Conteo de Figuras PRE

 

CENTRO PREUNIVE PREUNIVERSITARIO RSITARIO

“LA MERCED”

“Una

Nueva Dimensión en tu Preparación”

1

La

Merced Av. Larco 1117 - Telf.

2!7""

2

CONTEO DE FIGURAS MÉTODOS DE CONTEO I)

Ejemplo ¿Cuántos cuadriláteros como má$imo se pued pueden en cont contar ar en la si sigu guie ient nte e figura?

Conteo Directo Pode odemos efe fect ctu uar directo de 2 formas:

el

co con nte teo o

A) Po Porr Si Simp mple le IIns nspe pecc cció ión n Contamos directamente en la figura figur a utilizando utilizando únicamen únicamente te nuestra capacidad de observación.

Ejemplo ¿Cuántos triángulo ¿Cuántos triángulos s contiene contienen n a lo más 2 asteriscos en su interior?

II II)) Co Cont nteo eo por por In In# #cc cció ión n

#

N*MERO DE SEGMENTOS #

' segmentos (

#

n ( n % &) 2

  Ejemplo: )allar el número total de segmentos** en la siguiente figura: segmentos

!) M" M"to to#o #o C Com om$i $in% n%to tori rio o &MÉTODO DE SC'OEN()  Asignamos dgitos !"o letras a todas todas las figura figuras s simple simples s #ue componen la figura princi pri ncipal pal ! luego luego co conta ntamo mos s anotando los dgitos o combinac comb inacione iones s de ellos #ue corre orres sponda ndan a la fi fig gura ura buscada.

 

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Ejemplo: )allar el número de ángulos.

N*MERO DE TRI+NGU,OS

1

 

2

 

3

 

. ..

' +riángulos +riángulos (

 

n

n ( n % &) 2

N*MERO DE CUADRI,+TEROS Ejemplos )allar el número de triángulos en la figura

%) Primer c%so

1

 

2

 

3

' Cuadrilateros (

. ..

 

n

n ( n % &) 2

$) See- n#o C%so 1

 

2

 

3

4

 

.. .

 

n

2 3

N*MERO DE +NGU,OS

n

& 2

+otal de cuadriláteros ( n

' ,ngulo ,nguloss (

n ( n % &) 2

$

m ( m %& % &)

 

n ( n % &) 2

Ejemplo  )a )all lle e el núme úmero de cuadriláteros

2

 

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2

 

3

4

3

5

2 3 4 5

 

Ejemplo  )all )alle e el número mero de cuadriláteros

CONTEO DE PARA,E,EP.PEDOS +omando en cuenta la figura:

& 2 3 4 6 n 2 3 4 m

m ( m %& % &) n ( n % %& &) p ( p % %& &) +otal de +otal ( $ $ paraleleppedos   2 2 2

N*MERO DE CUADRADOS -n la figura dada* si cada cuadrilátero simple es un cuadradito/.

-n la siguiente figura* si cada paraleleppedo paraleleppe do simple es un cubito.

& 2 3 4 5 6 n 2 3 m

CONTEO DE CU!OS

Cuadradito

+otal de +otal ( m $n $n %( m 0 &) $ ( n 0 &) %( m 0 2 ) $ ( n 0 2) % . cuadrados 7asta #ue por lo menos uno de los factores sea &

+otal de cubos

( m . n . p %( m 0 &) (. n 0 &) %( m 0 2) .( n 0 2 ) . ( p 0 2 )% . . .

Ejemplo Ejemplo  )all )allar ar el núme número ro de cuadrados

7asta #ue uno de los factores sea &

-n la siguiente figura 1Cada paraleleppedo paraleleppe do simple es un cubo

 

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la elección de A !  puede efectuar de m 1 n/ formas &. 2. 3.

¿Cuá ¿Cuánt ntos os par paral alel elep epp ped edos os 7 7a! a!? ? ¿Cu ¿Cuánto ántos s cu cubos 7a 7a!? ¿Cuá ¿Cuánt ntos os par paral alel elep epp ped edos os #ue #ue no no son cubos 7a!?

POR INDUCCI/N Consiste en deducir una regla de correspondencia* correspond encia* #ue la usaremos en la solución del problema* para ello debemos construir tres figuras parecidas a la #ue nos dan* pero más simples.

Ejemplo Para tras Para trasla lada dars rse e de )uan )uanca ca!o !o al Cuzco necesariamente se debe pasar  por  &>> - 43  A =5

 @>

 B>

- 2>

C @5

294 )allar el número de cuadriláteros #ue contiene un solo D

 

254 )allar el total de segmentos

# #  A &5  B

 @ - &3

C 

2:4 &=5  &B&

 &>

C

- &@3

264 -l la figura fi gura cuantos triángulos 7a!

dgitos #ue pueden formarse con la condición #ue se empleen sólo los dgitos dos* tres ! oc7o* es:  A &>  2>  =2B - @25 2;4 8i en la gráfica:

C 243

M

N

 A 4  2&

 5 - 3

C =@

274 Cuán uántos tos tr triá ián ngulos los 7a! en la siguiente figura

8e

trazara

la

ceviana

MN E

entonces* el número de triángulos más* #ue se pondrán contar sera:  A =  &>

 @ - &&

C B

2> lados* es:

 A 4>  44

 4B - 3

C 45

Cuánto Cuá ntos s figura cuadri cuadrilát látero eros s 7a! en la 284 siguiente

 A 4=5>  4@>>  4B>> - 4B5> 324 8i en la figura:

C 4@5>

 

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- 3&

C 24  A &4 &  &3

334 -n la figura:

 &5

C

- &5>

384 )alle la diferencia entre el número de cu cuad adra rado dos s so somb mbre read ados os ! el número de cuadrados sin sombrear    .. .

#

1

2

3

4

5

18 19

1

-l núme número ro de tri trián ángul gulos os #ue no contienen asterisco es:  A =  &3

 B - &5

C &2

A) 50 B) 63 C) 144 D) 100 E) 72

2 3 4 5  .

18 19

354 )allar el total de triángulos: 394 Cuántos cuadriláteros tienen por lo menos un asterisco en la figura  A 5  => * C =2 *  =4 * * - =

3:4 Cuántos arcos de circunferencias  A 3  42

 3@ - 44

C 4>

364 Cu Cuán ánto tos s 7e$á 7e$ágo gono nos s 7a! 7a! en la siguiente figura  A   5> C =5  45 - 55

374 ¿C ¿Cuá uánt ntos os cu cuad adri rilá láte tero ros s 7a! 7a! en total en la siguiente figura?

7a! en la siguiente figura 1 2

 A @>>  @2> C @4>  @> - @@>

3         .         .         .

19 20

3;4 Cuántos triángulos se cuentan en 1 0 total en la siguiente figura  A &32&  &2@2 C &432  &4>@ - &&&=

2

PR+CTICA DOMICI,IARIA

3

. . . . . . . .

21  .  .  .  .  .  .  .  .

3 2 1 0

 

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234 ¿Cuá ¿Cuántos ntos segment segmentos os se cuentan cuentan en total en la siguiente figura?

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C 3>>  3> - 4>>

284 Calcular el número de triángulos  A &5  & C &@  24 - &2  A &&2 &&4  &&5

 &&3

C

la figura

- &>3

254 )alle el total de triángulos en la siguiente figura:  A  C  -

294 Cuán Cuántos tos cuadrilá cuadriláteros teros e$isten e$isten en  A 4  5 C   = - @

3> 2B 2@ 3& 32

2:4 )allar el total de ángulos  A 23  43 C 4>  4@ - 3>

264 ¿Cuántos ángulos agudos 7a! en total en la siguiente figura?  A  C  -

4B 44 3 3= 45

2;4 Cuántos triángulos 7a! en la figura

274 )a )all llar ar la cant cantid idad ad de ángu ángulo los s

 A &  &@ C &B  2> - 25

agudos 1

 A 325  25>

2 - 2@

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 A &5  & C &@  &4 - &2

384 Cuántos triángulos e$iste 324 Calcular el total de triángulos  A 32  3 C 35  3> - 4>

334 Cuántos sectores 7a! en la figura  A &4>  &5> C &5@  &@ - &=>

 A @  B C &>  &2 - &4

3:4 Cu Cuán ánto tos s triá triáng ngul ulos os 7a! 7a! en la figura

354 Cuá Cuánto ntos s triáng triángulo ulos s tie tiene nen n por por lo menos un D/  A @  B C &>  &2 - =

 A @  = C B   - &> 394 ¿C ¿Cuá uánt ntos os triá triáng ngul ulos os 7a! 7a! en la figura?

 A &  &@ C 2>  22 - 24

* *

*

3;4 )allar el número de triángulos 1

364 Cuá Cuánto ntos s cu cuadr adrilá iláter teros os no tie tiene nen n algún D  A && &&  B C @  &2 - &>

* *

 

374 Calcular el número de triángulos.

2

 

 A 3>  3@> C 4>>  42> - 3B> 3

2 0

 

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524 Cuán Cuántos tos triángulo triángulos s tienen tienen por lo menos una D/  A @  B C &>  &2 - =

* *

 

*

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