Conicas - IME

Cônicas – IME Elipse 1. (IME 1988) Seja uma elipse cujo eixo maior AA’ = 2a e cuja excentricidade é 1/2. Seja F o foco da elipse, correspondente ao vértice A. Considere a parábola, cujo vértice é o ponto O, centro da elipse, e cujo foco coincide com o foco F da elipse. Determine o ângulo entre as duas curvas nos pontos de interseção.

trapézio cuja base maior maior AB = a é fixa e cuja base menor menor CD tem tem comprimento comprimento constante, 2. (IME 1988) Seja ABCD um trapézio igual a b. A soma dos lados não paralelos é constante constante e igual a l. Os prolongamentos dos lados lados não paralelos se cortam cortam em I. I. a) demonstre que o l . g descrito descrito pelo ponto I, quando a base CD se desloca, é uma cônica;  b) determine eixos e distância distância focal.

Hipérbole 3. (IME 2009) Uma hipérbole de excentricidade

2  tem centro na origem e passa pelo ponto

(

)

5, 1 . A equação de uma reta

tangente a esta hipérbole e paralela a y = 2x é: x+6 (A) 3 y = 2 3 x+ (B) y = -2x + 3 3 (C) 3y = 6x + 2 3 (D)

3 y =2 = 2 3 x +4 +4

(E) y = 2x + 3

4. (IME 1999) Calcule as coordenadas dos pontos de interseção da elipse com a hipérbole, representadas na figura, sabendo-se que: a) os pontos C e C’ são os focos da elipse e os pontos A e A’ são os focos da hipérbole;  b) BB’ é o eixo conjugado da hipérbole; c) OB = OB’ = 3m e OC = OC’ = 4 m.

5. (IME 1992) Determine a equação da reta que passa por um dos vértices da curva = 4, formando um ângulo de 45º com o eixo horizontal.

2

2

definida por: 4y  + 8y – x

Parábola 6. (IME 2009) Se as curvas y = x2  + ax + b e x = y2  + cy + d se interceptam em quatro pontos distintos, a soma das ordenadas destes quatro pontos (A) depende apenas do valor de c. (B) depende apenas do valor de a. (C) depende apenas dos valores de a e c. (D) depende apenas dos valores de a e b. (E) depende dos valores de a,b,c e d.

7. (IME 1998) Considere uma elipse e uma hipérbole centradas na origem O, de um sistema cartesiano, com eixo focal coincidente com o eixo OX. Os focos da elipse são vértices da hipérbole e os focos da hipérbole são vértices da elipse. 20 Dados os eixos da elipse como 10 cm e cm, determine as equações das parábolas, que passam pelas interseções da 3 elipse e da hipérbole e são tangentes ao eixo OY na origem.

8. (IME 2004)

Considere a parábola

P de equação

2

y = ax , com a > 0 e um poto A de coordenadas (x0, y0)

satisfazendo a y0 < a x 02 . Seja S a área do triângulo ATT’, onde T e T’ são os pontos de contato das tangentes a P  passando por A. a) Calcule o valor da área S em função de a, x0 e y0.  b) Calcule a equação do lugar geométrico do ponto A, admitindo que a área S seja constante. c) Identifique a cônica representada pela equação obtida no item anterior. 9. (IME 2002) Considere uma parábola de eixo focal OX que passe pelo ponto (0,0). Define-se a subnormal em um ponto P da parábola como o segmento de reta ortogonal à tangente da curva, limitado pelo ponto P e o eixo focal. Determine a equação e identifique o lugar geométrico dos pontos médios das subnormais dessa parábola.

Gabarito 1. ± arc tg

( 6)

2. a) b) AA ' = BB ' =

a a−b a

L 4L2 − ( a − b )

2 (a − b)

2

CC ' = a 3. A 4.

⎧⎪⎛ 20 82 9 11 ⎞ ⎛ 20 82 9 11 ⎞ ⎛ 20 82 9 11 ⎞ ⎛ 20 82 9 11 ⎞⎫⎪ , , ,− ,− ⎟⎟ , ⎜⎜ − ⎟⎟ , ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎜⎜ − ⎟⎬ ⎨⎜⎜ 41 41 41 41 41 41 41 41 ⎟⎠⎪ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎩⎪⎝ ⎭ 5.

( r1 ) : y−x−

(

)

2 −1 = 0

( r2 ) :

(

)

y − x − − 2 −1 = 0 6. A 7. ( P1 ) : x=

9 35 40

y2

(P2 ) : x =−

9 35

y2

40

8. a) S=

2

( ax a

2 0

− y0

)

b) 1

⎛ S02 a ⎞ 3 2 y = ax − ⎜ ⎜ 4 ⎟⎟ ⎝ ⎠ c) Parábola 9.

x = 4ay2 +

1 4a

3 2