Conteo de Figuras

CONTEO DE FIGURAS DEFINICIÓN.- Es el procedimiento mediante el cual se contabiliza la máxima cantidad de figuras de una determinada especie, tales como segmentos, triángulos, cuadrados, cuadriláteros, sectores circulares, etc. METODOS.- Para determinar la cantidad de figuras se utilizan dos métodos: Conteo Directo (espacios no alineados) e Inducción Matemática (espacios alineados)

Total de triángulos: 5 + 4 + 2 + 2 + 1 = 14

co m

Rpta C

Ejemplos: 1)

.g ra

tis

CONTEO DIRECTO.- Consiste en calcular el número de figuras del tipo deseado procediendo a la numeración de todas las figuras simples mediante dígitos y/o letras, posteriormente al conteo ordenado de las figuras de 1 número, al unir 2 números, al unir 3 números y así sucesivamente

A) 11

B) 12

C) 13

D) 14

Hallar el número de triángulos en la siguiente figura:

De 1 número: 1;2;3;4;5 De 2 números: 12;1a;23;3a;34 De 3 números: 234 De 4 números: 123a;2345 De 5 números: ninguno De 6 números: ninguno

A) 10 B) 12 C)14 D)16 E)18 Enumeramos la figura dada y luego procedemos a contar:

Total de triángulos: 5 + 5 + 1 + 2 = 13 Rpta C

pág. 1

E) 15

Enumeramos la figura dada y luego procedemos a contar:

w w

1.1.

Hallar el número de triángulos en la siguiente figura:

2.

2)

w

I.

De 1 número: 1;2;3;4;5 De 2 números: 1a;2a;34;45 De 3 números: 1b3;2b5 De 4 números: ninguno De 5 números: 123ab;125ab De 6 números: ninguno De 7 números: 12345ab

3)

¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?

B) 12

A) 6

Número de segmentos:

n(n  1) 2

C) 13 D) 15 E) 16

Enumeramos la figura dada y luego procedemos a contar:

n(n  1) 2

co m

Número de cuadriláteros:

Total de cuadriláteros:

Rpta B

n(n  1) 2

INDUCCION MATEMÁTICA.Este método se emplea para determinar en ciertos casos fórmulas donde la cantidad de figuras a contar parece enorme.

w

1.2.

Número de ángulos agudos:

w w

6 + 6 = 12

.g ra

tis

2.

De 1 número: ninguno De 2 números: 12;23;34;45;56;61 De 3 números: 123;234;345;456;561 y 612 De 4 números: ninguno De 5 números: ninguno De 6 números: ninguno

A) Conteo de segmentos, triángulos, cuadriláteros, ángulos agudos y sectores circulares:

Número de sectores circulares:

Número de triángulos:

# 

n(n  1) 2

pág. 2

n(n  1) 2

Ejemplos:

# 

n(n  1) 2

# 

20(20  1) 2

1) ¿Cuántos triángulos hay en?

#  210 Rpta C 4) A) 12

¿Cuántos ángulos agudos hay en?

B) 24 C) 36 D) 78 E) 80

# 

n(n  1) 2

# 

12(12  1) 2

co m

Contamos los espacios alineados para calcular “n” n = 12

A) 50 B) 250 C) 2500 D) 225 E) 1275 n = 50

2.

#   78

#

tis

Rpta D

Rpta E B)

Contamos los espacios alineados para calcular “n” n=6

# Segmentos 

Conteo de Triángulos.- Existen dos casos: CASO 1.- cuando desde un vértice salen líneas que llegan al lado opuesto y hay líneas paralelas o no a dicho lado

w

# Segmentos 

#

#

B) 12 C) 18 D) 21 E) 42

w w

A) 6

.g ra

2) ¿Cuántos segmentos hay en?

n(n  1) 2 50(50  1)  2  1275 

n(n  1) 2

Número de triángulos:

6(6  1) 2

# Segmentos  21

# 

n(n  1) xm 2

Rpta D 3) ¿Cuántos cuadrilátero hay en?

A) 20 E) 420

B) 200

C) 210

D) 221 n = número de espacios verticales m = número de espacios horizontales

n = 20

pág. 3

Ejemplo: 1)

CASO 2.- cuando los triángulos son generados por cevianas trazadas desde dos vértices.

¿Cuántos triángulos hay en?

B

A

# 

A) 30 B) 36 C) 105 D) 200 E) 210 n=6 m=5

n = número de espacios del lado AC m = número de espacios del lado BC

n(n  1) xm 2 6(6  1) #  x 5 2 #   105 # 

Ejemplos:

2.

co m

1) Hallar el número de triángulos de la siguiente figura:

.g ra

¿Cuántos triángulos hay en?

tis

Rpta C

A) 36 B) 72 C) 105 D) 234 E) 468 n=9 m=4

w w

n.m(n  m) 2 9 x 4(9  4) #  2 #   234 # 

A) 63 B) 315 C) 90 D) 630 E) 110

w

2)

n.m(n  m) 2

C

n=9 m=7

Rpta D

n(n  1) #  xm 2 9(9  1) #  x 7 2 #   315

2)

Hallar el número de triángulos de la siguiente figura:

Rpta B

A) 30 B) 90 C) 75 D) 165 E) 225

pág. 4

n(n  1) m(m  1) x 2 2 10(10  1) 5(5  1) #  x 2 2 #  55x15 #  825

n=6 m=5

# 

n.m(n  m) 2 6 x5(6  5) #  2

# 

#   165

D)

Conteo de cuadrados:

Rpta D Caso 1.- Cuando el número de espacios verticales es igual al número de espacios horizontales. El número de cuadrados está dado por la siguiente fórmula

C) Conteo de cuadriláteros:

# 

n = número de espacios horizontales que es igual al numero de espacios verticales.

co m

n(n  1) m(m  1) x 2 2 n = número de espacios verticales m = número de espacios horizontales

2.

Ejemplos:

tis

Ejemplos: Hallar el número de cuadriláteros en la siguiente figura:

1) Hallar el número de cuadrados en la siguiente figura:

n=5

w

n=6 m=3

w w

.g ra

1)

n(n  1)(2n  1) 6

n(n  1) m(m  1) x 2 2 6(6  1) 3(3  1) #  x 2 2 #  21x6 #  126 # 

2)

# 

n(n  1)(2n  1) 6

# 

5(5  1)(2 x5  1) 6

# 

5(6)(11) 6

#  55

2) Hallar el número de cuadrados en la

Hallar el número de cuadriláteros en la siguiente figura:

siguiente figura:

n = 10 m=5 pág. 5

n=8

n = 10

# 

n(n  1)(2n  1) 6

# 

8(8  1)(2 x8  1) 6

# 

8(9)(17) 6

m=5 #  10 x5  (10 1)(5 1)  (10  2)(5  2) 

(10  3)(5  3)  (10  4)(5  4) #  50  9 x4  8x3  7 x2  6 x1 #  50  36  24  14  6 #  130

#  204

Caso 2.- Cuando el número de espacios verticales es diferente al número de espacios horizontales. Se calcula con la siguiente fórmula:

E)

CASO 1.- En un cubo las aristas (lados de las caras) son iguales.

#  nxm  (n  1)(m  1)  (n  2)(m  2)  ...

co m

n = número de espacios verticales m = número de espacios horizontales

2.

Se reemplaza hasta que un factor tenga el valor de 1.

tis

Ejemplos: Hallar el número de cuadrados en la siguiente figura:

w w

.g ra

1)

Conteo de cubos:

siguiente fórmula:

 n(n  1)  # Cubos    2 

Hallar el número de cubos en la siguiente figura:

m=4 #  5x4  (5 1)(4 1)  (5  2)(4  2)  (5  3)(4  3) #  20  4 x3  3x2  2 x1 #  20  12  6  2 #  40

2)

Hallar el número de cuadrados en la siguiente figura:

n=3

 n(n  1)  # Cubos     2 

 3(3  1)  # Cubos     2  # Cubos  62 # Cubos  36

,

pág. 6

2

n = número de espacios por arista 1)

w

n=5

El número de cubos está dado por la

2

2

2)

Ejemplos:

Hallar el número de cubos en la siguiente figura:

1)

Hallar el número de cubos en la siguiente figura:

n=4

 n(n  1)  # Cubos     2 

2

 4(4  1)  # Cubos     2 

2

m=3 ;

n=4

;

p=5

mnp  (m  1)(n  1)( p  1)  (m  2)(n  2)( p  2)  ...

# Cubos  102 # Cubos  100

3x4x5  (3  1)(4  1)(5  1)  (3  2)(4  2)(5  2)

= 60 + 2x3x4 + 1x2x3 = 60 + 24 + 6 = 90

co m

# # # #

CASO 2.- En la siguiente figura se muestra un paralelepípedo que puede estar formado ya sea por cubos simples o por paralelepípedos simples, procediendo por inducción es sencillo demostrar que:

Hallar el número total de paralelepípedos en la siguiente figura:

tis

2.

2)

w w

.g ra

.

m=3

w

#

NÚMERO TOTAL DE PARALELEPÍPEDOS

# #

m(m  1) n(n  1) p( p  1) x x 2 2 2

# #

NÚMERO TOTAL DE CUBOS

mnp  (m  1)(n  1)( p  1)  (m  2)(n  2)( p  2)  ...

Se reemplaza hasta que un factor tenga el valor de 1.

pág. 7

;

n=4

;

p=5

m(m  1) n(n  1) p( p  1) x x 2 2 2 3(3  1) 4(4  1) 5(5  1) x x = 2 2 2 3(4) 4(5) 5(6) x x = 2 2 2 =

= 6 x10 x15 = 900

Conteo de semicírculos.- Para calcular el número de semicírculos se emplea la siguiente fórmula

3)

¿Cuántos semicírculos hay en la siguiente figura?

# Semicírculos : = 2(# diámetros)(# círculos)

Ejemplos: 1) ¿Cuántos semicírculos hay en la siguiente figura?

# de diámetros = 6 y # de círculos = 5 Luego:

co m

# Semicírculos = 2(6)(5) # Semicírculos = 60

2)

w w

# Semicírculos = 2(4)(4) # Semicírculos = 32

tis

Luego:

.g ra

# de diámetros = 4 y # de círculos = 4

¿Cuántos semicírculos hay en la siguiente figura?

2.

4)

¿Cuántos semicírculos hay en la siguiente figura? # de diámetros = 8 y # de círculos = 9

w

F)

Luego: # Semicírculos = 2(8)(9) # Semicírculos = 144

# de diámetros = 6 y # de círculos = 6 Luego: # Semicírculos = 2(6)(6) # Semicírculos = 72

FIN pág. 8