Contoh Soal Dan Pembahasan Prinsip Inklusi Eksklusi

Contoh soal dan pembahasan : 1. Dalam sebuah program studi pendidikan matematika yang terdiri atas a tas 350 mahasiswa, terdapat 175 mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial dan 225 mahasiswa yang mengambil mata kuliah analisis kompleks, dan 50 mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial dan analisis kompleks. Ada berapa mahasiswa di dalam perkuliahan itu jika setiap mahasiswa mengambil mata kuliah persamaan diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya? Penyelesaian:

Misalkan A : banyaknya mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial B : mahasiswa yang mengambil mata kuliah analisis kompleks. Maka A B merupakan himpunan mahasiswa yang mengambil kedua mata kuliah tersebut. Banyaknya mahasiswa di dalam kelas itu yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya adalah n(A

n(B) – n(A n(A ∩ B) ∪ B) = n(A) + n(B) –  = 175 + 225 –  225 –  50  50 = 350

Ini berarti, terdapat 350 mahasiswa di dalam kelas yang mengambil mata kuliah  persamaan diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya. Karena  banyaknya siswa keseluruhan di dalam kelas tersebut adalah adalah 350 mahasiswa, artinya tidak terdapat mahasiswa yang tidak memilih salah satu dari d ari kedua konsentrasi itu.

2. Di sebuah jurusan dalam suatu perguruan tinggi terdapat 134 mahasiswa tingkat 3. Dari sekian banyak mahasiswa tersebut, 87 di antaranya mengambil mata kuliah teori graf diskrit, 73 mengambil mata kuliah matematika ekonomi, dan 29 mengambil mata kuliah teori graf dan matematika ekonomi. Berapa banyak mahasiswa yang tidak mengambil sebuah mata kuliah baik dalam d alam teori graf

maupun dalam matematika ekonomi?

Penyelesaian:

Untuk menentukan banyaknya mahasiswa tingkat 3 yang tidak mengambil mata kuliah teori graf ataupun matematika ekonomi, kurangilah banyaknya mahasiswa yang mengambil mata kuliah dari salah satu mata kuliah ini dari keseluruhan banyaknya mahasiswa tingkat 1. Misalkan A : himpunan semua mahasiwa tingkat 3 yang mengambil mata kuliah teori graf B : himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah matematika ekonomi. Maka n(A)=87 n(B)=73 dan n(A ∩ B) = 29 Banyaknya mahasiswa tingkat 3 yang mengambil mata kuliah teori graf atau matematika ekonomi adalah n(A

∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 87 + 73 –  29 = 160-29 = 131

Ini artinya terdapat sebanyak 134 – 131 = 3 mahasiswa tingkat 3 yang tidak mengambil mata kuliah teori graf ataupun matematika ekonomi.

3. Ada berapa bilangan bulat positif lebih kecil atau sama dengan 100 yang habis dibagi 6 atau 9?

Penyelesaian

Misalkan A: himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 6 B: himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 9.

Dengan menggunakan prinsip inklusi-eksklusi, banyaknya bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 6 atau 9 adalah

|  A   B |

 |  A |  |  B |  |  A  B | 100  100  100        6 9      18   16  11  5  22

4. Misalkan ada 1467 mahasiswa angkatan 2004 di ITB. 97 orang di antaranya adalah mahasiswa Departemen Informatika, 68 mahasiswa Departemen Matematika, dan 12 orang mahasiswa double degree Informatika dan Matematika. Ada berapa orang yang tidak kuliah di Departemen Matematika atau Informatika?

Peyelesaian :

Misalkan A : himpunan mahasiswa angkatan 2004 di Departemen Informatika B : himpunan mahasiswa angkatan 2004 di Departemen Matematika Maka |A| = 97, |B| = 68, dan |AB| = 12. Banyaknya mahasiswa angkatan 2004 di Departemen Informatika atau Matematika adalah

|A  B| = |A| + |B| - |A  B| = 97 + 68 –  12 = 153 Jadi, terdapat 1467 –  153 = 1314 mahasiswa angkatan 2004 yang tidak kuliah di Departemen Matematika atau Informatika.

5. Dalam sebuah kelas terdapat 25 mahasiswa yang menyukai matematika diskrit, 13 mahasiswa menyukai aljabar linier dan 8 orang diantaranya menyukai matematika diskrit dan aljabar linier. Berapa mahasiswa terdapat dalam kelas tersebut ?

Penyelesaian

Misalkan A : himpunan mahasiswa yang menyukai matematika diskrit dan B : himpunan mahasiswa yang menyukai aljabar linier Himpunan mahasiswa yang menyukai kedua mata kuliah tersebut dapat dinyatakan sebagai himpunan AB. Banyaknya mahasiswa yang menyukai salah satu dari kedua mata kuliah tersebut atau keduanya dinyatakan dengan

A  B . Dengan demikian

A  B = A+B - A  B = 25 + 13 – 8 = 30 Jadi terdapat 30 orang mahasiswa dalam kelas tersebut.

6. Berapa banyak bilangan bulat positif yang tidak melampaui 1000 yang habis dibagi oleh 7 atau 11 ?

Penyelesaian

Misalkan P : himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 Q : himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 11

Dengan demikian P  Q adalah himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 atau habis dibagi 11, dan  PQ himpunan  bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 dan habis dibagi 11.

|| = [1000 7 ]= 142   1000

|| = [1000 11 ]= 90 1000

P  Q =[(7,11)]-[ 77

]= 12

P  Q = P + Q -P  Q = 142 + 90 – 12 = 220

Jadi, terdapat 220 bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 atau habis dibagi 11. Ilustrasi dari penghitungan tesebut dapat dilihat pada diagram di bawah ini.

7. Berapa banyak bilangan bulat positif yang tidak melampaui 1000 yang habis dibagi oleh 5, 7 atau 11 ?

Penyelesaian

Misalkan P : himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 5, Q : himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7, R : himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 11. Dengan demikian



P  Q  R adalah himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000

yang habis dibagi 5 atau 7 atau 11,



P  Q  R adalah himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000

yang habis dibagi 5, 7 dan 11.



P  Q adalah himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000

yang habis dibagi 5 dan 7



P  R adalah himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang

habis dibagi 5 dan 11



Q  R adalah himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000

yang habis dibagi 7 dan 11.

|| = [1000 5 ]= 200   1000

1000 || = [1000 ] = 142 | |  = [ 7 11 ]= 90 1000

P  Q [(5,7)]  [ 35 ]  

  1000

1000

  1000

1000

P  R [(5,11)]  [ 35 ]   Q  R [(7,11)]  [ 77 ]  

  1000

1000

P  Q  R  [(5,7,11)]  [ 385 ]   P  Q  R = 200 + 142 + 90 – 28 – 18 – 12 + 2 = 376. Jadi, terdapat 376 bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 5, 7 atau habis dibagi 11.

8. Sebanyak 115 mahasiswa mengambil mata kuliah Matematika Diskrit, 71 Kalkulus Peubah Banyak, dan 56 Geometri. Di antaranya, 25 mahasiswa mengambil Matematika Diskrit dan Kalkulus Peubah Banyak, 14 Matematika Diskrit dan Geometri, serta 9 orang mengambil Kalkulus Peubah Banyak dan Geometri. Jika terdapat 196 mahasiswa yang mengambil  paling sedikit satu dari ketiga mata kuliah tersebut, berapa orang yang mengambil ketiga mata kuliah sekaligus?

Penyelesaian

Misalkan MD : himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit, KPB: himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Kalkulus Peubah Banyak G: himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Geometri. Maka |MD| = 115,

|KPB| = 71,

|MD  KPB| = 25,

|G| = 56,

|MD  G| = 14,

|KPB  G| = 9, dan

|MD  KPB  G| = 196

Dengan mempergunakan prinsip inklusi-eksklusi: |MDKPBG| = |MD| + |KPB| + |G| - |MD KPB| - |MDG|

- |KPBG| + |MDKPBG| 196

= 115 + 71 + 56 - 25 - 14 - 9 + |MD  KPB  G|

196 – 194

= |MD  KPB  G

|MD  KPB  G| = 2 Jadi, |MD  KPB  G| = 2