ConsigliMeccanicaRazionale

Consigli di Meccanica Razionale Enzo Tonti 3 dicembre 2009

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Indice 1

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INTRODUZIONE 1.1 Alcune semplici verit`a . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Forma tipica di un problema di meccanica 1.1.2 Le principali leggi della meccanica . . . 1.1.3 Particella . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sistema meccanico . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Configurazione di un sistema meccanico . 1.2.2 Coordinate libere . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Spostamenti reali e virtuali . . . . . . . . 1.2.4 Gradi di libert`a . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Come scegliere gli assi cartesiani . . . . 1.2.6 Come scegliere gli angoli . . . . . . . . . 1.3 Vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Classificazione dei vincoli . . . . . . . . 1.3.3 Osservazioni sui vincoli fissi . . . . . . . 1.4 Forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Classificazione delle forze . . . . . . . .

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STATICA 2.1 Equazioni cardinali della statica . . . . . . . . . . . 2.2 Principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Lavoro virtuale . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Come si calcola il lavoro virtuale . . . . . . 2.2.3 Attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Statica del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Punto materiale libero nel piano . . . . . . . 2.3.2 Punto materiale vincolato ad una linea liscia . 2.4 Statica del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . .

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INDICE

2.5

2.6

2.7 2.8 3

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2.4.1 Corpo rigido con asse fisso . . . . . . . . . . . 2.4.2 Corpo rigido con 1 grado di libert`a (nel piano) 2.4.3 Corpo rigido con 2 gradi di libert`a (nel piano) . 2.4.4 Corpo rigido appoggiato ad un piano liscio . . 2.4.5 Corpo rigido con asse fisso (nello spazio) . . . Statica dei sistemi articolati . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Arco a tre cerniere . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Reazioni interne nelle cerniere . . . . . . . . . 2.5.4 Azioni interne nelle aste . . . . . . . . . . . . 2.5.5 Diagramma delle azioni interne . . . . . . . . Statica dei fili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Sollecitazione continua dei fili . . . . . . . . . 2.6.2 Osservazione sui fili . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Statica dei fili appoggiati su superficie liscia . . Determinazione del baricentro . . . . . . . . . . . . . Calcolo dei momenti d’inerzia . . . . . . . . . . . . .

CINEMATICA 3.0.1 Il tempo: istanti ed intervalli . . . . . . . . . . 3.0.2 Moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.0.3 Moto uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Cinematica del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Velocit`a e accelerazione . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Sistema di coordinate e base fisica . . . . . . . 3.1.3 Componenti della velocit`a e della accelerazione 3.1.4 Come orientare la normale ad una curva piana . 3.1.5 Alcune grandezze in coordinate polari . . . . . 3.1.6 Moto centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Cinematica del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Atto di moto rototraslatorio . . . . . . . . . . 3.2.2 Centro di istantanea rotazione . . . . . . . . . 3.3 Vincoli anolonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dinamica 4.0.1 4.0.2 4.0.3 4.0.4 4.0.5

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Equazioni cardinali della dinamica . . . . . . . . . . Calcolo del momento angolare . . . . . . . . . . . . Teorema dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrale dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . Osservazioni sul teorema e sull’integrale dell’energia

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INDICE 4.0.6 Calcolo dell’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . 4.0.7 Relazione simbolica della dinamica . . . . . . . . . . 4.0.8 Principio di d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . 4.0.9 Equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.0.10 Punto materiale libero . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.0.11 Particella vincolata a una linea fissa e liscia . . . . . . 4.0.12 Dinamica della particella su una superficie fissa e liscia 4.1 Dinamica del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Corpo rigido con asse fisso . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Rotolamento nel moto piano . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 L’uso del centro di istantanea rotazione in dinamica . . 4.1.4 Corpo rigido con un punto fisso . . . . . . . . . . . . 4.1.5 Corpo rigido libero nello spazio . . . . . . . . . . . . 4.1.6 Angoli nautici e angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . 4.2 Dinamica dei sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Consigli introduttivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Osservazione sulla velocit`a angolare nei problemi piani 4.2.3 Osservazione sugli esseri animati e sui motori . . . . . 4.2.4 Osservazioni sui fili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Conservazione delle quantit`a meccaniche . . . . . . . 4.2.6 Calcolo delle Qk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Piccole oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Fattore di amplificazione dinamica . . . . . . . . . . . 4.3.3 Modi normali di vibrazione . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Sistemi con massa variabile . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5 Dinamica impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Meccanica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Statica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Dinamica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Dinamica relativa della particella . . . . . . . . . . . 4.4.4 Dinamica relativa del corpo rigido . . . . . . . . . . . 4.4.5 Dinamica relativa dei sistemi . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Unit`a di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Come limitare gli integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Equazioni differenziali di uso frequente . . . . . . . . . . . . 4.8 Equazione differenziale lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Terna intrinseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 funzioni circolari e iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . .

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INDICE Esercizi risolti e commentati 5.1 Consigli per risolvere gli esercizi 5.2 Problema 1 . . . . . . . . . . . 5.2.1 Problema 3 . . . . . . . 5.2.2 Problema 4 . . . . . . . 5.2.3 Problema 5 . . . . . . . 5.2.4 Problema 6 . . . . . . . 5.2.5 Problema 8 . . . . . . . 5.2.6 Problema 9 . . . . . . . 5.2.7 commiato . . . . . . . .

A Programmi in Matlab A.1 AAA01 . . . . . A.2 AAA02 . . . . . A.3 AAA03 . . . . . A.4 AAA04 . . . . . A.5 AAA05 . . . . . A.6 AAA06 . . . . .

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117 117 118 132 134 138 139 143 144 147

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149 149 150 151 152 154 156

B RIMASUGLI 159 B.0.1 Punto materiale vincolato ad una superficie liscia . . . . . 159 B.0.2 Punto materiale vincolato ad una superficie scabra . . . . 160 C Sistemi di forze C.1 Forze su corpi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.1 Sistemi equivalenti . . . . . . . . . . . . . C.1.2 Riduzione di un sistema di forze . . . . . . C.1.3 Come varia il momento al variare del polo. C.1.4 Propriet`a del momento . . . . . . . . . . . C.1.5 Ricerca di un polo privilegiato . . . . . . . C.1.6 Casi particolari: forze piane . . . . . . . . C.1.7 Casi particolari: forze parallele . . . . . . .

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D Le diverse meccaniche 171 D.1 Le diverse meccaniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 E Dizionario 173 E.1 bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Capitolo 1

INTRODUZIONE 1.1

Alcune semplici verit`a

Facendo gli esercizi si capisce la teoria, si mette in evidenza ci`o che si credeva di aver capito, si fissano le nozioni, si impara come utilizzarle. Un proverbio dice che tra il dire ed il fare c’`e di mezzo il mare. Questo proverbio si tocca con mano facendo gli esercizi. Le nozioni apprese a lezione o da un libro sembrano chiare ma al momento di metterle in pratica sono ... appelli o sessioni d’esame che passano! Da qui discende che teoria e problemi non devono essere separati nello studio di una materia, e tanto meno i problemi devono essere affrontati senza aver prima studiato la corrispondente teoria. Qualunque procedimento diverso si risolve in una devastante perdita di tempo, spreco di fatica e, fatto non trascurabile, porta all’oblio di tutto: formule, procedimenti e concetti, nel giro di poche settimane. Lo studio ideale consiste delle seguenti fasi: posizione di alcuni problemi, studio della teoria corrispondente ed infine risoluzione dei problemi mediante la teoria appresa. Uno dei peccati capitali dell’insegnamento sta nello spiegare una teoria senza aver prima dato alcuni esempi di problemi che potranno essere risolti. E’ bene partire facendo un elenco di esempi, facendosi molte domande, creando la necessit`a di una teoria. Quello di iniziare una esposizione con la classica parola Consideriamo ... e` altamente sconsigliabile. E’ bene dare una panoramica delle problematiche, esaminare una serie di esempi, stuzzicare la curiosit`a dell’allievo mostrandogli dove si vuole arrivare, quello che si sar`a in grado di fare a fine corso, mostrando immagini o fotografie o oggetti sui quali ci si pongono domande. 7

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CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

1.1.1

Forma tipica di un problema di meccanica

Gli ingredienti della meccanica sono essenzialmente tre: 1. un sistema meccanico1 . 2. le forze che agiscono sul sistema cercando di metterlo in moto. 3. i vincoli a cui e` sottoposto il sistema che ne ostacolano il movimento. Se il sistema meccanico permane nella stessa configurazione il problema e` di statica. Se il sistema evolve da una configurazione ad un’altra, cio`e e` in movimento, il problema e` di dinamica. Le domande tipiche che si pongono in un problema di meccanica sono: • • • • • • • • • • •

determinare la configurazione di equilibrio del sistema; determinare le reazioni vincolari nella posizione di equilibrio; determinare le azioni interne nella configurazione di equilibrio; determinare il moto del sistema; determinare le reazioni vincolari durante il moto; determinare una forza che mantenga il sistema in una configurazione di equilibrio prefissata; determinare una forza che mantenga il sistema in un moto prefissato; determinare il periodo delle piccole oscilazioni di un sistema ad un grado di libert`a; determinare le frequenze naturali di un sistema oscillante a pi`u gradi di libert`a; determinare il tempo che il sistema impiega a raggiunge una data configurazione; determinare il punto in cui un corpo in moto si distacca dal vincolo.

I problemi della meccanica razionale, come quelli di tutta la fisica e della scienza in genere, sono semplificazioni di problemi reali. Noi ci facciamo un modello del fenomeno o del problema e a questo modello applichiamo le leggi della meccanica per studiarne il comportamento. Il modello e` una semplificazione del problema reale. E qui vale il principio: Per comprendere occorre semplificare; ogni semplificazione ci allontana dalla realt`a. 1 ♣ SONO STATO FEDELE? Ogni volta che useremo un termine non ancora presentato lo porremo fra virgolette: nel seguito esso sar`a esplicitamente definito.

1.1. ALCUNE SEMPLICI VERITA`

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Sarebbe per`o ridicolo ritenere inutile, ad esempio, la meccanica dei corpi rigidi per il solo fatto che nessun corpo in natura e` rigido. La schematizzazione di un corpo come rigido costituisce una prima fase nello studio di un problema di statica o di dinamica. Successivamente si potr`a tener conto della sua deformabilit`a. Altrimenti il problema sarebbe di difficile soluzione. Anche nelle materie pi`u pratiche, pi`u aderenti alla realt`a, come nella Scienza delle Costruzioni, nella Meccanica Applicata, lo stadio di corpo rigido costituisce la prima fase di ogni studio successivo.

1.1.2

Le principali leggi della meccanica

Per poter studiare la quiete o il moto di un sistema meccanico, note che siano le forze che agiscono su di esso ed i vincoli a cui e` sottoposto, occorrono delle leggi che mettano in relazione le forze, che sono causa del moto, con le grandezze che determinano la configurazione del sistema. Attraverso esperienze secolari si sono progressivamente scoperte le leggi del movimento. Di ciascuna di queste leggi sono stati indagati i limiti di validit`a, si e` costruito un tessuto razionale fra di esse in modo che esse siano deducibili da pochi principi indotti dalle esperienze: l’esposizione organica di queste leggi e delle loro conseguenze costituisce la meccanica razionale2 .

statica:

  le equazioni cardinali della statica    il principio dei lavori virtuali     il teorema del minimo dell’energia potenziale

le equazioni cardinali della dinamica l’equazione simbolica della dinamica il teorema dell’energia dinamica: le equazioni di Lagrange le equazioni canoniche di Hamilton l’equazione di Hamilton-Jacobi. Degli ultimi due metodi non parleremo in questa dispensa in quanto sono solitamente al di fuori di un corso di Meccanica Razionale.                         

Alla base di queste relazioni stanno i tre principi fondamentali dovuti a New2 Un giorno lo scrivente ha avuto un incontro con Abdus Salam, premio Nobel per la fisica. Quando questi gli ha chiesto di cosa fosse docente la risposta e` stata: docente di Meccanica razionale. A questo punto il premio Nobel ha fatto una interminabile risata in quanto l’appellativo razionale gli aveva scatenato l’ilarit`a. Salam, formatosi a Cambridge, non aveva mai sentito un tale appellativo. Purtroppo solo pi`u tardi lo scrivente ha saputo che il termine razionale e` stato introdotto da Newton che viveva a Cambridge @ qualche secolo prima[27, prefazione]. ♣

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CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

ton: primo principio secondo principio terzo principio

1.1.3

legge di inerzia legge di moto di una particella F~ = m~a principio di azione e reazione

Particella D: si chiama particella qualunque corpo le cui dimensioni siano trascurabili rispetto alle dimensioni in gioco. 3

Per quanto possa sembrare strano un aereo con 300 passeggeri a bordo pu`o, in un certo contesto, essere considerato come una particella. Basta chiederlo ad un radarista: a lui e` sufficiente la posizione del puntino luminoso che si rivela sullo schermo radar. Anche la Terra, che ha un raggio di circa 6000 km, pu`o essere considerata come una particella nella determinazione dell’orbita: questo avviene nello studio dei moti centrali. Quindi non e` detto che la particella o particella debbano avere estensione nulla. E’ sufficiente che le sue dimensioni siano trascurabili nel contesto che si considera.

1.2

Sistema meccanico D: si chiama sistema meccanico un sistema fisico del quale ci interessa solo lo studio del moto, in particolare la sua configurazione in condizioni di quiete. Un sistema fisico viene chiamato sistema termodinamico o chimico o elettrico a seconda che di esso ci interessino gli aspetti termodinamici o chimici o elettrici.

1.2.1

Configurazione di un sistema meccanico

Determinare il moto del sistema meccanico o il suo stato di equilibrio, significa conoscere la posizione di ogni punto del sistema ad un istante generico. D: si chiama configurazione di un sistema ad un dato istante l’insieme delle posizioni di tutti i punti del sistema in quell’istante. 3 Spesso si parla di punto materiale, ma il termine particella e` pi`u pertinente. L’opposto di punto materiale sarebbe punto geometrico, ma non sembra il caso di aggiungere il termine geometrico ai punti da sempre usati in geometria.

1.2. SISTEMA MECCANICO

1.2.2

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Coordinate libere

Per determinare la configurazione occorre fissare un sistema di riferimento e delle coordinate. In linea di principio occorrerebbero le coordinate di tutti i punti del sistema: ma l’esistenza di parti rigide diminuisce il numero di coordinate necessarie per determinare la configurazione. Basti osservare che per individuare la configurazione di un corpo rigido libero nello spazio, formato da un numero enorme di molecole e` sufficiente dare solamente 6 coordinate! D: si chiamano coordinate libere o lagrangiane o generalizzate un insieme di variabili indipendenti sufficienti a definire la configurazione di un sistema ad ogni istante.4 Le coordinate libere si indicano con qk o con qk , essendo k = 1, 2, ..., n ed n il numero dei gradi di libert`a. O. La posizione degli indici in alto e` dovuta ad una convenzione generale e non deve essere confusa con un esponente. Molti autori non se la sentono di mettere gli indici in alto a motivo della possibile confusione con un esponente.

All’inizio di un problema occorre scegliere delle coordinate. Durante la fase di impostazione del problema si pu`o fare uso di coordinate sovrabbondanti ma prima di iniziare la risoluzione sar`a bene eliminare le coordinate sovrabbondanti esprimendole in funzione delle coordinate libere mediante relazioni geometriche. Le relazioni tra le coordinate cartesiane e le coordinate libere sono in generale espresse da equazioni non lineari: questo capita tutte le volte che si introducono angoli. Ne viene che le coordinate libere introducono la non linearit`a nelle equazioni della meccanica: si parla di non linearit`a geometriche. Un’altra sorgente di non linearit`a sono le relazioni costitutive5 cio`e relazioni fra le variabili statiche e dinamiche da una parte (quali forze, momenti, quantit`a di moto, momenti delle quantit`a di moto, ecc.) e variabili geometriche e cinematiche dall’altra (quali le coordinate, gli spostamenti, le velocit`a, le velocit`a angolari, ecc.). Queste equazioni prendono il nome di costitutive perch´e precisano la costituzione del sistema.

1.2.3

Spostamenti reali e virtuali D: si chiama spostamento virtuale del punto P e lo si indica con δP, il vettore infinitesimo che congiunge la posizione occupata

4 5

Nocilla, p.122 Dette anche equazioni materiali o di comportamento.

12

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE dal punto P all’istante generico t con un’altra posizione, infinitamente vicina, che il punto P potrebbe occupare al medesimo istante nel rispetto dei vincoli, che, se mobili, si pensano congelati all’istante considerato.6

Lo spostamento virtuale e` uno spostamento immaginato a titolo di prova, non e` effettivamente compiuto. D: si chiama spostamento effettivo infinitesimo del punto ˙ dt subito dal punto P in P nel tempo dt lo spostamento dP(t) = P(t) conseguenza del suo movimento.

P' t+dt dP t

P' dP

δP δP

δP δP

δP

P δP

δP

P δP

vincolo fisso

vincolo mobile

Figura 1.1. Spostamenti virtuali e spostamento effettivo di una particella.

vincolo fisso

dP

t+dt

t

δP

P

vincolo mobile

dP

spostamento effettivo

δ P irrev δP

P

δP

δP P spostamento non virtuale

Figura 1.2. Esempi di spostamenti virtuali e reali

In dinamica si hanno dunque due categorie di spostamenti: quelli reali dovuti al moto stesso del sistema e quelli virtuali che immaginiamo di far compiere ai 6

Sommerfeld, [30, p.53]; Lanczos, [20, pp.38-39]; Levi Civita-Amaldi, [48, v.I, p.299 ] precisano che il tempo deve essere congelato. Goldstein. [15, p.14] compie l’errore di definire virtuale uno spostamento compatibile con le forze ed i vincoli imposti al sistema ad un dato istante t. Le forze non hanno nessun ruolo nella definizione di spostamento virtuale in quanto questo e` un concetto puramente geometrico.

1.2. SISTEMA MECCANICO

13

punti fissando i vincoli. Se i vincoli sono fissi, tra gli innumerevoli spostamenti virtuali c’`e quello effettivo. In statica, in quanto non c’`e moto del sistema, non vi sono spostamenti reali compiuti dai suoi punti: gli unici spostamenti che hanno senso in statica sono quelli virtuali. Uno spostamento virtuale si dice reversibile se lo spostamento opposto e` pure esso virtuale; si dice irreversibile se il suo opposto non e` virtuale. dqk (t) = q˙ k (t) dt e` la variazione effettiva subita dalle qk (t) per effetto del movimento nell’intervallo dt. E’ il differenziale della funzione. Indica la differenza tra i valori della q(t) in due istanti successivi. δqk (t) = variazione virtuale della coordinata qk (t) al medesimo istante t (detto sincrona). Le δqk non hanno nulla a che fare con l’andamento effettivo del sistema, ma vengono immaginate a titolo di prova7 .

1.2.4

Gradi di libert`a

Gli spostamenti di un sistema meccanico si possono pensare ottenuti per composizione di un certo numero di spostamenti fondamentali indipendenti tra loro. Ogni spostamento fondamentale costituisce un grado di libert`a del sistema. D. Si chiama numero dei gradi di libert`a di un sistema meccanico il massimo numero di spostamenti virtuali indipendenti del sistema. Determinare il numero dei gradi di libert`a di un sistema e` fondamentale per fare il bilancio tra il numero di incognite del problema ed il numero di equazioni necessarie. Per determinare il numero dei gradi di libert`a si pu`o procedere in uno dei modi seguenti8 : [@ non ho ancora classificato i vincoli] a) metodo dei congelamenti successivi. Si immagina di congelare successivamente i movimenti possibili del sistema bloccando rotazioni, traslazioni o punti del sistema. Ogni spostamento elementare impedito indica un grado di libert`a che aveva il sistema. Il minimo numero di congelamenti elementari che porta il sistema al congelamento totale costituisce il numero dei gradi di libert`a del sistema. Alcuni autori trovano utile introdurre un intervallo di tempo δt infinitesimo dello stesso ordine di δP, peraltro arbitrario e introducono anche la nozione di velocit`a virtuale. L’autore ritiene che questo sia certamente lecito, ma inopportuno. 8 Goldstein, [15, p.12] identifica i gradi di libert`a con le coordinate libere, cosa non opportuna in quanto sono due nozioni diverse: la differenza risulter`a evidente trattando i sistemi anolonomi. 7

14

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE b) metodo del bilancio. Si assegna ad ogni vincolo un numero, che e` il numero dei gradi di libert`a che esso toglie al sistema. Cos`ı ad un vincolo semplice (appoggio, carrello) si assegna il numero 1; ad un vincolo doppio (cerniera, semicerniera, pattino, manicotto) si associa il numero 2; ad un vincolo triplo (incastro) il numero 3. Si sommano tutti i numeri relativi ai diversi vincoli. Si sommano i gradi di libert`a delle singole parti del sistema supposte libere. Dal totale dei gradi di libert`a si toglie la somma dei vincoli: quello che rimane e` il numero dei gradi di libert`a del sistema

Ad esempio un’asta nel piano ha 3 gradi di libert`a in quanto ammette tre spostamenti indipendenti: le traslazioni lungo due direzioni prefissate e la rotazione. O: questo secondo metodo e` pi`u rapido del precedente ma meno sicuro: vi possono essere parti in cui c’`e un eccesso di vincoli e parti in cui c’`e un difetto di vincoli. Inoltre nasconde eventuali labilit`a del sistema.

y

y

D: se il filo si avvolge sulle carrucole senza scorrimenti e se i tratti pendenti si suppongono sempre verticali, quanti gradi di libert`a ha il sistema? R: Se congeliamo la ruota di sinistra basta abbassare il contrappeso di destra per far alzare e ruotare la ruota centrale. Successivamente se congeliamo la ruota di destra il sistema rimane completamente congelato. Conclusione: il sistema ha due gradi di libert`a.

1 grado di libertà 2 gradi di libertà 3 gradi di libertà

2 gradi di libertà 1 grado di libertà

Figura 1.3. Quando un moto si compone di diverse fasi, i gradi di libert`a di un corpo possono variare da una fase all’altra.

1.2. SISTEMA MECCANICO

1.2.5

15

Come scegliere gli assi cartesiani

Per impostare un problema e` bene scegliere le coordinate pi`u convenienti. Nel caso che si scelgano coordinate cartesiane e` consigliabile scegliere l’asse delle x e quello delle y diretti nel modo tradizionale. Quando questo non sia opportuno possono scegliersi comunque orientati, possibilmente in modo che il sistema venga a trovarsi nel primo quadrante e che gli angoli siano coerenti con le coordinate, cio´e orientati da x ad y. Gli assi cartesiani devono essere fissi, non mobili con il sistema, salvo quando si studi un problema di meccanica relativa. Anche in tal caso gli assi devono essere scelti solidali con una parte del sistema, quella che si vuole che costituisca il sistema di riferimento. y

O

y

x

A

x

O=A

assi mobili con il triangolo: conviene solo se è noto il moto del triangolo

assi fissi

Figura 1.4. La scelta della figura di destra e` valida se e` noto il moto del piano inclinato e si vuole usare la meccanica relativa

y

NO!

y NO! 0

x 0

x y

y NO!

NO!

x

0

0

Figura 1.5. Scelte inopportune, gli assi devono essere fissi

x

16

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE y

y

y

ϑ

y

y

y

x

ϑ

x

ϑ

ϑ

0

0

x

y

ϑ

x

0 scelta inopportuna (è bene che l'asse x vada verso destra) x

scelta opportuna

scelta opportuna

ϑ

x

y

y

y

ϑ

ϑ

x

x

ϑ

0 ϑ x scelta opportuna, ma x = -R ϑ

0

ϑ

ϑ

x

scelta opportuna

y

x ϑ

y x scelta inopportuna scelta opportuna (è bene che l'asse x vada verso destra)

y

y ϑ

0

x y

y

ϑ

y

ϑ

x

x y

ϑ

x

scelta inopportuna

ϑ

x

scelta inopportuna (il cinematismo si trova nella parte negativa dell'asse y)

x

scelta opportuna

x y

x

(l'asse y spesso si orienta verso il basso)

0 y

Figura 1.6. (sopra) La terza scelta e` lecita ma sconsigliata in quanto facilmente si commettono errori di segno nella valutazione delle ascisse. (al centro) Gli angoli devono essere presi in armonia con gli assi, positivi andando da x ad y. (sotto) E’ opportuno che la figura si trovi nel primo quadrante degli assi cartesiani.

1.2.6

Come scegliere gli angoli

Ricordare innanzi tutto che anche gli angoli hanno un verso. Le velocit`a angolari, i momenti delle forze, i momenti angolari saranno positivi se concordi con il verso positivo degli angoli. Se sono state scelte in precedenza coordinate cartesiane il

1.3. VINCOLI

17

senso positivo degli angoli risulta automaticamente fissato come quello concorde con l’asse z secondo la regola del cavatappi. y

SI !

y

NO !

ϑ

ϑ

x

x

Figura 1.7. A sinistra una scelta opportuna degli assi, a destra una scelta non opportuna.

E’ opportuno che l’angolo sia quello formato tra una direzione fissa nel riferimento considerato ed una direzione solidale con il corpo mobile. Quando non convenga sceglierli in tal modo, tener presente che la velocit`a angolare non e` pi`u la derivata rispetto al tempo dell’angolo scelto. O

y

. .

asta AB ω z = φ asta BC ω z = ϑ

ϑ

.y .

O

asta AB ω z = φ asta BC ω z = ϑ

φ

ϑ x attenzione: asse y verso il basso

C B

y

C B

ϑ

x

x direzione mobile y

direzione fissa y

C ϑ

. ωz = ϑ

ϑ

x

O

ϑ

y

direzione mobile

C

.

ωz = ϑ

direzione fissa

x

O

x

Figura 1.8. Se l’angolo non e` misurato a partire da una direzione fissa la velocit`a angolare non e` uguale alla derivata dell’angolo.

1.3 Vincoli D : si chiama vincolo tutto ci`o che limita la libert`a di moto di un sistema.9 9

Questa definizione e` cos`ı generale che vi rientrano anche il vincolo contrattuale e il vincolo

18

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE I vincoli si classificano secondo quattro criterii: • • • •

fissi o mobili; lisci o scabri; ♣ unilateri o bilateri; olonomi o anolonomi.

Un vincolo si dice fisso se non varia la sua posizione nel tempo, in caso contrario si dice mobile. Un vincolo si dice scabro se esercita attrito, in caso contrario si dice liscio. Un vincolo si dice unilatero se ha fra i suoi spostamenti ve ne sono alcuni irreversibili, in caso contrario si dice bilatero. Per i vincoli olonomi e anolonomi si veda pag. 68 δ P irrev P

δP P

δP

δ P irrev

δ P irrev P

q vincolo unilatero: l'unico spostamento virtuale è irreversibile e il lavoro virtuale è nullo

vincolo unilatero: alcuni spostamenti virtuali sono reversibili, altri irreversibili

vincolo unilatero: tutti gli spostamenti virtuali sono irreversibili

Figura 1.9. Esempi di vincoli con spostamenti reversibili e irreversibili.

1.3.1

Reazioni vincolari

E’ chiaro che se tolgo un vincolo ad un sistema in equilibrio questo si muover`a e se lo tolgo ad un sistema in moto questo si muover`a in modo diverso. Ci si chiede allora quali forze sostituire al vincolo per mantenere lo stesso stato di quiete o di moto che il sistema aveva in precedenza. D : si chiama reazioni vincolare di un vincolo la forza e la coppia che occorre sostituire al vincolo per mantenere lo stesso stato di quiete o di moto che il sistema aveva in precedenza. Quando la reazione e` costituita da una sola forza, interessa spesso sapere la direzione della reazione. Nel caso che il vincolo sia liscio (cio´e privo di attrito) matrimoniale. Entrambi limitano la libert`a di azione di una persona. Si potrebbe essere portati a dire: abbasso i vincoli! Ma cosa e` l’ingegneria se non l’arte di saper vincolare dei componenti al fine di ottenere una macchina, un apparato, un dispositivo che debba perseguire un certo obiettivo? E’ l’obiettivo da raggiungere che giustifica i vincoli, anche quello matrimoniale.

1.3. VINCOLI

19

l’intuizione dice che la direzione della forza e` perpendicolare alla direzione degli spostamenti concessi dal vincolo. Questo avviene nel caso di appoggio semplice, di carrelli e di cerniere scorrevoli. Quando il vincolo e` una cerniera interessa sapere se la reazione ha una componente in una direzione assegnata, ad esempio orizzontale o verticale o normale ad un’asta. In questo caso si sostituisce la cerniera con un carrello che conceda lo spostamento nella direzione assegnata e si vede se il sistema pu`o muoversi in quella direzione. Poich´e il compito di una reazione e` , per definizione, quello di impedire un movimento, se il sistema pu`o muoversi in quella direzione vuol dire che la reazione della cerniera ha una componente nella direzione assegnata. Mettere sempre le reazioni nei versi positivi, il loro giusto segno verr`a da s`e dalle equazioni. O

?

A

si muove !

ϑ p

ϑ p x

x durante il moto esiste una componente orizzontale della reazione in A?

y

A

A

p

HA

O

y

proviamo a lasciare libero lo spostamento orizzontale: A si sposta orizzontalmente.

quindi per impedirlo occorre mettere una forza orizzontale. Dunque la componente orizzontale esiste!

Figura 1.10. Come convincersi che esiste una reazione orizzontale

Grado di vincolo. Ad ogni vincolo si pu`o assegnare un grado di vincolo costituito dal numero di spostamenti indipendenti che toglie al sistema. Faremo riferimento alla figura (1.11). I vincoli si distinguono dunque in: • semplici quando tolgono un grado di libert`a. Tali sono i carrelli, le cerniere scorrevoli, gli appoggi. • doppi quando tolgono due gradi di libert`a. Tali sono le cerniere, i piattelli, i manicotti. • tripli quando tolgono tre gradi di libert`a. Tali sono gli incastri a terra e le saldature. Cosa vuol dire rotolare? La ruota dell’automobile sul terreno ghiacciato slitta, non rotola. Durante una frenata la ruota di un camion pu`o strisciare: slitta e non rotola. Rotolare significa non slittare (=non strisciare= non scivolare).

20

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE simbolo

nome

spostamenti concessi

reazioni

vincoli semplici

appoggio a terra

carrello a terra

appoggio a terra

semicerniera scorrevole

cerniera scorrevole

cerniera a terra

vincoli doppi

cerniera interna semicerniera

piattello

vincoli tripli

manicotto

incastro a terra

incastro interno

Figura 1.11. I simboli pi`u usati per indicare i vincoli. Le frecce chiare indicano gli spostamenti concessi, quelle scure le reazioni.

1.3. VINCOLI

21

B

A

vincol ofisso

A vincol ofisso

B

C

A

C B

Figura 1.12. Anche se si vede una semicerniera scorrevole o due carrelli mobili, i vincoli sono fissi!

1.3.2

Classificazione dei vincoli

I vincoli si distinguono in due classi: 1. i vincoli di posizione od olonomi o geometrici; 2. vincoli di mobilit`a od anolonomi o cinematici. I vincoli finora presentati sono del primo tipo. I vincoli di mobilit`a si trovano a pagina 68.

1.3.3

Osservazioni sui vincoli fissi

I carrelli e le semicerniere sono dispositivi che, da soli, non costituiscono il vincolo. Cos`ı un carrello deve appoggiarsi su un piano: il vincolo e` il piano. Se questo e` fisso il vincolo sar`a fisso nonostante il fatto che il carrello sia mobile. Per convincersi basta osservare la figura (??b) che e` equivalente a (??c). Cos`ı una semicerniera deve appoggiarsi ad una guida: se questa e` fissa il vincolo si dir`a fisso nonostante la semicerniera sia mobile. Cosa vuol dire rotolare? La ruota dell’automobile sul terreno ghiacciato slitta, non rotola. Durante una frenata la ruota di un camion pu`o strisciare: slitta e non rotola. Rotolare significa non slittare (=non strisciare= non scivolare). B

A

vincol ofisso

A vincol ofisso

B

C

A

C B

Figura 1.13. Anche se si vede una semicerniera scorrevole o due carrelli mobili, i vincoli sono fissi!

22

1.4

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

Forze

La scienza si caratterizza per il fatto di conferire un significato preciso ai suoi termini. I termini servono a descrivere propriet`a, attributi, qualit`a, ecc. Se i termini non sono definiti, le proposizioni con esse formate possono risultare prive di significato o equivoche o errate. Consideriamo il termine lavoro. Nel linguaggio comune ha molti significati. Ecco alcune espressioni di uso comune: un lavoro ben remunerato; un lavoro pesante; un posto di lavoro; un lavoro poco pulito; un lavoro ben fatto; il lavoro sommerso; il lavoro intellettuale e cos`ı via. In fisica il termine lavoro ha un significato ben preciso: nel caso di una forza costante F che sposta un corpo per un tratto di lunghezza s nella stessa direzione della forza si chiama lavoro il prodotto della forza per lo spostamento: W = F s. Se lo spostamento non ha la stessa direzione della forza la definizione e` estesa definendo il lavoro come il prodotto scalare tra il vettore forza ed il vettore spostamento: W = F~ · ~s. Se poi durante lo spostamento la forza non si Rmantiene costante la definizione e` ulteriormente estesa facendo l’integrale W = F~ · d~r. Quanto detto per il lavoro vale per la nozione di forza. Nel linguaggio comune il termine forza e` usato con diversi significati. Si parla di forza muscolare, di forza d’animo, di forza della disperazione, di forza e coraggio, di forza pubblica e cos`ı via. In Fisica la forza ha un significato ben pi`u ristretto. La forza e` una grandezza che esprime l’azione tra due corpi, siano essi a contatto o distanti. Questa azione che tende a far muovere un corpo ha una natura direzionale e la sua intensit`a e` misurata con il dinamometro. Quella che abbiamo dato non e` una definizione nel senso matematico in quanto e` vaga. Ma questa e` una caratteristica comune a tutti i concetti primitivi della scienza. Proprio perch`e sono primitivi e` impossibile definirli. Infatti definire una nozione vuol dire presentare la nozione in termini di altre nozioni pi`u primitive, pi`u familiari, pi`u semplici. E` chiaro che questo non e` possibile farlo per i concetti primitivi. Si pensi alla nozione di spazio e a quella di tempo: nessuno pu`o pretendere di darne una definizione e di fatto una definizione non c’`e. Mentre il lavoro di una forza e` definito (nel senso letterale del termine) in termini di forza e spostamento, la nozione di forza non pu`o essere definita con la stessa precisione. Le forze sono le cause del moto. Una forza e` caratterizzata da quattro attributi: direzione, verso, intensit`a e punto di applicazione.

1.4.1

Classificazione delle forze

Le forze si possono classificare secondo diversi criteri.

1.4. FORZE

23

Forze di contatto e a distanza. Si chiamano forze di contatto quelle che agiscono nel contatto fra due corpi. Tali sono le forze che esercitiamo con le mani e con i piedi; spingendo con un bastone o tirando con una fune; le forze dovute all’urto tra due corpi, come quella che provoca il rimbalzo di una biglia sulla sponda del bigliardo. La forza del vento su una v ela e` una forza a contatto (aria-vela). Si chiamano forze a distanza quelle che agiscono su un corpo senza il contatto con altri corpi. Tali sono la forza di gravit`a, la forza dovuta a cariche elettriche in quiete o in moto. Forze di superficie e di volume. Si chiamano forze di superficie quelle che agiscono sulla superficie di un corpo. Esempi di forze di superficie sono: • la forza che una mano esercita quando afferriamo un oggetto, ad esempio quando sosteniamo un piatto o solleviamo una bottiglia; • la forza che il mare esercita sulla carena di una nave; • la forza del vento su una vela; • la resistenza aerodinamica che si esercita su un’auto o un aeroplano. Si chiamano forze di volume quelle che agiscono su ogni particella del corpo. Esempi di forze di volume sono: • il peso di un corpo; • le forze elettriche e magnetiche; • le forze apparenti presenti in un riferimento non inerziale. Pu`o sembrare, a prima vista, che le forze di superficie siano sempre forze a contatto ma non e` cos`ı. La repulsione o l’attrazione tra due conduttori carichi di elettricit`a, come le due armature di un condensatore, sono forze a distanza eppure sono forze di superficie in quanto le cariche elettriche si dispongono sulla superficie dei conduttori. Anche le forze di volume non sono necessariamente forze a distanza in quanto possono essere sono dovute all’azione a distanza di altri corpi: questo e` il caso della forza centrifuga in un riferimento non inerziale. Forze attive e reattive. Le forze attive sono quelle forze agenti sul sistema che non sono dovute ai vincoli. Le forze reattive o reazioni vincolari sono quelle forze che immaginiamo di sostituire ai vincoli per mantenere la stessa configurazione di equilibrio (in statica) o lo stesso movimento (in dinamica).

24

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

Forze interne ed esterne. Le forze interne sono quelle agenti sul sistema dovute all’azione delle altre parti interne al sistema stesso. Tali sono le forze molecolari tra le molecole del sistema, quelle dovute alle contrazioni muscolari in un essere animato, quelle originate dal motore di un automobile. Le forze esterne sono quelle agenti sul sistema dovute all’azione di corpi esterni al sistema. Tali sono le forze peso, le forze elettriche dovute a cariche esterne, le forze esercitate mediante fili ancorati all’esterno del sistema, le resistenze aerodinamiche, ecc. Forze reali ed apparenti. D: si chiama inerzia la propriet`a che ha un corpo di mantenere il suo stato di quiete o di moto se non soggetto a forze. L’inerzia si manifesta anche nella resistenza incontrata alla applicazione di una forza. La grandezza fisica che caratterizza l’inerzia e` la massa. Per la meccanica razionale la classificazione pi`u usata e` quella esterne / interne ed attive / reattive. (   interne    attive   esterne    f orze  (1.1) (     interne     reattive esterne

1

3 5 2

4

Figura 1.14. I diversi tipi di forze agenti su un’auto.

1) 2-4) 3) 5)

forza attiva esterna (resistenza aerodinamica) forze reattive esterne forza attiva esterna (peso) forza reattiva esterna dovuta all’aderenza

Molle reali e ideali. • Molle reali: sono quei dispositivi che esercitano una forza di richiamo quando vengono tese o repulsiva quando vengono compresse. Ogni molla

1.4. FORZE

25

ha una lunghezza a riposo e pu`o subire, in generale, sia un allungamento se sottoposta a trazione che un accorciamento se sottoposta a compressione. Ovviamente se la molla e` allungata essa tende a ritornare alla configurazione di riposo e quindi esercita una forza di richiamo. L’opposto accade quando la molla e` compressa. In generale la forza che una molla esercita e` proporzionale alla variazione di lunghezza cio`e alla differenza tra la lunghezza attuale e quella a riposo. • Molle ideali. Spesso e` comodo considerare molle ideali cio´e tali da: 1) 2) 3) 4)

avere lunghezza nulla a riposo; agire solo a trazione; esercitare una forza di richiamo proporzionale alla loro lunghezza; essere prive di massa e quindi non avere inerzia.

Una forza di richiamo agente su un punto P e che sia proporzionale alla distanza del punto P da un punto fisso O prende il nome di forza elastica. Una simile forza si pu`o ottenere senza avere necessariamente una molla ideale. Ad esempio la forza di richiamo dell’estremit`a di un’asta metallica flessibile che sia incastrata all’altro estremo, come mostrato in figura (1.16sinistra) e` una forza elastica. In un reticolo cristallino uno ione spostato dalla sua posizione di equilibrio viene attratto verso quella posizione da un’azione combinata di attrazioni e repulsioni da parte degli ioni del reticolo. Questo comporta che la forza totale di richiamo sia elastica anche per spostamenti dell’ordine di un terzo della costante reticolare (distanza tra due ioni contigui) (1.15destra). F

s ione spostato

F

s

Figura 1.15. Una forza elastica pu`o essere causata da un dispositivo diverso da una molla ideale. (sinistra) Una lama flessibile esercita una forza elastica sull’estremo P. (destra) In un reticolo cristallino, ad esempio quello del cloruro di sodio, uno ione allontanato dalla sua posizione di riposo viene richiamato da una forza sensibilmente elastica.

26

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

Occorre per`o tener presente che i problemi tecnici esigono la considerazione di molle reali. In generale si consiglia l’uso dell’energia potenziale. Se invece si vogliono mettere in evidenza le forze, e` bene seguire queste norme: 1. sostituire la molla con le due forze da essa esercitate, applicate ai due estremi e di verso opposto indicando accanto alla forza solamente il suo modulo; 2. non lasciarsi ingannare dal segno “meno” della formula f~ = −k(P−O) nella esecuzione degli esercizi. Il segno “meno” di questa formula e` gi`a espresso nel verso dato ai vettori nel disegno, ed e` ovviamente errato tenerne conto una seconda volta! Seguendo scrupolosamente queste regole e` impossibile sbagliare i segni. O

P O

Kx

x

Kx

P

Figura 1.16. Una molla ideale pu`o essere sostituita da due forze opposte e proporzionali alla lunghezza della molla.

Capitolo 2

STATICA L’oggetto della statica e` la ricerca delle posizioni di equilibrio di un sistema e quindi delle forze e dei vincoli che lo assicurano.

2.1

Equazioni cardinali della statica

Affinch`e un sistema meccanico sia in equilibrio devono valere le due equazioni vettoriali:   ~ ~0  = 0   R+R (2.1)     M ~A + M ~0 = 0 A equivalenti alle 6 equazioni scalari  0  Ry + R0y = 0 Rz + R0z = 0    Rx + Rx = 0    0 = 0 M + M0 = 0 M + M0 = 0  MAx + MAx Ay Az Ay Az

(2.2)

Le grandezze in gioco sono: • • • •

~ risultante delle forze attive agenti sul sistema; R ~ 0 risultante delle reazioni vincolari; R ~ A momento delle forze attive; M ~ 0 momento delle reazioni vincolari M A

Le equazioni cardinali sono valide per qualunque sistema, per qualunque tipo di vincolo, per qualunque tipo di forze, per qualunque polo A. Donde il meritato attributo di equazioni cardinali della statica. Sono necessarie per l’equilibrio di un sistema, ma sono in pi`u sufficienti solo per un corpo rigido, che ha infatti al massimo 6 gradi di libert`a. 27

28

CAPITOLO 2. STATICA

~ M ~A Risultante e momento sono solo quelle delle forze esterne, sia attive R, 0 0 ~,M ~ . Infatti le forze ed i momenti interni si fanno equilibrio a due che reattive R A a due, per il principio d’azione e reazione, e pertanto la loro somma e` nulla. Le equazioni cardinali sono sempre compatibili e indipendenti salvo il caso in cui il sistema si riduca ad un punto: in tal caso la seconda e` combinazione lineare della prima. Nel caso di un sistema iperstatico, cio`e con pi`u vincoli di quelli sufficienti ad assicurare l’equilibrio quando il sistema si concepisca rigido, le equazioni cardinali non sono sufficienti a determinare le reazioni vincolari neanche se applicate ad ogni pezzo rigido in cui e` decomponibile il sistema. In tal caso e` necessario tenere conto della deformabilit`a del materiale.

2.2

Principio dei lavori virtuali

Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un sistema soggetto a vincoli lisci e` che il lavoro delle forze attive per ogni spostamento virtuale non sia positivo

cio`e deve verificarsi il solo verificarsi ci assicura l’equilibrio cio`e privi di attrito sia interne che esterne al sistema e non solo per qualcuno infinitesimo e conforme ai vincoli sia nullo o negativo

Per definizione il lavoro virtuale e` dato da def

w∗ =

N X

F~i · δPi .

(2.3)

i=1

F~i e` la forza attiva che agisce sul punto Pi ; l’asterisco indica virtuale, cio`e non effettivo. Il principio si esprime: w∗ ≤ 0

spostamenti virtuali generici

(2.4)

Per gli spostamenti reversibili, quindi per vincoli bilaterali, il principio diviene: w∗ = 0

spostamenti virtuali reversibili

(2.5)

Poich´e in statica non esistono spostamenti reali, in quanto ci occupiamo di sistemi in equilibrio, non ha senso usare il simbolo dPi .

2.2. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI

29

QUIZ: Su un piano inclinato liscio, una particella, ad esempio un dado, soggetta solo al proprio peso non pu`o stare ovviamente in equilibrio. Eppure per lo spostameno virtuale indicato in figura e` w∗ = 0 a causa della perpendicolarit`a. Dovremmo concludere che l’equilibrio c’`e: cosa non funziona in questa conclusione?

δB

B

p

O. Molti autori ritengono che per indicare una quantit`a piccola o addirittura infinitesima si debba premettere alla stessa il simbolo δ. Cos`ı δW per il lavoro, δQ per il calore, ecc. Questo non lo ha stabilito nessuno: la matematica denota gli infinitesimi con , η, ecc. e non con δ, δη, ecc. Il simbolo δ davanti al punto P e` essenziale in quanto indica la variazione di posizione del punto. Ma davanti a W non e` necessario in quanto l’espressione δ W dovrebbe indicare la variazione del lavoro cosa che non ha senso in quanto non esiste una funzione la cui variazione esprima il lavoro compiuto. Semmai si tratta di un lavoro infinitesimo e nessun libro di matematica insegna che una quantit`a infinitesima debba essere preceduta dal δ ! Basti osservare che in matematica un infinitesimo viene indicato con uno dei simboli , η, ω, .... Per indicare che una quantit`a e` infinitesima (piccola a piacere) o semplicemente piccola e` tradizionale usare una lettera minuscola. Cos`ı si pu`o indicare cone W un lavoro finito e con w un lavoro piccolo o, addirittura, infinitesimo. L’asterisco serve per indicare che si tratta di lavoro virtuale, non effettivo. Ricordiamo che in ottica l’immagine virtuale si indica con l’asterisco.

2.2.1 Lavoro virtuale Se qk sono coordinate (anche non libere) atte ad individuare la configurazione del sistema, il principio dei lavori virtuali per vincoli bilaterali diviene: w = ∗

N X

F~i · δPi =

i=1

n X

Qk δqk = 0.

(2.6)

k=1

Se le qk sono libere le δqk non sono arbitrarie1 le δqk sono arbitrarie e ne viene: Qk (q1 , q2 , ..., qn ) = 0

(k = 1, 2, . . . , n).

(2.7)

1 Vedremo in cinematica che per un sistema anolonomo (vedi pagina 68) le variazioni delle coordinate libere non sono arbitrarie: ne viene che l’espressione del lavoro virtuale che stiamo ottenendo vale per un sistema olonomo.

30

CAPITOLO 2. STATICA

Sono queste n equazioni nelle incognite q1 , q2 , ..., qn tante quanti i gradi di libert`a. Risolte forniscono le coordinate qk della posizione di equilibrio. Per il calcolo delle Qk vedere la pagina [calcolo delle Qk ] ♣.

2.2.2

Come si calcola il lavoro virtuale

Per calcolare il lavoro virtuale di una forza F~ applicata ad un punto P si pu`o usare sia l’espressione cartesiana w∗ = F~ · δP = F x δx p + Fy δy p + Fz δz p

(2.8)

w∗ = F~ · δP = F · |δP| cos(ϑ).

(2.9)

sia l’espressione

In linea di massima, salvo casi molto semplici, e` conveniente usare l’espressione cartesiana. M C B

ϕ

M δB

s

L L

A α

a)

b)

B

ϕ

F

x

x

p

Figura 2.1.

Per calcolare il lavoro virtuale di una coppia di forze di momento M si deve considerare l’angolo di rotazione ϕ del corpo rigido a cui e` applicata (supponiamo si tratti di spostamenti piani) e quindi il lavoro virtuale e` dato da w∗ = M δϕ

(2.10)

essendo M il momento della coppia, positivo se concorde con l’angolo. Con riferimento alla figura 2.10 si ha w∗ = −Mδϕ + (p sin α) δs

w∗ = +M δϕ + Fδx

δs = +R δϕ

δx = δ (2 L cos ϕ) = −2 L sin ϕ δ ϕ

(2.11)

2.3. STATICA DEL PUNTO

2.2.3

31

Attrito

L’attrito e` sempre a favore dell’equilibrio e pertanto e` a sfavore del moto. Questo comporta che, salvo problemi in cui l’attrito e` essenziale per l’equilibrio, esso pu`o essere ignorato in statica. Una volta determinata la configurazione di equilibrio ignorando l’attrito, la sua eventuale presenza non fa che favorire il mantenimento dell’equilibrio.

2.3 2.3.1

Statica del punto Punto materiale libero nel piano

Posto def

Rx =

N X

Fkx

k=1

def

Ry =

N X

Fky

(2.12)

k=1

la condizione di equilibrio deve soddisfare le due equazioni R x (x, y) = 0

Ry (x, y) = 0.

(2.13)

Risolvendo il sistema delle due equazioni si trova la posizione di equilibrio (x0 , y0 ). Si pu`o usare il principio dei lavori virtuali. Se le forze ammettono potenziale si pu`o usare il teorema della stazionariet`a del potenziale: ∂U(x, y) ∂U(x, y) (2.14) =0 = 0. ∂x ∂y

2.3.2

Punto materiale vincolato ad una linea liscia ~ giace nel piano normale alla linea. La reazione Φ Conviene far uso della prima equazione cardinale proiettata sulla terna intrinseca:

b Φ t

n

 Rt = 0      Rn + Φn = 0      R +Φ =0 b b

(2.15)

32

CAPITOLO 2. STATICA

Poich´e il punto ha un solo grado di libert`a la prima equazione e` sufficiente a determinare la posizione di equilibrio. Le altre due servono per la determinazione della reazione. Si noti che la reazione ha come modulo q Φ = Φ2n + Φ2b . (2.16) Per trovare le componenti del versore tangente ~t basta osservare che t x = cos α

ty = sin α

n x = −sin α

ny = cos α

(2.17)

Dal momento che tan α = y0 (x)

cos α = √

1

1 = p 1 + (y0 )2 1 + tan2 α

y0 sin α = p 1 + (y0 )2 (2.18)

 1    ~t = p [~i + y0 ~j] si mette il segno + se y00 > 0,    02  1 + y    1    ~n = ± p [−y0~i + ~j] il segno − se y00 < 0.    02 1+y

(2.19)

~ · ~t e Rn = R ~ · ~n Per calcolare Rt e Rn nei problemi piani basta osservare che Rt = R ♣ La prima equazione Rt = 0 pu`o essere sostituita dal principio dei lavori virtuali, oppure, se le forze attive sono conservative, con il teorema della stazionariet`a del potenziale. In tal caso U deve essere espresso in funzione di una coordinata libera. Pu`o convenire qualche volta usare le equazioni cardinali proiettate su una terna   Rx + Φx = 0    Ry + Φy = 0     R +Φ =0 z z

(2.20)

In tal caso per tener conto che la reazione e` normale alla linea occorre legare fra loro le componenti della reazione. Se la linea e` piana e` Φ x = −y0 Φy . Se la linea e` sghemba, dette x = x(λ), y = y(λ), z = z(λ) le sue equazioni parametriche, essendo: ~t = p

1 x02

+

y02

+

z02

[x0 (λ)~i + y0 (λ)~j + z0 (λ)~k]

(2.21)

2.4. STATICA DEL CORPO RIGIDO

33

la condizione sulla reazione diviene: ~ ·t =0 Φ

(2.22)

Φ x x0 (λ) + Φy y0 (λ) + Φz z0 (λ) = 0.

(2.23)

ovvero Esprimendo Φ x , Φy , Φz mediante le equazioni di equilibrio si ottiene la equazione pura R x x0 (λ) + Ry y0 (λ) + Rz z0 (λ) = 0. (2.24) Da questa equazione e dalle equazioni parametriche della linea si ricava il valore di λ all’equilibrio.

2.4

Statica del corpo rigido

2.4.1

Corpo rigido con asse fisso

A x

A

’

C

p

F

y

Figura 2.2.

Indicato con A un punto dell’asse di rotazione si possono usare le equazioni cardinali R x + HA = 0 Ry + V A = 0 MAz = 0. (2.25) Se le forze attive sono conservative la terza equazione pu`o essere sostituita da2 dU =0 dϕ

equivalente a

dV = 0. dϕ

(2.26)

2 ♣ Alcuni autori danno pi`u importanza al potenziale U delle forze agenti sul sistema, altri all’energia potenziale V del sistema. Per questa ragione di ogni formula che coinvolge le forze conservative forniremo le due versioni: quella con il potenziale e quella con l’energia potenziale.

34

CAPITOLO 2. STATICA

Stabilit`a dell’equilibrio. Se le forze sono conservative, l’equilibrio e` stabile nella posizione di equilibrio ϕ = ϕ0 quando il potenziale U e` massimo (derivata seconda negativa) ovvero quando l’energia potenziale V e` minima (derivata seconda positiva): d2 V d2 U equivalente a (2.27) 0. dϕ2 dϕ2 ϕ0

2.4.2

ϕ0

Corpo rigido con 1 grado di libert`a (nel piano) y

C

y x

# P

Si possono usare le equazioni cardinali:   R x + R0x = 0       Ry + R0y = 0        M + M0 = 0 Qz

(2.28)

Qz

essendo Q un polo generico.

f x

Nel caso di vincoli lisci si pu`o scegliere come polo il punto di incontro delle reazioni e scrivere l’equazione pura MCz = 0. Se le forze attive sono conservative si pu`o usare il teorema della stazionariet`a dell’energia potenziale o del potenziale. L’equilibrio e` stabile se nella posizione di equilibrio l’energia potenziale e` minima ovvero se il potenziale e` massimo. Se i vincoli sono lisci si pu`o usare il principio dei lavori virtuali, che conduce alla relazione: Qϕ = 0 che coincide con la MCz = 0. Se i vincoli sono scabri si aggiunge la condizione di attrito: |Φt | ≤ µ |Φn |

2.4.3

per ognuno dei vincoli scabri.

(2.29)

Corpo rigido con 2 gradi di libert`a (nel piano)

Per determinare la posizione di equilibrio si possono usare le equazioni cardinali. Il polo conviene prenderlo nel punto di applicazione della reazione (ad esempio, nella figura (2.3) in A). Rx = 0

Ry + V A = 0

MAZ = 0.

(2.30)

2.4. STATICA DEL CORPO RIGIDO

35

Se il vincolo e` liscio si pu`o usare il principio dei lavori virtuali. Ad es. essendo x e ϕ due coordinate libere, ne viene w∗ = Q x δ x + Qϕ δ ϕ

(2.31)

e quindi Q x (x, ϕ) = 0

Qϕ (x, ϕ) = 0.

(2.32)

Se le forze attive sono conservative conviene usare la stazionariet`a dell’energia potenziale: ∂V(x, ϕ) ∂V(x, ϕ) (2.33) =0 = 0. ∂x ∂ϕ

VB B

x

B

x

ky ϕ

y

ϕ ky G

A

P

C

G A

HA

P

C y

y

Figura 2.3. Togliere i vincoli e sostituirli con le reazioni.

L’equilibrio e` stabile se l’energia potenziale V e` minima nella posizione di equilibrio. Poich´e si tratta di un minimo per funzioni di due variabili, il minimo si ha per i valori (x0 , ϕ0 ) per i quali valgono contemporaneamente le due equazioni: "

∂2 V ∂x2

2.4.4

# >0 x0 ,ϕ0

e

 2 !2   ∂ V ∂2 V ∂2 V   > 0. −  ∂x ∂ϕ  x ,ϕ ∂x2 ∂ϕ2 0 0

(2.34)

Corpo rigido appoggiato ad un piano liscio

Il sistema ha tre gradi di libert`a. Se il piano e` liscio le reazioni sono perpendicolari al piano. Si possono determinare le reazioni se i punti di appoggio sono tre. Se i punti di appoggio sono pi`u di tre, le reazioni sono indeterminate: per determinarle occorre tenere conto della deformabilit`a del corpo.

36

CAPITOLO 2. STATICA

z ΦC

ΦA

y ΦB

A

2.4.5

Per calcolare le reazioni vincolari si usano le equazioni   Rz + R0z = 0        Ma + Ma0 = 0 (2.35)         Mb + M 0 = 0 b

b

C

aB c

essendo a e b due rette passanti per due punti di appoggio.

x

Corpo rigido con asse fisso (nello spazio)

Supponiamo che l’asse fisso z sia verticale, passante per i punti A e B della figura (2.4). Le due equazioni cardinali sono  ~+Φ ~A +Φ ~B = 0  R      M ~ A + (B − A) × Φ ~ B = 0.

(2.36)

Moltiplicando scalarmente l’ultima equazione per il versore ~u e osservando che (B − A) e` parallelo ad ~u si ottiene ~ A · ~u = 0 M

ovvero

MAu = 0

(2.37)

che e` l’unica equazione pura.

φB

z B

u

φA

p

A

Figura 2.4. Il cancello e` un esempio di corpo rigido con asse fisso.

Affinch´e le reazioni vincolari siano determinabili e` necessario che vi sia ad esempio in A una cerniera a snodo e in B una cerniera scorrevole: solo cos`ı i gradi di libert`a tolti al corpo sono 5, quante sono le equazioni di equilibrio che rimangono.

2.5. STATICA DEI SISTEMI ARTICOLATI

37

Se i vincoli sono in numero maggiore, le reazioni non si possono determinare considerando il corpo come rigido, bens`ı e` necessario tener conto della sua deformabilit`a. Il problema si dir`a allora iperstatico.

z

Per calcolare le reazioni vincolari si usano le equazioni Rz = 0

O θ

2.5 2.5.1

Mz = 0.

(2.38)

essendo a e b due rette passanti per due punti di appoggio.

Statica dei sistemi articolati Considerazioni generali

Per trovare la posizione di equilibrio, se i vincoli sono lisci e` fondamentale il principio dei lavori virtuali che ha il merito di non fare intervenire le reazioni vincolari. Per ogni tipo di vincoli, lisci o scabri, unilaterali o bilateri, per ogni tipo di forze si possono usare le equazioni cardinali che devono essere applicate globalmente all’intero sistema. Ci`o tuttavia non basta a fornire il numero di equazioni necessarie per la determinazione delle incognite: si devono quindi applicare anche alle singole parti del sistema cos`ı da impedire che avvengano movimenti parziali, vale a dire movimenti di una parte del sistema rispetto all’altra. Spesso e` necessario staccare una parte del sistema: si introducono cos`ı nuove reazioni nel punto di distacco, ma si ottengono nuove equazioni di equilibrio applicando le equazioni cardinali alle singole parti staccate: queste permettono di ottenere il pareggio incognite-equazioni. E` bene seguire le seguenti norme: 1. Rompere il minimo numero di vincoli dando la precedenza ai vincoli semplici (carrelli, cerniere scorrevoli, appoggi) poich´e cos`ı facendo si introduce il minimo numero di reazioni incognite. 2. Imporre l’annullarsi del momento delle forze agenti su un’asta rispetto alle cerniere attorno a cui potrebbero avvenire delle rotazioni.

38

CAPITOLO 2. STATICA

C

C

q

q

p

q A

s

q B A

p ks

molla ideale

ks B

Figura 2.5. Togliere il minimo numero di vincoli, sostituire le molle con le forze rispettive.

Per calcolare le reazioni a terra procedere cos`ı:

1. Rompere solo i vincoli a terra mettendo cos`ı in evidenza le reazioni incognite.

2. Scrivere le equazioni di equilibrio per l’intera struttura e se non bastano queste tre equazioni, scrivere le equazioni di equilibrio alle rotazioni di una parte rispetto ad un’altra.

Se mancano equazioni procedere alla successiva rottura di altre cerniere (sempre il minor numero possibile): cos`ı facendo crescono le incognite, ma in virt`u del fatto che il sistema e` isostatico procedendo per rotture si giunger`a al pareggio. Se le forze attive, sia interne che esterne al sistema, sono conservative e se i vincoli sono lisci e bilateri, si pu`o usare il teorema della stazionariet`a del potenziale. Se le forze attive sono solo pesi e i vincoli lisci, vale il teorema di Torricelli. Se e` assegnata la posizione di equilibrio e si devono trovare le reazioni vincolari si devono usare le equazioni cardinali.

2.5. STATICA DEI SISTEMI ARTICOLATI

?

39

?

B

Φ

A

Ax

C

Figura 2.6. Per sapere se esistono delle componenti orizzontali delle reazioni a terra in un arco a tre cerniere e` sufficiente sostituire le cerniere con dei carrelli, osservare se il sistema si muove: in caso affermativo occorre mettere delle reazioni orizzontali.

B

G

G

′

q p

VC

VA H A

R−

H

A

π

2

C

C

R R+

3 4R

Figura 2.7. Le reazioni vincolari in un arco a tre cerniere.

2.5.2

Arco a tre cerniere

Si tratta del pi`u semplice esempio di sistema articolato.

Φ

Cx

40

CAPITOLO 2. STATICA C

C

F

F

VB

VA M A

M B

A

HA

HB B

Figura 2.8. Per trovare le reazioni a terra occorre togliere le cerniere a terra e mettere in evidenza le reazioni vincolari.

Per trovare le reazioni in A e in B, osservato che nella figura indicata non vi sono bielle3 , si considerano le componenti orizzontali e verticali. somma delle componenti orizzontali = 0 somma delle componenti verticali = 0 somma dei momenti di tutte le forze rispetto (ad es.) ad A = 0 somma dei momenti rispetto a C delle sole forze agenti su un’asta (ad es. CB) = 0 Queste quattro equazioni sono compatibili ed indipendenti e pertanto sufficienti a determinare le 4 incognite. Per calcolare le reazioni usare la regola seguente: togliere i vincoli e sostituire ad essi le reazioni.

Si chiama biella un’asta priva di peso, non caricata da forze sul suo corpo e che ha come estremi due cerniere. La caratteristica che ne consegue e` che essa pu`o essere tesa o compressa ma non inflessa. Quindi le reazioni ai suoi estremi sono opposte e allineate con l’asta.

3

Un’asta scarica e priva di peso incernierata alle due estremit`a prende il nome di biella.

2.5. STATICA DEI SISTEMI ARTICOLATI

41

F

q

F B

C

A F

NON E' BIELLA!

ΦB F ΦA LA BIEL

ΦAy

B

ΦAx ΜA

Figura 2.9. Le reazioni hanno le direzioni dei moti impediti.

2.5.3

Reazioni interne nelle cerniere

Figura 2.10. Togliere la cerniera, mettere in evidenza le reazioni interne, scrivere l’equilibrio dei due pezzi.

2.5.4

Azioni interne nelle aste

♣ [ATTENZIONE AI SEGNI E ALLE INTENSITA’ Cosetta dice che ai geometri si inverte ...] Si chiamano azioni interne di un’asta in un suo punto la forza ed il momento che devono essere messi nel punto dell’asta una volta tagliata per

ΦCy

ΦCx

42

CAPITOLO 2. STATICA

mantenere l’equilibrio dei due tronchi con le medesime reazioni vincolari esistenti prima del taglio. Esse sono:

1. l’azione assiale N

2. l’azione di taglio T

3. il momento flettente M

Per calcolare le azioni interne (dette anche sforzi interni, impropriamente giacch´e non si tratta di sforzi, ma di una forza e di un momento) si pu`o procedere secondo questo schema: Si consiglia di fare la somma delle forze secondo la tangente all’asta e secondo la normale e di fare il momento rispetto al punto sezionato: cos`ı facendo si ottengono tre equazioni in ciascuna delle quali compare una sola volta una azione interna, con grande semplicit`a di soluzione. Si osservi che N significa normale alla faccia della sezione e quindi diretta secondo l’asse della trave; T significa taglio rispetto alla trave e quindi tangente alla faccia della sezione. Un errore frequente sta nel verso dei momenti da applicare ai due lembi della sezione: per il principio di azione e reazione devono essere uguali ed opposti.

Figura 2.11. Errore!

2.5. STATICA DEI SISTEMI ARTICOLATI

datalastruttura

43

sidebbono calcolare le reazioni nelle cerniere

A

D

C

B

A B

calcolare prima lereazioni esterne

C

VA HA

perdeterminare lereazioni scriv ereleequazioni cardinali e itreequilibri alle rotazioni VD HD

C

B

poiaprire l’anello chiuso.

VA

VA

VC HC

HA

B

C B

Figura 2.12. Il processo per calcolare le reazioni interne.

Se vengono indicati cos`ı non sono opposti, come si vede esaminando il senso della rotazione che e` lo stesso per entrambi.

2.5.5 Diagramma delle azioni interne Si chiama diagramma di una azione interna (N, T, M) un diagramma che indichi in ogni punto di un’asta l’intensit`a di una sollecitazione con il rispettivo segno.

44

CAPITOLO 2. STATICA

Si riportano dei segmenti perpendicolari all’asta proporzionali (in una opportuna scala) alla intensit`a dell’azione. Esempio: per determinare le azioni interne e disegnare il loro diagramma nell’arco a tre cerniere seguente: si devono prima calcolare le reazioni vincolari

P A

B Diagrammaazione ditaglio VA HA

P B

A

M

C Diagrammaazione assiale VC HC

M C

Diagrammamomento flettente

Figura 2.13. I tre diagrammi delle azioni interne.

Il diagramma della N e della T subisce una brusca variazione dove vi sono forze concentrate che hanno componente rispettivamente lungo la tangente e lungo la normale. Il diagramma del momento flettente M ha discontinuit`a dove incontra un momento concentrato. I momenti flettenti si annullano nelle cerniere, le azioni di taglio si annullano nei pattini, le azioni assiali si annullano nei manicotti.

2.6

Statica dei fili Definizione: Si chiama filo un corpo continuo che ha una dimensione prevalente sulle altre due e che non ha rigidezza flessionale (ovvero

2.6. STATICA DEI FILI

45

che non resiste alla flessione). Definizione: Si chiama asta o verga un corpo continuo che ha una dimensione prevalente sulle altre due e che ha una rigidezza flessionale (ovvero manifesta una resistenza alla flessione).

2.6.1

Sollecitazione continua dei fili

Si parla di sollecitazione discreta quando le forze agenti sul filo sono concentrate in un numero finito di punti, di sollecitazione continua quando esse sono distribuite con continuit`a. In questo secondo caso su ogni elemento infinitesimo di lunghezza ds agisce una forza infinitesima d f~ proporzionale a ds: ~ d f~ = F(s) ds

(2.39)

Per risolvere un problema sui fili e` bene operare cos`ı: 1. definire un senso di percorso in cui si misura l’arco s; 2. disegnare la tangente ~t nel senso delgli archi crescenti; 3. disegnare la normale ~n verso la concavit`a; 4. disegnare la forza per unit`a di lunghezza del filo, F~ con il suo senso; 5. finalmente impostare le equazioni.

equazioni indefinite di equilibrio

  ~    ~ + dT (s) = 0  F(s)  ds     T~ (s) = T (s) ~t(s)

condizioni al contorno

      

  ~ ~    T (0) + fA = 0     −T~ (l) + f~B = 0 ~ ¡ T(0) A

s

T~(l) B P

Figura 2.14. dida

~ = forza per unit`a di lunghezza F(s) T~ (s) = tensione del filo

46

CAPITOLO 2. STATICA P A P T T Figura 2.15. dida

Componenti cartesiane

 d    Fx + Tx = 0    ds          d  Fy + Ty = 0    ds          d    Tz = 0  Fz + ds

(2.40)

 d    Ft (s) + T (s) = 0    ds        T (s)   Fn (s) + r(s) = 0            F (s) = 0 b

(2.41)

Componenti intrinseche

Casi particolari di sollecitazioni discrete: Casi particolari di sollecitazioni continue:

2.6. STATICA DEI FILI

47

y

y

Lamina liquida

tir anti

catenar ia

p fi

parabol a

x p

x

Figura 2.16. (destra) Filo omogeneo soggetto al solo proprio peso (catenaria); (centro) Filo che porta un peso uniforme ripartito sulla orizzontale (ponte sospeso); (sinistra) Filo teso da forze normali al contorno di modulo costante (caso della tensione superficiale).

x h y = α Ch ; α = α p

(2.42)

p = peso per unit`a di lunghezza del filo h = componente orizzontale della tensione (costante) x2 h y= + b; α = (2.43) 2α p p = peso per unit`a di lunghezza del ponte h = componente orizzontale della tensione (costante) R = costante T = costante

2.6.2

Osservazione sui fili

I fili privi di peso proprio mantengono inalterato (in statica) il valore della tensione tra il punto di applicazione di una forza e quello della successiva, anche se si avvolgono su carrucole e su superfici liscie. Si pu`o quindi tagliare il filo e sostituire la tensione da esso esercitata considerando poi l’equilibrio dei due pezzi in cui si e` diviso il sistema. Questa rottura non e` necessaria con l’uso del principio dei lavori virtuali e del potenziale. Nel caso di anellini mobili sul filo, sempre prescindendo dall’attrito, la tensione si trasmette immutata da una parte all’altra dell’anellino. La posizione di equilibrio e` quella in cui la linea d’azione della risultante e` bisettrice dell’angolo formato dai due rami del filo. Nel piano un filo descritto dall’equazione y = f (x) con a ≤ x ≤ b, la lunghezza del filo e` data dalla formula: l=

b

Z a

q 1 + y02 dx.

(2.44)

R

48

CAPITOLO 2. STATICA τ

τ

P

Figura 2.17. dida

2.6.3

Statica dei fili appoggiati su superficie liscia

Figura 2.18. Equazioni intrinseche di equilibrio (sconsigliate in generale le componenti cartesiane)

 d    Ft (s) + T (s) = 0    ds        T (s)   Fn (s) + Φn (s) + r(s) = 0            F (s) + Φ (s) = 0 b b Φ e` la reazione per unit`a di lunghezza ed e` normale al vincolo. q Φ = Φ2n + Φ2b

(2.45)

(2.46)

Un filo, in assenza di forze di massa, (ad es. senza peso), per effetto delle forze applicate agli estremi ha tensione costante e si atteggia secondo la linea pi`u breve congiungente i due punti A e B sulla superficie. Tale linea si chiama geodetica. Essa gode anche della propriet`a di avere la sua normale principale, in ogni punto, diretta come la normale alla superficie.

2.7. DETERMINAZIONE DEL BARICENTRO

49

ϑ T+

ϕ

T-

T-

T+

Figura 2.19.

2.7

Determinazione del baricentro

Il baricentro di un sistema e` il centro delle forze peso delle particelle che compongono il sistema stesso. Per un sistema discreto di masse e`

N X k

~G = R

mk ~rk

1

ovvero

N X k

mk

1

Per un sistema continuo:

     xG =               yG =              zG =     

PN 1 k mk xk P mk PN 1 k m k yk P mk PN 1 k m k zk P mk

(2.47)

50

CAPITOLO 2. STATICA

Z

ρ ~r dC

~rG = ZC

ovvero ρ dC

C

          xG =                    yG =                      zG =       

Z

ρ x dC

C

Z Z

ρ y dC

ZC Z

ρ dC

C

(2.48) ρ dC

C

ρ z dC

ZC

ρ dC

C

avendo indicato con dC l’elemento di campo e con ρ la densit`a (lineare, superficie o di volume rispettivamente se dC e` un elemento di linea, di superficie o di volume). Se un corpo omogeneo ha un asse di simmetria o un piano di simmetria il baricentro giace su di esso. Per le linee materiali piane omogenee si pu`o usare il I teorema di Pappo Guldino: Facendo notare una linea piana attorno ad un asse che non la intersechi, l’area della superficie di rotazione cos`ı ottenuta e` eguale alla lunghezza della linea per la circonferenza descritta dal baricentro: Per le lamine omogenee si pu`o usare il II teorema di Pappo Guldino: Facendo ruotare una lamina omogenea attorno ad un asse che non attraversa la lamina, il volume del solido di rotazione e` eguale all’area della lamina per la circonferenza descritta dal baricentro: Per calcolare il baricentro di una figura con buchi o comunque ottenuta per sottrazione di due aree si pu`o usare la forma additiva dei baricentri computando la parte di area mancante come una massa negativa (naturalmente e` solo un trucco di calcolo).

-

=

Figura 2.20. dida

2.8. CALCOLO DEI MOMENTI D’INERZIA

51

Se un corpo e` decomponibile in parti di forma semplice il suo baricentro si pu`o ottenere trovando i baricentri delle singole parti in cui e` decomponibile, sostituendo in tali baricentri delle masse concentrate uguali a quelle delle singole parti e quindi trovando il baricentro di questo sistema discreto di masse. Esempio: lamina piana omogenea a forma di L.

G

Figura 2.21. Calcolo del baricentro per composizione.

2.8

Calcolo dei momenti d’inerzia particella Ir = m r2

sistema discreto N X 2 Ir = k m k rk 1

sistema continuo Z Ir = ρ r2 dC C

a) Assi paralleli b) Assi concorrenti Dato un corpo consideriamo un suo punto Q generico. Considerate le infinite rette uscenti da Q la relazione tra i momenti di inerzia del corpo rispetto a ciascuna di queste rette e` espressa dalla formula: Ir = I x cos2 α + Iy cos2 (β) + 2I xy cos α cos( β)

(2.49)

Per ogni punto di un corpo rigido piano esistono sempre due rette rispetto alle quali i prodotti di inerzia sono nulli e conseguentemente i momenti di inerzia sono stazionari: queste due rette sono sempre ortogonali fra loro e prendono il nome di assi principali di inerzia del corpo relativi al punto considerato. √Se su ogni retta uscente dal punto Q si riporta un segmento di lunghezza QP = 1/ Ir il luogo dei punti P e` un ellisse d’inerzia. Gli assi dell’ellisse sono assi principali di inerzia. Lamine piane.

52

CAPITOLO 2. STATICA

1 1 3

ma 2

12

ma 2

a

1

1

ml2

3

ml2

12 m,l

G G

b

1

1 3

m(a2+b 2) 12 1 1 ma2 + mb 2 12 3

astaomogenea

1

m(a2+b 2) laminarettangolare omogenea

m

discoomogeneo

mR 2

2

1

G

h

R

mR 2 +

2

1 mh 12

4

G 1

m mR 2

1

4

3

mR 2

5

mR 2

2

2

cilindro omogeneo mR 2

3

4

mR 2

2 circinferenza omogenea m sferaomogenea

G

G mR 2 m

2

1

mR 2

2

mR 2

5

mR 2

3

mR 2

2 cono omogenea R

triangolo rettangolo omogeneo

a

m

b 1 6

m(a 2 +b 2 )

1 1

mb 2

ma 2

6

6

Figura 2.22. Momenti d’inerzia di uso frequente.

3 10

mR 2

2.8. CALCOLO DEI MOMENTI D’INERZIA

53

C

`C y `C x

F

F

F

`C x `C y

a) caso in cui sulle cerniere non agiscano forze concentrate. Sopprimere le cerniere mettendo in evidenza le reazioni su entrambi gli estremi delle aste. Per il principio di azione e reazione esse sono uguali ed opposte. Si impone quindi l’equilibrio di ciascuna asta. b) caso in cui sulle cerniere agiscano forze concentrate. In questo caso le reazioni sono indeterminate. Se interessa fare una sezione questa deve essere fatta in prossimit`a della cerniera. In tal caso il momento flettente e` trascurabile e le rimanenti azioni interne possono ritenersi applicate direttamente sulla cerniera. Nonostante esse si possano applicare alla cerniera queste non sono le azioni interne nella cerniera ma sono le azioni interne in un punto infinitamente vicino. (Isolare la cerniera mettendo in evidenza le forze che l’asta di sinistra e quella di destra esercitano)

QUIZ: la risultante ed il momento delle forze esterne sono nulle: quindi il sistema e` in equilibrio

δB

B p

F

F

54

CAPITOLO 2. STATICA

x

O θ0

k

L P

y P 2

1. Trovare la posizione di equilibrio (se necessario). x

θ0

3. Disegnare le reazioni trovate con il loro senso e il loro modulo.

s y P 2

2. Trovare le reazioni vincolari.

L-s

P 2

θ0 s

N M T M N

T y

P L-s L

P 2

4. Tagliare l’asta nel punto richiesto e mettere in evidenza le componenti T e N della forza ed il momento flettente M su entrambi i lembi della sezione. x 5. Distribuire il peso proprio nei due tronchi concentrandoli poi, per comodit`a, nei baricentri dei due pezzi in cui e` divisa l’asta. 6. Equilibrare uno qualunque dei due tronchi, scrivendo che e` nulla la somma delle forze e dei momenti agenti sul tronco.

M N T

r

G L R

superficie laterale S = 2πrL

2.8. CALCOLO DEI MOMENTI D’INERZIA

55

R r

volume solido rotazione: V = (2 π r)A

y

R r

x xG =

2 (ρπR2 ) · 0 + (−ρπr2 )d = 2r 2 2 2 ρπR + (−ρπr ) R −r

d

Per calcolare il momento di inerzia rispetto ad un asse parallelo ad un asse baricentrico di cui si conosca il momento di inerzia vale la formula: Ir = Ia¯ + md2 Applicando due volte questa formula si passa da un asse generico ad un altro parallelo.

z

Se x e y sono due assi ortogonali che giacciono nel piano della lamina e z e` ortogonale ad essi, vale la relazione Iz = I x + Iy y

x

56

CAPITOLO 2. STATICA

Capitolo 3

CINEMATICA La cinematica e` quella parte della meccanica che si occupa della descrizione del movimento indipendentemente dalle cause che lo determinano. E’ stata definita come la geometria del movimento o anche come la geometria dello spazio-tempo. Quando ci si reca ad una riunione, ad una festa in una casa di qualcuno e` buona norma che ci vengano presentate le persone. Analogamente quando ci si accinge a studiare un campo della scienza e` buona norma presentare i personaggi di cui si far`a uso. Nel bellissimo libro di fisica sperimentale di Pohl e` scritto: In fisica nascono molte difficolt`a non necessarie a causa dell’insufficiente definizione delle parole usate [51, v.I, p.23]. Cominciamo con l’elencare le grandezze cinematiche pi`u comuni istante di tempo intervallo di tempo vettore raggio velocit`a di un punto velocit`a areale in un moto piano periodo di una oscillazione frequenza di una oscillazione pulsazione di una oscillazione accelerazione di un punto velocit`a angolare di un corpo rigido accelerazione angolare di un corpo rigido

t τ, T ~r ~v = d~r/ dt A = dA/ dt T f = 1/T ω = 2π/T = 2π f ~a = d~v/ dt ~ ω ~ α

Queste variabili saranno definite via via che ne avremo bisogno.

3.0.1

Il tempo: istanti ed intervalli

La variabile di base della cinematica e` il tempo. Di esso si distinguono due enti temporali: l’istante e l’intervallo. L’estensione dell’intervallo si chiama durata 57

58

CAPITOLO 3. CINEMATICA

o periodo. L’istante pu`o essere interpretato come coordinata temporale in quanto individua un evento rispetto ad un istante scelto come origine dei tempi. Si pu`o riguardare l’istante come una quarta coordinata e considerare la quaterna t, x, y, z come coordinate di un punto dello spazio-tempo1 . I punti dello spazio-tempo si chiamano eventi. E’ importante osservare che parlare genericamente di tempo e non distinguere tra i due enti istanti ed intervalli porta a omettere distinzioni essenziali. Ad esempio lo spostamento e` , per sua definizione, associato ad un intervallo di tempo mentre la posizione e` associata ad un istante.

3.0.2

Moto

Uno dei concetti cinematici pi`u importanti e` quello di moto che qualcuno definisce come una successione di istanti di quiete. Viene a proposito il paradosso di Zenone. Questi avanza degli argomenti contro il movimento. Sentiamo quello della freccia. La freccia, che appare in movimento, in realt`a e` immobile: difatti la freccia non pu`o occupare che uno spazio pari alla sua lunghezza ed e` immobile rispetto a questo spazio; e poich´e il tempo e` fatto di istanti, per tutto il tempo la freccia sar`a immobile. [34, v.I,p.39] Gli errori contenuti in questa analisi sono conseguenza di una mancata definizione della nozione di immobile e quindi della mancata distinzione tra istanti ed intervalli. Per sapere se un corpo e` immobile occorre lasciar decorrere un intervallo di tempo, ancorch´e piccolo: un corpo e` fermo in un intervallo di tempo se mantiene la stessa posizione durante l’intervallo. L’istante e` concepito come il punto della geometria, non e` dotato di estensione. Dire che un corpo e` fermo in un istante non ha senso. Zenone dice ...e poich´e il tempo e` fatto di istanti: e` vero semmai il contrario, e cio´e che il tempo e` fatto di intervalli, come ha rilevato Aristotele [34, v.I, p.40]. Se la freccia fosse immobile in ogni sotto-intervallo e` chiaro che essa sarebbe immobile nell’intero intervallo. Ma poich´e si suppone che la freccia sia in moto essa risulta in moto in qualsivoglia sotto-intervallo. Il paradosso di Zenone si rivela quindi... una fregnaccia!

3.0.3

Moto uniforme

Uno dei concetti fondamentali della cinematica e` quello di moto uniforme. Esso viene definito come il moto di un punto che percorre spazi uguali in tempi uguali. 1 L’ordine pu`o essere t, x, y, z oppure x, y, z, t. Si consiglia la prima quaterna in quanto, nella trattazione dello spazio-tempo d`a luogo a formule pi`u semplici che evitano l’unit`a immaginaria, assolutamente inopportuna in questo contesto

3.1. CINEMATICA DEL PUNTO

59

Gi`a: in tempi uguali. Ma questo presuppone la misura dei tempi ovvero l’uso di un orologio. E l’orologio campione procede di moto uniforme? Si vede che il giudizio sulla uniformit`a di un moto ricade nell’assunzione che vi sia un orologio che proceda ... con moto uniforme! Il procedimento operativo e` molto pi`u sperimentale. Si considera un certo numero di orologi candidati a diventare l’orologio campione. Si dispongono tutti con le lancette sullo zero (con una tolleranza prestabilita) quindi si fanno partire tutti contemporaneamente. Dopo qualche ora o giorno o mese o anno, dipende dalla precisione che si vuole ottenere, si confrontano allo stesso istante. Alcuni sono rimasti pi`u indietro rispetto alla media, altri sono andati molto avanti. Si scartano quegli orologi che si discostano molto dalla media: i rimanenti costituiscono i campioni che considereremo come dotati di moto uniforme [51, v.1, p.5].

3.1

Cinematica del punto

3.1.1

Velocit`a e accelerazione

Su molti libri di fisica e di meccanica la velocit`a e` definita come la derivata dello spostamento. Questa definizione e` equivoca e pu`o condurre ad errori notevoli. Intanto osserviamo che la posizione di un punto rispetto ad un sistema di riferimento e` determinata dal raggio vettore ~r(t). D. Si chiama spostamento di un punto, relativamente ad un intervallo di tempo τ, il vettore ~s che congiunge la posizione iniziale con quella finale del punto nell’intervallo considerato. E’ evidente che lo spostamento ~s(τ) non e` relativo ad un istante ma ad un intervallo di tempo e quindi non si pu`o farne la derivata. Per cui si ha la definizione di velocit`a D. Si chiama velocit`a di un punto ad un istante t il limite del rapporto tra il vettore spostamento ~s sub`ıto in un intervallo τ contenente l’istante t e la durata dell’intervallo τ: def

~s τ−→0 τ

~v = lim

(3.1)

Dal momento che lo spostamento e` l’incremento del vettore raggio, ovvero ~s = ∆~r ne viene che ~v = lim

∆t−→0

∆~r d~r = ∆t dt

(3.2)

Quindi la velocit`a e` uguale alla derivata del vettore raggio (non dello spostamento!).

60

CAPITOLO 3. CINEMATICA

O. Una ragione della confusione che spesso viene fatta tra la derivata del vettore raggio e la derivata dello spostamento sta nel fatto che qualora il punto sia passato in qualche istante precedente per l’origine del sistema di riferimento, preso come istante iniziale quello del passaggio per l’origine, il vettore raggio pu`o interpretarsi come lo spostamento iniziale.

Come si vede la nozione di velocit`a presuppone uno spostamento e quindi un intervallo di tempo. Infatti nessuna misura di velocit`a pu`o essere fatta senza lasciar trascorrere un bench´e minimo intervallo temporale. Si pensi alla misura della velocit`a fatta con due fotocellule poste ad una certa distanza o con due fotogrammi. Questo indica che la nozione di velocit`a e` riferita, per principio, ad un intervallo di tempo. Il fatto e` che noi siamo abituati ad usare la velocit`a istantanea, valutata facendo il limite della velocit`a media quando l’estensione dell’intervallo tende a zero. Cos`ı facendo la velocit`a istantanea risulta funzione dell’istante. Senonch´e noi non misureremo mai una velocit`a istantanea ma sempre e solo una velocit`a media su un intervallo molto piccolo ma mai infinitamente piccolo. Quindi si pu`o dire che la velocit`a, come nozione, e` associata ad un intervallo, quello usato per misurarla, mentre la velocit`a istantanea e` , per sua definizione, funzione dell’istante.

3.1.2

Sistema di coordinate e base fisica D. Un sistema di coordinate e` una corrispondenza tra i punti di una regione di spazio e le terne di numeri reali tale che la corrispondenza sia biunivoca e bicontinua.

Per fare un esempio, nel sistema di coordinate polari la coordinata angolare dell’origine ha un valore indefinito e quindi cade la corrispondenza biunivoca punto-coordinate. Questo porta con s´e che molte espressioni matematiche usate nelle coordinate polari (ad esempio la divergenza di un vettore) abbia una singolarit`a per ρ = 0. Il sistema di coordinate cartesiane e` privilegiato, rispetto a tutti gli altri sistemi di coordinate, per diverse ragioni. La prima ragione e` che le coordinate sono delle lunghezze di segmenti; una seconda ragione e` che le le linee coordinate sono rette; una terza ragione e` che i vettori della base fisica, i tradizionali versori ~i, ~j, ~k, sono uniformi nello spazio, vale a dire si trasportano da un punto ad un altro per traslazione2 . 2 Il termine uniforme si deve usare per indicare l’invarianza per traslazione nello spazio, mentre il termine costante si deve usare per indicare l’invarianza nel tempo.

3.1. CINEMATICA DEL PUNTO

61

D. Si chiama base fisica di un sistema di coordinate in un punto l’insieme dei vettori di lunghezza unitaria (=versori) tangenti alle linee coordinate nel punto e con il verso delle coordinate crescenti.

linea ϑ P raggio vettore ρ

ϑ O polo

anomalia asse polare a

linea ρ

Figura 3.1. Coordinate polari

Il sistema di coordinate polari, che e` il pi`u usato dopo quello cartesiano, ha le linee coordinate ove varia solo l’angolo θ che sono circonferenze e la coordinata θ non e` la lunghezza di un arco di circonferenza. Ne viene che i vettori della base fisica, denotati con ~eρ , ~eθ , pur avendo modulo unitario, variano da un punto ad un altro. Questo comporta che la differenza tra uno stesso vettore base, ad esempio ~eρ , relativa a due punti non e` nulla, come invece accade nel riferimento cartesiano.

62

CAPITOLO 3. CINEMATICA

3.1.3

Componenti della velocit`a e della accelerazione

coordinate cartesiane

coordinate polari

~r(t) = x(t)~i + y(t) ~j + z(t) ~k   v x (t) = x˙(t)        vy (t) = y˙ (t) ~v         vz (t) = z˙(t)   a x (t) = x¨(t)        ay (t) = y¨ (t) ~a         az (t) = z¨(t)

~r(t) = ρ(t) ~eρ   ˙   vρ (t) = ρ(t) ~v    vϑ (t) = ρ(t) ϑ(t) ˙ .  ˙ + ρ(t) ϑ(t) ¨  ˙ ϑ(t)   aϑ (t) = 2 ρ(t) ~a    aρ (t) = ρ(t) ¨ − ρ(t) ϑ˙ 2 (t)

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 !2 ds 2 = x˙2 + y˙ 2 + z˙2 v = dt

ds2 = dρ2 + ρ2 dϑ2 !2 ds 2 v = = ρ˙ 2 + ρ2 ϑ˙ 2 dt (3.3)


v vϑ

ρ O

aϑ


a

vρ

ρ

ϑ

O direttrice

aρ ϑ direttrice

Figura 3.2. dida ...

Le componenti vρ , vϑ , aρ , aϑ sono le proiezioni dei vettori ~v e ~a rispettivamente sulle tangenti alle linee coordinate ρ = costante, ϑ = costante. Invece di un sistema di coordinate si pu`o far uso della terna intrinseca. Questa e` molto comoda quando si conosca la traettoria del punto, in particolare, denotando con s la lunghezza dell’arco di traettoria tra un punto di riferimento ed il punto attuale, quando si consoscano le equazioni parametriche della traettoria

3.1. CINEMATICA DEL PUNTO

63

x(t), y(t), z(t) si ricava ~v = s˙ ~t

~a = s¨ ~t +

s˙2 ~n. r

(3.4)

La velocit`a di un punto e` tangente alla traiettoria; mentre l’accelerazione giace nel piano osculatore.

3.1.4

Come orientare la normale ad una curva piana

Assegnata una curva piana, fissato un verso di percorso, il versore tangente ~t alla curva in un suo punto generico ha il verso concorde al verso fissato sulla curva. Per il versore normale ~n ci sono due scuole di ... pensiero. La maggior parte degli autori orienta il versore normale verso il centro del cerchio osculatore ovvero dalla parte della concavit`a. Cos`ı facendo, qualora la curva abbia un tratto rettilineo il vettore normale in quel tratto non si sa come orientarlo. Se la curva ha un flesso, come capita per una sinusoidale, a cavallo del punto di flesso la normale salta improvvisamente da una parte all’altra della curva, il che non e` consigliabile. R = +7

pun to di flesso

R = -7

R = +6

R = +6

a)

b)

Figura 3.3. Le due opposte convenzioni sul segno della normale ad una curva piana. a) la normale dalla parte della concavit`a; b) la normale sempre da una stessa parte.

La seconda scuola di pensiero mette la normale sempre dalla stessa parte della curva, evitando cos`ı le discontinuit`a. Questo secondo modo ha l’apparente difetto di comportare raggi di curvatura negativi quando la normale non e` volta verso la concavit`a. Ma questo non e` un problema: nello studio delle superfici si usano le curvature con segno e quindi un raggio di curvatura negativo pu`o benissimo essere accettato per una curva piana.

3.1.5

Alcune grandezze in coordinate polari ∂~eρ =0; ∂ρ

∂~eρ = ~eθ ; ∂θ

∂~eθ =0; ∂ρ

∂~eθ = −~eρ ∂θ

(3.5)

64

CAPITOLO 3. CINEMATICA d~eρ ∂~eρ ∂~eρ d~eθ ∂~eθ ˙ ∂~eθ = ρ˙ + θ˙ = θ˙ ~eθ = ρ˙ +θ = −θ˙ ~eρ dt ∂ρ ∂θ dt ∂ρ ∂θ ~r = ρ ~eρ d~eρ = ρ˙ ~eρ + ρ θ˙ ~eθ ~v = ρ˙ ~eρ + ρ dt d~eρ d~v ¨ eθ + ρθ˙ d~eθ ¨ eρ + ρ˙ + (ρ˙ θ˙ + ρθ)~ ~a = dt = ρ~ dt dt 2 ˙ ˙ ¨ ˙ ~ = ρ~ ¨ e + ρ ˙ θ~ e + ( ρ ˙ θ + ρ θ)~ e − ρ θ e ρ θ θ ρ ¨ eθ = (ρ¨ − ρθ˙ 2 )~eρ + (2ρ˙ θ˙ + ρθ)~ def

A =

3.1.6

1 2

(P − S ) × ~v = 1 ρ2 θ˙ 2

(3.6)

(3.7)

velocit`a areale.

(3.8)

Moto centrale

E’ il moto di un punto che ha sempre l’accelerazione diretta verso un punto fisso detto centro. Il moto e` piano e la velocit`a areale e` costante. Essa e` data da  1 2 ˙   in coordinate polari   2ρ ϑ  4 dA(t) (3.9) A = =    dt   1 (x˙y − x˙y) in coordinate cartesiane 2 Lo studio di un moto centrale e` facilitato dalla sostituzione formula di Binet aρ (θ) = d2 η2 [η(ϑ) + η(ϑ)] legge di Newton

Fρ (ρ)

=

G M m η2

equazione conica

η(θ)

=

1 e + cos(ϑ) p p

P

p F

θ F


F

1 ρ

Fθ = 0

0

F




p

θ

p F=F


2a 2c

= η. Cos`ı

c a

Figura 3.4. Coniche [MANCA LA PARABOLA] ♣

θ

3.2. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO a b c e p d

= = = = = =

e>1 e=1 e 0 mentre vale il segno − se volge verso il basso, cio´e y¨ < 0. L’ascissa curvilinea s a partire dall’ascissa a e` data da Z x q x s= 1 + y˙ 2 dx. (4.118) a

Linee sghembe 3 Se la linea e` data in forma parametrica x = x(λ), y = y(λ), z = z(λ), posto ~r(λ) = x(λ)~i + y(λ)~j + z(λ)~k valgono le espressioni

                                

3

~t(λ)

=

~b(λ) =

~r˙ (λ) |~r˙ (λ)| ~r˙ (λ) × ~r¨ (λ) |~r˙ (λ) × ~r¨ (λ)|

~n(λ) = ~b(λ) × ~t(λ) (4.119)

piano osculatore: piano contenente la tangente e la normale principale piano normale: piano ortogonale alla tangente: contiene la normale principale e la binormale piano rettificante: piano contenente la tangente e la binormale

Il termine sghembe indica linee che non stanno in un piano, come un’elica.

4.10. FUNZIONI CIRCOLARI E IPERBOLICHE

z

t

0

4.10

Il raggio di curvatura r e l’arco s sono dati dalle formule  b  |~r˙ (λ) × ~r¨ (λ)| 1    = @     r(λ) |~r˙ (λ)|3 (4.120)  Z λ q     2 2 2   y = x˙ + y˙ + z˙ dλ  s(λ) no p ia

x

115

n re la to

λ0

Seu la linea e` data mediante le equazioni y = y(x), z = z(x) posto x = λ ci si riduce al caso precedente.

o sc

funzioni circolari e iperboliche

y

y

x

Figura 4.20. jjjj

x

116

CAPITOLO 4. DINAMICA

funzioni circolari

funzioni iperboliche

cos2 (x) + sin2 (x) ≡ 1

Ch2 x − S h2 x ≡ 1

sin(0) = 0

S h(0) = 0

cos(0) = 1

Ch(0) = 1

cos(α±β) ≡ cos αcos(β)± sin αsin(β)

Ch(α±β) ≡ Ch αCh(β)±S h αS h(β)

sin(α±β) ≡ sin αcos(β)± sin(β)cos α   q 1−cos(x)   q 1+cos(x) x sin 2 = cos 2x = 2 2

S h(α±β) ≡ S h(α)Ch(β)±S h(β)Ch α

d cos(x) = −sin(x) dx 1 d tg(x) = = +tg2 (x) dt cos2 (x) −1 d arccos(x) = √ dx 1 − x2 d 1 arcsin(x) = √ dx 1 − x2 d 1 arctg(x) = dx 1 + x2 x3 x5 + + ... sin(x) = x − 3! 5! x2 x4 cos(x) = 1 − + − ... 2! 4! x3 2x5 + + ... tg(x) = x + 3 15

d Ch(x) = S h(x) dx 1 d T h(x) = = 1 − T h2 (x) dx Ch2 (x) d 1 S ettCh(x) = √ 2 dx x −1 d 1 S ettS h(x) = √ 2 dx x +1 d 1 S ettT h(x) = dx 1 − x2 x3 x5 S h(x) = x + + + ... 3! 5! x2 x4 Ch(x) = 1 + + + ... 2! 4! x3 2x5 T h(x) = x − + − ... 3 15

Capitolo 5

Esercizi risolti e commentati 5.1

Consigli per risolvere gli esercizi

Lo scopo che si vuole raggiungere con questi esercizi risolti in differenti modi e` di offrire allo studente un metodo sistematico per affrontare gli esercizi stessi, che tolga quel senso di smarrimento che ogni studente prova davanti ad un problema nuovo. Diciamo subito che per eliminare questa sensazione di sconforto tanto comune e acquistare sicurezza, disinvoltura e confidenza con un nuovo problema occorre far pochi esercizi ben scelti (consiglieremo in seguito come sceglierli) @ purch´e questi siano sviscerati in tutti i loro aspetti. Si deve risolvere uno stesso esercizio con diversi procedimenti che devono essere confrontati criticamente (quale e` il procedimento pi`u conveniente? quello pi`u sicuro? quello meno laborioso?). In questo modo si ha anche il vantaggio di poter avere una verifica della esattezza del risultato confrontando i risultati ottenuti con i diversi procedimenti. Il consiglio seguente per quanto risulti antipatico e` quello che permette di fare la minor fatica con il maggior profitto: prima di fare gli esercizi di un certo tipo studiare la teoria corrispondente. Gli esercizi devono essere fatti con il libro di testo aperto davanti. La triste abitudine di imparare una materia cercando di risolvere gli esercizi senza aver prima studiato la teoria si risolve in una incredibile perdita di tempo e, non ultimo, tradisce lo scopo per cui si fanno gli esercizi che e` quello di verificare, comprendere e ritenere i concetti della teoria. Questo al fine di poterla applicare quando se ne presenta l’occasione. Una norma preziosa e` la seguente: se non si e` capaci di risolvere un esercizio, farne uno piu` semplice dello stesso tipo. Ossia semplificare il problema 117

118

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

dato modificando l’enunciato. Tenere presente la norma che i concetti sono piu` importanti delle formule e che se un errore di calcolo denota mancanza di allenamento, di attenzione, un errore del procedimento indica che non e` chiara la teoria corrispondente. Un’altra norma fondamentale e` questa: ogni formula si pu`o applicare solo se sono soddisfatte le condizioni di applicabilit`a. Pertanto prima di applicare una formula chiedersi: nel presente problema sono verificate queste condizioni? Prima di incominciare a studiare gli esercizi che seguono, leggere attentamente i paragrafi dell’introduzione della presente dispensa: vi sono riportate delle norme generali da rispettare in qualunque tipo di problema. Quando e` stato ottenuto un risultato, anche parziale, racchiuderlo entro un riquadro per metterlo in evidenza. Spesso ci si accorge che un segno + deve essere cambiato in −. Invece di sovrapporre il segno cos`ı ∓, che e` causa di errori nella rilettura della formula e quindi pu`o compromettere tutto il resto, segnare la correzione cos`ı: + −→ •¯ . L’ordine nella esecuzione degli esercizi e` fondamentale. Prima di svolgere qualunque calcolo tracciare una riga di separazione; scrivere inoltre due parole all’inizio come: calcolo dell’energia cinetica oppure calcolo del momento di inerzia.

5.2

Problema 1

Enunciato. Un arco a tre cerniere ha la forma indicata in figura. L’asta AB ha forma di un quarto di circonferenza di raggio R, e` omogenea e ha peso p. L’asta BC e` piegata ad angolo retto, e` omogenea e ha peso q. Si domanda di trovare le reazioni vincolari in A e C nonch´e le azioni interne in un punto generico dell’asta AB.

5.2. PROBLEMA 1

119 B

R

A

C R

R

Figura 5.1. dida

Classifichiamo il problema. Innanzi tutto rileggere attentamente il testo sottolineando le parole che sembrano pi`u significative. Si tratta evidentemente di un problema di statica. Il sistema e` piano, la configurazione e` gi`a di equilibrio perch´e non si possono dare spostamenti compatibili con i vincoli. Riassumiamo le considerazioni fatte compilando la seguente scheda: tipo di problema gradi di libert`a: forze: vincoli: incognite:

statica dei sistemi articolati nessuno solo pesi : lisci, bilateri reazioni vincolari e azioni interne

Trattandosi di un problema di statica dei sistemi articolati cerchiamo sull’indice posto all’inizio del libro i paragrafi relativi (a partire da pag.37). Leggiamoli attentamente. Se sorgono dubbi apriamo il libro di testo, cerchiamo l’argomento e studiamolo di nuovo cercando la risposta alle domande che il problema pone. Troviamo le reazioni vincolari a terra (cerniere A e C). Togliamo i vincoli in A e C, sostituiamoli con le reazioni e ridisegnamo la figura e fissiamo una ben precisa convenzione per i segni. B

peso q

peso p

VC VA H

A

H

O

A

C

Figura 5.2. dida

C

120

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

~ = 0 d`a luogo alle due seguenti equazioni La prima equazione cardinale R scalari: ( +HA + HC = 0 (R x = 0) (5.1) +VA − p − q + VC = 0 (Ry = 0) Per calcolare i momenti rispetto ad A di tutte le forze dobbiamo calcolare i momenti delle forze peso, concentrandole nei rispettivi baricentri. Determiniamo pertanto i baricentri delle due aste. Asta AB: per ragione di simmetria il baricentro si trova sulla bisettrice dell’angolo A0B. Usando il teorema di Guldino si trova rG = 2R π . Asta BC: per ragioni di simmetria il baricentro si trova sulla bisettrice dell’angolo B0C. Inoltre si trova sulla congiungente dei baricentri dei due rami dell’asta. B

G

G

′

q p

VC

VA H A

R−

H

A

π

2

C

C

R R+

3 4R

Figura 5.3. dida

Donde ! ! 3 2R − q R + R + VC 2R = 0 MA = −p R − π 4

(5.2)

Poich´e il sistema non e` rigido tali equazioni non bastano (le incognite infatti sono quattro e cio`e HA , VA , HC , VC ). Baster`a imporre che non vi sia rotazione di un’asta rispetto all’altra. Quindi scriveremo che e` nullo il momento delle forze agenti su una sola asta rispetto alla cerniera B. Sceglieremo l’asta di destra

MB = −q

3 R + VC R + HC R = 0 4

(5.3)

5.2. PROBLEMA 1

121

Riassumendo si hanno le quattro equazioni:   HA + HC = 0          VA •¯ p − q + VC = 0 esempio di correzione      !  7 2R    ) − q R + VC 2R = 0 −p(R −    π 4      3    −q R + VC R + HC R = 0 4 Risolviamo la terza (dove compare solo l’incognita VC si ottiene:

(5.4)

7 π−2 +q 2π 8

(5.5)

1 π−2 HC = − q − p 8 2π

(5.6)

1 π+2 VA = q + p 8 2π

(5.7)

VC = p Risolviamo la quarta equazione:

Dalla seconda si ottiene: Infine dalla prima:

1 π−2 HA = q + p (5.8) 8 2π Abbiamo cos`ı trovato le reazioni vincolari. Saranno giuste le reazioni? Facciamo qualche controllo. Intanto le reazioni orizzontali in A e C devono essere verso l’interno perch´e l’arco tende ad abbassarsi se si sopprimono le reazioni orizzontali.

?

?

B

Φ

Ax

Figura 5.4. dida

A

C

Φ

Cx

122

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

Dunque rispetto al senso indicato nella figura dovr`a risultare HA positiva e HC negativa. Un’occhiata alle formule trovate indica che queste condizioni sono soddisfatte. Le due componenti verticali VA e VC devono essere positive (perch´e equilibrano i pesi) e anche questo e` verificato nelle formule che danno VA e VC . Andiamo bene. Dimensionalmente le quattro formule sono corrette perch´e ciascun termine ha le dimensioni di una forza. Segnaliamo possibili errori. Intanto qualcuno potrebbe credere che essendo verticali i pesi anche le reazioni in A e C siano verticali. Questa conclusione falsa non riposa su alcun teorema. Per quanto possa sembrare ridicola e` una tipica risposta dello studente sprovveduto. Altri possono ritenere che le reazioni vincolari in A e C siano dirette secondo la congiungente le cerniere. Questo e` falso perch´e le due aste non sono scariche, ma pesanti. La conclusione e` valida solo per le aste senza peso caricate alle estremit`a. Molti hanno l’abitudine di scaricare le aste sostituendo al peso di ogni asta due forze applicate agli estremi. Questa pratica richiede una certa familiarit`a ed e` pertanto da sconsigliare. Nei problemi di meccanica razionale essa non porta sostanziali vantaggi. Infine si potrebbe pensare che la quarta equazione possa essere ottenuta annullando il momento di tutte le forze del sistema rispetto ad un altro punto, ad es. C. Ma dalla reazione

~C = M ~ A + (C − A) × R ~ M

~ = 0 (prime due equazioni) ed M ~ A = 0 (terza equazione viene che essendo R ~ ne) sar`a MC = 0 come conseguenza. Dunque questa equazione e` combinazione lineare delle precedenti, e come tale non aggiunge nulla di nuovo. Procediamo ora al calcolo delle azioni interne. Si taglia l’asta AB in un punto d e mettiamo in evidenza le azioni ingenerico P. Indichiamo con ϑ l’angolo A0P terne M, N, T su entrambi i lembi della sezione. Poich´e l’asta e` pesante torniamo a distribuire il peso.

5.2. PROBLEMA 1

T

123

B

N

P

T

M

N M

N

T φCy

φAy A

φAx

φ

θ

M

+ φAy φCx

O

A

φAx

C

R cos θ R cos φ

Figura 5.5. dida

Per calcolare il momento flettente calcoliamo il momento rispetto a P delle forze agenti sul punto @ ? AP. −M + HA R sin(ϑ) − VA (R − Rcos(ϑ)) +

Z

ϑ0

p π 2R

Rdϕ (Rcos(ϕ) − Rcos(ϑ)) = 0

donde ! !    q q π−2 π+2    M = R sin(ϑ) + p + R 1 − cos(ϑ) +p    8 2π 8 2π    2pR 2pR    ϑ cos(ϑ) + sin(ϑ) − π π

(5.9)

(5.10)

Per calcolare l’azione di taglio e quella assiale scriviamo le equazioni R x = 0, Ry = 0 per il tratto AP:   HA + N sin(ϑ) − T cos(ϑ) = 0       2p    VA − R ϑ + N cos(ϑ) + T sin(ϑ) = 0 πR donde ! !  π − 2 π + 2 q q 2p    N=− +p +p ϑ cos(ϑ) sin(ϑ) − cos(ϑ) +    8 2π 8 2π π  ! !    π−2 1 π+2 2p 1    cos(ϑ) − q + p sin(ϑ) + ϑ sin(ϑ)  T =+ q+ p 8 2π 8 2π π

(5.11)

(5.12)

Controllo dimensionale: M deve essere composta da termini le cui dimensioni siano forza per lunghezza. N e T devono essere somma di forze. Sar`a giusto il momento flettente ottenuto? Facciamo qualche controllo. Per ϑ = 0 e ϑ = π2 esso deve essere nullo. Se

124

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

poniamo ϑ = 0 infatti si annulla. Per ϑ = π2 si ha: " # π q π¯•2 q π+2 2 =R + p+ + p +p ,0 M 2 8 2π 8 2π π

(5.13)

Dunque c’`e un errore. Tornando ad esaminare l’equazione MA = 0 si vede che l’errore e` nel passaggio tra questa equazione e la successiva. Scoperto questo errore di segno c’`e da chiedersi: e` l’unico? Non sar`a che lo stesso errore e` stato fatto sui termini rimanenti? Un controllo mostra subito che, per un errore in un passaggio, anche il terzo termine e` stato riportato con il segno errato. Dunque, se non ci sono scappati altri errori, la espressione corretta del momento flettente e` : ! !  q π+2 q π−2    + p − R (1 − cos(ϑ)) + p M = R sin(ϑ)    8 2π 8 2π (5.14)    2pR 2pR    − ϑ cos(ϑ) + sin(ϑ) π π Controlliamo ora le espressioni di T = HA     N(0) = −            T (0) = + per ϑ =

π 2

N e T . Per ϑ = 0 deve essere N = −VA e ! q π+2 +p = −VA 8 2π ! π−2 q +p = +HA 8 2π

deve essere N = −HA e T = −VA + p  π q π−2    N =− +p = −HA    2 8 2π      q π + 2 2p π π    T =− +p + = −VA + p 2 8 2π π 2

(5.15)

(5.16)

Dunque le formule soddisfano questi requisiti. Con questo non siamo sicuri che siano giuste, ma almeno c’`e una buona probabilit`a che lo siano. Quando si vuole controllare un risultato, se questo contiene una variabile (ϑ nel nostro problema), si pu`o vedere se per particolarti valori di questa variabile (ϑ = 0 e ϑ = π2 nel nostro problema) il risultato coincide con quello ottenibile direttamente. Adesso il problema e` finito. Passiamo ad un altro problema? Un momento: e se ci venisse richiesto di trovare le azioni interne nella cerniera B le sapremmo trovare? D’accordo che l’enunciato del problema non pone questa domanda, ma poniamocela noi. Per calcolare le reazioni in B asporteremo le cerniere e indicheremo sui due lembi le reazioni interne.

5.2. PROBLEMA 1

125 φBy φBx

φ Bo φ Bv p

q φCy

φAy φAx

φCx

Figura 5.6. dida

Quindi scriveremo le equazioni R x + R0X = 0 e Ry + R0y = 0 per una delle due aste (ad es. quella di destra)      +HB + HC = 0     +VB − q + VC = 0

 π−2 1    H = q+ p    B 8 2π    1 π−2    VB = q − p 8 2π

−→

(5.17)

Attenzione: un possibile errore sta nel dimenticare di mettere le reazioni interne su entrambi i bordi delle aste. Se si facesse la figura φBy φBx B

p

q φCy

φAy A

φAx

C

φCx

Figura 5.7. dida

qualora venisse in mente di calcolare le azioni interne nell’asta AB l’assenza delle reazioni relative all’asta AB sarebbe causa di errore. Fatto questo esercizio con tutte queste precisazioni possiamo ritenere di saper risolvere un qualsiasi arco a tre cerniere, anche con condizioni di carico diverse (ad esempio con forze orizzontali) con diversa forma delle aste. Il metodo e` sempre questo. Un eventuale altro esercizio potrebbe servire ad acquistare pi`u dimestichezza con i calcoli, a fissare bene il procedimento. Ma poi basta. E’ inutile risolvere sei o dieci esercizi sugli archi a tre cerniere. Due esercizi per ogni categoria di problemi sono sufficienti. Ma attenzione: a patto che quei due siano stati risolti in pi`u modi, che siano state poste anche domande in pi`u rispetto all’enunciato, che non lascino lati oscuri. Solo a questa condizione il consiglio e` valido.

126

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

Non aprire espressioni, non eseguire derivate rispetto al tempo se non e` strettamente necessario. Diffidare delle espressioni troppo lunghe; ogni tanto fermarsi e chiedersi: vado bene su questa strada? e` opportuno che esegua questa derivata? ho scritto tutte le equazioni che mi servono? Non avere la smania di sviluppare i calcoli: e` meglio non andare fino in fondo e fermarsi ad esaminare se quello che e` stato fatto e` concettualmente giusto. Scrivere poco e pensare molto. Porsi spesso la domanda: posso usare questo procedimenrto, questa formula? Se si, mi conviene? Fermarsi ogni tanto a guardare il procedimento usato, esaminarlo criticamente: si poteva fare diversamente? in modo pi`u semplice? Quale e` stato il punto pi`u difficile? Sono sicuro di avere usato la espressione giusta per calcolare quella grandezza? No? Allora andare ad aprire il testo, cercare l’argomento, rileggerlo attentamente. Si scopre senz’altro qualcosa che era sfuggito prima. Alla fine chiedersi: ho risposto a tutte le domande? Fare il controllo dimensionale e raccogliere tutte le risposte in un unico riquadro. @ MONICA: uno alla volta devono essere inseriti qui i rimanenti problemi che si trovano nel file problemi.tex Problema 2 Enunciato. In un piano verticale un disco omogeneo di massa m e raggio r rotola su un profilo circolare di raggio R senza strisciare. Inizialmente il disco si trova sulla sommit`a del profilo ed il suo centro possiede una velocit`a V0 . Il coefficiente di attrito statico tra disco e profilo e` µ. Si domanda quale e` la posizione del disco dalla quale esso cessa di rotolare ed inizia a strisciare. x V0 r

?

R ϕ

y O

Figura 5.8. dida

♣ MARCO

5.2. PROBLEMA 1 problema di gradi di libert`a coordinate scelte forze vincoli incognite

127 dinamica del corpo rigido uno ϕ solo peso scabri, fissi, unilateri valore di ϕ corrispondente all’inizio dello strisciamento

Risoluzione Prima di tutto compilare una scheda come indicato qui a fianco al fine di classificare il problema. Poi fermarsi a considerare tutti gli aspetti del problema come e` fatto nelle seguenti osservazioni: il rotolamento ha luogo fin tanto che e` soddisfatta la condizione di attrito statico |Φt | ≤ µ|ΦN |. La posizione limite cercata e` quindi quella per la quale ha luogo la uguaglianza |Φt | = µ|ΦN |. Poich´e le due componenti Φt e ΦN dipendono dalla posizione, cio`e dall’angolo ϕ, la posizione limite sar`a data da quel valore di ϕ per cui la Φt e la ΦN soddisfano la disuguaglianza precedente. Si tratta dunque di determinare le due componenti Φt e ΦN in funzione di ϕ. Per determinare le reazioni vincolari occorre prima determinare il movimento (questo e` un principio generale: le reazioni vincolari dipendono dalla posizione di equilibrio, in statica, o dal tipo di movimento, in dinamica). Poich´e il sistema ha un solo grado di libert`a e` sufficiente avere una equazione pura di moto. Pu`o ad esempio scegliersi l’integrale dell’energia. Infatti i vincoli sono fissi; inoltre, anche se scabri, non portano a dissipazione di energia per attrito a causa della mancanza di strisciamento. Le forze attive sono conservative. Riassumendo seguiremo il seguente procedimento: 1) troveremo il moto usando l’integrale dell’energia; 2) troveremo le reazioni vincolari ΦT e ΦN in funzione dell’angolo ϕ usando le equazioni cardinali (unico modo per calcolarle); 3) imporremo che |Φt (ϕ)| = µ|ΦN (ϕ)|; l’angolo ϕ0 per cui questa uguaglianza e` soddisfatta fornir`a la posizione cercata. Calcolo dell’energia cinetica. Calcolo delle reazioni vincolari

128

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI x

AC = BC

x

B

S

r

G

θ

A

C ϕ

φt

t

n

φn

D

ϕ

R

mg

ϕ

ϕ y

y O

O

Figura 5.9. dida ~ dP dt

~+R ~0 =R ~ = m~vG P ~ dP s˙2 ~n) a]G = m( s¨~t + R+r dt = m~ s = (R + r)ϕ Rt = +mg sin(ϕ)Rn = +mg cosϕ R0t = +Φt R0n = −ΦN Dunque: ( m(R + r)ϕ¨ = mg sin(ϕ) + Φt m(R + r)ϕ˙ 2 = mg cosϕ − ΦN donde: ( Φt = −mg sin(ϕ) + m(R + r)ϕ¨ ΦN = mg cosϕ − m(R + r)ϕ˙ 2 Per avere Φt e ΦN in funzione dell’angolo ϕ esprimiamo ϕ˙ 2 e ϕ¨ mediante ϕ facendo uso dell’integrale dell’energia V2

0 (R + r)ϕ˙ 2 = 43 g(1 − cosϕ) + R+r e della relazione ottenuta derivando la precedente:

(R + r)ϕ¨ = 23 g sin(ϕ) Infine: Φt (ϕ) = −mg sin(ϕ) + m 23 g sin(ϕ) = − 13 mg sin(ϕ) ΦN (ϕ) = mg cosϕ − m 43 g(1 − cosϕ) −

mV02 R+r

= − 43 mg + 37 mg cosϕ − R+r0 La condizione limite diviene: − 13 m g sin(ϕ)0 = µ 73 m g cosϕ0 −

4 3

mV 2

Poich´e 0 ≤ ϕ ≤ essere eliminato:

π 2

mg−

mV02 R+r



sar`a sin(ϕ) > 0 e quindi il modulo del primo membro pu`o

5.2. PROBLEMA 1 sin(ϕ)0 = µ 7 cosϕ0 − 4 −

129 3V02 g(R+r)



Questa espressione definisce implicitamente ϕ0 . Il problema e` finito. Passiamo ad un altro? No. Proviamo invece a svolgere lo stesso problema in modo diverso. Cos`ı invece di usare il teorema dell’energia per il calcolo del movimento si poteva usare la seconda equazione cardinale della dinamica. Scelto come polo il punto C (incidentalmente esso e` il centro di istantanea rotazione) ma di esso ci interessa il fatto che la sua velocit`a e` parallela in ogni istante a quella del baricentro cos`ı che si potr`a far uso della equazione nella forma ~LC ~ dt = MC Perch´e abbiamo scelto C invece del baricentro G? Semplicemente perch´e se si sceglie il baricentro come polo interviene il momento della reazione vincolare: Mz = −Φt r. Invece scegliendo C il momento della reazione e` nullo rispetto a C e l’equazione di moto e` una equazione pura. Sar`a 2 LCz = ( mr2 + mr2 )ωz ICz = IGz + md2 MCz = +mgr sin(ϕ) donde: d 3m 2 2 2 R+r ϕ dt ( 2 r ωz ) = mgr sin(ϕ) 3 mr r ¨ = mgr sin(ϕ) (R + r)ϕ¨ =

2 3

g sin(ϕ)

L’equazione cos`ı ottenuta e` del secondo ordine e coincide con quello che si ottiene derivando l’integrale dell’energia rispetto al tempo. Uno dei vantaggi che ha l’integrale dell’energia rispetto alle equazioni cardinali consiste appunto nel fornire una equazione differenziale del primo ordine in luogo di una del secondo ordine. Abbiamo cos`ı ottenuto l’equazione di moto con due procedimenti diversi: questo ci permette di verificare il risultato. Calcoliamo di nuovo le reazioni vincolari, questa volta invece di far uso della terna intrinseca proviamo ad usare le componenti cartesiane. (attenzione che l’asse ( delle y e` orizzontale). m x¨G = R x + R0x ~ dP ~+R ~ 0 −→ = R dt m¨yG = Ry + R0y ( ( xG = (R + r)cos(ϕ) x˙G = −(R + r)sin(ϕ)ϕ˙ yG = (R + r)sin(ϕ) y˙ G = (R + r)cos(ϕ)ϕ˙ ( x¨G = −(R + r)cos(ϕ)ϕ˙ 2 − (R + r)sin(ϕ)ϕ¨ y¨ = −(R + r)sin (ϕ) ϕ˙ 2 + (R + r)cos ϕϕ¨ ( G R x = −mg R0x = ΦN cos(ϕ) − Φt sin(ϕ) Ry = 0 R0y = ΦN sin(ϕ) + Φt cos(ϕ)

130

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

dunque: −m(R + r)cosϕϕ˙ 2 @m(R + r)sin(ϕ)ϕ¨ = −mg + ΦN cosϕ − Φt sin(ϕ) − m(R + r)sin(ϕ)ϕ˙ 2 + m(R + r)cosϕϕ¨ = ΦN sin(ϕ) + Φt cosϕ Le equazioni cos`ı ottenute contengono entrambe Φt e ΦN : invece quelle ottenute proiettando sulla terna intrinseca contenevano ciascuna una reazione incognita. Per confrontarle con quelle gi`a ottenute eliminamo Φt dalla prima equazione moltiplicando la prima per cosϕ, la seconda per sin(ϕ) e sommando: −m(R + r)cos2 ϕϕ˙ 2 − m(R + r)sin ϕ cosϕϕ¨ − − m(R + r)sin2 ϕϕ˙ 2 + m(R + r)sin(ϕ) cosϕϕ¨ = = −mg cosϕ + ΦN cos2 ϕ + ΦN sin2 ϕ ovvero semplificando: −m(R + r)ϕ˙ 2 = m g cosϕ + ΦN che coincide con quella gi`a ottenuta. Se invece si moltiplica la prima equazione per sin ϕ; la seconda per −cosϕ e si sommano le due si ottiene: −m(R + r)sin(ϕ) cosϕϕ˙ 2 − m(R + r)sin2 ϕϕ¨ + + m(R + r)sin(ϕ) cosϕϕ˙ − m(R + r)cos2 ϕϕ¨ == −mg sin(ϕ) − Φt sin2 ϕ − Φt cos2 ϕ ovvero semplificando: −m(R + r)ϕ¨ = −m g sin(ϕ) − Φt Dunque abbiamo ottenuto per due vie traverse lo stesso risultato: e` cos`ı che si pu`o sapere se un risultato e` giusto. Lo studente dir`a: si, ma se tutti gli esercizi li devo svolgere in due modi diversi ... non finisco pi`u! Errore! Invece di fare, poniamo sessanta esercizi, e` meglio, molto meglio, farne solo trenta svolgendoli in pi`u modi: ciascuno varr`a per due. Si acquista pi`u padronanza facendo sessanta esercizi e ogni volta cercando disperatamente la soluzione su un eserciziario, o facendone trenta ma avendo una ragionevole certezza che il risultato sia giusto? Bene, passiamo ad un altro esercizio. ... Ma veramente potremmo farci ancora qualche domanda su questo esercizio. Basta! dir`a lo studente, facciamone un altro. Evidentemente questa reazione nasce dalla convinzione che cambiando esercizio si impara qualche cosa di pi`u. E’ un errore. E’ come se uno volendo imparare a parlare inglese cerca di incontrare pi`u inglesi che sia possibile e invece quando pu`o intrattenersi a lungo con un inglese si accontenta di dire due parole e poi scappa via. Al massimo imparer`a a dire solo good morning e good evening e good night! Occorre sfruttare a fondo le occasioni: un esercizio e` una buona occasione, e` bene sviscerarlo fino in fondo. Torniamo al nostro disco. Dopo che inizia lo strisciamento come prosegue il

5.2. PROBLEMA 1

131

suo moto? Quando incomincia a strisciare i suoi gradi di libert`a divengono due e quindi occorrono due coordinate per individuare la sua configurazione. Scegliamo ϕ e ϑ. Ci vorranno due equazioni di moto. Poich´e c’`e l’attrito dinamico conviene usare le equazioni cardinali che fanno uso delle reazioni (le equazioni di Lagrange non sono applicabili quando il vincolo e` scabro). Non si pu`o usare il teorema di conservazione dell’energia a causa dell’attrito. Dunque: ~ dP ~+R ~ 0 d ~L0 = M ~0 + M ~0 =R dt 0 (dt m x¨G = R x + R0x 0 I ϑ¨ = MGz + MGz m¨yG = Ry + R0y Gz Le prime due equazioni coincidono con quelle gi`a trovate prima e perci`o evitiamo di esplicitarle. Nella seconda equazione si e` scelto come polo il baricentro tanto per cambiare (non siamo qui per fare un po’ di esperienza?). Attenzione che ora ϕ e ϑ sono libere e perci`o non e` pi`u applicabile la relazione ϑ˙ = R+r ˙ r ϕ La seconda equazione cardinale diviene: 1 2ϑ ¨ = Φt r mr 2 Abbiamo cos`ı scritto tre equazioni, mentre le incognite sono quattro: ϕ, ϑ, Φt , ΦN . Manca dunque una equazione. Poich´e il disco striscia sulla guida, tra Φt e ΦN intercorre la relazione |Φt | = f |ΦN | essendo f il coefficiente di attrito dinamico tra il disco e la guida. Ora il bilancio incognite-equazioni torna. Scriviamo le equazioni insieme:  2 + m g cosϕ  Φ = −m(R + r) ϕ ˙  N      Φt = m(R + r)ϕ¨ − m g sin(ϕ)  1 2¨    2 mr ϑ = −Φt r    −Φ = f Φ t N Eliminando Φt e ΦN si ottengono le due equazioni pure di moto: ( 1 ¨ ˙ 2 + f mg cosϕ 2 mr ϑ = − f m(R + r)ϕ 1 ¨ − 2 mrϑ = m(R + r)ϕ¨ − m g sin(ϕ) Sommando le due equazioni si ottiene una equazione contenente solo ϕ: − f m(R + r)ϕ˙ 2 + m(R + r)ϕ¨ + f mg cosϕ − m g sin(ϕ) = 0 Quando si sar`a risolta questa equazione si otterr`a ϕ = ϕ(t). Sostituita in una qualsiasi delle due equazioni precedenti si otterr`a ϑ = ϑ(t). In linea di principio dunque il moto e` determinato. In linea di fatto l’equazione differenziale del secondo ordine ottenuta e` non lineare e la sua integrazione esula dalle competenze di un programma usuale di analisi. O si riesce a trovare una sostituzione conveniente che la riconduce ad un tipo noto oppure si dovrebbe procedere con uno dei tanti metodi di integrazione approssimati (metodi iterativi e numerici).

132

5.2.1

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

Problema 3

Enunciato. Un filo omogeneo pesante si avvolge su un cilindro fisso e scabro. Sia p il peso per unit`a di lunghezza del filo, l la sua lunghezza, µ il coefficiente di attrito statico tra filo e cilindro. Si domanda quale e` il massimo dislivello consentito tra i due estremi del filo affinch´e esso stia in equilibrio. ~ t

`N

~ n D

C

x

A d

B

Figura 5.10. dida

In questo problema si suppone che il filo tagli ortogonalmente le generatrici del cilindro cos`ı da essere ~ ~n = −N ~ e` verso (il segno meno tiene conto che la ~n e` diretta verso la concavit`a mentre N l’esterno della superficie). Inoltre si pu`o prendere T~ = ~t Quindi ΦN = −Φn ΦT = Φt E’ un problema di statica dei fili su superficie scabra (§39). Le equazioni di equilibrio sono: ( F = −p cos(ϑ) dT Ft + Φt + ds = 0 t F = +p sin(ϑ) Fn + Φn + Tr = 0 n ds = r d (ϑ) Da esse si ricavano le reazioni: Φt = p cos(ϑ) − 1r dTdϑ(ϑ) Φn = −p sin(ϑ) − T ((ϑ)) r La condizione di equilibrio per vincoli scabri e` : |ΦT | ≤ µ|ΦN |. Il massimo dislivello tra A e B comporta la condizione limite |ΦT | = µ|Φ − N|. Supponiamo che sia B pi`u in basso di A. Ci`o comporta che la ΦT si opponga all’ulteriore abbassamento di B e quindi sia dello stesso senso del versore t segnato in figura: ΦT > 0, donde |ΦT | = Φt . Inoltre Φn < 0 perch´e la reazione del disco e` rivolta verso l’esterno, dunque essendo ΦN = −Φn ne viene ΦN > 0.

5.2. PROBLEMA 1

133

Donde l’equazione pura di equilibrio e` : +p cos(ϑ) = 1r dTdϑ(ϑ) = µ[+p sin(ϑ) + T (ϑ) r ] ovvero dT (ϑ) + µT (ϑ) = r p cos(ϑ) − µ r p sin(ϑ) dϑ E’ questa una equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea nella funzione T (ϑ). Per risolverla (§88) si trova prima la soluzione della equazione omogenea associata: dT −µϑ dϑ + µT = 0 −→ T (ϑ) = Ce poi si aggiunge un integrale particolare: T¯ (ϑ) = +A sin(ϑ) + B cos(ϑ) Per determinare le costanti A e B si sostituisce questa espressione di T¯ (ϑ) nella equazione non omogenea. Raccogliendo i termini uguali si ottiene: (A + µB)cos(ϑ) + (µA − B)sin(ϑ) = (rp)cos(ϑ) + (−µrp)sin(ϑ) L’equazione e` identicamente soddisfatta se:  ( 1−µ2   A + µB = rp  A = 1+µ2 rp ovvero    B = 2µ 2 rp µA − B = −µrp 1+µ

Pertanto la soluzione generale sar`a: 1−µ2 2µ T (ϑ) = Ce−µϑ + 1+µ 2 rp sin(ϑ) + 1+µ2 rp cos(ϑ) Ora che sappiamo come varia la tensione in funzione di ϑ porremo le condizioni che all’estremo C(ϑ = 0) essa uguagli il peso del tratto CB, all’estremo D(ϑ = π) essa uguagli il peso del tratto AD. Se x e` la lunghezza del tratto CB il suo peso e` px: esso uguaglia la tensione in C, cio`e T (0) = px. La tensione in D e` uguale al peso del tratto DA cio`e T (π) = p(l − x − πr). Dunque: ♣ MARCO  2µ    C + 1+µ2 rp = px    Ce−µπ − 2µ 2 rp = p(l − x − πr) 1+µ donde eliminando C dalle due equazioni si ricava (dopo qualche passaggio) 2µ l−πr x = 1+e −µπ + 1+µ2 r Il dislivello tra B e A e` : d = x − (l − x − πr) = 2x − l + πr sostituendo l’espressione di x trovata, dopo qualche semplificazione si ottiene: d = (l − πr)

1−e−µπ 1+e−µπ

+

4µ 1+µ2

r

134

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

che fornisce la risposta al problema. Sar`a giusto il risultato? Facciamo qualche controllo. Intanto osserviamo che se non c’`e attrito (µ = 0) l’equilibrio si ha solo quando A e B sono allo stesso livello, cio`e d = 0. Ponendo µ = 0 nel risultato si ottiene infatti d = 0. Il primo controllo e` quindi superato. Facciamo il controllo dimensionale: tutti i termini entro parentesi quadre devono avere le dimensioni di una lunghezza. Un esame del risultato mostra che cos`ı e` . Questo per`o non ci assicura che il risultato sia giusto. Come si fa ad esserne sicuri? L’unico modo e` quello di rivedere il problema dall’inizio, esaminare attentamente le posizioni fatte strada facendo, lo svolgimento dei passaggi, vedendo se le formule sono state applicate nel rispetto delle loro condizioni di validit`a, se il procedimento usato e` lecito. Insomma: rivedere tutto!

5.2.2

Problema 4

Tre aste di uguale lunghezza l e di uguale peso p per unit`a di lunghezza sono incernierate fra loro a formare un triangolo. Il vertice A e` incernierato a terra, mentre il vertice C e` appoggiato a terra. Sul vertice B agisce una forza orizzontale F. Determinare le azioni interne nel lato BC. F

B

pl

pl C

A pl

Figura 5.11. dida

Risoluzione. Si tratta di un problema di statica dei sistemi rigidi. Non vi sono gradi di libert`a perch´e le aste incernierate fra loro formano un sistema rigido. Questo nel piano ha tre gradi di libert`a, ma la cerniera a sinistra (vincolo doppio) ed il carrello a destra (vincolo semplice) gli tolgono giusto tre gradi di libert`a. Quindi non dobbiamo trovare la posizione di equilibrio: quella data essendo l’unica configurazione possibile e` automaticamente di equilibrio. Per calcolare le azioni interne calcoliamo dapprima le reazioni vincolari (in qualche caso, come questo, non e` indispensabile farlo, ma come norma noi se-

5.2. PROBLEMA 1

135

guiremo il criterio di calcolare le azioni interne dopo aver calcolato le reazioni vincolari). Innanzi tutto e` bene disegnare i vettori peso (per non dimenticarli nel computo delle forze). Il peso di ciascuna asta e` pl essendo p il peso della unit`a di lunghezza. Ora esplicitiamo le reazioni: in A la direzione della reazione non e` nota e perci`o ne consideriamo le due componenti orizzontali HA e verticale VA . In C la reazione e` normale al vincolo e quindi verticale: VC . Ora scriviamo che e` nulla la somma delle forze orizzontali, verticali e dei momenti rispetto ad A (polo pi`u conveniente perch´e cos`ı non compaiono i momenti delle due componenti della reazione in A).

F VA

B

pl

pl

VC C

A HA

pl

Figura 5.12. dida

  +HA + F = 0        +VA − pl − pl − pl + VC = 0         +VC l − pl 1 − pl 1 cos60◦ − pl 2 2

(5.18) 3 2

l cos60◦ − F l sin60◦ = 0

donde   HA = −F       √      V = 3 pl + 3 F C (5.19)   2 2    √ √    3 3F 3 3    ) = pl − F  VA = 3pl − ( pl + 2 2 2 2 Cos`ı le reazioni sono calcolate. Per determinare le azioni interne nell’asta BC la prima cosa da fare e` di tornare a pensare il peso come distribuito lungo ogni asta. Quindi operiamo una sezione dell’asta BC in un punto generico S : indichiamo

136

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

con s la distanza di tale punto da B. Mettiamo in evidenza l’azione assiale N tangente all’asta, l’azione di taglio T normale ed il momento flettente N. Per non dimenticare il peso di ciascuno dei due pezzi in cui e` divisa l’asta BC abbiamo indicato con una serie di freccine verticali il peso distribuito. Non e` una bella rappresentazione e nel seguito la eviteremo. Il momento rispetto a B delle forze agenti su BS deve essere nullo. Il momento delle forze agenti su S C rispetto a C deve essere nullo. Infine il momento rispetto ad A delle forze agenti su AB e BS deve essere nullo. Esprimendo l’annullamento dei tre momenti otteniamo tre equazioni da cui ricaviamo le tre quantit`a N, T, M.

B 60◦

s

N

T

M

S T

60◦

M N

A

C

Figura 5.13. dida

B

B

B

MB= 0

MA= 0

MC= 0 A

C

A

C

Figura 5.14. dida

A

C

5.2. PROBLEMA 1

137

s s

s¡

T l ¡s 2

l 2

T

A

A l l ¡ T ( ¡ s)· + T (s¡ ) 2 2

l + T (s¡ ) 2

Figura 5.15. dida

  MB = +M + T s − p s 2s cos60◦ = 0        (l−s) ◦     MC = −M + T (l − s) + p(l − s) 2 cos60 = 0      MA = −pl 12 cos60◦ − Fl sin60 ◦ −p s(l cos60◦ +        −Nl cos30◦ + T (s − 12 ) + M = 0

s 2

cos60◦ )

(5.20)

Osservazione: nel calcolare il braccio della T nella terza equazione abbiamo supposto che sia s > l/2, cio`e che la sezione sia fatta oltre la met`a dell’asta. Il termine corrispondente e` +T (s − l/2). Se fosse invece s < l/2 il termine sarebbe −T (l/2 − s) che e` identico al precedente.

Figura 5.16. dida

+T s −

! ! ! l l l −T − s ≡ +T s − 2 2 2

(5.21)

Dunque non occorre considerare separatamente i due casi: la medesima espressione vale per i due casi s < l/2 ed s > l/2. Risolviamo le prime due equazioni che contengono solo M e T : +M + T s = p

p s2 − M + T (l − s) = − (l − s)2 4 4

(5.22)

138

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

Sommando si ottiene T=

p (2s − l) 4

(5.23)

M=

p s(l − s) 4

(5.24)

mentre dalla prima si ricava

Infine dalla terza equazione si ricava 1 p N = − √ (3s + ) − F 2 2 3

5.2.3

(5.25)

Problema 5

♣ MARCO Due aste AB e BC di uguale lunghezza l e uguale peso p sono incernierate fra loro in B. L’estremo A e` incernierato a terra mentre l’estremo C e` libero di scorrere su una guida verticale passante per A. Una molla reale di lunghezza a riposo l0 congiunge A con C. Determinare la posizione di equilibrio. Risoluzione Si tratta di un problema di statica dei sistemi. Una volta determinato l’angolo che l’asta AB forma con la verticale e` definita la configurazione dell’intero sistema. Dunque e` sufficiente la coordinata libera ϑ. Non vi sono attriti, dunque possiamo usare il principio dei lavori virtuali. A

p

B p y

C

Figura 5.17. dida

Indicate con y1 , y2 , y3 le ordinate dei baricentri di AB e BC e del punto C rispettivamente sar`a δW = pδy1 + pδy2 − k(2l cos(ϑ) − l0 )δy3 Esprimiamo ora le tre ordinate in funzione dell’unica coordianta ϑ: y1 = 21 cos(ϑ) y2 = 32 l cos(ϑ) y3 = 2l cos(ϑ)

5.2. PROBLEMA 1

139

δy1 = − 12 sin(ϑ)δ(ϑ) δy2 = − 32 l sin(ϑ)δϑ δy3 = −2l sin(ϑ)δϑ δW = [−p 2l sin(ϑ) − 32 p l sin(ϑ) − k(2l cos(ϑ) − l0 )(−2l sin(ϑ))]δϑ donde la condizione δW = 0 diviene −2p l sin(ϑ) + 2k l sin(ϑ)(2l cos(ϑ) − l0 ) = 0 ovvero sin (ϑ)[−p + 2k l cos(ϑ) − kl0 ] = 0 I casi sono due: sin (ϑ) = 0 −→ (ϑ) = 0 posizione di equilibrio in cui le aste sono allineate. Inoltre 0 cos(ϑ) = p+kl 2kl . Questa posizione di equilibrio sussiste solo se p+kl0 2kl ≤ .... ≤ k(2l − l0 )

5.2.4

Problema 6

In un piano verticale un’asta omogenea AB di lunghezza l = 20cm e di massa m = 300g poggia l’estremo B su un piano orizzontale e l’estremo A lungo una guida verticale liscia. Sull’estremo A agisce una molla verticale di costante k che ha l’altro estremo fissato d una altezza h = 18cm dall’estremo B. Si domanda quale valore deve avere la costante k (in newton al metro) affinch´e l’asta stia in equilibrio in posizione orizzontale. Si chiede successivamente di calcolare il periodo delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile.

A h

B

Figura 5.18. dida

Rileggiamo lentamente il testo per renderci familiare il problema. C’`e un’asta con i due sistemi vincolati a due guide, una verticale, l’altra orizzontale. Le guide sono liscie. Il peso dell’asta e` contrastato dalla molla per cui vi pu`o essere una

140

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

posizione di equilibrio. La posizione di equilibrio e` assegnata: e` quella in cui l’asta AB e` orizzontale. Allora e` conveniente fare anche il

kh B

A

mg

B

Φ

Figura 5.19. dida

nella posizione di equilibrio. k(h¡ l ) k(h+ l )

B

B mg

mg

Figura 5.20. dida

♣ MARCO In A ci potrebbe essere la reazione vincolare orizzontale Φ. Ma poich´e e` l’unica forza orizzontale agente sull’asta, per l’equilibrio deve essere Φ = 0. Ora possiamo mettere in evidenza la forza della molla che e` kh. Scrivendo che e` nullo il momento, rispetto a B, delle forze agenti sull’asta, si ha MBz = −(kh)l + (mg)

1 = 0 −→ k = 2

mg 2h

Ponendo i valori numerici (facendo uso del Sistema Internazionale) m = 300g = 0, 3kg g = 9.81ms−2 h = 18cm = 0.18m 0.3·9.81 0.3·10 3 30 k = mg 2h = 2·0.18 ≈ 2·0.2 = 0.4 = 4 = 7.5 Poich´e i calcoli sono stati fatti nel sistema SI e poich´e k e` una forza per unit`a di lunghezza il numero trovato e` 7.5Nm−1 .

5.2. PROBLEMA 1

141

Se avete una molla in casa, anche se e` una molla a compressione (come quella delle matite stilografiche) provate a determinare la costante. Se non l’avete potete usare un elastico. Ora dobbiamo vedere se la posizione di equilibrio orizzontale e` stabile. Una posizione di equilibrio si dice stabile se una volta spostato il sistema da tale posizione questo vi ritorna. Proviamo dunque a ruotare di un angolo infinitesimo ϑ: DISEGNI Se lo ruotiamo in basso mg 2 1 MBz = −k(h + lϑ) + m 12 = − mg 2h (h + lϑ)l + mg 2 = − 2h l ϑ dunque il senso di MBz e` opposto al senso dell’angolo cio`e e` di richiamo e quindi l’asta torna orizzonatale. Se la ruotiamo in alto MBz = +k(h − lϑ)l − mg 21 = −kl2 ϑ di nuovo il senso di MBz e` opposto al senso dell’angolo e quindi l’asta torna orizzontale. Ne concludiamo che la posizione di equilibrio e` stabile. Allo stesso risultato saremmo giunti esaminando il potenziale delle forze. Si ha: U peso = −mg xG = mg( 21 sin(ϑ) + a) Umolla = − 21 k(h − l sin(ϑ))2 ed essendo U = U peso + Umolla si ottiene U(ϑ) = −mg( 12 sin(ϑ) + a) − 12 k(h − l sin(ϑ))2 Vediamo se il potenziale e` massimo nella posizione di equilibrio. A tal fine occorre esaminare il segno della derivata seconda. dU 1 dϑ = −mg( 2 cos(ϑ)) − k(h − l sin(ϑ))(−l cos(ϑ)) 2 d U = +mg 21 sin(ϑ) − k[(−l cos(ϑ))(−l cos(ϑ)) + (h − l sin(ϑ))(+l sin(ϑ))] = dϑ2 = mg 21 sin(ϑ) − k(l2 cos2 (ϑ) + hlsin(ϑ) − l2 sin2 (ϑ)) Quindi ponendo ϑ = 0 si ottiene = −kl2 Dunque la derivata seconda e` negativa, il potenziale e` massimo e l’equilibrio e` stabile. d2 U | dϑ2 ϑ=0

Passiamo ora allo studio delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile. A questo scopo dobbiamo cercare una equazione di moto pura. Questa pu`o essere fornita dall’integrale dell’energia: T − U = E. Calcoliamo l’energia cinetica. Poich´e si tratta di un corpo rigido (un’asta) e` conveniente usare il teorema di Konig: ¨ 2 + 1 I ω2 T = 21 m vG 2 Gz

142

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI x x A

y

h

G

xG

B yG

a y

0

Figura 5.21. dida

Esprimiamo ora le coordinate sovrabbondanti in funzione dell’unica coordinata libera ϑ: xG = 21 sin(ϑ)(t) + a x˙G = + 12 cos(ϑ)(t) ϑ(t) ˙ y˙ G = − 12 sin(ϑ)(t) ϑ(t) yG = 21 cos(ϑ)(t) ne viene 2 2 1 T = 12 m[ l4 cos2 (ϑ)ϑ˙ 2 + l4 sin2 (ϑ)ϑ2 ] + 12 ( 12 ml2 )ϑ2 semplificando T = 16 ml2 ϑ˙ 2 Il potenziale, come abbiamo visto, e` dato da U = −mg( 21 sin(ϑ) + a) − 12 k(h − l sin(ϑ))2 Poich´e a noi interessano le piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile ϑ = 0, approssimiamo l’energia cinetica ed il potenziale (pag. 89). Poich´e l’energia cinetica non contiene l’angolo ϑ ne viene che essa non deve essere approssimativa. Per il potenziale essendo l’equazione T − U = E diviene [ 16 ml2 ϑ2 ] − [(−mga − 12 kh2 ) − 12 kl2 ϑ2 ] = E Per ottenere l’equazione di moto possiamo ora derivare rispetto al tempo 1 2˙¨ 2 ˙ 3 ml ϑϑ + kl ϑϑ = 0 ovvero, eliminando ϑ˙ ϑ¨ + 3k m ϑ=0 E’ questa la tipica equazione dei moti armonici la cui forma generale e` ϑ¨ + ω2 ϑ = 0. Per confronto si vede che q q ω 1 3k ω − 3k f = = m 2π 2π m Per valutare numericamente la frequenza basta ricordare che k = 7, 5N m−1 m = 0.3kg ne viene

5.2. PROBLEMA 1 f =

1 6.28

q

3·7.5 0.3

143

≈

q

1 6

22·10 3

≈

1 6

√ 70 ≈

8.4 6

= 1.4

Dunque f = 1.4 cio`e 1.4 hertz (simbolo Hz). Ci`o significa che l’asta fa 1.4 oscillazioni complete al secondo e quindi il periodo di una oscillazione completa (andata e ritorno) e` 1 T = 1.4 ≈ 0.7 s. Con ci`o il problema e` finito. s−1

5.2.5

Problema 8

♣ MARCO Un anellino di peso p pu`o scorrere senza attrito lungo una circonferenza liscia di raggio R che ruota con moto uniforme attorno ad un asse verticale. Determinare la posizione di equilibrio relativo. Classificazione del problema Statica della particella relativa ad un riferimento rotante. vincolo (la circonferenza): liscio, fisso (rispetto al riferimento rotante), bilatero, olonomo. forze attive: peso e forze apparenti (entrambe ammettono potenziale) gradi di libert`a: uno. ω

R

R

n

t θ

F app

p p θ

Figura 5.22. dida

Risoluzione Essendo un problema di statica relativa occorre tener conto della forza apparente. Si tratta di una forza assifuga di modulo Fapp = m ω2 R sin(ϑ) Scriviamo ora la condizione di equilibrio della particella vincolato F + Φ = 0 t F + Φ = 0 −→ t F n + Φn = 0 Poich´e il vincolo e` liscio la reazione e` normale ad esso, quindi Φt = 0. Ne viene −p sin(ϑ) + (mω2 R sin(ϑ))cos(ϑ) = 0 − p cos(ϑ) − (mω2 R sin(ϑ))sin(ϑ) + Φ = 0

144

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

La prima e` una equazione pura che fornisce la posizione di equilibrio sin(ϑ)(−p + mω2 R cos(ϑ)) = 0 donde si ha sin(ϑ) = 0 −→ ϑ = 0 , ϑ = π e anche −p + mω2 R cos(ϑ) = 0 e quindi cos(ϑ) = ωg2 R Le prime due posizioni q di equilibrio esistono sempre, la terza esiste solo quando g ω2 R

≤ 1cio´eω ≥

g R.

La seconda equazione di equilibrio fornisce la reazione vincolare Φ = +mgcos(ϑ) + mω2 Rsen2 (ϑ) Quindi per ϑ = 0 Φ = +mg per ϑ = π Φ = −mg 2 2 g per cos(ϑ) = ω2 R Φ = + ωmg2 R + mω2 R(1 − ωg4 R2 ) = mω2 R Facciamo qualche esempio numerico. Se R = 10 cm, m = 15 g e la guida fa 2 giri al secondo usando il Sistema Internazionale frequenza f = 2 Hz −→ ω = 2π f = 6.28 · 2 s−1 raggio R = 10 cm − 0.1 m −2 g = 9, 8 ms m = 0.015 kg viene g 100 2 9.8 10 = (12.56) 2 0.1 ≈ 150×0.1 = 150 = 3 ≈ 0.7 ω2 R essendo tale numero inferiore all’unit`a esiste la posizione di equilibrio intermedia tra 0 e π: cos(ϑ) ≈ 0.7 dalle tavole delle funzioni trigonometriche risulta ϑ ≈ 45◦ . Il valore della reazione vincolare e` 1 225 Φ = 0.015(12.56)2 0.1 ≈ 15 1 150 10 = 1 = 0.225 Avendo effettuato il calcolo con le unit`a del Sistema Internazionale il risultato e` in newton: Phi = 0.225 N (N e` il simbolo del newton) Si tenga presente che un litro di acqua pesa 9.81 N, un uomo pesa circa 800 N e un etto e` uguale a 0.981 N, quindi e` circa 1 N .

5.2.6

Problema 9

♣ MARCO Quattro aste di uguale lunghezza l e uguale peso p sono incernierate a formare un quadrilatero come in figura. La cerniera A e` attaccata ad un perno verticale che ruota con velocit`a angolare ω costante. La cerniera C scorre su una

5.2. PROBLEMA 1

145

guida verticale ed e` ancorata ad una molle reale di costante k e lunghezza a riposo l0 . L’altro estremo della molla e` vincolato a distanza (2l + l0 ) da A. Determinare la velocit`a angolare ϑ in funzione dell’angolo di equilibrio ω. DISEGNI Risoluzione E’ un problema di statica relativa ad un riferimento uniformemente ruotante. La posizione di equilibrio dipende dalla velocit`a angolare ω poich´e una velocit`a angolare maggiore comporta un aumento dell’angolo di apertura ϑ. Immaginiamo di essere a bordo di un riferimento uniformemente ruotante: le quattro aste sono sottoposte al proprio peso, alle forze assifughe dovute alla rotazione del sistema di riferimento e alla forza della molla. Usiamo il principio dei lavori virtuali. lavoro virtuale della forza peso agente sull’asta AB: δW1 = +p δ yG = +p δ[ 21 cos(ϑ)] = −p 12 sin(ϑ) δ (ϑ) lavoro virtuale della forza peso agente sull’asta BC: δW2 = +p δ yH = +p δ[ 23 l cos(ϑ)] = −p 32 l sin(ϑ) δ ϑ Lavoro virtuale delle forze assifughe sull’asta AB: la forza assifuga agente sull’elemento di lunghezza ds e massa dm = ρ ds e` data da dmω2 x = ρdsω2 s sin (ϑ) il lavoro virtuale della forza assifuga per una variazione infinitesima della configurazione (cio`e per una variazione δϑ) e` !

!

A

A

G

l D

B

l

x

p

D 2l+ l0

p

B

H p

p

C

C k(2l¡ 2lcos)

y

Figura 5.23. dida

[ρ ds ω2 s sin (ϑ)]δx = [ρ ds ω2 s sin (ϑ)]δ(s sin(ϑ)] = = [ρ ds ω2 s sin (ϑ)] · (+s cos(ϑ)δϑ) = +ρω2 s2 sin (ϑ) cos(ϑ) ds δϑ

146

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

Il lavoro virtuale per l’intera asta AB e` R s=1 R s=1 δW3 = s=0 +ρω2 s2 sin (ϑ) cos(ϑ) ds δϑ = ρω2 sin (ϑ) cos(ϑ)δϑ s=0 s2 ds = = + 31 ρ l3 ω2 sin (ϑ) cos(ϑ)δϑ A s

B x

x B

dm ! 2x s

C

Figura 5.24. dida

Lavoro virtuale delle forze assifughe agenti sull’asta BC: forza assifuga agente su un tratto ds dm ω2 x = ρ ds ω2 s sin(ϑ) lavoro virtuale elementare (ρ ds ω2 s sin(ϑ))δ x = (ρ ds ω2 s sin(ϑ)) δ (s sin(ϑ)) = ρ ds ω2 s sin(ϑ) s cos(ϑ)δϑ lavoro virtuale complessivo R s=1 δW4 = s=0 ρ ds ω2 s sin(ϑ) s cos(ϑ)δϑ = 31 ρl3 ω2 sin(ϑ) cos(ϑ)δϑ Fatto questo osserviamo che il lavoro virtuale delle forze peso e delle forze apparenti assifughe relativo alle due aste di sinistra, AD e DC e` il medesimo di quello relativo alle due aste di destra per evidenti ragioni di simmetria. Lavoro virtuale della molla: δWmolla = +k(2l − 2lcos(ϑ))δyC = +2 kl(1 − cos(ϑ))δ(2lcos(ϑ)) = = −4kl2 (1 − cos(ϑ))sin(ϑ)δϑ Dunque il lavoro virtuale totale e` : δW = 2(δW1 + δW2 + δW3 + δW4 ) + δWmolla = = 2[−ρ 21 sin(ϑ)δ(ϑ) − 32 ρl sin(ϑ)δ(ϑ) + 31 ρl3 ω2 sin(ϑ)δϑ + + 13 ρl3 ω2 sen(ϑ) @δϑ] − 4kl2 (1 − cos(ϑ))sin (ϑ)δ(ϑ) = = 2[−2ρlsin(ϑ) + 23 ρl3 ω2 sin(ϑ) cos(ϑ)]δϑ − 4kl2 (1 − cos(ϑ))sin (ϑ)δϑ = = −4[ρgl2 sinvartheta − 13 ρl3 ω2 sin(ϑ) cos(ϑ) + kl2 (1 − cos(ϑ))sin (ϑ)]δϑ = = −4l2 sin(ϑ)[ρg − 13 ρlω2 cos(ϑ) + k(1 − cos(ϑ))]δϑ La posizione d’equilibrio si ottiene imponendo che sia δW = 0, cio`e 1 3ρg + 3k sin(ϑ) = 0 −→ (ϑ) = 0ρg + k − ( ρlω2 + k)cos(ϑ) = 0 −→ cos(ϑ) = + 2 3 ρω l + 3k (5.26) Le posizioni di equilibrio sono dunque due: l’una con le aste chiuse ϑ = 0, l’altra funzione di ω. Questa seconda posizione di equilibrio sussiste solo se

5.2. PROBLEMA 1

147

3g ω2 l

≤ 1 cio´e ω2 ≥ 3gl altrimenti si avrebbe cos(ϑ) > 1 e quindi non esisterebbe la soluzione. Risposta

.

q q 3g Dunque se ω < 3gl c’`e la soluzione ϑ = 0. Se ω ≥ l oltre alla soluzione ϑ = 0 vi e` anche la soluzione 3gρ+3k cos(ϑ) = ρω 2 l+3k

5.2.7

commiato

Per una buona preparazione della meccanica sono sufficienti due esercizi per ogni tipo esaminato in questa dispensa, di cui uno molto semplice ed uno di media difficolt`a. In tal modo ci si assicura di saper risolvere problemi di qualunque tipo. E’ bene diluire la esecuzione degli esercizi in un periodo di diversi mesi piuttosto che concentrarla nell’ultimo mese dell’anno scolastico. Questo per una ragione che e` fondamentale in qualunque studio: per apprendere occorre assimilare e questo esige un congruo tempo di sedimentazione. La nostra mente si comporta in questo, come lo stomaco. Ne risulta che l’esecuzione diviene pi`u facile e pi`u piacevole, n´e pi`u n´e meno di quanto e` pi`u facile e piacevole cibarsi mediante tanti pasti distanziati piuttosto che con un unico pasto pantagruelico.

148

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

Appendice A

Programmi in Matlab Molte figure della dispensa sono state ottenute usando programmi in Matlab, un programma meraviglioso. E’ di semplice uso, ha il valore di un linguaggio di programmazione e include la grafica. I listati che seguono vogliono invitare lo studente ad essere concreto e a risolvere numericamente tutti i problemi di meccanica che non si possono risolvere analiticamente. L’ordine dei listati e` arbitrario @. Essi sono numerati da AAA01 ad AAA99. Tutti i programmi hanno una uscita grafica e le relative figure si trovano nella pagina indicata in fondo al listato.

A.1

AAA01

% ELLISSE % Traccia una ellisse usando le coordinate polari % ———-modalit`a grafica——————————————————– close ; h1 = figure(1) ; set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0.5 0.5 0.5 0.5]) ; hold on ; zoom on axis equal ; axis([-12 12 -10 10]); % —————– parametri ———————————————————a = 10; % semiasse maggiore c = 8; % semidistanza focale b = sqrt(a*a-c*c); % semiasse minore p =b*b2 /a ; % parametro della conica=ordinata nel fuoco e = c/a; % eccentricit`a % —————– conica ————————————————————– 149

150

APPENDICE A. PROGRAMMI IN MATLAB Th = 0 : 0.01 : 2*pi; % array dei valori discreti di theta R = p ./ (1 + e*cos(Th)); % array dei valori discreti di rho X = c+ R .* cos(Th); Y = R .* sin(Th); % array coordinate cartesiane plot(X,Y,’r’,’linewidth’,2); % —————– raggi focali ——————————————————– for th = 0 : 0.16 : 2*pi; % discretizza angolo theta r = p / (1+e*cos(th)); % raggio x = c+r*cos(th); y = r*sin(th); % coordinate cartesiane plot([c x],[0 y],’b’) end % —————– fuochi, centro, assi, ecc. —————————————plot(c,0,’r+’,’linewidth’,2); plot(-c,0,’r+’,’linewidth’,2);% fuochi plot(0,0,’r+’,’linewidth’,2); % centro text(-c+0.61, 0.8,’F”’,’fontsize’,18,’fontname’,’times’);% fuoco text(0, 0.8,’C’,’fontsize’,18,’fontname’,’times’); % centro text(c, 0.8,’F’,’fontsize’,18,’fontname’,’times’); % fuoco plot([-10 10],[0 0],’color’,’k’, ’linestyle’, ’-.’) % asse maggiore plot([0 0],[-b b],’color’,’k’, ’linestyle’, ’-.’) % asse minore plot([-c -c],[0 p],’color’,’k’, ’linestyle’, ’-’) % ordinata nel fuoco % ——————————————————————————fine La figura e` a pagina ....

A.2

AAA02

% —————————————————————————————% Asteroide % —————————————————————————————% Visualizza il moto di un’asta AB che si muove con gli estremi % su due assi ortogonali: A sull’asse x, B sull’asse y. % ——————————modalit`a grafica ————————————– close ; h1 = figure(1) ; set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0.5 0.5 0.5 0.5]) ; hold on ; zoom on ; pause off axis equal ; axis([-5 5 -5 5]); % ——————————- Dati ————————————————L = 3; % lunghezza asta in m n = 50; % numero fotogrammi p = 2 * pi / n; % passo angolare a=1.2*L; % lunghezza assi in m

A.3. AAA03

151

% ——————————-Traccia ———————————————– line([ 0 0],[-a a],’color’,’r’); % asse orizzontale line([-a a],[ 0 0],’color’,’r’); % asse verticale for k = 2 : 3 : n a = k*p; % angolo con l’asse verticale xA = L * sin(a); yA = 0; % punto A sull’asse orizzontale xB = 0; yB = L * cos(a); % punto B sull’asse verticale plot([xA yA],[ xB yB],’color’,’k’,’era’,’back’); % asta AB plot([xA xA],[0 yB],’color’,’k’,’linestyle’,’:’,’era’,’back’); plot([0 xA],[yB yB],’color’,’k’,’linestyle’,’:’,’era’,’back’); % centro di istantanea rotazione plot( xA,yB ,’r.’,’linewidth’,5,’era’,’back’); pause end; % ———————————————————————————–fine

A.3 %

AAA03

baseRulletta %——————————————————————————————— —— % Visualizza la polare fissa (base) e quella mobile (rulletta) di un’asta AB % che si muove con gli estremi su due assi ortogonali. % —————————————modalit`a grafica—————————— ———close ; h1 = figure(1) ; set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0 0 1 1]) ; % set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0.5 0.5 0.5 0.5]) ; hold on ; zoom on ; pause off axis equal ; axis([-5 5 -5 5]); % —————————————— Dati —————————————— —— L = 3; % lunghezza asta in m n = 50; % numero fotogrammi p = 2 * pi / n; % passo angolare a=1.2*L; % lunghezza assi in m % —————————————–Traccia ————————————— ——line([ 0 0],[-a a],’color’,’r’); % asse orizzontale

152

APPENDICE A. PROGRAMMI IN MATLAB

%

%

line([-a a],[ 0 0],’color’,’r’); % asse verticale polare fissa o base del moto A= 0 : 0.12 :2*pi; % crea array degli angoli X = L*cos(A) ; Y = L*sin(A); plot(X,Y,’b’) pause for k = 2 : 8 : 35 a = k*p; % angolo con l’asse verticale xA = L * sin(a); yA = 0; % punto A sull’asse orizzontale xB = 0; yB = L * cos(a); % punto B sull’asse verticale polare mobile o rulletta xM = (xA+xB)/2; yM = (yA+yB)/2; % punto medio asta D= 0 : 0.12 : 2*pi; % crea array degli angoli U = xM+L/2*cos(D) ; V = yM+L/2*sin(D); % array per la circonfe-

renza plot(U,V,’r’,’era’,’back’); % traccia polare mobile % plot([xA yA],[ xB yB],’color’,’k’,’era’,’back’); % asta AB plot([xA xA],[0 yB],’color’,’k’,’linestyle’,’:’,’era’,’back’); % tratto verticale plot([0 xA],[yB yB],’color’,’k’,’linestyle’,’:’,’era’,’back’); % tratto orizzontale plot( xA,yB ,’r.’,’linewidth’,5,’era’,’back’); % centro di istantanea rotazione pause end; % —————————————————————————————— - fine

A.4

AAA04

%————————————————————————————– % OSCULA %————————————————————————————– % Data una curva piana il programma traccia il cerchio osculatore % in diversi punti. La curva e` utilizzata in forma parametrica % x(t) e y(t) per calcolare la tangente, la normale, il raggio ed % il centro del cerchio osculatore. % richiama f vettoreX, f vettoreY, f palla, f circo,f petalo

A.4. AAA04

153

% —————–modalit`a grafica———————————————close ; h1 = figure(1) ; set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0.5 0.5 0.5 0.5]) ; % set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0 0 1 1]) ; hold on ; axis on ; zoom on ; pause on axis equal ; axis([-1 10 -4 4]); % ————————————————————————————– % Traccia la linea S = 0 : 0.1 :10; [X, Y, Dx, Dy, DDx, DDy] = f petalo(S); plot(X,Y,’k’,’era’,’back’,’linewidth’,2) % assi cartesiani f vettoreX(-1, 0, 10, ’b’, 1, 0.24, 0.20 ) ; % ... spess, sL, sN f vettoreY(0, -3, 6, ’b’, 1, 0.24, 0.20 ) ; % ... spess, sL, sN %——– —————-scritte—————————h(1) = text(9 ,-0.3,’x’); h(2) = text(-0.4, 2.7, ’y’); set(h, ’fontsize’,18,’fontname’,’times’); % ————————————————————————————— for t = 0.2:1.3:9; % scelta di alcuni valori del parametro t [x, y, Dx, Dy, DDx, DDy] = f petalo(t); pause % ———– % traccia il punto f palla(x, y, 0.04, ’m’); % traccia un dischetto pause % ———– % versore tangente: t=dr/ds % tx = x’/sqr(x’*x’+y’*y’) ty = y’/sqr(x’*x’+y’*y’) den = sqrt(Dx*Dx+Dy*Dy); % sqr(x’*x’+y’*y’) tx = Dx/den; ty = Dy/den; % componenti della tangente xt = x + tx ; yt = y + ty ; % estremo del versore tangente plot([x xt], [y, yt], ’b’,’era’,’back’,’linewidth’,2); pause % ———– % versore normale. Lo scegliamo ruotando di 90 gradi % in senso orario il versore t. Cos`ı facendo il versore normale % si trova sempre dalla stessa parte percorrendo la curva. nx = -ty ; ny=tx ; % componenti della normale xn = x + nx ; yn = y + ny ; % estremo del versore normale plot([x xn], [y, yn], ’r’,’era’,’back’,’linewidth’,2); pause % ———– % n = r dt/ds r = den*den*den /( Dy*DDx -Dx*DDy);

154

APPENDICE A. PROGRAMMI IN MATLAB % %

raggio cerchio osculatore attenzione: il raggio pu`o essere positivo o negativo xC = x + nx * r; yC = y + ny * r; traccia un cerchietto nel centro f circo(xC, yC, 0.04, ’r’); % plot([x xC], [y, yC], ’g’,’era’,’back’);% retta dal punto al cen-

tro pause % ———– f circo(xC, yC, r, ’r’); %

traccia cerchio osculatore end %————————————————————————————fine

A.5

AAA05

% ——————————————————————————% TAGLIO % ——————————————————————————% Diagramma dell’azione di taglio su un’asta orizzontale soggetta % a carichi verticali sia concentrati che distribuiti. % —-> chiama f vettoreY % ——————–modalit`a grafica————————————— close ; h1 = figure(1) ; set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0 0 1 1]) ; % set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0.5 0.5 0.5 0.5]) ; hold on ; axis on ; grid off ; zoom on ; axis equal ; axis([0 16 -5 5]); % ————————- dati ———————————————— xA = 2 ; yA = 0; % estremo iniziale dell’asta xB = 12; yB= 0; % estremo finale dell’asta L = xB-xA; % lunghezza dell’asta q = 50 ; % peso dell’asta (N) fs = 0.04; % fattore scala forze fss = 2; % fattore scala carichi distribuiti p = 0.1; % passo per il diagramma % Carichi concentrati: positivi se nel senso della normale % Ff = array forze verticali concentrate discendenti i (in newton) Ff = 0; % Ff= [50] % Ff = [12 35 ]; % Sf = array posizioni (in metri) delle forze concentrate Sf=[0.4*L] % Sf = [0.4*L 0.6*L]; nf = size(Ff,2) ;

A.5. AAA05 % %

155

Carico uniforme distribuito: lo consideriamo come un carico discreto su un passo piccolo ottenuto dividendo L in w tronchi. w = 100; % numero dei tronchi g = L/w; % g = lunghezza di ogni tronco qw = q / w ; % peso di ogni tronco Fq = qw * ones(1,w); % array dei carichi uniformi (N/m) Sq = g/2 : g : L ; % array dei punti medi dei tronchi % reazioni in A e B risultante = sum(Ff) + sum(Fq); % somma delle forze momento = Ff * Sf’ + Fq * Sq’; % somma dei momenti VB = momento / L ; VA = risultante - VB ; % —————————————————————————— for s = 0 : p : L % calcola la somma delle forze concentrate fino ad s Zf = Sf (Sf ¡ s); % Z = array delle posizioni precedenti s zf = size(Zf,2); % dimensioni dell’array fn = 0; % fn = somma delle forze concentrate for k=1 : zf ; fn = fn + Ff(k); end ; % aggiungi la somma delle forze distribuite fino ad s Zq = Sq (Sq ¡ s); % U = array delle posizioni precedenti s zq = size(Zq,2); % dimensioni dell’array for h=1 : zq ; fn = fn + Fq(h); end ; % diagramma dell’azione di taglio T T = - VA + fn; % azione di taglio x = xA + s / L*(xB-xA); y = yA + s / L*(yB-yA); x1 = x ; y1 = y +T*fs; plot([x x1] , [y y1],’r’,’linewidth’,0.5,’era’,’back’) end % —————————————————————————— % traccia asta plot([xA xB],[yA yB],’k’,’linewidth’,1,’era’,’back’) % traccia reazione in A reazA = sign(VA) * VA* fs ; y0 = yA +reazA; f vettoreY(xA, yA, reazA, ’m’, 2, 0.32, 0.20 ) ; % traccia reazione in B reazB = sign(VB) * VB* fs ; y0 = yB +reazB; f vettoreY(xB, yB, reazB, ’m’, 2, 0.32, 0.20 ) ; for k=1 : nf x = xA + Sf(k) ; y = yA ; forza = -Ff(k)*fs ; yf = y + forza;

156

APPENDICE A. PROGRAMMI IN MATLAB %

f vettoreY(x, y, forza, ’b’, 2, 0.32, 0.20 ) ; end % traccia forze distribuite for k=1 : 3: w x = xA + Sq(k) ; y = yA ; xq = x ; yq = y + Fq(k)*fss; % plot([x , xq] , [y , yq] ,’b’,’linewidth’,0.5,’era’,’back’) end % ———————————————————————– fine

A.6

AAA06

%——————————————————————————— % CHASLES %——————————————————————————— % ———-modalit`a grafica————– close ; h1 = figure(1) ; set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0 0 1 1]) ; hold on % indispensabile: traccia su una stessa pagina grafica pause off % mettere on per temporizzare % ———–assegna sagoma————a = 10 ; b = 15 ; c = 3 ; % dimensioni sagoma a L (6+1 vertici) % sagoma nella configurazione di riferimento % crea due vettori-riga con le ascisse e le ordinate dei vertici X = [0 a a c c 0 0] ; Y = [0 0 c c b b 0] ; U = ones(1,7) ; % array per convertire scalare in vettore colonna % disponi la sagoma in una posizione iniziale p = -60*pi/180 ; % angolo iniziale xR = 10 ; yR = 50 ; % primo centro di rotazione XR = xR*U ; YR = yR *U ; % effettua la rotazione Xp = XR+(X-XR)*cos(p)+(Y-YR)*sin(p) ; Yp = YR-(X-XR)*sin(p)+(Y-YR)*cos(p) ; % disponi la sagoma in una posizione finale q = 80*pi/180 ; % angolo finale xS = -20 ; yS = 10 ; % secondo centro di rotazione XS = xS*U ; YS = yS*U ; % usa la formula di rotazione Xq = XS+(X-XS)*cos(q)+(Y-YS)*sin(q) ;

A.6. AAA06

% %

% % %

157

Yq = YS-(X-XS)*sin(q)+(Y-YS)*cos(q) ; traccia sagoma nelle posizioni iniziale e finale plot(X,Y,’y’,’era’,’back’) fill(Xp,Yp,’m’,’era’,’back’) axis equal ; axis([-40 65 -40 65]) ; % [xmin xmax ymin ymax] pause ; ; fill(Xq,Yq,’b’,’era’,’back’) ———-fotogrammi——————— Ora scelgo due punti A e B, ad esempio il secondo ed il quinto punto della sagoma e ne congiungo le posizioni iniziali e finali xAi = Xp(2) ; yAi = Yp(2) ; % posizione iniziale punto A xAf = Xq(2) ; yAf = Yq(2) ; % posizione finale punto A pause ; line([xAi xAf], [ yAi yAf],’color’,’m’,’era’,’back’)

%

%

% % % %

% %

% % %

%

xBi = Xp(5) ; yBi = Yp(5) ; % posizione iniziale punto B xBf = Xq(5) ; yBf = Yq(5) ; % posizione finale punto B pause ; line([xBi xBf], [ yBi yBf],’color’,’m’,’era’,’back’) punti medi: M = medio(Ai,Af), N = medio(Bi,Bf) xM = (xAi+xAf)/2 ; yM = (yAi+yAf)/2 ; xN = (xBi+xBf)/2 ; yN = (yBi+yBf)/2 ; pause ; plot(xM,yM,’rx’,’era’,’back’) ; plot(xN,yN,’rx’,’era’,’back’) l’asse di un segmento passa per il punto medio ed e` ruotato di 90 gradi. L’equazione dell’asse del segmento (Ai,Af) e` x = xM+s*(yAf-yAi) y = yM-s*(xAf-xAi) per tracciare l’asse prendiamo, ad esempio s = 1, s = -1 x1 = xM+1*(yAf-yAi) ; y1 = yM-1*(xAf-xAi) ; x2 = xM-1*(yAf-yAi) ; y2 = yM+1*(xAf-xAi) ; pause ; line([x1 x2],[y1 y2],’color’,’g’,’era’,’back’) analogamente per l’asse del segmento (Bi,Bf)’ x = xN+t*(yBf-yBi) y = yN-t*(xBf-xBi) x3 = xN+1*(yBf-yBi) ; y3 = yN-1*(xBf-xBi) ; x4 = xN-1*(yBf-yBi) ; y4 = yN+1*(xBf-xBi) ; pause ; line([x3 x4],[y3 y4],’color’,’g’,’era’,’back’) determina l’intersezione Q degli assi. Deve essere: xM+s*(yAf-yAi) = xN+t*(yBf-yBi) ; yM-s*(xAf-xA) = yN-t*(xBf-xBi) ; donde si ricava s0 num = (xM-xN) *(xBf-xBi)+(yM-yN) *(yBf-yBi) ; den = (xAf-xAi)*(yBf-yBi)-(yAf-yAi)*(xBf-xBi) ; s0 = num/den ; da cui xQ = xM+s0*(yAf-yAi) ; yQ = yM-s0*(xAf-xAi) ;

158

APPENDICE A. PROGRAMMI IN MATLAB

%

%

XQ = xQ*U ; YQ = yQ*U ; pause ; plot(xQ,yQ,’mo’,’era’,’back’) af = q-p ; da = af/12 ; traccia sagome intermedie for a = 0 : da : af ; Xe = XQ+(Xp-XQ)*cos(a)+(Yp-YQ)*sin(a) ; Ye = YQ-(Xp-XQ)*sin(a)+(Yp-YQ)*cos(a) ; pause(1) ; plot(Xe,Ye,’k’,’era’,’back’) ; xB=Xe(5) ; yB=Ye(5) ; line([xQ xB],[yQ yB],’color’,’B’,’era’,’back’) end ————————fine———————

Appendice B

RIMASUGLI B.0.1

Punto materiale vincolato ad una superficie liscia

~ e` normale alla Un punto su una superficie ha 2 gradi di libert`a. La reazione Φ superficie. Se la superficie e` data mediante le equazioni parametriche x = x(ξ, η)

y = y(ξ, η)

z = z(ξ, η)

siano ~u e ~v i due vettori tangenti alla superficie dati da  ∂P ∂x ~ ∂y ~ ∂z ~    ~u = i+ j+ = k    ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ         ∂y ∂z ∂P ∂x     ~v = ∂η = ∂η ~i + ∂η ~j + ∂η ~k

(B.1)

(B.2)

~ 0 sar`a normale alla superficie e Dal momento che la superficie e` liscia la reazione R quindi ortogonale a ciascuno dei vettori ~u e ~v. Quindi per l’equilibrio dovr`a essere ~ normale lanche a forza attiva R  ∂x ∂y ∂z    R x + Ry + Rz =0     ∂ξ ∂ξ ∂ξ   ~       R · ~u = 0  ~+R ~0 = 0 →  R → (B.3)          R  ~ · ~v = 0   ∂x ∂y ∂z    = 0.  R x + Ry + Rz ∂η ∂η ∂η Se della superficie e` data l’equazione f (x, y, z) = 0 la reazione che e` normale ad essa e` esprimibile cos`ı: Φ(P) = λ(P) grad f (P) 159

(B.4)

160

APPENDICE B. RIMASUGLI

essendo λ(x, y, z) una funzione da determinare. L’equilibrio si ha per quei valori di x, y, z per cui: Rx + λ

∂f =0 ∂x

Ry + λ

x = x(λ)

∂f =0 ∂y

y = y(λ)

Rz + λ

∂f =0 ∂z

z = z(λ).

(B.5) (B.6)

Per determinare λ corrispondente all’equilibrio si inseriscono nella equazione f (x, y, z) = 0 le espressioni (??): si ricava cos`ı λ. Sostituita di nuovo nelle equazioni (??) si ottengono le x, y, z di equilibrio. Il valore di λ serve poi al calcolo della reazione vincolare. Se le forze attive sono conservative, si pu`o usare il teorema della stazionariet`a del potenziale come segue. Si esprime il potenziale delle forze attive U(x, y, z) in funzione dei due parametri ξ ed η: U = U(ξ, η).

(B.7)

La stazionariet`a del potenziale porta allora alle due equazioni ∂U(ξ, η) =0 ∂ξ

∂U(ξ, η) =0 ∂η

(B.8)

che risolte forniscono ξ ed η di equilibrio. Queste sono equivalenti alle due equazioni (B.3).

B.0.2

Punto materiale vincolato ad una superficie scabra

Se e` nota l’equazione cartesiana della superficie f (x, y, z) = 0, si ha: ∂ f~ ∂ f ~ ∂ f ~ i+ j+ k ∂y ∂z ~ = − ∇ f = s ∂x N . !2 !2 !2 |∇ f | ∂f ∂f ∂f + + ∂x ∂y ∂z

(B.9)

Se invece la superficie e` data mediante le equazioni parametriche x = x(ξ, η), y = y(ξ, η), z = z(ξ, η) si ha: ∂P ∂P × ~ = ∂ξ ∂η N ∂P ∂P × ∂ξ ∂η

(B.10)

161 essendo P = P(x, y, z). La condizione di equilibrio e`     RT + ΦT = 0 0 ~+R ~ =0 R −→    RN + ΦN = 0

(B.11)

~ deve essere contenuta nel cono di attrito, cio`e ed inoltre la reazione Φ |ΦT | ≤ µ|ΦN |

(B.12)

162

APPENDICE B. RIMASUGLI

Appendice C

Sistemi di forze C.1

Forze su corpi rigidi

C.1.1

Sistemi equivalenti

Sovente si devono studiare corpi rigidi sui quali agiscono diverse forze. Sorge allora l’esigenza di stabilire quando due insiemi di forze sono equivalenti agli effetti dell’equilibrio per poter sostituire tale sistema di forze con un sistema equivalente composto dal minor numero possibile di forze. Si vedr`a che in casi eccezzionali un sistema pu`o essere equivalente al sistema nullo (nessuna forza); in altri ad una sola forza; in altri ancora a due forze (una coppia) e, in generale, a non pi`u di tre forze (una forza e una coppia). Per dimostrare questo si devono introdurre tre postulati, ovvero tre propriet`a che risultano soddisfatte per i corpi rigidi. • una forza applicata in un punto generico di un corpo rigido si pu`o spostare lungo la sua retta di azione senza alterare lo stato di equilibrio o di moto del corpo; • due forze applicate in uno stesso punto di un corpo rigido possono sostituirsi con la loro risultante applicata nel punto (anche per corpi deformabili); • in un generico punto di un corpo rigido si possono aggiungere due forze opposte senza alterare lo stato di equilibrio o di moto del corpo (anche per corpi deformabili).

C.1.2

Riduzione di un sistema di forze

Consideriamo un corpo rigido, come in figura (??) e limitiamoci a considerare tre forze F~1 , F~2 , F~3 applicate in tre punti A1 , A2 , A3 . Sar`a immediato rendersi conto 163

164

APPENDICE C. SISTEMI DI FORZE

che le operazioni che effettueremo si possono estendere ad un numero qualsiasi di forze. MQ F3

Q

Q

A3 A2 F2

F1

R

A1

a)

b)

Figura C.1. Un sistema di forze applicate ad un corpo rigido si pu`o ridurre ad una sola forza applicata ad un punto prefissato e ad una coppia, descritta da un momento.

Fissiamo un generico punto Q del corpo rigido (o fuori del corpo purch´e solidale con esso), che chiameremo polo e proponiamoci di ridurre tutte le forze a quel polo. Consideriamo la forza F~1 . Applichiamo nel polo Q due forze opposte di direzione e modulo uguali ad F1 : per il terzo postulato non avremo alterato lo stato di equilibrio o di moto del corpo rigido. M Q1

Q

F1

coppia

A1

F1

Figura C.2. L’operazione di trasporto di una forza ad un polo Q comporta l’aggiunta di una coppia.

Riguardiamo ora la forza in Q parallela, eguale ed equiversa alla F~1 come la forza F~1 trasportata in Q e le due forze parallele e controverse, la F~1 applicata in A1 e la −F~1 applicata in Q come formanti una coppia. In altre parole, con il procedimento descritto la forza F~1 e` stata portata in Q, fuori dalla sua retta d’azione,

C.1. FORZE SU CORPI RIGIDI

165

facendo intervenire una coppia correttiva. Tale coppia pu`o essere rappresentata da ~ Q,1 che applicheremo in Q. Questa operazione pu`o essere un vettore momento M ripetuta per le altre forze. Il risultato e` che ci ritroviamo in Q tre forze e tre momenti. Sommando separatamente le forze ed i momenti in Q otterremo nel polo ~ ed un momento risultante M ~ Q. una forza risultante R Dal momento che questa operazione pu`o essere fatta qualunque sia il numero di forze e qualunque siano i loro punti di applicazione, ne verr`a che qualunque sistema di forze applicate ad un corpo rigido si pu`o sostituire con un sistema equivalente costituito da una forza risultante applicata in un polo prefissato e da ~ Q pu`o essere visto come un momento applicato nello stesso punto. Il momento M momento di una coppia: ne viene che un sistema di forze applicate ad un corpo rigido si pu`o sempre ridurre ad una forza applicata in un punto e ad una coppia. ~= R

N X

F~k

~Q = M

(Ak − Q) × F~k .

(C.1)

k=1

k=1

C.1.3

N X

Come varia il momento al variare del polo.

~ sar`a indipendente dal polo scelto mentre il momento E` evidente che la risultante R ~ M dipender`a dal polo. Per convincersene basta esaminare il caso di una sola forza con polo Q scelto sulla sua retta d’azione o fuori della sua retta d’azione: nel primo caso il momento e` nullo, nel secondo caso e` diverso da zero. Intanto ci possiamo chiedere come varia il momento al variare del polo. Se indichiamo con Q0 un nuovo polo avremo: ~ Q0 = M

N X

~Q = (Ak − Q0 ) × F~k = M

N N X X ~ Q + (Q − Q0 ) × [(Ak − Q) + (Q − Q0 )] × F~k = M F~k k=1

k=1

k=1

(C.2) ovvero ~ Q0 = M ~ Q + (Q − Q0 ) × R ~ M

(C.3)

Questa formula dice come varia il momento del sistema di forze al variare del polo. Si chiama formula del trasporto del momento.

C.1.4

Propriet`a del momento

Una prima propriet`a si manifesta osservando che se Q e Q0 si trovano su una retta ~Q = M ~ Q0 in quanto (Q − Q0 ) × R ~ = 0. parallela alla risultante si ha M Una seconda propriet`a si manifesta moltiplicando scalarmente ambo i membri dell’uguaglianza per la risultante: ~Q · R ~= M ~ Q0 · R ~ M

(C.4)

166

APPENDICE C. SISTEMI DI FORZE

La grandezza def ~Q · R ~ I = M

(C.5)

prende il nome di invariante scalare. Dal momento che la risultante non dipende dal polo, indicato con ~u il versore della risultante, come mostra la figura (??) MQ F3

Q A3

u

R F2 A 2

F1 A1

a) Figura C.3. Il versore della risultante

ne viene che anche ~ R (C.6) R non dipende dal polo. Questa quantit`a e` la proiezione del vettore momento lungo la direzione della risultante. Dunque il vettore momento dipende dal polo ma la sua proiezione lungo la direzione della risultante non dipende dal polo ovvero e` invariante. || def ~ MQ = MQ · ~u

C.1.5

con

~u =

Ricerca di un polo privilegiato

Dal momento che la componente del momento lungo la direzione della risultante non dipende dal polo mentre il momento varia col polo, ne viene che la componente perpendicolare alla risultante cambia in funzione del polo. Ci proponiamo di vedere se esiste un polo privilegiato per il quale la componente perpendicolare e` nulla. La componente perpendicolare si pu`o scrivere ~⊥ = M ~Q − M ~ || = M ~ Q − (M ~ Q · ~u) ~u M Q Q

(C.7)

Consideriamo un polo strategico: l’origine del sistema di assi cartesiani O. Potremo scrivere ~⊥ = M ~ O + (O − Q) × R ~− I R ~ (C.8) M Q R2

C.1. FORZE SU CORPI RIGIDI

167

Poniamoci la domanda: esiste un polo S tale che MS⊥ = 0 ?. Dovr`a essere ~ O + (O − S ) × R ~− I R ~=0 M R2

(C.9)

ovvero, esplicitando il vettore che contiene il punto incognito S dovr`a essere ~ ~=M ~ O − I R. (S − O) × R R2

(C.10)

A destra dell’uguaglianza abbiamo una quantit`a che si pu`o calcolare, a sinistra abbiamo un vettore incognito, (S − O). Dobbiamo risolvere questa uguaglianza. per semplicit`a indichiamo con ~b il secondo membro: dovremo risolvere l’equazione ~ = ~b. (S − O) × R

(C.11)

Con riferimento alla figura (??a) si vede intanto che se S −O e` un vettore soluzione ~ e` una soluzione in e λ e` un generico numero reale, anche il vettore (S − O) + λ R ~ ~ quanto il prodotto R × R ≡ 0. b a u u

R S

O

O

a

u a)

v

T

b)

Figura C.4. a) la determinazione di un punto S dell’asse centrale; b) il doppio prodotto vettoriale.

E` consigliabile determinare il punto T che si trova sulla retta per S parallela ad R. Infatti, tenendo conto della definizione di ~b e osservando che il versore ~ ha la forma ortogonale a ~b e a R ~t =

~b ~ R × R b

(C.12)

si ha ||T − O|| R = b

donde

  ~b  R ~ ~ × ~b b b  R (T − O) = ~t =  ×  = (C.13) R R R b R2

168

APPENDICE C. SISTEMI DI FORZE

ricordando la definizione di ~b data dalla (C.8) si ha ~ × M~O R (T − O) = (C.14) R2 Infine la retta passante per il punto T , parallela alla risultante, e` formata dai punti S che soddisfano l’equazione ~ × M~O R ~ + λ R. (C.15) R2 Questa speciale retta si chiama asse centrale del sistema di forze applicate al corpo rigido. Essa e` caratterizzata dal fatto che il momento rispetto a qualunque suo punto e` parallelo alla risultante. Inoltre, per il fatto che r  || 2  2 MS = (C.16) MS + MS⊥ (S − O) =

essendo invariante il primo termine ed essendo nullo il secondo ne viene che il momento e` minimo donde il nome di asse di minimo momento. z

R S

MT

F1

F3

x

F2

y

Figura C.5. L’asse centrale di un sistema di tre forze.

C.1.6

Casi particolari: forze piane

Nel caso di un sistema di forze piano considerato un punto Q del piano i momenti delle forze sono tutti perpendicolari al piano e quindi l’invariante scalare e` nullo e quindi e` nulla la componente parallela alla risultante (che giace nel piano). Poich´e nei punti dell’asse centrale e` nullo anche la componente perpendicolare, ne viene che l’intero momento e` nullo rispetto ai punti dell’asse centrale. Quindi in un sistema di forze piane l’asse centrale e` anche retta di applicazione della risultante. Ovvero: l’intero sistema e` equivalente alla sola risultante applicata sull’asse centrale.

C.1. FORZE SU CORPI RIGIDI

C.1.7

169

Casi particolari: forze parallele

E` notevole il caso in cui le forze siano tutte parallele: e` questo il caso delle forze peso. Anche in questo caso i momenti delle singole forze, e quindi il momento totale, e` perpendicolare alla direzione comune delle forze. Ne viene che l’asse centrale e` luogo di momento nullo, essendo nulle tanto la componente parallela che la componente perpendicolare alla risultante. Ne viene che, anche in questo caso, l’asse centrale e` anche retta di applicazione della risultante. Indicato con ~u il versore della risultante, sar`a   N  N  X X      ~  F~k =  R = Fk  ~u = R ~u      1 1  N  (C.17)  N  X X      ~  M = (Ak − O) × F~k =  (Ak − O)Fk  × ~u    O 1

1

donde  PN ~ × M ~O (Ak − O)Fk R  ~ S −O= + λ R = ~u ×  1 × 2 R R

  ~ ~u + λ R

(C.18)

Orbene, indicando con ~a un vettore, con riferimento alla figura (??b), si vede che ~u × ( ~a × ~u) = ~v = ~a − (~a · ~u) ~u

(C.19)

donde PN S −O=

1

  PN (Ak − O)Fk   1 (Ak − O)F k − λ R − · ~u ~u. R R

(C.20)

A questo punto si fa la sorprendente constatazione che scegliendo il valore di λ che annulla il termine fra parentesi quadre si ottiene un vettore (C − O) che non dipende dalla direzione ~u e quindi si ottiene il punto C tale che N X

C−O=

(Ak − O)Fk

1

R

.

(C.21)

Questo significa che cambiando la direzione a tutte le forze parallele, cambia ~u, ma non cambiando i moduli delle forze, viene individuato un punto C che e` l’intersezione di tutti gli assi centrali. Questo speciale punto si chiama centro delle forze parallele, ed e` rappresentato in figura (??). Risulta allora che il sistema delle forze parallele applicate ad un corpo rigido e` equivalente alla sola risultante applicata nel centro del sistema di forze.

170

APPENDICE C. SISTEMI DI FORZE

C

F1 F2

F1 F2

Figura C.6. Il centro di un sistema di due forze parallele.

Nel caso particolare delle forze peso tale centro prende il nome di baricentro. In questo caso si usa indicare con pk i pesi e con G il baricentro. Quindi si ha la formula N X (Ak − O)pk G−O=

1

R fine

.

(C.22)

Appendice D

Le diverse meccaniche D.1

Le diverse meccaniche

• • • • • • • • • • • • • •

meccanica classica meccanica atomica meccanica quantistica meccanica teorica meccanica celeste meccanica analitica meccanica relativistica meccanica lagrangiana meccanica hamiltoniana meccanica dei gas meccanica dei fluidi meccanica dei solidi rigidi meccanica dei solidi deformabili meccanica statistica

meccanica classica=(sinonimo) meccanica razionale meccanica teorica (mecc. analitica; mecc. celeste; mecc. lagrangiana; mecc. hamiltoniana) meccanica atomica =meccanica quantistica meccanica dei gas=gasdinamica meccanica dei fluidi=fluidodinamica meccanica dei solidi rigidi=meccanica classica meccanica dei solidi deformabili (si studia in scienze delle costruzioni) meccanica statistica 171

172

APPENDICE D. LE DIVERSE MECCANICHE meccanica relativistica        perfetti (o ideali)   gas     reali                perfetti (o ideali)     liquidi       viscosi (o reali)     corpi     rigidi (o ideali)                 elastici                plastici    solidi           deformabili (o reali)           viscoelastici anelastici                  ecc   

Appendice E

Dizionario [NB: tutti i termini devono essere al singolare] ♣ eccezione: modi normali, Per comprendere una scienza, qualunque scienza, occorre intendersi sui suoi termini. Questo e` ovvio. Poich´e alcuni termini della meccanica sembrano intuitivi in quanto usati nel linguaggio comune, finisce che lo studente ha una cognizione approssimativa, se non errata, di alcuni di essi. A questo si aggiunge il fatto che durante una interrogazione lo studente e` tenuto a rispondere alle domande e deve quindi, nella sua mente, organizzare una risposta. Per fare ci`o occorre imparare ad esprimersi presentando la nozione a partire dalle premesse, mettere in evidenza le nozioni essenziali prima di quelle secondarie. Viene allora opportuno avere degli esempi di risposte da dare a domande del tipo: cosa e` un atto di moto? cosa e` il fattore di amplificazione dinamica? cosa sono i gradi di libert`a di un sistema? cosa e` un vincolo anolonomo? E cos`ı via. ♣ Il dizionario che presentiamo favorisce il ripasso delle nozioni di meccanica, pu`o essere consultato per chiarire una nozione e infine pu`o aiutare a organizzare le risposte a possibili domande d’esame. accelerazione ~a • accelerazione media, nel moto di un punto, considerando le velocit`a del punto a due istanti diversi il rapporto tra la variazione della velocit`a e la durata dell’intervallo prende il nome di accelerazione media del punto nell’intervallo: v def ∆~ ~a¯ = (E.1) ∆t • accelerazione istantanea, e` limite della accelerazione media per ∆t −→ 0 ∆~v d~v def ~a = lim = (E.2) ∆t−→0 ∆t dt 173

174

APPENDICE E. DIZIONARIO Questa e` comunemente chiamata accelerazione del punto all’istante considerato. L’accelerazione di un punto giace nel piano osculatore [vedi] alla traiettoria nel punto considerato. Ne viene che l’accelerazione (istantanea) ha una componente tangenziale [vedi] ed una normale [vedi] . La misura di una accelerazione fornisce sempre una accelerazione media. L’unit`a di misura della velocit`a e` il metro al secondo, simbolo m/s.

accelerazione angolare ~γ Considerato un corpo rigido si chiama accelerazione angolare la derivata della velocit`a angolare [vedi]. In un moto rigido piano e` sufficiente considerare la grandezza scalare α indicata nella equazione (E.3 a sinistra) mentre in un moto generico nello spazio si deve considerare il ~ indicato nella equazione (E.3 a destra): vettore α scalare

α=

dω dt

vettore

~= α

~ dω dt

(E.3)

Si noti che l’accelerazione angolare e` un attributo di un corpo rigido e quindi non ha un naturale punto di applicazione: si tratta di un vettore libero. Se consideriamo un punto che descrive una circonferenza non ha senso di parlare di accelerazione angolare del punto: si pu`o invece parlare di accelerazione angolare del raggio che congiunge il centro della circonferenza con il punto in moto. L’unit`a di misura della accelerazione angolare e` il radiante al secondo per secondo e si scrive rad/s2 . accelerazione centrifuga Nel moto di una particella, scelto un punto come polo, si chiama accelerazione centrifuga la componente del vettore accelerazione nella direzione del raggio vettore con origine nel polo e con il verso che fugge da esso. ♣ In un moto centrale [vedi] il polo pi`u naturale e` il centro del moto. Ad esempio quando una particella alfa, che ha una carica elettrica positiva, e` lanciata contro un nucleo, pure esso con carica positiva, essa viene respinta e quindi l’accelerazione, come la forza, e` centrifuga. assipeta. accelerazione centripeta Nel moto di una particella, scelto un punto come polo, si chiama accelerazione centripeta la componente del vettore accelerazione nella direzione del raggio vettore con origine nel polo quando questa sia diretta verso il centro. ♣ Ad esempio una particella vincolato ad una circonferenza possiede una componente normale e tangenziale: scelto il centro della circonferenza come polo, la componente normale e` centripeta. In un moto centrale [vedi] il polo pi`u naturale e` il centro del moto. Nel moto

175 dei pianeti attorno al sole l’accelerazione, come la forza di attrazione, e` centripeta. accelerazione di Coriolis In un sistema di riferimento non inerziale [vedi] si chiama accelerazione di Coriolis di un punto mobile la quantit`a ~a cor = ~ × ~v rel essendo ~v rel la velocit`a del punto relativa la sistema di riferimento 2ω mobile. accelerazione di trascinamento In un sistema di riferimento non inerziale [vedi] si chiama accelerazione di trascinamento di un punto mobile l’accelerazione che il punto avrebbe rispetto al riferimento inerziale qualora lo si immagini congelato nel riferimento mobile. In altre parole e` l’accelerazione di trascinamento ad un istante e` quella con cui il punto sarebbe trascinato qualora fosse fissato nel riferimento mobile nella posizione in cui si trova all’istante. accelerazione normale E` la componente della accelerazione secondo la normale alla traiettoria. Se indichiamo con s l’ascissa curvilinea del punto sulla traiettoria, l’accelerazione normale e` data da an = s˙2 /r essendo r il raggio del cerchio osculatore. accelerazione relativa In un sistema di riferimento non inerziale [vedi] si chiama accelerazione relativa di un punto mobile la accelerazione del punto valutata rispetto al riferimento. Si veda .... accelerazione tangenziale E` la componente della accelerazione secondo la tangente alla traiettoria. Se indichiamo con s l’ascissa curvilinea del punto sulla traiettoria, l’accelerazione tangenziale e` data da at = s¨. afelio punto dell’orbita terrestre che e` pi`u lontano al sole ampiezza di una oscillazione. Data una particella in moto periodico lungo una retta, l’ampiezza dell’oscillazione e` il massimo spostamento della particella dalla sua posizione di riposo. angoli di Eulero sono tre angoli che definiscono l’orientazione nello spazio di un corpo rigido. Sono usati nello studio dei giroscopi ed in astronomia. Considerata una terna fissa (O, X, Y, Z) ed una solidale con il corpo rigido (O, x, y, z) si opera nel modo seguente: 1. si ruota la terna mobile attorno all’asse z di un angolo ϕ che si chiama angolo di precessione: 0 ≤ ϕ ≤ 2π. L’asse x ruotato rispetto all’asse X prende il nome di asse dei nodi.

176

APPENDICE E. DIZIONARIO 2. si ruota la terna mobile attorno all’asse dei nodi x di un angolo θ che si chiama angolo di nutazione: 0 ≤ θ ≤ π. 3. si ruota la terna mobile di nuovo attorno all’asse z di un angolo ψ che si chiama angolo di rotazione propria: 0 ≤ ψ ≤ 2π.

angoli nautici ed aeronautici: sono angoli che servono ad individuare la orientazione di un corpo rigido nello spazio. Sono usati per le auto, per le navi e per gli aerei. Sono tre: angolo di beccheggio, angolo di rollio e angolo di imbardata. ascissa curvilinea di un punto lungo una curva. Fissato un punto P0 della curva, chiamato origine, e fissata una orientazione su di essa mediante un senso di percorso, si chiama ascissa curvilinea del punto P la lunghezza dell’arco di linea P0 P presa con il segno positivo o negativo secondo che P segua P0 o lo preceda. asse centrale di un sistema di vettori applicati ad un corpo rigido: e` il luogo geometrico dei punti rispetto ai quali il modulo del momento totale del sistema e` parallelo alla risultante ed in particolare pu`o essere nullo. asse di istantanea rotazione nel moto piano di un corpo rigido e` l’asse dell’atto di moto rotatorio [vedi]. asse di moto e` l’asse dell’atto di moto elicoidale [vedi]. asse di rotazione di un moto rigido: e` l’asse attorno al quale ruota un corpo rigido. Esempio la retta congiungente i cardini di una porta. assi principali d’inerzia di un corpo rispetto ad un punto. Considerato il fascio di rette passanti per il punto ed il momento d’inerzia del corpo rispetto a ciascuna retta, gli assi principali d’inerzia sono quelle rette del fascio per il quale il momento d’inerzia e` stazionario. Questo significa che dato un asse principale d’inerzia, per rette che siano inclinate di un piccolo angolo α sull’asse principale, la variazione del momento d’inerzia e` un infinitesimo di ordine superiore ad α. asta un sistema continuo unidimensionale, e come tale rappresentabile da una linea, dotato di rigidezza flessionale. Tipicamente una lama d’acciaio, una bacchetta, un bastone. Viene chiamata anche verga. atto di moto di un sistema ad un dato istante: e` l’insieme delle velocit`a di tutti i punti del sistema a quel dato istante.

177 atto di moto elicoidale e` quell’atto di moto di un sistema rigido in cui il vettore velocit`a angolare ω e` parallelo al vettore velocit`a di traslazione. atto di moto rotatorio e` l’atto di moto di un corpo rigido in cui due punti hanno velocit`a nulla ad un determinato istante. Ne viene che tutti i punti della retta che passa per i due punti hanno velocit`a nulla. Tale retta prende il nome di asse istantaneo di rotazione. Esso e` tipico del corpo rigido, ma non esclusivo in quanto anche un sistema deformabile pu`o subire uno spostamento rigido. atto di moto traslatorio e` l’atto di moto di un corpo rigido in cui tutti i punti hanno la medesima velocit`a ad un determinato istante. Esso e` tipico del corpo rigido, ma non esclusivo in quanto anche un sistema deformabile pu`o subire uno spostamento rigido. atto di moto virtuale e` l’insieme delle velocit`a virtuali assegnate ai punti di un sistema. attrito dinamico attrito di rotolamento o attrito volvente e ...♣ attrito statico e` la causa della resistenza al moto che si manifesta fra due corpi a contatto nel punto in cui le due superfici si toccano supposto che la velocit`a relativa sia nulla (ad esempio ruota che rotola). Esso dipende dalla natura e dallo stato di lavorazione delle superfici a contatto. Si manifesta con una forza tangenziale (attrito radente) ed una coppia che si oppone alla rotazione di una superficie rispetto all’altra attorno alla normale comune nel punto di contatto (attrito di giro). azione E` una grandezza fisica molto usata nella meccanic analitica [vedi] ed in fisica teorica. E` il prodotto dell’energia per il tempo. Si distinguono due tipi di azione [49, p.♣ ], • l’azione lagrangiana, che e` definita da[47] ♣ AL =

Z

t1

X

pk dqk

(E.4)

• l’azione hamiltoniana definita da Z t1 AH = (T − V) dt

(E.5)

t0

t0

k

178

APPENDICE E. DIZIONARIO

azione assiale e` la forza che si deve applicare in un punto di un’asta o di una trave in direzione dell’asse della trave, per mantenere l’equilibrio quando si operi una sezione della trave. Si intende che per l’equilibrio occorre anche una azione di taglio [vedi] ed un momento flettente [vedi] . azione di taglio e` la forza T~ che si deve applicare in un punto di un’asta o di una trave in direzione normale all’asse e quindi parallelamente alla sezione normale dell’asta, per mantenere l’equilibrio quando si operi una sezione. Si intende che per l’equilibrio occorre anche una azione normale [vedi] ed un momento flettente [vedi] . azioni interne in un’asta. Immaginando di operare una sezione nell’asta, per mantenere in equilibrio le due parti occorre applicare sulle due facce della sezione due forze opposte e due coppie opposte. Ciascuna di queste rappresenta l’azione che la parte rimanente dell’asta esercitava sull’altra prima della sezione. Le forze e le coppie costituiscono le azioni interne. Le azioni interne sono tre: l’azione di taglio, l’azione assiale ed il momento flettente. baricentro e` il centro [vedi] del sistema dei vettori peso supposti tutti paralleli fra loro. E` anche chiamato centro di gravit`a e lo si indica con G. base del moto detta anche polare fissa o semplicemente base. Dato un moto rigido piano si chiama base la linea descritta dai centri di istantanea rotazione visti da un osservatore fisso col piano direttore. battimenti Nella sovrapposizione di due oscillazioni unidimensionali lungo la stessa direzione si d`a il caso che le frequenze siano molto vicine: in questo caso l’oscillazione risultante ha una ampiezza che aumenta e diminuisce periodicamente. Questo e` il fenomeno dei battimenti. binormale ad una linea in un suo punto: e` la retta perpendicolare sia alla tangente che alla normale principale. Con lo stesso nome si indica anche il versore ~b diretto come la binormale e orientato in modo che la terna di vettori tangente, normale e binormale, presi in quest’ordine, sia una terna destra. Esso e` dato dalla formula ~b = ~t × ~n (E.6) C campo conservativo e` un campo vettoriale per il quale la circolazione del vettore del campo lungo qualsivoglia linea chiusa e` nulla. Si intende che, se il vettore e` variabile nel tempo, la circolazione viene fatta congelando il tempo. Il campo si dir`a conservativo se la circolazione e` nulla ad ogni istante.

179 campo scalare data una regione dello spazio (o del piano) si chiama campo scalare una legge che associa ad ogni punto della regione una grandezza scalare (cio`e una grandezza caratterizzata da un numero). campo scalare armonico e` un campo scalare descritto da una funzione f (~r) la cui laplaciana e` nulla in ogni punto della regione: ∆ f (~r) = 0 o anche ∇2 f (~r) = 0. campo solenoidale e` un campo vettoriale descritto da un vettore funzione del posto ~v(~r) la cui divergenza e` nulla in ogni punto della regione: ∇ · ~v(~r) = 0. campo tensoriale una legge che associa ad ogni punto della regione una grandezza tensoriale. Esempio il campo del tensore d’inerzia Ihk , del tensore di deformazione hk e quello del tensore degli sforzi σhk nella meccanica dei continui. campo vettoriale data una regione dello spazio (o del piano) si chiama campo vettoriale una legge che associa ad ogni punto della regione una grandezza vettoriale (cio`e una grandezza caratterizzata da un vettore) campo vettoriale armonico e` un campo vettoriale descritto da un vettore funzione del posto ~v(~r) il cui laplaciano e` nullo in ogni punto della regione: ∆~v(~r) = 0. campo vettoriale irrotazionale e` un campo vettoriale descritto da un vettore funzione del posto ~v(~r) il cui rotore e` nullo in ogni punto della regione: ∇ × ~v(~r) = 0. Un campo vettoriale irrotazionale e` anche chiamato campo vettoriale potenziale in quanto esso si pu`o esprimere come gradiente di uno scalare: ~v = ∇ f (~r) = ∇ f (~r) centro di gravit`a e` il centro del sistema delle forze peso considerate come parallele e proporzionali alle masse. Coincide con il baricentro e lo si indica con G. centro d’istantanea rotazione in un moto rigido piano ad un istante considerato e` quel punto del corpo o, se esterno, solidale con esso che ha velocit`a nulla all’istante considerato. centro di massa di un sistema meccanico: e` quel punto nel quale ponendo una massa puntiforme uguale alla massa del sistema il suo momento statico rispetto a qualunque piano coincide con quello dell’intero sistema rispetto a quel piano. Esso e` dato dalla formula n n X 1X (Pk − A)mk essendo m = mk (E.7) (C − A) = m k=1 k=1

180

APPENDICE E. DIZIONARIO

centro di un sistema di forze parallele e` il punto intersezione di tutti gli assi centrali relativi a diverse direzioni delle forze parallele. Esso e` il punto di applicazione della risultante, nel senso che applicando in esso la risultante di tutte le forze esso e` equivalente all’intero sistema di forze, qualunque sia la loro direzione. cerchio osculatore ad una linea in un punto: e` il cerchio limite di una successione di cerchi passanti per tre punti della curva quando i tre punti tendono al punto considerato. circolazione di un vettore lungo una linea L: e` la grandezza scalare che si ottiene Rintegrando il prodotto scalare del vettore del campo per il vettore d~r: C = ~v(~r) · d~r. Nel caso in cui il vettore sia variabile nel tempo la circolazione L R e` valutata congelando il tempo: C(t) = L ~v(~r, ~t) · d~r. concordanza di fase detto di due vibrazioni o oscillazioni che raggiungono simultaneamente le posizioni estreme situate da una medesima parte (ad esempio verso destra, o in alto). configurazione di un sistema. E` la nozione che generalizza quella di posizione di un punto o di un corpo. Essa e` costituita dalla posizione di tutti i punti del sistema ad un dato istante. Le figure di una danzatrice classica sono altrettante configurazioni del suo corpo. coordinate libere o coordinate lagrangiane o coordinate generalizzate: sono un insieme di coordinate indipendenti in numero sufficiente ad individuare la configurazione di un sistema meccanico [49, v.I, p.6]. Si richiede che ad ogni configurazione del sistema corrisponda un solo valore delle coordinate e viceversa. Si indicano con qk o con qk . coppia e` l’insieme di due forze opposte con rette di applicazione parallele. coppie equivalenti due coppie si dicono equivalenti quando hanno lo stesso piano, la stessa orientazione e lo stesso modulo. corpo rigido Cosa e` un corpo rigido? La quasi totalit`a dei testi di fisica e, in particolare di meccanica, definisce un corpo rigido come un corpo le cui distanze rimangono invariate qualunque sia il moto del corpo e le forze che agiscono su di esso. In un assalto di scrupolo alcuni autori precisano che in Natura nessun corpo e` rigido ma che si tratta di una idealizzazione. Questa definizione non e` accettabile: la fisica non e` la matematica. Cosa vuol dire che le distanze tra le coppie di punti rimangono invariate? Una

181 distanza deve essere misurata! Con che cosa? con un qualche metro. E il metro usato, a sua volta e` rigido? Come si vede la definizione si mangia la coda ovvero e` una tautologia. La soluzione della tautologia e` molto pi`u prosaica: si tratta di scegliere un certo numero di corpi come candidati a costituire regoli campioni. Usando il confronto diretto si fanno tutti della stessa lunghezza, a meno di una tolleranza prestabilita, ad esempio di 1 mm. Si sottopongono questi candidati campioni a trazione, compressione e riscaldamento entro certi limiti di forza e di temperatura. Si confrontano di nuovo le lunghezze dei candidati e si scartano quelli che si discostano di pi`u dalla media. I regoli che mantengono la stessa lunghezza (con la tolleranza prestabilita) costituiscono i campioni che arbitrariamente chiameremo rigidi. Come si vede e` tutto molto deludente dal punto di vista matematico. Ma la Matematica, che e` una scienza del Pensiero, vive in un mondo ideale e deve il suo enorme successo alla astrazione. Al contrario la Fisica, che e` una scienza della Natura, vive in un mondo reale e deve fare i conti con le cose concrete. Essa deve il suo enorme successo al continuo confronto con l’esperienza ovvero alla concretezza! Si noti ancora che, secondo la teoria della relativit`a, la lunghezza di un regolo dipende dallo stato di moto: questo fatto rende inaccettabile, in relativit`a, anche la stessa definizione operativa di corpo rigido appena data. curvatura di una linea in un suo punto: e` l’inverso del raggio R del cerchio osculatore alla linea nel punto: γ = 1/R. Tale numero e` positivo, nullo o negativo essendo il raggio di curvatura positivo, infinito o negativo. curvatura di una superficie in un suo punto. Considerata la retta normale alla superficie in un suo punto si consideri il fascio di piani passante per tale retta. Ciascuno di essi interseca la superficie lungo una linea. Si esamini la curvatura di ciascuna linea [vedi], tenendo conto del suo segno. Vale a dire, fissato un senso sulla normale come positivo, alcune linee possono avere il centro di curvatura dalla parte positiva della superficie, altre possono averlo dalla parte negativa. La curvatura delle prime si dir`a positiva, quella delle seconde negativa. Fra tutte le curvature cerchiamo la massima e la minima (sempre tenendo conto del segno). Queste due curvature sono relative a due direzioni tangenti alla superficie nel punto che prendono il nome di direzioni principali e le corrispondenti curvature si chiamano curvature principali e si indicano con kmin e kmax [46, p.194]. Si distinguono due tipi di curvature.

182

APPENDICE E. DIZIONARIO • la curvatura media H della superficie nel punto e` definita dalla media delle curvature principali: H = (kmin + kmax )/2.♣ La curvatura media pu`o essere positiva, nulla o negativa. • la curvatura totale K della superficie nel punto e` definita dal prodotto delle curvature principali: K = kmin kmax . Anche la curvatura totale pu`o essere positiva, nulla o negativa. E` anche chiamata curvatura gaussiana.

D dinamometro strumento per la misura delle forze. Esso si basa sulla deformazione elastica che un corpo pu`o subire quando su di esso si esplica l’azione di un altro corpo in quite rispetto al primo. L’entit`a della forza si misura dalla entit`a dello spostamento subito dal corpo elastico previa opportuna taratura. divergenza di un vettore funzione del posto. Dato un campo vettoriale ~v(~r) si consideri un punto della regione in cui esso e` definito, una superficie chiusa contenente il punto e si valuti il flusso del vettore attraverso tale superficie: R Φ = ~v(~r) · ~ndS . Al tendere a zero del massimo diametro della superficie tende a zero sia la circolazione che il volume V racchiuso. Si constata che il limite del rapporto flusso/volume e` , in generale, una quantit`a finita: D = lim Φ/V. Tale scalare prende il nome di divergenza del vettore ~v nel punto considerato e si indica con div~v o anche ∇ · ~v. E ellisse d’inerzia data una lamina piana ed un fascio di rette passanti per un punto, si pu`o ottenere una curva indicatrice dei momenti d’inerzia rispetto alle diverse rette del fascio riportando su ogni retta uscente dal punto, da tutte e due le parti, un segmento di lunghezza uguale all’inverso della radice quadrata del momento d’inerzia relativo alla retta. Tale luogo geometrico e` una ellisse detta ellisse d’inerzia. ellissoide d’inerzia dato un corpo tridimensionale consideriamo un punto (dentro o fuori del corpo). Se per ogni semiretta uscente dal punto si riporta un segmento uguale all’inverso della radice quadrata del momento d’inerzia il luogo geometrico degli estremi del segmento e` un ellissoide detto ellissoide d’inerzia. elongazione in una vibrazione e` lo spostamento di un punto dalla posizione di riposo. energia cinetica E` l’energia che un corpo possiede per il fatto di essere in moto. E` definita come il lavoro che il corpo cede riducendosi alla quiete a anche

183 come il lavoro fatto sul corpo per portarlo dalla quiete a quello stato di moto. Si indica con T . Per una particella e` definita come Z p p2 ~v(~p) · d~p = T (~p) = (E.8) 2m 0 mentre per un sistema e` la somma delle energie cinetiche di tutte le particelle di cui e` composto. E` opportuno distinguere una energia cinetica macroscopica ed una microscopica T macro , quest’ultima dovuta al moto molecolare T micro . Quando mettiamo il formaggio nel frigo lo raffreddiamo ovvero diminuiamo la sua energia cinetica microscopica. [♣FUORI POSTO] Si noti che sarebbe meglio definire due energie cinetiche: quella data dalla formula precedente e l’energia cinetica complementare data da Z v 1 ~p(~v) · d~v = mv2 T ∗ (~v) = (E.9) 2 0 In meccanica classica queste due grandezze hanno lo stesso valore in quanto la p2 relazione ~p = m~v e` lineare e si ha 2m = 12 mv2 . Ma in meccanica relativistica esse sono distinte: s  r     2 2  p v    2 ∗ 2 T (~p) = m0 c  1 + − 1 T (~v) = m0 c 1 − 1 − 2  (E.10) (m0 c)2 c Si noti che anche in meccanica classica sarebbe bene scrivere il teorema dell’energia nella forma T + V = E, la funzione di Hamilton H = T + V e invece la funzione di Lagrange L = T ∗ − V. La coincidenza tra T e T ∗ in meccanica classica rende superflua questa distinzione e spiega perch´e non sia comunemente usata. Si veda Sommerfeld, v.III

energia interna di un sistema meccanico: e` la somma dell’energia potenziale interna e dell’energia cinetica microscopica dovuta ai moti molecolari. def Indicata con U essa si esprime cos`ı: U = V int + T micro . Si veda ....♣ energia potenziale Consideriamo un sistema meccanico soggetto a vincoli fissi e a forze indipendenti dal tempo. Consideriamo una sua configurazione di riferimento e la configurazione attuale. Si chiama energia potenziale del sistema nella configurazione attuale il lavoro che il sistema fornisce passando dalla configurazione attuale a quella di riferimento in assenza di attriti e di resistenze aerodinamiche. In modo equivalente: si chiama energia potenziale del sistema nella configurazione attuale il lavoro che dall’esterno si deve fornire al sistema per portarlo dalla configurazione di riferimento a quella attuale. Il simbolo e` V.

184

APPENDICE E. DIZIONARIO O. Si noti che V, U ... ♣ [osservazione gi`a fatta?] Essa e` quindi l’energia posseduta dal sistema in virt`u della sua configurazione e non del suo moto. Qualora le forze siano dipendenti dal tempo o i vincoli siano mobili il lavoro e` calcolato congelando il tempo ad un dato istante e quindi fissando i vincoli e le forze. In questo caso l’energia potenziale e` funzione del tempo. Essa si pu`o dividere in energia potenziale interna ed esterna a secondo che si prendano in considerazione le forze interne od esterne. Si veda ....♣

energia totale di un sistema e` la somma dell’energia cinetica e dell’energia podef tenziale del sistema: E = T + V. equilibrio indifferente e` una configurazione di equilibrio tale che se il sistema viene allontanato da quella configurazione esso rimane nella nuova configurazione. equilibrio instabile e` una configurazione di equilibrio tale che se il sistema viene allontanato da quella configurazione esso tende ad allontanarsi sempre pi`u. equilibrio stabile e` una configurazione di equilibrio tale che se il sistema viene allontanato da quella configurazione esso tende a ritornarvi. F fase in una oscillazione retta dall’equazione x(t) = A sin(ω t + ϕ0 ) il termine fase si riferisce all’argomento della funzione trigonometrica, vale a dire alla def grandezza ϕ = (ωt + ϕ0 ). Il termine ϕ0 prende il nome di fase iniziale. Si veda la voce oscillazioni. fattore di amplificazione dinamica consideriamo il moto oscillatorio di un sistema ad un grado di libert`a soggetto ad una forza impressa di tipo periodico, in particolare sinusoidale f = f0 sin(ωt) . Qualora agisse una forza costante f0 il sistema avrebbe un’elongazione statica x0 = f0 /k. Sotto l’azione della forza sinusoidale il sistema avr`a un’ampiezza A(ω) contenuta nella soluzione x(t) = A(ω)sin(ωt + ϕ) . Il rapporto tra A(ω) (massima elongazione dinamica) ed x0 (elongazione statica) prende il nome di amplificazione dinamica. filo e` un sistema continuo unidimensionale, e come tale rappresentabile da una linea, che sia perfettamente flessibile. Per quanto possa sembrare strano il tipico esempio di filo e` ... una catenella in quanto non offre resistenza alla flessione. Un comune filo di lana, di seta, di plastica, di acciaio ha

185 una resistenza alla flessione: la prova si ha nel fatto che volendogli dare una forma arbitraria esso reagisce in misura pi`u o meno grande prendendo una configurazione diversa. Al contrario una catenina, come quelle che portiamo appesa al collo, rimane nella configurazione che gli abbiamo data e quindi non offre resistenza alla flessione. ` flusso di un vettore ~v attraverso R una superficie. E la grandezza Φ ottenuta ese~ guendo l’integrale Φ = S ~v · d S sulla superficie S . forza e` la grandezza vettoriale che descrive l’azione su un corpo da parte di altri corpi o di altre parti dello stesso corpo. Se tanto il corpo che subisce l’azione quanto quello la esercita sono in quiete essa si misura con il dinamometro. Nel caso in cui l’uno o l’altro o entrambi i corpi sono in moto, la grandezza pi`u facilmente misurabile e` l’impulso [vedi] che si misura con l’impulsometro [vedi] ed allora la forza media e` il rapporto tra l’impulso ~I comunicato al corpo durante un intervallo di tempo τ e l’intervallo stesso. La forza istantanea e` il limite di tale rapporto. forza aerodinamica vedi resistenza aerodinamica. forza apparente nome dato ad una forza che si manifesta in un riferimento non inerziale e che non e` causata dall’azione di altri corpi. Sono di due tipi: la forza centrifuga [vedi] e la forza di Coriolis [vedi]. forza assifuga letteralmente fugge da un asse. Nome poco usato, ma pi`u opportuno di forza centrifuga, letteralmente fugge da un centro. forza assipeta letteralmente va verso un asse. Nome poco usato, ma pi`u opportuno di forza centripeta, letteralmente va verso un centro. forza attiva e` una forza che si esercita sul sistema che non e` dovuta ai vincoli. Termine da usare in contrapposizione al termine forza reattiva che e` quella generata da un vincolo. forza centrifuga la forza apparente che fugge da un centro presente in un sistema di riferimento rotante quando ci si limiti a vederlo in due dimensioni. Guardandolo in tre dimensioni non esiste un centro, ma bens`ı un asse, quello di rotazione, e la forza dovrebbe chiamarsi assifuga. forza centripeta la forza che punta verso un centro. Tipica e` la reazione vincolare in un sistema di riferimento rotante quando ci si limiti a vederlo in due dimensioni. Guardandolo in tre dimensioni non esiste un centro, ma bens`ı un asse, quello di rotazione, e la forza dovrebbe chiamarsi assipeta.

186

APPENDICE E. DIZIONARIO

forza conservativa e` una forza dipendente dal posto per la quale la circolazione lungo qualsiasi cammino chiuso e` nulla. forza di Coriolis e` una forza apparente, presente in un riferimento non inerziale (ad esempio una giostra) che si manifesta su una particella dotata di velocit`a relativa. Ad esempio l’omino che ritira i biglietti su una giostra durante la rotazione, finch`e st`a fermo sperimenta solo la forza centrifuga, quando si ~ × ~vr . muove sperimenta anche la forza di Coriolis: f~ = 2 ω forza d’inerzia di un corpo e` l’opposto del prodotto della massa di un corpo per def l’accelerazione del suo baricentro G: f~in = −m ~aG . forza dissipativa sinonimo di forza resistente. forza di superficie e` una forza che si applica agendo sulla superficie di un corpo. Tale e` una forza aerodinamica (su un pallone, su una palla da tennis, su una palla da ping pong, su un’auto, un aereo, un uccello, ecc.); quella esercitata dall’acqua sulla carena di una nave, su un pesce, su un sottomarino; quella dovuta all’attrito ad esempio quando solleviamo una bottiglia stringendo con una mano il collo della bottiglia; quella con la quale teniamo in braccio un bambino o portiamo in spalla una cassa. Le forze di superficie sono forze a contatto. forza di volume e` una forza che si applica su un corpo agendo direttamente sulle particelle che lo compongono. Tale e` la forza peso, la forza d’inerzia, la forza elettrica o magnetica agente su un dielettrico che d`a luogo alla polarizzazione elettrica e magnetica. Le forze di volume sono forze a distanza vale a dire forze che non agiscono per contiguit`a nella materia. forza elastica e` una forza propozionale allo spostamento dalla sua posizione di equilibrio e che ha senso opposto allo spostamento. E` tipicamente la forza esercitata da una molla ideale [vedi]. forza esterna ad un sistema: e` una forza che si esercita sul sistema e che proviene dall’esterno. Le forze nascono sempre a due a due e sono opposte: la somma di quelle che si esercitano su un sistema non e` in generale nulla. Un galleggiante in equilibrio e` soggetto a due forze esterne: la spinta idrostatica (forza di superficie) e quindi forza a contatto ed il suo peso (forza di volume) e quindi forza a distanza e la loro somma e` nulla. forza generalizzata sono le quantit`a Qh =

N X k=1

∂~rk f~k · h ∂q

(h = 1, 2, ...., n)

(E.11)

187 essendo n il numero delle coordinate generalizzate. Esse nascono come coefficienti della forma differenziale lineare che d`a il lavoro virtuale in termini delle variazioni delle coordinate generalizzate W = ∗

N X

f~k · δ~rk =

k=1

n X

Qh δqh .

(E.12)

h=1

forza impulsiva una forza di breve durata. Generalmente e` una forza variabile e di notevole intensit`a. Tipiche sono quelle dovute a colpi, percussioni, esplosioni. forza interna ad un sistema: e` una forza che si esercita tra le parti che compongono il sistema. Le forze interne nascono sempre a due a due e sono opposte, quindi la loro somma e` sempre nulla (anche per un essere animato!). forza motrice forza che favorisce il movimento e quindi che fornisce energia ad un sistema meccanico. Tale e` il peso agente su un corpo in caduta, ad esempio il peso di un paracadutista. forza passiva sinonimo di forza resistente. forza posizionale e` una forza che dipende esclusivamente dal punto nel quale e` applicata, quindi non dipende n´e dal tempo n´e dalla velocit`a. Le forze posizionali danno luogo ai campi di forze. forza reattiva sinonimo di reazione vincolare. forza resistente e` una forza che ostacola il movimento e quindi che fa perdere energia al sistema meccanico. Opposto di forza motrice. Le forze dovute agli attriti sono generalmente resistenti ma possono essere motrici, ad esempio quando solleviamo una bottiglia circondandola con la mano. Le forze aerodinamiche possono essere resistenti, come quelle agenti sul paracadute o motrici, come quelle agenti sulla vela di una barca a vela. forza viscosa vedi resistenza viscosa. forza viva nome obsoleto per energia cinetica. L’antica denominazione forza viva (Leibnitz) rispecchia l’ambiguit`a della parola forza (vis viva contrapposta a vis mortix); ancora Helmholtz nel 1847 intitolava la sua Memoria relativa alla conservazione dell’energia Sulla conservazione delle forze[30, p.19].

188

APPENDICE E. DIZIONARIO

frequenza e` la grandezza che misura la rapidit`a di una oscillazione. Quando un punto in moto compie oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio la durata di una oscillazione completa, vale a dire andata e ritorno, prende il nome di periodo. Il numero di oscillazioni per secondo prende il nome di def frequenza: f = T1 . L’unit`a di misura e` l’hertz che si scrive Hz. Questa unit`a e` in onore del fisico tedesco Hertz. La frequenza si indica con uno dei due simboli f , ν. Si veda la voce oscillazioni. Nella pratica si usano anche 1 i giri al minuto o i battiti al minuto: 1 giro/minuto= 60 Hz. frequenze naturali di un sistema vibrante: sono quelle frequenze per le quali il sistema vibra mantenendo tutti i suoi punti in fase, vale a dire nella loro oscillazione essi raggiungono simultaneamente le posizioni estreme. [vedi modi normali]. def P funzione di Hamilton detta anche hamiltoniana. E` la grandezza H = k pk q˙ k − L essendo L al funzione di Lagrange, pk le quantit`a di moto generalizzate, qk le forze generalizzate. def funzione di Lagrange detta anche lagrangiana. E` la grandezza L = T − V essendo T l’energia cinetica e V l’energia potenziale.

G geodetica di una superficie: ogni linea congiungente due punti della superficie che sia di lunghezza stazionaria. Essa gode della propriet`a che la sua normale principale in un punto ha la stessa direzione, non necessariamente lo stesso verso, della normale alla superficie nel punto. Sul piano le geodetiche sono le linee rette; sul cilindro sono le eliche cilindriche circolari; sulla superficie sferica sono gli archi di cerchio massimo. gradi di libert`a di un sistema e` il massimo numero di spostamenti virtuali indipendenti che il sistema pu`o avere [50, p.13]; per un sistema olonomo e` uguale al numero di coordinate libere; per un sistema anolonomo e` uguale al numero di coordinate libere diminuito del numero di equazioni di legame non olonomo [49, v. I, p.6]. Alcuni autori definiscono il numero di gradi di libert`a come il minimo numero di coordinate che individuano la configurazione di un sistema [54, p.88], [43, p.135] ♣ Per un sistema olonomo e` il numero di coordinate libere [49, vol I, p. 6] ; per un sistema anolonomo e` il numero di coordinate libere diminuito del numero di equazioni di legame non olonomo[49, vol I, p. 6].

189 gradiente di una funzione del posto. Dato un campo scalare f (~r) si consideri un punto nella sua regione di definizione. Per ogni semiretta (orientata) uscente da tale punto si pu`o calcolare la derivata della funzione lungo la semiretta: d f /ds. Si constata che tale derivata, che dipende dal versore ~t ~ e del della semiretta, si pu`o scrivere come prodotto scalare di un vettore G ~ ~ ~ ~ vettore t, cio`e d f /ds = G · t. Il vettore G cos`ı definito prende il nome di gradiente della funzione scalare nel punto considerato. Esso ha la direzione di massima derivata normale. La derivata d f /ds prende il nome di derivata direzionale e anche di gradiente nella direzione considerata. Il gradiente si indica con grad f (r) o anche ∇ f (r). grado di vincolo Un vincolo geometrico toglie uno o pi`u gradi di libert`a al sistema: il numero di gradi di libert`a che toglie prende il nome di grado di vincolo. Il grado di vincolo di un sistema meccanico e` la somma dei gradi di vincolo di tutti i suoi vincoli. H hertz unit`a di misura della frequenza ed e` pari ad una oscillazione al secondo. I impulso grandezza fisica che esprime l’azione dinamica su un corpo da parte di altri corpi. E` solitamente definito come l’integrale del prodotto della forza per il tempo ma e` meglio definirlo come la grandezza dinamica misurata direttamente mediante un impulsometro [vedi] ad esempio un pendolo balistico. Si noti che e` in genereale difficile misurare la forza agente su un corpo in moto mentre e` facile misurare l’impulso. (si veda ...) impulso angolare sinonimo di momento angolare [vedi] e di momento della quantit`a di moto. impulsometro strumento per la misura degli impulsi. Esso si basa sulla deformazione elastica che un corpo pu`o subire assorbendo l’urto di un corpo in moto che lo colpisce. L’entit`a dell’impulso si misura dalla entit`a dello spostamento massimo subito dal corpo elastico previa opportuna taratura. inerzia e` un attributo dei corpi consistente nell’opporsi alla variazione dello stato di moto. integrale dell’energia afferma che in un sistema a vincoli fissi e non dissipativi soggetto a forze conservative la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale e` costante. In formule T + V = E in cui E e` chiamata energia totale.

190

APPENDICE E. DIZIONARIO

integrale primo del moto; termine con il quale si intende una relazione differenziale tra le coordinate di un sistema contenente solamente le derivate prime. ♣ Tipica conservaizone dell’energia T + V = E e la conservazione della ~= P ~ 0. quantit`a di moto P invariante scalare di un sistema di forze agenti su un corpo rigido: e` lo scalare ~·M ~ A essendo R ~ ed M ~ A rispettivamente la risultante ed il momento I = R risultante del sistema di forze risapetto ad un polo A. Esso ha la propriet`a di avere lo stesso valore per ogni scelta del polo A. iperstatico termine riferito ad un sistema in cui il grado di vincolo [vedi] superi il numero di gradi di libert`a. isocronismo in un moto oscillatorio il periodo cresce con l’aumentare dell’ampiezza delle oscillazioni. Se le oscillazioni sono di piccola ampiezza il periodo e` sensibilmente indipendente dall’ampiezza. In ci`o consiste l’isocronismo delle piccole oscillazioni isostatico termine riferito ad un sistema in cui il numero di gradi di libert`a coincide con il grado di vincolo e in pi`u non sia labile [vedi]. J joule unit`a di misura del lavoro nel Sistema Internazionale: esso e` il lavoro fatto dalla forza di un newton per lo spostamento di un metro. Una volta si usava il chilogrammetro, prodotto del chilogrammo-peso per un metro. Questa unit`a e` oggi obsoleta come lo e` il cavallo vapore per la potenza, la caloria per il calore, la atmosfera per la pressione, ecc. K kilogrammo unit`a di misura della massa nel Sistema Internazionale (SI). Originariamente definita come la massa di un litro di acqua alla temperatura di 4 gradi centigradi e` oggi precisata come la massa del campione depositato all’ufficio dei pesi e Misure a S´evres in Francia; ?♣ kilogrammo forza ♣ detto anche chilogrammo peso ♣[chilo?] unit`a di misura della forza nel vecchio sistema pratico, oggi da abbandonare per il Sistema Internazionale di unit`a di misura in cui l’unit`a di forza e` il newton: un kilogrammo-peso e` uguale a 9.81 N. L labile detto di un sistema discreto ♣ in cui il numero e la posizione dei vincoli sono tali da non mantenere fermo il sistema. ♣

191 laplaciana di una funzione del posto. Dato un campo scalare f (~r) ed un punto della sua regione di definizione si consideri la divergenza del vettore gradiente nel punto: tale funzione prende il nome di laplaciana della funzione nel punto e si indica con ∆ f (~r) o anche con ∇2 f (r). lavoro w, W Quando una forza agisce su un corpo essa compie un lavoro. Per definirlo e` conveniente esaminare i seguenti casi1 • forza costante. Si chiama lavoro di una forza costante f~ relativa ad uno spostamento ~s il prodotto scalare def W = f~ · ~s ≡ f~ · ∆~r.

(E.13)

Questo e` il caso del lavoro fatto dalla resistenza dell’aria su una automobile in moto a velocit`a costante. • forza variabile. Consideriamo un corpo in moto. Supponiamo che in un suo punto ~r agisca una forza che pu`o dipendere dal tempo, dalla posizione, dalla velocit`a: f~(t, ~r, ~v). Supponiamo inoltre che sia noto il moto del punto espresso dalla funzione ~r(t). Calcolata la velocit`a ~v(t) si possono sostituire queste due funzioni nella espressione ~ f~(t, ~r(t), ~v(t)) cosicch´e la forza diviene funzione del solo tempo: F(t). In queste condizioni si chiama lavoro della forza la grandezza scalare def

W =

Z

t1

~ · ~v(t) d t. F(t)

(E.14)

t0

Questo e` il caso del lavoro fatto dalla resistenza dell’aria su un’automobile o su un’aereo in moto a velocit`a variabile. Se si suppone che la resistenza sia di tipo aerodinamico [vedi] ovvero data dalla espressione f~(~v) = −1/2 ρ C x v~v, se e` nota l’equazione oraria della vettura ~r(t), con la formula precedente si pu`o stimare il lavoro da essa compiuto durante un viaggio assegnando l’istante di partenza e di arrivo. • forza posizionale. Se la forza dipende solo dalla posizione, quindi n´e dal tempo n´e dalla velocit`a, si dice che siamo in presenza di un campo di forze. Per calcolare il lavoro e` sufficiente precisare la traiettoria del punto mobile e non e` necessario conoscere la sua equazione di moto. Indicata con L la linea si ha Z def f~(~r) · d~r. W = (E.15) L 1

Si veda la bella presentazione di [48, parte I, p.219-]

192

APPENDICE E. DIZIONARIO Quindi nel caso di forze posizionali si pu`o fare a meno di considerare il moto del punto del corpo su cui la forza si esercita e considerare solo una linea. La nozione di lavoro, in questo caso, si identifica con quella di circolazione [vedi] del vettore forza (funzione del posto) lungo una linea. In altri termini la nozione di lavoro si depura dalla nozione di corpo e di moto per diventare una grandezza a s´e stante. • forza posizionale e conservativa. Se la forza oltre ad essere posizionale e` anche conservativa [vedi] allora il lavoro della forza dipende solo dagli estremi della linea e non dalla linea stessa. Per calcolare il lavoro e` sufficiente precisare due punti A e B e considerare una linea qualsiasi che congiunge i due punti. In questo caso si definisce il lavoro mediante l’espressione Z B W= f~(~r) · d~r. (E.16) A

Il campo gravitazionale non e` un campo di forze ma un campo di accelerazioni in quanto ad ogni punto del campo e` associato il vettore accelerazione di gravit`a ~g. La forza nasce quando vi mettiamo un corpo di massa m: in questo caso la forza agente sul corpo e` ~p = m ~g. Dal momento che la forza dipende dalla massa del corpo non si pu`o dire che il campo gravitazionale sia un campo di forze. Un esempio di campo di forze conservativo e` quello delle forze elastiche: f~ = −k ~r. Il lavoro della forza tra due punti e` dato da Z B i 1 h W= −k ~r · d~r = − k ~rB2 − ~rA2 . (E.17) 2 A Il lavoro e` considerato positivo se viene fatto sul corpo o sul sistema. Si noti che nella termodinamica alcuni autori usano ancora la vecchia notazione che e` opposta all’attuale: il lavoro viene da loro considerato positivo se e` fatto dal sistema. Considerato che lavoro e calore sono due forme di flusso di energia e che il calore e` da tutti considerato positivo se fornito al sistema, si vede che e` bene considerare entrambi positivi se forniti al sistema. L’unit`a di misura del lavoro nel Sistema Internazionale e` lo joule (simbolo J). lavoro virtuale w∗ , W ∗ di un sistema di forze: e` la somma dei prodotti scalari delle forze agenti sui diversi punti del sistema per uno spostamento virtuale [vedi] del sistema stesso. In formule: w = ∗

N X k=1

f~k · δ~rk .

(E.18)

193 legge di Hooke e` la legge che regola le deformazioni elastiche lineari di un sistema. Data un’asta deformabile o una molla, se con F indichiamo la forza di trazione e con ∆L il suo allungamento, la relazione sperimentale F = K∆L in cui K e` una costante di proporzionalit`a, esprime la legge di Hooke. leggi di Keplero Sono tre leggi del moto dei pianeti attorno al Sole. Esse sono valide anche per il moto dei satelliti della Terra. 1. (prima legge) Le orbite descritte dai pianeti attorno al Sole sono delle ellissi ed il Sole si trova in uno dei fuochi. 2. (seconda legge) Le aree descritte dal raggio vettore con origine nel Sole sono proporzionali al tempo impiegato a descriverle. 3. (terza legge) I quadrati dei tempi di rivoluzione di un pianeta attorno al Sole sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle orbite. M massa m, M E` la grandezza che misura l’inerzia di un corpo [vedi] . Per una particella e` definita come la costante di proporzionalit`a tra la quantit`a di moto della particella e la velocit`a. Questo presuppone che la quantit`a di moto [vedi] sia stata definita prima della massa. Per un sistema e` definita come la somma delle masse delle particelle che lo compongono. meccanica analitica E` la meccanica trattata in termini completamente matematici, donde il termine analitica, costruita a partire dalle coordinate libere [vedi] o lagrangiane. ♣ I temi di cui tratta sono: le equazioni di moto di Lagrange, le equazioni di moto di Hamilton, le trasformazioni canoniche, l’equazione di Hamilton-Jacobi, le parentesi di Poisson, di Jacobi, ecc. meccanica atomica E` la meccanica utilizzata per la descrizione del mondo atomico. E` sinonimo di meccanica quantistica [vedi]. meccanica celeste Termine con il quale si intende la meccanica applicata allo studio dei pianeti, delle stelle e delle galassie. Il termine celeste si rif`a al colore del cielo. meccanica classica e` lo studio del moto basato sulle ipotesi e sulle leggi classiche di Galileo, Newton, Eulero, Lagrange, ecc. meccanica quantistica e` la meccanica valida per la descrizione del moto di sistemi a livello atomico e subatomico. Essa differisce dalla meccanica classica perch´e in essa non sono pi`u valide molte nozioni della meccanica classica.

194

APPENDICE E. DIZIONARIO

meccanica relativistica e` la meccanica valida per la descrizione di sistemi, essenzialmente particelle, che si muovono a velocit`a confrontabili con quelle della luce. A tali velocit`a cessano di valere alcuni assunti della meccanica classica. modi normali Un sistema vibrante possiede delle modalit`a di vibrazione particolari consistenti nel fatto che alcuni punti, chiamati nodi, rimangono fermi. Se il sistema vibrante e` bidimensionale, come una piastra o una lastra, i nodi sono disposti lungo linee nodali. Se il sistema vibrante e` un continuo tridimensionale si hanno delle superfici nodali. Quando il sistema vibra secondo uno di questi modi particolari i punti compresi tra due nodi o tra due linee nodali o tra due superfici nodali oscillano attorno alla posizione di riposo raggiungendo simultaneamente le loro posizioni estreme. Si dice che sono in concordanza di fase. Si parla allora di modi normali di vibrazione o anche di modi fondamentali di vibrazione. molla ideale Una molla priva di massa (e quindi di inerzia), di lunghezza a riposo nulla e che esercita una forza di richiamo proporzionale allo spostamento: f = −ks la costante k si chiama rigidezza della molla. E` detta ideale per due ragioni: e` priva di massa ed ha lunghezza a riposo nulla. molla reale E` una molla di massa non trascurabile, che possiede una lunghezza a riposo non nulla, che pu`o agire sia a trazione sia a compressione. Inoltre la forza pu`o essere funzione sia lineare che non lineare dell’allungamento. Questo e` in parte dovuto alla forma della molla. momento angolare ~LA di un sistema meccanico rispetto ad un polo A: e` il momento della quantit`a di moto rispetto al polo. Fissato un polo A per una particella situata in B e` def particella: ~LA = (B − A) × ~p

def sistema: ~LA =

N X

(Bk − A) × ~pk

k=1

(E.19) avendo indicato con ~p la quantit`a di moto della particella. Per un sistema e` la somma dei momenti angolari delle singole masse che lo compongono. momento cinetico termine obsoleto sinonimo di quantit`a di moto momento della quantit`a di moto sinonimo di momento angolare [vedi]. momento d’inerzia J Dato un sistema meteriale e considerato un asse a, si chiama momento d’inerzia del sistema rispetto all’asse a la somma dei prodotti

195 delle masse delle singole particelle che compongono il corpo per i quadrati delle distanze delle singole masse dall’asse. Se rk indica la distanza della particella k − esima dall’asse e` Ia =

n X

mk rk2 .

(E.20)

k=1

momento di un vettore rispetto ad un polo. Dato un punto A, detto polo ed un vettore ~v applicato in un punto B, si chiama momento del vettore rispetto al ~A = polo il vettore applicato in A ottenuto facendo il prodotto vettoriale M (B − A) × ~v. momento di una forza rispetto ad un polo. Dato un punto A, detto polo ed una forza f~ applicata in un punto B, si chiama momento della forz rispetto al ~A = polo il vettore applicato in A ottenuto facendo il prodotto vettoriale M ~ (B − A) × f . momento flettente M in un punto di un’asta o di una trave: e` la coppia che si deve applicare al punto sezionato per mantenere l’equilibrio della trave quando si operi una sezione della trave. Si intende che per l’equilibrio occorre anche l’azione assiale [vedi] e quella di taglio [vedi] . momento statico S~ Dato un sistema meccanico e considerato un piano, si chiama momento statico del sistema di masse rispetto al piano la somma dei prodotti delle masse delle singole particelle che compongono il sistema per le distanze orientate delle singole masse dal piano: def

S =

n X

mk dk

(E.21)

k=1

Il termine orientate si riferisce al fatto che, fissata una faccia come positiva ed una come negativa, ad esempio mediante un senso di attraversamento del piano, le distanze delle masse dal piano sono positive o negative a seconda che queste si trovino dalla parte positiva o da quella negativa. movimento. moto armonico e` il moto unidimensionale di una particella o di un corpo rigido nel quale l’accelerazione ~a e` proporzionale allo spostamento ~s da una posizione di equilibrio ed ha segno opposto: ~a = −k~s con k > 0. moto centrale e` il moto di una particella soggetta ad una forza centrale, cio`e ad una forza passante per un punto fisso detto centro del moto. Ne viene che, se la particella e` libera, l’accelerazione e` anch’essa centrale.

196

APPENDICE E. DIZIONARIO

moto periodico il moto di un sistema meccanico che riprende la medesima configurazione ad intervali uguali di tempo. moto piano e` il moto di un sistema in cui le velocit`a di tutti i suoi punti ad ogni istante sono paralleli ad un piano fisso detto piano direttore. In particolare si ha il moto rigido piano quando il sistema e` un corpo rigido. moto rigido piano e` il moto di un corpo rigido parallelo ad un piano fisso, detto piano direttore. moto rotatorio e` il moto di un corpo rigido che ha un asse fisso. Si osservi che una particella che percorre una circonferenza non ha un moto rotatorio. moto traslatorio e` un movimento in cui ad ogni istante l’atto di moto e` traslatorio. Tipico e` il movimento del tecnigrafo sul tavolo da disegno quando non si liberi la manopola delle rotazioni. moto uniforme e` il moto di una particella che percorre spazi uguali in tempi uguali. Il termine spazi si deve intendere archi di linea. Cos`ı e` per un moto rettilineo uniforme, per un moto circolare uniforme, per un moto curvilineo uniforme. Dire tempi uguali presuppone il possesso di un orologio: ma a sua volta l’orologio ha una andamento uniforme? Come si vede la definizione di moto uniforme si riduce ad una tautologia, come quella di corpo rigido. In luogo di una definizione dobbiamo perci`o indicare un metodo operativo per costruire un orologio campione. Si opera nel modo seguente: si confrontano l’uno con l’altro e con i processi periodici dell’astronomia quanti pi`u possibile di orologi differenti; questo confronto porta ad una specie di lotta per la sopravvivenza: gli orologi il cui comportamento si scosta da quello della maggioranza vengono eliminati, mentre al moto dei sopravissuti si d`a l’attributo di uniforme. [51, v. I, p.7] movimento sinonimo di moto. N newton N Unit`a di misura della forza nel Sistema Internazionale (simbolo N). Esso e` la forza che imprime alla massa di un chilogrammo l’accelerazione di un metro al secondo ad ogni secondo. Si noti che l’unit`a newton deve essere lscritta con l’iniziale minuscola. normale principale ~n ad una linea: fra tutti i versori normali ad una linea, la normale principale e` quella contenuta nel piano osculatore. Il suo verso si fissa nel modo seguente:

197 1. se la linea e` piana si decide un senso di percorso della linea e, in un suo punto, si fissa ad arbitrio un senso della normale, ad esempio verso sinistra percorrendo la curva. Quindi si propaga tale senso in tutti gli altri punti della linea. 2. se la linea e` sghemba (cio`e non giace su un piano, ad esempio un’elica) si decide un senso di percorso della linea e, in un suo punto, si fissa ad arbitrio un senso della normale nel piano osculatore alla curva in quel punto. Quindi si propaga tale senso in tutti gli altri punti della linea nei relativi piani osculatori. Con lo stesso nome si intende il versore normale giacente nel piano osculatore. Esso e` dato dalla equazione d~t d~t = ~n (E.22) ds ds normali ad una linea in un suo punto P: sono tutte le rette passanti per P e contenute nel piano normale in P. O opposizione di fase detto di due punti appartenenti ad un sistema vibrante che raggiungono simultaneamente le posizioni estreme situate da parti opposte (ad esempio quando l’una si trova all’estremo destro l’altra si trova all’estremo sinistro) oscillazioni, L’oscillazione armonica di un punto, che e` il tipo pi`u semplice e pi`u comune di oscillazione, e` espressa dalla relazione s = A cos(ω t + ϕ)

o anche

s = A cos(2π f t + ϕ)

(E.23)

Le grandezze hanno il seguente nome: simbolo s A ω t ϕ ωt + ϕ f

nome elongazione (spostamento dalla posizione di riposo) ampiezza della oscillazione pulsazione istante fase iniziale fase frequenza

Osservatore E` l’insieme di un corpo rigido e di un orologio ... ♣ [Fb 4]

unit`a m m rad/s s rad rad Hz

198

APPENDICE E. DIZIONARIO

P particella qualunque corpo le cui dimensioni siano trascurabili rispetto alle distanze in gioco. Ad esempio un aereo e` una particella rispetto al radar di terra, la stella Sirio e` una particella nel contesto dell’astronomia ma non lo e` nel contesto dell’astrofisica. perielio punto dell’orbita terrestre che e` pi`u vicino al sole periodo di una oscillazione T, τ e` il tempo impiegato da un corpo oscillante (o sistema vibrante) a compiere un ciclo completo. peso di un corpo e` la forza esercitata sul corpo dal campo gravitazionale. L’esperienza dice che il peso di un corpo e` proporzionale alla massa: ~p = m~g essendo ~g il vettore accelerazione di gravit`a. Nei problemi di dinamica la massa e` una grandezza pi`u significativa del peso anche se a causa della proporzionalit`a e della approssimativa costanza della gravit`a sulla superficie terrestre siamo soliti parlare di peso. Nei problemi di statica il peso e` pi`u significativo della massa in quanto quest’ultima si manifesta nel moto attraverso l’inerzia. Un astronauta che sulla terra pesa 784 N, sulla luna pesa 130 N, sulla navicella pesa 0 N ma ha pur sempre la massa di 80 kg. Se l’astronauta ingrassa e` perch´e aumenta la sua massa, non il suo peso (che in orbita e` sempre nullo).

piano normale ad una linea in un suo punto e` il piano perpendicolare in un un punto alla tangente alla curva. piano osculatore ad una linea in un suo punto. Consideriamo una linea, un suo punto P e altri due suoi punti P0 e P: per questi tre punti passa un piano (salvo il caso che i tre punti siano allineati). Se si fanno tendere i due punti P0 e P al punto P il piano tende ad un piano limite che prende il nome di piano osculatore della linea nel punto P. Il termine osculatore viene dal greco osculare che significa baciare: il piano bacia o meglio combacia ♣con la curva nel punto considerato. Il piano osculatore e` un particolare piano tangente. Se i tre punti sono allineati il piano osculatore e` indeterminato, ovvero ogni piano tangente e` osculatore. piano rettificante ad una linea in un suo punto: e` il piano contenente la tangente [vedi] e la binormale [vedi]. piano tangente ad una linea in un suo punto: e` qualunque piano che contenga la retta tangente alla linea nel punto.

199 polare fissa si veda base. polare mobile si veda rulletta. poligono funicolare costruzione grafica che consente di determinare la retta di applicazione della risultante di un sistema di forze piane. potenziale Dato un campo vettoriale conservativo, si chiama potenziale del campo in un punto P la circolazione [vedi] del vettore lungo una linea generica che va dal punto P ad un punto P0 prefissato. Se il vettore e` una forza, e allora il campo vettoriale e` un campo di forze, la circolazione e` un lavoro. Se il vettore e` la velocit`a del moto di un fluido (tale circolazione non ha nulla a che fare con un lavoro) il potenziale si chiama potenziale cinetico. Se il vettore e` il campo elettrico E~ la circolazione prende il nome di tensione elettrica associata alla linea ed il potenziale in un punto prende il nome di potenziale elettrico nel punto e lo si indica con ϕ. primo principio della termodinamica la somma del lavoro e del calore forniti ad un sistema termodinamico uguaglia la variazione di energia interna subita dal sistema. In formule: W + Q = ∆U. principio dei lavori virtuali e` un principio che serve ad individuare la configurazione di equilibrio di un sistema soggetto ad un assegnato sistema di forze. Esso afferma che: condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un sistema soggetto a vincoli lisci e` che il lavoro delle forze attive per ogni spostamento virtuale non sia mai positivo. In particolare se gli spostamenti virtuali sono reversibili il lavoro virtuale e` nullo. principio di azione e reazione la forza che una prima particella esercita su una seconda particella e` opposta a quella che la seconda esercita sulla prima ed ha la stessa linea d’azione. Si osservi che questo enunciato parla di particelle e non di corpi. Nel caso di corpi il principio non precisa il punto di applicazione delle due forze: vedere ad esempio la forza che una carica elettrica puntiforme esercita su un dipolo elettrico. principio di conservazione dell’energia in un sistema meccanico non soggetto a forze dissipative e a vincoli fissi si conserva la somma dell’energia potenziale V e di quella cinetica T . Si scrive T + V = E. La costante E si chiama energia totale. principio di d’Alembert per passare dalle equazioni della statica a quelle della dinamica basta aggiungere alle forze attive le forze d’inerzia.

200

APPENDICE E. DIZIONARIO

principio d’inerzia una particella non soggetto a forze dovute all’azione di altri corpi o sta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme. (si veda Panofsky) principio di isotropia delle pressioni locali In un fluido in quiete, sia esso perfetto (= ideal) o viscoso (= reale), la pressione in un punto relativa ad un elemento di piano di giacitura assegnata non varia al variare della giacitura. Essa quindi e` funzione del posto. principio di Hamilton il moto naturale di un sistema meccanico soggetto a forze attive conservative e a vincoli lisci si distingue da tutti i moti variati sincroni che rispettano le configurazioni estreme per il fatto che rende stazionaria l’azione hamiltoniana [vedi]: def

A =

Z

t1

(T − V)dt

(E.24)

t0

in cui T e` l’energia cinetica del sistema meccanico e V l’energia potenziale delle forze (sia esterne che interne) agenti sul sistema meccanico. principio di minimo dell’energia potenziale Un sistema meccanico in quiete ♣ tende ad assumere la configurazione in cui la sua energia potenziale e` minima. principio di sovrapposizione degli effetti alcuni tipi di azioni che si manifestano su un sistema hanno la propriet`a che, entro certi limiti, l’azione combinata di due o pi`u effetti determina una deformazione del sistema che e` la somma delle deformazioni che ciascuna azione determinerebbe sul sistema agendo separatamente. Tale e` il caso di forze applicate a corpi elastici quando le deformazioni sono sufficientemente piccole (ad esempio una verga poco deformata dalla sua configurazione naturale). Pi`u che un principio e` una propriet`a che sussite in determinati casi e per determinati sistemi. prodotto d’inerzia Jαβ Dato un sistema meccanico e considerati due piani α e β orientati, si chiama prodotto d’inerzia del sistema di masse rispetto ai due piani la somma dei prodotti delle masse delle singole particelle che compongono il sistema per le distanze orientate delle particelle dai due piani ♣. Alcuni autori includono nella definizione il segno meno, altri lo omettono: quando e` incluso le formule in cui compare il prodotto d’inerzia hanno tutti i segni positivi. Noi seguiremo la regole di includere il segno meno per avere le formule pi`u semplici. Indicate con ak e bk le distanze orientate

201 della massa puntiforme mk dai due piani α e β il prodotto d’inerzia e` dato dalla formula seguente (a sinistra) Iαβ = −

n X

mk ak bk

I xy = −

0

n X

mk xk yk

(E.25)

0

Nel caso che i due piani siano i piani di un sistema di coordinate cartesiane ortogonali Oxyz, il prodotto d’inerzia rispetto ai piani xz e yz si indic a con I xy ed e` dato dalla formula (E.25 destra). ♣ prodotto esterno molti autori italiani chiamano prodotto esterno il prodotto vettoriale. Nella letteratura attuale il termine prodotto esterno ha un significato diverso: esso indica una operazione che associa a due vettori un nuovo oggetto geometrico, chiamato bivettore rappresentato dal parallelogramma orientato formato dai due vettori. I bivettori, i trivettori, i vettori e gli scalari sono particolari multivettori. Il calcolo dei multivettori costituisce l’algebra esterna. Per evitare confusioni e` quindi opportuno utilizzare il nom`ue di prodotto vcettoriale in luogo di prodotto esterno per indicare il vettore ortogonale ai due vettori dati che ha modulo uguale all’area del parallelogramma. E` opportuno anche utilizzare il simbolo × per il prodotto vettoriale ed il simbolo ∧ per il prodotto esterno. [?, p.] ♣ prodotto scalare di due vettori e` il numero ottenuto moltiplicando il modulo dei due vettori per il coseno dell’angolo tra essi compreso. prodotto vettoriale di due vettori u e v: e` il vettore ortogonale al piano dei due vettori, orientato secondo la regola della mano destra o del cavatappi e di modulo uguale all’area del parallelogramma formato dai due vettori. Si scrive w = u × v def

pulsazione e` la grandezza ω = 2π T essendo T il periodo di una oscillazione. Essa si identifica con la velocit`a angolare che dovrebbe avere un moto rotatorio uniforme di uguale periodo. Poich´e la frequenza e` l’inverso del periodo def def f = T1 si ha anche ω = 2π f . Vale la relazione ω = 2πν = 2π/T in cui ν e` la frequenza in hertz e T il periodo in secondi. ♣ L’unit`a di misura e` il radiante al secondo: rad/s Si veda la voce oscillazioni. particella qualunque corpo le cui dimensioni siano trascurabili rispetto alle dimensioni in gioco. 10 Q quantit`a di moto Si distingue tra quantit`a di moto

202

APPENDICE E. DIZIONARIO • di una particella: e` l’impulso che la particella cede riducendosi alla quiete. Essa e` anche l’impulso necessario a portare la particella dalla quiete a quello stato di moto. Il simbolo e` ~p e l’unit`a di misura e` il newton × secondo: N s. • di un sistema: e` la somma delle quantit`a di moto delle singole parti~ celle che lo compongono. Il simbolo e` P. Solitamente si definisce la quantit`a di moto come il prodotto della massa per la velocit`a: questo e` in contrasto con il fatto che a velocit`a prossime a quelle della luce la definizione ... non e` pi`u valida! La relazione quantit`a di moto-velocit`a e` una relazione fenomenologica (o costitutiva o materiale). Sarebbe come definire la tensione elettrica come il prodotto della resistenza per l’intensit`a di corrente, riducendo cos`ı la legge di Ohm ad una definizione, oppure come definire lo sforzo come il prodotto della deformazione per il modulo elastico, riducendo cos`ı la legge di Hooke ad una definizione. def

quantit`a di moto generalizzata Sono le grandezze ph =

N X

~pk ·

k=1

∂~rk con h = ∂qh

1, 2, ..., n essendo n il numero delle coordinate generalizzate. R raggio di curvatura r, R di una linea in un suo punto: raggio del cerchio osculatore alla linea nel punto. Il suo segno e` positivo o negativo a secondo che il centro del cerchio osculatore, detto anche centro di curvatura si trovi dalla stessa parte della normale principale o dalla parte opposta. raggio giratore d’inerzia ∆a Se indichiamo con Ia il momento d’inerzia di un sistema rispetto ad una retta a si chiama raggio giratore d’inerzia del sistema di masse rispetto alla retta a la quantit`a ∆ tale che n X

Ia = M ∆2

ovvero

∆2 =

mk rk2

k=1

M

(E.26)

avendo indicato con M la massa del sistema. (simbolo?) ♣ raggio vettore ~r E` il vettore che congiunge l’origine di un sistema di coordinate con la posizione occupata dalla particella ad un dato istante. reazione vincolare e` la forza che dobbiamo sostituire al vincolo per mantenere lo stesso stato di quiete o di moto del sistema.

203 resistenza idraulica e` la resistenza al moto di un corpo in un fluido quando questa dipende in modo quadratico dalla velocit`a: R = − 21 C x ρAv~v[38, p.50]. resistenza viscosa e` la resistenza al moto di un corpo in fluido quando questa ~ = −h~v. dipende linearmente dalla velocit`a: R riferimento assoluto nome obsoleto che designava un sistema di riferimento solidale con il sole (fino a quando lo si riteneva fisso) o con la nostra galassia (fino a quando la si riteneva non rotante). riferimento inerziale e` un sistema nel quale vale il principio d’inerzia[30, p.10]. riferimento localmente inerziale e` un riferimento che approssima un riferimento inerziale entro una certa estensione spaziale ed entro un certo intervallo di tempo. Tale e` un satellite artificiale o un sistema in caduta libera nel campo di gravit`a. rigidezza per una molla ideale e` la costante elastica k nella relazione f = k ∆L mentre per una molla reale e` la costante elastica k nella relazione f = k ∆(L − L0 ) risonanza quando un sistema e` libero di vibrare (o oscillare) attorno ad una configurazione di equilibrio stabile, se esso e` allontanato dalla configurazione di equilibrio, vibra. Se il sistema ha un solo grado di libert`a la sua vibrazione ha una determinata frequenza che si chiama frequenza propria o frequenza naturale del sistema. Se il sistema ha n gradi di libert`a vi sono n modi naturali di vibrazione. Questi sono dei modi di oscillazione caratterizzati dal fatto che i diversi punti del sistema oscillano hanno la stessa frequenza ed oscillano in fase. Se ora esercitiamo sul sistema una forza periodica che ha lo stesso periodo delle oscillazioni naturali, la vibrazione si amplifica diventando molto vistosa (e rumorosa e pericolosa). La coincidenza tra il periodo delle oscillazioni impresse e quello delle oscillazioni proprie costituisce il fenomeno della risonanza. rotore di un vettore funzione del posto. Dato un campo vettoriale ~v(~r) si consideri un punto della regione in cui esso e` definito e un piano passante per tale punto. In tale piano si consideri una linea chiusa (= circuito piano) contenente il punto e si valuti la circolazione del vettore lungo tale circuito: R C = ~v(~r) · d~r. Al tendere a zero della massima dimensione del circuito tende a zero sia la circolazione che l’area A racchiusa. Si constata che il limite del rapporto circolazione/area e` , in generale, una quantit`a finita: Rn = lim C/A. Indicato con ~n il versore normale al piano si constata che si

204

APPENDICE E. DIZIONARIO ~ tale che Rn = R ~ · ~n. Tale vettore prende il nome pu`o istituire un vettore R di rotore del vettore ~v nel punto considerato e si indica con rot × ~v o anche ∇ × ~v.

rulletta in un moto rigido piano: e` la linea luogo dei centri di istantanea rotazione rispetto ad un osservatore solidale con il corpo rigido. Essa si chiama anche polare mobile. S scalare abbreviato di grandezza scalare: grandezza fisica i cui valori sono numeri e come tali possono essere messi in scala. sforzi interni Nome obsoleto ♣ per azioni interne [vedi]. sistema adiabatico e` un sistema che non scambia calore con l’esterno. sistema aperto e` un sistema che scambia materia con l’esterno. sistema chiuso e` un sistema che non scambia materia con l’esterno. sistema conservativo un sistema meccanico soggetto a vincoli fissi, lisci e a forze posizionali e conservative. sistema continuo e` un sistema meccanico che viene riguardato come un tutto unico. Tale e` un filo, un’asta, una lamina, un fluido. ♣ sistema dinamico e` un sistema di equazioni differenziali del primo ordine risolto rispetto alle derivate. sistema di riferimento e` costituito da una piattaforma ♣ dotata di una terna di assi cartesiani e di un’orologio. sistema discreto e` un sistema meccanico composto da un numero finito di particelle o corpi rigidi. Tale e` un orologio, una bicicletta, un meccanismo, ecc. sistema fisico qualunque corpo o insieme di corpi, di natura qualsiasi sui quali si intendano studiare solo gli aspetti connessi con i fenomeni fisici. Ad esempio il corpo umano e` un sistema fisico se ci limitiamo allo studio dei fenomeni meccanici, elettrici, ottici, termici, elettromagnetici; diviene un sistema chimico se ne studiamo i fenomeni chimici; diviene un un sistema biologico se ne studiamo i fenomeni biologici, ecc. sistema meccanico e` un sistema fisico sul quale ci limitiamo a considerare gli aspetti meccanici.

205 Sistema Internazionale di unit`a di misura. E un insieme di prescrizioni di unit`a, nomi e simboli delle grandezze fisiche frutto della armonizzazione di diverse norme nazionali fra cui l’UNI italiana ♣. Si veda pag ... sistema isolato e` un sistema sul quale non agiscono forze dall’esterno. sistema meccanico si intende qualunque corpo o insieme di corpi dei quali si intendano studiare solo gli aspetti connessi con i fenomeni meccanici, ovvero quelli connessi con la quiete o il moto. sistema olonomo Un sistema meccanico si dice olonomo o anolonomo a seconda che esso sia soggetto a vincoli olonomi o anolonomi [49, v.I, p.4] spostamento di un punto Considerato il movimento di un punto nello spazio e fissato un intervallo di tempo, si chiama spostamento del punto in quell’intervallo il vettore che unisce la posizione iniziale con quella finale del punto. Esso non risente quindi delle posizioni intermedie del punto ed e` quindi indipendente dalla sua traiettoria. Lo spostamento di un punto durante un intervallo e` uguale alla differenza tra i vettori raggi della posizione finale ed iniziale del punto: ~s = ~r + − ~r − = ∆~r. spostamento di un sistema e` l’insieme degli spostamenti dei punti di un sistema. spostamento effettivo in contrapposizione a quello virtuale: e` lo spostamento effettivamente subito da un punto durante il moto in un tempo infinitesimo. spostamento elicoidale e` uno spostamento rototraslatorio particolare in cui la traslazione ha la stessa direzione dell’asse di rotazione. Si pensi allo spostamento di una chiave nella toppa della serratura. spostamento irreversibile e` uno spostamento tale che il suo opposto non e` concesso dai vincoli. ♣ spostamento piano e` lo spostamento di un sistema in cui tutti i punti sono paralleli ad un piano. spostamento polare e` lo spostamento di un corpo rigido con un punto fisso. spostamento reversibile e` uno spostamento tale che anche il suo opposto e` concesso dai vincoli. ♣ spostamento rotatorio di un corpo rigido: e` uno spostamento rigido in cui due punti hanno spostamento nullo. Si dimostra che tutti i punti della retta passante per i due punti hanno spostamento nullo e tale retta si chiama asse della rotazione.

206

APPENDICE E. DIZIONARIO

spostamento rototraslatorio e` uno spostamento rigido composto di una traslazione e di una rotazione. spostamento traslatorio di un corpo rigido: e` uno spostamento rigido in cui tutti i punti hanno lo stesso spostamento. spostamento virtuale Si distingue tra 1. di un punto: e` uno spostamento pensato a titolo di prova, quindi non effettivamente eseguito e compatibile con i vincoli del sistema. Esso pu`o essere descritto dal vettore che congiunge la posizione attuale del punto con un’altra posizione che il punto potrebbe occupare compatibilmente con i vincoli del sistema. Qualora i vincoli siano mobili lo spostamento virtuale si intende compiuto fissando i vincoli all’istante che si considera. 2. di un sistema: e` l’insieme degli spostamenti virtuali di tutti i punti del sistema. T tangente ad una linea in un suo punto P. Considerando un altro punto P0 della linea si consideri la retta PP0 che e` secante la curva: facendo tendere P0 a P la secante tende ad una retta limite che si dice tangente alla linea in P. tempo La nozione di tempo sfugge a qualsiasi definizione ed e` quindi presa come nozione primitiva. Il tempo pu`o essere concepito come un insieme di istanti o di intervalli: • l’istante e` una particella di tempo senza durata: esso serve per indicare una data, un appuntamento, una coincidenza, l’inizio o la fine di un processo, ecc. L’istante viene solitamente indicato con t. • l’intervallo e` invece il lasso di tempo che intercorre tra due istanti: esso serve per indicare l’estensione temporale di un processo. La misura di un intervallo prende il nome di durata o anche di periodo. La durata viene solitamente indicata con T o con τ. L’unit`a di misura della durata e` il secondo, simbolo s. Una breve riflessione indica che ogni volta che nominiamo il tempo o indichiamo un istante o un intervallo. Esaminiamo la seguente descrizione: Siamo partiti alle 7.40 (istante) e siamo giunti alle 9.40 (istante) dopo 2 ore di viaggio (intervallo). La cerimonia e` iniziata alle 10.10 (istante) ed e` durata un’ora abbondante (intervallo) e alle 12.30 (istante) siamo andati a pranzo. Tra una portata e l’altra intercorrevano 20 minuti (intervallo). Siamo stati a tavola fino alle 15! (istante). Siamo ripartiti

207 alle 18 (istante) e abbiamo impiegato ben quattro ore (intervallo) per giungere a casa.

teorema dell’energia afferma che in un sistema la variazione dell’energia cinetica e` uguale al lavoro fatto dalle forze agenti sul sistema, siano esse interne od esterne, attive o reattive, di volume o di superficie. In formule ∆T = W in cui W e` il lavoro. teorema di Chasles (nel piano): uno spostamento rigido piano, che non sia traslatorio, si pu`o sempre ridurre ad uno spostamento rotatorio. Indicati con A e B due punti del corpo rigido e con A0 e B0 le posizioni finali di A e B, il centro di rotazione si determina come intersezione degli assi di due segmenti AA0 e BB0 . (nello spazio) Uno spostamento rigido si pu`o ridurre in infiniti modi ad uno spostamento rototraslatorio, sempre con il medesimo vettore rotazione, ed in un unico modo ad uno spostamento elicoidale (caratterizzato dal fatto che la traslazione ha la stessa direzione del vettore rotazione). teorema di K¨onig afferma che l’energia cinetica di un sistema e` uguale alla somma di quella che ha il suo baricentro se in esso vi immaginiamo concentrata l’intera massa pi`u quella relativa al baricentro. teorema di Eulero sullo spostamento polare: ogni spostamento polare (quindi con un punto fisso) e` rotatorio (cio`e ha due punti fissi). terna intrinseca sinonimo di triedro intrinseco.♣ trasformazioni canoniche Usate in meccanica analitica. Sono quelle trasformazioni delle coordinate generalizzate (=lagrangiane) qk e dei momenti generalizzati pk che lasciano immutata la forma delle equazioni di moto di Hamilton. Il termine momento e` usato nella letteratura inglese: esso indica la quantit`a di moto (inglese: momentum). triedro intrinseco o triedro principale ad una linea in un suo punto: e` il triedro formato dai tre versori tangente, normale principale e binormale nel punto e dai tre piani normale, osculatore e rettificante. V velocit`a ~v • velocit`a media di un punto (=particella) in un intervallo di tempo il rapporto tra lo spostamento del punto nell’intervallo e la durata dell’intervallo stesso. Essa e` anche il rapporto tra la variazione del vettore

208

APPENDICE E. DIZIONARIO raggio e l’intervallo di tempo s ∆~r def ~ ~v¯ = = τ ∆t

(E.27)

• velocit`a istantanea e` il limite della velocit`a media quando la durata dell’intervallo tende a zero def

~v = lim

τ−→0

~s ∆~r d~r = lim = τ ∆t−→0 ∆t dt

(E.28)

Quest’ultima e` comunenemente chiamata velocit`a. Si noti che una misura fornisce sempre una velocit`a media in quanto necessita di un intervallo, anche se piccolo: la velocit`a istantanea e` una nozione matematica ottenuta idealizzando la nozione di velocit`a media passando al limite. La velocit`a (= velocit`a istantanea) di un punto e` diretta secondo la tangente alla traiettoria. Si noti che non e` corretto affermare che la velocit`a e` la derivata dello spostamento in quanto essa e` la derivata del vettore raggio. Qualora si disponga la terna di assi del sistema di riferimento in una posizione del punto scelta come posizione iniziale allora lo spostamento da quella posizione prende il nome di spostamento iniziale e coincide con il vettore raggio. Solo in questo caso la velocit`a si pu`o considerare come la derivata dello spostamento iniziale.

~ Consideriamo dapprima un corpo rigido che ruota at~, Ω velocit`a angolare ω, ω torno ad un asse fisso: • velocit`a angolare media e` il rapporto tra l’angolo descritto dal raggio vettore in un intervallo di tempo e la durata dell’intervallo. • velocit`a angolare istantanea Consideriamo un istante t contenuto nell’intervallo e sfacciamo tendere a zero l’intervallo attorno all’istante. Il limite della velocit`a angolare media quando la durata dell’intervallo tende a zero, prende il nome di velocit`a angolare istantanea del corpo rigido a quell’istante. Quest’ultima si chiama brevemente velocit`a angolare e la si indica con ω. 2 Quando si vuole indicare non solo l’entit`a della velocit`a angolare ma anche la direzione dell’asse si istituisce un vettore con la direzione dell’asse, il modulo uguale alla velocit`a angolare ed il verso ottenuto applicando la 2

Pronuncia om´ega ♣ , con l’accento sulla e: si veda il dizionario ....

209 regola del cavatappi al senso di rotazione. Si ottiene in tal modo il vettore ~. velocit`a angolare che si indica con ω Si noti che la velocit`a angolare e` un attributo di un corpo rigido e quindi non ha un naturale punto di applicazione: a differenza della forza che e` , in generale un vettore applicato, si tratta di un vettore libero, vale a dire non ha un suo naturale punto di applicazione. Si noti anche che non ha senso parlare di velocit`a angolare di un punto. Se consideriamo un punto che descrive una circonferenza non ha senso parlare di velocit`a angolare del punto: si pu`o invece mentre ha senso parlare di velocit`a angolare del raggio che congiunge il centro della circonferenza con il punto in moto. L’unit`a di misura della velocit`a angolare e` il radiante per secondo e si scrive rad/s. La velocit`a angolare della terra, ad esempio, e` di 6.28/ (24*3600) rad/s. Se il corpo rigido non ha un asse fisso, ma un punto fisso, il vettore velocit`a angolare ha la direzione dell’asse di istantanea rotazione [vedi] . Se il corpo rigido e` libero il vettore ha la direzione dell’asse di moto [vedi] . ♣ [SPIEGARE] velocit`a areale A˙ Nel moto centrale di un punto [vedi] e` l’area descritta dal raggio vettore per unit`a di tempo[30, p.38] def

A =

A T

def

A T −→0 T

A = lim

~ = 1 ~r × ~v A 2

(E.29)

Anche qui si pu`o distinguere una velocit`a areale media ed una velocit`a areale istantanea, quest’ultima denominata semplicemente velocit`a areale. velocit`a di fuga nel moto gravitazionale designa la velocit`a che deve avere una particella per sfuggire all’attrazione terrestre. La velocit`a di fuga non dipende dalla direzione della velocit`a iniziale ma solo dalla sua posizione. Per un campo sulla superficie terrestre e` di circa 11 Km/s. velocit`a virtuale nozione poco felice in quanto nasce dal rapporto fra lo spostamento virtuale (che non coinvolge un intervallo di tempo) e un intervallo di tempo infinitesimo arbitrario. verga sinonimo di asta [vedi] . versore vettore di lunghezza unitaria. Lo si indica mettendo un accento circonˆ ... flesso sopra il simbolo: ad es. nˆ , ˆt, b,

210

APPENDICE E. DIZIONARIO

versore tangente ~t ad una linea in un suo punto P. Considerando un altro punto P0 della linea, si consideri la retta PP0 che e` secante la curva: facendo tendere P0 a P la secante tende ad una retta limite che si dice tangente alla linea in P. Il versore tangente e` dato dalla formula ~t =

d~r ds

(E.30)

vettore La nozione di vettore e` stata introdotta da Hamilton (19..♣) per indicare un ente geometrico costituito da un segmento orientato. Questo segmento e` concepito come un veicolo (dal latino vehere) che trasporta un punto A (origine del vettore) in un punto B (termine del vettore). Il termine vettore si usa per denotare i mezzi di trasporto, quali gli aerei e gli autobus. Il prototipo dei vettori e` lo spostamento di un punto. Altre grandezze fisiche sono rappresentabili con un vettore: tali sono la velocit`a, la forza, la quantit`a i moto, il momento di una forza, ecc. Questa definizione ha reso molto servizio alla fisica in genere e alla meccanica in particolare. Sui vettori sono state definite le operazioni di somma, prodotto per un numero, prodotto scalare e prodotto vettoriale. A partire dagli inizi di questo secolo ♣ la nozione di vettore ha sub`ıto una radicale estensione. Osservato che le due operazioni fondamentali sono la somma di due vettori ed il prodotto di un vettore per un numero si e` deciso di dare una definizione pi`u estesa di vettore. Consideriamo enti matematici che si possano sommare e moltiplicare per un numero, quali, ad esempio, le funzioni di una variabile. Questi enti formano un insieme in cui sono definite le due operazioni suddette. Un insieme dotato di questa struttura prende il nome di spazio vettoriale. Gli elementi di questo insieme prendono allora il nome di vettori. Ne viene che sono vettori le funzioni di una variabile, quelle di due o pi`u variabili, le matrici m × n, le successioni numeriche e cos`ı via. Come si vede il salto tra la vecchia e la nuova definizione e` molto grande! La vecchia nozione di prodotto scalare tra due vettori viene estesa nella nuova definizione mentre quella di prodotto vettoriale (due vettori che danno luogo ad un terzo vettore) rimane ancorata allo spazio tridimensionale e non e` suscettibile di estensione. Nella nuova definizione perde senso la nozione di punto di applicazione di un vettore, di vettore scorrevole e di vettore libero. La nozione di vettore alla vecchia maniera rimane molto utile per la fisica, in particolare per la meccanica newtoniana. Il prodotto vettoriale e` essenziale. La nozione estesa di vettore torna utile in molti campi della matematica, della fisica e della tecnica.

211 vettore applicato E` il vettore per eccellenza, quello introdotto da Hamilton. Esso e` un ente caratterizzato da un punto di applicazione, una retta che d`a la direzione, un verso sulla retta ed un modulo o intensit`a del vettore. Tali sono lo spostamento di un punto, la velocit`a di un punto, il vettore campo elettrico in un punto, la forza applicata in un punto di un corpo, il momento di una forza rispetto ad un punto, ecc. vettore assiale vettore che descrive una grandezza fisica utilizzando la regola della vite. vettore libero La velocit`a angolare di un corpo rigido e` caratterizzata da una direzione, un senso ed un modulo ma non ha importanza la sua retta di applicazione e tantomeno il suo punto di applicazione. Per questa ragione si chiama vettore libero. vettore scorrevole Le forze applicate a corpi rigidi possono scorrere lungo la loro retta di applicazione senza causare variazioni dello stato di quiete o di moto del corpo. Per questa ragione esse costituiscono dei vettori scorrevoli o cursori. Nei vettori scorrevoli e` essenziale la retta di applicazione, il senso ed il modulo. vettore polare termine usato in contrapposizione a vettore assiale. vibrazione di un sistema meccanico: sinonimo di oscillazione. Generalmente il termine oscillazione si usa per il moto di una particella e per il moto d’assieme di un corpo rigido, ad esempio le oscillazioni di un pendolo, di un lampadario, di una barca. Il termine vibrazione si usa per indicare i rapidi cambiamenti di configurazione di un sistema deformabile. Cos`ı si parla di vibrazioni di un edificio, di vibrazioni del vetro di una finestra, di vibrazioni dell’aria. Questa distinzione tra i due termini non e` spesso rispettata. vincolo e` tutto ci`o che limita la libert`a di movimento di un sistema. Un vincolo pu`o essere di posizione o di movimento: un vincolo di posizione limita le configurazioni che il sistema pu`o assumere; un vincolo di movimento limita il modo con il quale il sistema pu`o andare da una configurazione ad un’altra. Si pensi al parcheggio di una motocicletta o di un’auto: esso e` soggetto a vincoli di movimento che costringono a fare manovra per raggiungere una configurazione desiderata. vincolo anolonomo detto anche vincolo di mobilit`a o vincolo cinematico. E` un vincolo che limita il modo di muoversi di un sistema nel passare da una

212

APPENDICE E. DIZIONARIO configurazione ad un’altra senza limitare le configurazioni che il sistema pu`o assumere. E` caratteristico di un vincolo anolonomo il fatto di legare le variazioni delle coordinate di configurazione e quindi di dar luogo ad equazioni differenziali non integrabili (di qui il termine anolonomo, dal greco holos che significa intero, integro, integrabile). Le equazioni non sono integrabili nel senso che non si possono ricondurre a relazioni finite fra le coordinate libere se non specificando la traiettoria che si intende seguire. [Fb, 25]

vincolo bilaterale o bilatero. E` un vincolo che per ogni spostamento concesso concede anche il suo opposto. vincolo dissipativo vincolo scabro che fa perdere energia al sistema. Noi camminiamo in virt`u del fatto che il terreno e` un vincolo scabro: poich`e non strusciamo ♣ i piedi il vincolo e` non dissipativo (per fortuna!). Per riscaldarci le mani le sfreghiamo energicamente l’una con l’altra: il vincolo di una mano e` l’altra mano e tale vincolo e` scabro e dissipativo. vincolo fisso E` un vincolo di posizione che non varia nel tempo. Una volta si usava il termine vincolo scleronomo (radice di sclerosi ♣). vincolo liscio E` un vincolo privo di attrito e che quindi non manifesta resistenza al movimento che esso concede. vincolo mobile E` un vincolo che varia di posizione nel tempo. E` anche chiamato vincolo reonomo. vincolo olonomo detto anche vincolo geometrico o vincolo di posizione. Termine usato in contrapposizione a vincolo anolonomo [vedi] . [Fb, 25] ♣ vincolo reonomo termine obsoleto sinonimo di vincolo mobile [vedi]. vincolo scabro E` un vincolo dotato di attrito e che quindi manifesta resistenza al movimento che esso concede. Non e` necessariamente dissipativo [vedi] come nel caso di una ruota soggetta a puro rotolamento. vincolo scleronomo termine obsoleto sinonimo di vincolo fisso. vincolo unilaterale o unilatero. E` un vincolo che ammette almeno uno spostamento irreversibile [vedi]. W

E.1. BIBLIOGRAFIA

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watt W e` l’unit`a di misura della potenza nel Sistema Internazionale (simbolo W). Esso e` il rapporto tra joule / secondo (W=J s−1 ). Una volta si usava chilogrammetro al secondo, pari a 9,81 watt ed il cavallo vapore pari a 9.81x75=736 watt.

E.1

bibliografia

Quando lo studio del libro di testo pone delle difficolt`a, un argomento e` male espresso o poco chiaro, o troppo sinteticamente trattato e` opportuno ricorrere ad altri libri.

Spesso si perde un pomeriggio per capire un passaggio, un argomento, una formula: e` tempo usato male, veramente sprecato. E` meglio andare in una biblioteca, cercare un testo diverso, e ivi leggere lo stesso argomento. Pu`o essere che il diverso modo di esporre la stessa cosa, una diversa nomenclatura o anche soltanto un esempio facciano capire senza difficolt`a quello che non si era capito sul testo.

Quindi non si abbia paura di allungare una preparazione consultando un altro libro (consultare, non studiare tutto il libro!). Eventuali differenze di nomenclature anche se fastidiose, abituano ad una certa elasticit`a indispensabile nella professione. Tutto questo ha lo scopo di far minor fatica e di impiegare minor tempo con il risultato di capire meglio, il che non e` poca cosa.

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APPENDICE E. DIZIONARIO

Bibliografia [1] P.Appell, Trait´e de m´ecanique rationelle (5 voll.), Gauthier-Villars, 1937 [2] G.Armellini, Lezioni di meccanica razionale, Hoepli, 1945 [3] H.Beghin, G.Julia, Exercises de m´ecanique, voll. I e II, Gauthier-Villars, 1931 [4] G.Bisconcini, Esercizi e complementi di meccanica razionale, Signorelli (Roma), 1947 [5] E.Blanc, E.Le Roi, Probl`emes et compl´ements de m´ecanique, GauthierVillars, 1931 [6] B.Caldonazzo, Meccanica Razionale, Editrice Universitaria (Firenze), 1959 [7] I.Chazy, Cours de m´ecanique rationelle, tome I e II, Gauthier-Villars, 1947 [8] U.Cisotti, Lezioni di meccanica razionale, Tamburini (Milano), 1926 [9] H.C.Corben, P.Stehle, Classical mechanics, Wiley, 1960 [10] Drazil J.V., Dictionary of Quantities and Units, Leonard Hill, London, 1971. [11] H.Favre, Cours de m´ecanique, Dunod, 1946 [12] Fleury, Mathieu Vibrazioni meccaniche Ed. Zanichelli [13] B.Finzi, Meccanica Razionale, voll. I e II, Zanichelli, 1958 [14] B.Finzi, P.Udeschini, Esercizi di meccanica razionale, Tamburini (Milano), 1958 [15] H.Goldstein, Classical mechanics, Addison Wesley, 1957 Meccanica classica, Zanichelli, 1968 215

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