Construction Mixte Acier-Béton 3 - CSTC - Be

 

 

NORMALISATION – RÉGLEMENTATION – CERTIFICATION

La construction mixte acier-béton

La conception des constructions

mixtes en acier-béton doit être conforme aux règles décrites dans l’Eurocode 4 (EC 4) [7]. Les méthodes de calcul pour le dimensionnement des éléments structuraux mixtes aux états limites ultimes (ELU) et de service (ELS) ont fait l’objet de la 1ère et de la 2e partie du présent article ar ticle [11, 1]. Ce troisième volet examine de manière plus détaillée l’importance des états limites de service lors du dimensionnement et de la mise en œuvre de planchers mixtes à l’aide d’une série d’exemples de calcul pratiques.

.

3e partie : vérification des états limites de service des planchers selon l’Eurocode 4. Exemples de calcul i

1 IN INTR TROD ODUC UCT TIO ION N

LE  PROJET SIRIUS : SCIENTIFIC  INTEGRATED RESEARCH INTO  UTILITY ON  STEELDECK  COMPOSITE  FLOORS

Les planchers mixtes en acier-béton (PMAB) (cf. figure 1) sont constitués de tôles profilées écrouies à froid sur lesquelles on coule du béton. Après durcissement de ce dernier, l’ensemble forme un matériau composite au sein duquel les tôles font office d’armatures de traction ex-

Tant la conception que le dimensionnement des planchers mixtes en acier-béton doivent s’effectuer selon les règles décrites dans l’Eurocode 4 (EC 4) [7].

térieures. La la résistance au feu exigée peut être garantie par pose d’armatures complémentaires au sein de chaque nervure. Au-dessus des appuis intermédiaires, on prévoit en général des armatures de traction traditionnelles.

septembre 2004 via le projet TETRA ‘Integratie van staalplaat-betonvloeren in het bouwproces’ (Intégration des planchers mixtes en acier-béton dans le processus de construction) et a été mis en œuvre par le De Nayer Instituut et la Katholieke Hogeschool SintLieven. Ils ont pour objectif de poursuivre l’étude de la conception, du dimensionnement, des aspects liés à la mise en œuvre et des possibilités d’application des planchers mixtes en acier-béton et de diffuser les informations obtenues auprès d’un large public (architectes, concepteurs, entrepreneurs, maîtres d’ouvrage, ...). Pour plus d’informations à ce sujet, nous vous renvoyons au site Internet www.staalplaatbetonvloeren.be www.staalplaatbetonvloeren.be..

Ce type de plancher mixte est principalement mis en œuvre dans des structures en acier, mais il peut aussi être combiné à une structure stru cture en béton ou à une maçonnerie (surtout en cas de rénovation). Les planchers mixtes en acier-béton offrent une série d’avantages par rapport aux systèmes classiques (tels les hourdis et le béton coulé in  ), et ce principalement lors de l’exécution. situ ), Ainsi, par exemple, comme les tôles sont livrées en lots sur le chantier, elles prennent moins de place lors du stockage. De plus, elles peuvent être mises en place manuellement en raison de leur faible poids. Si elles tolèrent une circulation pédestre durant la phase de mise en œuvre, il est en outre possible de préparer plusieurs étages en même temps (sans étayage) avant de procéder au coulage du béton. Cette méthode de travail permet d’atteindre une plus grande

Fig. 1  1  Plancher mixte en acier-béton  en cours d’exécution.

Dans ce contexte, le projet de recherche SIRIUS ‘Ontwerp en detaillering van staalbetonvloeren voor woningen en meerverdiepingsgebouwen’ [12] (Conception et détails des planchers mixtes en acier-béton et des bâtiments multi-étagés) a été lancé en octobre 2002 dans le cadre du fonds HOBU. Ce projet, subsidié par l’IWT, se poursuit depuis

Le CSTC, et plus particulièrement son Antenne Normes ‘Eurocodes’, collabore avec l’équipe du projet SIRIUS, notamment au sein de sa commission d’utilisateurs.

flexibilité dans la planification et de réduire les le s délais d’exécution d’exécution..

2 PHAS PHASES ES DE DE CONS CONSTR TRUC UCTI TION ON ET ET ÉTATS LIMITES DE SERVICE Les possibilités et/ou les limites d’exécution exercent une influence non négligeable sur la conception de ce type de construction. Le choix final des ELS dépend notamment de la portée à couvrir, de la possibilité d’utiliser ou non des poutres secondaires et d’étayer les tôles jusqu’au durcissement du béton. Etant donné que les tôles profilées et le béton remplissent une fonction différente au cours de chaque phase de construction, il importe de vérifier les conditions d’utilisation spécifiques.

2.1 COFFRAGE  EN TÔLES  PROFILÉES ÉCROUIES  À  FROID Les tôles profilées écrouies à froid font en premier lieu fonction de surface de travail et de coffrage permanent. Elles doivent en outre être capables de reprendre les charges qui se pro-

duisent durant les travaux, le poids du béton frais et les armatures complémentaires. Durant la phase de coffrage, il y a lieu de veiller à ce que la flèche des tôles reste limitée sous le poids du béton frais. Cette flèche étant irréversible irréversible après durcissement du béton, la déformation totale du plancher sera plus importante lors de l’utilisation. l’utilisatio n. Etant donné la faible rigidité des tôles, les travées doivent être réduites. En l’absence d’étayage complémentaire, ces dernières s’élèvent à environ 3 à 4 m. Pour pouvoir franchir des distances plus importantes, on opte

  A.

Van Gysel, Van Gysel, dr. ir., ir., profess professeur eur,, HogeHogeschool voor Wetenschap & Kunst, De  Nayerr Instituut,  Naye Instituut, chef chef du proj projet et SIRIUS  SIRIUS   B. Parme Parmentier ntier, ir., ir., chef chef du laboratoi laboratoire re ‘Structures, Menuiserie et Eléments de  façade’,  façade ’, CSTC   L. Pyl, Pyl, dr. dr. ir., ir., profess professeur eur,, Hogescho Hogeschool ol voor  Wetenschap & Kunst, De Nayer Instituut  P. Van den Broeck, dr. ir., Katholieke  Hogeschool  Hogesch ool Sint-Liev Sint-Lieven, en, Campus Campus Rabot, Rabot, Gand  K. Van Echelpoe1, ing., Hogeschool voor  Wetenschap & Kunst, De Nayer Instituut 

Les Dossiers du CSTC – Cahier n° 6 – 4 e trimestre 2005 – page 1

 

 

NORMALISATION – RÉGLEMENTATION – CERTIFICATION pour l’utilisation de poutres secondaires ou pour l’étayage des tôles durant le bétonnage. Pour plus de détails concernant la flèche maximale durant la phase de construction, nous renvoyons à l’Eurocode 4 (EC 4) [7] et à un article paru précédemment à ce sujet [1].

2.2 PLANCHER  MIXTE  EN  ACIER-BÉTON Après le durcissement du béton, le plancher forme un ensemble monolithique au sein duquel le béton reprend les efforts de compression et les tôles font office d’armatures de traction extérieures. Durant cette phase, il importe de vérifier un certain nombre d’états limites de service, qui seront brièvement explicités ciaprès.

2.2.1 2.2 .1 Con Contrô trôle le de la fiss fissur urati ation on La fissuration doit être contrôlée dans les zones de traction du béton. Cette situation apparaît surtout au-dessus des appuis intermédiaires d’un plancher mixte en acier-béton continu et nécessite un contrôle selon l’Eurocode 2 (EC 2) [5]. Si le plancher est considéré considé ré comme ayant été mis en œuvre de manière traditionnelle, l’EC 4 prévoit des armatures minimales au-dessus des appuis intermédiaires [7, 1].

2.2.2 2.2 .2 Con Contrô trôle le de la flè flèche che Le contrôle de la flèche sous l’influence de la charge de service s’effectue selon les règles décrites au § 9.8.2 de l’EC 4 [7, 1]. Si les tôles sont étayées durant la phase de construction, la portée du plancher peut être deux à trois fois plus grande après le retrait des étais. Compte tenu des charges de service à considérer, la flèche aura plutôt tendance à augmenaugm enter, de sorte que l’incidence de ces ELS sur la conception sera plus importante.

.

• selon l’annexe normative A1 (4.4) (Application pour les bâtiments), il est possible de satisfairee à l’état limite si la fréquence prosatisfair pre de la construction (ou de l’élément constructif) est supérieure à une valeur donnée qui dépend de la fonction du bâtiment ou de la source des vibrations et qui fait en outre l’objet d’un accord avec le client et/ou l’autorité compétente. Par contre, une analyse dynamique plus poussée s’impose lorsque la fréquence propre de la construction est in-

de la fréquence propre, la flèche des poutres portantes doit aussi être prise en considération, ce qui, dans le cas d’un plancher collaborant et d’une poutre, nécessite un calcul de la largeur participante.

férieure à la valeur susmentionnée. Les sources possibles de vibrations sont les déplacements humains, les machines, le vent, les vibrations du sol dues au trafic, ...

ficatives, mais ne fournissent cependant pas les critères et les méthodes de calcul nécessaires à cet effet.

Dans ce cadre, l’édition précédente de l’Eurocode 3 (EC 3) [8] contenait une série de règles d’application spécifiques pour les structures portantes accessibles au public et expliquait comment satisfaire à cette exigence en fixant une flèche maximale. La norme belge NBN B 03-003 [3] contient également des critères similaires relatifs aux déformations des structures portantes. Ces critères détaillés ne sont toutefois plus repris dans la dernière édition de la norme EN 1993-1-1 [6], qui, tout comme l’EC 4, renvoie seulement aux deux remarques susmentionnées de l’EC 0. Ceci est probablement dû au fait que la fixation d’exigences d’exigences en matière de fréquence propre minimale ne permet pas de garantir un niveau de vibration acceptable de la construction lors de son utilisation [8]. Une approche plus précise, sur la base d’un modèle de charges réaliste et d’un modèle structural adapté, devrait permettre de calculer les accélérations de la structure. Afin de ne pas sortir du cadre de l’article, ces aspects dynamiques ne seront pas considérés dans les exemples de calcul proposés. De plus, l’approche de la NBN B 03-003 [3], qui préconise l’utilisation de la flèche, n’est pas vraiment adaptée à ce type de construction. La recherche a en effet permis de démontrer que, si l’on désire effectuer une estimation réaliste

On peut donc conclure que les Eurocodes exigent uniquement qu’il soit tenu compte du comportement dynamique de la construction si celle-ci est soumise à des charges susceptibles de donner lieu à des accélérations signi-

3 CONTR CONTRÔLE ÔLE DES ÉT ÉTA ATS LIMI LIMITE TES S DE SERVICE : EXEMPLES DE CALCUL Dans les paragraphes qui vont suivre, nous tenterons d’illustrer le contrôle des planchers mixtes en acier-béton aux états limites de service à l’aide de quelques exemples de calcul pratiques. Pour ce faire, nous partirons de l’hypothèse d’un plancher intermédiaire situé dans un bâtiment multi-étagé. Les charges considérées comprennent le poids propre du plancher et des finitions ainsi qu’une charge de service de 3 kN/m² (un immeuble de bureaux, par exemple) (cf. partie 1-1 de l’EC 1). La figure 2 constitue une représentation schématique de la situation générale (un plancher mixte en acier-béton d’une superficie de 18 x 8 m 2, subdivisé en quatre travées). Dans le premier exemple de calcul (§ 3.1), on suppose que les tôles sont mises en œuvre dans da ns le sens de la largeur. Dans le deuxième exemple de calcul (§ 3.2), les tôles sont posées dans le sens de la longueur et il est fait usage de poutres secondaires. Dans le troisième exemple de calcul (§ 3.3), on analysera enfin le cas de tôles mise en œuvre dans le sens de la longueur et étayées durant la phase de construction.

2.2.3 2.2 .3 Con Contrô trôle le dyn dynami amique que En cas de travées importantes, la mise en œuvre de planchers mixtes en acier-béton permet d’obtenir des constructions légères possédant une faible fréquence propre et un amortissement limité. Par conséquent, la sensibilité aux vibrations de ces constructions augmente pour un certain nombre de charges dynamiques courantes (déplacements humains, p. ex.).

Fig. 2   Schéma de la situation générale. Y   m    4

En ce qui concerne cet aspect dynamique, l’EC 4 [7] renvoit aux deux remarques remarq ues suivantes tirées de l’Eurocode 0 (EC 0) [4] : • selon le §3.4(3), les vibrations entraînant l’inconfort des occupants ou compromettant la fonctionnalité de la structure constituent des critères dont il faut tenir compte lors de la vérification des états limites de service

  m    4

X 9m

Les Dossiers du CSTC – Cahier n° 6 – 4 e trimestre 2005 – page 2

9m

 

 

NORMALISATION – RÉGLEMENTATION – CERTIFICATION

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3.1 Exemple de calcul calcul 1 : mise en œuvre des tôles tôles dans le sens de la largeur largeur Dans cet exemple, on part du principe que les tôles sont placées dans le sens de la largeur, ce qui permet d’obtenir une travée de 2 x 4 m. Durant la phase de construction, les tôles qui font office de coffrage sont mises en œuvre individuellement avec 4 m de portée. Le résultat final consistera en un plancher en acier-béton reposant sur trois appuis comportant deux portées de 4 m (voir figure 3).

Fig. 3   Représentation schématique de la situation de l’exemple 1. béton

tôle 4  m

portée du plancher en acier-béton

4m

4  m

portée de la tôle durant le coulage

poutre 4m

9m

9m portée de la tôle durant le coulage

Les charges d’utilisation auxquelles est exposée la construction sont les suivantes : • une charge d’utilisation q k = 3 kN/m² (un immeuble de bureaux, par exemple), c’est-à-dire la catégorie B selon la partie 1-1 de l’EC 1 • une charge permanente g finition  = 2 kN/m² (chape, plafonds, parois, ...). Les caractéristiques du béton sont les suivantes (EC 2, tableau 3.1) : • classe de résistance : C25/30 • résistance caractéristique à la compression : fck  = 25 N/mm² • module d’élasticité sécant : E cm  = 22.[(fcm)/10] 0,3  = 31,476 GPa = 31476 N/mm². En ce qui concerne les propriétés de l’acier, on peut mentionner les valeurs suivantes : • nuance d’acier des armatures : BE 500 S • module d’élasticité de la tôle et des armatures : E a  = 210000 N/mm² (*). Compte tenu des calculs aux ELU [7, 11], la hauteur totale du plancher mixte en acier-béton s’élève à 150 mm et la tôle possède une épaisseur de 1,2 mm, une nuance d’acier f yp  de 280 N/mm² et une géométrie telle qu’illustrée à la figure 4. Le plancher mixte en acier-béton a également été pourvu d’une armature supérieure (treillis de 100/100 mm) d’un diamètre de 8 mm et d’une armature complémentaire anti-feu d’un diamètre de 10 mm placée au sein de chaque nervure. Les propriétés de la tôle, fournies par le fabricant, peuvent être résumées comme suit : • épaisseur de la tôle t p = 1,2 mm • limite d’élasticité caractéristique f yp = 280 N/mm² • moment d’inertie I p  = 3231000 mm 4 /m • surface transversale A p  = 2104 mm²/m • distance du centre de gravité à la face infé• • • •

Fig. 4  Géométrie   Géométrie de la tôle de l’exemple 1 (en mm). armature supérieure (treillis de 100/100 mm) de Ø 8 mm

rieure tôle dp’h = =56,03 mm hauteurdedula profilé 100 mm p largeur moyenne d’une nervure b0 = 93,5 mm creux périodique bs = 233,3 mm poids propre de la tôle/m² g p  = 0,162 kN/m².

béton

tôle

10 0  0 

50 3 0  0 

100 En outre, il importe aussi de tenir compte des renseignements complémentaires suivants, qui dépendent de la tôle et de la hauteur du plancher : • la hauteur du béton h c = 50 mm • le poids propre du béton/m² g b  = 2,24 kN/m².

armature antifeu de Ø 10 mm

2 3  3 3  3 

45 6 3  3 

10 9  9 

Les propriétés de l’armature sont les suivantes : • nuance d’acier des armatures : BE 500 S • l’armature supérieure se compose d’un treillis de 100/100 mm et possède un diamètre de 8 mm (enrobage du béton c = 30 mm) • l’armature complémentaire anti-feu placée au sein de chaque nervure a un diamètre de 10 mm (enrobage du béton c = 45 mm). Dans les calculs qui vont être effectués, il sera toujours fait usage de l’unité de largeur.

(*) Selon l’EC 2, le module d’élasticité des armatures doit s’élever à 200000 N/mm². Par contre, pour les constructions mixtes, cette valeur peut, d’après l’EC 4, être considérée comme équivalente au module d’élasticité de l’acier de construction (210.000 N/mm2).

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3 . 1 .1

 

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Contrôle de la fissuration

La fissuration du béton est contrôlée au droit de l’appui intermédiaire sous la combinaison de charges quasi-permanente. Cette vérification s’opère à l’aide de la formule suivante :

∑ Gk,j + ψ 2,1.Qk,1

 j≥1

où : • Gk,1 = gp  = le poids de la tôle (0,162 kN/m²) • Gk,2 = gb  = le poids du béton frais (2,24 kN/m²) • Gk,3 = gfinition   = le poids des finitions mises en œuvre ultérieurement (2 kN/m²) k ••  ψ  Qk =  =q0,3   = la charge service (3 (pour des de immeubles dekN/m²) bureaux). 2,1

Il y a une combinaison de charges possible, à savoir : (g p + gb + gfinition) +

ψ 2 . qk.

Le moment maximal au-dessus de l’appui est atteint lorsque les deux travées supportent une charge maximale. La ligne des moments correspondante est fournie à la figure 5.

Fig. 5  Combinaison   Combinaison de charges quasi-permanente : diagramme des moments (kNm). -10,60

X Y 5,94

4m

4m

5,94

Selon l’EC 4, le calcul direct de la largeur de fissure n’est pas nécessaire si l’on satisfait à quelques prescriptions simples en matière de diamètres de barre et de distance intermédiaire. Lorsque l’on respecte les valeurs reprises aux tableaux 1 et 2, on ne dépassera normalement jamais la largeur de fissure wk. Une largeur de fissure maximale de 0,3 mm est présupposée dans le cas d’applications normales.

Tableau 1 Diamètre 1 Diamètre maximal φ* des barres dotées d’une adhérence améliorée (mm) [7].

Largeur de fissure maximale

wk = 0,4 mm

Contrainte de l’acier σs1 (N/mm2)

wk = 0,3 mm

Diamètre de barre maximal

wk = 0,2 mm

φ∗ (mm) (*)

160

40

32

25

200

32

25

16

240

20

16

12

280

16

12

8

320

12

10

6

360

10

8

5

400

8

6

4

450

6

5

-

(*) Le diamètre de barre barre maximal est calculé calculé à l’aide de la formule suivante suivante : φ = φ*.fct,eff /f ct,0, où : • fct,eff  = 2,6 N/mm2  (cf. tableau 3.1 de l’EN 1992-1-1). Cette valeur peut être assimilée à la valeur f ctm du béton (pour un C25/30, f ctm = 2,6 N/mm 2) • fct,0 = la résistance de référence = 2,9 N/mm 2.

Tableau 2  Distance  Distance maximale entre barres dotées d’une adhérence améliorée [7].

Largeur de fissure maximale Contrainte de l’acier σs1 (N/mm2)

wk = 0,4 mm

wk = 0,3 mm

wk = 0,2 mm

Distance maximale entre les barres smax  (mm)

160

300

300

200

200

300

250

150

240

250

200

100

280

200

150

50

320

150

100

-

360

100

50

-

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La contrainte de l’acier doit être déterminée dans la combinaison de charges considérée. On peut la calculer de manière approximative comme suit :

σs1 =

Md,quasi quasi z.A s1

=

10, 60.106   10 104 4, 4 × 50 503 3

= 201,85

N/mm2,

où : • Md,quasi  = le moment résultant de l’action de la combinaison de charges quasi-permanente = 10,60 kNm • z = le bras de levier entre l’effort de compression interne du béton et l’effort de traction de l’acier = 0,9.d = 0,9 x 116 = 104,4 mm (avec d = la position du centre de gravité de l’armature de traction – l’armature supérieure dans ce cas-ci – par rapport à la partie inférieure du plancher mixte en acier-béton) • As1  = la surface de l’armature de traction = 503 mm². En cas de contrainte de l’acier σs1  de 240 N/mm² pour une application normale ( φ* = 16 mm), on peut déduire du tableau 1 que le diamètre de barre maximal φ sera égal à : φ  = φ*.fct,eff /fct,0  = 16 x 2,6/2,9 = 14,3 mm. Le tableau 2 permet d’affirmer qu’avec une contrainte de l’acier maximale entre les barres s max sera égale à :

σs1  de

240 N/mm² dans le cas d’une application normale, la distance

smax = 200 mm. Sur la base de ces informations, on peut conclure qu’il n’est pas nécessaire de procéder à un calcul détaillé de l’ouverture de la fissure.

3.1. 3. 1.22 ❒

Cont Co ntrô rôle le de la fl flèc èche he

Contrôle de la flèche de la tôle faisant office de coffrage

Ce contrôle est réalisé à l’aide de la combinaison de charges caractéristique (ou rare). Dans ce cadre, on tiendra compte du poids propre de la tôle et du poids du béton frais. Par contre, les charges constructives déterminées pour les ELU ne sont pas prises en considération. La flèche maximale de la tôle peut être déterminée comme suit :

δs =

5   g × L4   . 384 Ea × Ip

=

   2, 40 2 × 44 5 . 384 2100 210000 00.103 × 3, 23.10−6

= 0,0118

m = 11,8 mm,

avec : • g = gp + gb  = 0,162 + 2,24 = 2,402 kN/m² (combinaison de charges caractéristique) • Ea  = 210000 N/mm² • Ip  = 3,23.106  mm4 /m. Selon le § 9.6(2) de l’EC 4, cette flèche ne peut être supérieure à L/180. Les données ci-dessus permettent de déduire que δs,max = L/180 = 4000/180 = 22,2 mm. Par conséquent, on peut conclure que les conditions sont remplies. ❒

Contrôle de la flèche du plancher mixte en acier-béton

Le calcul de cette flèche peut être négligé si l’on satisfait à l’exigence d’élancement (cf. tableau 7.4N de l’EC 2). Celle-ci se calcule à l’aide de la formule suivante : k =  L dp ’

4000 = 42,6 =  93 ,97

où : • k = l’élancement du plancher • L = la longueur de la portée = 4 m • dp’  = l’épaisseur en service, en d’autres termes la distance de la face supérieure du plancher en béton au centre de gravité de la tôle. Cette valeur k doit être inférieure à 26 pour la travée extrême d’un plancher continu. Etant donné que cette condition n’est pas remplie, il importe encore de procéder au calcul de la flèche. Pour ce faire, il est nécessaire de connaître les moments d’inertie de la section.

❒

Détermination des moments d’inertie de la section

Selon l’EC 4 [7], la flèche peut être déterminée par le biais des approches suivantes : • le moment d’inertie d’une section peut être considéré comme égal à la moyenne des valeurs de la section non fissurée et de la section entièrement fissurée • afin de déterminer le rapport entre les modules pour le béton, on peut considérer une valeur moyenne E c,eff = Ecm /2. Cette valeur tient compte des effets du retrait du béton (§ 5.4.2.2(11) de l’EC 4).

Les Dossiers du CSTC – Cahier n° 6 – 4 e trimestre 2005 – page 5

 

 

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Moment d’inertie I 1  de la section équivalente non fissurée du béton

La section équivalente non fissurée du béton contient l’ensemble de la section du béton et n fois la section de l’acier (n représentant le rapport entre les modules). Le moment d’inertie I 1  est calculé comme suit (voir figure 6) :

Fig. 6   Détermination du moment d’inertie I 1 de la section équivalente non fissurée du béton.

ε+

c +

hc As1 AN

ht

b0 dp

hp

d

xe1

-

d2

ε-

As2

  2 2 π.φ4A hp   b0 .hp3     hc        s1   + ( n − 1) . + np × b0 × hp .  x e1 −   + hc × b. ht − − xe1     + np × .nA I1 =   s1 2 64 12 2 1 2         π.φA4 2 2 s2 + ( n − 1) .As1 . ( d − xe1)   + ( n − 1) .   .nAs2 + (n − 1) .As2 . ( xe1 − d2 )2  + n.Ip  +n.Ap. ( xe1 − dp ’ ) ,

  b.h3 c

64 avec : • b = 1000 mm • hc = ht – hp = 150 – 100 = 50 mm • ht = 150 mm

b 1000 • np  = le nombre de nervures par mètre = bs = 233, 3 = 4, 3 • b0 = 93,5 mm • hp = 100 mm • n = le rapport entre les modules, exprimé par la formule :   Ea E = a = 210000 = 13, 34 n= 31476 E Ec,eff cm 2 2 où : – Ea  = 210000 N/mm² – Ecm  = 31476 N/mm² •  φ As1 = le diamètre des armatures d’appui = 8 mm • nAs1  = le nombre de barres d’armatures d’appui par mètre = 10 • As1  = la surface des armatures d’appui = 503 mm² • d  = la position position du centre de gravité gravité des armatures armatures par rapport à la face face inférieure inférieure du plancher mixte mixte en acier-béton acier-béton = ht – c – Ø/2 = 150 – 30 – 8/2 = 116 mm •  φ As2 = le diamètre de l’armature anti-feu = 10 mm • nAs2  = le nombre de barres d’armatures anti-feu par mètre = 1000/233,3 = 4,3 (dans chaque nervure) • As2  = la surface de l’armature anti-feu = 337 mm²

• • • • •

d2  = la position du centre de gravité de l’armature anti-feu par rapport à la face inférieure du plancher mixte en acier-béton = 50 mm I p = 3,23.106  mm4 /m Ap = 2104 mm² dp’ = 56,03 mm xe1= la position de la ligne neutre mesurée par rapport à la face inférieure de la dalle mixte (mm), calculée par le biais de la formule : S1 1, 08. 10 107 = = 83,7   mm, A c1 128512 où : – S1  = le moment statique de la section équivalente (*) non fissurée par rapport à la face inférieure du plancher mixte en acier-béton, déterminé par la formule : hp       h   + ( n − 1) .A s1 × d + ( n − 1) .A s2 ×  d2 +n.Ap × dp ’ S1 = hc × b.  ht − c   + np × hp × b0 . 2   2  

     50   + 4, 3 × 100 × 93, 5. 100 S1 =  50 × 10 1000 00. 150 −   2   2  

  × 50 + 13, 34.21 2104 04 × 56, 03 = 1,08.10 7  mm3 + (13, 34 − 1) .5  0033 × 11166   + (13, 34 − 1) .337

– Ac1  = la surface de la section équivalente non fissurée, calculée à l’aide de la formule :

A c1 = hc

× b + np × hp × b0 + ( n − 1) .A s1 + ( n − 1) .A  s2 + n.Ap

A c1 =  50 × 1000 + 4, 3 × 100 × 93, 5 + (13, 34 − 1) .5 50 0  3 + (13, 34 − 1) .3 33 3  7 + 13, 34..2104 2104 = 128512  mm2. (*) Le terme ‘équivalent’ indique que l’on tient compte d’une section de béton homogénéisée.

Les Dossiers du CSTC – Cahier n° 6 – 4 e trimestre 2005 – page 6

 

 

NORMALISATION – RÉGLEMENTATION – CERTIFICATION

.

Sur la base de ces informations, on peut déduire que le moment d’inertie I 1  de la section équivalente non fissurée du béton est égale à:    3  , 5 × 10 100 03   50  83, 7 −   100  2  150   − 83, 7  2  + 4, 3.   993 , , . 4 3 9 3 5 1 0 0 1000 00.  15 0− × × + 50 × 10 +      2   12 2        π   .84 π.104 2 + (13, 34 − 1) .   .10 + (13, 34 − 1) .503. (11 .4, 3 116 − 83, 7 )   + (13, 34 − 1) .

I1 =

 00 × 503 10 1000 12

64

64

2

+ (13, 34 − 1) .33337. ( 83, 7 − 50 )   + 13, 34 × 3,23.10 + 13, 34 × 2104.83, 7 ( 8844,14 − 56, 03)  2  = 2,50.10 8  mm4. Remarque  :  :

 

6

Le rôle joué joué par le moment moment d’inertie des des barres d’armature d’armature sur les les résultats résultats de calcul calcul du moment moment d’inertie de la la section section équivalente du béton est insignifiant. C’est pourquoi on ne tient que rarement compte de ces termes.

+ Moment d’inertie I2   de la section équivalente fissurée du béton en flexion positive (travée)

◆

La section équivalente fissurée du béton en flexion positive comprend la section du béton (dans le cadre de laquelle le béton en traction est négligé) et n fois la section de l’acier au droit d’une section dans la travée. Le moment d’inertie I2+   est calculé comme suit (voir figure 7) :

Fig. 7   Détermination du moment d’inertie I2+  de la section équivalente fissurée du béton en  flexion positive (travée).

ε+ c

AN

(h t-d) +

+ x e2

As1

b0 -

dp (h t-d2)

ε-

As2

 b.x + 3    x +  2 π.φ4A 2 + + s1 2 e e 2     + (n − 1) . I2 = + x e2.b.    .nAs1 + (n − 1) .As1.  x e+2 − ( ht − d)      12 2 64

 

+n.

π.φ4A s2 64

.nA

 

2

s2

2

+ n.A s2 .( ht − d2  − x e+2 )   + n.Ip + n.Ap . (ht − dp ’ − x e+2 )

.

+   (mesurée par rapport à la face supérieure de la dalle mixte) en circonscrivant le moment On obtient la position de la ligne neutre x e2 statique S2+   de la section fissurée autour d’un axe passant par ce centre de gravité. Ceci est réalisé à l’aide de la formule suivante :     x+ b.x e+2 . e2 2

+ (n − 1) .As1. ( x e+2 − ( ht − d ) ) − n.A s2 .(ht − d2  − xe+2 ) − n  .Ap . (ht − dp ’ − x e+2 ) =  0 2

1000 × x e+2 2

+ (13, 34 − 1) .503. ( x e+2 − (15  0 − 11116 ) ) − 13, 34 × 33337. (150 − 5 0 − x e+2 )

−13, 34 × 221104. (150 − 56 5 6, 03 − x e+2 ) = 0. +  s’élève à 51,2   mm. Par conséquent, x e2 Sur la base de ces données, on peut déduire que le moment d’inertie I2+   de la section équivalente fissurée du béton en flexion positive (travée) est égal à : I2+

2   3   × π.84 51 , 2   2 π  .84 .4, 29 = 1000 51, 2 + 51, 2 × 1000 ×     + −     1 3 34 3 4 1 1 , . . 0   + −   − − 1 3 3 4 1 5 0 3 5 1 2 1 5 0 1 1 6   + 1 3 3 4 , . . , , . ( ) ( ) ( )      12 64 64   2  

+13, 34 × 337. (11550 − 50 − 51, 2 )2  + 13 ,34 ×  3, 23.106 + 13, 34 × 2104. (11550 − 56, 03 − 51, 2)  2  = 1,85.10 8  mm4.

Les Dossiers du CSTC – Cahier n° 6 – 4 e trimestre 2005 – page 7

 

 

NORMALISATION – RÉGLEMENTATION – CERTIFICATION ◆

Moment d’inertie I−2   de la section équivalente fissurée du béton en flexion négative (appui intermédiaire)

La section équivalente fissurée du béton en flexion négative comprend la section du béton (dans le cadre de laquelle le béton en traction est négligé) et n fois la section de l’acier au droit de l’appui intermédiaire. Le moment d’inertie I2−   est calculé comme suit (voir figure 8) :

Fig. 8   Détermination du moment d’inertie I2−  de la section équivalente fissurée du béton en  flexion négative (appui intermédiaire). c

ε-

As1 b0 AN

dp

− x e2

+

ε

+

As2

  x −  2   π.φ4A    b 0 .x e−23     − − s1  = + × × I2 np . np b0 x e2. e2    + n. .nA  + n .As1. d − x e−2 s1

  

12

+ (n − 1) .

π.φ4A

 

s2

64

.nA

2

   

64

2

2

s1

2

(   )

+ (n − 1) .As2 . ( x e−2  − d2 )   + n.Ip + n.Ap . ( xe−2  − dp’ )

.

− On obtient la position de la ligne neutre x e2   (mesurée par rapport à la face supérieure de la dalle mixte) en circonscrivant le moment statique S2−   de la section fissurée autour d’un axe passant par ce centre de gravité. Ceci est réalisé à l’aide de la formule suivante :     x−   .As1. d − x e−2  =   0 np .b0 .x e−2 . e2 + (n − 1) .A s2 .  x e−2 − d2  + ( n − 1) .Ap .   x e−2 − dp ’  − n 2

(   )

x− 2 4, 29 × 93, 5 × e2 2 200, 6. x e−2

(

  )

(   )

− − 56, 03  − 13, 34 × 5 50 03. (116 −  x e−2 ) = 0 + (13, 34 − 1) .337. ( x e−2  − 50 ) + (13, 34 − 1) .2105. ( x e2 ) 2  

2

(   )   + 36834.xe−2 − 2, 44.106 = 0.

− Par conséquent x e2  s’élève à 51,7 mm. − Sur la base de ces données, on peut déduire que le moment d’inertie I2   de la section équivalente fissurée du béton en flexion négative (appui intermédiaire) est égal à :  

  93 9 3, 5 × 51, 7 3 12

2

  51    , 7   π  .8  4 + 4, 3 × 93, 5 × 52, 02.    2     + 13, 34. 64 .10        π  × 104  2 . 4, 29 + 13, 34 × 337. (51 5 1, 7  − 50 ) + (13, 34 − 1) × 503. (116 − 51, 7 )2  + (13, 34 − 1) .

I2−

= 4, 3.

64

 

2

, − 56, 03 ) 210 04. ( 517 +13, 34 × 3,23.106 + 13, 34 × 21 ◆

= 8,99.10 7  mm4.

Moment d’inertie moyen d’une section

+   se calcule comme suit : Le moment d’inertie moyen de la section dans la travée Imoy   + +   = I1  Imoy

+ I2+ 2

=

2, 50 .108

+ 1,8 5.108 2

= 2,18.108  mm4.

−  est déterminé grâce à la formule suivante : Le moment d’inertie moyen de la section située au-dessus des appuis intermédiaires Imoy   − −   = I1  Imoy

+ I2− 2

8 7 = 2, 50 .10 + 8, 99.10

2

= 1,70.108 mm 4.

La rédistribution des moments au sein du béton à la suite de la fissuration au droit de l’appui intermédiaire est prise en compte lors de la détermination de la flèche par le biais de l’utilisation d’une moyenne pondérée du moment d’inertie moyen de la section dans la travée et du moment d’inertie moyen de la section au-dessus des appuis intermédiaires. 75% du moment d’inertie en flexion positive et 25% du moment d’inertie en flexion négative [9] semble constituer une combinaison appropriée. En d’autres termes, le moment d’inertie du plancher mixte en acier-béton est fourni par la formule suivante : IPMAB = 75 % . Imoy + + 25 % . Imoy − = 75 % . 2,18.108 + 25 % . 1,70.10 8 = 2,06.108 mm 4.

Les Dossiers du CSTC – Cahier n° 6 – 4 e trimestre 2005 – page 8

.

 

 

NORMALISATION – RÉGLEMENTATION – CERTIFICATION

◆

.

Calcul de la flèche

L’équation suivante permet de calculer la flèche dans les différentes travées :

δ =  X.

    qk .L4 , Ec,eff.IPMAB

avec :   Ec,eff 

=

Ecm 2

=

31476 = 15738 N/mm 2. 2

La flèche résultant de l’ensemble des charges (à l’exception du poids propre) est déterminée comme suit :

δ = 0,70 . = 0, 70.

  qk .L4   5 . 384 Ec,eff.IPM PMAB AB

+ 0, 41.

  5  3 × 4000 40004 . 384 15 15738 738 × 2, 06.108

  g   .L4  5 . finition 384 Ec,eff eff .IPMAB

+ 0, 41.

  5  2 × 40 4000 004 . = 384 1573 15738 8 × 2,0 0 06 6.108

3,0  mm,

où les facteurs 0,70 et 0,41 traduisent l’influence du nombre de travées. Ils permettent aussi de constater s’il a ou non été tenu compte du schéma de damier de l’action. On pourra ainsi déterminer la combinaison de charges la plus critique. Selon la norme NBN B 03-003 • L/500 pour un revêtement de • L/350 pour un revêtement de transmise au revêtement • L/250 pour un revêtement de

[3], les valeurs limites recommandées pour la flèche sont les suivantes : sol fixé rigidement ou de grande dimension sol de petite dimension ou fixé de façon à ce que la déformation du support ne soit pas intégralement sol souple.

La valeur limite L/500 = 4000/500 = 8 mm n’étant pas dépassée, tous les types de revêtement de sol peuvent être mis en œuvre. La flèche totale peut à son tour être calculée avec la formule suivante :

δtot = δs + δ =

11,8 mm + 3,0 mm = 14,8  mm.

3.2 Exemple de calcul 2 : mise en œuvre des tôles dans le sens de la longueur et utilisation de poutres secondaires secondaires Dans cet exemple, nous partons de l’hypothèse selon laquelle les tôles sont placées dans le sens de la longueur. Grâce à l’utilisation de poutres secondaires, des portées de 3 m ont pû être réalisées. Les tôles possèdent une longueur de 6 m et sont soutenues par trois appuis durant la phase de construction, ce qui entraîne l’apparition de deux travées de 3 m. Une fois la phase de construction terminée, on obtiendra un plancher mixte d’une longueur totale de 18 m comportant six travées possédant chacune une portée de 3 m (cf. figure 9).

Fig. 9   Représentation schématique de la situation de l’exemple 2. 1

4

3 3m 1. 2. 3. 4.

3m

2

3m

4

3 3m

béton tôle poutre maîtresse poutres secondaires

3m

3m

3 3m

5. portée de la tôle durant durant le coulage 6. portée du plancher mixte en acier-béton

3m

3m

3m

3m

3m

  m    8

5

6

5

Les charges exercées sur la construction et les caractéristiques du béton et de l’acier utilisés sont identiques à celles fournies dans l’exemple 1. Compte tenu des calculs aux ELU [7, 11], la hauteur totale du plancher mixte en acier-béton s’élève à 120 mm et la tôle possède une épaisseur de 1,2 mm, une nuance d’acier f yp  de 280 N/mm² et une géométrie telle qu’illustrée à la figure 10.

Fig. 10  Géométrie   Géométrie de la tôle de l’exemple 2. 164 mm

135 mm

112 mm

300 mm

armature supérieure (treillis de 200/200 mm) Ø 8 mm

armature anti-feu Ø 8 mm

Les Dossiers du CSTC – Cahier n° 6 – 4 e trimestre 2005 – page 9

 

 

NORMALISATION – RÉGLEMENTATION – CERTIFICATION

En outre, le plancher mixte en acier-béton est également pourvu d’une armature supérieure (treillis de 200/200 mm) d’un diamètre de 8 mm et d’une armature complémentaire anti-feu d’un diamètre de 8 mm placée au sein de chaque nervure. Les propriétés de la tôle, fournies par le fabricant, peuvent être résumées comme suit : • épaisseur de la tôle t p = 1,2 mm • limite d’élasticité caractéristique fyp  = 280 N/mm² • moment d’inertie I p  = 7,60.105  mm4 /m • surface transversale A p  = 1585 mm²/m • distance du centre de gravité à la face inférieure de la tôle d p’ = 30,32 mm • hauteur du profilé hp = 70 mm • largeur moyenne d’une nervure b0 = 162 mm s •• creux périodique  = 300 g mm poids propre de lab tôle/m²   = 0,13 kN/m². p

De plus, il importe de tenir compte des renseignements complémentaires suivants, qui dépendent de la tôle et de la hauteur du plancher : • la hauteur du béton h c = 50 mm • le poids propre du béton/m² g b  = 2,2 kN/m². L’armature présente les caractéristiques suivantes : • nuance d’acier de l’armature : BE 500 S • l’armature supérieure se compose d’un treillis de 200/200 mm et possède un diamètre de 8 mm (enrobage du béton c = 30 mm) • l’armature complémentaire anti-feu placée au sein de chaque nervure possède un diamètre de 8 mm (enrobage du béton c = 46 mm).

3.2.1 3.2 .1

Contrô Con trôle le de la fis fissur surati ation on

La fissuration du béton est contrôlée au droit des appuis intermédiaires sous la combinaison de charges quasi-permanente. La ligne des moments correspondante est illustrée à la figure 11.

Fig. 11  11  Combinaison de charges quasi-permanente : diagramme des moments (kNm). -4,98

-3,62

-4,07

-4,98

-3,62

X Y

1,58

3,66

2,04

2,04

1,58

3,66

3m La contrainte de l’acier peut être calculée de manière approximative à l’aide de la formule suivante :

σs1 =

Md,quasi quasi z.As1

=

4,98.106 = 230  N/mm2, 86, 4 × 25 251 1

où : • Md,quasi  = le moment d’application engendré par la combinaison de charges quasi-permanente = 4,98 kNm • z = le bras de levier entre l’effort de compression interne du béton et l’effort de traction de l’acier = 0,9.d = 0,9 x 96 = 86,4 mm • As1  = la surface de l’armature de traction = 251 mm 2. Sur la base de ces informations, on peut conclure qu’il a été satisfait aux conditions des tableaux 1 et 2 et qu’un calcul direct de la largeur de fissuration n’est pas nécessaire.

3.2. 3. 2.22 ❒

Cont Co ntrô rôle le de la fl flèc èche he

Contrôle de la flèche de la tôle utilisée comme coffrage

La tôle considérée repose sur 3 appuis. La flèche maximale de la tôle peut être calculée comme suit :

δs = 0, 41.

   5 g × L4   5     2, 33 × 30 3000 004 . .   = 0, 41. = 6,3  mm, 384 Ea × I 384 2,1 .105 × 7, 60.105

avec g = 2,33 kN/m². Cette flèche ne peut dépasser L/180. Les renseignements susmentionnés permettent d’affirmer que 16,7 mm. Par conséquent, on peut conclure que la condition est remplie.

Les Dossiers du CSTC – Cahier n° 6 – 4 e trimestre 2005 – page 10

δs,max  =

L/180 = 3000/180 =

.

 

 

NORMALISATION – RÉGLEMENTATION – CERTIFICATION

❒

.

Contrôle de la flèche du plancher mixte acier-béton

Le calcul de la flèche peut être négligé si l’exigence d’élancement est satisfaite : k ≤  26. Celle-ci peut être calculée par le biais de la formule suivante :   L = 3000 = 33,45. k= dp ’  89, 68 Dans le cas qui nous occupe, k s’élève cependant à 33,45, de sorte qu’un calcul de la flèche doit être réalisé. Pour ce faire, il est indispensable de connaître les moments d’inertie de la section.

◆

Détermination des moments d’inertie de la section Le calcul des moments d’inertie s’effectue de la même manière que dans l’exemple 1. Les résultats sont : • moment d’inertie I 1  de la section équivalente non fissurée du béton : I1  = 1,41.10 8  mm4 + • moment d’inertie I2   de la section équivalente fissurée du béton en flexion positive (travée) : + 8 4 I2 = 1,01.10   mm

− • moment d’inertie I2   de la section équivalente fissurée du béton en flexion négative (appui intermédiaire) : − 7 4 I2 = 2,64.10   mm • moment d’inertie moyen de la section dans la travée : + Imoy = 1,21.10 8  mm4 • moment d’inertie moyen de la section au-dessus des appuis intermédiaires : − Imoy = 8,37.10 7  mm4. On peut en déduire que le moment d’inertie du plancher mixte en acier-béton est égal à : IPMAB  = 1,12.10 8  mm4.

◆

Calcul de la flèche

Afin de connaître la flèche maximale, la construction doit être chargée selon le schéma de damier. Cette flèche est maximale dans la travée extrême. La flèche résultant de l’ensemble des actions (à l’exception du poids propre) est déterminée comme suit :

δ = 0, 75. = 0, 75.

  qk .L4   5 . 384 Ec,eff.IPM PMAB AB

+ 0, 50.

  5  3 × 3000 30004 . 384 15 15738 738 × 112 , .108

  .L4 g    5 . finition 384 Ec,eff eff .IPMAB

+ 0, 50.

  5  2 × 30 00 004 . = 384 1573 15738 8 × 1,1 1 12 2.108

1,9   mm.

Comme la valeur limite L/500 = 3000/500 = 6 mm n’est pas dépassée, tous les types de revêtement de sol peuvent être mis en œuvre. La flèche totale peut à son tour être calculée à l’aide de la formule suivante :

δtot  = δ + δs =

1,9 + 6,3 = 8,2 mm.

3.3 Exemple de calcul 3 : mise en œuvre des tôles dans le sens de la longueur et étayage étayage durant la phase de construction construction Dans cetUne exemple, les tôles de 9 m on de obtiendra long sont un placées dans le sens de la travées longueurpossédant et étayéeschacune tous lesune 3 mportée durantde la 9phase cons-12). truction. fois celle-ci terminée, plancher mixte de deux m (cf.de figure

Fig. 12   Représentation schématique de la situation de l’exemple 3. béton

tôle

3m

étais 3m

3m

1. portée de la tôle durant le coulage 2. portée du plancher mixte en acier-béton

poutre

3m

3m

1

2

3m

3m

3m

  m    8

3m

1

Les charges exercées sur la construction et les propriétés du béton et de l’acier utilisés sont identiques à celles de l’exemple 1.

Les Dossiers du CSTC – Cahier n° 6 – 4 e trimestre 2005 – page 11

 

NORMALISATION – RÉGLEMENTATION – CERTIFICATION

 

Compte tenu des calculs aux ELU [7, 11], la hauteur totale du plancher mixte en acier-béton s’élève à 225 mm et la tôle possède une épaisseur de 1,2 mm, une nuance d’acier f yp  de 350 N/mm² et une géométrie telle qu’illustrée à la figure 13. En outre, le plancher mixte en acier-béton est pourvu d’une armature supérieure (treillis de 100/100 mm) d’un diamètre de 12 mm, d’une armature complémentaire de 100 mm et d’un diamètre de 10 mm et d’une armature anti-feu d’un diamètre de 8 mm placée au sein de chaque nervure.

Fig. 13  Géométrie   Géométrie de la tôle de l’exemple 3. 300 mm

armature supérieure (treillis de 100/100 mm) Ø 12 mm armature anti-feu Ø 8 mm

135 mm

Les propriétés de la tôle, fournies par le fabricant, peuvent être résumées comme suit : • épaisseur de la tôle t p = 1,2 mm • limite d’élasticité caractéristique fyp  = 350 N/mm² • moment d’inertie I p = 2,38 . 106 mm 4 /m • surface transversale A p  = 1848 mm²/m • distance du centre de gravité à la face inférieure de la tôle d p’ = 42,5 mm • hauteur du profilé h  = 80 mm p • largeur moyenne d’une nervure b0 = 160 mm • creux périodique bs = 300 mm • largeur unitaire b = 1000 mm • poids propre de la tôle/m² g p  = 0,145 kN/m². En outre, il importe également de tenir compte des renseignements complémentaires suivants, qui dépendent de la tôle et de la hauteur du plancher : • la hauteur du béton h c = 145 mm • le poids propre du béton/m² g b  = 4,69 kN/m². L’armature possède les caractéristiques suivantes : • nuance d’acier de l’armature : BE 500 S • l’armature supérieure se compose d’un treillis de 100/100 mm et possède un diamètre de 12 mm • l’armature complémentaire de 100 mm placée au-dessus de l’appui intermédiaire a un diamètre de 10 mm (enrobage du béton c = 30 mm) • l’armature anti-feu placée au sein de chaque nervure possède un diamètre de 8 mm (enrobage du béton c = 46 mm).

3.3.1 3.3 .1

Contrô Con trôle le de la fis fissur surati ation on

La fissuration du béton est contrôlée au droit de l’appui intermédiaire sous la combinaison de charges quasi-permanente. La ligne des moments correspondante est illustrée à la figure 14.

Fig. 14  Combinaison  Combinaison de charges quasi-permanente : diagramme des moments (kNm). -78,33

X Y

43,86

43,86 9m

9m

La contrainte de l’acier peut être calculée de manière approximative à l’aide de la formule suivante :

σs1 =

Md,quasi quasi z.As1

=

78, 33.106 2 170,1× 1916 1916   = 240,4   N/mm ,

où : • Md,quasi  = le moment d’application engendré par la combinaison de charges quasi-permanente = 78,33 kNm • z = le bras de levier entre l’effort de compression interne du béton et l’effort de traction de l’acier = 0,9.d = 0,9 x 189 = 170,1 mm • As1  = la surface de l’armature de traction = 1132 + 785 = 1916 mm².

Les Dossiers du CSTC – Cahier n° 6 – 4 e trimestre 2005 – page 12

.

 

 

NORMALISATION – RÉGLEMENTATION – CERTIFICATION

.

Sur la base de ces données, on peut conclure qu’il a été satisfait aux conditions des tableaux 1 et 2 et qu’un calcul direct de la largeur de fissuration n’est par conséquent pas nécessaire. Un calcul détaillé de la largeur de fissuration selon le § 7.3.4 de l’EC 2 est toutefois fourni ci-après à titre d’exemple.

Détermination du moment de fissuration

❒

On déterminera le moment de fissuration M r  à l’aide du moment d’inertie de la section non fissurée I 1. Celui-ci est calculé à l’aide de la formule suivante : M

= W × 0, 3 × f2 3 = 1, 0  × 107 × 0, 3 × 252 3 = 25,75  kNm,

r

1  

ck

  I W1 =   1   ht − x e1

=

où : • fck  = la résistance en compression caractéristique du béton = 25 N/mm² • W1  = le moment de résistance de la section non fissurée, exprimé par la formule :

10 , .109 = 1,0.107  mm3, 22 225 5 − 12 123 3, 7

avec : – I1  = 1,0.109  mm4 – xe1  = 123,7 mm. Etant donné que le moment d’application à la suite de la combinaison de charges quasi-permanente M d,quasi  est plus grand que le moment de fissuration Mr  (78,33 kNm > 25,75 kNm), il y aura fissuration et il sera possible de déterminer la largeur de celle-ci. ❒

Détermination de l’ouverture de fissure caractéristique

Pour le calcul de l’ouverture moyenne, il importe de déterminer l’allongement relatif de l’acier ( εsm maximale sr,max.

εcm)

et la distance de fissuration

Le calcul de l’allongement relatif de l’acier est réalisé comme suit : f σs − k t . ct,eff . (1  + n.ρ r ) 2  42 − 0, 4.    2, 6 . (1 + 13, 34 4 × 0, 021) ρr 0, 021 = 8,5.10 -4, = εsm − εcm = Es 210000 où : •  σ s  = la contrainte ascendante de l’acier dans l’armature d’appui de la section fissurée. Celle-ci se calcule à l’aide de la formule suivante :

σs =

n.Md,quasi . d − x e−2 I2−

(   ) = 13,  34 × 78, 33.106 × (189 − 81, 7 ) = 242 N/mm , 2

4,63.10 08

avec Md,quasi  = 78,33 kNm • kt  = un facteur dépendant de la durée de l’action = 0,4 (action de longue durée) • fct,eff  = 2,6 N/mm² •  ρ r  = le pourcentage d’armatures, exprimé par la formule : A 1916 ρr = s = = 0,021 , A c,eff 90000 où – A:s= la superficie totale des armatures de traction = 1916 mm² – Ac,eff = la surface du béton en traction de la section = 2,5 . b . (h t – d) = 2,5 . 1000 . (225 – 189) = 90000 mm 2. Le calcul de la distance de fissuration s r,max  est réalisé comme suit : sr,max

    φ      11     =  k 3 .c + k1.k 2 .k 4 .      = 3, 4 × 30 + 0, 8 × 0, 5 × 0, 425.      = 191  mm,    0, 021    ρr  

où : •  φ   = le diamètre moyen des barres d’armatures d’appuis, qui se calcule à l’aide de la formule suivante :

• • • •

2 n1.φ12 + n2 .φ2 1 0 × 1 10 02 + 10 × 12 122   = = 11 mm 1 0 × 10 + 10 × 12 n1.φ1 + n2 .φ2 k1  = 0,8 pour des barres dotées d’une adhérence améliorée k2 = 0,5 en flexion k3 = 3,4 k4  = 0,425.

Sur la base de ces données, il est possible de déduire la largeur de fissure w k : wk = sr,max . ( εsm − εcm ) = 191× 8, 5 .10 1 0−4 = 0,16  mm. Etant donné que celle-ci est inférieure à 0,3 mm, on peut conclure que les conditions sont remplies.

Les Dossiers du CSTC – Cahier n° 6 – 4 e trimestre 2005 – page 13

 

 

NORMALISATION – RÉGLEMENTATION – CERTIFICATION 3.3. 3. 3.22 ❒

Cont Co ntrô rôle le de la fl flèc èche he

Contrôle de la flèche de la tôle utilisée comme coffrage

La tôle considérée repose sur quatre appuis (2 appuis fixes et 2 étais). La flèche maximale est la plus importante dans les travées extrêmes et est calculée grâce à la formule suivante :

δs = 0, 52.

   5 g × L4   5     4, 83 836 6 × 30 3000 004   = 0, 52. . . = 384 Ea × I 384 2,1 .105 × 2, 38.1 06

5,0  mm,

avec g = 2,836 kN/m². Cette flèche ne peut dépasser L/180. Les renseignements susmentionnés permettent d’affirmer que 16,7 mm. Par conséquent, on peut conclure que la condition est remplie.

δs,max  =

L/180 = 3000/180 =

Pour des calculs plus approfondis, il est nécessaire de connaître la flèche dans la travée intermédiaire. Celle-ci peut être déterminée à l’aide de la formule suivante : 836 6 × 30 3000 004   g × L4 0, 0014.      4, 83  = δs = 0, 0014. Ea × I 2,1 .105 × 2, 38.106

❒

= 1,1   mm.

Contrôle de la flèche du plancher mixte en acier-béton

Le calcul de la flèche peut être négligé si l’on satisfait à l’exigence d’élancement : k formule :   L 9000 = = 49, 32 . k= dp ’ 182   ,5

≤  26.

Celle-ci peut être calculée par le biais de la

Dans le cas qui nous occupe, la valeur k s’élève à 49,32, de sorte qu’il est bel et bien nécessaire d’effectuer un calcul de la flèche. Pour ce faire, il est indispensable de connaître le moment d’inertie de la section. ◆

Détermination des moments d’inertie d’un section

Le calcul des moments d’inertie est identique à celui de l’exemple 1. Les résultats sont : • moment d’inertie I 1  de la section équivalente non fissurée du béton : I1  = 1,0.109  mm4 • moment d’inertie I2+   de la section équivalente fissurée du béton en flexion positive (travée) : I2+ = 5,30.108  mm4 − • moment d’inertie I2   de la section équivalente fissurée du béton en flexion négative (appui intermédiaire) : I2− = 4,63.108  mm4 • moment d’inertie moyen de la section dans la travée : + = 7,66.10 8  mm4 Imoy • moment d’inertie moyen de la section au-dessus des appuis intermédiaires : − = 7,33.10 8  mm4. Imoy On peut en déduire que le moment d’inertie du plancher mixte en acier-béton est égal à : I PMAB = 7,58.10 8 mm 4. ◆

Calcul de la flèche

La flèche engendrée par la charge doit tenir compte des forces d’étançonnage. Ces forces sont égales aux forces de réaction des étançons durant la phase de construction. La flèche résultant de l’ensemble des actions (à l’exception du poids propre) est déterminée comme suit :

δ= δ=

L3 . ( 0, 0051.F + 0, 0091.qk .L + 0, 0053.gfinition .L ) Ec, e  ff .IPMAB eff 90003 15 1573 738 8 × 7, 58.108

005 051 1. 1 160 6000 00 + 0, 0 009 091 1. 3.900 9000 0 + 0, 0 005 053 3. 2.9 . ( 0, 0 9000 000 ) =

25,7  mm,

où : • le coefficient 0,0051 fournit l’influence des charges ponctuelles sur la construction •L=9m • F = la force d’étançonnage en cas de combinaison de charges quasi-permanente = 16 kN. On satisfait tout juste aux valeurs limites L/350 = 9000/350 = 25,7 mm. Cependant, la valeur limite L/500 = 9000/500 = 18 mm est quant à elle dépassée, de sorte qu’il n’est pas satisfait aux ELS pour un revêtement de sol de grande dimension. Cela implique que la conception doit être reconsidérée. La flèche totale peut être calculée à l’aide de la formule suivante :

δtot = δ + δs =

Les Dossiers du CSTC – Cahier n° 6 – 4 e trimestre 2005 – page 14

25,7 + 1,1 = 26,8  mm.

.

 

 

NORMALISATION – RÉGLEMENTATION – CERTIFICATION 4 CONCLUSION L’un des principaux avantages des planchers mixtes en acier-béton est leur poids relativement faible par m² de plancher. En raison du profilé des tôles, une plus petite quantité de béton est en effet nécessaire par rapport aux planchers en béton classiques. Cette économie s’avère surtout intéressante pour le dimensionnement des colonnes et des fondations d’immeubles multi-étagés. Comme les portées qu’il est possible de réaliser avec les tôles sont plutôt limitées, l’exécution de grandes portées exemptes de colonnes nécessite l’utilisation de poutres secondaires (ce qui fait augmenter la consommation d’acier) ou l’étayage des tôles durant la phase de construction.

Fig. 15  Mise   Mise en œuvre d’un bâtiment  multi-étagé.

Les exemples de calcul 1 et 2 fournissent deux de ux solutions sans étayage durant la phase de construction. L’un des grands avantages de cette solution est la possibilité de réaliser plusieurs planchers en même temps : les tôles sont d’abord mises en œuvre aux différen différents ts étages et le béton est ensuite coulé (cf. figures 15 et 16).

.

tantes, l’emploi d’un tel revêtement ne se révèle avantageux que si l’accent est placé sur une grande flexibilité ou une importante rapidité d’exécution ou si les avantages logistiques sont plus nombreux. Le tableau 3 constitue une synthèse des exemples présentés dans cet article, rédigé dans le cadre de l’Antenne Normes ‘Eurocodes’ du CSTC (www.normes.be/eurocodes (www.normes.be/eurocodes). ). ■

En cas d’utilisation de poutres secondaires, les portées des tôles mais aussi du plancher mixte en acier-béton diminuent, ce qui permet d’obtenir une tôle plus légère et un plancher plus fin. Dans l’exemple de calcul 3, on a opté pour un étayage durant la phase de construction. Il a ainsi été possible de réaliser une portée de 9 m, mais des exigences beaucoup plus sévères ont du être posées au plancher mixte en acier-béton : une tôle plus lourde, une meilleure nuance d’acier et une épaisseur totale du plancher de 225 mm. En outre, le plancher ne répond pas à l’exigence la plus sévère en matière de flèche, de sorte que la conception devra être adaptée si l’on désire mettre en œuvre des revêtements de sol de grandes dimensions.

Fig. 16  Coulage   Coulage du béton sur une  tôle profilée écrouie à froid.

On peut donc affirmer que les planchers mixtes en acier-béton offrent principalement des avantages lorsque de petites portées sont réalisées (éventuellement à l’aide de poutres secondaires). Par contre, lorsqu’il s’agit de portées plus imporim por-

Tableau 3  Synthèse  Synthèse des caractéristiques des planchers mixtes en acier-béton.

Caractéristiques des planchers mixtes

Exemple 1 (voir figure 3)

Exemple 2 (voir figure 9)

Exemple 3 (voir figure 12)

ht (mm)

150

120

225

tp  (mm)

1,2

1,2

1,2

Nuance d’acier (N/mm 2)

280

280

325

As1

100/100/8

200/200/8

100/100/12

As2

Ø 8/nervure

Ø 8/nervure

Ø 8/nervure

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NORMALISATION – RÉGLEMENTATION – CERTIFICATION

 t

 

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BIBLIOGRAPHIE

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