Conicas.Quadricas

Cap´ıtulo 1 Cˆ onicas e Qu´ adricas Todas as equa¸c˜ coes o˜es que obtivemos at´e agora foram lineares, lineares , isto ´e, e, equa¸c˜ c˜oes oes que envolvem apenas termos do primeiro grau em  x, y  e  z . Neste cap ca p´ıtulo estudaremos estudar emos primeira p rimeiramente mente as curvas planas plan as que podem ser representadas pelas equa¸c˜ coes o˜es do segundo grau nas vari´aveis aveis x e y.   A seguir, estudaremo estudaremoss as superf´ superf´ıcies ıcies que podem ser represen representadas tadas pelas equa¸c˜ coes o˜es do segundo grau nas vari´ aveis aveis x, y e z.

1.1

Conicas ˆ onicas

onicas onicas s˜ As cˆ ao curvas planas obtidas pela intersec¸c˜ ao cao a˜o de um cone circular duplo (figura 1.1)

com um unico u ´ nico plano. plano. A inclina¸ inclina¸ c˜ cao a˜o do plano com rela¸c˜ cao a˜o ao eixo de simetria do cone determinar´a os diverso diversoss tipos tipos de curvas. curvas. Essas Essas curvas curvas s˜ao ao chamadas de cˆonicas onicas.. S˜ ao ao elas: c´ırculo ou circunfe circ unferˆ rˆencia, enci a, elipse, elip se, par´abola ab ola e hip´ h ip´erbole. erb ole. (Veja figura fig ura 1.2) 1.2 )

Figura 1.1: cone duplo

1

Figura Figura 1.2:

Observa¸ c˜ cao a ˜o 1.1 Se o plano passar pelo v´ ertice  ertice  O  do cone obtemos as  cˆ onicas degeneradas: onicas

Figura 1.3: cˆonicas onicas degeneradas

Estudaremos somente as cˆ  onicas n˜  ao-degeneradas.

2

1.1.1 .1.1

Elip Elipsse

Uma  elipse  ´e o conjunto dos pontos P (x, y ) do plano tais que a soma das distˆ ancia ancia de P  a dois pontos fixos F 1 e F 2   situados no mesmo plano ´e constante. Os pontos p ontos F 1 e F 2 , s˜ao ao chamados focos  da elipse.

Figura 1.4: elipse

Seja d(F 1 , F 2 ) = 2c  (distˆancia ancia focal) e seja a  um n´ umero umero real tal que 2 a > 2 c.  O conjunto de todos os pontos P  do plano que satisfazem a equa¸c˜ cao a˜o d(P, F 1 ) + d(P, F 2 ) = 2 a

ou −−→ −−→  P F 1   +  P F 2   = 2a ´e uma elipse com focos F 1 e F 2 . Observa¸ c˜ cao a ˜o 1.2 Se  a  =  c,  (1.1.1)  (1. 1.1) ´e a equa¸c˜  cao ˜  do segmento F 1F 2 .

3

 

(1.1.1)

Elementos da elipse •   Focos: s˜ao os pontos F 1 e F 2 . ancia focal:  ´e a distˆ ancia 2c  entre os focos. •   Distˆ

•   Centro: ´e o ponto m´edio C   do segmento F 1 F 2. •   Eixo maior: ´e o segmento A1 A2  de comprimento 2a. •   Eixo menor:  ´e o segmento B1 B2  de comprimento 2b. ao os pontos A1 , A2, B1 e B2 . •   V´ ertices: s˜ umero e  dado por e  = •   Excentricidade:  ´e o n´

c .  Como  c < a,  temos 0 ≤ e <  1 . a

Figura 1.5:

Observa¸ ca ˜o 1.3  Em toda elipse vale a rela¸c˜  ao: a2 =  b 2 + c2

Figura 1.6:

4

Equa¸ ca ˜o da elipse com centro na origem do sistema cartesiano Consideremos a elipse com focos F 1 (−c, 0) e F 2 (c, 0).

Figura 1.7:

Logo, a equa¸c˜ao (1.1.1) pode ser escrita como

 (  + ) + +  ( − ) +  (  + ) +   ( (  + ) + ) x

 c

2

 y 2

x

c

2

 y 2 = 2a

x

c

2

 y 2 =

x

 c

2

y2

2

=

(x + c)2 + y 2 =

x2 + 2xc + c2 + y 2 =

  4 ( − ) +  ( − ) +   ( ( − ) + ) a

⇒   2 − ( − ) + ⇒   (2 − ( − ) + ) ⇒   4 −4 ( − ) + +( − ) +   4 − 4 ( − ) + + − 2  + a

x

a

x

2

2

 y 2

x

a2

a

x

c

2

 y 2

 x2

 y 2 = 4a2 − 4xc

a

x

c

2

 y 2 = a2 − xc 2

 y 2

c

2

y2

2

x

c

2

c

 y 2

a

x

c

2

a2

a

x

c

2

xc

 y 2

⇒

 c2 + y 2

⇒

⇒

⇒

= (a2 − xc)2

⇒

a2 ((x − c)2 + y 2 ) = a4 − 2a2 xc + x2 c2

⇒

a2 (x2 − 2xc + c2 + y 2 ) = a4 − 2a2 xc + x2 c2

⇒

a2 x2 − a22xc + a2 c2 + a2 y 2 = a4 − 2a2 xc + x2 c2

⇒

a2 x2 + a2 c2 + a2 y 2 = a4 + x2 c2

⇒

a2 x2 − x2 c2 + a2 y 2 = a4 − a2 c2

⇒

x2 (a2 − c2 ) + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 ) x2 b2 + a2 y 2 = a2 b2

c

⇒

(pois a2 =  b 2 + c2) ⇒

Dividindo ambos os membros por a2 b2 (a  e b  s˜ao n˜ao-nulos) temos x2 y2 + 2 a2 b

5

= 1

(1.1.2)

que e a equa¸cao ˜  da elipse com centro na origem e eixo maior sobre o eixo x. Analogamente, se tomarmos F 1 (0, −c) e F 2 (0, c),  obtemos a equa¸ca˜o x2 y2 + b2 a2

= 1

(1.1.3)

que e a equa¸cao ˜  da elipse com centro na origem e eixo maior sobre o eixo y. (Veja figura 1.8)

Figura 1.8:

Exemplo 1.1  Determine os elementos de cada uma das elipses a seguir:

a) b)

x2

9 x2

+

y2

4

=1

y2

+ =1 4 9 c) 9x2 + 25y 2 = 225 c) 4x2 + y 2 = 16

6

Transla¸ c˜ ao de eixos Consideremos no plano cartesiano xOy  um ponto  O (h, k ).  Vamos 

introduzir um novo sistema x O y tal que os eixos O x e O y tenham a mesma unidade de 













medida, a mesma dire¸c˜ao e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy.  Assim, um sistema pode ser obtido do outro atrav´es de uma transla¸ca˜o de eixos.

Figura 1.9:

Seja um ponto P  qualquer do plano tal que suas coordenadas s˜ao: x  e y  em rela¸c˜ ao ao sistema xOy , x e y em rela¸c˜ ao ao sistema x O y , 









Pela figura (1.9) temos: x  =  x + h  e y  =  y + k ou x =  x − h  e y =  y − k 







que s˜a o as f´  ormulas de transla¸c˜  ao  e que permitem transformar coordenadas de um sistema para outro.

Equa¸ ca ˜o da elipse com centro fora da origem do sistema cartesiano 10 caso:  O eixo maior ´e paralelo ao eixo dos  x.

Consideremos uma elipse de centro C (h, k ) e seja P (x, y ) um ponto qualquer da elipse.

7

Figura 1.10:

Consideremos um novo sistema de eixos x O y com origem em O em C.  Veja figura (1.10) 







A equa¸ca˜o da elipse referente ao sistema x O y ´e 





x2 y2 + =1 a2 b2 



mas, x =  x − h  e y =  y − k 



logo, (x − h)2 a2

+

 ( y − k )2 b2

= 1,

que ´e a equa¸c˜  ao da elipse com centro C (h, k ) e eixo maior paralelo ao eixo dos  x. 20 caso: O eixo maior ´e paralelo ao eixo dos  y

De modo an´alogo ao caso anterior, obtemos: (x − h)2 b2

+

 ( y − k )2 a2

= 1,

que ´e a equa¸c˜  ao da elipse com centro C (h, k ) e eixo maior paralelo ao eixo dos  y.

8

Figura 1.11:

Exemplo 1.2  Determinar a equa¸c˜  ao da elipse, cujo eixo maior ´e paralelo ao eixo dos y, tem 

centro C(4, -2), excentricidade  e  =

1  e eixo menor de medida 6. 2

Exemplo 1.3 Determinar o centro, os v´ ertices, os focos e a excentricidade da de equa¸c˜  ao

4x2 + 9y 2 − 8x − 36y + 4 = 0.

9

1.1.2

C´ırculo ou Circunferˆ encia

O  c´ırculo ou circunferˆencia de raio  r  e centro  C (c1 , c2 ) ´e o conjunto dos pontos  P (x, y ) do plano que est˜ao a uma distˆ ancia r  do centro C,  isto ´e, s˜ao os pontos P (x, y ) que satisfazem `a equa¸c˜ao −→  P C  =  r, ou seja, (x − c1 )2 + (y − c2 )2 =  r ou , x2 + y 2 − 2c1 x − 2c2 y + d  = 0

onde d  =  c 21 +  c22 − r2

Figura 1.12: circunferˆencia

Observa¸ ca ˜o 1.4 Se  F 1 = F 2 = C  a elipse 1.6 acima reduz-se ao c´ırculo de centro C  e raio a.

Al´em disso, e  = 0 (pois  c = 0). Assim, um c´ırculo ´e uma elipse de excentricidade nula. Exemplo 1.4  Determinar o centro e o raio das circunferˆ encias:

a) x2 + y 2 = 9 b) x2 + y 2 + 6x − 8y  = 0

10

1.1.3

Hip´ erbole

erbole  com focos F 1 e F 2  ´e o conjunto dos pontos P (x, y ) do plano tais que Uma  hip´

|d(F 1 , P ) − d(F 2 , P )|   ´e constante.

Figura 1.13: hip´erbole

Sejam F 1 e F 2  dois pontos do plano tais que d(F 1 , F 2 ) = 2c  e seja a  um n´ umero real tal que 2a a,  temos e > 1 . a

Equa¸ c˜ ao da hip´ erbole com centro na origem do sistema cartesiano a sobre o eixo dos  x 1 caso:  O eixo real est´  ◦

Sja P (x, y ) um ponto qualquer da hip´erbole de focos F 1(−c, 0) e F 2 (c, 0).

Figura 1.15:

Da defini¸c˜ao temos |d(P, F 1 ) − d(P, F 2 )| = 2a

   ( − ) +  (  + ) + −  ( − ) +  (  + ) +

| (x + c)2 + y 2 − x

 c

2

y2

x

c

2

⇒

 y 2 | = 2a

⇒

x

c

2

 y 2 = ±2a

x

 c

2

 y 2 =

⇒   ±2  + ( − ) + a

x

c

2

 y 2

Com procedimento an´alogo ao que foi usado na dedu¸c˜ao da equa¸ca˜o da elipse e usando a rela¸ca˜o c2 =  a 2 + b2 obtemos:

x2 y2 − 2 a2 b

= 1

(1.1.2)

que ´e a  equa¸ cao ˜  da hip´ erbole com centro na origem e eixo real sobre o eixo x. a sobre o eixo dos  y 2  caso:  O eixo real est´  ◦

Analogamente, se tomarmos F 1 (0, −c) e F 2 (0, c),  obtemos a equa¸ca˜o y2 x2 − 2 a2 b

= 1

(1.1.3)

que ´e a  equa¸ cao ˜  da hip´ erbole com centro na origem e eixo real sobre o eixo y.(Veja figura 1.16) 13

Figura 1.16:

Exemplo 1.5 Esboce as hip´ erboles a seguir e determine:

a) a medida dos semi-eixos; b) os v´ertices; c) os focos; d) a excentricidade; e) as equa¸c˜  oes das ass´ıntotas. I)

x2

9

−

y2

4

=1

II)

x2

4

−

y2

9

=1

14

Equa¸ c˜ ao da hip´ erbole com centro fora da origem do sistema cartesiano 10 caso:  O eixo real ´ e paralelo ao eixo dos  x.

Consideremos uma hip´erbole de centro C (h, k ) e seja P (x, y ) um ponto qualquer dessa hip´erbole.

Analogamente como no estudo da elipse temos que x2 y2 − 2 =1 a2 b

´e a equa¸c˜ao de uma hip´erbole com centro C (0, 0) e eixo real sobre o eixo dos x; quando o eixo real for paralelo ao eixo dos x  e o centro ´e C (h, k ),  sua equa¸ca˜o passa a ser: (x − h)2 a2

−

 ( y − k )2 b2

=1

20 caso: O eixo real ´e paralelo ao eixo dos  y

Neste caso, a equa¸c˜ao ´e: (y − k )2 a2

−

 ( x − h)2 b2

15

=1

(y − 1)2  ( x − 3)2 Exemplo 1.6  Esboce o gr´  afico da hip´erbole  = 1 e determine: − 9 4 a) o centro; b) os v´ertices; c) os focos; d) a excentricidade; e) as equa¸c˜  oes das ass´ıntotas.

16

1.1.4

Par´ abola

abola com Cosideremos em um plano uma reta d  e um ponto F  n˜ao pertencente a d. Uma  par´

focos F 1 e F 2  ´e o conjunto dos pontos P (x, y ) do plano equidistantes de F  e de d.

Figura 1.17: par´ abola

Seja P 1  ´e o p´e da perpendicular de um ponto P  do plano sobre a reta d   (figura 1.1.1). De acordo com a defini¸ca˜o, P  pertence `a par´abola se, e somente se: d(P, F ) =  d (P, P 1 )

ou −→ −−→  P F  = P P 1  

Elementos da par´ abola •   Foco: ´e o ponto F. •   Diretriz:  ´e a reta d. •   Eixo: ´e a reta que passa pelo foco e ´e perpendicular `a diretriz. ertice: ´e o ponto V   de interse¸c˜ ao da par´abola com seu eixo. •   V´

Observa¸ ca ˜o 1.6 d(V, F ) =  d (V, A)

17

 

(1.1.1)

Equa¸ c˜ ao da par´ abola com v´ ertice na origem do sistema cartesiano abola ´e o eixo dos  x 1 caso:  O eixo da par´  ◦

Consideremos a par´ abola de foco F (a, 0).

Figura 1.18:

Um ponto P (x, y ) do plano pertence `a par´abola se, e somente se: d(P, F ) =  d (P, P 1 )

ou

−→ −−→  P F  = P P 1  

isto ´e,

 (  + x

 a)2 + (y − y )2 =

 ( − ) + (

y − 0)2

⇒

(x +  a)2 = ( x − a)2 + y 2

⇒

x2 + 2xa + a2 =  x 2 − 2xa + a2 + y 2

⇒

x

a

2

y 2 = 4 ax

que ´e a  equa¸ cao ˜  da par´  abola com v´ ertice V (0, 0)   e foco sobre o eixo dos x. Observa¸ ca ˜o 1.7 Se  a > 0,   a par´  abola tem concavidade voltada para a direita e se  a < 0, a 

par´  abola tem concavidade voltada para a esquerda.

2  caso:  O eixo da par´  abola est´  a sobre o eixo dos  y ◦

18

Considerando um ponto P (x, y ) de uma par´abola com foco F (0, a),   de modo an´alogo ao primeiro caso obtemos a equa¸ca˜o x2 = 4 ay

que ´e a  equa¸ cao ˜  da par´  abola com v´ ertice V (0, 0)   e foco sobre o eixo dos y.

Figura 1.19:

Observa¸ ca ˜o 1.8 Se  a >  0 ,  a par´  abola tem concavidade voltada para cima e se  a b  o plano y  =  k  intercepta a superf´ıcie segundo a elipse.

x2 z 2 k2 + 2 = 2 − 1, y  =  k. a2 c b

 

(1.2.2)

Vemos que essa superf´ıcie tem duas folhas , uma na regi˜ao y  ≥ b  e outra na regi˜ao y  ≤ −b. Os planos xy e yz  interceptam a superf´ıcie segundo as hip´erboles y2 x2 − 2 = 1 , z  = 0 b2 a

e

y2 z 2 − 2 = 1, x  = 0 b2 c

respectivamente. Essa superf´ıcie ´e um hiperbol´  oide de duas folhas. Observa¸ ca ˜o 1.11

a) Se  a = b, ent˜  ao (1.2.2) ´e a equa¸c˜  ao de um c´ırculo e, portanto, a superf´ıcie (1.24) ´e um  hiperbol´  oide de revolu¸cao. ˜  b) Os dois sinais de subtra¸cao ˜  indicam duas folhas. Exemplo 1.14  Identifique e esboce o gr´  afico da superf´ıcie dada pela equa¸c˜  ao

4x2 − y 2 + 2z 2 + 4 = 0.

28

Parabol´  oide el´ ıptico A superf´ıcie cuja equa¸c˜ao ´e da forma

x2 y2 + 2 =  cz. a2 b

Figura 1.25: ´e um parabol´  oide el´ıptico Se c >  0 ,  o plano y  =  k  intercepta essa superf´ıcie segundo a elipse

x2 y2 + = 1 y  =  k. cka 2 ckb 2

 

(1.2.3)

se k > 0. Se k <   0 o plano z  = k n˜ao intercepta a superf´ıcie. Isto ´e, se c > 0,   a superf´ıcie est´a contida na regi˜ao z  ≥ 0.   Analogamente, temos que se c < 0,   a superf´ıcie est´a na regi˜ao z  ≤ k.  esta na regi˜ao z  ≥ 0.  O plano z  =  k  intercepta a superf´ıcie segundo uma elipse se k >  0 .

Analogamente c <  0 a superf´ıcie esta na regi˜ao z  ≤ 0. Os planos xz  e yz  interceptam a superf´ıcie segundo as par´abolas x2 =  a 2 cz , y  = 0

e

y 2 =  b 2cz x  = 0.

respectivamente. Observa¸ ca ˜o 1.12

Se  a  =  b , as elipses (1.2.3) s˜  ao c´ırculos e, portanto, a superf´ıcie (1.25) ´e um parabol´  oide de  revolu¸cao. ˜  Exemplo 1.15   Esbo¸car o gr´  afico da superf´ıcie dada pela equa¸cao ˜  z  = 4x2 + y 2

29

Parabol´  oide hiperb´  olico A superf´ıcie cuja equa¸c˜ao ´e da forma

x2 y2 oide hiperb´  olico . − 2 + 2 =  cz  ´e um parabol´  a b

Figura 1.26: O plano xz  intercepta a superf´ıcie segundo a par´abola x2 = −ca2 z, y  = 0 a qual tem concavidade voltada para baixo, se c >  0 e seu eixo focal ´e o eixo dos z. O plano yz  intercepta a superf´ıcie segundo a par´abola y 2 = cb2 z, x  = 0 a qual tem concavidade voltada para cima, se c >  0 e seu eixo focal tamb´em ´e o eixo dos z. Se k   = 0 ,  o plano z  =  k  intercepta a superf´ıcie segundo a hip´erbole

x2 y2 + = 1 z  =  k. − cka 2 ckb 2

 

(1.2.4)

Se k >  0 ,  o eixo focal da hip´erbole e paralelo ao eixo dos y e se  k