CONDENSACIÓN ESTÁTICA DE LA MATRIZ DE RIGIDÉZ Alvaro Andrés Pazmiño Román Universidad Nacional de Chimborazo Facultad de Ingeniería / Escuela de Ingeniería Civil
[email protected] RESUMEN La condensación estática de la matriz de rigidez, es la base fundamental para el análisis sísmico de estructuras. Se presenta una forma de encontrar la matriz de rigidez condensada mediante la inversión de una matriz. El proceso de condensación lleva consigo la partición de los vectores de carga y desplazamiento (y consecuentemente de la matriz de rigidez) en dos grupos donde incluimos los grados de libertad que permanecen y los grados de libertad condensables.
ABSTRACT The static condensation of the counterfoil of rigidity, is the fundamental base for the seismic structures analysis. There appears a way of finding the counterfoil of rigidity condensed by means of the investment of a counterfoil. The condensation process takes with it the division of the vectors of load and displacement (and consistently of the rigidity counterfoil) in two groups where we include the grades of freedom that remain and the condensable freedom grades.
INTRODUCCIÓN El término condensación aplicado a un sistema de ecuaciones lineales resultante de la aplicación del método de la rigidez (flexibilidad) a un problema de análisis de estructuras significa la reducción del tamaño de dicho sistema por eliminación de ciertos grados de libertad. La palabra eliminación no significa que se vaya a despreciar la influencia de ciertos grados de libertad, sino que va a ser tomada en cuenta de forma indirecta y a través de las ecuaciones de los grados de libertad que no van a ser condensados.
METODOLOGÍA Se presenta la siguiente estructura, a la izquierda se indican todos los grados de libertad y a la derecha se indica únicamente la coordenada a la cual se va a condensar la matriz de rigidez.
Figura 16.7 Coordenadas "a" y "b", de estructura ejemplo.
En el sistema de coordenadas de una estructura, se puede diferenciar un grupo de coordenadas a las que se denomina ``coordenadas a'', que en el ejemplo de la figura 16.7 es la uno y las restantes, a las que se denomina "coordenadas b''. Al hacer esto, tanto el vector de cargas generalizadas Q, como el vector de coordenadas generalizadas q, están particionados de la siguiente forma:
Por otra parte, la ecuación básica de análisis estático, que relaciona el vector de cargas generalizadas Q, con el vector de coordenadas generalizadas q, por medio de la matriz de rigidez de la estructura K, es:
Al reemplazar (16.7.1) y (16.7.2) en (16.8) y al trabajar con submatrices, la matriz de rigidez de la estructura, también estará particionada, de la siguiente forma:
La condensación estática de la matriz de rigidez se da cuando Qa o Qb son ceros, los dos casos se desarrollan a continuación:
RESULTADOS
Condensación a las coordenadas "a" Este caso se presenta cuando el vector Qb=0.
De donde:
Luego:
Sea K* la matriz de rigidez condensada a las coordenadas "a".
Condensación a las coordenadas "b" Se presenta cuando el vector de cargas Qa=0. Procediendo en forma similar se obtiene:
Sea K+ la matriz de rigidez condensada a las coordenadas "b"
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Aguiar Falconí, R. (2004). Análisis Matricial de Estructuras. Escuela Politécnica del Ejército. Quito-Ecuador 2. París Carballo, F. (2005). Cálculo Matricial de Estructuras. Textos Universitarios EDIUNO. España.
