Concreto Armado I

Concreto Armado I - Jueves 02 de setiembre 2010 Viga.Se diseña por estos tres criterios o métodos: Flexión: La viga esta diseñada para soportar cargas vivas y cargas muertas. Corte Torsión Fecha Miércoles 15 de setiembre del 2010 Ejercicio de Predimensionamiento

Datos: Columna 0.4 x 0.4 Altura de Piso: 3 m f´c: 210 kg/cm2 γc: 2400 kg/m3, Peso específico del Concreto Armado. γm: 1800 kg/m3 Muros: 0.25 m Parapeto: 0.15 m Predimensionamos la Viga h= L/12, Peralte h= 0.67 m = 0.65 m b= 0.5*h, ancho o base de la Viga b= 0.325 m = 0.4 m, Consideramos la base de la viga el mismo que el ancho de la columna. - La base de la Viga no puede ser mayor que el ancho de la columna. (Elar)

Metramos: Carga Muerta Ppv = Peso propio de la viga Ppv = 0.4*0.65*2.4= 0.624 t/m (Carga Distribuida) PLosa = Peso de Losa Consideramos una losa de 0.2 m de altura PLosa = 0.3*6.5 = 1.95 t/m (Carga Distribuida) Muro = e*h*γm = 0.25*3*1.8 = 1.35 t/m (Carga Distribuida) Parapeto = e*h*Ancho Tributario*γm = 0.15*1.2*6.5*1.8 = 2.106 Ton (Carga Puntual) Solo Afectan a las Aulas ∑CM = Ppv +PLosa+PMuro = 3.924 T/m (Carga Distribuida) Solo Afectan al volado o pasadiso ∑CM = Ppv +PLosa = 2.574 T/m (Carga Distribuida) Carga Viva Cargas Repartidas de Colegios (Aulas) es: 0.25 T/m2 Pasadiso : 0.4 T/m2 Aulas =Ancho Tributario*Cargas repartidas = 6.5*0.25 =1.625 T/m Pasadiso = Ancho Tributario*Cargas repartidas = 6.5*0.4 = 2.6 T/m Resistencia Requerida Para cargas muertas y vivas sera: U = 1.4CM+1.7CV Wu Para las Aulas Wu = 1.4*(3.924)+1.7*(1.625) = 8.256 T/m Wu Para el Volado o pasadiso Wu = 1.4*(2.574)+1.7*(2.6) = 8.024 T/m Carga Puntual La carga puntual del parapeto que se ubica en el pasadiso. P = 1.4*(2.106) = 2.95 Ton

Colocar las cargas en el Sap Utilizando Combinaciones Cargas Muertas: Para las aulas: 3.924 t/m (Cargas Distribuida) Para el Voladizo: 2.574 t/m (Carga Distribuida) El parapeto: 2.106 Ton (Carga Puntual, Parapeto) Cargas Vivas: Para las aulas: 1.625 t/m (Cargas Distribuidas) Para pasadiso: 2.6 t/m (Cargas Distribuidas) Notas: Utilizamos los Momentos para diseñar el Acero de Refuerzo Longitudinal. - Utilizamos momento negativo para diseñar la parte superior de la viga. - Utilizamos momento positivo para diseñar la parte inferior de la viga. - Utilizamos los cortantes Extremos, para diseñar Estribos. En el metrado de Cargas no se metra las vigas perpendiculares a nuestra viga de diseño por que esta se apoya en las columnas. 2 Ejemplo En el caso que tuviera una puerta. El pórtico Numero 2

Cuando tenemos una Puerta en al

Fecha Jueves 16/09/2010 Segunda Clase Diseño de Vigas.Ecuaciones Para el diseño en Flexión VIGA SIMPLEMENTO REFORZADA d = Peralte efectivo del elemento ρ = Porcentaje de refuerzo de acero ( CUANTÍA) b = Ancho del bloque comprimido (ancho de la sección transversal rectangular) As = Área de acero en tracción c = Profundidad del eje neutro a = Profundidad del bloque comprimido rectangular equivalente

Se define cuantía o porcentaje de refuerzo como: Por equilibrio en la figura tenemos: Fuerza de Compresión = Fuerza de Tracción Despejamos a =

Remplazando As : …I Tomando momentos en la ubicación de la resultante en tracción: Mu = Fuerza de Compresión por distancia Mu = (0.85*f´c*b*a)*(d-a/2) … II Tomando momentos en la ubicación de la resultante en comprensión: Mu = (As*fy)(d-a/2) … III Se define Cuantía Mecánica o índice de refuerzo (ω) a: … IV Remplazamos (IV) en (I): …V Remplazamos (V) en (II) : [

]

Para el diseño se usará un factor Ø = 0.9 que es el factor de Resistencia para vigas.

Ejemplo de Diseño:

Utilizamos el momento Máximo Positivo: Mu = 32.34 Ton-m = 3234000 Kg-cm 3234000 = 0.9*210*40*592*ω*(1-59*ω) Despejamos ω: Nota: ω = 0.13338 d = h-6, 1 Capa Utilizamos la ecuación en la que interviene la cuantía mecánica: d = h-9, 2 Capas = 0.006669 d = h-11, 3 Capas El Valor de ro lo remplazamos en la siguiente ecuación: Buscamos los Aceros que sus aéreas sumadas cumplan esa Cantidad: - El Acero que utilicemos para nuestro diseño debe ser igual o mayor a nuestro requerimiento As. - El recubrimiento mínimo para Viga Peraltada es de 4 cm. Ahora Comprobaremos que el Acero entra en la Sección dada con la Siguiente comprobación: Con la tabla de aceros que tenemos: Colocaremos: 2 Ø de 3/4" + 2 Ø de 1" que juntas hacen un As = 15.83 cm^2 Donde comprobamos la Distribución: Recubrimiento Mínimo Diámetro del Estribo

Acero

4 cm Para Vigas Peraltadas 0.96 cm

Recubrimiento total en la Viga Dimensión del Estribo en la viga 2 Varillas 3/4 2 Varillas 1 Espaciamiento de # Varillas

8 cm 1.92 cm 3.81 cm 5.08 cm 26 cm

26 cm es menor que 40 cm, entonces si esta bien distribuida. Nota: La distribucion del acero debe ser simétrica. Las barras con mayor diametro deben ir a los extremos.

Tablas para Diseño en Flexión Revisamos la Cuantía - La cuantía mínima según el ACI:

Utilizamos este Elar

- Acero mínimo por flexión: Para evitar la falla frágil en la zona de tracción de la viga es necesario proveer una cantidad mínima de acero que garantice una resistencia agrietamiento de la sección de la viga. El área de acero suministrada no deberá ser menor de: √

f´c (kg/cm^2) 175 210 280 350 - Cuantía balanceada:

As min 0.22%bd 0.24%bd 0.28%bd 0.31%bd (

)

La cuantía balanceada para un: f´c = 210 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 tiene un ρb=0.02125 - Cuantía máxima: Entonces la ¿Por qué la cuantía máxima en las tablas es de 0.162? Factor de Reducción de Resistencia - Norma Peruana Solicitación Factor Ø de Reduccion Flexión 0.90 Traccion y Traccion+Flexion 0.90 cortante 0.85 Torsion 0.85 cortante y torsion 0.85 Compresion y flexocompresion Elementos con espirales 0.75 Elementos con estribos 0.70 Aplastamiento en el concreto 0.70 Zonas de anclaje del postensado 0.85 Concreto Simple (sin armaduras) 0.65

El factor β1 deberá tomarse como 0.85 para resistencias de concreto f´c hasta de 280 kg/cm2, y para resistencias mayores se disminuirá a razón de 0.05 por cada 70 kg/cm2 de aumento, debiendo tomarse un valor mínimo de β1=0.65. Nota: - Diseñamos el Momento más Crítico - Tomamos el momento a la cara de columna. - Los aceros tienen que combinarse los inmediatos superiores y los inmediatos inferiores. Continuamos resolviendo el ejercicio anterior

Tenemos el Momento: Viga = 0.65x0.40 f´c = 210 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 Mu = -18.97654 ton-m d = 59 cm ω = 0.07547 ρ = 0.00377 As = 8.9054 cm2 2 Ø 5/8" + 4 Ø 1/2" = 9.16 cm2 Ocupa un espacio de 30.88 cm > 40 cm Nota: - Ahora vamos a utilizar tablas de Ku vs ρ.

Mu = 32.33525 ton-m d = 59 cm ku = 23.2227 ρ = 0.0067 As = 15.74 cm2 2 Ø 1" + 2 Ø 3/4" = 15.88 cm2 Ocupa un espacio de 26.44 cm > 40 cm

Mu = -36.27517 Ton-m d = 59 cm ku = 26.05 ρ = 0.0076

As = 17.86 cm2 2 Ø 1" + 2 Ø 3/4" + 1 Ø 5/8" = 17.88 cm2 Ocupa un espacio de 30.57 cm > 40 cm

Mu = -18.54960 Ton-m d = 59 cm ku = 13.32 ρ = 0.0037 As = 8.70 cm2 2 Ø 5/8" + 2 Ø 1/2" + 2 Ø 12 mm = 8.84 cm2 Ocupa un espacio de 30.74 cm > 40 cm Nota: - En la zona de compresión colocaremos el acero mín. de acuerdo a la fórmula:

* Acero de Montaje. * Donde se corta el Acero Positivo y Negativo. * Como se hace el Gancho. * Longitud de Gancho. * Tipos de Gancho. * Longitud de Anclaje. * Longitud de Empalme. * Tipos de Empalme. * Estribo. * Longitud de Desarrollo. ¿Qué es el Estado de Fluencia de Acero? * Falla Dúctil: Cuando el Acero de refuerzo longitudinal en Tracción empieza a deformarse antes que el concreto se aplaste en Comprensión. Cuando la Sección esta Subreforzado. También se puede dar cuando: ρ < ρb

εy: Es el valor de la deformación unitaria para el cual se inicia la fluencia del acero. εs: Es el valor de la deformación unitaria alcanzada por el acero. * Falla Balanceada: Cuando Simultáneamente se inicia la fluencia del acero y el aplastamiento del concreto.

* Falla Frágil: Si primeramente se inicia el aplastamiento del concreto antes que el inicio de la fluencia de acero en tracción es decir: Cuando la Sección esta Sobrereforzada. También se puede dar cuando: ρ > ρb

VIGA DOBLEMENTE REFORZADA Vamos a tener acero de refuerzo longitudinal en la zona de compresión y en la zona de tracción. As = As1 + A´s, Área de acero de refuerzo en la zona de tracción. A´s = Área de acero en la zona de compresión. Se coloca el A´s en ambas partes de la viga. - Zona de Compresión. - Zona de Tracción. Tenemos que verificar si el acero en la zona de compresión trabaja o no trabaja.

ε´s = Deformación del Acero en Compresión. Es = Modulo de Elasticidad.

Verificamos si el Acero Fluye o no Fluye

Ejemplo viga Doblemente Reforzada

Viga = 0.40 x 0.50 m f´c = 210 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 Mu = -13.39458 Ton-m d = h-6 = 44 cm ku = 17.2967 ρ = 0.00485 As = 8.5428 cm2 2 Ø 5/8" + 2 Ø 1/2" + 2 Ø 12 mm = 8.84 cm2 Ocupa un espacio de 30.74 cm < 40 cm; Conforme.

Viga = 0.40 x 0.50 m Mu = 30.83170 Ton-m f´c = 210 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 d = h-6 = 44 cm ku = 39.8137 ρ = 0.0123 As = 21.69 cm2 2 Ø 1" + 2 Ø 3/4" + 3 Ø 5/8" = 21.88 cm2 Ocupa un espacio de 38.83 cm < 40 cm; Conforme.

Mu = -52.41346 Ton-m Viga = 0.40 x 0.50 m f´c = 210 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 d = h-6 = 44 cm ku = 67.6827 > 49.5301 Según la tabla de Ku vs. ρ Se pasa el Valor Ku, quiere decir que lo diseñaremos como Viga doblemente reforzada. Kumax = 49.5301 ρmax = 0.162 As1 = ρmax*b*d As1 = 28.512 cm2 Mu1 = Kumax * b*d2 Mu1= 3834209.28 kg-cm Mure= Mu-Mu1 Mure= 1407136.72 kg-cm Mure= Ø A´s fy (d-d´) A´s = 9.796 cm2 ; tiene una Cuantía ρ = 0.0056 ρmin = 0.0033 Asmin = 5.808 cm2 ; para tracción. As = As1 + A´s As = 38.3083 cm2 6 Ø 1" + 3 Ø 3/4" = 39.12 cm2 Ocupa un espacio de 51.21 cm > 40 cm; Inconforme. - 7 Barras Total de 2 Ø 1" + 2 Ø 3/4" + 2 Ø 3/4" +1 Ø 1/2" = 21.17 cm2 ; Espacio = 38.51 cm2 - 6 Barras Total de 6 Ø 1" = 30.60 cm2 ; Espacio = 37.86 cm2, Es la máxima área para una viga de una sola capa.

Diseñamos a doble capa d = h-9 = 41 cm ku = 77.9498 > 49.5301 = Kumax Según la tabla de Ku vs. ρ Se pasa el Valor Ku, quiere decir que lo diseñaremos como Viga doblemente reforzada. Kumax = 49.5301 ρmax = 0.162 As1 = ρmax*b*d As1 = 26.568 cm2 Mu1 = Kumax * b*d2 Mu1= 3330403.924 kg-cm Mure= Mu-Mu1 Mure= 1910942 kg-cm Mure= Ø A´s fy (d-d´) A´s = 14.444 cm2 ; tiene una Cuantía ρ´ = 0.0088 ρmin = 0.0033 Asmin = 5.412 cm2 ; para tracción. As = As1 + A´s As = 41.012 cm2 ρ = 0.025 6 Ø 1" + 4 Ø 3/4" = 41.96 cm2 Ocupa un espacio de 30.6 cm > 40 cm; Conforme. - Verificamos si el Acero en la zona de compresión A´s fluye o no fluye.

0.025 - 0.0088 > 0.0176 0.0162 > 0.0176 ; Quiere decir que No fluye en tracción no es necesario colocarlo. - Pero en el Proceso constructivo es necesario colocar el mínimo. Asmin=5.412 cm2. VERIFICAMOS UNA SECCION DISEÑADA DOBLEMENTE REFORZADA Por relación de triángulos del diagrama de deformación unitaria. d´= 6 cm ; Despejamos c : Por equilibrio en la viga diseñada doblemente reforzada tenemos: Fuerza en Tracción = Fuerza en Comprensión …(1) ε´s = Es el valor de la deformación alcanzada por el esfuerzo aplicado. fs = Esfuerzo alcanzado por las cargas aplicadas. Es = Elasticidad del Acero. De la ecuación (1) Despejamos c :

Reemplazamos la Ecuación (b) en (a).

(

)

Igualamos las ecuaciones c y despejamos "fs". Teniendo el fs hallamos a. El momento resistente de la sección, Entonces podemos hallar el momento resistente que soporta la sección. Tomamos momentos en la zona de Tracción. (

)

Tomamos momentos en la zona de Compresión. (

)

(

)

Se calcula el momento resistente despreciando el efecto del refuerzo en compresión. - Comúnmente los diseños se evalúa el requerimiento del refuerzo en tracción sin tomar en cuenta el acero en compresión.

Mu = -51.16868 Ton-m Viga = 0.40 x 0.50 m d = h-9 = 41 cm f´c = 210 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 Ku = 76.099 49.5301, Doblemente Reforzada. Ku max = 49.5301 Mu1 = 3330403.924 kg-cm As1 = 26.568 cm2 Mu re = 1786464.076 kg-cm A´s = 13.50 cm2 ρ´= 0.00823 Asmin = 5.47 cm2 As = 40.068 cm2 ρ = 0.02443 6 Ø 1" + 2 Ø 3/4" + 2 Ø 5/8" = 40.28 cm2 0.0245 - 0.00828 > 0.0176 0.0162 > 0.0176 quiere decir que no fluye no es necesario colocarlo. Asmin = 5.47 cm2 para proceso constructivo colocamos el mínimo.

Mu = 3166987 ton-m Viga = 40 x 50 cm f´c = 210 kg/cm2

fy = 4200 kg/cm2 Ku = 40.89600 ρ = 0.0127 As = 22.408 2 Ø 1" + 4 Ø 3/4" + 1 Ø 5/8" = 23.51 cm2 ASmin = 5.87 cm2

Mu = -44.94158 Ton-m Viga = 40 x 50 cm f´c = 210 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm d = h-9 = 41 cm Ku = 66.837, Doblemente reforzada Ku max = 49.5301 ρ max = 0.0162 Mu1 = 3330403.924 kg-cm As1 = 26.568 cm2 Mure = 658547.056 Ton-m A´s = 4.978 cm2 As = 31.546 cm2 4 Ø 1" + 4 Ø 3/4" = 31.76 cm2 As min = 5.467 cm2 > A´s = 4.978 cm2 ; Colocamos el mayor en nuestro proceso contructivo, no es necesario comprobrar si fluye o no fluye.

Mu = -34.59000 ton -m Viga = 0.4x0.5 m f´c = 210 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 d = h-6 = 44 cm ku = 44.667 ρ = 0.0142 As = 24.9813 5 Ø 1" = 25.5 cm2 As min = 5.86 cm2

DISEÑO DE LA VIGA T 1.- Suponer que el bloque comprimido no ha excedido el espesor de la losa, esto significa diseñar una viga rectangular de ancho b (incluyendo ancho de alma y zona participante de la losa) 2.- Determinar el área de acero requerida para la sección rectangular de ancho b, se encuentra el valor de "a" mediante el equilibrio. 3.- Si el valor de "a" es menor a igual al espesor de la losa la suposición hecha es correcta y el diseño estará concluido. 4.- Para esta primera viga se obtiene el acero en tracción que equilibra el bloque comprimido en base a: y se obtiene un momento resistente mediante: 5.- Conocido el momento actuante en base al análisis estructural y conocido el momento resistente de la primera viga de ancho (b-bw), se obtiene por diferencia el momento que debera resistir la segunda viga. En base a este momento que corresponde a la segunda viga, se calculara el acero requerido con tracción, considerando una viga rectangular de ancho bw. Para esto se usa todo lo indicado para las vigas rectangulares, determinándose así un área As2 (Viga de ancho bw). 6.- Conocido As1y As2 se suman estos refuerzos obteniéndose el área total de la viga real de sección T. Se debe recordar que cuando se trabaja con vigas T y el diseño ha considerado el ancho b (rectangular), no debe aplicarse el fierro mínimo a este ancho, sino a bw. Por ejemplo si el porcentaje de refuerzo mínimo es 0.0026, este deberá aplicarse a bw d y no a b d. Ejemplo de diseño de una viga T

b = 80 cm bw = 30 cm h = 60 cm d = 54 cm t = 10 cm

Mu = 8465710 kg-cm Ku = 36.29 ρ = 0.011 As = 47.69 cm2; … (1) a = 14.025 cm > 10.00 = t Diseño como viga T b - bw = 80 - 30 = 50 Despejamos … (1) con estos datos: b1 = 50 cm a = 10 cm As1 = 21.25 cm2 ; 1era Viga. El As1 que hayamos corresponde a un momento 1. Mu1 =3935925 Mure = 4507879 kg-cm Diseñamos la segunda viga. bw = 30 d = 54 Ku = 51.5304 > Ku max, Solución aumentamos el peralte de la viga.

h = 70 cm d = h - 9 = 61 cm, Doble capa. Mu = 8977493 kg-cm ku = 30.1582 ρ = 0.0089 As = 43.51 cm2 a = 12.79 cm > 10.00 = t Diseño como viga T a = 10 cm b1 = 50 cm As1 = 21.25 cm2 ; 1era Viga. El As1 que hayamos corresponde a un momento 1. Mu1 = 4498200 kg-cm Diseñamos la segunda Viga. Mure = 4479293 kg-cm bw = 30 cm d = 61 cm Ku = 40.126 < 49.5301

ρ = 0.0124 As2 = 22.769 cm2 Ast = 44.019 cm2 9 Ø 1" = 45.90 cm2 Distribuido a doble capa no entra (60.48 cm > 60.00 cm) Solución: Aumentamos el ancho de la viga b = 35 cm

b = 80.00 cm bw = 35.00 cm h = 70.00 cm d = h -9 = 61.00 cm f´c = 210 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 Mu = 9077036 kg-cm Ku = 30.492 ρ = 0.00902 As = 44.060 cm2 a = 12.959 > 10.00 = t Diseñamos Viga T As1 = 21.25 cm2 Mu1 = 4498200 kg-cm Mure = 4578836 kg-cm bw = 35.00 cm d = 61.00 cm ku = 35.158 ρ = 0.0106 As2 = 22.708 cm2 As = 43.958 cm2 7 Ø 1" + 3 Ø 3/4" = 44.22 cm2 1era Capa 5 Ø 1" = 25.50 ; 32.78 cm b min. 2da Capa 2 Ø 1" + 3 Ø 3/4" = 18.72 cm2 ; 30.89 cm b min.

DISEÑO POR CORTANTE

Viga = 0.55x0.30 m d = h-6 = 49 cm La cortante me interesa a la distancia D eje Columna + peralte efectivo = 0.20+0.49 = 0.69 D1 = 0.69 m

Vu 1= 31658.90 kg f´c = 210 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 d = 49 cm Vu1 < Vc; no necesito estribos. Vu1 > Vc; Si necesito estribos. Vc = 11290.232 < 31658.9 si necesito estribos. Vs = 25955.53 Av = 0.71*2 = 1.42 cm2 s = 11.259 Los estribos se colocan a 5.00 cm 7.50 cm 10.00 cm 12.50 cm 15.00 cm 17.50 cm 20.00 cm 22.50 cm max 25.00 cm 27.50 cm Elegimos el inmediato inferior s = 10.00 cm Comprobamos el Espaciamiento máximo 1 era Condicion Vs < 44734.88 Smax = d/2 25955.53 < 44734.88 si cumple d/2 = 24.5 2 da Condicion Vs > 23432.56 Si cumple Smax = d/4 = 12.25 S max Seguimos trabajando con S = 10 Distribuimos El primer Estribo a 5 cm

1@5+ 44/10 = 4.4 utilizamos 5 @ 10; Espacio de 50 cm. 20cm + 1 @ 5 + 5 @ 10 + 49cm = Distancia Siguiente D2 = 1.24 m, hallamos el Vu2

Vu2 = 24233.9 kg Vs = 17220.24 s = 16.97 cm == 15.00 cm Hallo el espaciamiento máximo Vs < 44734 Si cumple Smax = d/2 = 24.5 cm Vs > 23432 No cumple Distribuimos el Acero 49/15 = 3.26 Utilizamos 4 Estribos 4 @15 cm 20cm + 1 @ 5 + 5 @ 10 + 4 @15 + 49 cm = Distancia Siguiente = 1.84 m

D3 = 1.84 m Vu3 = 16133.9 kg d = 49 cm b = 30 cm Vc = 11290.23 Vs = 7690.827 Estribo = 3/8 ; Area 0.71 cm2 ; Av = 1.42 cm2 s = 37.99 1era Condición: Vs < 44734 2 da Condición: Vs > 23432 Cumple la primera condición : S max = d/2 = 24.5 cm == 22.5 cm Distribuimos el Acero 49/22.5 = 2.177; Utilizamos 3 Estribos. 3 @ 22.5 20cm + 1 @ 5 + 5 @ 10 + 4 @15 + 3 @ 22.5 + 49 cm = Distancia Siguiente 4 = 251.5 cm

D4 = 2.515 m Vu4 = 1378.6 kg Vu4 < Vc; No necesita estribos. Vc = 11290.23

Tomamos Momentos a 20cm + 1 @ 5 + 5 @ 10 + 4 @15 + 3 @ 22.5 = 202.5 cm

Vu = 5236.4 kg Vu < Vc; No necesita estribos. El diseño de izquierda a derecha termina pues ya no necesita estribos. Analizamos de Derecha a Izquierda

Vu5 = 47511.1 kg Vc = 11290 kg Vs = 44605.18 kg s = 6.55 cm == 5 cm Vs < 44734.88; no Cumple Vs > 23432.57; Si Cumple d/4 = 12.25 es el S max. Distribución: 44/5 = 9 20 cm + 1 @ 5 + 9 @ 5 + 49 cm = D6 = 1.19 cm 6 - 1.19 = 4.81

Vu6 = 40761.10 kg Vs = 36664.00 kg Vs < 44734.88; Si cumple d/2 = 24.5 es el Smax Vs > 23432.57; Si cumple d/4 = 12.25 es el Smax Si el "S" nos sale menor que 5 cm Solución Aumentar el Valor f´c Aumentar el Peralte Aumentar el diámetro del Estribo s = 7.97 == 7.5 cm Distribución 49/7.5 = 6.533 == 7 Estribos 20 cm + 1 @ 5 + 9 @ 5 + 7 @ 7.5 + 49 cm = D7 = 171.5 cm 600 - 171.5 = 428.5 cm

Vu7 = 33673.6 kg Vs = 28325.768 kg s = 10.32 cm == 10.00 cm Distribución 49/10 = 4.9 == 5 Estribos 20 cm + 1 @ 5 + 9 @ 5 + 7 @ 7.5 + 5 @ 10 + 49 cm = D8 = 221.5 cm 600 - 221.5 = 378.5

Vu8 = 18523.6 kg Vs = 10502.239 Vs < 44734.88 S max d/2 = 24.5 cm s = 24.5 cm == 22.5 cm distribucion 49/22.5 = 2.177 == 3 Estribos 3 @ 22.5 20 cm + 1 @ 5 + 9 @ 5 + 7 @ 7.5 + 5 @ 10 + 3 @ 22.5 = 240.00 cm 600 - 240.00 = 360.00 cm

Vu9 = 16026.1 kg Vs = 7564.00 kg s = 38.635 cm Vs < 44734.88 cm si cumple d/2 = 24.5 cm es el Smax s = 22.5 cm aumentamos un estribo y comprobamos si no necesita. 20 cm + 1 @ 5 + 9 @ 5 + 7 @ 7.5 + 5 @ 10 + 4 @ 22.5 = 262.5 cm 600 - 262.50 = 337.5 cm

Vu = 12988.6 < 11290.23 todavía necesita estribos. 20 cm + 1 @ 5 + 9 @ 5 + 7 @ 7.5 + 5 @ 10 + 5 @ 22.5 = 285.00 cm 600 - 285 = 315 cm

Vu = 9951.10 kg < 11290.23 no necesita estribos 1 era Práctica Calificada de Concreto Armado 01 Fecha 21/10/2009 1.-) Determinar si la sección es Subreforzado o Sobrereforzada. f´c = 350 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 40 cm

25 cm

As = 3 Ø 5/8" = 6.00 cm2 Solución ρ < ρb Subreforzada (Falla Dúctil) ρ > ρb Sobrereforzada (Falla Frágil) (

)

√

Hallamos primero el β1 que es mayor que 280 por lo tanto es necesario hallarlo. Datos : f´c = 350 kg/cm2 β1= 0.8 Remplazamos en la ecuación de la cuantía balanceada (ρb) ρb = 0.0333 AS = ρ *25*34 = 6.00 cm2 ρ = 0.007 Comparamos las Cuantías tenemos. ρ < ρb; Subreforzada, Falla Dúctil.

Verificamos si cumple con las condiciones de Cuantía mínima y Cuantía Máxima. ρmin = 0.003563 ρb = 0.0333 ρmax = 0.025 ρ > ρmin ; Si cumple ρ < ρmax ; Si cumple

2.-) Calcular la resistencia a flexión de la sección del problema anterior, determinar la deformación unitaria en el acero en el momento de alcanzar la resistencia. La resistencia a la flexión es una medida de la resistencia a la tracción del concreto (hormigón). Es una medida de la resistencia a la falla por momento de una viga de concreto. Del diagrama de esfuerzos equivalentes, la resistencia a flexión estará dada por la sumatoria de momentos en el eje de compresión.

As = 6 cm2 fy = 4200 kg/cm2 d = 34 a = Lado del rectángulo equivalente de Whitney. a = ? Lo deducimos de la ecuación Fuerza Compresión = Fuerza Tracción f´c = 350 kg/cm2 b = 25 cm Despejo a: a = 3.38823 cm Remplazo para hallar Mn: Mn = 814108.235 kg-cm Mu = Ø Mn Ø = 0.9 Mu = 732697.412 kg-cm Para determinar la deformación: Utilizamos la ecuación Fuerza Compresión = Fuerza Tracción donde: a = β1 c β1 = 0.8 c = Profundidad al eje neutro Despejo C: c = 4.2353 cm

Para determinar la deformación unitaria del acero en el momento que alcanza la resistencia, Deducimos las relaciones del diagrama de deformación unitaria.

εC = 0.003 Despejo εS: εS = 0.021 , Rpta. La deformación unitaria del Acero. Otra forma de deducir la deformación unitaria del acero sería la siguiente:

De mi gráfico de Esfuerzos equivalentes tomo momentos en el punto de la fuerza de tracción. (

)

Datos: Mn = 814108.235 kg-cm Despejo C: c = 4.235294 y remplazo en la ecuación para hallar εs: εs: 0.021; rpta

Condiciones de Servicio para elementos en flexión (B.B. pg. 190) Generalidades DEFLEXIONES EN VIGAS

Miércoles 13 de octubre 2010

-Deflexión Instantánea: Se presenta al desencofrar un elemento trabajando en flexión -Deflexión Diferida: Se presenta como incremento de la primera, conforme aumenta el tiempo desde el desencofrado, llegando a una estabilidad casi definitiva al cabo de 5 años aproximadamente. La deflexión instantánea se puede evaluar considerando las teorías de resistencia de materiales y estática. Ejemplo.: 1 Viga de ancho Doble b = 70 cm h = 120 cm f´c = 280 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 L = 18 m d´ = 5 cm d = h - 6 = 114 cm Apoyo Izquierdo = Apoyo Derecho Mcm = 215 Ton - m Mcv = 100 Ton - m As = 120 cm2

A´s = 40 cm2 Sección Central Mcm = 110 t-m Mcv = 45 t-m A´s = 50 cm2 A´s = 60 cm2 I .- Calcular la deflexión Inmediata: 1.- Inercia de la sección Bruta Ig = 10080000 cm4 Ig = Inercia de la sección bruta.

2.- Momento de fisuración Mcr = Momento de fisuración. fr = Módulo de rotura del concreto. √

fr = 33.466 kg/cm2 Mcr = 5622355.378 kg-cm 3.- Calcular la inercia de la sección fisurada En Los Apoyos IZQ = DER ( ) b = 70 cm √ A´s = 40 cm2 d´= 5 cm2 As = 120 cm2 d = 114 cm c = 41.28 cm

Icr = 7507807.67285 cm4 3.- Calcular la inercia de la sección fisurada En la sección Central A´s = 50 As = 60 c = 30.024 cm Icr = 4486106.2355 cm4 Promedio de las Inercias Icr1 = Apoyo IZQ Icr2 = Apoyo DER

Icr CL= Inercia al centro de luz Icr Prom = 5996956.96418 cm4 4.- Deflexión inmediata debido a carga muerta.

Para el primer tramo es entre 3 [

]

Esta fórmula solo se aplica para cargas distribuidas en resistencia de materiales. L= 1800 cm EC = 250998.008 kg/cm2 ICR PROMEDIO = 5996956.95418 cm4 Y = 1.502 cm 4.01.- Deflexión inmediata debido a Carga viva. Y = 0.561 cm 4.02.- Deflexión inmediata debido a Carga viva + Carga Muerta Y = 2.063 cm 4.03.- Deflexión inmediata debido a 50% Carga viva + Carga Muerta Y = 1.783 cm 4.04.- Deflexión inmediata debido a 1.4 Carga viva + 1.7 Carga Muerta Y = 3.056 cm II .- Calculo de la deflexión diferida: Transcurrido 5 años. La carga viva podemos asumir 5 años 50% [

]

F = a 1 para 3 meses. 1.2 para 6 meses. 1.4 para 12 meses. 2 para 5 años o más. Cuanto es la cuantía (ρ') En la sección central

τ = 1.523 El momento en el centro de luz: Mcm + 50%Mcv Y = 1.78 cm YDiferida= 1.523*1.783 = 2.715 cm YTotal = YInmediata + YDiferida YTotal = 2.06 + 2.71 = 4.77 cm Si fuera un puente de 18 m sabemos que se va a deflectar 4.77 cm. Aumenta Sección Aumenta Acero Para hacer una contra flecha

Deflexiones elásticas de vigas simples

MUROS DE GRAVEDAD 1.- Cargas Gravitacionales ρ = 0.0012 Ø ≤ 5/8" ρ = 0.0015 Ø ≥ 5/8"

Refuerzo Vertical

ρ = 0.0020 Ø ≤ 5/8" ρ = 0.0025 Ø ≥ 5/8"

Refuerzo Horizontal

[

(

) ]

Ø = 0.7 Lc = Distancia Vertical entre apoyos k = Factor de restricción k = 0.8 Muros arriostrados arriba y abajo Restringidos contra la rotación en uno o ambos extremos (superior y/o inferior). k = 1 Muros arriostrados arriba y abajo, sin rotación restringida. No restringidos contra la rotación en ambos extremos. k = 2 Muros sin arriostre lateral Para muros no arriostrados con el fin de evitar el desplazamiento lateral. Tomar en cuenta: - Espesor mínimo 10 cm.

- Cuando el espesor sea mayor e igual a 25 cm deberá colocarse refuerzo en las 2 caras. - Menor de 25cm 1 capa de acero. - Mayor de 25 cm 2 capas de acero. 1.- Ejemplo Diseñar un muro de gravedad o muro de carga. f'c = 175 kg/cm2 Lc = 3 metros, distancia vertical entre apoyos. Pu = 70 ton, Carga actuante. Carga admisible [

(

) ]

Comienzo a tantear, que espesor que tiene que tener el muro. t = 10 cm

Ag = Área del muro t = 10cm b Tomamos el ancho de acero cada 1 metros. Ag = 1000 cm2 k = 0.8 Ø Pnω = 29476.56 kg, no va a resistir. - Aumentamos "t" generalmente los espesores se aumentan de 5 en 5. Probamos un espesor de : t = 15 cm Ag = 1500 cm2 Ø Pnω = 75796.88 kg puede resistir más de 70 ton. Colocamos el Acero Utilizamos el acero de 5/8" ρv = 0.0012, nos dan el diseño. b = 100 cm t = 15 cm Si usamos un acero de: 3/8" Área = 0.71 cm2 Entonces calculamos el espaciamiento:

- El espaciamiento se coloca a múltiplos de 5 cm. S = 35 cm Ø 3/8" c/35cm para acero vertical

Smax = 3*t ó 40 cm ACERO HORIZONTAL ρh = 0.0020 b = 100 cm t = 15 cm AsH = 3 cm2 S = 23.67 ==22.5 cm Ø 3/8" c / 35 cm Ø 3/8" c / 22.5 cm

2.- Ejemplo Calcular el espesor de muro. Lc = 300 cm f'c = 175 kg/cm2 Pu = 150 ton Ø = 0.70 Calculamos el espesor despejamos de la formula. [

(

) ]

t = 25 cm Ø Pnω = 153278.25 ton < Pu Ag = 2500 cm Diseñamos para dos capas de acero. AsV = 3 cm2 Como es doble capa trabajamos con As = 1.5 S = 47.33 cm = Smax = 3*t ó 40 cm Calculamos el Acero Horizontal ρ = 0.0020 t = 25 b = 100 As = 5 cm2 Como es doble capa trabajamos con As = 2.5 S = 28.4 == 27.5 cm

Ø 3/8" c / 40 cm Ø 3/8" c / 27.5 cm

¿Dónde se usa el muro de gravedad de concreto a gravedad? Se usa en zonas donde no se consideran los sismos ¿Determinar los metrados de cargas y transformarlos al Pu? ¿La carga puntual tiene incidencia en una zona o en todo el muro?

FISURACION POR FLEXIÓN

dc = Recubrimiento inferior medido desde el centro de la varilla más cercana al borde del elemento. Ancho de fisuras: √ A = Área de concreto que rodea a cada varillas. Determinación del parámetro "Z": √ Si relacionamos las ecuaciones: Si trabajamos con el factor θ de 1.2 aprox. :

Ejemplo 01.- Revisar el agrietamiento para la siguiente viga.

2 Ø 1" b r = 4 cm Estribos = 3/8" Calculamos el parámetro Z : √ fy = 4200 kg/cm2

dc = 4 + 0.95 + 2.54/2 = 6.22 A = 155.5 cm2 √ Z = 24921.497 < 26000 √ w = 0.023 cm w = 0.23 mm Solo utilizamos 26000 ¿Qué haríamos si sale mayor a 0.03 cm?

Solución Cuando disminuimos el acero Ø 3/4 " dc = 5.905 A = 147.625 Z = 24072.8297 w = 0.023 DIAGRAMA DE INTERACCIÓN DE COLUMNAS 27 OCTUBRE 2010

5 cm

AS1

15 cm

8 Ø 5/8" f´c = 210 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2

AS2 15 cm

AS3

5 cm 5 cm

15 cm

15 cm

5 cm

El diagrama de interacción es fundamental para diseñar columnas y placas. De esta manera se verifica si la columna resiste o no. Ejercicio Dibujar el diagrama de interacción de cargas nominales y momentos flectores nominales con respecto al eje centroidal "X". La cuantía de refuerzo longitudinal no será menor que 1% ni mayor que 6% del área total de la sección transversal. Cuando la cuantía exceda de 4%, los planos deberán incluir detalles constructivos de la armadura en la unión viga columna. ρ mín. = 1% ≤ ρ ≤ ρ máx. = 6% Ac = 1600 cm2 Ac ,min. = 16 cm2 Smin = 4 cm Smax = 15 cm Centroide Plástico.- Es donde se va a ubicar el maximo momento. Diagrama de Interacción de una Columna

Cargas Nominales Axial Máximo - Momento Cero

Momentos Nominales Se chequea las hipótesis de diseño, si un punto cae fuera de diagrama la sección falla. Trabajamos por capas: As1, As2 … Como mínimo tenemos que encontrar 5 puntos para trazar la curva. Punto 1 - Se supone que todas las fibras tienen una deformación unitaria igual a la máxima deformación permitida en el concreto. εc = 0.003 - Su rectángulo equivalente se encuentra en el infinito. - Calculamos la deformación de los aceros. - Debido a la deformación va a ver tres fuerzas que se aplican en las tres capas mas la Fuerza de compresión de Concreto. - Teniendo las deformaciones calcular las fuerzas. Elaboración de la curva de diagrama de interacción se utiliza el siguiente procedimiento. 1.- Se definen diferentes posiciones del eje neutro. 2.- Para cada posición del eje neutro se calculan las deformaciones unitarias, tomando como base una deformación máxima de 0.003 del concreto. 3.- En función de las deformaciones en el acero y en el hormigón se determinan los diagramas de esfuerzos en el concreto y la magnitud de las esfuerzos en el acero. 4.- Se calculan los momentos flectores centroidales y cargas axiales internas que por equilibrio deben ser iguales a los momentos flectores y cargas axiales externas solicitantes. La deformación unitaria que provoca la fluencia del acero fy = 4200 kg/cm2: Cualquier deformación unitaria en el acero que esté por debajo de la deformación de fluencia, define esfuerzos en el acero que se pueden calcular con la siguiente expresión.

Cualquier deformación unitaria en el acero que supere la deformación de fluencia. Determinara un esfuerzo en el acero igual al esfuerzo de fluencia. Cuando nos sale valores mayores colocamos el valor máximo. Eso se demuestra en la solución del problema.

Columnas de Hormigón Armado Según su sección transversal, existen columnas cuadradas, rectangulares, columnas circulares, en forma de "L", "T", en cruz, etc. Según su comportamiento ante las solicitaciones, existen fundamentalmente dos tipos de columnas de hormigón armado: columnas con estribos y columnas zunchadas.

Los estribos cumplen las siguientes funciones en las columnas: - Definir la geometría de la armadura longitudinal. - Mantener en su sitio al hierro longitudinal durante la construcción. - Controlar el pandeo transversal de las varillas cuando están sometidas a compresión. - Colaborar en la resistencia a las fuerzas cortantes. Los Zunchos helicoidales cumplen las siguientes funciones: - Confinar al hormigón del núcleo de la columna para mejorar su capacidad resistente. - Definir la geometría de la armadura longitudinal. - Mantener en su sitio al hierro longitudinal durante la construcción. - Controlar el pandeo transversal de las varillas cuando están sometidas a compresión. - Colaborar en la resistencia a las fuerzas cortantes. Modelación de una Estructura de Aulas de 2 Pisos en el Etabs .- 28 OCTUBRE 2010 Hemos revisado los resultados en el SAP de la Edificación. Los resultados Axial y Momento 2-2 Comb1 Comb2 Comb3 Comb4 Comb5 Analizamos estos 5 puntos que no están dentro de la curva de interacción de la Columna.

Solución Tenemos que aumentar el área de Acero Trabajamos con el 4% pero también tenemos que modelar de nuevo en el sap. Metrados de la Estructura de Aulas de 3 Pisos.- 03 OCTUBRE 2010 Modelo de la Estructura Según el Metrado de Cargas Desarrollado en Excel Colocamos las Cargas de las Columnas, sobre las columnas definidas, Z = -1.152 Ton Verificamos la Curvatura de la columna. Analizamos los Momentos De todas las Combinaciones Comb1-Comb2 en el Momento 3-3 para obtener Mu M3-3, Mzx para analizar en el eje X M2-2, Mzy para analizar en el eje Y Analizamos la Fuerza Axial Esta se visualizará en el Eje ZX Para Ver la Fuerza Sísmica CS Shear 3-3 Se Visualizara en el plano ZY Diseño de Columnas

√ Uso de Ábacos con Diagramas de Interacción

TORSION.- Tenemos 2 tipos -Torsion de equilibrio. -Torsion de Compatibilidad. Cuando diseñamos por torsión, diseñamos para colocar estribos.