Construcción de los números enteros

Construcción de los números enteros Comencemos por la construcción de los enteros. El conjunto de los enteros es

Además sabemos que el orden usual en

es

, y sabemos sumar estos

números: por ejemplo , , etcétera. Pues bien, la meta que tenemos en mente es: e s: utilizando la estructura de los naturales y teoría de conjuntos, cómo construimos la estructura de los números enteros? Esto último consiste en: 1. Definir el conjunto 2. definir el orden

, esto es, dar una condición precisa de cuándo

 para cualquier par 3. definir la suma

, ,

,y en los enteros.

Tratemos primero, a modo de calentamiento, ca lentamiento, construir a los enteros informal y rápidamente. Depués el lector comparará este intento con la construcción  presentada más adelante, donde verá la elegancia y naturalidad del uso de las relaciones de equivalencia (aunque parezca un proceso algo artificial al comienzo). 1. Definición de : . En otras palabras, los enteros son los naturales, más una copia copia de los números positivos ,  poniéndoles un palito antes para para indicar que son negativos: así, por  ejemplo, el

es la copia negativa del

llamaremos enteros negativos. negativos. Note que

. A estos números con palito les .

2. Definición del orden : El orden en los enteros se define así: 1. Entre números naturales, el orden es el mismo que se tenía en (en otras palabras, el orden de los enteros extiende al orden de los naturales).

2. Si es negativo y que todo positivo). 3. Si

es un natural,

(todo negativo es menor 

son ambos negativos,

donde

y

sólo si

(con

), entonces

si y

(en negativos, el orden ``se invierte'').

Esta definición se resume así: . 3. Definición de la operación suma: 1. Para enteros naturales, la suma es la misma de los naturales (esto es, la suma de enteros extiende a la suma de naturales). 2. Si

son ambos negativos,

donde

y

entonces

se define como el número

último

(con

), (donde este

denota la suma de naturales). [Por 

ejemplo, ]. Esta definición garantiza que la suma de negativos es negativo. 3. Le dejamos al lector la tarea de definir la suma de un positivo con un negativo, y comparar con la de otros, buscando la más simple  posible. Consideremos el conjunto con

, que consta de todas las parejas

,

. Para motivar las cosas, imaginemos que cada

 pareja codifica el movimiento vertical de un objeto que se encontraba originalmente en un lugar fijo, en donde representa el número de unidades que se movió hacia arriba, y el número de unidades que se movió hacia abajo. Por  ejemplo, la pareja después

codifica un movimiento de

hacia abajo. Es claro que la pareja

unidades hacia arriba, y representa un movimiento

distinto al representado por ; sin embargo, para efectos de la posición final del objeto, ambos movimientos son equivalentes: la localización final de un objeto, ya bien siga el movimiento origen, esto es, de

o

, será de una unidad bajo el

. Así, cada pareja representará un número

entero: representará al , representará al , etcétera. Pero dado que muchas parejas de naturales representan al mismo entero, debemos meter a ellas en un mismo barril , y el barril será por definición el número entero representado por sus elementos. A continuación formalizamos la discusión anterior: Definición  131 Definimos la relación

sobre

de la siguiente

manera: si y sólo si Lema 132 es una relación de equivalencia.  Demostración. [ Prueba]Es dejada al lector. Definición  133 Definimos al conjunto de los enteros  por

.

.

Antes de continuar es necesario introducir el concepto de buena definición de operaciones o relaciones, el cual es fundamental cuando se quieren definir nuevas relaciones u operaciones sobre conjuntos cociente, esto es, conjuntos de la forma

, donde

es una relación de equivalencia sobre

.

Supongamos, por ejemplo, que se nos dice lo siguiente: sea función dada por dominio es

. Ahora, a partir de la función

, sería natural definir una función

siguiente manera: El problema con la anterior definición de es una función: pues por ejemplo sea

la , cuyo

, de la

. es que es ambigüa, es decir, . Según

no

esto,

. Sin embargo, dado que

que

, y por esto también tenemos

que

.

valor de es,

, tenemos

no está bien definida, esto es, el

depende del representante

de la clase

que se tome (esto

) no es una función.

Quisiéramos definir la suma en

de modo que coincida con la suma que

conocemos en los enteros. Por ejemplo, quisiéramos que al sumar resultado fuera

. Según nuestras definiciones, el entero

clase de la pareja

, esto es,

que si sumamos las parejas

y

el

es, por ejemplo, la

. Similarmente,

. Note

``componente a componente'',

obtenemos la pareja  precisamente,

con

. Pero la clase de

es,

!

Si en vez de utilizar los representantes y de y respectivamente utilizamos otros representantes y los sumamos componente a componente, ¿llegamos también a un representante de

? Tomemos, por ejemplo,

estas parejas, obtenemos  Note que antes habíamos llegado a la pareja  pareja distinta

, pero

misma clase de equivalencia, a saber,

y

. Si sumamos

. La clase de

es

.

, y ahora llegamos a una . Esto es, en esencia llegamos a la .

Lo anterior nos motiva a definir la suma en los enteros de la siguiente manera:

 Note que el primer símobolo en la ecuación anterior denota la suma en enteros (que estamos definiendo), y los símbolos de suma a la derecha de la igualdad denotan la suma en naturales, que aceptamos como ya definida. Si definimos la función

como

,y

definimos

por 

Entonces la definición recién dada de la suma de enteros es precisamente es, . ¿Está verificar que es así, debemos demostrar lo siguiente: Si

y

, esto

bien definida? Para

,

entonces

[esto

es,

].

El ejemplo anterior es un caso particular de este hecho general, que hemos de  probar, en donde: 1.

,

2.

,

3.

, , ,

4.

Lema 134

.

está bien definida, esto es,

 Demostración. [ Prueba]Es dejada al lector.

Por ejemplo, para sumar los enteros

y

,

tomamos cualquier representante

y cualquier representante

, sumamos estas parejas componente a componente (esto es, calculamos

) y la clase del resultado es, por 

definición

. Hagamos esto: tomamos

;

,

. Entonces

es

, y esta última clase

.

El lector crítico se habrá dado cuenta que a lo largo de esta discusión hemos utilizado la expresión

, con

natural, para referirnos a algunos enteros. Sin

embargo, no hemos definido con precisión qué significa hacemos: Definición  135 Si Sumersión de

es un número natural, definimos

.

en

Consideremos un natural cualquiera, digamos, el el

. A continuación lo

es la clase de, por ejemplo,

,

,o

. Como número entero, , entre muchas otras

 parejas. Sin embargo, estrictamente hablando, . Por decirlo así, el como natural es simplemente , pero como entero es (o quisiéramos que fuera)

. Estrictamente

no está contenido en

,

 pero si identificamos o asociamos a cada natural el entero , entonces la estructura de los naturales vivirá, gracias a una copia, en . Para formalizar lo anterior, necesitamos una función que sea inyectiva y que respete la estructura de la suma en . A tal función la llamaremos una sumersión: Sea 1.

la función es inyectiva, y

. Entonces:

2. Para todo par de enteros

,

Para demostrar la inyectividad de es, mismo, suma bajo

.

, suponemos que

, así que

, esto

, o lo que es lo

, luego . Para demostrar que la ``imagen de la es la suma de las imágenes bajo '', basta observar que

La segunda igualdad vale gracias a la definición de suma de enteros. Por  conveniencia, de ahora en adelante utilizaremos el símbolo para denotar al conjunto

Gracias a esto, ahora podemos afirmar que , como nos habíamos  propuesto. Además, abusando un poco el lenguaje, no haremos distinción entre natural

y

; esto nos permitirá, por ejemplo, hablar del

fácilmente, sin tener que escribir

.

¿Qué tan distintos son los nuevos naturales de los viejos naturales (llamemos  prenaturales a estos últimos)? Como conjunto, son totalmente distintos. Sin embargo, como estructuras, son isomorfas: los naturales preservan exa ctamente la misma estructura interna de los prenaturales, en cuanto a suma y multiplicación. Definamos el producto en los naturales de la manera natural, valga la redundancia, esto es,  producto de prenaturales y ejemplo, la operación

(aquí denota el , que consideramos ya definido). Así, por  en los prenaturales, se traduce en la

operación , que es esencialmente la misma. Si la identidad de la multiplicación en los prenaturales es el número

, en

los naturales será

(ya que para todo natural

,

).

Definición  136 Dado Lema 137

, definimos

.

está bien definido, esto es, no depende del representante

 Más precisamente: dados

,

.

 Demostración. [ Prueba]Sean que

. Debemos demostrar 

. Como

entonces son equivalentes bajo

y

pertenecen a la misma clase,

, esto es,

. Esto implica

trivialmente, gracias a la conmutatividad de la suma que que implica, por definición, que

Es usual llamar a resultado:

, lo

.

la operación unaria de inverso aditivo, gracias al siguiente

Lema 138  Para todo

(recuerde que

 Demostración. [ Prueba]Sea

. Entonces

luego

). ,

. Pero claramente

que implica que Al entero

.

.

lo llamaremos el inverso aditivo de

de la suma en los enteros es que todo elemento aditivo, esto es, un elemento

, lo

tal que

. La diferencia fundamental tiene un (único) inverso . Esto no ocurre en general

en los naturales: para cualquier natural . Intuitivamente, una vez ``estamos'' en , no podemos invertir la dirección y devolvernos al cero,

utilizando naturales. Para ello es necesario extender los naturales a los enteros, en donde hay bidireccionalidad. Para antes de seguir leyendo :

1. Demuestre lo siguiente: para todo que en o

ó

existe un natural

tal

. [Ayuda: utilizar inducción

].

2. Utilizando la anterior propiedad demuestre que para todo único natural

tal que

existe un

(esta última igualdad vale por 

convención), ó

(esta última igualdad vale por 

definición). Concluya que . Esto es, todo entero es un natural, o un negativo, esto es, un número de la forma con un natural distinto de cero. 3. Demuestre que la suma de enteros es conmutativa. 4. Demuestre que

es la identidad bajo la suma, esto es, que para

todo esta propiedad.

, y que además

es el único entero con

5. Demuestre las siguientes propiedades, dados 1.

:

.

2.

.

3.

.

4. Las definiciones 135 y 136 utilizan el mismo símbolo, distintas. ¿Es esto un problema? ¿Por qué?

, pero son

Definición del orden en

Definimos el orden en

así:

si (donde el último aceptamos como definido).

si y sólo denota el orden en los naturales, que

Quien acaba de leer el anterior párrafo, tal como está escrito, debe hacer una  pausa y reflexionar qué significa este, cuál es su contenido verdaderamente. Es conveniente que el lector matemático deserrolle una actitud crítica sobre lo que lee en mínimo dos sentidos: a) motivación, y b) rigor. En el caso del párrafo anterior, un lector con actitud crítica se hará, de manera natural, las siguientes  preguntas (posiblemente muchas otras): 1. ¿Por qué se está definiendo el orden en los enteros de esta manera? ¿Es fácil encontrar un ejemplo que sugiera que esta definición va en la dirección correcta? ¿Coincide este orden en el caso de enteros naturales? 2. ¿Es esta una definición libre de ambigüedad? ¿Depende o no de los representantes que elijamos? Antes de que continuar leyendo, le recomendamos responder a estas preguntas. La motivación para definir el orden como arriba es la siguiente: si y , entonces representa la posición final después de moverse unidades hacia arriba y hacia abajo, y algo similar sucede con . Para decidir si representa una posición más baja que observamos que entre más grande sean y , más arriba quedará respecto a , y entre más grande sean y , más arriba quedará respecto a . Así, es razonable afirmar que

quedará más abajo que

si y sólo si la cantidad

es menor 

que la cantidad . El lector podrá dar varios ejemplos que ilustren el razonamiento anterior. Este último también puede expresarse mediante ecuaciones, así: sea ,

,

, entonces

y:

 Note que la anterior línea no es una demostración, sino una motivación no rigurosa pero poderosa para darle sentido a la definición que hemos dado. Pasemos ahora a la cuestión del rigor. Debemos demostrar que la definición del orden es buena, esto es, que verificar si no depende de los representantes que escojamos en cada clase. Más precisamente, debemos verificar lo siguiente:

Dados

y

, si

entonces también

.

Si verificamos lo anterior, la cuestión de si  para toda elección de representantes en y que

,

se resolverá afirmativamente (y en este caso diremos

), o se resolverá negativamente paratoda elección de representantes

en y (y en este caso diremos que ), pero no ocurrira que se resuelva afirmativamente para algunos representantes y negativamente para otros. Demostremos, entonces, la buena definición de Lema 139  La definición del orden  Demostración. [ Prueba] Sean

en

.

es una buena definición.

, y sean

y

Supongamos que

.

. Sumando a cada

lado preservamos la igualdad (esta es una propiedad del naturales), y nos queda, reorganizando un poco, lo siguiente:

Ahora, como entonces

y

pertenecen a la misma clase, , es decir,

 podemos concluir que anterior desigualdad se transforma en

. Similarmente . Gracias a estas igualdades, la

Como en ambos lados de la ecuación aparece  propiedades del

en los

en los naturales,

, concluimos, por 

Esto completa la demostración.

Recuerde que un entero negativo es, por definición, un entero de la forma , con

. El contenido del siguiente teorema es bien conocido:

Teorema  140 Sean  Demostración. [ Prueba]

. Si

y

Sea

. Como

es negativo, entonces

,

implica que .

es negativo, entonces

.

. Esto

, lo que a su vez implica, por definición, que

Para antes de seguir leyendo :

1. Demuestre que para todo 2. Demuestre que para

existe ,

tal que

si y sólo si

. .

 No es nuestro objetivo demostrar las principales propiedades del orden en . Sin embargo es bueno preguntarse cómo se compara el orden en los naturales con el orden en los enteros: qué propiedades se preservan en los enteros, y donde hay una ruptura estructural. A continuación listamos las principales semejanzas y diferencias. Para ello llamamos los enteros.

al orden en los naturales y

al orden en

1. Ambos órdenes carecen de un elemento máximo. 2. Ambos órdenes son discretos, esto es, todo elemento tiene un sucesor  inmediato (esto no ocurre en los racionales). 3.

es un buen orden, mientras que no lo es (es por ello que no  podemos hacer inducción sobre los enteros).

4.

es rígido. Esto es, el único isomorfismo

es la función identidad. Por el

contrario,

no es una estructura rígida, esto es, existen

isomorfismos

distintos de la identidad.

Para antes de seguir leyendo :

1. Encuentre un isomorfismo

, esto es, una

 biyección

tal que

todo par de enteros

, y además

si y sólo si

, para

no sea la función identidad, esto

es, para al menos algún . 2. ¿Cómo definiría la multiplicación entre enteros? Verifique que su definición no es ambigüa, y mediante ejémplos, verifique que su definición coincide con la multiplicación conocida entre enteros.

3. Construcción de los números racionales 4. En esta sección se construirán los números racionales a partir de los números enteros. En este sentido la idea de la construcción es la misma que en la sección anterior. 5. Sea

. Definimos en

la relación

6. si y sólo si 7. Lema 141 es una relación de equivalencia sobre 8.  Demostración. [ Prueba]Es dejada al lector 

así:

.

9. 10.Definimos al conjunto de los números racionales así: Dados

con

, definimos

.

.