Control Adaptativo

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3. CONTROL ADAPTATIVO 3.1. ESQUEMAS DEL CONTROL ADAPTATIVO Los sistemas de Control Adaptativos tienen grandes capacidades de uso e interesantes propiedades que varían de acuerdo al método de diseño. Los esquemas básicos más utilizados se presentan a continuación: [22]

1) Programación de ganancias. En algunos sistemas existen variables auxiliares que describen bien las características de la dinámica del proceso. Si estas variables pueden ser medidas, estas variables pueden ser usadas para cambiar los parámetros del regulador, es decir se utilizan para acomodar los cambios en la ganancia del proceso. Este método de programar ganancias se presenta en el esquema 3.1:

Figura 3.1 Sistema con programación de ganancias

El ajuste de ganancia es una compensación en lazo abierto y puede ser visto como un sistema con control de realimentación en el cual el lazo de realimentación es ajustado en compensación directa. Esto reduce los efectos la variación de parámetros.

2) Control Adaptativo con referencia a modelo (MRAC) Las especificacione del diseño del controlador son dadas en términos de un modelo de referencia donde la salida deberá seguir a la referencia. El esquema que representa el control MRAC se presenta en la figura 3.2:

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Figura 3.2 Esquema del MRAC.

En este caso el modelo está en paralelo con el sistema. El regulador está formado por dos lazos: un lazo interno de realimentación ordinaria compuest la planta y el regulador y un lazo externo que ajusta los parámetros del regulad de tal forma que el error entre la salida de la planta y, y la referencia ym sea pequeño, convirtiendo al lazo externo en un lazo regulador.

El problema clave es determinar un mecanismo de ajuste tal que el sistem estable y lleve el error a cero.

3) Regulador Auto-sintonisable. Este regulador está compuesto por dos laz un lazo interno de realimentación ordinaria y un lazo externo que actuali los parámetros del proceso o del regulador por medio de identificación de sistemas. El diagrama de bloques se muestra en la figura 3.3:

Figura 3.3 Esquema de un STR

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Figura 3.2 Esquema del MRAC.

En este caso el modelo está en paralelo con el sistema. El regulador está formado por dos lazos: un lazo interno de realimentación ordinaria compuest la planta y el regulador y un lazo externo que ajusta los parámetros del regulad de tal forma que el error entre la salida de la planta y, y la referencia ym sea pequeño, convirtiendo al lazo externo en un lazo regulador.

El problema clave es determinar un mecanismo de ajuste tal que el sistem estable y lleve el error a cero.

3) Regulador Auto-sintonisable. Este regulador está compuesto por dos laz un lazo interno de realimentación ordinaria y un lazo externo que actuali los parámetros del proceso o del regulador por medio de identificación de sistemas. El diagrama de bloques se muestra en la figura 3.3:

Figura 3.3 Esquema de un STR

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La actualización de parámetros a través del lazo externo divide a este ti regulador en dos métodos: -

Método Indirecto: el bloque de identificación de parámetros del lazo

externo sirve para actualizar los parámetros del proceso y los parámetro del regulador se obtienen de la solución de la ley de control. Para que est método sea adaptativo el algoritmo de identificación de sistemas debe actualizar las medidas por medio de ponderación. -

Método directo: en este esquema la identificación sirve para actualizar los

parámetros del regulador y para el caso adaptativo se ponde nuevamente el algoritmo de identificación.

Este regulador puede ser considerado como la automatización de la modelació del diseño del controlador, ya que el bloque de diseño es una solución on-line para la actualización de los parámetros de la ley de control.

Para sistemas estocásticos existen dos métodos de diseño del controla ubicación de polos y mínimo error de predicción.

En los controladores de mínimo error de predicción la ley de control resultante seguimiento y = y*(valor deseado acotado dentro de la zona de mínima varianz se obtiene igualando los ceros del modelo que representa al sistema (modelo ARMAX) en lazo abierto a los polos en lazo cerrado que contiene planta y controlador. Su ley de control es la siguiente: [23] Luk Pyk My * k d (3.1)

Donde L, P y M son vectores que dependen de las características del mode sistema.

En el caso estocástico esta ley de control se puede obtener de minimiz varianza del error y - y*, y se la denomina control de mínima varianza.

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Por otra parte, es posible asignar los polos del lazo cerrado a otra posición diferente a la posición de los ceros en lazo abierto. La solución de esta igualda es el método de diseño de controladores por ubicación de polos.[24]

CONTROL ADAPTATIVO DE MÍNIMA VARIANZA

El control de mínima varianza minimiza el error y - y* basado en que reduciend varianza de una variable dada, la señal de referencia y*, puede ser puesta a un valor menos conservativo mientras se asegura que una porción dada de la salid alcance un criterio de aceptación dado. [25]

Esta variable contiene información del proceso y para el método indirecto a usarse los coeficientes de la ley de control son calculados de los parámetros de planta identificada, por lo tanto, se requiere de un algoritmo de identificación con la ley de control.

3.2. ALGORITMO DE IDENTIFICACIÓN

EL método de Identificación de mínimos cuadrados extendido utiliza el error predicción sobre un modelo ARMAX donde la salida se expresa en forma de regresiones º (3.2) Yk X k d k

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a1   



Yk

y1   yn

   

Xk

d

   

yk y

1

yk y

1

De donde el superíndice

o

Yk

uk

n

u

n

uk

d

u

d

d m

d m

k

0

k n

n

   

o k

a  n b0    bm  c1   cn

          

indica parámetros verdaderos Xk

º d

0

k

La igualdad se cumple debido a que el vector de parámetros está formado p parámetros verdaderos del sistema, pero en la estimación se tiene: (3.3) Yk X k d ˆk Ek

Donde el vector de parámetros es un vector de parámetros estimados y ap un error en la ecuación conocido como Error de estimación Ek. Las condiciones para una buena estimación son: Ek  0 ˆ

k

o k



Es decir, el vector de parámetros estimado tiende al vector de parám verdadero si el error de estimación tiende a cero. Una forma de resolver este problema es minimizando el error mediante una función de minimización o desempeño llamada función de costo que minimiza el error cuadrático. J

T

Ek

Ek

Esta función pondera las medidas de la planta para estimar el vector de parámetros. Sin embargo la manera de ponderar las medidas anteriores y las actuales es igual, por lo que se modifica la función de costo a fin de ponderar

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manera exponencial las distintas muestras según el instante en que haya tomadas: [26] T (3.4) J Ek Q Ek

Donde: Qk

1 0  

0

0

0

0



   

0 k n



La matriz Q pondera las muestras dándole importancia a la historia con re al último valor según el parámetro α llamado factor de olvido.

La solución de la ecuación 3.4 es el Método de Mínimos Cuadrados Exten para sistemas estocásticos. El algoritmo de identificación se obtiene de la siguiente manera: -

-

Se reemplaza la ecuación 3.3 en la ecuación 3.4 J

Yk

Xk

J

Yk QYk

T

d

T

ˆ

Q Yk

k

T

Yk QX k

d

ˆ

Xk T

Xk

k

d

d

ˆ

k

ˆT k

QYk

T

Xk

d

ˆT k

QX k

d

ˆ

k

Se minimiza la función de costo, derivándola con respecto al vector de información e igualando a cero. dJ d

ˆ

0

T

X k d QYk

2 X kT d QYk T

X k d QYk

T

X k d QYk

2 X kT d QX k T

X k d QX k

d

ˆ

k

d

ˆ

k

T

X k d QX k

0

d

ˆ

k

T

X k d QX k

d

ˆ

k

0

45

ˆ

1

T

X k d QX k

k

(3.5)

T

X k d QYk

d

La solución de esta ecuación es el algoritmo de mínimos cuadrados, en el cual la información es ponderada en lotes. Para hacer al algoritmo recursi se realizan algunas modificaciones: -

-

Se añade una medición adicional: entonces ˆk ˆk

ˆ

k

-

1



T

Xk

1

QX k

d 1

T

X k d QX k

  T X k d 

1

T

Xk

d 1

1 d

X

corrección

k 1

k

T k d

QYk

d 1

1

T

X k d QYk

X k d 1  Q Xk d

   

1

X

T k d 1

X

T k d

Yk 1    Q  Yk 

Se plantea una matriz llamada matriz de covarianza: sea y

Pk bk

1

T

X k d QX k

X

T k d

d

QYk

Entonces: ˆ

k

(3.6)

Pk bk

Las matrices definidas como P y b pueden expresarse como: Pk bk

1

 Pk 11 bk

1

Xk Xk

d

d

T

Xk

d

Yk

Se realiza los siguientes reemplazos::

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Pk

1

1

Pk 1

Pk Pk

1

Pk Pk

1

I

Pk Pk 1

Xk 1 k 1

Pk P

1

d

Pk X k

d

T

Xk

d

I 1

IPk

T

Xk

d

Pk X k 1 k 1

Pk P

Pk

d

T

Xk

d

Pk X k

1

T

Xk

d

d

Pk

1

T

Pk

1

Pk

Pk X k

d

X k d Pk

Pk

1

Pk

Pk X k

d

X k d Pk

T

1 1

(3.6) (3.7)

se multiplica la ecuación 3.6 por la matriz X k-d: Pk 1 X k Pk 1 X k

Pk X k

d

T

Pk X k d X k d Pk 1 X k

Pk X k d (

d

Pk X k

-

d

X

T k d

Pk 1 X k

d

d

Pk 1 X k d )

(3.8)

d

T

X k d Pk 1 X k

d

se reemplaza la ecuación 3.8 en la ecuación 3.7: Pk

Pk

Pk

1

1



Pk



1

Pk 1 X k X

T

d

X k d Pk

1

T k d

Pk 1 X k

d

Pk 1 X k

T

X k d Pk

1

X k d Pk 1 X k

d

T

d

 (3.9) 

La ecuación 3.9 es la solución de la matriz de covarianza donde: k=1,2,…

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