Contoh Soal Dinamika Struktur - Respon Spektrum

SOAL :

TUGAS BESAR ANALISA DINAMIKA STRUKTUR ST RUKTUR

DIKETAHUI : Struktur pada gambar di atas dengan data sebagai berikut : L

=6m

h1

=6m

h2

=5m

h3

=4m

q1

= 3 t/m

g

= 980 cm / detik2

q2

= 3 t/m

k1

= 5 x 103 kg/cm

q3

= 2,5 t/m

k2

= 4 x 103 kg/cm k3

= 3 x 103 kg/cm

DIMINTA : Tentukan Respon struktur tersebut diatas akibat gempa El Centro PENYELESAIAN : Perhitungan Massa : ω1 = q1 . L = ( 3 x 103 ) x 6 = 18.000 kg

ω2 = q2 . L = ( 3 x 103 ) x 6 = 18.000 kg ω3 = q3 . L = ( 2,5 x 103 ) x 6 = 15.000 kg

Model Matematik

Free Body

Berdasarkan keseimbangan gaya  –   –  gaya pada freebody diagram, maka dapat disusun PD (Persamaan Differensial ) gerakan sebagai berikut : m1 . y1 + k1 . y1 – y1 – k2  k2 ( y2 – y2 – y1 )

=0___________(1)

m2 . y2 + k2 ( y2 – y2 – y1  y1 ) – ) – k3  k3 ( y3 – y3 – y2  y2 ) = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 2 ) m3 . y3 + k3 ( y3 – y3 – y2 )

=0___________(3)

Persamaan tersebut dapat dapat ditulis menjadi : m1 . y1 + ( k1 k 1 + k2 ) y1 – y1 – k2 . y2

=0___________(4)

m2 . y2 – y2 – (  ( k2 . y1 ) + ( k2 + k3 ) y2 – y2 – k3 . y3

=0___________(5)

m3 . y3 – y3 – k3 . y2 + k3 . y3

=0___________(6)

 Atau bila ditulis dalam bentuk bentuk matriks menjadi :

 _ _ _ _ _ _ _ _ ( 7 ) Jika dipakai unit massa m = 10 kg det2 / cm dan unit kekakuan k = 1000 kg / cm maka matriks massa dan matriks kekakuan struktur 3 DOF diatas adalah :

 _ _ _ _ _ _ _ _ ( 8 )

 _ _ _ _ _ _ _ _ ( 9 ) Persamaan Eigen Problem yang dapat diperoleh dari matriks [ m ] dan matriks [ k ] adalah :

 _ _ _ _ _ _ _ _ ( 10 ) Sehingga persamaan diatas dapat ditulis menjadi :

 _ _ _ _ _ _ _ _ ( 11 ) Penyederhanaan Penyederhanaan persamaan ( 11 ), menjadi : ( 9 – 9 – 1,8367 λ ) ø1 – 4 ø2

= 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 12 )

-4 ø1 + ( 7 – 7 – 1,8367 λ ) ø2 – 3 ø3

= 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 13 )

-3 ø2 + ( 3 – 3 – 1,5306 λ ) ø3

= 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 14 )

Dengan mengambil nilai ø1 = 1, maka pada persamaan ( 12 ) dan persamaan ( 13 ) akan menjadi : •

Persamaan ( 12 )

( 9 – 9 – 1,8367 λ ) ø1 – 4 ø2

=0

( 9 – 9 – 1,8367 λ ) 1 – 4 ø2

=0

9 – 1,8367 λ – 4 ø2

=0

4 ø2

= 9 – 1,8367 λ

ø2

= 2,25 – 2,25 – 0,4592 λ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 15 )

•

Persamaan ( 13 )

-4 ø1 + ( 7 – 7 – 1,8367 λ ) ø2 – 3 ø3 -4 x 1 + ( 7 – 7 – 1,8367 λ ) ( 2,25 – 0,4592 λ ) – 3 ø3

=0 =0

-4 + 15,75 – 15,75 – 4,1326 λ – 3,2144 λ + 0,8434 λ2 – 3 ø3

=0

11,75 – 11,75 – 7,347 λ + 0,8434 λ2 – 3 ø3

=0

3 ø3

= 11,75 – 11,75 – 7,347 λ + 0,8434 λ2

ø3

= 3,9167 – 3,9167 – 2,449 λ + 0,2811 λ2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 16 )

•

Substitusi Persamaan ( 15 ) dan persamaan ( 16 ) ke dalam persamaan ( 14 )

-3 ø2 + ( 3 – 3 – 1,5306 λ ) ø3

=0

-3 (2,25 – (2,25 – 0,4592 λ ) + (3 – 1,5306 λ ) (3,9167 – 2,449 λ + 0,2811 λ2 ) = 0 -6,75 + 1,3776 λ + 11,7501 – 7,347 λ + 0,8433 λ2 – 5,995 λ + 3,748 λ2 – 0,4302 λ3 =0 5,001 – 5,001 – 11,9644 λ + 4,5913 λ2 – 0,4302 λ3

= 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 17 )

Cara paling sederhana mencari nilai λ adalah dengan cara coba –  –   coba dan diperoleh :

Gambar Normal Mode Dalam bentuk matriks, dapat ditulis :

Sedangkan vektor frekuensi sudutnya :

Partisipasi tiap mode

= 287,4168 kg det2 / cm

= 93,28702 kg det2 / cm

= 104,2484 kg det2 / cm Maka Partisipasi tiap mode adalah :

Respon struktur akibat beban gempa El Centro Integrasi Numerik Dipakai nilai t = 0,042 detik dan nilai g = 980 cm / det2 maka nilai a,b dan k