Conjuntos Numéricos Exercícios Ferretto

Assunto: Conjuntos Numéricos Professor: Daniel Ferretto

Todas as questões encontram-se comentadas na videoaula do canal maismatemática, disponível para visualização gratuita no seguinte link: https://www.youtube.com/watch?v=TlsqGpE7Td8 NÍVEL BÁSICO 1. (G1 - ifal) Assinale a alternativa verdadeira. a) {1, 2, 4, 6, 7} = [1, 7]. b) Se C = ] – 1, 3], então , más . c) Se D = [2, 6], então , mas . d) A intersecção de dois intervalos numéricos é sempre um intervalo numérico. e) A união de dois intervalos numéricos pode ser um conjunto vazio.

       

2. (G1 - UTFPR) Indique qual dos conjuntos abaixo é constituído somente de números racionais. a) b)

                                                                   c) d) e)

3. (Ufmg) Considere a função

Então, é CORRETO afirmar que o maior elemento do conjunto

              

a) b) f (1). c) f (3,14). d)

                

é:

4. (Uff) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), “Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem.”

Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções humanas.  Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que: a) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. b) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional. d) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional. e) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo. 5. (Ufjf) Define-se o comprimento de cada um dos intervalos intervalos [a, b], ]a, b[, ]a, b] e [a, b[ como sendo a diferença (b - a). Dados os intervalos M = [3, 10], N = ]6, 14[, e P = [5, 12[, o comprimento do intervalo resultante de  é igual a: a) 1. b) 3. c) 5.

    

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d) 7. e) 9.

NÍVEL INTERMEDIÁRIO 6. (Fgv) Considere as frações 1/n e 1/p, com n e p sendo números irracionais. Sobre o resultado da soma 1/n + 1/p afirma-se que pode ser: I. inteiro não nulo; II. racional não inteiro; III. irracional; IV. zero; V. imaginário puro. É correto apenas o que está contido em a) I e II. b) II e IV. c) I, II e III. d) I, II, III e IV. e) II, III, IV e V. 7. (Ufsj) Sejam r 1 e r 2 números racionais quaisquer e s1 e s2 números irracionais quaisquer, é INCORRETO afirmar que: a) o produto  será sempre um número racional. b) o produto  será sempre um número irracional. c) o produto  será sempre um número irracional. d) para   a razão  será sempre um número racional.

     

8. (Epcar (Afa)) Considere os seguintes conjuntos numéricos também os seguintes conjuntos:



 e considere

      Das alternativas abaixo, a que apresenta elementos que pertencem aos conjuntos A, B e D, nesta ordem, é a) –3; 0,5 e b) c) d)

5 2

                                  ; –5 e 2

9. (Uepg) Assinale o que for correto. 01) O número real representado por 0,5222... é um número racional. 02) O quadrado de qualquer número irracional é um número racional. 04) Se m e n são números irracionais então m.n pode ser racional. 08) O número real  pode ser escrito sob a forma , onde a e b são inteiros e 16) Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau é um número real.

      

 

 

.

10. (Uel) Considere os seguintes conjuntos:

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         

I. II. III.

O conjunto  tem: a) Dois elementos. b) Três elementos. c) Quatro elementos. d) Oito elementos. e) Quatorze elementos.

NÍVEL AVANÇADO 11. (Fuvest) As propriedades aritméticas e as relativas à noção de ordem desempenham um importante papel no estudo dos números reais. Nesse contexto, qual das afirmações abaixo é correta? a) Quaisquer que sejam os números reais positivos a e b, é verdadeiro que . b) Quaisquer que sejam os números reais a e b tais que é verdadeiro que . c) Qualquer que seja o número real a, é verdadeiro que . d) Quaisquer que sejam os números reais a e b não nulos tais que a < b é verdadeiro que . e) Qualquer que seja o número real a, com  é verdadeiro que

                    

      

 



        

12. (Ufpe) Analise a veracidade das afirmações seguintes, sobre propriedades aritméticas dos números: ( ) Se n é um número natural, então, o número  é um natural par. ( ) Se a e b são números reais, e  então, ( ) O produto de dois números irracionais é sempre irracional. ( ) Se n é um número natural, então,  é um natural primo. ( ) A soma de um número racional com um irracional é sempre um número irracional.

        

13. (Ita) Sejam r 1, r 2 e r 3 números reais tais que afirmações:

e

 são racionais. Das

I. Se r 1 é racional ou r 2 é racional, então r 3é racional; II. Se r 3 é racional, então  é racional; III. Se r 3 é racional, então r 1 e r 2 são racionais, é (são) sempre verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) I, II e III.



GABARITO:

1. B 2. B 3. C 4. D 5. C 6. D 7. B 8. D 9. V F V F F 10. B 11. E Página 3 de 8

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12. V F F F V 13. E

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Gabarito: Resposta da questão 1: [B] [A] Falsa, pois {1, 2, 4, 6, 7} possui 5 elementos e [1, 7] possui infinitos elementos. [C] Falsa, pois 3  2,6  . [D] Falsa, pode ser vazia. [E] Falsa, ela sempre terá elementos.

Resposta da questão 2: [B]



1 2



 A resposta correta é a [B], pois todos os elementos do conjunto 5, 0, , 9  podem ser escritos como fração:  –5  –

10 2

, 0

0 3

,

1 2

,  e

9 

6 2

.

Resposta da questão 3: [C]   7   7  ,  31  31

 f  

f(1)  1,

f(3,14)  3,14

  24    2  1  2  24 12    

f 

Logo o maior elemento do conjunto é f(3,14)

Resposta da questão 4: [D] a) Falsa,

2. 2   2(racional )

b) Falsa,  2  2   0(racional ) c) Falsa, são infinitos d) Verdadeira e) Falsa, -3 –(-5) = 2

Resposta da questão 5: [C] Como M  P  [5, 10]  e P  N  [5, 6],  segue que (M  P)  (P  N)  [5, 10].  Assim, o comprimento desse intervalo é 10  5  5.

Resposta da questão 6: [D] Resposta da questão 7: [B]  A alternativa [B] é a incorreta, pois o produto de dois irracionais pode ser racional. Exemplo: 2  8  4

Resposta da questão 8: Página 5 de 8

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[D]  A alternativa [A] não pode ser, pois 3  A.  A alternativa [B] não pode ser, pois 10  B.  A alternativa [C] não pode ser, pois 5  B. Portanto, a alternativa correta é a [D], pois

3  A, 3  B e 2,31  D. 2

Resposta da questão 9: 01+ 04 = 05 (01) Verdadeiro,. 0,52222... = 47/90 (02) Falso, pois

  

2

é irracional.

(04) Verdadeiro. 2  8  16  4 (08) Falso, ele é irracional. (16) Não, pode ser complexa

Resposta da questão 10: [B] Resposta da questão 11: [E] [A] Incorreta. Tomando a  9  e b 4,  segue que 

9  4  13  9  4  3  2  5.

[B] Incorreta. Para a  1 e b

1,  obtemos

 

a2  b2  12  (1)2  1  1  0.

Porém, a  b. [C] Incorreta. Qualquer que seja o número real a, temos que

a2  | a | .  Observe que, por

exemplo, ( 1)2  | 1|  1  1. [D] Incorreta. Sejam a   1  e b  1.  Temos que 1  1 e

1 1   1  1. 1 1

[E] Como 0  a  1,  segue que 0  a2  a  0  a 2  a

 0 |a| a  0  a  a.

Portanto, 0  a2  a  a  0  a2  a.

Resposta da questão 12: V – F – F – F – V. Se n  for par, então n(n  1)(2n  1)  é par. Se n  for ímpar, então n  1  é par e, portanto, n(n  1)(2n  1)  é par. Desse modo, n(n  1)(2n  1)  é um natural par para todo natural n. Página 6 de 8

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Se a  0  e b

4

4

4

4

1,  então a  b  0  ( 1)  1  0.  Porém, a  b  0  ( 1)  1  0.

 

O produto dos irracionais a  3  1  e b  3  1  é dado por a  b  ( 3  1)( 3  1)  ( 3) 2  12  2.

Portanto, como 2  é racional, segue que o produto de dois irracionais nem sempre é irracional. Para n  11,  vem n2  n  11  112  11  11

 11 (11 2)  11 13

Portanto, n2  n  11  é um número composto para n  11. Sejam a  um racional e b  um irracional. Sabendo que a soma de dois racionais é um racional, e supondo que a  b  é racional, temos que (a  b)  a  b  é racional. Mas, por hipótese, b  é irracional, nos levando, assim, a uma contradição. Portanto, a soma de um racional com um irracional é sempre um irracional.

Resposta da questão 13: [E] Afirmação I (Verdadeira) r1  Q e r1  r2  Q , concluímos r2  Q , sabendo também que r1  r2  r3  Q  concluímos que r3  Q . r2  Q

e

r1  r2  Q , concluímos que r1  Q , sabendo também que r1  r2  r3  Q

concluímos que r3  Q .

Afirmação II (Verdadeira) r3  Q e r1  r2  r3  Q , concluímos que r1  r2  Q . Afirmação III (Verdadeira) r3  Q e r1  r2  r3  Q , concluímos que r1  r2  Q , sabendo que r1  r2  Q  temos 2r1  Q , ou seja, r1  Q e r2  Q .

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Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 08/05/2014 às 16:15 Nome do arquivo: Conjuntos Num?ricos Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro® Q/prova Q/DB

Grau/Dif.

Matéria

Fonte

Tipo

1 ............. 113303 ..... Média ............ Matemática ... G1 - ifal/2012 ....................... Múltipla escolha 2 ............. 118866 ..... Baixa ............. Matemática ... G1 - utfpr/2012 ..................... Múltipla escolha 3 ............. 91004 ....... Baixa ............. Matemática ... Ufmg/2010 ........................... Múltipla escolha 4 ............. 91289 ....... Baixa ............. Matemática ... Uff/2010 ............................... Múltipla escolha 5 ............. 117755 ..... Baixa ............. Matemática ... Ufjf/2012............................... Múltipla escolha 6 ............. 71950 ....... Não definida .. Matemática ... Fgv/2007 .............................. Múltipla escolha 7 ............. 125246 ..... Média ............ Matemática ... Ufsj/2013 .............................. Múltipla escolha 8 ............. 119912 ..... Média ............ Matemática ... Epcar (Afa)/2013 .................. Múltipla escolha 9 ............. 90888 ....... Baixa ............. Matemática ... Uepg/2010 ........................... Somatória 10 ........... 86579 ....... Não definida .. Matemática ... Uel/2009............................... Múltipla escolha 11 ........... 122020 ..... Elevada ......... Matemática ... Fuvest/2013 ......................... Múltipla escolha 12 ........... 119730 ..... Elevada ......... Matemática ... Ufpe/2012 ............................ Verdadeiro/Falso 13 ........... 110924 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2012 ................................ Múltipla escolha

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