CONTENIDOS BÁSICOS
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matematica recreativa...
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CONTENIDOS BÁSICOS
solamente poner en manifiesto el uso del ingenio y la deducción lógica para relacionar proposiciones y datos. A continuación te presentamos la resolución de diversos ejercicios.I. ejercicios. I. OBSERVA ¿CÓMO SE RESUELVE? Problema 1 ¿Cuál será la máxima área que se podrá formar con 12 palos de fósforos, si cada palo tiene 3 cm de longitud? a) 16 cm2 b) 72 cm2 c) 81 cm2 d) 40 cm2 e) 100 cm2
Pregunta curiosa
¿Cómo me podrías demostrar que la mitad del número nueve es exactamente cuatro? Ud.
Resolución: En primer lugar, graficamos 9 un cuadrado con los 12 palos de fósforos, veamos:
¿Cómo lo haría?
RAZONAMIENTO MATEMATICO Son ejercicios y problemas relacionados entre si por situaciones lógicas, nos dan cierta información (datos o premisas) y luego aplicando la deducción, tu habilidad, rapidez mental tenemos que llegar a una conclusión. Para resolverlos, no existe un método definido y único. Por lo tanto requieres
Luego: (Área del cuadrado) = (9 cm) 2 = 81cm2
Área del cuadrado cuadrado = 81 cm2
En segundo lugar, graficamos en
rectángulo con los 12 palos de fósforos, veamos:
3 Problema Manuel ingresa tres veces al velorio, luego ¿Cuántas veces ha salido? a) Una vez b) Dos veces c) Tres veces
Luego: (Área del rectángulo)= 12cmx6cm = 72 cm 2
Área del cuadrado cuadrado = 72 cm2
Como se podrá observar el área máxima que se podrá formar con 12 palos de fósforos serña cuando con estos 12 palos de fósforos se forme un cuadrado.
d) No hay velorio e) Faltan datos Resolución: Para su mejor comprensión, construimos el siguiente diagrama:
El área máxima será de 81 cm2
Rpta: C Problema 2 Dos viudas van al cementerio por flores. ¿Cómo se llama el muerto? a) difunto b) Rosa c) Flores d) No se sabe e) Falta información Resolución: Analizando el problema, la respuesta correcta será: Flores. Rpta: C
Sale 2 veces Rpta: B 4 Problema Como máximo ¿Cuántos domingos puede traer un año? a) 50 b) 51 c) 52 d) 53 e) 54 Resolución:
La operación sería, dividir los 365 días que tiene el año entre 7 días que tiene la semana, resultando en el cociente el número de semanas.
Veamos:
Residuo
Las personas son los puntos (12
365 días 35 - 15 14 = 1 día
7 días 52 semanas (cociente)
personas) Como se podrá observar hay 6 filas El número de filas es 6
Rpta: B
Deducimos que, todo el año tiene 52 semanas por lo tanto también tiene 52 domingos, pero sobra un día y como nos pregunta el máximo número de domingos, hacemos que ese día que sobra sea Domingo y el máximo de domingos sería. 52 + 1 = 53
6 Problema ¿Cuál es el menor número de cortes que debe darse a un queque de forma circular para obtener 8 trozos iguales?
a) 6 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolución: Para su comprensión hacemos un dibujo como el que mostramos a continuación:
Rpta: D 5 Problema ¿Cuántas filas de 4 personas cada una se puede obtener con 12 personas? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 Resolución: Construimos un polígono como se muestra a continuación:
Hay que hacer 3 cortes
Rpta: C
7 Problema Un caracol sube por una escalera de 18 escalones, cada día por cada 3 escalones que sube, baja 2 ¿Cuántos días tardará en subir la escalera? a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e) 19 Resolución: Este tipo de problema se analiza de la manera siguiente: Si sube 3 escalones y baja 2 escalones; entonces por día sube 1 escalón. Al razonar nos damos cuenta que al subir los 3 últimos escalones para llegar a la meta o sea para subir los 18 escalones ya no tiene porque bajar el caracol.
Rpta: 16 días Problema 8: Tenemos seis vasos, los tres primeros contienen gaseosa y los tres restantes están vacíos, ¿Cuántos vasos como mínimo debes mover para que queden intercalados, es decir; uno lleno, uno vacío, etc.?
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
Resolución: Por simple deducción la posición (2) debe trasladarse a la posición (5), y así El caracol necesita 16 días para subir
escalera.
los vasos quedarán intercalados es decir uno lleno, uno vacío, etc. Ver la siguiente figura:
Rpta: B
El tiempo empleado es: t=
altura total lo que baja lo que sube lo que baja
Reemplazando valores obtenemos: t=
18 2 3 2
16
1
16 días
Entonces: deben moverse como mínimo 2 vasos. Rpta: B Problema 9: ¿Cuántos árboles hay en un campo de forma cuadrada que tiene un árbol en cada vértice y 6 en cada lado?
a) 24 d) 20
b) 28 e) 26
c) 22
Resolución: Este tipo de problemas se analiza de la manera siguiente:
Un reloj da 4 campanadas en 3 segundos, luego ¿Cuántas campanadas dará en 6 segundos? Resolucion: Este tipo de problemas se analiza de la manera siguiente: Este tipo de problema se analiza de
la manera siguiente:
Cada punto representa un árbol,
como se puede observar en cada vértice hay un árbol y cada lado tiene 6 árboles, contando todos los árboles que hay en el campo de forma 20 cuadrada resultan ser: Rpta: D
Analizamos este gráfico. Notamos que el número de campanadas es uno mas que el número de espacios “e”, o sea: 1 e = 2 campanadas 2 e = 3 campanadas 3 e = 4 campanadas Como
podrá
observar
de
campanada a campanadas hay un intervalo de tiempo que en el gráfico
20
Rpta. Problema 10:
se
lo representaos por “e”, luego: por
Regla de Tres Simple Directa, obtenemos:
Si: 4 campanadas 3 segundos 3 e 3 segundos X 6 segundos Donde: = Nota:
3e 6 segundos 3 segundos
camp = e + 1 x = 6e = 7 campanadas
Rpta: B
Debes intentar una y otra alternativa de solución al problema y decidirte por la que cumpla con el más mínimo detalle. Algunas preguntas son de tipo capcioso, probablemente tengas que demorarte más tiempo que en los problemas comunes, pero eso es sólo hasta que el encuentres el truco.
1. LAS BOLAS DE BILLAR Se tiene tres bolas de billar de la misma forma y tamaño, pero una de ellas es más pesada. ¿Cuál será el menor número de pesadas que tendrá que hacer para determinar la bola más pesada, utilizando una balanza de dos platillos? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. Solución: Bastará con hacer una sola pesada poniendo una bola de billar en cada platillo y una afuera. Donde se incline estará la bola pesada, caso contrario la pesada será la de afuera.
Algunas ideas para aprender mejor estos problemas:
Los problemas aquí planteados tienen pequeños detalles que aparentemente no son muy útiles, sin embargo se les debe tener en cuenta. Si es posible, haz un diagrama de la situación que te plantean y en el indica los datos que te dan.
2. LOS GATITOS En la casa de José hay 5 gatitos, si José atrapa 2 gatitos, ¿Cuántos gatitos quedan? a) 1
b) 2 c) 3
d) 4 e) N.A.
Solución: Quedan 5 gatitos, 2 atrapados y 3 sin atrapar. 3. EL SALTO GIGANTESCO Un canguro alcanza en cada salto que da una altura de 2 metros, y no
se cansa porque tiene muchas energías. ¿Qué altura alcanzará, si en un determinado momento da 3 saltos seguidos? a) 2m d) 8 m
b) 4 m e) N.A.
c) 6 m
Solución: Al dar cada salto, vuelve a caer al suelo, por lo tanto la altura es siempre la misma, que es de dos metros. 4. LOS GATOS Y LOS RATONES Si 3 grandes y hermosos gatos cazan a 3 pequeños y feos ratones en 3 minutos. ¿Cuánto se demorará un grande y hermoso gato en cazar a un pequeño y feo ratón? a) 1 min d) 4 min
b) 2 min e) N.A.
c) 3 min
Solución: Al decir que los 3 gatos cazan a los 3 ratones en minutos, se deduce que ese tiempo es un promedio, por lo tanto siempre será el mismo tiempo, que es de tres minutos. 5. LAS CHULETAS DE CHANCHO Luís tiene que freír tres chuletas de chancho, pero en la sartén sólo caben dos. Teniendo en cuenta que cada lado tarda en freírse diez minutos. ¿Cuál será el mínimo tiempo en que se freirán las tres chuletas por ambos lados? a) 30 min d) 20 min Solución:
b) 40 min e) N.A.
c) 50 min
Colocando 2 chuletas, en 10 minutos se habrán frito 2 lados, sacando uno de ellos, volteando el otro y colocando la tercera chuleta, tendremos una chuleta frita completamente y dos a medias (van 20 minutos); por último poniendo las dos medias que faltan se freirán en diez minutos más. Por lo tanto el tiempo empleado será de 30 minutos. 6. LAS COLILLAS DE CIGARRO Un mendigo puede formar un cigarro con tres colillas que recoge del suelo. Si en un determinado momento tiene 17 colillas, ¿Cuántos cigarros como máximo puede fumar? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
Solución: De las 17 colillas, puede formar primeramente 5 cigarros, sobrándole 5 colillas (de éstos), más 2 colillas de las 17. De las 7 colillas puede formar 2 cigarros, sobrándole 2 colillas (de éstas) más 1 colilla de las 7. Por último con las tres colillas puede formar un último cigarro. La respuesta es 8 cigarros.
1. Tres personas jugaron entre sí, todos contra todos partidas de ajedrez. Si en total jugaron doce partidas. ¿Cuántas partidas jugo cada uno? Resolución: Rpta: 5 personas
Rpta: 8 2. Dos niños se presentaron una tarde donde un lanchero para que les hiciese atravesar el río: el lanchero les dijo que no podía, porque como la canoa estaba averiada apenas podía sostenerlo a él, que pesaba 70 kg. Uno de los niños, el más listo, le contestó. Entonces no hay problema, porque los dos sabemos remar y además, el peso de los dos juntos apenas se acerca a 70 kg. ¿Cómo pudieron hacer la travesía y cuántos viajes hicieron de una orilla a la otra orilla, como mínimo? Resolución:
Rpta: 5 viajes 3. Anita tiene dos hermanos, pero cada uno de sus hermanos sólo tiene dos hermanos. Sin embargo, todos son hijos de una misma familia y tienen los mismos padres, ambos vivos. ¿Cuántos y quienes son los miembros de la familia de Anita? Resolución:
4. Al ser preguntado un señor por el número de corbatas blancas, azules y rojas que tiene, contesta: todas mis corbatas son blancas menos dos, todas mis corbatas son azules menos dos, y todas mis corbatas son rojas menos dos. ¿Cuántas corbatas tiene el señor? Resolución:
Rpta: 3 corbatas 5. Juan quiere medir seis litros de aceite sirviéndose sólo de un porongo de nueve litros, otro de cuatro litros y un balde de veinte litros donde está el aceite. ¿Cómo podrá hacer para medir exactamente seis litros, y cuántas vaciadas como mínimo tendrá que hacer de uno a otro envase? Resolución:
Rpta: 8 vaciadas
6. Tres parejas de recién casados, en viaje de luna de miel, llegan a la orilla de un río y encuentran una pequeña canoa en la que no caben más que dos personas. Teniendo en cuenta que los tres maridos son extremadamente celosos. ¿Cómo se podría atravesar el río de tal manera que una mujer no se quede nunca sola con un hombre que no sea su marido? Resolución:
Rpta: 11 viajes 7. Una
persona
mira
un
Rpta: Un eslabón 9. Un anciano padre había muerto y había dejado una cuantiosa herencia a cualquiera de sus dos hijos. Se quedaría con la herencia aquel que en una carrera de caballos llegara en segundo lugar. Resulta que ninguno de ellos quería llegar primero por lo que pasó cierto tiempo sin que se lleve a cabo dicha carrera. Si se sabe que de todas maneras se llevó a cabo dicha carrera y hubo un ganador. ¿Cómo hicieron para realizarla? Resolución:
retrato
diciendo: “No tengo hermanos ni
hermanas y sin embargo el Padre de este hombre es el hijo de mi Padre”
¿De quién es el retrato? Resolución:
Rpta: Se cambiaron de caballos 10.Un pastor tenía un rebaño con cierta cantidad de ovejas. ¿Cuántas ovejas tenía, si al agruparlas de 2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4, de 5 en 5 y de 6 en 6, en todos los casos sobra un animal, pero cuándo se agrupan de 7 en 7 no sobran ni faltan? Resolución:
Rpta: Su hijo 8. Se tiene una cadena de oro de siete eslabones unidos en una fila, ¿Cuántos eslabones como mínimo se deben abrir para pagar una deuda, un eslabón cada día durante siete días en forma exacta y puntual? Resolución:
Rpta: 301 ovejas 11.Un ciego entró en una fiesta de señoras. Quedó un momento escuchando y luego dijo: felicidades
24 señoras presentes; no somos 24 le respondió una de ellas, pero si fuésemos cinco veces más de los que somos, seríamos tantas más de 24 como tantas menos somos en este momento. Resolución:
Rpta: 8 señoras 12.Carlos y Jorge son respectivamente el primero y el último de los hermanos de una familia; la suma de sus edades es 20 años y Carlos es 15 años mayor que Jorge ¿Cuántas veces la edad de Jorge tiene Carlos? Resolución:
Rpta: Cada vaca en S/1000 y cada caballo en S/2000 14.Miguelito llegó al restaurante a disponer el almuerzo para los excursionistas. ¿Cuántos son ustedes?- Preguntó el mozo- somos padre, madre, tío, tía, hermano, hermana, sobrino, sobrina y dos primos. ¿Cuál era el menor número de miembros que podía haber en esta familia? Resolución:
Rpta: 4 personas. Hermano, hermana y dos hijos, uno de cada uno de ellos.
Rpta: 7 veces la edad de Jorge 13. Acabo de vender –dijo un granjeronueve caballos y siete vacas en S/25 000. Supongo que habrá recibido usted más por los caballos que por las vacas- repúsole un amigo suyo-. Si –contestó me han dado por cada caballo el doble que por cada vaca; ¿Cuánto se pagó por cada animal? Resolución:
Practiquemos… Practiquemos… Practiquemos…
1. Un ventilador a pilas dura tres horas funcionando ¿Durante qué tiempo se ventilará una casa con tres ventiladores funcionando? Resolución:
Rpta: 3 h 2. En una mesa rectangular, al cortarle una esquina ¿Cuántas esquinas quedan? Resolución:
Rpta: 8 6. Sin con 3 colillas se forma un cigarrillo; con 13 colillas ¿Cuántos cigarrillos se pueden fumar? Resolución:
Rpta: 5 3. Sobre la superficie de una mesa hay 60 moscas, si matamos 29 ¿Cuántas quedan? Resolución:
Rpta: 6
Rpta: 29 4. ¿Cuántos árboles hay en un campo triangular que tiene un árbol en cada vértice y 5 en cada lado? Resolución: NIVEL I Problema 1
Rpta: 12 5. Cinco bicicletas están alineadas en una playa de estacionamiento llanta contra llanta. ¿Cuántas de éstas se tocan? Resolución:
Una gota de agua más media gota de agua juntas. ¿Cuántas gotas forman? a) Dos gotas b) Una gota c) Una gota y media d) No se puede saber e) N.A.
Problema 2
Se tiene 8 loritos los cuales saben hablar y contar hasta 8, estos loritos se colocan en fila. ¿Cuál de estos loritos al voltear dirá “veo 5 loritos”?
a) El tercero b) El cuarto c) El quinto d) El sexto e) Ninguno Problema 3
d) Lunes e) Miércoles Problema 6
Un niño tarda 3 horas en ver un programa de televisión ¿Cuánto tardarán 6 niños en ver el mismo programa? a) 4 h b) 6 h c) 8 h d) 3 h e) 9 h Problema 7
Si dos es igual a uno, entonces ¿Cuánto es dos mas dos mas dos?
Siendo el lunes el mañana de ayer ¿Qué día será el pasado del mañana?
a) 1 b) 2 c) 4 d) ½ e) Ninguno
a) Lunes b) Martes c) Miércoles d) Jueves e) Viernes Problema 8
Problema 4
Como máximo ¿Cuántos domingos puede traer 8 días? a) 3 b) 4 c) 5 d) 1 e) 2 Problema 5
Siendo el sábado el pasado de pasado mañana ¿Qué día fue ayer? a) Viernes b) Jueves c) Sábado
¿Cuál es el número que viene después del que sigue al veintisiete? a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30 Problema 9
Un reloj dá 6 campanadas en 5 segundos, luego ¿en cuántos segundos dará 12 campanadas? a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
Si Julio es más alto que Pedro y Julio es más bajo que Mario ¿Quién es el más alto?
Problema 10
3m es un simbolismo que se usa en la matemática para denotar: a) Tres autos b) Tres mesas c) Tres alumnos d) Tres aulas e) Tres veces cualquier objeto m Problema 11
Si “x” es un número par ¿Cuál de las
a) Julio d) Juan Problema 15
Un ladrillo tiene 6 caras, ¿Cuántas caras tendrá el bloque tomado por cuatro ladrillos del mismo tipo pegados por uno de sus extremos? a) 11 d) 6
siguientes expresiones es un número impar? a) x(x + 3) b) x (x - 1) c) 2x + 4 d) (x + 1) (x - 1) e) 3x – 6
b) Pedro c) Mario e) Faltan datos
b) 7 c) 8 e) 12 CLAVE DE RESPUESTAS
1. B 4.E 2. D 5.B
7.D 8.D
10.E 11.D
13.B 14.C
3. A 6.D
9.C
2.D
15.D
Problema 12
Si delante de un gato hay cuatro gatos y detrás de un gato hay cuatro gatos, además hay tres gatos entre dos gatos. ¿Cuántos gatos son como mínimo? a) 13 d) 5
b) 12 e) 11
c) 8
NIVEL II Problema 1
En una reunión de chinitos cada chinito ve 24 chinitos ¿Cuántos chinitos son? a) 23 d) 22
b) 24 e) 20
c) 25
Problema 13
Si un ladrillo cuesta 4 soles, más medio ladrillo ¿Cuánto costará ladrillo y medio? a) S/ 6 d) S/ 18 Problema 14
b) S/ 12 e) S/ 10
c) S/ 8
Problema 2
En una reunión se encuentran dos padres, 2 hijos y un nieto ¿Cuántas personas como mínimo se encuentran en dicha reunión? a) 5 d) 3
b) 2 e) N.A.
c) 4
Problema 3
¿Cuál es el mínimo número de soldados que se necesita para formar 6 filas de 3 soldados cada fila? a) 18 d) 8
b) 9 e) 6
c) 7
Problema 4
Si el ayer de pasado mañana es martes ¿Qué día será el mañana de ayer de anteayer? a) Lunes d) Jueves
b) Sábado c) Miércoles e) Domingo
Problema 5
número de cigarrillo que se podrán formar si se tiene 9 colillas? a) 3 d) 8
c) 5
Problema 8
Un individuo sube hasta el quinto piso de un edificio luego baja el segundo y vuelve a subir al cuarto piso. Si entre piso y piso las escaleras tienen 15 peldaños ¿Cuántos peldaños ha subido el individuo? a) 60 d) 40
b) 90 e) 30
c) 120
Problema 9
En la figura adjunta se indica el número de intersecciones de dos y tres rectas, identifique el número máximo de intersecciones de 4 rectas.
Un granjero tenía 100 pollos; de pronto se le murieron todos menos 15 ¿Cuántos pollos le quedan? a) 15 d) 75
a) 4 d) 7
b) 4 e) 9
b) 5 e) 8
c) 6
Problema 6
b) 85 e) N.A.
c) 100
Problema 10
Una costurera tiene una tela de 18 metros. El día miércoles empiezan a cortar a razón de 2 metros por día ¿Qué día terminará de cortar toda la tela?
En el campeonato de voley, intervienen 8 equipos; todos deben jugar entre si un partido ¿Cuántos partidos deben programarse?
a) Lunes d) Jueves
a) 28 d) 16
En el fondo de un pozo de 20 metros, hay una rana. Cada hora sube 3 metros y se resbala 2 ¿Cuántas horas empleará para subir?
b) 20 e) 38
c) 30
Problema 7
Se sabe que con tres colillas se puede formar un cigarrillo ¿Cuál es el mayor
b) Martes e) Viernes
c) Miércoles
Problema 11
a) 20 h d) 17 h
b) 19 h e) 16 h
c) 18 h
Problema 12
Problema 16
Si un ladrillo cuesta 12 soles menos medio ladrillo ¿Cuánto costará ladrillo y medio?
Si “k” es un número par. ¿Cuál de las
a) S/10 d) S/4
a) 3k + 2 d) 2k - 6
b) S/12 e) S/16
c) S/8
expresiones representa un número impar? b) 7k + 4 e) 4k – 2
c) 5k + 3
Problema 13
¿Cuántos palitos de fósforo se necesitan para formar 21 cuadraditos uno a continuación de otro tal como se muestra en la figura?
Problema 17
Manolito mata 8 moscas de las 15 que están sobre una mesa ¿Cuántas moscas quedan sobre la mesa? a) 7 d) 23
a) 62 d) 48
b) 64 e) 66
b) 15 e) 17
c) 8
c) 56
Problema 14
Si “k” es un número impar. ¿Cuál de las
expresiones representa un número par? a) 3k + 6 d) 2k - 3
b) 7k - 2 e) 5k + 1
c) 4k + 7
Problema 15
Raulito en lugar de multiplicar un cierto número por 5, dividió entre 5 y obtuvo como resultado 24; ¿Cuál debió ser el verdadero resultado? a) 4,8 d) 60
b) 120 e) 400
c) 48
NIVEL III
1. En una biblioteca hay diez tomos de una colección. Un día revisándola, el dueño descubre que las polillas le han comido desde la primera página del primer tomo hasta la última del último tomo. Si cada tomo tiene cien páginas. ¿Cuántas páginas se comieron las polillas? a) 800 c) 902
b) 802 d) 1000
2. Se le presentó a Luís el director de la Academia San Agustín y le dijo: ¿Cuántos alumnos tienes? Luís le
respondió: Una mitad de ellos estudia Matemáticas, una cuarta parte Física y la séptima parte guarda silencio, y además hay tres mujeres. ¿Cuántos alumnos tenía Luís? a) 56 c) 36
b) 28 d) 14
3. Veinte personas entre hombres, mujeres y niños descubren un manzano que lo utilizan para alimentarse. Si el árbol tiene 37 manzanas y entre cada hombre se reparten 6, entre cada mujer 1 y entre cada niño media manzana. ¿Cuántos eran los hombres, las mujeres y los niños? a) 1;4 y 15 c) 2; 12 y 6
b) 4; 10 y 6 d) 4; 11 y 5
4. En este momento Juan tiene seis veces más años que su hijo Nico. Dentro de veinte años Nico tendrá la mitad de años, que su papá. ¿Cuántos años tiene Juan? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 5. Sobre la mesa moscas había, con mucho cuidado tomé un periódico y ¡zas! Si moscas no maté y moscas no volaron ¿Cuántas moscas había sobre la mesa? a) 0 c) 2
b) 1 d) 3
6. Ana, Beatriz, Carola y Doris viven en casas contiguas de tal manera que Ana vive a la izquierda de Doris, la casa de Beatriz queda junto y a la derecha de Ana y Carola vive a la
izquierda de Beatriz. ¿Quién vive junto y a la derecha de Carola? a) Ana b) Beatriz c) Carola d) Doris e) Faltan datos 7. Los resultados de cinco amigos en su examen de Matemáticas fueron: Beto obtuvo un punto más que Daniel. Daniel obtuvo un punto más que Carlos Ernesto obtuvo dos puntos menos que Daniel. Beto obtuvo un punto menos que Antonio. ¿Quién obtuvo mayor nota? a) Antonio d) Daniel
b) Beto e) Ernesto
c) Carlos
8. A un restaurante ingresaron 2 padres, 2 hijos, un abuelo y un nieto. ¿Cuántas personas como mínimo forman este grupo? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 9. Alberto es más alto que Carlos; Bruno es más bajo que David; Evaristo y David son más bajos que Carlos; luego se puede afirmar que: David no es más bajo que Evaristo Evaristo es más bajo que Alberto No es cierto que Alberto sea el más alto. Carlos no es más alto que Bruno El más bajo es Bruno 10.8 directivos están reunidos, sentado alrededor de una mesa redonda, distribuidos simétricamente. A está frente a F y junto a D; C está frente a D y junto a E, B está frente a E y
junto a H. ¿Entre quiénes está sentado G?
Para
a) A y E d) E y F
Jugando con cerillos:
b) D y H e) D y H
c) C y H
11.Ricardo, César, Percy y Manuel, tienen diferentes ocupaciones. Sabemos que: Ricardo y el carpintero están enojados con Manuel. César es amigo del electricista El comerciante es familia de Manuel El sastre es muy amigo de Percy y del electricista Ricardo desde muy joven se dedica a vender abarrotes ¿Quién es el sastre? a) b) c) d)
participar en los recreativos de matemática.
juegos
1. Mover 4 palitos de fósforo para que quede exactamente 4 cuadrados del mismo tamaño.
Resolución: Sacamos los cuatro del centro y lo ponemos al extremo izquierdo formando un nuevo cuadrado.
Manuel César Percy Ricardo 2. Mover un palito de fósforo en la figura, para que la igualdad sea verdadera.
Resolución:
MATEMÁTICA RECREATIVA Desarrollar la habilidad visual para
percibir relaciones, entre figuras.
Se mueve el palito de fósforo de
la cruz y lo ponemos al costado del otro y lo ponemos al costado
del otro y obtenemos la igualdad que observamos. 3. Colocar las dos monedas de tal manera que forme 2 conjuntos de 1 y 2 elementos. S/
Resolución:
S/
Resolución:
4. Colocar 4 monedas de tal manera que se formen 6 filas de 2 maneras cada fila S/
S/
S/
S/
6. Tachando tres cifras. Hacer la suma de 20. 11 33 99 Resolución:
Resolución: 1
2
Este problema se resuelve de la siguiente forma:
3 4
5
5. Colocar los números del 1 al 9 en cada círculo de la figura, de tal manera que la suma horizontal y vertical de 27.
11 + 33 + 99 = 20 7. Se podrá formar la siguiente figura sin levantar el lapicero y sin regresar por el mismo sitio. Resolución: Si se puede formar, hagamos mediante un recorrido sagital: 8. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura?
Resolución: Cualquiera 4, pero hay que tener en cuenta el cuadrado formado por los 4 cuadraditos es decir en total hay 5. 9. ¿Qué figura no se relaciona con las demás?
A
B
C
D
12.En la figura mostrada que sigue. Una figura no guarda relación con los demás ¿Cuál es?
E
Resolución: Todos terminan o tiene una punta menos la alternativa: Rpta: D
10.Hallar la cantidad de segmentos: Ejercicios: Resolución: Cualquiera diría 3. segmentos como son:
Existe
6
AB; BC ; CD; AC ; BD; AD
11. Reglita “Lili” está hinchada ¿comió demasiado? ¿verdad? Aunque ella insista que no
1. Todos los alumnos de primer grado de secundaria juegan fútbol. Esteban juega fútbol. Luego: a) Esteban es alumno de primer grado b) Esteban será alumno de primer grado c) Esteban es buen alumno de primer grado d) Esteban fue alumno de primer grado e) Ninguna de las anteriores es lógica
2. Un ladrillo tiene 6 caras. ¿Cuántas caras tendrá el bloque formado por 5 ladrillos del mismo tipo pegados por uno de sus extremos? a) 11
b) 13 c) 6
d) 8 e) 15
3. Si un cubo de arista se pinta por todas sus caras y luego se le corta en cubos de 1 cm de arista ¿Cuántas caras tendrían pintadas cada uno de ellos? a) 5
b) 4 c) 2
d) 3 e) 6
4. Si Jorge es mayor que Manuel, Esteban es menor que Manuel y mayor que César. ¿Quién de ellos es el mayor de todos? a) Jorge b) Esteban c) Manuel d) César e) N.A. 5. “No es verdad que no sea arquitecto” decía el papá de Miguel: ¿Qué trataba de decir? a) Quiso decir que él es arquitecto b) Quiso decir que él no es arquitecto c) Quiso decir que podría ser arquitecto d) Quiso decir que no le agrada la arquitectura e) Quiso decir que nunca fue arquitecto 6. 4 estudiantes comen 4 melones en 4 minutos ¿Cuánto tiempo empleará un estudiante en comer 3 melones? a) 10 minutos b) 3 minutos c) 12 minutos
d) 9 minutos e) 6 minutos 7. Si todos los hombres fuman, algunas mujeres fuman, entonces: a) Algunos hombres fuman b) Algunos hombres no fuman c) Algunas mujeres duermen de día d) Algunas mujeres estornudan de noche e) Algunas mujeres no fuman 8. Si el triple de la tercera parte de la mitad de un número es 100 entonces ¿cuales de las siguientes afirmaciones son correctas? I. El número citado es 200 II. El doble de la mitad del número citado es 400 III.El doble de la cuarta parte del número citado es 100 a) Sólo I d) I y II
b) Sólo II e) I y III
c) Sólo III
IV. CONTENIDOS BÁSICOS
CONTEO DE FIGURAS
Consiste en contar en una figura la máxima cantidad de otras Figuras de
una forma dada (Triángulos cuadriláteros, segmentos, ángulos, etc.)
¿Cuántos triángulos siguiente figura?
hay en la
V. OBSERVA: ¿CÓMO SE RESUELVE?
I. CÁLCULO DEL NÚMERO DE SEGMENTOS ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?
De (1) : 1; 2; 3 = 3 De (2) : (12); (23) = 2 De (3) : (123) Total
Resolución: Para mayor facilidad es recomendable asignarle 1 cifra a cada espacio, luego empezar a contar los triángulos de la siguiente manera: s de 1 cifra
= 1 = 6 segmentos
FORMULA:
: 1; 2; 3; 4
= 4
s de 2 cifras : (14); (23);(43)= 3 s de 4 cifras : (1234) = 1 Total = 8 triángulos
# Segmentos = n(n+1) 2
n = # espacios
segmentos = 3(3+1) = 3.4 2
=6
2
MÉTODO PRÁCTICO: 1 + 2 + 3 = Rpta .
II.
6
CÁLCULO DEL NÚMERO DE TRIANGULOS
CASOS ESPECIALES EN TRIÁNGULOS El total de triángulos que se obtiene cuando desde un vértice de un triángulo se trazan varias líneas hacia el lado opuesto, se obtiene aplicando la siguiente fórmula:
# total de triángulos = n(n+1) 2
(Fórmula)
Para este tipo de ejercicio puedes aplicar la siguiente formula: “
h”
¿Cuántos cuadriláteros puedes contar en la siguiente figura?
líneas horizontales y oblicuas
Total de triángulos= (1+2 + 3 + ... + n).h
s de 1 cifra : 2; 3 = 2 s de 2 cifras : (12); (23) = 2 s de 3 cifras : (123) = 1 Total
# total de triángulos = n(n+1) . h 2
= 5
cuadrados
CASOS ESPECIALES EN CUADRILÁTEROS I. CASO:
III. CÁLCULO DEL NÚMERO DE CUADRILÁTEROS RECUERDA: Un cuadrilátero se puede representar en cualquiera de las siguientes formas:
Total de cuadriláteros = 1 + 2 + 3 + .. + n
# de cuadriláteros = n(n+1)
Ejemplo: Contar el total de cuadriláteros en la siguiente figura:
Ejemplo: ¿cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura:
S
1
S
1
# Total de cuadrilateros=1+2+3+4+5= 15
(Met. Prác.) # Total de cuadriláteros = (Fórmula)
5.6 = 30 = 15 2 2
1
2
2.3
3
3
S
2
S
2
2
1
2
5.6
3 4
5
15
15
2
total de
Luego: #cuadrilateros= 3.15 = 45 Rpta.
ACTIVIDAD Nº01 II. Caso:
Ejercicio 1: Cuántos segmentos como máximo se podrán contar en las siguiente figura?
S1=1+2+3+...+m S1 =
m (m+1) 2
Luego:
S2= 1+2+3+…+n S2 =
n (n+1) 2
Total de = S 1. S 2 Cuadriláteros
Rpta. Ejercicio 2: Indicar cuantos triángulos tiene la figura.
Rpta. Ejercicio 3: ¿cuántos cuadriláteros existen como máximo en la siguiente figura?
Rpta.
Recuerda siempre las fórmulas Rpta.
Ejercicio 4: ¿Cuántos segmentos hay en la figura?
Rpta. Ejercicio 5: ¿Cuántos triángulos hay
¿Cuántos segmentos hay en cada una de las siguientes figuras? 1.
en la figura? a) 40 b) 45 c) 50
d) 55 e) N.A.
5. a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22
2. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) N.A.
6. a) 50 b) 51 c) 52
3. a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22
d) 53 e) 54
4. a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22
¿Cuántos triangulos hay en cada una de las siguientes figuras? 1.
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 22
c) 16 d) 17 e) 18 7. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
2. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
8. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
3. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
9. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
4. a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18
5. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 6. a) 14 b) 15
¿Cuántos cuadriláteros hay en cada una de las siguientes figuras? 1. a) 2 b) 3
c) 4 d) 5 e) 6
b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
2. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
8. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
3. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 4. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 5.
6.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. a) 3 b) 4 c) 5 d) 7 e) 8
7. a) 4
9. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
Aplique la fórmula matemática)
(Inducción
b) 16 c) 18 d) 20 e) 22
1. Halle el número total de cuadriláteros a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 2. Halle el número total de cuadriláteros a) 44 b) 48 c) 52 d) 58 e) 60 3. Halle el número total de triángulos a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
4. Halle el número total de triángulos a) 14
5. Halle el número total de triángulos a) 44 b) 48 c) 55 d) 60 e) 63
6. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
Aplique la fórmula matemática)
(Inducción
1. Halle el número total de ángulos
b) 168 c) 142 d) 242 e) N.A.
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 2. Halle el número total de cuadriláteros a) 184 b) 194 c) 198 d) 200 e) 210 3. Halle el número total de cuadriláteros a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22
4. Halle el número total de cuadriláteros a) 164
5. Halle el número total de triángulos a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32
6. Halle el número total de cuadriláteros a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
a) 40 b) 50 c) 60 d) 30
1. ¿Cuántos segmentos hay en la figura? a) 18 b) 21 c) 12 d) 09
e) N.a.
e) 20
6. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? a) 11 b) 13 c) 15 d) 16
2. Calcular la cantidad de segmentos que se puede ubicar en la siguiente figura: a) 34 b) 32 c) 30 d) 28
e) 26
3. ¿Cuántos Triángulos hay en la siguiente figura? a) 11 b) 15 c) 13 d) 14
e) 12
4. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11
e) 12
e) 14
7. Por cada triángulo diferente que encuentres recibirás S/.5.00 ¿Cuál es el máximo de soles que puedes recibir? a) S/.55 b) S/.50 c) S/.60 d) S/.65
e) S/.45
8. Por cada cuadrilátero diferente que encuentres recibirás s/.3.00 ¿Cuál es el máximo de soles qué puedes recibir? a) S/.48 b) S/.42 c) S/.51 d) S/.45
e) S/.60
5. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?
9. ¿Cuántos triángulos que no contengan asterisco se pueden contar en la figura? a) 12 b) 11 c) 14 d) 13
e) 10
10.¿Cuántos triángulos presentan en su interior al asterisco (*)? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6
e) 7
Debemos hacer toda nuestra tarea.
a) 9
b) 11
c) 12
d) 10
3. En la figura: Hallar el número total de segmentos:
a) 32
b) 33
c) 34
d) 35
AUTOEVALUACIÓN Nº 01 1. Calcular el total de cuadriláteros en
a) b) c) d)
la siguiente figura:
a) 9
b) 10
4. ¿Cuántos segmentos hay en la figura?
c) 11
d) 12
2. En la figura: Hallar el número total de triángulos.
6 12 21 40
5. Halla el número total de segmentos en la figura: a) 24 b) 30 c) 31 d) 35 6. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? a) 5 b) 6 c) 8
d) 11
7. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura? a) b) c) d)
8 9 15 18
8. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura? a) 5 b) 7 c) 8 d) 11
9. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? a) b) c) d)
40 50 81 10
10.Calcular el total de triángulos en la siguiente figura: a) b) c) d) e)
15 18 21 24 30
b) c) d) e)
17 18 19 20
4. Calcular el total de segmentos: a) b) c) d) e)
AUTOEVALUACIÓN Nº 02
5. Calcular el total de segmentos:
1. Calcular el total de segmentos: a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
6 7 8 9 10
2. Calcular el segmentos: a) 16 b) 18
número
total
de
c) 21 d) 24 e) 25 3. Calcular el segmentos: a) 16
número
total
18 19 20 21 22
de
24 26 28 29 30
6. Calcular el total de triángulos: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 7. Calcular el total de triángulos: a) 28 b) 30 c) 32
d) 36 e) 38 8. Calcular el número cuadriláteros: a) 18 b) c) d) e)
total
de
20 22 26 30
total
c) 8 d) 5 e) 7 13.Calcular el total de cuadriláteros: a) 11 b) 12
9. Calcular el total de cuadriláteros: a) 212 b) c) d) e)
d) 63 e) 64 12.Calcular el número cuadriláteros: a) 6 b) 4
214 216 218 220
c) 13 d) 14 e) 15 14.Calcular el total de triángulos:
10.Calcular el número de triángulos: a) 14 b) 16 c) 15 d) 10 e) 21 11.Calcular el triángulos: a) 42 b) 41 c) 62
número
total
a) b) c) d) e)
de
17 18 19 20 21
15.Calcular el total de cuadriláteros: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
de
16.Calcular el total de cuadriláteros: a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 17.Calcular el total de triángulos: a) 14 b) 16 c) 17 d) 18 e) 15 18.Calcular el total de triángulos: a) 5 b) c) d) e)
6 7 8 9
19.Calcular el total de triángulos: a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 9
20.Calcular el total de triángulos: a) 10 b) 11 c) 12 d) 14 e) 15 21.Calcular el total de cuadriláteros: a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) 40 22.Calcular el total de ángulos: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 23.Calcular el total de triángulos: a) 6 b) 5 c) 8 d) 9 e) 7
24.Calcular el número cuadriláteros: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
total
de
e) 8 25.Calcular el número cuadriláteros: a) 28 b) 29 c) 30
número
total
de
e) 7 total
d) 31 e) 32 26.Calcular el total de triángulos: a) 5 b) c) d) e)
28.Calcular el octágonos: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6
6 7 8 9
27.Calcular el total de cuadriláteros: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
de
29.Calcular el total de cuadriláteros: a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34 30.Calcular el triángulos: a) 3 b) c) d) e)
número
total
4 5 6 7
31.Calcular el total de cuadriláteros: a) 37 b) 36 c) 33 d) 34 e) 33
de
32.Calcular el número cuadriláteros: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10
total
de
c) 86 d) 88 e) 90
e) 11 36.Calcular el total de triángulos: a) 80 b) 82 c) 86 d) 88 e) 90
33.Calcular el total de cuadriláteros: a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32
34.Calcular el triángulos: a) 60 b) 61 c) 62 d) 63 e) 64
número
total
de
CONTENIDOS BÁSICOS 35.Calcular el triángulos: a) 82 b) 84
número
total
de
OPERADORES MATEMÁTICOS EN N
El operador es un símbolo que está sujeto a ciertas reglas o leyes de formación que a su vez determinan una o varias operaciones matemáticas. Con los operadores matemáticos se trata de buscar la relación con los símbolos que
operador lambda
O operador circunferencia
operador sigma
operador cuadrado
se utilizan, sean estos numéricos o literales. Los principales operadores matemáticos son:
operador betha
Operador + x ÷
Operación
adición sustracción multiplicación división radicación
@ operador arroba
operador rectángulo
* operador asterisco operador grilla
operador paralelogramo operador nabla
operador fhi
operador círculo
operador diamante
Nota importante: Toda operación matemática tiene asociado un símbolo que lo representa y que percibe el nombre de OPERADOR MATEMÁTICO.
Estructura Adición 5+7
Multiplicación 2 x 4 ; etc
operador
operador
operador omega
m @ n = 5m – 2m Ley de formación operador
OBSERVA: ¿CÓMO SE RESUELVE?
Operaciones con regla de definición universal: Son aquellas operaciones matemáticas que ya tienen en regla de definición establecida que tienen un respectivo operador matemático. Otros operadores matemáticos % operador porcentual
operador alfa
operador triangular
operador theta
$ operador dólar
operador integral
CASO I: Ejercicios Simples Dada la regla de operación nos piden calcular el resultado de aplicar dicha regla a una o más cantidades numéricas: Ejm 1: Si: a b = 3a – 2b Hallar: 5 2 Solución: No olvides que: a =5 ; b= 2
a 5 5 5
b 2 2 2
= 3a – 2b = 3(1) – 2(2) = 15 – 4 = 11
Ejm 2: Si: m * n = 2m x 3n Hallar: 1 * 2 Solución: No olvides que:
OPERADOR
MATEMÁTICO :
Símbolo que al asociarse a una o más cantidades determina una operación matemática que obedece a una regla de formación.
OPERADORES CONVENCIONALES + X
m=1;n=2 m * n = 2m x 3n 1 * 2 = 2(1) x 3(2) 1 * 2 = 2 x 6 1 * 2 = 12
Adición Sustracción Multiplicación División Potenciación
( )n
Radicación
n
Ejm 3: Si: m % n % p = 3 m : n + p Hallar: 4 % 6 % 2 Solución: No olvides que:
OPERADORES NO CONVENCIONALES
m=4;n=6;p=2 m % n % p = 3m : n + p 4 % 6 % 2 = 3(4): 6 + 2 4 % 6 % 2 = 12: 6 + 2 4 %6%2= 2+2 4 %6%2= 4
V. CONTENIDOS BÁSICOS
OPERADORES MATEMÁTICOS EN “N”
*
# %
Operador Asterisco Operador triángulo Operador Rectángulo Operador Cuadrado Operador Grilla Operador Porcentaje Operador Corazón Operador Carita
felizPara un mejor estudio vamos a
agrupar en: simples, compuestos y con condiciones. VI. OBSERVA: ¿CÓMO SE RESUELVE? CASO I: EJERCICIOS SIMPLES Dada la regla de operación nos piden calcular el resultado de aplicar dicha regla a una o más cantidades numéricas. EJEMPLO 1 Si mn m n
2
Hallar: 11
14
2
16
x 3
14 Ejemplo 5 Si A
3
*
B
2
2A
m
n
B
2.5
125 * 16
5A
2
4
3
4B
2
5 9 14 Rpta.
2
2
Hallar :
Calcular 5353
4 Rpta.
2.25 2 50 2 48 Rpta.
EJEMPLO 2 Si
a
b
a
2
2ab
b
2
Hallar: 2* 3 22 2.2.3 32 a b 4 12 9 25 Rpta .
Ejemplo 3
YO LO PUEDO HACER
Ejercicio 1 Si A * B
3 A
2
2
AB
5
Calcular 2*8 =
si x 4 x 3
Calcular 7
4.7
3
31 Rpta.
Rpta.
X
Ejemplo 4 Si x 3
Ejercicio 2 si: x2
A 2 B 1 B 2 A
;Calcular :
Ejercicio 6 Sí 2a # 3b =a2 + b3 Hallar: 4 # 15 Rpta. Ejercicio3: Sabiendo que: a2 * b2 = 3a+2b Calcular: 9 * 25
Rpta.:
Rpta. Ejercicio 4 Se define la operación: Así : a
a
b
b
a
2
b
Ejercicio 1: Si: m * n = 3m + n Calcular: 8*7=?
2
Hallar: 27 256
a) 30 e)34 Rpta. Ejercicio 5 Si
a *b
Hallar:
ab
b)31
c)32
Ejercicio 2 Sí
a b
d) 3
2a b c 2
1 1 * 1 3
Calcular:
a) 2 Rpta.:
b) 4
c) 5
d) 6
e) 8
Ejercicio 7 Sí
5 x 1 3
Ejercicio 3 Sí : a # b
Calcular:
a 2b a b
Calcular: 6#4=? a) 5 b) 6
a) 2 c) 7
d) 9 e)7
Ejercicio 8 P
2
Q
Sí
2
c) 8
d) 10
Ejercicio 5 Sí ab (a b)
32 ?
a) 3 e) 7
b) 4
Ejercicio 6 Sabiendo que: a3 b4 = 5a +6b Calcular 8 16= ? a) 12 b) 22 d) 26 e)14
e)40
a) 27 e)31
b) 26
c) 24
d) 29
c) 1
d) 12
Ejercicio 9
b
Sí
Hallar el valor de: R
5 x 1
Calcular
Calcular 2 (4 2) = ? b) 5
x 3 2
PQ
a) 3
c) 8
d) 8
e) 9 Ejercicio 4 Sí P Q =
b) 6
c) 5
d) 6
2 x% y
x
2
y
3
Calcular: 6%2=? a) 2 b) 17 e)9 Ejercicio 10 Sí : 2 x 1
x
2
x2
Calcular: a) 6 b) 8 c) 32
c) 9
d) 10
e)12
OBSERVA: ¿CÓMO SE RESUELVE? CASO II
EL Profesor es nuestro amigo.
EJERCICIOS COMPUESTOS En una operación, el operador se repite dos o más veces. 1. En primer lugar se deben desarrollar las operaciones que están entre paréntesis. 2. Si hay varias operaciones ubicadas entre varios signos de agrupación (llaves, corchetes, paréntesis, etc.) se debe empezar por la operación que está más al interior. Ejercicio 1 Si a * b = 3a + 2b Hallar el valor de: E ( 2 * 3) * 5
RESOLUCIÓN: 2 * 3 = 3 . 2 + 2 . 3 = 6 + 6 = 12
a b Luego: E 12 * 5 3.12 2.5
a
36
10
b
Rpta.
46
Ejercicio 2 Si = 2a – 1 Hallar: RESOLUCIÓN
Ejercicio 1 Si a * c = 3a2 + 2c3 Calcular el valor de: (2 * 1) * (1 * 0)
2.2 1
2.3 1
3
Rpta.
5
9 Rpta. 2.5 1
EJERCICIO 3 Sí : a % b a ab 2
a b a 2b
Ejercicio 2 Siendo que:
=2a+5
Hallar el valor de:
Hallar el valor de: R ( 2 % 4)
% (3 2)
Rpta.
RESOLUCIÓN 2
3 2 3 3.2 9 6 3 2 % 4 2 2.4 2 8 10
Los valores hallados lo reemplazamos en la expresión R. R (2 % 4) % (3 2) 10 % 3 10 10.3 a b 10 30 40 Rpta
Ejercicio 3 Si
=5 x + 1
Hallar el valor de:
Rpta.
ME DIVIERTO PRACTICANDO
Ejercicio 4 Si se sabe que:
Ejercicio n° 01 Sí a # b = a 2 – b
m n 2m 3n
Hallar: (1 2) (3 1)
Calcular: (3 # 2) +(2#1) a)5 b)7 c)9
Rpta.
d)8
e)10
Ejercicio nº 02 Si E % F = 2E + F y E*F =3E-F
Ejercicio nº5 Si
Calcular: (6 % 4) – (4 * 2) a)4 b)6 c)8
=2x2
=x+2 ¿A qué es igual?
Rpta.
d)9
e)11
Ejercicio nº 03 Si A * B = 5A + 2B Hallar (5 * 2 ) * (3 * 3) a)129 b)128 c)221
d)121 e)187
Ejercicio nº 04 Sí P q = p + 2 q Hallar: (8 2) (3 a)4 b)6 c)8
3) d)2
e)1
Ejercicio nº 05 Sí m n = 5 m – n a % b = 3a – b
Ejercicio nº 08 Sabiendo que: b a b mn m n m 1
Calcular: (2 % 3) % (1
4)
a)6
c)8
b)7
m
2
d)9
e)12
3
b)39
Hallar
8 25 a)270
3
b)285
c)350
d)290
e)360
5m 4
Ejercicio nº 09 Si = 4 x - 5;
Calcular a)36 e)64
2
P Q ( P 2)(q 3)
Ejercicio nº 06 Sabiendo que: =
2
a
=x+1
Calcular el valor de: c)42
d)53 a)12 e)21
b)14
c)15
d)18
Ejercicio nº07 Ejercicio nº 10
Si = 4 y – 1 Calcular el valor de: a)42 b)43 d)47 e)36
Sí
x 2
x
c)41 a)1 e)5
b)2
c)3
d)4
OBSERVA: ¿CÓMO SE RESUELVE? CASO III
EJERCICIO CON CONDICIONES
Ejercicio 2 Dada la tabla:
En este tipo de ejercicios la operación tiene 2 o más “Regla de Operaciones” a
elegir según algunas condiciones que deben reunir las variables. Ejercicio nº01 Es un operador rectángulo de modo que: 7 X 25
;
Calcular: (3*2)*4 RESOLUCIÓN De
la
tabla
obtenemos
3* 2* 4
si X 4
4*4
25 7 X
;
7
si X 4
Calcular el valor de: P=
Resolución Examinamos la expresión pedida: Al calcular
empleamos la segunda
regla de formación ya que
2 < 4.
5
Al calcular empleamos la primera regla de formación, ya que 5 > 4. Luego:
YO LO PUEDO HACER
= 25 – 7.2 = 11 = 7.5 - 25 =10 Entonces: P
11 10
21
7.21 25
Ejercicio nº01
147
Sí
.25
P 122 Rpta .
a
* b 2 a b ; si : a b
a*b
3 a b ; si : a b
Rpta.
Calcular: (3*1)*(2*3)
Ejercicio nº04 Se sabe que: X y = (x + 1) (y - 1) ; si x > y X y = 10 – xy ; si x < y Hallar: (4
2)
(2
3)
Rpta. Ejercicio nº02: Se define a%b a%b
a b
2 a b
2
Rpta. Ejercicio nº 5 Si :
; si a b ; si a b
Hallar:
7 x 25 ;
si x 4
25 7 x ;
si x
4
Calcular el valor de:
(5 % 7) % (15 % 3)
Rpta. Rpta.
ME DIVIERTO PRACTICANDO
Ejercicio nº 03 Dada la tabla: Calcular: P
(3* 3) * (2 * 3) 2 *1
Ejercicio nº01 X *Y X Y ; Si X Y X *Y X Y ; Si X Y
Rpta.
Hallar:
(2 * 7) * (13 * 4) a)18 b)12 c)5
d)3
e)0
M = (4 6) (7 3) a)5/2 b)7/2 e)5
c)3/2
d)3
Ejercicio nº02 a b . a ; si b a . b ; si
Ejercicio nº 06 si:
ab a
b
a%b
Indicar el resultado de:
a b ; a b 2 a b ;
si
a
b
si
a
b
Calcular a)35
b)39
c)34
d)18
e)20
R = (5 % 3) % (4 % 4) a)2 b)4 c)5 d)7 e)8
Ejercicio nº03 Sí :
mn
2m n si m# n m 2n; si m n
Hallar el valor de: R = (3 * 1) * 5 a)10 b)15 c)20 e)30 Ejercicio nº 04
d)25 Ejercicio nº7 Dado la tabla:
a b Si: a #b 3 : Si a b par a b : Si a b impar
Calcular: R
Hallar el resultado de: L = (5 # 1) . (7 # 4) a)4
b)5
c(6
d)8
Ejercicio nº 05 a b ; si a b 2 b a b ; si a b 2
Si: a ♥
Hallar el valor de: ♥
♥
♥
e)12
a)a d)d
a#c#b#d
b)b
c)c
e)N.a.
Ejercicio nº 08 Dado la tabla: Calcular
T 12 24
a)1 e)N.a
b)2
c)3
d)4
a*b=
Hallar: 4 * 2
m n ; m n m# n n 2m ; m n Sí: 2
2. Si:
Calcular A = (3 # 2) # (2 # 3) b)15
2
2b
ab
a) 3 d) 4
Ejercicio nº09
a)18
a
c)19
d)21 e)24
b) 2 e) 6
c) 5
x
= x2 + 2
m
= 2m - 2
Calcular: Ejercicio nº10 Sí: a b 3a b b a
;
a b
;
si
a
E= 2
b)6 e)12
- 5
a) 6 d) 8
b) 10
c) 7
c)8 3. Si m * n = (m + n) (m 2 – mn + n2) Calcular: 2 * 1 Si a * c = 3a 2 + 2c3 a) 6 d) 3
4. Si:
b) 5 e) 9
y
= 3x – 8
X
= 2x
Calcular: E =
AUTOEVALUACIÓN Nº 02 1. Se define:
4
b
Calcular el valor de: E= (2*3)*(1*2) a) 4 d)9
6
a) 18 d) 15
c) 8
5 b) 22
5. Calcular: (2 * 1) * (1 * 0)
c) 25
a) 542 d) 480
b) 510 e) 417
c) 642
9. Dada la siguiente tabla: Hallar (2 * 3) * (3 * 3) * 1 2 3
6. Sabiendo que: x = 2x + 7 Calcular:
b) 25 e) 47 x
Calcular:
2 2 3 1
= 7x – 25 x
c) 37
si x 4
a) 1 d) 0
b) 2 e) 4
2
x = 2x + 7
= 25 – 7x si x < 4
a) 114 d) 101
+
1
5
b) 108 e) 122
c) 96
c) 3
10.Sabiendo que:
Calcular: P=
3 3 1 2
1
a) 57 d) 55 7. Si:
1 1 2 3
a) 57 d) 55
b) 25 e) 47
c) 37
PRÁCTICA Nº 01 OPERADORES MATEMÁTICOS 8.
a *b
a b a b
Si a b Si a = b
Calcular: M = (5 * 3) * (2 * 2) a) 3 d) 7
b) 4
c) 5
1. Si a) b) c) d) e)
a = 5a + 1; hallar 104 105 106 107 108
4
2. Si x = 2x – 1; hallar:
2
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 9 3. Si a) b) c) d) e)
a = 5a + 3; hallar: 3 - 2 1 2 3 4 5
4. Si: a * b = a) b) c) d) e) 5. Si: a) b) c) d) e) 6. Si a) b) c) d) e)
a b 2
; hallar (4 * 8)*2
1 2 3 4 5
9. Si: p q = (p + q) (p - q) Hallar: 8 5 a) b) c) d) e)
39 40 41 42 43
10. Si a b = 3a3 + 2b3. Hallar: 4 2
x = 2x – 4; hallar 3 0 1 2 3 4 x = 2x – 1; hallar: 10 - 8 3 4 5 6 7
7. Si: a b = 6a + 3b. Hallar: 2 5 a) b) c) d) e)
a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22
15 18 21 24 27
a) b) c) d) e)
156 144 166 170 176 PRÁCTICA Nº 02
1. Si: a * b = 2a2 + 3b4. Hallar 2 * 1 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 2. Si: x y = 2x – 2y. Hallar 4 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. Si: m n = m2 + mn + n2 Hallar: 4 5
8. Si: a b =
a2 – b2.
Hallar: 5 3.
3
a) b) c) d) e)
61 62 63 64 65
4. Si: a a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Hallar: (5 3)3
b = 2a – 3b. Hallar 10 5
5a3 –
b
10. Si: a b = x2 + xy – y Hallar: 4 3 a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 PRÁCTICA Nº 03 1. Si: a b = 2a - b. Hallar (5 3) (8 3)
Hallar: 8 3 105 107 109 111 115
8. Si: m n =
a
Hallar: 6 * 2 a) 32 b) 33 c) 34 d) 35 e) 36
10. Hallar 2
7. Si: m n = m2 + 2mn – n a) b) c) d) e)
61 62 63 64 65
9. Si: a * b = a2 -
5. Si: m @ n = 8m – 5n. Hallar: 6 @ 3 a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34
6. Si: a = a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30
a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
1 2 3 4 5 3a 2b 3; si a b a b 2; si a b
2. Si: a b
Hallar: 5 3
a
2
b
2
a) 18 b) 19 c) 20
d) 21 e) 22 3. Si: p
e) 396 3 p 2q 1; si p q
q
Hallar: (3 a) 111 b) 112 c) 113 d) 114 e) 115
2 2 p q 15; si p q
4)
(2
1)
x y x y , si : x y 2 7. Si se cumple: x y x y , si : x y 2
Hallar: (5 3) (4 6) a) b) c) d) e)
a * b ab 1; si a b a * b a b 1; si a b
4. Si se cumple:
Hallar: (5 * 3) * (4 * 5) a) 128 b) 129 c) 130 d) 131 e) 132
1 2 3 4 5
8. Si: m + 1 = 3m – 2. Calcular: 3 + 5 a) 35 b) 36 c) 37 d) 38 e) 39
5. Hallar: 3 + 5 - 2 + 6 Si se cumple que: a 2a.....( si " a" es par ) a 6a.....( si " a" es impar )
a) 52 d) 55 6. Hallar: 6% (2
b) 53 e) 56 3 1)
Si se cumple que: a%b 2a 2 3b ab ab 6a 3b ab a b 4ab 6a 6b
a) b) c) d)
392 393 394 395
c) 54 1. Si: a b = a + ab + b – ba Hallar: 100 200 a) 400 d) 100
b) 500 e) 300
c) 200
2. Si: a b = a2 + b2 + 1. Hallar 5 3 a) 22 d) 30
b) 25 e) 35
c) 28
3. Si: x y = x . y; hallar (3 2) 1 a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
10.Si: m n = m : n, hallar: 24 6
c) 6
a) 2 d) 8
4. Si: f(x) = x 2 + 3, hallar: f(4) a) 15 d) 20
b) 17 e) 25
c) 19
11.Si:
5. Se define la operación (*) como: a * b = a b , hallar 5 * 3 2
b) 4 e) 10 x = x + 2; x = x – 3
Hallar:
a) 20 d) 43
b) 40 e) 48
a) 1 d) 4 12.Si: a b =
a) 1 d) 4
7. Si: a b = + 1. Calcular: W = 7 (6 (5 (4 (3 (2 1))))) a) 41 d) 50
b) 45 e) 60
c) 43
9. Si: x + 1 a) 16 d) 81
b
2
ab
b) 2 e) 0
c) 3
b) 10 e) 13
c) 11
14.Si: x = 2x; y = 3y – 5; z = z – 2
3
+ b) 90 e) 60
=
2
Calcular: K = (3*2) % (4*3)
= 3m
a) 70 d) 110
a
c) 3
13.Sabiendo que: a * b = 4a – 5b a % b = 7a – 3b
a) 9 d) 12
Calcular:
b) 2 e) 5
Hallar: (5 3 ) 2
c) 42
a2 – a
m
6
2
6. Si: a % b = 2b + a m n = 2 (m - n) – 4 Calcular: A = 3 % (4 % 5) 2
8. Si:
c) 6
x2 –
1 c) 100
1. Hallar E = 3
b) 25 e) 99
Hallar:
c) 27
a) 6 d) 9
3 - 4
+
b) 7 e) 10
3
15.Sabiendo que: a * b = 2a – b a b = 7b – a Calcular:
3 c) 8
w = (6 * 2) + (3 4) a) 25 d) 40
b) 30 e) 45
Hallar el valor de: 6 (2 3 1) c) 35
16.Si: a * b = ab 2; si a b a * b = (ab)2; si a < b Calcular: (4 * 1) * 6 a) 576 d) 324
b) 676 e) 256
b) 2 e) 5
18.Si: x y = x*y=
x x
2
2
y y
21.Se define: x y = x a) 5 d) 2
19.Si x
2 y
x
b) 6 e) 3
c) 8
22.Se define: 2m n; (m n) m n; (m n)
m n =
c) 3
Calcular: k = (2 1) (1 2) a) 3 d) 6
2
b) 4 e) 7
c) 5
23.Se define: p q = p2 – 3p + 4 Calcular: A = (1 2) + (3 5) + (2 8)
2
b) 10 e) 13
y
c) 108
Calcular: (1 2) + (2 1)
c) 400
Realizar: (3 4) (20 * 16) a) 9 d) 12
b) 101 e) 120 x
17.Si: x y = x y ¿A qué es igual (9 16) 11? a) 1 d) 4
a) 100 d) 115
a) 5 d) 8
c) 11
b) 6 e) 9
c) 7
PROBLEMAS CON 04
= 2x, hallar el valor de:
OPERACIONES
2 a) 4 d) 32
Para resolver un problema sobre 4 operaciones se recomienda:
b) 8 e) 64
20.Sabiendo que: a b = 2a2 – 3b + ab a b = 6a + 3b – ab a b = 4ab – 6a + 6b
c) 16
Leer detenidamente el enunciado del problema cuantas veces sea necesario hasta comprenderlo. Fijar con precisión lo que se pide obtener.
Proceder a la resolución de las operaciones correspondientes hasta llegar al resultado.
OBSERVA: ¿CÓMO SE RESUELVE? 1. Zoila compró una falda en 45 soles y pagó 6 soles más por una blusa ¿Cuánto hubiese pagado en total por dos faldas y 2 blusas? Resolución: - Precio de la falda S/45. - Precio de la blusa: 45 + 6 = S/51 - Luego 2 faldas costarán 2x45 = 90 2 blusas costarán 2x51 = 102 - Hubiera pagado 90 + 102 = S/192
- Si cada caja contiene 16 huevos, en 4590 cajas hay: 4590 x 16 = 73 440 huevos. 4. Con 230 soles que gané, compré 6 pinceles a igual precio cada uno sobrándome 140 soles ¿Cuánto costó cada pincel? Resolución: - Si me sobró 140 soles, entonces los pinceles los compré en 230 – 140 = S/90. - Por lo tanto, cada pincel costo: 90 6 = 15 soles.
Vamos! Tenemos que terminar la
2. ¿A cómo hay que vender lo que costó 1260 soles, si la utilidad debe representar la tercera del precio de costo?
tarea
Resolución: - Precio de costo S/1260 - Ganancia: 1260 3 = 420 Luego
Precio de venta = precio de costo + ganancia Precio de venta = 1260 + 420 = 1 680 soles
3. Un camión transporta huevos en 85 cajones, en cada uno de los cuales hay 54 cajas que contienen 16 huevos cada una. ¿Cuántos huevos transporta en total? Resolución: - Si en cada cajón hay 54 cajas, en 85 cajones hay: 54 x 85 = 4590 cajas.
ME DIVIERTO PRACTICANDO
1. El peso de tres automóviles son: el primero 1850 kg; el segundo 680 kg menos que el primero; y el tercero tanto como los dos anteriores juntos,
menos 1 000 kg. Por tanto el peso total es de: a) 5080 kg b) 5060 kg c) 5050 kg d) 5040 kg 2. Una persona se traslada de una ciudad a otra en 4 carros diferentes. En el 1ro. Recorrió 21 km, en el 2do, 4 km más que el anterior; en el siguiente 11 km más que los anteriores juntos y en el último 21 km más que el primero y el tercero. Si todavía le faltan 3km para llegar a su destino. ¿Cuál es la distancia entre ambas ciudades? a) 210 km c) 205 km
b) 215 km d) 220 km
3. Alrededor de una mesa están sentados 2 padres, 2 hijos y un nieto. Entonces el menor número de personas presentes es: a) 5 c) 3
b) 4 d) 6
4. Norma compra en un supermercado 5kg de avena por S/10 tres bolsas de arroz por S/9, cuatro tarros de leche a S/.2 cada uno y 2 kg de pollo a S/6 el kg ¿Cuánto le dieron de vuelto, si pagó con un billete de 50 soles?. a) S/ 12 c) S/ 10
b) S/ 11 d) S/ 13
5. En un colegio hay 12 secciones de 32 alumnos y 15 secciones de 36 alumnos ¿Cuántos alumnos hay en total? a) 914 c) 924
b) 934 d) 944
6. Una camioneta transporta 32 cajones que contienen 25 cajas cada uno y en cada caja vienen 18 huevos. Si en cada caja se rompen 5 ¿Cuántos huevos buenos hay en total? a) 10 500 c) 10 400
b) 10 600 d) 10 70
7. Un avión despegó del aeropuerto Jorge Chávez hace 25 minutos y dentro de 30 minutos faltarán 12 minutos para las 9 y 30 a.m. hora en que llegará a su destino ¿A qué hora despegó el avión? a) 8 y 13 a.m. c) 8 y 15 a.m
b) 8 y 23 a.m d) 8 y 20 am
8. Compré una camisa por S/45 un libro por S/21, un uniforme que costó S/65 más que la camisa y el libro juntos; un par de zapatos que costó S/33 menos que el precio de los tres anteriores juntos; un radio que costó S/65 más que todo lo anterior. Si me sobran S/33 ¿Cuánto tenía? a) S/ 820 c) S/ 830
b) S/ 810 d) S/ 805
9. Si ganara 2000 soles en un bingo tendría S/3500. Si mi primo tiene 800 soles menos que yo, y mi hermano S/1.500 menos que yo y mi primo juntos, ¿Cuánto tenemos entre los tres? a) S/ 2900 c) S/ 2500
b) S/ 2600 d) S/ 2800
10.Un carpintero cobró por hacer una mesa 120 soles y por otra similar 140 soles. Si en cada una invirtió en materiales 45 soles, ¿Cuál fue su utilidad? a) S/ 165 c) S/ 170
b) S/ 175 d) S/ 180
Estas fórmulas te ayudarán a resolver ejercicios y problemas más rápidos.
11.Rosario visita a su hermana y lleva en su cartero 70 soles. Desea dar propina de 15 soles a cada uno de sus 5 sobrinos ¿le falta o sobra dinero? a) falta S/ 10 c) falta S/ 5
b) sobra S/5 d) S/ 31
12.Repartimos chocolates de una bolsa, entre 28 niños. Cada uno recibió 14 chocolates. ¿Qué cantidad traía la bolsa, si después del reparto sobraron 68 chocolates? a) 440 c) 460
b) 450 d) 470
Llena los casilleros en la solución del siguiente ejercicio: 1. Si la suma de 2 números es 550 y la diferencia es 120 ¿Cuáles son estos números? Utilizamos la primera fórmula 550 120 M= m = 550 2
CONTENIDOS BÁSICOS:
CUATRO OPERACIONES (continuación) Cálculo de dos números del número mayor (M) o del número menor (m), conociendo su suma y diferencia, su suma y cociente, o su diferencia y cociente. Si se tiene la suma (S) y diferencia (D) M=
m=
Si se tiene la suma (S) y diferencia (q) M= m=S-M
M= M=
El número mayor es menor es
y el número
2. Halla 2 números tales que suma sea 665 y su cociente es 6. Solución: s q
Si se conoce la diferencia (D) y el cociente (q) M= m =M - D
2
m=
3. Si la diferencia de dos números es 294 y su cociente es 8. ¿Cuáles son estos números? Solución: D
YO LO PUEDO HACER RESUELVE LAS SITUACIONES
SIGUIENTES
1. Halla 2 números tales que su suma sea 588 y su diferencia 56.
q
Solución:
S=
ACERTIJO NUMÉRICO D=
Complete los número que faltan en los casilleros, teniendo en cuenta que la suma de dos números consecutivos de cualquier fila debe dar el número superior, sin repetirse.
2. La suma de dos números es 4 068 y su cociente es 8 ¿Cuál es el número mayor? Solución:
S=
q=
ACERTIJO NUMÉRICO Colocar los números del 1 al 7 en cada círculo de la figura, de tal manera que la suma vertical y diagonal dé 12
3. Si la diferencia de dos números es 434 y su cociente es 15, ¿Cuáles son estos números? Solución:
D=
q=
4. Un número excede a otro en 8 unidades. Si la suma de ambos es 752 ¿Cuál es el número menor? Solución:
S=
8. Luisa y Felipe tienen en una sola libreta de ahorros S/ 2 520 soles. Si lo que le corresponde a Luisa se lo divide entre lo que le corresponde a Felipe, obtenemos 8. Por tanto Luisa tiene ahorrados. a) 2240 c) 2260
b) 2250 d) N.A.
D=
CAZADORES EN PELIGRO
5. La diferencia de dos número es 7 200 y su cociente es 9 ¿Cuál es el dividendo? Solución:
D=
q=
6. La suma de dos números es 1944 y el cociente del mayor entre el menor es 17. Por tanto el número menor es: a) 108 c) 115
b) 120 d) 126
7. Las edades de María y Rubén suman 27 años. Si Rubén es mayor por 3 años. ¿Cuál es la edad de María? Solución:
S=
D=
Tres caníbales y tres cazadores se encuentran en la orilla A de un río y desean trasladarse a la orilla B. para lo cual tienen un bote en el cual pueden ir 2 personas. Sabiendo que 2 ó 3 caníbales no pueden quedarse con un cazador porque se lo comen. ¿Cómo trasladaría Ud. a las personas de la orilla A a la orilla B de modo que lleguen intactos?
PRACTICA 1. Si Juan mide 127 cm y Mimi mide 1,42 m ¿Cuál es la diferencia?
a) 0,13 d) 0,15
b) 0,14 e) 0,17
c) 0,15
2. Un comerciante compró una cocina por S/358 y la vendió por S/ 725 ¿Cuál es la ganancia? Pv= Precio de venta Pc= Precio de compra Nota: Pv= P + G G = ganancia
a) 365 d) 371
b) 367 e) 368
c) 369
3. Rocío gastó S/20 en comprarse golosinas y S/ más en comprarse un polo ¿Cuánto gastaría en comprarse 6 polos?
a) 132 d) 138
b) 134 e) 140
c) 136
4. Pablo nació en el centenario de la Independencia del Perú ¿Qué edad cumplirá en el año 2002?
a) 77 d) 83
b) 79 e) 85
c) 81
5. En un autobús viajaban 40 personas. En una parada bajan 16 personas y suben 18. En la siguiente parada bajan 28 y suben 13 ¿Cuántas personas continúan en el autobús?
a) 23 d) 29
b) 25 e) N.A.
c) 27
6. Al sumar minuendo, el sustraendo y la diferencia de una sustracción obtenemos 120 como resultado. Además sabemos que la diferencia es el doble que el sustraendo ¿Cuál es el minuendo?. Nota: M + S + D = 2M
a) 55 d) 60
b) 57 e) 62
c) 59
7. La suma del minuendo, sustraendo y diferencia de una sustracción es de 360 y el minuendo es el cuadruplo del sustraendo. Hallar la diferencia.
a) 129 d) 139
b) 125 e) 137
c) 135
8. Si la suma de los tres términos de una sustracción se obtiene 274. Halla la diferencia sabiendo que el sustraendo excede la diferencia de 37.
a) 48 d) 60
b) 50 e) 51
c) 54
9. ¿En cuánto excede el exceso de 300 a 136 al exceso de 190 sobre 48?
a) 18 d) 26
b) 22 e) N.A.
c) 24
10.¿En cuánto excede el exceso de 87 sobre 48 al exceso de 48 sobre 29?
a) 16 d) 25
b) 20 e) N.A. PRACTICA
c) 26
1. Mi primo Pablo vendió un auto en S/ 12 570, es decir en S/ 58 41 menos de lo que le costó ¿Cuánto le costó el automóvil?
a) 18408 d) 17411
b) 18405 e) 18411
c) 17511
2. Compré 5 objetos: el primero me costó S/ 2470 el segundo S/ 3792; el tercero S/ 1459 más que los dos anteriores; el cuarto S/ 785 más que los tres objetos anteriores y el quinto S/ 679 más que el cuarto ¿Cuánto costó el quinto objeto?
a) 90 85 d) 9185
b) 9105 e) 9285
c) 9205
3. Jenny gastó S/10 en comprarse un CD en la cachina y S/30 más en comprarse un teléfono celular en el mismo sitio ¿Cuánto gastará en comprarse tres CDs y un teléfono celular?
a) 72 d) 77
b) 73 e) 80
c) 75
4. En un juego un apostador gana S/ 60 y luego pierde S/85, después gana S/72 y por último vuelve a perder S/35 ¿ganó o perdió? ¿cuanto?
a) 12 d) -10
b) -12 e) 0
c) 10
5. Lula se pone a dieta, el primer mes bajó 1 200 gr., el segundo mes bajó 400 gr. más que el mes anterior y el tercer mes, subió 900 gr. por comerse dulces y tortas ¿Cuántos gramos bajó Lula hasta el tercer mes?
a) 1800 d) 2100
b) 1900 e) 2200
c) 2000
6. Gene nació en 1888, se casó en el año de 1924, dos años después nació su primer hijo y murió cuando su hijo tenía 38 años. ¿En qué año murió?
a) 1962 d) 1965
b) 1963 e) 1966
c) 1964
7. La diferencia de dos números es 28 741 y el mayor es 78 765 ¿Cuál es el otro número?
a) 50018 d) 50034
b) 50020 e) N.A.
c) 50024
8. ¿Cuantos huevos hay en 389 cajones si cada uno de ellos tiene 10 docenas?
a) 4665 d) 4768
b) 4668 e) N.A.
c) 4678
9. En un deposito caben 9 naranjas a lo ancho 4 naranjas a lo largo y 8 naranjas a lo alto ¿Cuántas naranjas habrá en 12 depósitos llenos de igual cantidad de naranjas?
a) 3446 d) 3456
b) 3448 e) 3458
c) 3452
10.Lidia trabaja 27 días de 8 horas diarias, Pedro 21 días de 9 horas diarias y Ronald 37 días de 7 horas. Si la hora de trabajo se paga S/15 ¿Cuánto suma el trabajo de los tres amigos?
a) 8960 d) 9600
b) 9860 e) 9960
PRACTICA
c) 9906
1. En 25 días 8 modistas han hecho 20 400 buzos ¿Cuántos buzos fabrica cada obrero al día?
a) 102 d) 108
b) 104 e) 112
c) 106
2. ¿Cuánto tiempo ha transcurrido si ya han pasado 1 680 minutos?
a) 1d 2h d) 1d 5h
b) 1d 3h e) 1d 6h
c) 1d 4h
3. ¿Cuántas horas han transcurrido si ya han pasado 2 580 minutos?
a) 43 h d) 46 h
b) 44h e) 47 h
c) 45 h
4. Una persona normal respira 27 360 veces al día aproximadamente ¿Cuántas veces respiras en un minuto?
a) 15 d) 27
b) 19 e) 39
c) 23
5. En una semana, Pedrito gasta S/28 en comprar pollos ¿Cuánto gastará en 24 días?
a) 90 d) 116
b) 96 e) 126
c) 106
6. Una cancha de fútbol mide 129 metros de largo y 48 metros de ancho; un atleta ha dado 20 vueltas a su alrededor ¿Qué distancia ha recorrido en total?
a) 6080 b) 7080 c) 8080 d) 9080 e) N.A. 7. Una camioneta transporta 32 cajones que contienen 25 cajas cada uno y en cada caja vienen 18 focos. Si en cada caja se rompen 5 ¿Cuántos focos en buen estado hay en total?
a) 8400 d) 10 400
b) 8800 e) N.A.
c) 9400
8. Una fábrica de galletas, produce 550 000 al día; si envasan en cajas de 100 galletas y luego están en cajones de 55 cajas ¿Cuántos cajones se emplearán diariamente?
a) 25 d) 100
b) 50 e) 125
c) 75
9. ¿Cuántos años y meses tiene una persona que ha vivido durante 698 meses?
a) 58 a d) 58 a 3m
b) 58 a 1m c) 58 a 2m e) N.A.
10. Al dividir cierto número entre 16 da como residuo 1 y de cociente 6. Hallar la suma de cifras del dividendo.
a) 10 d) 18
b) 12 e) 22
c) 16
11.¿Cuál es el número que multiplicado por 12 y sumándole 16 a este producto y dividiéndole esta suma por 5 se obtiene como resultado 56?
a) 1705 d) 1720
b) 22 e) 34
c) 26
12.¿Cuál es el número dividido por 122 da por cociente 13 y residuo 119?
c) 1715
DOMINA LAS CUATRO OPERACIONES SUMA Y DIFERENCIA
Se aplica este método si de dos números nos dan como dato su suma(S) y diferencia (D) y nos piden hallar dichos números, se procederá de la siguiente manera: # mayor
# menor
a) 18 d) 30
b) 1710 e) 1725
suma diferencia 2
suma diferencia 2
S D 2
S D 2
Problema 01 La suma de dos números es 100 y su diferencia es 60. Hallar cada uno de los números. Resolución Datos: S = 100 (Suma) D= 60 # Mayor # Menor
S D 2
S D 2
(Diferencia)
100 60 2 100 60 2
80
20
Rpta. Los Números son 80 y 20
Problema 2 Las edades de dos personas suman 28 años siendo uno de ellos 6 años mayor. ¿Cuáles son las edades? Resolución: Datos: S = 28 (Suma de edades) D = 6 (Diferencia de edades) Mayor edad Menor edad
28 6 2 28 6 2
17
11
Rpta. Las edades son 17 y 11 años. Problema 03 En un paseo hay 80 personas entre hombres y mujeres. El número de hombres excede al número de mujeres en 20 ¿Cuántas mujeres asisten al paseo? Resolución Sea: H = # de hombres M = # de mujeres S = H + M = 80 D = H – M = 20 # de mujeres ( menor )
S
2
D
80
2
20
30
Rpta.: asisten al paseo 30 mujeres.
Recuerda: excede a
15
9 En
15
9
6
6
“La palabra excede indica que una cantidad es mayor que la otra”
Problema 04 La semisuma de dos números es 12, además la diferencia es 4. Calcula los números: DATOS S
12
S
12 X 2
2 S
24
D=4 # mayor
# menor
24 4 2 24 4 2
14
10
Rpta. Los números son 14 y 10
Rpta.
Problema 03 La semisuma de dos números es 18, además la diferencia es 6. Calcule el número mayor. Resolución
ACTIVIDAD Nº05
Problema 01 Dos cantidades que suman 100 y se diferencian en 40. Calcule el número mayor. Resolución
Rpta. Rpta.
Problema 02 La suma de dos números es 32 y su diferencia 10. Calcule el doble del número menor. Resolución
Problema 04 La semidiferencia de dos números es 6 y además la suma es 28. calcule el triple del número menor. Resolución
Rpta. Rpta.
Problema nº05 Si el largo de un rectángulo es 30m y su ancho es 6 metros menos que el largo. ¿Cuál es el perímetro de dicho rectángulo? Resolución
Rpta. Problema nº06 Las edades de Mónica y Sonia suman 18 años. Si la edad de Mónica excede a la de Sonia en 6 años. ¿Cuántos años tendrá Sonia dentro de 3 años? Resolución:
Estamos estudiando.!
papá tenía 24 años ¿Cuál es la edad actual de Gladys? a)22 b)19 c)25 d)26 e)28 Problema Nº05 La suma de dos números es 18 y su
ME DIVIERTO PRACTICANDO
Problema Nº01 La suma de dos números es 24 y su diferencia es 8. Calcule el número mayor. a) 16 b)8 c)18 d)15 e)12 Problema Nº02 La suma de las edades de Pepito y Luchito es 25 años. Si Luchito es mayor que Pepito por tres años ¿Cuál es la edad de Pepito? a)13 b)14 e)15
c)11
d)12
Problema Nº03 La suma de dos números es 27 y su diferencia 13. Calcule el número menor. a)6 b)2 c)7 d)20 e)5 Problema Nº04 Las edades de Gladys y su papá suman 68 años. Si cuando Gladys nació, su
diferencia 6. Calcule el cuádruplo del número menor. a)6 b)12 c)24 d)48 e)36 Problema Nº06 La semisuma de dos números es 50 y su diferencia es 30. Hallar el mayor de dichos números. a)60 b)70 e)50
c)80
d)100
Problema Nº07 Carlos tiene 40 soles más que Miguel pero entre ellos tienen 180 soles. ¿Cuánto tiene cada uno? a)S/.160 y S/.20 b)S/.110 y S/.70 c)S/.90 y 90 d)S/.120 y 60 e)S/.140 y 40 Problema Nº08 La semisuma de dos números es 50 y su diferencia es 30. hallar el menor de dichos números.
a)30 b)20 c)5 d)10 e)40 Problema Nº09 La suma de las edades de Víctor y Angélica es 28 años. Si la edad de Angélica excede a la edad de Víctor en
edades del Padre y el hijo será de 60 años. a)15 b)14 c)16 d)17 e)18
10 años ¿Cuál es la edad de Víctor? a)11 b)9 c)12 d)18 e)28 Problema Nº10 La suma de dos números es 24 y su diferencia es 8. ¿Cuál es el cociente del mayor entre el menor? a)1 b)2 c)3 e)1/4
d)1/2
Problema Nº11 ¿Qué hora es? Le pregunta Sara a Pepito. - Pepito le responde. Quedan del día 8 horas menos que las trascurridas. - Decir ¿Qué hora es?. a)3 p.m. b)5 p.m c)4 p.m. d)2 p.m. e)1 p.m. Problema Nº12 Un padre a los 24 años tuvo su hijo. Después de cuántos años la suma de las
El Profesor nos puede ayudar
a) 702 d) 720 PRACTICA 1. Cuatro socios se reúnen para formar un negocio y aportan lo siguiente: el primero aporta S/ 519; el segundo el quíntuplo del primero; el tercero tanto como el primero y el segundo menos S/ 1348 y el cuarto tanto como el segundo y el tercero más S/987. ¿a cuánto ascendió el total de aportaciones?
b) 102 32 e) N.A.
c) 102 34
2. Al realizar una compra a plazos se pagó S/ 5 650 650 de cuota inicial y se han firmado seis letras de S/ 3 420 c/u nueve letras de S/24 c/u y quince de letras de S/ 1555 c/u ¿Cuál es la suma que se pagará por dicha compra?
c) 716
4. Por cuál número hay que dividir 16 820 para que el cociente sea 20. (dar como respuesta el producto de cifrad del resultado)
a) 22 d) 30 a) 10 228 d) 10 236
b) 708 e) N.A.
b) 26 e) 32
c) 28
5. La suma de los cuatros términos de una división es 336 el cociente es 8 y el residuo es 20. Calcular el divisor.
a) 30 d) 33
b) 31 e) 34
c) 32
6. Un reloj electrónico da una señal de alarma cada media hora. ¿Cuántas señales de alarma da en 4 días? a) 71 815 d) 71 835
b) 71 820 e) n.a.
c) 71 825
3. Rosita gastó al comprar su computadora por parte $ 490. Si quiere ganar 230 ¿a cuanto tiene que vender? a) 182
b) 186
c) 193
d) 196
e) 202
10.Si en una división exacta el dividendo es 6417 y el cociente es 23 ¿Cuál es el divisor?
7. David se desplaza en línea recta con velocidad constante recorriendo 40 m en 8s, si triplicara su velocidad ¿Qué distancia recorrería en los 4 siguientes segundos?
a) 50 d) 80
b) 60 e) 90
a) 249 d) 279
b) 259 c) 269 e) 289 PRACTICA 1. ¿Cuál es el precio de un artículo, si al venderlo en S/380 produce una pérdida de S/120?
c) 70
8. Un tren de 100 m de longitud viaja con una velocidad de 10 m/s que tiempo demora en cruzar un puente de 200 m de largo.
a) 500 d) 650
b) 550 e) 700
c) 600
2. Compré un auto en $ 2400 ¿En cuánto debo venderla si deseo ganar en el negocio el doble de lo que me costó? a) 10 d) 70
b) 30 e) 90
c) 50
9. Si el cociente exacto es 942 y el divisor 65 ¿Cuál es el dividendo? Dar como resultado la suma de cifras.
a) 7 200 d) 7 750
b) 7 250 e) 7 800
c) 7 500
3. Si en una división exacta el dividendo es 2 488 y el cociente 8 ¿Cuál es el divisor? a) 13 d) 10
b) 12 e) N.A.
c) 11
a) 211 d) 511
b) 311 e) 611
c) 411
4. Si el cociente es 851 y el divisor 93 ¿Cuál es el dividendo, si es exacta la operación?
a) 79 143 d) 59 143
b) 79 143 e) N.A.
c) 69 143
5. Si al dividir N entre 109 el cociente es el doble del divisor ¿Qué número es N?
a) 23 662 d) 23 962
b) 23 762 e) N.A.
a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 8. Tenía S/ 2576 compré víveres por el valor de S/854 y con el resto frijoles a S/6 el saco ¿Cuántos sacos de frijoles compré?
a) 287 d) 290
b) 288 e) 291
c) 289
9. Se repartió cierto número de manzanas entre 21 personas y después de dar 7 manzanas a cada persona sobraron 18 ¿Cuántas manzanas había?
c) 23 862
6. ¿Por cual número hay que dividir 154 800 para que el cociente sea 15? a) 140 d) 150 a) 10 120 d) 10 420
b) 10 220 e) N.A.
c) 10 320
7. Si la edad de tu abuelito la multiplicas por 8, luego lo divides por 10 el cociente la multiplicas por 3 añadiendo enseguida 36, obtendrías 180 ¿Cuál es la edad de tu abuelito?
b) 145 e) 165
c) 148
10.Las notas de Ronald, Ana, Silvana y Bryan en R.M. son 12, 10, 08 y 16 respectivamente si el profesor les aumentó dos puntos a cada uno ¿Cuál es ahora la suma de sus notas?
a) 50 d) 56
b) 52 e) 58
c) 54
DOMINA LAS CUATRO OPERACIONES METODO DEL CANGREJO
ENUNCIADOS
aplica
en
aquellos
problemas
matemáticos que tienen las siguientes características: 1. Siempre se desea conocer la cantidad inicial. 2. A la cantidad inicial se le ha realizado una serie de operaciones aritméticas consecutivas.
,, x,,
n
n ,
.
3. El único dato que nos dan es la cantidad final que se ha obtenido después de las operaciones sucesivas. El método del congreso consiste en realizar las operaciones inversas y en sentido opuesto a lo que nos indica el problema hasta obtener el valor inicial. Para ello es necesario la correcta interpretación del enunciado del problema
DIRECTAS
(CANGREJO) OPERACIONES INVERSAS
Luchito gana S/.80
+80
-80
Jaimito pierde S/.60 Duplicó su dinero
-60 X2
+60 :2
Pepito gastó la la
Se
OPERACIONES
mitad de su dinero. Triplicó lo que tenía.
:2
X2
X3
:3
Gasto S/.10.00
-10
+10
OBSERVA: ¿CÓMO SE RESUELVE? Problema 01 A un cierto número lo multiplicamos por 9, al resultado le añadimos 12 y a dicha suma la dividimos entre 5 obteniendo finalmente 6 ¿Cuál es el número? Resolución
Rpta.: El número Inicial es 2 Problema 02 A un cierto número lo dividimos entre 4, al resultado hallado le sumamos 8, a este resultado lo multiplicamos por 3, a este nuevo resultado le restamos 8, a este resultado le extraemos la raíz cuadrada, obteniendo como resultado final 5. Hallar dicho número.
YO LO PUEDO Resolución Problema 01 A un número se le multiplica por 5, se le divide por 10, se le eleva al cuadrado, se le suma 1 obteniéndose 10. Hallar dicho número. Rpta. El número inicial es 12 Problema 03 Mi tía lleva manzanas al mercado, vende la mitad de las que lleva más 1 manzana, luego regala la mitad de los que había quedado más 1, luego se come la mitad de las que había quedado más 1 ¿Cuántas manzanas tenía si al final le
Rpta._______________________ Problema 02 Pienso en un número. Lo olvido entre 5, lo elevo a cuadrado, le agrego 15, se le extrae la raíz cuadrada y finalmente lo
sobra una manzana?
resto 3, dándose como resultado 5 ¿Qué número pensé inicialmente?
Resolución:
Rpta. Tenía 22 manzanas
Rpta._______________________ _
Problema 03
A una cierta cantidad se le suma 6 y al resultado se le divide entre 3, y a este valor le resto 2, obteniendo finalmente 8. Hallar la cantidad inicial. Resolución
Juanita compra cierta cantidad de naranjas, a su hermana le regala la mitad de lo que compra más 4 naranjas, a su vecina le regala la mitad de lo que queda más 3 naranjas. ¿Cuántas naranjas compró si aún quedan 16 naranjas? Resolución
Rpta._______________________ Problema 04 Luchito le dice a María: Si a la cantidad de dinero que tengo le agregas S/.20.00 a este resultado lo multiplicas por 6, luego le quitas s/.24.00 posteriormente le extraes la raíz cuadrada y por último lo divides entre 3, obtienes así s/.8.00.
Rpta._______________________
Después de hacer toda nuestra tarea, podemos ir a jugar.
Dar la cantidad inicial que tiene Luchito.
Rpta.______________________
Problema nº05 ME DIVIERTO PRACTICANDO
Problema 01 A un número se divide entre 2, al resultado se eleva al cuadrado, luego se divide entre 4 y por último se le extrae la raíz cuadrada obteniendo 5 ¿Cuál es el número inicial? a)20 b)40 c)60 d)12 e)10
este resultado lo multiplicamos por 2, a este nuevo resultado le restamos 2, a este resultado le extraemos la raíz cuadrada obteniendo como resultado final 6. Hallar dicho número. a)45 b)6 c)3 d)24 e)7
Problema 02
Problema 05 A un número se le multiplica por 3, se le resta 6, se le multiplica por 5, se le divide por 8, se eleva al cuadrado, se le resta 171 y se le extrae raíz cúbica,
A un cierto número lo multiplicamos por 2, al resultado le añadimos 6 y a dicha suma la dividimos entre 4 obteniendo finalmente 2 ¿Cuál es el número? a)2 b)1 c)4 d)5 e)3
obteniéndose 9. Hallar dicho número. a)16 b)14 c)13 d)12 e)18 Problema 06 En un pueblo existe un Santo que hace
Problema 03 A un cierto número se eleva al cuadrado, a este resultado se le suma 5 al nuevo resultado se le divide ente 10. luego le agregamos 6 y finalmente extraemos la raíz cuadrada, obteniendo como resultado final 3. Hallar dicho número. a)6 b)3 c)5 d)4 e)7 Problema 04 A un cierto número lo dividimos entre 3, al resultado hallado le sumamos 4, a
el milagro de duplicar el dinero que uno tiene, pero por cada milagro que hace se le debe dejar una limosna de 16 soles. Si luego de hacerle 3 milagros seguidos a un devoto éste salió de la iglesia sin un centavo ¿Cuánto tenía al entrar? a)S/.12 b)S/.14 c)S/.15 d)S/.20 e)S/.26 Problema 07 Si a la edad de tu abuelito lo multiplicas por 8. Luego lo divides por 10 y el cociente lo multiplicas por 3 añadiendo
en seguida 36, obtendrías 180 ¿Cuál es la edad de tu abuelito? a)60 años b)65 años c)72 años d)84 años e)N.a. Problema 08 Un mendigo entra a una Iglesia y le pide a San Pedro que le haga el milagro de duplicar el dinero que lleva. San Pedro le contesta que le va a realizar 3 milagros pero con una condición, que por cada milagro que le haga ha de devolverlo 10 nuevos soles. El mendigo
Un recipiente lleno de agua se agota en 3 días hasta que solamente ha quedado 8 litros de agua. En cada día se extrae la mitad de su volumen más 2 litros. ¿Cuál es el volumen de dicho recipiente? a)50 L b)54L c)84L. d)90L
e)92L.
Debemos estudiar
aceptó tal propuesta. ¿Con qué cantidad ingresó inicialmente si salió con 34 nuevos soles? a)S/.12 b)S/.13 c)S/.14 d)S/.15 e)S/.16 Problema 09 Juan compró un cuaderno, cada día escribe la mitad de las hojas en blanco más 4 hojas, si después de 3 días observa que solamente le queda 2 hojas ¿Cuántas hojas tiene dicho cuaderno? a)64 b)76 c)72 d)84 e)54 Problema 10
PRACTICA 1. La suma de las edades de Luís y Esteban es 25 años. Si Esteban es mayor que Luís por tres años ¿Cuál es la edad de Luís?
a) 13 d) 12
b) 14 e) 15
c) 11
2. Cuando Maritza nació Luz tenía 6 años. Si hoy sus edades suman 64 años, ¿qué edad tendrá Luz dentro de 6 años?
a) 39 d) 42
b) 41 e) 29
c) 35
3. Entre Felipe y Mario tienen S/60 si al menos afortunado le obsequiamos S/8 entonces ambos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuál es la cantidad que tiene el más afortunado?
a) S/26 b) S/30 c) S/40 d) S/38 e) S/34 4. Las edades de Gladis y su papá suman 68 años. Si cuando Gladis nació, su papá tenía 24 años, ¿Cuál es la edad actual de Gladys?
a) 26 d) 25
b) 19 e) 22
c) 28
5. Hace 8 años Carmen era 8 años menor que Catalina. Si actualmente sus edades suman 48 años, ¿Cuál será la edad de Carmen dentro de 18 años?
a) 20 d) 46
b) 15 e) 32
c) 38
6. Dentro de 3 años las edades de Jaime y Lilian sumarán 62 años. Si cuando Lilian nació Jaime tenía 4 años ¿Cuál es la edad actual de Lilian?
a) 22 años d) 26 años
b) 28 años c) 32 años e) 30 años
7. Multiplicamos por 6 la edad de Fernando añadiendo al resultado 28, dividiendo el nuevo resultado entre 4 obtenemos por fin 25 ¿Cuál es la edad de Fernando?
a) 11 d) 15
b) 12 e) 27
c) 25
8. Si a un número lo multiplicamos por 9 y al resultado le quitamos 13 obtenemos otro número que dividido entre 10 nos da como resultado 5 ¿Cuál es el número inicial?
a) 40 d) 60
d) 4
b) 10 e) 15
c) 45
11.Multiplicamos un número por 4, producto al que luego restamos 12, dividiendo enseguida el resultado entre 3, para volver a multiplicar por 6 añadiendo 5 y obteniendo 5 ¿Cuál es el número? a) 1
a) 8 d) 12
b) 58 e) 52
b) 2
e) 5
c) 3
c) 7
9. Felipe tiene una cantidad de nuevos soles a la que le agrego S/25 si se triplica la nueva cantidad y al resultado se le resta S/20, el nuevo resultado dividido entre 20 persona hace que cada una reciba S/ ¿Cuántos nuevos soles tenía Felipe inicialmente?
a) S/ 12 d) S/25
b) S/20 e) S/15
c) S/18
10.Si a un número lo multiplicamos por 8, luego lo divido por 10 y el cociente lo multiplico por 3 añadiendo enseguida 36, entonces obtendrá 180 ¿Cuál es el número oficial?
DOMINA LAS CUATRO OPERACIONES METODO DEL ROMBO
Para que un problema se pueda resolver aplicando el método del Rombo debe tener las siguientes características. 1. Que tenga dos incógnitas 2. Que presente un valor numérico producido por la suma de dos incógnitas (# total de elementos) 3. Valor unitario de cada una de las incógnitas. 4. Además, tenga otro valor numérico producido por el número total de elementos.
En un corral hay 92 patas y 31 cabezas, si lo único que hay son gallinas y conejos. ¿Cuántos animales de cada tipo se cría? Resolución
# gallinas
31 x 4 92 42 124 92
42 32
2 # gallinas
16
Rpta.
# conejos 31 16 # conejos 15 Rpta.
Nota: La Flecha indica la forma como debemos operar. - Siempre obtendremos primero el valor de la incógnita del que posee el menor valor unitario. - El valor de la otra incógnita se halla por diferencia. OBSERVA: ¿Cómo se resuelve? Problema 01
Problema 02 En un teatro las entradas de adultos costaban s/.5.00 y la de niños S/.2.00. concurrieron 326 espectadores y se recaudaron S/.1090 ¿Cuántos eran adultos y cuántos niños? Resolución
# Billetes
de S / .10.00
24 x50 560
50 10 1200 560
640
40
40
# Billetes
de S / .10.00 16 Rpta. # Billetes de S / .50.00 24 16 8 Rpta.
# niños
326 x5 1090
52
1630 1090
3
540
3 # niños # adultos
180
Rpta.
326 180
146
Rpta.
Problema 03 En una billetera hay 24 billetes que hacen un total de 560 soles. Si solo
Problema 04 En un examen un alumno ha contestado 50 preguntas obteniendo 110 puntos. Por cada respuesta buena gana 4 puntos y por cada respuesta mala pierde 1 punto. ¿Cuántas respuestas malas ha contestado?
habían billetes de 50 soles y de 10 soles. ¿Cuántos eran de cada clase?
Que fácil..
# Re spuestas malas
Resolución
# Re spuestas malas
50 x 4 110 4 ( 1 ) 90
200 110 4 1
5 18
YO LO PUEDO HACER
Problema nº01 Luchito tiene 34 animales entre gallitos y perritos. ¿cuántos perritos
tiene Miguelito? Si en total hay 100 patas (extremidades). Resolución
Resolución
Rpta. Problema nº02 En un corral hay 80 patas y 35 cabezas; las únicas especies que hay son palomas y gatos ¿Cuántas palomas hay) Resolución
Rpta. Problema 04 Se tiene 40 billetes que hacen un total de S/.500.00, si sólo había billetes de S/.20.00 y de S/.10.00 ¿Cuántos hubieron de cada clase? Resolución
Rpta.
Rpta. Problema 03 En un ómnibus interprovincial viajan 65 pasajeros entre adultos y niños. Si el pasaje de cada adulto es S/.8.00 y S/.5.00 el de un niño ¿Cuántos niños viajaron, si el total de recaudación fue de S/.445?
ME DIVIERTO PRACTICANDO
Problema 1
En un zoológico hay leones y gorriones, si en total hay 20 cabezas y 62 patas. ¿Cuántos leones hay? a)28 b)11 c)6 d)7 e)12 Problema 2 En un corral hay 92 patas y 31 cabezas, si lo único que hay son gallinas y conejos ¿Cuál es la diferencia entre el número de gallinas y conejos existentes? a)1 b)2 c)15 d)6 e)4
Problema 5 En un teatro las entradas de adultos costaban S/.3 y los de los niños s/.1. Concurrieron 752 espectadores y se recaudaron s/.1824 ¿Cuántos eran adultos y cuantos niños?. a)536 y 216 c)600 y 152 e)N.a
b)512 y 240 d)550 y 252
Problema 3
Problema 6 En un examen de 30 preguntas un alumno respondió todas y obtuvo 80
Mario tiene 6 billetes de cinco y diez soles; si en total él tiene 45 soles ¿Cuántos son los billetes de menor denominación? a)5 b)1 c)3 d)2
puntos. Si cada pregunta correcta vale 4 puntos y cada incorrecta pierde 1 punto ¿En cuántas preguntas se equivocó? a)6 b)8 c)22 d)9
e)4
e)12
Problema 4 En un patio grande hay cerdos y patos. Si se cuentan 28 cabezas y 78 patas. ¿cuántos patos hay en el patio? a)15 b)11 c)17 d)19 e)13
Problema 7 En un grupo de gallinas y conejos, el número de ojos es 60 y el número de patas es 88. ¿Cuál es el número de alas?
a)32 e)N.a
b)24
c)18
d)20
Problema 8 Un contratista ofrece a un obrero S/.6 por cada día de trabajo y S/.2 por cada
transportó 25 pasajeros. ¿Cuántos adultos hicieron uso del servicio? a)9 b)15 c)16 d)12 e)18
día en que por falta de obra no trabaje. Si después de 17 días recibe s/.70 ¿cuántos días no trabajó? a)9 b)12 c)11 d)8 e)13 Problema 9 Un Capataz contrata un obrero por 80 días ofreciéndole S/.5 por cada día que trabaje y S/.3 por cada día que a causa de la lluvia no pueda trabajar. Al cabo de 80 días el obrero ha recibido S/.350. ¿Cuántos días trabajó? a)50 b)55 d)65 e)70
A practicar mas...
c)60
Problema 10 Un ómnibus del C.E.P. “San Agustín”
realiza un servicio a la playa: Lima – Puerto viejo cobrando 7 soles por cada adulto y 4 soles por cada niño. Si en uno de sus viajes recaudó 148 soles y
DOMINA LAS CUATRO OPERACIONES REGLA DE CONJUNTA
Consiste en resolver un problema utilizando equivalencias.
Regla práctica: Se forma con los datos una serie de equivalencias, procurando que el segundo miembro de cada equivalencia sea de la misma especie que el primero de la siguiente la cantidad a calcularse se llama incógnita y se le reemplaza por una letra. Luego: Se multiplican ordenadamente estas equivalencias y se halla el valor de X. Nota: El Nota: El signo < > , significa equivale Ejemplo Nº01 Sabiendo que con 3 desarmadores se obtiene 1 alicate, con 3 alicates, 1 martillo ¿Cuántos martillos se obtendrán con 117 desarmadores? Resolución: 3 Desarmadores < > 1 Alicate 3 Alicates < > 1 Martillo X
Martillos
Ejemplo Nº02 Si 5 borradores equivalen a 3 cuadernos; 4 cuadernos a 2 libros y 3 libros a 8 lapiceros ¿A cuántos lapiceros equivalen 10 borradores? Resolución 5 borradores < > 3 cuadernos 4 cuadernos < > 2 Libros 3 libros < > 8 lapiceros x lapiceros < > 10 borradores 5.4.3.x 3.2.8.10 x 3.2.8.10 5.4.3 x 8 lapiceros
Rpta. 10 borradores equivalen a 8 lapiceros.
< > 117 desarmadores
Multiplicamos cada miembro las tres equivalencias 3 3 x 1 x 1 x 117 x 1 x 1 x 117 3x3 117 x 9 x 13 Martillos
Rpta. Con 117 desarmadores se obtendrán 13 martillos
YO LO PUEDO
.
Problema Nº01
Si 6 manzanas cuestan lo mismo que 8 plátanos y que 4 plátanos cuestan 2 soles ¿cuántos costarán 12 manzanas Rpta._______________________
Rpta._______________________ Problema Nº02 Si el peso de 6 naranjas equivale al peso de 8 manzanas, y el peso de 24 peras equivale al peso de 15 manzanas ¿el peso de 64 peras a cuántas naranjas equivalen?
Problema Nº04 En un trueque, por un cuadrado se reciben 4 círculos y por 6 círculos se reciben 3 triángulos ¡cuántos cuadrados pueden recibirse por 24 triángulos?
Rpta. _______________________
Yo, consulto a mi
Rpta._______________________
Problema Nº03 Comprar 3 libros equivale a comprar 7 lapiceros; si por cada 4 cuadernos obtengo 6 lapiceros. ¿Cuántos cuadernos obtengo por 9 libros? libros?
ME DIVIERTO PRACTICANDO
Problema 1: Si 2 cuadernos cuestan igual que 7 lapiceros, y 10 gomeros cuestan como 15 lapiceros ¿A cuántos gomeros equivalen 18 cuadernos? a)24 b)36 c)42 d)48 e)N.a. Problema 2: En un trueque por 27 cuadrados se reciben 25 25 triángulos y por por 5 triángulos se reciben 9 círculos. ¿Cuántos cuadrados pueden recibirse por 5 círculos? a)6 b)9 c)3 d)12
e)27
Problema 3: Con 9 reglas se obtiene 5 lapiceros, con 4 lápices se obtiene 3 lapiceros. ¿Cuántas reglas se obtiene con 20 lápices? a)17 d)16
b)12 e)27
a)1
b)2
c)3
d)4
e)N.a
Problema 5: Con 2 motos obtenemos 15 bicicletas, con 7 patines obtenemos 16 pelotas, con 49 patines obtenemos 5 bicicletas; con 6 motos ¿cuántas pelotas se obtendrán? a)715 b)810 d)942 e)1012
c)1008
Problema 6: 6: Si 14 cuadernos cuestan lo mismo que 6 libros, 8 libros cuestan lo mismo que 5 maletines, 3 maletines cuestan 35 soles. ¿Cuánto tengo que gastar para adquirir 16 cuadernos? a)40 b)35 c)50 d)35 e)60
c)15
Problema 4: En una feria agropecuaria 13 pavos cuestan lo mismo que 15 pollos; 18 pollos lo mismo que 3 cerdos; 2 caballos, lo mismo que 5 cerdos. cerdos. ¿A cuántos caballos equivalen 39 pavos?.
Problema 7: En una bodega 5 paquetes de galleta equivalen a 4 botellas de gaseosa, 3 botellas de gaseosa equivalen a 10 bolsas de caramelo, 7 bolsas de caramelo equivalen a 6 chocolates y 8 chocolates chocolates
valen 14 soles ¿Cuánto costarán 3 paquetes de galleta? a)S/.8 b)S/.9 c)S/.10 d)s/.11 e)S/.12 Problema 8: En una feria agropecuaria por cada 8 melones dan 5 plátanos , por cada 10 plátanos dan 3 papayas; por cada 4 papayas dan 1 docena de manzanas. Sí 5 manzanas cuestan 16 soles ¿por 12 melones se paga? a)61,2 b)12,6 c)16,2 d)21,6 e)N.a.
Debemos terminar nuestra tarea antes de ir a jugar.
Problema 9: En una feria agropecuaria se observó que por cada 5 patos daban 3 pollos; por 4 pollos daban 6 gallinas; por 12 gallinas daban 2 corderos, y 6 corderos valían S/.240.00 ¿cuántos costaban 7 patos? a) s/.35 b)s/.42 c)s/.49 d)s/.28. e)s/.56 Problema 10: En una tienda por 3 camisas dan 2 pantalones, por 6 pantalones dan 4 sacos, si por 90 soles me dan un saco ¿cuánto cuestan 5 camisas? a)s/.240 b)s/.200 c)s/.180 d)s/.100 e)s/.400
MÉTODO DEL RECTÁNGULO Un problema se puede resolver aplicando el método del rectángulo cuando participan dos cantidad excluyentes, una mayor que la otra, que se comparan en dos oportunidades, originándose en un
caso, un sobrante o ganancia y en otro un faltante (o pérdida)
Del enunciado: Pero si sólo les pago S/8 me sobrarían S/160
OBSERVA: ¿Cómo se resuelve? Problema 1 Si le pago S/15 a cada uno de los obreros, me faltarían S/ 400; pero si sólo les pago S/8, me sobrarían S/160
Ahora, igualamos las ecuaciones (I) y (II) S/15(x) – S/400 = s/ 8(X) + S/ 160; transponiendo terminus S/ 15(x) – 8(x) = S/ 160 + S/ 400
¿Cuántos obreros tengo? Resolución: Aplicando el método del rectángulo, obtenemos: S/ 8 sobra: S/ 160 DINERO falta S/ 400 S/ 15
S/ 7(x) = S/ 560 x =
Luego: el de obreros = =
S / 160 S / 400
560 7
= 80
Problema 2 Para ganar S/560 en la rifa de una grabadora; se imprimieron 600 boletos sin embargo; solo se vendieron 210 boletos; originándose una pérdida de S/220. Hallar el valor de la grabadora.
S / 15 S / 8 S / 560
80
7
de obreros = 80 Rpta. NOTA: Para saber cuánto dinero es lo que tengo. Se aplica los siguientes casos: - Primer caso: dinero que tengo = S/ 8(80) + 160 = S= 800 - Segundo caso: dinero que tengo = S/ 15(80) + 160 = S= 800
MÉTODO ALGEBRAICO Sea: x = número de obreros que tengo Del enunciado: Si le pago S/15 a cada uno de los obreros me faltarían S/400. Dinero que tengo = S/ 15(x) – S/ 400… (I) Dinero que tengo = S/ 8(x) – S/ 160… (II)
Resolución: Aplicando el método del rectángulo obtenemos: S/ 600 boletos ganancia: S/ 560 VALOR DE LA S/ 210 boletos GRABADORA pérdida S/ 220
Luego: Precio de cada boleto =
S / 560 S / 220
=
600 210 S / 780
390
Precio de cada boleto = S/ 2
S / 2
Ahora, hallamos el valor de la grabadora: Primer caso: valor de la grabadora = 600 (S/.2) – S/ 560 = S/ 640 Segundo caso: valor de la grabadora
= 210(S/2) + S/220 = S/640 MÉTODO ALGEBRAICO Sea: x = precio de cada boleto Del enunciado: Para ganar S/560. En la rifa de una grabadora; se imprimieron 600 boletos. Del enunciado: Solo se vendieron 210 boletos, originándose una pérdida de S/220. Valor de la grabadora = 210(x) + S/220
* Valor de la grabadora = 600 (S/2) – S/560 = S/ 640 Rpta. Problema 3 Una persona quiere repartir cierto número de caramelos entre sus sobrinos. Si les da 10 caramelos a cada uno le sobran 6 caramelos y se les da 11 caramelos a cada uno le faltan 6 caramelos ¿Cuántos caramelos quiere repartir? Resolución: Aplicando el obtenemos:
método
del
rectángulo
Luego:
… (II)
Ahora,
igualamos ecuaciones (I) y (II)
las
S/ 600(x) – S/ 560 = 210(x) + S/220; transponiendo términos. 600x – 210x = S/220 + S/560 390x = S/780 x = S/
780 390
= S/2
x = S/2 (precio de cada boleto) * Luego, reemplazamos el valor de: x = S/2 en la ecuación (1)
de sobrinos = 12
Ahora, hallamos el número de caramelos que quiere repartir: Primer caso: de caramelos = 10(2) + 6 = 126 Segundo caso: de caramelos = 11(12) - 6 = 126
YO LO PUEDO HACER
Problema 4 Problema 1 Para ganar S/100 en la rifa de un radio se imprimieron 500 boletos, pero sólo se vendieron 150 originando una pérdida de S/250 ¿Cuál fue el precio de la radio? a) S/200 d) S/250
b) S/300 e) S/350
a) S/2030 d) S/ 2520
Matemático”.
Si
cada
alumno diera 6 soles sobrarían 20 soles, pero si cada uno diera 4 soles, faltarían 6 soles ¿Cuál es el valor de los zapatos? a) S/51 d) S/68
b) S/58 e) S/7
obsequiarles un automóvil de segunda mano. Si cada uno diera 100 soles faltarían 320 soles para comprar el automóvil; pero si cada uno da 120 soles, sobrarían entonces 120 soles ¿Cuánto cuesta el automóvil?
c) S/400
Problema 2 Se organizó una colecta para comprarle un par de zapatos al profesor de “Razonamiento
Los alumnos del profesor “Víctor” deciden
c) S/76
b) S/2140 e) S/2430
c) S/ 22
Problema 5 Alfonsito reparte entre sus mejores alumnos cierto número de pares de medias. Si a cada uno le hubiese entregado 5 pares entonces le hubiesen faltado 6 medias; pero como entrego 4 pares a cada uno le sobraron 7 medias. ¿Cuántos son los mejores alumnos de Alfonsito?
Problema 3 Para comprar 12 lapiceros me faltan 19 soles, pero si compro 8 lapiceros me sobrarían 9 soles. ¿Cuánto cuesta un lapicero y cuánto dinero tengo?
Problema 6 Para ganar S/30 en la rifa de un cuadro se hicieron 80 boletos, pero no se vendieron más que 70, originándose una pérdida de S/20 ¿Cuánto valía el cuadro?
a) S/7 y S/65 c) S/11 y S/80 e) S/10 y S/71
a) S/ 380 d) S/ 370
b) S/10 y S/70 d) S/7 y S/60
Problema 7
b) S/300 e) N.A.
c) S/310
Un padre lleva a sus hijos al teatro y al sacar entradas de 30 soles observa que le falta dinero para dos de ellos; y tiene que sacarlas de a 15 soles, así entran todos y le sobra 30 soles. ¿Cuántos hijos tiene el padre? a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
Problema 8 Si vendo a S/12 cada pelota gano S/25; pero si las vendiera a S/10 perdería S/9 ¿Cuántas pelotas tengo?
AUTOEVALUACIÓN Nº 03 1. Las edades de dos personas suman 38 años, siendo una de ellos 12 años mayor ¿Cuáles son las edades? a) 26 y 12
b) 24 y 14 c) 25 y 13
2. La semisuma de dos números es 18. Además la diferencia es 6. Calcule el número mayor. a) 18 d) 21
b) 19 e) N.A.
c) 20
3. A un número lo elevo al cuadrado, al resultado le quito 15 y lo triplico; luego lo divido entre 6, lo elevo al cubo, le aumento 19 unidades, le extraigo la raíz cuadrada para obtener 12 como resultado final ¿Cuál es el doble del número elegido? a) 5 d) 20
b) 10 e) N.A.
c) 15
4. Un tanque se demora 4 días por vaciarse completamente en cada día se desocupa la mitad mas 1 litro de lo que había en el día anterior ¿Cuántos litros tenía el tanque? a) 45 d) 35
b) 30 e) N.A.
c) 20
5. En una granja donde sólo hay gallinas y conejos se cuentan 75 cabezas y 230 patas (extremidades). Hallar el número de conejos a) 25 d) 10
b) 35 e) N.A.
c) 40
6. El precio de 6 boinas es equivalente al precio de 5 sombreros y el precio de 3 sombreros es equivalente a S/36 ¿Cuál es el precio de 4 boinas? a) S/20 d) S/80
b) S/40 e) N.A.
c) S/60
7. Paquito propone a su hijo Toñito darle 10 soles cada día que se porte bien; y cada día que se porta mal él tendrá que devolver 4 soles. Al cabo de 18 días Toñito ha recibido 82 soles ¿Cuántos días Toñito se portó mal? a) 11 d) 9
b) 13 e) 8
a) S/200 d) S/600
b) S/660 e) S/80
10.Un examen consta de 80 preguntas, por cada pregunta bien contestada se asigna 4 puntos; por cada pregunta en blanco se asigna 1 punto y por cada equivocada se descuenta 2 puntos. Si un alumno rindió su examen con 42 buenas, 17 en blanco y las demás equivocadas ¿Cuál es su puntaje?
c) 7
8. En un ómnibus interprovincial viajan 65 pasajeros entre adultos y niños. Si el pasaje de cada adulto es S/8 y S/5 el de un niño ¿Cuántos niños viajan, si el total de la recaudación fue de S/445? a) 25 d) 35
b) 20 e) N.A.
c) 30
9. En un pueblo de Piura, todos veneran
V. CONTENIDOS BÁSICOS
al milagroso “Señor de Cautivo” pues
triplica el dinero de sus fieles con la sola condición de entregarle S/40 de limosna por cada milagro. Si después de acudir a él por tres veces consecutivas Sandra termina con S/ 560 ¿Cuánto tenía al principio?
c) S/40
RAZONES Y PROPORCIONES
La siguiente es una tabla de proporcionalidad directa y podemos esquematizar una variedad de problemas.
Por ejemplo, de esta tabla podemos plantear la siguiente situación problemática: En un colegio por cada 3 niños hay 5 niñas. Si el número de niños es 300
Ejemplo: 6 9
24
36
Se lee: “6 es a 9 como 24 es a
36”
PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES 1. Toda proporción tiene su origen en una tabla de proporcionalidad (multiplicar o dividir). Ejm:
¿cuántas niñas tiene el colegio? Cuando afirmamos que por cada 3 niños hay 5 niñas estamos estableciendo que la Razón es de 3 a 5. De la tabla se puede decir varias razones: de 6 a 10; de 9 a15; de 12 a 20; etc 3 5
6
10
9
15
12
20
,
etc
Podemos considerar igualdades de dos razones:
2. En una proporción geométrica el producto de los extremos es igual al producto de los medios. a c a y d son los extremos b d b y c son los medios axd=bxc
A cada una de estas igualdades se denomina PROPORCION Se llama proporción a la igualdad de dos razones: Se lee: “a es b como c es d”
VI. OBSERVA: ¿CÓMO SE RESUELVE? Ejemplo 1
2
6
5
Propiedad: Producto de extremos es igual al producto de medios.
2 x 15 5 x 6
15
Ejemplo 2
12 x
Calcula el valor del termino “n” en la
12x
siguiente proporción 3
9
2
3x n
2x 9
3 16
36
336
12x
336 36
12x
372
12x
n
3. Si a
3n
n
n
b
x
18
12 31
3 6
a
b
cd
d
b
d
Ejemplo: 3 6 35 Si: 5
372
18
c
21
.
10
5
8
6 10
16
5
10
APLICAMOS LA PROPIEDAD DE PROPORCIONES EN LA RESOLUCION DE ECUACIONES Ejemplo:
x 3 16
Resolución
YO LO PUEDO HACER
21 12
I. Escribe el número que falta en cada proporción: a )
c )
9 7
45
8 56
21
b )
12 72
d )
13
5
40
48
II. Halla el valor de x (pueden ser enteros o decimales)
a)
5
b)
7
c)
x
x
x 9
12
25
6
20
4
4
9
5
a) 15 b) 14 c) 13
ME DIVIERTO
(aplica la propiedad de proporciones. x
8
No debemos sentir vergüenza al preguntar
III.Resuelve las siguientes Ecuaciones
a)
3
a) 15,70 b) 15,80 c) 15,75
4
a) 8,3 b) 8,4 c) 8,5
6
7
b) 2x
a) 6,1 b) 6,2 c) 6,3
6
a) 10 b) 11 c) 12
PRACTICANDO
Resuelve las siguientes ecuaciones (aplica proporciones). I.
x
9
5
4 3
propiedad
de
a)7
b)8
c)9
d)10 VIII.
x
II.
6
b)9,5
2 x 6 16
a)16
c)10,5
2
e)11,5
7 4
c)18
d)19
54
48
entonces x 2 –
a) 144
b)143
c)142
d)139 c
3
5
d
; se
sabe que c + d = 56. Hallar el valor de c y d: a)18 y 38 b)28 y 28 c)21 y 35 d)N.a.
9
5
32
96
IX. Si en la proporción
b)17
5 x
5º es:
4
a)8,5
IV
11 x
6
3
III.
Si
2
a)4,8
b)4,6
X. Si en la proporción
c)4,9
a b
11
5
se sabe
que:
d)4,7
a – b = 24. Hallar el valor de a y b. 4 x
V.
2
12
8
a)4,3 VI.
Si
b)4,4 6n
3
6
a) 25 VII. Si
5
18
4
12
6
5
d)4,6
entonces 5n+3 es:
b)24 5k 1
c) 4,5
c)23
d)22
entonces 10k + 9,2
es: a)40
b)35
c)30
d)25
a)48 y 24 b)44 y 20 c)36 y 12 d)N.a. XI. Las edades de un padre y su hijo están en la relación de 5 a 2. Si la suma de sus edades es 56. determina la edad de cada uno. a) 40 y 16 b) 38 y 18 c) 42 y 14 d) N.a.
XII. La relación entre la cantidad de discos compactos que tiene Rita y Juan es de 2 a 5. ¿Cuántos tiene cada uno si entre ambos poseen 42 discos compactos? a) 12 y 30 b) 10 y 32 c) 14 y 28 d) N.a
Podemos pegar las formulas en nuestra habitación para recordarlas a todo momento.
SITUACIONES PROBLEMÁTICAS DE PROPORCIONALIDAD OBSERVA: ¿CÓMO SE RESUELVE? Ejemplo:
En un rectángulo la razón entre su largo y su ancho es de 5 es a 2. Si el rectángulo mide 20m de largo. ¿Cuántos métodos mide el ancho? Resolución
como 3 es a 7. Si hay 24 varones. ¿Cuántas mujeres hay?
Rpta:_______________________ Entonces x = 2,4 x=8 Rpta. El ancho del rectángulo mide 8 metros.
Problema Nº02 En una granja el número de gallinas con relación al número de patos es como 4 es a 9. Si el número de patos es 45 ¿cuántas gallinas hay?
Rpta:______________________
YO LO PUEDO HACER
Problema Nº 01 En una reunión el número de varones con relación al número de mujeres es
Problema Nº 03 En un rectángulo la razón entre su largo y su ancho es como 3 es a 2. Si el rectángulo mide 12m de largo ¿Cuánto mide su ancho?
Rpta:_______________________
Rpta.:______________________
Problema 04 En una biblioteca el número de libros de matemática con relación al número de libros de lenguaje es de 9 es a 5. Si hay 108 libros de matemática. ¿Cuántos libros de lenguaje hay?
Sigamos avanzando
Rpta:_______________________
Problema 05 El número de profesoras de mi escuela con relación al número de profesores es como 3 es a 2. Si hay 12 profesores. ¿Cuántas profesoras hay?
ME DIVIERTO PRACTICANDO
1. Sí 5 lapiceros cuestan 60 soles, con 180 soles ¿cuántos lapiceros podré comprar? a) 20 b)25 c)15 d)40
2. ¿Cuáles de las expresiones son proporciones? 2
I .
3
12
II .
18
6 7
18
III .
21
a) Sólo I c) II y III
5 8
25
40
b)I y II d)Las tres
3. Dada las expresiones: 5
15
3
4
32
Calcular el valor de: a)18
b)21
x c)27
d)32
4. Si 8 camisas cuestan 720 soles ¿cuánto costaran 3 camisas? a)s/.180 b)s/.240 c)s/.270 d)s/.360
5. ¿Cuáles de las expresiones son proporciones? I .
5
20
7
7. La figura mostrada es un rectángulo ¿calcular la relación que existe entre el largo y el ancho?
24 y
como 7 es a 4; si hay 56 libros de matemática ¿cuántos libros de lenguaje hay? a) 30 b) 32 c) 36 d) 38
28
a) I y II d) Sólo III
II .
7
28
9
27
III .
15
30
21
42
b) I y III c) Sólo I
6. En una biblioteca el número de libros de matemática con relación al número de libros de lenguaje es
a) 15/8 d) 8/15
b)7/12
c)15/10
8. con estas tres razones geométricas 5/3; 10/6 y 15/9 ¿Cuántas proporciones puedes formar? a) 1 b) 2 c) 3 d) Ninguno
9. El valor de la razón geométrica de un par de números es 3/5. determine la diferencia entre estos, sabiendo que su suma es 72. a) 18
b) 16
c) 12
d) 14
10. El valor de la razón geométrica de un par de número es 7/4. determine la suma de estos números sabiendo que la diferencia entre estos es 15 a) 45 b) 50 c) 55
11. Si:
3a 2c
a)1
a 3
b
c
4
7
Calcular el valor de: a)2
b)3
4b
a
9a
c
3c
c)4
d)5
Ya terminaste?
d) 65
a 2
12.Si:
b
a
3
c
5
; calcula el valor de
REGLA DE TRES SIMPLE
8b
b
b)2
c)5
d)6
Una regla de tres es simple cuando intervienen dos pares de cantidades proporcionales (ósea una proporción geométrica)
En la Regla de tres simple intervienen las cantidades conocidas o datos y una cantidad desconocida ó incógnita.
4
480
6
4 x .
x
OBSERVA: ¿CÓMO SE RESUELVE?
I.
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Ejemplo 1 Si 25 melones cuestan 75 soles ¿cuánto se pagará por 14 melones? Resolución: 25 melones 75 14 melones x formamos una proporción geométrica:
x
6 480 .
6 120 .
1 x x
6 120 .
720
Rpta. Las 6 mesas costaran s/.720
”Producto de extremos igual al producto de medios” 25 x
x
x
.
25 14
75
x
75 14 .
75 14 .
25 42
II. Rpta. Por los 14 melones se pagará s/.42 Ejemplo 2 Si 4 mesas cuestan costarán 6 mesas? Resolución: 4 mesas 6 mesas
s/.480.¿cuánto
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
Cuando las magnitudes inversamente proporcionales. M t N x Luego: x
s/.480 s/.x
m.t
Ejemplo 1
n
son
El confecciona cierta cantidad pantalones en 18 días usando máquinas. ¿En cuántos días confeccionará la misma cantidad pantalones si solo se cuenta con máquinas?
de 45 se de 15
Resolución
18
Rpta. Demorará 54 días con 15 máquinas.
12 albañiles
x
.
8
x
x
14 días 8 días
12 14 .
12 14 .
8 x
21
Luego, se necesitan 21 – 12=9 albañiles
YO LO PUEDO HACER Problema 01 Un panadero utilizó 20 kilos de harina para hacer 160 baguetes. ¿cuántos kilos de harina tendrá que comprar para hacer 240 baguetes? Resolución
Ejemplo 2 Si se sabe que 12 albañiles, construyen una pared en 2 semanas ¿cuántos albañiles más se necesitarán para construir dicha pared en solo 8 días? Resolución
Rpta.:_______________________ Problema 02 En una emsambladora se arman cada 2 semanas, 24 carros ¿cuántos gorros se arman en 7 semanas? Resolución
Rpta.:_______________________
Rpta.:______________________ Problema 03 Tres campesinos tardan 10 días para cosechar una chacra ¿cuántos campesinos deben de trabajar para cosechar el campo en 2 días? Resolución
Todos a estudiar
Rpta.:______________________ Problema 04 Cinco obreros construyen un puente en 80 días. ¿cuántos obreros deben de trabajar para terminar la obra en 50 días?
Rpta._______________________ Problema 05 Pepito jugando al fútbol, gasta 84 calorías en 7 minutos. ¿cuántas calorías gasta en 20 minutos? Resolución
ME DIVIERTO PRACTICANDO
Problema Nº01 Por la compra de 25 metros de tela pagué 750 soles. ¿Cuánto pagaré por 30 metros de la misma tela? a)s/.600 b/.800 c)s/.900 d).1200
Problema Nº02
Problema Nº08
Cuatro costureras hacen un trabajo en 9 horas. ¿en cuántas horas lo harán 12
Si 8 hombres demoran en hacer un trabajo en 15 días ¿Cuántos días demoraría si sólo
costureras? a) 1h b)2h
trabajaran 5 hombres? a)9,37 b)24 c)20 d)26
c )3h
d)4h
Problema Nº03 Luchito escribe 4 hojas de su cuaderno en 10 minutos. ¿cuántos minutos empleará en escribir 30 hojas? a)60 b)75 c)45 d)85 Problema Nº04 Si 8 sillas cuestan 480 soles ¿Cuánto costarán 20 sillas? a)s/.1400 b)s/.1600 c)1800 d)1200 Problema Nº05 La mamá desde Juanita prepara 7 tortas con 21 kg de harina. ¿Cuántas tortas preparará con 60 kg. De harina? a) 20 b)30 c)40 d)28 Problema Nº06 Pedrito recorre 40 metros con una velocidad fuera de 3km/h ¿Cuántos metros recorrería? a)50km b)60 km c)80km d)90km Problema Nº07 Panchito para recorrer una cierta distancia demorará 12 minutos si va a una velocidad de 50m/min. Si su velocidad fuera de 60m/min ¿cuántos minutos emplearía a)14,4 b)10 c)12 d)15
Problema Nº09 Si: 5 perritos tienen alimentos para 12 días; si aumentáramos 1 perrito más ¿para cuántos días les alcanzaría los alimentos? a)8 días b)11 días c)10 días d)9 días Problema Nº10 Si por la compra de 18 frazadas pago s/.1440 ¿Cuánto hubiera pagado si solo hubiera comprado 10 frazadas? a) S/. 900 d) S/.1400
b) S/.800
c) S/.600
5. El costo de 17 cuadernos es de S/91 ¿Cuánto costarán 85 cuadernos?
a) S/455 d) S/ 182
b) S/637 e) S/ 364
c) S/273
6. 30 pinturas tardan 40 días en pintar una casa. Si duplicamos el número de pinturas, ¿Cuántos días tardarán en pintar otra casa de iguales dimensiones a la primera? AUTOEVALUACIÓN Nº 04 1. Completar:
a c
=
c d
ax
= bx
Siendo: ______________ extremos ______________ medios 2. Si:
6n 3
18
6
a) 25 d) 22
4
entonces 5n + 3 es: b) 24
c) 23
3. Si una docena de libros de matemáticas cuesta S/360 ¿Cuánto cuesta 8 libros iguales? a) 120 d) 360
b) 240
c) 300
4. Si 8 hombres demoran hacer un trabajo en 15 días ¿Cuántos días demoraría si sólo trabajaran 20 hombres? a) 6 d) 12
b) 8
c) 10
a) 10 d) 25
b) 15 e) 30
c) 20
7. Una expedición de 80 hombres tiene víveres para 30 días. Si se incrementaran 20 hombres ¿Para cuántos días alcanzarán los víveres? a) 20 d) 26
b) 24 e) 32
c) 28
8. Un grupo de peones emplean 16 días de trabajo para sembrar 42m2. ¿Cuántos días emplearán en sembrar un terreno de 735 m 2? a) 220 d) 236
b) 240 e) 272
c) 280
9. 15 hombres pueden cultivar un campo en 8 días. Calcule cuántos hombres se necesitarán para cultivar el mismo campo en 5 días. a) 24 d) 18
b) 20 e) 20
c) 26
10.Cinco sobres de detergente cuestan 4,75 soles. ¿Cuánto se pagará por 3
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