Condiciones de Frontera

 

Introducción El desempeño apropiado de los elementos de una estructura es importante en la determinación de la rigidez de una edificación, la tendencia a la vibración de las estructuras dependerá de las limitaciones de deformaciones o flexiones de las vigas en valores aceptables El cálc cálculo ulo de las las defle deflexi xion ones es es una una parte parte import importan ante te del del análi análisis sis y diseñ diseño o estruc est ructur turale ales; s; por ejemp ejemplo, lo, la deter determin minaci ación ón de deflex deflexion iones es es esenc esencia iall en elanálisis de estructuras estáticamente indeterminadas. Las deflexiones deflexiones también son importantes en el análisis dinámico, dinámico, como cuando se investiganlas vibraciones de aeronaves o las respuestas de edificios a sismos. Las condiciones de frontera y continuidad se utilizan para encontrar deflexiones en vigas estáticamente determinadas, donde se utiliza la ecuació ecu ación n de momentos momentos flexiona flexionantes ntes por medio medio de la resoluci resolución ón de

ecuacion ecuaciones es

diferenciales; como son vigas estáticamente determinadas se pueden obtener los momentos

flexionantes

a

partir

de

diagramas

de

cuerpo

libre y ecuaciones de equilibrio. Las condiciones de frontera se refieren refieren a las deflexiones deflexiones y a las pendientes pendientes en los apoyo ap oyos s de una una viga; viga; por por ejemp ejemplo, lo, en un apoyo apoyo simple, simple, la defle deflexió xión n como como la pendiente son cero y en un empotramiento, tanto la deflexión como la pendiente son cero. Cada una de tales condiciones de frontera da una ecuación que puede usarse para evaluar las constantes de integración

 

2.4.1 Condiciones de frontera y de continuidad Cuando se resuelven las ecuaciones ecuaciones 12-8, 12-9 y 12-10, las constantes de integración se determinan mediante la evaluación de las funciones para la fuerza cortante, el momento, la pendiente, o el desplazamiento en un punto determinado de la viga donde se conoce el valor de la función. Estos valores se denominan condiciones de frontera.

En la tabla tabla siguien siguiente te se present presentan an varias varias condici condicione ones s de fronter frontera a que suelen utilizarse para resolver problemas de deflexión de vigas (o ejes)

Por ejemplo, si la viga se sostiene mediante un rodillo o pasador (1, 2, 3, 4), es necesario necesar io que el desplazamiento desplazamiento sea 0 en estos puntos. Además, si estos apoyos se encuentran en los extremos de la viga (1, 2), el momento interno de la viga también debe ser 0. En el soporte fijo (5) la pendiente y el desplazamiento son ambos 0, mientras que la viga con un extremo libre (6) tiene tanto momento como fuerza cortante iguales a 0. Por último, si dos segmentos de una viga están

 

conectados mediante un pasador “interno” o bisagra (7), el momento debe ser 0 en esta conexión. Si la curva elástica no puede expresarse con una sola coordenada, entonces se deben usar condiciones de continuidad para evaluar algunas de las constantes de integración. Por ejemplo, considere la viga de la figura (a). Aquí se eligen dos coordenadas orígenes enque A. Cada una es las válida dentro de laslaregiones 0  y≤ x1 ≤ a y a ≤ x 2x≤con (a+b). Una vez se obtienen funciones para pendiente la deflexión, se deben dar los mismos valores para la pendiente y deflexión en el punto B para que físicamente la curva elástica sea continua.

La curva elástica representa la deflexión de la línea central de una viga o eje. Su forma puede determinarse mediante el diagrama de momento. El radio de curvatura en cualquier punto se determina a partir de 1

 p

 M   EI 

=

 

La ecuación de la curva elástica y su pendiente pendiente pued pu eden en obte obtene ners rse e al enco encont ntra rarr prim primer ero o el moment mom ento o intern interno o en el eleme elemento nto como como una función de x. Si hay varias cargas que actúan sobre el elemento, entonces deben determinarse funciones de momentos separ separad adas as entr entre e cada cada una una de las las carga cargas. s. Al inte integr grar ar esta estas s func funcio ione nes s una una vez vez usan usando do EI(d2v/dx2) = M(x) se obtiene la ecuación para la pendiente de la curva elástica, y al integrar  de nuevo resulta la ecuación para la deflexión. Las condiciones de integración se determinan a parti pa rtirr de las condi condici cione ones s de front fronter era a en los los so sopo port rtes es o, en los los ca caso sos s dond donde e hay hay vari varias as funcio fun cione nes s de momen momento to involu involucra cradas das,, debe debe satisfacerse la continuidad de la pendiente y la deflexión en los puntos donde estas funciones se unen.

Las funciones de discontinuidad permiten expresar la ecuación de la curva elástica como una función continua, sin importar el número de cargas sobre el elemento. Este método elimina la necesidad de utilizar condiciones de frontera, ya que las dos do s const constan ante tes s de integr integrac ación ión pued pueden en determ determina inars rse e solo solo a part partir ir de las las dos dos condiciones de frontera. [ CITATION Hib12 \l 2058 ]

Ecuación de la curva elástica Recuerde primero, del cálculo elemental, que la curvatura de una curva plana en un punto Q(x,y) de la curva es:

 

En donde dy/dx y d 2y/dx2 son la primera y segunda derivadas de la función y(x) representada por esa curva. Pero, en el caso de la curva elástica de una viga, la pendiente dy/dx es muy pequeña y su cuadrado es despreciable comparado con la unidad. Entonces:

 

Sustituyendo por 1/p de (9.3) en

 

(9.3)

1

 p

 Px  ,  EI 

=

se tiene:

(9.4)

La ecuación obtenida es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden; es la ecuación diferencial que gobierna la curva elástica. El producto EI se conoce como la rigidez a flexión y si varía a lo largo de la viga, como en el caso de una viga de sección variable, debe expresársele como función de x antes de integrar la ecuación (9.4). Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado aquí, la rigidez a flexión es constante. Pueden multiplicarse ambos miembros de la ecuación (9.4) por EI e integrar en x. Se escribe

 

(9.5)

La e ec cuación 9 9..5 en forma alterna

puede

Integrando lo l os do dos ecuación (9.5) en x, se tiene

escribirse

miembros

de

la

 

Las constantes C1 y C2 se determinan de las condiciones de frontera o, dicho con mayor precisión, de las condiciones impuestas en la viga por sus apoyos [ CITATION Bee13 \l 2058 ]

Ecuación de la curva elástica Recuerde primero, del cálculo elemental, que la curvatura de una curva plana en un punto Q(x,y) de la curva es:

En dond donde e dy/d dy/dx x y d 2y/dx2 son la primera y segunda derivadas de la función y(x) representada por esa curva. Pero, en el caso de la cu curv rva a el elás ásti tica ca de una una viga viga,, la pe pend ndie ient nte e dy/d dy/dx x es muy muy pequ pequeñ eña a y su cuadrado es despreciable comparado con la unidad. Entonces:

 

(9.3)

1

Sustituyendo por 1/p de (9.3) en  p

 

 Px  EI   ,

=

se tiene:

(9.4)

La ecuación obtenida es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden; es la ecuación diferencial que gobierna la curva elástica. El producto EI se conoce como la rigidez a flexión y si varía a lo largo de la viga, como en el caso de una vigalade sección(9.4). variable, debe expresársele como función de antes de integrar ecuación Sin embargo, para una viga prismática, quexes el caso

 

considerado aquí, la rigidez a flexión es constante. Pueden multiplicarse ambos miembros de la ecuación (9.4) por EI e integrar en x. Se escribe

 

(9.5)

La ecuación 9.5 puede escribirse en forma alterna

Integrando lo l os do dos ecuación (9.5) en x, se tiene

 

miembros

de

la

(9.6)

Las constantes C1 y C2 se determinan de las condiciones de frontera o, dicho con mayor precisión, de las condiciones impuestas en la viga por sus apoyos.

 

Limitando Limitan do al análisis análisis en esta esta sección sección a vigas vigas estátic estáticamen amente te determin determinada adas, s, es decir, a vigas apoyadas de tal manera que las reacciones pueden obtenerse por  estática,, observe que aquí puedan considerarse estática considerarse tres tipos de vigas (figura 9.8): a) la viga simplemente apoyada, b) la viga de un tramo en voladizo y c) la viga en voladizo. En los primeros dos casos, loscero. apoyos son fijos y todos requieren que la deflexión sea Haciendo x = en x A, Ay y= móviles y A = 0 enenlaBecuación (9.6) y luego x = xB, y = yB = 0 en la misma, se obtienen dos ecuaciones que pueden resolverse para C1 y C2. En el caso del voladizo (figura 9.8c), se nota que tanto la pendiente como la deflexión en A deben ser cero. [CITATION Bee09 \l 2058 ]

Procedimiento de la doble integración Si se conoce la ecuación de la elástica, las otras cantidades físicas de esa viga se determinan determina n por derivaciones derivaciones sucesivas. En la mayoría de los casos se conocen la forma de apoyo de la viga y las condiciones de carga. El cortante y el momento pueden pued en determi determinars narse e mediante mediante los procedim procedimien ientos tos conocid conocidos, os, y el problem problema a remanente consiste en encontrar la elástica de la viga. La ecuación ele la elástica se determina mediante la aplicación de la ecuación d2y/dx2 = M / EI. La ecuación para el momento flexionante de la viga se expresa en términos de x y de las condiciones de carga. Esta expresión se sustituye para M en la ecuación d2y/dx2 = M / EI; la expresión resultante se integra una vez para obtener la ecuación de la pendiente dy/dx, y se integra una segunda vez para determinar la ecuación de la deflexión y Procedimiento del método 1. Se traza un diagrama diagrama de cuerpo cuerpo libre de de la viga y las las cargas, cargas, y se bosqueja bosqueja su eje deformado, notando en particular los puntos que tienen deflexión cero o pendiente cero. 2. Se determi determina nan n los ejes coorde coordena nados dos.. Gener Generalm alment ente e es mejor mejor elegir elegir el origen en un extremo de la viga. 3. Se toma una una sección sección cualquiera cualquiera de la la viga a una una distancia distancia general general X a partir  partir  dell or de orig igen en de co coor orde dena nada das, s, y se traz traza a el diag diagra rama ma de cu cuer erpo po libr libre e resultante.

 

4. A part partir ir del cuer cuerpo po libre libre del paso paso 3, se escri escribe be ima ecua ecuaci ción ón para para el momento flexionante en la viga, en términos de x y de las cargas. 5. Se sustitu sustituye ye esta esta expresió expresión n para M en la ecua ecuación ción d2y/dx2 = M / EI 6. Se integra integra la ecuación ecuación del del paso 5 para obtener obtener la ecuació ecuación n de la pendiente pendiente dy/dx de la viga. 7. Se ca calc lcul ula a la cons consta tant nte e de inte integr grac ació ión n apli aplica cand ndo o las las co cond ndic icio ione nes s a la frontera, o de límite. 8. Se integr integra a la ecua ecuaci ción ón de la pend pendie ient nte e para para obte obtene nerr la ecua ecuaci ción ón de la deflexión y de la viga. 9. Se ca calc lcul ula a la cons consta tant nte e de inte integr grac ació ión n apli aplica cand ndo o las las co cond ndic icio ione nes s a la frontera. Siemp Siempre re que que se resue resuelva lva una una integr integral al indef indefini inida da,, result resultará ará una una cons constan tante te de integrac inte gración. ión. Esta constan constante te de integrac integración ión debe debe calcular calcularse se siempre, siempre, pues no necesar nec esariame iamente nte es cero. cero. Para calcular calcular esta constan constante te de integra integració ción, n, deben deben conocerse ciertas relaciones entre las variables de la ecuación. Estas relaciones se llaman condiciones a la frontera. El reconocimiento de las condiciones a la fr fron onte tera ra en un prob proble lema ma y el cálc cálcul ulo o corr corres espo pond ndie ient nte e de la co cons nsta tant nte e de integración son necesarios para la solución completa del mismo.

En la Fig. 7.6 (a), solamente hay un tipo de carga en todo el claro y una aplicación de los pasos del 1 al 9 determinará la ecuación para la elástica. En este caso, la ecuación se aplicará a todo el claro de la viga. Para calcular las constantes de integración, debe notarse que la pendiente y la deflexión en el extremo empotrado son cero. Estas dos condiciones físicas, que son las condiciones a la frontera, son necesarias para calcular las dos constantes de integración. La viga de la Fig, 7.6 (b ) es más complicada debido a que hay tres secciones diferentes, teniendo cada una su propia ecuación para el momento flexionante.

 

Esto significa que los pasos del procedimiento descrito antes deben aplicarse tres veces diferentes, una para cada ecuación de momento. Por consiguiente, habrá tres diferentes ecuaciones para la curva elástica, teniendo cada una de ellas sus propios límites. Siempre que se integra una ecuación, resultará una constante de integración. En la Fig. 7.6 (b), resultará un total de seis constantes de integración para las tres secciones que forman el claro total. Por consiguiente, se requieren seis condiciones a la frontera para calcular estas constantes de integración. Dos de las seis pueden obtenerse observando que Y = 0 en x = 0,

y = 0 en x = L

Las otras cuatro constantes no son tan fáciles de determinar. Para calcularse, deben determinarse las condiciones de continuidad que ocurren en los puntos donde se cortan las diferentes curvas elásticas. Como la viga es continua en los puntos donde se cortan dos elásticas, tales como B y C de la Fig. 7.6 (b ) se observa que

Estas cuatro condiciones nos capacitan para calcular las cuatro constantes de integración restantes. En este caso se necesita resolver ecuaciones simultáneas. [ CITATION Fit961 \l 2058 ]

Condiciones de frontera Para la solución de problemas de deflexiones en vigas, además de las ecuaciones dife difere renc ncia iale les s debe deben n pres prescr crib ibir irse se cond condic icio ione nes s de fron fronte tera ra.. Vari Varios os tipo tipos s de condiciones homogéneas de frontera son los siguientes 1.- Empotramiento: Empotramiento: En este caso, el desplazamiento desplazamiento v y la pendiente dv/dx deben ser 0. Por lo consiguiente, en el extremo considerado, donde x = a, V(a) = 0

v’(a) = 0

(a)

 

2.- Soporte de rodillo o soporte articulado: En el extremo considerado, no puede existir ni deflexión v ni momento M. por lo consiguiente V(a) = 0

M(a) = EIv”(a) = 0

(b)

3.- Extremo libre: Tal extremo está libre de momento y de fuerza cortante. Por lo consiguiente, M(a) = EIv”(a)

V(a) = (EIv”)x=a = 0

(c)

4.- Soporte guiado: En este caso se permite el movimiento vertical pero la rotación del extremo está impedida. El soporte no es capaz de resistir ninguna fuerza cortante. Por tanto V’(a) = 0

V(a) = (EIv”)x=a = 0

(d)

Las mismas condiciones de frontera para vigas con EI constante están resumidas en la siguiente figura. Note los dos tipos básicamente diferentes de condiciones de frontera. Algunas condiciones pertenecen a las cantidades de fuerza y se dice que son son cond condici icione ones s es estát tática icas s de fron fronter tera. a. Otra Otras s descr describ iben en un compo comporta rtamie mient nto o geométrico o de deformación de un extremo; son condiciones cinemáticas de frontera.

En algunos problemas surgen discontinuidades en las funciones matemáticas de carga o rigidez del miembro a lo largo de una longitud dada del claro. Por ejemplo, tales disco tales disconti ntinu nuida idade des s ocurr ocurren en bajo bajo fuerz fuerzas as o momen momentos tos conce concent ntrad rados os y en cambios abruptos de áreas transversales que afectan el valor de EI. En tales

 

casos, las condic casos, condicione iones s de fronter frontera a deben deben compleme complementar ntarse se con los requisito requisitos s físicos de continuidad de curva elástica. Esto significa que en cualquier unión de las dos zonas de una viga en que ocurre una discontinuidad, la deflexión y la tangente a la curva elástica deben ser las mismas independientemente de la dirección con la que se aproxime uno al punto en común. [ CITATION Pop001 \l 2058 ]

Condiciones de frontera y de continuidad Sin importar el número de expresiones para el momento flexionante, el siguiente es el procedimiento procedimiento general para resolver las ecuaciones diferenciales. diferenciales. Para cada re regió gión n de la viga, viga, sustit sustituim uimos os la expre expresi sión ón para para M en la ec ecua uació ción n difer diferenc encial ial EIv”=M e integramos para obtener la pendiente v′. Cada integración produce una constante de integración. Luego, integramos cada ecuación ecuació n de pendiente para obtener la deflexión correspondiente correspondiente v. Una vez más, cada integración produce una constante nueva. Por tanto, hay dos constantes de integración por cada región de la viga. Dichas constantes se evalúan a partir de condiciones conocidas relativas a las pendientes y deflexiones. Las condiciones son de tres tipos: (1) condiciones de frontera, (2) condiciones de continuidad continuidad y (3) condiciones de simetría. Las condiciones condiciones de frontera se relacionan con las deflexiones y pendientes en los apoyos de una viga. Por ejemplo, en un apoyo fijo simple (una articulación o un rodillo) la deflexión es cero (figura 9.5) y en un apoyo la deflexión y la pendiente son cero (figura 9.6). Cada una de estas condiciones de frontera da una ecuación que se puede emplear para evaluar las constantes de integración.

 

Las condiciones de continuidad se pr pres ese enta tan n en punto ntos don donde las reg regione iones s de integración confluyen, como en el punto C en la viga de la figura 9.7. La curva de deflexión de esta viga es  

físicamente continua en el punto C y, por tanto, la deflexión en el punto C determinada para la parte izquierda de la viga debe ser igual a la deflexión en el punto C determinada para la parte derecha. De manera man era simila similar, r, las pend pendie iente ntes s enco encontr ntrad adas as para para cada parte de la viga deben ser iguales en el punto C. Cada una de estas condiciones condiciones de continuidad continuidad da una un a ecua ecuaci ción ón para para eval evalua uarr las las cons consta tant ntes es de integración.)

Las condiciones de simetría también pueden estar presentes, si una viga simple soporta una carga uniforme en toda su longitud, sabemos de antemano que la pendiente de la curva de deflexión en el punto medio debe ser cero Cada condición de frontera, de continuidad y de simetría conduce a una ecuación que qu e co cont ntie iene ne una una o más más cons consta tant ntes es de inte integr grac ació ión. n. Como Como el núme número ro de condi condici cion ones es indep indepen endie dient ntes es siempr siempre e es igua iguall al númer número o de cons constan tantes tes de integración, de las ecuaciones podemos despejar las constantes. (Las condiciones de frontera y de continuidad solas siempre son suficientes para determinar las constan con stantes tes.. Cualesq Cualesquier uiera a condicio condiciones nes de simetría simetría proporc proporciona ionan n ecuacion ecuaciones es adicionales, pero no son independientes de las otras ecuaciones. La elección de qué condiciones emplear es un aspecto de conveniencia.) Una vez evaluadas las constantes, éstas se pueden sustituir de regreso en las expresiones para las pendientes y deflexiones, produciendo de esta manera las ecuaciones finales de la curva de deflexión. Luego estas ecuaciones se pueden ut util iliz izar ar para para obte obtene nerr las las defl deflex exio ione nes s y los los ángu ángulo los s de rota rotaci ción ón en punt puntos os parti pa rticu cular lares es a lo largo largo del del eje eje de la viga. viga. El mét métod odo o anter anterior ior para para enco encont ntrar  rar  deflexiones [ CITATION Ger091 \l 2058 ]

 

Ejercicios 1.- La viga en voladizo de la siguiente figura se somete a una carga vertical P en su extremo. Determine la ecuación de la curva elástica. EI es constante.

Solución: Curva elástica. La carga tiende a provocar deflexión en la viga como se muestra en la figura. Por inspección el momento interno puede representarse a través de la viga usando una sola coordenada x. Función de momento. A partir del diagrama de cuerpo libre, con M actuando en la dirección positiva, se obtiene M = -Px

Pendiente y curva elástica. Si se aplica la ecuación EI (d 2v/dx2) = M(x) y se integra dos veces, resulta EI (d2v/dx2) = -Px

   

EI (dv/dx) = - Px2/2 + C1

(2)

 

EI(v) = -Px3/6 + C1x + C2

(3)

 

Mediante el uso de las condiciones de frontera dv/dx = 0 en x = L y v = 0 en x = L, las ecuaciones 2 y 3 se convierten en 0 = PL2/2 + C1 0 = -PL3/6 + C1L + C2 Por lo tanto, C1 = PL2/2 y C2 = -PL3/3. Si se sustituyen estos resultados en las ecuaciones 2 y 3 con ϴ = dv/dx, se obtiene ϴ=

 P (L2 – x2) 2 EI 

V=

 P  (-x3 + 3L2x – 2L3) 6 EI 

2.- La viga simplemente apoyada que se muestra en la siguiente figura, soporta la carga triangular distribuida. Determine su deflexión máxima. EI es constante.

 

Solución. Curva elástica. Debido a la simetría, solo se necesita una coordenada x para obtener una solución, en ese caso 0 ≤ x ≤ L/2. La La viga experiment experimenta a la deflexión deflexión mostrada en (a). La deflexión máxima se produce en el centro ya que en ese punto la pendiente es 0.

 

Función de momento. En la figura (b) se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento de la izquierda. La ecuación para la carga distribuida es W=

2w0

 x

 L

Por lo tanto

Pendiente y curva elástica. Si se usa la ecuación EI (d2v/dx2) = M(x) y se integra dos veces resulta

Las constantes de integración se obtienen al aplicar la condición de frontera v= 0 en x= 0 y la condición de simetría dv/dx = 0 en x = L/2, esto conduce a

Por lo tanto,

 Al determinar determinar la solución solución máxima en x = L/2, se se tiene

 

3.- La viga simplemente apoyada que se muestra en la figura está sometida a la fuerza concentrada P. Determine la deflexión máxima de la viga. EI es constante.

 

(a)

Solución. Curva elástica. La viga experimenta la deflexión mostrada en la figura (b). Deben usarse dos coordenadas, puesto que la función de momentos cambiara en P, aquí se tomará x1 y x2, con el mismo origen en A.

Función de momentos. A partir de los diagramas de cuerpo libre

Se tiene,  P

M = 1

3

 x1

 

M2 =

 P

 x2 – P(x2 – 2a) = 3

2 P 3

 (3a – x2)

Pendiente y curva elástica. Al aplicar la ecuación EI (d 2v/dx2) = M(x) para M1, con 0 ≤ x1 ≤ 2a, y al integrar dos veces se obtiene

De la misma manera, para M 2, con 2a ≤ x2 ≤ 3a

Los cuatro constantes se evalúan usando dos condici condiciones ones de frontera frontera,, a saber, x 1 = 0, v1 = 0 y x2 = 3a, v2 = 0. Ade Además, más, deben aplicarse aplicarse dos condicion condiciones es de continuidad continu idad en B, es decir, dv 1/dx1 = dv2/dx2 en x1 = x2 = 2a y v1 = v 2 en x1 = x2 = 2a. La sustitución especificada resulta en las siguientes cuatro ecuaciones

 

 Al resolver, resolver, se obtiene obtiene

 Así, las ecuacione ecuaciones s 1-4 se convierten convierten en

Por inspección de la curva elástica, figura (b), la deflexión máxima ocurre en D, en algún lugar dentro de la región AB. Aquí la pendiente debe ser 0. De la ecuación 5, 1 6

 x12 - 4  a2 = 0 9

X1 = 1.633ª Sustituyendo en la ecuación 6, Vmax = -0.484 (Pa3/EI)

 

4.- Para la viga y carga mostradas, determine: a) La ecuación de la curva elástica, b) la pendiente en el extremo A, c) la deflexión máxima.

Solución Ecuación diferencial de la curva elástica

(1)

Integrando la ecuación (1) dos veces:

(3)

Condiciones de frontera:

 

De la ecuación (3), se halla que C 2 = 0 Usando de nuevo la ecuación (3), se escribe

 Así:

 

(4)

Integrando dos veces la ecuación (4)

  (5)

 

Condiciones de frontera:

(6)

 

a) Ecu Ecuaci ación ón de la cur curva va elá elásti stica ca

b) Pendie Pendiente nte en el ex extremo tremo A A.. Para x = 0 0,,

c) De Defl flex exió ión n máx máxim ima a

 

5.- Para la viga uniforme AB, a) determine la reacción en A, b) obtenga la ecuación de la curva elástica, c) halle la pendiente en A. (Note que la viga es estáticamente indeterminada de primer grado.)

Solución: Momento flector. Usando el diagrama de cuerpo libre mostrado, se escribe

Ecuación diferencial de la curva elástica. Se utiliza la ecuación de la curva elástica y se escribe

Notando que la rigidez a flexión EI es constante, se integra dos veces y se obtiene

 

  Condiciones de frontera. En el esquema se muestran las tres condiciones de frontera que deben satisfacerse

a) Reac Reacció ción n en A. Multi Multipli plica cando ndo la ec ecuac uación ión (4) (4) por por L, resta restand ndo o miembr miembro o a miembro la ecuación (5) de la ecuación obtenida y notando que C 2 = 0, se tiene

Note que la reacción es independiente de E y de I. Sustituyendo R A = ecuación (4), se tiene

1 10

 w0 L en la

 

b) Ecuación de la curva elástica. Sustituyendo R A = C1 y C2 en la ecuación (2)

c) Pendiente en A. Derivando la anterior ecuación con respecto a x,

 

Conclusión El modelo modelo matemáti matemático co de la viga resuelto resuelto por ecuacio ecuaciones nes diferenc diferenciale iales s es de mucha importancia ya que se presenta mediante dimensiones o proporciones, consi conside deran rando do los pará parámet metro ros s de la viga viga EI (d4y/dx4) = W(x) en el que EI = constante constant e de rigidez, los cuales nos permiten obtener los desplazamientos desplazamientos de una viga cuando es sometida a pequeñas o grandes deformac deformaciones iones tanto en vibración vibración libre como en forzada. Toda estructura sufre una deformación interna, tanto en los nudos como en la viga mism misma, a, siem siempr pre e que que los los apoy apoyos os o la viga viga mism misma a perm permit itan an algú algún n tipo tipo de deformación, el conocer este tipo de comportamiento nos permite saber si la deformación será resistida y así no sufrirá ninguna falla. Por es eso o las cond condici icion ones es de front fronter era a y conti continu nuida idad d son son muy impor importan tantes tes en ingeniería ya que se utilizan para encontrar deflexiones en vigas estáticamente determinadas, donde se utiliza la ecuació ecu ación n de momentos momentos flexiona flexionantes ntes por medio medio de la resoluci resolución ón de ecuacion ecuaciones es diferenciales