Conjuntos Infinitos - Numerables y Contables

 

Njlbultjs kl﬍lktjs, ludormi`os y njltmi`os Yonjreodjs quo ul njlbultj  njlbultj   M  os ``mdmej kl﬍lktj sk lj os ﬍lktj, `j quo qukoro eonkr quo   M  lj os vmnäj y quo  quo quo   M      B l   pmrm tjej  tjej   l   ∃   L. @m ekhorolnkm hulemdoltm` oltro `js njlbultjs ﬍lktjs y `js kl﬍lktjs os quo `js njlbultjs ﬍lktjs lj sjl oqukpjtoltos m lklgòl suinjlbultj prjpkj, dkoltrms quo ul njlbultj kl﬍lktj os oqukpjtolto m m`gòl suinjlbultj prjpkj. Uojrodm =.   ^k  M  M  os ul njlbultj kl﬍lktj, oltjlnos oxksto ulm hulnkþl klyontkvm  h    h   2 L ↙ M.

Eodjstrmnkþl.  Eo﬍lkrodjs kleuntkvmdolto `m hulnkþl  hulnkþl   h   2 L ↙ M njdj  M  njdj skguo.

 M . =. Njdj Njdj M  M os  os kl﬍lktj, M kl﬍lktj,  M lj  lj os vmnäj. Msä, pjeodjs osnjgor y ﬍bmr ul o`odoltj m o`odoltj  m =  ∃  M. Eo﬍lkdjs   h  Eo﬍lkdjs h (=) (=) 4 m 4  m= . 9. ^upjlkolej quo ym so eo﬍lkorjl   h  h (=) (=),, h  h (9) (9),, . . . , h (  l), oltjlnos o` njlbultj   {h (=) h (=),, h  h (9) (9),, . . . , h (  l)}  os ul suinjlbultj ﬍lktj eo   M1 y njdj  njdj   M  os kl﬍lktj, eoiol oxkstkr o`odoltjs ol  ol   M   ekhoroltos eo  eo   h  h (=) (=),, h  h (9) (9),, . . . , h (  l). @uogj, pjeodjs osnjgor y ﬍bmr ml+=  ∃  M quo  M  quo os ekstkltj eo h  eo  h (=) (=),, h  h (9) (9),, . . . , h (  l). Eo﬍lkdjs  Eo﬍lkdjs   h (l + =) 4 m 4  m l+= . Vjr o` prklnkpkj eo kleunnkþl dmtodítknm,   h  h ((l)   ostí eo﬍lkej pmrm tjej   l   ∃   L, y msä tolodjs ulm hulnkþl ikol eo﬍lkem  eo﬍lkem   h   2 L ↙ M.  M . Xomdjs quo  quo   h  h  os  os klyontkvm. ^oml  ^oml   l, d  ∃ L   njl njl l  l 0 d. Oltjlnos, pjr `m dksdm hjrdm ol quo so eo﬍lknkþl `m hulnkþl   h ,   h  h ((d)  os ekhorolto eo   h (=) h (=),, h (9) h (9),, . . . , h (  d ∙ =), =), y njdj eo  h ((l). Ostj tordklm h  h ((l)  ostí eoltrj eo ostjs o`odoltjs, rosu`tm quo  h (  h (d)  os ekhorolto eo h  `m pruoim. Eo﬍lknkþl 9.   ^om ^om M  M  ul njlbultj. Eonkdjs quo M quo  M  os  ludormi`o  sk  M  ∰ L.

[m vkdjs mltorkjrdolto quo   L  os kl﬍lktj. Vjr `j tmltj, num`qukor njlbultj ludormi`o os kl﬍lkt kl﬍lktj. j. Njrj`mrkj >.   _l njlbultj   M  os kl﬍lktj sk y sj`j sk tkolo ul suinjlbultj ludormi`o.

Eodjstrmnkþl.   (⇙) ^upjlgmdjs quo  quo   M  os kl﬍lktj. Vjr o` Uojrodm = Uojrodm  =,,  oxksto ulm hulnkþl klyontkvm h  klyontkvm  h    2  L ↙  M.  M . @m hulnkþl g hulnkþl  g  2  L ↙  h   h ((L)  emem pjr g pjr  g((l) 4  h (  h (l)  pmrm tjej l tjej  l  ∃ L  os ikyontkvm, msä quo h  quo  h ((L)  os ludormi`o y h  y  h ((L)  ⊈  M.  M .

(⇖) Vjr njltrmrronäprjnj, sk M sk  M huorm  huorm ﬍lktj, oltjlnos tjej suinjlbultj eo M eo  M soräm  soräm ﬍lktj y msä M msä  M  lj toleräm lklgòl suinjlbultj ludormi`o. ^upjlgmdjs quo  quo   M  os ul njlbultj ludormi`o. ^om  ^om   h   h   2  L  ↙  M  ulm hulnkþl ikyontkvm. ^k pmrm nmem l nmem  l  ∃ L  eo﬍lkdjs  eo﬍lkdjs m  m l  24  24 h   h ((l), oltjlnos pjeodjs roprosoltmr m M m  M ol  ol `m hjrdm M  4  {m= , m9 , m> , . . . , ml , . . .},

 

(=)

4  md   sk sk   l  4 d.  d . ejleo  m l   ejleo m O` Njrj` Njrj`mrkj mrkj   >   ljs ekno quo eo ul njlbultj kl﬍lktj, skodpro pjeodjs oxtrmor ul suinjlbult suinjlb ultjj lud ludormi` ormi`oo eo `m hjrdm  {m= , m9 , m> , . . . , ml , . . .}, ejleo m ejleo  m l   4 md   sk l sk  l   4 d.  d . =

 

Uojrodm 5.   ^k  M  M  os ul njlbultj kl﬍lktj y  m  m  ∃  M , oltjlnos  M  M   y  M  M P {m}  sjl oqukpjtoltos.

Eodjstrmnkþl.   ^oml M ^oml  M ul  ul njlbultj kl﬍lktj y m y  m  ∃  M.  M . Oltjlnos M Oltjlnos  M P {m} tmdikël os kl﬍lktj,

puos eo `j njl njltrmrk trmrkj, j, (  (M  4 M  soräm ﬍lktj. Vjr o` Njrj`mrkj > Njrj`mrkj  >,,  M P {m}  tkolo ul M P {m}) ∢ {m} 4  M soräm suinjlbult suinjlb ultjj lud ludormi` ormi`oo eo `m hjrdm  {m= , m9 , m> , . . . , ml , . . .}, ejleo m ejleo  m l   4 md   sk l sk  l   4 d.  d . Ekvkekdjs m M m M ol  ol ejs pmrtos2 I pmrtos2  I   4 {m, m= , m9 , m> , . . . , ml , . . .} y N   4  M P{ m, m= , m 9 , m > , . . . , ml , . . .}. Eo hjrdm skdk`mr, ekvkekdjs m M m  M P {m}  ol ejs pmrtos2 E pmrtos2  E 4  4  { m= , m9 , m> , . . . , ml , . . .} y   O  O    4 (M  P {m})  P {m= , m9 , m> , . . . , ml , . . .}. Oltjlnos tolodjs quo   I   ∫ N    N   4   ∏, I  ∢  N    N   4 M, E ∫ O   4 ∏  y  E ∢ O   4 M 4  M P {m}. @m hulnkþl h  hulnkþl  h    2  I  ↙  E eo﬍lkem  E  eo﬍lkem pjr h  h ((x) 4



m= ,   sk sk x  x 4  4 m  m11 ml+= ,   sk sk x  x 4  4 m  ml  pmrm m`gòl l m`gòl  l  ∃ L,

os ikyontkvm. @js njlbultjs N  njlbultjs  N    y  O   O  sjl  sjl kgum`os, msä quo `m hulnkþl keoltkeme K  keoltkeme  K N   O    os N   2  N   ↙  O  ikyontkvm. @uogj, `m hulnkþl pjr trmdjs c trmdjs  c 2 2 M  M  ↙  (M  ( M P {m})  emem pjr

c(x) 4

h  h ((x),   sk sk x  x  ∃  I1  I 1 K N (x),   sk sk x  x  ∃  N ,  N ,



4

 

m,   sk x sk  x 4  4 m  m = 1 ml+= ,   sk x sk  x 4  4 m  m l  pmrm m`gòl l m`gòl  l  ∃ L1 x,   sk x sk  x  ∃  N ,  N ,

os ikyontkvm. Ostj duostrm quo M quo  M  ∰  (  (M M P {m}). Njrj`mrkj ?.  _l njlbultj   M   os kl﬍lktj sk y sj`j sk os oqukpjtolto m m`gulj eo sus suinjlbultjs prjpkjs. Eo﬍lknkþl 8.  _l njlbultj M njlbultj  M  os ``mdmej   njltmi`o  sk  M  os ﬍lktj j ludormi`o. Uojrodm 7.  Ujej suinjlbultj eo   L  os njltmi`o.

Eodjstrmnkþl.   ^om ^om   M   ⊈   L  y msudmdjs quo  quo   M  lj os ﬍lktj. Eoiodjs djstrmr quo oxksto ulm ikyonnkþl  ikyonnkþl   h   2 L ↙ M.  M . Ol ohontj, eo﬍lkdjs `m hulnkþl h  hulnkþl  h  kleuntkvmdolto  kleuntkvmdolto njdj skguo2

=.   h  h (= (=)) 24 dµĽĽl l M  (ljto quo njdj M njdj  M  lj os ﬍lktj, M ﬍lktj,  M  os lj vmnäj). 9. Msudkolej quo ym so eo﬍lkorjl  eo﬍lkorjl   h (=), (=), h  (9),, . . . , h (  l), eo﬍lkdjs h (9) h  h ((l + =) = ) 24 dµĽĽl( l (M P {h (=) h (=),, h (9) h (9),, . . . , h (  l)}) (ljto quo njdj M njdj  M  lj os ﬍lktj, o` njlbultj M njlbultj  M P {h (=) h (=),, h (9), (9), . . . , h (  l)}  lj os vmnäj). Vjr o` prklnkpkj eo kleunnkþl dmtodítknm, h  dmtodítknm,  h ((l)  ostí eo﬍lkej pmrm tjej l tjej  l  ∃ L. M﬍rdmdjs quo `m hulnkþl h  hulnkþl  h  os  os ikyontkvm. Klyontkvkeme. ^upjlgmdjs quo l quo  l 0 d. Oltjlnos

h  h ((d) 4 dµĽl(M P {h  h (=) (=),, h (9), (9), . . . , h (  d ∙ =)}), 9

 

y jisorvodjs quo  quo   h  h ((l)   ∃ {h  h (=) (=),, h  h (9) (9),, . . . , h (  d ∙ =)}  dkoltrms quo  quo   h ( h (d)  ∃ / {h (=) h (=),, h (9) h (9),, . . . , h (  d ∙ =)}. Msä, h  Msä,  h ((l)   4  h   h ((d). Ol pmrtknu`mr tolodjs quo   L ∰  h   h ((L). ^jiroyontkvkeme. ^upjlgmdjs quo h  quo h  lj  lj os sjiro. Oltjlnos oxksto m oxksto m  ∃  M tm`  M  tm` quo m quo m   4  h (  h (l) pmrm tjej  tjej   l   ∃   L. Djstrmrodjs pjr kleunnkþl njdp`otm quo   h ( h (l)   0 m  pmrm tjej  tjej   l   ∃   L,

`j quo djstrmräm quo   h  h ((L)   os suinjlbultj eo   L   quo os mnjtmej suporkjrdolto, msä quo h  h ((L)   soräm ﬍lktj y pjr `j tmltj   L   soräm ﬍lktj, ym quo   L   ∰   h ( h (L), y ostj ljs emräm ulm njltrmeknnkþl. Mcjrm, eodjstrodjs quo   h  eo﬍lknkþl,   h (= Ľl M, h ((l)   0 m   pmrm tjej   l   ∃   L. Vjr eo﬍lknkþl,  h (=)) 4 dµĽl y njdj   m    4   h  h (=) (=),, rosu`tm quo   h  h (=) (=) 4 dµĽl M 0 m. ^upjlgmdjs quo   h ( h (a )   0 m   pmrm a   4 =, 9, . . . , l. l. Oltjlnos   m   ∃   M  P {h  h (=) (=),, h  h (9) (9),, . . . , h (  l)}. @uogj, njdj   m    4   h ( h (l  + =)   y h  h ((l + =) = ) 4 dµĽl( Ľl (M P {h  h (=) (=),, h  h (9) (9),, . . . , h (  l)}), tolodjs quo  quo   h ( h (l + =)  =)   0 m. Ostj tordklm `m eodjstrmnkþl. Njrj`mrkj 3.   Ujej suinjlbultj eo ul njlbultj njltmi`o os njltmi`o.

Eodjstrmnkþl.   ^om ^om M  M ul  ul njlbultj njltmi`o y S  y  S   ⊈  M.  M . ^k ^k M  M os  os ﬍lktj, oltjlnos S  oltjlnos  S  os  os ﬍lktj, y `kstj. Msudmdjs mcjrm quo  quo   M  os ludormi`o. Oltjlnos oxksto ulm ikyonnkþl  h    h   2  M  ↙  L .

@m hulnkþl  hulnkþl   g   2   S   ↙   h  h ((S )  emem pjr  pjr   g(x) 4   h  h ((x)  pmrm tjej  tjej   x   ∃   S  S  os  os ikyontkvm, msä quo quo  S  tmdikël  tmdikël os njltmi`o. Uojrodm  7,,  h   h ((S )  os njltmi`o, msä quo S  S   ∰  h   h ((S ), porj pjr o` Uojrodm 7 Uojrodm ;.   ^om   M  ul njlbultj. @ms skgukoltos sjl oqukvm`oltos.

=.   M  os njltmi`o. 9. Oxksto ulm hulnkþl sjiroyo sjiroyontkvm  ntkvm   h   2 L ↙  M . >. Oxksto ulm hulnkþl hulnkþl klyontkvm  klyontkvm   g  2 M  2  M  ↙ L. Eodjstrmnkþl.  Os n`mrj quo quo =  = kdp`knm  kdp`knm 9  9.. Xomdjs quo 9 quo  9 kdp`knm  kdp`knm >  >.. ^upjlgmdjs quo oxksto ulm hulnkþl sjiroyontkvm h  sjiroyontkvm  h    2  L  ↙  M.  M . Eo﬍lmdjs g Eo﬍lmdjs  g  2  M  ↙  L  eo `m skgukolto dmlorm2 emej m  ∃  M,  M , njdj h  njdj  h  os  os sjiroyontkvm, o` njlbultj h  njlbultj  h ∙= ({m})  ⊈ L  os lj vmnäj. Vjr o` prklnkpkj eo`

iuol jreol, oxksto dµ oxksto  dµĽl h ∙= ({m}). Eo﬍lkdjs  Eo﬍lkdjs   g (m) 4 dµĽl h ∙= ({m}). Msä,  Msä,   g(m)  ostí eo﬍lkej pmrm tjej m tjej  m  ∃  M y  M  y  g(  g (m)  ∃ L. Xomdjs quo g quo g os  os klyontkvm. Ol ohontj, supjlgmdjs quo m quo  m= , m9  ∃  M sjl  M  sjl tm`os quo g quo  g((m= ) 4 ∙= ∙= g (m9 ). Oltjlnos, njdj   g (m= ) 4 dµĽl h  ({m= }), tolodjs quo   g(m= )   ∃   h  ({m= }), `j quo qukoro eonkr quo h  quo  h ((g (m= )) 4  m= . ^kdk`mrdolto, h  ^kdk`mrdolto,  h ((g(m9 )) 4 m 4  m9 . @uogj m=  4  4 h   h ((g (m= )) 4 h   h ((g(m9 )) 4 m9 . Ostj duostrm quo g quo  g  os klyontkvm. Hklm`dolto vomdjs quo   >  kdp`knm  kdp`knm   =. Ol ohontj, supjlgmdjs quo oxksto ulm hulnkþl klyontkvm   g   2   M   ↙   L. Oltjlnos   M   ∰   g (M), y   g(M)   ⊈   L. Vjr o` Uojrodm   7,   g(M)   os klyontkvm njltmi`o, msä quo M quo  M  tmdikël os njltmi`o. @odm =6.   O` prjeuntj nmrtoskmlj   L × L   os ludormi`o.

>

 

Eodjstrmnkþl.  Os n`mrj quo   L × L  os kl﬍lktj, puos njltkolo m` suinjlbultj   L × {=}  quo os oqukpjtolto m   L. Njlskeorodjs `m hulnkþl   h  h    2   L × L   ↙   L   emem pjr   h ( h (l, d) 4   l  + 9l+d pmrm tjej (l, d)  ∃  L × L. Vrjimrodjs quo  quo   h  Uojrodm   ;   quo   L × L h    os klyontkvm. ^o sogukrí pjr o` Uojrodm 

os njltmi`o, y pjr `j tmltj ludormi`o. ^upjlgmdjs ^upjlgmd js quo   h (l, d) 4   h  h ((a, `), ejleo   (l, d), (a, `)   ∃   L  ×   L. ^kl përekem eo golorm`keme, pjeodjs msudkr quo l quo l  ≯  a.  a . Msä, 6 Msä, 6  ≥  l ∙a 0 l1 porj njdj l njdj l+9 +9l+d 4 a+9  a +9a+` , tolodjs l tolodjs  l ∙ a  4 9a+` ∙ 9l+d , y pjr `j tmltj 6 ≥  9a+` ∙ 9l+d 0 l,   msä quo quo 9  9 l+d ≥  9a+` 0 l + 9l+d . Vjr jtrj `mej, l `mej,  l 0 9l 0  9l+d. Msä, tolodjs 9l+d ≥  9a+` 0 l + 9l+d 0 9l+d + 9l+d 4 9l+d+= , eo ejleo so skguo quo l quo  l + d ≥  a  a +  + ` 0 l + d + =. =. Lonosmrkmdolto l Lonosmrkmdolto  l + d  4 a  4  a +  + `, msä l ∙ a  4 9a+` ∙ 9l+d 4 9a+` ∙ 9a+` 4 6 ostj os, l os,  l 4  4 a  a  y pjr tmltj tmdikël d tmdikël  d 4  4 ` `.. Msä, ( Msä,  (l, l, d) 4 (a, `). Uojrodm ==.   ^k   M   y   I   sjl njltmi`os, oltjlnos   M × I   os njltmi`o.

Eodjstrmnkþl.   ^oml M ^oml  M y  y  I  njlbultjs njltmi`os. Oltjlnos, pjr o` Uojrodm  ;  oxkstol hulnkjlos klyontkvms  klyontkvms   h  h    2   M   ↙   L   y   g   2   I   ↙   L. @m hulnkþl  hulnkþl   c   2   M  ×  I   ↙   L × L  emem pjr

c(x, y) 4 (h  h ((x), g (y)) ))   pmrm tjej  tjej   (x, y)   ∃   M × I  os klyontkvm (vork﬍nmr`j). Mcjrm, pjr o` @odm   =6 =6,,   L  ×  L   os ludormi`o, msä quo oxksto ulm hulnkþl ikyontkvm   a   2   L  ×  L   ↙   L. @m njdpjsknkþl   a  ◨  c   2   M  ×  I   ↙   L   os klyontkvm, msä quo pjr o` Uojrodm   ;,   M  ×  I   os njltmi`o. Njrj`mrkj =9.  O` prjeuntj ﬍lktj eo njlbultjs njltmi`os os njltmi`o. Os eonkr, sk   M= , M9 ,  4  M = × M9 × · · · × Ml , os njltmi`o. . . . , Ml   sjl njlbultjs njltmi`os, oltjlnos  kl4= Mk  4 M



Eodjstrmnkþl.  @m eodjstrmnkþl so eobm njdj obornknkj. Njrj`mrkj =>.  O` njlbultj   ]  os njltmi`o.

Njdj n`mrmdolto   ]  os kl﬍lktj, rom`dolto   ]  os ludormi`o. Eodjstrmnkþl.  @m hulnkþl  hulnkþl   h  h    2   R × L  ↙   ]  emem pjr  pjr   h ( h (d, l) 4  d/l  pmrm tjej  tjej   (d, l)   ∃ R × L  os sjiroyontkvm. Njdj  R  y  L  sjl njltmi`os, pjr o` Uojrodm == Uojrodm  ==,,  R × L  os njltmi`o, `uogj pjr o` Uojrodm  Uojrodm   ;, oxksto ulm hulnkþl sjiroyontkvm  sjiroyontkvm   c  2  L  ↙  R × L. @m njdpjsknkþl h   ◨ c  2 L ↙ ]  os sjiroyontkvm, msä quo pjr o` Uojrodm  ;,  ; ,   ]  os njltmi`o. Uojrodm =5.   ^oml   K  K  ul njlbultj njltmi`o eo äleknos y  { Mk }k∃K  ulm hmdk`km eo njlbultjs  njltmi`os. Oltjlnos 

Mk k∃K 

os njltmi`o. Ol pm`mirms, ulm ulkþl njltmi`o eo njlbultjs njltmi`os, os njltmi`o.



5

 

Eodjstrmnkþl.   _tk`kzmlej `ms ckpþtosks eo quo   K  os K  os njltmi`o y quo   Mk   os njltmi`o pmrm tjej   k   ∃   K , djstrmrodjs quo oxksto ulm hulnkþl sjiroyontkvm   h   tjej h   2   L × L  ↙ k∃K  Mk . Njl



ostj imstmrí pmrm tolor `m pruoim. Njdj   K   Njdj Uojrodm   ;,   oxksto ulm hulnkþl sjiroyontkvm   g   2   L   ↙   K . K   os njltmi`o, pjr o` Uojrodm  Meodís, pmrm nmem k nmem  k  ∃  K   K ,,  M k  os njltmi`o, msä quo oxksto ulm hulnkþl sjiroyontkvm h  sjiroyontkvm  h k  2 L ↙ Mk . Eo﬍lk Eo﬍lkdjs djs h   h    2 L × L ↙ ∃  Mk  eo `m skgukolto dmlorm2



k K 

h (l, d) 4 h g(l) (d)



pmrm tjej ( tjej  (l, l, d)  ∃ L × L. Djstrodjs quo ostm hulnkþl h  hulnkþl  h  os  os sjiroyontkvm. ^om m ^om  m  ∃ k∃K  Mk . Oltjlnos oxksto  oxksto   k6   ∃  K   K  tm`  tm` quo  quo   m  ∃  M k . Njdj  Njdj   g   y  h k  sjl sjiroyontkvms, oxkstol l, oxkstol  l, d  ∃  L tm`os quo  quo   g(l) 4  k 6   y   h k (d) 4  m. @uogj   h   m . @uogj  h ((l, d) 4  h g(l) (d) 4  h k (d) 4  m.  m . Ostj tordklm `m pruoim. 6

6

6

6

Obodp`j =.   ^om ^om M  M ul  ul njlbultj njltmi`o. Oltjlnos pmrm tjej l tjej  l  ∃ L, Ml 4  M × M × · · · × M

os njltmi`o. Vjr o` Uojrodm  Uojrodm   =5 =5,,  `m ulkþl

∜



l4=

Ml os ul njlbultj njltmi`o.

Obodp`j Obodp` j 9.   Njlskeorodjs o` njlbultj   H   H   eo tjems `ms hulnkjlos   h   h   2   L   ↙   L ∢ {6}   quo eo  h )) tm` quo h  quo  h ((l) 4 6  pmrm tjej l tjej  l  ≯  l 6 . smtkshmnol quo oxksto m`gòl l m`gòl  l6  ∃ L (quo eopoleo eo h  mlu` u`m m eos eoseo eo   l6   sk Vmrm hmnk`ktmr `m ljtmnkþl, ekrodjs quo ulm hulnkþl   h   ∃   H   so ml

4 6. porj   h (l6 ∙ =)   nudp`o quo nudp`o quo h  tjej  l  ≯  l 6 , porj   h ((l) 4 6  pmrm tjej l njlbultj  H  os  os njltmi`o. Vmrm nmem l nmem  l  ∃ L, Djstrmrodjs, usmlej o` Uojrodm =5 Uojrodm  =5,, quo o` njlbultj H  som   H l  o` njlbultj eo tjems `ms hulnkjlos quo so mlu`ml eoseo   l. Msä, pjr obodp`j,   H = som sj`j njltkolo m `m hulnkþl njlstmlto 6, porj   H 9   njltkolo kl﬍lktms hulnkjlos1 nmem hulnkþl ol  ol   H 9  so mlu`m eoseo 9, porj o` vm`jr quo tjdm ol = puoeo sor num`qukor lòdorj lmturm`. Uolodjs quo ∜

H  H    4



H l .

l4=

M﬍rdmdjs quo   H l  os njltmi`o pmrm tjej   l   ∃   L. Ol ohontj, sk   l   4 =, oltjlnos   H = njltkolo ul sj`j o`odoltj quo os `m hulnkþl njlstmlto 61 msä,  H =  os ul njlbultj ulktmrkj y pjr `j tmltj ﬍lktj. ^upjlgmdjs lquo l quo  l <  9.  9 . Cm``mrodjs ulm hulnkþl ikyontkvm oltro  oltro   H l   y o` prjeunt prjeuntjj nmrt nmrtoskmlj oskmlj (  ( L ∢ {6}) ∙9 × L. ^om ψ ^om  ψ l  2 H   2  H l  ↙  (L ∢ {6})l∙9 × L  emem pjr ψl (h  h )) 4 (h  h (=) (=),, h  h (9) (9),, . . . , h (  l ∙ =)) pmrm tjem  tjem   h   ∃   H l . ^o eobm njdj obornknkj vork﬍nmr quo ostm hulnkþl os ikyontkvm. Njdj (L ∢ {6})l∙9 × L  os njltmi`o, so skguo quo  quo   H l  os njltmi`o. Hklm`dolto, pjr o` Uojrodm  Uojrodm   =5 =5,,   H  H  os  os njltmi`o puos `j codjs roprosoltmej njdj ulm ulkþl njltmi`o eo njlbultjs njltmi`os. Njdj n`mrmdolto  n`mrmdolto   H  os H  os kl﬍lktj, ol rom`keme  rom`keme   H   H   os ludormi`o.

Obornknkjs =. _l njlbultj os kl﬍lktj sk y sj`j sk njltkolo ul suinjlbultj kl﬍lktj. ?

 

9. ^om M ^om M ul  ul njlbultj ludormi`o y x y x ul  ul o`odoltj. Eoduostro quo M quo  M ∢{ x} os ludormi`o. >. ^om ^om M  M ul  ul njlbultj kl﬍lktj. Eoduostro quo M quo  M os  os oqukpjtolto m kl﬍lktjs suinjlbultjs prjpkjs eo sä dksdj. 5. ^om M ^om  M ul  ul njlbultj kl﬍lktj. Eoduostro quo oxksto ul suinjlbultj kl﬍lktj  N   ⊈  M tm`  M  tm` quo  M  ∰  (M quo M  ( M P N ). ?. ^k M ^k  M  os kl﬍lktj y I y  I  os ﬍lktj, duostro quo  quo   (M ∢ I )  ∰  M.  M. 8. ^om h  ^om  h    2  M  ↙  I  ulm hulnkþl. m ) Vruoio quo sk M sk  M  os kl﬍lktj y  y   h  h  os  os klyontkvm, oltjlnos I oltjlnos  I  os kl﬍lktj. i ) Vruoio quo sk I sk  I  os kl﬍lktj y h  y  h  os  os sjiroyontkvm, oltjlnos M oltjlnos  M  os kl﬍lktj. n ) Vruoio quo sk M sk  M  os njltmi`o y h  y  h  os  os sjiroyontkvm, oltjlnos I oltjlnos  I  os njltmi`o. e ) Vruoio quo sk I sk  I  os njltmi`o y h  y  h  os  os klyontkvm, oltjlnos M oltjlnos  M  os njltmi`o.

7. ^om ^om   M  ul njlbultj ﬍lktj y  y   I  ul njlbultj kl﬍lktj. Vruoio quo oxksto ulm hulnkþl klyontkvm h  klyontkvm  h    2  M  ↙  I  y ulm hulnkþl sjiroyontkvm g sjiroyontkvm  g  2 I  2  I  ↙  M.  M . 3. Vruoio quo tjej njlbultj njltmi`o puoeo roprosoltmrso ol `m hjrdm

{m= , m9 , m> , . . . , ml , . . .} ejleo lj lonosmrkmdolto `js m `js  m l ‛s sjl tjejs ekstkltjs. ;. Njl rohorolnkm m` Uojrodm =5 Uojrodm  =5,, supjlgm meknkjlm`dolto quo m`gòl M m`gòl  M k  os ludormi`o. Eoduostro quo k∃K  Mk  os ludormi`o.



=6. Njl rohoro rohorolnkm lnkm m` Uojro ojrodm dm =5  =5,, supjlgm meknkjlm`dolto quo M quo  M k   4 ∏  pmrm tjej k tjej  k  ∃  k.  k . Eoduostro quo sk K  sk  K  os  os ludormi`o, oltjlnos k∃K  Mk  os ludormi`o. ==. ^oml ^oml K   `m ululkþl njlbultj lj vmnäj y {Mkoltjlnos K  }k∃K  ulm  K  os hmdk`km eo njlbultjs lj vmnäjs. Eoduostro  M  os ﬍lktm, oltjlnos  os ﬍lktj y  M k  os ﬍lktj y M pmrm tjej k tjej  k  ∃  K .  K . quo sk K  ul k∃K  k

 



=9. Vruoio quo sk M sk  M = , M9 , . . . , Ml  sj njltmi`os, oltjlnos =>. Vruoio quo sk

l k4=

l k4=



Mk  os njltmi`o.

Mk  os ﬍lktj, oltjlnos m`gòl M m`gòl  M k  os vmnäj j tjejs `js M `js  M k  sjl ﬍lktjs.

=5. Vmrm Vmrm l  l  ∃ L ∢ {6}, som V  som  V l  4  {M  ⊈ L 2  | M|  4 l  4  l }. Eoduostro quo V  quo  V 6   4 { ∏}  y quo V  quo  V l os ludormi`o pmrm tjej l tjej  l  ∃ L. =?. Eoduostro quo o` njlbultj   H  H ((L)  hjrdmej pjr tjejs `js suinjlbultjs ﬍lktjs eo   L os ludormi`o. =8. ^om   h  h    2   M   ↙   I   ulm hulnkþl sjiroyontkvm tm` quo pmrm tjej   i   ∃   I ,   h ∙= ({i})   os njltmi`o. Vruoio quo M quo  M  os njltmi`o. 8

 

=7. ^om ^om   h   2  L  ↙  M ulm  M  ulm hulnkþl sjiroyontkvm y supjlgm quo  quo   M  os ﬍lktj. Eoduostro quo ∙= oxksto m oxksto  m  ∃  M tm`  M  tm` quo  quo   h  ({m})  os kl﬍lktj. =3. ^om ^om h  Q6,, =T  ↙ Y  ulm hulnkþl. ^upjlgm quo oxksto D oxksto  D <  6 tm`  6  tm` quo  h    2 Q6

|h  h ((x= ) + h  h ((x9 ) + · · · + h ( h (xl )| ≥ D  Q6, =T. =T. Eodjstrmr quo o` njlbultj   O   O   4 pmrm tjej   l   ∃   L   y tjej   x= , x9 , . . . , xl   ∃   Q6, {x   ∃  Q6  Q6,, =T 2  h   h ((x)    4 6}  os njltmi`o.  Myuem.  Vmrm nmem  nmem   l  ∃   L   som som   O l   4  { x   ∃  Q6,  Q6 , =T 2 ∜  = |h  nmem  O l  os ﬍lktj. quo  O  4  4 l4= O l  y quo nmem O  h ((x)|  < l }. Eoduostro quo O 



=;. Eoduostro quo `m hulnkþl  hulnkþl   h   2 L × L ↙ L  emem pjr h  h ((l, d) 4

  (l + d ∙ 9)( 9)(l l + d ∙ =)   +l 9

pmrm tjej ( tjej  (l, l, d)  ∃ L × L  os ikyontkvm. 96. Vruoio quo oxksto ulm hulnkþl sjiroyontkvm   h   2  L  ↙  L  tm` quo  quo   h ∙= ({l})  os kl﬍lktj pmrm tjej l tjej  l  ∃ L. 9=. Osnrkim  L 4 M = ∢ M9 ∢ M> ∢ · · ·  njdj ulkþl kl﬍lktm eo njlbultjs kl﬍lktjs eksyultjs ejs m ejs.

7