Conti, Barsanti - Le olimpiadi della matematica (I edizione).pdf

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MICHELE BARSANTI TULLIOFRANZONI

LE OLIMPIADI DELLA MATEMATICA iWffiffi ffiffi-ffiru$ ffiffiffiffi-ffi-ffiHqffi,ffiffiffi ffii$-',ffi, $*ffi+ffi,ffi ffi;

ZANICHELLI

LE OTIMPIADI DELLA MATEMATICA A CUrAdi FRANCOCONTI,MICHELEBARSANTI,TULLIOFRANZONI

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M A T E M A T I C A

EditoreS.pA , Bologna[9016] O 1994 Zanichelli Copyright elettronica' I dirittidi traduzione,dì memorizzazione e di adattamentototaleo parziale di riproduzione òon'qualsiasimezzo(compresii microfilme le copiefotostatiche) sono riservatiPertutti i Paesi a rrprodurre L editorepotràconcederea pagamentoI aulortzzazione una oorzionenon superiorea un decimodel presentevolume' vannoinoltralea: di riproduzione Le richieste ltalianaper i Dirittidì Fìiproduzrone Associazione deìleOpere a SiamPa(AroRos) Via delleÉrbe2 20121N4ilano tel. lo2) 86463091-fax (02)89010863

editoriale: Realizzazione - Coordinamento lreneEnriques redazionale: dei disegni:Normas.n.c.,Parma _ Érogettografico,riletturaàói testi,elaborazione ll testoè statocompostoin LATEXOda MicheleBarsanti al plotterda FrancoConticon librerieautocostruite i dú;é.i sono stati'realizzati Copertina: - Realizzazione: BobertoMarchetti Buzzi,1987 - lmmaginedi copertina: Studiofotografico dicembre1994 Primaedizione: Ristampa: c

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1996 1997 1998 1999

Rea|izzareunIibroèun'operazionecomp|essa,cherichiedenumerosicontro||i: tra essi' che si stabiliscono sul testo,sulleimmaginie sullerelazioni pubbticareun libro ;gf .iÉ.. che è praticamenre.impossibite i:;ó;;i;;; pr-ióOiértoti.Sàiemoquindigiati ai lettoriche vorrannosegnalarceli' o suggerimeitirelativia questolibrol'indirizzoa cui scrivereè: iter segnalazioni EditoreS.P.A. Zanichelli via lrnerio34 40126Bologna tel. (051)293269- fax (051)293322 [email protected]

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FRANCOCONTI edi

MICHELE BARSANTI TULLIOFRANZONI

LE OLIMPIADI DELLA MATEMATICA PROBLXMI DALLE GARH ITALIAÌìNE

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convegnocli insegnanti di matematica ho sentito da una professoressaquesta

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o..o,."..r,r," fare dei corsidi sostegno :::ì:J: ::; pergli allievipiùbravi".Effetliramenre. "i1.í:..1j..1î*ll,"rrte..sisnificativa:. I'insIg.a,rr"*.i"ti.,"1ll,lli,il'i1,ff

scuola secondariatencle ad appiattirsi ."-f." pirì e anciie gii allievi piir rnotivati e capaci rischiano di esserefrenati daila maggior degli st'cienti clie nori è certo priva iarte cli intelligenza, ma che è. n3co dispostla pàgur" le conquiste i,riàlt.ttuuri con un po, di fatica' I libri scolastici dive'tario t";pr;;:ù massicci, nÌa sempre piir sim;i a rnanuali da addestramento' La stessarivoluzione in'formatica, in cui arreoàmoposto molta fiducia negli "anni ottanta" rischia di essere .oni.op.o.l.,cente: infatti. vectiamo affe.niarsi piJ l'informatica dei "pacchetti" già .o'r.rionitl che no' t,inror-uti.o clei ,,prograrnmini.,, come via per stimolare la creatività dei raeazzi. In questa situazione, occorre risalire la china. proponenclo agli allievi a'che problerni diversi da quelli della routine scolastica ."r"undo via via -'e..q,,esro ii ...r"r""re il 'urnero di coloro che possono gustare la bellezza " della matemuti.u. scopo rispo'de la raccolta di temi tratti da varie gare matematiche. che qui f."r"rriiu-o, curata con grande passionee competenza da À"fichele Barsanti, Franco cà*i i"iiio Fr.a.zoni. E il caso di sottolineare che si tratta cli gare matematiche " svolte in r,uriu'-.ori che la raccolta è anche la testimonianza di 'n'attlvlà i'tetlig"trì. à airin,eressata, forse poco nota negli ar'bienti ufficiali, che ha avuto negri anni più iecentr u'a rapida espansione. Il testo degli eserciziè premesso,in moclo che il lettore sia sfidato a cefcare cla sé le soluzioni' confrontandolepoi co'quelle che sono esposteneila secondaparte. La raccolta può essereutilizzata sia dailo studente a titolo personale, sia 5 ( 2 r- 3 ) .

Drs 3 GABASENIOR 91

S i c o r s i c l e r i n oi c l u en u m e r i 7 : zioni è corretta?

( A )u ' < , ( C )r < a 1 1 2

(tr) v > r'r.

Dts4

(E) nessunodei precedenti.

( B )' / [ P - t n + s > 5 ( D ) < - 1 o p p u r re ) 4 "

l g ( 1 0 ) ' oe q : 2 ( 1 0 ) " .

(B) "S(oc+bd).

Dts10

S i d i m o s t r i c h e p e r o g n i c o p p i ad i r e a l i p o s i t i v i r . y t a l i c h e r - l - g : 1 s i

ha

CORTONA 93

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{ r + r-/ l + l s * * l -) 2_ \ \" a) D I S1 1 c0Rt0NA89

Siano a, ó. c i lati cli un triangolo e o, J, 1 gli angoli opposti ad essi. Si dimostri chc, 'l--r h+,, s e4 < E v e r o i lt i c e v c r s a . ' o.allora"a;.

D I S1 2

S i a n o1 1, : r 2 .. . . . r , , c l e in u m e r ir e a l i p o s i t i v it a l i c h e

coRtoNA 93

Ir, ; - l

IL

n \ l ' ) rt,f L ) i t t t o s t r a r oc l r e ) : ' n , - .l V ", v\-Jt

: l. (n> 2).

1 GEOP GARAJUNIOR90

lJn esagonoregolare ha lo stessoperimetro di un triangolo equilatero. Qual è il rapporto tra I'area dell'esagonoe quella clel triangolo?

(A)1

GEOP 2

(B) 413

(c) 312

( D )v €

( E )2 .

La figura B si ottiene dalla figura A tramite:

GARA SÉNIOR 90

(A) (B) (C) (D) (tr)

GEOP 3 GARAJUNIOR90

la simmetria di centro P una rotazionedi centro Q la simmetria rispetto alla retta I una traslazione la simmetria rispetto ad una retta d e l p i a n o r r o n l r a c c i a t ai n f i g r r r a .

Un quadrato con i lati Ìunghi 20 cm ha un vertice nel centro di un quadrato con i lati iunghi 10 crn. Quanto vale l'area deila regione comune? (A) 20 crn2 (B) 25 cm2 (C) 100/3cm2 (D) 100cm2 (tr) i dati del problema non sono sufficienti per calcolare l'area.

4 GEOP GARA SENIOR 89

Urr trapezio ABCD circoscritto ad un cerchio di raggio 5 crn ha un'area cli 150 cmz Allora ia sornmadei lati oblicui AD e BC è. (A) (B) (C) (D) (E)

sempre30 cm 30 cm soitanto se il trapezio è isoscele 30 cm soìtanto se il trapezio è rettangolo è semprediversa da 30 cm non è determinabilein base ai dati forniti dal problema.

19

piana Geometria

G E O 5P JI ìA JUNIOR 93

Sapendo che AAy - +AC, che BB1 : IBC e che l'area del quadrilatero ABBtAl 45 cm2 trovare I'area del triangolo ABC. (A) (B) (C) (D) (E)

175cmz 135cm2 130cm2 1 2 5c r n z 1 0 0c m 2 . A

G E O 6P jrrA JuNloF 94

B

Nel trapezio ABCD la base minore CD è213 della base maggioreAB. Sapendoche l'area del triangoio ABD è 24 cnf . quanto r''aleI'area dell'intero trapezio? (A) (B) (C) (D) (E)

36 crn2 40 crn2 42 cm2 48 cm2 non è possibiledeterminareI'area del trapezio. B

A

G E O7 P J]:JSENOR90

Dato un quadrato ABCD di lato / siano 11 ed À" i punti medi cli BC e CD. deterrnini I'area della parte conruneai triangoli ABXI e BAIC.

(A) rl2o t2 (B)vtrl42I'z (c) \/5132t'z ( D ) 1 / 1 6r , ( E ) r l 1 0t 2 .

A

N l N

G E O8P j:::,_r,0R94

è

Si

l

Si considerii1 poligonointrecciatoin figura. La sornnra ugualea: (A) 90' (B) 180" (c) 360' (D) 150' (E)210".

:: :j

::..

:::j

Nella figura a fianco.ogni circonferenzapàssaper i centri delle altre due. Sapendoche la lurrghezzadel raggio delle circonferenzeè 1. qual è l'alea rlelìa figrrratratteggiata?

(A) (" - ytr)12 ( B )r 1 6 Q) nla (D) tB"l3 (E) vtr|4.

20

Problemi

GEOP 1O

Irr un trapezio ABCD sia t il punto cli incontro delle diagonali. Sapendo che I'area dei triangoÌi DEC. ABE è rispettivamenter. 37,trovare l'areradel trapezio.

GABASENIOR 91

( A )r + y + 2 l r a (B) 2(.r+ y) (.c)21j2 * ,z (D)r'+a+2Jt'+t

D

C

(E) i dati non perrnettonodi cleterminare l'area

GEOP 11 GARAJUNiOR9]

Disegnanro schematicamentc la faccia di Topolino prencìerrdoun cerchio di raggio unit,ario.drte punti clia.metralmente otrlpostiA. B. il punto C in nrodo cherAC : ClB e cltteserrricerr:hicli cliarnetro rispettivamente AC e C B. Quarrto valercomplessivarnentc Ì'area ck:llc.oreccliie cli Topolino?

@) nla (B)1

(c) ,/t (D) "vtrlz delle precedenti (E) nessuna

GEOP 12 GARASENIOR 93

La figura a fianco è cleiimitata da 6 archi ciascrrnocleiquali è 1/.1di una circonferenza di raggio 1. Ilctcrminarne I'alea. (A)5-r12 (B) a - ;r/tl

(cr)I (D) 3 + î/l (E) nessurra cìelleprececlerrti.

GEOP 13 GARASENIOR 92

Nella figrrra a fia,ncoil cercliio grande ha centro in O e raggio 1. Quanto vale il raggio del cerchio piìr piccolo'/ (A) 1/.1 (B) 5/18

(c) 2.",5,'9 ( D )1 / 3 (E) nessuna dclle risposte prccecìerrtiì: corlett:r

GEOP 14 GARASENIOR 94

Consiclerianro un triangolo rcttangolo aventei lati di lunghezza5, 12 e 13. Un cerchio di raggio 1 si rnuovc alf interno clcl triangolo in modo da toccare senìpre almeno uno dei srroi lati. Quanto è lr-rngoil percorsodescritto dal centro clel cerchio rlopo esserc tornato alla posizionedi partenza?

(A) 12 (B)13 (c) t4 (D) 15 (tr) 16

piana Geometria

GEOP 15 GARAJUNIOF94

Con riferimento alla figura. si sa che il raggio della circonferenza C r è l c c l i e l a distanza di 01 da t' è 3. Si puo deterrninareil raggio di C2? (A) (B) (C) (D) (tr)

GEOP 16 GARAJUNIOF91

21

No. i clati sono insufficienti no. i dati sono incorlpatibili sì. essovale 1/2 sì, essovale f/2 sì. essor'-aley6,/2.

Si costruiscautta circonfelernza inscritta in un triangolo ,1BC e siano L.1lÀ i punti cìi tangenzadei lati AB. BC. C,4. Quale delle seguenriafferrrazioniè sbagliatal' / A ì I triarigoli AL!{, BXIL, Cl,{lI

sono isosceli il triangolo LI,IN è acutangolo /r-l se il triangolo ABC ha un angolo cli 60o, allora anche il triangolo Zf,1f ha un angolo di 60' ( D ) alnreno clue tra i triangoli I.11À . ALI{ . B X.IL, C Ì{ X'I sono sirnili (trrle circonferenzecircoscritteai tt'iangoli -,lI-Y. B\IL. CÀ 11 passanoper uno stessopunto. /ll\

B GEOP 17 GABASENIOR 90

Dato un triangolo ,.lBC. presi due punti A' . B' sui lati BC e lC. sia K l'intersezione d i A A ' e B B ' . U n a e u n a s o l a d e l l e s e g u e n t ic o n c i i z i o nei q u i v a l ea richiedereche K stia sulla mediana uscentedal vertice C. Oual è? C (A) A'B' è parallelo ad AB ( B ) A A ' e B B ' b i s c c a n o g l i a n g o l ii n - - l e i n B

(c) A'K : B',K

( D ) A ' e B ' s o n oi p u n t i n - i e c d lii BC e di AC ( E ) 8 . 4 ' ,: A B ' . A GEOP 18 GARASENIOR 91

B

Date clue rette perpendicolaria. b. quale fra i seguentiè il htogo cìeipunti P tali che l a s o m m ad e l l e d i s t a n z er i i P r l a l l c r l r r r l. . t f ( , ò c o s t a n t e ?

22

Probleni

GEOP 19

In un piano si consideri un punto P equidistante da due rette parallele distinte ri, b asseflnate. Si tracci una retta r per P che interseca Ie rette a, b it A e B rispettivamente. AÌ variare della retta r il luogo geometrico dei punti C per i quali ,4BC è un triangolo equilateroè costituito da:

GARASENIOB94

(A) (B) (C) (D) (E)

GEOP 20 GARA SENIOB 89

una retta due rette una circonferenza un rettangolo una figura diversa da ttitte le precederiti.

Quali di queste curve costituisce il luogo dei punti che vedono il quadrato Q da un angolo di 45'? (A)

u (c)

I r-r) \7

n GEOP 21

Conoscerr s c'è solo un numero finito di numeri specialidispari un nllmero speciale non può ar.erepiù di 1000 cifre.

Se a e ó sono dr-renumeri interi positivi tali che 3a : 2b, quale cleileseguenticonclusioni è corretta'J (A)o+óèmultiplodi5 (B)a+bèdispari (C) o b è pari rna non è multiplo di 4 (D)ooppurebèdispari (E) nessunadelle risposte precedentiè corretta.

40

Probleni

LOG6

Si considerì la seguentefrase: "Tutte le volte che ho preso I'ombreilo non è piovuto". Quale delle seguenti è Ìa negazionedeÌ1afrase precedente'?

GARAJUNIOR93

(A) (B) (C) (D) (tr) LOG7 GARAJUNIOR92

Quando escocon l'ombrello piove tutti i giorni in criì escosenzaombrello piove almeno una volta souo uscito con l'ombrello ed è piovuto tirtti i giorni in cui non piove escocon I'ombrello tutti i giorni in ctii è piovuto sono uscito con l'ornltrello.

In trna classesono state formatc un:r squaclradi calcio c una di tennis. Quale c1eìlc seguenti affermazioni è sicuramente vera? (A) II miglior calciatoretla i tennisti è anclie il rniglior tennista tra i calciatori (B) i1 più giovane fra i calciatori che giocano a ternnisè anche il più giovanedei tennisti (C) se il piìr bravo dei giocatori non gioca a tennis. allora il pirì bravo cleitennisti non gioca a calcio (D) se il piìr gior-anedei giocatori non gioca a tennis. allora il pirì giovane dei tennisti rton gioca a calcio (E) nessuna delle precedenti affermazioni è r'era.

LOG8 GARANAZIONALE 94

Un giornalista clevefare un articolo su una classica isola cli furfanti e cavalieri. in cui ttttti gli abitanti o mentono senìpre (e sono furfanti) o dicono sernprela verità (e sono cavalieri)e tutti si conosconoreciprocanrente. Supponiamo che il giornalista intervisti una e una sola volta tutti eli abitanti ed ottenga nell'ordine le seguentirisposte: A 4.-

'sull' isola c'è almeno 1 firrfante" 'sull' isoÌa ci sono ahneno 2 fnrfanti"

':' Au. t : "sulf isola ci sorro ahneno n - 1 furfanti" An : "sull'isolaci sono n furfanti" Può il giornalista stabilire se suli'isolaci sono piir furfanti o piìr cavalicri? LOG9

LTrivi:iggiatore si trova a ttn crocevia da cui partono due strade una delle quali porta a ttna città. La regione è abit:rta da drre fatriglie: i rnembri di una fauriglia dicono senpre la verità. qrrelli dell'altra nrentonosempre. Al croceviail viaggiatoreincontra uno sconosciuto, gli fa una dornanda e. pur senza sapere a quale famiglia appartiene lo sconosciuto.la risposta che ottiene io inclirizzasicurameritesulla strada giusta per raggiungerela città. Qual è la cìomanda'l

LOG1O

Tre esploratori vengono catturàti. Il capo della tribrì che li ha catturati nrostra loro cinqrre cappelli (tre bianchi e due neri). dicendo: "Vi saranno posti sul capo tre di questi cappelli. Ognuno di voi potrà vedere i cappelli ciegli aitri mà non il proprio. Chi di voi indovinerà il colore clelproprio cappello avrà salr.ala vita. gli altri saranno giustiziati". Tre dei cinque cappelli vengorìopol posti sul capo degli esploratori. ll primo cìi essi dichiara: ''Il rnio cappello è rrero". "Anche il mio cappello è nero". Il secondodichiara snccessivamente: A questo punto il terzo dichiara: "Io colloscocon assolutacertezzail colore del micr c a p p e l l oE. s s o è . . . " . Di quale colore è il cappello e perché?

FUNZ 1 GARASEN]OR 92

-l Qrralefra le seguentifunzioni verifica f iclentità f (2:t t) - 2ll(;r)]'? ? ' l

t' A t . t , FUNZ 2 89 GARANAZ|ONALE

21 ) :

( B ') l o g r z

o

( C )2 - "

t2- 1

z

(D) -

2

(E)2".

Sia a un rìuÌnero leaie ed / la funzione cosí clefinita: ( .f\r,.n) -,r

flm.n-

1)+(1 -o)l'(nr - 1.n - 1)

I

sen ' i ,e d n s o n o interi positivi

J ffu.()):1 ì I f (r,.0): I

f(0. nr) :11

p e r o g n i r r ti t i t e r o P u s i itr o

Trovare i valoli cli a irr corrispondeuzadci quali si abbia l./(nz,n) < 1989 per ogni nt ed n. FUNZ 3 c0RloNA88

Detcrrrrinare le fuirzioni di una var-iabiieche sodclisfanoìa segucnte equazionefunzionale:

f ( r + a )- 2 f ( r - y ) + / ( . r ) - z Í ( a ): y - 2 . FUNZ 4 CORTONA 94

Si consideriunerfunzione I definita sugli irrteri positivi tale che:

f / ( 1 ): o 4fQn):2f(n)+! I l ( 2 n + 1 :) J Q n ) - T a) Si dinrostri clic /(rn) :0 per infiniti vaÌori di rn. b) Si dimostri che esisteq tale che /(q) : 1991.

FUNZ 5 CORTONA 92

Sia / urra funzione non identicamentenulla tale che per ogni coppia di mrmeri r, g si abbia

f qlP +7) : /(r) .f @). Si clinrostriche per ogni .r razionalesi ha f (r:) : o'". con o costantepositiva qualunque.

CORTONA 94

Si determinino tutte le funzionl / che verificanola condizione.f (* - f (A)) : | - î - U pcr ogrii coppia cli numeri reali r:, g.

FUNZ 7

Si trovino tutte le funzioni / tali che perrogni r ) 0 e ogni y si abbia

FUNZ 6

coRfoNA 90

FUNZ 8 CORTONA 89

f ( f l ) : s f ( . r )' Si trovino tutte 1efunzioni / tali che

-f (r + y) + f (x - y) 2f (l cosy per ogni ct-,ppiadi rrunrerir. g.

MAT1 GARAJUNIOR93

La marmeilata dietetica ha una percentualedi zuccheroche è la rnetà rispetto a quella clella marrriellata ordinaria. mentre la sua percentuale di frutta è il doppio di quella ordintrria. Sapendo che in entrarnbi i tipi di rrrarmellatagli ingredienti diversi da frutta e zucchero sono complessivameriteil 4%. qLralè la percentuaÌe di zucchero nella marnrellatadietetica?

($ 2r:% MAT2 GARAJUNIOF91

(B) 30%

(C:)32%

MAT3

MAT4

( c ) 7 7 . 5 % (D) 78%

Iri una città di confine si sa che la popolazione parla il tedesco o il francese e che 1170% della popolazione parÌa il tedesco rnentre 11607( parla il francese. Si dornanda qr,ralepercentuale della popolazione conosceentrambe ie lingue.

(A) 10%

GARAJUNIOR 90

( F , )3 6 %

Nel carnpionato di calcio delÌo scorso anno fra, i rigori concessiil 6U% è stato a far-orc deÌla squadra di casa e 1140% a favore della squadra ospite. Sappianrciche l'80% dei rigori clellasquadra di casaè stato realizzato, mentre solo il 75% dei rigori della squadra ospite è andato a segno. Qual è Ia percentuale complessivaclei rigori segnati? ( A ) N l i n o r ed e l 7 5 % (B) 777{ (E) maggioredell'80%

GARAJUNIOR90

( D ) 3 3 . 3 3 3. ..

(B) 30%

(c) 60%

(D) 65'4

( E ) i d a t i s o n oi n s u f f i c i e n t i

Drrrante ,1 anni c-onsecutivilI prezzo di un grammo d'oro subisce le variazioni percentuaii seguenti,non necessariamente in questo ordine: i5%. -3%. +2.5%.-1%. Cosa si pnò dire rlel prezzctdeli'oro alla fine del quadrierrnio? (A) Dipende clail'ordinema è sempremaggioredel prezzooriginario (B) I'ordine -3%, -ITa, +2,57a, *5% determina un prezzo finale maggiore di tutti gli altri (C) I'ordine +5%. +2.5%. -I%. -3% deterrnina un prezzo finale niaggiore di tutti gli altri (D) non dipende dall'ordine e il prezzo finale è aumentato del +3.5% (E) il prezzofinale è indipendentedall'ordine ma ia sua r,'ariazione è diversadal +3.5%.

MAT5 GABASENIOR 92

In un liceo. all'inizio dell'anno scolastico.si constata che il numero degli studenti è dinrinuito del 10% e che Ìa percentualedelle femmine è passatadal 50% al 55%. Il numero delle femmine nel liceo è (A) (B) (C) (D) (E)

aumentato dello 0.5% dirninuito dell'1% aumentato dell'1% diminuito dello 0.5% non si può risponcleresenzaconoscerequalche altro dato.

43

Matematizzazione

MAT6 GARASENIOR 93

Irr una classevi sono tre ragazzi per ogni due ragazze. Se I'età media dei ragazzi è 15 annie5nresiequelladelleragazzeè14annie7mesl,qualèl'etàmediadellaclasse'? (A) (B) (C) (D) (E)

MAT7 GARAJUNIOR93

14 anni e 11 mesi 15 anni 15 anni e 1 mese 15 anni e 2 mesi dipende dal numero di allievi della classe.

La svegliadi Paperino rimane indietro di 8 minuti ogni ora. Alle ore 22:00 Paperino, prima di andare a letto, regola la sveglia con il segnaie orario. Su quale ora dovrà puntare la sveglia. in modo da esseresvegliato il mattino successivoaÌle ore 8:30 ?

(A) e:5a MAT8 GARAJUNIOR93

(B) e:22

(C) 7:06

(D) 7:22

(E) non può farcela.

Una sveglia digitale ha un display' a 4 cifre. Quanti mirruti al giorno compare il numero 13 iri una qualsiasi configurazione, come ad esempio quelle rappresentate in figura?

(A) 104 (B)114 (c) 113 (D) 13 (E) 228. MAT9 GARASENIOR 91

MAT10 GARAJUNIOR93

Un treno fa la spola tra dr-recittà A e B che distano 20 km: di solito rispetta rigorosamente Ì'orario viaggiando a velocità costante. Un giorno, a metà strada tra A e B. viene fermato per tre minuti da un semaforo e riesce ugualmente ad arrivare in o r a r i o a u m e n t a n d od i i 0 k m / h l a v e i o c i t an e l l r a t t o r i m a n e n t e .S e a v e s s e p e r s oc i n q r r e minuti al semaforo, di quanto. invece, avrebbe dovuto aumentare la sua velocità di marcia per arrivare in orario?

(A) 15 kmih

(B) 20 km/h

(C) menodi 15 km/h (tr) più di 20 km/h.

(D) tra 15 e 20 km/h

Un tavolo circolare del diarnetro di un metro viene spostato, rnantenendolo parallelo al pavimento, dalla posizione A alla posizione B del corridoio indicato in figura, percorrendo la strada pirì breve possibile. Sapendo che la distanza tra i punti P e Q è di 3 metri. qual è la distanza in metri percorsà clal centro del tavolo?

(A) 6 ( B )a + z r

(c) 4 rD4 ) + ' 1 Ò z

(E) nessunadelle precedenti

M A T1 1 GARAJUNIOB94

Un locomotore, quando viaggia senzavagoni, raggiunge la velocità di 120 km/h. Quando traina 4 canozze. la sua velocità è di 90 km/h. Supponiamo che la velocità del Iocomotore quando traina dei vagoni diminuisca di una quantità proporzionale alla radice quadrata del numero dei vagoni. Quanti vagoni al pirì riesce a trainare quel locomotore? (A) 1i

(B) 12

(c) 15

(D) 63

(E) 11e.

M A T1 2 GARAJUNIOR93

di sezionecilindrica La stmttura rnetallicacli ula porta calcisticaè fatta cla un tubo quadrati misura piedi 2:1. larga piedi e 8 alta Qua'ti piede. I dcì cliametr' cli rnezzo lnetallica? struttura tlella estcrna la snperrficie

(A) (16+ ytr)n (B) l8r

(c)x,,,2

Q) I2vD.n (E) 'hr2' 1

2

MAT13 GARASENlOR94

in clirezioniopposte dal Su rrna pista circolarec1ilunghezzalkrrl clLreciclisti partorro urerttre il secorldo costante' tne,lesirnc,pr-urtoA. 11prinlo r:iclista l'iaggia con r,'elocità Sapendo che i velocità.zero' cla partenclo viaggia con nroto u[ifbrrnernente acceÌerato nuovantente volta la secontla per B e in volta prima clue cicllsti si incontrano per la del prirllo rnomento al primo ciclista dal percorso AB irr ..l, quanto r\ hrrrgoil tratto incontro'l

(A) l/2 ktn (B) (v-6- 1)/2 krn

G) vElz xn

(D) 2/3 kttt (E) norr si prrò cletcr-rnirtare.

M A T1 4 GARAJUNIOB94

n * l ì a f i g r t r aa s ì t r i s l t a ' T 1 er l a , l ii , l c l r i c i\ o l r g o n oi r r c t - r l l ai rtri u n a c o l o n t t ac o l l l el l l o s t r a r o qual è la somma a destr:r, figirra che il loro sviluppo è cluello inclicato rrella S:,-r,pent1o lncollate'l dei nurneri clie compaiono sulle faccc a o o o o o

(A)E (B) 10 (c) 12 ( D )1 3 (E) 1.1.

a a

a a

O

'

a a a a o

a

o

MAT15 92 GARASENIOR

a

a

su ulla r-ettacli appoggio Un quaclrato cii lato lrrit:rrio "rotola" conìe mostrato in figura una curva" il r.. In questo nro'n,irneritoil verticet A (segnato corr r in figura ) descrive r' retta sulla Quanto è lunga la movimento ha termine qrrancloil prirìto A ritorua cun'a clescrittada A'l

( A )r ( 1 +

2', E

(B)

;(1+

n a

( c )2 ( 1 + f o t (D) 2r

@)zJ1r.

l

45

Matematizzazione

MAT16

girare? Quali dei seguentitre rneccanismipossonoeffetti'namente

GARAJUNIOF92

r A l Gira soio il numero 1 (B) girano 1 e 2 (C) girano tutti e tre (E) gira solo iÌ nurnero 3. ( D ) nessuno

MAT17

S u l l a p o r t a a v e t r i d i u n f a r r r o s oi r r v c silg i r l o r r ' l r l i v i r t o( ( ) n r l ) r u (l,a s c r i t t a

GARAJUNIOR 92

VALIAYlT&VALiANT C o s a s i l e g g e c l a l Ì ' a l t r al ) ? u 1 r ' , l c l l ;lr. r t . r t t t t l

(A) (B) (C) lD) ini MAT18 GABAJUNIOR94

Cinque monete sono allineate come in figura. Facendo rotolare senza strisciare 1a rnoneta di sinistra A lungo le altre fino ad ottenere di nuovo cirrque nronete alÌineate. 'l quarrti giri ha fatto la moneta I

(A) (B) (C) (D) (E)

MAT19 CORTONA 93

TNYITV^?8II4VI1V TI4AIJAVISTNAIJAV TNAIJAVTSTI4AIJAV TNAILAVTSTI4AILAV TI4AILAVTETNAILAV

Un angolo giro mczzo giro 5/3 cli girc> 2 giri 1/3 di giro.

Cento città sono collegate dalle linee aeree ATI e Nferidiana. in ntodo che clue qualunque di essehanno sempre un volo non stop andata e ritoruo. Sapencloche non è possibile raggiungere Alghero da Cagliari utilizzanclo solo voli N{eric}iana,qualunque sia I'itinerario prescelto, si dirnostri che è possibile utilizzare sokr voli AT'I per andare da una qualunqne delle clue città all'aitra (Alghero e Cagliari sono tra le cento città considerate).

MAT20 c0RtoNA 88

MAT21 c0RfoNA 90

Un'isoÌa ha la forma di un poligono convessocon perirnetro di p km. Le acque territoriali si estendonofino ad una distanza di b km dalla costa. Qual è l'area A delle acqrie territoriali e quale la lunghezza I della curva che ìe delimita? Per un'isola non convessadi pari perimetro p le grandezzeA e I sono maggiori o mitroli del caso precedente,e perché? Quando Nfarco torna a casa dalla scuola, per raggiungere il proprio appartamento. situato al primo piano. deve affrontare una rampa di scale composta di 16 gradini. Acl ogni passo egli sale di uno o due gradirri indifferentemente. In quanti diversi possibili modi può compiere tale percorso? (Il percorso è individuato dai gradiniche \larco calpesta).

Soluzioni

ARIT1

La rispostaè (B). Dato un quadrato perfetto n : k2, il minirno quadrato perfetto maggiore : cli n sarà il qlacìrato cii Àr+ 1. che è il nrinimo intero maggiore di À;,e cioè k2 + 2k + |

n+2v6+I. ARIT2

La risposta è (C'). La sornnìadi clueinteri è dispari se e solo se i due interi sono uno pari e ì'altio clispari. 11 tal ctrsoil loro plocìotto è un nurnero pari. Le affermaziorri(A), (B) e (D) hiinrro invecei segucnticotitroesempi: ( A )a - 1 . b - l : ( B )o : 2 . b : 2 : ( D )a : r . b : 2 . Alla sollzione si perviele. in rnodo piìr sistematico.costruendole drre tabelline seguenti. cli ovviii, irtterpretazione.

ARIT3

Larispostaè(E).Basta.infatti,prendereadersempioa:2'í:,b:2'7.c:5'7per l.eclereche le pritnc .1 afferrnazioni proposte sono false'

ARIT4

La risposta è (B). \rerifichiamoanzitutto che i due nLturerir; e y sono etrtranrbipari: se entrtrrnbi disp:rri 1aloro somma sarebbepari e il prodotto dispari, mentre se fossero fosserr-r ruro pari e 1'altro clispari avrebbero sotnrlà dispari e prodotto pari. In ciascuno cli questi casi (.r'+ y) +.t:tv sarebbeclispariiri contrasto con I'ipotesi' Siccome :r e .r7ctebborìoesscle erntrambipari iì loro prodotto è divisibile per 4. drrnque la loro sornnianori rlevercsserlo.altrirnenti si sarebbenuovamentein contrasto con l'ipotesi. per '1 e I'altro no. g Questo irlplir:a chc esattanrelte uno tla i ntrnteri t e è divisibile Aflìnchè r'/.y sia inter.o occorre duilque che rr:sia multiplo di 4. rnentre g sia un rìulnero pari nou clivisibile per '1. Perta:nt'or f 31è pari. -- 2 si ottienc un controesempioalle asserzioni(A). (C). (E). 3i rioti che polenclo .t :4.31 rnentre la (D) è corttraddcttadalla prima ossen'azione'

ARIT5

( ó < liJ. L:r risposta è (B). Supponiamoche i1 numero n sia della fonna 134*ó, con 0 Si lia: t'2 rl=il3n;2L2b ll3rr)-r-òr+1 necessàfrae sufficienteaffirrchén2 +l sia divisibile per 13 è quinrli che b2t Conclizioner sia clivisibile per- liì. E fticile vedere che ciò accade solamente per b : 5. oppure prll b : 8. Di conseguenza,r.erificano la condizione richiesta solamente due nurneri fra 13 corrsecutivi.ovvero 200 rmmeri su 1300'

49

Aritmetica

ARIT6

La risposta è (B). In effetti 1/70 - 0.011285; e quiucli.poiche le cifrc deciniali successive alla prirna si rlpetorrocon periodo 6. la 70u cifra è uguale trlla quarta (70 -1è rrn multiplo di 6).

ARIT7

La risposta è (C). Osserviamointranzittttto che r-alela reÌaziorte: 5n*93_n - 17 -

-

t

t

Î

-

5E nl7

Perché questa espressionerisrilti urr intero positivo. occorre c basta che 58/(rz * 7) sia un intero positivo (dato cherrr è iutcro positivo), ossia che n + 7 sia divisore di 58. Dal tnotnentoclie gli rrnici clir.isoridi 58 rnaggiori di 7 sono 29 e 58. l'itttero tr ptti, assuurelc' esattarnentd e r r ev a l o r i . e c i o è n : 2 2 e n : 5 1 . ARIT8

La risposta è (E). Infatti si ha che cee - 99aes | 1. cla cui úrog

l00 rree f 1 : 1 0 0 ' ( 9 9 n e s+ 1 ) + t : 1 0 0 ' 9 f J r r g+s 1 0 1- 9 ' ( 1 1 0 0 o e+s f 1 ) + 2 .

Quindi il resto cercato è 2. ARIT9

L a r i s p o s t aè ( D ) . S i a ( r r . t r . 2 . . . . .n À r u r i n s i e r n et l i r m r n e r ic r o t n p r e st ri : i 2 e 2 0 , p r i m i t r a loro a 2 a 2. Consideriarnogli 8 nun'reriprinri: 2, 3. 5, 7. 11. 13. 17. 19 cornpresitra 2 e 20. A ciascunot cgli ay si puir associarel1n srlo divisole pritno fra i prcceprituo pttò cssere clenti (ne esistescrlpre almeno uno perchécL.,) 2). Siccorneperò nessr-tn plimi fra loro) cleveessere clrtc à clne a (poiché sorÌo numeri a7 associato a piìr di uuo dei n e c e r s s a r i a m e nf tt e( 8 . D ' a l t r a p a r t e . 1 os t e s s oi u s i e m ec l e ip r i r n i 2 . 3 , 5 . 7 . 1 1 , 1 : 1 .1 7 , 1 9 verifica le ipotesi lichieste c qrrinclik ò esattarrrenteugualc ad 8.

ARIT1O

La risposta è (B). Si notl che i quaclrati perfetti. quanclovcngotìo divisi lter 4. possono dare come resto solo 0 oppr-rrcl: quindi tre quadratl. per avereconìesotnttÌaul rlttaclrato. cleltbolo o esseretutti e tre multipli cli 4. o al più uno cii loro pttò nou esscremultipìo di .1. Dato però che si è supposto chero. ò. c rron abbiarnofattori pritni iu c:olntllre.Iirnau 2). Infatti due adclendi1e o possonoesseresostituiti con un unico addendon* 1 > a.1. Analogamentesi verdeche ciascunaddendoa ) 5 può esseresostituito cou 2-l (a - 2). aurnentandoil prodotto. in quanto 2 (o - 2) > n per a)5. Poichésostituire-1con 2'f 2 non altera il prodotto. certamenteil prodotto rnassimosi può o t t e n e r e c o na d d e n c lui g u a l i a 2 o a 3 . S e n ) 6 c i s o n o v a r i m o d i d i s c r i v e r ei l n u m e r o n cornesornrnadi acldendiuguali a 2 o a 3. e precisamenteogni gnrppo 2+2+ 2 può essere s o s t i t u i t oc o r ìu n g r u p p o 3 * 3 . S i c c o m e3 . 3 > 2 . 2 . 2 i l p r o d o t t o n i a s s i m os i o t t i e n e scrivencloil nraggior nulnero possibiìedi addendi uguali a 3 e il resto (0. 1 o 2 addendi) uguali a 2.

ARIT29

L'equazionedata 13 * 113 : 93 equivalea It3 : U3- 13 : (y - r)(y, + x2 + ry) . Poiclié 11 è primo. il nr.imeroy - r dovrà assunere uno clei valori 1. 11. 112. 113. a) Se E -.r:1 si dovrà avere 11il : !J2+ 12 + ry: 3.r2+ 3:r * 1. Questa equazionenon può averesoluzioni intere in quànto l'ultirno membro clà resto 1 nella divisione per 3, m e n t r e f 1 3 : ( 9 + 2 ) Bd i v i s op e r 3 d à r e s t o 2 . b ) S e y - : r : 1 1 s i a v r à i n v e c ey : x + 1 1 . d a c u i 1 1 2: ' y 2 + . r 2 + r y : 3 x 2+ 3 ' 1 1 r * 1 1 2 . o p p u r er : - 1 1 . n e l p r i m o c a s os i a " ' r ày : 1 1 . n e l s e c o n c lyo: g . C i ò i m p l i c ar : 0 c ) S e 9 - r : l l 2 . d a g : r + 1 1 2s i o t t i e n e (1) II:

u 2+ 1 2 + x l l : 3 r 2 * 3 r . 1 1 2+ 1 1 4.

Si vede allora che.r è rnultiplo di 11. ma allora nella (1) si ar-rebbeil membro a destra divisibile per 112.mentre il primo nternbronon lo è. c l ) S e g - r : 1 1 3s i h a g : r * 1 1 3 .i l c h e s i g n i f i ca I : y 2 + r : 2+ r g : i ) : r 2+ 3 r ' 1 1 3+ 1 1 6 . non ha soluzioniin quanto il suo cliscrirninante9.116 - 12(116- i) Questa ec1-razione è rregativo. In conclusione1esole soluzionidell'equaziorìesono (0. 11) e (-11. 0). ARIT30

Posto ru : r.r,si ottiene

I,"*tJ'-2a2 I r5g5: as Pertanto 15 e .r15 sono le clueraclici de1polinomio (a coefficientirazionali) z2 -2a22+cts. Poiché r5 e y5 sono razionali il discriminante de1polinornio der-eessereil cpradrato di un numero razionale.cioè aj - eit: 12. cott r raziotrale.Se ne cìedrtce l-.:ry:1-ct

7z o1

/ r \2 \o2,/

croe la tesl. AR|T31

Si osservache P(n) :123 - n -l- 1ed n sono prinri tra loro. pcrchè il resto clelladivisione di P(n) per n è 1. A n a l o g a r n e n t c P ( P ( r: i( )n)3 - n + 1 ) i r - ( r r t t - n f 1 ) *1drìrestolnelladivisioneper n ; p e r t a n t o n e P ( P ( r i ) ) s o n op r i m i t r a l o r o . Così procedendo.ad esempioper induzione, si clinrostlache P(P( .P("))) dà resto 1 nella dir.isioneper rr,:pertanto rt e,P(P(. P(r))) sono primi tr:r loro,

.i!'J".,1?ll,!;" î.Ìl"lJ,L1l,:i".;:"iTiil,1ll".':i,ii,i$:A;1:T:iliì:r:9,'Èí+í ponendo À : P(n), e pertanto a essisi può applicareil risultato precedente. L'asserzionerisulta quindi compietarnentedimostrata.

ARIT32

Cotisidereremo solo le soluziorii coti

Si r-crificafaciÌrnenteche (1. 1' 1. 1) è una solrtziotrr:. equaziorìe es-qaclil'iel re r' : tl : 1; provel crntl che sorto irrfi nit e. Sost it rrc.nclone1l' , , . 2l b 2 a 2 : 2 o b t a 4 - b cioè ( u - 6 1 21 2 : a * b . Sirr ora À' rur ntrutero intero clualsiasi' Il

slstellÌa

f o - b - A la+ú:k2+2

tr'2 poiché +'('+2 e A2_ t;'12

? b:ry

intcrea :t:t-y soltiziotri Irascrrrl.x'c

illuzioni sorìo setnpre llllnterÌ pari. Pertanto ósistonci inlìtlitc rlr'lla forrrta . 11,.2 A.12

\\ ARIT33

'A'-

k2_

2

2

-r

intere della equazione tlata'

,

" ), \

I numeri irt clucstioncsorrorlell:rfbrna t) l r . : l 0 l h r l 0 l ( r ' + . . . + 1 0 ++ 1

À > 1 .

priuro P e r / . : I s i h a . r ' r: 1 0 4+ 1 : 7 3 ' 1 3 7 .che: non ò I)clL>Isiosserviche (l0r - l).r:p: 1)) f 1 0 l i Àf r ) - l 0 r À )+ ( 1 0 t À l O i ( r , + . .

llr.

+ ( 1 0 ,_ l ) =

( 1 0 2 ( k + t ,) t ) 1 t 0 2 i À +11 )l 1 .

1 0 1 { , ( . +_ t )l :

o rrgrr:rli u 192(A+1)t 1' cltel ì'l ntl Nc sc.gue r:he trrtti i tirttori pri[ri di.t/À] solto tnitiot'i :11:)' ha. ircl escÙrpio' 2(À'+ 1) < lnlÌlÌero rnino|e rli 11 (ill PIPzP'I

b 2 ptpzpt

c > l)1p3'[)a

rl ) p2p:,,1t t

sotìo però incompatibili corr il fatto che i .1 nrtmcri rtort supelitto Qrrestedisepluaglianze 100. Infatti il valore nrinirno che possonoassumerei nunreri pi è 2, 3. 5. 7 e quindi il rrraggiorecli ttrli nurneri cler.eesserealmetrotrgualea 105 : 3 5'7. ARIT40

n in nt.,du che sia divisibile per ,1, Dirnostreremoche. ilato l'intero À',ò possibilescc-glierc -lper per' 25. n *3 19 e così r.ia, prendencloi quarirati che n l sia divisibile pcr 9. n * 2 d e i p l i m i À 'r r r r r r r epl ir i r r r i . P o i c h é n : 8 r . e r i f i c a l a c o n d i z i o n e p e r k : 2 ( 8 è d i v i s i b i l e p e r . l e E + 1 p e r 9 )b a s t e r à rnostrarc comersi pass:rda rtrta sohrzioucper À a ttna per li:+ 1. Supporriamochrnquechensitrdir.islbileper.l,rr-1-1per9....n*ftsiatlivisibilcperil q u a c l r a t oc , l ell; - e s i m op r i m o p 1 . . h r d i c a n c l oc o n À i i l p r o c l o t t o 4 ' 9 ' 2 5 ' 4 9 ' . . . p f d e i quadrati dci prirni À nurrreri primi. è ovvio che si pxròsornnìarea r/ cpralunqnemultiplo di À' presen'anclole divisibilità volute. \Iostriarno che è possibile trovtrre un nurrero rn tale clren*A+1+rlÀ'siadir.isibileytcrf.oveconpsiinclica,brevernenteil(À'+1)-esimo primo pa.a1;nc scguirà la tesi perché già si sa che ??+ ?nÀr è dir.isibile per' 4, rt

n i 1 -F nrÀ' è divisibile per 9.

A , r r i . \ è r l i v i s i l , i lpce r 7 , f .

Consideriamo allo scopo i nLtrneri

A,:rt+k+1+if

.

i-0. 1.2....

e siarro 't'ie si.rispettir-amentei rc'sti delia divisiorrecli A1 per p2. l . s o n ot u t t i d i v e r S i n o t i c h e 0 < r ; . 1 p 2 e c h e i r e s t i r , a l v a r i a r ed i . l t r a 0 "p'si fra loro. cioò assumono, una e nntr sol:r volta. tutti i valori possibili. Infatti se fosse ri :r'j.cori0{i 6, la suddivisioneè possibile'

Si noti che la prirla delle tre figurc ci rnostra chc si può anche passareda una suddivisione con n qladratini acl una con n * 5. Quindi per risolvere il problema si può utilizzare il fatto che, essendo3 e 5 prirni fra loro. i numeri del tipo 3k + 5h, al variare di k, h tra i naturali. rappresentanotutti gli interi abbastanzagrancli.

coMB26

Descriviamo lna possibileprocedura che consentedi disporre i gettoni come richiesto: nella prima riga si clispt-xrganotr1 gettoni nei prini posti, cioè nelle prime a1 colonne. A questo punto eliminiamo clalla scacchieratutte le colonne corrispondenti ai valori bt : 1 e che si trovanci tra le prime a1. cioè quelle che hanno già un murero di gettoni uguale a quello clesiderato. Nella seconda riga dispctniarnotr2 gettoni nelle prirne o2 colontÌe rimaste: eliminiarno le colonne che clopo questo passaggiohanno raggiunto il nurnclo cli gettoni richiesto. e così via. Co1 questo sistemala riga il-esimaavrà il nurnelo desideratodi gettoni (cioè a7). e anche ogni colonna prirna o dopo verrà elirninata e cioè avrà raggittnto il nuntero corretto di gettoni. (Si osserviche ia prima colonnaviene completata in b1 passi.la secondadopo al più altri b2 passi,e così via).

A

68

Soluzioni

coMB27

I1iziiul11 :ì contare le rctte che passano per tre centri. in trc gmppi:

Iali rette si possclno snclrliviclere

(1)parallelc ircl rttto spigolo: (2) ptrrallclr: acl utra fàccia. tllà tìoÌl ad uno spigolo: (13)non parallele arl alctura faccia. Le rerttc parallele acl uno spigolo fissato sono 9 e. poicltó gli atrgoli htrturo tre clirczioni distirrte. le retttc r-lel plirno tipo sono 27. Le rette parallele a tua faccia ttra 1ìoll a 111ro syrigolo souo necessarianrentc parallele a una cliagontrle cli ttna faccia e clutrcprc solto 6 per ciascnna facci:r. per lrn totale di 18 (ci sono 3 facce a clue a clttcrttotr parallele). Le retttl uotr parallele acl alcutra faccia sono esattanrerìte le diagonali del cubo: esse lrttiscotlo a clue a clue i vertici opposti frzr loro e sono l. Il totale rìi qrreste rette è duncltte 27 + 18 + 'i : 'i9. Pe1 cont:1rc il riurnero clelle lette passanti esàttanÌentc per 2 centri. osserviamo innanzitlrtto chc ogli coppia di centri rÌistinti incliviclua 1a retta passallto per essi c tali ct.rppie

/ 2",;7 \

sorr,, (

:

)

27.26 ";:

35i. Ad esse doblliamo togliere le rettc clte p:rssauo per trc certtri'

glr..n,, è stata contata ttrnte volte quaute sono le coprpic clte si possorto ,i1nrdì,l.lo "1," f o i . r t r : r r ec o u i t l e c e l t r i . o s s i a 3 v o l t e . I l r i s u l t a t o è c l u r r c l r e3 5 1 - 1 9 . 3 : 2 0 - 1 .

coMB28

Srrpporrianro tÌi orierrtare la retta lungo uirzi direzioue e chiauiiarlrt C)1. C2. .. ' Ú'r i cubetti che la retta iuterscca proprianrcnte. nell'ordine dclla clireziorre scclta. L'ingrt:sso clella retta irÌ Ci. co-\ì corrre la sna usciîa dtr C1.. alr-iette iittt'a.,'r:rsourta delle facce clcl cubo (r:ventnllrlente attra\,crso uno spigolo o utr r-ertice). 11passaggitl cltrl culletto C; al c1ìrett6 C;*1. iutcce. avr'leue attt'aversu rÌnu (lei seripiali (tlue pel ogni clirczione) paralleli aile facc6 del cr-rboe che lo intersecarro irrternatnente. Poiché la lertta prtò intt:rsecare questi sci piani all'intcrno clel cubo in al piir 6 prrnti distirrti (:r tneno clte nc-rtigiaccia irr uno rìi tssi. rn:r in questo caso tìon interseca plopriamente nessllu cr-ibetto). il lltissagglo tlclla fcttà (la tur cubetto :rl successi.n'oprrò ar.r.enire nl pitì 6 r'olte. dando ttn tottrlc cìi al piiL 1 * 6 : 7 cubetti irrtersec:rti propriiullellte. D'erltrtr p:rrtc. il ulntc.ro di 7 si può raggiungcre rtel tnoclo seguente. Si prenda una letta passarrte irer clttt' punti A e B tiili clie: (1) J e .B gi:rcciono in cubetti cliagonalrnelrte opposti clel crlbo grantle: (2)la rett.a per A c B rion incontrti nessuniì delle rette che si ottengort,r ilttcrst'r'atltlo zt dr-rea clue i 6 piani sopr:r descritti. Osseryiamo clre la corrdizione (2) pr-ròeffettir.antente esserevcrificirttr itt qliatito. fissato A. l'insicrnc {ei printi B che non la soddisfano sta rrcll'ttniorte cii tln nulllero finito di piruu (quelli contenenti A e una retta di iritersezione fra r]ue clei si:i piani citati). Clon urra retta che r-erifica (1) e (2) si ar-ranno 6 interseziotii clistinte all'interno clei cubcr corr i 6 pi:rni e cluindi 6 passaggi "interni'' tra C; e C';+1.

coMB29

Le rot:rzioni dei posti occrrpati sono tante (lualrto i pctsti stessi. tt cioè:rr. Ogni cortnnt'nstrle occupa. in qr.iesterotazigrri. il posto del proprio regalo lllìa e llna sola volta. Affiriché per ogni rotaziont' alrne,'noun conrnlensale siecia clavanli al proprio regalc.rìl qnindi nercessario e sufficiente che pel ogni rotazionc ci sia rlno e ttn solo coutntelrsalcl che sitlcla clavanti al proprio regalo. C i ò s i g r r i f i c a c h e . s e i u d i c h i a r n o c o n o ( 1 ) . o ( . 2 ) , . . . . a ( r i ) Ì e p o s i z i o n i o c c t l p a t , ea l l ' i n i z i t r d a i r e g a Ì i p o r t a t i c l a l Ì e p e r s o n e c h e o c c u p a n o l e p o s i z i o n i 1 . 2 . . . . . r l t i s p c t t i l ' 6 1 1 t p 1 1 f lr€' . c l i f f c r e n z e o ( -t z) c l e v o n o p e r c o r r e l ' e . n l v a r i a r e t l i i d a l a r r . t t r t t i l n t r m e r i t l a 0 z r n - 1 (naturalmente morlr-rlon. olr\rero à tltello cli rnultipli di n)' Si clevcrquindi arrerc r

r

\-rotit ! r-1

r

t

ir-\'

l

L à:0

lt =ttln-l) l

',t..r,lrtl..r,

Combinatoria

69

rna si ha ariche: f,.rt i\ - it - \-orir z ' / L r-l

- \-

l:1

; - rt

i-1

e s s c n c loo( I ) . o ( 2 ) . . . . . a ( n ) r u Ì ap e r u ì L l t a z i o ndee g l ii n r _ l i c1i. 2 . . . . , n . Affirtchó sia possibiÌe.clturque.6i1epel ogni lotazione vi -siaurì colìlnìensalesetìuto di fronte al proprio regàlo occofre che sia nln- 1) -- () modulo n rna qllesto è cviclentenielltcpossil)ilese e solo se n è clispat'i(sc n è pari. un multiplcr dispari di nf 2 non può esseletln nrultiplo di n). D'altra partc. cffetti\-anlente . se n è dispari ecluguale a 2h - 1 con-sideriarrro la pernurtazittne o ( 1 ) : 1 . o ( 2 ' 1 - 3 . o ( . 3 ) : 5 . . . ., o ( h ) : 2 h - 1 . o ( h + 2 ' :11 .

o(h+l)-2.

. . . . o ( 2 h- 1 ) : 2 l t - 1 : n :

si velifica facilrrrenteche le differenzeo(i) - l. al variare cli l. percolrono r:ffettirarnente t1tìae tttìa sola volta. modulo r?.tutti i nurneri co[rpresi tt'ir 0 e n - 1. Itr c'onclusiolìe.se n è pari. è sempre possibilc ruot.lre Ìa posizione ciei cornmensaliin nrocloche tìessuÌìosi trovi di fi'onte al proprio regalo: se invec€ìn ì: dispari. non è detto che clnestosia possibile'(dipende o\'\.ialnentedalla disposizionciniziale). COMB30

Cotisidcrianiodue scacchierecìellostessotipo 10 x 10 e nella prirna poniamo il nurnero0 su tutte ie caselleclellaprinra riga. il nunero 10 su tritte le ctrselleclellasecondariga. . . . . il trttrnero90 su tutte le caselledell'ultirna riga. rnentre rrellaseconclaponiarno il nuniero 1 su trrtte' le caselleclella prinr:r colonira. i1 nurnero 2 sti tutte le caselleclella seconda coioutia. . . .1.. I tÌrlrnero10 su tutte le caselledell'rrltirna colonna. Se canrbiamoi segrri clei rrumr:ri dcllc' caselledi cluestescacchieìrerrello stessomoclo in cui abbianro rnoclificato cluellaoriginari:r.è chiaro che 1a somma di tutti gli clementi di ciascunacli esseè n1lla. D"trltla parte. la scacchieraoriginaria risulta clalla sorrlla. elcmento per elemento. dei tiurtreli che figitrano itr esse: dunqne anche la sonìnla dei rturneri nella scacchiera data. dopo il cambiarnentodi segno.è uguale a 0. S E C O N D , \S O L L Z I O N E Nella c:rsella di riga r e coìonna j è indicato il nurnero a;r(10(l - 1) + 7). dor-e all r,ale 1o -1 in colrisponclenza clel segno associato alla casell:i (i l) Lc condizioni clate ci 10

, rl i c o n oc' l r c )

]L) r

\

. p e t u q l r iJ =

n,,:O

.

.

-

\

i-l

10

p,'rogrri

.i-1

i : 7 . 2 . . . . . 1 0 . N e s e g u ec h c 10

-

1 . 2 . . . . . l 0 c . ; r n a ì o g a r r l r ' r)r t r .( r , r : 0

l0

\ \...\..-/ ) J , , , -; ) l . j > o , , ) - U t.J-L

i=1

.i-l

e. anaÌogarnentc 10

10

f/ - r i "-

l t n :- f t ' t ;

'"''t

r..j:l

/-\" i-]

10

l r ./ f- "o' ,

)) :- u .

j:I

Questo pennette di concluclererchcr 10 f

, , r l t l l i-

/ _ ' , t " , " ,

i.L-r

-iL-

l' tt -'

10 i ) t 0 \ - r i _ 1' t )' rI tt ,J t - ' " / _ \ ,

i.j-1

10 \;,

-n

L

i .j : r

_l

70

Soluzioni

COMB31

Consideriarnoil problema enunciandolo come rin probiema di cRant: abbiamo dunque un grafo connesso,di 1000 nocli. e vogliarno dimostrare che si possono scegliereopportunamente 90 nodi del grafo in nrodo che ogni altro nodo sia a distanza < 10 da alrneno uno cìi questi (ovvero esista un percorso di rami del grafo clie unisce il rrodo ad uno di questi, e che sia composto al più da 10 arclii). La prirna osservazioneè che si può sempre considerareil grafo come un albero (ovvero un grafo privo di maglie. cioè di percorsi chiusi). Se così non fosse,data una niaglia qualsiasi, si può eliminare u1ìoqualsiasi dei rami lasciando il grafo connesso. Si ripete l'operazione fintanto che restano rnaglie nel grafo: il grafo che rirnane è un grafo conlìessoe ad albero. compostodai rarni di queilo iniziale, a ctri ne sono stati tolti alcuni. Se dunque si riescea climostrare I'asserzioneper i grafi ad albero, la si dimostra a rnaggior rap;ioneper tutti i grafì connessi. Supponiamo dunque che il nostro grafo sia ad albero, e sia I il diametro dell'albero. cioè la rnassimadistanza tra due nodi del grafb. Se tale distanza è < 20. allora preridendoil nodo centrale (o uno dei due piìr centrali) di questo percorso. ogni altro nodo del grafo è a distanza < 10 da questo, altrimenti il diarnetro dell'albero risulterebbe superiore a L Se dunque è I < 20, il problema è dimostrato poiché ogni noclo clel grafo dista al più 10 da un nodo opportuno. Sia dunque I > 20. e consideriamo un percorso P de1grafo di lunghezza l. Togliamo tutti r nodi del grafo che lanno dal primo all'undicesimo nodo n di P (per uno qualsiasi dei due ordinamenti possibili), e togliamo oltre a questi anche quei nodi che sono collegati a questa prima parte cli P. senza passareper la seconda.e togliamo ovviamente anche i relativi rami. I1 grafo che resta è ancora ovviamente un grafo connessoe un albero, e tutti i nodi cancellati sono uniti a n. da un percorso di lunghezza < 10 (se così non fosseil grafo di partenza conterrebbeun percorsodi lunghezza> l). Se il grafo rimasto ha un percorso nìassimo di lunghezza < 20, il problema è risolto per quanto cletto in precedenza (e bastano 2 nodi opportunamente scelti affrnché ogni altro nodo abbia distanza < 10 da uno di essi). Altrimenti si continua con 1o stessoprocedimento. Se non ci si ferrna prima. dopo 89 volte. in ognuna clellequali si tolgono almeno 11 nodi, si tolgono almeno 89.11 : 979 nodi. Ne restano pertanto ai piìr 21: dunque 20 è Ia lunghezza massima possibile di ogni percorso. Esiste quindi un noclo da cui questi ultimi rintanenti hanno tutti distanza < 10, ed in definitiva ne esistono89 -| 1 : 90 tali che ogni altro nodo del grafo di partenza dista al più 10 da uno di essi. Contrariamente a quanto può sembrare dalla precedente spiegazione.il risultato dimostrato è il mieliore ottenibiie.

Consideriano infatti un "r'entaglio" formato da 90 "stecche" composte da. 11 nodi (e 10 rami) allineati. unite ad un "manico" composto da 10 rami (vedi figura). E evidente che per rispondere ai requisiti del problema occorre sceglierealmeno un nodo da ogni stecca. e quindi ne occorrono alnreno 90.

coMB32

Se fossepossibile sistemare le 30 coppie in modo che le signore siano a distanze tutte diessereesattamentei numeri 1, 2, ..., 30 stinte dai loro mariti. questedistanzedor.'rebbero dato che ie possibili distanze tra due persone in una tavola circolare con 60 posti sono appunto i rmrneri cla 1 a 30 (intendiamo per distanza fra due persone il numero minimo cìi Jq 30.3r personeche le separano,piìr uno). La sonìmadi tutte le distanzevale quindi >-: ; x=r

che è r-rnnumero dispari. D'altra parte. se numeriamo i 60 posti con i numeri da 1 a 60 e

71

Combinatoria

se indichiamo rispettivamente con mi e f i i posti occupati dai 30 uomini e dalle rispettive mogli, ciascuna delle distanze fra una coppia di coniugi ha la stessaparità di (mt + /.). 60 .l \' l. o" \ - r . , n' ', .' t] ' Jf .' ', -- \ - / L'i:1

-

60

61 ]

è un numero pari. mentre abbiarno visto che la sonrma

di tutte le distanze è dispari. Dunque non è possibilecollocarele coppie in modo che le distanze siano tutte diverse. SECONDA SOLUZIONE Se coloriamo i 60 posti alternativanrente di bianco e nero. si ha che 15 signore dovrebbero sedersiin posti di diversocoÌorerispetto a quello occupatoclal rnarito c le aitre 15 signore dovrebbero sedersiin sedie di colore uguale a quello del niarito.(Questo è dovuto al fàtto che se fosserotutte a clistanzedir.ersedovlebbero essercicoppie a distanza 1. 2, .... ;10). Dopo aver sistematole prime 15 coppie.rimarranno 15 sedienere (e 15 bianche)e quirrcli non sarà possibilesistemaretutte le lirrranenti 15 coppie su sediedi egual coloredato chc ogni nuova coppia o('cupa sempre un nurnero pari cli sedie. COMB33

Si considerinodue vertici corìsecutivi,4e B del bordo dell'invihippo convessodell'insieme di punti (f inviluppo convessodi un insiemeè Ia piìr piccola figura corrvessache Io contiene). Per ogni punto P dell'insierne.dir.ersodtr A e B. si considerila circonferenzaper A. B e P. TaIí 2n * 1 circonferenze esistono perché per ipotesi rìon vi sono 3 punti allineati, e sono tutte distinte perché non vi sono 4 punti sr.runa stessa circonfèrenza. La "prirna" circonferenza del fascio non contiene ali'interno alcun punto dell'insierne. la seconda ne contiene uno, la terza drre. .. . l'ultima contiere 2n purrti clell'lnsierne. Quindi vi è una di queste circonferenzeclÌe ne contiene esattamente n.

coMB34

Applichiarno iÌ pn.rncrpto DI INDIJZIONEal rrurrrerodeile ragazze. Supponiamo che ci siano solo 2 ragazze, f1 e /2. Esistorro allora un ragazzo m,1 che ha ballato con /1 e un ragazzo nr2 che ha ballato con /2. m1 non può d'altra parte aver bailato co:nf2, té rn2 può aver ballato con /1, altrimenti ci sarebbe un ragazzo che ha ballato con tutte Ie rag,azze. Supponiamo ora che il numero rL cli ragazze sia ) J. e che l'enunciato valga per un gnrppo cornposto da n - L ragazze. Toglianro ora una qualsiasi ragazza./ e consideriarnole rimancnti. Se riessun ragazzo ha balÌato con tutte le ragazze diverse da / scatta I'enunciato delf induzione.e quindi sl trovano drre ragazze/1 . /2 (divcrseda./) e due ragazzi m.1e m.2che verificano quanto richiesto. Resta dr-rnqueda dimostrare l'assertonel caso in cui esistaun ragazzotn1 che ha ballato con tutte Ie tagazze diverse da /. In tal caso ?7Ì1rìoo può aver ballato con /. altrimenti m1 avrebbeballato con tutte le ragazze.Esisteallora un ragazzom (f m1')che ha ballato con /. Poiché nessun ra"gàzzoh:r ballato con tutte Ie ragazze. esiste (almeno) una ragazza f1 (l /) che non ha ballato con rn. nr1 lìa certarìlenteballato con./1. poiché m1 ha ballato con tutte Ieragazze diverseda /. Può quirrdl scattare il principio di induzione e I'enunciato è dirnostrato nella sria genera-

Ìirà.

72

coMB35

Soluzioni

ARITNIETIC-\monocronraticap*ò proveniret-la3'3e85diversc Una si'gola pROGRESSIONE in 3 rnodl divcrsi colorazioni:infatti i 15 numeri ciellaprogressionepossonoesserecolorati può esserecoloratrr restanti tmmeri dei 985 (rna tutti dello stessocolore). nentre oglìurìo in moclo arlritrario. 1 a 1000 ('li ragione 1 Le pr6gressioniarttmetiche che si possonofornare con i llluneri c1a ragiorre2 sono 1000-2E' sono 1000-i1 (I'trltimo lìulÌìerocìer.eesserealnreno15), quelledi - 14'n' con n cht' q u e l l ec l i r a g i o n e3 s o n o 1 0 0 0- 1 1 . 3 . . . . . q u e l l ec l i r a g i o n c7 l s o n o 1 0 0 0 il nrassintovalore cli 71. raggir-rnge è dunque Il mrnero totale clelleprogressioniaritmetiche che si possonoforuare 71

71

\1 - - r l O u u -l l 1J 1 : j

I

I U 0 0; l

'

ll t,:1000

7l - LJ

/

7, .71 2

i : l

'496' 7 i ( 1 0 0 0- 7 ' 7 2 ) : 7 1' ( i 0 0 0- 5 0 1 ): 7 l

progressiolìi aritmetiche nlonoclo11numero lllassil'lìo cli colorazioli che presentano delle ' ? ''196 3e85' rnatichc è cluincli 71 Invecc il nurnero cli tutte le possibili coloraziorti 6 3lutl{). p"l.ìr! T1 -.196 3 3sìi-. ,rooo (71 ..196 < 314. essendo71 < 31 e 496 < 310), vi sono progressioni rnonocromaticlte' sicurarnente clelle colori.r,zioni che non clanno luogo a

coMB36

srroi elemc.ti. Dato 'n insierne A. i.clicliianìo coÌL #(A) il ntlnìero clei ESCLUSIONE) Dl INCLt.SIONE (detta PRINClPIO formr-rla la v,errificabile

È facilmente

# ( A . B ) : # ( A )+ # ( B ) # ( A u B ) . inrlichiamo quinrli coil ove con #(E) si inclica ii nurnero cli elementi dell'insierneE. Se corrispondente'si segno tln alnreno contengono che At, Az. A;r gli insiemi clellecolonne ha

# ( A r a A . v ): # ( l r ) + # ( A - x ) # ( h u A r ) ' c riapplicanrlo ripetutanente

la stessa formtrla. ricorclatrdo che

( A . B ) U c : ( A n c ) u ( B n c.) si ottierie

#(AtetArnA2) :

: #(lr nAr)+ #(Aù-#((il nA-x)u'"{2) - #(lr u Ar) + #(Az) #('{i) + #(Ar) ' # ( A r u A z \- # ( A x U . { 2 )+ # ( A r U A z U A . x )

il-nrtmero delle cololne che Nc segue clte il ntlrnelo clelle coloure cercato è pari a iJ volte che contcngotro tiue colonne clellc il nllnlel'o l'o1te 3 nteno prefissato conîengono ult segtìo scgni pr.efisstrtipiìr il Dumero di tutte le possibili colonne. ull segno prefissato ò a sua Si .sser'i poi che il nurncro clelle colonne chc corttengolìo clte non lo contengono: r1rrelle cli volt,a pari al nurnerro cli tlttc le colonne meno il nlrnìero è pari al uuruettr prefissati scgni cltte orralogarnerrte il nr.lnero ilelle colonnc che contengono li contengono. uou quelle che di tutie le colonne neno il nluÌtero cli 1l nunrcro cercato è clunque - 3 1 3- 3 . 2 1 r +l 3 . 3 . ( 3 t ' ,- 2 t 3 ) - 3 . ( 3 1 3 l t t t ) + 3 1 3

ALG1

La rispcrsta ò ( C ) . I n e f { e t t i .s i c c o r n ee ' ' . e e : a r ' + i / .s i [ u 2 r ] r 2. 2 . t / 2- 2 5 / 2 : : t / 2: 2 r

qLu z

L : r r i s p o s t aè ( A ) P e r i p o t e s i r ) ( 4 t / l ) , - 8 0 ) .

ALG7

L a r i s p o s t aè ( B ) . I n f a t t i s c . r ' 1 . r ' 2s o r ì ol e r a c l i c id e l l ' e c l u a z i o noer , 2 + Ò r : + c ' : 0 . s a p p i a m o _r.. ClìeJ'1 ' .rq:

ALG8

l'

, r'Clle J'1-r.t:

( | - - . .5 .l . 1d ( ' r l l l c o i t l l o t a r ',l r r ' 11

+

|

r.t-.r..:

l,

:l:2

.I t:tZ

(:.

-

La lisposta è (C). Ser;: è trtra ratìice conìulre. sottraendo rnembro a rnernblo lc due ecluaz i o r r ls i h a a r : * ' 2 : : r * 24. clacui IIt

rt\.r' ')1 - .1'

'2

.

S e . r :I 2 . s i h a u - I . h r t a l c a s o c i a s c u n a d e l l e e c l u a z i 6 l i c l i v e l t a . r l J + e :* 2 : 0 . n r r a c t t i s t r Ì t t z i c - r tìtrt "' r - - I + 2 . S e i n v e c e r : 2 . l a (1) è senrpreverificata e in qrrcstocaso si tler.e nvere lJ l- 2o + 2 : 0. cla cui a : -5.

ALG9

La risposta è (A)' infatti si ha \ -1.'/a

/

::IJ'

(rt-"''1 \ . / .. .t

_l'ir

1 -;-

ll

"'

1 ot

--

. ,' , b .

L

proposta e questa relazione è equivalente a queila ALG1O

La lisposta è (tr)' Infatti

r --l 1 . .l : A t n-E- 1" l'h="-u 1

1

T'_T - + -

( 10 b

a

b

I

ab

Q + 0

0+b

.b

D ' a l t r a p a r t c l a I I ) è f a l s a ' a d e s e m p i op e r n : ALG11

b:1'

piccolo intero n tale che La risposta è (B). Dobbiamo trovare il piìl l U + . l u u '. l p u .

. l 0 ! - # > l O e.

2 n - l 2 ) ( r r* 1 ) ,. Terrerrcloccltrtoc}re1+3+..'i(2tt+1):ry.ladisegrragliarrzaprecederrte ( n + r ) m )! 1 0 e .c i o è ( n + l ) ( n + 1 ) > - 9 0 e q u i v a l eo 1 g ( r r | 1 ) maggioredi 90 è 100: 102' si avrà'che n:9' Siccomeil pirì piccolo c1-raclrato ALG12

del procedirnento' ad un La risposta ò (C). Supponiarnocli aver raggiuuto' ler!-l,punto r' Se rt è dispari' di minore è certarneÙte lln nuntefo :i:. Se'r è pari, il terrnine ..r...rrit'o pari, è (x +7)12' 7 e'* essertdo il ternrine srccesslvoè r: * 7. e q'ello ancora successivo. uri termine co'tiene 1a s.equerrza se che. poiclréper r > 7 si ha-che(Lr+f 1Z < r. ne segue t*tte le corlseguenza di r; di rninore teÀiine ,r nìag€iioredi 7. allora contie.e anche un rninore o uguale a 7' sequenzeclevonocontenere iln temtine clispari Si harrnolc seguentipossillilità: . . . 1 . E . . 1 .2 , 1 . 8 . . . . . . 3 . 1 0 . 5 . 1 2 . 6 . 3 ,. . . ...ít. 72.6. 3. 10. 5" " .

ALG13

Jr

1 1 a+.

- 7 I

(A), ta (B) e la (D)' La (C) è invecefalsa D'.que I'asserzione(tr) è esatta. così come la consiclerate' ,i vecleclalla terza Successionetra quelle sopra "urr-re alla seguente: La risposta è (D). L'equazionedata è equivalente (t:' 2)2+(Y+1)2:l equlnr.Liunocleicluequaclratirlever.alerezeroel'altrol.Neseguechesihannosolol. seguenti soluzioni intere: -1) ' (t:2' ll: -2)' (":2' v:0) ' (r:1, a: _I). (t:3. u:

75

Algebra

ALG14

La risposta è (A). Infatti valgono sernprele seguentidiseguaglitrnze:

,Gs"6 o. Si noti che il padre dei due figli di .r è esattamente

Chiamiamo "paclre" cle,l,rr,oreror : se a > ó o il nurner" -L

o - Q

razionale positivo e diverso da 1 it tt,,rrr"to

79

Algebra

r stesso,e inoltre r" I a ridotta ai mininii termini. anche la frazione corrispondenteal 0 padre lo è. Parterrdoda un r positir.oe cliversoda 1, 1l padre di:r è sempreun razionale tale che la somna del suo nunÌeratore e del suo clenominatoreè strettarnente rninore della stessasomnia caicolata per r stesso. Se. per assurdo. esistesserodei razionali positivi norr discendentida 1 si potrebbe consiclerale.fra tutti questi, uno di quelli che Ìra conte somnìa di numeratore e denominatore il vaiore minirno possibile: si noti che il padre di tale numero non può essereclisceudenteda 1 e avrebbe una sonìrna di numeratore e denominatore minore: questo crea l'assurdo. In conclusionei discendentidi 1 sono tutti i razionali positivi tranne ìl numero 1 stesso.Si osserr.iinoltre che è unica la sequenzache porta. da padre in padre. da un numero r al numero 1. proprio perchèla funzione "padre di ;r'' è ben definita. ALG28

S i a n o . r l < : r 2 < 1 3 i e r a d i c i d i P ( r ) . P e r i l r t r o R E \ I A D I R . U F F I NsIi h a a l l o r a P ( r ) : ( r - 1 1 ) ( r - . r 2 ) ( r -: t r ) . Si ossen'i che per ogni valore intero di r i tre fàttori souo inteli e tali che (r - rr) > (t - rz) > (z -.ra) . rna i divisoriinteri di P(n):3: S i c e r c a n od u e i n t e r i c l i s t i n t in . m p e r i q u a l i P ( ^ ) : 3 sono solo 1. -1. 3. -3 e quiridi P(r) può valere 3 soltanto nel caso in cui si abbia che , t :- . r 7 : 1 , r - r ' 2 : - 1 . r - . r 3 : - 3 , c i o è p e r a 1p i ù u n v a l o r ei n t e r o d i r .

ALG29

L e p r o p r i e t à 1 ) . 2 ) . 3 ) d i c o n oc h e P ( a ) : a , P ( L t ) : b . P ( c ) :

c. Porrendo

I'(.r) : QQ)@ - o)(r - b)(" - c) + /Ì(t) , dove R(r:) è il polinonrio cercato.si ha: À ( c ): 6 .

À ( b ): ò .

À ( a ): a .

I n o l t r e , R ( ; i:rr)z r 2 + r 1 j r + r 0 è u n p o l i n o n r i o d i g r a c l o m i n o r e o u g u a l e a d u e e s i v e d e f6cilrrrerite.a,desernpiorisolvendoil sistemadato dalle tre condizioni n(o) : a, R(b) : $, R(c) : c. che R(r) : r è I'unica solrtzione. ALG30

o l b t c: posto a : b -f L c - b - y. sinoti che r e y sono tturneri tror Si sr-rpponga negativi e.cheinoltre il rninimo dei tre numeri (o - b)2, (a - t:)2, (b - c)2 è ancheil minimcr tra r" e u-. ^2

L2

L'espression" 1 I{-l:

z

.,2

si trasformtt nella seguente:

( ó + . r ) +2 b 2 + ( b - a ) '

3b2 + 2bL - 2l,ty+ 12 + 92 - 2L'a r1 r rtt y :z

, '..) l.r - lj -l tt)' t h2 + r,, 2

'

si deducesubito la tesi, dato che il rninirnotra 12 e y2 è non Da qriestaultirria espressiorre superiore a ;r:y:inoltre si può osservareche la diseguaglianzasi ridrrcc ad ttna uguaglialza seesolose11:yab:0. ALG31

il polinornio può esserescritto nr:lltrfbrma Per il TEoRENIADI RI-TFFINI o , ( . :-r t , 2 ) ( r - u t ' ) ( r - i , 2 ) e dunqne i srroi coefficienti di primo e sccorulograclo soncr b - 4 ( t l t : + t t 2 y 2+ 1 r , 3 ) e c '- - a ( t f f u r : 1 y 2 ; . Per ipotesi b c r: sono razionali: siccorre b : raziontrle.

-u,t: . c, avrenÌo che anche il prodotto ur' ò

80

Soluzioni

ALG32

Irrcliclriamo con P(.r) ii polinomio (1 + ;r:+ :r2)" : ovvianrente: P(1) : P(

oo+ o1f oz+ "'I

Q2rt

* ( 1 2- " ' * Q 2 n

oo -or

1) :

. + u 2 , . x 2 ' 'R . isrilta.

all I a1r + a2r:2 +

allora nrernbroa mernbroquestcrelazionisi cledrrce e sottrtrenc-lo Sornrrrando r l q :l l l o + " ' F , ,

P(t) + P(-1)

3" + I

) -

2

, ' , : -

:

( . 1+1( r : l +" ' + ( t 2 r -:r' r y

=

t

il che consente di rispondere ai quesiti 1) e 2). Piìr cliffìcile. trlmeno in apparenza. ò rispondcrc al cluc'sito3)' i coelficienticlelle a c l esempicr Occorre osservareche. ncllo sviluppo (li (1 +:t:1.r2)". '),,_ ì '| o ln gellPral(potenzc i"0 e .r2" sono uguali. corne lo sono i c'oefficienti cli r' r ' . t - " . . . . 'r'2n-i. Ne segtrc che qrrelli cli ,i " 0l)O1 :

il2n-ILl2ù

(L1Q2:

0'iq'i+1 -

A2n-2Q2n-1

(12ù -i-.IQ2n

i

Pertanto nella somrna o 0 ( . 1 1-

{1y(.t.2 f

Q ' 2 Q ; j-

"'f

A2r,-2(L2r-1

( . 1 2 1 1| Q 2 n

:

che lia un nìrrtero pari cli terrrnini. gli adcÌencli eqrridist:urti ciagli estrerni si artnullano a coppie. Tale sortrm:r è ciuirrrli uguale :r 0.

ALG33

Slpponia,rrro. per assurclo. chi: esistano clue polinomi /(r)..q(.r) grar,lo nrirrore cli n t:rli che P(:r) : f (r)'o(t:). Si avrc'bbe allora (1)

P(u;) :

-1 :

a cocfficienti interi di

. f ( , o ; ). s ( e i ) .

1. opptrre' t: g(a;'): S i c c o r r r es i t r . / ( a ; ) c h e . g ( a ; ) s o n o i n t e r i . c l n l l a ( 1 ) s e g u e f \ o i ) : 7 -7 t: q(ei): : 0 . p o l i r r c i n r i oQ ( . t ) i l : g ( a t ) a l l o r a \ I a 1: in ogni caso /(n') + f(o,) g r e r c k r t n a g g i o r e o rtgualea è i l s r t o . . . . a t t e c l u i n d i o 2 . c l i s t i n t e o 1 , ha rr radici /(t)+g(.r) 2. Siccome perrò il grario di Q(r) è il massimo fra i gracli di /(r:) e di 9(r:). entrambi per ipotesi rrrinori di n. si perl'iene ad rrn assrtrdo. Il polinornio P(.r) pertanto è irriduclbile.

ALG34

Eleyalclcr aì clrrircfu'atola relaziole ( . ( I t , + r- 2 c t . , , ):2: a ] .

ertil - 2o,, -

J3o],3

| -si ottiene

+ t .

che ercluivale tr (1)

( 1 2 , , --t 4 e r r y 1 t t , , + 4 2 :,

t .

Allo stesso nroclo si vcclc (2)

1 l ] , _ 4 o , , a , ,r * a 2 , - , 1 - 1 .

s o t t r a e n c l oo r a l a ( 2 ) r l a l l a ( 1 ) s i l i c a v a a 2 r - 1 - o ? , , , - ' 1 4 , ' ( 4 , , 1 - 4 , , 1 ) : 0 . (3) \Ia

cioìl

( . / , , + 1 o n 1 ) ( o , , 1 1* e , , - t - 1 a , ,1 : 1 1 . chiararpente risulta o,r,1 1{r,,

0.yy+1 :

4Q,, -

Poicirt! {r1 -

{

o,,11 e dltnqr-re la (3) è r'erificata solautente st:

tlr, - 1.

1. o,2: -! la relazione prcceclente rnostra che tr-rtti gli a,, sono rrurneri interi.

81

Algebra

ALG35

\Ioltiplicando il primo memblo clell'equaziorp r ee r ( 1 * . r y ) ( 1 i y z ' ) ( I * : r : ) l'esplessicirre , 4 : ( . r- y ) ( I + y : ) ( 1 * : r ' ) t ( s - : ) ( 1 + . r g ) ( 1 * : r , ) + ( :

si ottiene

z ) ( 1 + t : t 1 ) ( 1 iy z ) .

Tale espressioneè rur polinornio di seconclograclo rispetto a ci:rscunasingola varialriÌt: x.ll . ..Acl esernpio.pel ogni fissatovalole c.lig e di :. -.1è un poiinorniocli secorrdograrli in .r. Se irr tale espressionesi pone .r : ll si ottiene .'1 : 0. r-lttncltcsc si consideraA cortte polinorl.io in r si ha chc A ò divisibile per (r:- y) (rtonrlt.\ DTRr-FFINI).Irr rrrodoarralogo per (y-;) e pcr (: .r:)(Lrastaeffetttr:rretrna sostituzioncciclica si vede.che,-l è clivi,sibiìe - r). d e l l el a r i : r b i l i :. r - . g . A - : . : : Pertanto si potr'à scrivele (1) I:(r''-y)(y-:)(.-.r)h ove K è un certo polinorlio in .r. .q. :. - . r ) s o n o c 1 is e c o r t d og r a c l o : R i s p e t t o a l l a v a r i a b i l e . r ' - s ih a c h e s i a . - 1c h e ( . r y ) ( . U- : ) ( : lle segue c'lie Ii lia graclo zero c dunque è rrla costante lispetto a .r. Allo stcssclrnodo si r.edcche 1{ ò costante sia lispetto a y cire rispetto a:. ll r-alole cli 1f si potrà ricar-are so,stituen.lo alcrrni r-alori uclla (1). Arl eserupio. ponenrlo ; r : 1 . u : - 7 . . : : 0 l a ( 1 ) c i i v i e n e2 : ' 2 I i e r l u i r r t ì i 1 { - 1 . Si ò così pro\-iìta la formrrla

l:

( . r-' a ) A - : ) ( : - r ) :

r l r r i i r d -i l :

ALG36

l l - o { s r ) l { sì e i r l r r t c r r o , l r rdn, ' i l t p r r t L t r r e.t,'.i ! 1 . : r ' , , i t r l i r l u l r o .

Supponiamo che il polinorrio P(r)

abbia nrta raclice r':rzionale .,:!.

tl

con p e q prirrri fra

Ioro. l+..'+au SiaP(r) :o.0.r't1 lu1.r" 1.Ì+on. PerleproprietirrlelleiìADICIR.AZIONALIDI t N I)ol,l\o\llo si sa che p deve cssere un divisore cli a,, (c c7un clivisore cli co). Siccomt: o, : P(0) è rìis1>ari.anchc p dovrà drurc|-leessere LrìrnLrrrìerodispali. D'altra palte il polinornio si prrò risclir-ete nel uroclo segrtcntt' P(r):

a { l ( r :- 1 ) " + r , r { . r- 1 ) "

t

1 . . . - r . r , r 1 ( . ?- i 1 ) * r ' . ,

o r r e i r l - t r t r e r i( ' r . ( : ' 2 . . . . . . r ?s ( , u o i t r t e l i e c , , : P ( . 7 ) . Sostitucnclo :, - l. nroltiplicando per q" c licorrlanclo che per lpotesi :r ò raclicc riel q p o l i 1 1 s 1 n 1sr i. o l I i e t r el ' r ' , ; r t a z i o t L r ' agjt

(l)" - r't(p -

cltr cui si cle non 5a soluzio'i' mentre facile veclere che per n,'a Z 1a cLiseq,-razione irrfinite. - 3l > 5 implica La risposta è (E). Infatti l2r 2

2.r:-3>5. se/>

t,

3 3 - 2 r > . 5 ' s e r '1, dunquer(-1.

(o'u n"' ;fiHffi ;;;;;r1j:"i:1T "u?;'l:'iT:'i lTlîî: il là'i:i:í',:ffi ; i-o ';"'i;;""''a;"- n;+ s: vqn-rP: l2r 3l

pertanto la disequazioneciata e11ii,11ea.(D,l

ItX$1""jfi.';1il;;ffi;;; t:'< 3f2 uo*," ,,1-r',t., q.inclino. è ec'rivalcnte alla ,-^,-

À ^.'.'i.rqìr'nt

ì:1:,::Ji"'Efiiitllí";"ri,i"". rliseguaglianzaassegnata' DIS3 DIS4

DIS5

ò ( E ) . l n f a t t i . i r 3 : 1 0 3 ( i 0 1 0 ) .y La r-isposta

- 2 1 0 ( 1 0 1:01)g 2 ' 1 ( l o " ' ) c c | t i n c l iy ) t : 3 '

(c) non sono equivàlential siste[ia cli disequaziortt La rispostaè (B). Per vedcreche (A) e : l. y : O. Per escl'clereitivece (D) ed (E) si assuma dato, basta co'siclerareii .uro r. r:1..u:|12'Lafigurtrsegrrentenostraipurrticlelpiarr .ì. "piegando" la lrasecli clettapir:rrnidelungo una cliagorrale. cott 2Àr-1-1 spigoli. Non è:invecepossibilecostruire rur poliecìrocon 7 spigoli. Infa,tti tale' polierlro rlovrebbe ar.ere':rhleno,'t vcrtici (con .1r,crtici si ottierreun tetrtrecho.clurhu r-ispigoli).ma a.ciasc'un r.crtice rleblrorrocorrfluirealrneuo 3 spigoli: sic:corrre' ogni spigolo corrnettedue r-r:rtic'i.il nìur-ìerot-lcglispigoli clclr, cssclt' maggir)fe o rrguale a S

> i. i hi conclusionesi possonocostnrire policclri con ogni nullcro rr di spigoli corr rt ) 6. e' rL* 7.

Geometria solida

15 GEOS

121

Sia ABCD il tetraedro assegnato.Per ogni coppia di s n i q o l i crppostiAC e BD. BC e AD. AB c CD i piani condotti sono tra loro paralleii: quindi il solldo da essi delirnitato ò rrn parallclepipedoAB'CD'BCt'DA' (r-edifigura).

C

'

B

I lati cleìtetrae(lro sorrole rliagorralitiel paltrllclcpiperclo. Il tetracch'ooriginario si ottiene dal parirllelcpipedorinruovencloue i quiittro tetracclri,lBDC'. ,1C'DB'. ABCD'. ABDA' i quali h:rnno trrtti 1o stcssor-ohrrner. avcncloconre basc la metà cli urta clellelacce del palallelepipedoe iclentictraltezzttlelatir-a. Peltarito tali cprattlo tetraedri hanno r.olurne par'ì a I ,/fJ.ove l; incliciiil r.ohrrneclel parallelepipccio. S i a r . r ' :cì l i r n c l r et ' : 1 + + ] 1 , ' c l a c r r i l - : 3 . (i 16 GEOS

I)etta 5la sfer:rpassantepcr ipunti .1. B e tangente a1piano o. si indichi con 7 il punto preserìtiìrcdue casi. rli tturgenza.Corrclottala retta r per A e B si posst-rno C i i s o a ) : l a r e t t a ; , r r o r re \p a r a l l e l aa l p i a n o n . Inrlicertoallora con P il pturto tli interseziclnefra r e a. si osscrvi che P è distinto da f cd è estorrroaìla sfera 5. Per il rsontr\tA DELL-A. sECr.\\'rFtE DELL.\'I'ANGENTEsi trvrtLPII - P-i PB c clurrquef appartieue ad r-rnacircorrferenzadi centlo P e raggio \/ P,.\ .PB. \'iceversa.ogni pr-rntoI cli ttrle circonferenzaè urr punto cli tangcnzadi rrna sferache p.ìssapcr A. B. T e che ha centro nel punto di intersezionefra il piano perpendicolare ilrì ,'{B nel ,sllopluÌto rnr:dio e la perpendicolare acl o irr f. Durrqne il hiogo cercato ìr rrrracirccirrferenza che htr cerrtroirr P e raggio ncclio lrropolzionalc fra PA a PB.

\-,q

\j

l ! -

C l a s ol r ) : l a l c t t a r ' ò p a l a l l e - l aa l p i a r r o o . hr cpcsto caso il piano ,? perpenclicolale aì segruerrto -'lB nel sno purrto nieclio è perpenrlicolart: ii o c qrrirrcli contierrrcoltre al c€.1ltrodella sfèra anc'he il pruito rli tirngenzrr T. \tic'er-elsa.ogrri prrnto della retta irrterseziont fra i piani rr e ,J è lur pllrÌto di tangenza con II ccntlo r,1itale sfera si può o di una sf'era che piìssiì per i punti as-se€lniìti--1.B e per I irrciividrrtrrc intelsecando la perpenrlicolale acl o irr f croÌ piano 1rr:r'penclicolarea A7- ne1 sl1tl punto rrrerlio. Durrcpre in rluesto caso il luogo cercato ò rl:rto clalla retta intcrsezione fi'a il piano o c il pi:rno i pclpcuclicolare ac1-'lB nel suo pnuto nreclio.

GEOS 17

Siano R e r i raggi dellc sfere circoscritte e inscritte nel tetraeclrc.riìssegrìato 7. Si consideri il tclrac'ciro che lia lrer vertici i -l prrnti,che sorro i bariccrrtli dell facce di f. Questo tetràe(lro 7' ò sinrilc a f .

D lt

r l r r i r r , l ir ' . r g g i , , . .

ó

, un la]rporto

a

to sfela S' circosclitta iì tale tctraedro ha

\ [ a , q i r e ' s t :al " e r a h a l a g g i , n r a g g i o r c d i r l r r t l l a i r r s c l i t t a n c l t e l r a e , l r o

122

Soluzioni

originario I. irrfatti se si conducono i piani tangenti a S' e paralleli alle facce di ? (e con la giacitura che sta rispetto al centro di S/ ciallastessaparte del piano corrispondente)si delimita ovviamenteurr tetraedro simile a f. Siccome lìessrlno cli taÌi piani può tagliare internamente 7 (la sfera ,9' passa per punti clellefaccedi f). il tetraedro così costruito è simile a 7. nra con rapporto di similitudine maggiore o uguale a 1: qr-rindila sna sfera inscritta ha raggio maggiore o uguale della sfera inscritta in I e pcrtanto * - r. ,) La relazionedi eguaglianza-siha se e solo se la sferacircoscritta a I' coincidecon la sfera inscritta in 7. cioè se gli incentri di ciascunafaccia coincidonocon il baricentro. dunque se le faccesono eqriilateree quincìi il tetraedro è regolare. GEO1 S8

Detti A. B. C. D i quattro punti assegnati.siano ]I e lI' i punti medi dei segmentiAC e BD. lI e J['sono distinti: infatti in caso contrario. AC e BD sarebberocomplanari. Detta I la rctta per ,11.,\1' si consideriuu qualunque piano cr perpendicolarea l: siano poi ,4'. B' , C' , D' le proiezioniortogonali dei quattro punti dati su questo piano.

Tali proiezioni sono distinte, infatti se due tra i punti dati appartenesseroa una stessa retta perpendicolarea o. tale retta dovrebbeo coinciderecon I o esseread essaparallela: in errtrarnbi i casi se ne dedurrebbe che i quattro punti A, B. C, D sono complanari. Per il rgoR.tr\,IADi rALtrTE. il punto di incontro dei segmentj.A'Ct e B'D'biseca tali segmenti: pertanto i purrti proiezionesono i vertici di un parallelogramma. Se invece di considerarei punti nredi dei segmentiAC . B D si prendonoin considerazione i punti medi (li AB. CD oppure di AD, BC e si ripete Ìa costruzioneirrdicata. si possonoottenere altre due soluzioniclel problema in esame.

19 GEoS

Si indichì con -F il rrurtiero di facce del poliedro. con S ii numero degli spigoli e con V quello clei vertici. Per la FORNILiLA Dl EULEROsi ha (1) F-S:_V:2. Siccorneda ogni vertice escorìoahneno tre spigoli e ogni spigolo connette due vertici si q

d e v ea v e r eI' a ì- .

L

.

/

'

c i o èt ' f -; S '.l c h e .

,,

sostituita n e l l a( 1 ) . f o r n i s c e

.1

F -:S >2, ù tq

lt

dacui25 1. Anche senzasfruttare la diseguaglianzatriangolare. basta notare che o- >-

c 0 b * a +b l c a +b +c+o* 6* .:t'

b) Osserviamoinnarrzituttoche Ia maggiorazioneQ < 2 norr è migliorabile.cotnemostra il caso del triangolo isoscelecon b : c : 1 e a arbitrariamente piccolo:

n - o v -

.I

2

l

o + l

2\ o r l

o + l

Il caso del triangolo equilatero (a : b : c) fornisce Q : 312 Iniziamo co1 provare che per ogni triangolo isoscelesi ha Q > 312 S e a : ó o t t e n i a m o 2

a

t r - _ L _

'

a*c

c 2a

che si può scrivere nella forma

Q :

2a

c+a

o+"-

2.

* t1

Tenendopresenteche .r -l- j > Z p.. ogni r positivo. ne segue cheQ > 312. Vediamo ora che per qual,-inquetriangolo di lati a, b. c. si lia Q > 312, consiclerandoil o triarrgoloisosceleche ha 1u11 Í, ,.e mostrandoche per tale triangolo la quantità *, Q è minore o uguale di quella í.igir.uíiu. Per il triangolo originario si ha ^ a t r -. - _ - _ : Y l

r

btc

b

a+c

c

a-tb

mentre per il triangolo isosceleanzidetto risulta a-lb t-\ -q v ) - L -

^I 0+t) ^z * c

-

c

o+b

127

Diseguaglianzegeometriche

Vogliamo dimostrare che Q1 > Q2. cioè r\ 'r '\ l : - b+c

a-rb b ,, a+c--alb+2c'

Tale diseguaglianza è inlariante per omotetia, dunque potremo arbitrariamente fissare alcuni elementi del triangolo, ad esempio potremo studiare solo il caso in cui il perintctro P:a+ò+cèugualeadl. Per provare la diseguaglianza(1) riscriviamola nel modo seguente: b-alc o*b-c - b-c o+c b+c b+r-

-

orc\ "+"

vale a dire (ricordando che a -f b + c: I b+r-

I

. -

I o*1ta2r-

"-r----

n l 2 o - 2 b + 2 c- o * ó + 2 c \ r-\,/-b+2c o+b-2c)

1). t- '

( a + b + 2 c ) ( a+ b + 2 c ) > , 1 ( b + c ) ( a * c ) . ( a + c ) 2 + ( b + c ) 2+ 2 ( a + c ) ( b * " ) > 4 ( ó + c ) ( o + c ) . La diseguaglianza(1) è dunque equivalente alla ( ( a + c ) - ( b + . ) ) t : ( a * ó ) 2> 0 . Ìa quale è ovvianiente verificata. Osserviamo che nella dimostrazione di Q > 3f2 non si è fatto alcun uso della diseguaglianza triangolare: pertanto tale diseguaglianzaè vera qualunque siano i numeri positivi a, b. c (vedi anche il problema DISG9). DISG9

Siano a, b. c le lunghezze dei lati del triangolo, p il suo semiperimetro, ,5 la sua area e r ii raggio del cerchio inscritto. FRA LE NÍEDIEquadratica e aritmetica si ha Dalla DISEGUAGLIANZA

(1)(4{.9)''' r*y:? D'altra parte. utilizzando Ia diseguaglianza fra media aritmetica e geometrica si può scrivere (2\ P -tP-o)* ' Ú

(P-b)+(P-c) Q U

> M,

inoltre. per la FoRN{ULADI ERoNE, l'ultimo membro clelÌa (2) è uguale ^ (+)t" \ v / , q u a ì e e q u i v a l e a r. si avrà aliora R i c o r d a n d oo r a c h e S : p ' W,la ! (3) p2 > 2712 Dalle diseguaglianze(t) e (3) seguesubito allora a2 +b2 + c2 > 3612,cioè il risultato. Si noti che il segnodi eguaglianzanella (2) e nella (1) si ha se e solo se o : b: c, cioè sc il triangolo è equilatero.

128

Soluzioni

DISG1O

Consicleriarno un qualsiasitriangolo di area ,'1e perirnetlo 2p. Per la F-OIì.\iLII,ADI ERONF] s i h a , 4 2: p ( , p - a ) ( p - ó ) ( p - c ) . i \ I a p e r l a D T S E G u A c ; L r - \ NTR,\ Z . \ Ltr NIEDTEgeometrica e arittnetica: ( p - o ) ( p - ò ) ( p- . )

. (

p-tr+p-blp-r:

)'

: (;)'

|) t,\2

r - i o è- l -< - - . tt./? a-

v

Per diniostrare

d o v e l ' r r q r r a q ì i a r r zvaa l , - ' s o l op e l i r r . i a n g o l i e q r r i l a r . r i .

.J

la diseguagliarrza -o' -l

) l hn :

clata. esprirnianro

lt,. -

J,t.

le alte:zze irr furizione cìei lati c dell'arca:

. ) l -''

Il pri'ro ,ui.r,,rou.ttontir.*,,ugrio,rrJè cl.rrque ugrlate a I 1\ /t l --l t-..---l r / Ù \" e. applicarrcloqltanto cletto. essoè rlinore o uguale a I I L \ : - - ( , r - h - c "\ /l' -t - ; - - l ,/ b 3/3 \,, Basterà ora osser'\'are che. pcr la diseguaglianzatrà le medie armonica e aritmetica. si ha /1

I

1\

\ r r l l t 1 , l ( - -- - ' ì < -9 . b c:/ \a pcr otternere la diseguaglianza cercatà. Essa vale in senso stretto per ogni triangolo iton ecluiltrtero. rÌlcntre vale I'uguaglianza per i triangoli ecl-rilateri.

DISG 11

Considerianto urÌa I\\'ERSIO\E per raggi r-ettori leciproci di cerrtro P rispetto a un cerclrio clie. per fissare le idee. stlpJ)orremo interlo all'trngolo SÉC e cli raggio À.

Tranrite tale irn'ersioueìe rette AB e BC vengolìotrasfornratein due circonferenze1t. ^iz passarrtiper P. I'ulteriore intersezionedi taÌi circonferenzeò l'irnniagiiteB' rìel r.erticeB. dunqrreB. B' e P sono allirreati. L'imniaginc di una retta per P tramite f inversioneè la retta stessa.ciunquel'inversione trasfornrar"l1nell'intersezioneJ1' dclla retta lfJ con 1a prinra circonfcrenza(dir.ersada P) e A rrelfintersezione,\r/ cleìlaletta stesstrcon la seconclacirconfereuza. P o i c h é P f , I . P l l ' : P N . P , \ - ' : - R 2 : c o s t a l ì t e .c e r c a r e ' i l r n a s s i r n o, t i * prV F; eqrrivaleà cercareil rnassirriodi P.11' + P-\i'. Il problema è quincÌi ricondotto al seguente: clate due circouferenzechersi intefsecarìoin P e B' tlor.ale la retta pr:r P tale che.

129

Di seguagIianzegeometriche

se r'l,f' e À" sono lc ulteriori iritersezioni clclla letta t:on le circonf'erenze. la lunghczza cìi ,11/,V' sia nrassittra. Qriesto problctna si risoìr.'c facilntenter sr: si tieue presente cher il triarigolo B'l'\/'Ai'lrtr c-'Irìclo\irERtr\zA). Dunque tutti i angoli fissati (per il TItoRE\tA DtrLL'A\c;oLO.\LL,\ sono sirnili fra loro. qualurrclue sia ltr prosizititreclcila retta pr-'r P. Pe'r triangoli B'lI'N' rendele mtrssima la base.11',Y'cli tale tliangolo b:lsterà clunque rcrtde'r'ernassima 1'altezza relativa. il che si retrlizza quando tale altezza coincirlerccn B'P. Dnnque,'11'À" dete csse're pcrpcndicolare a B'P c. tonrando al problern:r originario. il massinro rli ^ rlrando l1I

-1-

^

si ha

è perpendicolare a PB.

S E C O N D AS O I , LZ I O N E Il problerna si può risolr-ere anche senza ricorrere all'invcrsiorte trel tnorìo seguente. Si tlacci la circonferelìza pàssante per r11. -\' e B e si inclichi cott D la sua interseziotic corr il prolungamento di PB. Si der.e rendere nrassima 1a grandczzti:

1 \tP

I \P

]IP+JP \IP..\P

-\1À BP.PD

DEI-I-EDL-tr('ORDFl.per il quale ,'l1P'A'P l\ell'ultirno passaggiosi è r-rsatoil TEORE\1--\ BP,PD.

in cluanto BP è costante. Al variare clella retta # - XIED e pelP si ott.cngonotliangoli '1/J, trrtti sirnili frtr loro. in qttauto '11Î, clallaposiziorredi tale rctta. È evitÌentc tali angoli lon clipenclono N lf l : À Fl. clunclner ,l1J rron carnbia effettuanclouna siniilitudirre. qrrindi si può fissareia tlre il lapport,t |, lunghezza rlel segmento,l1fr e fzrr r-tuiare P str esso. A qttesto punto è ovvio clte il ,11N '# rapporto è nrassino qnancÌoPD è niinimo. cioè quantlo PD è perpendicolarea Bisc.rgnaquirrrli nrassinrizzar.

11Àt. Il plol.rlemaè quincli risolto clallaperpendicolarea BP per P 12 DISG

Siccorriei triangoli che hauno vertice neripunti di X sorroiri numelo finito. r'i sar'àun triarrgoloclre l'raarea nr:issima.hrrìicliiatro talertriangolo con ABC e conduciarnocla ogni sncrvertic'eÌa parallcla a1lato o1)l)osto.Si ottiene cosí tur triangolo AtIJtC:tche ha i purrti '{BC corlc punti rneclirlei lati. è sirnilc al triangolo ABC e ha area ptrri a quattro volte l':rre:adi quest'ultirno.clunclic talt' att:a vale al piir '1. P,i\

A' Dirnostriirno che tutti i punti tli X sono contentrtiin A'B'C'. Se pel assurdo urio dei punti P cli X fosse estento a A'B'C' . almeno uno dei vertici giacerr.bbein rrn senripiano.irrdividutrtodlal l:rto opposto, diverso cla qriello su cui giace D

130

Soluzioni

Supponiamoche tale vertice sia A'. Ne segueche la distanza rli P da BC è maggiore della distanza di A da BC. Dunque il triangolo P BC ha la stessabase del triangolo ABC , ma allezza maggiore. Quindi la suii area sarà maggioredell'areadi ABC. in contrastocon I'ipotesi cheABC fosseil triangolo di area massirna.Pertanto non esistonopunti di X esterni al triangolo A' B'C' . da cui la tesi. DISG 13

Detti a e 3 i due semipiani che costituisconoil diedro. supponiamoche A appartengaad nr e B appartenga a 3. La spezzatarichiesta consistenecessariamentedi soli due segmenti AP e P B . con P che appartieneallo spigolo s (ogni spezzatadel tipo ABQ P , con P e Q appartenenti a s è piú lunga, come si vede usando la DISEGUAGLIANZA TRIANGOLARE). Sia d/ il seruipianoopposto a J e si considerila rotazione che porta il seniipianoci su ,6'; tale rotazione manda il punto I in un pr.rntoA' di J' e. per ogni punto P di r, il segmento AP nel segnìentoA'P di cgual lunghezza. Dunque rendere minima Ia lunghezza AP + PB equivale a minimizzare A'P + PB. il che ovviamente avviene (sempreper la diseguaglianzatriangolare) quando A', P e B sono allineati. La spezzatacercataè quindi quella di vertici A. P0. B , ove Pe è I'intersezionedello spigolo l c o n i l s e g u t e n t oB . - l ' .

DfSG14

Siano A, B. C i vertici della base del tetraedro. G il eanrcENTRo del triangolo ABC e infine V il quarto vertice del tetraedro stesso. Applicando. con le notazioni indicate in figura, la DISEGUAGLIANZA TRIANGOLAREai triangoli AGV. BGV e CGV si ottengono le relazioni

r < A G + d . u < B G + d ,z < C G + d . da cr-ri.sommando membro a rnenrbro. segue

r+y+r