Cont I - Cap. III
July 13, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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CONTROL
I
CAPITULO III
ELABORACION DE PROCESOS MATEMATICOS MATEMATICOS MEDIANTE DIAGRAMAS DE BLOQUE Y FLUJOS
DOCENTE:ING ROBERTO JAIME QUIROZ SOSA 2013
IIII II
ELABO RACION DE PROCES OS MATEMATI MATEMATICOS COS MEDIANTE DIAGRAMAS DE BLOQUE BLOQUE Y FLUJOS FLUJOS
DIAGRAMA DE BLOQUES PUNT PUNTO O DE SUMA: señal de entrada ( x ), se va a sumar con la señal realimentada
DETECTOR DE ERROR Viene a ser la diferencia entre la referencia de entrada y la señal de realimentación del sistema de control.
(
X
±
Y )
PUNTO DE REFERENCIA O PUNTO DE TOMA señal de salida de un bloque va a otro bloque o punto de suma BL OQUE Y FLECHA
El bloque es la descripción de un proceso y la flecha es la señal del flujo en forma unidireccional.
EJERCICIO: En el circuito mostrado determinar las ecuaciones correspondientes y su diagrama de b bloques: loques:
Se determina las ecuaciones de estado que siguen al sistema. Por las ecuaciones planteadas se debe conocer i , V 2 La señal de entrada es V 1
__
X
X i 1 X 2 v2
u v1
v1 R 1i R2i Aplicando la II L.K. L.K.
Ecuación de estado
u X 1 R1 X 1R2 i X 1 X 2
u
R1 R2
v2 R 2 i X 1R2
4
OTRA FORMA: LAZO CERRADO
Consideremos las mismas variables.
i X 1 , v X 2 2
entrada V 1
u
POR OHM Por diferencia de potencial X 2
V 2 R2 i R2 X 1
iR 1
v v 1
2
...... Ec Ecuacion uacion de Es Estado tado
i
v1 v2 R1
X 1
u X 2 R
.... Ecuacion de Es Estado tado
1
6
PROCEDIMIEN TO PARA TRAZAR DIAGRAMAS DE BLOQU ES Método para trazar un diagrama de bloque en un sistema de control
Se escriben las ecuaciones ecuaciones Se aplica una herramienta matemática. Se juntan los elementos en un diagrama de boques completo.
REDUCCION DEL DIAGRAMA DE BLOQUES Un diagrama de bloques se puede conectar en serie solamente s olamente si la salida de un bloque no es afectada por el bloque inmediato siguiente. siguiente. Si existiera cualquier efecto de carga entre los componentes es necesario combinar esas componentes en un único bloque. bloque. Se debe tener presente que simplificar un diagrama de bloque implica que los nuevos bloques se vuelvan mas complejos. complejos.
Esta simplificación se realiza por arreglos y sustituciones, la cual reduce la tarea de efectuar el análisis matemático siguiente
ALGEBRA DE BLOQUES
8
ALGEBRA DE BLOQUES
9
ALGEBRA DE BLOQUES
10
FUNCIÓN TRANSFER SFERENCI ENCIA A (F (F.T .T.) .) FUNC IÓN DE TRAN La función de transferencia de un sistema es la relación entre:
La Transformada de laplace de la variable de salida (Función Respuesta).
la Transformada Transformada de laplace de la variable de entrada, (Función Impulsora).
F .T . F ( s )
Y ( s ) X ( s )
11
FUNCIÓN FUNC IÓN DE TRAN TRANSFER SFERENCIA ENCIA (F (F.T .T.) .) La F.T. , esta descrito por una ecuación diferencial lineal de orden “n” o o linealizada con respecto al tiempo y en términos de variables de desviación entonces
d n y an dt n
y(0)
y(n0) y (n0)1 y(n0 ) 2 ... y(20) y(0) 0
a n 1
d n 1 y dt n 1
an 2
d n 2 y d 2 y . .. . a2 2 dt n 2 dt
a1
d y dt
a0 y bf (t )
Tomando la transformada de laplace y factorizando
an s n
a2 s 2 a1 s a0 Y ( s ) bF ( s ) an1 s n1 an2 s n2 ....
12
FUNCIÓN FUNC IÓN DE TRA TRANSFE NSFERENC RENCIA IA (F (F.T .T.) .) Donde la función de transferencia será:
G( s )
Salida en do min io Laplace Entrada en do min io Laplace
La función de Transferencia Transferencia de la ecuación diferencial será
Y ( s )
b
2 G( s ) F a s n a s n1 a s n2 ... a s a1 s a0 .. . n n 1 n 2 ( s ) 2
13
APLICACIÓN Un sistema de control con retroalimentación, cumple la función de modificar la salida antes de compararla con la entrada.
DONDE: DONDE:
B( s ) H ( s ) C ( s )
.......... (1)
C ( s ) G ( s ) E ( s )
.......... (2)
E ( s ) R ( s )
.......... (3)
B( s )
14
REMPLA ZANDO (1) EN ((3) 3)
E ( s )
R( s ) H ( s )C ( s )
.......... (4) (4)
(2 ) REMPLA ZANDO (4) EN (2 C ( s )
G( s ) ( R ( s ) H ( s )C ( s ) )
C ( s )
G ( s ) R( s ) H ( s )G( s )C ( s ) )
C ( s ) (1 H ( s )G ( s ) ) G( s ) R( s )
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LA ZO CERRA DO C ( s ) R( s )
G( s ) 1 H ( s )G( s )
15
EJEMPLO: En el sistema de control de lazo cerrado c errado mostrado se encuentra sometido a perturbaciones, hallar la función de transferencia.
SOLUCION SOLUCION Están presente en el sistema lineal, dos entradas, como son : -
La red : La perturbación :
R (S). N ((S) S)
Cada entrada puede ser tratada independientemente de la otra y se puede sumar las salidas correspondientes de cada una de las entradas para obtener la salida total. 16
CONSIDERANDO EL ANA LISIS DE LA PERTURBA CIÓN N(s)
.T.. SER A : SU F.T
C N ( s ) N ( S )
G2( S ) 1 H ( S )G1( S )G2( S )
17
CONSIDERANDO LA ENTRADA DE REFERENCIA R(s)
SU
C R ( s ) R( S )
F.T .T.. SERA :
G1( S )G2( S ) 1 H ( S )G1( S )G2( S )
La respuesta total C(S) debido a la aplicación simultanea de la entrada de referencia R (S ) la perturbación N(S) esta dado por:
C ( S ) C R ( S ) C N ( S )
18
C ( S )
G1( S ) G2 ( S )
1 H ( S ) G1 ( S ) G2( S )
C ( S )
G2( S ) N ( s ) 1 H ( S ) G1( S ) G2 ( S )
G2( S ) (G1( S ) R( S )
N ( S ) )
1 H ( S ) G1( S ) G2( S ) SI: SI :
G1( S ) H ( S )
1
ENTONCES: G1( S )G2 ( S ) H ( S )
G N ( S ) N ( S )
1
0
Lo que significa que se va a suprimir la perturbación.
19
EJEMPLO: Reducir el diagrama de bloque y hallar F F.T .T .
SOLUCION: Empezamos reduciendo el bloque G1 y G4
El bloque G2 y G3
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FT C ( S ) R( S )
G1G4 (G2 G3 ) 1 G G H 1 4 1 H 2G1G4 (G2 G3 )
21
POLOS Y CEROS D E UNA F T
La F.T F.T.. Es una relación entre dos ecuaciones en dominio laplace, donde un polinomio Q de (s) orden “m” y esta en el numerador y el polinomio P (s) de orden “n” esta en el denominador denominador,, cada uno de estos polinomios tiene sus respectivas raíces raíces
el orden de la ecuación del numerador es menor que la del denominador m < n. n.
a.
Las Raíces de Q(s) se llaman CEROS de la F.T .T..
b.
Las Raíces de P (s) se llaman POLOS de la F.T .T..
G( s )
Q( s )
P ( s )
Polinomios Poli nomios de orden m en S Polinomios Poli nomios de orden n en S
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POLOS Y C EROS D E UNA F T Las raices (de los polos), del den denominador ominador de la F.T .T.. es importante ya que que determinara las características de la respuesta dinámica del proceso, mientras que los ceros no tiene tanto interés.
G( s )
G( s )
bm s m an s n
bm1 s m1 ...... b1 s b0 an1 s n1 ...... a1 s a0
( S Z 1 ) ( S Z 2 ) ( S Z 3 ) .... ( S Z m ) ( S P 1 ) ( S P 2 ) ( S P 3 ) .... ( S P m )
Los polinomios se pueden separar en factores sencillos:
DONDE: Z 1, Z 2 , Z 3, ... Z m
:
Son cantidades reales o complejas, denominadas variables donde F (s) se hace cero, a estos valores se les llama ll ama ceros de F (s)
P 1, P 2 , P 3, ... P m
:
Son cantidades reales o complejas, denominadas Variables, donde en F (s) se hace infinito, a estos valores se les llama polos de F (s)
23
GR AFICAR LO S PO LOS Y C ERO S DE LA F T
( S 1) ( S 3) F .T .
F S 2 ( S 2) ( S 1) ( S 3) 2 ( s )
En el sistema de control se localización de los polos y ceros de la F.T .T.. S = σ + + j ω
24
DIAGRA MAS DE FLUJOS: DIAGRA El diagrama de flujo es la representación de ecuaciones algebraica lineales simultaneas mediante gráficos de flujos de señales, en una red en el cual los nodos están conectados por ramas con dirección y sentido. Estas señales fluyen solamente en un sentido, que se indica con una flecha ubicada en la rama y el factor de multiplicación aparece en lo largo de la rama.
METODO METO DO DEL DIAGRAMA DE FL UJO La ventaja de utilizar un diagrama de flujo de seña señall para representar un sistema de contro control, l, es que se dispone de una formula de ganancia denominada de Maisson.
DEL EL FLUJ O ELEMENTOS D
25
ELEMENTOS DE UN DIAGRAMA DE FLUJO NODO: Es un punto que representa una variable o señal. señal. RAMA: Es un segmento de línea con dirección y sentido que une dos Nodos. Nodos. NODO M IXT IXTO: O: Es un nodo que tiene tantas ramas que llegan l legan como ramas que salen. salen. CAM INO O TRAYECTORI TRAYECTORIA: A: Es un recorrido de las ramas conectados c onectados en el sentido de las flechas de las ramas. ramas. LAZO: Es el camino o trayectoria cerrada, que parte de un nodo y siguiendo la dirección de la flecha retornamos a ese mismo nodo. Su ganancia es el producto de las ganancias de las ramas que le pertenecen. pertenecen.
DIRECT TRAYECTORIA : entrada (fu Es el el traye trayecto cto deDIRECTA un no nodo doA de (fuente), ente), a un nodo de salida (sumidero), que no cruza ningún nodo
26
más de una vez. vez.
PROPIEDADES
a.
REGLA DE LA SUMA:
Todas las ramas que convergen a un mismo nodo se consideran sumadas algebraicamente. algebraicamente.
E G L A DE D E T RA R A N S MI M I S IO IO N . b . R EG
X 4 G2 X 3 G1 X 2 X 1
X 3
r b
donde :
G2 X 1 X 3 G1 X 1 X 0 X 1 X 2
De un mismo nodo común se puede derivar varias trayectorias diferentes. diferentes.
c.
RAMAS EN CASCADA:
Al igual que un diagrama de bloque, bloque, en un diagrama de flujo de ramas en cascada o tándem, cuando las señales están una a continuación de otra y pueden reemplazarse por una sola rama cuya ganancia es igual a producto de las ganancias de las ramas en cascada.
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PASOS DE UN DIAGRAMA DIAGRAMA DE BLOQUE BLOQUE A UN DIAGRAMA DIAGRAMA DE FLUJO
REGLA:
a.
Toda variable en un diagrama de bloque se convierte en un nodo.
b.
Todo punto de suma de un diagrama de bloque se convierte en una variable.
c.
Todo punto de reparto en un diagrama de bloque se convierte en variable.
d.
Todo bloque se convierten una rama, manteniendo constante su ganancia o función de transferencia.
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EJERCICIOS Hallar el diagrama de flujo del siguiente diagrama diagrama
SOLUCION Su diagrama de flujo será :
SE TENDRÁ LA SIGUIENTE GANANCIA: a.
Ganancia para el lazo menor: B, G2, E, G3, D, -H, B G = G2 G3 (-H1) (-H1)
b.
La ganancia para el lazo mayor: A, G , B, G , E, G , D, -H A 1 2 3 2 G = G1 G2 G3 (-H 2 ) )
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OBSERVACION
Se puede deducir que en un diagrama dos variables cualesquiera son independiente cuando no existe trayectoria entre ellos, así tenemos: tenemos:
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FORMU LA GENERAL DE LA GANACIA ENTRADA
SALIDA SALID A
Es posible simplificar los grupos de flujos de señales de un nodo similar como se hizo en la reducción de los diagramas de bloque y también es posible encontrar la relación entrada-salida del gráfico. Utilizando la fórmula de Maisson. Maisson.
T
C R
P i i
DONDE: C R
: : :
Es la salida Es la entrada Es la ganancia de la i- ésima trayectoria directa
:
Es el determinante del grafo de flujo de señales o Función Característica. Puesto que la ecuación característica del sistema es
:
Es el P i
= 0.
que se evalúa eliminando todas las mallas que tocan a la ganancia de
k 1
1 (1) k j P jk
31
:
•
Es el j- ésimo producto posible de las ganancias de las K mallas que no se tocan tocan
Haciendo variar K= 1,2,………., 1,2,………., n
n
1 ( 1 ) K 1 K 1
1
P
1 P j1 P j 2 P j 3 P j 4 ........
jk
j
j
(1) 2
P
j
j 1
(1) 3
P
j
j 2
(1 )4
P
j
(1)
j 3
j
j
5
P
j
j 4
j
............
suma a de La sum La suma de todos todos los La suma de productos uctos de los prod productos uctos de toda la las gananci prod ......... 1 ganancias as de las gananc ganancias ias ganancia gananci a de dos mallas que no de tres mallas malla se tocan que no se tocan
NOTA: a.
Dos mallas no se tocarán si no tiene nodo común.
b. c.
Dos trayectorias no se tocan si no tiene nodo común. Una malla y una trayectoria no se tocan si no tienen nodo común.
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EJEMPLO: En el D.B. obtener la ganancia o F.T. mediante el diagrama de flujo.
SOLUCION Su diagrama de flujo es: es:
Observamos que existe una trayectoria directa directa
Entonces Entonces P 2 =P 3= ….. = 0
……
P 1=(1)(G(S) )(1) )(1)
P 1=G(S)
(Y (Ya a que no hay más trayectoria directa) directa)
En el diagrama de flujo se observa que solo existe una malla retroalimentada. retroalimentada. P 11 = -H (S) G(S)
33
Como solo existe una malla y esta no se toca con c on ninguna malla entonces:
P jk = 0
DETERMINAMOS EL
1 G( S ) H ( S )
1 P j1 P j 2 P j 3 1 G( S ) (H ( S ) ) j
j
j
i ? i 1 1 0 1
La única malla que toca a la trayectoria directa P 1 es G(S) H (S) lo cual lo eliminamos.
T
C r
P 11
G( S ) 1 G( S ) H ( S )
34
EJEMPLO: En el diagrama de flujo obtener su función de transferencia
SOLUCION:
Observamos que sólo existe una trayectoria directa:
1 R 3 1 R 4 1 R R 2 1
P 1
P 1
R3 R4 R1 R2
35
REORDEN REORDENANDO ANDO LA GRÁF GRÁFIC ICA: A:
VEMOS QUE EXISTE EXISTE 3 MAL LA S RETROALIMENTADA RETROALIMENTADA DONDE SUS GANANCIAS SON:
P 11 R3 R1
P 21 R3 R2
P 31 R4 R2
VEAMOS A LAS MAL LA S QUE NO SE TOCAN: TOCAN:
Se observa que la malla 1 y la malla 3 no se tocan. Representa presenta dos m all allas as que n o se toc an ) ( Re R3 R4 P P P 12 11 31 R R
P 112 2 :
1
2
P 12
R
3
R 4
R 1 R R2
Producto de las ganancias de dos mallas que no se tocan.
36
mall as que no s e tocan. Por otra parte vemos que no h ay 3 mallas
Hallando el
= ?
1 ( P 11 P 21 P 31 ) P 12 0 1
R R
1
R3 R1
R3 R2
R4 R2
R3 R4 R1 R2
R R R R R R R R
2
1
3
1
4
2
R1 R2
Halland o el Halland
3
3
4
i
i 1 1 v3 v1
P 11
R3 R4 R1 R2 R1 R3 R1 R4 R2 R3 R3 R4
37
PROBLEMA: Dado el sistema de control siguiente obtener su diagrama de flujo de señal y su correspondiente función de transferencia del lazo cerrado.
SOLUCIÓN
Se observa que existe una trayectoria directa: P1 = (1) (1) (G1) (G2) (G3) = G1 G2 G 3
38
Ad emás existe 3 mallas retroalimentadas don de sus gananc ias son :
P11 = (1) (G1) (G2) (G3) (-1) P11 = - G1 G 2 G3
…… ( Malla ABDCFA )
P21 = - (G1) ( G2) (H1)
P21 = G1 G2 H1
……
( Malla BDCB )
P31 = (G2) (G3) (-H2) P31 = - G2 G3 H2
………
( Malla DCFD )
ADEMÁS OBSERVAMOS OBSERVAMOS QUE LAS DOS Y TRES M ALLAS QUE NO SE TOCAN SON
2 ma ll llas as que no se tocan
? 1 P 11 P 21 P 31 0 0
39
3 mallas que no se tocan
1 -
G1G2G3
G 1 G2 H 1
G2 G3 H 2
Obtenemos el cofactor:
i 1 Que es el determinante a lo largo de la trayectoria directa qu que e conecta al no nodo do de entrada y el nodo de salida retirando los lazos que tocan este trayecto. trayecto.
1 1 C ( S ) R( S )
1
G1 G2 G3
P 1
1
G1G2 G3 G1G2 H 1 G2G3 H 2
40
PROBLEMA: En el diagrama de flujo hallar la F.T.
SOLUCION: Observamos que existen 3 trayectorias directas
3 )(G4 ) (G5 ) G1G2G3G4G5 P 1 (G1 )(G2 )(G P 2 (G1 )( G6 )(G4 )( G 5 ) G1G4G5G6 2 )(G P 3 (G1 )(G 7 ) G1G2 G7
41
Ad emás exis ten 3 m allas do nde s u g anancia será :
P 11 (G6 )( G 4 )(G5 )( H 2 )
.......... ........
Malla 1, 3, 4, 5, 1, Malla (1 (1))
P 11 G4G5G6 H 2
P 21
(G2 )( G7 )( H 2 )
.......... ......... Malla 1, 2, 5, 1 Malla (2 )
P 21 G2G7 H 2
P 31 (G 4 )(-H 1 )
.......... .......... ..
P 31
G4 H 1
Malla 3, 4, 3 , Malla (3) (3)
42
VEREM OS SI EXISTEN EXISTEN DOS Y TRES MA LLAS QUE NO SE TOCAN
Con respecto a dos m all allas as que no se tocan:
La malla (1) toca a la malla (3) por lo tanto = 0 La malla (1) toca a la malla (2) por lo tanto = 0
La malla (2 (2)) no toca a la malla (3) - G 2 G 7 H 2 G 4 H 1 G 2 G 4 G 7 H 1 H 2
1 P 11 P 21 P 31 P 23 0 1 G4G5G6 H 2 G2 G7 H 2 G4 H 1 G2G4G7 H 1H 2
43
VEREMO S SI EXISTEN EXISTEN DOS Y TRES MA LLAS QUE NO SE TOCAN Hallando los factores 1 , , 2 , , P 1 , P 2 , P 3 , así tenemos:
1 =
1
= 1 2
3
= 1 - ( P 31 31 )
3 , para lo cual debemos eliminar los l os lazos que tocan a,
………
Todos tocan a la trayectoria directa de P 1
……..
Todos tocan a la trayectoria de P 2
….....
Es el único que no toca a la trayectoria P 3
3 1
G 4 H 1
44
PROBLEMA:
Hallar la F. T.
SOLUCION: Vemos que existen dos trayectorias directas:
T F .T .
P i i
P 1 G1 G2 G3 G4
i 1
P 11 P 2 2
P 1 G5 G6 G7 G8
45
Vemos que existe mallas retroalimentadas donde su ganancia será s erá
P G H 11
2
.......
malla (1)
2
P 21 G3 H 3
......... malla (2)
P 31 G6 H 6
....... malla (3)
P 41 G7 H 7
.....
malla (4)
Vemos que existen dos mallas y 3 mallas que no se tocan: A.
CON RESPE RESPECTO CTO A DOS MAL LAS:
Como la malla (1) toca a la malla (2) 0 Como la malla (1) no toca a la malla (3) G G H H 2
6
2
Como la malla (1) no toca a la malla (4) G2 G7 H 2 H 7 Como la malla (2) no toca a la malla (3) G3G6 H 3 H 6
Como la malla (2) no toca a la malla (4) G3G7 H 3 H 7
6
46
B.
CON RESPECT RESPECTO O A LAS 3 MAL LA S:
Todas van a ser iguales a cero:
1 - G 2 H 2 G3 H 3 G6 H 6 G7 H 7 G2G6 H 2 H 6 G2G7 H 2 H 7 G 3G6 H 3 H 6 G3G7 H 3 H 7 Ahora vamos a obtener los factores Tocan a
P1 y P2
1 , 2
para lo cual debemos eliminar los lazos que .
Así tenemos:
1 1 G6 H 6 G7 H 7 2 1 G2 H 2 G3 H 3
F .T .
G1 G2 G3 G4 1 (G 6 H 6 G 7 H 7 ) G 5 G 6 G 7 G 8 1 G 2 H 2 G 3 H 3 1 G2 H 2 G3 H 3 G 6 H 6 G7 H 7 G 2G 6 H 2 H 6 G2G7 H 2 H 7 G3G6 H 3 H 6 G3G7 H 3 H 7
47
PROBLEMA Dado el sistema de ecuaciones lineales:
3 X 1 + F 1 1 X 3 X 11 = G 11 U 11 + G 3 X 1 X 3
……………………
(1)
X 3 = H 1 U 1 + H 2 X 2 + H 3 U 2
……………………
(2)
X 2 = F 2 X 3 + G 2 X 1
……………………
(3) (3)
Hallar: a.
El D.B. del sistema y simplificarlo simpli ficarlo para obtener la función de transferencia X 2(s) / U 1(s) , X 2(s) / U 2(s)
b.
El diagrama de flujo, utilizando la formula de maissón, 2 (s) hallar la expresión de X 2(s) en función de las entradas U 1(s) , U 2(s) .
48
SO L UC IÓ IÓN N Mediante las ecuaciones ( 1), 1 ), (2) y (3) realizamos el D.B. realizamos
Para hallar F.T F.T.. = , hacemos
49
50
51
52
F .T .
X 2 U 1
G1G2 G2 F 1 G3 F 2 F 2 H 1 1 G3 G2 F 1 G3 F 2 F 2 H 2
53
X 2 U 1
X 2
, con U 2
0
P 11 P 2 2
U 1
P 3 3
P 1 = - G1 G2
L1 = G3
P 2 = H 1 F 2
L2 = - G2 H 2 F 1
P 3 = - H 1 F 1 G2
L3 = - F 2 H 2
54
1 1
3 1
2 1 L1
1 ( L1 L2 L3 ) L1L3
2
P 1
P 2
1 L1
3 3
P
G G 1 ( H F )1 (G ) H F G 1 1
X 2 U 1
1
2
1
2
3
1 1
1 G3 G2 H 2 F 1 F 2 H 2 G3 F 2 H 2
X 2 U 1
G1G2 G2 F 1 G3 F 2 F 2 H 1 1 G3 G2 F 1 G3 F 2 F 2 H 2 X 2 U 2
P 1 1 P 2 2
Con U 1 0 0
2
55
P 1 H 3 F 2
P 2 H 3 F 1G2
L1 G3 1 1 L1
L2 G2 H 2 F 1 2 1
L3 F 2 H 2
1 L1 L2 L3 L1 L3
X 2 U 2
X 2 U 2
X 2
H 3 F 2 1 G3 H 3 F 1G2 1 1 G3 G2 H 2 F 1 F 2 H 2 G3 F 2 H 2
1 G3 F 2 F 2 H 3 1 G G2 F G F F G F H 3
2
1
2
3
2
2
G2 F 1 G3 F 2 F 2 H 3 G1G2 G2 F 1 G3 F 2 F 2 H 1 U 1 U 2 1 G3 (G2 F 1 G3 F 2 F 2 ) H 2 1 G3 G2 F 1 G3 F 2 F 2 H 2
56
PROBLEMA Dado el sistema de control siguiente, obtener el diagrama de flujo de señal y su correspondiente función de transferencia de lazo cerrado.
57
SOLUCIÓN:
-H2
R(s)
1 G3
A F
1
B
G1
H 1
-1
D
G2
E
58
Se observa que existe una trayectoria directa: P = (1) (1) (G ) (G ) (G ) = G G G . 1
1
2
3
1
2
3
Además existe 3 mallas retroalimentada donde sus ganancias son: P11 = (1) (G1) (G2) (G3) (-1)
…………………..
(Malla A, B, D, E, F, A)
…………………..
(Malla B, D, E, B)
…………………..
(Malla D, E, F, D)
P11 = - G1 G2 G3
P21 = (G1) (G2) (H1) P21 = G1 G2 H1 P31 = (G2) (G3) (-H2) P31 = - G2 G3 H2
59
Además observamos que las 3 mallas no se tocan dond donde: e: las 3 mallas que no se tocan: =
?
=
1 - (P11 + P21 + P31) + 0 0 0
=
–
1 - G1 G2 G3 G G1G2 H1 + G2 G3 H2 –
Obtenemos el cofactor i =1, que es el determinante a lo largo de la trayectoria directa que conecta al nodo de entrada y el nudo de salida retirando los lazos que tocan este trayecto:
1 1 C ( s ) P G1G2G3 R( s ) 1 G1G2G3 G 1G2 H 1 G2G3G2
60
PROBLEMA En el sistema mostrado, usado para control de posición posici ón se pide: a. Hallar el D.B. del sistema. b. La F.T. .T. total del sistem sistema. a.
61
e
..
K 1 ( i 0 )
V K 2 e K 1 , K 2 , K 3
:
.
T K 3 V I 0 B 0
Inercia de la carga
son cons tan tes proporcionales
SO L UC IÓN: a.
SIN SI N CONSIDERAR L A , R A . De las ecuaciones dadas aplicando LAPLACE
E ( s ) K 1 ( i ( s )
0( s ) )
V ( s )
K 2 E ( s )
T ( s )
K 3 V ( s ) I S 0 ( s ) B S 0( s ) ( I S 2 B S ) 0( s ) 2
..
.
62
( s ) i ( s )
K 1 K 2 K 3 I S 2 B S
b. CONSIDERANDO L a , R a . Se sabe:
63
DEL CIRCUITO: di V ( t )
a ( t ) Ra ia ( t ) La dt eb
eb K K
d 0 dt
= Cost. K ia ia (t )
K
Reemplazando Reemplazan do datos:
V (t )
Ra
k
La
Ra k k d 0(t )
d
dt
dt
64
V ( t )
k
Ra
Ra L a d
k K dt
4
d 0 ( t ) dt PASANDO A
Donde:
K K 4 Ra V ( s )
V ( S )
Ra La
k 4 T ( s ) k 4
V ( t )
LAPLA CE:
Ra Ra L a k 4 k 4
ST ( s ) k 4 S 0 ( s )
Ra
d d k 4 0(t ) dT dt
a )T ( S ) (1 SL
k 4 S 0( S )
K 4 1 IS B BS S 2
i(s)
E(s)
+
K1
-
V(s) K2
T(s) K3
Ra (1 sLa K 4
-
+
1 K 4 s
0(s)
65
PROBLEMA PROBLEMA En el esquema mostrado obtener: a. El modelo matemático del motor D.C. usando el método del espacio estado el cual deberá de ser controlado por: a1. Por voltaje de armadura. A2. El diagrama de campo. b. El diagrama de bloqu bloque e y función d de e transferen transferencia cia de los casos (a).
R a
ia
it
J
b
e b
w10
eF
La
salida
ea
entrada
66
SOLUCION: El control de la velocidad ω ú θ se puede realizar en un motor de D.C. controlando su corriente de armadura o su corriente c orriente de campo. a1.
Cuando se controla el voltaje de armadura. armadura.
Del circuito se establece:
ea ( t ) Ra ia t L a
dia t dt
eb ( t ) ......... (1)
entrada ea t u
67
Además por la conversión de la energía eléctrica en en mecánica se va a desarrollar un m en el motor. m
:
Momento de torsión del motor
1 ia (t ) m K
K F i F
m
como i F const .
K F i F K 1 ia
K K F i F K 1
m
Kia (t )
Este torque torque del motor ( ) es igual al proporciona proporcionado do a la carga carga..
m
1 d , L m d
68
L : Momento de torsion de la carga perturbac baciion. L : Momento de torsion de pertur d
J: b: ..
0 (Consideram os D Despreci espreciab ab le ) L
J
d 2
d
dt 2
dt
b
Momento de inercia Coeficiente de fricción viscoso, se produce debido al rozamiento del Aire con el motor, motor, por lo que es dependiente directamente de la velocidad.
L
m d m L
69
Reemplazando Datos
K 1 ia(t )
J d 2 b d 2
dt
KI a ( S )
dt
.......... .......... .. (2)
JS 2 ( S ) bS ( S )
La fuerza Contra electromotriz
e b K 1 w , K b K 1 , e b K b d dt
w
d dt
70
Estableciendo las ecuaciones que rigen al sistema sis tema podemos determinar las variables de estado. Haciendo: Para obtener los vectores de estado se procede :
ia X 2 X 1
o
X 3
dia( t )
R i L
e a( t )
a a
a
dt
K b
d dt
De la ecuación (1) o
u o
X 1 o
ea Ra X 1 La X 1 K b X 3 ( t )
Ra La
X 2
X 1
K b La o
X 3
1 La
u .......... ........ (3 (3) )
X 2 X 3 .......... .......... (3 (3) )
71
De la ecuación (2) o
k
o
b
J X 3 bX 3 KX 1 X 3 J X 1 J X 3 ................ (4) De la ecuación (3), (4) y (5) obtenemos la ecuación de espacio estado del sistema: o
X AX Bu 1 o - Ra 0 - K b L x1 L a L a x1 a o 0 1 . x 2 0 x 2 0 o K b x 3 0 0 x 3 J J
la salida sera
y C x Du
X 2
.u
72
x1 y 0 1 0 . x 2 0 .u x 3
b1.
Calculo del diagrama de bloques y función de transferencia: Las ecuaciones diferenciales obtenidas anteriormente.
ea( t )
Ra ia (t ) La di
a( t )
dt
ea
m Kia (t ) .......... .....( 2) , L
L J
eb K b
d 2 2
dt
d dt
( t )
.......... .....( 1)
m d .......... ....( 3) b
d dt
.......... . . (4)
73
Aplicando la transformada de laplace a cada cada ecuación y considerando la condición inicial .
I a ( 0 )
0
De la ecuación (1)
ea( t ) E a( s )
Ra ia ( t ) La Ra I a ( s )
dia( t )
dt sLa I a ( s )
E sL Rb a a E
I a ( s )
a( s )
( s )
eb
( t )
E b
( s )
74
Obteniendo el d diagrama iagrama d de e bloq bloques ues donde la e entrada ntrada es Ea (s) y la salida Ia (s)
R a(S)
I (s)
+
1 S La + R a
-
I a(s)
C b(s)
De la ecuación (2) m T m
( s )
K
ea
( t )
K I a
( s )
Adicionando al diagrama diagrama de bloques:
E a(S)
E(s)
+ -
E b(s)
1 S La + R a
I a(s)
K
Tm(s)
75
De la ecuación (3)
L m d d 2 d L T b 2 dt dt Aplicando Laplace
T L( s )
T m T d
T L( s )
TS 2 ( s ) bS ( s )
( s )
( s )
TS 2 ( s ) bS ( s ) T m( s )
( s )
T m
( s )
T d
2
( s )
T d
( s )
Ts
bs 76
Adicionando al diagrama de bloques
De la ecuación (4)
eb K b
d dt
E b
( s )
K b s ( s ) ( s )
77
Adicionando al diagrama diagrama de bloque:
La función de transferencia será:
G( s )
( s ) E a( s )
1 K 2 s L R J s bs a a 1 K 1 K b s 2 s La
Ra
J s
bs
78
Ordenando :
G( s ) G( s )
a2.
( s ) E a( s )
( s ) E a( s )
K
s L
a
Ra Js 2 bs KK b s
K
s s La Ra Js 2 bs KK b
Cuando se controla por la corriente de campo del circuito excitatriz exci tatriz
di f
e f R f i f L f dt .......... ...(1) Donde: ef = entrada = u Por la conversión de energía.
I a K
m
79
Como ia debe mantenerse constante
K f i f m K 1 K f i f ia K f i f ( t )
( t )
Como Tm es igual al proporcionado de la carga
m L d L m
,
a 0
,
L J 2
Ki f
donde :
i f X 2 X 1
o
J
d dt
b
2 d
dt d dt
b
d dt
.......... .........( 2)
X 3
80
De la ecuación (1).
e f R f i f L f di f dt o
u R f X 1 L f X 1 o
X 1
R f
1
X 1
L f
o
. . (3) u..........
L f
. (4) X 2 X 2 X 3 .......... De la ecuación (2).
J
d 2 2
dt o
d
b
dt
Ki f
J X 3 bX 3 K X 1 o
X 3
J X 1 b X 3 ..................(5) K J 81
1 o Rf xo 1 - L f 0 0 x 1 L f x 2 0 0 1 . x 2 0 .u x 0 o K b 0 - 3 x 3 J J
Su salida será θ:
y Cx Du
,
u e f
X 1 y 0 1 0 X 2 0 u X 3
82
b2
Cálculo del diagrama de bloques y la función de transferencia: De las ecuaciones diferenciales obtenidas anteriormente:
U f ( t )
R f i f L f
d if
dt
donde : E f ( s )
R f i f sL f I f ( s )
m
K 1 I a ,
m
K 1 K f i f ia
m
Ki f
( s )
K f i f ( t )
( t )
( t )
.......... .......( 1)
( t )
(1 )
donde : T m( s )
KI f ........... . (2) ( s )
83
Además
L 2 d T m T L T d ..........(3) d d , d 0 L J 2 b m
( s )
dt
T L
( s )
( s )
dt
Js 2 ( s ) bs 2 ( s ) ...................(4)
KI ( s ) Js 2 ( s ) bs ( s ) T d
( s )
Para obtener obtener su diag diagrama rama de bloque. De la ecuación (1).
E f ( s )
sL f R f ) I f ( sL
( s )
84
De la ecuación (2)
T m( s ) KI f ( s ) El nuevo diagrama de bloque será:
De la ecuación (3)
T m
T L T d
( s )
( s )
(s) 85
De la ecuación (4).
T L
Js 2 ( s ) bs 2 ( s )
( s )
T L
( s )
1
I Iss 2 bs
86
La función de transferencia será
( s ) E f ( s )
1 1 K T L sL L f R f s Js bs s
( s ) E f ( s )
( s )
K f f sL R s Js bs
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