CONSONNI, D.; ORSINI, L. - Curso de Circuitos Elétricos 1.pdf
May 8, 2017 | Author: brunowiz2 | Category: N/A
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Escola Politécnica Universidade de São Paulo Curso de Circuitos Elétricos Volume 1 – Capítulo 1 Conceitos Básicos, Bipolos e Quadripolos
L. Q. Orsini e D. Consonni Agradecimentos :
Dilma Maria Alves da Silva Luiz Carlos Molina Torres
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.1
CURSO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS Volume 1 1. Conceitos Básicos, Bipolos e Quadripolos
2. Associações de Bipolos e Leis de Kirchhoff
3. A Análise Nodal e suas Variantes; Análise de Malhas
4. Redução de Redes e Aplicações Tecnológicas de Redes Resistivas
5. Estudo de Redes de Primeira Ordem
6. Estudo de Redes de Segunda Ordem
7. Introdução à Transformação de Laplace
8. Transformação de Laplace e Funções de Rede
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
ENGENHARIA
INFORMAÇÃO
ELÉTRICA
ENERGIA
A Engenharia Elétrica visa essencialmente prover materiais, dispositivos
RECURSOS
processos físicos e químicos
MÉTODOS
análise e síntese
para promover: • Produção • Transmissão • Distribuição • Armazenagem • Transformação • Processamento
de
ENERGIA
e
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
INFORMAÇÃO
Engenharia Elétrica Aplicações práticas de fenômenos eletromagnéticos Eletromagnetismo
- Oersted
1820
- Gauss / Ampère
~ 1825
- Faraday - Henry
1831
- Siemens
~ 1850
- Maxwell
1864
- Hertz
1888
- Landell de Moura
1894
- Marconi
1901
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
interação de campos Teoria
Eletromagnética
Restrições
Leis de Kirchhoff
Teoria das Redes Elétricas
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
tensões e correntes campos dentro de condutores
Eletromag x Circuitos Teoria Clássica de Eletromagnetismo Equações de Maxwell
Leis que relacionam campos elétricos e magnéticos
grandezas vetoriais
Métodos de solução complicados
aproximações
Teoria Clássica de Circuitos Leis de Kirchhoff
Relações entre tensões e correntes em elementos simples ideais: R L C grandezas escalares Métodos de solução bem estabelecidos Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Exemplos a) Rede de distribuição de energia Elétrica: 60 Hz 5a harmônica: 300 Hz 8
c 3.10 λ = = = 106 metros f 300 Sistema contido em um raio de 10 km Vale a Teoria dos Circuitos b) Receptor FM: 100 MHz
3.108 λ = = 3 metros 8 10 λ/4 = 0,75 m Dimensões do circuito τi
t≤0 0 < t ≤ τi
i
1/ττ1
τi τ2 τ1
t
Função de Dirac: δ(t) = lim fi’(t) τi→0 A função de Dirac é, de fato, uma função generalizada. Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
t > τi
PROPRIEDADES DA FUNÇÃO IMPULSIVA ∀t ≠ 0
• δ(t) = 0,
• δ(t-t0) = 0, ∀ t ≠ t0 Representações gráficas da função impulsiva: δ(t) ∞
δ(t-t0)
0
t
z
• • •
t
− t1
δ (τ ) dτ = 1
0
z
−∞
f (t − T ).δ (t ) dt = f (T )
(para f (.) contínua em T) Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
t0
, ∀ t, t1 > 0
dH ( t ) = δ( t ) dt ∞
∞
t
’
f1 E
f1
(E) t2 t1
t
t2
t1
t (–E )
’
f2 E/ττ
f2 E
τ
τ
t
t (–E )
’
f3 E
f3 1
2
t
3
1
2
3 t
(–2E )
–E f4
( 2E )
( 2E )
(–2E )
’
...
f4
3E 2E E
(E) (E) (E) ... T 2T 3T
t
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
T
2T 3T
t
eg E 37 % 13,5 %
τ
2ττ
eg(t) = E e s t s= –σ eg(t) = E e
5%
3ττ
t
E, s reais E > 0, σ > 0
–σt
= Ee
– t/ττ
σ → freqüência neperiana ( Np/s ) 1 τ = σ
→ constante de tempo ( s )
Para t = τ → eg = E/e Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
EXCITAÇÃO CO-SENOIDAL • Derivada e Integral → Senóides Circuito em Regime Permanente Senoidal • Dispositivos Reais → geram excitação senoidal • Soma de senóides de mesma freqüência = senóide •
Análise de Fourier → ∀ função periódica = =soma de senóides harmônicas, da forma
fk(t) =Akm cos (kω ω0t + θk ) (k = 0, 1, 2, …) Akm = amplitude ou valor máximo ou valor de pico (real e > 0) da k-ésima harmônica
ω0 = freqüência angular fundamental (real, rd/s) θk = defasagem (real, o ou rd) fk = freqüência da k-ésima harmônica (real , Hz ou ciclos/s)
T = período (real, s) = 1 / f Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
0
,
ω0 = 2π π/T
z = a + jb
jy z
jb z
φ
a
Retangular ou Cartesiana
z = z e j φ = z φ x
Polar
Fórmula de Euler : e j φ = cos φ + j sin φ
Séries de Mac Laurin: x3 x5 x7 sin x = x − + − + ...... 3! 5! 7! x2 x4 x6 cos x = 1 − + − + ...... 2! 4! 6! jx g jx g b b = cosx + jsinx = 1 + jx + + 2
ejx
2!
3
3!
+ ....
z = z cos φ + j z sin φ = z (cosφ φ + jsinφ φ) = = z e j φ Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
e
jθ θ
= cosθ θ + j senθ θ
Seja B = cosθ θ + j senθ θ
dB dθ
= − sen θ + j cos θ =
ou
b
j cos θ + j sen θ
g
dB = jB dθ dB = jdθ B
Integrando : lnB = j θ + C ← constante Para θ = 0 → B = 1 → lnB = 0 ⇒ C = 0 ⇒ B = e jθθ
⇒ e
jθ
= cosθ θ + j senθ θ
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Fórmulas de Euler : e jφφ = cos φ + j sen φ e
– jφ φ
= cos φ – j sen φ
Forma Cartesiana: z = a + jb z = z e j φ
Forma Polar :
R| a = S| b = T
R| S| T
z cos φ z sen φ
z =
a +b 2
2
φ = arctg b a
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
1 – Soma e Subtração → Forma Retangular ou Cartesiana z1 = a1 + j b1
z2 = a2 + j b2
z1 ± z2 = ( a1 ± a2 ) + j ( b1 ± b2 ) jy z1 + z2
z2 z1
x
2 – Multiplicação e Divisão → Forma Polar z1 = c 1 e j φ1 z1 z 2 = c 1 c 2 e
z1 z 2
z2 = c 2 e j ( φ1 + φ 2 )
c1 j ( φ1 = e c2
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
− φ 2)
jφ2
Propriedades : z = a + j b = z e
jφ φ
z* = a – j b = z e – jφφ z + z* = 2 a = 2 Re ( z ) jφ φ
e = 1 e
±jπ
= 1 ±π = –1
e ± j π/2 = 1 ± π/2 = ± j 1 Fórmulas de Moivre : 1 cos ω t = 2
d
1 sen ω t = 2j
e jω t + e− jω t
d
i
e jω t − e− jω t
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
i
Im z
jb r Φ a
Re
Coordenadas Retangulares:
a, b
Coordenadas Polares:
r, Φ
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Im z
jb r Φ -Φ
a
r -jb
Conjugados
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
z*
Re
Im j = e j90 ejΦ
senΦ 1
1 = e j0
Φ
-1= e -j180 = e j180
cosΦ
-j = e -j90
Círculo Unitário Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Re
Im j = e j90 ejΦ
senΦ 1
1 = e j0
Φ
Φ
-1= e j180 -cosΦ
Φ
cosΦ
1 sen(-Φ)
e –jΦ -j = e -j90
Círculo Unitário
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Re
Am cos ( ωt + θ ) =
R| 1 d A$ 2 S| $ Re A T
m
$ * e− jω t e jω t + A m
m
i
e jω t
Valor instantâneo do sinal → Domínio do tempo → s(t) = Am cos ( ωt + θ ) Fasor associado a sinal senoidal:
$S = A e jθ = A θ m m Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
CO-SENÓIDES E FASORES Função co-senoidal no domínio do tempo:
y(t ) = Ym cos(ω t + θ )
Ym > 0, ω > 0
Fasor que a representa: • Exprimir a função como parte real do complexo:
ℜe[Ym e j ( ω t +θ ) ] = ℜe [ Ym e j θ . e j ω t ] • O fasor representativo dessa função será definido por:
Y$= Ym e j θ •
Ym = Y$ , θ = arg Y$
Notação de Kennely:
Y$ = Ym ∠ θ
ângulo θ pode ser fornecido em graus ou radianos freqüência ω deve ser dada à parte o módulo e o ângulo do fasor são, respectivamente, a amplitude e fase da função co-senoidal Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
CO-SENÓIDES E FASORES Função co-senoidal representada por fasor: Dados um fasor e sua freqüência, determinar a correspondente função do tempo: • Escrever o fasor na forma exponencial:
Y$ = Ym e j θ • Adicionar a informação de freqüência:
Y$ e j ω t = Ym e j (ω t + θ ) • Tomar a parte real desta expressão:
y (t ) = ℜe[Ym e j (ω t +θ ) ] = Ym cos( ω t + θ ) O
módulo
e
o
ângulo
do
fasor
são,
respectivamente, a amplitude e a defasagem da função y(t)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
i
v
v
$ = R I$ V
i
R
i
v
t
$ = V
i t
C
v
$ = j ω L I$ V
i i
v
1 $ I jω C
t
L
v Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
DIAGRAMAS FASORIAIS NOS ELEMENTOS BÁSICOS DE CIRCUITOS Resistências - corrente e tensão em fase
i V R
v
V=RI I
Indutâncias
- corrente atrasada de π / 2
i V L
v
I
V=jωLI
Capacitâncias
- corrente adiantada de π / 2
i
V = -j I /(ω C)
I C
v
V
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
V–I Resistor Capacitor Indutor
V = RI
I = GV
V = –j 1 I ωC
I = jω ωCV
V = jω ωLI
1 V I = –j ωL
Impedância: Z = V / I Admitância: Y = I / V Resistor Capacitor
Indutor
Z=R
Y=G
1 Z= jω ωC
Y = jω ωC
Z = jω ωL
1 Y= jω ωL
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
f(t) = Amsin(ωt + φ) = Amcos (ωt + φ – 90o)
sin a = cos ( a – 90o ) * sin a = cos ( 90o – a ) a = ωt + φ Co-senóide + DC → vAB t vab
VAB
t Componente Contínua DC
Valor Médio
VAB
+
t
Componente incremental
AC ( alternativa ) 1 = T
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
z
T
0
v AB dt
– Amp Op
RS v Ti
2
1
i1 v1
-µ µv1 v2
= − µ v1 =0
µ → ganho de tensão
– Trafo ideal i1
i2
n1 : n2
v1
R| v = n v |S n || i = − n i n T 2
i2 v2
2
1
1
1
2
1
2
n1 / n2 = relação de transformação
– Girador ideal i1 v1
k
i2 v2
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
RS v Tv
1 2
= k i2 = − k i1
Escola Politécnica Universidade de São Paulo Curso de Circuitos Elétricos Volume 1 – Capítulo 2
Associações de Bipolos e Leis de Kirchhoff
L. Q. Orsini e D. Consonni Agradecimentos :
Dilma Maria Alves da Silva Luiz Carlos Molina Torres
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
1 B1
B6
B2 2
3 B5 B3
B4 4
1 1 B6
B1 3 B3
B2 B5
B6
B2
B1
2 B4 4
3
B3
B5 4
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
B4
2
Leonard Euler (1707-1783) Matemático suíço, produziu cerca de 900 monografias em matemática, música, astronomia, mecânica, ótica, etc...Viveu muito tempo em São Petesburgo (Rússia), protegido pela czarina Catarina, a Grande. Perdeu um olho, e sofreu de cegueira crescente.
Problema da Ponte de Königsberg (1736)
Topologia
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
GRAFOS Número de nós = nt = 4 Número de Ramos = r = 6 Ramos de árvore = 3 Ramos de ligação = 3 Número de árvores = nt (nt-2) = 16
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
DEFINIÇÕES DE SUB-GRAFO • ÁRVORE (de grafo conexo) : sub-grafo conexo que contém todos os nós + conjunto de ramos suficiente para interligar os nós ⇒ nenhum percurso fechado. • LAÇO : qualquer sub-grafo conexo tal que 2 e apenas 2 ramos incidem em cada nó; 2 nós pertencem a cada ramo ⇒ trajetória fechada. • CORTE
(ou conjunto de corte) (de grafo
conexo) : conjunto de ramos tal que se todos são removidos, o grafo fica dividido em 2 partes; se todos são removidos menos 1, o grafo se mantém conexo.
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
TEOREMA BÁSICO DAS ÁRVORES
Grafo Conexo com n t nós e r ramos: • Há um caminho único entre qualquer par de nós em uma árvore • n = n t– 1
Ramos de árvores
l = r – n t + 1 Ramos de ligação • cada ramo de ligação ⇒ um único laço fundamental l laços fundamentais • Cada ramo de árvore ⇒ um único corte fundamental n cortes fundamentais
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
Planares
Grafos Não-planares Os grafos não-planares contêm como subgrafo pelo menos um dos:
GRAFOS DE KURATOVSKY
5 nós 10 ramos
6 nós 9 ramos
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) Físico alemão, publicou seu trabalho sobre correntes e tensões elétricas em 1847. Realizou pesquisas com Robert Bunsen, que resultaram na descoberta do césio e do rubídio.
1a. Lei : Correntes ( nós e cortes )
∑ ± jk (t ) = 0 k
2a. Lei : Tensões ( laços e malhas )
∑ ± vk (t ) = 0 k
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
• Aplicada a um nó: j1 j2 j4
j3
– j1 + j2 + j3 – j4 = 0
• Aplicada a um corte: n1 j1 – j2 – j3 = 0 j1
j2 n2
j3 orientação do corte
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
iD iR
iC
iD
iR
iC
Simulação com o PSpice Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
iD iC
iR
iR t iC t iD t
iC + iR – iD = 0 iD = iC + iR Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
Aplicada a laços : l
∑
bg
± vi t
= 0
∀t
i=1
l = no de ramos no laço j1 j6
j5
v6 v5
v1 v4
v2 v3
j2
j3
j4
v1 – v2 + v3 – v4 + v5 – v6 = 0 Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
vD vR eg
eg = vR + vD eg
vR
vD
Simulação com o PSpice Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
Am cos ( ωt + θ ) =
R| 1 d A$ S| 2 $ Re A T
m
$ * e− jω t e jω t + A m
m
i
e jω t
Valor instantâneo do sinal → Domínio do tempo → s(t) = Am cos ( ωt + θ ) Fasor associado a sinal senoidal:
$S = A e jθ = A θ m m Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
a
1 Lei K.:
∑
± J$ k = 0
k
em cada nó a
2 Lei K.:
∑
$ = 0 ± V k
k
em um laço Exemplo: Linha Trifásica v1 v2
v1(t) = Vm cos ( ωt – 90o )
v3
v2(t) = Vm cos( ωt + 150o) v3(t) = Vm cos ( ωt + 30o )
$ + V $ + V $ = 0 V 1 2 3 Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
a sin ωt + b cos ωt = c cos (ω ωt + θ ) = c cos ωt cos θ – c sin ωt sin θ
a = – c sin θ b = c cos θ
c =
a +b 2
2
F −a I θ = arc tg G J H b K Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
s(t) = A1 cos (ω ωt + θ1) + A2 cos (ω ωt + θ2)
+ . . . . + An cos ( ωt + θn ) $ = A θ A 1 1 1 $ = A θ A 2 2 2 $ = A θ A n n n
Então: $ + A $ + .... + A $ S$ = A 1 2 n
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
s(t) = s1(t) + s2(t) + . . . . sn(t) si(t) sinais senoidais mesma frequência S$ = S$ 1 + S$ 2 + ...... + S$ n
Se s(t) = s1(t) . s2(t)
S$ ≠ S$ 1 . S$ 2 Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
Se: s (t) = A1cos (ω ωt + θ1) . A2cos (ω ωt + θ2)
$ = A θ A 1 1 1 $ = A θ A 2 2 2 Então:
$ .A $ S$ ≠ A 1 2 Lembrar que:
b
g
b
1 1 cos a .cosb = cos a − b + cos a + b 2 2
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
g
Tensão
Corrente Corrente
Resistência
Condutância
Indutância
Capacitância a
Carga elétrica
Fluxo magnético
Aberto
Curto
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
Escola Politécnica Universidade de São Paulo Curso de Circuitos Elétricos Volume 1 – Capítulo 3
Análise Nodal e suas Variantes; Análise de Malhas
L. Q. Orsini e D. Consonni Agradecimentos :
Dilma Maria Alves da Silva Luiz Carlos Molina Torres
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
ANÁLISE DE REDES ANÁLISE NODAL ⇒ 1a. Lei de Kirchhoff em NÓS ANÁLISE DE MALHAS ⇒ a
2 . Lei de Kirchhoff MALHAS ANÁLISE DE CORTES ⇒ 1a. Lei Kirchhoff CORTES FUNDAMENTAIS ANÁLISE DE LAÇOS ⇒ a
2 . Lei Kirchhoff LAÇOS FUNDAMENTAIS Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Etapas da Análise Nodal 1.Definir ramos e nós 2.Escolher nó de referência (“terra”) 3.Definir tensões nodais 4.Aplicar a 1a. Lei de Kirchhoff a cada nó, exceto o de referência 5.Exprimir as correntes de ramo em função das tensões nodais 6.Ordenar as equações em relação às tensões nodais 7.Compor a equação matricial relacionando tensões nodais e excitações Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
ANÁLISE NODAL Nó Genérico i: e2 j2 e1 j1
v2 G1
G2
ei
..
.
GK jk
ek
vk
v1 is1
is2
1ª. Lei de Kirchhoff: – j1 + j2 + ··· – jk = is1 – is2 Relações Constitutivas j / v (Lei de Ohm): – G1v1 + G2v2 + ··· – Gkvk = is1 – is2 Relações tensões de ramo / tensões nodais: – G1(e1 – ei) + G2(ei – e2) + ··· – Gk(ek – ei) = is1 – is2 Resultado: – G1e1 – G2e2 + (G1 + G2 + ··· + Gk)ei + ··· – Gkek = is1 – is2 Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Sentidos de Referências (Flechas) de Correntes e Tensões nos Bipolos São regras para Ligar Amperímetros e Voltímetros: v i B
i
+
A
-
B +
V
v
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
-
Exemplo de Análise Nodal j2 v2 G2
1 j1 is1
G1
v1
2 j3 v3
G3
is2
0 1ª. Lei de Kirchhoff nos nós: Nó 1 :
j1 + j2 – is1 = 0
Nó 2:
– j2 + j3 + is2 = 0
Relações Constitutivas j / v e relações tensão de ramo / tensões nodais: j1 = G1v1 = G1e1 j2 = G2v2 = G2 (e1 – e2) j3 = G3v3 = G3e2 Resultado: Nó 1 :
G1e1 + G2e1 – G2e2 – is1 = 0
Nó 2 : – G2e1 + G2e2 + G3e2 + is2 = 0 Matricialmente:
LM(G + G ) N −G 1
2
2
OP LMe OP = LMi OP ( G + G ) Q Ne Q Ni Q − G2 2
3
Gn . e(t ) = isn ~
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
~
1
s1
2
s2
ANÁLISE NODAL DE REDES RESISTIVAS LINEARES Equação Geral
Gn . e(t ) = isn (t ) ~
~
Gn - Matriz das condutâncias nodais
e( t )
- vetor das tensões nodais
isn (t )
- vetor das fontes de corrente
~
~
Sistema Algébrico Linear
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Exemplo de Análise Nodal is3 G3 G4
e1 is1
e2 G5
G1
G6
e3 is2
G2
Equação matricial de análise nodal:
LM(G + G + G ) MM −G N −G 1
3
− G4
4
4
(G4 + G5 + G6 )
3
− G5
LMi MM Ni
s1
s2
+ is 3 0 − is 3
OP PP Q
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
OPLMe OP −G PPMMe PP = (G + G + G ) Q Ne Q 2
− G3
1
5
2
3
5
3
ANÁLISE NODAL r tensões e r correntes desconhecidas • Exprimir r tensões de ramos em função das (n-1) tensões nodais → 2a Lei de Kirchhoff
(n-1) tensões e r correntes desconhecidas
• Exprimir r correntes de ramos em função das (n-1) tensões nodais → Lei de Ohm
(n-1) tensões desconhecidas
• Escrever (n-1) equações independentes e resolver → 1a Lei de Kirchhoff
RESPOSTA Quando ramo = fonte de corrente → r tensões e (r-1) correntes desconhecidas
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
ANÁLISE NODAL EM REGIME PERMANENTE SENOIDAL
Yn ( jω ). E$ = I$sn ~
Yn ( jω )
~
- Matriz de admitâncias nodais
Admitâncias: I$ Y= V$
E$ ~
I$sn ~
G
jω C
1 jω L
- vetor dos fasores das tensões nodais - vetor dos fasores das fontes de corrente nodais
Sistema de Equações Algébricas Complexas Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Exemplo de Análise Nodal em RPS ^
E1
^
1F j2 E2 1Ω Ω 1S
is(t)
2Ω Ω 0,5S
2H 1/j4
is ( t ) = 10 cos (2t + 45o ) I$ = 10∠45o s
LM1 + j2 N − j2
OPLM E$ OP = LM I$ OP 0,5 + j 2 − j 0,25Q N E$ Q N 0 Q − j2
1
2
E$1 = 6,22 ∠49 o E$ 2 = 6,83 ∠65o
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
s
ANÁLISE NODAL MODIFICADA Incógnitas: 1 - Tensões nodais 2 - Correntes nos ramos tipo impedância: - indutores - geradores ideais de tensão, independentes ou vinculados - correntes controladoras de geradores vinculados Equações: 1a. L. K. independentes 2a. L. K. impedância
nos
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
nos
nós
ramos
tipo
ANÁLISE NODAL MODIFICADA Obtenção das Equações: •
Aplicar
a
1a.
L.K.
aos
nós
independentes e eliminar as correntes nos ramos tipo admitância, em função das tensões nodais • Aplicar a 2a. L.K. aos ramos tipo impedância,
mantendo
suas
correntes como incógnitas • Ordenar as equações, nos dois tipos de incógnitas: tensões nodais e correntes dos ramos tipo impedância
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Análise Nodal Modificada Redes Resistivas
LMG NF
n
B O LeO L i O =M P M P P − R Q MN i PQ Me P NQ ~
s ~
~
s ~
1a. L. K 2a. L. K
Equações de 1a.L.K. :
Gn . e + B. i = is ~
~
~
No. de equações = No. de nós independentes
Equações de 2a.L.K. :
F . e + R. i = es ~
~
~
No. de equações = No. de ramos tipo impedância
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Análise Nodal Modificada (Padrão SPICE) • Ramos Tipo Impedância
E
L
+
µvC
L +
V
–
–
H
+
–
rmic
eS
• Ramos Tipo Admitância
R R
F βic
C C G gmvc I is Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Programa Computacional para Análise de Circuitos
• Descrição do Circuito (Entrada)
• Montagem da Matriz de ANM
• Solução do Sistema
• Saída da Solução Desejada
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Ramos Típicos para Análise Computacional C.C. - SPICE
Ramo “R”
ei
RK
jk
ef (RK ≠ 0)
Ramo “I”
Ramo “V”
IG
jk
ei
ef
Ramo “F”
ei jk
ic + VCONT
ef Ramo “H” ic + VCONT
+–
jk
ef
Ramo “G” ec
ei
jk + rmic –
ef
et Ramo “E” ec vc
+ –
–
ef Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
ei jk gmvc
vc
βic
–
ei
VG
et
ei jk µ vc ef
Programa PSPICE Ramos para Análise C.A.
Ramo “C”:
Ramo “L”: ef
ei jk
ei
CK
ik
ef LK
( ik é corrente incógnita )
“C”
J$k = jω C ( E$ i − E$ f )
“L”
E$ i − E$ f − jω L I$k = 0
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Análise Nodal em Redes Não-Lineares e1 G1
G2
e2
e3
iG v1
D1 iD1
D2 iD2
v2
i Dk = I sk (e λvk − 1) Diodos
k=1,2
1a. Lei de Kirchhoff nos três nós independentes:
G1 (e1 − e2 ) + G2 (e1 − e3 ) = iG G1 (e2 − e1 ) + I s1 (e
λe2
− 1) = 0
λe3
− 1) = 0
G2 (e3 − e1 ) + I s 2 (e
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
DUALIDADE Tensão ↔ Corrente Resistência (R) ↔ Condutância (G) Indutância (L) ↔ Capacitância (C) Carga Elétrica (Q) ↔ Fluxo Magnético (ψ)
Aberto ↔ Curto Impedância (Z) ↔ Admitância (Y) Série ↔ Paralelo Nó ↔ Malha
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
ANÁLISE NODAL
ANÁLISE DE MALHAS
Nós
Malhas
Nó de Referência
Malha Externa
Incógnitas : tensões nodais
correntes de malha
1a. Lei de K. aos nós não de referência
2a.Lei de K. às malhas, exceto externa
Relações i/v nos ramos
Relações v/i nos ramos
Tensões nos ramos → tensões nodais
Correntes nos ramos → correntes de malhas
Fontes de corrente Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Fontes de tensão
MALHAS DE REDES PLANARES Malhas internas são laços que não contém nenhum ramo em seu interior.
malha externa malhas internas
- correntes de malha A cada malha interna se atribui uma corrente de malha.
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
ANÁLISE DE MALHAS 1 I
iI
4 III iIII
6
5 iII
II
3
2
Gráfico Planar malha I : { 1,4,5 } malha II : { 2,5,6 } malha III : { 3,4,6 } malha externa : { 1,2,3 } Relações corrente de ramo/correntes de malha:
j1 = iI j2 = iII j3 = iIII
j4 = iI - iIII j5 = iII - iI j6 = iIII - iII
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Etapas da Análise de Malhas 1.Definir as malhas da rede planar 2.Atribuir uma corrente de malha a cada malha independente 4.Aplicar a 2a. Lei de Kirchhoff a cada malha independente 5.Eliminar as tensões, usando relações constitutivas v/j 6. Exprimir as correntes de ramo em função das correntes de malha 7.Ordenar as equações em relação às correntes de malha 8.Compor a equação matricial relacionando correntes de malha e excitações Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
ANÁLISE DE MALHAS DE REDES RESISTIVAS LINEARES Equação Geral
Rm . i (t ) = esm (t ) ~
~
Rm - Matriz das resistências de malha
i (t )
- vetor das correntes de malhas
~
esm (t )- - vetor das fontes de tensão ~
Sistema Algébrico Linear
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
ANÁLISE DE MALHAS RPS Exemplo 2Ω Ω 10∠ ∠45ο ω=2
5Ω Ω
I$1
Impedâncias: V$ Z= I$
LM 7 MM−5 N0
2F
−5 7 − j 0,25 −2
-j0,25Ω Ω
2Ω Ω I$ 3
I$2
jω L
R
3H j6Ω Ω
1 jω C
OPLM I$ OP LM10∠45 OP $ = I PPMM $ PP MM 0 PP 2 + j 6Q N I Q N 0 Q 0 −2
o
1
2
3
LM I$ OP L 2,995∠41,76 O $I = M 2,120∠38,81 P MM $ PP M P N I Q MN0,696∠ − 32,75 PQ o
1
o
2
o
3
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Escola Politécnica Universidade de São Paulo Curso de Circuitos Elétricos Volume 1 - Capítulo 4 Redução de Redes e Aplicações Tecnológicas de Redes Resistivas
L. Q. Orsini e D. Consonni Agradecimentos :
Dilma Maria Alves da Silva Luiz Carlos Molina Torres
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
ASSOCIAÇÕES SÉRIE R1
R2
Req = R1 + R2
G1
G2
Geq = G1 . G2 G1 + G2
L1
L2
Leq = L1 + L2 C1
C2
Ceq = C1 . C2 C1 + C2
ASSOCIAÇÕES PARALELO R1 R2
Req = R1 . R2 R1 + R2
G1 G2
Geq = G1 + G2
L1 L2
Leq = L1 . L2 L1 + L2
C1 C2
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
Ceq = C1 + C2
12Ω Ω 12Ω Ω
L
12Ω Ω
12Ω Ω
12Ω Ω
12Ω Ω
L
12Ω Ω
12Ω Ω
12Ω Ω
12Ω Ω
(a)
12Ω Ω
L
(b)
12Ω Ω
12Ω Ω 12.24 =8 12 + 24
12Ω Ω
24Ω Ω
L
12Ω Ω
20Ω Ω
(d)
(c)
12Ω Ω
L
12.20 15 = 12 + 20 2
L
(e) Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
12 +
(f)
15 39 = Ω 2 2
DIVISÃO DE TENSÃO i R1 R2 v2
v0
v2 = v0 .
R2 R1 + R2 =i
DIVISÃO DE CORRENTE i0
i2 G1
i2 = i0 .
G2 G1 + G2
= i0 . =v
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
G2
R1 R1 + R2
v
FONTES EQUIVALENTES Rs es
i
i is
v
v = es – Rs. i
Rp
i = is – v / Rp ⇒ v = Rp . is – Rp . i
es – Rs . i = Rp. is – Rp . i válido para ∀v e ∀i SE :
Rp = Rs Rp.is = es
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
v
R
µv R
µv
R
R
gmv
R
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
gmv R
FONTES POTENCIALMENTE DUAIS
R es
i
i is
v
G
v
FONTES ESTRITAMENTE DUAIS
es = is R=G
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
Rs
es
i
i is
v
Rp
Rp = Rs es = Rp is Ls
es
is
Lp
Lp = Ls
es(t) = L d ( is(t) ) dt Cs
es
is
Cp = Cs
is(t) = C d ( es(t) ) dt Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
Cp
v
Teorema da Máxima Transferência de Potência Rs
i
es
v
RL
is
Rs
Rs fixo Potência na carga RL :
2
pL
2 s
v e .RL = = RL (Rs + RL )2
pLmax. ocorre para RL = Rs → condição de carga casada
p L max
es2 = 4. Rs
Rendimento :
pL η= = 50% ptotal
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
RL
R=1 E = 10V
r
Pr
r
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
Tensão es
d a’
es
i3
c
a
a’
i3
es
i2 i1
d c
a i2
es i1
b
b
d i3
es a’
a
c
es i2
es i1
b
Corrente is
a
e b
e
b
is d
d
is
a
c
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
c is
is
e1
e1
R10 R30
R31
R12
R20
e3
e2
R12 R31 R10 = R∆
e3
R12 R23 R20 = R∆
e2
R23
R31 R23 R30 = R∆
R∆ = R12 + R23 + R31
R10 R20 R12 = RY
R23 =
R20 R30 RY
R31 =
R30 R10 RY
GY = G10 + G20 + G30 1 RY = GY Para R10 = R20 = R30 então Restrela = 1 Rtriângulo 3
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
LINEARIDADE x(t)
Elemento
y(t)
Linear
• HOMOGENEIDADE : K. x(t) → K. y(t)
• ADITIVIDADE : Se :
x1(t) → y1(t) x2(t) → y2(t)
Então : x1(t) + x2(t) → y1(t) + y2(t)
CONSEQÜÊNCIAS : Proporcionalidade entre excitação e resposta Superposição K1. x1(t) + K2. x2(t) → K1. y1(t) + K2. y2(t) Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
REDE LINEAR VÁRIAS EXCITAÇÕES RESPOSTA = ∑ respostas devidas a cada gerador independente, com os demais desativados
Fonte de Tensão
= curto-circuito
Fonte de Corrente = circuito aberto
ATENÇÃO : Nunca inativar gerador
vinculado
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
TEOREMAS DE THÉVENIN E DE NORTON
i
i
R
R
Req
v
v
R
Ro
is
eo
i
R
i
v
v i
es
io
REDE LINEAR FIXA Ro = eo io Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
io = e o Ro
Ro
v
Leon-Charles Thévenin (1857-1927) Engenheiro telegráfico, oficial e educador francês (École Polytechnique), famoso por seu teorema publicado em 1883. Trabalhou ativamente no estudo e projeto de sistemas telegráficos (incluindo transmissão subterrânea), capacitores cilíndricos e eletromagnetismo.
Edward L. Norton (1898-1983) Engenheiro elétrico, cientista e inventor americano, da Bell Laboratories. Propôs em 1926, na AT&T, o dual do teorema de Thévenin, para facilitar o projeto de instrumentos de gravação, operados por corrente. Realizou pesquisas nas áreas de circuitos, sistemas acústicos, telefonia e transmissão de dados. Obteve 19 patentes com seus trabalhos. Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
TEOREMAS DE THÉVENIN E DE NORTON i
A Rede
Rede Linear
v
Arbitrária
B Thévenin: i
A
Rede “Morta”
Rede
v
Arbitrária
B
e0
Norton: i
A Rede
Rede “Morta”
i0
v
Arbitrária
B Rede “Morta” = Rede linear inativada e0 = tensão em aberto produzida pela rede linear entre os terminais A e B i0 = corrente de curto produzida pela rede linear entre os terminais A e B Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
Aplicação dos Teoremas de Thévenin e Norton 1- Circuito com Resistores e Geradores independentes:
®Calcular eo ou io com geradores ativados ®Calcular Ro com geradores desativados
2- Circuito com Resistores e Geradores vinculados (nenhum gerador independente) ® eo = io = 0 ®Calcular Ro impondo tensão e calculando corrente (ou vice-versa) 3- Circuito com Resistores e Geradores vinculados e Geradores independentes ® Calcular eo ® Calcular io ® Calcular Ro = eo / io
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
ATENUADORES RESISTIVOS • quadripolos resistivos • tensão de saída vo é uma fração conhecida da tensão de entrada vi
Atenuador
vi
vo
Tipos de atenuadores resistivos •
Lineares
•
Logarítmicos
•
Resistência característica constante
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
ATENUADOR RESISTIVO LINEAR f Rf f-1 k Rk k-1
vi
vk
1 R1
Atenuação com a chave na k-ésima posição: k
vk Ak = = vi
∑R i =1 f
i
∑R i =1
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
i
ATENUADOR RESISTIVO LOGARÍTMICO R0 R1
Rk
vi
vo
Rn RF
Atenuação em decibéis (dB) com a chave na k-ésima posição:
F v I A (dB) = 20.log G J Hv K o
k
i
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
EXEMPLO DE CÁLCULO DE ATENUADOR LOGARÍTMICO
Atenuação/passo= -6 dB Dados No. passos: n=3 Resistência total: RT = 100kΩ •
Cálculo de N (atenuação por passo):
k=1
A1 = 20 logN=-6
N=0,501
• Cálculo de R0 : R0 = (1 − N ) RT = 49,9 kΩ
• Cálculo das resistências intermediárias: Ri +1 = NRi , i = 0, 1
RSR = N R = 25 kΩ TR = N R = 12,53 kΩ 1
0
2
1
• Cálculo de RF : RF = RT − (R0 + R1 + R2 ) = 12,57 kΩ Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
ATENUADOR DE RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA CONSTANTE
Quadripolos que, terminados pela resistência característica Rc, apresentam à entrada a mesma resistência Rc
RC
v1
Atenuação
RC
k = v2 / v1
Resistência característica:
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
v2
RC
EXEMPLO DE CÁLCULO DE ATENUADOR DE RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA CONSTANTE Atenuador em “T” RT v1
v2
• Atenuação: k= 0,1 • Resistência característica: RT = 50 Ω
Cálculo dos resistores: 1− k 1 − 0,1 RS = . RT = .50 = 40,91Ω 1+ k 1 + 0,1 2k 0,2 Rp = . RT = .50 = 10,10 Ω 2 1− k 1 − 0,01 Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
Escola Politécnica Universidade de São Paulo Curso de Circuitos Elétricos Volume 1 – Capítulo 5 Estudo de Redes de Primeira Ordem
L. Q. Orsini e D. Consonni Agradecimentos :
Dilma Maria Alves da Silva Luiz Carlos Molina Torres
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
CIRCUITO LINEAR INVARIANTE NO TEMPO
ENTRADA
SAÍDA R
L
f(t)
C
y(t)
Modelo Matemático
dny ao n dt
+
d n −1 y a1 n −1 dt
+ ... + an y = f (t)
Equação Diferencial Ordinária Linear e a Coeficientes Constantes f(t) = função dada
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
F ( x , y , y’, y”, . . . . . y(n) ) = 0 • Ordinárias :
F ( x , y(x), y’(x), . . . . yn(x) ) = 0 ordem n • Lineares :
C0(x) yn(x) + C1(x) yn-1(x) + . . . . + Cn(x) y(x) = f(x) • Coeficientes Constantes :
C0(x) = C0 C1(x) = C1 . . . . . Cn(x) = Cn constantes • 1a Ordem : A0 y’ + A1 y = f(x) A0 dy + A1 y = f(x) dx Solução : y(x) Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
FG d y IJ H dx K 2
4
2
∂ y = 3 ∂x 3
dy = dx
FG ∂ y IJ H ∂ x ∂ tK 2
d2 y 2x + d x2
ordinária – ordem 2 não-linear – 4o grau coeficientes constantes
FG d y IJ H dxK
F d y dy I + xG J dx dx H K 4
4
4
2
b g
+ x t sin y t
a∈R
ordem 3
ordinária não-linear coeficientes variáveis
1 = y
2
− y3 = tanx
dy + a y = sin x dx
derivada parcial
ordinária não-linear coef. variáveis
ordinária – ordem 1 linear coeficientes constantes
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
A0 dx + A1 x(t) = f(t) dt A0 , A1 – coeficientes dependentes dos parâmetros do circuito t – variável independente → tempo x(t) – resposta do circuito ( tensão ou corrente ) f(t) – depende da excitação do circuito Forma Padronizada :
x(t) + a x(t) = f(t)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
E. D. O. L. C. C. Completa : dn y dn−1 y a0 + a1 n−1 + . . . . + a n y = f t n dt dt
bg
E. D. O. L. C. C. Homogênea: dn y dn−1 y a0 + a1 n−1 + . . . . + a n y = 0 n dt dt
Solução da Equação Completa =
Solução Geral da Equação Homogênea
+ Solução Particular da Equação Completa Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
( 1a Ordem )
R|S x& b t g + axb t g = f b t g |T xb t g =x = condição inicial 0
0
Solução do P.V.I. : x(t)
tal que :
1 – Satisfaz à equação diferencial 2 – Passa pelo ponto ( x0 , t0 )
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
( 1a Ordem ) 1 – Determinar raízes da equação característica s+a = 0
→
s1 = – a
2 – Determinar solução geral da equação homogênea Sistema Livre
f(.)=0
b g = Ae
xh t
s1 t
A = constante de integração Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
( 1a Ordem )
3 – Achar solução particular φ ( t ) da equação completa 4 – Solução da equação completa : x(t) = xh(t) + φ(t) = A e – at + φ(t) 5 – Determinar a constante de integração
b g
x 0 = A e − at + φ t 0 0
A=e
at0
c x − φb t g g
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
0
0
x(t) =
x0 − φ t0 1444424444 3
b g
b g 123
Resposta Transitória
Resposta Permanente
b e
− a t − t0
g + φ t
x(t) =
b g
bg
−a b t − t g b g x0 e + −φ t0 e +φ t 14243 144444244444 3 −a t − t0
0
Resposta Livre
Resposta Forçada
( Entrada Zero )
( Estado Zero )
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
g − φb t g e b b g = 1x444 424444 3
bg
− a t − t0
x t
0
+ φ t 123
Transitória
Permanente
0
x(t) =
b g
bg
x0 e − a b t − t0 g + − φ t 0 e − a b t − t0 g + φ t 14243 14444 4244444 3 Livre
Forçada
x(t) =
z
b g
t b g x0 e + e − a b t − λ g f λ dλ 14243 1t 444 424444 3 − a t − t0
0
Livre
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
Forçada
Comportamento Livre i R
vR
i0
vL
L
i
τ = L/R
i(t) = i0 e – t/ττ
i0
t vL vL = L
di dt
t
vL(t) = – Ri0 e – t/ττ
–Ri0
vR
vR = R i
Ri0
vR(t) = R i0 e – t/ττ t Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
•
Respostas Livres : – Exponenciais decrescentes a partir de valor inicial. – Constante de tempo : L / R
•
Energia inicialmente armazenada no indutor → Dissipada no resistor
•
Indutor opõe-se à variação brusca de de corrente → provoca atraso no tempo para que se estabeleça o equilíbrio.
•
Aumentar atraso → Aumentar τ → Aumentar L → Diminuir R
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
Resposta ao Degrau R
es
vR
i i0
vL
L
τ = L/R
es E
es(t) = E . H(t) t
i E/R
/ i(t) = ( i0 – E/R )e – t τ + E R
i0 t
vR E
vR(t) = ( Ri0 – E ) e – t/τ + E
Ri0 t
vL
vL(t) = ( E – Ri0 ) e – t/τ
E – Ri0
t Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
bg
i t
=
b
g
b
− t − t0 τ
g
:
i −ER e + ER 1044424443
i
i
E R
i0 t0
i0
t
t0
t
i0 – E R permanente
transitório
i
i
E R
i0
i0
t t0 entrada zero ( livre )
bg
i t
= i0 e
t
t0
b
− t − t0 τ
estado zero ( forçada )
g
+
E R
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
F1−e GH
b
− t − t0 τ
g
I JK
Resposta ao Pulso R
es
i
es
L
E 0
t
T
i E/R τ
T
R| i b t g = c 1 − e h E R | S| || i b t g = c 1 − e h RE T
t
b0 ≤ t ≤ Tg
−t τ
−T τ
e − b t −T g
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
τ
bt > Tg
Resposta ao Impulso R
es es
i
vR
L vL
(ψ)
es(t) = ψ δ(t) t
i
F ib t g = G i H
i0 + ψ / L
ψ + L
0
IJ e K
−t τ
i0 t
vR
b g = R FGH i
R ( i0 + ψ / L )
vR t
0
+
ψ L
IJ e K
−t τ
t
vL ( ψ )
b g = ψδb t g − F ψ IJ e −RGi + H LK vL t
t –R ( i0 + ψ/L ) Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
−t τ
0
•
Indutor em t = t0 opõe-se à variação de corrente i = i0
•
Para excitação contínua ( C.C. ) em t → ∞ indutor vira curto-circuito
vL → 0
•
Impulso de tensão → provoca fluxo magnético instantâneo ψ → produz descontinuidade de corrente no indutor : ψ/L
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R
i(t) es(t) = Em cos ( ωt + θ )
es ~
E$ m = E m e jθθ
L
• Resposta Permanente I$ m =
1 E$ m R + jω L
Impedância : Z ( j ω ) = R + jω ωL • Resposta Completa
i(t) = A e – t/τ + ip(t)
b
I$ m cos ω t + ψ •Impor i ( t0 ) = i0
→ Determinar A
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g
– Derivada da parte real de um complexo = parte real da derivada
– Parte real da soma de complexos = soma das partes reais
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es(t) = Em cos ( ωt + θ ) i(t) = −R t L
− I$ cos ψ j e e1i 444 424444 3 0
m
+
b
g
I$ m cos ω t + ψ 144424443
Transitória
Permanente
i(t) = −R t L
−R t L
b
g
i0 e − I$ m cos ψ e + I$ m cos ω t + ψ 1 424 3 14444444244444443 Livre Forçada
Para não haver transitório : i 0 = I$ m cos ψ
Forçada = Permanente se : ψ = 90o Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
EXEMPLO 6Ω Ω
i(t) es(t) = 12 cos 2t
es(t) ~
3H
i ( 0 ) = 2A
i(t)
i0 →
2
i = it + ip 1
ip t ( seg)
0
it
1
2
3
4
–1
–2
i0 = 2 A i 0 − I$ m cos ψ = 1 A Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
5
R is
iR
iC
R
C
v0 v
ou es
C
v es = isR
RC paralelo Equação : C dv + dt dv + dt
Dual do RL série 1a Lei de Kirchhoff → v = i s R 1 v = is iR iC C RC R
v0
C
v
Comportamento Livre – / v(t) = v0 e t τ τ = RC energia armazenada no capacitor → dissipada no resistor v iR iC t v0 v0 -v0 R t R t Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
Comportamento Forçado Resposta ao Degrau
t0 = 0
is(t) = I . H ( t – t0 )
v ( t 0 ) = v0
v ( t ) = R I + Ae–t/τ
A = v0 – RI
v ( t ) = RI + ( v0 – RI ) e – t / τ Para o circuito série : E = RI v ( t ) = E + ( v0 – E ) e – t / τ es
R es
vR
E
t
C
v(t)
v
RIs
v0
t
vR RIs
– v0 t
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
Resposta ao Degrau iC
iR is
R
C
v
is
v0
is = I H ( t )
I
t
v = ( v0 – RI ) e – t / τ + RI
v RI
v0
t
iR = ( v0 – I ) e – t / τ + I
iR
R
I
v0 / R
t
iC
iC = ( I – v0 ) e – t / τ
( I – v0/R )
R
t Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
Resposta ao Impulso is(t) = Q δ ( t )
( A, s )
Q v ( 0+ ) = v ( 0 – ) + C v ( t ) = ( v ( 0 – ) + Q/C ) e – t /ττ Excitação Senoidal is(t) = Im cos ( ωt + θ ) jθ RPS: I$ = I e m
V$ m =
Admitância complexa :
m
1 1 + jω C R
I$ m
I$ m 1 Y jω = = + jω C $ R Vm
b g
Resposta completa :
b g = Ae
v t
−t τ
impor v ( t0 ) = v0 Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
+
bg
vp t 123
b
$ cos ω t + ψ V m
g
Circuito RC Resposta Completa com Excitação Senoidal
v
f = 1 kHz
τ = 1ms
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R es
C
v
τ = RC
es E
t T
Bom integrador
v
τ >> T
E
t T
Resposta Permanente Senoidal : Gv
V$ = = E$ s
Gv
1 1+ω R C 2
2
1
2
1
2
Frequência de corte superior:
ωC = 1 = RC
1 τ
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ωC
ω
C es
R
v
τ = RC
es E
t T
Bom diferenciador :
v
τ > Tp
τ ≈ Tp
τ < < < Tp
I – Constante de Tempo : – Inativar geradores independentes – Determinar resistência “vista” pelo elemento armazenador de energia – Calcular cte de tempo : L/R ou RC II – Resposta Transitória – Comportamento Livre, Modo Natural A e–t/τ III – Resposta Permanente – Depende da função de excitação IV – Transitória + Permanente – Impor condição inicial → Determinar A – Condições iniciais : C curto R t=t S T L aberto R C aberto t=∞ S T L curto 0
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
( para excitação contínua )
I – Função excitação definida por segmentos → Descontinuidades – Aplicar “receita” para cada segmento – Ajustar constantes admitindo as condições finais de um segmento como condição inicial para o próximo : ( v em C ou i em L ) II – Circuito modificado por operação de chaves Idem OBS.: Chaveamento de indutores ou capacitores → tensões ou correntes impulsivas → Estudo por Laplace III – Excitações Impulsivas → Descontinuidades de tensão em capacitores correntes em indutores Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
Excitação : is (t) Resposta : v(t) Degrau
Impulso
(tabela extraída de “Teoria Básica de Circuitos”, C.A. Desoer, E.S. Kuh, Ed. Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1979)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
Excitação : es (t) Resposta : i(t) Degrau
Impulso
(tabela extraída de “Teoria Básica de Circuitos”, C.A. Desoer, E.S. Kuh, Ed. Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1979) Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
Escola Politécnica Universidade de São Paulo Curso de Circuitos Elétricos Volume 1 – Capítulo 6
Estudo de Redes de Segunda Ordem
L Q. Orsini e D. Consonni Agradecimentos :
Dilma Maria Alves da Silva Luiz Carlos Molina Torres
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
Equação diferencial ordinária, linear, coeficientes constantes, 2a ordem Sistemas de 2 equações de 1a ordem
R , L , C 1 malha ou 1 par de nós Redes R + 2C ,
R + 2L
Duas condições iniciais
v0
resposta ( t0 )
i0
derivada da resposta ( t0 )
Aplicações : Circuitos sintonizados Filtros passa-banda Modelos de circuitos reais Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
i i
Ciclo de Freqüência ++ --
+++
ω0
1 - - LC
=i
v
++
v
---
v
---
+++
i
i ++ --
v
--
i
++
v
,
Ciclo de freqüência:
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
ω0 =
1 LC
v
Série R i
Paralelo
L
es
C
2a L. K. L
di 1 + Ri + dt C
z
vC
is
G
L
iL C
v
1a L. K. i dt = e s C
dv 1 + Gv + dt L
z
vdt = i s
d2i R di 1 1 de s d 2 v G dv 1 1 di s + + i = + + v = 2 L dt LC L dt dt 2 C dt LC C dt dt
Comportamento Livre es = 0 is = 0 Condições iniciais i ( t0 ) , vC ( t0 ) v ( t0 ) , iL ( t0 ) Equação característica s2 +
R 1 s+ =0 L LC
s2 +
G 1 s+ =0 C LC
α
R 2L
α
G 2C
ω 20
1 LC
ω 20
1 LC
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
s + 2α s + ω 2
s1, 2 = − α ±
2 0
= 0
α −ω 2
2 0
raízes ou auto-valores ou freqüências complexas próprias
•
s1 ≠ s2
A1 e
s1 t
Distintos
,
Solução geral : •
s1 = s2
A1 e
s1 t
A2 e
s2 t
A1 e
s1 t
+ A2 e
s2 t
Duplos
,
Solução geral :
A2 t e
s1 t
A 1 e s1 t + A 2 t e s1 t
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
Comportamento Livre
R| i b t g = I e ou S| T ib t g = I e
s1 t
+ I 2 e s2 t
s1 t
+ I2 t e
1
1
s1 t
Constantes de integração : para s1 ≠ s2 1
i ( 0 ) = I1 + I2
2a Lei K : L d i(0) + R i(0) + v(0) = 0 dt ⇒ d i(0) = –R i(0) – v(0) dt L L 2
–R i(0) – v(0) = s I + s I 1 1 2 2 L L 2 equações
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
2 incógnitas
Constantes de integração : para s1 = s2
R| i b 0 g = I S| − R i b 0 g − v b 0 g L T L 1
2 equações
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
1
= s1 I1 + I 2 2 2 incógnitas
s + 2α s + ω 2
= 0
2 0 2
s1, 2 = − α ±
α −ω
2 0
1 – Circuito Super – Amortecido s1, 2 = – α ± β 2 2
α > ω0
β =
α 2 − ω 02
L C
R>2
Solução: ∑ 2 exponenciais decrescentes
b g =I e
i t
1
s1 t
+ I 2 es2 t
b g = e LM i FGH cos h bβ tg − αβ sin h bβ tgIJK − βvL sin h bβ tgOP N Q
i t
−α t
0
0
i i0 t Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
s + 2α s + ω 2
= 0
2 0
2
2
α 2 − ω 20
s1, 2 = − α ±
2 – Circuito Oscilatório:
α < ω0 2
2
R0 1 L
bv
0
−E
g=0
Como circuito livre mas com condição inicial = v0 – E a) Super-amortecido
LM F G N H
i(t) = e − α t i 0 cos h β t −
Se
α sin h β t b
IJ − b v − E g sin h β t OP βL K Q 0
i 0 = v0 = 0 E i(t) = e – α t sin h β t βL
b) Oscilatório
i0 = v0 = 0
E i(t) = e – α t sin ( ωd t ) Lωd
c) Amortecimento crítico i0 = v0 = 0 i(t) =
E t e–αt L
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
Resposta ao Degrau 1–
b g=f
f t
p
+ A 1 e s1 t + A 2 e s 2 t
super-amortecimento 2 – f(t) = fp + Bm e – α t cos ( ωd t + ψ ) e – α t ou
f(t) = fp + ( B1 cos ωd t + B2 sin ωd t ) e – α t
oscilatório 3–
f(t) = fp + ( D1t + D2 ) e – α t amortecimento crítico f(t) → tensão ou corrente fp → valor final da resposta desejada
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
RLC Série L
R EH(t)
t → ∞
i
vC → E vR → 0 vL → 0
C
RLC Paralelo I H(t)
R
L
L curto C aberto
i→0
t → ∞
C
v
iC → 0 iR → 0 iL → I
v→0
Resposta ao Impulso es(t) = ψ δ(t)
Degrau de corrente no indutor = ψ/L
RLC série is(t) = Q δ(t)
Degrau de tensão no capacitor = Q/C
RLC paralelo
t > 0 → Comportamento livre Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
CIRCUITO RLC SÉRIE Excitação Senoidal R
E$ s = E ∠ θ
C i(t)
es
L
Resposta Completa : Transitória + Permanente
depende das Fasores, FCP Impedâncias
r E 1 Z ( jω ) = rs = R + jωL + I jω C r jωt i p (t ) = Re ( I e ) i (t ) = A1 e
st 1
+ A 2e
st 2
r + I cos(ωt + θ − φ )
Oscilatório :
i (t ) = I1e
− αt
r cos(ω d t + θ 1 ) + I cos(ωt + θ − φ )
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
CIRCUITO RLC PARALELO Excitação Senoidal
I$s = I ∠ θ
R
is
C
L
v(t)
Resposta Completa : Transitória + Permanente
depende das FCP
Fasores, Admitâncias
r I 1 Y ( jω ) = rs = G + jωC + V j ωL r jω t v p (t ) = Re ( V e ) v ( t ) = A1 e
st 1
+ A 2e
st 2
r + V cos(ωt + θ − φ )
Oscilatório :
v (t ) = V1e
− αt
r cos(ω d t + θ 1 ) + V cos(ωt + θ − φ )
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
Circuito RLC Transitório com excitação senoidal Oscilatório : v ( t ) = V1e
− αt
r cos(ω d t + θ 1 ) + V cos(ω t + θ − φ )
a)
b)
a)
ω d ≈ 4ω
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
b) ω d ≈ 0,2ω
Circuito RLC Transitório com Excitação Senoidal
ωω ωd
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
Soma de 2 senóides de freqüências próximas:
ω1 ≈ ω 2
Período de Batimento
Resultado:
Senóide de freqüência
ω1 + ω 2
2 ω1 − ω 2 com Envoltória: Senóide de freqüência 2
Freqüência de Batimento: Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
ω1 − ω 2
b g
Z jω
Z =
1 = R + jω L + jω C
b
R + ωL − 1 ωC 2
g
2
φ = arc tg [ ( ωL – 1/ω ωC ) / R ] Para ω = ω0 = 1 φ=0 →
LC
$ em fase I$ e V
Z = R → impedância puramente resistiva
I$
max
→ resposta máxima permanente I$ =
E$ s Z
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
Rs
I
C
Gp
v
L iL
1a LK : C dv + Gp v + iL = 0 dt 2a LK : L diL + Rs iL = v dt Equação Resultante : d2 v + L Gp + Rs C dv + Rs Gp + 1 v = 0 LC LC dt dt2
ω0
2
2α α
Condições iniciais :
b g
v t0 = v 0
dv dt
= t0
−1 C
di
L0
+ Gp v 0 IR
i
Resposta Permanente : vp(t) = R + pR Rs s p Resposta Completa :
bg
bg
v t = A 1 e s1 t + A 2 e s 2 t + v p t Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
R1
is
v2 v1
R2
C2
C1
v – v1 1a LK : C1 dv1 = 2 R1 dt 1a LK: C2 dv2 = v1 – v2 – v2 + is dt R1 R2 dv1 + ω 2 v = i d2 v1 + 2α α s 0 1 2 dt dt FCP reais negativas ! Para is(t) = I H(t) → resposta permanente: vp1(t) = I R2 Resposta completa :
bg
v1 t = A1 e
- α1 t
+ A2 e
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
-α2 t
bg
+ v p1 t
Escola Politécnica Universidade de São Paulo Curso de Circuitos Elétricos Volume 1 – Capítulo 7 Introdução à Transformação de Laplace
L. Q. Orsini e D. Consonni Agradecimentos :
Dilma Maria Alves da Silva Luiz Carlos Molina Torres
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Introdução à Transformada de Laplace Solução de Circuitos no Domínio do Tempo →
•
Equações não-homogêneas → apenas alguns tipos de excitação
• Redes de ordem mais alta → sistemas de equações íntegro-diferenciais
•
Problema de descontinuidades → imposição de condições iniciais
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
INTRODUÇÃO À TRANSFORMAÇÃO DE LAPLACE Ações da Transformada de Laplace: Derivadas → Multiplicações Integrais → Divisões Equações íntegro-diferenciais → equações algébricas no campo complexo Solução no Domínio da Freqüência Complexa Anti-transformada → solução da equação diferencial
Inclui o problema do valor inicial Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Pierre Simon, marquês de Laplace
• Francês (Normandia, 1749; Paris, 1827) • Líder em Física-Matemática • Ministro do Interior no império de Napoleão e marquês na restauração dos Bourbons • Obra mais importante: Mécanique céleste • Importante trabalho em astronomia, cálculo integral, equações diferenciais e teoria das probabilidades.
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Transformada de Laplace f(t) → função real ou complexa definida em [ 0, ∞ )
ℒ [ f (t) ] =
z
∞
0−
e
− st
f (t ) dt
Transformação Integral s=σ+jω
(variável complexa, 1/seg)
F(s) = ℒ [ f (t) ] t
→
s
Domínio do tempo → Domínio da freqüência complexa Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Funções ℒ- transformáveis Condições suficientes:
f(t) → contínua e integrável em intervalos
f(t) → ordem exponencial i.e. se
f (t ) < A. e
para 0- < t < ∞ ou seja, ∃ lim
A, α reais
,
e
− s0 t
αt
. f (t )
para algum valor de s0
s0
abcissa de convergência
⇒ a integral é convergente para Re [s] > Re [s0] Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Região de Convergência Plano s jω
s = σ + jω ω
so Re[s] > Re[so] σ = Re[s]
s0→ abcissa de convergência ⇒ a integral
z
∞
0−
e
− st
f (t ) dt
é convergente para Re [s] > Re [s0]
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Transformada de Laplace
z
• ∃ Transformada Bilateral :
+∞
−∞
• Unilateral → mais apropriada para Circuitos
• Funções não ℒ- transformáveis: Ex. :
e
et ,
e
t2 ,
t
t
• Funções com impulso ou descontinuidade em t=0 → Integral inclui, pois é tomada de t=0• Anti-transformação:
ℒ-1[F(s)] = f(t) Unicidade ! Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Transformada de Laplace ℒ [ f (t) ] =
z
∞
0−
e
− st
f (t ) dt
s=σ+jω F(s) = ℒ [ f (t) ] Linearidade: ℒ [ c1. f 1 (t) + c2. f 2(t) ] = c1. F1 (s) + c2. F2 (s) c1, c2 constantes Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Transformada de Laplace de Funções
f (t )
H (t ) e
at
sen ω t cos ω t
δ (t ) Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
F ( s) 1 s 1 s-a
ω
s +ω 2
2
s 2 2 s +ω 1
Fórmulas de Euler-Moivre e Representação Gráfica de Complexos
e jΦ = cos Φ + j sen Φ 1 jΦ cos Φ = ( e + e - jΦ ) 2 1 sen Φ = ( e jΦ - e - jΦ ) 2j
jy
a = a e jΦ j a sen Φ
Φ
x a cos Φ
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Teorema da Derivada da Transformada de Laplace ℒ [ f (t) ] = F(s) ⇒ ℒ [ t . f (t) ] = - d F(s) ds Aplicação para a função degrau:
ℒ [ H (t) ] = 1 / s ℒ [ t . H (t) ] = 1 / s
2
ℒ [ t2 . H (t) ] = 2 / s3 . . .
ℒ [ tn . H (t) ] = n ! / sn+1
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Teorema do Deslocamento no campo real ℒ [ f (t) ] = F(s) ⇒ ℒ [ f ( t – a ) ] = e -as . F(s)
f (t ) = cos ω t . H (t )
f(t)
F ( s) =
t
s s2 + ω 2
f (t − a ) = cos ω (t - a ) . H (t − a ) f(t-a)
t a
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
e − as . s F ( s) = 2 s +ω2
Translação no Campo Complexo
ℒ [ e-at . f (t) ] = F(s+a) Multiplicação de argumento por constante
ℒ [ f (ωt) ] = 1 . F( s / ω ) ω Transformada de funções periódicas 1 ℒ [ f (t) ] = 1 − e sT
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
z
T − st
e . f (t ) dt
0−
Exemplo de Cálculo com o MATLAB (Tool Kit Symbolic)
» syms a s t w » f=exp(-a*t)*cos(w*t) f= exp(-a*t)*cos(w*t) » L=Laplace(f,t,s) L= (s+a)/((s+a)^2+w^2) » pretty(L) s+a ----------------(s + a)2 + w2
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Teorema da Derivada ℒ [ f (t) ] = s. F(s) - f (0-) ℒ [ f (t) ] = s2. F(s) - s.f (0-) - f (0-)
ℒ [ f (n)(t) ] = sn. F(s) - sn-1.f (0-) - sn-2. f(0-) - … - f (n-1)(0-)
Caso Particular: c.i.q.
ℒ [ f (t) ] = s. F(s) ℒ[f
(n)
n
(t) ] = s . F(s)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Teorema da Integral
L ℒ MNz
OP Q
F(s) f (τ ) dτ = + −∞ s t
z
0−
−∞
Caso Particular: c.i.q.
ℒ
LMz N
t 0−
F(s) O f (τ) dτ = PQ s
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
f (τ ) dτ s
Transformada de Laplace Indutor i
di(t) v(t) = L dt
L
v
V (s) = ℒ [ v (t) ] I (s) = ℒ [ i (t) ]
V (s) = s L I(s) – L i (0-)
Fluxo em t=0Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Transformada de Laplace Indutor
1 i(t) = L
z
i
t
v(τ ) dτ
L
-∞
I (s) = ℒ [ i (t) ] V (s) = ℒ [ v (t) ] 1 1 I(s) = V(s) + sL sL
z
0-
-∞
v(τ )dτ
i(0-)
1 i(0- ) I(s) = V(s) + sL s Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
v
Transformada de Laplace Capacitor i
dv(t) i(t) = C dt
C
v
I (s) = ℒ [ i (t) ] V (s) = ℒ [ v (t) ] I (s) = s C V(s) – C v (0-)
Carga em t=0-
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Transformada de Laplace Capacitor
1 v(t) = C
i
z
t
C
v
i(τ ) dτ
-∞
V (s) = ℒ [ v (t) ] I (s) = ℒ [ i (t) ] 1 1 V(s) = I(s) + sC sC
z
0-
-∞
i(τ )dτ
v(0-)
1 v(0- ) V(s) = I(s) + sC s
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Inversão da Transformada de Laplace Anti-Transformada:
f (t) = ℒ-1 [ F(s) ] f (t) ↔ F (s)
Unicidade :
• Tabelas • Linearidade • Teoremas
o
1 . Método
2o. Método : Fórmula de inversão
f (t) =
1 2π j
z
σ + j∞
σ - j∞
st
F(s) e ds
integral sobre a reta s=σ Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Inversão da Transformada de Laplace o
3 . Método : Anti-transformação de Funções Racionais N(s) b 0sm + b1sm-1 +...+ b m-1 + b m F(s) = = D(s) a 0sn + a 1sn-1 +...+ a n-1 + a n
a i , bi
∈ ℜ
a 0 , b0 ≠ 0
Forma Fatorada: m
F(s) = K .
∏ (s - z ) i =1 n
∏ (s - p
i
k
)
k =1
b0 K = fator de escala (ganho) = a0
zi → zeros (i = 1,2,....m) pk → pólos simples ou múltiplos (k= 1,2,...n) reais ou complexos Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Diagrama de pólos e zeros de Funções Racionais (s + 1)(s + 2) 10.(s2 + 3s + 2) F(s) = = 10. 2 4 3 2 s + 2s + 2s s (s + 1) 2 + 1
• • • •
um pólo duplo na origem: p1,2 = 0 dois pólos complexos conjugados: p3,4 = dois zeros simples: z1 = -1; z2 = -2 fator de escala: K = 10
K = 10
(-1± j 1)
jω
j1 (2) -2
-1
σ
0 -j1
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
x pólos o zeros (m) multiplicidade
Anti-transformação de Funções Racionais N(s) b 0sm + b1sm-1 +...+ b m-1 + b m F(s) = = D(s) a 0sn + a 1sn-1 +...+ a n-1 + a n
Própria : m ≤ n Estritamente própria : m < n a0 = 1 → polinômio D(s) é mônico Expansão em Frações Parciais: q
F(s) =
mk
∑∑A k=1 j =1
kj
1 (s - p k ) j
Akj = resíduos – coeficientes a determinar pk = k-ésimo pólo mk = multiplicidade do k-ésimo pólo (m1 + m2 + ...+ mq) = n = grau de D(s)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Anti-transformação de Funções Racionais Expansão em Frações Parciais: q
F(s) =
mk
∑∑A
kj
k=1 j =1
1 j (s - p k )
Anti-transformar termo a termo:
ℒ-1
LM 1 OP = N (s - p ) Q j
k
t j-1 epk t (j-1)!
Derivada da Transformada Translação no campo complexo
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Contribuição de Pólos Complexos
Ak e
pk t
* p*k t k
+ A e
= 2 ℜe A k e p k t
o
1 . caso j φk A = A e Resíduo : k k pk = σ k + j ω k Pólo :
2 ℜe A k e p k t = 2 A k eσ k t cos (ω k t + φ k ) o
2 . caso ' " A = A + j A Resíduo : k k k pk = σ k + j ω k Pólo :
2 ℜe A k e p k t = 2 eσ k t A 'k cos (ω k t ) - A "k sin (ω k t ) Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Pólos Múltiplos - Exemplo N(s) F(s) = (s - p1 ) (s - p 2 ) 2 (s - p 3 ) 3
A11 A 21 A 22 F(s) = + + ( s - p1 ) ( s - p2 ) ( s - p2 ) 2
A 31 A 32 A 33 + + + 2 ( s - p3 ) ( s - p3 ) ( s - p3 )3
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Transformada de Laplace Exemplo 1
20 s2 + 60 s + 40 2 s4 + 4 s3 + 4 s2 Expansão em Frações Parciais: A 11 A 12 A2 A *2 + 2 + + s s (s + 1 - j) (s + 1 + j) A11 = 5
A12 = 10
A2 = 2,5 (-1 + j)
A2* = 2,5 (-1 – j)
Anti-transformada:
5 + 10 t + 5 2 e cos (t + 135 ) -t
o
ou
5 + 10 t - 5 e
-t
cos t + sin t
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Transformada de Laplace Exemplo 2
s4 + 5 s3 + 4 s2 + 3 s + 1 s3 + 3 s2 + 2 s Expansão em Frações Parciais: s +2 +
A1 A2 A3 + + s (s +1) (s + 2)
A1 = 0,5
A2 = 2
A3 = -6,5
Anti-transformada: δ ′(t) + 2 δ (t) + 0,5 + 2 e-t - 6,5 e-2t
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
PROGRAMA DE MATLAB PARA CÁLCULO DE PÓLOS, ZEROS E RESÍDUOS DE FUNÇÕES RACIONAIS %arq. polres.m
LQO, 08/2005
% Vetor dos coeficientes do numerador: num = [-4 –1 1]; % Vetor dos coeficientes do denominador: den = [1 3 2 0]; % Cálculo dos pólos (p), resíduos (R) e termos em potências de s (k) % (estes últimos no caso de funções não estritamente próprias): [R, p, k] = residue(num, den)
−4 s − s + 1 F ( s) = 3 2 s + 3s + 2 s 2
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Decomposição de função racional através do MATLAB Resultados: >> polres R= -6.5000 2.0000 0.5000 p= -2 -1 0 k=
1
2
A1 A2 A3 + + s (s +1) (s + 2) A1 = 0,5
A2 = 2
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
A3 = -6,5
Escola Politécnica Universidade de São Paulo Curso de Circuitos Elétricos Volume 1 – Capítulo 8
Transformação de Laplace e Funções de Rede
L. Q. Orsini e D. Consonni Agradecimentos :
Dilma Maria Alves da Silva Luiz Carlos Molina Torres
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
DESCRIÇÃO ENTRADA-SAÍDA DE UM CIRCUITO RLC , LINEAR E INVARIANTE NO TEMPO
u(t)
y(t) RLC
u(t) = entrada ou excitação (causa) y(t) = saída ou resposta (efeito)
A descrição entrada-saída deste circuito será uma equação diferencial a coeficientes constantes, relacionando u(t), y(t) e suas derivadas
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Respostas dos Circuitos u(t)
y(t)
R
resposta
excitação condições iniciais
y(t) = Livre + (entrada zero)
Forçada (estado zero) c.i.q.
y(t) = Transitório + Permanente (tende a zero para t ∞, nos circuitos assintoticamente estáveis) y(t) = resposta completa Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Resolução de Circuitos u(t)
y(t)
R
excitação
resposta
Modelo matemático equação diferencial y ( n ) (t ) + a1 y ( n −1) (t ) +...+ an y (t ) = u(t )
Condições iniciais: y (0− ) = α 0 y& (0− ) = α 1 y ( n −1) (0− ) = α n −1
Resolução Transformada de Laplace Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
(n) ( n −1) y ( t ) + a y (t ) +...+ an y (t ) ] ℒ[ 1 ℒ[u(t)]
=
Teorema da Derivada:
( s n + a1s n −1 +.....+ an −1s + an ) . Y ( s) = U ( s) + α 0 sn −1 + (α 1 + a1α 0 ) sn −2 +...... +...+ (α n −1 + a1α n − 2 +...+ an −1α 0 )
U ( s) Y ( s) = D ( s) ℒ [ resposta em estado zero] D(s)
+
pci ( s) D ( s)
ℒ [ resposta em entrada zero]
polinômio característico (mônico !)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Teorema da Derivada ℒ [ f (t) ] = s. F(s) - f (0-) ℒ [ f (t) ] = s2. F(s) - s.f (0-) - f (0-)
ℒ [ f (n)(t) ] = sn. F(s) - sn-1.f (0-) - sn-2. f(0-) - … - f (n-1)(0-)
Caso Particular: c.i.q.
ℒ [ f (t) ] = s. F(s) ℒ[f
(n)
n
(t) ] = s . F(s)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Função de Rede u(t)
y(t)
R
resposta
excitação
Y ( s) G ( s) = U ( s) ou
Ysz( s) G ( s) = U ( s) Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
c.i.q.
P. V. I.
Equações diferenciais lineares a coeficientes constantes + condições iniciais (domínio do tempo)
ℒ Equações algébricas na variável complexa s (domínio das freqüências complexas)
ℒ -1 Solução do P.V.I. (no domínio do tempo)
c.i.n. Funções de rede
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
G(s) FUNÇÃO DE REDE ou Função de Transferência ou Função de Sistema
E(s)
Ysz(s)=G(s).E(s)
G(s)
Resposta Forçada (Estado Zero) ⇒ c.i.n. ysz (t) =
ℒ –1 [ Ysz(s) ]
e(t)
ysz (t) c.i.n.
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
FUNÇÃO DE REDE jω ω K = 10 j1 (2) -3
-2
σ
-1 -j1
s2 + 3s F ( s) = 10 4 s + 6s3 + 14 s2 + 14 s + 5
Representação gráfica no plano s = σ + jω ω Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Resolução de Circuitos Modelo matemático equação íntegro-diferencial y& (t ) + a1 y (t ) + a2
z
t
−∞
y ( λ ) dλ = u ( t )
y(0− ) = α 0 Teorema da Integral:
sY ( s) − α 0 + a1Y ( s) + 1 1 L + a M Y ( s) + z Ns s 2
0−
−∞
O y ( λ ) d λ P = U ( s) Q α −1
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Obtendo Y(s) : sU ( s) Y ( s) = 2 s + a1s + a2
ℒ [ resposta em estado zero]
sα 0 − a2α −1 + 2 s + a1s + a2
ℒ [ resposta em entrada zero]
Polinômio característico:
D( s) = s + a1s + a2 2
Função de Rede:
s G ( s) = 2 s + a1s + a2 Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Teorema da Integral • Para integral de -∞ a t :
L ℒ MNz
OP Q
F(s) f (τ ) dτ = + −∞ s t
z
0−
−∞
f (τ ) dτ s
• Para integral de 0- a t :
ℒ
LMz N
t
0−
f (τ ) dτ O = PQ
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F(s) s
Cálculo das Funções de Rede SÓ PARA REDES LINEARES INVARIANTES NO TEMPO Aplicar a transformação de Laplace a uma descrição entrada-saída da rede, com condições iniciais nulas
Tipos de descrição entrada-saída: a- Equação diferencial coeficientes constantes
linear,
a
b- Equação íntegro-diferencial linear, a coeficientes constantes c- Sistemas de equações diferenciais lineares a coeficientes constantes Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
REPRESENTAÇÃO ENTRADA-SAÍDA a1 - Por equação diferencial sem derivada no segundo membro: y ( n ) (t ) + a1 y ( n −1) (t ) + L + an−1 y& (t ) + an y (t ) = = u (t ) condições iniciais nulas!
ℒ FUNÇÃO DE REDE: G (s) =
1 s n + a1 s n −1 + L + an −1 s + an
EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA: D( s ) = s n + a1 s n−1 + L + an−1 s + an = 0 PÓLOS DE G(s) = ZEROS DE D(s) Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
REPRESENTAÇÃO ENTRADA-SAÍDA a2 - Por equação diferencial com derivada no segundo membro: y ( n ) (t ) + a1 y ( n−1) (t ) + L + an−1 y& (t ) + an y (t ) = (m) ( m−1) b u ( t ) b u (t ) + L + bm−1u& (t ) + bmu (t ) = + 0 1 condições iniciais nulas!
ℒ FUNÇÃO DE REDE: G (s) =
b0 s m + b1s m−1 + L + bm−1s + bm s n + a1 s n−1 + L + an−1 s + an
EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA: D( s ) = s n + a1 s n−1 + L + an−1 s + an = 0 PÓLOS DE G(s) = ZEROS DE D(s) Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
REPRESENTAÇÃO ENTRADA-SAÍDA b - Por equação íntegro-diferencial:
y& (t ) + a1 y (t ) + a2
z
t
−∞
y ( λ ) dλ = u ( t )
condições iniciais nulas
ℒ FUNÇÃO DE REDE:
s G ( s) = 2 s + a1s + a2 EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA:
D( s) = s + a1s + a2 = 0 2
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
REPRESENTAÇÃO ENTRADA-SAÍDA c - Por sistema de equações diferenciais: Exemplo de 2a. ordem: (a11.D + b11 ) y1 + (a12 .D + b12 ) y2 = u1 (a21.D + b21 ) y1 + ( a22 .D + b22 ) y2 = u2
onde D ≡ d /dt é o operador de derivação. Agora há 4 Funções de Rede :
Y1(s) / U1(s) Y2 (s) / U1(s)
Y1(s) / U2(s) Y2(s) / U2(s)
A equação característica é: a11s + b11 a12 s + b12 D( s) = =0 a21s + b21 a22 s + b22
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Procedimento para a obtenção da Função de Rede
1- Escrever a equação do circuito ( relação entrada-saída entre y(t) e u(t) ) - Equação diferencial ordinária - Equação íntegro-diferencial - Sistema de equações diferenciais
2- Aplicar Laplace com condições iniciais nulas
3- Resolver com relação a Y(s)
4- Determinar a relação: Y(s) / U(s)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
TEOREMA DO VALOR INICIAL Se F(s) = ℒ [ f (t) ],
vale
lim [ s F(s) ] = lim f(t) = f(0+)
s→ ∞
t → 0+
TEOREMA DO VALOR FINAL Se F(s) = ℒ [ f (t) ],
vale
lim [ s F(s) ] = lim f(t)
s→ 0
t→∞
Nota: Os dois teoremas são fracos! Só valem se existirem os limites indicados! Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Exemplo dos Teoremas dos valores inicial e final t : = 0 , 0.05 , 20 s 2 + 3s + 2 Y ( s) : = 4 s + 5s 3 + 3s 2 + 2 s y (t ) : = 1 − 0,11.exp( −4, 4.t ) − 0,89.exp( −0, 29.t ).cos(0, 61.t ) + + 0, 44.exp(−0, 29.t ).sen(0, 61.t )
2
y(t) 1
t
0 0
5
10
y (0+ ) = lim s. F ( s) = 0 s→∞
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
15
y ( ∞) = lim s. F ( s) = 1 s→0
20
Exemplo de Circuito Redutível R1 C1 v1
es
v2
R2 C2
dv1 dv2 C1 + G1v1 − C2 − G2 v2 = 0 dt dt (1a. L.K.)
v1 + v2 = es
(2a. L.K.)
Em Laplace:
LMs C + G N 1 1
1
OPLM OP LM QN Q N
− ( s C2 + G2 ) V1 C1v10 − C2 v20 = 1 V2 E s ( s)
D(s) → polinômio característico D(s) =0 → equação característica
D( s) = s (C1 + C2 ) + G1 + G2 2 elementos armazenadores de energia 1 só pólo : Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
s1 = −
(G1 + G2 ) ( C1 + C2 )
OP Q
Exemplo de Circuito Degenerado e1
is
1a. L. K. :
g.e1
i1 1
1
− g. e1 + e1 +
βi1
de1 de − β 1 = is dt dt
LM(1 − β ) de + (1 − g) e OP = i dt N Q 1
1
s
Em Laplace: (1 − β ) s + (1 − g ) E1 ( s) = I s ( s) + (1 − β ). e1 (0− )
⇒
E1 ( s) =
I s ( s) (1 − β ). e1 (0− ) + [(1 − β ) s + (1 − g )] [(1 − β ) s + (1 − g )]
D( s) = (1 − β ) s + (1- g) Para β = 1 e
g = 1 ⇒ D(s) = 0
Se Is (s) = 0 ⇒ ∞ soluções Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
FUNÇÃO DE REDE E RESPOSTA IMPULSIVA U(s)
δ (t)
G(s)
c.i.n.
Ysz(s)=G(s).U(s)
g(t)
ℒ 1
G(s)
Ysz(s)=G(s).1=G(s)
⇒ g(t) = resposta impulsiva = ℒ -1[ G(s)]
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
INTEGRAL DE CONVOLUÇÃO Funções f1(t) e f2(t), definidas em (-∞,∞) Convolução : (f1 * f2)( t ) ou f1(t)*f2(t) ∞
f3(t)=f1(t) *f2(t) = ∫ −∞ f (λ ) . f (t − λ ) dλ 1 2 onde t = variável "externa"
λ = variável "interna", ou de integração Para funções causais (nulas para t> 0V
-100d 0Hz 1
V(Vs)
0.5Hz 1.0Hz 2 Vp(Vs)
1.5Hz
2.0Hz
Frequency
M(ω ω)
e
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
φ(ω ω)
2.5Hz
3.0Hz
Função de Rede e Regime Permanente Senoidal Exemplo - Filtro Passa-Faixa
m ó d u l o
600mV
0d d e f a s a g -200d e m
400mV
-400d
200mV -600d
>> 0V
-800d 100Hz 1
V(4)
300Hz 2 VP(4)
1.0KHz
3.0KHz
10KHz
Frequency
M(ω ω)
e
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
φ(ω ω)
30KHz
100KHz
Função de Rede e Resposta em Freqüência
Filtro Passa-Faixa 1.0
m ó d u 300m l o 100m
M(ω ω)
30m
10m
ω0
I(R1) / V(1) f a s e
100d
φ(ω ω)
50d
0d
-50d SEL>> -100d 20mHz 40mHz 70mHz IP(R1)- VP(1)
200mHz
400mHz 700mHz 1.1Hz Frequency
ω0 =
1 = 1,41 rad / s LC
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
2.0Hz
4.0Hz
7.0Hz
Função de Rede e Regime Permanente
Entrada :
es(t) = cos(3t)
1.0V
0V
-1.0V 15.0s 15.5s V(V1:+)
16.0s
16.5s
17.0s
17.5s
18.0s
18.5s
19.0s
19.5s
20.0s
Time
Saída : 400mA
0A
-400mA 15s
16s
17s
18s
I(R1) Time
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
19s
20s
Função de Rede e Regime Permanente Entrada :
es(t) = cos(50 t )
1.0V
0V
-1.0V 15.0s 15.5s V(V1:+)
16.0s
16.5s
17.0s
17.5s
18.0s
18.5s
19.0s
19.5s
20.0s
Time
Saída : 400mA
0A
-400mA 15s
16s
17s
18s
I(R1) Time
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
19s
20s
Função de Rede e Regime Permanente Entrada: es(t) = cos(3 t) + cos(50 t ) 2.0V
0V
-2.0V 15.0s 15.5s V(V1:+)
16.0s
16.5s
17.0s
17.5s
18.0s
18.5s
19.0s
19.5s
20.0s
Time
Saída : 400mA
0A
-400mA 15s
16s
17s
18s
I(R1) Time
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
19s
20s
Função de Rede e Regime Permanente Exemplo de Circuito de 2a. Ordem
Função de transferência
Vs ( s) R1 G ( s) = = V1 ( s) sL + R + sC1 R3 1 1 sC1 + R3
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Gráficos da Resposta em Freqüência G(jω) obtidos com o PSPICE 100d
φ(ω ω) 0d
SEL>> -100d VP(Vs) 10V
M(ω ω) 5V
0V 10Hz V(Vs)
30Hz
f1
100Hz
f0
300Hz
f2
Frequency
f 0 ≈ 160 Hz
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
1.0KHz
3.0KHz
10KHz
Programa em Matlab para construção dos gráficos de entrada e saída %arq. resperm.m (30/11/08) t=0:0.0001:0.05; pi=3.1416; v1=10*cos(100*pi*t)+10*cos(320*pi*t)+10*cos(700*pi*t); v2=0.3*cos(100*pi*t+0.5*pi)+10*cos(320*pi*t)+0.6*cos(700*pi*t-pi/2); subplot(2,1,1) plot(t,v1), grid on, title('Tensao de entrada') subplot(2,1,2) grid on plot(t,v2), grid on, title('Tensao de saida')
Entrada : Composição de 3 co-senóides Amplitude : 10V – Frequências: f1, f0 e f2
Saída ≈ co-senóide Amplitude : 10V – Frequência f0 Efeito de Filtragem ! Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
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