Control 6

INFERENCIA ESTADÍSTICA Control 6 Nombre: Pruebas de hipótesis 1) Un vinicultor sostiene que la proporción de clientes que no saben distinguir su producto del zumo de uva congelada es como máximo de 0,10. Decide contrastar esta hipótesis nula frente a la alternativa de que la verdadera proporción es de más de 0,10. La regla de decisión adoptada es rechazar la hipótesis nula si la proporción muestral que no sabe distinguir entre los dos sabores es de más de 0,14. De acuerdo a la información proporcionada, responda: a) Si se elige una muestra aleatoria de 100 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que se cometa un error de tipo I utilizando esta regla de decisión? Fundamente. b) Si se elige una muestra aleatoria de 400 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que se cometa un error de tipo I utilizando esta regla de decisión? Explique y grafique por qué su respuesta es diferente de la respuesta de la parte a) (si es así el caso). c) Suponga que la verdadera proporción de clientes que no saben distinguir entre estos sabores es de 0,20. Si se elige una muestra aleatoria de 100 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que se cometa un error de tipo II? Fundamente. d) Suponga que, en lugar de utilizar la regla de decisión dada, se decide rechazar la hipótesis nula si la proporción muestral de clientes que no saben distinguir entre los dos sabores es de más de 0,16. Se selecciona una muestra aleatoria de 100 clientes: i. Indique sin realizar los cálculos si la probabilidad de cometer un error de tipo I será mayor, menor o igual que en la parte a). ii. Si la verdadera proporción es 0,20, ¿será la probabilidad de cometer un error de tipo II mayor, menor o igual que en la parte c)? Argumente.

Desarrollo: 1) a) El error de tipo I corresponde a rechazar una hipótesis cuando no debe hacerse y se asocia al nivel de significancia para una determinada hipótesis. Se debe hallar el nivel de significancia estadística para el cual se rechaza la hipótesis nula sobre la proporción de clientes que no distinguen entre el zumo de fruta y un determinado vino. Se sabe que la hipótesis se rechaza si la proporción es superior a 0,14. Se sabe que la hipótesis nula es:

H 0 ≤ 0,1

Se tiene la hipótesis alternativa:

H 1> 0,1

El tamaño de la muestra es de 100 encuestados y el punto de rechazo es si la proporción muestral es 0,14. A partir de los datos conocidos es posible deducir el nivel de significancia. Primero debe calcularse el estadístico Z para una posible proporción muestral de 0,14.

Z=

Z=

px − p 0

√

p 0 (1− p0 ) n

0,14−0,1 0,1∙ 0,9 100

√

Z =1,33 Dado que se tiene una prueba para una proporción de cola superior, la condición de rechazo será:

Z > Z 1−α Se busca el valor de α tal que

Z 1−α =1,33 , obteniéndose el valor

α =0,0918 .

Interpretación: La probabilidad de que se cometa un error de tipo I para un test de hipótesis realizado sobre una muestra de 100 encuestados es de 9,18%.

b) Para un tamaño de muestra de 400 encuestados y un punto de rechazo de la hipótesis de 0,14 del total de la muestra, el nivel de significancia se obtiene de la siguiente forma: Primero debe calcularse el estadístico Z para una posible proporción muestral de 0,14.

Z=

Z=

px − p 0

√

p 0 (1− p0 ) n

0,14−0,1

√

0,1∙ 0,9 4 00

Z =2,67 Dado que se tiene una prueba para una proporción de cola superior, la condición de rechazo será:

Z > Z 1−α Se busca el valor de α tal que

Z 1−α =2,66 , obteniéndose el valor

α =0,0038 .

Se presenta una gráfica del nivel de significancia versus la cantidad de encuestados:

Número de encuenstados v.s Nivel de significancia 0.20 0.15 Nivel de significancia α 0.10

Significancia

0.05 0.00 0

200 400 600

Número de encuestados n

Interpretación:

La probabilidad de que se cometa un error de tipo I para un test de hipótesis realizado sobre una muestra de 400 encuestados es de 0,38%. El nivel de significancia disminuye con la cantidad de encuestados, y en general con el tamaño de la muestra, dado que una muestra de tamaño mayor se asocia a un nivel de certeza superior, por lo tanto una probabilidad de error de tipo I menor.

c) El error de tipo II se asocia a la probabilidad de aceptar una determinada hipótesis, cuando debiese rechazarse. Se considera una muestra de tamaño 100, con su correspondiente parámetro de 0,14 de la proporción muestral. Dado que se tiene un determinado número de experimentos, asociados a una probabilidad de ocurrencia de 0,2 y una cantidad de aciertos aceptables, es posible modelar la proporción de encuestados que no distinguen entre el zumo de uvas y un determinado vino, como una distribución de probabilidades binomial. De esta forma, x corresponde a 1 y 0 cuando la persona confunde o no el zumo de uva con un determinado vino respectivamente.

x Bin(100 ; 0,2) Se calcula la probabilidad que la proporción muestral sea menor o igual a 14 de la siguiente forma: 14

P ( x ≤14 )=∑ 100 0,2i 0,8100−i i i=0

( )

P ( x ≤14 )=0,08 Interpretación: La probabilidad de que se cometa un error de tipo II para un test de hipótesis realizado sobre una muestra de 100 encuestados, con una proporción real del 20% de personas que confunden el zumo de uva con un determinado vino es de 8%.

d) i. La probabilidad de rechazar una muestra que debiese aceptarse disminuirá al aumentar el margen aceptado para la proporción muestral, dado que disminuirá la probabilidad que una muestra, para una población de una proporción menor o igual a 10%, presente una proporción superior al parámetro de rechazo determinado. Un nivel de significancia menor, entregará un parámetro de cola superior mayor, y viceversa. ii. Inversamente, al tenerse una muestra de proporción mayor que la aceptada, al aumentar el parámetro de cola superior, disminuirá la probabilidad de cometer un error de tipo II.