Construccion Del Conocimiento Matematico

Instituto Politécnico Nacional José Enrique Villa Rivera Director General

Efrén Parada Arias Secretario General

Yoloxóchitl Bustamante Díez Secretaria Académica

Luis Humberto Fabila Castillo Secretario de Investigación y Posgrado

Las Vol. 9 Núm. 46 enero-marzo 2009

Vol. 9 Núm. 46 enero-marzo 2009

José Madrid Flores

matemáticas y la educación

Secretario de Extensión e Integración Social

Héctor Martínez Castuera Secretario de Servicios Educativos

Luis Antonio Ríos Cárdenas Secretario Técnico

Mario Alberto Rodríguez Casas Secretario de Administración

Luis Eduardo Zedillo Ponce de León Secretario Ejecutivo de la Comisión de Operación y Fomento de Actividades Académicas

Jesús Ortiz Gutiérrez Secretario Ejecutivo del Patronato de Obras e Instalaciones

Klaus Michael Lindig Bos Coordinador General de Servicios Informáticos

Luis Alberto Cortés Ortiz Abogado General

"La Técnica al Servicio de la Patria" www.ipn.mx

CECSA

PAIDÓS

GRUPO EDITORIAL PATRIA

PAIDÓS

I

nmersa en una peculiar sociedad de vertiginosos cambios que caracterizan el siglo XXI, Innovación Educativa tiene el compromiso de difundir los avances en innovación e investigación educativa, generar y compartir información, conocimiento y experiencias con la comunidad educativa nacional y latinoamericana. Pero, además, como avanzar es la raíz y razón de la evolución, está en permanente proceso de mejora a fin de satisfacer las demandas de la comunidad académica. Por ello a partir de este año Innovación Educativa pasa a ser monográfica en su versión impresa. El primer número en este concepto está dedicado a la problemática de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en los diversos niveles educativos, tema que por su extensión no se agota con este número. Varios términos en el área educativa se refieren a estudios, actividades docentes e investigaciones en la línea de procesos pedagógicos

Las

matemáticas y la

educación

en matemáticas: en Europa se designan como didáctica de la matemática, en América Latina como educación matemática, y en México un gran sector de docentes le denominan matemática educativa. Es claro que el lector no encontrará una fórmula para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, ya que es una problemática muy compleja en la que intervienen diversas variables didácticas y en general educativas. De hecho, no existe una receta para enseñar matemáticas en los diferentes niveles educativos, pero sí se puede contar con lineamientos rectores que ayudan a la enseñanza efectiva y a un mejor aprendizaje en los estudiantes; para ello, cada docente deberá adaptarlos según el tipo de alumnos que tenga, los objetivos que persiga y la modalidad educativa en que trabaje.

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Yoloxóchitl Bustamante Díez Directora

Alicia Lepre Larrosa

Innovación e investigación en educación matemática Manuel Santos-Trigo

ensayo

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La matemática en el contexto de las ciencias Patricia Camarena Gallardo

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Diseño de estrategias de enseñanza para el concepto de variación en áreas de ingeniería Elena Fabiola Ruiz Ledesma

investigación

Antonio Rivera Figueroa, CINVESTAV Carmen Trejo Cázares, IPN Corina Schmelkes, INDEPENDIENTE Eduardo L. de la Garza Vizcaya, UAM Ernesto A. Sánchez Sánchez, CINVESTAV Federico Zayas Pérez, UNISON Freddy Varona Domínguez, U. DE HOLGUÍN, CUBA Hugo E. Sáez Arreceygor, UAM Juan Manuel Chabolla Romero, ITC, CELAYA Lisbeth Baqueiro Cárdenas, INDEPENDIENTE Lorenza Villa Lever, UNAM Luis O. Aguilera García, U. DE HOLGUÍN, CUBA Miguel A. Pasillas Valdez, UNAM Raúl Derat Solís, UAT Raúl Rojas Soriano, UNAM Ricardo Martínez Brenes, UNESCO, COSTA RICA Rosa M. García Méndez, UNILA Silvia M. Soto Córdoba, ITCR, COSTA RICA Víctor M. Machuca Pereda, INDEPENDIENTE

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Patricia Camarena Gallardo Coordinadora del tema Participantes especiales

Alma Alicia Benítez Pérez Elena Fabiola Ruiz Ledesma Martha Leticia García Rodríguez

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investigación

Comité de Arbitraje

Alfonso Ramírez Ortega, INDEPENDIENTE Alicia Vázquez Aprá, UNRC, ARGENTINA Ana Ángela Chiesa, CIBA, ARGENTINA Carlos Barroso Ramos, IPN Claudia Marina Vicario Solórzano, IPN Esperanza Gracia Expósito, UCM, ESPAÑA Francisco J. Chávez Maciel, IPN Hernando Roa Suárez, UPN, COLOMBIA Jesús Sebastián, CSIC, ESPAÑA Jorge Alejandro Fernández Pérez, BUAP Juan Cristóbal Cobo Romaní, FLACSO, SEDE MÉXICO Juan Silva Quiroz, UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, CHILE Ma. Covadonga de la Iglesia Villasol, UCM, ESPAÑA Miguel A. Santos Rego, USC, ESPAÑA Noel Angulo Marcial, IPN Patricia Camarena Gallardo, IPN Patricio H. Daowz Ruiz, IPN Tomás Miklos, INDEPENDIENTE

ensayo

Comité Editorial

Coordinadora Editorial

Estudio de la primera representación gráfica de ecuaciones algebraicas en contexto Alma Alicia Benítez Pérez

Innovación Educativa se publica por la Secretaría Académica del Instituto Politécnico Nacional Tiro: 6,000 ejemplares Distribución gratuita Innovación educativa tiene el propósito incluyente de difundir trabajos de investigación y de divulgación que abarquen la realidad educativa del país y del Instituto Politécnico Nacional, estar a la vanguardia de los conocimientos científicos y tecnológicos, y distinguirse como factor en la aplicación de nuevas formas de comunicación.

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Jana Trgalová

investigación

Pedagogical scenario involving Aplusix educational software

Número de certificado de reserva otorgado por el Instituto Nacional de Derecho de Autor: 04-2006-053010202400-102 Número de certificado de licitud de título: 11834 Número de certificado de licitud de contenido: 8435 Número de ISSN: 1665-2673

Domicilio de la publicación y distribución Secretaría Académica, 1er. piso Unidad Profesional “Adolfo López Mateos” Av. Luis Enrique Erro s/n Zacatenco, C.P. 07738 Delegación Gustavo A. Madero, D.F. México Teléfono: 5729 6000, exts. 50530 y 50529 Email: [email protected] Página Web www.innovacion.ipn.mx

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On the fragility of an internet-based dialogue Mario Sánchez Aguilar

Indización Latindex-Directorio, (Sistema Regional de Información en Línea para Revistas Científicas de América Latina, el Caribe, España y Portugal) Clase (base de datos bibliográfica de revistas de ciencias sociales y humanidades) Índice Internacional “Actualidad Iberoamericana” CREDI (Centro de Recursos Documentales e Informáticos) de la OEI (Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura) Difusión en otros formatos electrónicos Registrada en el Catálogo HELA www.google.com.mx www.anuies.mx/principal/servicios/publicaciones/confluencia www.mexicoglobal.com www.netscape.com www.altavista.com www.yahoo.com.mx www.conexcol.com

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El uso de la modelación en la enseñanza de las matemáticas

Diseño y formación Tecnología Informática Constructivista, S.A. de C.V. [email protected]

María Trigueros Gaisman

Ilustración Archivo Digital

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Formación docente a distancia en línea un modelo desde la matemática educativa Gisela Montiel Espinosa

El número 46 de la revista Innovación Educativa se terminó de imprimir en marzo 2009 en Impresora y Encuadernadora Progreso, S.A. de C.V. San Lorenzo Tezonco No. 244, Col. Paraje San Juan, Iztapalapa, C.P. 09830, México, D.F. Los artículos firmados son responsabilidad exclusiva de su autor y no reflejan necesariamente el criterio de la institución, a menos que se especifique lo contrario. Se autoriza la reproducción parcial o total siempre y cuando se cite explícitamente la fuente.

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Innovación e investigación en educación matemática Manuel Santos-Trigo*

Resumen El aprendizaje o la construcción del conocimiento matemático es una tarea que se promueve dentro o como parte de un sistema global de educación. Aun cuando la caracterización del pensamiento matemático comprende el desarrollo de algunas estrategias y recursos propios de la disciplina, es relevante reconocer que el estudio de las matemáticas se relaciona con otros saberes como las ciencias naturales, sociales, las artes y la moral. Con este marco global se aborda, en términos generales, los significados asociados con innovación e investigación, en educación matemática, con la intención de identificar resultados que han influido en la práctica de instrucción matemática. En particular, el empleo de herramientas computacionales ofrece rutas importantes para discutir temas relacionados con la estructura y organización del currículo, las dinámicas de instrucción y la formación de los profesores.

Palabras clave Educación matemática, innovación, resolución de problemas y herramientas computacionales.

Innovation and research in mathematics education Abstract The construction of students’ mathematical knowledge is developed within an educational system in which certain values and social goals are promoted. Although the students’ construction of mathematical thinking involves the development or construction of sets of strategies and mathematical resources, it is relevant to recognize that the study of the discipline is closely related to the study of other fields or domains including natural sciences, social sciences, the arts and ethic or moral disciplines. In this context, I present general features of a possible global educational system and review research results from mathematics education that can be useful in mathematics instruction. In particular, I discuss and example to show that the use of computational tools can offer the instructors the opportunity to think of potential instructional routes to foster their students’ mathematical learning. In this perspective, they also have the opportunity of addressing issues related to the curriculum structure and organization, class dynamics and the teachers’ education.

Keywords Mathematics education, innovation, problem solving and computational tools.

* Licenciado en física y matemáticas por la Escuela Superior de Física y Matemáticas (ESFM), del Instituto Politécnico Nacional (IPN), obtuvo su doctorado en educación matemática en la Universidad de British Columbia, Canadá y una estancia de posdoctorado en la Universidad de California, Berkeley, EUA. Ha sido profesor invitado en la Universidad de Quebec, Canadá; Universidad de California y Universidad de Purdue en EUA, así como en la Universidad de la Laguna, España, entre otras. Ha publicado innumerables artículos especializados en la materia y actualmente es investigador titular en el Departamento de Matemática Educativa en el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados (Cinvestav-IPN), México. E-mail: [email protected]

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Sistema de educación global ¿Cómo se define y estructura un sistema educativo en el ámbito nacional? ¿Qué educación matemática y de las ciencias debe promoverse en las instituciones educativas? ¿Qué tipos de conocimiento deben formar parte de la cultura general de quien termina los estudios preuniversitarios? ¿Cuál es el papel de las matemáticas en la educación del individuo? ¿Qué tipo de problemas y actividades de instrucción promueve el aprendizaje de los estudiantes? Estas son algunas preguntas relevantes de la agenda de investigación en el campo de la educación matemática. Gardner (2000), sugiere que la educación, de todo individuo, debe girar alrededor de tres áreas o campos relacionados: la búsqueda de la verdad a través de los métodos que se han desarrollado en las distintas disciplinas del estudio de las ciencias, la apreciación y valoración de la belleza por medio del estudio de las artes, y el conocimiento y entendimiento del campo de la moral que permite reconocer lo bueno y lo malo en la sociedad. En su propuesta Gardner ilustra esta visión de la educación a partir del desarrollo de la teoría de la evolución como área significativa en el estudio de las ciencias —nociones relevantes incluyen las especies, la variación, la selección natural, la adaptación, entre otros. En el campo de la belleza introduce la obra de Mozart Las bodas de Fígaro, donde resalta el lenguaje artístico, la credibilidad de los caracteres, intrigas, emociones, poder, jerarquías sociales y evocaciones de toda una era —estudio del trabajo de los artistas o creadores de arte. Finalmente, en el campo de la moralidad aborda la necesidad de entender la secuencia de eventos conocidos como holocausto. Propone revisar y analizar los elementos históricos y morales de estos sucesos para que el individuo reflexione sobre la maldad y la bondad en esta sociedad. En esta dirección, las matemáticas se distinguen no solo como una herramienta que ayuda a entender y analizar distintos fenómenos asociados con los tres campos —por ejemplo, el estudio de los modelos matemáticos de los procesos de evolución, los cambios en la población o los programas que producen vida artificial— sino que constituyen un ejemplo en la búsqueda de relaciones, donde la justificación y la explicación son relevantes en la presentación de resultados. De esta manera, es importante ubicar el estudio de las matemáticas desde una perspectiva multi y transdisciplinaria, en el sentido de que las formas de pensar asociadas con el pensamiento matemático pueden también ser de utilidad para abordar los problemas desde el contexto de otras disciplinas del conocimiento o áreas de estudio. Por ejemplo, un problema sobre el crecimiento de la población de alguna especie se puede analizar a partir de los datos previos de crecimiento y el diseño de un modelo matemático que simule y cuantifique la variación. Este mismo problema también se estudia a partir de los métodos biológicos que dan cuenta del tipo de enfermedades —causas y consecuencias— que inciden en la relación nacimientos y muertes; o desde las perspectivas

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de las ciencias sociales al examinar el impacto del desarrollo de los medios de comunicación en la participación masiva de los individuos en los procesos de toma de decisiones. El reconocimiento de ubicar el estudio de las matemáticas en un entorno multi y transdisciplinario implica revisar el tipo de innovaciones necesarias que sustenten los principios para reestructurar aspectos relacionados con el currículo, las prácticas de instrucción y las formas de utilizar las diversas herramientas computacionales.

Innovación e investigación en educación matemática En general, el término innovación se emplea en el campo de la educación con la finalidad de identificar y comunicar cambios o acercamientos novedosos en el sistema educativo existente. Así se hablar de innovación en el currículo, en las prácticas de instrucción y en los programas de investigación. El argumento que con frecuencia se utiliza para mostrar una innovación se basa en que la propuesta innovadora ofrece una mejor alternativa que las prácticas existentes. Desafortunadamente, cuando se anuncian innovaciones existe la tendencia de descalificar lo que existe y pocas veces se valora aquellos aspectos que pueden ser considerados como antecedentes que proporcionan cierta racionalidad a las acciones o proyectos innovadores. También es elemental reconocer que los acelerados desarrollos tecnológicos muchas veces impulsan innovaciones con la intención de incorporar los avances de la moda tecnológica, pero sin atender los ajustes que garanticen una transición planeada. En este panorama, se formulan algunas preguntas que sirven de punto de partida para introducir innovaciones requeridas en la investigación y práctica de la instrucción. ¿Qué es lo que define la investigación en educación matemática? ¿Cómo se identifican los temas a investigar en la disciplina? ¿Qué resultados relevantes y aspectos de esta investigación orientan las prácticas de instrucción? La discusión de estas preguntas es fundamental para evaluar la relación de la investigación y la práctica o instrucción matemática. Silver (1990), argumenta que la creencia de un amplio sector de la sociedad en que algún día la investigación identificará los objetivos importantes en la educación —y como consecuencia generará condiciones para alcanzar tales metas— y propondrá respuestas inequívocas a las preguntas de los problemas educacionales, ha generado expectativas no realistas de lo que se espera de la investigación en la educación matemática. Por ello, propone cambiar esta creencia —de la existencia de un cura mágica o definitiva— por el reconocimiento de una relación bi-direccional. La práctica educativa debe orientarse por ideas y constructos que emergen de la investigación y viceversa, los marcos de investigación deben considerar aspectos relacionados con los escenarios de instrucción. Es decir, los resultados de investigación producen transformaciones en la práctica y la misma práctica influye y retroalimenta la agenda de investigación de la disciplina.

De la misma manera Hiebert reconoce que tomar en cuenta los productos de investigación ayuda a tener información confiable para elegir las mejores decisiones. Sin embargo, afirma que en cada campo la ciencia tiene sus límites. Para ilustrar las limitaciones de la investigación en educación plantea una analogía con la investigación sobre la salud: Considere los requerimientos para una vida saludable. Profesionales en la materia proponen estándares para vivir de manera saludable —dieta, ejercicio, descanso. Pero la investigación médica no prueba que estos estándares son los mejores […] ¿Qué es mejor usar: mantequilla o margarina? ¿Se debe consumir exactamente siete raciones de frutas y vegetales todos los días o seis es suficiente? Estas preguntas simples no tienen respuestas simples. Hay demasiados factores que influyen en los resultados: la cantidad de ejercicio que hacemos, cuanto pesamos, nuestra genética, nuestro metabolismo, etc. Sería imposible controlar todos estos factores para probar que una cierta dieta es la mejor (Hiebert, 1999, p. 5). Este autor también indica que, en ambientes complejos como el salón de clase existe una relación especial entre la investigación, la elección, y el desarrollo de las actividades de aprendizaje. Las decisiones se basan en estimaciones probabilísticas, y los datos de la investigación nos ayudan a estimar la probabilidad de éxito. Entre más claros sean los resultados, se tiene más confianza de que estamos tomando buenas decisiones (Hiebert, 1999, p. 5). En esta realidad se identifican los elementos fundamentales alrededor de una investigación y las contribuciones que pueden aportar a la práctica de la instrucción. Se inicia con una reflexión acerca de las formas de identificar un problema de investigación y la importancia de seleccionar un conjunto de preguntas que la orienten. Se sostiene que el proceso de definir un problema de investigación es similar a la actividad de planear escenarios de instrucción donde los estudiantes tengan oportunidad de desarrollar sus ideas matemáticas. En ambas tareas resulta cardinal problematizar la actividad. En otras palabras, transformar las metas en dilemas o preguntas que deben atenderse en forma sistemática. Posteriormente, se identifican posibles contribuciones que aparecen en la práctica de la instrucción, considerando aspectos de la investigación relacionados con los marcos teóricos, algunos métodos de investigación incluyendo problemas que pueden ser útiles en la construcción del conocimiento matemático de los estudiantes.

Aportaciones de la investigación en educación matemática ¿Cuáles son los aportes de la investigación de los programas de investigación en educación matemática en la organización del currículo y la instrucción? Existen semejanzas entre los procesos de investigar y de seleccionar e implementar actividades de instrucción que promuevan el desarrollo del conocimiento matemático de los estudiantes. La tarea de realizar una inves-

tigación en educación matemática implica identificar un conjunto de preguntas que servirán de guía en el desarrollo del estudio. La selección de las preguntas de investigación se basa en un análisis detallado del tema, las metas y las condiciones de desarrollo de la investigación. De la misma manera, planear un escenario de instrucción incluye reflexionar —plantear y discutir preguntas— acerca del tema en estudio —¿qué significa aprender el concepto de derivada?; ¿cuáles son los recursos y procesos fundamentales alrededor del concepto?; ¿qué tipo de problemas son importantes en la construcción del concepto? Es decir, se examina el tema y se identifican trayectorias potenciales de aprendizaje que los estudiantes pueden seguir durante la instrucción. La visión que aporta la revisión de la literatura en el proceso de desarrollar una investigación es similar a la forma de estructurar la instrucción a partir de la incorporación de los resultados de la investigación. Se reconoce que en la construcción del conocimiento matemático es fundamental que el estudiante aprenda a formular preguntas y a buscar distintos caminos para encontrar respuestas a esas preguntas. En esta perspectiva es fundamental construir escenarios de aprendizaje donde el alumno tenga oportunidad de reflexionar acerca del uso de recursos y procesos del quehacer matemático a fin de extender y robustecer sus formas de plantear y resolver problemas.

Influencia de los marcos teóricos en la instrucción Un marco teórico se define alrededor de los principios que rigen la estructura y desarrollo de la investigación. En la resolución de problemas, por ejemplo, es primordial analizar el proceso cognitivo y no solo los productos que muestra el estudiante durante sus experiencias de aprendizaje. Además, en esta perspectiva existen constructos teóricos que ayudan a caracterizar el desarrollo del conocimiento matemático de los estudiantes en términos de la visión de la disciplina (creencias), los recursos básicos que disponen y puedan acceder durante la comprensión de las ideas matemáticas y la resolución de problemas, las estrategias cognitivas relevantes en el proceso de solución y las de monitoreo, evaluación y autorregulación que guían la resolución de problemas. Estos aspectos han influido no solamente en la forma de estructurar los escenarios de instrucción sino en la selección e implementación de actividades de aprendizaje que faciliten a los estudiantes revelar y atender el desarrollo de estos constructos. En particular, una instrucción basada en la resolución de problemas intenta crear un microcosmo del quehacer matemático en el salón de clases (Schoenfeld, 2008), que refleje los valores y principios de la disciplina. Términos como problemas no rutinarios y comunidades de aprendizaje que promuevan los valores del quehacer de la materia son relevantes en una instrucción basada en la resolución de problemas. En la instrucción matemática es común que converjan principios e ideas asociadas con varios marcos teóricos y no con un marco específico. La visión de la matemática

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que se sustenta en un marco teórico también ha influido notablemente las actividades de aprendizaje que se promueven en el salón de clases. Esta dirección resalta que, aprender matemáticas va más allá de memorizar un conjunto de fórmulas o procedimientos para resolver un determinado tipo de problemas; aprender matemáticas implica desarrollar y apreciar los valores propios del quehacer de la disciplina. Esto incluye la tendencia a formular preguntas, representar relaciones, buscar conjeturas, plantear argumentos, resolver problemas, comunicar resultados y plantear problemas. Esta visión de las matemáticas es consistente con la que se promueve en el documento de los estándares. La propuesta refleja las sugerencias e influencias de muchas fuentes. La investigación en educación sirve como base para muchas de las propuestas y aseveraciones que aparecen en el documento acerca de que es posible para los estudiantes aprender en ciertas áreas de contenido, en ciertos niveles y bajo ciertas condiciones pedagógicas (NCTM, 2000, p. xii).

Importancia de los métodos de investigación Un efecto a destacar que emerge de la investigación en educación matemática es reconocer que los estudiantes participan activamente en la construcción de su propio conocimiento matemático. Asimismo, esta construcción se basa en los conocimientos y recursos que han aprendido en las experiencias previas de aprendizaje. Muchos de los métodos utilizados en la investigación para promover la reflexión y fomentar el aprendizaje incluyen el trabajo en grupos pequeños, participación en discusiones con toda la clase y en la resolución de problemas mediante entrevistas estructuradas. Estos métodos de investigación han sido exportados a la instrucción matemática, por ello es común que los estudiantes discutan problemas con sus compañeros, expongan ideas y, en algunos casos, participen en la resolución de problemas en entrevista con el docente. La intervención —en grupos pequeños en clase y en las entrevistas— es un medio eficaz para revelar ideas y conocer las de los compañeros, pero también como forma de refinar y extender las propias. Estos modos de estructurar las actividades de aprendizaje en el salón de clase han aportado información valiosa relacionada con la evaluación del aprovechamiento o competencias matemáticas de los estudiantes. Además, los mismos problemas utilizados en los programas de investigación se convirtieron en significativos recursos para los profesores en la construcción del pensamiento matemático de sus alumnos.

Escenarios de instrucción Como ya se mencionó, es relevante la construcción activa que tienen los educandos en su propio conocimiento matemático, en donde es fundamental crear escenarios flexibles para que sus ideas, recursos, estrategias y for-

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mas de pensar se manifiesten libremente en beneficio de la clase. En este sentido el profesor organiza y orienta el desarrollo de las actividades y promueve una comunidad de aprendizaje a fin de valorar la formulación de preguntas, la búsqueda de conjeturas, el uso de distintas representaciones y la comunicación de resultados. Por supuesto, no existe un formato único acerca de cómo estructurar las distintas actividades de aprendizaje. Cada maestro de acuerdo con su propia instrucción, selecciona, organiza e implementa series de actividades que promuevan la: • Participación de los estudiantes en la discusión de tareas o problemas en pequeños grupos. • Presentación de los acercamientos de los estudiantes a los problemas a toda la clase o grupo. • Retroalimentación y orientación por parte del profesor para identificar las estrategias y métodos de solución y la necesidad de enseñar nuevos contenidos. • Reflexión individual del estudiante con el objetivo de incorporar y refinar los distintos acercamientos vistos en el desarrollo de las actividades.

Currículo matemático La National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), (2000), propone un marco con visión global de las matemáticas que debe estudiarse en el nivel preuniversitario. El documento destaca cinco estándares de contenidos —números y operaciones; geometría y sentido espacial; patrones, relaciones y álgebra; medición; análisis de datos y probabilidad— y cinco estándares de procesos del pensamiento matemático —resolución de problemas; razonamiento y prueba; comunicación; conexiones; representaciones. La visión matemática que se promueve ha sido referencia de peso en propuestas curriculares en países como Alemania, Estados Unidos, Portugal y México, entre otros. La pertinencia y consistencia entre las metas, el espíritu del documento —los estándares— y las propuestas del currículo que emergen al incorporar los principios y la visión que se promueve es un tema trascendental que debe abordarse directamente entre educadores y profesores de matemáticas. Una reflexión inicial implica discutir los cambios que demanda la estructura y organización de los contenidos en una propuesta, que a su vez refleje de manera clara los principios y visión matemática de los estándares. Es común encontrar propuestas que introducen el uso del lenguaje de los estándares y mantienen la rigidez y estructura de los contenidos en forma tradicional; o se suman a propuestas tradicionales ciertos apartados que hacen referencia a los propósitos de los estándares. Santos-Trigo (2007), reporta que varias propuestas curriculares explícitamente identifican a la resolución de problemas como una actividad central en el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes y el lenguaje

en la presentación distingue aspectos del quehacer matemático; sin embargo, no existe claridad en cuanto al significado de organizar un currículo bajo la perspectiva de la resolución de problemas. ¿Cuáles son los contenidos fundamentales de la educación preuniversitaria? ¿Cómo se estructuran en términos de actividades de resolución de problemas? ¿Cómo hacer visible la interdependencia entre los contenidos y los procesos de la práctica de la disciplina? Este tipo de preguntas han estado fuera de discusión en la agenda de la resolución de problemas y, como consecuencia, no existe consenso sobre lo que una propuesta curricular, que refleje la resolución de problemas, debe incluir más allá de un discurso que señale fomentar las actividades propias de esta perspectiva. El reconocimiento de que pueden existir varios caminos para organizar una propuesta del currículo que promueva la resolución de problemas implica explicitar cómo los principios de esta perspectiva se distinguen en la organización y estructura de los contenidos. Por ejemplo, si interesa que los estudiantes identifiquen, representen, exploren y justifiquen diversas conjeturas asociadas con la comprensión de los conceptos matemáticos, entonces resulta esencial que el currículo se organice alrededor de los conceptos fundamentales que deben estudiarse a profundidad en los distintos niveles educativos. Es decir, es imprescindible transformar las listas extensas de temas que aparecían en las propuestas tradicionales del currículo en un conjunto de temas relevantes, donde se muestre su desarrollo y las formas de conectarse en diversos dominios que antes se estudiaban de manera independiente como el álgebra, la geometría, la estadística, el cálculo y la probabilidad. La resolución de problemas exitosa requiere del conocimiento del contenido matemático, del conocimiento de estrategias de resolución de problemas, de un auto-monitoreo efectivo, y una disposición productiva a plantear y resolver problemas. La enseñanza de la resolución de problemas requiere aún más de los profesores, ya que deben ser capaces de promover tal conocimiento y actitudes en sus estudiantes. […] La enseñanza en sí misma es una actividad de resolución de problemas (NCTM, 2000, p. 341). En este contexto, la resolución de problemas es una forma de interactuar y pensar acerca de las situaciones que demandan el empleo de recursos y estrategias matemáticas.

Uso de herramientas computacionales El empleo de herramientas computacionales en la construcción del conocimiento matemático de los estudiantes facilita la identificación e implementación de estrategias de resolución y potencia el repertorio de las heurísticas (Santos-Trigo, 2008). El uso de la tecnología influye directamente en la conceptualización y forma de interactuar con los problemas, como corolario incide en el desarrollo de una teoría que explique las competencias de los estudiantes. Moreno-Armella y Santos-Trigo (2008), establecen que el uso de herramientas digitales

ha permitido la introducción y consideración de aspectos cognitivos matemáticos nuevos en el desarrollo de las competencias y ofrecen un potencial para repensar y estructurar nuevas agendas de investigación. Conviene presentar un ejemplo donde se ilustre el potencial de una herramienta en el proceso de trabajar una tarea o problema inicialmente caracterizado como rutinario, pero que con un acercamiento inquisitivo por parte de los alumnos se transforma en oportunidades para identificar y explorar diversas relaciones matemáticas. En el desarrollo de la actividad (Santos-Trigo y Cristóbal-Escalante, 2008 y Santos-Trigo, 2008), se identifican algunos acercamientos que mostraron estudiantes de bachillerato trabajando en una comunidad de aprendizaje que promueve el uso de herramientas computacionales en actividades de resolución de problemas. En particular, en la solución de la actividad se destaca el uso de un software dinámico, Cabri-Geometry, en la representación de la situación y búsqueda de relaciones. El problema del reparto A dos estudiantes, Luis y Pablo, encargados de la siembra de hortalizas en el jardín de la escuela se les asigna un pedazo de tierra en forma de cuadrado y deciden repartirse el terreno en dos partes de tal manera que a cada uno le corresponda la misma área (imagen 1).

Imagen 1 Terreno escolar.

Fuente: Software Google Earth.

Las figuras 1 y 2 representan las dos formas que inicialmente se consideraron para dividir el terreno. Otro estudiante, Pedro, les sugiere seleccionar cualquier punto, sobre cualquier lado del cuadrado, y trazar una recta que pase por ese punto y el centro del cuadrado. Pedro les afirma que esta recta divide el cuadrado en dos regiones que tienen la misma área (figura 3). ¿Es cierta la afirmación de Pedro? ¿Siempre funciona ese método de dividir el terreno? ¿Existe alguna relación entre el método original de Luis y Pablo con el procedimiento que propone Pedro?

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Figura 1 M y M’ son puntos medios de AB y DC.

Figura 2 AC es la diagonal de ABCD.

Figura 3 M es el centro del cuadrado y P y P’ están sobre el perímetro.

Fuente: Elaboración propia.

Durante el proceso de solución emergieron diversas maneras de dividir el cuadrado en dos regiones con la misma área. El uso de la herramienta Cabri-Geometry ayudó a examinar cada caso en forma visual numérica y a utilizar argumentos basados en propiedades geométricas (figuras 4 a 10).

Figura 4 Triángulos PMC y P’MA son congruentes por LAL. Como la diagonal divide al rectángulo en dos triángulos congruentes entonces los polígonos AMPD y CMP’B tienen la misma área.

Figura 5 Argumento de los rectángulos. Los rectángulos AGPF, GBHP, HCEP, y FPED se dividen en dos triángulos congruentes que permite afirmar que las áreas de las dos regiones son iguales.

Figura 6 Los rectángulos PQDR, PTCQ, PSBT y ASPR cada uno se divide en dos triángulos congruentes. Por lo tanto, el área del cuadrilátero RSTQ es la mitad del área del cuadrado ABCD.

Figura 7 Área de QRST es la mitad del área de ABCD.

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Figura 8 El punto E’ es la intersección de la recta perpendicular a la recta EF que pasa por el punto I y la recta EF; el punto C’ es la intersección de esa perpendicular con la recta BC, B’ es el punto de intersección de la recta BC y la perpendicular a BC que pasa por el punto G; y el punto F’ es la intersección de esa perpendicular con la recta EF. Argumentaron que el área del rectángulo E’F’B’C’ correspondía al área del hexágono original.

Figura 9 Rotar una de las regiones (e.g. SBCDR) 180 grados alrededor del punto O (centro del hexágono), la región SBCDR coincidía con la región REFAS.

Figura 10 Cuando P se sitúa en el centro del cuadrado, el cuadrilátero QRST alcanza el perímetro mínimo.

Fuente: Elaboración propia.

Se observa que, para el estudiante un problema/tarea representa la oportunidad de formular conjeturas o relaciones, buscar distintos caminos de solución, establecer conexiones, generalizaciones, sustentar y comunicar resultados.

Formación y actualización de docentes ¿Qué formación tienen que recibir los futuros profesores de matemáticas? ¿Cómo mantener vigentes sus conocimientos pedagógicos y matemáticos? ¿Quiénes deben participar en los programas de formación y actualización? David y Simmt (2006), sugieren que los programas de preparación de docentes deben enfocarse en la construcción de sus ideas matemáticas a fin de apreciar relaciones, interpretaciones, y el empleo de varios tipos

de argumentos para validar conjeturas y relaciones más que estudiar cursos formales de matemáticas. El conocimiento matemático que se necesita para la enseñanza no es un versión diluida de las matemáticas formales; sino un área seria y demandante del trabajo matemático (Davis y Simmt, 2006, p. 295). En este sentido se recomienda que el conocimiento pedagógico y matemático del docente debe ser abordado, revisado y extendido en una comunidad intelectual que promueva un método inquisitivo o de reflexión. Los participantes en esa comunidad tienen que ser matemáticos, educadores matemáticos y los propios maestros, con la intención de construir trayectorias potenciales de aprendizaje que orienten las prácticas de instrucción. Es decir, los docentes requieren interactuar en una comunidad que les motive y proporcione un suporte co-

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legiado donde puedan compartir y discutir ideas para enriquecer sus conocimientos matemáticos y estrategias de resolución de problemas. Además, esta comunidad debe favorecer y analizar el uso sistemático de diversas herramientas computacionales y así identificar y evaluar los proyectos de innovación que surjan al llevar estos acercamientos al salón de clase.

A manera de conclusión Se considera ineludible que matemáticos, educadores y profesores trabajen en conjunto para el diseño de planes y programas que, en realidad, reflejen la esencia de lo que significa aprender la disciplina. En particular, lo que interesa es que los estudiantes desarrollen una forma de pensar y disposición hacia el estudio de las matemáticas, donde exhiban distintas formas de representar fenómenos, identifiquen relaciones y patrones, formulen conjeturas, justifiquen y comuniquen resultados. La idea es ir más allá del empleo de exámenes estandarizados y promover formas de evaluación donde los estudiantes tengan oportunidad de mostrar distintos procesos de razonamiento, extender o buscar conexiones y eventualmente formular sus propios problemas o preguntas. En este sentido, es esencial proponer un currículo en términos de secuencias de problemas donde se reflejen los aspectos inherentes que transforman las asignaturas tradicionales en líneas de pensamiento numérico, algebraico, geométrico y estadístico. Además, los procesos de evaluación no deben separarse de las actividades de instrucción que se desarrollan en las clases, deben ser parte de las actividades cotidianas. El trabajo individual es solo un aspecto a incluir en la evaluación; el estudiante debe valorar y aceptar que parte de su aprendizaje es escuchar a los demás y exponer sus propias ideas a escrutinio en clase. El entendimiento de las ideas matemáticas no es un proceso final sino dinámico que se robustece en función de responder y resolver series de cuestionamientos que emerjan dentro y fuera de la propia comunidad de aprendizaje. Un aspecto crucial en las agendas de resolución de problemas es la interacción y discusión abierta entre los grupos de investigación sobre los aspectos comunes y principios que distinguen cada uno de los programas. Esto promovería la colaboración entre los distintos grupos y evitaría la repetición de estudios con agendas similares. En la resolución de problemas se reconoce también que pueden existir caminos distintos para promover el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes; sin embargo, tanto los programas de investigación como las prácticas de instrucción coinciden en reconocer la relevancia de conceptualizar la disciplina en términos de dilemas o preguntas que los estudiantes tienen que responder y discutir en términos de recursos matemáticos (Santos-Trigo, 2008). En este proceso, ellos desarrollan un método inquisitivo que les permite reflexionar profundamente sobre las diversas maneras de representar y explorar las ideas matemáticas.

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Es decir, los estudiantes construyen, desarrollan, refinan o transforman sus formas de comprender y resolver problemas como resultado de formular preguntas relevantes y responderlas con el uso de distintos medios, incluyendo las herramientas computacionales. Los acercamientos iniciales en la resolución de problemas pueden ser incoherentes o limitados, pero éstos se refinan cuando los estudiantes presentan y discuten abiertamente sus ideas en una comunidad de aprendizaje que valora y promueve el cuestionamiento matemático o método inquisitivo. Existe evidencia de que algunas propuestas del currículo matemático a nivel preuniversitario sugieren organizar y estructurar el contenido y las prácticas de instrucción a partir de actividades de resolución de problemas; sin embargo, un asunto pendiente es discutir y reflexionar sobre los cambios y la forma de estructurar los contenidos bajo la perspectiva de la resolución de problemas. Asimismo, es relevante establecer una agenda académica para la actualización de profesores en servicio, así como la educación y formación de los nuevos profesores que resalte las actividades de aprendizaje que se deben promover en el salón de clase. Esta agenda debe incluir formas de utilizar diversas herramientas computacionales en la construcción del conocimiento matemático de los estudiantes (Santos-Trigo, 2007). Se reconoce que diversas herramientas pueden ofrecer distintas oportunidades al estudiantado para reconstruir conocimiento matemático, por ejemplo, el uso del software dinámico favorece la construcción de representaciones de los objetos matemáticos o del problema. Como consecuencia, algunas heurísticas como la medición de atributos —longitudes, áreas, perímetros—, el arrastre de algunos elementos dentro de una configuración, la descripción de lugares geométricos, y el uso adecuado del sistema cartesiano se deducen importantes en la búsqueda de conjeturas o relaciones y formas de justificarlas. La aplicación de distintas herramientas exige actualizar los marcos conceptuales que emergieron de estudios donde los alumnos interactuaban principalmente con problemas a partir del uso de lápiz y papel. Aquí interesa caracterizar las formas de razonamiento que los alumnos desarrollan cuando utilizan de manera sistemática varias herramientas computacionales. Finalmente, es urgente establecer comunicación y colaboración académica con los distintos grupos que promueven el desarrollo del conocimiento en programas de investigación, propuestas curriculares y la instrucción.

Recibido noviembre 2008 Aceptado marzo 2009

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La matemática en el contexto de las ciencias Patricia Camarena Gallardo*

Resumen En el artículo se describe brevemente la teoría educativa denominada matemática en el contexto de las ciencias, que nace en 1982 en el Instituto Politécnico Nacional (IPN), y considera al proceso de la enseñanza y el aprendizaje de esta materia, en carreras donde la matemática no es una meta, como un sistema presente en el ambiente de aprendizaje. La teoría está constituida por cinco fases: cognitiva, epistemológica, didáctica, curricular y de formación docente. En el cuerpo del artículo se describen los resultados de las investigaciones más relevantes de cada una de las cinco fases de esta teoría educativa.

Palabras clave Matemáticas en contexto, matemáticas, modelación, ciencias, didáctica, currículo, epistemología, cognición.

Mathematics in the sciences context Abstract This paper describes briefly what Mathematics in the Sciences Context theory is, which born since 1982 in the Instituto Politécnico Nacional. This theory takes mathematics learning and teaching in engineering careers as a system in the learning environment. The theory includes five phases: cognitive, epistemological, didactic, curriculum and teachers training. It is included the most important research results of each phase of the Mathematics in the Sciences Context.

*

Keywords Mathematics in context, mathematics, modeling, sciences, didactic, curriculum, epistemology, cognition.

Licenciada en física y matemáticas por la Escuela Superior de Física y Matemáticas (ESFM), maestría y doctorado en ciencias con especialidad en matemática educativa por el Centro de Investigación y Estudios Avanzados (Cinvestav), ambos del IPN. Premio nacional 2000 de la Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación Superior (ANUIES), a la mejor tesis de doctorado del nivel superior en contribución a la educación superior; miembro del Sistema Nacional de Investigadores (SNI), nivel 2; evaluadora internacional para la acreditación de carreras en matemáticas y en educación; representante de México ante el Consejo Interamericano de Educación Matemática; coordinadora de la Red Internacional de Matemáticas en el Contexto de las Ciencias. Titular de más de 25 proyectos de investigación, destacando entre los productos de investigación la metodología dipcing para el diseño de programas de estudio de las ciencias básicas en ingeniería. Autora de cinco libros sobre la materia, de innumerables artículos especializados, e invitada especial de eventos y conferencias internacionales en todo el continente americano. Actualmente es profesora-investigadora en la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (ESIME, Zacatenco) del IPN, México. E-mail: [email protected]

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Introducción En el ámbito mundial es reconocida la problemática que enfrentan los estudiantes de todos los niveles educativos con el aprendizaje de la matemática, asignatura que, en general, no es de su agrado. En este conflicto inciden muchos factores de tipo social, económico, de orden curricular, asociados a la didáctica —que inciden en el aprendizaje y en la enseñanza de esta materia— inherentes a la formación de los docentes, inferidos al propio tema de estudio, por causas de la infraestructura cognoscitiva de los alumnos, entre otros (Camarena, 1984). Se puede decir que la gran mayoría del alumnado no tiene claro por qué estudia matemáticas, lo cual demerita la motivación hacia esta ciencia; a ello se agrega que, en los objetivos de las carreras técnicas y profesionales se menciona que el egresado deberá poseer una formación integral pero en ninguna parte del currículo se especifica cómo lograrlo. Desde esta perspectiva, la desarticulación entre los cursos de matemática y los de las demás asignaturas se convierte en un cotidiano conflicto para los alumnos. Para enfrentar estas realidades nace la teoría de la matemática en el contexto de las ciencias. En el presente trabajo se muestran los resultados de varias investigaciones educativas relacionadas con el proceso de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática en áreas de la ingeniería, específicamente, áreas en donde la matemática no es una meta en sí misma. Esta serie de investigaciones convergen en el nacimiento de la teoría educativa ya mencionada —matemática en el contexto de las ciencias— en el nivel universitario, en ingeniería, que en la actualidad se está aplicando en los niveles educativos anteriores, así como en las demás áreas del conocimiento que no forman matemáticos.

La teoría La teoría matemática en contexto de las ciencias nació en 1982 en el IPN, y reflexiona acerca de la vinculación que debe existir entre la matemática y las ciencias que la requieren, entre la matemática y las situaciones de la vida cotidiana, así como entre la matemática y los problemas de la actividad laboral y profesional del futuro egresado (Camarena, 1984, 1987, 1995, 2001a, 2005a, 2007). De hecho, se trata de construir en el estudiante una matemática para la vida que se fundamenta en los siguientes paradigmas: • La matemática es una herramienta de apoyo y disciplina formativa. • La matemática tiene una función específica en el nivel universitario. • Los conocimientos nacen integrados. El supuesto filosófico-educativo de esta teoría consiste en que el estudiante debe estar capacitado para realizar la transferencia del conocimiento de la matemática

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a las áreas que la requieren y con ello las competencias profesionales y laborales son favorecidas. Esta teoría, a través de investigaciones, concibe al proceso de la enseñanza y el aprendizaje como un sistema en donde intervienen varios factores, entre los más relevantes se encuentran las características cognitivas, psicológicas y afectivas de los estudiantes; los conocimientos y concepciones de los profesores; la epistemología del contenido a aprender y a enseñar; el tipo de currículo y la didáctica a emplearse (Camarena, 1990, 2004b). Además, el proceso de la enseñanza y el aprendizaje está influenciado e inmerso en un ambiente no tangible de tipo social, cultural, económico y político, siempre presente en el contexto de aprendizaje. De hecho, los factores descritos se han agrupado en tres elementos fundamentales: el estudiante, el profesor y el contenido a enseñar; más dos elementos de interacción: el currículo y la didáctica (figura 1). Por la importancia de los elementos fundamentales, éstos se han constituido en una de las llamadas ternas doradas de la educación, lo cual da origen a las cinco fases que forman la teoría de la matemática en el contexto de las ciencias: 1. 2. 3. 4. 5.

Curricular, desarrollada desde 1984. Didáctica, iniciada en 1987. Epistemológica, abordada en 1988. Formación docente, definida en 1990. Cognitiva, estudiada desde 1992.

Figura 1 Terna dorada en educación.

Social

Cognitiva

Económico

Cultural

Alumno

Político

Curricular

Didáctica

Contenido

Profesor

EPISTEMOLÓGICA

FORMACIÓN DE PROFESORES

Fuente: Camarena, 2000.

Es claro que en el ambiente de aprendizaje están presentes las cinco fases y éstas interactúan entre sí con algún efecto ponderado sobre las demás, es decir, no están aisladas unas de las otras y tampoco son ajenas a las condiciones sociológicas de los actores del proceso educativo; sin embargo, la exposición formal de la teoría hace necesario fragmentarla en las cinco fases. A continuación se exponen los elementos más relevantes de cada una de estas fases, en orden didáctico y no cronológico.

Fase curricular La fase curricular posee una metodología denominada dipcing —diseño de programas de estudio de matemáticas en carreras de ingeniería— (Camarena, 1984), fundamentada en el paradigma educativo que considera que con los cursos de matemáticas el estudiante poseerá los elementos y herramientas que utilizará en las materias específicas de su carrera, es decir, las asignaturas de matemáticas no son una meta por sí mismas; sin dejar a un lado el hecho de que la matemática debe ser “formativa” para el alumno. Asimismo, la premisa alrededor de la cual gira la metodología considera que el currículo de matemáticas debe ser objetivo, es decir, fundado sobre bases objetivas. Para cumplir con la premisa en el marco del paradigma educativo planteado, se propone una estrategia de investigación en tres etapas: central, precedente y consecuente: • Etapa central. Análisis de los contenidos matemáticos tanto explícitos como implícitos en los cursos específicos de la ingeniería. • Etapa precedente. Definición y detección del nivel de competencias matemáticas que tienen los alumnos a su ingreso a la carrera. • Etapa consecuente. Definición de las competencias matemáticas para el desarrollo de la actividad laboral y profesional. Con la metodología se obtiene la vinculación curricular interna —entre la matemática y las asignaturas de las ciencias básicas, la matemática y las ciencias básicas de la ingeniería, la matemática y las especialidades de la ingeniería—, así como la externa —entre el nivel medio superior y superior, el superior con el posgrado, entre la escuela y la industria. Algunos de los constructos teóricos sobresalientes son los diferentes tipos de contenidos que se presentan —algunos apoyan las partes teóricas de la ingeniería mientras otros los temas y conceptos de aplicación— quedando por determinar en qué temas deben desarrollarse las habilidades y destrezas matemáticas y en cuáles no es necesario desarrollarlas (Camarena, 2002a).

Fase de formación de profesores En la fase de formación de profesores se diseñó una especialidad en docencia de la ingeniería matemática en electrónica, en donde las asignaturas de matemáticas se vinculan con otras disciplinas propias de la electrónica y sus ramas afines (Camarena, 1990), (tabla 1).

Tabla 1 Áreas vinculadas. Matemáticas en el contexto de la ingeniería electrónica Matemáticas

Ingeniería electrónica

Introducción al análisis matemático de una variable real

Electrónica básica

Cálculo vectorial

Electromagnetismo

Álgebra lineal

Control electrónico

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Circuitos eléctricos

Análisis de Fourier

Análisis de señales electromagnéticas

Probabilidad

Análisis de señales aleatorias

Procesos estocásticos

Telefonía

Fuente: Camarena, 1990.

De hecho la investigación, que para tales fines se realizó, arrojó cuatro categorías cognitivas que deberían incluirse en un programa de formación docente en matemáticas para el nivel universitario: conocimiento sobre los estudios de ingeniería en donde se labora, conocimiento de los contenidos a enseñar, conocimiento sobre el uso de tecnología electrónica para apoyar el aprendizaje del estudiante, y conocimiento acerca del proceso de enseñanza y de aprendizaje de la matemática. En esta última categoría se incluyen cursos de conocimiento científico y técnico, historia y fundamentos de la matemática, procesos de aprendizaje, didáctica y evaluación del aprendizaje, entre otros.

Fase epistemológica Las investigaciones que se han efectuado verificaron que gran parte de la matemática que se incluye en los cursos de áreas de ingeniería nace en el contexto de problemas específicos de otras áreas del conocimiento, y que con el tiempo pierden su contexto para ofrecer una matemática “pura” que es llevada a los ambientes de aprendizaje, lo cual carece de sentido para aquellos estudiantes que no desean ser matemáticos, como lo describe Chevallard (1991). Con la matemática en el contexto de las ciencias se muestra que así como los contextos de otras ciencias le dan sentido y significado a la matemática, ésta a su vez le da sentido y significado a los temas y conceptos de las ciencias del contexto, reconceptualizándolos (Muro y Camarena, 2002; Camarena, 1987).

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Hay situaciones en donde el ingeniero emplea procesos o métodos sin conocer su origen, la fase epistemológica de la teoría que se presenta pone a la luz estas génesis (Camarena, 1987), como el caso de las impedancias complejas en circuitos eléctricos. También se ha determinado un constructo teórico denominado transposición contextualizada (figura 2), aquí

la matemática aprendida por los estudiantes en la escuela sufre transformaciones para adaptarse a la forma de trabajar de otras ciencias (Camarena, 2001a), como el caso de la delta de Dirac para modelar una señal eléctrica impulsiva.

Figura 2 Transposiciones. Conocimiento erudito

Transposición

Conocimiento a ser enseñado

Transposición

Transposición didáctica

Conocimiento a ser aplicado

Transposición contextualizada

Fuente: Camarena, 2001a.

Como parte de esta etapa se cuenta con una serie de situaciones de matemática contextualizada para ser usadas en clase, como los cursos de ecuaciones diferenciales ordinarias en el contexto de los circuitos eléctricos (Camarena, 1987), cálculo vectorial en el contexto de la teoría electromagnética (Ongay, 1994), análisis de Fourier en el contexto del análisis de señales electromagnéticas (Camarena, 1993), ecuaciones diferenciales parciales en el contexto de la cuerda vibrante (Camarena, 2004a), transformada de Laplace en el contexto de los circuitos eléctricos (Suárez y Camarena, 2000), serie de Fourier en el contexto de la transferencia de masa (Muro y Camarena, 2002), por nombrar algunos. Los obstáculos epistemológicos, como han sido definidos por Brousseau (1983), se identifican en esta fase para ser usados en la planeación didáctica de los cursos mediante el diseño de actividades de aprendizaje que ayuden a revolverlos

Fase didáctica Esta fase contempla un proceso metodológico para el desarrollo de las competencias profesionales, con el cual se fomenta el desarrollo de las habilidades para la transferencia del conocimiento, éste incluye tres etapas (Camarena, 2005a): 1. Presentar la estrategia didáctica de la matemática en contexto en el ambiente de aprendizaje. 2. Implantar cursos extracurriculares con actividades destinadas a desarrollar las habilidades del pensamiento, habilidades metacognitivas y habilidades para aplicar heurísticas al resolver eventos contextualizados, así como actividades para bloquear creencias negativas. 3. Instrumentar un taller integral e interdisciplinario en los últimos semestres de los estudios del alumno, a fin de resolver eventos reales de la industria.

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Primera etapa Presentación a los estudiantes de la estrategia didáctica la matemática en contexto (Camarena, 1995), con una matemática contextualizada en las áreas del conocimiento de su futura profesión en estudio, en actividades de la vida cotidiana, profesionales y laborales a través de eventos contextualizados que pueden ser problemas o proyectos. En general, esta estrategia didáctica desarrolla la teoría matemática de acuerdo con las necesidades y ritmos que dictan los cursos de la ingeniería. La matemática en contexto contempla nueve etapas que se despliegan en el ambiente de aprendizaje en equipos de tres estudiantes —líder académico, líder emocional, líder de trabajo. 1. Identificar los eventos contextualizados. 2. Plantear el evento contextualizado. 3. Determinar las variables y las constantes del evento. 4. Incluir los temas y conceptos matemáticos necesarios para el desarrollo del modelo matemático y solución del evento. 5. Determinar el modelo matemático. 6. Dar la solución matemática del evento. 7. Determinar la solución requerida por el evento. 8. Interpretar la solución en términos del evento y disciplinas del contexto. 9. Presentar una matemática descontextualizada De las etapas mencionadas se tiene dos observaciones, una referida a la planeación didáctica y otra a la modelación matemática. Observación 1. Es importante hacer notar que los puntos 4 y 9 requieren de una planeación didáctica específica que se traduce por parte del docente en el diseño de actividades didácticas guiadas por los siguientes elementos (Camarena, 2004b):

• Tránsito entre los diferentes registros de representación. En la matemática se cuenta con los registros numérico, algebraico, analítico, contextual y visual, este último incluye gráficas, diagramas, esquemas y dibujos que deben ser usados por el profesor para llegar a los diferentes estilos de aprendizaje del estudiante. • Tránsito del lenguaje natural al matemático y viceversa. Se cuenta con una categorización de las representaciones en este tránsito: problemas con enunciado literal, con enunciado evocador y con enunciado complejo (Olazábal y Camarena, 2003). • Construcción de modelos matemáticos. Si el alumno no puede construir un modelo matemático de un evento a abordar, significa que no puede hacer la transferencia del conocimiento matemático a otras ciencias. Es importante que este elemento forme parte de los hilos conductores de la enseñanza y del aprendizaje. • Resolución de eventos contextualizados. Es necesario ayudar al alumno a desarrollar las habilidades para lograr la resolución de eventos. La matemática en contexto toma como herramienta la resolución de problemas y el aprendizaje basado en proyectos, así como sus elementos de formación: heurísticas, metacognición, creencias, entre otros. • Argumentación, habilidad de conjeturar y partir de supuestos. Uno de los elementos formativos que ofrece la matemática es argumentar, conjeturar y seguir un proceso a partir de supuestos, sin que se desee formar como matemáticos a los futuros ingenieros, pero sí es deseable que desarrollen las habilidades formativas que otorga la matemática para un mejor desempeño profesional. • Búsqueda de analogías. Las analogías que pueda usar el docente en clase asistirá al estudiante para que establezca amarres a las estructuras cognitivas establecidas. • Identificación de nociones previas. Si se conocen las nociones previas con que cuenta el estudiante, el docente podrá diseñar sus actividades a partir de éstas y apoyar la construcción de conocimientos significativos en el sentido de Ausubel, Novak, y Hanesian (1990). • Identificación de obstáculos. Los obstáculos se clasifican en epistemológicos en el sentido que los maneja Brousseau, didácticos los que provoca el profesor, cognitivos los que están inferidos a los conocimientos anteriores del estudiante y ontogénicos aquellos que son inherentes a las características físicas y hereditarias del estudiante. • El conocimiento se presenta en espiral. Es importante que el docente tome en cuenta este hecho porque le abre el camino para repasar constantemente conocimientos ya tratados en el mismo curso o en estudios anteriores, lo cual apoya la construcción y reconstrucción del conocimiento.

• Uso de la tecnología electrónica. En el presente siglo la tecnología no puede estar fuera de ninguna actividad profesional, para el caso de la docencia es imperioso que se incorpore como una herramienta de apoyo al aprendizaje. Por lo común, no hay tiempo en los espacios didácticos para incursionar en otras actividades que consuman los tiempos programáticos, por lo cual debe incursionarse en la tecnología —plataformas tecnológicas educativas, foros de discusión, comunidades virtuales— que de alguna manera extienden los tiempos del aula. Las tecnologías de la información y la comunicación (TIC), hacen que el estudiante vaya a sus propios ritmos porque los tiempos cognitivos son diferentes a los didácticos. Además, le facilita retroceder o avanzar cuando desee, repasando y reforzando los conocimientos. Observación 2. Una de las etapas centrales de la estrategia didáctica de la matemática en contexto es la elaboración del modelo matemático, situación que exigió investigaciones (Camarena, 2001b), que abordaron las interrogantes: ¿qué es un modelo matemático?; ¿qué es modelación matemática?; ¿qué elementos cognitivos intervienen?; ¿qué habilidades del pensamiento son indispensables para la modelación? La matemática en ingeniería es un lenguaje, ya que casi todo lo que se dice en esta área se representa con la simbología matemática. Es más, que se represente a través de la terminología matemática y se haga uso de la matemática en la ingeniería, le ayuda a la ingeniería a tener carácter de ciencia por un lado, y le facilita su comunicación con la comunidad científica de ingenieros por el otro. Dentro del conocimiento de la ingeniería hay problemas de ingeniería, asimismo se tiene objetos de la ingeniería que para su mejor manejo o referencia se les representa matemáticamente, y también se tiene situaciones que se pueden describir a través de la simbología matemática. Estos casos permitirán caracterizar a los modelos matemáticos. A continuación se muestran ejemplos de cada caso: a) Problemas. Se quiere conocer el fenómeno de carga de un condensador (capacitor) cuya capacitancia es C y está conectado en serie con un resistor de resistencia R a las terminales de una batería que suministra una tensión constante V. Este planteamiento se puede representar en una ecuación diferencial lineal: R

d 1 q(t)  q(t)  V dt c

Bajo el término problema se incluyen los fenómenos que se presentan en la ingeniería como la carga de un condensador, la caída libre de un cuerpo, el movimiento de un péndulo, entre otros.

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b) Objetos. Una señal eléctrica del tipo alterno sinusoidal; la señal es el objeto de la ingeniería que se representa con la siguiente la función: f(t)  A sen (t) c) Situaciones. El condensador de carga q=q(t) está totalmente descargado al inicio del problema. Esta situación se puede representar matemáticamente tomando en cuenta que al inicio del problema t=0 y que la carga es una función del tiempo como q(0)=0. De los tres casos mencionados, lo que caracteriza a los modelos trabajados en esta investigación son los objetos y los problemas, por lo que la definición de modelo matemático es aquella relación matemática que describe objetos o problemas de la ingeniería. El análisis de problemas reales, de problemas trabajados en investigaciones de la ingeniería y problemas abordados en los textos de ingeniería, clasifica a los modelos matemáticos según se muestra en la figura 3.

Figura 3 Clasificación de los modelos matemáticos según su caracterización. Caracterización de los modelos matemáticos

Modelaje de objetos de la ingeniería

Modelaje de problemas de la ingeniería

La clasificación está en función del uso que le da la ingeniería

La clasificación está en función de las áreas cognitivas de la ingeniería

Fuente: Camarena, 2001b.

De las etapas de la matemática en contexto y lo detectado en el análisis de los problemas estudiados para la investigación, se construye la definición del término modelación matemática como el proceso cognitivo que se tiene que llevar a cabo para llegar a la construcción del modelo matemático de un problema u objeto del área del contexto. Este proceso cognitivo consta de tres momentos que constituyen los indicadores de la modelación matemática: 1. Identificar variables y constantes del problema, se incluye la identificación de lo que varía y lo que permanece constante que por lo general está implícito. 2. Establecer relaciones entre éstas a través de los conceptos involucrados en el problema, implícita o explícitamente, ya sean del área de la matemática o del contexto.

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3. Validar la relación matemática que modela al problema, para lo cual hay que regresar y verificar que se involucre todos los datos, variables y conceptos. Dependiendo del problema, algunas veces, se puede validar el modelo matemático mediante la expresión matemática cuando predice la información otorgada o la experimental. En otros casos, para validar el modelo, es necesario dar la solución matemática para que se predigan los elementos involucrados. Un punto importante es que el modelo matemático no es único, hay varias representaciones matemáticas que describen el mismo problema, razón por la cual es preciso su validación (tercer momento). La forma de abordar (o resolver) matemáticamente el modelo matemático tampoco es única, elemento que permite verificar la versatilidad de la matemática así como su consistencia. Elementos cognitivos (Camarena, 2005b). Para llevar a cabo la modelación matemática son indispensables los siguientes elementos cognitivos: • Enfoques de los temas y conceptos matemáticos del área del contexto. Cada tema y concepto posee varios enfoques, por ejemplo, la derivada es un cociente de diferenciales, es un límite muy particular, es la operación inversa a integrar, es una razón de cambio, es la pendiente de la recta tangente a la curva, entre otros. Conocer estos enfoques es necesario para modelar. • La transposición contextualizada. Es conocido el hecho de que el saber científico sufre una transformación para convertirse en un saber a enseñar, denominado transposición didáctica (Chevallard). El conocimiento que se lleva al aula sufre otra transformación para convertirse en un saber de aplicación, a lo que se denomina transposición contextualizada (Camarena, 2001a). • Manejo conceptual de la matemática descontextualizada. Es importante que sea del conocimiento del alumno que la matemática es universal en el sentido de que es aplicable a varios contextos. Dentro de la matemática en el contexto de las ciencias se concibe como matemática conceptual aquella de la cual si se tiene el concepto es porque se puede transferir ese conocimiento, porque se conocen los diferentes enfoques de concepto, se conocen los puntos de control de error del concepto, se conocen los patrones de comportamiento del concepto cuando se mueven los parámetros que lo componen, porque se puede transitar entre los diferentes registros de representación del concepto, entre muchos otros. Habilidades del pensamiento (Camarena, 2005b). Al igual que en los elementos cognitivos —a través del análisis de la instrumentación de problemas de cada área

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cognitiva de la ingeniería en electrónica— se detectan las habilidades del pensamiento que entran en acción en la construcción del modelo matemático. Así, para llevar a cabo la modelación matemática hay que desarrollar en el estudiante las siguientes habilidades del pensamiento: • Identificar los puntos de control de error como elemento metacognitivo; esta habilidad forma parte de la matemática conceptual como se mencionó. • Transitar del lenguaje natural al lenguaje matemático y viceversa. Para este punto se puede ver la referencia de Olazábal y Camarena (2003), quienes hacen una categorización de problemas de matemáticas contextualizadas respecto a la demanda de traducción del lenguaje natural al matemático. • Aplicar heurísticas como estrategias para abordar un problema, con la clasificación que otorga Nickerson, Perkins, y Smith (1994), a las dadas por Polya (1976). • Identificar regularidades, esta habilidad se hace notoria entre las habilidades básicas del pensamiento. • Transitar entre las diferentes representaciones de un elemento matemático. Se consideran las representaciones que describe Duval (1999): aritmética, algebraica, analítica y visual, incluyéndose la representación contextual que maneja la matemática en contexto. • Hacer consideraciones o idealizar el problema (cuando proceda). Hay problemas tan complejos que deben ser idealizados para poder matematizarse y, en otras ocasiones, es necesario hacer consideraciones como controlar variables para lograr la matematización.

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Cabe mencionar que los términos modelación matemática, matematización y modelaje se han tomado como sinónimos. Con la estrategia didáctica de la matemática en contexto se cambia el paradigma educativo de enseñanza tradicional a una enseñanza con conocimientos integrados y centrada en el aprendizaje, en donde los temas de matemáticas se dictan vinculados con las demás asignaturas que se cursa y al ritmo y tiempos requeridos por los estudiantes (Camarena, 1987). La matemática en contexto fortalece la reorganización cognitiva de conceptos y procesos matemáticos. Segunda etapa En la segunda etapa se instrumenta un curso extracurricular. Se formula a partir de la necesidad de abordar problemas concretos en el ambiente de aprendizaje. Cuando la resolución de problemas se usa como herramienta (Polya, 1976), afloran los elementos de la resolución de problemas como lo son las heurísticas, las habilidades del pensamiento, la metacognición y las creencias (Nickerson, Perkins, y Smith, 1994; De Bono, 1997; Santos, 1997; Herrera y Camarena, 2003; Camarena, 2003a). Las estrategias para abordar un problema en las diferentes partes del proceso de la resolución se les denomina heurísticas. El padre de las heurísticas fue Polya, quien por medio de preguntas como las que se muestran guía la resolución de problemas: ¿con qué se cuenta?; ¿qué se pregunta?; ¿qué tipo de datos se tiene?; ¿hay condicionantes?; ¿cuáles son variables en el problema y cuáles son constantes?; ¿se podrá ver para casos particulares y después resolverlo para cualquier caso?; ¿qué

problema ya resuelto se parece a éste?; ¿cuál es la generalización del problema para determinar si es más fácil de abordar?; ¿qué analogías o semejanzas pueden encontrarse con otros problemas?; ¿se puede plantear de diferente forma para poder abordarlo? En el proceso de resolución de problemas interviene el factor identificado como metacognición: el individuo se hace consciente de su propio conocimiento, de saber si tiene o no todos los elementos cognitivos para resolver un problema o debe consultar libros o personas. En otras palabras, la metacognición guía al individuo a fin de que busque contradicciones, incongruencias o elementos que le den la pauta para determinar que el procedimiento elegido es el correcto, así como para verificar que el resultado obtenido satisface o no el problema planteado. En la teoría de la matemática en el contexto de las ciencias se le denomina puntos de control de error. Las habilidades del pensamiento favorecen el entendimiento de las ciencias y, a su vez, las ciencias colaboran para desarrollar las habilidades del pensamiento. Las habilidades del pensamiento se clasifican en básicas —observación, identificación, comparación, clasificación, jerarquización, asociación, inducción, deducción, síntesis, memoria— y de orden superior —creatividad, razonamiento (lógico, crítico, analítico), contextualización (vincular diferentes disciplinas transfiriendo conocimientos), modelaje matemático, resolución de problemas. Es claro que las habilidades del pensamiento entran en el proceso de resolución de problemas, pero también están presentes las habilidades para aplicar heurísticas, así como habilidades metacognitivas, todas en apoyo a la transferencia del conocimiento. Ahora bien, también las creencias son un factor que puede actuar de forma positiva, ayudando a ser eficiente, o negativa, bloqueando el actuar del alumno. Este tipo de cursos se ha instrumentado durante un semestre, dando muestra de su éxito en los resultados: mayor aprovechamiento escolar y mayor motivación hacia los estudios de ingeniería. Tercera etapa Se instrumenta un taller integral e interdisciplinario con el objeto de resolver eventos reales de la industria. Esta etapa es la culminación del proceso didáctico de la matemática en contexto porque es en donde se reflejan las acciones de transferencia del conocimiento fomentadas en las anteriores. La instrumentación de esta etapa, a diferencia de la primera y segunda, requiere un grupo interdisciplinario de profesores que se comprometan con el proyecto. Por la complejidad que representan los eventos reales de la industria, en el taller participan estudiantes egresados de las ciencias de física y matemáticas a fin de incentivar el trabajo en equipo entre pares y la confianza, componentes favorables para la resolución de los eventos contextualizados.

Fase cognitiva. El sustento fuerte de esta fase está en la teoría de aprendizajes significativos de Ausubel, Novak, y Hanesian (1990). Se ha determinado que el estudiante debe transitar entre los registros aritmético, algebraico, analítico, visual y contextual para construir y asirse del conocimiento (Camarena, 2002b). Se ha verificado a través de la matemática en contexto que el estudiante logra conocimientos estructurados y no fraccionados, y con ello estructuras mentales articuladas (Camarena, 2000). Esta situación se ha tratado en la teoría de los campos conceptuales de Vergnaud, como ejemplo, la tesis de doctorado de Muro (2004), establece el campo conceptual de la serie de Fourier en la transferencia de masa de fenómenos químicos. La matemática en contexto auxilia al estudiante a construir su propio conocimiento con amarres firmes y duraderos y no volátiles; refuerza el desarrollo de habilidades del pensamiento mediante el proceso de resolver eventos (problemas y proyectos) vinculados con los intereses del alumno (Camarena, 2003b). Para observar en los alumnos el funcionamiento cognitivo de esta teoría también se ha recurrido a analizar las funciones cognitivas (Zúñiga, 2004). Se ha determinado que el factor motivación es altamente estimulado en la matemática en contexto y el desempeño académico como futuro profesionista se incrementa, es decir, la transferencia del conocimiento se puede establecer sin mayores tropiezos (Camarena, 2000, 2004a).

Conclusiones El estudiante con la matemática en el contexto de las ciencias tiende a hacerse responsable de su propio aprendizaje generándose habilidades para conseguir su autonomía (en el aprendizaje) y hacer más eficiente el trabajo de equipo. Se cambia, además, el paradigma educativo que se centraba en el profesor a otro que gira alrededor del alumno. Esta teoría nace en el nivel superior y se despliega en los niveles anteriores, a diferencia de la mayoría de las teorías sobre el proceso de enseñanza y aprendizaje que se origina en el nivel básico. Esta teoría contempla muchas de las variables que intervienen en el proceso educativo y lo considera como un sistema con un proceso social que tiende a la construcción de una matemática para toda la vida. El profesor debe realizar investigación educativa para apoyar su actividad laboral y elevar la calidad académica de la educación, ya que docencia e investigación no debe separarse.

Recibido noviembre 2008 Aceptado marzo 2009

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Elena Fabiola Ruiz Ledesma*

Resumen Se presenta una investigación sobre el concepto de variación mediante una propuesta de diseño de estrategias de enseñanza para docentes, como resultado de la aplicación de un cuestionario diagnóstico a una muestra de maestros pertenecientes a cinco unidades académicas del Instituto Politécnico Nacional (IPN). Se obtuvo que los profesores emplean un tipo de estrategia de enseñanza que no promueve el aprendizaje del concepto ni el desarrollo de habilidades, por lo cual se propone trabajar problemas en contexto para promover el desarrollo conceptual del tema de variación y las habilidades que los estudiantes deben utilizar para resolver problemas relacionados con el mismo tema. El marco teóricometodológico se basa en la matemática en el contexto de las ciencias.

Palabras clave Enseñanza, conceptualización, habilidades, variación, matemática, contexto, ciencia.

Design of teaching strategies for the variation concept in the engineering areas Abstract The presented research is about the concept of variation worked by a proposal of design of teaching strategies for teachers, as a result of a diagnostic test of a sample of teachers from five different schools of the Instituto Politécnico Nacional (IPN). As a result was got that the teachers use only one kind of teaching strategy doesn’t allow the learning of the concept and neither of skills development, because of that is proposed to work problems in context to promote the conceptual development of the variation topic and the skills that the students have to use to solve problems related with the same subject. The theoretical-methodological framework is based in the mathematic in the context of sciences.

Keywords Teaching, conceptualization, skills, variation, mathematics, context, science.

* Licenciada en matemáticas por la Escuela Normal Superior de México, maestra y doctora en ciencias con especialidad en matemática educativa por el Centro de Investigación y Estudios Avanzados (Cinvestav) del IPN. Actualmente se desempeña como profesora/investigadora de matemáticas del Departamento de Ciencias Básicas en la Escuela Superior de Cómputo (ESCOM) del mismo Instituto. Ha publicado varios artículos sobre el tema en diversas revistas especializadas y dirigido varios proyectos y tesis, México. E-mail: [email protected]

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Introducción El nuevo modelo educativo del IPN (2004), finca la labor docente en el alumno como centro del proceso de enseñanza y de aprendizaje, de tal manera que el profesor debe interactuar entre el conocimiento (saber) y el estudiante, a través de estrategias que le permitan a este último construir el saber matemático. Por ello, una de las funciones del profesor es planear las estrategias didácticas y ambientales para la enseñanza y aprendizaje adecuados a fin de que, en forma corresponsable con el alumno éste aprehenda a ser, a hacer y a saber. Aplicado al área de ingeniería, se deben desarrollar competencias profesionales y laborales en los estudiantes para incrementar la calidad de esta área como lo establece la matemática en el contexto de las ciencias. Por lo que el docente debe estar consciente de que el alumnado no solo requiere aprender la disciplina sino también vincularla con las demás áreas de conocimiento y potenciar las habilidades del pensamiento como la abstracción, el razonamiento lógico-matemático, y el análisis de situaciones para una efectiva toma de decisiones. El presente artículo se deriva de los proyectos de investigación registrados en la Secretaría de Investigación y Posgrado (SIP), del IPN 200080368 de Ruiz (2008), La calidad de la ingeniería: el concepto de variación, que forma parte del programa Las competencias y la calidad de la ingeniería cuya finalidad es determinar estrategias —a partir del diagnóstico de las estrategias que aplica el docente— que propicien una formación de calidad al ingeniero con herramientas adecuadas y pertinentes para incorporarse al campo laboral. Existen elementos cognitivos en la ingeniería considerados centrales en el desarrollo de competencias laborales y profesionales, entre los cuales se encuentra el concepto de variación (Camarena, 2006a). De manera específica —y como forma de delimitar la investigación que se realizó— este trabajo se enfoca a diagnosticar, realizar un análisis y diseñar estrategias de enseñanza para el docente al ocuparse del concepto de variación inmerso en problemas de cálculo (Camarena, 2004), materia que cursan los estudiantes de nivel superior en los dos primeros semestres en las carreras de ingeniería y en el nivel medio superior en el cuarto y quinto semestres. Se contempla el diseño de estrategias de enseñanza con los resultados obtenidos del cuestionario diagnóstico aplicado a cinco docentes de distintas unidades académicas, así como los resultados que arrojó el proyecto de investigación con número de registro en la SIP 200080393 de Ruiz (2007), Diversos contextos del concepto de variación para mejorar la calidad académica de los alumnos que ingresan al programa IPN-INSA, considerado referente para abordar el concepto de variación. La investigación que se presenta, se fundamenta en la teoría de la matemática en el contexto de las ciencias porque reflexiona acerca de la vinculación que existe entre las diversas áreas del conocimiento inmersas en un programa académico (Camarena, 1984, 2001, 2004,

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2006a y 2006b). Es por ello, que se trabajó vinculando distintas asignaturas, tres unidades académicas del nivel superior y dos de nivel medio superior del IPN.

Justificación Tomando como base el modelo educativo del IPN se enfatiza, por un lado, en buscar las mejores formas de promover el aprendizaje en el alumno con el nuevo papel del profesor como mediador entre la disciplina y el educando, y por otro lado, en realizar evaluaciones durante el proceso de enseñanza y aprendizaje para garantizar que el alumno efectivamente está aprendiendo. A ello se agrega lo que podría hacerse a fin de que el estudiante se corresponsabilice junto con el docente de su propio aprendizaje, y en relación con el ambiente de aprendizaje integrarlo en grupos colaborativos de trabajo, entre otros aspectos.

Planteamiento del problema Proporcionar al docente estrategias con el objetivo de mejorar su actividad laboral, en específico en el tema de variación. De este planteamiento se deriva la siguiente pregunta: ¿conocer cuáles elementos cognitivos, comunicativos, técnicos y valorales carece el docente al trabajar el concepto de variación permite diseñar estrategias de enseñanza en pos de un mejor desempeño académico?

Aspectos teóricos Camarena (2006b), señala que el profesor debe tener conocimientos sobre elementos psicológicos, emocionales, cognitivos y sociológicos relacionados con sus estudiantes como intereses, valores, estilos de aprendizaje, manera de comunicarse, forma de relacionarse y de aprender, lo que también enfatizan Echeverría (2002), Oulton, Dillon y Grace (2004), González, Ruiz y Flores (2008), al señalar los elementos cognitivos, cognitivos lingüísticos, comunicativos, técnicos y valorales que el docente requiere para tener un mejor desempeño académico. Entre los elementos cognitivos señalados por Echeverría (2002), Oulton, Dillon y Grace (2004), se encuentran: comprar, clasificar, identificar, inferir, transferir, demostrar. Como elementos comunicativos: saber resumir, explicar, justificar. Elementos técnicos: argumentar con claridad la hipótesis y conclusiones, modelar matemáticamente una situación del mundo real, comprender los problemas, resumir elementos esenciales de los problemas, formular matemáticamente y en forma simbólica los problemas, tomar decisiones e interpretar las soluciones en los contextos de origen de los problemas, utilizar herramientas computacionales como ayuda para procesos matemáticos y para adquirir más información, conocer lenguajes de programación específicos o software. Como elementos valorales: compromiso, curiosidad cien-

tífica, creatividad, pensamiento divergente, imaginación, autocrítica, perseverancia, veracidad, cuidado del detalle, modestia intelectual, eficiencia, productividad, rigor, coherencia, predictibilidad, funcionalidad, aplicabilidad y búsqueda de beneficio para el ser humano Para concretar lo señalado por Camarena, Echeverría y Oulton, de acuerdo con el Modelo Educativo del IPN (2003), se identifican en las respuestas de los maestros no solo estrategias de enseñanza que dan énfasis a contenidos conceptuales sino habilidades, aunque en menor medida, de diferente naturaleza: comunicativas en general, cognitivo lingüísticas, cognitivas, técnicas y aspectos valorales. En lo concerniente al trabajo que se desarrolló con los profesores para determinar estrategias que coadyuven a mejorar la calidad del ingeniero en formación, se tomó como referencia la teoría de la matemática en el contexto de las ciencias de Camarena (1984, 2001, 2004). Ésta radica en que el estudiante esté capacitado para hacer la transferencia del conocimiento a las áreas que la requieren y, con ello, que las competencias profesionales y laborales sean favorecidas. Dicha teoría permite analizar la planeación, instrumentación y evaluación de sesiones de resolución de eventos contextualizados. Ante este nuevo reto, el papel del profesor se concibe dentro de un proceso dinámico en construcción permanente en donde participan todos los agentes educativos, que requiere consolidar los espacios de reflexión en los que se define la orientación del ejercicio docente. En lo que respecta al concepto de variación el trabajo se apoyó en Díaz (2005), quien hace referencia a la relación que guarda la variación y la derivada en cálculo y en Ruiz (2007 y 2008), debido a la existencia de robustas dificultades entre los estudiantes para tratar con cuestiones que exigen algún tipo de estrategia variacional. Otro de los resultados encontrados en los proyectos mencionados, soporte teórico del trabajo que se presenta, es que en los niveles medio superior y superior el alumnado muestra desinterés por aprender el concepto de variación, al enfocarse más por la resolución de algoritmos. Hay muchos aspectos que el estudiante del nivel superior no logra comprender por la falta de antecedentes y por la forma en que se les presenta el concepto que, en la mayoría de las veces, es solo mediante la exposición del docente. Ello remite a buscar elementos para diseñar estrategias de enseñanza que contribuyan en la construcción del concepto de variación y que se plantea en el presente artículo.

Aspectos metodológicos La orientación metodológica se ubica en una perspectiva cualitativa del proceso experimental, que se llevó a cabo en las siguientes fases: 1. Diagnóstico mediante un cuestionario. 2. Análisis general del cuestionario. 3. Análisis particular del cuestionario.

4. Propuesta de estrategias que coadyuven al docente a mejorar la calidad del ingeniero en formación. El instrumento metodológico empleado para la fase de diagnóstico fue un cuestionario y para las fases de resultados y análisis de las respuestas de dicho cuestionario fueron dos redes sistémicas. En la figura 1 se muestran los tres aspectos que se diagnosticaron y analizaron para diseñar las estrategias de enseñanza.

Figura 1 Diseño de estrategias de enseñanza. Lo que usa el docente

Diseño de estrategias de enseñanza

Los aprendizajes que pretenden promover

Los conocimientos del concepto de variación

Fuente: elaboración propia.

Fase de diagnóstico Diagnóstico mediante un cuestionario. Propósito del cuestionario: se elaboró para diagnosticar sobre los siguientes aspectos: a) las estrategias de enseñanza que emplea el docente al trabajar el concepto de variación, b) los conocimientos de variación que tiene el docente, y c) los aprendizajes que, según los profesores, se pueden promover con el uso de la(s) estrategia(s) de enseñanza. Diseño del cuestionario: se diseñó un cuestionario semiestructurado de tres secciones (apéndice 1), dirigido a los docentes de distintas unidades académicas del IPN (www.escom.ipn.mx:82/efruizl): 1. Datos personales de identificación. Se incluye el nombre de la unidad en la cual labora, las asignaturas que imparte, la forma de concebir el concepto de variación y los temas del programa de sus cursos relacionados con dicho concepto. 2. Identificar estrategias. Aquí se le solicita que comparta una estrategia, y se le cuestiona acerca de los aprendizajes que espera que los estudiantes desarrollen con ésta. 3. Identificar oportunidades de desarrollo para los alumnos con miras a la formación integral. Se presenta un problema en contexto para el tema de variación, y se le pregunta acerca de los aprendizajes que esperaría que el alumnado desarrolle al resolverlo.

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Cada uno de estos apartados está planteado de acuerdo con lo señalado en el marco teórico. Para el segundo se tomó en cuenta los resultados de los proyectos de investigación de Ruiz (2007 y 2008), en lo referente a que el docente no tiene claro qué es una estrategia de enseñanza, y que la mayoría maneja la estrategia expositiva como única. El tercero tiene su justificación en la teoría de la matemática en el contexto de las ciencias de Camarena (1984, 2001, 2004, 2006a y 2006b), y por ello se planteó un problema de variación en el contexto de la física. Sujetos de estudio. Para hacer el diagnóstico de las estrategias de enseñanza aplicadas por el maestro, se tomó una muestra a la cual se aplicó el cuestionario y se trabajó las actividades. Esta muestra la conformaron dos maestros de nivel medio superior y tres maestros de nivel superior del IPN.

Fase de resultados Las respuestas más sobresalientes y frecuentes sobre el concepto de variación dadas por los docentes de la muestra son las siguientes: • El concepto de variación no logra ser desarrollado porque se ve opacado por el exceso del uso de algoritmos. • Se requiere explicitar el concepto de variación mediante el uso del lenguaje gráfico a través de simulaciones. • El empleo más frecuente del concepto de variación se encuentra en el cálculo.

Fase de análisis general del cuestionario A partir de las respuestas proporcionadas por los docentes se elaboraron dos redes sistémicas para su análisis: A. Red Sistémica 1. Se aplicó para detectar estrategias de enseñanza que utiliza el profesor cuando trabaja el concepto de variación e indagar, a su vez, el concepto de variación del docente. B. Red Sistémica 2. Se empleó para analizar los aprendizajes que (según) los docentes (podrían promoverse con) el uso de la actividad propuesta. Ello se comparó con la opinión que al respecto tiene la autora de la presente investigación. En ambas redes sistémicas se observó coincidencia entre los profesores de ambos niveles académicos que imparten la asignatura de cálculo diferencial/integral, pero que difieren de los profesores que imparten otras materias. Red Sistémica 1 Las dimensiones que se utilizaron en esta red sistémica corresponden con los dos conceptos que sobre variación expresaron los docentes:

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a) Cambio en una propiedad. Se interpreta a la variación como el incremento en el valor de una variable continua, o como un cambio cualitativo en una variable categórica. b) Cambio de una variable con respecto a otra. Se interpreta la variación como la rapidez de cambio de una variable en función de otra. En este caso, el concepto de variación se identifica con el concepto de derivada. Ambas respuestas coinciden con lo señalado por Díaz (2005), sobre la relación que guarda la variación y la derivada en cálculo. Cabe mencionar que la red se construyó con las respuestas que los maestros dieron a las dos primeras secciones del cuestionario: en cuanto al concepto de variación y al de estrategia que cada uno propone, respectivamente. Gran parte de las estrategias propuestas se componen de una actividad, aunque la idea de estrategia que se presentó en el mismo cuestionario sugiere un conjunto de actividades de enseñanza y aprendizaje que se utiliza para el desarrollo del concepto, por ejemplo: plantear un problema, realizar un debate, explicar un contenido teórico. Las estrategias propuestas por los docentes se caracterizaron por ser muy generales, por ejemplo, profesor 1: se les muestra una figura e indican que eso es un incremento y por lo tanto una variación en el tamaño de la figura. Sin embargo, con dicha estrategia se pretende que los estudiantes aprendan el concepto de derivada. La única respuesta concreta fue el planteamiento de un problema típico de física aplicado a un deporte: función cuadrática. Profesor 2: sabemos lo importante que es para un lanzador de pelota la velocidad y la altura que tiene en su lanzamiento, por ello analizaremos el siguiente problema. Un lanzador de baseball lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de v (se da la velocidad inicial). Sabemos que la altura que describe la pelota en función del tiempo es h(t) (se da la función). Se representa la gráfica de la función y se plantea una serie de preguntas relacionadas con el problema. En cuanto a la evaluación del desempeño de los estudiantes en la resolución de la estrategia propuesta, aún en el caso del profesor que presentó el problema concreto, las respuestas no especificaron criterios de evaluación o indicadores para correlacionarlos con los aprendizajes que se esperaban favorecerían a los estudiantes. Se identificaron en las respuestas de los profesores —acerca de los aprendizajes que se espera desarrollarán los estudiantes con la estrategia— contenidos conceptuales y habilidades de diferente naturaleza como se muestra en la red sistémica 1 de la figura 2.

Figura 2 Concepto de variación. Red Sistémica 1 Concepto de variación que tienen los docentes

Cambio en una propiedad

Incremento

Tamaño Distancia Movimiento Otras

Cualidades

Forma Comportamiento

Variable Conceptualización

Dependiente Independiente

Dominio Imagen

Gráficas

Trazar Leer Relacionar con otras representaciones Visualizar parámetros Interpretar

Símbolo

Cuantificar Interpretar Previsualizar Describir Evaluar Observar

Función

Variación

Habilidades

Cambio de una variable con respecto a otra

Tabular

Gráficas

Derivada Símbolo

Cuantificar Interpretar Pronosticar Describir Evaluar Observa

Fuente: González, Ruiz, y Flores, 2008.

Red Sistémica 2 Las dimensiones que se aplicaron en la red sistémica 2 corresponden con los tres tipos de aprendizaje que comúnmente se aplican para facilitar la redacción de objetivos: conceptos, habilidades y valores. Con respecto a los conceptos no incluyeron contenidos para esta categoría. En las habilidades se abarcaron de diferente naturaleza: comunicativas en general —relacionadas con el lenguaje oral principalmente—; cognitivo lingüísticas —relacionadas con cada una de las tipologías textuales

que se emplean para comunicar la ciencia—; cognitivas —habilidades del pensamiento—; técnicas —relacionadas directamente con el manejo de los contenidos del tema en cuestión. Por último y en cuanto a los valores, relacionados con la inteligencia emocional, aunque el contexto de la actividad planteó un dilema moral ninguno de los profesores identificó contenidos relacionados con este aspecto. Esta red también se construyó a partir de las respuestas de los docentes a la tercera sección del cuestionario relativa a la estrategia que se propone (figura 3).

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Figura 3 Estrategias de enseñanza. Red Sistémica 2 Estrategias de enseñanza empleadas en la actividad propuesta Conceptos Hablar en público Comunicativas Defender sus opiniones Describir Cognitivo-lingüística Argumentar

Aprendizajes que pueden promover

Habilidades Cognitivas

Razonar Interpretar Analizar Sintetizar Concluir Deducir Cuantificar

Técnicas Pronceticar Dicisión

Valores Afectividad

Fuente: González, Ruiz, y Flores, 2008.

Fase de análisis particular del cuestionario Se puede plantear que los docentes de la muestra tienen conocimiento sobre algunos de los elementos que requieren para su labor académica, lo cual coincide con lo señalado por Echeverría (2002), Oulton, Dillon y Grace (2004), Camarena (2006b), y González, Ruiz, y Flores (2008). A continuación se enlistan dichos elementos: • Cognitivos: razonar, interpretar, analizar, sintetizar, deducir, evaluar, observar. • Cognitivo-lingüísticos: describir, argumentar. • Comunicativos: hablar en público, defender opiniones. • Técnicos: cuantificar, pronosticar. • Valorales: decidir, mostrar afecto. En tanto los elementos no conocidos por los docentes y señalados por los teóricos son: • Cognitivos: comprar, clasificar, identificar, inferir, transferir, demostrar, argumentar (simbólico).

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• Cognitivo-lingüísticos: resumir, explicar, justificar. • Comunicativos: comunicación escrita. • Técnicos: construir y desarrollar la lógica matemática; argumentar con claridad la hipótesis y conclusiones; abstraer el desarrollo lógico de teorías formales y sus relaciones; modelar matemáticamente una situación del mundo real; transferir conocimientos matemáticos a contextos no matemáticos; hacer frente a otros problemas derivados de las nuevas zonas; extraer información cualitativa de datos cuantitativos; comprender los problemas; resumir elementos esenciales de los problemas; formular matemáticamente y en forma simbólica los problemas; elaborar diseños experimentales y observacionales; analizar datos; formular problemas complejos de optimización, tomar decisiones e interpretar las soluciones en los contextos de origen de los problemas; utilizar herramientas computacionales como ayuda para procesos matemáticos y para adquirir más información; conocer lenguajes de programación específicos o software; presentar argumentos matemáticos y conclusiones en forma

clara en función del público al cual se dirige; conocer los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. • Valorales: compromiso; curiosidad científica; creatividad; pensamiento divergente; imaginación; autocrítica; perseverancia; veracidad; cuidado del detalle; modestia intelectual; eficiencia; productividad; rigor; coherencia, predictibilidad; funcionalidad; aplicabilidad; búsqueda de beneficio para el ser humano. De lo anterior se desprende que los docentes deben capacitarse en una serie de temas fundamentales para el buen desempeño académico, que repercute en el enriquecimiento de sus cursos y en el desarrollo de habilidades de los estudiantes, acorde con lo señalado por Camarena (2006a y 2006b), Echeverría (2002), Oulton, Dillon, y Grace (2004), González, Ruiz, y Flores (2008), y Ruiz (2007 y 2008). Cada elemento no utilizado por los profesores es, sin duda alguna, un obstáculo en el proceso de enseñanza que demerita su calidad y pertinencia, así como un impedimento en el proceso de aprendizaje de los alumnos, más aún cuando los elementos faltantes se relacionan con las competencias a desarrollar en el programa correspondiente.

ferir, justificar, modelar matemáticamente, extraer información cualitativa de datos cuantitativos, comprender los problemas, resumir elementos esenciales de los problemas, formular matemáticamente y en forma simbólica los problemas. Así como la simulación, animación de los problemas en contexto, otra estrategia fundamental para desarrollar el modelar matemáticamente y utilizar las herramientas computacionales.

Los problemeas en contexto y las simulaciones Se diseñaron varias simulaciones para el concepto de variación elaboradas en el programa Adobe Flash (apéndice 2). Adoble Flash. La simulación de problemas empleando el programa Adobe Flash Player 9 es una herramienta muy útil para entender las aplicaciones reales. A continuacion se especifica como funcionan las simulaciones —en dos problemas planteados— empleando el mencionado programa (figura 4).

Figura 4 Pantalla de introducción al problema.

Propuesta de estrategias Según el cuestionario diagnóstico son más los elementos que requieren los docentes para su labor académica que los manifestados tener, por tal razón es imprescindible seleccionar los elementos que deberán ser incluidos en el diseño de las estrategias de enseñanza. De acuerdo con lo señalado por Ruiz (2007 y 2008), y por el resultado del cuestionario diagnóstico del estudio es fundamental iniciar el desarrollo de los siguientes elementos: • Cognitivos: comparar, transferir. • Cognitivos lingüísticas: justificar. • Técnicos: modelar matemáticamente, extraer información cualitativa de datos cuantitativos, comprender los problemas, resumir elementos esenciales de los problemas, formular matemáticamente y en forma simbólica los problemas, utilizar herramientas computacionales. Además de diseñarse estrategias que permitirán al docente desarrollar los elementos que se mencionaron, en la segunda etapa de la investigación se propondrán otras para los demás dispositivos requeridos en la labor académica. Destaca como estrategia de enseñanza los problemas en contexto que su práctica estimula: comparar y trans-

Fuente: Elaboración propia.

Problema de la escalera La empresa Pintral se dedica a pintar fachadas de forma automatizada. Utiliza una escalera de 15 metros en cuyo extremo superior se ubica el dispositivo que distribuye la pintura. El gerente de la empresa quiere saber la rapidez con que baja el extremo superior de la escalera cuando la parte inferior está a 9 m de la pared y se aleja a razón de 30 cm por minuto. La primera pantalla contiene la descripcion del problema (figura 5), acompañada de la correspondiente ilustración a fin de que el alumno pueda entenderlo con mayor claridad.

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Figura 5 Descripción del problema.

Figura 7 Desarrollo de la solución.

Fuente: Elaboración propia.

Fuente: Elaboración propia.

El botón muestra los resultados finales del problema y una breve explicación del por qué se llegó a esa solución (figura 8). Se puede regresar o reiniciar todo el proceso.

El paso siguiente es conocer la solución (figura 6), en esta pantalla se muestra una primera explicación del procedimiento, y el alumno tiene la opción de regresar a la . pantalla anterior o continuar con el botón

Figura 8 Conclusión del problema.

Figura 6 Solución del problema.

Fuente: Elaboración propia.

Problema de la hoja Fuente: Elaboración propia.

De continuar, se muestra otra pantalla con la última parte del desarrollo de la solución (figura 7), aquí el alumno puede regresar a las anteriores o dirigirse a las conclusiones.

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Se tiene un rectángulo que mide 30 cm de base por 10 cm de altura. Se construirá una caja rectangular abierta y para ello se requiere hacer cortes en las esquinas. ¿Cuál es la medida de los cortes para obtener el mayor volumen? ¿Cuál es el mayor volumen? Descripción del problema (figura 9), desglose de los datos y posible solución (figura 10).

Figura 10 Solución del problema.

Figura 9 Descripción del problema.

Fuente: Elaboración propia. Fuente: Elaboración propia.

Las siguientes pantallas son interacciones con los posibles valores, en este caso del 1 al 10 (figura 11), en donde se expone la evolución de éstas en los dobleces de la hoja que formarán la caja. Se emplea como regis-

tro de representación la tabla y la gráfica además de los cálculos correspondientes. Por último, en la pantalla de conclusión se aprecian los resultados del problema con una breve explicación (figura 12).

Figura 11 Evolución de las interacciones.

Fuente: Elaboración propia.

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Figura 12 Conclusión del problema.

za impartida. Con ello, la modalidad del trabajo docente tiene como base: • • • • • • •

Determinar el problema de aula. Diseñar acciones didácticas. Preparar materiales. Aplicar y observar. Analizar y visualizar conflictos. Evaluar y reformular acciones didácticas. Definir un nuevo problema.

Los docentes de la muestra se adhirieron a la idea de desarrollar variadas y múltiples acciones didácticas con el fin de promover aprendizajes con un mayor grado de significación. El eclecticismo metodológico propuesto permite formular diversas acciones de acuerdo con las necesidades de cada grupo de trabajo. Fuente: Elaboración propia.

En cuanto a la demostración en el programa Adobe Flash Player los docentes de la muestra señalaron que: • Se puede observar la relación entre el registro gráfico, tabular y analítico. • Se mejora el proceso para la resolución de los problemas de variación. • Se facilita modificar la estructura de la clase así como adoptar otras estrategias de enseñanza con la aplicación de esta tecnología a saber: el alumno podrá resolver problemas en contexto y así comprar, clasificar, identificar, inferir, transferir, demostrar, argumentar; resolver preguntas en clase, usar material visual como las simulaciones, discutir en forma grupal, participar en forma oral y escrita.

Respuesta a la pregunta de investigación Cuando el docente únicamente usa la estrategia expositiva el aprendizaje se torna mecánico, mientras que si emplea otras como los problemas le permite tener elementos cognitivos, comunicativos, técnicos y valorales que le ayudan en su labor académica. Resultados que coinciden con Camarena (2006a, 2006b, 2004, 2001), Echeverría (2002), y con Oulton, Dillon y Grace (2004). Mediante el uso de problemas en el contexto de las ciencias con apoyo de la tecnología, en este caso de las simulaciones, se considera que los docentes pueden comprenden la variedad de estrategias de enseñanza factibles de emplearse en el aula, con el objetivo de que el alumno le dé sentido al tema que trabaja y abandone el uso mecánico de las fórmulas. Ejercitar otras estrategias de enseñanza está dirigido a provocar procesos de reflexión sobre la práctica, convirtiéndolos en procesos sistemáticos, así como incorporar conceptos de didáctica de las disciplinas específicas con la finalidad de mejorar la calidad de la enseñan-

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Conclusiones Si bien debido a la libertad de cátedra el docente enseña en función de su formación, experiencia y creencias, en términos generales, la forma de enseñar las matemáticas en el nivel medio superior y superior en el IPN es a través de la exposición teórica, procedimientos algorítmicos, resolución de ejercicios así como de problemas, algunas prácticas con calculadora graficadora, y ciertas verificaciones y demostraciones. El escaso empleo de diferentes estrategias de enseñanza obstaculiza que el estudiante construya conceptos y desarrolle habilidades y valores. El enfoque epistemológico del curso debería permitir la integración de aprendizajes previos —estructurados en los semestres llevados en el nivel medio superior y el superior— para que desde ese nivel educativo sean recuperados con el fin de abordar de manera significativa el concepto de variación —con sus diferentes técnicas, procedimientos y aplicaciones— en un nivel de profundidad conceptual que facilite el planteamiento y resolución de problemas en contexto, que involucre a las funciones algebraicas como trascendentes, así como las derivadas de dichas funciones. Además, como el ingeniero diseña y construye, los dibujos, las gráficas y los diagramas son un recurso inherente de su tarea, por tal motivo es necesario rescatar la geometría en la formación de ingeniero para que logre un nivel de visualización suficiente que le permita el ágil desarrollo de proyectos.

Recibido noviembre 2008 Aceptado febrero 2009

Bibliografía Camarena, Gallardo, Patricia, La matemática en el contexto de las ciencias y la calidad de la ingeniería electrónica, Reporte técnico del proyecto de investigación con núm. de registro CGPI-20050618, México, 2006a, IPN. Camarena, Gallardo, Patricia, “Un enfoque de las ciencias en contexto desde la didáctica”, Revista Innovación Educativa, vol. 6, núm. 31, 2006b, IPN, pp. 21-31. Camarena, Gallardo, Patricia, “La formación de los profesores de las ciencias básicas en el nivel superior”, Revista Científica, vol. 8, núm. 1, 2004, pp. 34-44. Camarena, Gallardo, Patricia, “La matemática en el contexto de las ciencias”, Serie Antologías, núm. 1, 2001, Cinvestav-IPN, pp.149-170. Camarena, Gallardo, Patricia, “El currículo de las matemáticas en ingeniería”, Memorias de las mesas redondas sobre definición de líneas de investigación en el IPN, 1984, IPN, pp. 21-25. Díaz, Leonora, “Profundizando en los entendimientos estudiantiles de variación”, Revista Latinoamericana de Matemática Educativa, vol. 8 (2), 2005, pp. 145-168. Echeverría, Javier, Ciencia y valores, Barcelona, 2002, Ediciones Destino, S.A. González, L. M. de G., E. F. Ruiz, y Flores, “Detección de obstáculos en el aprendizaje del concepto de variación en estudiantes de ingeniería”, Memorias del 5º Congreso Internacional de Ingeniería Electromecánica y de Sistemas, México, 2008, IPN, pp. 48-54. Instituto Politécnico Nacional (IPN), Un nuevo modelo educativo para el IPN, Materiales para la Reforma, México, 2004, IPN. Oulton, Chris, Justin Dillon y Marcus Grace, “Controversial issues-teachers’ attitudes and practices in the context of citizenship education”, Oxford Review of Education, vol. 30, núm. 4, 2004, pp. 1-20. Ruiz, Elena Fabiola, La calidad de la ingeniería: el concepto de variación, reporte técnico de proyecto de investigación registrado en la Secretaría de Investigación y Posgrado (SIP), del IPN con núm. de registro CGPI 20080368, México, 2008, IPN. Ruiz, Elena Fabiola, Diversos contextos del concepto de variación para mejorar la calidad académica de los alumnos que ingresan al programa IPN-INSA, reporte técnico de proyecto de investigación registrado en la Secretaría de Investigación y Posgrado (SIP), del IPN con núm. de registro CGPI 20080393, México, 2007, IPN.

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Apéndice 1 edificios se cuida que el ambiente de las oficinas resulte ade-

Habilidad2 que se desarrolla en los estudiantes

¿De qué manera se desarrolla la habilidad?

¿De qué manera se evalúa el desarrollo de la habilidad?

cuado para el buen funcionamiento y cuidado de los equipos de cómputo así como de otros de alto costo, sin embargo, no siempre estas condiciones son ideales para el ser humano. Por ello, se han realizado investigaciones cuyo objetivo es identificar las condiciones ideales para poder realizar un trabajo sedentario de manera saludable y confortable. En la siguiente figura, se muestra la gráfica de la velocidad media del aire permitido, en función de la temperatura del aire, de manera que no exista turbulencia, para un índice de molestia por corrientes de aire de un 15% de insatisfechos; aplicable a actividades ligeras, esencialmente sedentarias.

Grálca temperatura vs. velocidad del aire

V (m/s)

Cuestionario 1. Escuela: 2. Asignatura que imparte en este semestre: ( ) Cálculo ( ) Programación ( ) Otras Definir cuáles: 3. ¿Cómo concibe el concepto de variación? 4. Dada su experiencia educativa ¿en qué niveles educativos considera que se aborda el concepto de variación? a) Primaria b) Secundaria c) Nivel medio superior d) Nivel superior 5. ¿En qué tema, de los que usted imparte en clases, se trabaja el concepto de variación? 6. Dé un ejemplo de estrategia1 que utiliza para favorecer el aprendizaje del concepto de variación. Presentarla en el siguiente espacio: 7. ¿Qué aprendizajes espera lograr en sus estudiantes? 8. Para dicha estrategia se le solicita que llene la siguiente tabla (si se requiere, se recomienda incrementar el número de filas).

0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0

10

20

30

T (°C)

De acuerdo con los datos de la gráfica: 1. ¿Cuánto cambia la velocidad del aire cuando la temperatura se eleva de 22 a 24ºC? 2. ¿Si se está ajustando el equipo, qué tan rápido ha de cambiar el valor de velocidad del aire, cuando la temperatura

9. ¿Usa alguna herramienta tecnológica para apoyar el trabajo del concepto de variación? Si No 10. Mencione alguna(s) de éstas. 11. Analice el problema propuesto y responda lo que se pide en la tabla de acuerdo con la resolución del problema. Nota: la tabla es la misma que la del número 8 del presente cuestionario.

es de 22º C, para seguir cumpliendo con la norma marcada por la gráfica? 3. Como propietario de la empresa, si tiene que decidir entre: incumplir la norma para que el equipo dure más tiempo porque es muy costoso y lo necesita para realizar sus proyectos, o respetar la norma para que las condiciones del ambiente sean más propicias para las personas que laboran para usted ¿qué haría? Argumente su respuesta y participe en el debate grupal.

Habilidad(es) que se desarrolla(n) en los estudiantes

¿De qué manera se desarrolla la habilidad?

¿De qué manera se evalúa el desarrollo de la habilidad?

Problema propuesto: Sedelmayer, crítico de arte, al comentar acerca de la arquitectura actual menciona que al diseñar los

4. ¿Cómo cambiaron sus emociones desde antes de comenzar a leer el problema hasta que terminó de responder este inciso? Describa detalladamente cada momento de la resolución del problema.

12. ¿Qué otros aprendizajes puede construir el estudiante mediante la resolución del problema? 13. ¿Recomienda el uso de alguna herramienta tecnológica para apoyar el trabajo de esta estrategia? Si No 14. Mencione alguna(s) de éstas.

1 Estrategia entendida como el conjunto de actividades de enseñanza y aprendizaje que se utiliza para el desarrollo del concepto, por ejemplo: plantear un problema, realizar un debate, explicar un contenido teórico, entre otras. 2 Habilidad entendida como la destreza para realizar una tarea concreta, por ejemplo: construir argumentos, obtener la derivada de una función trigonométrica, plantear una hipótesis.

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Apéndice 2 Pantallas con simulaciones de los problemas

Problema artesa

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Estudio de la primera representación gráfica de ecuaciones algebraicas en contexto Alma Alicia Benítez Pérez*

Resumen El aprendizaje de las ciencias se logra cuando los alumnos desarrollan disposición y apreciación para participar en actividades propias del quehacer científico. En este escenario es importante aprender a resolver problemas en los cuales se puedan aplicar diversas representaciones que les permitan examinar soluciones y relaciones. El presente trabajo plantea la posibilidad de impulsar la estrategia didáctica de la matemática en contexto como medio de promover habilidades del pensamiento, explorando diversas representaciones para identificar la organización de sus relaciones y establecer su articulación en problemas contextualizados.

Palabras clave Álgebra, representaciones, resolución de problemas, matemática en contexto.

Study of the first graphical representation of algebraic equations in context Abstract Learning of science is achieved when the student develops a provision for assessment and participate in activities characteristic of scientific work. In this scenario, is important to learn to solve problems which can be applied various representations to enable it to consider solutions and relationships. This work raises the possibility of boosting the didactic strategy of the Mathematics in Context as a means of promoting abilities of thought, exploring various representations to identify the organization of their relations and establish its articulation problems in contextualized.

*

Keywords Algebra, representations, problem solving, mathematics in context.

Maestra y doctora en ciencias con especialidad en matemática educativa por el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav, IPN). Actualmente se desempeña como profesora/investigadora en el Centro de Estudios Científicos y Tecnológicos, CECyT 11 Wilfrido Massieu Pérez de la misma institución, México. E-mail: [email protected]

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Introducción Los programas de estudio a nivel bachillerato y particularmente los de los Centros de Estudios Científicos y Tecnológicos (CECyT’s), área físico matemáticas, mencionan la importancia de promover las habilidades del pensamiento: análisis, interpretación y síntesis, así como la elaboración de conjeturas, argumentación, abstracción y generalización. Este proceso permite la contextualización y en este sentido las representaciones adquieren un papel importante, pues de éstas depende la estructura cognitiva del estudiante. La representación es un proceso que en las ciencias dinamiza la resolución de eventos contextualizados: facilita al alumno dar sentido a la información que le brinda el evento contextualizado y operarla hasta dar respuesta a la exigencia solicitada. En específico, la primera representación gráfica, con la cual se inicia el proceso de solución, es decisiva porque se presenta entre la percepción del evento y el proceso de resolución. Durante éste influyen varios aspectos como: la formulación del problema, las ideas previas del estudiante, las condiciones dentro de las cuales el problema está inmerso —referido en términos de comunicación— entre otros. Dichos factores son determinantes para que el estudiante pueda reinterpretar o modificar la primera representación, cuyo tratamiento conlleva a identificar información para hacer inferencias y seleccionar los elementos relevantes que, con posterioridad, se traducirán en la abstracción del análisis de las partes y su integración, dando lugar a la síntesis y a la conclusión del evento.

Marco de referencia La matemática en contexto de las ciencias es una teoría que reflexiona acerca de la vinculación que debe existir entre la matemática y las ciencias que la requieren (Camarena, 1984, 1995, 2001, 2005). El supuesto filosófico educativo de esta teoría consiste en que el estudiante esté capacitado para realizar la transferencia del conocimiento de la matemática a las áreas que la requieren, y que con ello las competencias profesionales y laborales sean favorecidas. En otras palabras: se busca una matemática para la vida. La teoría contempla cinco fases: curricular, didáctica, epistemológica, formación docente y cognitiva. La fase didáctica posee una estrategia denominada matemática en contexto (Camarena, 1995), en donde se presenta al estudiante una matemática contextualizada en las áreas del conocimiento de su futura profesión, en actividades de la vida cotidiana, profesionales y laborales a través de eventos contextualizados que pueden ser problemas o proyectos. La matemática en contexto contempla nueve etapas que se desarrollan en el ambiente de aprendizaje en equipos de alumnos, en donde deberá identificarse

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un líder académico, un líder emocional y un líder de trabajo: 1. Identificar los eventos contextualizados. 2. Plantear el evento contextualizado. 3. Determinar las variables y las constantes del evento. 4. Incluir los temas y conceptos matemáticos necesarios para el desarrollo del modelo matemático y solución del evento. 5. Determinar el modelo matemático. 6. Dar solución matemática al evento. 7. Determinar la solución requerida por el evento. 8. Interpretar la solución en términos del evento y disciplinas del contexto. 9. Presentar una matemática descontextualizada. Entre las actividades que el estudiante desarrolla son importantes las representaciones de los objetos matemáticos, elemento al que se aboca la presente investigación. El papel que desempeñan las representaciones en el aprendizaje de la matemática es fundamental ya que posibilitan la comunicación y comprensión del sujeto con su medio. Son configuraciones —palabras, gráficas, ecuaciones— que pertenecen a sistemas altamente estructurados, denominados “esquemas simbólicos” (Kaput, 1987), “sistemas representacionales” (Goldin, 1987), o “sistemas semióticos” (Duval, 1993), constituidos de caracteres o signos primitivos para ser combinados a través de reglas particulares en cada sistema. Dichas reglas estructuran el sistema de producción de la representación que contribuye a enriquecer su contenido (Duval, 1996; Goldin y Kaput, 1996). Callejo (1994), estudia el empleo de las representaciones gráficas por alumnos de nivel medio básico (secundaria) cuando resuelven problemas; su investigación reporta los elementos que, desde su perspectiva, determinan la elección, interpretación y modificación de estas representaciones, es decir, descripción de la situación, preguntas y contexto matemático en que está envuelto el enunciado. Estos factores influyen de modo directo para elegir el primer acercamiento con la representación gráfica, a ello Callejo denomina representación generatriz, por ser ésta la primera representación gráfica que inicia el proceso de resolución del problema en operación, siguiendo un acompañamiento de representaciones diseñadas con la misma finalidad del proceso. Por ejemplo: ilustrar el enunciado del problema, formalizar el problema dentro del dominio matemático, aplicar una estrategia de solución, entre otras, de tal manera que el acompañamiento de las representaciones diseñadas en el curso de la resolución del problema está determinado por la primera representación generatriz (Benítez, 2007). El esquema 1 muestra el análisis de la primera representación gráfica en eventos contextualizados.

Esquema 1 Análisis de la primera representación gráfica.

Presentación del problema

pasaje del texto a la situación

Primera representación mental

Materialización de la imagen mental en un papel para dibujo

Representaciones mentales

Variación de la representación gráfica identificando variables y constantes

Solución matemática del problema

Solución requerida del problema en el ámbito de la disciplina

Variación de la representación gráfica establecimiento del modelo matemático

Materialización de nuevas representaciones Inclusión de los temas y conceptos matemáticos

Primera representación gráfica

Representaciones: gráfica, simbólica, numérica Tratamiento en las representaciones y conexiones entre ellas

Fuente: Benítez, 2007.

Respecto a las representaciones semióticas Duval (2000), menciona la necesidad de manejar al menos dos registros de representación semiótica para llevar a cabo las tres funciones cognitivas —formación, tratamiento y conversión— y poder lograr la aprehensión del objeto. La visualización matemática no es un acto de aprehensión simultánea en el campo de la percepción, es una actividad cognitiva intencional que produce una representación en una superficie de dos dimensiones —pantalla, papel— la cual muestra las relaciones entre las unidades que componen las figuras. Eso quiere decir que: la visualización matemática expone solo a los objetos que se hacen “ver” a través de las organizaciones de las relaciones que tienen las unidades de las figuras. Por lo cual “ver” en matemática implica identificar las relaciones o la organización de relaciones entre las unidades representacionales que constituyen una representación semiótica (Duval, 1996). Para reconocer las unidades representacionales es preciso la exploración detallada para producir construcciones de acuerdo con las propiedades o reglas de la representación. Estas unidades se conectan, bi-dimensionalmente, porque se requiere la organización de al menos dos dimensiones para establecerla. Las representaciones gráfica y numérica son un tipo de visualización en matemática, particularmente necesarias en la investigación a realizar. Ambas representaciones poseen organizaciones visuales bi-dimensionales: el cuadriculado del plano en líneas para la gráfica y la distribución en columnas para la tabla.

Metodología El propósito de la experiencia educativa fue proporcionar al estudiante diversas situaciones asociadas a la representación gráfica, empleando tratamientos que evidencian su riqueza, impulsando la formulación de problemas. La actividad se realizó en el contexto de la química en un curso de álgebra. Con anterioridad los alumnos no habían participado en esta forma de trabajo, es decir, se modificó la práctica en el salón de clase, se impulsó la comunicación de ideas y la continua participación activa. La experiencia contó con un grupo de 40 alumnos del nivel medio superior del CECyT 11 Wilfrido Massieu Pérez, de primer semestre del ciclo escolar, con una duración de 18 semanas. Las edades de los participantes fluctuaban entre 15 y 16 años.

Desarrollo de la experiencia educativa Identificación de los eventos contextualizados Para el diseño de las actividades previamente se analizó el contenido matemático con el propósito de identificar las ideas principales a desarrollarse. El resultado se enfocó en dos ideas centrales que articulan toda la organización conceptual de álgebra: lenguaje algebraico y modelación con ecuaciones y funciones, ello facilitó plantear modelos lineales y de cuadráticas en situaciones concretas. En función de estas ideas se diseñaron las actividades; algunas fueron observadas en un curso

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paralelo, anterior a la experiencia, a fin de examinar el potencial o bien identificar las dificultades que podrían tener los alumnos. Una de las características principales de las actividades fue proporcionar información al estudiante —presentada en tablas, gráficas, enunciados verbales para explorar contenidos y establecer conexiones— con el objetivo de analizar diversas representaciones y darles seguimiento. Planteamiento del problema de las disciplinas del contexto Dos velas (V1 y V2) del mismo tamaño (120 cm) están hechas de distintos materiales tales que, una se consume de modo uniforme en tres horas, en tanto la otra se consume en cuatro horas: 1. ¿Cuál es la altura de V1 al término de 2 hrs. 40 min? 2. ¿Cuál es la altura de V2 al término de 2 hrs. 30 min? 3. Si V1 y V2 se encienden a las 2:00 pm: ¿a qué hora V1 tendrá 30 cm de altura? 4. Si V1 y V2 se encienden a las 5:00 pm: ¿a qué hora V2 tendrá 15 cm de altura? 5. ¿Cuál es la ecuación de la recta correspondiente a cada vela? 6. ¿Dar una explicación de lo que representa cada vela? 7. ¿A qué hora deben encenderse ambas velas simultáneamente para que a las 5:00 pm un cabo de vela mida el triple del otro? Determinación de las variables y de las constantes del problema Las variables identificadas: tiempo, altura. Inclusión de los temas y conceptos matemáticos necesarios para el desarrollo del modelaje y su solución Temas: ecuación de la recta, interpretación de la gráfica y la tabla numérica, sistema de ecuaciones lineales. Determinación del modelo matemático Ecuación V1

Ecuación V2

V1  12040t

V2  12030t

Solución matemática del problema V1  12040t V2  12030t 3V1  V2

3(12040t) 360120t 360120 240

 12030t  120 0t  120t30t  90t

240 90 24  9  2.66 hrs  160 min  2 hrs 40 min

Ambas velas deben encenderse simultáneamente a las 2:20 pm para que a las 5:00 pm un cabo de vela mida el triple que el otro.

La experiencia Fase de introducción. Los alumnos participantes carecían de experiencia para practicar la nueva dinámica debido a que estaban habituados a la enseñanza magistral. Ante esta situación, en la primera semana se les introdujo al trabajo y discusión en equipo durante la cual el profesor fungió como coordinador. Dinámica de trabajo en el aula. La clase se organizó en equipos de cuatro a cinco integrantes, con un total de seis equipos por grupo. Al inicio de la sesión se entregó el planteamiento del problema a resolver con la finalidad de trabajarlo de manera colectiva; un integrante del equipo se encargó de recoger la información que se obtuvo en el proceso de solución; en tanto el profesor participó como espectador y en caso necesario dio asesoramiento. Una vez terminada la tarea los equipos presentaron un reporte escrito. El docente como resultado de su observación a los equipos seleccionó uno —teniendo en cuenta los diferentes puntos de vista expuestos en el grupo, la participación en la discusión para aclarar dudas y superar dificultades— para que expusiera su trabajo al grupo. Los reportes de los equipos se les entregaron en la siguiente sesión con diferentes anotaciones a fin de que el alumno, de manera individual, revisara y corrigiera el trabajo si era el caso. En determinados momentos el maestro expuso al grupo algunos tópicos que ocasionaron dificultad, por ejemplo: identificar información relevante en el transcurso del estudio de las representaciones, a lo cual los alumnos manifestaron mayor interés para explorar los trazos.

Discusión del trabajo Se utilizaron los reportes escritos y grabaciones de las sesiones en audio y video como instrumentos de recolección de datos. Para presentar los resultados del estudio se consideró lo siguiente: 1. Las estrategias que el alumno empleó ante una situación contextualizada. 2. Las variables y los criterios de selección. 3. La elección de la primera representación y el tratamiento realizado. 4. Etapas transitadas en el proceso de solución del evento contextualizado.

t  t t t t

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Los estudiantes en sus primeros acercamientos con la información construyeron un modelo inicial con elementos parciales y omisión de otros, manteniendo la mayoría de ellos el esquema original del modelo sin presentar cambio alguno. Pocos estudiantes modificaron el modelo

inicial mediante la interacción con la tarea, demostrando la habilidad de reestructurar la situación, actividad desarrollada a lo largo de toda la experiencia educativa. Otro elemento importante a destacar fue el tratamiento aritmético que tuvieron los alumnos, a pesar de haber practicado procedimientos aritméticos como base fundamental a fin de pasar a un tratamiento simbólico con las relaciones identificadas. Con respecto al análisis de las representaciones emplearon tres de éstas: gráfica, numérica y algebraica, cuyo tratamiento se enfocó en el estudio cuantitativo, es decir, se exploró el contenido de las representaciones con la elección de puntos, aunque se identificaron algunos rasgos en la representación gráfica en cuanto al comportamiento cualitativo de la curva. En este sentido, los estudiantes lograron mejorar el entendimiento de la situación a través de la elaboración o tratamiento de las representaciones; sin embargo, la articulación entre éstas es un proceso que pocos estudiantes lograron concretar debido a las dificultades presentadas, tales como: no poder establecer relaciones entre el comportamiento de las alturas en las velas con el significado de las pendientes y las ordenadas al origen en las expresiones algebraicas. Ello reveló falta de conexión entre el contenido de la gráfica y la expresión algebraica. No obstante, la exploración en la tabla de valores permitió identificar las pendientes de las rectas en las expresiones algebraicas, reconociendo que las pendientes son negativas y su interpretación se orientó a la disminución del tamaño de las velas en la representación gráfica.

Un aspecto reiterativo en la actividad fue que, si bien los alumnos parecían entender la esencia de las diversas tareas planteadas, emplearon el mismo esquema en todas las actividades, ello sugiere que tienden a examinar relaciones siguiendo un conjunto de reglas propuestas por el docente. En el transcurso de la actividad se identificaron tres etapas. La primera de apropiación, en la cual los alumnos atendieron algunos aspectos relevantes ya que construyeron preguntas parciales a la situación. En la segunda, identificaron más información que les permitió reexaminar la situación para establecer nuevas preguntas, así como una primera formulación del problema. En la tercera etapa determinaron conexiones entre la información identificada y la formulación de nuevos eventos en la situación. Con esta dinámica los participantes adquirieron de manera paulatina mayor comprensión de la situación. En tanto el docente se concentró en coordinar la discusión en los equipos y en el planteo de preguntas con la intención de aclarar dudas y replantear nuevos retos. A continuación y a modo de muestra se exhibe el trabajo de un equipo. Éste identificó información parcial de la situación; sin embargo, durante el análisis del consumo de las velas reconoció información relativa a sus alturas respecto al tiempo trascurrido; al cuestionársele la relación en el consumo de las velas no identificó ningún rasgo característico desde el punto de vista de la relación entre ambos eventos. Con base en ello, el equipo analizó la representación numérica, que representaba el comportamiento de las velas para ciertos tiempos, y planteó un primer problema: ¿cómo determinar el comportamiento del consumo de las velas? (imagen 1).

Imagen 1 Tratamiento de la representación numérica.

Fuente: Benítez, 2007.

Con la intervención del profesor identificó (el equipo) nueva información que le permitió releer el problema y continuar con la exploración de la representación gráfi-

ca. En este punto, se consideró que el problema planteado aún era vago e impreciso, por lo cual el docente sugirió replantear la situación (imagen2).

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Imagen 2 Tratamiento de la representación gráfica.

Fuente: Benítez, 2007.

El equipo realizó una nueva presentación en donde aplicó la analogía con una situación de vida cotidiana, en ese momento surgió una idea que resultó muy importante en el seguimiento del problema: considerar la

interpretación del contenido de la representación gráfica para construir las expresiones algebraicas que modelan el comportamiento de las velas basado en la información obtenida (imagen 3).

Imagen 3 Exploración de la representación algebraica.

Fuente: Benítez, 2007.

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Por lo tanto, el equipo empleó en el análisis al menos tres representaciones para su exploración, las cuales se muestran en la imagen 4.

Imagen 4 Representaciones empleadas: tabla, gráfica, expresión algebraica y expresión icónica.

Fuente: Benítez, 2007.

Aunque la información fue relevante para la situación, el equipo no logró establecer una relación para mostrar la condición del problema: ¿a qué hora deben encenderse V1 y V2 simultáneamente para que a las 5:00 pm un cabo de vela mida el triple que el otro? El proceso comenzó reconociéndose información parcial de la situación que, por lo general, es la más notoria y sobre esa base se construyó un modelo inicial. Mediante las preguntas planteadas por el docente los estudiantes pasaron a otro nivel en donde identificaron nueva información, lo que llevó a revisar el problema planteado originalmente. Sin embargo, su reacción no fue espontánea y mantuvieron el planteamiento inicial del problema; es decir que, a pesar de descubrir nueva información no la utilizaron para reexaminar el problema inicial y no la relacionaron con la identificada previamente. Los alumnos cambiaron de perspectiva a causa del cuestionamiento del profesor y de la interacción con las tareas; ambos elementos propiciaron que se comprendiera que la nueva información ocasionó la modificación del problema original. Las fases que se detectaron fueron:

b) Primera formulación del problema y empleo de la primera representación (numérica). c) Descubrimiento de nueva información y reformulación del problema original para emplear la representación gráfica. d) Explorar el contenido de las representaciones a través de la reformulación del problema. e) Articulación de las representaciones. En el proceso de formulación del problema aparece entrelazado el seguimiento, es decir, surge una idea o conjetura; en esta etapa los alumnos manipularon las alturas de las velas en la situación y las explicaron de acuerdo a su consumo. Este proceso (el de formulación de problemas) mostró una complejidad con el surgimiento de dificultades o concepciones falsas que lo obstaculizaron. Ahora bien, otro enfoque en la percepción de la situación por nuevos aspectos no trae consigo de modo inmediato un cambio; en la interacción es posible superar las dificultades que se presentan. Otro factor observado en la experiencia, no menos importante, fue las notables deficiencias del lenguaje utilizado por los alumnos para expresarse, en este caso las ideas que pueden surgir en el proceso de formulación.

a) Identificación de la información y/o entendimiento de la situación.

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Conclusiones De la actividad realizada se observó que en cuanto a los estudiantes: 1. Se enfocaron en sus primeras interacciones a situaciones o elementos parciales omitiendo otros de carácter relevante durante el análisis del problema. 2. Ante una situación atendieron algunos aspectos mientras desatendieron otros –variabilidad en la interacción– lo que determinó que en esta actividad se requiere que tengan la vivencia con la finalidad de fortalecer su percepción frente a las preguntas planteadas. 3. Pretendieron reproducir la actividad en otras diferentes, lo cual sugiere que tienden a examinar datos o relaciones siguiendo las reglas presentadas por el maestro. 4. En el trabajo en equipo se superó la tendencia calculista. No obstante cuando el trabajo a desarrollar fue individual se regresó al uso de tratamientos cuantitativos, mientras que por equipo exploraron las situaciones con métodos cualitativos. 5. Las discusiones en plenaria les permitieron debatir sus argumentos en un ambiente de análisis y de razonamiento.

En cuanto a la práctica: 1. El proceso de aprendizaje sufrió altas y bajas, principalmente en aquellas destinadas a construir o interpretar situaciones. 2. El estudio de la primera representación a través de la reformulación del problema permitió fortalecer el empleo de diversas representaciones para establecer conjeturas, lo cual enriqueció el contenido de la representación generatriz. 3. La organización de las actividades de acuerdo a la matemática en contexto –trabajo en equipo, exposiciones y discusión grupal– coadyuvó para que los estudiantes expusieran sus ideas y conjeturas. 4. Esta propuesta implicó una nueva perspectiva para el profesor que imparte la asignatura de álgebra, ya que el alumno aprende una forma de estructura diferente para trabajar en el aula, reafirma los conocimientos previos y las experiencias que intercambia con los miembros de su equipo y con el profesor. Por su parte el docente también aprende una nueva perspectiva de su labor que exige disciplina, preparación y compromiso en el proceso de aprendizaje personal y del educando. Recibido noviembre 2008 Aceptado febrero 2009

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Pedagogical scenario involving Aplusix educational software Jana Trgalová*

Abstract An algebraic expression can be looked at from two points of view: operational and structural. Numerous algebraic tasks require considering the structural aspect, e.g., substituting an expression by another, factoring and so on. Yet, in mathematics curricula in France, the operational aspect prevails. Students’ difficulties to take account of the structure of an expression manifest themselves in numerous errors committed in handling with algebraic expressions. In this article we present a pedagogical scenario designed to help students grasp the structural aspect of algebraic expressions. The scenario involved Aplusix, educational software for teaching and learning algebra, which allows representing algebraic expressions in usual and tree forms.

Keywords Aplusix, algebraic expression, operational aspect, structural aspect, semiotic register of representation, usual representation, tree representation, natural language representation.

Un scénario pédagogique avec le logiciel Aplusix Résumé Une expression algébrique peut être considérée de deux points de vue: procédural et structural. De nombreuses tâches en algèbre nécessitent la considération de l’aspect structural de l’expression, par exemple substituer une expression par une autre, factoriser etc. Cependant, dans les programmes scolaires de mathématiques en France, il y a prédominance de l’aspect procédural. Les difficultés de prise en compte de la structure d’une expression algébrique par les élèves se traduisent par de nombreuses erreurs commises dans la manipulation des expressions. Dans cet article nous présentons un scénario pédagogique conçu pour aider les élèves à comprendre la structure des expressions algébriques. Le scénario intègre Aplusix, un logiciel d’aide à l’enseignement et l’apprentissage de l’algèbre, qui permet de représenter les expressions algébriques sous forme usuelle et sous forme d’arbre.

Mots-clefs Aplusix, expression algébrique, aspect procédural, aspect structural, registre sémiotique de représentation, représentation usuelle, représentation sous forme d’arbre, représentation en langue naturelle.

Escenario padagógico y el software educativo Aplusix Resumen Una expresión algebraica puede observarse desde dos puntos de vista: operacional y estructural. Numerosas tareas algebraicas requieren que se considere el aspecto estructural, es decir, sustituir una expresión en otra, factorizarla. En Francia, aún prevalece el aspecto operacional en el currículo de matemáticas. Las dificultades que tienen los estudiantes para tomar en cuenta la estructura de una expresión quedan de manifiesto en los abundantes errores cometidos en su manejo. Se presenta un escenario pedagógico diseñado para ayudarlos a asimilar el aspecto estructural de las expresiones algebraicas. Este escenario incluye Aplusix, software educativo para la enseñanza y aprendizaje del álgebra, que permite representar expresiones algebraicas de forma usual y de árbol.

Palabras clave Aplusix, expresión algebraica, aspecto operacional, aspecto estructural, registro de representación semiótica, representación usual, representación de árbol, representación del lenguaje natural.

* Master of science, specialized in mathematics and computer science, Comenius University, Bratislava (Slovakia), master of science specialized in mathematics education, University of Grenoble 1 (France), and doctor in mathematics education, University of Grenoble 1 (France). Ongoing projects: CAPES-COFECUB project in collaboration with Brazil (2009–2013). Current position: associate professor in National Institute for Pedagogical Research (INRP), Lyon, France. E-mail: [email protected]

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Introduction The research presented in this article is developed in the framework of the European project ReMath1, whose starting point is a wide-ranging dissatisfaction with the state of mathematics education in Europe and the weak impact of research and development work on using ICT for its improvement. One of the reasons of this unsatisfactory state is the fact that theoretical frameworks emerging from state-of-the-art research on learning mathematics with digital media are fragmented and involve assumptions bound to the specific contexts from which they emerged. ReMath project addresses the issue of integrating theoretical frames on teaching and learning mathematics with digital technologies at the European level, taking a learning through representing approach. The overall methodology consists in gathering evidence from experience involving a cyclical process of: a) developing six state-of-the-art dynamic digital artefacts (DDA) for representing mathematics, b) developing scenarios for the use of these artefacts, and c) carrying out empirical research involving cross-experimentation in realistic educational contexts. Drawing on one of the most striking results obtained from TELMA2 project, in which ReMath partners were involved previously, pointing out a strong influence of theoretical frameworks in the design of DDA and learning scenarios involving these DDA (Cerulli et al., 2008), ReMath project intents to further investigate the role theories play in the process of elaboration, implementation and analysis of these scenarios. The paper starts by presenting Aplusix, one of the six DDA developed in the framework of the project. First, in section Aplusix-standard software, standard software using only the usual representation of expressions is described, and then in section Aplusix with tree representation of algebraic expressions, a new prototype allowing to represent algebraic expressions in a form of a tree as well is presented. In section Theoretical frameworks, theoretical background underpinning the design of a pedagogical scenario involving the new prototype of Aplusix is clarified. Section Experimentation is devoted to the presentation of the pedagogical scenario and its implementation in three different French classes. A few results from these experimentations will also be discussed. Finally, in section Conclusion and perspectives, several conclusions and perspectives this research opens are discussed.

the Computer science laboratory5 in Grenoble, France. The reader interested in Aplusix design and development issues is referred to (Trgalová & Chaachoua, 2008).

Aplusix-standard software In Aplusix, a student can solve freely algebra exercises such as calculate, expand and simplify, factor, solve an equation, an inequation or a system of equations and inequations. Two main interaction modes are available: training mode and test mode. In the training mode, the system provides two fundamental types of feedback: it checks both the correctness of calculation steps and the correct end of exercises (Figure 1). In the test mode, no feedback is provided to the student who has a limited time to solve a list of exercises (Figure 2).

Figure 1 Training mode: the red crossed parallel lines between the two expression indicate that the expressions are not equivalent.

Source: Aplusix-standard software.

Figure 2 Test mode: 10 exercises about factoring of algebraic expressions are to be solved within 30 minutes. No feedback is provided by the system.

Presentation of Aplusix Aplusix3 is a microworld and an exerciser designed to enhance learning of algebra. It is developed by MeTAH4 team of 1

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Source: Aplusix-standard software.

Representation in Mathematics with Digital Media (ReMath), project number IST4-26751, http://remath.cti.gr/. Partners involved: Denis Diderot University, Paris 7, France; Joseph Fourier University, Grenoble 1, France; Consiglio Nazionale Delle Richerche, Roma, Italy; Università degli Studi di Siena, Siena, Italy; National & Kapodistrian University of Athens, Athens, Greece; Talent Anonimos Etaireia Pleroforikis, Greece; Institute of Education, University of London, London, United Kingdom. Technology Enhanced Learning of Mathematics (TELMA), project number IST 507838, http://telma.noe-kaleidoscope.org/ http://aplusix.imag.fr Methods and Technology for Human Learning, http://www.liglab.fr/spip.php?article101&lang=en http://www.liglab.fr/?lang=en

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Two other modes exist in Aplusix: self-correction and replay. Self-correction mode allows the student to see again a test s/he has worked on and correct possible errors s/he committed with the help of feedback provided by the system (Figure 3). Replay mode allows a student, a teacher or a researcher to see the student’s work, stepby-step, action-by-action. Aplusix was designed to be integrated into a regular work of a mathematics class: its interface is similar to paper and pencil environment, the editor of algebraic expressions is extremely simple and intuitive (Nicaud et al., 2003, Nicaud et al., 2004). Aplusix contains more than 400 patterns of exercises organized according to a mathematical topic and a level of difficulty (Figure 4).

Figure 3 Self-correction mode: a student sees the score s/he has obtained in the test and can modify an already solved exercise in order to correct her/his errors.

Aplusix with tree representation of algebraic expressions For the purpose of the ReMath project, a new representation of algebraic expressions in the form of a tree has been designed and implemented into Aplusix software. Several reasons motivated the developers of the software to add this representation: • From an epistemological point of view, trees are natural representations of algebraic expressions. • From a didactical point of view, the availability of a new semiotic register of representation would allow to conceive activities bringing into play a conversion between registers (Duval, 1995), which could favor the learning of algebraic expressions, in particular their structural aspect. • From a computer science point of view, trees are fundamental objects that serve to define most of data structures. As a matter of fact, internal objects used in Aplusix to represent algebraic expressions and their visual properties are trees (Bouhineau et al., 2007a, b). Three modes of tree edition have been implemented in the software: free tree mode, controlled tree mode and mixed tree mode. In the free tree mode (Figure 5), a user can create and modify a tree freely. In the controlled tree mode (Figure 6), the freedom in editing a tree is restricted since the user is forced to use only known operators and a correct number of arguments.

Source: Aplusix-standard software.

Figure 4 The map of exercises that can be solved either in the training or in the test mode.

Figure 5 Free tree mode allowing to create all sorts of trees, correct and erroneous.

Source: Aplusix-standard software.

Source: Aplusix-standard software.

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Figure 6 Controlled tree mode: only known operators and a correct number of arguments can be used.

Source: Aplusix-standard software.

The mixed tree mode is a controlled mode but, contrary to free or controlled modes (Figure 7a), it accepts expressions in the usual representation in the leaves of a tree (Figure 7b).

Figure 7 (a) In the free or controlled modes, the leaves can contain only a number, a variable or an operator. (b) In the mixed mode, the leaves can contain expressions in the usual form.

Figure 8 The item “Representation” allows changing the representation of an algebraic expression.

Source: Aplusix-standard software.

In addition, thanks to the “second view” command, representations of a same expression in two different registers, for example usual and tree, can be displayed at the same time. Only the representation in the main window is modifiable. Any modification in this window is reflected on the representation in the second view window. Feedback provided by the software is visible in both windows (Figure 9).

Figure 9 The expression 2x²+5(x-4) in usual representation in the main window and the second view of this expression in the form of a tree.

(a)

Source: Aplusix-standard software.

(b)

Theoretical frameworks Object and process aspects of a mathematical concept Source: Aplusix-standard software.

The representation of algebraic expressions can be changed anytime, by clicking on the expression with the right button of the mouse (Figure 8).

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According to Sfard (1991, p. 4), mathematical notions can be conceived in two different ways: structurally —as objects— and operationally —as processes. The author claims that: seeing a mathematical entity as an object means being capable of referring to it as if it was a real thing – a static structure, existing somewhere in space and time. It also means being able to recognize the idea “at a glance” and to manipulate it as a whole, without

going into details. […] In contrast, interpreting a notion as a process implies regarding it as a potential rather than actual entity, which comes into existence upon request in a sequence of actions. In another words, an object conception of a notion focuses on its form while a process conception focuses on the dynamics of the notion. Thus, whereas structural conception is “static, instantaneous and integrative”, operational conception is “dynamic, sequential and detailed”. Considering the notion of algebraic expression in this perspective, when it is conceived: • Operationally, it refers to a computational process. For example, the expression 5x-2 denotes a computational process “multiply a number by 5, and then subtract 2”, which can be applied to numerical values. • Structurally, it refers to a set of objects on which operations can be performed. For example, 5x-2 denotes the result of the computational process applied to a number x. It also denotes the function that assigns the value 5x-2 to a variable x. Yet, in the French textbooks, there are very few exercises where the final answer is an algebraic expression. The last question of the most of exercises leads to a numerical value and the algebraic expression appears only as an intermediary step without its own purpose. Thus, the operational conception of algebraic expressions prevails in the teaching of algebra. However, a recent document accompanying junior high school mathematics curricula6 brings evidence that policy makers become aware of this situation. The authors point out that the structural aspect of an expression in the teaching of algebra is less “visible” for the students than the operational aspect: considering the “structural” aspect of an expression is less “visible” for the students than the “operational aspect” (Sfard, 1991, p. 5).7 The authors give examples of types of activities that can favour the distinction between these two conceptions of an algebraic expression. One of such activities consists in describing the expression in natural language, which requires considering the structure of the expression: for example, saying that (3x–1)(x²+2) is the product of a difference by a sum, difference of the product of 3 by x and 1, by the sum of the square of x and 2 […]. The first word of the sentence built in this way gives the form of the expression […]. Conversely, explaining verbally the sequence of operations

to do in order to perform the calculation brings forward the “operational” aspect of the expression (Sfard, 1991).8 Another type of activity suggests using a tree representation of an expression claiming that this representation helps distinguish between operational and structural aspects of the expression: building of a tree relies on priorities of operations and the order of calculations to perform (“operational” aspect), but the highest level assembler gives the form of the expression (“structural” aspect).9 These considerations led us to precise the educational goal of our pedagogical scenario, which is to help the students grasp the structure of an algebraic expression by means of introducing the tree representation and articulating it with the usual and natural language representations.

Semiotic registers of representation of mathematical concepts There is no doubt that semiotic representation is of a major importance in any mathematical activity since mathematical concepts are accessible only by means of their representations. Duval (1995), calls “register of representation” any semiotic system allowing to perform three cognitive activities inherent to any representation: formation, treatment and conversion: To constitute a trace or an assemblage of perceptible traces that can be identified as a representation of something in a given system. Then, to transform the representations by using only the rules peculiar to the system in a way to obtain other representations likely to bring a new knowledge with respect to the initial representations. Finally, to convert representations built in one system of representation into another system in such a way that the latter allow clarifying other meanings of what is represented (p. 21).10 These activities correspond to different cognitive processes and cause numerous difficulties in learning mathematics. Duval (2006), claims that while treatment tasks are more important from the mathematical point of view, conversion tasks are critical for the learning. Consequently, conceptualisation of mathematical notions requires manipulating of several registers for the same notion allowing to distinguish between the notion and its representations. As Duval (1993), says, the conceptualisation relies upon the articulation of at least two registers of representation, and this articulation manifests itself by a rapidity and the spontaneity of the cognitive activity of conversion between the registers.

6 Du numérique au littéral. Collège, mathématiques. Projet de document d’accompagnement. Direction de l’enseignement scolaire, bureau du contenu des enseignements, Février 2008, http://eduscol.education.fr/D0015/du_numerique_au_litteral.pdf 7 Author’s translation from the French original: La prise en compte de l’aspect “structural” d’une expression dans l’enseignement est moins “visible” pour les élèves que l’aspect “procédural”. 8 Author’s translation from the French original: par exemple, énoncer que (3x–1)(x²+2) est le produit d’une différence et d’une somme, différence du produit de 3 et de x et 1 et somme du carré de x et de 2 […]. Le premier nom de la phrase ainsi construite donne la forme de l’expression […]. Inversement, l’explicitation orale de la suite des opérations à effectuer pour exécuter le calcul met en évidence l’aspect «procédural» de l’expression. 9 Author’s translation from the French original: la réalisation de l’arbre s’appuie sur les priorités opératoires et l’ordre des calculs à effectuer (aspect “procédural”), mais l’assembleur de plus haut niveau donne la forme de l’expression (aspect “structural”). 10 Author’s translation from the French original: (...) constituer une trace ou un assemblage de traces perceptibles qui soient identifiables comme une représentation de quelque chose dans un système déterminé. Ensuite, transformer les représentations par les seules règles propres au système de façon à obtenir d’autres représentations pouvant constituer un apport de connaissance par rapport aux représentations initiales. Enfin, convertir les représentations produites dans un système de représentation en un autre système, de telle façon que ces dernières permettent d’expliciter d’autres significations relatives à ce qui est représenté.

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Yet, school mathematics gives priority to teaching rules concerning both formation of semiotic representations and their treatment. The amount of activities of conversion between registers is negligible, although they represent cognitive activities the most difficult to grasp by the students. Motivated by these considerations, in the design of our pedagogical scenario, three semiotic registers of representation of algebraic expressions are taken into account: natural language register (NLR), usual register (UR), and tree register (TR). The scenario proposes activities of formation, treatment and conversion between these registers.

Experimentation First, this experimentation being in line with the ReMath project, which aims at developing digital artifacts for the learning of algebra and at experimenting pedagogical scenarios involving these artifacts in schools, the research goal shared with other project partners was to investigate the effects of representations available in the artifacts on students’ learning of algebra. On the other hand, our experiment took place in Grade 9 (14-15 years) and Grade 10 classes (15-16 years). Students at this stage are already familiar with algebraic expressions that they are used to manipulate in the usual register of representation. However, much research in France (Grugeon, 2000; Tonnelle, 1980), but not only (Küchemann, 1981; Herscovics, 1989; Steinberg, Sleeman, Ktorza, 1990; MacGregor & Stacey, 1997), report about students’ difficulties encountered in the learning of algebra, and these are not rare in Grade 9 or 10 students. For this reason remedial activities focusing on difficulties related to the structural aspect of algebraic expressions had been designed. Thus, the following educational goal was set up in line with the theoretical considerations presented above: help the students develop a structural conception of algebraic expressions by means of introducing them to the tree register of representation, which will be articulated with natural language and usual registers.

Pedagogical scenario The pedagogical scenario presented in the sequel is underpinned by the following hypothesis: the introduction of the tree register and its articulation with natural language and usual registers will have a positive impact on students’ mastering the usual register of representation of algebraic expressions, which is the one taught in school algebra. The scenario is composed from 4 units: Pre-test, Learning, Assessing, and Post-test. Pre-test Before introducing the new register of representation of algebraic expressions, a pre-test was administered to

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students in order to diagnose their difficulties in algebra, especially those related to the structural aspect of expressions. On the other hand, the results of the pretest compared to those of the post-test should provide us with evidence about the efficiency of the pedagogical scenario. Two kinds of activities are proposed in the pre-test: • Classical school algebra exercises (calculate the value of numerical expressions, expand and simplify, factor algebraic expressions), which are, in Duval’s terms, treatment tasks in the register of usual representation. These exercises are to be done with standard Aplusix in the test mode. • Communication games between students. Students work in pairs: one of the students is given an algebraic expression that s/he is asked to describe in natural language. S/he then reads the description to the other student who has to decode the message in order to recreate the expression in the usual representation. The answer is validated by comparing the initial expression with the recreated one. In Duval’s terms, these are activities of conversion between the usual and natural language registers. They will be done in the ordinary paper and pencil environment since Aplusix cannot evaluate answers given in natural language register. As was mentioned above, the teaching of algebra at junior high school gives priority to the operational aspect of algebraic expressions. For this reason many errors were expected in the students’ productions resulting from their difficulties to identify the form of expressions or to consider it as an object, which can be manipulated as if it was a “real thing” (structural aspect). Learning The aim of this unit is to introduce the students to the new register of representation of numerical and algebraic expressions, TR, as well as to articulate it with the already familiar registers, NLR, and UR. The TR will be introduced by the teacher using Aplusix, in particular the mixed tree mode that will allow working out rules of formation of representations of expressions in this new register. Then, conversion activities between TR and NLR and UR respectively will be proposed. Most of the activities will be done in a computer lab with Aplusix in the training mode. At the beginning, the students will be supported by the constraints of the controlled tree mode, which will provide a sort of scaffolding in the early stage of learning of the TR. Later on, they will work without any constraint in the free tree mode, yet receiving feedback as for the equivalence of expressions. Eventually, simple tasks of treatment in TR (calculate values of numerical expressions, simplify algebraic expressions) will be proposed in order to assess the mastery of the new register of representation by the students.

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Assessing

(respectively UR), gives the message to the other student who decodes the message and recreates the tree.

The unit called “Assessing” aims at evaluating to what extent TR and conversion tasks between the registers are mastered by the students after having done activities of the “Learning” unit. The evaluation is organized in the form of communication games between students similar to those from the pre-test, but this time, TR is involved in the tasks. Moreover, the games start by a task of formation in TR: a student is asked to create a tree representing an algebraic expression, s/he converts it in NLR

Post-test In the post-test, tasks similar to those from the pretest are proposed in order to enable a comparison of results. Confronting the results obtained at the two tests should provide us with evidence confirming or not our above-mentioned hypothesis; Table 1 below presents the structure of the pedagogical scenario.

Description

Environment

Duration

Treatment in UR

Calculate, Factor Expand and simplify

Aplusix

50 min

Conversion NLR↔UR

Communication games

Paper & pencil

30 min

Introduction to TR

Scenario TR introduction

Aplusix in video projection

55 min

Conversion NLR↔TR

Conversion NLR→TR Conversion TR→NLR

Aplusix: controlled then free mode Paper & pencil

90 min

Conversion UR↔TR

Conversion UR→TR Conversion TR→UR

Aplusix: controlled then free mode

80 min

Treatment in TR

Calculate in TR Simplify in TR

Aplusix with second view

20 min

Assess.

Formation TR Conversion TR ↔ NLR (UR)

Communication games

Aplusix: free mode Paper & pencil

55 min

Treatment in RU

Calculate, Factor Expand and simplify

Aplusix

30 min

Conversion NLR ↔ UR

Communication games

Paper & pencil

20 min

Learning

Pre-test

Activities

Post-test

Table 1 Structure of the pedagogical scenario.

Source: Own elaboration.

Experimentations The scenario presented in the previous section has been experimented in three classes, namely one Grade 9 and two Grade 10 classes. The scenario was presented to the teachers in a form of a table similar to Table 1 above, accompanied with all proposed activities. The teachers could ask us to modify aspects of the scenario in order to adapt it to the contexts of their classes. The teacher of one of the Grade 10 classes, who will be called table 1 in the sequel, realized the experiment (Exp1) in his class during October and November 2007. He asked to shorten the scenario, which was initially planned to take 6 sessions, to 3 sessions at most because of institutional constraints. Thus, a short version of the scenario has been elaborated with the following modifications of the initial scenario, more precisely of the “Learning” unit:

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• The conversion tasks NLR→TR and UR→TR were proposed with Aplusix in the controlled tree mode only. • The conversion tasks TR→NLR were assigned as homework. • The treatment tasks in TR were left as optional. The teacher could propose them for example for students with difficulties during an individualized session. The short version of the scenario was then also chosen by the teacher T3 of the Grade 9 class who experimented it (Exp3) during November and December 2007. Only the other Grade 10 class teacher (T2) experimented the entire initial scenario (Exp2) during the same period as T3. Various constraints, in particular at the material level, gave rise to differences in implementations of the scenario. In Exp1, the short version has been implemented. The tea-

cher alternated whole class sessions (tests, introduction of the TR) with half-class sessions in computer lab where the students worked individually with Aplusix. Moreover, since the teacher did not feel comfortable with the new prototype of the software even though he uses regularly the standard version in his class, he preferred to ask one of the researchers who had designed the scenario to conduct the session where TR was introduced. Exp2 took place as expected, the entire scenario was implemented and all sessions were conducted by the teacher T2. As in Exp1, whole class sessions in an ordinary classroom with video projector alternated with halfclass sessions in a computer lab allowing the students work individually with Aplusix. Finally, in the T3’s class, all sessions took place with the whole class, since in the French system, Grade 9 classes do not benefit from half-class sessions, as do Grade 10 (and above) classes. Thus, the students had to work in pairs with the computer. For this reason, pre-test and post-test, aimed at diagnosing individual students’ difficulties with algebra, had to be done in paper and pencil environment. Like Exp1, the short version was implemented and all sessions were conducted by the teacher.

First results On the whole, the students in the Grade 10 class where Exp2 has been realized were quite high achievers and very few errors and difficulties were observed in the pretest. For this reason, we limit the presentation of the results to the Exp1 and Exp3 experiments. Pre-test Students’ productions concerning treatment tasks with Aplusix confirmed our expectations about difficulties students encounter in mastering the usual representations of expressions. In the Grade 10 class (Exp1), errors in manipulating powers and minus sign were observed in most of the students’ productions, e.g.: 3(5)² → 35² ; 3(5)² →  3²5²; 5²7² → 2549.

In the Grade 9 class (Exp3), on top of these errors, other kinds of errors in manipulating powers and minus sign were observed, for example: 3(5)² → 3  25 ; (3x)² →  3²x ; (3x)² → 3x².

In the case of more complex expressions, even though the students failed to consider the structure of expressions to make conversions, they succeeded the exercise due to strategies consisting in “reading” the expression as it is written in UR. Thus for example the expression (3x2)(3x1) a(x2) was read as follows: open a bracket, 3 x plus 2, close the bracket, open a bracket, 3 x minus 1, close the bracket, the whole over a minus, open a bracket, x plus 2, close the bracket. These messages result from what can be called oral register and they accentuate the operational aspect of the expressions rather than the structural one. Despite of ambiguities present in the students’ written messages, most of pairs succeeded the game thanks to implicit codes of the oral register the students share and understand and which result from the didactical contract (Brousseau 1997). Thus, for example when reading the expression a(x2), some students were taking a break in place of brackets: “a minus [break] x plus 2”. Thus, the goal we assigned to the communication games, namely to lead the students to become aware of the limits of the oral register they use in algebra, which does not take into account the structural aspect of expressions, was not achieved. Learning As was mentioned above, the teacher T1 asked one of the designers of the pedagogical scenario to introduce the tree register of representation to his students. This introductory session took place as planned (cf. Appendix). It allowed discussing with the students specificities of the tree representation of expressions and introducing vocabulary related to this new register. Particular attention was paid to reading the expressions. Thus for example, the expression x+2y was read as “the sum of x and of the product of 2 by y”, which accentuates the structure of the expression, instead of “x plus 2 y” highlighting its operational aspect. In addition, a particularity of the tree register residing in the fact that several different trees can represent a same algebraic expression was also discussed with the students based on the following example (Figure 10).

In some students, errors linked to operation priorities were observed as well, e.g.: 2+5*9 → 7*9 ; 2+3x → 5x. On the other hand, in the communications games very few difficulties were actually observed in both classes (Exp1 & 3). This result was surprising since the proposed expressions being quite complex, many errors were expected in the conversion tasks UR→NLR due mainly to the absence of brackets in NLR. This kind of errors has been observed in some pairs of students, but to a much lesser extent than expected. For example the initial expression a(x2) became ax2 based on the message “a minus x plus 2”.

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Figure 10 Multiplicity of trees representing a same algebraic expression.

In the expression x-1, the minus sign can be conceived in three different ways leading to three different trees (this difference is hardly visible in UR): • Sign of a negative number (tree on the left); • Binary operator “difference” (tree in the middle); • Unary operator “opposite number” (tree on the right).

Source: Own elaboration.

As was already mentioned, the rest of the scenario was shortened in order for the teacher to be in line with the global pedagogical program shared by all Grade 10 classes in the school. In addition, the teacher decided to individualize the implementation of the scenario according to the students’ difficulties: thus, only one group, called G1 in the sequel, constituted from rather low achieving students, benefited from a work on conversion tasks NLR→TR and UR→TR with Aplusix in the controlled mode. Afterward, conversion tasks TR→NLR were assigned as homework to the whole class. The analysis of the students’ productions related to these tasks show a significant difference between the groups G1 and G2, which has not benefited from the work on conversion tasks before the homework (table 2). These results can be considered as evidence showing efficiency of the work on conversion tasks NLR→TR and UR→TR.

Regarding the Exp3, unfortunately no information about the way the students have been introduced to the tree register by their teacher are available because of impossibility to set up a device allowing to gather workable data. Nevertheless, the analysis of students’ answers to conversion tasks TR→NLR shows that the students failed to grasp the new register of representation. Most of the students used erroneous conversion strategies providing evidence of their lack of taking account of the structure of expressions. Some of such strategies are reported below: • “Linear” reading from left to right: ex.

“x sum of –1”

Table 2 Students’ answers to the conversion tasks TR→NLR assigned as homework. • Starting with the simplest branch: ex. Answer in NLR Answer in NLR with with structural operational aspect aspect (oral register) G1 15 students having worked on conversion tasks in controlled mode

10

5

G2 15 students who have not benefited from the work on conversion tasks

3

12

Source: Own elaboration.

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“difference of 2 and of the product of 3 by x”

• Juxtaposing branches: ex.

“square of 2, sum of 2, product of x and square root of 5”

In this class, the scenario seems to have failed, which leads us to moderate our conclusions and to pursue our analyses searching for reasons of this failure.

Conclusion and perspectives The research presented in this article addresses two main issues: design of digital artifacts for the teaching and learning mathematics and impact of representations of mathematical notions on students’ learning. As regards the design of educational software, the example of the development of Aplusix, described in the first part of the paper, shows that the introduction of the tree register was motivated by didactical considerations about the necessity to have several different registers at the disposal to represent the same mathematical notion. Moreover, the experimentations and the subsequent feedback from the teachers led to reconsidering some of the design choices and to improving the software interface. An example of such an improvement is described elsewhere (Trgalová and Chaachoua, 2008). Thus, a synergy between computer scientists, researchers in mathematics education and users (both teachers and students) is fundamental in the design of software for teaching mathematics. As regards the impact of representations of mathematical notions on students’ learning, the experience from one of the three classes (Exp1) tends to show a positive contribution of the tree register and conversion tasks between different registers on the students’ conceptualization of algebraic expressions. However, in view of the results observed in Exp3, such a conclusion has to be moderated. More detailed analysis is necessary in order to find explanation for the failure of the scenario in this case. On top of the three experiments presented in this paper, other experimentations of different pedagogical scenarios involving Aplusix with the tree representation are in progress in the framework of the ReMath project. It is only after having analyzed the outcomes of these experiments that will be able to provide evidence allowing to bring an answer to this question. Two other issues are worth getting onto. The first issue concerns the role of theoretical frameworks in the design

of pedagogical scenarios. This issue was dealt with within the TELMA project at the European level. The research presented above shows clearly that the choice of activities and tasks was driven by the theoretical frame we adopted, namely the semiotic register of representation approach (Duval, 1995). In particular, two hypotheses coming from this approach underpin the scenario: • Conceptualization of mathematical notions requires at least two different registers allowing their representation. • Conversion tasks between registers are of major importance in learning mathematics. Thus, the designed scenario proposes, among others, conversion tasks between three registers for representing algebraic expressions. One can ask what scenario and what kinds of activities we would design if another theoretical framework would have been chosen. For example the anthropological theory of didactics (Chevallard 1992), would have led us to envisage types of tasks the tree register enables, to search for techniques allowing to solve these tasks, to suggest specific didactic organizations. These considerations confirm the outcomes of research carried out by TELMA group on the impact of the choice of underlying theories on the design of pedagogical resources (Cerulli et al. 2008). The second issue concerns the use of scenario by the teachers. Note that the teachers who implemented our scenario in their classes have not participated to the design process, but they could negotiate adaptations of the initial scenario to the context of their classes as well as to institutional constraints of their schools. One of the reasons explaining the unexpected results of the Exp3 experiment may be sought for in the appropriation of the scenario by the teacher. As a matter of fact, the tree representation of algebraic expressions is not part of French mathematics curricula. The scenario was built around this “non institutional” object and the proposed activities were thus on top of the usual teacher’s practice. Therefore, these activities could have been perceived by the teacher as taking too much time on something that the students will not reuse rather than as an opportunity to remedy to some students’ difficulties in algebra. Indeed, from the first activities that followed the tree re-gister introductory session it was clear that the students had not manage to grasp this new register. In spite of that, the teacher, bound by her experimental contract, kept progressing through the activities of the scenario without being concerned by the students’ difficulties. Thus the institutional context has to be taken into account in the analysis and interpretation of the results coming from the experimentations.

Received November 2008 Accepted February 2009

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Appendix Introduction of the tree register of representation of algebraic expressions Phase

Actor

Description of the task

Situation

Tools

Duration

Teacher and students

The teacher opens a new Aplusix file, enters the expression xy and chooses Mixed representation mode. S/he announces that s/he will convert the usual representation into a tree representation. S/he clicks on the “” button beside the expression, the representation is developed into a tree. The teacher questions the students: How the tree has been created? Where is the operator? Where are the arguments? S/he synthesizes the students’ propositions and reads the expression as “the sum of x and y”.

Aplusix video projected. Collective to observe and comment the way a tree is created.

Aplusix, video projector

5 min.

2

Teacher and students

The teacher opens a new Aplusix file, enters the expression xy2z, chooses Mixed representation mode. S/he asks the students to anticipate the structure of the tree representing the expression. The students draw their propositions on the blackboard. The propositions are discussed in the class and eventually validated by using Aplusix (each step is commented: What is the first operator? Why? What are the arguments?). A synthesis is done collectively and the expression is read “the sum of x, y and the product of 2 by z”.

Aplusix video projected. Collective to observe, anticipate the structure and comment the way the tree is created

Aplusix, video projector

15 min.

3

Teacher and students

Same activity with the expression (x3)(xy).

Collective

Aplusix, video projector

15 min.

4

Teacher and students

Same activity with the expression 2x1 . x23

Collective

Aplusix, video projector

15 min.

Institutionalisation: structure of a tree representing an algebraic expression, related vocabulary (tree, root, branch, leave, operator, argument)

Collective

1

5

Teacher

5 min

Source: Own elaboration.

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* Mario Sánchez Aguilar**

Abstract This paper examines the computer mediated asynchronous interaction of a group of in-service mathematics teachers who are exchanging their points of view on the solution of a mathematical activity. These teachers are enrolled in a master’s degree program in mathematics education. Based on the analysis of the interaction, it is argued that this group of teachers accomplished a dialogue (as defined in Alrø & Skovsmose, 2002), which helps to produce a positive change in some of the mathematical ideas of one of the participants in the dialogue. The analysis illustrates how the involvement of the teacher educator in the interaction may have an influence capable of breaking the dialogue established between the teachers.

Keywords Mathematics teacher education, eLearning, interaction, communication, dialogue, critical learning.

Sur la fragilité d’un dialogue basé sur l’Internet a Résumé Cette étude examine l’interaction asynchrone médiatisée par ordinateur d’un groupe de mathématiques en service des enseignants qui échangent leurs points de vue sur la solution d’une activité mathématique. Ces enseignants sont inscrits dans un programme de maîtrise en enseignement des mathématiques. Sur la base de l’analyse de l’interaction, il est affirmé que le groupe d’enseignants a accompli un dialogue (tels que définis dans Alrø & Skovsmose, 2002), ce qui contribue à produire un changement positif dans certains des idées mathématiques de l’un des participants à la dialogue. L’analyse montre comment l’implication de l’enseignant, éducateur dans l’interaction mais ont une influence capable de rompre le dialogue établi entre les enseignants.

Mots-clefs Mathématiques de formation des enseignants, l’apprentissage, l’interaction, la communication, le dialogue, la critique d’apprentissage.

Sobre la fragilidad de un diálogo basado en internet b Resumen En este artículo se examina la interacción asincrónica mediada por computadora entre un grupo de docentes de matemáticas en servicio —inscrito en la maestría de matemática educativa— que intercambia puntos de vista sobre la solución de una actividad. Con base en el análisis de la interacción, se argumenta que el grupo establece un diálogo —en el sentido de Alrø & Skovsmose, 2002—, que contribuye al cambio positivo en algunas de las ideas matemáticas de uno de los participantes. El análisis ilustra que la participación del formador de profesores en la interacción puede ejercer una influencia capaz de romper el diálogo establecido entre los docentes.

Palabras clave Formación de profesores de matemáticas, educación a distancia, interacción, comunicación, diálogo, aprendizaje crítico.

*

This work was supported by the Programme Alβan, the European Union Programme of High Level Scholarships for Latin America, scholarship N° E06D101377MX. ** Bachelor degree in mathematics from the Universidad de Guadalajara (UdeG), and master degree in mathematics education from the Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav-IPN) in Mexico. Member of the technical coordination team of the international journal Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa (RELIME). Associated member of the Latin-American Committee of Mathematics Education (CLAME). He is part of the research team of the mathematics education program of the Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada (CICATA) in Mexico. He is an academical advisor for the company Casio Computer Co., Ltd. Currently he is doing his PhD studies at Roskilde University in Denmark. E-mail: [email protected] a Ce travail a été soutenu par le Programme Alβan, l'Union européenne du Programme de bourses de haut niveau pour l'Amérique latine, les bourses d'études N° E06D101377MX. b Con el apoyo del Programa Alβan, Programa de Becas de Alto Nivel de la Unión Europea para América Latina, beca núm. E06D101377MX.

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Introduction This report is part of the PhD research project entitled How to stimulate rich interactions and reflections in internetbased mathematics teacher education? that is currently being developed at the University of Roskilde in Denmark. All the empirical data used in this project, have been taken from an nternet-based mathematics education program called Prome-Cicata. This is a program that offers Master’s and PhD studies to in-service mathematics teachers from different Latin American countries, and working in different educational levels —basic, lower secondary, upper secondary and university level. This educational program is sponsored by the Instituto Politécnico Nacional of México, one of the largest public universities in Mexico.1 In general, the Prome-Cicata program aims at introducing in-service mathematics teachers to the academic field of mathematics education. To introduce the teachers to the mathematics education theories, its research methods and results, is a way of providing them with a set of “lenses”. A basic assumption of the program is that those lenses will allow them to revisit and to have a new view of their own school mathematics culture, the one constituted by their understanding and beliefs about the content that they teach, their students, their role as educators in society, about their institution. The way of introducing teachers to the mathematics education field is closely linked to a communication process; that is to say, Prome-Cicata’s way of delivering the math education lenses to the teachers is through readings, mathematical activities, video and audio files, that should be analyzed and/or solved, but also discussed, criticized and reflected upon it. This introduction process —or enculturation process— is not a straightforward one. It is common to find resistance, skepticism and doubts among teachers. It is necessary then to open channels of communication and interaction that will allow us to express, to share, to compare, to criticize and to be aware of our ideas and feelings. As Cooney (1994, p. 109), affirms: [O]ur beliefs about teaching are shaped by social situations and therefore can only be reshaped by social situations. Hence, communication and interaction become key elements of this process. Thus, although in general it can be argued that my project wants to increase our knowledge about how to foster “rich” interactions in the educational setting previously described, it is necessary to clarify the aim of this paper in more precise terms. In the next section I shall talk about the theoretical framework that I used to structure my research project, as well as this writing.

Theoretical framework The empirical data for this research project are mainly constituted by the registers of asynchronous interactions teachers and teacher educators. An asynchronous interac1

tion is the one that is carried out mainly by means of an exchange of written messages between two or more people, but where the feedback and reactions to the messages are not immediate. The asynchronous interactions usually last several days, allowing participants to have more time to formulate their opinions and to reflect on comments and opinions expressed by the other participants. It is even possible to consult external sources in order to enrich and clarify a discussion in an asynchronous communication. The email messages and the discussion forums are some examples of asynchronous communication. Those asynchronous interactions have been analyzed using the Inquiry Co-operation model (IC-Model), of Alrø & Skovsmose (2002). The model, strongly rooted in the critical mathematics education approach (Skovsmose, 1994), argues that in order to have a fruitful interaction, it should be based on mutual respect, on the willingness to make public our ideas and subject them to scrutiny, as well as in a real interest to listen and analyze our interlocutor’s ideas. The IC-Model is constituted by a set of communicative characteristics. According to this theoretical approach, an interaction as the previously described should have several of these communicative characteristics. In fact when those characteristics are present in an interaction, it is regarded as a special kind of interaction called dialogue that possesses the potential to serve as a basis for critical learning and reflection. Because I am working with non-novice teachers, who have a certain vision about their school mathematics culture, it is desirable to establish dialogues with them and among them, to explain and to identify different ideas and beliefs about their mathematical culture, to reflect upon them, and to make a critical reading of them. The communicative characteristics that define a dialogue are getting in contact, locating, identifying, advocating, thinking aloud, reformulating, challenging and evaluating; and they could be succinctly defined as follows: [G]etting in contact involves inquiring questions, paying attention, tag questions, mutual confirmation, support and humour. Locating has been specified with the clues of inquiring, wondering, widening and clarifying questions, zooming in, check-questions, examining possibilities and hypothetical questions. Identifying involves questions of explanation and justification and crystallizing mathematical ideas. Advocating is crucial to the particular trying out of possible justifications, and it is closely related to arguing and considering. Thinking aloud often occurs as hypothetical questions and expression of thoughts and feelings. Reformulating can occur as paraphrasing, completing of utterances and staying in contact. Challenging can be made through hypothetical questions, examining new possibilities, clarifying perspectives, and it can be a turning point of investigation. Evaluating implies constructive feedback, support and critique (Alrø & Skovsmose, 2002, p. 110).

More information about this in-service mathematics education program can be found in: http://www.matedu.cicata.ipn.mx

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It is important to clarify that the theoretical concept of dialogue is not used as a synonym for rich interaction. The richness of an interaction can be measured in terms of the kind of reflections that it produces. If the reflections produced during an interaction helps the teacher —or even the teacher educator— to understand, identify, explain or criticize any element of its own school mathematics culture, then it can be regarded as rich. Other analysis of asynchronous interactions between inservice mathematics teachers that I have made prior to the preparation of this writing (Sanchez, 2008), suggests that an interaction that is modulated by a dialogue may work as a basis for the emergence of such reflections. The data that I will show in this writing are an addition to the empirical evidence that supports this hypothesis. This writing presents an analysis of an asynchronous interaction using the so-called IC-Model (Alrø & Skovsmose, 2002). In this interaction a group of teachers are exchanging their views on a mathematical activity to which they have been exposed. In the interaction is also involved a teacher educator, who is in charge of guiding and moderating the discussion. It will be shown that the asynchronous interaction analyzed possesses some of the communicative characteristics of a dialogue; second, it will be argued that the interaction can be regarded as “rich” because the sort of reflections that appear in it; and third, it will be also shown that the involvement of a teacher educator in the interaction can be a decisive factor in maintaining the dialogue.

them to acquire, at least in an intuitive way, some mathematical concepts or notions. In the particular case of the activity A1, it refers to the possibility of connecting notions such as velocity or acceleration to the shapes of a graph in the Cartesian coordinate system, which represents the movement of a body over time. The activity A1 has a note of reflection format, that is to say, it is a written case of a fictitious classroom event arranged around a mathematical question or activity. Although this is a school episode that has not happened in reality, the answers that the “imaginary” students provide have been inspired by real teaching experiences or have been taken from experimental data included in some regional research thesis or research reports —see Sánchez, en prensa, for a more detailed description and discussion of this sort of didactical design. The activity shows a set of six graphs (figure 1) that a teacher showed to her students after they watch the video called V1. This video shows a person who is illustrating how a motion sensor, connected to a graphic calculator, produces graphs which represent the movement of a body.2

Figure 1 Graphs included in the mathematical activity applied.

Methodology All the details on the methodology implemented to generate the data will be listed in this section of writing. Different aspects of the production and collection of data such as the mathematical activity applied, the selected population, the collection and presentation of the data are mentioned here. The data that used in this study were taken from one of the Master’s courses of the Prome-Cicata program. The course was taught between March and April 2008. The course was an introduction to the teaching and learning of mathematical modeling, and its aim was to reflect on the modeling process, its relevance in the teaching and learning of mathematics, and its potential implementation difficulties. The author of this paper participated in this course as a designer and coordinator, as well as a teacher educator.

The mathematical activity Several mathematical tasks were designed to try to meet the aims of the course. The first of those activities, called A1, was aimed at illustrating the possibility of providing mathematics students with modeling activities —in this case supported by the use of technology— that allow 2

Source: Own elaboration.

It is important to watch the video V1 in order to fully understand the context in which the interaction between teachers takes place. Video V1 is available at https://bscw.ruc.dk/pub/bscw.cgi/21056220

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After watching this video, the teacher asked her imaginary students —called Chuy and Mauricio— how should they move themselves in order to be able to produce with the motion sensor each of the six graphs that she was showing them. The responses of the students are included in the note of reflection. In turn, in-service teachers should watch the video V1, and then to evaluate the responses made by Chuy and Mauricio, in other words, they had to decide whether the answers were correct and to argue why. Teachers should send their evaluations by email to the coordinator of the course. Some of the graphs included in the activity A1 can be difficult to interpret. Studies such as the one conducted by Dolores, Alarcón and Albarrán (2002), reported that the assignment of a physical meaning to graphs such as the number 5 (figure 1) can be a complicated task for some mathematics students and even for teachers. This sort of graphs were included in the activity to meet one of the implicit aims of the note of reflection, namely, locating the teachers with difficulties in reading or interpreting graphs of the type time-distance that represents the motion of a body over time. Asking the teachers to evaluate the responses of Chuy and Mauricio was an indirect way of knowing their interpretations about the kind of movement represented in the graphs. When teacher’s evaluations were received by email, they were classified according to their responses and afterwards some heterogeneous working groups were constituted, i.e. working groups where the members had different views about how the graphs could be produced by using the motion sensor. Those heterogeneous working groups were set up to try to promote discussion and interaction: opinion heterogeneity has been pointed out as a contributing factor to the computer mediated dialogue (de Vries, Lund & Baker, 2002; and McGraw et al. 2007).

Selected population Each working group discussed the content of the activity A1 in an asynchronous forum that lasted six days. The discussion within each forum —there was a forum for each working group— was moderated and guided by a teacher educator. All the teachers who participated in the activity did it willingly, because they were informed at the beginning of the course that this activity was not part of their final grade for the course. Some groups were tracked. Those groups where at least one teacher with difficulties in interpreting some of the Cartesian graphs, expressed his or her opinion or doubts about this issue in the discussion forum. The analysis was then focused on observing the reaction of their peers and the development of the asynchronous discussion. In this writing it will be presented only the analysis of the interaction within one of those groups. In the interaction three teachers and one teacher educator were involved: Alberto who is a Mexican teacher teaching mathematics at upper and lower secondary level; Su-

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sana is an Argentinean mathematics teacher who works in upper secondary and University level; Mariana who is also a teacher from Argentina who works in upper secondary level and is also a teacher educator in her home country; and last but not least, Graciela the teacher educator assigned to this group, she is a young mathematics educator researcher who recently has integrated to the teacher educators staff of the Prome-Cicata.

Data collecting and data presentation One of the characteristics of the computer mediated communication is that it can be easily recorded, stored and shared. This feature represents a significant advantage for educational research, because the need of making transcriptions disappears. In this work for instance, are being studied some of the written asynchronous discussions produced in an internet-based educational program; those discussions are permanently recorded and accessible on the internet-based workspace, ready to be analyzed. These asynchronous discussions may be composed of dozens of utterances. Due to space reasons, it will not be possible to present the complete interaction, but only those sections of it that are considered most significant and illustrative. It will be used bracketed ellipsis [...] to denote the omission of certain segments of text; this edition was made for the sake of brevity and to increase the readability of the data. The data presented has been translated from Spanish into English; moreover, the original names of the teachers and the teacher educator involved in the interaction have been replaced to protect their identity. During the application of the IC-Model to the analysis of the interaction, each of the utterances that constitute the interaction have been labeled with the names of the communicative acts that define the ICModel. To facilitate its identification, those labels are written using italics.

Results As it was expected, the graph that proved to be more difficult to interpret was the graph number 5. This is a graphical representation of a functional relationship that is not possible to translate into physical or mathematical terms. In physical terms it would be necessary to have a body occupying different positions in space in a single instant of time. In mathematical terms one can argue that the graph 5 can not represent a real function in one variable, because there is an element of the domain of the function which corresponds with more than one element of the codomain. In the note of reflection, the ‘imaginary’ students Chuy y Mauricio said that this was the way in which a person should move to produce such graph: Chuy: In graph number 5 the person should move away from the wall with a constant time. Mauricio: In the fifth graph the person should change his position with an infinite velocity.

The sixth graph also caused some difficulties. In mathematical terms, this graph represents a constant function where f(x) > 0 for all x in the domain of the function. In the context were the video V1 takes place, this graph could be generated by standing a little away from the wall, and holding the motion sensor without changing position or making any movement. Chuy and Mauricio think that the sixth graph can be generated in this way: Chuy: In the sixth graph the movement should be horizontal in order to have the same distance, but keeping the time running. Mauricio: In the last graph, a person walks toward a wall and just before reaching it, the person turns to the right and walks with a variable time and a constant distance. It is important to remember that the answers of these imaginary students were originally produced by real mathematics in-service teachers, who were previously confronted with these graphs. Those teachers did not participate in this course. In turn, Alberto in his individual assessment of the responses of Chuy and Mauricio said the following: Regarding graph 5: Chuy is right when he says that the person is moving away, but not when he says with a constant time. On the other hand Mauricio talks about an ‘infinite velocity’, maybe he means that he does it very fast and this coincide with the graph. Regarding graph 6: Both notice that there is a movement, but the graph only shows the person “unmoving” and the time running (without moving). Apparently, Alberto thinks that it is possible to produce the graph number 5, however, from the previous quote is not possible to determine what he thinks about how the person should move to produce it. The analysis that it will be shown next it focuses in the moment when Alberto exposes his previously mentioned interpretations in the asynchronous discussion forum. The analysis also includes the reaction of his colleagues to these comments. The interaction analysis When the first discussion forum started, the first discussion topic was the one introduced by Alberto. He repeated the answers from his individual solution to the activity, but adding some comments to it: (1) Topic: The first contribution From: Alberto Date: thursday, the 27th of march 2008, 10:05 [...] Graph 5. Chuy is right by saying that the person is moving away, but not when he says with a constant time. On the other hand MAURICIO talks about an “infinite velocity”, maybe he means that he does it very fast and this coincide with the graph. Did he jump? Graph 6. Chuy and Mauricio notice that there is a

movement, but the graph only shows the person “unmoving” and the time running (without doing any movement). I will wait for your comments that always are so valuable, to enrich this forum. Best regards! Alberto As mentioned before, it seems that Alberto thinks that is possible to produce the graph number 5 if a person moves very quickly or jumps; but is not possible to physically produce this graph using the motion sensor, neither is mathematically coherent. Graph number 5 cannot represent a mathematical function. To express our ideas and beliefs about a topic in an open way —as Alberto does— is regarded as a thinking aloud communicative act. The first reaction to Alberto’s comment was produced by Susana. She did not agree with Alberto’s ideas: (2) Topic: Re: The first contribution From: Susana Date: thursday, the 27th of march 2008, 12:27 [...] Graph 5. Here you will notice that I disagree with you Alberto because the explanation given by Chuy sets up an impossible situation, because is not possible for a person to be in different places at the same instant t, I mean to be away and close from the wall at the same time. Is not a mathematical function, and it does not make sense physically. […] Graph 6. In this last graph, Chuy does not consider the person without doing any movement, thus when time runs the distance does not change, because the person is located at certain distance from the wall, and because there is no movement the motion sensor does not register any variation. What I did not understand is when Mauricio says “just before reaching it, the person turns to the right and walks with a variable time and a constant distance”, nevertheless it is valid to think it as walking in a parallel way to the wall even though the sensitivity of the motion sensor will show some variation. If some of you can explain me Mauricio’s comment I will be grateful because I don’t understand. […] Susana In (2) Susana is getting in contact with Alberto, that is to say, she makes explicit reference to Alberto’s comments and she makes some remarks about it. In fact some of these remarks could be viewed as an evaluative act, because she points out and explains why she does not agree with Alberto’s interpretation of graph number five. After Susana’s participation, Mariana joined the discussion: (3) Topic: Re: The first contribution From: Mariana

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Date: thursday, the 27th of march 2008, 15:47 Hello Alberto and Susana… I have read your comments regarding graph 5, in my opinion both students don’t give the right answer, this position is similar to your answer Susana. The idea of giving a big jump will not be represented by a vertical segment; in this case it would have a negative slope, with an angle very close to a right angle but never perpendicular to the X axis. Besides we can ask what does Mauricio means with an infinite velocity? Infinitely fast or infinitely slow? […] Mariana 4) Topic: Re: The first contribution From: Mariana Date: thursday, the 27th of march 2008, 15:55 Colleagues, another comment, but now regarding the last graph. It is true, the faster answer is to say that there is no movement but we cannot say it categorically, with the imposed conditions we can only say that the sensor does not register any movement having the wall as a reference. According to the graph it is possible to think in two options, the person stays without movement in a place away from the wall or he walks the distance in a parallel way but taking care of keeping the motion sensor focused on the wall and not on the place where he is walking to, but in reality this walk will produce a small disruption in the graph generated by the sensor, but in theory we can accept this possibility by ignoring external modifications, it is possible that the subject keeps the balance and walks exactly in a straight line, always keeping the sensor focused on the wall. Mariana In her utterances (3) and (4) Mariana is also getting in contact with Alberto and Susana. In an evaluative act, she rejected the idea of the jump suggested by Alberto for the graph number 5, and in (4) she accepts as valid the two physical interpretations that have been made for the sixth graph. It is important to note that so far, Susana and Mariana have kept the contact with Alberto by ‘listening’ and analyzing his comments. Both teachers have shown, through evaluative acts, the reasons why they do not agree with the initial stance of Alberto where he said that Chuy’s interpretation of graph 5 was correct (utterance 1). It could be argued that this disposition to listen, to analyze and to evaluate Alberto’s ideas is an indicator that these teachers have established a dialogue and, that the comments offered by Susana and Mariana, constituted a good reflection opportunity for Alberto; an opportunity to review his own comments and ideas and to try to verify its validity. It is possible to confirm this last assertion by looking at Alberto’s reaction to those evaluative acts.

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In another discussion topic that he started in the same discussion forum, Alberto said: (5) Topic: Graph 5 From: Alberto Date: thursday, the 27th of march 2008, 19:19 Hello everybody Reflecting on graph 5, it does not make sense physically… and theoretically it would be impossible. We can see that the slope of the straight line is indefinite, because it reaches a value of 90º. Taking the slope formula as velocity for this graphs, distance versus time, we have V=m=(d2—d1)/(t2— t1). Graphically we can see that there is a displacement, but time doesn’t change, it is the same, so: t2—t1=0. Carrying out the division, we have that: V=m=(d2—d1)/0, and this is indefinite. Therefore, I think there is no a behavior with the “motion sensor” that could produce a graph like this one. What do you think colleagues? Best regards Alberto Stimulated by the evaluative acts of Susana and Mariana, Alberto somehow changed his mind regarding graph 5. Probably Alberto identified the mathematical structure of the situation, noticing the impossibility of producing a function whose graphical representation is like the one presented in graph number 5. Interestingly, Alberto is not the only one who seems to have discovered something new; Susana in (6) is locating another way to justify in mathematical terms that the graph number 5 is not possible to produce: (6) Topic: Re: Graph 5 From: Susana Date: thursday, the 27th of march 2008, 21:48 Alberto: Of course I agree with your way of analyzing the situation, I had not thought it from a theoretical point of view taking into account the concept of average velocity and the variations of time and distance. This because I thought that using the concept of mathematical function would be enough, because it is not a function since for a t value you have more than one ordinate value. What do you think colleagues? As always your comments and different point of views are welcome. [...] Susana So far, this interaction could be considered as a rich one. Alberto started the discussion in (1) evidencing a not accurate physical interpretation of the graph number 5; Alberto fortunately got the attention and criticism of his colleagues that, according to my interpretation, it helped Alberto to revise his initial idea and express an

adjustment to it in (5). Although the intervention number (5) suggested that Alberto has understood that it is not possible to consider graph number 5 as a representation of a real function in one variable, his interpretation of the sixth graph was not free of difficulties. In an earlier statement, Alberto used the formula v = d/t as a basis for evaluating one of the ideas put forward by Susana in (2) with respect to the sixth graph: (7) Topic: Re: The first contribution From: Alberto Date: thursday, the 27th of march 2008, 18:58 Hello Susana Regarding graph 6, you said “it is valid to think it as walking in a parallel way to the wall even though the sensitivity of the motion sensor will show some variation”. I think your idea is not valid, because we can see that the slope of the straight line is equal to zero, as well as its velocity. Let’s suppose that he doesn’t move. Then in a time t the person has a distance d=0; and for V=d/t we will have V=0/t, and the result will be V=0. Now, taking your idea and supposing that there is a displacement of the person (parallel to the wall), the velocity (V=d/t) would be different from zero and the slope would have certain inclination although small. What do you think colleagues? Best regards! Alberto Even though Alberto’s comment was explicitly directed to Susana, Mariana gets in contact with Alberto and challenge him with regard to his argumentation, in other words, she is trying to show him that there is an alternative way to interpret the graph: (8) Topic: Re: The first contribution From: Mariana Date: thursday, the 27th of march 2008, 19:29 Alberto: first of all in graph 6 distance is not zero but constant, thus the two options are valid: to stay without movement or to walk in a parallel way to the wall. The motion sensor registers, let’s say it like this, the movement between to walls of a room, but it doesn’t register subject’s movements towards other directions like the lateral walls. If the person could levitate he could move towards the roof and the motion sensor will register a constant distance. We can expect that the sensor will register some variations in the case of walking laterally, but it depends on its sensitivity. I don’t know what Susana thinks, because I meddle in this comment. Mariana Susana also contributes to the discussion about the interpretation of the sixth graph by getting in contact with

Mariana and Alberto, but particularly by evaluating Alberto’s argument: (9) Topic: Re: The first contribution From: Susana Date: thursday, the 27th of march 2008, 21:37 Hello Alberto, as Mariana said (there is no problem with your intervention) distance is not zero, but the variation in the position is zero -distance is constant-. You are right when you think that the average velocity of the movement is the quotient of position variation by time[.] [B]ecause that variation is zero over time then the average velocity is zero, meaning that there was no movement. The other option of having a parallel displacement is weird but you are right by saying that it would produce a slope in the straight line [...] Is it my answer clear? [...] Susana A plausible interpretation here is that both Susan and Mariana accepted that the sixth graph can be generated by having a person standing in front of a wall, without doing any movement but focusing the motion sensor to a fixed point on the wall. However, they also have seen another way to produce the same graph: by performing a parallel movement to the wall where the sensor is aiming at. Apparently, this second possibility is not so obvious to Alberto who in (10) attempts to reformulate his position, that is, to repeat what he has just said but maybe in slightly different words (Alrø & Skovsmose, 2002, p. 108): (10) Topic: Re: The first contribution From: Alberto Date: thursday, the 27th of march 2008, 23:04 Susana, Moni, colleagues… Being in a coordinate system (as I stressed) distance versus time, obviously I’m talking about the distance that the person covers as time goes by. To avoid confusion, I will call displacement to the movement that a person does (vertical axis) and I will set out again the idea: When time is running the displacement is the same, in other words, the person does not move and, therefore, his velocity is zero because the slope is also equal to zero. That is to say, in a time t, person’s displacement is d=0 , then taking the formula V=d/t we will have V=0/t, and then V=0. I hope I have clarified the ambiguity, I wish you a pleasant friday. Alberto One could say that at this point in the interaction, Alberto has not located the other way to interpret the graph 6 that his colleagues Susana and Mariana have located, namely, that at least hypothetically and in the context

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in which the video V1 takes place, it would be possible to make a movevement parallel to the wall to produce such a graph. One hypothesis, based on previous observations of interactions between in-service teachers (Sánchez, 2008), is that the communicative acts such as evaluating and challenging in a dialogue, are elements that promote reflection and the revision of ideas of whom is being evaluated and challenged. If Susana and Mariana had continued the dialogue with Alberto it may have helped him to locate the alternative interpretation of the sixth graph, but as will be shown right away, the participation of a teacher educator in the interaction can be a determinant factor in maintaining a dialogue. Graciela, the teacher educator in charge of coordinating the interaction within this group of teachers, contributed to the discussion of the interpretation of the graphs with the following comment: (11) Topic: The rol of technology From: Graciela Date: friday, the 28th of march 2008, 09:55 Everybody’s attention is attracted by the physical impossibility (real) of graph 5. Nevertheless we can “force” technology (particularly these sensors and also the calculators) to produce a vertical line. Something similar will happen with discontinuous functions. This makes me ask for your opinion about the role of technology in this modeling process. If we consider that from reality we go to a model and then to an analysis, what is the role of technology? After this remark teacher’s attention and the discussion itself was redirected, that is, the dialogue between Susana, Mariana and Alberto was interrupted in order to meet the new topic proposed by the teacher educator, namely, the role of technology in a mathematical modeling process. Probably at the time of her participation in (11), Graciela did not prevent that her participation could become a kind of disruption to the dialogical interaction that had emerged among the teachers. In fact, Graciela’s behavior could be better understood if a broader context of analysis is considered: before and after each forum, the teachers educators who participated in this course talked and exchanged their impressions —using email or internet-based audio communication— on the aims or purposes that should be pursued by each forum and activity. In one of the emails that was sent to the teachers educators who participated in the course (including Graciela), it was suggested that some of the aspects that could be addressed during this forum might be: We can make some critiques to the sort of modeling activity described in A1 (using technology, analyzing the graphical representations of displacement vs. time), for example: If we agree that in general, a modeling process is a cycle having the form reality-model-analysis and re-

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sults-reality. What is the role that this sort of [technological] devices plays in this modeling process? Thus, although one could argue that the participation of Graciela was guided or motivated by the goals of the forum previously agreed by the teachers educators, what is relevant to emphasize here is how fragile the permanence of a dialogue can be and the considerable influence that the authority of the teacher educator can exert in the conservation of a dialogue.

Conclusions The interaction in which Susana, Mariana and Alberto participated can be viewed as a dialogue, as defined in Alrø & Skovsmose (2002), as the participants of the interaction were willing to express in public their ideas on the mathematical activity, and also were continuously paying attention to the ideas of the others but also evaluating and criticizing them, in an environment modulated by tolerance and respect. When the participants of an interaction are able to establish a dialogue, it can serve as a basis for the emergence of rich reflections that can provide the participants with opportunities to identify and review their ideas and conceptions, and in some cases, to modify them in a positive way. This was the case of Alberto, who was driven by the evaluative and challenging acts of Susana and Mariana, and apparently changed his initial conception on the graph number 5 understanding that the graph did not make sense in a mathematical context (utterance number 5). In fact one of the hypothesis that emerge from this analysis, and that match previous findings (Sanchez, 2008), is that the communicative acts evaluating and challenging play a key role in a dialogue. It is claimed that these communicative acts are elements that are necessary not only for the validation of our ideas and thoughts, but they also contribute to its consolidation and development, they may even give rise to new ideas or to a modification of the original ideas. Another important point in this writing is the potential impact of the teacher educator in the permanence of a dialogue. Teacher educators should be aware that very often, their interventions in an interaction which teachers are burdened with an implicit authority assigned by the teachers. Teachers pay particular attention to the comments, ideas, proposals and criticism posted by teacher educators and often this attention is bigger than the one that the teachers pay to their fellow teachers’ comments. It is possible to find an explanation for this phenomenon if is accepted that there is a kind of didactical contract among teacher educators and teachers, where the teacher educator holds a status of expert and authority that teachers recognized as such. This raises an asymmetrical relationship between teachers and teacher educators that can be an obstacle to the establishment and

permanence of a dialogue because, as claimed by Alrø & Skovsmose (2002, p. 124): A dialogue is based on the principle of equality […] A dialogue cannot be modulated by the roles (and the power associated with these roles) of the persons participanting in the dialogue. The previously presented data has illustrated how the teachers are leaving the dialogue established with Alberto, just to follow the course of the discussion framed by Graciela. This is an example of how inequality —to prioritize the ideas of one of the participants in the interaction— can lead to a breakdown in a dialogue. However, is not possible to deny that the relationship between teachers and teacher educators is somewhat unequal. The knowledge that both groups possess are different and the interest to learn and to share that knowledge is what gives meaning to the academic relationship teacher-teacher educator, but how then maintain equality in such an asymmetrical relationship? According to Rogers (1962, 1994), quoted in Alrø & Skovsmose (2002, pp. 125-126), particular qualities of contact are important in order to maintain equality in an asymmetrical relationship: congruence, empathy and positive regard. Being congruent means being genuine without any front or facade. The facilitator’s thoughts and feelings should be consistent with his way of acting, and this should be obvious to him or herself and to the other person. Congruence stands for transparency and genuineness […] Empathy means that the facilitator tries to understand the other’s person’s world as if were his or her own […] The third condition is positive regard. In order to be able to help another person you have to accept and to respect him or her and as a(nother) person. This implies respecting the otherness of the other without intending to change him or her as a person. It is necessary for teachers and teacher educators to be aware that the quality of communication between them has implications on the quality of knowledge and professional development that they get through this communication. In this work, a set of interpretations and hypotheses was presented with the aim of initiating a dialogue with teachers and teacher educators, about the possible routes that could be explored to try to improve the quality of the mathematical education that is offered and received, and that hopefully will be positively reflected in the quality of education that the students receive in the mathematics classroom.

Bibliography Alrø, Helle & Skovsmose, Ole, Dialogue and learning in mathematics education. Intention, reflection, critique, The Netherlands, 2002, Kluwer. Dolores, Crisólogo, Gabriel Alarcón, & Delia Daustina Albarrán, “Concepciones alternativas sobre las gráficas cartesianas del movimiento: el caso de la velocidad y la trayectoria”, Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, vol. 5, num. 3, 2002, CLAME, pp. 225-250. Cooney, Thomas J., “On the application of science to teaching and teacher education” in R. Biehler, R.W. Scholz, R. Sträßer & B. Winkelmann (Eds.), Didactics of mathematics as a scientific discipline, The Netherlands, 1994, Kluwer. de Vries, Erica, Kristine Lund & Michael Baker, “Computer-mediated epistemic dialogue: explanation and argumentation as vehicles for understanding scientific notions”, The Journal of the Learning Sciences, vol. 11, num. 1, 2002, ISLS, pp. 63-103. McGraw, Rebecca, Kathleen Lynch, Yusuf Koc, Ayfer Budak & Catherine A. Brown, “The multimedia case as a tool for professional development: an analysis of online and face-to-face interaction among mathematics pre-service teachers, in-service teachers, mathematicians, and mathematics teacher educators”, Journal of Mathematics Teacher Education vol. 10, 2007, Springer, pp. 95-121. Rogers, Carl, “The interpersonal relationship: the core of guidance”, Harvard Educational Review, vol. 32, num. 4, 1962, Harvard education, pp. 416-429. Rogers, Carl, Freedom to Learn, New York, 1994, Macmillan College Publishing Company. Sánchez, Mario, “Dialogue among in-service teachers in an internet-based mathematics education program” in N. Bednarz, D. Fiorentini & R. Huang (Eds.), The professional development of mathematics teachers: experiences and approaches developed in different countries, Canada, en prensa, Ottawa University Press. Sánchez, Mario, Internet-based dialogue: a basis for reflection in an in-service mathematics teacher education program, Manuscript submitted for publication, 2008, https://bscw.ruc.dk/pub/bscw.cgi/23746531

Received November 2008 Accepted February 2009

Skovsmose, Ole, Towards a philosophy of critical mathematics education, The Netherlands, 1994, Kluwer.

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El uso de la modelación en la enseñanza de las matemáticas* María Trigueros Gaisman*

Resumen Mucho se ha hablado en los últimos años de la enseñanza de las matemáticas a través de la modelación, pero ¿qué significa exactamente esto? En este artículo se presenta algunas posturas acerca del uso de la modelación en el aula, así como los resultados de ciertas experiencias específicas de su aplicación en la enseñanza universitaria, por lo que se da cuenta de las posibilidades y limitaciones de esta metodología de enseñanza.

Palabras clave Modelación matemática, enseñanza, universidad, algebra lineal, ecuaciones diferenciales.

Teaching mathematics using models and modeling Abstract Much attention has been devoted in the last few years to the introduction of modelling to mathematics teaching, but, what exactly is understood by modeling? In this paper we present some diffe-rent positions about the use of mathematical modeling in the classroom; we also present the results of some specific experiences where modeling was used to teach mathematics at the university level. We profit from the description of those experiences to discuss the possibilities and limitation of the use of modeling in the mathematics classroom.

Keywords Mathematics modeling, teaching, university, lineal algebra, differential equations.

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La realización de este trabajo fue posible gracias al apoyo de la Asociación Mexicana de Cultura, A.C. El trabajo de investigación fue realizado gracias al apoyo de los profesores del ITAM Gustavo Preciado, Edgar Possani, Ma. Dolores Lozano, Carmen López y Javier Alfaro. ** Licenciada, maestra y doctora en física por la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM); tesis doctoral en física en la Universidad de California Berkeley; doctorado en educación por la Universidad Complutense de Madrid; posdoctorado en investigación en enseñanza de las ciencias y las matemáticas en el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav-IPN). Miembro del Comité Editorial de la Dirección General de Divulgación de la Ciencia, UNAM, de la Revista Educación Matemática, Santillana, y de la Revista Mexicana de Investigación Educativa. Ha sido distinguida con el reconocimiento especial por trayectoria académica, recibido en la celebración del sexagésimo aniversario del ITAM; Premio Luis Elizondo 2006, categoría científico y tecnológico, área educación, y como miembro del Consejo Consultivo de Matemáticas de la Secretaría de Educación Pública (SEP), México. Es miembro del Sistema Nacional de Investigadores (SNI) y de la Academia Mexicana de Ciencias (AMC). Es autora y coautra de varios libros, artículos especializados y de investigación. Actualmente integra los departamentos de Matemáticas y Matemáticas Educativa del Instituto Tecnológico Autónomo de México (ITAM), y del Cinvestav, respectivamente, México. E-mail: [email protected]

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Introducción Mucho se ha hablado recientemente en los círculos relacionados con la enseñanza de las matemáticas acerca de la importancia de que los conceptos se introduzcan de manera contextualizada. Se argumenta que éstos se aprenden más significativamente de esa manera, además de que muchos alumnos muestran mayor interés por la solución de problemas relacionados con su entorno que con las actividades centradas únicamente en las matemáticas. Hace tiempo que los programas de enseñanza de las matemáticas, en particular aquellos ligados con la enseñanza básica, han hecho énfasis en la importancia de la solución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas. Sin embargo, esta preocupación ha tardado más en llegar a los ámbitos universitarios, pues es en éstos en donde la enseñanza de las matemáticas es más tradicional: las clases se imparten casi siempre en forma de conferencia, introduciendo definiciones y teoremas de manera más o menos lineal y dejando el trabajo de los alumnos únicamente para la solución de problemas como tarea en casa. Ello sin importar que dicha enseñanza se dirija a alumnos cuyo interés primordial es justamente la aplicación de las matemáticas y no la matemática en sí misma. Una forma de lograr la contextualización del conocimiento es la presentación de situaciones problemáticas reales que sean factibles de representarse mediante modelos matemáticos. Los modelos matemáticos aparecen cuando se tiene la necesidad de responder preguntas específicas en situaciones reales, cuando se requiere tomar decisiones o cuando es imperativo hacer predicciones relacionadas con fenómenos naturales y sociales. El supuesto que subyace a la introducción de la modelación matemática al aula consiste en esperar que, cuando los alumnos enfrentan situaciones problemáticas de interés son capaces de explorar formas de representarlas en términos matemáticos, de explorar las relaciones que aparecen en esas representaciones, manipularlas y desarrollar ideas poderosas que se pueden canalizar hacia las matemáticas que se desea enseñar (Lehrer y Schauble, 2000; Lesh e English, 2005). Las intenciones que se asocian con la introducción de la modelación al salón de clase son loables, sin embargo, las dificultades que se pueden presentar al hacerlo son muchas y esto, a su vez, puede interferir de manera negativa si los profesores que la utilizan no tienen la formación adecuada para hacerlo. La investigación en solución de problemas ha mostrado ya las enormes dificultades que los alumnos tienen cuando intentar “traducir” al lenguaje matemático los enunciados de los problemas verbales. El caso de la modelación de situaciones reales es más complejo aún. En estas circunstancias, los estudiantes deben interpretar la situación que se les da y determinar las variables que pueden considerarse importantes para describir de manera certera el problema de interés. Requieren formular hipótesis que les permitan simplificar

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adecuadamente la situación problemática y representarla a través de funciones matemáticas. Estas funciones incluyen por lo general parámetros que admiten ajustarse a diversas situaciones que comparten una misma estructura matemática y deben manipularse, además de representarse de diversas maneras, para lograr obtener una respuesta adecuada al problema deseado. Las dificultades de los estudiantes en cada uno de los pasos señalados son enormes. En algunos casos han llevado a los investigadores a preguntarse si la enseñanza de las matemáticas por medio de la modelación requiere enseñar las matemáticas además de enseñar explícitamente las técnicas matemáticas de modelación, en cuyo caso el tiempo que insumiría un curso de esta naturaleza lo haría inviable en una institución escolar. Otros investigadores, en cambio, ponen énfasis en las bondades del uso de la modelación y en las matemáticas que los alumnos pueden aprender cuando se utiliza esta metodología de enseñanza. A pesar de que coinciden en los problemas que los estudiantes pueden enfrentar, consideran que el hecho mismo de enfrentarlos y hacerlos conscientes de ello favorece el aprendizaje. Surgen así diversas preguntas que se plantean cuando se discute la introducción de la modelación a la enseñanza de las matemáticas. Entre éstas podrían mencionarse las siguientes: ¿qué se entiende por modelación en el ámbito de la investigación en educación matemática?; ¿cómo introducir la modelación a la clase de matemáticas?; ¿se trata de una nueva forma de abordar la solución de problemas o de construir un espacio de aprendizaje de las matemáticas?; ¿qué problemas se plantean al introducir la modelación a la clase de matemáticas?; ¿de qué manera introducir la modelación para que permita la evolución de los esquemas conceptuales matemáticos de los alumnos? En este artículo se intenta dar respuesta a algunas de estas preguntas, en particular, en el nivel universitario. Para ello, en primer término, se describirá la discusión que se ha dado históricamente en torno a la idea de modelación matemática y cuáles son las posturas que se adoptan en la actualidad cuando se discute en la investigación en educación matemática la introducción de esta estrategia de enseñanza. Se describirán, en segundo término, algunas experiencias de uso de la modelación en la enseñanza del álgebra lineal y de las ecuaciones diferenciales a alumnos de distintas licenciaturas, las dificultades encontradas y la forma en que se ha optado por introducir con éxito los conceptos matemáticos a enseñar. En tercer término, se hará énfasis en la discusión de los resultados obtenidos en la experimentación con esta metodología de enseñanza para, finalmente, concluir acerca de las posibilidades de introducir la modelación como metodología de enseñanza de las matemáticas, sus ventajas y sus principales dificultades. Se intentará presentar un panorama de las implicaciones que puede tener el uso de esta metodología en el aula, en particular, con respecto al aprendizaje de las matemáticas en la universidad.

Breve reflexión histórica acerca de los modelos matemáticos De acuerdo con Israeli (1996), historiador de la ciencia, desde hace varios siglos las matemáticas además de ser, por excelencia, útiles para actuar sobre la realidad y modificarla son sobre todo un instrumento importante para comprenderla. A través de los años se ha dado un procedimiento que puede denominarse matematización de la realidad o modelación matemática que consiste en el uso de las matemáticas para describir y analizar al mundo, para desarrollar técnicas y tecnologías que intervienen sobre éste activamente. Aunque en ocasiones se utiliza el término modelación matemática de manera natural y muy general —como toda forma de descripción matemática de una clase de fenómenos— según este autor, pocas veces se considera que lo que ahora se denota por este término es una forma de matematización específica que surgió hasta el siglo XX, con ciertas peculiaridades que la distinguen de otras formas de matematización utilizadas con anterioridad. Entre estas peculiaridades se encuentran, por una parte, la renuncia a cualquier tentativa de llegar a una visión unificada de la naturaleza, dado que un modelo matemático se aplica a un “pedazo” de la realidad, y, por otra, el método de modelación por analogía matemática, en el que se considera que una forma de matematización específica unifica sólo aquellos fenómenos que puede representar, por diversos que aparentemente sean, pero no a todos los fenómenos. ¿Cómo se llegó a esta forma de intentar entender la realidad? Según Israeli la historia del uso de los modelos matemáticos para describir el mundo puede dividirse en cuatro etapas: 1. La época pitagórica en la Grecia antigua en la que se consideraba que el mundo podía describirse aplicando relaciones entre números o, dicho de otra forma, se consideraba a los números como la forma perfecta para describir al universo. En esta época el uso de las matemáticas estaba ligado a una visión de tipo religiosa y dominada por los mitos. 2. La revolución científica de Galileo impuso una visión distinta de la relación de las matemáticas con la descripción de los fenómenos naturales. Esta visión considera que las leyes que rigen a la naturaleza están escritas en lenguaje matemático y que la tarea del investigador es develar las leyes escondidas que la regulan. Este punto de vista se refuerza con la aparición del trabajo de Newton que da origen a lo que puede llamarse un programa mecanicista. 3. La visión mecanicista del universo, muy influida por la mecánica de Newton, domina el pensamiento científico por muchos años, se considera incluso, en ocasiones, que aún no ha muerto. En la concepción mecanicista todos los fenómenos del universo resultan del movimiento de los cuerpos: de alguna manera, al inicio de esta época, todos están regidos por las leyes de

la mecánica de Newton, que se expresan en términos de las matemáticas o se pueden relacionar de alguna manera con éstas. Aunque después se abandonó la relación específica con las leyes de la mecánica clásica, se preservó la idea de que la ciencia debe ofrecer una imagen unitaria y objetiva del universo. Las distintas teorías científicas deben estar relacionadas y deben ser coherentes entre sí; deben formar una construcción unitaria dentro de la cual la mecánica clásica juega un papel primordial. Las matemáticas, en esta visión, no son ni un lenguaje, ni una técnica separada de la naturaleza sino que se desprenden de ésta y están en ésta. 4. Desde principios del siglo XX, cuando la física clásica entró en crisis y hasta la actualidad, el punto de vista dominante se opone a la idea mecanicista. Se habla de modelos matemáticos o de matemáticas aplicadas, en plural, lo que niega la visión unitaria de la ciencia. Se dejó, paulatinamente, de mencionar modelos de tipo mecánico para dar lugar a formas de describir los fenómenos a partir de la analogía de las estructuras matemáticas subyacentes a éstos. Hoy el interés por la modelación matemática ha pasado a ser de sólo un dominio de quienes se dedican a las matemáticas aplicadas a un área de interés para la educación matemática. En este contexto la idea de modelación, ligada a la visión predominante en la actualidad, se reconoce fundamental en la enseñanza misma de las matemáticas. A continuación se abordará aquello que se entiende por modelación en el contexto de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

¿Qué se entiende por modelación? El uso de la modelación en la escuela se muestra de diferentes maneras según los puntos de vista desde donde se mire la didáctica y de acuerdo a los objetivos de la actividad. Actualmente hay estudios con enfoques muy variados que han sido caracterizados dentro de grupos de acuerdo a algunas perspectivas comunes (Kaiser y Sriraman, 2006). Distintas perspectivas dan lugar a diferentes visiones tanto de la aplicación de la modelación en el aula como de la investigación acerca de su uso. Todas comparten, de alguna manera, el énfasis en la utilidad de la modelación en la enseñanza de las matemáticas dado que los resultados de investigación muestran que, cuando se aprenden directamente los conceptos de las matemáticas no es fácil aplicarlos a la solución de problemas. El proceso por el cual se puede llegar a la aplicación toma bastante tiempo y, en muchas ocasiones, es necesario desarrollar algunas estrategias a fin de que los estudiantes transfieran sus conocimientos a esas aplicaciones. Se analiza a continuación algunas de las perspectivas aplicadas en términos de sus objetivos centrales respecto al uso de la modelación. Desde una perspectiva realista, el interés se enfoca en la resolución de problemas reales que tengan senti-

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do práctico para los alumnos. Se pretende que ellos desarrollen herramientas para comprender el mundo en el que viven y que entiendan cuáles son los componentes de los modelos matemáticos. Dentro de esta perspectiva también se encuentran las de modelación contextuales cuyo interés radica en la solución de problemas reales, pero con una preocupación central en la relación de este proceso de solución con el sujeto que los resuelve y con el contexto en el que el modelo se crea, para comprender la naturaleza misma del proceso de modelación y las distintas restricciones que sobre éste ejerce el medio en el que surge la necesidad de modelación. Otra perspectiva que se categoriza como modelación educativa tiene, como su nombre lo indica, un objetivo claramente pedagógico. Aquí, se pueden distinguir dos tipos de corrientes, una didáctica en la que los modelos se utilizan para estructurar y promover el proceso de aprendizaje de los alumnos, y otra que se puede considerar de carácter conceptual en la que el papel de la modelación es clave para introducir nuevos conceptos y para desarrollarlos. Por último, se menciona una perspectiva de modelación cognitiva que tiene intereses de tipo psicológico como es, por ejemplo, el análisis de los procesos mentales que tienen lugar durante la modelación. Su finalidad es comprender la forma en que se piensa cuando se usa la modelación en la solución de problemas, o bien promover los procesos de pensamiento matemático mediante el uso de modelos. Es importante mencionar que —entre los estudios que se desarrollan en estos días en torno a la modelación— es difícil encontrar ejemplos que caigan claramente en una de estas categorías. Aun cuando sea posible clasificarlos dentro de una de estas perspectivas, siempre contienen elementos que pueden considerarse como pertenecientes a otras. Seguidamente se muestran algunos ejemplos de acercamientos a la modelación matemática con el fin de ilustrar ciertas características de las distintas perspectivas. En el ámbito de la enseñanza de las matemáticas, hace aproximadamente 30 años, surgió un movimiento de reforma en Holanda que se consolidó en una postura teórica que hoy se conoce como enseñanza realista de las matemáticas. Esta postura considera a las matemáticas como una actividad humana y, como tal, se desarrolla a partir de modelos originados de situaciones en un contexto específico real, de fantasía o formal. Lo importante en esta perspectiva es que estos contextos pueden ser reales para los estudiantes. Como metodología de aplicación se presentan al estudiante situaciones en contexto con las cuales trabaja para que conforme requiera matematizar la situación y convertirla en un modelo, “reinvente” las matemáticas. Los modelos funcionan entonces como puentes que conducen hacia una mayor comprensión de las matemáticas con la finalidad de que su conocimiento progrese y evolucione. En la perspectiva de Freudenthal (1968), creador de esta teoría, si se desea que las matemáticas tengan

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valor, para los alumnos, deben estar conectadas con la realidad, permanecer cercanas a ellos y ser relevantes para la sociedad. En esta postura hay dos tipos de matematización: una horizontal que implica el proceso de partir de la situación real hacia el mundo de los símbolos, y otra vertical que describe los cambios que sufre la expresión matemática del modelo dentro del propio mundo de los símbolos (Freudenthal, 1991). A diferencia de los acercamientos de solución de problemas, en los cuales al resolver problemas los alumnos pueden aplicar lo que han aprendido antes a una situación sin contexto, en esta propuesta el contexto funciona como la fuente del proceso de aprendizaje. Conforme trabajan en ese contexto son susceptibles de desarrollar herramientas matemáticas y conocimiento. El puente entre el conocimiento informal —relacionado con una situación específica— y el formal es un paso importante. En las matemáticas realistas este paso se describe como el “modelo de” al “modelo para” (Streefland, 1985; Gravemeijer, 1994; Gravemeijer y Doorman, 1999). Esta postura teórica considera que los estudiantes son agentes activos del proceso enseñanza-aprendizaje, ellos mismos, compartiendo experiencias, desarrollan herramientas e ideas matemáticas. En otras perspectivas cercanas a la de las matemáticas realistas el uso de ejemplos auténticos —tomados de problemas de la industria o de las ciencias— juega un papel esencial. El proceso de modelación se concibe como un todo y no como algo parcial, cuyo objetivo es el desarrollo de acercamientos a la forma en que se trabaja en las matemáticas aplicadas y no el desarrollo de conceptos (Camarena, 1999 y 2000). Otra forma de ver el problema de la modelación es considerarlo como un contexto de aprendizaje en el que se invita a los alumnos a cuestionar e investigar situaciones referidas a la realidad a través del uso de las matemáticas, que les brinda una oportunidad para discutir tanto el papel de éstas en la sociedad como la naturaleza de los modelos matemáticos. Cualquier representación de la situación a través de las matemáticas se considera un modelo matemático (Barbosa, 2003 y 2006). En estas posturas, el desarrollo de competencias o conceptos pasa a segundo plano y se conciben únicamente como medios para discutir el papel de las matemáticas y de los modelos como herramientas de poder en la sociedad. La actividad de los alumnos se centra en una lectura crítica de los modelos y en notar cómo dependen del lugar en el que se producen y de la forma en que se pueden emplear. La investigación ligada a las posturas de esta naturaleza puede centrarse en el desarrollo de competencias y habilidades, con cierto énfasis en que los estudiantes conozcan la práctica de quienes desarrollan modelos de manera profesional (Haines y Couch, 2005). En contraste, hay perspectivas en las cuales además de considerar los aspectos sociales involucrados en la construcción de modelos, se intenta brindar a los alumnos oportunidades para desarrollar conceptos y procedimientos matemáticos (Zbiek y Conner, 2006). Algunos

autores de esta perspectiva han propuesto que, cuando se presenta un problema real a los estudiantes se pueden definir rutas de modelación que describen lo que ellos hacen. En estas rutas juegan un papel importante para su definición: las discusiones matemáticas que refieren a los conceptos y procedimientos matemáticos, las tecnológicas relacionadas con la forma matemática que adopta el fenómeno modelado y las discusiones reflexivas sobre la naturaleza de los modelos y de los criterios empleados en la presentación de los resultados. De acuerdo a los propósitos del profesor, es posible que una de esas componentes juegue un papel más importante que otras (Borromeo Ferri, 2006; Barbosa, 2006). Otras perspectivas dan menos importancia al hecho de que los problemas planteados a los estudiantes para modelar sean reales. Estos estudios consideran que toda la actividad matemática puede considerarse como una actividad de modelación y la describen a través de un conjunto de tareas, tecnologías, técnicas y teorías que se desarrollan conforme se trabaja en los modelos. Los autores que investigan la modelación en el aula desde esta perspectiva consideran que tanto temas extramatemáticos como temas intramatemáticos deben ser tratados en la enseñanza de las matemáticas dado que la actividad matemática no se restringe a la consideración de problemas aplicados a contextos reales. Una de estas perspectivas es la desarrollada en el ámbito de la teoría antropológica de lo didáctico (TAD), que propone que toda la actividad matemática se puede identificar con una actividad de modelación (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997), lo cual implica que la modelación no es un aspecto más de las matemáticas sino que la actividad matemática es en sí misma una actividad de modelación. Así, la preocupación central de las investigaciones en esta perspectiva no consiste en las relaciones entre las matemáticas y el mundo real u otras disciplinas, ni en la forma en la que los estudiantes pueden establecer esta relación, sino en el análisis y descripción de las condiciones y restricciones que permiten el desarrollo de lo que llaman procesos de estudio. Éstos comienzan a partir de problemas relevantes que pueden promover actividad matemática que se describe después en los términos teóricos propios de la TAD, las organizaciones matemáticas, de creciente complejidad en el contexto del aprendizaje y dentro de una institución específica (García et al. 2007). Entre las varias posturas existentes en el ámbito de la modelación, la llamada modelos y modelación enfatiza la construcción, por parte de los alumnos, de sistemas conceptuales o modelos cuando trabajan con una situación en contexto que favorece el proceso de matematización. Su preocupación es la preparación de los estudiantes en la solución del tipo de problemas a los que normalmente se enfrentan fuera de la escuela y en el logro de formas de trabajo con ese tipo de problemas que puedan relacionarse con los temas que se estudian en las matemáticas escolares, aunque esa relación no sea clara y evidente. En esta línea de investigación el interés se cen-

tra en que los estudiantes desarrollen formas flexibles y creativas de pensar que les permitan abordar las situaciones que se les presentan (Lesh y Doerr, 2003; Lesh e English, 2005; Lesh y Sriraman, 2005). Al trabajar con estos problemas —llamados actividades que elicitan modelos— los estudiantes no producen únicamente respuestas a las cuestiones planteadas por el problema, sino que desarrollan herramientas conceptuales que pueden ser manipuladas, modificadas, comunicadas y reutilizadas en otras situaciones. Los investigadores que han experimentado con esta teoría diseñan problemas que conducen a secuencias de instrucción en las cuales los estudiantes trabajan en grupo con situaciones reales que permiten la “elicitación” de constructos matemáticos, que pueden después ser elaborados y extendidos hasta llegar a un sistema generalizable, o modelo, susceptible de ser empleado en diversas situaciones. Las explicaciones, justificaciones y elaboraciones que hacen los estudiantes se consideran parte integral del proceso de modelación. Desde el punto de vista de la teoría modelos y modelación la matemática es una ciencia en la que la búsqueda de patrones es preponderante. Su aprendizaje debe llevarse a cabo en un ambiente que favorezca y promueva procesos de cuestionamiento y de reflexión, que a su vez conduzcan a la comprensión de los fenómenos a través del uso de recursos matemáticos. Por ello, se ha desarrollado criterios que los problemas a presentar a los estudiantes deben satisfacer para lograr lo que se considera más importante: que los alumnos desarrollen ideas matemáticas poderosas que les permitan analizar la situación a la que se enfrentan y que puedan, posteriormente, ser aplicadas como herramienta conceptual para resolver otros problemas que en apariencia no están relacionados con el que han trabajado, pero que pueden tratarse con las mismas ideas matemáticas. En la actividad de modelación, la búsqueda de relaciones entre variables, que los estudiantes deben desarrollar, se constituye en una actividad fundamental y se expresan a través de modelos matemáticos. Así, los sistemas conceptuales, los sistemas cognitivos y los modelos se usan como ingredientes esenciales para explicar los procesos de comprensión de los conceptos matemáticos por los estudiantes. Sin embargo, esta postura teórica ofrece poca información acerca de la forma en que los estudiantes desarrollan nuevo conocimiento o construyen modelos más robustos. De la ejemplificación que se ha hecho hasta aquí de algunas de las perspectivas de modelación se desprende que, independientemente del acercamiento prioritario que se tome, todas comparten algunas características. Entre éstas que el contexto en el que se plantea y se resuelve el problema debe tener sentido para los estudiantes, aunque el sentido pueda venir de las matemáticas mismas; que no hay una solución específica esperada, sino que es deseable que los alumnos desarrollen procesos diversos de razonamiento de los cuales puedan surgir conceptos para abordar la tarea. Si bien, en muchas

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ocasiones, son los conceptos que se quieren desarrollar el foco primordial de la actividad para el profesor, en la mayor parte de los acercamientos a la modelación se intenta, más bien, aprovechar las ideas que surgen de los estudiantes para introducir conceptos importantes de la matemática. En general, los proponentes de la modelación como actividad de aprendizaje y de construcción de conocimientos sugieren que como resultado de esa actividad los estudiantes ponen de manifiesto sus diversas formas de pensar y de abordar los problemas y ello favorece el desarrollo de sus sistemas conceptuales. Seguidamente, se muestra el trabajo realizado por un grupo de investigadores del Instituto Tecnológico Autónomo de México (ITAM), que está experimentando la posibilidad de enseñar matemáticas a nivel universitario a través del uso de la modelación. La perspectiva que se ha utilizado en este esfuerzo es una perspectiva mixta de carácter educacional. Los objetivos del proyecto de enseñanza e investigación son de carácter pedagógico. Se pretende promover los procesos de aprendizaje de los alumnos, pero además introducir conceptos nuevos para ellos y desarrollar sus estructuras conceptuales a través de la introducción en la clase de problemas reales que posibiliten la emergencia de ideas matemáticas como se hace en la perspectiva modelos y modelación. A diferencia de esta perspectiva, estas ideas se toman explícitamente como base para apoyar la introducción de los conceptos matemáticos relacionados con la situación que se modela y para lograr un aprendizaje significativo de los mismos, se utiliza una teoría de desarrollo conceptual del ámbito de la educación matemática: la teoría acción, proceso objeto, esquema (teoría APOE).

Acercamiento al uso de la modelación en la enseñanza en México En los últimos años un grupo de profesores de matemáticas e investigadores en educación matemática del ITAM, preocupados por lograr mejores resultados en los cursos, indagaron acerca de distintas metodologías de enseñanza basadas en la investigación educativa, que podrían proporcionar ideas para diseñar estrategias innovadoras de enseñanza. En la búsqueda y análisis de diferentes acercamientos encontraron amplia bibliografía que refería a las posibilidades de aprendizaje y de motivación que brinda la enseñanza de las matemáticas a través de la modelación matemática. Los resultados de los estudios consultados sugerían que, en un contexto de modelación los estudiantes son capaces de desarrollar conceptos importantes y aprenderlos de manera significativa. Si bien la mayoría de los artículos consultados describían experiencias llevadas a cabo con estudiantes de los niveles de enseñanza básica y media superior, las premisas elementales de su posible utilidad parecían ser aplicables en nivel superior. Después de un análisis de las distintas perspectivas de modelación que se han mencionado, el grupo se de-

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cidió por el uso de una perspectiva mixta en la que se complementara una perspectiva de modelación con una teoría de aprendizaje de las matemáticas, a fin de garantizar el aprendizaje y desarrollo de los conceptos por parte de los estudiantes. Así, se procedió a elaborar un marco teórico en el que se incluyen las ideas acerca de la importancia de la modelación en el aprendizaje de las matemáticas y en el desarrollo de ideas poderosas y de herramientas conceptuales de la perspectiva modelos y modelación; pero, dado que, como se mencionó esta perspectiva no describe la forma en la que los estudiantes pueden aprender nuevos conceptos específicos, se complementó el marco conceptual mediante la introducción de la teoría APOE que describe en detalle la forma en que se construyen los conceptos matemáticos que se estudian en la universidad. A partir del marco teórico diseñado, se discutió el tipo de problemas a experimentar en el salón de clase en las materias —sistemas dinámicos, ecuaciones diferenciales, matemáticas aplicadas a las ciencias económicas y algebra lineal— que se imparten en carreras administrativas, en ingeniería, economía, en las de matemáticas aplicadas y actuaría de dicha institución. Se diseñaron actividades específicas de modelación aplicables a cursos diversos y se procedió a probarlas en el aula. En todas las ocasiones que se experimentó con el uso de esos modelos, los estudiantes trabajaron durante la clase y, en ocasiones, fuera de ésta en equipos de tres o cuatro miembros, con el fin de que discutieran y socializaran los conocimientos. Se exponen tres de esos modelos, dos relacionados con las ecuaciones diferenciales y uno con el álgebra lineal así como sus resultados.

Modelo de precios Problema Una compañía requiere la forma en la que pueda predecir el precio, de cualquiera de sus productos, en un mercado en el que hay expectativas de los consumidores. El gerente de la compañía solicita colaboración para encontrar un modelo adecuado, además de una presentación en la que se justifique con claridad por qué se considera que el modelo es pertinente y se proporcione información del mercado real que permita validar su pertinencia. Objetivos El problema se utilizó en una clase de matemáticas aplicadas a la economía como parte de los temas correspondientes a las ecuaciones diferenciales. Su objetivo fue introducir en los alumnos la idea de variación y su posible expresión mediante el uso de ecuaciones diferenciales, así como la noción de solución de una ecuación diferencial y el papel e importancia de las condiciones iniciales. Un propósito secundario del problema consistió en hacer trabajo experimental para considerar la función que los parámetros tienen en la modelación.

El modelo en clase Los estudiantes trabajaron en forma colaborativa durante varias sesiones en el salón de clases en grupos de tres. El proyecto requirió además trabajo fuera de clase y búsqueda de datos de cualquier artículo, del cual los alumnos pudieran conseguir precios para un periodo relativamente largo de tiempo para validar el modelo. La solución del problema se llevó a cabo durante un mes y fue posible observar varios ciclos de modelación. Se dedicó cierto tiempo a la discusión conjunta entre el profesor y los alumnos de cada uno de los modelos propuestos por los distintos equipos. Los alumnos que presentaban el modelo respondían a las preguntas de sus compañeros y a las del profesor justificando las decisiones tomadas durante el periodo de trabajo previo. Esta discusión permitió a cada equipo cambiar su modelo y restricciones a partir de la reflexión de las preguntas y comentarios que se les había formulado. Durante el trabajo, en el proyecto de modelación, se detectaron como se mencionó varios ciclos de modelación que podrían clasificarse como: selección de variables y trabajo en la búsqueda de relaciones entre éstas; introducción de la razón de cambio como una variable importante a considerar; refinamiento del modelo y primer análisis; búsqueda de soluciones y de formas de trabajar con los parámetros; experimentación, representación y análisis de los datos; diseño de la presentación. En el primer ciclo, los estudiantes abordaron el problema como de relación entre funciones, buscaron posibles gráficas de funciones que describieran el comportamiento esperado de los precios de un bien, utilizando lo que habían aprendido en sus clases de economía. La exploración gráfica y la discusión sobre las posibles variables relevantes y su relación los condujo a considerar la necesidad de plantear algunos supuestos, relacionados con sus conocimientos de economía y matemáticas que les permitieran simplificar el problema. En la primera discusión se trataron primordialmente el papel de los supuestos en la modelación y el papel que jugaba el hecho de que hubiera expectativas de precios en el mercado. En tanto, en el segundo ciclo los estudiantes consideraron la relación de la expectativa de precios con la razón de cambio de éstos. Los primeros modelos incorporando la función precio y la derivada del precio comenzaron a aparecer. La discusión se centró, con posterioridad, en la importancia de esa relación y en la consideración del modelo resultante como ecuación diferencial. No todos los equipos plantearon una ecuación diferencial, pero la discusión con quienes sí la habían introducido permitió al resto de los grupos su consideración. Construido un modelo —no precisamente el mismo en los distintos equipos de trabajo— los alumnos procedieron a refinarlo, es decir, a reducir, cuando era posible el número de parámetros que les parecían indispensables y a considerar su pertinencia. Es importante notar que los estudiantes no habían sido introducidos a las ecuaciones diferenciales y no conocían métodos de solución; no obs-

tante, algunos de ellos fueron capaces de utilizar lo que conocían acerca de la derivada de una función para tratar de dibujar una posible gráfica de la solución y considerar si podría considerarse adecuada. Después de este ciclo, el profesor consideró oportuno introducir algunas actividades referentes al análisis de ecuaciones diferenciales recurriendo al conocimiento del cálculo de una manera estructurada, para esbozar la forma de la solución así como algunas definiciones, y el concepto de solución de una ecuación diferencial. En un primer esbozo de las posibles soluciones al problema, los alumnos consideraron el papel de las condiciones iniciales. En este ciclo se introdujeron nuevas actividades conceptuales relacionadas con métodos de solución de ecuaciones diferenciales que los estudiantes fueron capaces de utilizar para encontrar la solución de sus modelos. Diseñaron la forma en que buscarían los datos para validar sus modelos y para calcular los parámetros específicos a la situación. Aplicaron, además, métodos numéricos simples o gráficos para encontrar el valor de los parámetros que reflejaba de mejor manera la situación en estudio y trabajaron en la presentación final. Toda la labor de los alumnos quedó registrada durante cada ciclo. En los periodos de discusión se recurrió a guías de observación para seguir en detalle el trabajo de cada uno de los grupos, y se grabó la discusión de cada uno de éstos para ser analizada por el investigador. Resultados interesantes El trabajo de los grupos dio lugar a una diversidad de modelos —cuatro modelos distintos entre sí. Los estudiantes se acercaron al problema aplicando una perspectiva de covariación en la que su interés radicaba en encontrar el posible comportamiento de las variables. Después de la primera discusión en grupo, la mayor parte de éstos consideró una perspectiva dinámica en la que el objeto de estudio era la función derivada (Trigueros, 2008). Si bien los estudiantes introdujeron la derivada en sus modelos, mostraron dificultades para relacionar la derivada de la función con la función en una misma ecuación debido a que su concepción de función y de derivada, de acuerdo a la teoría APOE podían considerarse de tipo proceso, es decir, la función como una regla que se le aplica a una variable y que resulta en una nueva variable relacionada y la derivada como una operación que se aplica a la función. El trabajo en las actividades, colaborativo y en conjunto, permitió a los estudiantes establecer la relación entre la función y su derivada, considerando a esta última como una función que proporciona información sobre la función original. Fue interesante notar que esta relación surgió en lo básico del análisis del problema en términos económicos conjuntamente con una estrategia de representación gráfica del problema. El análisis cualitativo de las ecuaciones diferenciales, basado en algunas ideas presentadas por los estu-

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diantes e introducido, en las actividades conceptuales sobre las que trabajaron posteriormente resultó efectivo. Ellos lo utilizaron para reflexionar en la ecuación diferencial como un objeto de estudio y en la solución de la ecuación diferencial como una función. Esta reflexión se apoyó también en las distintas relaciones y en el trabajo que los estudiantes hicieron para aproximar numéricamente la solución a la situación particular que habían elegido. A diferencia de lo que se ha reportado en la literatura (Rasmussen, 1999 y 2001; Donovan, 2007), estos alumnos no mostraron ninguna dificultad al dar significado a la solución de la ecuación diferencial como una función o un conjunto de funciones; fueron capaces de transferir su noción de solución a problemas relacionados con la solución de ecuaciones diferenciales abstractas, que se utilizaron como tareas durante el periodo en que se trabajó sobre el proyecto. Un resultado muy interesante fue la posibilidad de un grupo de crear una representación del problema muy semejante al espacio fase para analizar el comportamiento de la solución, alrededor de lo que ellos consideraron como solución de equilibrio, noción que juega un papel importante en economía. La introducción de esta herramienta fue aprovechada por el maestro para discutir algunos aspectos relevantes del análisis cualitativo y del papel de los parámetros y la variación de los parámetros en la solución del problema.

El reloj de péndulo El problema ¿Qué tan efectivo es el uso de un péndulo como reloj? ¿Cómo podría probarse su efectividad si lo es? Construye un reloj de péndulo. Este reloj será mostrado en una exposición, por ello es necesario que sea acompañado de una explicación de su funcionamiento a dos niveles: una comprensible para el público en general, y otra para los profesores de los departamentos de ingeniería y matemáticas. Objetivos El problema fue aplicado con estudiantes de ingeniería en computación y en telemática en un curso de ecuaciones diferenciales. Los objetivos primordiales de este proyecto de modelación consistían en ampliar la noción de variación previamente trabajada, aplicando otros modelos para introducir las ecuaciones diferenciales de segundo orden; así como recuperar algunos de los conceptos que los estudiantes aprendieron en sus cursos de física para relacionarlos con los desarrollados en el contexto de este curso específico de matemáticas. El modelo en clase El desarrollo del problema en el salón de clase fue de manera similar a la descrita para el problema de pre-

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cios. Nuevamente se detectó ciclos en los cuales era posible observar la evolución de algunos aspectos relacionados con el conocimiento de los estudiantes respecto a las ecuaciones diferenciales, y también en relación con la transferencia de los conocimientos de física a la clase de matemáticas. A diferencia de lo descrito en el caso del grupo que trabajó el problema de economía, este equipo tuvo muchas más dificultades para relacionar sus conocimientos de física con los de matemáticas, lo cual resultó en que, el primer ciclo relacionado con la elección de las variables a estudiar tomara más tiempo que el esperado por el maestro y el investigador (un mes). En el estudio del péndulo, la variable dependiente que simplifica el problema es el ángulo que hace el péndulo con la vertical y se esperaba que los alumnos utilizaran este hecho con facilidad. En el segundo ciclo, en el que también se esperaba que el uso de las leyes de Newton aplicadas al problema resultara casi directamente en una ecuación diferencial, resultó asimismo más complicado de lo esperado. Los alumnos encontraron muchas dificultades para determinar las fuerzas que actúan sobre el sistema y más aún para descomponer las fuerzas en componentes. Trataban de relacionar el problema con lo que conocían del oscilador armónico simple, sin embargo, aunque conocían la fórmula para la fuerza no lograban transponerla para el caso del péndulo. Los alumnos requirieron mucho trabajo y apoyo por parte del maestro para superar estas dificultades. Una vez que los alumnos encontraron la ecuación diferencial de segundo orden, en lo que se consideró el tercer ciclo, intentaron aplicar lo que habían aprendido respecto al concepto de solución de ecuaciones diferenciales de primer orden y al análisis cualitativo de éstas. Dado que la ecuación resultante era de segundo orden desistieron del análisis cualitativo; ninguno consideró la posibilidad de utilizar el sistema de ecuaciones que habían propuesto de manera natural antes de llegar a la ecuación de segundo orden. Los estudiantes manejaron lo aprendido —en el caso de solución de ecuaciones de primer orden lineales— para encontrar las funciones solución de la ecuación de segundo orden una vez que lograron expresarla de forma lineal —al tomar en consideración que para valores pequeños del ángulo, el seno de éste se puede aproximar por el valor del ángulo— además de reconsiderar el papel de las condiciones iniciales que aparecían de nueva cuenta en los modelos planteados. Tampoco mostraron mayores dificultades para suponer las diferentes situaciones que se podían presentar: sin fuerzas externas, con fricción y con otras fuerzas externas además de la fricción. En la aplicación de la construcción del reloj, al inicio estimaron que únicamente un péndulo ideal podría modelar un reloj, porque para ellos sólo en ese caso la frecuencia permanecería constante. Después reconsideraron este punto al analizar con cuidado las soluciones, y concluyeron que la descripción del funcionamiento de

un reloj requeriría el uso de una ecuación para un oscilador forzado.

Problema de tráfico El problema

Resultados interesantes Todos los grupos mostraron dificultades con los conceptos de física. Lo cual interfirió con la posibilidad de interpretar los resultados que obtenían de la solución matemática de las ecuaciones en términos de la física. Al parecer, al enfrentar un contexto nuevo sus ideas previas resurgían y las estrategias de solución de problemas no eran tan sólidas como para realizar comparaciones y analogías con casos de problemas en los que estas preconcepciones no se presentan. Los patrones de razonamiento de los estudiantes se guiaban en un primer momento por lo que eran capaces de observar y no por sus conocimientos de física. Podría decirse que para la mayoría de ellos la física y las matemáticas constituyen disciplinas ajenas. Mostraron más dificultades para utilizar el conocimiento matemático aprendido en otros cursos e incluso en el mismo en que se desarrolló el proyecto de modelación. Para lograr superarlas fue necesario realizar más actividades de tipo conceptual que reforzaran el papel de la variación y de la segunda variación en el problema matemático. La construcción del reloj, por otra parte, y la posibilidad de trabajar con datos reales constituyó una fuente de aprendizaje para el grupo. Esta construcción les permitió reconsiderar sus dificultades y el significado de las variables en términos del problema específico y en términos de la física. Reflexionaron las dificultades implicadas en la generación y análisis de datos, aprendieron nuevas técnicas de aproximación de parámetros, además de los conceptos relacionados con el curso en sí. A pesar de las dificultades encontradas, los datos de esta experiencia pusieron de manifiesto la utilidad del empleo de los modelos en la enseñanza. La discusión de ideas y el análisis entre los alumnos y con el profesor procuró su evolución. La presentación del proyecto mostró claridad en las explicaciones y en las justificaciones argumentadas por los distintos equipos, aun cuando no todos mostraron el mismo grado de avance. Trabajar en el proyecto brindó a los estudiantes una oportunidad para aplicar lo aprendido, relacionar lo estudiado en cursos diferentes y poner en juego sus ideas sobre la naturaleza misma del trabajo científico, a través de la experimentación y la comunicación. También ofreció múltiples ocasiones de reflexión sobre los conceptos matemáticos involucrados en la solución de ecuaciones diferenciales y les facilitó desarrollar algunos nuevos como los involucrados en el método de mínimos cuadrados para la aproximación de curvas a datos experimentales. La metodología de trabajo le permitió a este grupo tomar a su cargo el reto que el problema implicaba y ampliar su visión de lo que significa el uso de las matemáticas y de la física en la solución de problemas reales (Trigueros, 2006).

La Dirección General de Tránsito ha instalado sensores que le permite contar la cantidad de vehículos que pasan por cada una de las calles en áreas específicas de la ciudad, en particular una zona del área financiera en cuyas esquinas hay glorietas que permiten redirigir el tráfico. El número de vehículos promedio que pasan por las calles por hora se muestra en el siguiente diagrama. No está permitido estacionarse en ninguna de las calles. Las flechas indican el sentido de las calles. La Dirección General de Tránsito desea desarrollar políticas de manejo de tráfico que pueden ser necesarias en caso de que se hagan trabajos en las calles o de que ocurran manifestaciones u otras actividades disruptivas.

Si se pide que por una de las calles entre dos esquinas circule una mínima cantidad de autos: ¿cuál debe ser esa cantidad si se desea que el tráfico normal en estas calles se mantenga? ¿Es posible cerrar alguna de las calles? Si es así ¿cuál? Si se cierra una calle sería necesario poner señales para indicar a los conductores el inicio de cada una de las calles cerradas. ¿Cuántas señales habría que poner? ¿Sería posible considerar una restricción de que no circularan más de 200 autos por hora en una calle particular? Objetivos Con este problema se pretendía que, además del desarrollo del modelo, los estudiantes utilizaran sus conocimientos acerca de la solución de sistemas lineales de ecuaciones algebraicas y los desarrollaran para incluir entre éstos la noción de conjunto solución de un sistema de ecuaciones. Lo cual la literatura en educación matemática reporta como una de las dificultades en el estudio de este tema de las matemáticas (Ramírez, Oktaç y García, 2005a y b; Trigueros, Oktaç y Manzanero, 2007), el método de Gauss para resolver sistemas grandes de ecuaciones, las representaciones gráficas de los sistemas de ecuaciones y el significado gráfico del conjunto solución.

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El modelo en clase Se encontró que en el trabajo con el modelo se podían detectar ciclos de modelación en la actividad de los alumnos que, en este caso consistieron de: selección y relación entre variables, manipulación del sistema de ecuaciones, representación matricial y su manipulación, respuesta a preguntas específicas y representación gráfica del espacio solución. En el primer ciclo, los estudiantes usaron su conocimiento sobre los sistemas de ecuaciones como se tenía previsto. Sin embargo, dado que el sistema a resolver era grande y contenía más incógnitas que ecuaciones, los alumnos enfrentaron dificultades al aplicar su conocimiento en este caso específico. Para ayudarles a superar esta dificultad se introdujeron actividades desarrolladas a la luz de la teoría APOE, cuya finalidad era la introducción de nuevos conceptos y estimular la reflexión sobre sus propias acciones, a fin de que fueran capaces de generalizarlas y utilizarlas en el desarrollo de procesos más eficaces de solución de sistemas de ecuaciones, que pudieron, posteriormente, aplicar al trabajo con el modelo. Así, a través de los ciclos se alternó también entre la actividad de modelación y el uso de actividades destinadas a la construcción de los conceptos relacionados con este tema del álgebra lineal. Resultados interesantes Los estudiantes encontraron múltiples dificultades a lo largo del proceso de modelación, algunas como la definición misma de las variables puede considerarse sorprendente en alumnos universitarios; otras predecibles por la naturaleza del modelo a plantear. Diferentes equipos propusieron modelos distintos, y una actividad interesante en las sesiones de discusión con el grupo en su totalidad fue la comparación de los sistemas y de sus conjuntos solución para discutir cuestiones relacionadas con la equivalencia de los sistemas y los distintos tipos de solución obtenidas. Luego de la introducción de la representación del sistema mediante matrices, los alumnos no sólo emplearon lo recién aprendido en la solución de su modelo sino que relacionaron con claridad los elementos de la matriz con el sistema de calles presentado en la figura; después, en el trabajo conjunto con el profesor discutieron el significado de los signos en relación con las glorietas de cada esquina y en ocasiones el maestro introdujo algunas nociones nuevas que podían ser de interés para los estudiantes. El ejercicio con los parámetros del modelo resultó en particular interesante para los alumnos. Es conocida la dificultad que los estudiantes tienen, aun los universitarios, con la interpretación y el manejo de parámetros (Furinghetti y Paula, 1994; Bloedy-Vinner 2001; Trigueros y Ursini, 2004). En este caso como en los anteriores, el problema específico a resolver fue un apoyo en la interpretación de los parámetros. Esto permitió que

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se analizaran junto con el maestro las características de las soluciones factibles al problema; así como, utilizando diferentes parametrizaciones, la interpretación del espacio de soluciones factibles podía ser más o menos fácil. Se llegó incluso a sugerir una representación geométrica del espacio de soluciones factibles y se discutió el significado de dicha representación en términos del problema a resolver. La labor en clase demostró que este problema satisface los criterios de un buen problema de modelación establecidos en la perspectiva de modelos y modelación, y permitió la introducción de actividades de construcción de conocimiento diseñadas con la teoría APOE sin romper demasiado con la dinámica de la modelación. Fue posible seguir —mediante los productos entregados por los alumnos en las distintas etapas del proceso— la evaluación de su manera de pensar sobre el modelo y las dificultades que enfrentaban. Los modelos desarrollados fueron utilizados como herramientas conceptuales en la solución de problemas semejantes en su estructura planteados en contextos diferentes, pero siempre relacionados con la solución de sistemas de ecuaciones (Possani, et al., 2009).

A destacar Una de las peculiaridades que vale la pena resaltar y que es común a las experiencias descritas —u otras semejantes realizadas por el mismo grupo de investigadores o por otros en nuestro país y en el extranjero— es la enorme motivación de los estudiantes. En todos los casos ellos se apropiaron rápidamente del problema, las discusiones en clase y el trabajo fuera de ésta mostraron el interés por comprender la situación y trabajarla de la mejor manera posible. Si bien los problemas elegidos eran parecidos a los que están resueltos en algunos libros de texto, los estudiantes no recurrieron a éstos en ninguno de los casos y sólo hicieron uso de textos relacionados con la física y con la economía a fin de comprender algunas de las variables del problema en sí y no para encontrar una solución. En las discusiones cada equipo defendió sus puntos de vista y la plausibilidad de su modelo. En ocasiones, incluso, les fue difícil aceptar algunas críticas acertadas de sus compañeros; no obstante, cuando las aceptaron, manifestaron lo útil que les fueron para refinar o reconsiderar su razonamiento en el planteo del modelo. Asimismo, se observó el interés que pusieron los alumnos en las actividades conceptuales como oportunidad para encontrar nuevas formas de abordar el problema o resolver aquellos que aparecían en el proceso de respuesta a las preguntas planteadas más que como ejercicios de clase. La necesidad de validar sus resultados —en particular en el caso de los problemas relacionados con las ecuaciones diferenciales— hizo posible integrar la tecnología de una forma natural, equipos de cómputo y calculadoras científicas fueron aplicados para explorar distintas re-

presentaciones de los modelos obtenidos, para discutir la naturaleza de las posibles soluciones de las ecuaciones o para aproximar las soluciones a los datos concretos obtenidos de la fase experimental. Una ventaja adicional del uso de la modelación en clase fue que puso de manifiesto los patrones de razonamiento seguidos por los estudiantes y sus dificultades conceptuales. Ello auxilió al maestro en cuanto a desarrollar actividades conceptuales a fin de satisfacer los requerimientos de los estudiantes, ya sea para introducir nuevos conceptos o reconsiderar errores que aparecían en la solución. Esto último fue muy evidente en el caso del modelo del péndulo. El razonamiento de los estudiantes en esta experiencia evolucionó y las matemáticas se volvieron el centro de la discusión. Al final de cada uno de los proyectos descritos, las presentaciones exhibieron mayor solidez en el manejo de los conceptos y de sus relaciones. Si bien es imposible garantizar un aprendizaje significativo de todos los estudiantes, lo que sí se advirtió fue el cambio gradual en sus concepciones. El simple hecho de poner al descubierto algunas de sus ideas ya representó una ventaja, si a ello se suma la posibilidad de discusión, trabajo y reflexión, la prerrogativa de este tipo de trabajo se aprecia mucho mejor. En todos los casos, de manera más o menos efectiva, los alumnos demostraron su capacidad para poner en juego y combinar los recursos conceptuales adquiridos. En general, se puede decir que el trabajo en los modelos proporcionó una excelente oportunidad para desarrollar eficazmente los conocimientos de los alumnos, además de ampliar su visión de lo que significan las matemáticas en la solución de problemas reales. Asimismo, la aplicación de la modelación en la solución ayudó a la mayor parte a sentirse más seguros de sus competencias y valorar de manera diferente la función de los cursos escolares, así como valorar las limitaciones de este tipo de modelación. Los comentarios de los estudiantes que participaron en estas experiencias, después de uno o dos años, sobre el uso de los modelos fueron muy positivos. Expresaron gusto por el contenido de la materia y por el tipo de didáctica empleada; pero, lo más importante, es que aprendieron mucho mejor los conceptos en aquellas clases que los aprendidos en otras.

no es central. La modelación no es una tarea fácil. Pensar como objetivo enseñar ambas cosas simultáneamente sería muy complicado. El tiempo que puede perderse en este tipo de técnicas —en un curso cuyo objetivo no es enseñar a modelar— puede empañar el propósito real de éste —que es la introducción de ciertos conocimientos matemáticos— y perder la atención de los estudiantes en los aspectos conceptuales importantes de la disciplina. En este tipo de proyectos parece ser esencial no perder de vista el objetivo central del curso y buscar el equilibrio entre aquellos aspectos de la modelación que son importantes de rescatar y los conceptos que se quieren enseñar. En cursos como aquellos de los que se tomaron los ejemplos presentados, este equilibrio permaneció siempre en la mira del profesor. Los modelos se usaron como instrumento para favorecer el desarrollo de esos conceptos, aunque las técnicas de modelación no resultaran las más adecuadas o las más eficaces en cada situación. El momento de introducir las actividades conceptuales y su diseño son de suma importancia en el logro de un aprendizaje conceptual en este tipo de proyectos. En muchas ocasiones, es difícil encontrar la oportunidad en que estas actividades sean adecuadas y decidir qué tanto el trabajo sobre los conceptos matemáticos puede irrumpir de manera desfavorable en el proceso de modelación. La atención del maestro a este tipo de cuestiones resulta fundamental. Las experiencias que aquí se mostraron, y otras dentro de perspectivas similares, muestran que el diseño de las actividades debe favorecer el regreso al problema de modelación. El diseño de las situaciones constituye un elemento central para que el uso de la modelación tenga éxito. Un problema planteado en buenos términos coadyuva el compromiso de los estudiantes en su solución y el aprendizaje de nuevos conceptos. Evidentemente, no todos los estudiantes avanzan de la misma manera, ni logran profundizar en los conceptos como sería deseable, pero puede decirse que los resultados obtenidos en este tipo de proyectos muestran con claridad las bondades de este acercamiento a la enseñanza de las matemáticas en la universidad.

Reflexiones finales Se ha visto a lo largo de este artículo que hay distintas formas de entender el uso de la modelación matemática en la enseñanza de las matemáticas y en la investigación en educación matemática. Las distintas perspectivas al respecto modulan los objetivos y la metodología de trabajo en el aula así como la forma de hacer investigación acerca de los resultados de su aplicación. Entre las perspectivas mencionadas se encuentran algunas que tienen por objetivo enseñar los elementos de la modelación matemática; sin embargo, en otras ello

Recibido noviembre 2008 Aceptado febrero 2009

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Formación docente a distancia en línea Un modelo desde la matemática educativa Gisela Montiel Espinosa*

Resumen Se describe un modelo propuesto para la formación docente en línea de profesores de matemáticas en servicio. La base del modelo son niveles de interacción propios del aprendizaje en línea, planteados por el escenario, adaptados al perfil del profesor de matemáticas en servicio y a los propósitos de un programa de formación didáctica que pretende poner en el centro de la discusión la problematización de la matemática escolar.

Palabras clave Educación a distancia en línea, formación docente, matemática educativa.

Teacher training in line a distance A model from the mathematics education Abstract This paper describes a proposal model for mathematics in-service teachers training program. The model is base on interaction levels for online distance learning, imposed by the scenario and adapted for mathematics teachers and for a specifically didactic training program which takes the school mathematics as didactic activity core.

Introducción La demanda por la formación docente, particularmente del profesor de matemáticas, es un fenómeno de importancia significativa en México. Suele considerarse suficiente tener dominio de los contenidos matemáticos y del conocimiento de las metodologías de enseñanza adecuadas para enfrentar los retos de la enseñanza, incluso con solo estos dos elementos hay problemas interesantes en el aula. La epistemología del profesor está muy influenciada por su cultura, ideología, formación y experiencia profesional, en consecuencia el dominio del conocimiento matemático tiene matices diversos de un profesor a otro. Además, los planes y programas de estudio, las reformas educativas, las metodologías de enseñanza, entre otros, son o deberían ser diseñados por grupos especializados en áreas que, por lo regular, desconoce el docente —pedagogía, psicología, sociología— cuyos periodos

Keywords Online distance education, teacher training, mathematics education.

de especialización rebasan por mucho los de capacitación que recibe un profesor en servicio. La creación de programas de formación docente, permanentes y flexibles, es más que una necesidad de las instituciones: es una exigencia de la sociedad. En este contexto la educación a distancia en línea (EDL), abrió una nueva alternativa de instrucción, trabajo, comunicación e interacción que hace posible que el profesor en servicio se forme y actualice en las áreas que demanda su quehacer académico.

Formación en matemática educativa En el país se cuenta con diversas instituciones que ofertan programas de licenciatura y posgrado en matemática educativa con alternativas de formación docente y de investigación, respectivamente. Estos programas han impactado de modo favorable en la creación y consolidación

* Licenciada en matemáticas aplicadas y computación por la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM), maestra en ciencias con especialidad en matemática educativa por el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav-IPN), y doctora en ciencias en matemática educativa por el Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada, Unidad Legaria (Cicata-IPN). En julio de 2003, además de acreditarse como miembro asociado del Comité Latinoamericano de Matemática Educativa, recibió el premio Simón Bolívar a la mejor tesis de maestría en matemática educativa con el trabajo de investigación titulado Una caracterización del contrato didáctico en un escenario virtual. Forma parte del equipo de autores de los libros para secundaria, aprobados por la Secretaría de Educación Pública (SEP), de la serie Desarrollo del Pensamiento Matemático de Editorial McGraw-Hill. Además, cuenta con diversas publicaciones de investigación y difusión relacionadas con la investigación en matemática educativa. Actualmente es profesora-investigadora de posgrado en matemática educativa en el Cicata Legaria, y tesorera de la red de Centros de Investigación en Matemática Educativa, en México. E-mail: [email protected]

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de cuerpos académicos que, en la actualidad, dirigen programas de investigación, participan en el diseño de reformas educativas, elaboran libros de texto para los sistemas regionales y/o nacionales, entre muchos otros proyectos educativos. En el Instituto Politécnico Nacional (IPN), se han ofertado los posgrados, maestría y doctorado, en matemática educativa desde el año 2001, proyectándose desde entonces la necesidad de dirigirlos a profesores en servicio que no tuvieran posibilidad de participar en otros programas, ya sea por la limitante de tiempo que impone la carga laboral o por la separación geográfica entre programas y profesores. Ambos obstáculos no son exclusivos del docente mexicano y la única posibilidad de evitarlos fue con un programa académico a distancia en línea. En cuatro generaciones de maestría y cinco de doctorado han ingresado alumnos de diferentes regiones de México, así como de Uruguay, Chile, Argentina, Perú, Venezuela, Brasil, Costa Rica y Colombia, habiéndose graduado 34 maestros y 15 doctores. Debido a los largos periodos de formación que se requieren en el posgrado, las instituciones y los profesores comenzaron a demandar programas de formación en docencia dirigidos a educadores en servicio, en periodos cortos y formatos flexibles. A partir de la experiencia de varios años en el posgrado y en los programas de formación continua se construye un modelo de formación, ahora desde la virtualidad con sus posibilidades y no solo a partir de la necesidad de formación en la disciplina. Es decir, no se trivializa, ni juzga transparente el escenario donde se lleva a cabo el proceso de formación.

Escenario de la EDL Todo proceso de enseñanza-aprendizaje que profesor y estudiante estén separados geográficamente recibe el nombre de educación a distancia. En particular, la modalidad en línea se caracteriza y distingue de otras por el escenario en donde se desarrolla: internet. Cuando se habla de educación en línea se hace referencia a la modalidad formativa que utiliza la red como medio de distribución de la información. En consecuencia, la educación en línea ofrece disponibilidad en todo momento, en todo lugar, con la condición operativa de contar con un dispositivo tecnológico con acceso a internet que soporte el diseño instruccional de la experiencia de enseñanzaaprendizaje. Esta flexibilidad de tiempo y espacio permite que el estudiante realice gran cantidad de consultas en fuentes bibliográficas o con expertos en la materia, tanto en internet como dentro de su entorno personal — escuelas o bibliotecas cercanas. Es decir, se reconoce que los recursos didácticos y las fuentes de información no se limitan a aquellos incluidos formalmente en los contenidos o actividades del diseño instruccional. La distancia exige al estudiante un alto nivel de autonomía y responsabilidad en el proceso educativo, que repercute significativamente en la búsqueda de transformar, casi de inmediato, su entorno con base en lo

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aprendido, o lo que Ally (2004, p. 22) denomina la construcción de un significado personal. La distancia —ahora mediada por la modalidad en línea— le exige al instructor la continua creación de estrategias de comunicación, retroalimentación y evaluación del estudiante, para lo cual se vale de la construcción de una comunidad de aprendizaje en el sentido de Anderson (2004, p. 39). Esto es, en la EDL se deben considerar tanto procesos autónomos de aprendizaje como procesos colaborativos de construcción de conocimiento. La comunicación, individual o colectiva, entre los actores educativos es la pieza fundamental de cualquier experiencia educativa, presencial o a distancia. En la modalidad en línea los formatos de comunicación se clasifican en sincrónicos y asincrónicos, pero varían constantemente. Los formatos sincrónicos, o en tiempo real, permiten retroalimentación inmediata y pueden, en la actualidad, incluir audio, texto, vídeo e incluso compartir aplicaciones computacionales; sin embargo, es muy complejo soportar comunicación multidireccional en poblaciones numerosas. Los formatos asincrónicos, o desfasados en tiempo, tienen mayor reflexión previa a la participación, la lectura de otras aportaciones, seguimiento de los temas de discusión, consulta externa, entre otros, pero funciona de acuerdo al medio. Por ejemplo, un foro de discusión permite dar respuesta y retroalimentación a todas las participaciones e incluso abrir nuevas líneas de discusión, un blog solo permite comentarios a la bitácora principal, una wiki permite la construcción colectiva de un solo espacio de discusión. Esto es, si bien todas registran las interacciones escritas por todos los participantes y es posible hacer seguimiento de sus aportaciones, cada espacio determina el tipo de construcción colectiva que hacen alrededor de un tópico. Esta modalidad educativa está por completo mediada por la tecnología que actúa como interfaz —predominantemente gráfica-visual— como herramienta de trabajo —por las aplicaciones computacionales que requiere— y como medio de comunicación, gracias a ésta los materiales y recursos didácticos se presentan en texto, audio, vídeo, simulaciones, interactivos. La virtualidad en la educación a distancia ha dado origen a un escenario donde se configuran nuevas relaciones entre los actores educativos y, en consecuencia, se promueven nuevas formas de enseñar y aprender tanto en lo individual como en lo colectivo.

Niveles de interacción Los niveles de interacción propuestos por Ally (2004, p. 21), se basan en consideraciones conductistas, cognitivas y constructivistas del aprendizaje, adoptándolas como taxonomía para el aprendizaje (figura 1): las estrategias conductistas pueden usarse para enseñar el qué (los hechos), las estrategias cognitivas para enseñar el cómo (procesos y principios) y las estrategias constructivistas el por qué (niveles avanzados del pensamiento

que promueven el significado personal y el aprendizaje contextual y situado).

Figura 1 Niveles de interacción en el aprendizaje en línea.

Las cuatro perspectivas pueden vislumbrarse en todos los niveles propuestos en el modelo, tanto en los momentos de socialización como en los de intercambio académico.

Interacción alumno-interfaz

Interacción alumno • contenido

Interacción alumno - soporte

Alumno - Instructor

Alumno - Instructor

• La formación didáctica. • La matemática educativa como campo de saber para el profesor. • La incidencia en la práctica docente. • La construcción de una comunidad virtual de docentes en formación continua.

Alumno - Instructor

Interacción alumno - contexto

Fuente: Ally, 2004, p. 21.

La interacción alumno-interfaz permite el acceso a la información; la interfaz está constituida por la computadora y el aula virtual que da paso al contenido y a la interacción con otros. La interacción alumno-contenido da lugar al proceso de información, se navega a través de los contenidos para conocer los objetivos, tipo de lecciones y tareas, escalas de evaluación, calendarios, por nombrar algunos. Conforme se avanza en esta interacción, el alumno experimenta que requiere soporte o guía, que podrá tomar forma de interacción con sus pares — alumno-alumno— con su instructor o con expertos en el área. Finalmente, el estudiante interactuará con su contexto, aplicando en su entorno personal lo que ha aprendido, es decir, contextualizará la información. Este nivel de interacción, alumno-contexto, es el que permite la construcción del significado personal de la información. Estos niveles de interacción consideran al proceso de enseñanza-aprendizaje como el centro de la actividad, en el modelo presentado aquí se considera un proceso de formación didáctica; los niveles suponen al alumno como el que adquiere un cierto conocimiento, el modelo contempla al profesor que ya tiene un cierto conocimiento y se propone que lo problematice en su labor docente; se considera la contextualización como una aplicación de lo aprendido —actividad unidireccional—, un profesor debe reconocer las variables de su entorno para adaptar un rediseño de clase y retroalimentar a la comunidad con sus resultados —actividad bidireccional. La adaptación de estos niveles se logra con una perspectiva centrada en:

Actores educativos Antes de describir el modelo, hay que precisar quiénes son los actores que hacen parte de éste. El asesor es un profesor-investigador, especialista en matemática educativa, que construye la propuesta de formación didáctica con base en los productos de investigación generados en la disciplina, interactúa de forma directa con el tutor y puede o no tener contacto directo con el profesor participante en el programa. El tutor es también especialista en matemática educativa —recién egresado o graduado del posgrado, que inicia actividades de investigación como actividad profesional—, es quien tiene interacción directa con el profesor participante y mantiene comunicación abierta con el asesor para que lo guíe y retroalimente en el seguimiento de la formación de los profesores. La figura más compleja es el profesor participante, pues no tiene un único perfil como tal ni como estudiante solo por estar en un programa de formación. Si el centro es la formación didáctica se debe iniciar por plantearse un perfil del profesor de matemáticas. El docente que se incorpora a este modelo de formación es aquel que labora en los niveles básico/secundaria, medio superior y superior, pues en éstos se encuentran profesionales en áreas afines a las matemáticas y no solo a profesores de formación normalista, como en el caso de primaria. Esto refleja que, en general, el profesor en servicio dentro del sistema educativo mexicano no ha sido formado para desempeñarse en áreas como la docencia. Este es, quizás, el primer reto de un programa de formación docente, el de atender a una población heterogénea en formación profesional, en ideología, en experiencia profesional-docente, que labora en sistemas distintos, entre muchas otras diferencias significativas que repercuten en la práctica. Al considerar y articular variables como la formación profesional, la experiencia docente, la ideología, la cultura (matemática), entre otras, que permean la práctica docente, Lezama y Mariscal (2008, pp. 894-897), delinean un perfil del profesor de matemáticas en servicio que permite reconocer los elementos a considerar en su formación didáctica: El profesor no se arriesga a la innovación si siente que pierde el control de lo que está acostumbrado a hacer en su actividad. No es una resistencia arbitraria sino un elemento de identidad como profesional. El profesor en su quehacer profesional echa a andar elementos culturales producto de su proceso de formación,

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mezclándolos con asuntos específicos de matemáticas … [los profesores] declaran a la matemática como elemento fundamental, sin embargo, en contradicción con esto, manifiestan múltiples problemas que impiden el aprendizaje de sus estudiantes y que no son de naturaleza matemática. Manifiestan no saber cómo enfrentar dichos problemas al no poder identificar de manera clara una disciplina e información concreta que les permita enfrentar los problemas de aprendizaje de las matemáticas de una manera más amplia y que no se aleje de la matemática. Muestran gran dificultad para aceptar la noción de discurso matemático escolar y por tal razón no ven la presencia de ideología en su actividad. … Les cuesta trabajo indicar la naturaleza de las dificultades de un estudiante ante un saber específico o bien no lo pueden expresar con claridad. Hay una fuerte creencia de que una buena explicación produce aprendizaje o conocimientos en los alumnos. No hay claridad en cómo articular propuestas o reformas educativas muy generales basadas en teorías del aprendizaje, que no comparten o entienden, en acciones concretas de clase. … Es común que identifiquen que cambiar los modos de enseñanza exige necesariamente acciones que son ajenas a la actividad matemática, costándoles mucho trabajo plantear acciones que pasen a la problematización del saber matemático. Les cuesta mucho trabajo identificar una teoría del aprendizaje que esté en la base de sus acciones de enseñanza, es decir, no se puede decir por qué tal o cual acción produce tal o cual aprendizaje. Este perfil no ignora que cada profesor difiera —por su formación profesional y experiencia docente— en el valor epistémico y pragmático que le da a la matemática escolar que enseña, y que ello afecte tanto en su proceso de formación docente como en los aprendizajes que logran sus estudiantes. Sin embargo, el programa de formación debe lograr que el profesor sea consciente de dichos valores y los considere en el análisis y reflexión sobre su propia práctica, y en la evaluación que hace de los aprendizajes de sus alumnos. Aunados a este perfil se pueden incluir algunos patrones escolares de comportamiento que presenta un profesor en proceso de formación docente: • Por su formación profesional y experiencia docente tiene familiaridad con las nociones matemáticas que se trabajan y, por lo regular, prevalecen las explicaciones algorítmicas en la resolución de actividades matemáticas-didácticas. • Es consciente de pertenecer a un esquema institucional donde es evaluado, por lo que responde a las actividades matemáticas-didácticas con lo que considera que espera su tutor, más que con base en sus ideas y concepciones. • Todo el tiempo juega el doble rol de estudiante-profesor por lo que podría sentirse evaluado y evaluador por/de sus pares. Por tal motivo, aprovecha significativamente la posibilidad de realizar consultas externas antes de aportar o retroalimentar alguna aportación de sus pares.

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• Muy al inicio de la experiencia, en él dominan argumentos relacionados con la actitud y responsabilidad del alumno, con las carencias de infraestructura en la escuela o con la organización del sistema educativo, para explicar problemáticas escolares o conflictos en el aprendizaje de los alumnos. Es decir, en un ambiente virtual de aprendizaje se encuentran también comportamientos ligados a los contratos didáctico, pedagógico y escolar —una caracterización más amplia puede consultarse Montiel, 2005.

Modelo propuesto Este modelo surge en el seno del proyecto académico del Programa de Matemática Educativa del Cicata, unidad Legaria, del IPN; en particular desde las experiencias de formación continua para profesores de matemáticas en servicio. Dicho proyecto dio lugar al desarrollo de una línea de investigación en formación docente a distancia en línea, donde nace el modelo propuesto.

Primer nivel La ambientación a la modalidad en línea va más allá de la capacitación técnica en el manejo de herramientas computacionales o en el uso de las secciones de un aula virtual. Si bien son necesarias estas habilidades tecnológicas que además ayudan a disminuir la deserción por conflictos técnicos, se pueden adquirir a la par que se conforma una comunidad virtual y se generan estrategias de interacción académica (figura 2).

Figura 2 El modelo y sus niveles de interacción. Ambientación a la modalidad

Interacción profesor - contenido

Rediseño de la matemática escolar

Asesor

Tutor

Profesor

Práctica docente

Fuente: Elaboración propia.

En este momento, el profesor construye presentaciones con imagen, audio y/o vídeo para conocer a sus compañeros; utiliza guías de búsqueda en la web para ubicar grupos académicos en matemática educativa, revistas y congresos que le sean fuente de recursos para su práctica; usa programas computacionales didácticos para resolver actividades matemáticas y discutirlas con sus compañeros y tutores en espacios de socialización y reflexión, distinguiendo las normas y lineamientos de discusión en ambientes informales y formales. Esta fase resulta esencial cuando se trabaja con profesores que, en su mayoría, se han formado profesionalmente y han laborado como docentes en ambientes educativos presenciales. Es necesario que conviertan la interfaz en su nuevo ambiente de aprendizaje y sientan la presencia de una comunidad, interna y externa, que puede apoyarlos en su trabajo académico y docente. A través de cuestionarios y bitácoras —blogs— se construye un perfil personal del profesor, se recopila información sobre su formación profesional y experiencia docente. El propósito es ubicarlo en un equipo de trabajo cuyos integrantes tengan un perfil común y le aporten elementos de confianza.

Segundo nivel La interacción docente -contenido se refiere al espacio donde se debe dar a conocer el plan de trabajo del programa de formación: temas, objetivos, actividades, calendario, escalas de evaluación, entre otros. Esta información está accesible al profesor antes de iniciar las actividades didácticas, por lo que es posible adelantar tareas o consultar fuentes externas sin la guía o retroalimentación del tutor. En este momento resulta significativamente importante la fase de exploración guiada en internet del primer nivel, pues se han ubicado fuentes de información certificadas por comunidades académicas nacionales e internacionales, ya sea porque están indizadas o porque son producto de procesos de evaluación académica. Esto ayuda a que la internet no se convierta en un distractor de la actividad a realizar. En esta fase el profesor debe tener claro las metas del programa de formación didáctica y las estrategias individuales como colectivas para alcanzarlas. Conforme avance en la interacción con el contenido y comience a cumplir con sus actividades, el profesor experimentará la necesidad de interactuar con otros. Aunque siempre está abierto un espacio de socialización, la interacción académica será más demandada.

Tercer nivel Hablar de formación didáctica para el profesor de matemáticas pasa por incorporarlo a un campo de saber que le sea específico y que sea la fuente de información y actividad profesional (Lezama y Mariscal, 2008, p. 891). El conocimiento de los fenómenos relativos a la enseñanza de las matemáticas no es un resultado de simple

fusión de conocimientos provenientes de dominios independientes como lo son las matemáticas, la psicología y la pedagogía sino que requiere de investigaciones específicas. Hoy día hay teorías, perspectivas, metodologías de diseño y metodologías de investigación específicas para la educación matemática, y el campo de saber que las cobija es la matemática educativa. En la actualidad es considerada una disciplina científica, de carácter social, que se ocupa del estudio de los fenómenos didácticos que se suceden cuando los saberes matemáticos —constituidos socialmente en ámbitos no escolares— se introducen al sistema de enseñanza, y ello obliga a una serie de modificaciones que afectan de modo directo tanto a su estructura como a su funcionalidad; de manera que también afecta las relaciones que se establecen entre estudiantes y profesor (Cantoral y Farfán, 2003). Sin embargo, es evidente que los resultados de investigación de este campo de saber no son directamente transferibles a la práctica educativa. Un programa de formación debe lograr que el docente se incorpore a este campo, interprete su producción, reconozca las condiciones que le impone el escenario escolar y comparta su experiencia con la comunidad académica. En particular, dentro del modelo propuesto, el objetivo principal en este nivel es aportarle al profesor un rediseño escolar que pueda llevar al aula en condiciones reales de la escuela y proveerle de las herramientas teóricas para analizar la actividad con los estudiantes. Este proceso puede hacerse de dos formas: la primera alternativa, aunque con mayor extensión, retoma la estrategia de homología desarrollada por Kuzniak (1994, citado en Artigue, 2005), que pone al profesor en el papel de estudiante, usando situaciones y métodos de enseñanza que desea reproduzca con sus propios alumnos. Sin embargo, el modelo difiere en que las situaciones diseñadas para el profesor y para el alumno son distintas. La actividad para el profesor está diseñada desde la virtualidad, es decir, está pensada para resolverse en línea y para que se problematicen las nociones matemáticas escolares involucradas. A esto se le ha denominado resignificación de la matemática escolar (Montiel, 2005; García-Zatti y Montiel, 2007), que no consiste en el aprendizaje de los conceptos, sino en la identificación de los significados que subyacen a éstos y que están en estrecha relación con las situaciones y los contextos donde se construyen. Una vez que el profesor vive la experiencia didáctica no tradicional, junto con sus potencialidades y conflictos, se plantean y discuten los fundamentos teóricos que sustentan dicho diseño. La segunda alternativa comienza con este planteamiento de la teoría y continúa con la exposición del diseño propuesto para trabajar en aula, bajo condiciones escolares reales con sus propios alumnos. Antes de la fase experimental que se llevará a cabo con estudiantes, se deben reconocer las variables didácticas que afectarán la experiencia y, en consecuencia se deberán hacer las adaptaciones pertinentes para el contexto particular de cada profesor.

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Este nivel requiere continua interacción entre tutor y profesor respecto del rediseño propuesto, tanto en la fase de resolución personal de las situaciones como en su preparación para llevarlas al aula. Toda vez que llegar a este nivel presupone que los miembros de la experiencia han establecido comunicación con sus pares la interacción entre ellos se da independientemente del diseño, tanto entre los profesores participantes como entre los tutores. Así, además de la comunidad integrada por el propio programa de formación se constituyen microcomunidades de profesores y microcomunidades de tutores.

Cuarto nivel Cuando el propósito es evaluar el aprendizaje de contenidos específicos, los procesos automatizados de la modalidad en línea ayudan a la continua e inmediata evaluación al estudiante, que además le provee de información, motivación y retroalimentación. Sin embargo, los resultados en un proceso de formación docente solo se pueden evaluar con parámetros cualitativos sobre la producción del profesor y la repercusión que tiene en su práctica docente. Esta última es difícil de calificar cuando se está geográficamente distante y no se tiene acceso total a su clase, por ello se planea la propuesta del laboratorio didáctico como ese nivel de interacción que tiene el profesor con su contexto. Es el momento que se construye el significado personal de lo aprendido en el programa. El laboratorio es una práctica experimental donde el profesor pone a sus alumnos el diseño didáctico adaptado, toma registro de vídeo de la experiencia y junto con las producciones escritas clasifica y analiza los resultados. Este análisis debe fundamentarse en los elementos teóricos previamente expuestos, discutidos y compartidos, y es el momento en que el profesor explica un fenómeno didáctico en forma científica. La elaboración del reporte se acompaña de la presentación en vídeo que incluye extractos de la experiencia. Ambos trabajos se intercambian entre los miembros del equipo para recibir retroalimentación de los tutores y pares. Dado que es posible identificar nuevas variables que afectan la actividad, ésta puede ser modificada para futuras experiencias, por eso es posible una vía de regreso al tercer nivel de interacción.

Discusión La comunidad virtual es la configuración de espacios de colaboración, supone múltiples entidades independientes en evolución simultánea gracias a una interacción constante (Galindo, 2006). A partir de esto y con una propuesta de rediseño de la matemática escolar, es que se plantea el presente modelo. Sin embargo, como todo lo que nace en la virtualidad estará en constante evolución y cambio, pues día a día se originan nuevas formas de interacción entre los individuos y los grupos.

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Entre los constantes cambios que se han experimentado en la virtualidad hay un elemento que se perfila como constante: la constitución de comunidades. Una comunidad académica, como lo podría ser la comunidad de matemáticos educativos, tiene una organización que nace de proyectos y encuentros presenciales, pero que ha crecido y potenciado su producción y sus alcances gracias a la virtualidad. Una comunidad de aprendizaje, generada a partir de una experiencia de formación docente en línea, se constituye en la virtualidad y puede mantener su vínculo más allá de la experiencia que le da origen. No hay límites para la constitución de las comunidades, ni para su interacción, por lo que un modelo de formación en línea podría solo describir aquello que está a su alcance y puede controlar en términos de la propuesta académica.

Conclusiones Un proceso de formación didáctica para el profesor de matemáticas en servicio busca, al menos, que: • Se reconozca en la matemática educativa un campo de saber cuya producción científica y de difusión está a su disposición a través de publicaciones, impresas y en línea, reuniones académicas y programas de formación diversificada. • Se problematice el saber matemático escolar al identificar un fenómeno de aula. • Se tenga conocimiento de las teorías y perspectivas teóricas que explican los fenómenos de aula y sustentan la innovación didáctica. • Se profundice y reflexione sobre los sustentos teóricos más relacionados a su práctica docente. • Se analice, discuta y adapte secuencias didácticas innovadoras basadas en investigación, a su contexto escolar, con el propósito de ponerlas en marcha con alumnos en situación real. • Se registren experiencias de clase, se clasifique información, se expongan resultados, se intercambien experiencias y se discuta con los pares el impacto o efecto que tienen los diseños en las interacciones profesor-alumno-saber. Esto para asegurar los cuatro niveles de interacción que supone una experiencia de aprendizaje en línea. Sin embargo, la flexibilidad de la modalidad permite la incorporación de diversos propósitos y objetivos centrados en el aprendizaje, los contenidos, la evaluación y la comunidad (Anderson, 2004).

Recibido noviembre 2008 Aceptado enero 2009

Bibliografía Ally Mohamed, “Foundations of educational theory for online learning” en Theory and practice of online learning, Canadá, 2004, Athabasca University. Anderson Terry, “Toward a theory of online learning” en Theory and practice of online learning, Canadá, 2004, Athabasca University. Artigue Michele, “The integration of symbolic calculator into secondary education: some lessons from didactical engineering” en The didactical challenge of symbolic calculators. Turning a computational device into a mathematical instrument, USA, 2005, Springer. Cantoral Ricardo y Rosa María Farfán, “Matemática educativa: una visión de su evolución”, Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, vol. 6, núm. 1, 2003, pp. 27-40. Galindo Cáceres, Jesús, Cibercultura. Un mundo emergente y una nueva mirada, México, 2006, Consejo Nacional para la Cultura y las Artes e Instituto Mexiquense de Cultura. García-Zatti Mónica y Gisela Montiel, “Resignificando el concepto de función en una experiencia de educación a distancia” en Acta del I Encuentro Nacional sobre Enseñanza de la Matemática, vol. 1, Tandil, Argentina, 2007. Kuzniak Alain, Etude des stratégies de formation en mathématiques utilisées par les formateurs de maîtres du premier degré, tesis doctoral, París, 1994, Université Paris VII. Lezama Javier y Elizabeth Mariscal, “Docencia en matemáticas: hacia un modelo del profesor desde la perspectiva socioepistemológica”, en Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, vol. 21, México, 2008, Colegio Mexicano de Matemática Educativa A. C. y Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C. Montiel, Gisela, “Interacciones en un escenario en línea. El papel de la socioepistemología en la resignificación del concepto de derivada”, Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, vol. 8, núm. 2, 2005, pp. 219-233.

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Lineamientos para pres 96

r originales a t n e TEMÁTICA 1.

Los originales deben ser inéditos y abordar temas sobre educación o relacionados con este sector, tales como: educación a distancia; educación ambiental; educación, empleo y empresa; enseñanza de las matemáticas; evaluación de la investigación; evaluación educativa; filosofía de la educación; formación de docentes y de investigadores; internacionalización de la educación; investigación educativa; organización y desarrollo de la investigación científica; pedagogía y didáctica; planeación educativa; política científica universitaria; política educativa; procesos de enseñanza y aprendizaje; prospectiva; psicología educativa; sociología educativa; tecnología educativa y tutoría.

2.

Los trabajos pueden ser a) investigaciones o resultados de investigaciones originales de reconocido nivel académico, y b) de divulgación: monografía, ensayo, tesis, reflexión y crítica.

ESTRUCTURA

DE ORIGINALES

3.

La extensión del trabajo debe tener como mínimo 15 cuartillas y no debe exceder las 30 cuartillas a espacio y medio, incluyendo imágenes, cuadros, gráficas, notas y bibliografía; debe presentarse en tamaño carta, con tipo verdana de 11 puntos, a una columna, y en mayúsculas y minúsculas. El original debe estar escrito en tercera persona del singular.

4.

El título debe ser descriptivo y no exceder las 15 palabras.

5.

El resumen no debe superar las 10 líneas (renglones), y debe incluirse abstract.

6.

Las palabras clave deben ser entre 6 y 8, y debe incluirse key words.

7.

El desarrollo del tema debe organizarse en párrafos de 6 líneas (renglones) como mínimo y de 18 como máximo.

8.

Todo trabajo debe tener conclusiones.

9.

Las imágenes (con 300 dpi de resolución), los cuadros y las gráficas deben estar enumerados por orden de aparición en el cuerpo del original, además de anotarse la fuente al pie de éstos. Los cuadros, gráficas y figuras deben presentarse en programas originales, es decir, no se deben pegar en el texto como imágenes.

10. Las notas no se integran con ninguna instrucción de procesador de palabras que las incorpore como nota de pie de página o de final del texto. Se incluyen al terminar el artículo, con llamadas numéricas consecutivas que llevan únicamente la instrucción de superíndice. 11. Las citas bibliográficas que aparezcan en el texto, en la fuente de los cuadros, gráficas y esquemas y en las notas a pie de página deben ir entre paréntesis, indicando el apellido del autor, fecha de publicación y número de página(s). 12. La bibliografía debe contener únicamente las obras citadas en el texto y en los pies de página con la referencia bibliográfica, en orden alfabético y presentarse de la siguiente manera: Libro: Bolívar Meza, Rosendo, La construcción de la alternancia política en México, México, 2003, IPN. Capítulos de libro: Aguilar Villanueva, Luis, “Estudio introductorio” en El estudio de las políticas públicas, México, 1994, Porrúa. Artículos de revistas: González-Gaudiano, Edgar, “Imaginario colectivo e ideario de los educadores ambientales en América Latina y el Caribe: ¿hacia una nueva matriz disciplinaria constituyente?”, Revista Iberoamericana de Educación, núm., 40, 2006, OEI, pp. 71-89. 13. La primera vez que aparezca una sigla o un acrónimo deberá escribirse in extenso con el acrónimo o siglas entre paréntesis, en lo sucesivo se utiliza solo la sigla o el acrónimo. 14. Se recomienda evitar el uso de palabras en idioma distinto al español y de neologismos innecesarios. En caso de ser ineludible utilizar un término en lengua extranjera (en caso de no existir una traducción apropiada), se anotará una breve explicación o traducción aproximada entre paréntesis o como nota de pie de página. ENTREGA

DE ORIGINALES

15. Los originales se entregan impresos y en archivo electrónico (disquete, CD), en procesador de textos Word, o pueden enviarse por correo electrónico. 16. Los originales deben estar acompañados de una carátula que contenga los datos del autor (nombre, grado académico, institución donde labora, domicilio, teléfono, correo electrónico y fax) y de una síntesis curricular. Pueden ser enviados al correo electrónico: [email protected] o entregarlos en la Coordinación Editorial, edificio de la Secretaría Académica, 1er. piso, Unidad Profesional “Adolfo López Mateos”. Av. Luis Enrique Erro s/n., Zacatenco, CP. 07738, Delegación Gustavo A. Madero, México, D.F. PROCEDIMIENTO 17. Todos los originales que se ajusten a estos términos son sometidos a dictamen por parte de especialistas, con un estricto anonimato tanto de autores como de dictaminadores. 18. La Coordinación Editorial se reserva el derecho de realizar la corrección de estilo y los cambios editoriales que considere necesarios para mejorar el trabajo. No se devuelven originales. 19. Cada autor recibirá cinco ejemplares del número de la revista en que es publicado su artículo.

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CECSA

PAIDÓS

GRUPO EDITORIAL PATRIA

PAIDÓS

Instituto Politécnico Nacional José Enrique Villa Rivera Director General

Efrén Parada Arias Secretario General

Yoloxóchitl Bustamante Díez Secretaria Académica

Luis Humberto Fabila Castillo Secretario de Investigación y Posgrado

José Madrid Flores

Las

matemáticas y la educación

Secretario de Extensión e Integración Social

Héctor Martínez Castuera Secretario de Servicios Educativos

Luis Antonio Ríos Cárdenas Secretario Técnico

Mario Alberto Rodríguez Casas Secretario de Administración

Luis Eduardo Zedillo Ponce de León Secretario Ejecutivo de la Comisión de Operación y Fomento de Actividades Académicas

Jesús Ortiz Gutiérrez Secretario Ejecutivo del Patronato de Obras e Instalaciones

Klaus Michael Lindig Bos Coordinador General de Servicios Informáticos

Luis Alberto Cortés Ortiz Abogado General