CONICAS EN LA INGENIERIA CIVIL.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA, MINERA, METALURGICA Y GEOGRAFICA

TEMA: CONICAS – APLICACIÓN A LA INGENIERIA CIVL

CURSO: DIBUJO TECNICO

PROFESOR: MADRID CHUMACERO, SERGIO

ESTUDIANTE: MALAGA TERNERO, EDSON ALONSO

CODDIGO: 171760279

LIMA, 2017

INTRODUCCION

Las curvas cónicas se empezaron a estudiar hace miles de años ya que existieron muchas personas que destinaron su vida a entender y descifrar el porqué de las curvas cónicas y en ellas encontramos cuatro tipos diferentes de curvas como lo son El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonio de Perga, Cónicas, en el cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar un cono cualquiera por diversos planos. Previamente a este trabajo existían estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndose elipses, parábolas o hipérbolas según que el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso, respectivamente. Si bien no disponía de la geometría analítica todavía,  Apolonio hace un tratamiento de las mismas que se aproxima mucho a aquélla. Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta que Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la geometría analítica, retomaron el problema llegando a su casi total estudio, haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto impone. Cuando nos referimos a las cónicas, usualmente pensamos solo en la parte matemática,  vale decir, las ecuaciones y los conceptos de éstas. Sin embargo, desde los tiempos antiguos tenían utilidades prácticas (ya sea medio legendarios como la hazaña de Arquímedes, al destruir naves romanas con un espejo gigante o reales, como la creación de espejos pequeños, importantes más adelante en la óptica) En la Edad Moderna y Contemporánea, adquirieron mayor relevancia para el ser humano en ámbitos tanto matemáticos como físicos, inclusive llegando más allá, sobrepasando las expectativas que se tenían, como el uso en telecomunicaciones e industria.

DEFINICION DE CONICAS

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen

las

cónicas

propiamente

dichas.

Se

clasifican

en

tres

tipos: elipse, parábola e hipérbola. ORIGEN DE LAS CONICAS.

Como ha sucedido en numerosas ocasiones, importantes creaciones en matemáticas no tuvieron un origen que pronosticara su relevancia posterior. Uno de estos casos es el de las conocidísimas cónicas, en un principio estudiadas casi por simple diversión, pero de tan variadas aplicaciones en muchas ramas de la ciencia. Como es sabido, fue Apollonius de Perga, en el siglo III a.C. el primero que las introdujo públicamente, escribiendo el más importante tratado antiguo sobre las secciones cónicas, aunque ya en el siglo anterior Menaechmus había escrito el primer tratado sobre cónicas. Lo que no es tan conocido es que el motivo que origino esta creación no fue precisamente el de explicar las orbitas de los planetas ni construir aparatos de radar, sino el de buscar soluciones solo con regla y compas de los tres famosos problemas griegos que hoy sabemos irresolubles, como son el de la duplicación del cubo, la trisección del ´Angulo y la cuadratura del círculo. Durante muchos siglos, las cónicas fueron descartadas en los trabajos de los matemáticos hasta que volvieron súbitamente a la vida, al comprobarse que el mundo que nos rodea está lleno de secciones cónicas. En la elipse encontró Kepler la respuesta al enigma del movimiento planetario, descubriendo que el planeta Marte (ahora sabemos que al igual que el resto de los planetas) tiene ´orbitas elípticas y el sol está situado en uno de sus focos (de ahí el nombre dado a estos puntos). En base a este descubrimiento Newton enuncio la famosa ley de la gravitación universal; así el descubrimiento de Kepler se deduce como consecuencia maten ática de dicha ley. También los satélites y los cometas tienen ´orbitas elípticas, de mayor o menor excentricidad, lo cual es en cierto modo providencial, pues si se tratara de hipérbolas o par ´abolas, no volverían a repetir su ciclo. Así mismo, Galileo demostró que las trayectorias de los proyectiles son parabólicas.

Trisección de un Angulo Hoy en día, la propiedad menos importante de estas curvas, en vista de su utilidad para el mundo maten ático, es precisamente que cierto par de parábolas permite la duplicación del cubo y cierta hipérbola permite trisecar un ángulo. Como la belleza no está reñida con el interés, veremos con cierto detalle esta última construcción, desechada por los mismos griegos, debido a que las mismas cónicas no se pueden construir con regla y compas. Sea α un ángulo arbitrario. Se construye la circunferencia de centro O y radio

̂ = α. Sea la recta OC bisectriz de α. Con OC como OA = OB de modo que  

directriz y B como foco, se construye una rama de hipérbola de excentricidad e = 2. Sea P el punto de intersección de la hipérbola con el arco de circunferencia AB. Análogamente se obtiene el punto P` utilizando A como foco. La situación actual se representa en la figura siguiente:

Por definición de hipérbola, BP = 2P D y AP`= 2DP`.Además, debido a la simetría, PD = DP`. En definitiva, resulta que BP = PP` = P`A y queda así trisecado el ángulo α. Duplicación del cubo La leyenda afirma que el rey Minos de Creta había ordenado erigir a su hijo una tumba en forma de cubo y que, por negligencia del constructor, resultó

demasiado pequeña. Hubo necesidad de demoler el cubo de mármol de 100 pies de arista y sustituirlo por otro de volumen doble. Una segunda leyenda clásica afirma que el oráculo de Delos aconsejo a los atenienses que, para aplacar al dios Apolo, cuyo altar en Delos tenía forma cubica, le levantaran un nuevo altar cubico de volumen doble. Como los geómetras se demostraron incapaces de resolver el problema, se recurrió a Platón, quien alego que los dioses habían pensado, más en la duplicación del cubo en sí, en excitar el interés por el estudio de la Geometría en general. En todo caso, es un hecho histórico que el problema de Delos hallo ya en la antigüedad diversas soluciones constructivas, aunque desde luego ninguna con el uso exclusivo de la regla y el compás, porque si llamamos a la arista del cubo original y x a la del cubo duplicado, el problema se reduce a resolver la ecuación 2a 3 = x3 y es un hecho conocido entre los matemáticos que las ecuaciones de grado mayor que dos en general no se pueden resolver geométricamente (es decir, con el uso exclusivo de regla y compas). Como nuestro interés aquí es mostrar el uso de las cónicas en la resolución grafica de dicho problema, daremos la solución conseguida por Hipócrates de Chíos en el siglo V a.C. mediante la intersección de dos par ‘abolas.

Con la notación actual y el uso de la Geometría Analítica, la solución de Hipócrates seria la siguiente: Sean las parábolas de ecuaciones x 2 = ay, y2 = 2ax. Es muy sencillo comprobar que la abscisa del punto de intersección de ambas es x = a 3√ 2, igual a la arista del cubo doble.

Observamos así como problemas sin aparente importancia para nosotros dan lugar a creaciones -como son las cónicas- de uso tan generalizado y de aplicaciones tan diversas en nuestros días. TIPOS DE CONICAS

Circunferencia: Geométricamente una circunferencia resulta de la intersección de una superficie cónica circular con un plano, que no pasa por el vértice del cono y es perpendicular al eje del mismo. En geometría analítica: Se llama circunferencia al lugar geométrico del conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo dado en ese plano. El punto fijo se llama Centro y la distancia al mismo se llama radio. Los Elementos de la Circunferencia son: Centro C ( h ; k ) y radio r .

Elipse: Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva e igual a la distancia entre los vértices, es decir, igual a la medida del eje mayor. Recordamos que se llama lugar geométrico al conjunto de puntos formados por el producto entre dos conjuntos, tales que un subconjunto de ellos satisfacen una propiedad y que solo estos puntos satisfacen dicha propiedad.

El foco o focos se refieren a uno o varios puntos especiales para cierta familia de curvas, y en cada una de ellas se define diferente. Los focos de la elipse son exactamente dos puntos fijos a los que la suma de las distancias a cualquier otro punto de la elipse es constante.

Hipérbola Geométricamente una hipérbola resulta de la intersección de una superficie cónica circular con un plano, que no pasa por el vértice del cono y es paralelo a dos generatrices En geometría analítica: Hipérbola: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante.

Parábola: Podemos analizar la parábola desde la geometría básica y decimos que es una curva plana abierta de una rama que se obtiene al seccionar una superficie cónica circular recta, con un plano secante y paralelo a una generatriz del cono

Y estudiándola desde el punto de vista de la geometría analítica podemos extendernos y hallar así su definición: Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta dada, llamada directriz, y un punto fijo fuera de la recta que se denomina foco.

APLICACIÓN DE CONICAS A LA INGENIERIA CIVIL

Las formas de las secciones cónicas están ocultas en la estructura de muchas cosas, en las estructuras de diseños arquitectónicos, fabricación de objetos pequeños, en el funcionamiento de instrumentos tecnológicos útiles en medicina, ingeniería, navegación y astronomía entre otros, en la descripción del movimiento de objetos y en las formas generadas por situaciones ópticas entre otras. Circunferencia 

Permite el ahorro en superficies de muros y cerramientos, ya que se la considera como la forma más eficiente de todas..

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Aumento de la eficiencia energética, gracias a una menor superficie de transferencia de calor.

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Un mejor comportamiento frente a los vientos y la radiación solar.

Parábola 

su forma tiene una gran resistencia para las construcciones ya sea de manera estética o estructural.

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Está presente en puentes ya que poseen buena resistencia estructural distribuyendo el peso. Además de dar mayor estabilidad al puente. No damos cuenta de la capacidad que generan, el soporte y los bellos diseños que encontramos a lo largo de nuestro planeta.

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Los cables de los puentes colgantes tienen forma parabólica (forman la envolvente de una parábola). Se creía hace tiempo que las cuerdas o cadenas que se suspenden agarradas únicamente por sus extremos también formaban parábolas (hoy sabemos que la curva que describen es un coseno hiperbólico).

Elipse 

En formas de las cubiertas de mesas, formas de ventanas, formas de marcos para encuadrar retratos y fotografías, formas de las bases de envases.

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En la construcción de capsulas susurrantes y cámaras de eco.

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Se construyen techos elipsoidales (llamados comúnmente capilla de los secretos) donde se puede oír a una  persona ubicada en un foco desde otro foco y la(s) persona(s) que se encuentre(n) en el medio de los dos, no podrán escuchar nada.

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Las escaleras principales que corresponda a construcciones sin ascensor, en edificios de uso público y colectivo, serán de forma elíptica o tramos rectos, pudiéndose autorizar escalones compensados.

CONSTRUCCIONES HECHAS A BASE DE CONICAS

La aplicación de las cónicas en la ingeniería civil no es reciente, puesto que se observan construcciones centenarias donde fácilmente se pueden observar las cónicas en su fachada e interior como por ejemplo El Coliseo Romano, ubicado en Roma, construido en el Siglo I, donde se puede visualizar su fachada con arcos o parábolas perfectas, La Torre Eiffel, la cual fue construida en 18871889, ésta preciosa obra de arte tiene en su base cuatro cónicas que sirven como estructura de soporte para los 300 metros de construcción, también entre las más bellas construcciones antiguas tenemos al Panteón, es un templo de planta circular construido, entre los años 118 y 125 d.C, dentro de él se encuentra una cúpula perfecta de 43,20 metros y n la cúspide de la cúpula se abre un óculo)´circunferencia) central de 9 metros de diámetro. Éstas son sólo algunas de tantas hermosas edificaciones creadas por el hombre. En la actualidad no sólo se observa las cónicas en detalles pequeños de decoraciones si no también en Megaestructuras, que en realidad es en donde cumplen su rol más importante, ya que al igual que la tecnología y la ciencia avanzan, la Arquitectura también.  Algunas de las edificaciones más importantes donde se ha aplicado la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola son: Catedral de Brasilia (Hipérbola) Para una obra de tales dimensiones fue convocado un concurso nacional, ganado por dos de los mejores arquitectos de la época: Lucio Costa y Oscar Niemeyer. Esta estructura hiperboloide está construida de hormigón, y pareciera que con su techo de vidrio se alzara abierto hacia el cielo. El proyecto de Niemeyer de la Catedral de Brasilia se basó en los hiperboloides de revolución, en donde las secciones son asimétricas. Por sí misma, esta estructura es el resultado de dieciséis columnas de hormigón ensambladas idénticas. Cada columna posee una sección hiperbólica y pesa 90 toneladas, el conjunto representa dos manos moviéndose hacia el cielo.

L`Hemisfèric Inaugurado en 1998, el Hemisfèric fue el primer edificio de la Ciudad de las Artes y las Ciencias que abrió sus puertas al público. Es un edificio espectacular

diseñado por  Santiago Calatrava , que cuenta con una cubierta ovoide de más de 100 metros de longitud, que alberga en su interior la gran esfera que constituye la sala de proyecciones. Es un edificio diseñado en forma de ojo, que en su interior alberga una gran sala con una pantalla cóncava de 900 m² y 24,4 m de diámetro.

El ojo de Londres Es una perfecta circunferencia construida en Londres que se constituye en un mirador, diseñado por los arquitectos Frank Anatole, Nic Bailey, Steve Chilton, Malcolm

Cook, Mark

Sparrowhawk, Julia

Barfield y David

Marks.1 2 Mace fue responsable de la gestión de la construcción. Los

ingenieros consultores de Tony Gee & Partners diseñaron los cimientos mientras Beckett Rankine diseñó las obras marítimas. El borde del London Eye está soportado por cables de acero tensados y se asemeja a una enorme rueda de bicicleta. La iluminación fue hecha con la iluminación LED de Color Kinetics, en diciembre de 2006 para permitir el control digital de la luz en lugar de la sustitución manual de los geles más de los tubos fluorescentes.

L`oceanografic (Parábola) Es una compleja obra del arquitecto Félix Candela y los ingenieros  Alberto Domingo y Carlos Lázaro, donde se representa los diferentes hábitats marinos. Fue inaugurado el 12 de diciembre del 2002 y se encuentra situado en la zona este de la ciudad de Valencia (España), integrado dentro del complejo conocido como Ciudad de las Artes y las Ciencias de Valencia.  Desde el año 2016 se encuentra gestionado por la empresa Avanqua, la cual ha desarrollado un plan de inversión y mejora del centro en el cual se comprometen a invertir cada año en mejoras y novedades. Es el acuario más grande de la Unión Europea .  Su arquitectura es obra del equipo de Félix Candela y los ingenieros  Alberto Domingo y Fernando Sánchez, autores estos últimos del diseño estructural de las cubiertas del L'Oceanografic.

Se trata del oceanográfico más grande de Europa con 110.000 metros cuadrados y 42 millones de litros de agua.

CONCLUSIONES 

La geometría es fundamental para el cumplimento del trabajo de un ingeniero civil, ya que se relaciona con el diseño de construcciones que contienen figuras geométricas variadas

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Las secciones cónicas se aplican principalmente en la ingeniería civil y la arquitectura obteniendo las medidas de ángulos, valores de superficies, cálculo de segmentos, plasmándolos en forma gráfica y de manera precisa.

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Las secciones cónicas tienen una gran participación en las obras arquitectónicas y civiles ya que permiten proporcionar belleza a diferentes obras. Es importante que nosotros como estudiantes de ingeniería aprendamos a aplicar las secciones cónicas en sus diferentes proyectos, ya que eso proporciona belleza a los mismos.

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Hoy en día podemos lograr ver este tipo de secciones cónicas en nuestra vida diaria, ya que las construcciones más inusuales provienen de estas mismas, generando así un desafío para la física, lo cual causa asombro y es un gran avance para la ingeniera.

BIBLIOGRAFIA   http://uncavim10.unc.edu.ar/pluginfile.php/9399/mod_resource/content/0/

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