientes datos: tamaño de la muestra = 8 número de muestras observadas = 15 Ȉ X = 146,25 Ȉ R = 22,64

4.7.

Hay que preparar gráficos de control X y Vˆ para la potencia de un motor. El tamaño de la muestra es 5 y se observan 25 muestras. Ȉ X = 1.885 y Ȉ ı = 88. Establecer los límites de control de los gráficos X y Vˆ .

4.8.

Un fabricante de automóviles quiere preparar gráficos de control para el diámetro de los pistones. Se dan los siguientes datos: n = 6 número de muestras = 20 Ȉ X = 71,8 pulgadas Ȉ Vˆ = 2,32 Preparar los gráficos de control X y Vˆ .

4.9.

En el problema 4.8 la división de fabricación quiere eliminar cualquier pistón cuyo diámetro caiga fuera de 3,5 ±0,15 pulgadas. Suponiendo que los pistores tienen diámetros que siguen una distribución normal, ¿qué fracción de los pistones será desechada cuando el proceso de fabricación esté bajo control?

4.10. Para el artículo descrito en el problema 4.6, las especificaciones son 10,0 + 0,65. Suponiendo que el proceso esté bajo control estadístico, ¿hasta qué punto puede cumplir el proceso con las especificaciones? 4.11. Un repuesto de automóvil debe cumplir con las especificaciones 5,0 + 0,15. En caso contrario será desechado. Los datos reunidos por el departamento de control de calidad son los siguientes: n=5 número de muestreos = 20 Ȉ X = 100,2 Ȉ V = 4,8

118

CONTROL DE CALIDAD

Asumiendo que el proceso está bajo control, ¿qué porcentaje del total de repuestos fabricados cae fuera de los límites de control? 4.12. Los siguientes datos se refieren a 20 muestreos de cinco pistones cada uno durante el período base: Muestreo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X 2,6 1,6 3,4 1,6 2,0 4,4 3,6 4,6 3,8 3,2

R 13 8 12 12 7 18 15 8 17 12

Muestreo 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

X 4,8 1,4 3,4 3,2 5,6 4,6 3,4 2,8 5,6 2,2

R 13 8 7 6 6 6 7 4 8 6

La variable observada X es 1.000 (diámetro —3,475 pulgadas). Establecer los límites inferior y superior de los gráficos X y R durante el período base. Marcar los puntos en ambos gráficos. 4.13. ¿Indican los gráficos del problema 4.12 si el proceso está bajo control durante el período base? ¿Cómo se explicaría la diferencia entre la primera parte del gráfico R (muestreos 1-11) y la segunda parte del mismo (muestreos 12-20)? 4.14. Existen gráficos para el control de la resistencia a la tracción de una fibra de poliester. Se estima que la resistencia media es de 90 kg con una desviación estándar de 2 kg. El tamaño de la muestra es 7 y los límites de control X ± 36. Un cambio en la composición de uno de los productos químicos utilizados en el proceso aumenta la resistencia hasta 92,5 kg sin que haya cambios en la desviación estándar. Si no se reajustan los gráficos, ¿qué porcentaje del promedio de las muestras caerá fuera del límite superior de control?: a) ¿En el gráfico X ? b) ¿En el gráfico R ? 4.15. Hay que mantener un control de calidad de unas pilas. Durante el período base se realizaron 25 muestreos, de tamaño de cuatro elementos cada uno. Para los 25 muestreos del período base Ȉ X = 130,25 vatios, Ȉ R = 7,25. a) Determinar los límites de control durante el período de vigilancia. b) Durante el período de vigilancia, los tres primeros muestreos, de cuatro elementos cada uno, dieron un resultado de X igual a 5,01; 5,51 y 5,35 vatios. Determinar si algunos de esos tres muestreos estaba fuera de los límites de control. 4.16. En el problema 4.6, los valores de X en las cuatro primeras muestras del período de vigilancia fueron 10,28; 9,04; 10,4 y 9,4. Determinar si alguno de los promedios de dichas muestras estaba fuera de los límites de control. 4.17. Volvamos al problema 4.4. Después de preparar los gráficos de control se vigiló

GRÁFICOS DE CONTROL PARA CARACTERÍSTICAS VARIABLES DE CALIDAD

119

la calidad del champú. En un determinado muestreo de cuatro artículos los valores pH fueron 5,4; 7,3; 7,1 y 7,8. Basándose en esa muestra ¿qué se puede decir sobre el proceso con respecto a sus gráficos de control X y R? 4.18. Se llevan gráficos de control sobre la tolerancia de la temperatura de cierto termostato. Durante el período base se hicieron pruebas con 15 muestras, cada una de un tamaño de 6. Las pruebas dieron Ȉ X = 3079,8° C respectivamente. ¿Está el proceso bajo control? 4.19. Volvamos al problema 4.18. Un cambio repentino en el proceso cambia la temperatura media en d. Suponiendo que la varianza se mantiene y que la nueva X también está distribuida normalmente, ¿qué proporción de los puntos debe esperarse que caiga más allá del límite superior de control? El tamaño de la muestra se mantiene en 6. á) Solucionar el problema para d = +7° b) Solucionar el problema para d = – 1° 4.20. Volvamos al problema 4.7. Se produce una perturbación en el proceso que hace que la media X disminuya en 1,0. Suponiendo que se mantiene la característica normal de X y permanece igual, ¿qué porcentaje de puntos debe esperarse que caigan fuera de los límites de control? Asumir que el tamaño de la muestra durante el período de vigilancia es de 6. 4.21. La división de control de calidad de Hightek, fabricantes de fotocopiadores, quiere vigilar la longitud de cierto cilindro. Durante el período base inspeccionaron 20 muestras, cada una de ellas compuesta por cuatro elementos. Los datos son los siguientes: 62,0 57,4 57,7 60,5 63,2 60,6 65,5 63,4 66,1 58,1 61,1 62,4 59.9 60,4 61,1 62,8 61,9 60,3 62,8 60,2

62,5 61,9 61,2 60,9 63,4 61,2 64,9 63,5 65,9 57,8 62,3 63,1 59,6 59,4 63,2 62,4 62,1 60,8 63,1 59,8

65,0 58,9 60,6 59,8 59,9 59,8 62,9 60,1 63,7 57,6 62,2 60,0 57,4 59,5 57,8 59,8 63,1 62,2 60,6 59,9

64,0 65,6 59,3 62,7 63,3 62,2 64,3 59,8 62,8 61,2 58,7 60,2 61,3 58,3 59,2 60,4 59,1 61,6 63,4 62,0

¿Qué límites de control deben utilizarse para los gráficos X y R durante el siguiente período de vigilancia? 4.22. Una compañía fabricante de cable aislante quiere vigilar el diámetro de sus aisladores. Durante el período base se realizan 25 muestreos. El tamaño de cada uno es 4. Las medidas de los diámetros individuales son las siguientes:

120

CONTROL DE CALIDAD

4,9 5,0 4,4 4,6 5,2 5,0 4,3 4,9 5.9 5,3 4,6 5,3 4,9 5,2 5,4 4,6 5,7 5,1 5,9 5,0 4,9 5,4 5,2 4,0 5,3

4,8 5,8 4,7 5,8 5,3 5,9 4,6 4,9 6,4 5,9 4,6 5,8 5,3 5,4 4,8 4,4 5,4 4,3 6,4 5,1 5,9 5,9 4,7 4,8 5,8

5,1 5,3 4,8 5,4 6,1 5,8 4,7 5,5 6,1 6,1 5,3 5,4 5,2 4,6 4,2 4,9 5,0 5,7 6,2 4,5 5,3 4,4 5,7 5,1 6,0

5,4 5,3 4,6 4,9 5,2 4,8 4,5 5,7 6,5 4,8 5,0 5,1 5,7 5,5 5,1 5,1 4,8 5,8 6,1 4,8 5,2 5,0 5,8 5,8 6,3

Se propone establecer límites de control de X y R con límites 3ı: a) ¿Es el proceso estable durante el período base? b) Si el proceso no es estable, ¿qué acción necesaria se recomendaría para establecer los límites de control durante este período base? 4.23. Hay que mantener los gráficos de control X y R de una compañía de maquinaria pesada dentro de ciertas dimensiones. Se realizan 20 muestreos de un tamaño de cuatro cada uno. Las lecturas vienen dadas más abajo. Suponiendo que k = 3, establecen los límites de control para los gráficos X y R. 9,5 9,9 10,4 10,9 10,7 7,7 11,4 11,9 9,9 10,0 11,3 9,2 10,2 9,9 12,0 11,0 9,5 10,9 8,6 9,5

10,2 11,7 12,1 10,5 12,4 9,2 9,5 12,1 9,8 10,4 11,9 9,7 10,3 11,7 11,4 8,8 9,3 11,5 9,4 9,4

10,4 12,1 11,8 10,5 12,4 9,2 9,6 10,7 12,1 11,6 10,4 10,9 10,9 10,1 10,8 9,6 9,9 11,2 9,9 9,9

9,8 10,3 11,7 10,2 11,7 9,4 11,2 11,4 10,3 10,1 9,1 11,5 11,0 10,7 11,6 9,9 10,4 11,8 9,7 9,7

5 Procedimientos especiales de control de procesos

Cuando la característica de calidad es variable se suelen utilizar para control de procesos los gráficos X y R. De igual modo, cuando la característica de calidad es discreta, los gráficos más utilizados son los p, c y P. (Se estudian en el Capítulo 7.) Sin embargo, en ciertos casos puede resultar aconsejable (u obligatorio) utilizar ciertas variaciones de dichos procedimientos; a ellas nos referiremos en este capítulo. GRÁFICOS DE CONTROL PARA X Y s1 Al desarrollar gráficos X y R, el recorrido R de un subgrupo sirve de estimador de la desviación estándar a de la población. Un indicador alternativo de a es la desviación estándar 5 del subgrupo. Cuando x1, x2, ..., xm son las medidas de un subgrupo, la cantidad s se calcula como:

m

[5.1]

Cuando se usa s para calcular ı, los dos gráficos para controlar el proceso serán: 1) un gráfico X , en que los límites de control se basan en s, y 2) un gráfico

1 Estos son los gráficos a que aludimos en el Capítulo 4 como gráficos X y ó. Aquí se estudian con mayor detalle.

121

122

CONTROL DE CALIDAD

s. Comparados con los gráficos X y R, los gráficos X involucran mayor cantidad de cálculos a realizar. Aún más: los gráficos X sólo son aplicables cuando la distribución de la característica de calidad es aproximadamente normal. Si hubiera la mínima sospecha de que esta distribución pudiera diferir sustancialmente de la normal, lo aconsejable es no utilizar los gráficos X y s. Para preparar los gráficos X y s se observan m subgrupos de n elementos durante el período base. Se calculan las cantidades X i y si para cada subgrupo. A continuación, se usan las medias de aquéllas para obtener los valores estimados de la media P y de la desviación estándar ı: X

s

X i  X 2  ...  X m m

[5.2]

s1  s2  ...  sm m

[5.3]

Los factores A1, B3 y B4, tabulados en la tabla A8 se utilizan para obtener los límites tentativos de control. línea central para el gráfico límite superior de control para el gráfico límite inferior de control para el gráfico límite superior de control para el gráfico límite inferior de control para el gráfico

X

X =X

X

X  A1 s

X

X  A1 s

s

B4 s

s

B3 s

Si todos los subgrupos del período base están «bajo control», con respecto a los límites tentativos, se considera que el proceso también lo está y los límites continuarán durante el período de observación. Ejemplo 5.1

Se ha especificado que el diámetro de una pieza de una máquina ha de ser de 3,750 ± 0,015. En el período base se probaron 20 subgrupos de tamaño 5. Los resultados aparecen en la tabla 5.1. [Nota: Los valores tabulados son 1.000 (diámetro — 3,700).] Se calculan X y s para cada subgrupo (Tabla 5.2). Para una muestra de 5, los factores A1, B4 y B3 tienen un valor de 1,60; 2,09 y 0, respectivamente: B

Línea central del gráfico X = 47,55 límite superior de control del gráfico X = 47,55 + 1,6(5,527) = 56,39 límite inferior de control del gráfico X = 47,55 - 1,6(5,527) = 38,71 límite de control superior para el gráfico s = 2,09(5,527) = 11,55 límite inferior de control del gráfico s = 0 ı estimada para el proceso =

s c2

5527 = 6,57 0,8407

123

PROCEDIMIENTOS ESPECIALES DE CONTROL DE PROCESOS

Los gráficos X y s aparecen en la Figura 5.1. TABLA 5.1. Datos de la prueba Subgrupo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1

2

42 50 46 59 37 53 47 47 49 54 54 44 63 40 62 56 54 49 44 42

40 43 44 52 34 58 51 38 40 40 48 51 46 45 41 45 44 44 46 44

3 46 32 58 48 43 49 49 45 40 56 51 36 47 45 44 55 37 44 47 55

5

4 55 51 46 45 49 56 40 44 53 51 48 47 40 52 45 45 47 43 44 48

48 53 47 47 59 36 46 43 40 50 48 57 62 59 49 54 56 44 42 52

TABLA 5.2. Cálculos

Subgrupo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

X 46,2 45,8 48,2 50,4 44,4 50,4 46,6 43,4 44,4 50,2 49,8 47,0 51,6 48,2 48,2 51,0 47,6 44,8 44,6 48,2 X = 47,55

s 5,23 7,67 4,99 4,95 8,93 7,81 3,72 3,01 5,53 5,53 2,40 7,01 9,22 6,61 7,35 4,93 6,88 2,13 1,74 4,83 s = 5,527

s2 27,35 58,83 24,90 24,50 79,74 60,99 13,84 9,06 30,58 30,58 5,76 49,14 85,01 43,69 54,02 24,30 47,33 4,54 3,03 23,33 Ȉs2 = 700,52

124

CONTROL DE CALIDAD

La ecuación [5.3] es útil siempre que todos los subgrupos sean del mismo tamaño y la distribución normal. En el caso general, suele utilizarse preferentemente un método alternativo para calcular s: s

n1 s12  n2 s22  ...  nm sm2 n1  n2  ...  nm

[5.4]

Cuando se utiliza la ecuación [5.4] para calcular s, no se puede emplear los factores de la Tabla A8. Sin embargo, es posible obtener los límites de control dado que la cantidad

sigue una distribución t con (m • n )/(m + n )— 1 grados de libertad. Cuando todas las muestras son del mismo tamaño n, estas cantidades se convierten en

(X  X ) s

1 1  n m

y

m˜n 1 mn

respectivamente. GRÁFICOS DE CONTROL PARA MEDIDAS INDIVIDUALES Si los operadores no están familiarizados con los métodos de control de calidad, cabe en la posibilidad que se sientan confusos cuando se represente la medida promedio de una muestra X , en lugar de cada una de las respectivas medidas individuales. Consideremos dos muestras de cinco artículos cada una. El tamaño nominal es 3,10. Muestra 1: Medidas individuales 3,10; 3,12; 3,10; 3,10; 3,00

X = 3,08

R = 0,12

Muestra 2: Medidas individuales 3,04; 3,06; 3,08; 3,10; 3,12

X = 3,08

R = 0,08

Para los no iniciados, la muestra 1 puede parecer mejor, ya que tres de los cinco elementos tienen exactamente el tamaño nominal. Más aún: ambas muestras indican la misma media. Es difícil entender que la muestra 1 presenta mayor variación que la muestra 2.

PROCEDIMIENTOS ESPECIALES DE CONTROL DE PROCESOS

Figura 5.1. a) gráfico X; b) gráfico s.

125

126

CONTROL DE CALIDAD

Los gráficos en que se marcan las medidas individuales, incluso cuando van acompañados de límites de especificaciones, son marcadamente inferiores a los convencionales X y R. Claro está que es mejor tener gráficos de medidas individuales que «carecer totalmente de ellos». El mejor procedimiento para evitar confusiones y malos entendidos es realizar sesiones de entrenamiento para los operadores en las que se expliquen los principios básicos de los gráficos X y R. Si no es posible evitar el mareaje de las medidas individuales, se puede reducir el daño al mínimo si: 1) se marcan las medidas individuales en el gráfico X convencional; 2) se marcan las medidas individuales con puntos y las medidas con círculos para que resalten. A modo de ilustración se han utilizado los cinco primeros subgrupos del ejemplo 5.1. La Figura 5.3 muestra las marcas de las medidas individuales en el gráfico convencional X . Ejemplo 5.1 (Continuación)

Si la asunción de la distribución normal precedente no se considera válida, puede utilizarse la ecuación [5.4] para calcular s :

s

2 i

¦s

700,52 20

m

5,918

n = 5 y m = 20.

20 u 5 1 20  5 1 1 0,5  5 20

Grados de libertad =

Cantidad

1 1  n m X

47,55

Por tanto, (X — 47,55)/(5,918)(0,50) tiene una distribución t con tres grados de libertad. Para calcular los límites de control con Į = 0,05, se puede obtener la cantidad t 0,025, 3 en la Tabla A5: t 0,025, 3

=

3,182

Límite superior de control = 47,55 + (3,182)(5,9182)(0,5) = 47,55 + 9,42 = 56,97 Límite inferior de control = 47,55 - (3,182)(5,918)(0,5) = 38,13 El gráfico X aparece en la figura 5.2. El procedimiento para usar las medias lo describe Clifford2.

2 P. C. Clifford: «Control Charts Without Calculations», Industrial Quality Control, vol. 15, núm. 11, 1959.

PROCEDIMIENTOS ESPECIALES DE CONTROL DE PROCESOS

127

Figura 5.2. Gráfico X con límites de control basados en una distribución t.

Sea x%i = media de la muestra i %= media de las medias x%

m(R) = media de los recorridos Los límites superior e inferior de control se calculan como sigue: %+ A%2 m(R) límite superior de control = x% %— A%2 m(R) límite inferior de control = x%

El factor A%2 ha sido tabulado por Clifford en el artículo citado. La Tabla 5.3 da algunos valores seleccionados. Pueden hallarse más valores en la Tabla A10. Para los datos del ejemplo 5.1 las medias y recorridos aparecen en la Tabla 5.4. n=5

A%2 = 0,712

%+ A%2 m(R) = 47 + 0,712(14,5) = límite superior de control = x% = 47 + 10,324 = 57,324 %— A 2 m(R) = Al — 10,324 = límite inferior de control = x% = 36,676

CONTROL DE CALIDAD

128

Figura 5.3. Marcado de observaciones individuales.

La Figura 5.4 muestra las marcas de un gráfico de control de la media. TABLA 5.3. Valores selectos de A2 n

A%2

3 5 7 9

1,265 0,712 0,520 0,419 TABLA 5.4

Subgrupo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x% 46 50 46 48 43 53 47 44 40 51

Recorrido 15 21 14 14 25 22 11 9 13 16

Subgrupo

x%

Recorrido

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

48 47 47 45 45 54 47 44 44 48

6 15 23 19 21 11 19 6 5 13 %= 47 x% m(R) = 14,5

PROCEDIMIENTOS ESPECIALES DE CONTROL DE PROCESOS

129

Figura 5.4. Gráfico de la media.

LIMITES DE AVISO

Los límites de control de un gráfico convencional X dan una señal indicando que el proceso puede estar fuera de control. En una distribución normal con los acostumbrados límites de control de la desviación estándar 3, la probabilidad de una señal falsa es de sólo 0,0027. Estos significan que el ingeniero de Control de Calidad puede estar razonablemente seguro de que el proceso está fuera de control cuando se produzca la señal. El ingeniero no estará seguro si no se produce la señal. Incluso aunque el proceso haya pasado a estar fuera de control, es posible que la señal no se produzca de inmediato. Para protegerse contra retrasos indebidos al detectar tal situación, algunos expertos recomiendan el uso de límites de aviso. Los límites de aviso están situados dentro de los límites usuales de control. Si se observa que un punto está fuera de los límites de aviso, pero que sigue situado dentro de los de control, ello indica que el proceso debe vigilarse con mayor atención. Hay personas que consideran que los límites de aviso sólo producen confusión y prefieren la exactitud de unos límites únicos en el gráfico. Esta preferencia nace de su ignorancia sobre los principios de probabilidad. Considérense los límites de aviso establecidos en dos desviaciones estándar en relación con la media. Si la hipótesis indiferente es cierta y el proceso está bajo control, la probabilidad de que alguna observación de la muestra esté dentro de los límites

130

CONTROL DE CALIDAD

de aviso es del 95,54 por 100. Para los límites de control, esta probabilidad es del 99,73 por 100. Para un proceso bajo control, la posibilidad de recibir un aviso, pero no una señal es de sólo 99,73 — 95,54, esto es, de un 4,19 por 100. Por otra parte, si se está empezando a perder el control del proceso, las probabilidades de detectar esta situación aumentan si se usan los límites de aviso. Las mejoras que se obtienen al usar los límites de aviso se muestran con mayor detalle en el Capítulo 6. Debe recordarse que los límites de aviso son sólo eso: límites de aviso. Una sola observación fuera de tales límites no debería ser causa de grandes preocupaciones. Tampoco el ingeniero debe buscar causas de inestabilidad del proceso. Sólo es una llamada de atención. Si varias muestras sucesivas están dentro de los límites de aviso no hay por qué preocuparse. En cualquier fábrica la norma debe ser: «Deje al proceso solo a no ser que haya una razón clara para intervenir.» Si el proceso da un aviso y la siguiente muestra lo repite, las cosas van muy mal. La probabilidad de que dos muestras sucesivas estén fuera de los límites de aviso es muy reducida. Sean x 1 y x 2 dos sucesos de valores observados de la muestra que están fuera de los límites de aviso de dos desviaciones estándar. Entonces, Pr(x 1 ) = 1 - 0,9554 = 0,0446 Pr(x 2 ) = 0,0446 Como x 1 y x 2 son sucesos independientes, Pr(x 1 y x 2 ) = Pr(x 1 ) x Pr(x 2 ) = (0,0446)(0,0446) = 0,001989 Esta probabilidad es más pequeña que la de recibir una señal de los límites de control de tres desviaciones estándar, que es 0,0027.

Ejemplo 5.1 (Continuación)

Estudiemos la aplicación de los límites de aviso de 2ı a los datos de la Tabla 5.1. Los límites de aviso son:

% límite superior de aviso = X% 2Vˆ

% 2 ª 1 ˜ (1,6) s º X% «3 » = ¬ ¼

ª1 º 47,55  2 « (1,6)(5,527) » ¬3 ¼ % 2Vˆ límite inferior de aviso = X%

47,55  5,90

47,55  5,90 53, 45

41,65

Comparando estos límites con los valores de X en la Tabla 5.2 se ve que no se emiten avisos durante este período. La Figura 5.5 muestra los límites de aviso en 2ı.

PROCEDIMIENTOS ESPECIALES DE CONTROL DE PROCESOS

131

Figura 5.5. Límites de aviso para el gráfico X.

PROMEDIO MÓVIL Y GRÁFICOS DE SUMAS ACUMULADAS (CUSUM) El gráfico X normal utiliza información de una sola muestra cada vez. Cuando se marca en el gráfico un valor de X de una muestra, toda la información de las observaciones de la muestra anterior se pierde. Tal procedimiento hace que la operación sea simple, pero resulta menos eficaz para descubrir cualesquiera cambios que se produzcan en la media P del proceso. Hay cuatro métodos posibles para el tratamiento de la información incluida en las anteriores observaciones: 1. No usar datos anteriores. 2. Usar todos los datos anteriores. 3. Usar sólo una cantidad pequeña (pero constante) de observaciones anteriores. 4. Usar sólo la última secuencia de observaciones que pueda indicar un cambio de P. Los tipos de gráficos de control convencionales, o de Shewhart, siguen la opción número 1, con lo que el procedimiento resulta sencillo, aunque menos eficaz. Paradójicamente, la opción 2 conduce también a un procedimiento menos eficiente. La razón es que los datos recientes se combinan con gran cantidad de datos anteriores, de la época en que el proceso operaba «bajo control». Una cantidad pequeña de datos «fuera de control» recientes puede resultar aplastada por la larga secuencia de datos «bajo control», lo que no permitiría detectar el cambio de la media P del proceso. La opción 2 no se usa en ningún gráfico de control. La opción 3, basada en el uso de las observaciones r de la muestra más reciente, se usa en los gráficos de promedios móviles (o de sumas móviles). Aquí, la eficiencia en la detección de cambios en la media del proceso dependerá de r. La opción 4 es la base de los gráficos CUSUM. En muchos aspectos su uso es similar al de los gráficos de promedio móvil. Sin embargo, el número r no está determinado, sino que es un número aleatorio

132

CONTROL DE CALIDAD

basado en los valores de las observaciones más recientes. Para promedios móviles de observaciones individuales se usan generalmente otros gráficos. Por su parte, los gráficos CUSUM se usan, por lo general, para promedios de subgrupos o de X i .

Gráficos de promedios móviles

Los gráficos de promedio móvil y sus compañeros, los de recorrido móvil, se aplican generalmente a observaciones individuales. Para distinguirlos de los gráficos convencionales X y R con el mismo tamaño de subgrupo, debe recordarse que para cada muestra, en los gráficos X y R se selecciona aleatoriamente un nuevo subgrupo de tamaño r, mientras que en los de promedio móvil se observan todos los elementos y cada grupo consecutivo de r observaciones se denomina un subgrupo. El procedimiento para obtener el promedio móvil y el recorrido móvil se ilustra en la Tabla 5.5. TABLA 5.5. Datos para el promedio móvil y el recorrido móvil Hora 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Concentración de C (%) 6,5 11,0 11,5 7,0 5,0 5,8 5,7 6,6 8,1 12,1 8,7 7,8 7,5 12,8 10,6 14,3 12,7 12,8 15,4 14,0 19,8 21,0 23,2 24,2

Promedio móvil de 5 horas

8,20 8,06 7,00 6,02 6,24 7,66 8,24 8,66 8,84 9,78 9,48 10,60 11,58 12,64 13,16 13,84 14,94 16,60 18,68 20,44

Recorrido móvil de 5 horas

6,5 6,5 6,5 2,0 3,1 6,4 6,4 5,5 4,6 5,3 5,3 6,8 6,8 3,7 4,8 2,7 7,1 8,2 9,2 10,2

PROCEDIMIENTOS ESPECIALES DE CONTROL DE PROCESOS

133

Ejemplo 5.2

En una reacción química, dos productos químicos, A y B, reaccionan para formar un tercero, C. La concentración de C en la mezcla resultante se vigila cada hora. La fábrica trabaja veinticuatro horas al día. Para el control se utilizan promedios móviles y recorrido móviles de períodos de cinco horas. La concentración de C debe ser por lo menos de un 10 por 100 para que la fábrica trabaje sin pérdidas. Porcentajes más altos indican un proceso de conversión más eficaz y permiten obtener mayores beneficios de la operación:

MAi

· 1 § r 1 ¨ ¦ X i j ¸ r©j 0 ¹

MRi

max X i  j  min X i  j

j r 1

j r 1

j 0

j 0

Para las observaciones 7, 8, 9, 10 y 11, MA11 MR11

5,7  6,6  8,1  12,1  8,7 8, 24 5 máx(5,7, 6,6, 8,1, 12,1, 8,7)  min(5,7, 6,6, 8,1, 12,1, 8,7) 12,1  5,7 6, 4

En este ejemplo es posible emplear un solo límite inferior de control, del 10 por 100. Sin embargo, la práctica general es utilizar los mismos límites de control que se usan en los gráficos convencionales X y R. La Figura 5.6 muestra los gráficos de control móvil y de recorrido móvil, incluyendo los límites convencionales. Los gráficos de promedio móvil y de recorrido móvil son de aplicación limitada cuando la producción es discontinua. Está claro que observar todos los elementos resulta costoso. Sin embargo, estos gráficos son muy útiles en ciertos tipos de fabricación, por dos razones. Primera: la operación puede ser continua, como ocurre en la mayoría de los procesos químicos. En segundo lugar, la práctica industrial puede exigir que se observen y se anoten las observaciones periódicas de cada elemento. Este registro está disponible para control de calidad. Gráficos CUSUM3

El gráfico CUSUM fue propuesto por primera vez durante la década de 1950. El gráfico utiliza una suma móvil que incluye sólo secuencia de datos recientes que indica un posible cambio en la medida del proceso. En general, los gráficos CUSUM son más eficientes para detectar pequeños cambios en_ la media del proceso. La ventaja del gráfico CUSUM sobre el convencional X se señala y analiza en el Capítulo 6. Para entender los principios básicos de los gráficos CUSUM consideremos un sencillo caso en que sea necesario detectar sólo un cambio a valores mayores de la media del proceso. 3

Esta descripción de los gráficos CUSUM la realizamos con permiso, partiendo de las notas de trabajo preparadas por Marión Reynolds, del departamento de Estadística del Instituto Politécnico de Virginia, 1984. Estas notas forman parte de un libro de texto en preparación.

134

CONTROL DE CALIDAD

Figura 5.6. a) gráfico de promedio móvil; b) gráfico de recorrido móvil.

PROCEDIMIENTOS ESPECIALES DE CONTROL DE PROCESOS

Hipótesis indiferente:

H o : P = P0

Hipótesis alternativa: H 1 : P = P 1

135

donde P 1 > P 0

X expresa el subgrupo i-ésimo, como es normal. Cuando el proceso está bajo control y P 0 es cierta, la cantidad Zi

X i  P0

será una variable aleatoria con un valor esperado de cero. Otra cantidad, y¡ = Z i - d

d > 0

será también una variable aleatoria, pero con un valor esperado negativo. La suma acumulativa (abreviado por CUSUM) de yi tenderá a moverse hacia abajo mientras Ho sea cierta (Fig. 5.7): k

¦y

Yk

i

i 1

Si el proceso pasa a una situación de «fuera de control» y H1 es cierta, el valor esperado de y1 ya no sería — d: E ( yi | H1 )

E ¬ª X i  P0  d | H1 ¼º

E ( X i | H1 )  P0  d

P1  P 0  d

Como quiera que P1 > P 0 , es posible escoger un valor d que haga que E(y1 |H1) sea positivo. Reynolds4 recomienda un valor d

P1  P0 2

Este valor hace que E(yi | H1 ) = d, que es positivo. La suma acumulativa de y1 tenderá a moverse hacia arriba, mientras H 1 sea cierta (Fig. 5.8). Un gráfico CUSUM es una marca de la suma acumulativa Yk. En tanto que Yk esté generalmente disminuyendo, se deja sólo el proceso y se continúa el muestreo. Siempre que se produce un cambio significativo hacia arriba en la marca de Yk, se da una señal de que el proceso se está yendo «fuera de control». La señal se basa en un incremento c. Así, por ejemplo, si el valor más reciente de Yk excede en c unidades a un nivel previo de Y, se da una señal. Esto aparece ilustrado en la Figura 5.9. La elección de c es un tanto arbitraria. Ejemplo 5.3

El diámetro nominal del pistón es de 2,996 pulgadas. El límite superior de tolerancia es de 3,002 pulgadas. El largo historial de fabricación del pistón muestra que la 4

Obra citada.

CONTROL DE CALIDAD

136

Figura 5.7.

Valores probables de Yk cuando Ho es cierta.

Figura 5.8. Valores probables de Yk cuando Ho es falsa.

PROCEDIMIENTOS ESPECIALES DE CONTROL DE PROCESOS

137

Figura 5.9. Generación de una señal en un gráfico CUSUM.

desviación estándar es de 0,0028 pulgadas. El proceso se consideraría insatisfactorio si la media creciera hasta 2,998 pulgadas. Se dispone de gráficos de control para detectar este cambio desde el nominal de 2,996 pulgadas hasta 2,998 pulgadas. En la tabla 5.6 se dan los promedios de treinta subgrupos. Los valores de la tabla están clasificados como ( X - 2,990) x 10.000. Usando la misma escala de la Tabla 5.6 llegamos a lo siguiente: Diámetro nominal = (2,996 - 2,990) x 10.000 = 60 Tolerancia superior = (3,002 - 2,990) x 10.000 = 120 Diámetro después del cambio = (2,998 - 2,990) x 10.000 = 80 Desviación estándar = 0,0028 x 10.000 = 28 Cuando el diámetro medio es nominal,

Z

120  60 28

2,14

La fracción de producción que excede de la tolerancia superior es 0,0162, o 1,62 por 100. Cuando el diámetro medio ha cambiado,

Z

120  80 1, 43 28

138

CONTROL DE CALIDAD

TABLA 5.6. Promedios de subgrupos Número del subgrupo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Número del subgrupo 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Xi 20 56 39 42 77 21 27 23 12 100 97 37 98 60 12

Xi 37 97 17 80 95 96 96 102 95 90 76 88 90 65 102

La fracción de la producción que excede la tolerancia superior es 0,0764, o 7,64 por 100. Gráfico de control convencional: X = 64,73

Factor A para gráficos de control de a conocida, con tamaño del subgrupo de 5 = 1,34: límite superior de control = X  AV ' = 64,73 + (1,34 x 28) = = 64,73 + 37,52 = 102,25

Aunque dos subgrupos, el 23 y el 30, se acercan al límite superior de control, el gráfico de control convencional no da señal alguna (este gráfico no tiene límites de aviso). Gráfico CUSUM: Para un gráfico CUSUM los parámetros c y d se seleccionan de la siguiente forma: Hipótesis indiferente: Ho:P = 60 Hipótesis alternativa: H1: P = 80

d

80  60 10 2

P1  P0 2

c = 6 x d = 60 (esta elección es hasta cierto punto arbitraria) yi X i  P0  d X i  60  10 X i  70 Los valores de y i y de Y k =

¦y i

i

aparecen en la Tabla 5.7.

PROCEDIMIENTOS ESPECIALES DE CONTROL DE PROCESOS

139

TABLA 5.7. Cálculos para un gráfico CUSUM

El gráfico CUSUM señala el cambio en el subgrupo vigésimo primero. A partir de ese punto, el gráfico se mantiene por encima del nivel de la señal. Las Figuras 5.10 y 5.11 muestran el gráfico convencional X y el CUSUM, respectivamente. Puede inferirse que se ha producido un cambio al comparar el promedio de la primera mitad de los datos, 47,67, con el de la segunda mitad: 81,73.

Figura 5.10. Gráfico convencional X para el ejemplo 5.3.

140

CONTROL DE CALIDAD

PROBLEMAS 5.1.

Diseñar gráficos de control X y S usando límites de control 3ı, considerando que el tamaño de la muestra = 6; la cantidad de muestras = 20; Ȉ X = 234,2; y Ȉ S = 11,4.

5.2.

Los datos son los del problema 4.22. No hay razón para suponer que las observaciones tengan una distribución normal. Establecer gráficos X y S sin la asunción de normalidad.

5.3.

Con los datos del problema 4.23 determinar los límites de control para los gráficos X y S: a) suponiendo una distribución normal; b) sin suponer una distribución normal.

5.4.

Marcar los datos del problema 4.21 en los gráficos X y S. Marcar, además, los mismos datos en los gráficos X y R. ¿Qué conclusiones se obtienen sobre que el proceso está bajo control durante el período base?

5.5.

El departamento de Control de Calidad pidió a los supervisores de los tres turnos que observaran e informaran acerca de una muestra de elementos producidos en cada turno. Por error administrativo no se indicó el tamaño de la muestra. Los tres supervisores utilizaron distintos tamaños de muestra. Las observaciones durante la primera semana fueron las siguientes:

141

PROCEDIMIENTOS ESPECIALES DE CONTROL DE PROCESOS

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

I II III

20,00 20,00 20,00 18,50 18,75 19,50

20,50 19,50 17,50 17,75 18,00 20,00

20,50 19,00 20,50 21,00 19,00 19,25

21,00 21,00 17,50 20,75 20,50 20,75

20,50 19,00

18,25

20,00 19,50

18,75

I II III

20,50 21,25 20,00

21,00 17,75 20,25

21,50 18,50 22,00

21,50 18,25 19,25

19,75 19,00

18,75

I II III

21,00 20,75 19,50

20,00 19,25 22,50

19,50 20,25 21,25

21,25 19,75 21,00

19,50 18,50

20,00

I II III

21,00 20,50 23,25

19,50 18,00 18,50

20,00 18,50 19,00

20,50 21,00 21,25

21,50 20,75

18,75

I II III

Determinar los límites de control que se utilizarían en los gráficos X y S de los tres turnos. Usar la ecuación [5.4]. 5.6.

Construir un gráfico de la media con los datos del ejemplo 4.1.

5.7.

Construir un gráfico de la media con los datos del problema 5.5. (Para obtener muestras de igual tamaño, tratar la sexta observación del tercer turno como si fuera la quinta observación del primer turno todos los días.)

5.8.

Los siguientes datos muestran la dureza media y el recorrido de muestras de cinco cascos de plástico tomados de cada hora de fabricación.

Hora

X (kg)

R(kg)

Hora

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

495,5 493,0 496,0 497,5 490,5 496,0 500,0 498,0 497,0 496,6 493,4 498,0

12,8 13,2 15,3 8,3 7,4 8,8 13,2 7,3 8,4 9,2 10,2 12,3

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

X (kg)

R(kg)

489,0 493,5 488,4 495,5 491,0 497,0 494,5 490,5 487,5 489,4 488,0 486,5

15,2 11,6 11,8 7,6 8,4 7,3 8,7 9,8 9,8 11,2 10,8 12,5

Marcar los gráficos X y R. Marcar los límites de aviso de una media de ±2,5ı en el gráfico. Identificar cualquier aviso.

142

5.9.

CONTROL DE CALIDAD

Un gráfico de control usa límites de control de media ±2,5(7 y límites de aviso de media ±2,0(7. ¿Cuál es la probabilidad que una observación de una muestra genere un aviso, pero no una señal?

5.10. Marcar un gráfico de promedio móvil usando un subgrupo de tamaño 5 con los datos de resistencia a la tensión del problema 3.1. 5.11. Marcar un gráfico de promedio móvil, usando un tamaño de subgrupo de 4, para los pesos de las pizzas congeladas del problema 3.2. 5.12. Para las botellas de gaseosa del ejemplo 4.2 se consideraría inseguro que el promedio de volumen de líquido en las botellas del proceso excediera los 327,5 mililitros. Se debe probar la hipótesis

Ho: P = 325,90 contra H1: P = 327,50 Construir un gráfico CUSUM usando d = 6 x c. 5.13. Construir un gráfico CUSUM para el problema 5.12 después de cambiar la hipótesis alternativa por

H 1 : P = 324,30

6 Propiedades de los gráficos de control

Los gráficos de control se emplean para vigilar procesos, generalmente los de producción. Por ello, dichos gráficos deben satisfacer dos exigencias contrarias: 1) si el proceso está, de hecho, fuera de control, el gráfico debe señalarlo tan pronto como sea posible. Cuanto antes se produzca la señal, más se reducirá la producción de unidades no satisfactorias; 2) si está bajo control, cualquier señal que lance el gráfico será una señal falsa. Tal tipo de señales deben ser infrecuentes. El gráfico de control debe permitir que un proceso bajo control opere durante largo tiempo sin producir señales falsas. La operación de un gráfico de control es una prueba de la hipótesis de que el proceso está bajo control. Dos propiedades de la prueba de dicha hipótesis indican hasta qué punto puede satisfacer un gráfico de control los dos requisitos aparentemente opuestos citado antes. Dichas propiedades son: 1) la fuerza de la prueba, y 2) su recorrido. Ambas propiedades se describen en términos generales en el Capítulo 2. En éste nos ocupamos con mayor detalle de ambas, con relación a gráficos de control de características variables. CARACTERÍSTICAS OPERATIVAS DE UN GRÁFICO DE CONTROL Ejemplo 6.1.

Las longitudes de unos tornillos que se están fabricando se supervisan por medio de un gráfico X . Si el límite superior de control, la línea central y el límite inferior de control son 20,5, 20 y 19,5 cm, respectivamente, el uso de gráficos supone una prueba de la hipótesis H o : P = 20 cm 143

CONTROL DE CALIDAD

144

contra una hipótesis alternativa H1: P  20 cm Si el proceso está bajo control y la longitud media de los tornillos que se están produciendo es de exactamente 20 cm, la hipótesis Ho será cierta. La probabilidad de que la longitud media X en cualquier muestra de cinco tornillos esté entre los límites de control superior e inferior será 1 — Į, la probabilidad de aceptar una hipótesis que es cierta. Esta probabilidad sería de 0,9974 si se utilizaran los límites 3ı y la distribución de las medias de la muestra fuera normal. Si se produce un cambio en el proceso de producción y la longitud cambia de 20 a 20,5 cm, Ho deja de ser cierta. Si la longitud media de la muestra se sitúa dentro de los límites de control, Ho aún puede ser aceptada. Esto sería un error de tipo II, el de aceptar una hipótesis que no es cierta. La probabilidad de que esto se produzca es la probabilidad de que el gráfico de control no señale cuando debería señalar.

En la Figura 6.1 se puede ver que la probabilidad ȕ es, aproximadamente, 0,5 cuando la longitud media ha pasado de 20 a 20,5. Un cambio de 0,5 cm en P ha reducido la probabilidad de 0,9975 a 0,5. De manera análoga, la probabilidad de aceptación de una muestra cambiará de acuerdo con el cambio que se produzca en el proceso de producción. Dicho de otro modo: la probabilidad de aceptación de una muestra, ȕ, será una función de la «diferencia» entre la media actual y la media bajo la hipótesis Ho. Esta función se muestra en la Figura 6.2. La curva de la Figura 6.2 puede deducirse de la 6.1. Si la diferencia se va haciendo cada vez menor, el proceso de producción se acerca a que la condición Ho sea cierta y la probabilidad de aceptación se hace cada vez mayor. Si la diferencia va siendo mayor, la probabilidad de aceptación es menor. El gráfico de control señalará inmediatamente cuando la diferencia sea grande y viceversa.

Figura 6.1. Probabilidad de error de tipo II cuando en la mitad del proceso hay un cambio.

PROPIEDADES DE LOS GRÁFICOS DE CONTROL

145

Figura 6.2. Curva característica operativa de un gráfico X.

La curva de la Figura 6.2 se llama curva característica operativa del gráfico de control. La función que describe puede indicarse como sigue: 1. 2.

Cuando la diferencia d = 0, la probabilidad de aceptación = 1 – Į. Cuando la diferencia d  0, la probabilidad de aceptación = ȕ.

Una función complementaria que da la probabilidad de rechazo se llama la función de fuerza del gráfico de control. La Figura 6.3 da la función de fuerza correspondiente a la curva característica operativa de la Figura 6.2.

CALCULO DE LA CURVA OC

A continuación se describe un procedimiento sencillo, paso a paso, para calcular la curva OC de cualquier gráfico de control. Paso 1. Empezar por los límites de control dados y el valor de k. En el ejemplo numérico: UCL = 20,5 LCL = 19,5 k = 3

CONTROL DE CALIDAD

146

Figura 6.3. Función de potencia de un gráfico X.

Paso 2.

Calcular la desviación estándar de X como (UCL — LCL)/2&:

VX

20,5  19,5 2u3

0,1667

Paso 3. Seleccionar la diferencia d. Un conjunto adecuado de valores de d lo proporcionan los múltiplos de (UCL — LCL)/2k o V X . Los valores de 0, V X ,2V X ,3V X ,4V X ,5V X ,6V X serán, generalmente, suficientes. Paso 4. Para la diferencia seleccionada, determinar la posición de los límites de control correspondientes a la nueva media. Por ejemplo: d = 0,1667 = VX Nueva media = 20,1667 UCL = 20,5 = 20,1667 + = 20,1667 + 2V X LCL = 19,5 = 20,1667 + = 20,1667 - 4V X

20,5  20,1667 u 0,1667 0,1667 19,5  20,1667 u 0,1667 0,1667

El límite superior de control está situado en la media + 2ı y el límite inferior de control en la media — 4ı.

PROPIEDADES DE LOS GRÁFICOS DE CONTROL

147

Paso 5. Calcular la probabilidad de aceptación usando las tablas de probabilidad normal acumulativa (Tabla Al): probabilidad de aceptación = I (UCL)  I ( LCL) I (2)  I (4) = 0,9773 - 0 = 0,9773 Paso 6. Repetir los pasos 4 y 5 para todo el conjunto de diferencias (véase Tabla 6.1). LA CURVA OC Y EL TAMAÑO DEL SUBGRUPO

El procedimiento de cálculo indica claramente que la probabilidad de aceptación para cualquier diferencia depende de la relación entre d y V X Siempre que el cociente d/V X sea grande, la probabilidad de aceptación será pequeña. Cuando el cociente d/V X es pequeño, la probabilidad de aceptación es grande, llegando al máximo cuando d/ V X es cero. Como V X = V, / n cualquier incremento en el valor del tamaño n de la muestra haría disminuir V X y, en consecuencia, aumentaría d/ V X .Si se hacen los tamaño de muestra mayores, la curva OC del gráfico de control resulta más pronunciada, en tanto que si los tamaños de la muestra son más pequeños, la curva OC resulta una línea horizontal. Ejemplo 6.2

P en H o = 12,0 ı = 1,20 TABLA 6.1. Cálculos para la probabilidad de aceptación

TABLA 6.2

CONTROL DE CALIDAD

148

Se consideran tres tamaños de muestra diferentes: n = 2, n = 5, n = 9 (Tabla 6.2). La Figura 6.4 presenta las curvas OC para los tres gráficos de control. Esta relación entre la curva OC y el tamaño de la muestra permite determinar el tamaño mínimo de muestra que proporcionará la protección especificada. La probabilidad deseada se puede enunciar en términos de la probabilidad de detectar cierto cambio en la media del proceso. Ilustramos lo dicho en el ejemplo 6.3. Ejemplo 6.3

P en Ho = 30 ı (conocida) = 0,60 Se desea que si se produce un cambio de 1,0 en la media del proceso, el gráfico de control lo detecte con una probabilidad de 0,95 cuando se inspeccione la primera muestra tras el cambio (véase Figura 6.5): probabilidad de detección = 0,95 probabilidad de aceptación = 0,05 UCL = P + 3 V X = 30 + 3 V X

0,0

Figura 6.4. 2,5 y 9.

Curvas OC de gráficos de control con tamaños de subgrupos de

El límite superior de control con relación a la media después del cambio debería d; una probabilidad de aceptación de 0,05:

I

UCL  31

VX

0,05

o

UCL  31

VX

2

PROPIEDADES DE LOS GRÁFICOS DE CONTROL

149

Figura 6.5. Probabilidad de detectar un cambio.

De donde UCL = 31  2V X . Por lo tanto, 30  3V X 5V X

VX

Pero V X

V/ n

31  2V X 1 0, 2

0,6 / n ;

§ 0,6 · n ¨ ¸ © 0, 2 ¹

2

9

La muestra debe tener un tamaño de 9, o mayor, para proporcionar la protección deseada.

DISTRIBUCIÓN DE LA LONGITUD DE RACHA EN CONTROL DE CALIDAD Una de las propiedades que se desean en cualquier proceso de vigilancia es que detecte por sí misma cualquier situación fuera de control tan pronto como sea posible y que, al mismo tiempo, deje actuar al proceso cuando está bajo control. Esto es, el proceso de vigilancia debería generar señales de inmediato, si el proceso está fuera de control, y retrasarlas al máximo si el proceso de fabricación está bajo control. La propiedad citada supone que la distribución de la longitud de racha, cuando el proceso está bajo control, debiera ser, estocásticamente, del mayor tamaño posible. Cuando dos procesos de vigilancia, P y Q, operan con el

150

CONTROL DE CALIDAD

mismo nivel de significancia, Į, el proceso P será mejor si la distribución de su longitud de racha, Hp(t1, Į) domina a la distribución alternativa de longitud de racha HQ(t1, Į). Al mismo tiempo, si el proceso está fuera de control, debería reducirse la longitud de racha al mínimo posible. La longitud de racha proporciona una base para comparar procedimientos alternativos de vigilancia de procesos de fabricación. Citadas brevemente, las normas básicas para la selección de procedimientos de vigilancia son las siguientes: 1. Cuando la hipótesis alternativa (por ejemplo, situación de fuera de control del proceso de fabricación) no es conocida o no está definida específicamente, seleccionar los procedimientos de vigilancia que tenga la longitud de racha estocásticamente mayor cuando el proceso está bajo control. 2. Cuando la hipótesis alternativa esté bien definida y sea específica, y las longitudes de racha de dos procedimientos de vigilancia —cuando el proceso de fabricación está bajo control— son estocásticamente iguales, seleccionar el procedimiento de vigilancia cuya longitud de racha sea más corta estocásticamente cuando el proceso esté fuera de control. Sean t = intervalo de tiempo entre muestras (se supone que constante) c = tasa de producción n = tamaño de la muestra r = longitud de racha Esto implica que en cualquier intervalo del muestreo se producen c· t unidades. De ellas, se usarán n unidades seleccionadas aleatoriamente para vigilancia (por ejemplo, para marcar un gráfico de control). La señal se producirá después de r muestras. En otras palabras: para cuando aparezca la señal se habrán producido c · t · r unidades. Como indicamos antes, con el proceso bajo control esta cantidad debería ser la mayor posible. Si no está bajo control, el producto será probablemente deficiente y la cantidad total c · t · r debería ser lo más pequeña posible. El comportamiento de cualquier procedimiento de vigilancia se puede describir de acuerdo con la distribución de la longitud de racha. Sin embargo, generalmente no es necesario observar toda la distribución. Basta con conocer la longitud media de racha (ARL) o la media de distribución. Un procedimiento con una ARL más corta indicará una longitud de racha estocásticamente más corta, siempre que se pueda asumir que las sucesivas muestras son estadísticamente independientes. Esta asunción es válida para la mayoría de las aplicaciones de gráficos de control, así como para los procedimientos de muestreo de aceptación. Si ș es la probabilidad de rechazar la hipótesis indiferente para cualquier muestra y las muestras son independientes, la distribución de longitudes de racha es una distribución geométrica (véase Capítulo 2), Pr(r ” R) = 1 – (1 – ș)R

[6.1]

PROPIEDADES DE LOS GRÁFICOS DE CONTROL

151

La media de esta distribución viene dada por: E(r) = ARL =

1

[6.2]

T

LONGITUD MEDIA DE RACHA EN LOS GRÁFICOS X Caso 1: La inedia y la varianza son conocidos

Cuando un proceso lleva funcionando un tiempo razonablemente largo y está operando bajo control, se dispone de gran número de observaciones. Puede suponerse que la media y la varianza del proceso, estimadas a partir de dicho número elevado de observaciones, llevan a concluir que la media y la varianza son conocidas. Los límites de control, en este caso, serían: UCL = P 

LCL = P 

3V

n

3V n

Sea d el cambio en la media del proceso. En ese caso, las hipótesis que se prueban pueden definirse como Ho: d = 0 H1: d  0 El área rayada de la Figura 6.6 representa la probabilidad de rechazo de la hipótesis indiferente ș. Los valores de ș y de ARL se dan en la Tabla 6.3. La Tabla A12 da valores ARL para otros tamaños de muestras. Caso 2: Media conocida, R utilizada para estimar la varianza

Cuando se usa R para estimar a, la relación entre esas cantidades es R = d2ı

o

V

R d2

Usando este valor estimado de a, se puede calcular la probabilidad de rechazar la hipótesis indiferente ș como en la Figura 6.6. Para un tamaño de muestra de cinco elementos, los valores de ș y de ARL se dan en la Tabla 6.4. La Tabla Al3 da valores de ARL para otros tamaños de muestras.

152

CONTROL DE CALIDAD

Figura 6.6. Probabilidad de rechazo de una hipótesis indiferente; d = 0. TABLA 6.3. Valores de ș y de ARL para un gráfico de control con un tamaño de muestra de 5 d/ı

ș

0 0,1 0,2 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0

0,0027 0,0034 0,0057 0,02994 0,22245 0,6281 0,92951 0,99193

ARL 370,4 298,3 175,6 33,4 4,5 1,6 1,1 1,0

TABLA 6.4. Valores de 6 y de ARL para un gráfico de control con un tamaño de muestra de 5 0

0,0027

370,4

0,1 0,2 0,5 1,0

0,00659 0,02506 0,3449 0,9580

151,6 64,5 11,9 1,043

Ejemplo 6.4

Se llevan gráficos de control X y R para la fuerza de tensión, en libras por pulgada cuadrada, de unas varillas de acero para refuerzo. El tamaño del subgrupo es de 5. Después de 30 subgrupos, Ȉ R = 18.000 y Ȉ X = 429.000. Los subgrupos utilizados en

PROPIEDADES DE LOS GRÁFICOS DE CONTROL

153

el período base indican control estadístico. Durante el período de vigilancia se usan los límites de control calculados en el período base. Si la fuerza media cambia a: a) 14.180, o b) 14.000, ¿cuánto se tardaría en detectar el cambio? (véase Fig. 6.7): R

Pˆ

¦R

18000 600 30 30 ¦ X 429000 14300 X 30 30

a) d 14.300  14.180 120 d R

120 600

0, 2

En la Tabla 6.4 hallamos que ARL para un subgrupo de tamaño 5 y d/ R = 0,5 es 11,9. Como promedio, se examinarían 12 muestras antes de detectar el cambio. Caso 3: X utilizado para estimar la media; R utilizado para estimar la varianza

La distribución exacta de este caso es una distribución t de Student. Es posible construir una tabla ARL similar a la Tabla 6.4 basada en esta distribución. Sin embargo, en la mayoría de aplicaciones en fabricación, la distribución de las características observadas es muy similar a la de una distribución normal, de forma que cuando el período base es lo suficientemente grande —más de 20 subgrupos— para este caso se puede usar la Tabla 6.4.

Figura 6.7. Longitud de racha después del cambio.

154

CONTROL DE CALIDAD

USO DE LOS LÍMITES DE AVISO Los gráficos X y R son muy eficientes para detectar grandes cambios. Si el cambio es pequeño no es fácil detectarlo con un gráfico X . Esto se ve perfectamente teniendo en cuéntalos grandes promedios de longitud de la racha necesarios cuando d/ı o d/ R son pequeños. Por ejemplo, si la media del proceso cambia desde P a P+ 0,5ı, la nueva media sigue estando dentro de los límites de control basados en la antigua media. La Tabla 6.3 indica que se necesitarían 33,4 muestras de cinco unidades cada una antes de que pudiera detectarse el cambio. El uso de límites de aviso combinados con los límites de control pueden reducir el tiempo exigido para detectar cambios pequeños. Se produce una señal cuando se da cualquiera de las siguientes dos condiciones: 1. Un valor X de la muestra está fuera de los límites de control. 2. Cierta cantidad, r, de valores de X consecutivos está fuera de los límites de aviso aunque dentro de los límites de control. El uso de los límites de aviso de este modo hace que la derivación de la longitud media de la racha resulte bastante complicada. Como quiera que la decisión depende no sólo de la muestra más reciente, sino de las muestras r más recientes, la distribución de la longitud de la racha no es una distribución geométrica. Una actitud posible es la de formular el problema como un proceso de Markov. Sin embargo, esta actitud escapa al ámbito de este libro. En el sencillo caso en que r es 2, es posible dar una derivación simple de la longitud media de racla1. En este caso se produce una señal siempre que dos muestras de X consecutivas estén fuera de los límites de aviso o siempre que cualquier muestra de X esté fuera de los límites de control. Sean los casos 0, 1 y 2, definidos como: Caso 0. Los X más recientes están dentro de los límites de aviso. Caso 1. Los X más recientes están fuera de los límites de aviso aunque dentro de los límites de control. Sea p0 = probabilidad del caso 0 p1 = probabilidad del caso 1 p2 = probabilidad del caso 2 Y sean también Lo, L1 y L2 las longitudes medias de rachas cuando el proceso está, respectivamente, en los casos 0, 1 o 2. Obviamente, L2 = 0. Empezando por el caso 1, L1 se puede calcular como sigue: después de un nuevo muestreo, el nuevo caso puede ser el 1, el 2 o el 0. Si el nuevo caso es 0, se 1

Esta derivación está tomada de las notas preparadas por Marión Reynolds, del Departamento de Estadística de la Universidad e Instituto Politécnico del Estado de Virginia. Estas notas son parte de un libro en preparación.

PROPIEDADES DE LOS GRÁFICOS DE CONTROL

155

necesitará un recorrido medio de racha de Lo para generar una señal. Si el nuevo caso es el 1, se genera una señal, ya que hay dos valores consecutivos de X en el caso 1. Si el nuevo caso es el 2, obviamente se genera una señal. De aquí que L1 = siguiente muestra + (probabilidad del caso 0) x Lo = 1 + p0 L0 [6.3] Empezando en el caso 0, se puede calcular Lo como sigue. Después de un nuevo muestreo, el nuevo caso puede ser el 0, el 1 o el 2. Si el nuevo caso es 0, se necesitaría un longitud media de racha de Lo para generar una señal. Si el nuevo caso es 1, se necesitaría una longitud media de racha de L1 para generar una señal. Si el nuevo caso es 2, se genera una señal. De aquí que: L0 = siguiente muestra + (probabilidad del caso 0) x Lo + + (probabilidad del caso 1) x L1 = = 1 + p 0 L 0 +p 1 L 1

[6.4]

Sustituyendo el valor de L1 que tomamos de la ecuación [6.3] resulta L0=1+poL0+p1(1+p0L0) O

L0

1  p1 1  p0  p1 p0

Ejemplo 6.5

Se llevan gráficos X para determinada característica. Se supone que el valor de ı es conocido. Los límites de aviso están establecidos en P + 2ı y P — 2ı. El tamaño del subgrupo es 5. Calcular la longitud media de racha: a) cuando el proceso está bajo control y X = ¡i, y b) si la media del proceso cambia repentinamente a P + 0,5ı . La Figura 6.8 muestra la distribución de probabilidad de la características para parte b) del ejemplo. A causa del cambio en la media del proceso, la posición de los límites de aviso y de los límites de control no será simétrica con relación a la nueva media. Por definición p 0 = Pr(LWL ” x ” UWL) p 0 + p 1 = Pr(LCL ” x ” UCL) p0 + p1 + p2 = 1

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CONTROL DE CALIDAD

Para la parte a): 2V 2V · § PR ¨ P  d xi d P  ¸ 0,9545 5 5¹ © 3V 3V · § d xi d P  p0  p1 Pr ¨ P  ¸ 0,9973 5 5¹ © p0

Luego p1 = (p0 + p1) – p0 = 0,0428 y p2 = 1 – (p0 + p1) = 0,0027 Sustituyendo dichos valores en la ecuación [6.3] da ARL

L0

1  0,0428 1  0,9545  (0,9545)(0,0428)

224, 4

Figura 6.8. Proceso bajo control.

Para la parte b) la nueva media = P + 0,55 límite inferior de control = 0,5V  límite inferior de aviso = 0,5V 

3V 5 2V 5

1,118V 5 3,118V 5



3V 5

4,118V 5

PROPIEDADES DE LOS GRÁFICOS DE CONTROL

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Figura 6.9. La inedia del proceso cambia a n + 0,5