Construcción de Polígonos Regulares Con Regla y Compás

“ConstruCCión de polígonos regulares Con regla y Compás” Historia de las Matemáticas. Daniela Ojeda Guerrero

16 de Octubre 2015

Contenido Introducción histórica ................................................................................................................. 3 Objetivos .................................................................................................................................. 4 Tema de investigación: Construcción de polígonos regulares con regla y compás. ....... 5 Euclides .................................................................................................................................... 5 Gauss ....................................................................................................................................... 7 Wanttzel ................................................................................................................................... 9 Richmond ............................................................................................................................... 10 Rosetones Gaussianos ....................................................................................................... 12 Conclusión ................................................................................................................................. 15 Bibliografía ................................................................................................................................. 16

Introducción histórica Las construcciones geométricas

en

la

Antigua

Grecia se

desarrolló

aproximadamente entre los años 475 a.C y 325 a.C. Los griegos obtuvieron grandes logros en las matemáticas teórica, y se desarrollaron en cuatro áreas fundamentalmente, estas son: La teoría de números, la geometría métrica, teoría del razonamiento y la geometría no métrica. La Geometría no métrica fundamentalmente centrada en la realización de construcciones utilizando sólo dos instrumentos, regla y compás. El saber de las construcciones de polígonos regulares con regla y compás se dio mucha importancia en la antigua Grecia. Los antiguos griegos sabían construir triángulo, un cuadrado y un pentágono regulares. Euclides proporcionó construcciones, utilizando regla y compás, para polígono regulares con 3, 5 y 15 lados. Y además que estos números podían duplicarse repetidamente a través de la bisección de ángulos (4, 6, 8 y 10 lados). La forma de construir el polígono regular de 15 lados fue combinando un triángulo y un pentágono. Pero Euclides no proporcionó teorías de construcciones para polígonos regulares de lado n, siendo n un número primo, a través de las herramientas regla y compás.

Durante 2000 años no hubo registro de más construcciones de polígonos regulares de n lados que pudieran ser construido con compás y regla. Por lo tanto, los griegos se enfrentaron a problemas que no fueron capaces de solucionar, conocidos como los problemas clásicos de la geometría antigüa. Sin embargo, el 30 de marzo del año 1796, Carl Friedrich Gauss cuando solo tenía 19, descubrió la manera de construir un polígono regular de 17 lados, el heptadecágono. En ese entonces Gauss demostró que un polígono regular con un número n de lados, siendo n un número primo de Fermat podía ser entonces construido con regla y compás: Fue este sin duda un descubrimiento de gran importancia, en el campo de las matemáticas en especial en el área de la geometría, después de 2000 mil años de intentos por construir polígonos regulares de n lados con regla y compás en la Antigua Grecia. Gauss orgulloso de su resultado solicitó que en su tumba fuera inscrita un heptadecágono, sin

embargo fue imposible para el encargado realizar tal construcción, pues consideró que este polígono regular se semejaba mucho a un círculo. Pasado 5 años, en el año 1801, Gauss desarrolla la teoría de periodos gaussianos en su libro “Disquisiciones Aritméticas”. En este libro se plasma la teoría que permitió formular una condición suficiente para demostrar cuales no y cuales si son los polígonos regulares que se pueden construir con regla y compás. Gauss conjeturó esta condición, sin embargo, no dio ninguna prueba de esta afirmación. Fue en el año 1837,

que el matemático francés Wanttzel realizó una

demostración completa. Para ilustrar la construcción del polígono regular de 17 lados una de las mejores demostraciones la dio Richmond en 1893. Esta demostración fue recogida por Stewart en su libro “La teoría de Galois”. En la actualidad solo se saben construir de forma exacta 5 polígonos regulares, tales que el número de sus lados, n, sea un número primo n = 3, 5, 17, 257 y 65.537 y se sospecha que no existen más, el de 257 lo construyó Richelot en 1832 y el de 65.537, De Lingen en 1894. (Ortega, Crespo 2005). Desde el siglo XIX Gauss mostró que para que un polígono fuera construible con regla y compás debía tener una cantidad de lados que fuera un número primo de la 𝑛

forma 𝑓 𝑛 = 22 + 1,

(n= 0, 1, 2, 3, 4) que se llaman primos de Fermat.

Conocemos 5 mencionados anteriormente. En este trabajo de investigación se contextualizara la construcción de polígonos regulares con regla y compás a través del tiempo, describiendo métodos y teorías con su respectivos autores, en primer lugar se describirá el trabajo de Euclides en esta área, y fundamentalmente la teoría de la construcción del polígono regular de 17 lados por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss y como otros matemáticos influyeron en la formalización de su teoría y finalmente se hará una breve descripción de unos lo más recientes trabajos realizado Ortega (2005). Objetivos Descripción de construcción de polígonos regulares con regla y compás a través del tiempo.

Se proporcionará y describirá los métodos de solución de construcciones de polígonos regulares a través del tiempo y con sus respectivos autores. En primer lugar tenemos a Euclides (300 a.C) quién muestra cómo construir polígonos regulares con regla y compás de tres, cuatro, cinco, seis y quince lados, y a través de una bisección sucesiva de ángulos se logran construcciones de polígonos regulares que tienen 2𝑛 , 3(2𝑛 ), 5(2𝑛 ), y 15(2𝑛 ) lados. En este trabajo se describirá la construcción del pentadecágono regular ya que fue fundamental para que Euclides concluya con el método que permite construir polígonos regulares, mencionado anteriormente. Tema de investigación: Construcción de polígonos regulares con regla y compás. Euclides

En la Proposición 16 del libro IV de los elementos, Euclides muestra cómo construir con regla y compás un pentadecágono regular. Por otra parte, con esta proposición, Euclides termina la exposición de un procedimiento para construir polígono regulares con 3, 4, 5, 6 y 15 lados. Ahora, dado cualquier polígono regular, podemos construir otro polígono regular con doble número de lados. Siguiendo este proceso, primero se describe un círculo en torno al polígono dado y luego se dividen en dos partes iguales todos los arcos subtendidos por los lados del polígono. Este método permite construir polígonos regulares con 3(2𝑛 ) , 4(2𝑛 ), 5(2𝑛 ), 15(2𝑛 ) lados, donde n es 0, o cualquier entero positivo. Demostración de la construcción de pentadecágono regular con regla y compás. Proposición 16 Inscribir un pentadecágono equilátero y equiángulo en un círculo dado. Sea el triángulo ABC el círculo dado. Así pues, hay que inscribir un pentadecágono equilátero y equiángulo en el círculo el triángulo ABT.

Inscríbase en el círculo el triángulo ATB el lado AT del triángulo equilátero inscrito en él y el (lado) AB del pentágono equilátero; entonces, así como de los segmentos iguales hay 15 en el círculo ATB triángulo, así también habrá cinco en la circunferencia ABT que es la tercera parte del círculo, y habrá tres en la circunferencia AB que es la quinta parte del círculo; por tanto, en la circunferencia restante BT habrá dos. Divídase en dos partes iguales BT por el punto E, entonces cada una de las circunferencias BE, ET es la quinceava parte del círculo triángulo ABT. Por consiguiente, si después de trazar BE, ET, adaptamos al círculo triángulo ABT sucesivamente rectas iguales (a ellas), se habrá inscrito en él un pentadecágono equilátero y equiángulo. Q.E.F. De manera semejante al caso del pentágono, si trazamos tangentes al círculo por los puntos de división del círculo se circunscribiría en torno al círculo un pentadecágono equilátero y equiángulo.

Además, mediante pruebas semejantes a las del caso del pentágono circunscribiríamos en inscribiríamos un círculo en el pentadecágono dado. Q.E.F. Dicho de otra forma: En la proposición

16

del

libro

IV de

los Elementos, Euclides muestra cómo construir con regla y compás un pentadecágono regular, de

la

siguiente

forma.

Inscribimos en un círculo un triángulo y un pentágono

equiláteros

vértice A.

Si

que

suponemos

comparten dividida

un la

circunferencia en 15 partes iguales desde A, el arco AC tendrá 5 partes y el AB 3 partes. Entonces la diferencia BC son 2 partes, y construyendo el punto medio E del arco BC obtenemos un lado BE del pentadecágono regular. Esta demostración permite a Euclides finalizar con los procedimientos para construir polígonos regulares con regla y compás. Después de 2000 mil años, se presentó un avance fundamental en el área de la geometría, ya que después de los estudios de Euclides en la construcción de polígonos regulares mencionadas anteriormente, no se conoció ningún otro polígono regular que se pueda construir con regla y compás. Hasta que el matemático alemán Carl Friedrich Gauss desarrollará una teoría para demostrar que un polígono regular con un número primo de lados podía ser construido, con herramientas Euclídeas, si y solo sí el número de lados es de la 𝑛

forma 𝑓 𝑛 = 22 + 1

para

𝑛 = 0,1,2,3 𝑦 4

los

valores

de

𝑓 𝑛 = 3, 5 ,17, 257, 65537, todos ellos números primos.

Gauss A continuación se describirá la construcción del polígono regular de 17 lados con regla y compás y de cómo llegó a la teoría mencionada anteriormente, de manera cronológica. En 1796 Gauss demostró que se puede construir un polígono de 17 lados para 5 años después, en 1801, desarrollar la teoría de períodos Gaussianos en su libro “Disquisiciones Aritméticas”. Esta consiste principalmente en lo siguiente: Período gaussiano: En el área de la teoría de números, un periodo gaussiano es un tipo de suma de las raíces primitivas de la unidad. Estos periodos permiten hacer cálculos explícitos en áreas ciclotómicas en relación con la teoría de grupos de Galois. Fueron introducidos por Gauss como base de su teoría de construcciones con regla y compás en la construcción del famoso Heptadecágono regular. De manera general se describirá “Disquisiciones Aritméticas”, que contribuyó a la construcción del Heptadecágono regular.

La sección séptima de las disquisiciones aritméticas de Gauss se concentra en el estudio de la ecuación 𝑥 𝑛 =1 donde n es un número primo. Gauss teoriza acerca de la posibilidad de resolver esta ecuación mediante una cadena de ecuaciones auxiliares de grados cada vez menores. Las soluciones de 𝑥 𝑛 =1 están representadas por los vértices de polígono regular de n lados en el plano complejo. Un resultado geométricamente interesante se da cuando n es un primo de Fermat, como por ejemplo 𝑛 = 17 = 24 + 1 . En ese caso todas las ecuaciones auxiliares anteriormente mencionadas tiene grado 2, y su solución corresponde a una construcción que se puede hacer con regla y compás. Posteriormente Gauss incluyó este resultado al final de su libro Disquisitiones Arithmeticae en el que prueba que es posible la construcción de cualquier polígono regular de n lados cuando n es n primo de la forma que son los primos de Fermat. En sus disquisiciones aritméticas Gauss da sólo la expresión algebraica para el coseno de

2𝑝𝑖 17

en términos de raíces cuadradas

consecutivas: cos

2𝜋 1 1 1 1 =− + 17 + 34 − 2 17 + 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 17 16 16 16 8

Que resolvería la división de la circunferencia en 17 partes iguales. Esta condición de constructibilidad basada en los números primos de Fermat es necesaria y suficiente, pero nunca publicó la demostración de la parte necesaria. El área de un heptadecágono regular es 𝐴 =

17 4

𝜋

𝑎2 𝑐𝑜𝑠 17 ≅ 1.848 𝑎2

En esta sección Gauss incluye el que fue su primer resultado estrella, la construcción del polígono regular de 17 lados, analizada anteriormente. Gauss conjeturó esta condición, sin embargo, no dio ninguna prueba de esta afirmación.

Wanttzel

Fue en el año 1837,

que el matemático francés Wanttzel realizó una

desmostración completa. Pierre Laurent Wantzel (1814 – 1848) fue un matemático francés nacido en París que en 1837 publicó su obra “Recherches sur le moyens de reconnaître si un Problème Géométrie peut sé résoudre avec la règle et le compas” en el prestigioso Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. En esta obra Wantzel da respuesta a los problemas de la construcción de polígonos regulares con regla y compás. Para ello lo que hace es abordar estos problemas de geometría a través del álgebra. Supone que un problema de geometría puede ser resuelto por la intersección de líneas rectas y circunferencias de círculos.

Al combinar los puntos así obtenidos con los

centros de los círculos y con los puntos que determinan las rectas, el resultado es un conjunto de triángulos cuyos elementos pueden ser calculados mediante fórmulas

trigonométricas.

Además

estas

fórmulas

serán

ecuaciones

algebraicas de primer y segundo grado. Así el problema se reduce a resolver series de ecuaciones cuadráticas cuyos coeficientes son funciones racionales de las raíces de las ecuaciones precedentes. Además para que la construcción sea posible con regla y compás las raíces de las ecuaciones de las que partimos deberán ser algebraicas. Partiendo de este argumento Wantzel elabora una teoría por la cual concluye que aquellos problemas de geometría que conducen a la resolución de una ecuación cuyo grado no es una potencia de 2 no pueden resueltos con regla y compás, o lo que es lo mismo, como intersección de líneas y círculos. De esta forma la duplicación del cubo que depende de la ecuación 𝑥 3 − 2𝑎3 = 0 , sería imposible de realizar con regla y compás ya que ésta ecuación es irreducible. Así mismo la trisección del ángulo sería también inviable ya que depende de la 3

1

ecuación 𝑥 3 − 4 𝑥 + 4 𝑎 = 0,

que es irreducible si no hay raíz que sea una

función racional de a, y esto no puede ser ya que imponemos que a sea algebraico. De esta forma Wantzel demostró que ninguno de estos dos problemas podía ser resuelto por regla y compás.

El problema de la construcción de polígonos regulares con regla y compás se puede abordar como intentar resolver el problema de la división del círculo en partes iguales. Y esto no es más que resolver la ecuación 𝑥 𝑚 − 1 = 0 para m primo o una potencia de un primo. Si m es primo la ecuación

(𝑥 𝑚 −1) (𝑥−1)

= 0 de

grado 𝑚 − 1 es 15 irreducible como adelantó Gauss en sus disquisiciones aritméticas. Sección VII por lo que la división no puede hacerse por construcciones geométricas si 𝑚 − 1 = 2𝑛 . Si por el contrario m fuese de la forma 𝑎𝑎 Wantzel demuestra que para este caso la única raíz de a que resolvería el problema sería a = 2. Por tanto, Wantzel deduce que, “la división del círculo en N partes iguales se puede hacer por regla y compás sólo si los factores primos de N que son distintos de 2 son de la forma 2𝑛 + 1 y si además sólo incluyen la primera potencia de este número”. Este mismo resultado fue escrito por Gauss al final de su libro “Disquisitiones Arithmeticae” pero no dió demostración alguna. De ambos matemáticos se puede resumir lo siguiente: Teorema 8 (Gauss). Un polígono regular de n lados puede construirse con regla y compás si n es el producto de una potencia de 2 y cualquier producto de primos de Fermat distintos. Gauss conjetura que esta condición también es necesaria, lo que sería probado por Pierre Wantzel . Así un polígono regular de n lados es constructible si n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, . . . y no lo será si n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, . . .

Richmond

Ya en el año 1893 el matemático Richmond ilustró una de las mejores demostraciones de la construcción del polígono regular de 17 lados, esta fue recogida por Stewart en su libro “La teoría de Galois”. Esta demostración dice: Dibuja un círculo centrado en O y elige un vértice V en el círculo. Localiza después el punto A del círculo tal que OA es perpendicular a OV y dibuja el punto B en el segmento OA tal que OB es & de OA. Después encuentra el punto C en OV que hace que el ángulo OBC sea & del ángulo

OBV. Encuentra el punto D en el segmento OV extendido tal que DBC es la mitad de un ángulo recto. Sea E el punto que denota donde el círculo en DV corta a OA. Ahora dibuja un círculo centrado en C que pase por el punto E, y deja que F y G denoten los dos puntos donde el círculo se encuentra con OV. Entonces, si se dibujan las rectas perpendiculares a OV por F y G, éstas cortarán al círculo primitivo (el centrado en O que pasa por V) en los puntos V3 y V5, como se muestra en la figura más abajo).

Los puntos V, V3, y V5 son los vértices 0, tercero y quinto de un heptadecágono regular. Los siguientes vértices son fáciles de encontrar (por ejemplo, bisecando el ángulo V3 O V5 para encontrar el vértice V4).

Influencia actualmente en la vida real de construcciones geométricas de polígonos regulares con regla y compás, son los llamados “Rosetones gaussianos”.

Rosetones Gaussianos

Los rosetones que más abundan en las catedrales son los de tres, cuatro y seis pétalos, son lo más fáciles de construir. No aparecen rosetones con mayor número de pétalos y la razón es la siguiente: al aumentar el número, el radio de la circunferencia de centros , 𝑅𝑐 , está muy cercano al radio de la circunferencia exterior, 𝑅𝑒 ,y, en consecuencia, las circunferencias de los pétalos se tornan diminutas, son difícels de tallar y, además, pierden belleza, aunque se suelen combinar con rosetone interiores concéntricos y con la mitad de pétalos. Como señala Crespo Crespo (2005), el radio de la circunferencia de centros 𝑅𝑐 , se puede determinar de forma aproximada a partir del radio exterior, 𝑅𝑒 mediante la siguiente relación: 𝑅𝑐 =

𝑅𝑒 1+𝑠𝑒𝑛

𝜋 𝑛

Sin embargo, las posibilidades matemáticas no son las mismas que las del dibujo geométrico y, además de las limitaciones impuestas por el número de pétalos, la imposibilidad de dibujar ciertos polígonos regulares de forma exacta con regla y compás. El teorema de Gauss específica qué polígonos regulares se pueden diseñar con regla y compás de forma exacta, y cuáles no. Un polígono regular de M lados se pueden construir “de forma exacta” con regla y compás si y sólo si: 𝑀 = 2𝑘 𝑀 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑀 = 2𝑘 + 1 M es un número compuesto de factores diferentes del tipo anterior , es decir, 𝑀 = 2𝑘 (2𝑟 + 1)(2𝑠 + 1). Por lo tanto, los rosetones gaussianos se construyen sobre un polígono regular que se puede dibujar con regla y compás de forma exacta, y teniendo en cuenta el teorema de Gauss el número de pétalos de estos rosetones tiene que ser alguno de los de la siguiente sucesión: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24,… . No aparecen rosetones con las siguientes sucesiones 9, 11, 13, 14, 18,

19, 21, 22 y 23 pétalos, no se pueden construir de forma exacta los polígonos regulares de este números de lados. Una de sus aplicaciones en la vida real lo podemos admirar en la catedral (una de las más bellas del mundo), tiene 61 metros de anchura, un esquema de cruz latina con unos 108 metros de longitud y un claustro de planta cuadrada de unos 40 metros de lado, en ella se encuentran rosetones de 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 y 20 pétalos distribuidos.

Método métrico de la proporción: Se duplica el número de lados, conocido (Ortega, T., 2005) que la longitud del lado del polígono regular de 2n lados, 𝑙2𝑛 , se expresa en función de la longitud del lado del polígono regular de n lados,𝑙𝑛 ,mediante la siguiente relación, conocida como igualdad de Von Ceulen 𝑙2𝑛= 2 − 4 − 𝑙𝑛2 el análisis de las relaciones métricas de los rosetones se va complicando en exceso, y lo mismo ocurre con las expresiones explicitas de las relaciones entre los radios de las circunferencias que lo determinan. La siguiente figura muestra la construcción del rosetón de 16 pétalos.

Conclusión En este trabajo de investigación de tema “Construcción de polígono regulares con regla y compás” se vinculó principalmente en las teorías sobre construcciones geométricas a partir de esta dos herramientas a través del tiempo y con sus respectivos matemáticos, siendo Euclides el impulsor de estas construcciones de polígonos regulares en el año (300 a.C), sin embargo, durante dos siglos quedo estancada la noción de que se podía construir polígonos regulares con regla y compás con n lados, siendo n un número primo hasta que Gauss desarrollo la teoría de Fermat, y como conclusión actualmente hasta ahora solo se conocen 5 polígonos regulares con un número primo, a través de los años se fue formalizando y trabajando esta teoría que Gauss conjeturó, sin embargo

el matemático

Pierre wantzel aportó esta

demostración en el año 1837. Sin embargo, aún no se concreta en definitiva que solo se pueden construir 5 polígonos regulares cuyos lados sean un número primo, por ende, queda la incertidumbre para la historia de las matemáticas para refutar lo dicho o probar lo contrario. Dejo por consiguiente la interrogante y la sospecha aún por resolver.

Además puedo concluir que estas construcciones con regla y compás se manifestó como un arte, estas son las llamadas rosetones gaussianos, cuyas construcciones geométricas se combinan con el arte del dibujo técnico y las matemáticas, que se aprecian principalmente en las catedrales.

Bibliografía

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R Elena Ortega, Inés Ortega, Tomás Ortega, Cecilia Crespo Crespo.. (Junio de 2005). La motivación de la belleza. IBEROAMERICANA DE LA EDUCACION MATEMÁTICA, 2, 33-46.

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Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticae (1801).

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Pablo García Hernández. (Diciembre de 2006). CARL FRIEDRICH GAUSS. ESTUDIO DE SU OBRA “DISQUISITIONES ARITHMETICAE” Y CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES CON REGLA Y COMPÁS, 1, 7-11,14-15.

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Carlos García Gual, Palomma Ortiz. (1991). ELEMENTOS EUCLIDES. Madrid: Gredos, 155.



Apolonio. (24 de diciembre 2012). Trisecciones y “pentasecciones” de ángulos con regla y compás. Octubre 2015, de Carnaval de las matemáticas.

Sitio

web:

Euclides

(http://apolonio.es/guirnalda/trisecciones-y-pentasecciones-deangulos-con-regla-y-compas/

IV.16