Condiciones Iniciales y de Frontera

15-1-2016

FLUJO MULTIFÁSICO EN DOS DIMENSIONES: CONDICIONES INICIALES Y DE FRONTERA GRUPO 4

JORGE LLIGUIZACA ADRIAN JÁCOME ROBERT ROCA WORKGROUP

Contenido OBJETIVOS ....................................................................................................................................... 1 INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................. 1 DESARROLLO .................................................................................................................................. 1 CONDICIONES INICIALES ......................................................................................................... 1 CONDICIONES FRONTERA........................................................................................................ 2 

FORMULACIÓN DIFERENCIAL .................................................................................... 3



CONDICIONES DE COMPATIBILIDAD Y SUS LIMITACIONES ............................... 5



FORMULACIÓN EN DIFERENCIAS FINITAS .............................................................. 5

CONCLUSIONES .............................................................................................................................. 7 BIBLIOGRAFÍA................................................................................................................................. 7

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OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL • Analizar el flujo multifásico en dos dimensiones para las condiciones iniciales y de frontera.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS • Conocer las condiciones iniciales y de frontera para la solución de Ecuaciones de flujo multifásico. • Analizar según las condiciones de frontera la formulación diferencial, condiciones de compatibilidad y formulación en diferencias finitas. • Relacionar los conceptos de flujo de una fase a fin de compararlos con el flujo multifásico.

INTRODUCCIÓN El tema a tratar es el flujo multifásico en dos dimensiones (2D) donde incluyen el tratamiento de la producción y la inyección, la simulación de acuíferos, pozos y la interacción de problemas de conicidad de yacimientos para esto vamos a determinar las condiciones iniciales y de frontera para lo cual vamos a tener que analizar las distintas condiciones para las cuales va a ser válida la solución. En el presente trabajo vamos a dar con detalle todas estas asunciones.

DESARROLLO CONDICIONES INICIALES Es el estado de equilibrio estático en el cual la velocidad de todas las fases son cero. Entonces las presiones son funciones únicamente de z y debido a las diferencias entre la fuerza gravitacional y la fuerza capilar de los fluidos segregados como lo muestra la Figura 1. Si esto es asumido entonces algunas curvas de presión capilar y saturación son aplicadas para la fase de producción y también en estado en equilibrio, se dan las siguientes referencias: 𝑆𝑤𝑟 > 𝑆𝑤𝑐 a una profundidad 𝑧𝑜𝑤 en la zona de transición aceite – agua 𝑆𝑔𝑟 > 𝑆𝑔𝑐 a una profundidad 𝑧𝑜𝑔 en la zona de transición aceite – gas En la zona de transición ambas fases son móviles.

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Figura 1 Saturación inicial y distribución de la presión en el yacimiento

En el modelo de diferencias finitas, se calcula 𝑃𝑐𝑘 = 𝑃𝑐 (𝑍𝑘 ) y luego definir 𝑆𝑤𝑘 = 𝑆𝑤 (𝑃𝑐𝑘 ). Esto no toma en cuenta un promedio sobre el grosor de un block.

Si 𝑃𝑐 → 0 entonces podría conducir a un error en el volumen inicial de hasta 𝑉𝑝

� 2 � (𝑆𝑤𝑚𝑎𝑥 − 𝑆𝑤𝑐 ), mostrado en la figura 2, donde el promedio real de la saturación para

el block es mostrado por la línea punteada. En su mayoría este error no es grave debido a grandes incertidumbres en la definición de volúmenes del lugar del yacimiento.

En caso de requerir el promedio, se hace mediante la definición de pseudo – funciones para cada capa y en el espesor de la misma, y estas funciones también deben ser utilizadas en la simulación de flujo, por lo menos durante el período inicial. De esta forma, la simulación de flujo horizontal también será coherente con el promedio de las saturaciones.

Figura 2 Discretización de las condiciones iniciales

CONDICIONES FRONTERA 2

En la simulación de yacimientos, el flujo de entrada y salida del sistema se produce sólo en las fronteras, tales como los límites exteriores de la reserva y en los límites de los pozos. Esta última debe ser idealizada como la línea de Dirac o de fuentes puntuales, en las simulaciones de la sección transversal de área y porque el radio del pozo es muy pequeño en comparación a el grid. El límite bien, sin embargo, puede ser representado correctamente en un modelo muy sencillo. Es costumbre en la simulación de yacimientos para representar el flujo a través de todas las fronteras de fuente / sumidero utilizar términos y condiciones para sustituir el límite actual de Neuman homogéneo (sin flujo), condiciones de contorno en toda la frontera. ♣ FORMULACIÓN DIFERENCIAL Para el flujo monofásico, especificando el caudal a través de la frontera da una formulación con una solución única. Para el flujo multifásico, la situación es más complicada y el caudal de todas las fases deberá ser indicado, aunque no son necesariamente independientes. Hay 2 tipos básicos de fronteras: 1. Frontera cerrada (Γ2). No hay flujo de cualquier fase a través de una frontera cerrada, el producto de la velocidad de Darcy y el vector normal n se desvanecen: 𝒒𝒊 = 𝝀𝒍 (𝛁𝑷𝒊 − 𝜸𝒊 𝛁𝒉). 𝒏 = 𝟎

, l=0, w, g on Γ2

Donde n es la normal a la frontera y 𝜆𝑙= 𝑘𝑘𝑟𝑙/𝜇𝑡 es la capacidad de transmisión entre la dirección de la normal. Tenga en cuenta que el gradiente de potencial debe anularse sólo si la fase en particular es móvil en (𝜆𝑙 >0) la frontera.

2. Fronteras abiertas al flujo (Γ1) y (Γ3). En este caso, las tasas de flujo 𝑞𝑙 al cruzar la frontera son especificadas. El flujo en unidades de reserva es: 𝝀𝒍 (𝛁𝑷𝒍 − 𝜸𝒍 𝛁𝒉). 𝒏 = 𝒒𝒍 (𝜞)

, ΓΓ1, Γ2

En la frontera 𝛤3, donde se inyectan los líquidos, las tasas de flujo para cada fase son controladas y por lo tanto conocidas. En el caso de la inyección real, por lo general sólo una fase que se inyecta, o se conoce la composición de la mezcla. Asimismo, la inyección representa a menudo la influencia de las partes de un depósito más allá del límite elegido Γ. En este caso, el límite de la inyección se divide generalmente en zonas donde se inyecta una sola fase. En ambos casos, el saber la cantidad es la tasa total de 𝑄𝑡𝑖 para un límite dado 𝛤3 representa un pozo o de una zona de inyección. Si se desconoce 𝑞(𝛤) se puede especificar: 3

𝑸𝒍 = ∫𝚪𝟑 𝐪𝒍 (𝚪)𝐝𝚪

l= fase inyectada

Esta ecuación es un obstáculo más que una condición de borde. En la frontera 𝛤𝑙 los fluidos se producen normalmente en el pozo. En esta distribución de la frontera de las fases no pueden ser controladas: el principal resultado es la distribución de fluidos de producción, por ejemplo, una simulación de la conicidad. La condición impuesta es la tasa total de flujo de petróleo del pozo. 𝑸𝒍𝒐 = � 𝐪𝟎 (𝚪)𝐝𝚪 𝚪𝟏

La rata de líquido total es:

O la rata de fluido total es:

𝑸𝑻𝑳 = � (𝐪𝟎 + 𝐪𝒘 ) 𝚪𝟏

𝑸𝑻𝑳 = � (𝐪𝟎 + 𝐪𝒘 + 𝐪𝒈 ) 𝚪𝟏

Las tasas se pueden expresar a condiciones estándar en lugar de condiciones del yacimiento. El problema de la asignación de condiciones de contorno 𝑞(Z) para la producción o los límites de la inyección tiene dos aspectos posibles:  En un punto de la frontera, el caudal debe ser distribuido entre las fases.  El flujo de cada fase deben ser distribuidos a lo largo de la frontera. La distribución correcta debe cumplir la ley de Darcy. En el caso de velocidad del líquido total es: l = w, g 𝜕ℎ 𝑑𝑝 �𝝀𝒍 � 𝑙 − 𝜸𝒍 �� 𝑑𝑛 𝜕𝑛 𝐪𝒍 (𝚪) 𝚪𝟏 = 𝐪𝟎 (𝚪) 𝜕ℎ 𝑑𝑝 �𝝀𝒐 � 𝑙 − 𝜸𝒐 �� 𝜕𝑛 𝑑𝑛 Y

𝚪𝟏

𝑑𝑝𝑤 𝜕ℎ 𝑑𝑝𝑜 𝜕ℎ 𝑸𝑻𝑳 = � �𝝀𝒘 � − 𝜸𝒘 � + 𝝀𝒍 � − 𝜸𝒐 �� 𝐝𝚪 𝑑𝑛 𝜕𝑛 𝑑𝑛 𝜕𝑛 𝚪𝟏

Por lo tanto, las presiones y las saturaciones en la frontera son conocidas, estas ecuaciones se pueden utilizar para definir 𝑞𝑙. El problema es definir las condiciones límite en la distribución de los caudales sin saber la solución. 4

♣ CONDICIONES DE COMPATIBILIDAD Y SUS LIMITACIONES La distribución de las tasas a lo largo de la frontera no siempre es arbitraria. Por ejemplo, para una buena producción, la presión en la frontera debe ser la misma que la presión en el pozo. La distribución de presión en el pozo, puede ser calculada a partir de las ecuaciones de flujo multifásico en tuberías verticales, determinando la distribución de la producción a lo largo de la frontera perforada. Este requisito de la compatibilidad debe ser tenido en cuenta sobre todo en las seccionales y los problemas de la conicidad, del mismo modo la compatibilidad de las presiones que determinan el flujo entre la matriz y la fractura en un yacimiento fracturado. Condiciones de este tipo también pueden producirse en los límites de la inyección, en estos casos las condiciones de contorno se utilizan para darse cuenta la influencia del resto del sistema, por lo tanto no se simula, ya que las condiciones de contorno para un modelo se determinan a partir de la simulación de una mayor porción.

♣ FORMULACIÓN EN DIFERENCIAS FINITAS  Ecuaciones en diferencias de los puntos fronterizos El manejo de las condiciones de contorno en la ecuación de diferencias finitas es exactamente como en un solo flujo de fase. Los límites que se supone que no hay flujo y la corriente se explican por los términos fuente. Para el caso de la figura 3, se pude definir: 𝑇𝑋𝑙𝑖−1/2 = 0 𝑋𝑖−1/2 = 𝑋𝑖

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Figura 3 Representación de los pozos en los diferentes tipos de grids: a) Single well, b) Cross-section, c) areal

Se determina los términos fuente ql en un punto límite determinado. Esto es análoga al caso 1-D, una vez que los términos de la transmisibilidad han sido definidas. En primer lugar se considera la producción a través de una cara de un solo bloque (i, k) como se muestra en la figura 3a. Esto puede representar un límite y para un modelo de conicidad o una frontera a través del cual hay un movimiento de fluido. Entonces se puede discretizar la ecuación de flujo en unidades de reserva como en el caso 1-D: 𝑄 = −𝜆𝑋𝑙𝑖

Δ𝑧Δ𝑦 �p − p𝑙𝑖 − γ𝑙𝑖+1 (h𝑖+1 − h𝑖 )� − 𝑇Q𝑙𝑖 Δ𝜙𝑙𝑖+1 Δ𝑥𝑖+1 𝑙𝑖+1 2 2 2

Para dentro de la grid, ya sea en las secciones transversales (figura 3B) o el modelo de áreas (figura 3C), el caudal puede ser expresado como: 𝑄𝑙 = −𝑊𝐼𝜆�𝑙 Δ𝜙𝑙 = −𝑇Q𝑙 Δ𝜙𝑙

Donde 𝜆�𝑙 = ������ 𝑘𝑘𝑟𝑙 /𝜇𝑙 es un coeficiente de movilidad, y

Δ𝜙 es la diferencia de presión entre la presión del flujo de agujeros de fondo y la presión de la media de la W coeficiente block. La anterior ecuación para la fase de aceite se convertirá en el índice de productividad con la ecuación: 6

𝑄𝑜 = 𝑃𝐼Δ𝜙𝑜

Si la presión del bloque está cerca de la presión al que el radio de drenaje del pozo y si Sw= Swc y Mx=0. El Wl coeficiente puede ser calculado a partir de PI por medio de λo(Swc, Sg)=0 Una vez definido los términos de la transmisibilidad TQ o las distintas opciones (ecuaciones anteriores) y los métodos para la distribución de la tasa, se pueden aplicar directamente.

CONCLUSIONES • •

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El flujo de entrada y salida del sistema se produce sólo en las fronteras, tales como los límites exteriores de la reserva y en los límites de los pozos. Para la formulación diferencial en el flujo multifásico, la situación es más complicada y el caudal de todas las fases deberá ser indicado, aunque no son necesariamente independientes. El manejo de las condiciones de contorno en la ecuación de diferencias finitas es exactamente como en un solo flujo de fase. Para representar el flujo a través de todas las fronteras de fuente / sumidero utilizar términos y condiciones para sustituir el límite actual de Neuman homogéneo

BIBLIOGRAFÍA • •

KHALID ASIZ. (1979). PETROLEUM RESERVOIR SIMULATION. TEXAS USA: APPLIED SCIENCE PUBLISHERS. Z Chen, RE Ewing, M Espedal - Computational Methods in Water, 1994 numpor.org

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