Conicas

 

 

FACULTAD DE INGENIERIA

ESTUDIO PARTICULAR DE LAS CONICAS 1.1.- Introducción ¿Qué es la Geometría Analítica?

Aunque existen algunos antecedentes previos, es Renato Descartes quien al publicar en 1637 su obra “Le Geometrie” pone los cimientos de lo que actualmente conocemos como geometría

analítica o geometría cartesiana.  Resumidamente se puede decir que su propuesta es hacer la fusión entre la geometría y el álgebra estableciendo un método que lleva a traducir las propiedades geométricas de las figuras a un lenguaje algebraico, para poder operar aplicando sus leyes, y una u na vez obtenido un resultado, interpretarlo geométricamente. geométricamente.  Para dar una idea más concreta de lo que es la geometría analítica, enunciaremos dos de sus  problema fundamentales. fundamentales. ecuación: ación:   Dada una gráfica hallar su ecu



GEOMETRÍA

ÁLGEBRA

  A partir de una ecuación ecuación en dos varia variables, bles, dibujar su gráfic gráfica: a:



ÁLGEBRA

GEOMETRÍA

Es decir que la Geometría Analítica es la parte de la Matemática que estudia problemas que,  partiendo de conceptos y propiedades puramente geométricos, llega a resultados puramente analíticos mediante desarrollos de tipo algebraico, teniendo sentido, por ejemplo hablar de la “ecuación” de la recta o de la circunferencia. 

Se estudiarán a continuación algunos conceptos previos 2.- Sistema Coordenado Rectangular

Dado un plano cualquiera, cualquiera, un Sistema Coordena Coordenado do Rectangular, está formado formado por dos rectas dirigidas y perpendiculares perpendiculares entre sí llama llamadas das Ejes de Coorden Coordenadas. adas. Como se observa eell gráfico Nº 1 al eje X  se le ddenomina enomina eje de las abscisas, abscisas, al eje Y, eje de las ordenadas y al punto O, de intersección de ambas rectas, Y

origen de coordenadas. P(x,y)

2. 1.- Ubicación de puntos en el plano

y

Podemos asociar puntos del plano a pares ordenados de números reales. Para ello identificamos cada punto del plano con un par ordenado (x, y) de números reales llamados

x

X

Gráfico Nº1: Sistema Coordenado

Re Rect ctan an ular ular

coordenadas coordena das del punto, como se observa en el gráfico Nº 1.

1

 

 

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Siendo x: la abscisa del punto y distancia dirigida desde el eje Y al punto, e y la ordenada del  punto y distancia distancia dirigida desde el eje X al punto. 2. 3.-.Lugar Geométrico

Se llama Lugar Lugar Geométrico al conjunto de puntos del plan planoo o del espacio espacio que cumplen cumplen determinadas condiciones. Todo lugar geométrico del plano es la gráfica cartesiana de una ecuación en en dos variables x e y de la forma F(x, y) =0. Sin embargo, la ecuación de un lugar lugar geométrico del espacio es de la forma F(x, y, z) = 0. Recíprocamente, el conjunto de todos los puntos (x, y) del plano que satisfacen la ecuación F(x, y) =0

representan una curva en el plano. Y el conjunto de todos los puntos (x, y,z) del

espacio que satisfacen la ecuación F(x, y, z) =0 representan una superficie. Cabe aclarar que sólo estudiaremos lugares geométricos cuyas ecuaciones sean polinómicas. Teniendo en cuenta que: Una ecuación polinómica o algebraica racional entera es una ecuación en la que las variables están afectadas sólo s ólo por las operaciones enteras (suma, resta  producto, potencia). 2. 4.-.LA RECTA en

2

 

Hacemos un breve repaso de

LA RECTA en

2

 

La ecuación polinómica de primer grado en x e y es de la forma: A x +B y +C = 0

(1) 

y representa una recta en el plano.

Existen distintas formas de expresar la ecuación de una recta en el plano. Si se conoce:  



La pendiente y ordenada al origen:

  La pendiente m y un punto



y = mx + b

P1 (x1 , y1 ) :

Ecuación Explicita

y –   yy1 = m ( x –   xx1 )

  Dos puntos de la recta: P1 (x1 , y1 ); P2 ( x2 , y2 ) :  y   y 1





 y 2

 y 1

 x 2

 x 1

  

.  x  

x 1

 

Otras ecuaciones son: Ecuación segmentaria:

 x   y  a b

1;

a = Abscisa Abscisa al origen; b =ordenada =ordenada al origen

Ecuación General o Implícita: Ax + By + C = 0 Para determinar:

Ordenada al origen de la recta, se hace “x = 0” en la ecuación de la recta.  Abscisa al origen de la recta, se hace “y = 0” en la ecuación de la recta.

2. 5.- Distancia entre dos puntos 

2

 

 

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Dados dos dos puntos cualesquiera del plano, A (x 1, y 1) y B (x 2, y 2), su distancia AB , está dada por la expresión: AB =

( x 2  –   x 1 ) 2   ( y 2  –  y 1 ) 2  

Y es igual a la longitud del trazo AB . Ejemplo Nº 1: Calcula la distancia entre entre los puntos A ( 2 , –  3  3 ) y B ( 5 , 1 ) del pla plano. no. ( 5  – 2 )  2  ( 1  3 ) 2   = 5

Resolución: AB   =

Se puede observar en el gráfico Nº 2 el segmento de recta AB   Gráfico Nº 2: Segmento de recta AB  

2. 6.- Coordenadas del punto medio

Sean A ( x

1 , 

y 1  ) y B ( x 2 , y 2 ) , puntos cualesquiera del plano y M  punto medio del

segmento AB  , entonces las coordenadas de M  son:

  x 1  x 2 

M 

 

2

,

y 1  y 2   2

    

Ejemplo Nº2 : Dados los puntos A (8, 6) y B (  –  –  4,   4, 12), determina las coordenadas del punto medio del segmento AB . Resolución:

Sea

M

el punto medio del trazo

AB ,

entonces sus

6  12   8  – 4  ,   = M ( 2 , 9 ) 2     2

coordenadas son: M   

En el gráfico Nº 3, se observa el punto medio M encontrado. Ejemplo Nº 3: Completar las siguientes afirmaciones:

Gráfico Nº 3: Punto medio M del segmento AB  

Sea el punto P(a , b), entonces: i) 

Si a>0 y b>0 el punto está en el …... cuadrante,

ii)  Si a