Continuidad en Un Punto y en Un Intervalo

 

-CONTINUIDAD EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO: La continuidad en un intervalo estudia si una función es continua en cierto intervalo.

Una función es continua en un intervalo [a,b] si es continua en todos sus puntos. En caso contrario, se dice que la función es discontinua en [a,b].

Dibujo de la continuidad de una función en un intervalo. Se pueden diferenciar cuatro casos, según se gún si el intervalo es abierto (no incluye a y b), cerrado (inlcuye a y b), abierto por la izquierda (no incluye a) o abierto por la derecha (no incluye b).

Intervalo abierto ]a,b[. Un intervalo abierto es aquel que contiene sólamente los puntos interiores pero no a los dos extremos a y b. Se representa entre corchetes invertidos ]a,b[ o con dos paréntesis (a,b). La función f es continua si lo es en e n todos los puntos interiores del intervalo.

Intervalo cerrado [a,b]. Un intervalo cerrado es aquel que contiene los puntos interiores pero también a los dos extremos a y b. Se representa entre corchetes. La función es continua si:

f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto ]a,b[). f es continua por la derecha en e n a:

Continuidad de una función en el extremo inferior a. f es continua por la izquierda en b:

Continuidad de una función en el extremo superior b. Intervalo abierto por la izquierda ]a,b] (no incluye a). La función es continua c ontinua si: f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto ]a,b[). f es continua por la izquierda en b:

 

  Continuidad de una función en el extremo superior b. Intervalo abierto por la derecha [a,b[ (no incluye b). La función es e s continua si: f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto ]a,b[). f es continua por la derecha en e n a:

Continuidad de una función en el extremo inferior a.

-TIPOS DE DISCONTINUIDAD: Discontinuidad evitable Si una función tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto:

o no existe:

se dice que la discontinuidad es evitable, asignando a la función, en ese punto, el valor del límite:

Discontinuidad esencial o no evitable Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones: 1.  Existen los límites laterales pero no coinciden. 2.  Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos. 3.  No existe alguno de los límites laterales o ambos.

Discontinuidad de primera especie

 

En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:

 –  – DE  DE SALTO FINITO Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:

 A este tipo de discontinuidad discontinuidad de primera especie se le llama salto fin finito, ito, y el salto viene d dado ado  por:De salto infinitoSi uno de los límites límites laterales es infinito y el otro finito, finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito: como en el caso de que el límite por la izquierda sea infinito y por la derecha finito:

Se dice que la discontinuidad es de salto infinito.

DISCONTINUIDAD ASINTÓTICA Si los dos límites laterales de la función en el e l punto x= punto x= a son a son infinitos:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo siendo x=  x= a la asíntota.

Discontinuidad de segunda especie Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los límites laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.