Contrastes de Hipótesis

 

Tema 6: (Segunda parte) Contrastes de hipótesis  Objetivos: - Conocer el concepto de contraste de hipótesis y de nivel de significación de un contraste. - A la vista de una situación real de carácter económico o social, modelizada por medio de una distribución Normal (con varianza conocida) o Binomial, el alumno debe saber: -  Determinar las regiones de aceptación y de rechazo de la hipótesis nula en un contraste de hipótesis, unilateral o bilateral, sobre la media de una distribución normal con varianza conocida, y decidir, a partir de una muestra aleatoria adecuada, si se rechaza o se acepta la hipótesis nula a un nivel de significación dado. -  Determinar las regiones de aceptación y de rechazo de la hipótesis nula en un contraste de hipótesis, unilateral o bilateral, sobre el valor de una proporción y decidir, a partir de una muestra aleatoria adecuada, si se rechaza o se acepta la hipótesis nula a un nivel de significación dado.

Para ello estudiaremos: - Elementos de un test de hipótesis. - Metodología general de un test t est de hipótesis. - Contraste de hipótesis para la media de una población. - Contraste bilateral:     0   - Contraste unilateral:       0   o

   0     

- Contraste de hipótesis para la proporción. - Contraste bilateral:  p   p0   - Contraste unilateral:  p   p0   o  p   p0  

Planteamiento de un problema: Los fabricantes de una determinada marca de leche afirman que el asas, por término medio, es del 12% o menos. La desviación típica es 2’2%. Para contenido en materias gr asas, estudiar si es cierta o no la afirmación de los fabricantes, una organización de consumidores toma una muestra de 50 envases y se mide el porcentaje de grasa que hay en cada uno de ellos obteniéndose un  promedio del 12’6%.  ¿Crees que se debe rechazar la hipótesis hecha por la empresa distribuidora de que el contenido de grasas  por término medio no supera el 12%, 12%, o bien no hay motivo motivo suficiente para rechazarla? Dar solución a este tipo de problemas es lo que vamos a hacer en este apartado del tema. Introducción  En esta parte del tema abordaremos el importante aspecto de la toma de decisiones, es decir, plantearemos determinadas hipótesis sobre los parámetros de una población y a partir de llos os datos de una muestra decidiremos si podemos o no aceptar la hipótesis inicial. Las hipótesis en estadística inferencial son afirmaciones que involucran al total de la l a población. Su verdad o falsedad podría establecerse con exactitud si tuviésemos la oportunidad de evaluar e valuar a todos los individuos que la componen. Como esto no es posible o no se lleva a cabo, el criterio para aceptar o rechazar una hipótesis estadística se basa en un razonamiento de tipo probabilístico: a través del estudio de una o varias muestras se determina la probabilidad de que los resultados obtenidos sean compatibles con la hipótesis establecida. Si es altamente improbable i mprobable que, de ser cierta la hipótesis, se hayan producido dichos resultados la rechazaremos. Si no es así, a sí, lo más que podemos decir es que no existen razones para pensar que tal hipótesis no sea cierta.

 

1. Elementos de un test de hipótesis  Hipótesis: Trataremos de utilizar los datos obtenidos en una muestra para tomar  decisiones sobre la población. Para ello, debemos realizar ciertos supuestos o  afirmaciones sobre una característica de una población. Estos supuestos, que pueden ser o no ciertos, se  llaman hipó hi póte tesi siss est estad adíí sti stica cass y pueden representarse mediante una variable aleatoria.  Podemos, entonces, definir el test de hipótesis o contraste de hipótesis como el procedimiento estadístico mediante el cual se investiga la verdad o falsedad de una hipótesis acerca de una población. Se realiza cuando dos modelos teóricos sobreseelenfrenta comportamiento alealternativo. atorio de un carácter; generalmente uno de ellos existen es un modelo establecido, al que un modeloaleatorio E j emplo 1: Hace algunos años, la media de estatura de los españoles adultos varones era de 170 1 70 cm y su desviación típica 9 cm. Pasado el tiempo, un muestreo realizado a 36 adultos da una medida de 172 cm. ¿Puede afirmarse que esa diferencia de 2 cm es debida al azar o realmente la estatura media ha variado? E j emplo 2: Supongamos que, respecto a una determinada ley, el 52 % de los ciudadanos está en co ntra. Pasado el tiempo, una encuesta realizada a 400 personas indica que los ciudadanos en contra han descendido hasta el 49 %. ¿Ha cambiado realmente la opinión pública o tal resultado es debido al azar?

En los ejemplos anteriores hay una hipótesis de partida y los resultados obtenidos a partir de una muestra difieren de la hipótesis. Y nos preguntamos si la diferencia es atribuible al azar. Las hipótesis que formularemos en este tema serán sobre la media poblacional μ o la proporción  poblacional p  poblacional  p..

Hipótesis nula, H0: Es la hipótesis emitida o formulada, es decir, la que se desea contrastar. Inicialmente se considera quesalvo es verdadera y se muestren mantiene de o seforma rechaza como su consecuencia mantendremos que los datos evidente falsedad. del contraste. La

Hipótesis alternativa, H1: Es cualquier otra hipótesis que recoja una situación contraria a la dada en la hipótesis nula, de forma que la aceptación de la hipótesis nula H0 implica el rechazo de la alternativa H 1  y viceversa, el rechazo de H0 implica la aceptación de H 1.  En la toma de decisiones estadísticas, toda hipótesis nula ha de ir acompañada de una hipótesis alternativa que es la que aspira a desplazar a la nula.  En el ejemplo1 anterior la hipótesis nula es: la altura media de los españoles es de 170 cm (  H 0 :      170 ) y la  ).  hipótesis alternativa: la estatura media de los españoles ya no es 170 cm (  H 1 :      170 ).  E j emplo i lustrativo lustrati vo 1: Decidir la inocencia o culpabilidad de una persona en un país en el que se sigue el principio de presunción de inocencia: Como se quiere evitar condenar a una persona inocente, sólo se hará cuando haya una fuerte evidencia de su culpabilidad, cuando esté demostrada ésta. En caso de duda, se primará la inocencia frente a la culpabilidad. Por P or tanto, en la terminología propuesta sería:  Inocente nte  H 0 : Inoce     H  : Culpable  1 E j emplo i lustrativo lustrati vo 2: Decidir si un alumno sabe o no la asignatura de Economía, y por tanto aprueba o suspende la asignatura:  Desde el punto de vista del profesorado, un estudiante no sabe la asignatura mientras no demuestre lo contrario; contrario; es decir, el examen ha de presentar pruebas suficientes de que conoce la asignatura. En general, en caso de duda o de  falta de datos, se primará el suspenso frente al aprobado. Por tanto, en la terminología propuesta sería:  H 0 : El alumno  NO sabe la asignatura ( suspenso )     H 1 :  El alumno SI  sabe la asignatura (aprobado )

Obserr va Obse vaci cion one es: Sobre la metodología de los test de hipótesis hay que tener en cuenta que: 

1. No sirve para demostrar H0.  2. Sirve para decidir que, a partir de los datos de la muestra, o no puede rechazarse H 0, o es aceptable suponer que H0 es cierta. 3. Sirve para demostrar H1 en el sentido de que, a partir de los datos de la muestra, hay una fuerte evidencia de que H1 es cierta en comparación con H0.

 

Errores: Cuando trabajamos con el método del contraste de hipótesis podemos cometer dos tipos de errores: 

En los ejemplos anteriores: 1.- Decidir la inocencia o culpabilidad de una persona en un estado en el que se sigue el principio de presunción de inocencia:

2.- Decidir si un alumno sabe o no la asignatura de Economía, y por tanto aprueba o suspende la asignatura:

Nivel de Significación y Potencia nive vell de sig si g nifi ni fi caci cación ón d de e un co contraste ntraste a un número ,   ,  , que se elige por el investigador para Llamaremos ni construir el contraste, de tal modo que  la probabilidad de cometer un error de tipo I no sea superior a   , es decir,    es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula siendo verdadera. Es un valor muy pequeño (0.1, 0.05, 0.01, 0.005, 0.001). El nivel de significación se relaciona con el nivel de confianza por:   s  N c   N   1 .  Llamaremos p  po otencia ncia del contraste al valor de 1-    , siendo      la probabilidad de cometer un error de tipo II, es decir,     es la probabilidad de no rechazar la hipótesis nula no siendo esta cierta.

Lo ideal sería minimizar    y     , pero esto no puede hacerse simultáneamente pues si disminuye uno aumenta el otro y viceversa. Así, si un examen es muy exigente se disminuye    , es decir, la probabilidad de aprobar a un estudiante que no sabe; sin embargo, se aumenta     , la probabilidad de suspender a un estudiante que si sabe. Pero si el examen es poco exigente disminuye la probabilidad de suspender a un alumno que si sabe la asignatura (   ), pero aumenta la de aprobar a uno que no sabe lo suficiente (   ). La única manera de disminuir los dos tipos de errores a la vez es aumentando el tamaño de la muestra (preguntar muchas cosas, para tener más datos sobre lo que sabe o no el estudiante). nive ni vell de confi anza a (1-    ) En entre general, se los fija contrastes de antemano , queelasegure un error de tipo admisible y de todos conun dicho nivelconfianz de confianza se  elige de mayor potencia. (ElIestudio de la  potencia de un test se escapa al nivel de este este curso, así que daremos por por hecho que los contrastes de de este tema cumplen esa condición).

 

Estadístico de contraste o de prueba  El estadístico de prueba de un contraste es una función aleatoria de la muestra cuya distribución, cuando H  cuando  H 0 es cierta, debe ser conocida. Este estadístico sirve para extraer de la muestra la información más adecuada para discernir cual de las dos hipótesis es más verosímil, a la vista de los datos observados. Se llama valor observado o valor experimental del estadístico de prueba al valor de este estadístico que resulta de los datos de la muestra que se ha elegido para realizar el contraste.

Región de Aceptación y Región Crítica o de Rechazo Sabemos ya formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. Lo que necesitamos ahora es un criterio  para saber si debemos aceptar una una u otra, es decir, ¿con cuál de las dos hipótesis hipótesis nos quedamos? quedamos? Al tener ya formulada la hipótesis nula, es necesario que las evidencias sean muy fuertes para rechazarla; es decir, puede que haya cambios debidos al azar, en cuyo caso el cambio no es significativo, y no cambiamos, pero puede que los cambios sean debidos a otras causas. En este último caso es cuando el cambio es significativo y rechazaremos. Por lo tanto, lo primero que debemos hacer es fijar un cierto intervalo dentro del cual es normal que haya cambios, es decir, una región tal que si el parámetro (en nuestro caso media o proporción) se mantiene en dicho intervalo, nos seguimos quedando con H  con H 0, pues esas pequeñas variaciones son debidas al azar. Ese intervalo o región se denomina región de aceptación, y será mayor o menor dependiendo del nivel de significación. La región que quede fuera de la región de aceptación indica que en este caso los cambios no se pueden atribuir al azar, y por tanto hemos de rechazar H  rechazar  H 0  y aceptar H  aceptar H 1. Tal región se llama r egi ón crí cr í tica o de rechazo. I mpo porr tante tante: La región crítica o de rechazo de un contraste, a un nivel de significación    , se elige de tal  forma que, si H 0  es cierta, la probabilidad de que el valor experimental experimental del estadístico de prueba esté en esta región es menor o igual que    , esta forma de elegir la región crítica implica:

a) Si el valor observado del estadístico de prueba ESTÁ en la región crítica correspondiente a un nivel de  significación    , SE RECHAZA la hipótesis nu nula la a este nivel de significación. b) Si el valor observado del estadístico estadístico de prueba NO ESTÁ en la región crítica, NO SE RECHAZA la hipótesis nula.  En este último caso, el valor observado observado estará en la región de de aceptación, pero eso no implica implica que se acepte H 0 , sino que no se tiene suficiente suficiente evidencia muestral para rechazarla rechazarla al nivel de    elegido. Llegados a este punto, hemos de distinguir entre dos tipos de contraste o test, que determinan la región de aceptación y la región de rechazo.

a) Contraste Bilateral (o de dos colas): En este caso la región de rechazo o región crítica está formada por los dos extremos fuera del intervalo. Dicho caso se presenta cuando la hipótesis nula es del tipo H  tipo H 0 : μ = k (para la media ) (o bien H  bien H 0 : p = k, si se trata de la proporción) y la hipótesis alternativa, por tanto, es del tipo H  tipo  H 1: μ  k (o bien H  bien H 1 : p  k ). En el caso de distribuciones normales (que son las que vemos en este tema), y para un contraste bilateral, la región de aceptación, de forma gráfica, será:

Donde  z    es el valor crítico cuyo cálculo ya se estudió en el tema anterior de intervalos de confianza, y 2

la región de aceptación no es más que dicho intervalo. b) Contraste Unilateral (o de una cola): En este caso la región de rechazo o región crítica está formada por sólo uno de los extremos fuera del intervalo. Dicho caso se presenta cuando la hipótesis nula es del tipo H  tipo H 0 : μ  k (o bien H  bien H 0 : p  k ) y la

 

hipótesis alternativa, por tanto, es del tipo H  tipo H 1 : μ  k (o bien H  bien H 1 : p  k ). (El sentido de las desigualdades  puede cambiar). En el caso unilateral, la región de aceptación de forma gráfica, es: Unilateral por la derecha: ( H 1    ) 

Donde  z    es un valor que en una N(0, 1) deja a su izquierda una probabilidad de 1      Unilateral por la izquierda: (  H 1    )

Donde  z    es un valor que en una N(0, 1) deja a su izquierda una probabilidad de 1     

2. Metodología general de un test de hipótesis. Los procedimientos seguidos en las pruebas de hipótesis correspondientes a las situaciones de decisión estadística se encuentran totalmente prefijados y se llevan a cabo en una serie de etapas que facilitan su comprensión, y que son:  Paso 1º : Se enuncian la hipótesis nula  H 0  y la alternativa  H 1 . Consiste en atribuirle un valor a un  parámetro de cierta población (la hipótesis nula nula  H 0 ) y el valor contrario será la hipótesis alternativa  H 1 , es decir dichas hipótesis deben ser excluyentes. Una vez enunciadas, se analizará si el contraste es bilateral (la hipótesis alternativa es del tipo  ) o si se trata de un contraste unilateral (la hipótesis alternativa es del tipo > o