Conicas

 

Conicas Se denomina cónica a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse,, parábola, elipse parábola, hipérbola y hipérbola y circunferencia. circunferencia .

Tipos En función de la relación eistente entre el án!ulo de conicidad "#$ y la inclinación del plano respecto del e%e del cono "&$, pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:  •

& ' # :  : (ipérbola "naran%a$ (ipérbola "naran%a$

•

& ) # :  : *arábola "a+ulado$ *arábola "a+ulado$

•

&  # :  : Elipse "verde$ Elipse "verde$

•

Circunferencia "un  "un caso particular de elipse$ "ro%o$ & ) -/: Circunferencia

Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar 0ue: •

•

•

•

Cuando &  # la intersección es un 1nico punto "el vértice$. Cuando & ) # la intersección es una recta !eneratri+ !eneratri+ del  del cono "el plano será tan!ente al cono$. tan!ente al Cuando & ' # la intersección vendrá dada por dos rectas 0ue se cortan en el vértice. cuando & ) -/ El án!ulo formado por las rectas irá aumentando a medida & disminuye, hasta alcan+ar el máimo "#$ cuando el plano conten!a al e%e del cono "& ) $. Epresion 2l!ebraica

al!ebraica  En coordenadas cartesianas, cartesianas, las cónicas se epresan en forma al!ebraica  cuadráticas  de dos variables ",y$ de la forma: mediante ecuaciones cuadráticas

 

en la 0ue, en función de los valores de los parámetros, se tendrá: h3  ab: hipérbola. h3 ) ab: parábola. h3 ' ab: elipse. a ) b y h ) : circunferencia.

Caracteristicas 4a elipse es elipse es el lu!ar !eométrico de los puntos del plano tales 0ue la suma de las distancias a dos puntos fi%os llamados focos es constante.  2demás de de los focos focos 5 y 56, 56, en una una elipse destacan destacan los si!uientes si!uientes elementos: elementos: •

Centro, 7

•

E%e mayor, 226

•

E%e menor, 886

•

9istancia focal, 75

4a elipse con centro ", $ tiene la si!uiente epresión al!ebraica: 4a hipérbola es el lu!ar !eométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fi%os, llamados focos, es constante y menor 0ue la distancia entre los focos. Tiene dos asntotas asntotas "rectas  "rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se ale%a hacia el infinito$. 4as hipérbolas cuyas asntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas e0uiláteras.  2demás de de los focos focos y de las asntotas, asntotas, en la hipérbola hipérbola destacan destacan los los si!uientes si!uientes elementos: •

Centro, 7

•

értices, 2 y 2

•

9istancia entre los vértices

 

•

9istancia entre los focos

4a ecuación de una hipérbola hori+ontal con centro ", $, es:

2 su

ve+, la de una hipérbola vertical es: 4a parábola es parábola es el lu!ar !eométrico de los puntos del plano 0ue e0uidistan de un punto fi%o llamado foco, y de una recta llamada directri+.

 2demás del del foco, 5, y de la directri+, directri+, d, d, en una una parábola parábola destacan destacan los si!uiente si!uientes s elementos: •

E%e, e

•

értice, 

•

9istancia de 5 a d, p.

acional Escuela Superior de =n!enieria ?ecanica y Electrica

Calculo e ectorial ctorial =nvesti!acion sobre las Conicas

@imene+ ?orales @esus Eduardo ACB

 

 24527  2452 7 D44ESC2 D44ESC2S S @