Confiabilidad de Componentes y Sistemas

FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE ATACAMA

CONFIABILIDAD DE COMPONENTES Y SISTEMAS

Relator: Rodrigo Huenumán Rojas

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Contenidos: • Funciones Confiabilidad

• Análisis Sistemas • Análisis Disponibilidad

• Análisis de Redundancia • Optimización del Mantenimiento

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FUNCIONES DE CONFIABILIDAD

4

Definición de Confiabilidad 

Confiabilidad de un elemento es la probabilidad de que dicho elemento funcione sin fallas durante un tiempo "t" determinado bajo condiciones ambientales dadas.



Para cuantificarla es necesario que :



Sea fijado en forma inequívoca el criterio que determina si el elemento funciona o no. 1. Sean establecidas exactamente las condiciones ambientales y de

utilización. 2. Sea definido el intervalo de tiempo durante el cual se requiere que el

elemento funcione.

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Confiabilidad y Mantenibilidad Indicadores

Indicadores de Confiabilidad - Tiempo medio de funcionamiento entre dos fallas sucesivas MTBF (Mean Time Between Failure). - Tiempo medio de funcionamiento entre dos intervenciones sucecivas de mantencin. MTBM (Mean Time Between Maintenance).

Indicadores de Mantenibilidad. - Tiempo medio técnico de intervención de mantención MTTR (Mean Time To Repair). - tiempo medio total fuera de servicio, suma de MTTR y de tiempos de reparación y de espera (logísticos). MDT (Mean Down Time).

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Funciones de Confiabilidad 

 f (t )dt  1 0 a

F (t )   f (t )dt 0 

R(t )   f (t )dt  1  F (t ) a f(t): función de densidad de falla. F(t): función acumulada de falla. R(t): Confiabilidad.

Base Conceptu al 7

Tasa de falla • Es la probabilidad de tener una falla del sistema o del elemento

entre los instantes t y (t+Dt) a condición de que el sistema haya sobrevivido hasta el tiempo "t".

l (t)

Tasa de fallas de una población homogénea en función de su edad

Rodaje

Vida Útil

f ( ti ) l( ti )  R( ti ) Desgaste

t

Base Conceptu al 8

Funciones de Confiabilidad • Probabilidad de falla instantánea :  

Probabilidad de fallas acumulada : Confiabilidad :

R(ti)

f (ti )  Dti F(ti)

Base Conceptu al 9

Funciones de Confiabilidad  Donde

ni f (ti )  Dti  No

:

i

i

 ni

Ni F (ti)   f (ti)  Dti   1 No No 0 0

R(ti ) 

Ni  1  F (ti ) No

Notación  No : Número de elementos buenos al instante to (instante inicial)  Ni : Número de elementos buenos al instante ti  ni : Número de elementos que fallaron entre ti y t(i+1), equivalente a DNi.  Dti: Intervalo de tiempo observado igual a t(i+1) - ti.

Base Conceptu al 10

Confiabilidad a Nivel Continuo Por hipótesis :

F(t  dt )  F(t ) dF(t ) l(t )dt   R(t ) 1  F (t ) Integrando :

t

 0

t

l( t ) dt 

 0

t

dF( t ) 1  F( t )





 l( t )dt  ln(1  F( t )) 0

Base Conceptu al 11

Confiabilidad a Nivel Continuo Aplicando exponencial : t



 l( t ) dt

e

0

= 1 - F( t )

Formalizando :

t

t



 l ( t ) dt

R( t )  e

0



 l ( t ) dt

F( t )  1  e

0

Base Conceptu al 12

Modelos de Confiabilidad EXPONENCIAL NEGATIVA

f (t )  l e  l t

R(t )  e

l t

l (t) f (t)

l

0

t

0

t

Base Conceptu al 13

Modelos de Confiabilidad NORMAL

1 f (t)   2

( t  )2  2 2  e

t



R ( t )  1  f ( t )dt 0 l(t)

f(t)

0



t

0

t

Base Conceptu al 14

Modelos de Confiabilidad : Weibull f(t)  = 0,5

  t     1 f (t)   e    

= 3

= 1 t

0

  t     1 l(t)      

l (t) = 0,5

= 3 = 1

0

R( t )  e t

t      



t       



Base Conceptu al 15

Confiabilidad A Nivel Continuo • MTTF (Mean Time To Failure)

MTTF 





0

0

 t  f ( t)dt   R( t)dt

• MTBF (Mean Time Between Failures)

Período en el ciclo de vida de sistemas reparables

M.T.B.F

M.T.T.R.

Base Conceptu al 16

Mantenibilidad Mantenibilidad es la probabilidad de que la intervención de mantenimiento se lleve a cabo dentro del tiempo definido tr. La distribución normal logarítmica es la que mejor representa la aleatoriedad de tr. Su explicación más científica se basa en la separación del proceso de reparación individual en dos tiempos en esencia distintos: • •

Tiempo asociado a factores accidentales en la reparación. Tiempo usual de la reparación propiamente tal

Base Conceptu al 17

Mantenibilidad m(tr)

Distribución normal logarítmica para tr

tr

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ANÁLISIS DE SISTEMAS

19

Configuración en Serie

n

Rs (t )  R1(t ) R 2(t )........ Rn (t )   Ri (t ) i 1

l  e n

Rs(t )  e



 ls ( t ) dt

n

n

  Ri(t )  e i 1

para li = cte :



 li ( t ) dt



i ( t )d t

i 1

i 1

MTBFi  1

li

MTBFs  1

ls

20

Efecto de Sistemas en Serie 0.9999

1

0.999 0,8

0.99

R(n)

0,6

0.98 0,4

0.95 0,2

0.90

0 0

10

20

30

40

N de Componentes (n)

50

60

70

Ejemplo Configuración en Serie Un circuito electrónico simple consiste en 6 transistores, cada uno con una tasa de falla de 10-6 f/hr, 3 Capacitadores cada uno con tasa de falla de 0.5 x 10-6 f/hr, 10 resistencias cada una con tasa de falla de 5 x 10-6 f/hr y 2 switches con tasas de falla de 2 x 10-6 f/hr. Considerando que los cables son 100% confiables evalúe la probabilidad de que el sistema funcione a las 1.000 hrs y 10.000 hrs de operación.

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Ejemplo Configuración en Serie Un circuito electrónico simple consiste en 6 transistores, cada uno con una tasa de falla de 10-6 f/hr, 3 Capacitadores cada uno con tasa de falla de 0.5 x 10-6 f/hr, 10 resistencias cada una con tasa de falla de 5 x 10-6 f/hr y 2 switches con tasas de falla de 2 x 10-6 f/hr. Considerando que los cables son 100% confiables evalúe la probabilidad de que el sistema funcione a las 1.000 hrs y 10.000 hrs de operación.

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Configuración en Paralelo

n

Rs (t )  1  Fs (t )  1   Fi (t ) i 1

Caso 2 equipos:

Rs  R A  RB  R A  RB

1

1

1 MTBF S    l A lB l A  lB

24

Efecto de Sistemas en Paralelo 1,00 0,95 0,90 R

• Análisis de Confiabilidad

0,85 0,80 0,75 1

2

3

4

5

6

30% 25% 20%

• Análisis de Impacto

Aumento Total R (%)

15%

Aumento Marginal R (%)

10% 5% 0% 1

2

3

4

5

6

Ejemplo Configuración en Paralelo Reconsidere el ejemplo anterior y evalúe la probabilidad de sobrevivir 1.000 hrs y 10.000 hrs si dos circuitos idénticos como los descritos anteriormente son utilizados en paralelo y se asume que el sistema opera exitosamente si sólo uno de los circuitos está operativo.

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Ejemplo Configuración en Paralelo Reconsidere el ejemplo anterior y evalúe la probabilidad de sobrevivir 1.000 hrs y 10.000 hrs si dos circuitos idénticos como los descritos anteriormente son utilizados en paralelo y se asume que el sistema opera exitosamente si sólo uno de los circuitos está operativo.

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27

Comparación de Subsistemas 100%

Rs(t)

80% Paralelo

60%

Serie

40% 20% 0% 0

10

20

30

40

50

60

70

t (miles hrs)

Serie Paralelo

Rs(1.000) 93,93% 99,63%

Rs(10.000) 53,47% 78,35%

MTBFs (hrs) 15.974 23.962

28

Paralelo – Event Space Method Eq Falla

Rs

Resultado

0

Ra*Rb*Rc

1

1-(a)

(1-Ra)*Rb*Rc

1

1-(b)

Ra*(1-Rb)*Rc

1

1-(c)

Ra*Rb*(1-Rc)

1

2-(b,c)

Ra*(1-Rb)*(1-Rc)

1

2-(a.c)

(1-Ra)*Rb*(1-Rc)

1

2-(a,b)

(1-Ra)*(1-Rb)*Rc

1

3-(a,b,c)

(1-Ra)*(1-Rb)*(1-Rc)

0

FS  (1  R A )  (1  RB )  (1  RC )  1  R A  RB  RC  R A RB  R A RC  RB RC  R A RB RC RS  1  FS  R A  RB  RC  R A RB  R A RC  RB RC  R A RB RC MTBFS 

1

lA



1

lB



1

lC



1 1 1 1    l A  lB l A  lC lB  lC l A  lB  lC

29

Configuración Stand-by 1.  R A (t ) t

2.  f A ( )RS (t   )d 0

t

RS (t ) RA (t )   f A ( )RS (t   )d para la = lb cte :

RS (t )  R A (t )  1  l  t 

0

MTBF S 

2

l

30

Ejemplo Configuración Stand By Compare la confiabilidad de un subsistema de 2 componentes cada uno con una tasa de falla de 0.02 f/hr a un tiempo de operación de 10 hrs si se encuentran A) en paralelo y B) en configuración Stand by con un conmutador 100% confiable. También compare los MTBFs de los dos sistemas.

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Ejemplo Configuración Stand By Compare la confiabilidad de un subsistema de 2 componentes cada uno con una tasa de falla de 0.02 f/hr a un tiempo de operación de 10 hrs si se encuentran A) en paralelo y B) en configuración Stand by con un conmutador 100% confiable. También compare los MTBFs de los dos sistemas. B)

R p (10 )  0.9671 MTBFp 

1 1 1   0.02 0.02 0.02  0.02

MTBF p  75 hrs.

RSb  e 0.0210  (1  0.02  10 ) RSb  0.9825

MTBFSb 

2  100 hrs. 0.02

32

Comparación de Subsistemas 100%

Paralelo Stand by Serie

60% 40% 20%

10 5 12 0 13 5 15 0 16 5 18 0

90

75

60

45

30

15

0% 0

Rs(t)

80%

t (horas)

Stand By Paralelo Serie

Rs(10) 98,25% 96,71% 81,87%

MTBFs (hrs) 100 75 50

33

Configuración en Redundancia Parcial

 n j n j Rs  P(r  j  n)   R (1  R) j r  j  n

34

Ejemplo k=2 y N=3, Event Space Method Eq Falla

Rs

Resultado

0

Ra*Rb*Rc

1

1-(a)

(1-Ra)*Rb*Rc

1

1-(b)

Ra*(1-Rb)*Rc

1

1-(c)

Ra*Rb*(1-Rc)

1

2-(b,c)

Ra*(1-Rb)*(1-Rc)

0

2-(a,c)

(1-Ra)*Rb*(1-Rc)

0

2-(a,b)

(1-Ra)*(1-Rb)*Rc

0

3-(a,b,c)

(1-Ra)*(1-Rb)*(1-Rc)

0

RS  R A RB RC  (1  R A ) RB RC  R A (1  RB ) RC  R A RB (1  RC ) RS  R A RB  R A RC  RB RC  2  R A RB RC ) MTBF S 

1 1 1 1    2 l A  l B l A  lC l B  lC l A  l B  lC

Ejercicio: La instalación de tres generadores eléctricos cada uno con la mitad de la capacidad del requerimiento total. Esto es una redundancia de tres sobre dos. Los generadores son de las misma marca y el tiempo de modelo, y su tasa de falla es 9*10^-6 (1/h) en la etapa de madurez. Calcular todos los elementos de confiabilidad a un año de operación.

36

Configuración en fraccionamiento

n  RS  1   (1 Ri )  I i  1 

I i  Nivel de impacto

n

Ii 1 MTBF S    li i 1 I T

n

IT   Ii i 1

37

Reducción: Ejemplo 1

38

Reducción: Ejemplo 1 R9  R1 R2 R3 R4 R10  R5 R6 R7 R8 R11  1  (1  R9 )  (1  R10 )  R9  R10  R9 R10  R1 R2 R3 R4  R5 R6 R7 R8  R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8

39

Reducción: Ejemplo 2 2/3

R2=0.820 R1=0.850

R4=0.750 R5=0.870

R3=0.920 R7=0.900 R1=0.850 R8=0.986 R8=0.939

R6=0.910 R10=0.787 R11=0.979

R7=0.900

R7=0.900

40

Diagrama de Bloques de Confiabilidad (RBD)  Cada equipo es representado por un bloque.  Determinar el Impacto de la Falla de cada equipo.

 Las fallas de los equipos son independientes.  El comportamiento del sistema se obtiene conectando los bloques.  Existen distintos modelos que permiten representar los diagramas de bloques: 1.Serie. 2.Paralelo. 3.Stand by. 4.Redundancia Parcial. 5.Fraccionamiento.

Diagrama de Bloques de Confiabilidad (RBD)  Serie: Dependencia total del equipo. Si falla se cae el sistema.  Redundancia Total (paralelo): Caso especial de Redundancia Parcial. Cada equipo que compone el sistema es capaz de tomar de forma independiente el 100% de la carga del proceso. Por lo general operan los n equipos a un fracción de la carga total. (óptimo) No se puede operar si no es al 100%. (n sobre 1).  Stand by: Cada equipo que compone el sistema es capaz de tomar de forma independiente el 100% de la carga. Sólo funciona un equipo al 100% de la carga total (capacidad óptima).  Fraccionamiento: n equipos se reparten de forma proporcional o no la carga de trabajo. Pueden tener capacidad ociosa. Se puede operar a una fracción de la carga total.  Redundancia Parcial: Se requiere de una fracción del total de equipos para operar a la carga total. No se puede operar si no es al 100%. (n sobre r)

Configuración sistémica Serie

Configuración sistémica Stand by

Configuración sistémica Redundancia parcial

Configuración sistémica Redundancia total

Configuración sistémica Fraccionamiento

47

Ejercicio de Diseño Lógico



El proceso comienza con un buzón de finos y alimentadores, que cumplen la función de almacenar y repartir el material a 12 líneas de procesos, cada una compuesta por tres alimentadores, una correa, un molino, una bomba y un hidrociclón. Posterior a la molienda unitaria sigue el proceso de Flotación.



Según lo informado, de los tres alimentadores disponibles, se utilizan sólo dos

Caso Planta Molienda unitaria Diseño Lógico RBD

El sistema posee 12 líneas idénticas, a excepción de las líneas 6 y 8.

Caso Planta Molienda unitaria Diseño Lógico RBD

Los dos grupos de líneas completan el sistema total en una configuración de fraccionamiento.

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ANÁLISIS DE DISPONIBILIDAD

51

Disponibilidad Histórica •

Disponibilidad :

UT A (UT  DT ) – UT (up-time) representa el tiempo en que el sistema está realmente disponible para el funcionamiento. – DT (down-time) representa el tiempo fuera de servicio imputable a causas técnicas.

52

Ejemplo Disponibilidad Histórica (Serie)

– Disponibilidad Sistema en Serie

Time

53

Ejemplo Disponibilidad Histórica (Paralelo)

– Disponibilidad Sistema en Paralelo

Time

54

Disponibilidad Probabilística •

MTTF (Mean Time To Failure)

•

MTBF (Mean Time Between Failures)

Período en el ciclo de vida de sistemas reparables

M.T.B.F

M.T.T.R.

55

Disponibilidad Probabilística •

Disponibilidad :

MTBF A ( MTBF  MTTR) • MTBF es la esperanza en tiempo de buen funcionamiento. • MTTR es la esperanza en tiempo de mantención.

56

Disponibilidad Probabilística

• Donde : 

MTBF   R(t )dt 0

MTTR



 Ni  i  i  Ni  i

• Ni : El número de partes componentes del tipo i-ésimo. • ti : El tiempo medio de reparación de la parte i-ésima. • ai : El número medio de fallas por unidad de tiempo, siempre para la parte i-ésima.

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ANÁLISIS DE REDUNDANCIA

58

Alternativas de mejoramiento

Mejorar el diseño de los equipos Redundancia Aumentar la mantenibilidad

Aumentar la disponibilidad esperada

¿Que pasa con los costos globales?

59

Costos de Falta

Los costos de la falta

Cf = F´- Cv

Donde: Cf= Costos de la falta F´= Facturación perdida Cv= Costos variables

60

Conceptos

Inversión Aumentar la redundancia

Impacto en los Costos Falta

Cfa  (1  As )  Cf  T  i  (1  i) n   PMT  Inversión  n  (1  i)  1  C Globales: Cfa + PMT

Nomenclatura: As: Disponibilidad del Sistema. Cfa: Costo de falta anual. Cf: Costo de falta horario. T: Tiempo de operación anual. PMT: Payment (cuota anual). i:tasa de descuento. Cf: (Facturación – C. Variables)/T

61

Ejemplo paralelo Facturación anual= $10.000.000. Horas de operación = 5.000 (hrs/año). Impacto C. Variables = 20%. Ci=$1,600/hr

Inv=$500.000 ; 4 años T.dcto=10%

Caso original: MTTRs = 20 hrs. MTBFs = 200 hrs. As = 200 / 220 =90.9%. Cfa= $727.272 Cglobal = $727.272.

Caso con redundancia: MTTRs = 20 hrs. MTBFs = 338,9 hrs. As = 338,9/358,9 =94.4%. Cfa = $445.820. PMT = $157.735. Cglobal = $603.556.

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OPTIMIZACION DEL MANTENIMIENTO

63

Planificación de Actividades Una de las aplicaciones interesantes de la teoría de

confiabilidad en el ámbito de la gestión tiene relación con la definición de planes de mantención.

64

Modelo - Costos

65

Modelo - Restricciones Para que las actividades planificadas de mantención preventiva sean

económicamente convenientes se deben satisfacer dos condiciones: •La tasa de fallas debe ser creciente. •Los costos de la intervención de emergencia deben ser mayores que la intervención preventiva.

66

Edad Constante Con este tipo de mantención se dispone que el componente se sustituya cuando falla o cuando alcanza cierta edad T

EC = [CE F(T) + CP R(T)]/ MTBFT

CE : Costo total de reparación en emergencia CP : Costo total de intervención preventiva R(T): Confiabilidad al tiempo T

F(T): Probabilidad de falla altiempo T

67

Edad Constante

EC = [CE F(T) + CP R(T)]/ MTBFT Donde:

T

MTBFT   R(t )dt

Ec

0

tp

Tiempo

68

Ejemplo: Edad constante Un equipo en etapa de desgaste tiene una curva de confiabilidad determinada por una distribución Weibull con parámetros alfa = 100 y beta = 2. El costo de mantención preventiva del equipo es de $10,000 mientras que el costo de mantención de emergencia es de $100,000. Evalúe, desde el punto de vista de los costos, la programación óptima de mantención para el equipo.

69

Ejemplo: Edad constante t 0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 200

R(t) 1,000 0,978 0,914 0,817 0,698 0,570 0,445 0,332 0,237 0,162 0,105 0,066 0,039 0,022 0,018

F(t) 0,000 0,022 0,086 0,183 0,302 0,430 0,555 0,668 0,763 0,838 0,895 0,934 0,961 0,978 0,982

MTBF(t) 0,000 15,877 30,080 43,046 54,363 63,809 71,346 77,097 81,292 84,219 86,171 87,416 88,175 88,618 88,717

Ec



756 590 616 684 764 840 909 968 1.015 1.050 1.076 1.094 1.106 1.109

70

Ejemplo: Edad constante

71

72

73

74

75

Programa de Inspecciones

Frecuencia de inspecciones Minimización del costo global

Fuente: A.K.S. Jardine, A. Tsang, Maintenance, Replacement and Reliability,Taylor & Francis, 2006.