Conjuntos-notacion de Intervalos

MATH 111 Lección 11 Capitulo 1 Sec. 1.4 Conjuntos, Notación de Intervalo y Desigualdades (Inecuaciones)

Desigualdades • Una desigualdad es una oración conteniendo < (menor que), > (mayor que), ≤ (menor o igual que), ≥ (mayor o igual que) o ≠ (no es igual) . • Ejemplos: -2 < a,  x > 4,  x + 3 ≤ 6, 6 – 7 – 7 x ≥ 10 y - 4 o

5 x ≠ 10

Desigualdades • Cualquier reemplazo por las variables que haga una desigualdad cierta, se llama una solución. • El conjunto de todas las soluciones se llama el conjunto de solución. • Cuando todas las soluciones de una desigualdad se han encontrado, decimos que hemos resuelto la desigualdad.

Desigualdades •

Ejemplos: Determine si el número dado es una solución de la desigualdad. 1. Verifique si 5 es una solución de  x + 3 < 6.  x  3  6

53 6 86

Sustituimos por 5 Falso

Encontramos que 5 no es una solución

Desigualdades 2. Verifique si 1 es una solución de la ecuación 2 x – 3 > -3. 2 x  3  3 2 1  3  3

 1  3

Sustituimos Cierto

Por lo tanto 1 es una solución

3. Verifique si 3 es una solución a la ecuación 4 x – 1 ≤ 3 x + 2. 4 x  1  3 x  2

4  3  1  3  3   2 11  11

Sustituimos Cierta

Por lo tanto 3 es una solución

Desigualdades y Notación de Intervalo •

La gráfica de una desigualdad es un dibujo que representa su solución.

•

Una desigualdad en una variable se puede graficar en la recta numérica.

•

Ejemplos: 4. Trace  x < 4 en la recta numérica.  – Primero escribimos el conjunto de solución:

 x x  4 Esto lee como “el conjunto de todas las  x tal que  x es menor que 4.”

Desigualdades y Notación de Intervalo  – Otra manera de escribir la solución es usando notación de intervalo y se representa así:

(-∞ , 4)  – Luego trazamos la gráfica en la recta numérica como sigue: )  – Donde la solución es todos los números reales menor que 4 y: • sombreamos todos los números menor que 4, • e indicamos que el 4 no es una solución usando un paréntesis derecho “)” en 4.

Desigualdades y Notación de Intervalo • Notación de intervalo es otra manera de representar la solución a una desigualdad.  – La notación de intervalo usa paréntesis ( ) y corchetes [ ]. • Los paréntesis indican que los puntos finales no están incluidos. • Los corchetes indican que los puntos finales están incluidos.

Desigualdades y Notación de Intervalo •  A continuación ilustraremos como representar varias soluciones a desigualdades:  – Si a y b son números reales tal que a < b, definimos el intervalo (a, b) como el conjunto de todos los números entre pero no incluyendo a a y b; esto es, el conjunto de todas las  x por la cual a b es equivalente a a + c > b + c

Similar expresión se mantiene para ≤ y ≥ .

• Dado que restando c es lo mismo que sumando  – c, no hay necesidad para un principio separado de resta.

Resolviendo Desigualdades 9. Resuelva y trace la gráfica:  x + 5 > 1 .  x  5  1  x  5  5  1  5

Usando el principio de suma: sumando -5 o restando 5

 x  4

 4,     x x  4

Notación de Intervalo y Conjunto de Solución

( -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Gráfica

0

1

2 3 4 5 6 7 8 9

Resolviendo Desigualdades 10.Resuelva y trace la gráfica: 4 x – 1 ≥ 5 x – 2 . 4 x  1  5 x  2 4 x  1  2  5 x  2  2

Sumando 2

4 x  1  5 x

Simplificando

4 x  1  4 x  5 x  4 x

Restando 4 x

1   x

Simplificando

 ,1   x x  1

Notación de Intervalo y Conjunto de Solución

] -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2 3 4 5 6 7 8 9

Gráfica

Resolviendo Desigualdades • El principio de multiplicación para desigualdades:  – Para cualquier número real a y b, y cualquier  número p o s i t i v o   c  : a < b es equivalente a ac < bc ; a > b es equivalente a ac > bc .  – Para cualquier número real a y b, y cualquier  número : n e g a t i v o   c  a < b es equivalente a ac > bc ; a > b es equivalente a ac < bc . Expresiones similares se mantienen ciertas para ≤ y ≥ .

• Dado que división por  c es lo mismo que multiplicación por  1/c, no hay necesidad para un principio de división separado.

Resolviendo Desigualdades 11.Resuelva y trace la gráfica: 3 y 1 3



 3 y   y



3 y

3



3 4

4 1 3



3 4

Multiplicando por

1 3

. El símbolo se mantiene igual.

1 4

1  1  ,   4    y y  4     

Notación de Intervalo y Conjunto de Solución

1 4

) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

Gráfica 1

2 3 4 5 6 7 8 9

Resolviendo Desigualdades 12.Resuelva y trace la gráfica: -5 x ≥ -80 .  5 x  80 5 x 80  5 5  x  16

Dividimos por -5. El símbolo tiene que ser invertido.

 ,16   x x  16 ] -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2 3 4 5 6 7 8 9

16

Resolviendo Desigualdades 13.Resuelva: 16 – 7 y ≥ 10 y - 4 . 16  7 y

 10 y  4

16  16  7 y  16  10 y  4  7 y  10 y  20 10 y   7 y   10 y  10 y  20

Sumando -16

Coleccionando términos iguales Sumando -10 y

 17 y  20 17 y 17  y

 

20

Dividiendo por -17. El símbolo tiene que ser  invertido.

17 20

Simplificando

17

20   20    , 17    y y  17     

20 17

] -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2 3 4 5 6 7 8 9

Resolviendo Desigualdades

• Resuelva: -3( x + 8) -5 x > 4 x - 9 3  x  8   5 x  4 x  9 3 x  24  5 x  4 x  9

Usando la ley distributiva

24  8 x  4 x  9 24  8 x  8 x  4 x  9  8 x

Coleccionando términos iguales Sumando 8 x

24  12 x  9

Coleccionando términos iguales

24  9  12 x  9  9

Sumando 9 Simplificando

15 x  12 x 15 12



5 4



12 x 12

Dividiendo por 12. El símbolo se queda igual.

  x

5  5  ,       x x     4  4 



5 4

)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2 3 4 5 6 7 8 9