Condensacao Estatica

UNIVERSIDADE DO PORTO

FACULDADE DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

CONDENSAÇÃO ESTÁTICA DE GRAUS DE LIBERDADE e TÉCNICA DAS SUBESTRUTURAS Rui Carneiro de Barros Prof. Associado Agregado do DEC da FEUP (Agregação; Ph.D.; M.Sc.; Engº Civil)

Texto de Apoio Científico, Técnico e Pedagógico à disciplina

Teoria de Estruturas 2

(Obs.: A matéria de condensaçao estática de graus de liberdade escrita formalmente em 2005, é aqui re-incorporada neste capítulo mais geral de 2011 pois é utilizada recursivamente na técnica das subestruturas; é também incorporado o exemplo numérico tradicionalmente resolvido na aula teórica pelo autor signatário)

(30 páginas)

Porto e FEUP, 12 a 19 de Março de 2011

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

CONDENSAÇÃO ESTÁTICA DE GRAUS DE LIBERDADE Atente-se na divisão e significado da matriz de rigidez de uma barra (i) [ou (m), (m), de structural member m] m] de estrutura reticulada (ou de genérica (i) [ou qualquer estrutura 2D/3D reticulada ou articulada) através das 4 submatrizes constituintes seguintes:

 k EE k ED  k    DE k DD 

(i) (de extremidade esqª E, e extremidade dirª D) No caso de barra genérica (i) (de  já foram ditados (na aula teórica) teórica) os significados estruturais estruturais das sub-matrizes constituintes.

A sub-matriz k  EE    representa as forças generalizadas (forças e momentos) segundo os graus de liberdade da extremidade esquerda E da barra (m) (avaliadas positivamente segundo os sentidos positivos desses graus de liberdade) devidas a deslocamentos generalizados unitários (translações e rotações) segundo os graus de liberdade da extremidade esquerda E.

A sub-matriz k  DE    representa as forças generalizadas segundo os graus de liberdade da extremidade direita D da barra (m), (m), devidas a deslocamentos generalizados unitários segundo os graus de liberdade da extremidade esquerda E.

© 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

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A sub-matriz k  ED   representa as forças generalizadas segundo os graus de liberdade da extremidade esquerda E da barra (m), (m), devidas a deslocamentos generalizados unitários segundo os graus de liberdade da extremidade direita.

A sub-matriz k  DD   representa as forças generalizadas segundo os graus de (m), devidas a deslocamentos liberdade da extremidade direita da barra (m), generalizados unitários segundo os graus de liberdade da extremidade direita.

No caso de uma estrutura (reticulada ou articulada, 2D ou 3D), o subcolectivo (E) seria relativo a um determinado sub-conjunto de graus de liberdade da estrutura global, e o sub-colectivo (D) ao sub-conjunto complementar de graus de liberdade.

Frequentemente no cálculo de uma estrutura existem graus de liberdade (GL) sem acções, cuja consideração poderá ser eliminada de modo equivalente na análise. Ou também alternativamente,

poder-se-á estar

interessado em apenas saber de forma imediata directa determinados graus de liberdade considerados principais ou prioritários  (GL –  Master M) em detrimento provisório de outros graus de liberdade secundários sacrificiais ou de menor interesse directo imediato (GL – Slave S). (Esta consideração é perfeitamente geral e transversal a problemas equivalentes de outras engenharias, nomeadamente em áreas afins das Engenharia Mecânica e Engenharia Aeronáutica/Aeroespacial). Aeronáutica/Aeroespacial). © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

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Assim, usando exactamente esta notação da bibliografia internacional (Master and Slave degrees of freedom – dof   M and S ; GL: Master ou Principais M, Slave ou Secundários/Sacrificiais S), considere-se a seguinte equação de equilíbrio em coordenadas globais de uma qualquer estrutura (com n GL) sob análise: F

=

F0

+

K

D

⇔

K D=F

−

F0

=

F

 

(n × 1) (n × 1) (n × n) (n ×1) Usa-se aqui a notação que vem sendo utilizada pelo autor desde que iniciou na FEUP o seu lecionamento nas unidades curriculares TE1/TE2 (respectivamente em 2001/2 e 2002/3), designando quantidades estruturais locais em minúsculas e globais em maiúsculas. Esta notação coerente foi introduzida nas aulas teóricas por si lecionadas nesta matéria e também nas aulas prácticas afins das suas turmas, quer sobre a análise matricial de estruturas elásticas lineares, quer sobre a abordagem matricial de estruturas com não-linearidades geométrica ou até material.

Considere-se então a resolução de uma tal estrutura com os atrás referidos GL ( Master & Slave  ou Principais prioritários directos  M   & Secundários sacrificiais indirectos S) à qual corresponde a seguinte partição matricial (vectorial) da equação de equilíbrio supra-citada, através de:

 K MM K MS    D M    F  M   K   D  =   K  SS    S    SM  F S   Se for m  o número dos GL principais ou  Master , e s  o número dos GL secundários ou Slave, então para toda a estrutura com n GL será n=m+s. © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

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re-escrita explícita equivalente (ie, com mesma solução estrutural para a mesma estrutura) da Entende-se por

Condensação Estática dos GL,

a

equação de equilíbrio anterior que conduza à determinação directa explícita dos GL principais ou GL Master (master dof)  D

 M 

.

Tal corresponde a condensar ou reduzir ou eliminar (de forma equivalente) os GL secundários  DS  nas equações de equilíbrio envolvendo explicitamente os GL principais  D M  , de um modo semelhante ao realizado na resolução de sistemas de equações algébricas lineares (SEAL) pelo método de Gauss (simples – MG1, com pivotagem parcial por linhas ou colunas – MG2, com pivotagem total por linhas e colunas – MG3).

Para se realizar matricialmente a referida Condensação Estática:

(i)

expande-se explicitamente a equação matricial anterior;

(ii)

exprime-se

alternativamente

a

possível

solução

dos

GL

secundários ou sacrificiais ou Slave  DS   à custa dos GL principais ou Master  D M  ; (iii)

substitui-se essa expressão na sub-equação de equilíbrio dos GL principais, assim eliminando ou sacrificando os GL secundários;

(iv)

resolve-se a equação matricial de equilíbrio equivalente (ie, com a mesma solução estrutural) agora apenas explícita nos GL principais ou Master  D M  .

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(

K MM DM

+

K MS DS  = F M   

K SM DM

+

K SS DS

K MM

K MS

−

=

1

−

[ K SS ]

−

FS

{ DS } = [ KSS ]

⇔

K SM

)

{ DM }

=

(m × m) (m × s) ( s × s) ( s × m) ( m × 1)

{

F M

1

−

{F

S  −

K SM DM }

−

[ KSS  ]

K MS

1

 

F S 

}

 

( m × 1) ( m × s) ( s × s) ( s ×1)

Designando

(K

1

−

 MM −

K MS [ K SS ]

K SM

)

=

K

* MM 

{F

  e

 M −

1

−

K MS [ K SS  ]

FS

*

=

{F } M 

 

da equação anterior resultará de forma equivalente:

 K



{DM }

( m × m)

( m × 1)

*  MM

*

=

{F }

⇔

 M

{DM } =  K

* MM 



−

1

*

{F } M 

 

( m ×1)

Após esta determinação explícita equivalente e directa dos GL principais ou

 Master M { D M } (invertendo uma matriz de rigidez equivalente m x m, em vez de uma consideravelmente maior n x n), podem-se obter os GL secundários sacrificiais sacrificados ou eliminados (de modo equivalente) ou

Slave S { DS } , através de:

−

{ DS } = [ K SS ]

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1

{F

S  −

K SM DM

 

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FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação Esta metodologia de condensação de GL estáticos é muito importante em estruturas constituídas por inúmeras barras (ou elementos), sob diversas combinações de acções estáticas.

Também é uma metodologia importante para ser utilizada em Dinâmica de Estruturas e Engenharia Sísmica (5º ano; opção condicionada de Estruturas), ao permitir compatibilizar (ou reduzir à mesma base de descrição de movimentos generalizados) situações estruturais em que à partida existam menos GL dinâmicos (movimentos independentes possíveis através dos quais se desenvolvem forças de inércia

não

desprezáveis)

do

que

GL

estáticos

(deslocamentos

estáticos

generalizados independentes possíveis); mas as equações matriciais de movimento das estruturas só podem ser referidas aos mesmos GL (quando GL dinâmicos coincidem com os efectivos  GL estáticos, após condensação ou redução destes últimas à mesma base de referência de movimentos temporais possíveis). Ver detalhes no exemplo seleccionado para este capítulo.

A determinação dos esforços generalizados nas barras (no referencial local ou nas coordenadas locais de cada barra ou elemento) cujos diagramas de esforços (ou distribuições de tensões no caso do MEF) se pretendam, segue a metodologia tradicional à custa dos deslocamentos generalizados entretanto  já disponíveis (embora determinados ou disponíveis em dois sub-conjuntos complementares de GL generalizados):  D M   e  DS  .

Genericamente para qualquer barra ou membro estrutural (i):

 f (i )

=

f0

(i)

+

k

(i)

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d

( i)

=

f0

( i)

+

k

( i)

T ( i ) D (i )

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Convirá realçar que estas forças generalizadas locais  f ( i ) são avaliadas segundo as direcções e sentidos locais dos GL nodais, i.e., segundo o referencial directo local nas extremidades esquerda e direita de cada barra genérica (i). Sendo: eixo dos xx longitudinal no sentido da extremidade esquerda para a extremidade direita, eixo dos yy transversal a +90º, eixo dos zz perpendicular ao plano anterior e no sentido directo.

Assim, no caso genérico de barra (i) de estrutura reticulada 2D – pórtico  plano (segundo plano xOy), antes de realizar os diagramas de esforços axiais N, transversos T y (ou Vy) e momentos flectores M z da barra será necessário atender ao significado mecânico-estrutural das componentes deste vector de forças locais  f (i ) :

 f 1  − N esquerda    f   +T   2   esquerda   f esquerda   f 3  − M esquerda  (i )  f  =  =  =    f   f   direita   4  + N direita   f 5  −T   direita      f   6  + M direita  De igual modo, no caso genérico de barra (i) de estrutura articulada 2D ou 3D – SAP ou SAT , antes de realizar os diagramas de esforços axiais N nas barras constituintes será necessário atender ao significado mecânicoestrutural das componentes deste vector de forças locais  f (i ) :

 fesquerda   f 1  − N esquerda   f  =  =  =    f  +  f N    2  direita   direita  (i )

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Também, no caso genérico de barra (i) de estrutura reticulada 2D – grelha  plana  (segundo plano xOy), antes de realizar os diagramas de esforços T z (ou Vz), Mtorsão x e Mflexão

y

da barra será necessário atender ao significado

i mecânico-estrutural das componentes deste vector de forças locais  f ( ) :

  f 1  +T esquerda   f   − M  torção esquerda   2   fesquerda   f 3  + M  flexão esquerda  (i )  f  =  =  =    f   f  − T  4  direita     direita   f 5  + M   torção direita      f   6  − M  flexão direita  −

−

−

−

Finalmente, no caso genérico de barra (i) de estrutura reticulada 3D (com comportamentos de pórtico e de grelha segundo vários planos), antes de realizar os diagramas de esforços N x, T y (ou Vy), Tz (ou Vz), Mtorsão x , M flexão y

e Mflexão z  da barra será necessário atender ao significado mecânico-

estrutural das componentes deste vector de forças locais  f (i ) . Assim, na figura seguinte representam-se os 12 graus de liberdade (GL) locais (3 translações directas e 3 rotações directas no nó da extremidade esquerda da barra; 3 translações directas e 3 rotações directas no nó da extremidade direita). Também se apresenta a matriz de rigidez local (12x12) de barra genérica (i) de estrutura reticulada 3D, relativa aos referidos 12 GL, por síntese de matéria e de comportamentos estruturais (nela contidos),

conforme foi

apresentada e parcialmente deduzida/justificada pelo autor na aula teórica. © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

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Assim, em referência aos 12 GL da barra genérica (i) de estrutura reticulada 3D, o significado mecânico-estrutural das componentes deste vector de forças locais  f (i ) é:

− N    f 1    x esquerda   f   +T  y esquerda   2    f 3  +T  z esquerda    − M    f 4    x torção esquerda   f   + M  y flexão esquerda   5   f esquerda   f 6  − M  z flexão esquerda  (i )  f  =  =  =    f   f   N  + 7  direita      x direita   f 8  −T    y direita      f   9  −T  z direita   f     + M  x torção direita 10      f 11  − M    y flexão direita      f 12  + M  z flexão direita    −

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

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−

−

−

−

−

−

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Exemplo detalhado de Condensação Estática de Graus de Liberdade  Introdução Considere-se o pórtico seguinte com apoios duplos na base, de um piso de altura h e um vão de comprimento L=2h, em que as colunas e vigas têm rigidez flexional respectivamente de EI c e EIv.

Considere-se que este pórtico de grau de indeterminação unitário (i.e., grau de hiperestaticidade gh=1) é constituído por barras de rigidez axial infinita (BRAI) pelo que se poderá admitir que as colunas e vigas são axialmente indeformáveis. Nesse sentido, para uma eventual análise da estrutura pelo método dos deslocamentos, trata-se de uma estrutura com 3 graus de liberdade estáticos (GLE ou grau de híper-geometria; em inglês, static degrees of freedom ou static dof ): a translação lateral D 1 do piso ou andar, e as rotações D2 e D3 dos nós de piso.

Para análise dinâmica deste pórtico para acções laterais, admita-se que apenas existe massa considerável (inércia translacional) ao nível do piso (associada principalmente à massividade da laje e vigas, e eventualmente adicionada de metade da massa dos pilares) e que portanto as colunas são de massa desprezável. Assim, pela inexistência de inércia de rotação dos nós, a estrutura terá apenas 1 grau de liberdade dinâmico (GLD ou dynamic dof ). © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

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Assim, enquanto para uma análise estática deste pórtico a matriz de rigidez elástica K será de 3x3, para uma análise dinâmica apenas se poderá formular o movimento para o grau de liberdade dinâmico único (GLD=1) correspondente a D 1, sob a forma:

Nesta equação M será a massa do piso massivo (incluindo, se necessário, metade das massas dos pilares, se não forem desprezáveis) pelo que representará a rigidez equivalente do pórtico (de 3 barras flexíveis) segundo o GLD D1 , obtida condensando (de modo equivalente) a matriz de rigidez estática K (3x3) para a direcção única de movimento dinâmico D 1. Isto é, realizando uma condensação estática da matriz de rigidez elástica K (3x3) aos graus de liberdade principais (ou master dof), neste caso do exemplo escolhido realizando uma condensação estática dos GL secundários (ou slave) D2 e D3  reduzindo (de modo equivalente) a descrição das forças elásticas apenas segundo a direcção do GLD D 1.

 Determinação da Matriz de Rigidez Elástica correspondente aos GLE

Para a determinação da matriz de rigidez elástica K (3x3), recorre-se à informação contida nas tabelas das forças de fixação de barras uniformes de comprimento L e rigidez flexional EI (tabela T1 para barras de extremidades bi-encastradas, para obter as contribuições de rigidez flexional da viga; tabela T2 para barras de extremidades encastrada-articulada, para obter as contribuições de rigidez flexional das colunas). © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

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As configurações unitárias de barras bi-encastradas uniformes deverão ser conhecidas por todos os engenheiros civis (pelo menos os da FEUP  ...); as informações correspondentes às configurações unitárias associadas à situação abordada na tabela T2 (para os pilares do exemplo) sintetizam-se nas figuras seguintes. Para rotação unitária da extremidade encastrada dos pilares (tabela T2):

Para translação unitária da extremidade encastrada dos pilares (tabela T2):

Assim, pode-se agora realizar a determinação da matriz de rigidez elástica correspondente aos 3 GLE, por consideração sistemática ou ordenada das configurações unitárias dos GLE. Por uma questão apenas de simplicidade numérica, considere-se que as rigidezes flexionais das colunas e viga são iguais (EI c = EIv). © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

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Configuração D 1=1 (D2=D3=0) obtendo a 1ª coluna da matriz de rigidez:

Configuração D 2=1 (D1=D3=0) obtendo a 2ª coluna da matriz de rigidez:

Configuração D 3=1 (D1=D2=0) obtendo a 3ª coluna da matriz de rigidez:

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Assim, a matriz de rigidez elástica correspondente aos 3 GLE é expressa por

a partir da qual se formula o equilíbrio estático elástico através de K D = F.

Note-se que, sob o ponto de vista estático, o 2º membro poderá ser interpretado (de acordo com a notação e formulação do método dos deslocamentos) como a diferença F-F 0 entre o vector F das forças actuantes segundo (em correspondência com) os GLE da estrutura e as forças de fixação segundo os mesmos GLE (reações nodais às acções nas barras); ou alternativamente, a soma F+(-F 0) do vector F das forças actuantes segundo os GLE da estrutura com o vector (-F 0) das forças nodais equivalentes às acções nas barras.

Assim, o equilíbrio estático K D = F, é expresso por

e como o GLD único é D 1  será agora designado ou escolhido como GL principal ou Master, enquanto os GL secundários sacrificiais ou Slave serão o colectivo D2 e D3.

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Note-se que na análise dinâmica que será considerada neste exemplo, os próprios GL D2 e D3  não seriam solicitados ou excitados dinamicamente (isto é, F 2=F3=0) porque os nós não possuem inércia à rotação suficiente que o justifique (ausência da designada rotatory inertia).

Segundo esta perspectiva a equação de equilíbrio estático poderá ser partida ou segmentada apropriadamente, evidenciando as sub-matrizes e subvectores constituintes resultantes da divisão dos GLE em Master (M) ou principais e Slave (S) ou secundários; resultando de modo equivalente, e com as evidentes identificações ou correspondências, a seguinte equação matricial:

Obtêm-se as seguintes identificações para as sub-matrizes da matriz de rigidez:

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 Determinação da Rigidez Reduzida Equivalente segundo GL translacional

A rigidez lateral condensada (ou reduzida) equivalente ao pórtico de 3 barras flexíveis (de rigidezes flexionais

e

é então obtida pela

formula geral deduzida anteriormente e será (neste exemplo):

A inversa

da matriz

é obtida pela formulação de Cramer através de

enquanto a matriz dos co-factores Laplace através de

é determinada pela fórmula de sendo

o valor do

determinante menor que se obtém eliminando a linha i e a coluna j que se cruzam no elemento da matriz original cujo elemento co-factor se pretende determinar. Assim, directamente

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Retomando o cálculo

 Determinação da Equação de Movimento da Translação de Piso Como neste exemplo apenas existe D 1  como GLD --- o GL principal ou Master (M) considerado --- a força

que segundo ele actuará será obtida

da formulação geral das acções reduzidas equivalentes nos graus de liberdade Master ou principais (por sacrifício redução ou eliminação equivalente dos graus de liberdade Slave ou secundários), através de:

Assim a equação de movimento lateral do piso massivo deste pórtico flexível (de 3 barras – 2 colunas e 1 viga – flexíveis, mas de massa considerada desprezável) é:

isto é

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TÉCNICA DAS SUBESTRUTURAS Técnica das Subestruturas

ou

Subestruturação

Entende-se

por

Estrutural 

(do inglês  substructuring techniques), a divisão de uma

estrutura em sub-estruturas constituintes para alcançar simultaneamente objectivos de: (1)

maior eficiência computacional na resolução de grandes sistemas de equações algébricas resolventes; mas também de:

(2)

melhor identificação ou correspondência física com as partes constituintes (a tipologia) da estrutura inicial sob análise.

Este método era muito importante (nas décadas de 1960’s e 1970’s) quando as capacidades computacionais eram muito limitadas, e tinham que ser utilizadas o melhor possível (nessa altura temporal da análise estrutural) para resolver grandes estruturas ou problemas estruturais elásticos. Ainda poderá ser significativa hoje em dia quando se abordam grandes problemas de análise em computadores pessoais, ou mesmo quando se abordam grandes problemas estruturais com facilidades computacionais de relevo mas com um grau de pormenorização até hoje em dia não realizada. Sabe-se que a

matriz de rigidez  desenvolvida

através duma formulação

pelo método dos deslocamentos (ou equivalente) é

em banda,  com largura

 de semi-banda que deverá ser minimizada através duma numeração  conveniente dos graus de liberdade para evitar armazenar “zeros”  desnecessários. © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

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Mesmo recorrendo a técnicas de “ skyline”, para evitar armazenar esses termos nulos da matriz de rigidez, há situações em que a tipologia estrutural não mais permitirá uma banda de elementos não-nulos uniformemente estreita (isto é, de pequena largura de semi-banda igual para toda a estrutura).

Nas figuras seguintes apresentam-se duas situações estruturais com tipologias que originam situações desse tipo, entre inúmeros exemplos possíveis do sector da construção de edifícios e pavilhões na engenharia civil.

O primeiro exemplo trata-se de um edifício de vários pisos de tipologia uniforme em altura (o que permitirá uma numeração optimizada dos graus de liberdade para minimizar, na parte acima da base ou do solo, a largura da semi-banda da matriz de rigidez), mas também apresentando uma parte mais larga na base (o designado pedestal do edifício) para parqueamento (subterrâneo ou não) ou até pisos comerciais iniciais (para a qual se realizam considerações equivalentes quanto à numeração dos graus de liberdade, face à tipologia desta parte da estrutura global).

Este pedestal de implantação estrutural da torre de vários pisos causará, mesmo para uma numeração optimizada dos graus de liberdade, um alargamento da semi-banda da matriz de rigidez global correspondente às duas sub-estruturas constituintes [1] e [2].

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O universo ou vector colectivo de graus de liberdade na fronteira comum é aqui designado genericamente de  D f , sendo explicitamente indicado pelo índice  f que esses serão  graus de liberdade de fronteira ou na interface

 das sub-estruturas consideradas.

No outro exemplo apresenta-se um esqueleto estrutural possível dum auditório desportivo, ou similar, de muito grandes dimensões.

Também para esta estrutura global, e a título de exemplo pedagógico, consideram-se duas subestruturas constituintes – as sub-estruturas [ 1] e [2], com nós de fronteira comuns (#1 e #7) – com o já referido universo de graus de liberdade D f na fronteira de interface.

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Nesta estrutura a numeração dos graus de liberdade, do anel poligonal fechado de travamento superior dos pilares, causará um alargamento da semi-banda da matriz de rigidez da estrutura global (isto é, sem a subestruturação em estruturas constituintes).

Apresentam-se nas figuras seguintes exemplos adicionais de discretizações de estruturas para suas resoluções pelo método dos elementos finitos MEF (de uma casca fina de revolução , de uma porção de asa de avião, e de uma  ponte de vários tramos ou vãos intermédios) as quais poderão ter implícitas técnicas de substruturação apropriadas a cada estrutura correspondente: (1) quer pela sucessiva hierarquia de pormenorização dentro de partes ou sub-estruturas constituintes; (2) quer na eliminação por condensação estática (mas com equivalência estrutural) de graus de liberdade secundários (slave degrees of freedom, ie,  slave dof ) com ênfase resolutiva inicial para os graus de liberdade principais (master dof ). © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

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Para os dois exemplos iniciais gerais atrás considerados (com duas subestruturas [1] e [2]), e também indirectamente para os outros exemplos de modelação pelo MEF, a

Técnica de Subestruturação Estrutural aplica-se

sistematicamente do modo exposto a seguir.

De acordo com o que já foi abordado para  o significado físico das sub-

 matrizes, nas: – matriz de rigidez de uma barra de extremidades esquerda e direita – K ee K de K ed  K dd  – matriz de rigidez de uma estrutura com graus de liberdade  principais ou master M  e secundarios ou slave S  – K  MM  K SM  K  MS  K SS   (em que os graus de liberdade secundários são eliminados por condensação estática)

 para cada subestrutura constituinte, neste caso [1] e [2],  as equações de equilíbrio são subdivididas pelas designações dos seus graus de liberdade efectivamente livres  (não condicionados; isto é  D1 ou  D2, respectivamente para os das sub-estruturas [1] e [2]) e pelos seus graus de liberdade em

 fronteiras de interface (de índice f ) designados colectivamente por D f .

Para a subestrutura [1]  a equação de equilíbrio do método dos deslocamentos será:

K1 S 1T    D1  F 1     =     S K   1 1 f     D f  F 1 f  

(1)

(Obs.: Note-se que K 1 será uma sub-matriz K 11  da subestrutura 1, S 1  será uma sub-matriz K  f 1  da subestrutura 1, S 1T   será uma sub-matriz K 1f  da subestrutura 1, e K 1f  será uma sub-matriz K  f f  da subestrutura [1]). © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

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FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

Realizando a condensação estática dos graus de liberdade livres  D1 (seleccionados como secundários sacrificiais ou Slave, da sub-estrutura [1]) obtém-se a seguinte equação de equilíbrio nos graus de liberdade principais ou Master  D f  da sub-estrutura [1]: &&& D K 1 f f

=

&&&   F  1 f 

(2)

em que &&& = K − S K 1S T     K 1 f 1 f  1 1 1    &&& 1  F1 f = F1 f  − S1 K1 F1   −

−

(3)

Para a subestrutura [2]  a equação de equilíbrio do método dos deslocamentos será:  K 2 f   T   S2

S 2   D f 

 F 2 f     =    K 2   D2   F 2 

(4)

(Obs.: Note-se que K 2 será uma sub-matriz K 22  da subestrutura 2, S 2  será uma sub-matriz K  f2

da subestrutura 2, S 2T   será uma sub-matriz K 2f  da

subestrutura 2, e K 2f  será uma sub-matriz K  f f  da subestrutura [2]). Realizando a condensação estática dos graus de liberdade livres  D2 (seleccionados como secundários sacrificiais ou Slave, da sub-estrutura [2]) obtém-se a seguinte equação de equilíbrio nos graus de liberdade principais ou Master  D f  da sub-estrutura [2]: &&& D K 2 f f

=

&&&   F  2 f 

(5)

em que &&& = K − S K 1S T     K 2 f 2 f  2 2 2    &&& 1 F F S K F   = −  2 f 2 f  2 2 2 −

−

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(6) 26

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

As equações (2) e (5) traduzem equilíbrios parciais (equivalentes) de cada

uma das subestruturas [1] e [2], expressos à custa dos deslocamentos comuns  D f

na fronteira de interface (encarados ou seleccionados como

graus de liberdade principais ou Master).

Mas,

para que exista equilíbrio, as forças generalizadas nas fronteiras

de interface, isto é, as expressões de original

(sem subestruturação)  

e

F 1 f 

F 2 f   

no equilíbrio global

terão que ser iguais e opostas  

(pelo

Princípio de Igualdade entre Acção e Reacção).

Portanto, por exemplo, poder-se-ão designar  as forças generalizadas na

 fronteira de interface  por

F f

=

F1 f

= −

F 2 f    ,

que  por equilíbrio são

 antissimétricas.

Assim: - somando membro a membro as equações (2) e (5) - substituindo as forças no 2º membro pelos valores das expressões correspondentes nas equações (3) e (6) - atendendo à antissimetria entre os pares de forças generalizadas na fronteira de interface obtém-se: &&& (K 1 f

Os

+

&&& ) D K 2f f

=

&&& F 1f

+

&&& F 2 f 

= −

( S1 K1 1 F1 + S2 K 2 1 F2 )   −

−

deslocamentos generalizados na fronteira de interface   serão

então

obtidos através de: © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

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FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

 D f

=

&&& (K 1f

+

&&& ) 1 ( F &&& K 2f 1f −

+

&&& ) = − ( K &&& F 2 f 1f

1

−

+

&&& 1 ) ( S K 1 F + S K 1 F  )   K 2 f  1 1 1 2 2 2 −

−

−

(7)

em que todas as sub-matrizes terão ordem de grandeza associada aos graus de liberdade presentes em cada subestrutura (e não a ordem de grandeza mais elevada que teriam se não fosse aplicada a técnica de subestruturação).

 A inversão de matrizes de menor ordem inerente à Subestruturação  Estrutural , em complemento com as expressões derivadas da condensação estática de graus de liberdade,  traduzir-se-á por maior eficiência e rapidez

 das operações matriciais de cálculo estrutural . Tal facto será  tanto mais relevante quanto maior for a complexidade e

extensão da tipologia da estrutura global  inicial.

Também de cada uma das equações de equilíbrio (2) e (5), e substituindo parte das expressões (3) e (6), obtém-se independentemente:  D f

=

&&& K 1f

 D f

=

&&& K 2f

1

&&& F 1f

1

&&& F

−

−

=

&&& K 1f

−

1

F1 f

−

&&& 1 ( S K 1 F ) K 1 f  1 1 1

2f =

&&& K 2f

−

1

F2 f

−

&&& 1 ( S K 1 F  ) K 2 f  2 2 2

−

−

−

−

Igualando os segundos membros destas duas expressões, e atendendo à antissimetria ( F f

=

F1 f

= −

das

F 2 f  ),

forças

permitirá

generalizadas obter

na

fronteira

de

interface

expressão para determinar

uma

precisamente a grandeza dessas forças generalizadas, através de: &&& (K 1 f

1

−

+

&&& K ) Ff 2f 1

−

=

&&& K 1f

1

−

1 &&& 1 ( S K 1 F )   =   [2º membro] ( S1 K1 F1 ) − K 2 f  2 2 2 −

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−

−

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FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

Nesta equação matricial (do tipo  AX=B para resolução de SEAL – sistemas de equações algébricas lineares) todas as quantidades são conhecidas, excepto as forças generalizadas F  f  na fronteira de interface.

As incógnitas F  f   são então determinadas através da inversão da matriz dos coeficientes – neste caso a soma de duas matrizes inversas já conhecidas – que será equivalente à soma das duas matrizes iniciais (porque a inversa da matriz inversa, é a própria matriz original inicial).

Assim:

F f

=

F1 f

= −

F2 f

&&& (K 1f

=

+

&&& ) K 2 f 

14243

 

×

[2º membro] =

mesmas dimensões, porque são K  das  ff   respectivas sub-estruturas [ 1] e [ 2]

  &&& 1 &&& + K &&& ) K K1 1 F 1 )   = (K ( S1 1 f 2f  1 f  { { 14243  n × n n × n n × n n ×1 n ×n  f  1 1 1 1 f   f f    f −

{

−

{

  1 &&& 1 ( S K F − K )    2 f  2 2 {2 n f × n f  n f  × n2 n2 × n2 n2 × 1  (n f  × 1) −

{

−

{

{

Com os deslocamentos generalizados na fronteira de interface já obtidos através da equação (7), determinam-se os restantes

deslocamentos

generalizados nos graus de liberdade efectivamente livres (não condicionados) de cada uma das subestruturas [1] e [2], através de equações matriciais intrinsecamente incorporadas nas equações de equilíbrio (1) e (4).

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