Congruencia de Triángulos
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Congruencia de triangulos...
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Congruencia de triángulos.
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CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Dos figuras geométricas son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma. DEFINICIÓN: Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados respectivamente congruentes, lo mismo que sus ángulos. Si ABC ABC DEF DEF , entonces: AB FD; AC DE; BC FE
A
D;
B
F;
C
E
Lados correspondientes son los que se oponen a ángulos congruentes y viceversa. Hay seis condiciones, que se pueden reducir a 3 mediante teoremas. Antes de demostrar los teoremas se da el siguiente postulado POSTULADO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. POSTULADO LADO – ANGULO – LADO (L – A – L) Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo que forman en uno, son respectivamente congruentes a los dos lados y el ángulo que forman en el otro. Si AB DF; BC FE ;
Entonces
B
F
ABC DEF DEF ABC
DEFINICIÓN: Un corolario es una proposición que no necesita prueba particular, sino que se deduce fácilmente de lo demostrado antes. TEOREMA: (COROLARIO DEL POSTULADO ANTERIOR) Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos congruentes, entonces son congruentes.
AB DE; BC EF ABC DEF
Congruencia de triángulos.
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TEOREMA En todo triangulo isósceles los ángulos de la base son congruentes
HIPÓTESIS: TESIS:
ABC es ABC
CAB
RAZ N 1. En CA se toma un punto D y en CB se toma un punto E, tal que CD CE 2. Trazamos DB y AE 3. CA CB 4. CD CE 5. C C 6. CAE CBD CBD
isósceles con
CA CB
CBA
AFIRMACI N 1. Postulado de construcción de segmentos
2. Dos puntos determinan un segmento 3. De hipótesis 4. De 1. Construcción. 5. Propiedad reflexiva 6. L – A – L. De 3, 4, 5 7. De 6. Ángulos correspondientes en 7. CAE CBD triángulos congruentes. 8. De 1 8. CD CE 9. CA + AD = CB + BE 9. De 8. Adición de segmentos 10. CA + AD = CA + BE 10. Sustitución de 3 en 9 11. De 10. La ley cancelativa 11. AD BE 12. De 6. Partes correspondientes de 12. CDB CEA; DB AE triángulos congruentes 13. De 11 y 12. L – A – L ABD D EA EAB B 13. AB 14. De 13. Ángulos correspondientes en 14. EAB DBA triángulos congruentes. 15. CAB CBA 15. De 14 y 7. Resta de ángulos. NOTA: Este teorema también se puede enunciar así: Si dos lados de un triángulo son congruentes entonces los ángulos opuestos a ellos son congruentes. COROLARIO: En un triángulo equilátero sus ángulos son congruentes, es decir es equiángulo. HIPÓTESIS: TESIS:
ABC es
A
B
un triángulo equilátero
C
Congruencia de triángulos.
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TEOREMA En todo triangulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es mediana, altura y pertenece a la mediatriz de la base. HIPÓTESIS: CD es la bisectriz de ACB ABC es isósceles con CA CB ABC A – D – B TESIS:
1. 2. 3. 4.
CA CB
5.
AD AD DB
1 CD
mediana, altura y pertenece a la mediatriz.
2
CD
CDA CDB
6. D punto medio de 7. CD es mediana 8.
CD es
CDA
9. m (
AB
CDB
CDA) + m ( CDB) = 180º
10. m ( CDA) + m ( CDA) = 180º 11. 2m ( CDA) = 180º, m ( CDA) = 90º 12. CD AB 13. CD es altura 14. CD es mediatriz
1. De hipótesis. 2. De hipótesis. Definición de bisectriz. 3. Propiedad reflexiva 4. De 1, 2 y 3. Postulado L – A – L 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 6. De 5. Definición de punto medio 7. De 6. Definición de mediana 8. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 9. De hipótesis A – D – B. Forman un par lineal 10. Sustitución de 8 en 9. 11. De 10. Propiedad de los Reales 12. De 11. Definición de perpendicularidad 13. De 12. Definición de altura 14. De 12 y 6. Definición de mediatriz.
NOTA: Se demuestra también que si en un triángulo, una altura es mediana o bisectriz entonces el triángulo es isósceles. Que es el RECIPROCO del teorema anterior. Demuéstrelo. TEOREMA DE CONGRUENCIA. ANGULO LADO ANGULO (A – L – A) Si dos triángulos tienen un lado congruente, adyacente a dos ángulos respectivamente congruentes, entonces los triángulos son congruentes. HIPÓTESIS: A
P; AB PQ; B
Q
ABC PQ PQR R TESIS: ABC NOTA: Este teorema se demostrará cuando se vea el método indirecto de demostración.
Congruencia de triángulos.
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TEOREMA DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. LADO-LADO-LADO (L – L – L) Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente congruentes, entonces son congruentes. AB DE
HIPÓTESIS: AC
DF
BC EF
TESIS:
1. En el semiplano de borde AB que no contiene a C, se traza AP , tal que BAP BA P
D y AP
5. PB EF 6. PB EF BC PBC es isósceles 7. PBC BCP BCP
BPC BPC
9. AP DF AC CAP es isósceles 10. CAP 11.
ACP ACP
1. Postulado de construcción de ángulos y segmentos.
DF
2. Trazamos PB 3. AB DE APB B DE DEF F 4. AP
8.
ABC ABC DEF DEF
APC APC
12. m ( ACB) = m( ACP) + m( BCP) 13. m ( APB) = m ( APC) + m ( BPC) 14. m ( APB) = m( ACP) + m( BCP) 15. m ( ACB) = m( APB) ABC APB APB 16. ABC ABC DEF DEF 17. ABC
2. Dos puntos determinan un segmento 3. De hipótesis. 4. De 3 y 1. L – A – L 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 6. De hipótesis y 5. Propiedad transitiva 7. De 6 y definición de triangulo Isósceles 8. De 7. En un triángulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes. 9. De hipótesis y de 1 10. De 9. Definición de triangulo isósceles. 11. De 10. En un triángulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes. 12. Adición de ángulos. 13. Adición de ángulos 14. Sustitución de 8 y 11 en 13 15. De 12 y 14. Ley transitiva 16. De 15, 6, 9. L – A – L 17. De 4 y 16. Propiedad transitiva
Congruencia de triángulos.
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EJERCICIOS RESUELTOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Demostrar que en un triángulo isósceles las bisectrices de los ángulos de la base son congruentes. HIPÓTESIS: ABC es isósceles con AB AC BD y CE son bisectrices TESIS:
ACB
DBC
ECB
DBC
1.
m
2.
m
3.
m
4.
m
m
m
ABC
2. De hipótesis. Definición de bisectriz
3. De hipótesis. Definición de bisectriz
2
m
ABC 2
m
1. De hipótesis. Los ángulos opuestos a los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes.
ACB
ECB
4. De 1, 2, 3. Por ser mitades de ángulos congruentes. 5. Propiedad reflexiva. 6. De 1, 4, 5. A – L – A 7. De 6. Por ser lados correspondientes de triángulos congruentes.
5. BC BC 6. ECB DBC 7. BD CE
BD CE
Si AB y CD se bisecan en un punto K, demostrar que 1) AC BD 2) AD BC HIPÓTESIS: K es punto medio de AB K es punto medio de CD TESIS: AC BD y AD BC
1. K es punto medio de 2. AK KB 3. K es punto medio de 4. CK KD 5. AKC DKB 6. AKC DKB 7.
AC
BD
AB
DC
1. De hipótesis 2. De 1. Definición de punto medio 3. De hipótesis. 4. De 3. Definición de punto medio. 5. Por ser opuestos por el vértice. 6. De 5, 4, 2. Postulado L – A – L 7. De 6. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.
NOTA: La segunda parte se demuestra de la misma manera.
Congruencia de triángulos.
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HIPÓTESIS:
ABC
AE
TESIS:
1. 2.
A AE
B BF
EFD es
BF
CD
1. De hipótesis. Un triángulo equilátero es equiángulo. 2. De hipótesis. 3. De hipótesis. Definición de triángulo equilátero. 4. De 3. Adición de segmentos 5. Sustitución de 2 en 4 6. De 5. Ley cancelativa 7. De 6, 2, 1. L – A – L 8. De7. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 9. De 8. Definición de triángulo equilátero
C CD
4. AE+EB=BF+FC=CD+DA 5. AE+EB=AE+FC=AE+DA 6. EB = FC = DA 7. AED EBF FCD 8. DE EF FD DEF es
equilátero.
3. AB = BC = CA
9.
es equilátero.
equilátero.
HIPÓTESIS:
DE
AE
DE EC; AE EB D
A
D – F – H – B; A – G – H – C
TESIS:
1. D A 2. DE AE 3. AEG = DEF 4. DEF EAG 5. DFE EGA
1)CEG BEF 2)CFH
BGH
1. De hipótesis. 2. De hipótesis. 3. De hipótesis. Son ángulos rectos. 4. De 1,2, 3, A – L – A 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos.
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6. EFH EGH 7. FEG FEG 8. EF EG 9. CEG BEF 10. C B 11. HFC HGB 12. EC EB 13. FC GB 14. FHC BGH
6. De 5. Por tener el mismo suplemento 7. Propiedad reflexiva 8. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes 9. De 6, 7, 8. A – L – A 10. De 9. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes 11. Tienen el mismo suplemento 12. De 9. Lados correspondientes en triángulos congruentes 13. De 12 y 8. Resta de segmentos 14. De 10, 11, 13. A – L – A
HIPÓTESIS: AB EF DB
LF
AC y EH son AC
TESIS:
m( HF )
m( LF )
2
y
6. HF CB 7. EH AC; EF AB 8. EHF ACB 9.
F
10.
ABD LEF
B
m(CB)
EH
LEF ABD
1. De hipótesis. 2. De hipótesis 3. De 2. Definición de mediana 4. De 3. Definición de punto medio
1. LF DB 2. AC y EH son medianas 3. H y C son puntos medios 4. LH HF y DC CB 5.
medianas
m( DB)
2
5. De 4. Definición de punto medio. 6. De 1 y 5. Propiedad transitiva 7. De hipótesis 8. De 6 y 7. L – L – L 9. De 8. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes 10. De 1, 7, 9. L – A – L
Congruencia de triángulos.
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HIPÓTESIS:
CA CB DA DB
C – E – D ; A – E – B TESIS: AB CD
1. 2.
AC
BC
ABC es
3. 4. 5.
1
isósceles.
2
AD BD
ADB es
6.
3
isósceles.
4
7. m ( CAD)=m ( 1)+m ( 3) 8. m ( CBD)=m ( 2)+m ( 4) 9. m ( CBD)= m ( 1)+m ( 3) 10. m ( CAD) = m ( CBD) 11. CAD CBD 12.
ACD
DCB
13.
CE es
bisectriz
14.
CE es
altura
15. 16.
CE AB CD AB
1. De hipótesis. 2. De 1. Definición de triangulo isósceles. 3. De 2. Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes 4. De hipótesis. 5. De 4. Definición de triangulo isósceles. 6. De 5. En un triángulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes. 7. Adición de ángulos. 8. Adición de ángulos 9. Sustitución de 3 y 6 en 8 10. De 7 y 9. Propiedad transitiva. 11. De 10 y de hipótesis. L – A – L 12. De 11. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 13. De 12. Definición de bisectriz 14. De 13 y 2. En un triángulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es también altura. 15. De 14. Definición de altura. 16. De 15 y de hipótesis C – E – D
Congruencia de triángulos.
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HIPÓTESIS:
AB AF AC
AE
A – B – C; A – F – E TESIS: 1) BE CF 2) AD es bisectriz de
1. AB AF 2. A A 3. AC AE 4. ABE ACF 5. BE CF 6. BC AC AB 7. FE AE AF 8. FE AC AB 9. BC FE 10. ABE AFC 11. CBD es el suplemento de ABE 12. DFE es el suplemento de AFC 13. CBD DFE 14. C E 15. BDC DFE 16. DB DF 17. 18. 19.
AD AD
20.
AD es
BAD FAD BAD FAD
CAE
bisectriz de
CAE
1. De hipótesis 2. Propiedad reflexiva 3. De hipótesis 4. De 1, 2, 3. L – A – L 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 6. Resta de segmentos 7. Resta de segmentos. 8. Sustitución de 1 y 3 en 7. 9. De 6 y 8. Propiedad transitiva. 10. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 11. De hipótesis. A – B – C. Definición de ángulos suplementarios 12. De hipótesis. A – F – E. Definición de ángulos suplementarios 13. De 10, 11 y 12. Por tener el mismo suplemento. 14. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 15. De 14, 9, 13. A – L – A 16. De 15. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 17. Propiedad reflexiva. 18. De1, 16, 17. L – L – L 19. De 18. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 20. De 19. Definición de bisectriz.
Congruencia de triángulos.
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PROPOSICIONES DE VERDADERO O FALSO 1. Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado de uno, son respectivamente congruentes a dos ángulos y el lado del otro. ( ) 2. Si los catetos de un triángulo rectángulo son congruentes a los catetos de otro triangulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes. ( ) 3. Dos triángulos son congruentes si dos lados y un ángulo de uno son respectivamente congruentes a dos lados y un ángulo del otro. ( ) 4. L – L – A siempre se cumple en la congruencia de triángulos. ( ) 5. Dos triángulos que tienen un lado congruente y las alturas trazadas a esos lados congruentes, son congruentes. ( ) 6. Dos triángulos equiláteros son congruentes. ( ) 7. Dos triángulos equiláteros son congruentes si un lado de uno de ellos es congruente a un lado del otro. ( ) 8. Dos triángulos son congruentes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes. ( ) 9. Si los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes s los lados congruentes de otro triangulo isósceles entonces los triangulo son congruentes. ( ) 10. La altura de un triángulo pasa por el punto medio del lado al cual fue trazada. ( ) 11. Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos correspondientes son congruentes. ( ) 12. Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes congruentes, entonces los lados correspondientes son congruentes. ( ) 13. Ningún par de ángulos de un triángulo escaleno son congruentes. ( ) 14. Los lados de un triángulo son rectas. ( ) 15. Existe un triángulo RST en el cual el ángulo R sea congruente con el ángulo T. ( ) 16. El suplemento de un ángulo, siempre es un ángulo obtuso. ( ) 17. Una perpendicular a una recta biseca a la recta. ( ) 18. La mediana trazada a la base de un triángulo isósceles es perpendicular a la base. ( ) 19. Un triángulo equilátero es equiángulo. ( ) 20. Si dos ángulos tienen el mismo suplemento entonces son congruentes. ( ) 21. Si dos ángulos tienen el mismo complemento entonces son congruentes. ( ) 22. La bisectriz de un ángulo de un triángulo biseca al lado opuesto al ángulo. ( )
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. En la figura se tiene que: AG GE ED FG GB BC .
Demostrar que:
D
C
Congruencia de triángulos.
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2. HIPÓTESIS: TESIS: 1) 2)
CD es
altura.
ACD
AD DB
BCD
CA CB
3. Demostrar que en un triángulo isósceles las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes. 4. HIPÓTESIS: TESIS:
E
EAD
B;
ADE
ACB;
BAC
5. HIPÓTESIS:
AB AD; AE
es bisectriz de
A – C – E TESIS:
1) BC CD 2)
BCE
DCE
6. HIPÓTESIS:
ABC
es equilátero
AE BF CD
TESIS:
EFD es
equilátero.
BAD
B – C – D – E
Congruencia de triángulos.
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7. Sea ABC un triángulo isósceles, con CA CB . D es el punto medio de AC y E es el punto medio de BC . Demostrar que el triángulo ACE es congruente con el triángulo BCD. 8. HIPÓTESIS: E – F – C; E – G – B; A – G – H – C; D – F – H – B ED EA DE EC AE EB
D
TESIS:
A
1)CEG BEF 2)CFH
BGH
9. HIPÓTESIS:
AI
IC
CD BI
IH
HF
TESIS: EH EC
10. HIPÓTESIS: B es punto medio de AD CE; BD BE
TESIS:
1)
E
D
2) APC es isosceles.
AC
Congruencia de triángulos.
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11. AB
AF
HIPÓTESIS: BD DF BAC
TESIS:
1) AC
FAE
AE
2) BC FE
12. Demostrar que en un triángulo isósceles: A. Las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes. B. Las alturas trazadas a los lados congruentes son congruentes. C. Los segmentos de las bisectrices de los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes. 13. Si en un triángulo ABC se cumple que AB AC . R es un punto que pertenece al lado AB ; D es un punto que pertenece al lado AC ; RC DB .En base con esta información se puede demostrar que AR AD ? Justificar la respuesta. 14. HIPÓTESIS:
AE BC AC BE
TESIS:
1)
DEA
DCB
2) ABD es isosceles
15. HIPÓTESIS:
1
2
3
4
A – E – C y D – E – B TESIS:
1) AE EC 2) DE
AC
Congruencia de triángulos.
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16. HIPÓTESIS: TESIS:
1)
B
AB AF; DB DF ;
2) DC
1
2
F DE
SUGERENCIA: Trazar
AD
17. HIPÓTESIS:
OED
A
C
AE
TESIS:
1) BF 2)OF
ODE
DC
BH OH
18. HIPÓTESIS: AF AB; FE BC; DF DB TESIS:
1)
EAD
CAD
2) ED CD
19. EAD
HIPÓTESIS:
AF
TESIS:
1) DF
DB
2) EF
CB
AB
CAD
Congruencia de triángulos.
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20. HIPÓTESIS: AR SC; AB CD; BS DR TESIS:
1)
BSA
DRS
2) PR PS
21. HIPÓTESIS: BD es mediana AE BF ; CF BF
TESIS:
AE CF
22. HIPÓTESIS: TESIS:
AC
AE
CF
y
EB
son medianas
AD CE
23. HIPÓTESIS:
AB BC; DC BC ABD
TESIS:
DCA
ABC DCB
24. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados congruentes de un triángulo isósceles al punto medio de la base son congruentes. 25. Si el segmento de recta que une el vértice B del triángulo ABC al punto medio M de se alarga en una distancia igual a su propia longitud hasta E entonces EC AB
AC
26. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triángulo equilátero forman otro triángulo equilátero.
Congruencia de triángulos.
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27. HIPÓTESIS: TESIS:
TR
TRP
TS ; PR PS
TSP
28. HIPÓTESIS: A – B – C – D 1
2
AB CD
TESIS:
A
D
29.
HIPÓTESIS:
AB AC BD CE
TESIS:
1) ACD ABE 2)BDC CEB
30. HIPÓTESIS: TESIS:
C
CE
biseca a
E
BF
Congruencia de triángulos.
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31. Se tiene un triángulo isósceles ABC, con AB AC , se toma un punto E sobre AB y se toma un punto F sobre AC de tal manera que AE AF . Se traza la altura AH , se traza el triángulo EHF. Demostrar que EHA FHA y que EFH FEH
SOLUCIONARIO DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1. En la figura se tiene que: AG GE ED FG GB BC .
Demostrar que:
1. AG GE ED FG GB BC 2. AD AG GE ED 3. FC FG GB BC 4. FC AG GE ED 5. AD FC 6. AGB FGE 7. GA GE GB GF 8. AGB FGE 9.
F
A
10. FE AB 11. FEC ABD 12.
D
C
D
C
1. De hipótesis 2 Suma de segmentos 3 Suma de segmentos Sustitución de 1 en 3 5 De 2 y 4, propiedad transitiva 6. Ángulos opuestos por el vértice 7 De 1 8 De 7 y 6 por teorema L – A – L 9. De 8, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 10. De 8 por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 11. De 10, 9 y 5, L – A – L 12. De 11, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos.
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2. HIPÓTESIS: TESIS: 1) 2)
1. AD DB 2. D es punto medio de AB
3. 4. 5.
CD es
6.
CD es
7. 8.
mediana CD es altura ABC es isósceles bisectriz
ACD CA CB
BCD
CD es
ACD
altura.
AD DB
BCD
CA CB
1. De hipótesis 2. De 1, definición de punto medio 3. De 2, definición de mediana 4. De hipótesis 5. De 3 y 4, por ser una mediana también altura 6. De 5, 3 y 4, en un triángulo isósceles la altura sobre la base es también bisectriz. 7. De 6, definición de bisectriz 8. De 5, definición de triangulo isósceles.
Congruencia de triángulos.
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3. Demostrar que en un triángulo isósceles las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes. HIPÓTESIS
ABC es AD y
TESIS
1. ABC es isósceles 2. CA CB 3. AD es mediana 4. D es punto medio de
AD
isósceles BE son medianas
BE
1. De hipótesis 2. De 1, definición de triangulo isósceles 3. De hipótesis 4. De 3, definición de mediana
CB
5. BE es mediana 6. E es punto medio de
5. De hipótesis 6. De 5, definición de mediana
CA
7.
AE
8.
BD
EAB
DBA
9. AB AB 10. ABE ABD 11.
AD
BE
7. De 6, 4 y 2, por ser mitades de segmentos congruentes 8. De 1, los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes 9. Propiedad reflexiva 10. De 9, 8 y 7 L – A – L 11. De 10, por ser lados correspondientes de triángulos congruentes
Congruencia de triángulos.
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4. HIPÓTESIS: TESIS:
E
EAD
B;
ADE
ACB;
B – C – D – E
BAC
Este ejercicio se demuestra utilizando el teorema L – A – A, que se demostrará en la siguiente unidad. 1. De hipótesis 1. E B 2. De 1, por tener dos ángulos congruentes 2. ABE es isósceles 3. De 2, definición de triangulo isósceles 3. AB AE 4. De hipótesis 4. ADE ACB 5. De 3, 1 y 4 L – A – A 5. ABC ADE 6. De 5, por ser ángulos correspondientes en triángulos 6. EAD BAC congruentes
Congruencia de triángulos.
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5. HIPÓTESIS:
AB AD; AE
es bisectriz de
BAD
A – C – E TESIS:
1. AB AD 2. AE es la bisectriz de 3. 1 2 4. AC AC 5. ACB ACD 6.
ACB
7. 8. 9.
BCE es
2)
BCE
BAD
ACD
el suplemento de DCE es el suplemento de BCE
1) BC CD
DCE
ACB ACD
DCE
1. De hipótesis 2. De hipótesis 3. De 2, definición de bisectriz 4. Propiedad reflexiva 5. De 1, 3 y 4, L – A – L 6. De 5, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 7. Definición de ángulos suplementarios 8. Definición de ángulos suplementarios 9. De 7 y 8, por tener el mismo suplemento
Congruencia de triángulos.
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6. HIPÓTESIS:
ABC
AE
TESIS:
1. A B C 2. AE BF CD 3. AB = BC = CA 4. AE+EB=BF+FC=CD+DA 5. AE+EB=AE+FC=AE+DA 6. EB = FC = DA 7. AED EBF FCD 8. DE EF FD 9.
DEF es
equilátero.
EFD es
es equilátero.
BF
CD
equilátero
1. De hipótesis. Un triángulo equilátero es equiángulo. 2. De hipótesis. 3. De hipótesis. Definición de triángulo equilátero. 4. De 3. Adición de segmentos 5. Sustitución de 2 en 4 6. De 5. Ley cancelativa 7. De 6, 2, 1. L – A – L 8. De7. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 9. De 8. Definición de triángulo equilátero
Congruencia de triángulos.
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7. Sea ABC un triángulo isósceles, con CA CB . D es el punto medio de AC y E es el punto medio de BC . Demostrar que el triángulo ACE es congruente con el triángulo BCD HIPÓTESIS TESIS
1. CA CB 2. C C 3. D es punto medio de medio de CB 4. CD CE 5. ACE BCD
isósceles, con CA CB D y E son puntos medios.
ABC
ACE BCD
1. De hipótesis 2. Propiedad reflexiva CA y
E es punto
3. De hipótesis 4. De 1 y 3, por ser mitades de segmentos congruentes 5. De 1, 2 y 4 L – A – L
Congruencia de triángulos.
24
8. HIPÓTESIS:
DE AE
DE EC; AE EB
D
A
D – F – H – B; A – G – H – C
TESIS:
1)CEG BEF 2)CFH
1. D A 2. DE AE 3. AEG = DEF 4. DEF EAG 5. DFE EGA
BGH
1. De hipótesis. 2. De hipótesis. 3. De hipótesis. Son ángulos rectos. 4. De 1,2, 3, A – L – A 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos.
25
9. HIPÓTESIS:
AI
IC
CD BI
IH
HF
TESIS: EH EC En este ejercicio también emplearemos el teorema L – A – A que se demostrará en la próxima unidad.
1. AI IC CD BI IH HF 2. AD AI IC CD 3. BF BI IH HF 4. BF AI IC CD 5. AD BF 6. BIC AIH 7. IB IH IA IC 8. BIC AIH 9.
B
10.
AH
11.
AHD BCF
12.
A
D
BC
F
13. HEF CED 14. FH DC 15. ECD EHF 16. EH EC
1. De hipótesis 2 Suma de segmentos 3 Suma de segmentos Sustitución de 1 en 3 5 De 2 y 4, propiedad transitiva 6. Ángulos opuestos por el vértice 7 De 1 8 De 7 y 6 por teorema L – A – L 9. De 8, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 10. De 8 por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 11. De 10, 9 y 5, L – A – L 12. De 11, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 13. Por ser ángulos opuestos por el vértice 14. De hipótesis 15. De 14, 13 y 12, por teorema L – A – A 16. De 15, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos.
26
10. HIPÓTESIS: B es punto medio de
AC
AD CE; BD BE
TESIS:
1. B es punto medio de 2. AB BC
AC
3. AD CE; BD BE 4. BCE ABD 5.
D
E
6.
C
A
7. APC es isósceles
1)
E
D
2) APC es isosceles.
1. De hipótesis 2. De 1, definición de punto medio 3. De hipótesis 4. De 2 y 3, por el teorema L – L – L 5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 6. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 7. De 6, por tener dos ángulos congruentes
Congruencia de triángulos.
27
11. AB
AF
HIPÓTESIS: BD DF BAC
TESIS:
1) AC
FAE
AE
2) BC FE
1. AB AF 2. BD DF 3. AD AD 4. ADB ADF 5. B F 6. BAC FAE 7. ABC AFE 8. AC AE 9. BC FE
1. De hipótesis 2. De hipótesis 3. De hipótesis 4. De 1, 2 y 3, teorema L – L – L 5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 6. De hipótesis 7. De 6, 5 y 1, por el teorema A – L – A 8. De 7, por ser lados correspondientes de triángulos congruentes 9. De 7, por ser lados correspondientes de triángulos congruentes
Congruencia de triángulos.
28
12. Demostrar que en un triángulo isósceles: A. Las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes. B. Las alturas trazadas a los lados congruentes son congruentes. C. Los segmentos de las bisectrices de los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes. De este ejercicio vamos a hacer el numeral c. HIPÓTESIS: Triangulo ABC isósceles, con BE
TESIS:
1.
EAB
2. BE es la bisectriz de CBA 3. 1 2 4. AD es la bisectriz de CAB 5. 3 4 6. m( EAB) m( 3) m( 4) 7. m( DBA) m( 1) m( 2) 8. m( 4) m( 3) m( 1) m( 2) 9. 2m( 4) 2m( 2) 10. m( 4) m( 2) 11. AB AB 12. ABE ABD 13.
AD BE
AD es
bisectriz del ángulo CAB
BE es
bisectriz del ángulo CBA
AD BE
DBA
CA CB
1. De hipótesis, por ser los ángulos de la base de un triangulo isósceles 2. De hipótesis. 3. De 2, definición de bisectriz de un ángulo 4. De hipótesis 5. De 4, definición de bisectriz de un ángulo 6. Suma de ángulos 7. Suma de ángulos 8. De 1, 6 y 7, propiedad transitiva 9. De 3,5 y 8, suma de ángulos 10. De 9, propiedad cancelativa 11. Propiedad reflexiva 12. De 11, 10 y 1, teorema A – L – A 13. De 12, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos.
29
13. Si en un triángulo ABC se cumple que AB AC . R es un punto que pertenece al lado AB ; D es un punto que pertenece al lado AC ; RC DB .En base con esta información se puede demostrar que AR AD? Justificar la respuesta.
Para demostrar que AR AD ? deberíamos demostrar primero que el triángulo ARC es congruente con el triángulo ADB y el teorema L – L – A no lo hemos demostrado y además veremos más adelante que este teorema no se cumple siempre. Para que este teorema se cumpla es necesario que los lados opuestos a los ángulos congruentes sean los lados mayores en los triángulos. El teorema L – L – A si se cumple en los triángulos rectángulos.
Congruencia de triángulos.
30
14. HIPÓTESIS:
TESIS:
1. AE BC 2. AC BE 3. AB AB 4. AEB BCA 5.
DEA
6. 7.
EDA
DCB CDB
EDA CDB
8. DE DC 9. DA AC DC 10. DB BE DE 11. DB AC DC 12. DA DB 13. ABD es isósceles
1)
AE
BC
AC
BE
DEA
DCB
2) ABD es isosceles
1. De hipótesis 2. De hipótesis 3. Propiedad reflexiva 4. De 1, 2 y 3, por el teorema L – L – L 5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 6. Por ser ángulos opuestos por el vértice 7. De 1, 5 y 6, por el teorema L – A – A 8. De 7, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 9. Resta de segmentos 10. Resta de segmentos 11. Sustitución de 2 y 8 en 10 12. De 11 y 9, propiedad transitiva 13. De 12, definición de triangulo isósceles
Congruencia de triángulos.
31
15. HIPÓTESIS:
1
2
3
4
A – E – C y D – E – B TESIS:
1) AE EC 2) DE
1. 1 2 2. 3 4 3. DB DB 4. DBA DBC 5. DA DC 6. ADC es isósceles 7. DE es bisectriz de
ADC
8. DE es mediana 9. E es punto medio de 10. AE EC 11. DE es altura 12. DE AC
AC
AC
1. De hipótesis 2. De hipótesis 3. Propiedad reflexiva 4. De 1, 2 y 3, por el teorema A – L – A 5. De 4, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 6. De 5, definición de triangulo isósceles 7. De 1, definición de bisectriz de un ángulo 8. De 7 y 6, la bisectriz del ángulo opuesto a la base de un triángulo isósceles es también mediana 9. De 8, definición de mediana 10. De 9, definición de punto medio 11. De 6 y 8, en un triángulo isósceles la mediana sobre la base es también altura 12. De 11, definición de altura en un triangulo
Congruencia de triángulos.
32
16. HIPÓTESIS: TESIS:
1)
B
AB AF; DB DF ;
2) DC
2
F DE
SUGERENCIA: Trazar
1. AB AF 2. DB DF 3. AD AD 4. ADB ADF 5. B F 6. 1 2 7. ABC AFE 8. BC EF 9. DC DB BC 10. DE DF EF 11. DE DB BC 12. DC DE
1
AD
1. De hipótesis 2. De hipótesis 3. Propiedad reflexiva 4. De 1, 2 y 3, por el teorema L – L – L 5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 6. De hipótesis 7. De 6, 5 y 1, por el teorema A – L – A 8. De 7, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 9. Resta de segmentos 10. Resta de segmentos 11. Sustitución de 2 y 8 en 10 12. De 9 y 11, propiedad transitiva
Congruencia de triángulos.
33
17. HIPÓTESIS:
OED
A
C
AE
TESIS:
1) BF 2)OF
1. A C 2. OED ODE 3. AE DC 4. AD AE ED 5. EC DC ED 6. EC AE ED 7. AD EC 8. FAD HCE 9. FA HC 10. ABC es isósceles 11. BA BC 12. BF BA FA 13. BH BC HC 14. BH BA FA 15. BF BH 16. EOD es isósceles 17. OE OD 18. FD HE 19. OF FD OD 20. OH HE OE 21. OH FD OD 22. OF OH
ODE
DC
BH OH
1. De hipótesis 2. De hipótesis 3. De hipótesis 4. Suma de segmentos 5. Suma de segmentos 6. Sustitución de 3 en 5 7. De 4 y 6, propiedad transitiva 8. De 7, 2 y 1, por el teorema A – L – A 9. De 8, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 10. De 1, por tener dos ángulos congruentes 11. De 10, definición de triangulo isósceles 12. Resta de segmentos 13. Resta de segmentos 14. Sustitución de 11 y 9 en 13 15. De 12 y 14, propiedad transitiva 16. De 2, por tener dos ángulos congruentes 17. Definición de triangulo isósceles 18. De 8, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 19. Resta de segmentos 20. Resta de segmentos 21. Sustitución de 18 y 17 en 20 22. De 21 y 19, propiedad transitiva
Congruencia de triángulos.
34
18. HIPÓTESIS: AF AB; FE BC; DF DB TESIS:
1. AF AB 2. DF DB 3. AD AD 4. ADF ADB 5.
EAD
6.
1
CAD
2
7. El suplemento de 8. El suplemento de 9. 3 4 10. FE BC 11. FED BCD 12. ED CD
3 4
es es
1 2
1)
EAD
CAD
2) ED CD
1. De hipótesis 2. De hipótesis 3. Propiedad reflexiva 4. De 1, 2 y 3 por el teorema L – L – L 5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 6. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 7. Definición de ángulos suplementarios 8. Definición de ángulos suplementarios 9. De 6, 7 y 8 por tener el mismo suplemento 10. De hipótesis 11. De 10, 9 y 2, por el teorema L – A – L 12. De 11, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
19. Para demostrarlo analizar el ejercicio 18.
Congruencia de triángulos.
35
20.
HIPÓTESIS:
TESIS: 1. AR SC 2. AB CD 3. BS DR 4. AS AR RS 5. CR SC RS 6. CR AR RS 7. AS CR 8. ABS CDR 9.
BSA
DRS
10. RPS es isósceles 11. PR PS
1)
AR
SC
AB
CD
BS
DR
BSA
DRS
2) PR PS
1. De hipótesis 2. De hipótesis 3. De hipótesis 4. Suma de segmentos 5. Suma de segmentos 6. Sustitución de 1 en 5 7. De 4 y 6, propiedad transitiva 8. De 2, 3 y 7, teorema L – L – L 9. De 8, por ser ángulos correspondientes de triángulos congruentes 10. De 9, por tener dos ángulos congruentes 11. De 10, definición de triangulo isósceles.
Congruencia de triángulos.
36
21. HIPÓTESIS:
BD
es mediana
AE BF y CF BF
TESIS:
1. BD es mediana 2. D es punto medio de AC
3. AD DC 4.
AED
5. 6.
1
AED CFD
7.
AE CF
DFC
2
AE
CF
1. De hipótesis 2. De 1, definición de median en un triangulo 3. De 2, definición de punto medio 4. De hipótesis, por ser ángulos rectos por definición de perpendicularidad. 5. Por ser ángulos opuestos por el vértice 6. De 5, 4 y 3, por el teorema L – A – A 7. De 6, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos.
37
22. AC
HIPÓTESIS:
AE
CF , EB EB
TESIS:
y
AD
se cortan en G
y CF son medianas
AD CE
1. De hipótesis 1. AC AE 2. ACE es isósceles 2. De 1, definición de triángulos isósceles 3. CF y EB son 3. De hipótesis medianas 4. De 3 y de hipótesis, las 3 medianas de un triángulo se cortan en 4. AD es mediana un punto llamado baricentro o centro de gravedad. 5. De 2 y 4, en un triángulo isósceles la mediana sobre la base es 5. AD es altura también altura 6. De 5, definición de altura de un triangulo 6. AD CE
Congruencia de triángulos.
38
23. HIPÓTESIS:
AB BC; DC BC ABD
TESIS:
1.
ABD
DCA
2.
DCA y
ABC son
3. El complemento de 4. El complemento de 5. ACB DBC 6. DCB ABC 7. BC BC 8. DCB ABC
rectos ACB
es
DCA
DBC
es
ABD
DCA
ABC DCB
1. De hipótesis 2. De hipótesis, por definición de perpendicularidad 3. De 2, definición de ángulos complementarios 4. De 2, definición de ángulos complementarios 5. De 1, 3 y 4, por tener el mismo complemento 6. De 2, por ser ángulos rectos. 7. Propiedad reflexiva 8. De 7, 6 y 5, por el teorema A – L – A
Congruencia de triángulos.
39
24. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados congruentes de un triángulo isósceles al punto medio de la base son congruentes HIPÓTESIS:
es isósceles con CA CB D, E y F son puntos medios ABC
TESIS: DF EF
1.
A
B
2. F es punto medio de 3. AF FB 4. CA CB 5. DA EB 6.
DAF EBF
7. DF EF
AB
1. De hipótesis, por ser ángulos opuestos a los lados congruentes de un triángulo isósceles 2. De hipótesis 3. De 2, definición de punto medio de un segmento 4. De hipótesis 5. De 4 y de hipótesis, por ser mitades de segmentos congruentes 6. De 5, 3 y 1, por el teorema L – A – L 7. De 6, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos.
40
25. Si el segmento de recta que une el vértice B del triángulo ABC al punto medio M de se alarga en una distancia igual a su propia longitud hasta E entonces EC AB HIPÓTESIS:
M
es punto medio de
BM
TESIS: EC
1. M es punto medio de 2. AM MC 3. 1 2 4. BM ME 5. MEC MAB 6. EC AB
AC
AC
AC
MC
AB
1. De hipótesis 2. De 1, definición de punto medio 3. Por ser ángulos opuestos por el vértice 4. De hipótesis 5. De 2, 3 y 4, por el teorema L – A – L 6. De 5, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos.
41
26. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triángulo equilátero forman otro triángulo equilátero. HIPÓTESIS: ABC es
equilátero
D, E y F son puntos medios de los lados del triángulo
TESIS
1. AB BC CA 2. 3. 4.
AF
A
FB BE
B
EC
CD
C
DFA DEC EFB
5. DF DE EF 6. DEF es equilátero
DA
DEF es
equilátero
1. De hipótesis, definición de triángulo equilátero 2. De 1 y de hipótesis, definición de punto medio, por ser mitades de segmentos congruentes 3. Por ser ángulos opuestos a lados congruentes en un triangulo 4. De 2 y 3, por el teorema L – A – L 5. De 4, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 6. De 5, definición de triángulo equilátero
Congruencia de triángulos.
42
27. HIPÓTESIS
TESIS
1. RTS es isósceles 2.
TRS
3.
RPS es
4.
1
TSR
isósceles
2
5. m( TRP) 6. m( TSP) 7. m( TSP) 8. TRP
m(
1) m( TSR) m( 2) m( TRS ) m( 1)
TSP
TRS )
m(
TR
TS
PR
PS
TRP
TSP
1. De hipótesis, definición de triangulo isósceles 2. De 1, por ser ángulos de la base de un triángulo isósceles 3. De hipótesis, definición de triangulo isósceles 4. De 3, por ser ángulos de la base de un triángulo isósceles 5. Resta de ángulos 6. Resta de ángulos 7. Sustitución de 2 y 4 en 6 8. De 5 y 7, propiedad transitiva
Congruencia de triángulos.
43
28. A B C
HIPÓTESIS
1
AB
TESIS
1. 2.
1
2
BEC es
isósceles
3. EB EC 4. 5. 6. 7. 8. 9.
3 es
el suplemento de 4 es el suplemento de
3
4
AB CD ABE DEC
A
D
1 2
A
D
2
CD
D
1. De hipótesis 2. De 1, por tener dos ángulos congruentes 3. De 2, en un triángulo a ángulos congruentes se oponen lados congruentes 4. De hipótesis, definición de ángulos suplementarios 5. De hipótesis, definición de ángulos suplementarios 6. De 1, 4 y 5, por tener el mismo suplemento 7. De hipótesis 8. De 7, 6, y 3, por el teorema L – A – L 9. De 8, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos.
44
29. HIPÓTESIS AB
AC
BD CE
TESIS 1)ACD ABE 2)BDC CEB
1. AD AB BD 2. AE AC CE 3. AB AC 4. BD CE 5. AE AB BD 6. AD AE 7. A A 8. ACD ABE 9. ABC es isósceles 10.
1
2
11. El suplemento de 12. El suplemento de 13. DBC ECB 14. BC BC 15. BDC CEB
DBC es
1
ECB es
2
1. Suma de segmentos 2. Suma de segmentos 3. De hipótesis 4. De hipótesis 5. Sustitución de 3 y 4 en 2 6. De 1 y 5, propiedad transitiva 7. Propiedad reflexiva 8. De 7, 6 y 3, por teorema L – A – L 9. De 3, definición de triangulo isósceles 10. De 9, por ser los ángulos de la base de un triangulo isósceles 11. Definición de ángulos suplementarios 12. Definición de ángulos suplementarios 13. De 10, 11 y 12, por tener el mismo suplemento 14. Propiedad reflexiva 15. De 14, 13 y 4, por teorema L – A – L
Congruencia de triángulos.
45
30. HIPÓTESIS: TESIS:
1. 2. El suplemento de 3. El suplemento de 4. CBD EFD 5. BD DF 6. CDB FDE 7. BDC DFE 8.
C
E
CBD
es
EFD
es
C
CE biseca a BF
E
1. De hipótesis 2. Definición de ángulos suplementarios 3. Definición de ángulos suplementarios 4. De 1, 2 y 3, por tener el mismo suplemento 5. De hipótesis, CE biseca a BF 6. Por ser ángulos opuestos por el vértice 7. De 4, 5 y 6, por el teorema A – L – A 8. De 7, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos.
46
31. Se tiene un triángulo isósceles ABC, con AB AC , se toma un punto E sobre AB y se toma un punto F sobre AC de tal manera que AE AF . Se traza la altura AH , se traza el triángulo EHF. Demostrar que EHA FHA y que EFH FEH HIPÓTESIS
ABC es
isósceles
AB AC AE AF AH es altura
TESIS 1) 2)
1. 2. 3.
AE AF AH
AH
AH es altura
4. AH es bisectriz 5. 1 2 6. AEH AFH 7. EHA FHA 8. EH HF 9. EHF es isósceles 10. EFH FEH
EHA EFH
FHA FEH
1. De hipótesis 2. Propiedad reflexiva 3. De hipótesis 4. De hipótesis, en un triángulo isósceles la altura sobre la base también es bisectriz del ángulo opuesto a la base del triangulo 5. De 4, definición de bisectriz de un ángulo 6. De 5, 1 y 2, por L – A – L 7. De 6, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 8. De 6, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 9. De 8, definición de triangulo isósceles 10. De 9, por ser los ángulos de la base de un triángulo isósceles
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