Control Analogico UNAD

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA CEAD JOSE ACEVEDO Y GOMÉZ

INGENIERÍA ELECTRÓNICA CONTROL ANALOGICO 299005 GRUPO 299005_21

ACTIVIDAD 10 TRABAJO COLABORATIVO 2

MARIN MONTEALEGRE DAVID BLADIMIR C.C. 80121262 EDWIN ALEJANDRO CASTILLO PRIETO C.C. 80168312 GOMEZ OSCAR ALIRIO C.C. WILFREDO SANCHEZ BENAVIDES C.C.80192933

Mayo 30 de 2014 Bogotá

INTRODUCCION El siguiente trabajo que a continuación van a observar, se realiza con las debidas especificaciones y rubrica solicitada por el tutor encargado Fabián Bolívar y con la guía respectiva, para empezar con esta actividad a realizar aportes del trabajo colaborativo y así dar un abrebocas de este tema que es muy extenso y sabemos que esto, es muy útil para nuestra vida diaria para así aumentar nuestro pensamiento y conocimiento para el desarrollo de nuestra carrera. Este curso nos genera grandes avances en el área de la electrónica y las telecomunicaciones llegando a convertirse en una materia fundamental en el desarrollo de nuestra carrera ya que su aplicación la  podemos ver reflejada en nuestra vida diaria. El desarrollo de nuestro trabajo nos ayuda a plasmar el conocimiento adquirido a lo largo del desarrollo de las actividades de la unidad 2, y lo visto en el módulo, dado para el curso de control analógico y de todo lo expuesto a través del campus. Con el desarrollo de la actividad podremos tener un mejor manejo de todo lo relacionado con los circuiros y sistemas de control analógico y adquirir la destreza y habilidad para desarrollar e implementar los mismos. Podremos identificar los conceptos tratados de CONTROLABILIDAD y OBSERVABILIDAD tratados en la unidad 2 de curso, así como los sistemas de ESTABILIDAD. Identificaremos las salidas que podremos obtener en algunos sistemas.

OBJETIVO GENERAL Solucionar los ejercicios propuestos mediantes formulas problemáticas presentadas en el proceso de control.

OBJETIVOS ESPECIFICOS  

 









Socializar las inquietudes a través del foro. Mantener buenas relaciones con los miembros del grupo, responsabilizándose de la consecuencia de los objetivos. Realizar los cálculos para solucionar los ejercicios planteados de forma individual. Organizar tareas colectivas, con los aportes de cada integrantes del curso para así poder llegar a la entrega final del este colaborativo. desarrollar los ejercicios dados en la guía por parte de los estudiantes para así realizar aportes significativos que ayuden a un desarrollo practico y efectivo al consolidado del trabajo colaborativo. Adquirir responsabilidad por las tareas asignadas en el curso para el logro de un objetivo común con nuestros compañeros. Plasmar los conocimientos adquiridos con el estudio y planteamiento en la unidad 2 del módulo de control analógico. Comprender los sistemas de control utilizados para el desarrollo tecnológico en la industria y nuestra vida profesional

ACTIVIDAD 10 TRABAJO COLABORATIVO 2 EJERCICIOS: 1. Diseñar un controlador PID para el sistema de la figura de tal manera que el sobre impulso sea máximo del 5% y el tiempo de establecimiento sea de 4 segundos.

Solución: La relación temporal entre la variable manipulada u (t) y el error e (t), para un controlador PID viene dada por

O bien por su equivalente en el plano s

Todos los métodos de diseño conducen a determinar los valores de Kip, Ti y Td que hacen que el sistema de lazo cerrado tenga la respuesta adecuada, medida en términos del cumplimiento de las especificaciones de diseño (error en régimen permanente, velocidad de respuesta permanente – t p, t r , t sy sobreimpulso). El Método de Ziegler-Nichols, descrito en varios textos, indica que inicialmente se deben anular las acciones integral (Ti=infinito) y derivativa (Td=0). Luego incrementar gradualmente Kp hasta que el sistema justo comience a oscilar. Este punto de inestabilidad es denominado la "última ganancia" Pu y "último período" Tu. A partir de estos valores, se pueden ajustar las ganancias del controlador PID como sigue, para cada una de sus diversas modalidades:

Acción

Actuación

Kp

Ti

Td

P PI PID PID PID

Decaimiento ¼ Decaimiento ¼ Decaimiento ¼ Con Sobrepaso Sin Sobrepaso

Pu/2 0,45 Pu 0,60 Pu Pu/3 Pu/5

Tu/1,2 Tu/2 Tu/2 Tu/3

Tu/4 Tu/3 Tu/2

El efecto del incremento de las ganancias Kp, Ti y Td del controlador PID en un sistema de lazo cerrado se resumen a continuación

Parámetro Tiempo Crecimiento (Tr) Kp Ti Td

Disminuye Aumenta Poco Afectado

de Sobrepaso (Sp) Aumenta Disminuye Disminuye

Tiempo Establecimiento (Ts) Poco Afectado Disminuye Disminuye

de Error Posición (Ep)

de

Disminuye Eliminado Poco Afectado

   ()()   Por eso nuestro diagrama queda:

Según el primer método Ziegler y Nichols Se aplica, entonces, una señal de prueba a la unidad de corrección y se determina la respuesta de la variable:

De

proceso

Trazar una línea recta tangente a la señal de salida del sistema

medida

Según el método Ziegler y Nichols los valores de K   p, K i, y K d se dan según la siguiente tabla:

Controlador

Kp

Ki

Kd

PID

1.2 P/RL

1/2L

0.5 L

t2 = 2.3 t1 = L M= 0.048 L= 1.01 P= 100% T = t2 –  t1 = 2.3-1.01 = 1.29 R= M/T = 0.048/1.29= 0.0372 Por tanto: Kp = 153.6 Ki = 0.495 Kd = 0.505 Simulamos con estos valores y tenemos:

A partir de esto realizamos los ajustes correspondientes de manera que el impulso sea máximo del 5% y el tiempo de establecimiento sea de máximo 4 segundos y obtenemos los siguientes valores:

Kp = 296 Ki = 0.495 Kd = 23.6 Simulándola tenemos:

2. Para el siguiente sistema determine: 1. Su controlabilidad. 2. Su observabilidad.

Solución: 

Ecuaciones del sistema dado:

 ̇        [    ] []    

Desarrollo del segundo ejercicio:

Recordemos lo visto en el módulo sobre controlabilidad y observabilidad para tener una mejor comprensión y desarrollo del ejercicio.

Controlabilidad: Se dice que un sistema es controlable en el tiempo t0 si se puede transferir desde cualquier estado inicial x (t0) a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito.

Observabilidad: Se dice que un sistema es observable en el tiempo t0 si, con el sistema en el estado x (t0), es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida durante un intervalo de tiempo finito. Formulación:

 ̇  

Dónde: x = Vector de estado. y = Vector de salida. u = Vector de control o transmitancia directa (de o rden r) A = Matriz de estados. B = Matriz de entrada. C = Matriz de salida. 

Variables de estado

Las “variables de estado” son el conjunto más pequeño de variables que pueden representar al sistema dinámico completo en un tiempo cualquiera. Las variables de estado deben ser linealmente independientes; una variable de estado no puede ser una combinación lineal de otras variables de estado. El número mínimo de variables de estado necesarias para representar un sistema dado n, es normalmente igual al orden de la ecuación diferencial que define al sistema. Si el sistema es representado en forma de función de transferencia, el número mínimo de variables de estado es igual al orden del denominador de la función de transferencia después de haber sido reducido a una fracción  propia. Cabe destacar que al convertir una representación de espacios de estados a una forma de función de transferencia podría perderse alguna información interna sobre el sistema, indicando que dicho sistema es estable, cuando la representación de espacios de estados indica que es inestable en ciertos puntos. En circuitos eléctricos, el número de variables de estados es a menudo, pero no siempre, igual al número de elementos que almacenan energía en los circuitos, como capacitores e inductores. 

Realizamos la matriz de controlabilidad con el software Matlab

>> A = [-12 -10 -5; 1 0 0; 0 1 0] A= -12 -10

-5

1

0

0

0

1

0

>> B = [1; 0; 0] B= 1 0 0 >> C = [3 5 -5]

C= 3

5

-5

>> M = [B A*B A^2*B] M= 1 -12 134 0

1 -12

0

0

1

 Imagen desarrollo del ejercicio en Matlab.

 Expresiones matemáticas de las operaciones:

     

Ahora a continuación desarrollamos la matriz de ganancias de realimentación del estado k:

Primero definimos el rango de M: >> Rank (M) Ans =

3

Ahora seguimos con la matriz >> J = [-3 0 0; 0 -4 0; 0 0 -5] -3

0

0

0

-4

0

0

0

-5

>> Poly (J) 1

12

47

60

>> phi = polyvalm (poly (J) (A)) incorrect >>phi = polyvalm (poly (J), (A)) correcta expresión -389 -370 -185 37

55

0

0

37

55

>> K = [0 0 1] * (inv (M)) * phi 0

37

55

>> K1 = K (1), K2 = K (2), K3 = K (3)

K1 =

0

K2 =

37

K3 =

55

 Como se puede observar en la imágenes la expresión para evaluar el polinomio de J en la matriz

A se repitió varias veces para poder sacarla.

Procedimiento que se tuvo en cuenta para el desarrollo del ejercicio:



I. II. III. IV.

Primero generamos las matrices y luego se definen las matrices de controlabilidad Se calcula el rango de la matriz Se calcula el polinomio característico con phi = polyvalm(poly(J),(A)) Para calcular la matriz de ganancias de realimentación de estado K, aplicamos la siguiente función K = [0 0 1] * (inv.(M)) * phi Y por último obtenemos los resultados para K.

V.

Ahora hallamos la observabilidad



>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,1) num = 1.0000 15.0000 15.0000

0

den = 1.0000 12.0000 10.0000 >> G = tf(num,den) Transfer function: s^3 + 15 s^2 + 15 s ----------------------s^3 + 12 s^2 + 10 s + 5 >> ss(G) a= x1 x1

x2

x3

-12 -2.5 -1.25

x2

4

0

0

x3

0

1

0

 b = u1

5.0000

x1 2 x2 0 x3 0 c=

x1

y1

x2

x3

1.5 0.625 -0.625

d=

u1

y1 1 Continuous-time model. >> roots(den) -11.1428 -0.4286 + 0.5148i -0.4286 - 0.5148i >> zpk(G) Zero/pole/gain: s (s+13.92) (s+1.077) ---------------------------------(s+11.14) (s^2 + 0.8572s + 0.4487) 

Procedimiento

para

desarrollar

la

observabilidad

en

el

software

Matlab

 

Se halla la observabilidad en el ejercicio planteado en términos de funciones de transferencias y matrices de transferencia. Se puede determinar la observabilidad debido a que no hay ninguna cancelación de la función de transferencia o matriz.

CONCLUSIONES  Se aplicaron los conocimientos adquiridos a través del módulo del curso y las herramientas

virtuales colocadas en el aula virtual. Identificando cada uno de los temas propuestos en el módulo del curso para su desarrollo.  Afianzamos los conocimientos adquiridos al desarrollar los ejercicios en modo práctico y dar

solución al problema planteado.  Pudimos distinguir los conceptos de Controlabilidad y Observabilidad de los sistemas de estado

lineales variantes en el tiempo. 

Aplicamos las funciones de transferencias y matrices de transferencia para el desarrollo de los ejercicios.

BIBLIOGRAFIA  Módulo 299005-Control Analógico, Ing. Fabián Bolívar Marín, UNAD,2013  Software Matlab.  http://mit.ocw.universia.net/18.06/f02/related-resources/matlab.pdf